Upload
vuongthu
View
226
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
BAB �
Interpolasi dan Aproksimasi
Polinomial
��� Norm
De�nisi ����� �Norm vektor� Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi
terhadap setiap x � IRN yang disimbolkan dengan jjxjj sedemikian hingga memenuhi
sifat�sifat dibawah ini
�� jjxjj � � untuk x �� �� atau jjxjj � �� untuk x � �
�� jj�xjj � �jjxjj
�� jjx� yjj � jjxjj � jjyjj
��
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Contoh
jjxjj� �
nXi��
jxij
jjxjj� �
� nXi��
jxij�
� �
�
� �Norm Euclid�
jjxjjp �
� nXi��
jxijp
� �
p
jjxjj� � max��i�n
jxij
De�nisi ����� �Norm matrik� Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi
terhadap setiap x � IRN�N yang disimbolkan dengan jjAjj sedemikian hingga
memenuhi sifat�sifat dibawah ini
�� jjAjj � � untuk A �� �� atau jjAjj � �� untuk A � �
�� jj�Ajj � �jjAjj
�� jjA�Bjj � jjAjj � jjBjj
� jjABjj � jjAjjjjBjj
Contoh
jjAjjF �
� nXi��
nXj��
jaijj�
� �
�
�Norm Frobenius�
jjAjjv � maxx���
jjAxjvjjxjjv
De�nisi ����� �Ruang Linier �RL�� Himpunan F dikatakan suatu ruang lini�
er bila operasi penjumlahan dan perkalian terdenisi didalamnya sehingga f � g �
F dan �f � �g � F untuk �f� g � F �
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
De�nisi ����� �Ruang Linier Norm �RLN�� F dikatakan ruang linier norm
bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga
�� jjf jj � � untuk f �� �� atau jjf jj � �� untuk f � �
�� jj�f jj � �jjf jj
�� jjf � gjj � jjf jj � jjgjj
untuk semua f� g � F
��� Konsep Masalah dalam Aproksimasi
Misal f � F dan f �� P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah
menentukan p� � P sedemikian hingga
jjf � p�jj � jjf � pjj� �p � P
kemudian p� dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f Hal ini dapat
digambarkan dalam diagram Venn berikut ini
pp*
P
Ff
Gambar �� Diagram aproksimasi
Beberapa fungsi aproksimasi p�x� untuk menghampiri fungsi f�x� dalam F �
C�a� b adalah sebagai berikut
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
� P � fp � p�x� � a� � a�x� � � � � anxn��g
� P � fp � p�x� �Pn
r�� ar�r� ar � �� �r � C�a� b g
� P � fp � p�x� �Pn
�arx
r
Pn�brxr
g
� P � fp � p�x� �Pn
r�� �re�rxg�
Sedangkan dalam F � IRN adalah P � fp � p�x� �Pn
r�� ar�r� ar � IRN � �rIR
Ng
Teorema ����� �Teorema Weirstrass� Misal f terdenisi dan terdifrensialkan
pada interval �a� b maka terdapat polinomial p�x� yang juga terdenisi dan ter�
difrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai � � � berlaku
jjf�x�� p�x�jj ��
dan �x � �a� b
Contoh
F � C�a� b dan f � F � tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN
jjf jjp �
�Z b
a
jf�x�jpdx
� �
p
� � � p �
jjf jj� � maxa�x�b
jf�x�j
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
��� Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax � b
Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai
a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b��
a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b��
a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�� ���
annx� � an�x� � � � � � annxn � bn�
Bila A merupakan matrik yang memuat koe�sien variabel x�� x�� � � � � xn maka
sistem linier itu dapat direduksi sistem Ax � b Ada banyak metoda yang dapat
digunakan dalam menyelesaikan sistem ini Diantaranya metoda langsung dan
metoda iteratif Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan
software komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan
terus dikembangkan
Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem
Ax � b dapat diselesaikan melalui
A��Ax � A��b
x � A��b
Teknik ini dipandang tidak e�sien dan efektif� bahkan dimungkinkan suatu sistem
tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan�
yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A
Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih
sederhana dan mudah dihitung oleh komputer Misal ADLU� dimana D
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
adalah matrik diagonal� L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah
diagonal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas di�
agonal utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut
�D� L�U�x � b ���
Dx� �L�U�x � b
Dx � �L�U�x� b
x � D���L�U�x�D��b
x � D���L�U�x�D��b�
Misal J � D���L�U� maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai
xj�� � Jxj �D��b� ��
Metoda ini disebut metoda Jacobi
Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi� dite�
tapkanlah suatu koe�sien redaman � � sebagai faktor akselerasi terhadap
metoda ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini
xj�� ����� �I� J
�xj � D��b� ���
Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam �damped Jacobi�
Bentuk lain dari penyederhanaan ��� adalah sebagai berikut
�D� L�x�Ux � b
�D� L�x � Ux� b
x � �D� L���Ux� �D� L���b
Misal G � �D� L���U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai
xj�� � Gxj � �D� L���b ���
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Metoda ini disebut metoda GaussSeidel
Metoda�metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam
hal ini x�� kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x�� x�� � � �
sehingga diperoleh deret fxigni�� Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak
x Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi se�
hingga dinamakan model solusi iteratif Untuk menghentikan proses pengulangan
ini� hasilnya harus dikon�rmasikan dengan toleransi � yang dalam hal ini dapat
ditentukan dari nilai dibawah ini
� � jjb� Axjj�
� � jjb� Axjj�
� � jjb� Axjj�
��� Fungsi�Fungsi Aproksimasi
����� Interpolasi dan Polinomial Lagrange
Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpo�
lasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangaku�
ratan melakukan suatu aproksimasi Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan
aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu Dengan demikian interpolasi
yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu Oleh karena itu diperlukan
eksplorasi terhadap polinomial lainnya� polinomial Lagrange misalnya
Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa
titik terhubung� sehingga interpolasinya berdasarkan titik�titik yang telah diten�
tukan terlebih dahulu pada fungsi itu Semakin dekat jarak penentuan titik yang
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
satu dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya Dengan kata lain
tingkat akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik�titik �grid� pada fungsi
tadi
Teorema ����� �Polinomial Langrange ken� Jika x�� x�� x�� � � � adalah bi�
langan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdenisi pada titik�titik ini�
maka ada dengan tungggal suatu polinomial p�x� berderajad paling besar n yang
memenuhi sifat�sifat berikut
f�x� � p�x�
dimana
pk�x� � f�x��Ln���x� � � � �� f�xn�Ln�n�x� �
nXk��
f�xk�Ln�k�x�
dan
Ln�k�x� �
nYi��
i��k
�x� xi�
�xk � xi�
untuk k������� � � � � n
Dalam hal ini Ln�k�x� dapat ditulis dngan Lk�x� bila dianggap rancu dengan
pengertian derajad n Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut�
Ln�k�xi� �
�����
� jika i �� k
� jika i � k
Contoh � Gunakan titik�titik x� � �� x� � ��� dan x� � � untuk menentukan
interpolasi polinomial kedua terhadap f�x� � ��x�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Solusi �
L��x� ��x� �����x� ��
��� ������� ��� �x� ����x� ��
L��x� ��x� ���x� ��
����� ������� ���
���x� ���x� �
L��x� ��x� ���x� ����
��� ����� �����
�x� ����x� �
jika f�x�� � f��� � ���� f�x�� � f����� � ���� f�x�� � f��� � ����� maka didapat
p��x� �
�Xk��
f�xk�Lk�x�
� �����x� ����x� ��� � ������x� ���x� �
� ����
�x� ����x� �
� �����x� ������x� ����
Interpolasi oleh p��x� terhadap f�x� dapat digambarkan dibawah ini
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
f(x)
p2(x)
Gambar �� Interpolasi polinomial Lagrange p��x� terhadap f�x�
����� Difrensi Terpisah
Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan
mengekspresikan bentuk pn�x� dalam
pn�x� � a� � a��x� x�� � a��x� x���x� x�� � � � �
�an�x� x���x� x�� � � � �x� xn��� ���
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
dimana a�� a�� � � � � an adalah konstanta
Selanjutnya bila kita tentukan x � x� maka persamaan ��� menjadi
pn�x�� � a� � f�x�� f �x� � ���
dan x � x� maka
pn�x�� � a� � a��x� � x�� � f�x���
pn�x�� � f�x�� � a��x� � x�� � f�x���
sehingga
a� �f�x��� f�x��
x� � x� f �x�� x� � ���
dengan demikian dapat dikatakan
f �xi� xi�� �f �xi�� � f �xi
xi�� � xi���
dan
f �xi� xi��� xi�� �f �xi��� xi�� � f �xi� xi��
xi�� � xi����
sehingga difrensi terpisah ke k
f �xi� xi��� � � � � xi�k �f �xi��� xi��� � � � � xi�k � f �xi� xi��� � � � � xi��k���
xi�k � xi� ����
Dan terakhir persamaan ��� menjadi
pn�x� � f �x� � f �x�� x� �x� x�� � f �x�� x�� x� �x� x���x� x�� � � � �
�f �x�� x�� � � � � xn �x� x���x� x�� � � � �x� xn��� ����
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Selanjuntya untuk
x � x� � sh
x � xi � �s� i�h atau h �x� xis� i
� i � �� �� �� � � � � n
maka
pn�x� � pn�x� � sh�
� f �x� � shf �x�� x� � s�s� ��h�f �x�� x�� x� � � � � � s�s� �� � � �
�s� �n� ���hnf �x�� x�� � � � � xn ���
�
nXk��
s�s� �� � � � �s� k � ��hkf �x�� x�� � � � � xk ����
Bukti
Pada suku kedua dari persamaan ��� h dapat diganti dengan h � x�x�s
� pada
suku ketiga h� dapat diganti dengan h � h �
�x�x�s
��x�x�s��
�begitu juga suku
keempat� kelima dan seterusnya
Sekarang kita nyatakan ���� dalam ekspresi
pn�x� � pn�x� � sh� �
nXk��
B s
k
�CA k�hkf �x�� x�� � � � � xk
dimana B s
k
�CA �
s�s� �� � � � �s� k � ��
k�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut
�f�xn� � f�xn���� f�xn�
f �x�� x� �f�x��� f�xn�
x� � x��
�
h� f�x��
f �x�� x�� x� �f �x�� x� � f �x�� x�
x� � x��
�
�h��
h� f�x���
�
h� f�x��
��
�h�� f�x��
sehingga
f �x�� � � � � xk ��
k�hk�k f�x�� ����
Substitusikan ini kedalam persamaan
pn�x� � pn�x� � sh� �
nXk��
B s
k
�CA k�hkf �x�� x�� � � � � xk
maka diperoleh bentuk
pn�x� � pn�x� � sh� �Pn
k��
B s
k
�CA�k f�x���
Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton �NFDD� Untuk
mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju seba�
gaimana tabel �
Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu xn� xn��� xn��� � � � � x�� maka pn�x�
dapat dinyatakan dalam
pn�x� � a� � a��x� xn� � a��x� xn��x� xn��� � � � �
�an�x� xn��x� xn��� � � � �x� x�� ����
dimana a�� a�� � � � � an adalah konstanta
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
x f�x� D T I D T II D T IIIx� f �x�
f �x�� x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� x� f �x�
Tabel �� Difrensi terpisah langkah maju
Misal kita tentukan x � xn maka persamaan ���� menjadi
pn�xn� � a� � f�xn� f �xn � ����
dan untuk x � xn�� maka
pn�xn��� � a� � a��xn�� � xn� � f�xn����
pn�xn��� � f�xn� � a��xn�� � xn� � f�xn����
sehingga
a� �f�xn���� f�xn�
xn�� � xn�
f�xn�� f�xn���
xn � xn�� f �xn� xn�� � ����
Dengan demikian persamaan ���� menjadi
pn�x� � f �xn � f �xn� xn�� �x� xn� � f �xn� xn��� xn�� �x� xn��x� xn��� � � � �
�f �xn� xn��� � � � � x� �x� xn��x� xn��� � � � �x� x�� ����
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Selanjutnya untuk
x � xn � sh
x � xn�i � �s� i�h atau h �x� xn�is� i
� i � �� �� �� � � � � n� �
maka
pn�x� � pn�xn � sh�
� f �xn � shf �xn� xn�� � s�s� ��h�f �xn� xn��� xn�� � � � � � s�s� �� � � �
�s� �n� ���hnf �xn� xn��� � � � � x� ����
�
nXk��
s�s� �� � � � �s� k � ��hkf �xn� xn��� � � � � x�
Bukti
Pada suku kedua dari persamaan ���� h dapat diganti dengan h � xn�xn��s
�
pada suku ketiga h� dapat diganti dengan h � h �
�xn�xn��
s
��x�xn��s��
�begitu
juga suku keempat� kelima dan seterusnya
Sehingga kita memiliki ekspresi
pn�x� � pn�x� � sh� �
nXk��
����k
B �s
k
�CA k�hkf �xn� xn��� � � � � x�
dimana B s
k
�CA � ����k
s�s� �� � � � �s� k � ��
k�
Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur
�f�xn� � f�xn�� f�xn���� n �
�kf�xn� � ���k��f�xn��� k �
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL
maka
f �xn� xn�� �f�xn�� f�xn���
xn � xn���
�
h� f�xn�
f �xn� xn��� xn�� �f �xn� xn�� � f �xn��� xn��
xn � xn���
�
�h��� f�xn�
dan akhirnya
f �xn� xn��� � � � � x� ��
k�hk�k f�xn� ����
Substitusikan ini kedalam persamaan
pn�x� � pn�x� � sh� �
nXk��
����k
B �s
k
�CA k�hkf �xn� xn��� � � � � x�
maka diperoleh bentuk
pn�x� � pn�x� � sh� �Pn
k������k
B �s
k
�CA�k f�xn��
Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton �NBDD�
Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur
sebagai berikut�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
x f�x� D T I D T II D T IIIx� f �x�
f �x�� x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�
x��x�
x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�
x��x�
f �x�� x� x� f �x�
Tabel �� Difrensi terpisah langkah mundur
Contoh � Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi
x f�x��� ��������� ���������� ���������� ���������� ������
terpisal langkah maju p� terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi
dari f������
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Solusi � Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel
berikut ini
i xi f �xi FDD I FDD II FDD III FDD IV� �� ��������
��������� � �������� �������
��������� ��������� �� �������� ������� ��������
��������� �������� �� �������� �������
���������� �� ������
Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut
p��x� � ���������� ���������x� ����� ��������x� �����x� ��� � ���������
��x� �����x� ����x� ���� � ����������x� �����x� ����x� �����x� ����
Selanjutnya dapat ditentukan
f����� p������ � ���������
Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p��x� menginterpolasi data f�x�
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p4(x)
Gambar � Approksimasi NFDD p��x�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
����� Interpolasi Splin Kubik
De�nisi ����� Fungsi f terdenisi pada interval �a� b dan diberikan himpunan
titik x�� x�� � � � � xn dimana a � x� x� � � � xn � b� maka interpolasi splin
kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini
�� S�x� adalah fungsi polinomial kubik� dinotasikan dengan Sj�x�� yang ter�
denisi pada subinterval �xj� xj�� untuk masing�masing j � �� �� � � � � n� �
�� S�xj� � f�xj� untuk setiap j � �� �� � � � � n
�� Sj���xj��� � Sj�xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �
� S �j���xj��� � S �j�xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �
�� S ��j���xj��� � S ��j �xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �
�� dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi
�a� S ���x�� � S ���xn� � � �sarat batas bebas atau alami�
�b� S ��x�� � f ��x�� dan S ��xn� � f ��xn� �sarat batas terikat�
Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin
Alami� dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin
Terikat
Splin Kubik Alami
Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial
kubik
Sj�x� � aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�
�� j � �� �� � � � � n� �����
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Untuk x � xj� maka
Sj�xj� � aj � f�xj� ���
dan untuk x � xj�� maka
aj�� � Sj���xj��� � Sj�xj��� � aj � bj�xj�� � xj� � cj�xj�� � xj�� � dj�xj�� � xj�
�
j � �� �� � � � � n� � Bila hj � xj�� � xj
aj�� � aj � bjhj � cjh�j � djh
�j � j � �� �� � � � � n� � ����
Sekarang dide�nisikan bn � S �n�x� dan turunan pertama ���� adalah
S �j�x� � bj � �cj�x� xj� � dj�x� xj��
sehingga
bj�� � S �j���xj��� � S �j�xj���� �lihat poin� � pada de�nisi�
� bj � �cjhj � djh�j � j � �� �� � � � � n� �� ����
Sekarang permisalkan c � S��n�x��
� dan turunan kedua dari ���� adalah
S ��j �x� � �cj � �dj�x� xj�
sehingga
cj�� � cj � djhj
dj ��cj�� � cj�
hj����
Substitusikan persamaan ini ke ����dan ���� didapat
aj�� � aj � bjhj � cjh�j �
�cj�� � cj�h�j
hj�
� aj � bjhj �h�j��cj � cj��� ����
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
dan
bj�� � bj � �cjhj � �cj�� � cj�h
�j
hj�
� bj � hj�cj � cj��� ����
Ekspresikan persamaan ���� dalam bj dan kemudian reduksi indeknya satu kali
bj ��
hj�aj�� � aj��
hj��cj � cj���� ����
bj�� ��
hj���aj � aj����
hj��
��cj�� � cj�� ���
Reduksi juga indek dari persamaan ���� satu kali
bj � bj�� � hj���cj�� � cj� ���
Substitusikan ���� dan ��� ke ���
�
hj�aj�� � aj��
hj��cj � cj��� �
�
hj���aj � aj����
hj��
��cj�� � cj�
�hj��
��cj�� � cj��
Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri
hj��
��cj�� � cj�� hj���cj�� � cj��hj��cj � cj��� � �
�
hj�aj�� � aj�
��
hj���aj � aj���
�hj����cj�� � cj� � hj���cj�� � cj� � hj��cj � cj��� �
hj�aj�� � aj�
�
hj���aj � aj���
Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koe�sien c
hj��cj�� � ��hj�� � hj�cj � hjcj�� �
hj�aj�� � aj��
hj���aj � aj���� ���
dimana j � �� �� � � � � n� �
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Splin kubik alami memenuhi kondisi S ���x�� � S ���xn� � �� dengan demikian
masing�masing j dapat diformulasikan sebagai berikut
j � �� c� � ��
j � �� h�c� � ��h� � h��c� � h�c� �
h��a� � a���
h��a� � a���
j � �� h�c� � ��h� � h��c� � h�c� �
h��a� � a���
h��a� � a��� �
j � n� �� hn��cn�� � ��hn�� � hn���cn�� � hn��cn �
hn���an � an���
�
hn���an�� � an����
j � n� cn � ��
Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable cj yang akan dicari� dengan
kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu
sistem linier Ax � b� dimana
A �
� �
� � � �
h� ��h� � h�� h�
� h� ��h� � h�� h�
�
hn�� ��hn�� � hn��� hn��
� � � �
������������������
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
dan
b �
� �
�
�h��a� � a���
�h��a� � a��
�h��a� � a���
�h��a� � a��
�hn��
�an � an�����
hn���an�� � an���
�
������������������
� x �
� �
c�
c�
c�
cn��
cn
������������������
Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan
diagonak utama �strictly diagonally dominant�� diluar itu nilainya nol Hal ini
membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x Dengan menggunakan metoda
iteratif� sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah
Algoritma splin kubik alami
INPUT n�x�� x�� � � � � xn� a� � f�x��� � � � � an � f�xn�
OUTPUT aj� bj � cj� dj � untuk j � �� �� � � � � n� ��Catatan � Sj�xj� �
aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�
� untuk xj � x � xj����
Step � for i � �� �� � � � � n� � dan Set hi � xi�� � xi�
Step � for i � �� � � � � n� � dan Set
�i �
hi�ai�� � ai��
hi���ai � ai���
Step Set l� � ��Langkah ���� dan sebagian dari � adalah algoritma
untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax � b�
�� � ��
z� � ��
Step � for i � �� �� � � � � n� �
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
set li � ��xi�� � xi���� hi���i���
�i � hi�li�
zi � ��i � hi��zi����li�
Step � Set ln � ��
zn � ��
cn � ��
Step � for j � n� �� n� �� � � � � �
set cj � zj � �jcj���
bj � �aj�� � aj��hj � hj�cj�� � �cj���
dj � �cj�� � cj���hj��
Step � OUTPUT�aj� bj� cj� dj � untuk j � �� �� � � � � n� ���
STOP
Contoh � Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini
xj aj � f�xj�� �� �� �
Solusi � Polinomial kubik dalam hal ini adalah
Sj�xj� � aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�
��
dimana j � �� � � � � n � �� Karena n � maka j � �� �� dengan asumsi j � � �
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
c� � � dan j � � c� � � sehingga
A �
� �
� � � �
h� ��h� � h�� h� �
� h� ��h� � h�� h�
� � � �
����������
dan
b �
� �
�
�h��a� � a���
�h��a� � a��
�h��a� � a���
�h��a� � a��
�
����������� x �
� �
c�
c�
c�
c�
����������
Dengan memasukkan nilai hj dan aj dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai
berikut
A �
� �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
����������
dan
b �
� �
�
��
�
����������
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut
x �
� �
c�
c�
c�
c�
�����������
� �
�
����
�����
�
����������
Sedang bj dan dj dapat dihitung dengan menggunakan rumus ������ dan �������
Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut
xj aj bj cj dj� � �� � ������� � �� ��� ��� �� ���� ������ � � � �
Grak dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data ����
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1
0
1
2
3
4
5
S3(x)
Gambar �� Approksimasi spline kubik S��x�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
��� Solusi Iteratif Integral Terbatas
Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai Inte�
grasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral di�
mana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau
fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan Suatu metoda yang cukup
dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur Metoda ini menggunakan rumus
jumlahPn
i�� aif�xi� untuk menghitung nilai approksimasi terhadapR b
af�x�dx
Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan
pengembangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap
merupakan fungsi approksimasi yang terbaik p� Prosedur penurunannya diawali
dengan menentukan himpunan titik�titik berbeda x�� � � � � xn dari interval �a� b �
selanjutnya mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemeng�
galannya dalam interval �a� b
Pn�x� �
nXi��
f�xi�Li�x�
Z b
a
f�x�dx �
Z b
a
nXi��
f�xi�Li�x�dx�
Z b
a
nYi��
�x� xi�fn�����x��
�n� ���dx
�
nXi��
aif�xi� ��
�n� ���
Z b
a
nYi��
�x� xi�fn�����x��dx�
dimana ��x� � �a� b untuk setiap x dan
ai �
Z b
a
Li�x�dx untuk setiap i � �� �� �� � � � � n�
Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah
Z b
a
f�x�dx
nXi��
aif�xi��
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
dengan kesalahan
E�f� ��
�n� ���
Z b
a
nYi��
�x� xi�f�n������x��dx�
Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk
mengatasi permasalahan yang lebih komplek Bila kita cermati formulasi kesala�
hannya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret
Taylor yang belum diekpansi� sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor
yang belum terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksi�
masinya hanya berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel Metoda lain
yang dipandang lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson Aturan ini
dikembangkan dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua
pada himpunan titik�titik sampel Misal kita notasikan x� � a� x� � b� h � b� a
dan polinomial Lagrange linier
P��x� ��x� x��
�x� � x��f�x�� �
�x� x��
�x� � x��f�x���
maka Z b
a
f�x�dx �
Z x�
x�
��x� x��
�x� � x��f�x�� �
�x� x��
�x� � x��f�x��
�dx
��
�
Z x�
x�
f �����x���x� x���x� x��dx� ��
Jika �x� x���x� x�� tidak berubah tanda dalam interval �x�� x� maka teorema
nilai �weighted mean� untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya
sehingga diperolehZ x�
x�
f �����x���x� x���x� x��dx � f �����
Z x�
x�
�x� x���x� x��dx
� f �����
�x�
�
�x� � x��
�x� � x�x�x
�x�x�
� �h�
�f ������
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Sebagai konsukwensinya �� akan menjadi
Z b
a
f�x�dx �
��x� x��
�
��x� � x��f�x�� �
�x� x���
��x� � x��f�x��
�x�x�
�h�
��f �����
�x� � x�
��f�x�� � f�x�� �
h�
��f ������
Dengan demikian untuk h � x� � x� kita mendapatkan rumus berikut ini
Aturan Trapesium
R b
af�x�dx � h
��f�x�� � f�x�� �
h�
��f ����� ���
Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi posi�
tif� makaR b
af�x�dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium seba�
gaimana digambarkan dalam Gambar �
f
P_1
a=x_0 b=x_1
y
x
Gambar �� Aturan Trapesium
Bila kita perhatikan rumus diatas� dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trape�
sium itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan
keduanya adalah sama dengan nol �sebarang polinomial berorder satu atau ku�
rang�� karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f �� Dengan kata lain aturan
Trapesium dikatakan berorder satu� dan suku kesalahan pemenggalannya adalah
suatu fungsi O�h�� Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
juga tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan�persoalan yang sangat
komplek memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan
aturan lainnya Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson
Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua
dalam batas �a� b dengan beberapa titik x� � a� x� � b dan x� � a � h� untuk
h � �b�a��
� lihat Gambar � Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam
P��x� ��x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x�� �
�x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x��
��x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x��
Sehingga
Z b
a
f�x�dx �
��x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x�� �
�x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x��
��x� x���x� x��
�x� � x���x� � x��f�x��
�dx
�
Z x�
x�
�x� x���x� x���x� x��
�f ������x��dx�
f
P_1
a=x_0 b=x_2
y
xx_1
Gambar �� Aturan Simpson
Sebagaimana aturan Trapesium� penentuan orde aturan Simpson juga dapat
dilihat dari suku kesalahannya Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada
suku kesalahan O�h�� yaitu hanya meliputi f ��� sehingga aturan Simpson yang
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
diturunkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua Versi yang lebih baik
dari aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi
polinomial Taylor ketiga f terhadap x� Misalkan masing�masing x � �a� b ada
bilangan ��x� � �x�� x�� maka ekspansi Taylor
f�x� � f�x�� � f ��x���x� x�� �f ���x��
��x� x��
� �f ����x��
��x� x��
�
�f ������x��
���x� x��
�
dan
Z x�
x�
f�x�dx �
�f�x���x� x�� �
f ��x��
��x� x��
�
�f ���x��
��x� x��
� �f ����x��
���x� x��
�
�x�x�
��
��
Z x�
x�
f ������x���x� x���dx ���
Karena �x� x��� tidak pernah bernilai negatif pada interval �x�� x� � maka teori
nilai �Weighted Mean� untuk integral akan menjadi
�
��
Z x�
x�
f ������x���x� x���dx �
f �������
��
Z x�
x�
�x� x���dx
�f �������
����x� x��
�
����x�
x�
untuk sebarang �� � �x�� x��
Sementara kita tahu bahwa h � x� � x� � x� � x�� sehingga
�x� � x��� � �x� � x��
� � �x� � x��� � �x� � x��
� � �
�x� � x��� � �x� � x��
� � �h� dan �x� � x��� � �x� � x��
� � �h�
Sebagai konsukwensinya persamaan ��� dapat ditulis sebagai
Z x�
x�
f�x�dx � �hf�x�� �h�
f ���x�� �
h�
��f ������� ���
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Disisi lain kita memiliki ekspresi
f�x� � h� � f�x�� � f ��x��h��
�f ���x��h
� ��
�f ����x��h
� ��
��f �������h
�
f�x� � h� � f�x�� � f ��x��h��
�f ���x��h
� ��
�f ����x��h
� ��
��f ��������h
�
dimana x��h ��� x� �� x��h Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi
Taylor ini
f�x� � h� � f�x� � h� � �f�x�� � f ���x��h� �
�
���f �������� � f ��������� h
�
Sederhanakan untuk f ���x�� didapat
f ���x�� ��
h��f�x� � h�� �f�x�� � f�x� � h� �
h�
���f �������
�f ��������� � ���
Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f ��� � C�x�� h� x�� h maka
f ������ ��
��f �������� � f ��������� �
Dengan demikian kita dapat menulis ��� sebagai
f ���x�� ��
h��f�x� � h�� �f�x�� � f�x� � h� �
h�
��f ������� ���
untuk sebarang � � �x� � h� x� � h� Pada akhirnya ��� dapat ditulis dengan
mengganti f ���x�� dengan persamaan ��� adalah
Z x�
x�
f�x�dx � �hf�x�� �h�
��
h��f�x��� �f�x�� � f�x��
�h�
���f �������
��
h�
��f �������
�h�
�f�x�� � �f�x�� � f�x�� �
h�
��
��
f ��������
�
�f �������
�
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi �� dan �� dengan
� � �x�� x�� sehingga aturan Simpson secara umum adalah
Aturan Simpson
R x�
x�f�x�dx � h
��f�x�� � �f�x�� � f�x�� �
h�
�f ������ ���
Secara de�nitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer
keakuratan suatu teknik approksimasi Semakin tinggi order itu berarti semakin
luas ekspansi suku kesalahannya� akibatnya kesalahan pemenggalan semakin ke�
cil Sebagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires de�nisi derajad keakuratan
dapat dijelaskan sebagai berikut�
De�nisi ����� �Derajad keakuratan atau presesi� Derajad keakuratan atau
presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian
hingga formula itu eksak untuk xk� dimana k � �� �� � � � � n ����� � ����
Dengan de�nisi ���� ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing�
masing aturan� maka aturan Trapesium dan Simpson masing�masing mempunyai
derajad presesi satu dan tiga Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simp�
son akan lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium Artinya aturan
Simpson dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai in�
tegral untuk jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
Latihan Tutorial �
� Buktikan bahwa jjf jj � maxa�x�bjf�x�j merupakan norm pada C�a� b
� JikaA � IRN�N �A � AT danA de�nit positif matrik� yakni xTAx � � un�
tuk seberang vektor x� maka buktikan bahwa jjxjjA � �xTAx��
� merupakan
norm pada IRN
Mana diantara berikut ini merupakan norm
�a� dalam IR�� jjxjj � maxfjx�j� �jx�j� �jx�j� jx�jg
�b� dalam IRN � jjajj � max��x�� jPn
k�� akxk��j
� Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f � C�a� b Selanjutnya
tunjukkan bahwa untuk jjgjjp �
�R b
aw�x�jg�x�jpdx
� �
p
dimana � � p � �
dan diberikan � � �� maka �N � N��� dan polinomial pN�x� sedemikian
hingga
jjf � pN jj � K�
p ��
untuk sebarang konstanta K � �
� Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu� dua dan tiga untuk
menentukan nilai aproksimasi dari masing�masing dibawah ini
�a� tentukan nilai dari f����� bila diketahui f����� � ��������� f���� �
��������� f����� � �������� dan f����� � ��������
�b� tentukan nilai dari f������ bila diketahui f����� � ������������ f����� �
����������� f���� � ���������� dan f����� � ����������
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
�c� tentukan nilai daricos ����� bila diketahui cos ����� � ������� cos ��� �
������ cos ����� � ����� dan cos ���� � ������
� Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut
�a� f�x� � e�x cos x� x� � �� x� � ��� x� � ���
�b� f�x� � sin ln x� x� � ���� x� � ���� x� � ���
�c� f�x� � cosx� sin x� x� � �� x� � ����� x� � ���� x� � ���
�d� f�x� � e�x cos x� x� � �� x� � ��� x� � ���
� Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan
x �� �� �� �� ��f�x� ������ ������ ������ ������ ������
�a� nilai dari f������ dengan menggunakan NFDD
�b� nilai dari f������ dengan menggunakan NBDD
� Polinomial berderajad empat p�x� memenuhi sifat ��p��� � �����p��� �
�� dan ��p��� � � dimana �p�x� � p�x� ��� p�x� Hitung ��p����
� Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi
terhadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p Selanjutnya akurasi
interpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p� secara matematis
ditulis dengan jjf � pjj �dibaca � norm�f�p�� Sebutkan de�nisi norm ini�
baik vektor ataupun matrik Kemudian dengan pemahaman akan norm ini
sebutkan apa sebenarnya inti permasalahan �konsep masalah� dalam
aproksimasi itu Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �
fungsi yang terbaik Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang
dapat digunakan untuk menginterpolasi fungsi f itu� sebutkan nama
nama fungsi aproksimasi tersebut Salah satu fungsi aproksimasi yang
�eksibel adalah splin kubik Dengan data dibawah ini tentukan fungsi
aproksimasi splin kubik untuk menginterpolasi data f�xj� dimana xj �
�� �� �
xj aj � f�xj�� �� �� �
�� Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi�fungsi berikut ini
�a� f�x� � x ln x� dan tentukan f����� dan f ������
�b� f�x� � sin�ex � ��� dan tentukan f����� dan f ������
�c� f�x� � x cosx� �x� � x� �� dan tentukan f������ dan f �������
�� Splin kubik alami S pada interval ��� � dide�nisikan sebagai
S�x� �
�����
S��x� � � � �x� x� jika � � x ��
S��x� � a� b�x� �� � c�x� ��� � d�x� ��� jika � � x ��
tentukan nilai dari a� b� c� dan d
�� Berikut ini disajikan konstruksi automobile� gunakan splin kubik untuk
menginterplosi permukaan atas automobile tersebut
� Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat ter�
tentu t� sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut Selanjutnya
BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��
x_0 x_1x_2
x_3 x_4
x_5
...
x_n
Gambar �� Konstruksi automobile
Waktu �jam� � � � �Jarak �km� � ��� � �� ��Kecepatan �� �� �� �� ��
�a� gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarak yang ditempuh mobil
dan kecepatan pada saat mobile melaju selama �� jam
�b� Tentukan kecepatan maksimum dari laju mobil tersebut