Upload
votuyen
View
235
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
60
BAB III
Transportasi
1. Metode Transportasi
Metode transportasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari
sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama atau sejenis ke tempat tujuan
secara optimal. Distribusi ini dilakukan sedemikian rupa sehingga permintaan dari
beberapa tempat tujuan dapat dipenuhi dari beberapa tempat asal yang masing-masing
dapat memiliki permintaan atau kapasitas yang berbeda. Dengan menggunakan metode
transportasi, dapat diperoleh suatu alokasi distribusi barang yang dapat meminimalkan
total biaya transportasi. Selain untuk mengatur distribusi pengiriman barang, metode
transportasi juga dapat digunakan untuk masalah lain, seperti penjadwalan dalam proses
produksi agar memperoleh total waktu proses pengerjaan yang terendah, penempatan
persediaan agar mendapatkan total biaya persediaan terkecil, atau pembelanjaan modal
agar mendapatkan hasil investasi yang terbesar. Dalam kaitannya dengan perencanaan
fasilitas, metode transportasi dapat digunakan untuk memilih suatu lokasi yang dapat
meminimalkan total biaya operasi.
Suatu perusahaan memerlukan pengelolaan data dan analisis kuantitatif yang akurat,
cepat serta praktis dalam penggunaannya. Dalam perhitungan secara manual
membutuhkan waktu yang lebih lama, sementara pertimbangan efisiensi waktu dalam
perusahaan sangat diperhatikan. Dengan demikian diperlukan adanya suatu alat, teknik
maupun metode yang praktis, efektif dan efisien untuk memecahkan permasalahan
tersebut.
2. Permasalahan dalam Metode Transportasi
Masalah ini merupakan masalah pengangkutan sejenis barang dari beberapa sumber ke
beberapa tujuan. Pengalokasian produk dari sumber yang bertindak sebagai penyalur ke
tujuan yang membutuhkan barang bertujuan agar biaya pengangkutannya seminimal
mungkin dari seluruh permintaan dari tempat tujuan dipenuhi. Model transportasi
61
digunakan untuk menyelesaikan masalah distribusi barang dari beberapa sumber ke
beberapa tujuan. Asumsi sumber dalam hal ini adalah tempat asal barang yang hendak
dikirim, sehingga dapat berupa pabrik, gudang, grosir, dan sebagainya. Sedangkan tujuan
diasumsikan sebagai tujuan pengiriman barang. Dengan demikian informasi yang harus
ada dalam masalah transportasi meliputi: banyaknya daerah asal beserta kapasitas
barang yang tersedia untuk masing tempat, banyaknya tempat tujuan beserta permintaan
(demand) barang untuk masing-masing tempat dan jarak atau biaya angkut untuk setiap
unit barang dari suatu tempat asal ke tempat tujuan.
Untuk lebih jelasnya marilah kita bahas contoh masalah transportasi yang terlihat
pada Tabel 1.1. berikut:
Tabel 1.1 Kapasitas pabrik, Permintaan di Lapangan (Demand), dan biaya satuan
pengangkutan
Origin
(Tempat
Asal)
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik
D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1
8 1 6 6 7
90 O2
1 12 4 7 7
70 O3
10 15 6 9 1
90 O4
Demand
(Permin-
taan)
80 50 90 60 70 350
Tabel 1.1. di atas menggambarkan bahwa jumlah kapasitas pabrik O1, O2, O3, dan
O4 berturut-turut: 100, 90, 70, dan 90, sedangkan permintaan pasar di lapangan D1, D2, D3,
D4, dan D5 berturut-turut 80, 50, 100, 60, dan 70. Biaya satuan dari pabrik O1 ke
62
permintaan D1 adalah 12, biaya satuan dari pabrik O1 ke permintaan D2 adalah 4, dan
seterusnya, sampai biaya satuan dari pabrik O3 ke permintaan D5 adalah 1. Untuk
menyelesaikan permasalahan transportasi ini ada beberapa metode antara lain: Metode
North West Corner (NWC), metode Inspeksi, dan metode pendekatan Vogel (Vogel
Approximation Methods atau disingkat VAM).
a. Beberapa Metode dalam Penyelesaian Masalah Transportasi (Penyelesaian awal)
i. North West Corner (NWC)
Sesuai nama aturan ini, maka penempatan pertama dilakukan di sel paling kiri dan
paling atas (northwest) matriks kemudian bergerak ke kanan atau ke bawah sesuai
permintaan dan kapasitas produksi yang sesuai.
Besar alokasi ini akan mencukupi salah satu, kapasitas tempat asal baris pertama
dan atau permukaan tempat tujuan dari kolom pertama. Jika kapasitas tempat asal
pertama terpenuhi kita bergerak ke bawah menyusur kolom pertama dan menentukan
alokasi yang akan mencukupi atau kapasitas tempat asal baris kedua atau mencukupi
tujuan yang masih kurang dari kolom pertama. Di lain pihak, jika alokasi pertama
memenuhi permintaan tempat tujuan di kolom pertama, kita bergerak ke kanan di baris
pertama dan kemudian menentukan alokasi yang kedua atau yang memenuhi kapasitas
tersisa dari baris satu atau memenuhi permintaan tujuan dari kolom dua dan seterusnya.
Untuk masalah seperti pada Table 1.1 di atas, maka apabila diselesaikan dengan metode
NWC akan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Penggunaan metode NWC mengharuskan sel O1 D1, yang terletak di sudut kiri atas diisi.
Alokasi diterapkan X11 = 80 unit untuk memenuhi permintaan yang ternyata lebih kecil dari
kapasitas O1. Ini berarti permintaan tujuan D1= 80 dapat dipenuhi dari O1. Ternyata
produksi O1 masih mempunyai (100 - 80) = 20 unit kapasitas yang belum disalurkan. Sisa
yang 20 unit ini di alokasikan kepada permintaan D2 yang permintaannya 50 unit. Untuk
memenuhi kekurangan kebutuhan D2, yaitu kurang 30 unit maka diambil dari D2 dengan
demikian maka sel O1D2 atau X12 = 20 dan sel O2D2 atau X22 = 30. Sisa produksi D2
setelah dikurangi 30 unit adalat 60 unit, sisa ini di alokasikan ke sel O2D3 atau X23 yang
secara keseluruhan. Permintaan D3 adalah 90 unit dan telah tersedia 60 unit dari O2.
63
Kekurangan 30 unit diambilkan dari produksi O3 sehingga X23 = 70 dan X33 = 30. Sisa
produksi O3 sebanyak 40 unit yaitu (70-30) di alokasikan ke permintaan D4 dan permintaan
D4 sebanyak 60 unit dilengkapi dengan mengambil 20 unit dari produksi O4. Dengan
demikian produksi O4 tersisa 70 unit dialokasikan ke permintaan D5.
Tabel 2.1. Matriks biaya transportasi tiap barang dan jumlah alokasi distribusi barang dari tempat asal (pabrik) ke tempat tujuan (kota tujuan)
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1 80 20
8 1 6 6 7
90 O2 30 60
1 12 4 7 7
70 O3 30 40
10 15 6 9 1
90 O4 20 70
Permin-
taan
80 50 90 60 70 350
Berdasarkan Tabel 2.1 di atas diperoleh sistem transportasi sebagai berikut: Sel O1D1 atau
X11 = 80, sel O1D2 atau X12 = 20, sel O2D2 atau X22 = 30, sel O2D3 atau X23 = 60, sel O3D3
atau X33 = 30, sel O3D4 atau X34 = 40, sel O4D4 atau X44 = 20, dan sel O4D5 atau X45 = 70.
Besarnya biaya transportasi dengan metode NWC adalah
80 (12) + 20 (4) + 30 (1) + 60 (6) + 30 (4) + 40 (7) + 20 (9) + 70 (1) = 2.080.
ii. Metode Inspeksi
Metode ini untuk persoalan transportasi berdimensi kecil, hal ini akan memberikan
pengurangan waktu. Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya
pengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak mungkin dengan
mengingat persyaratan kapasitas produksi (origin) maupun permintaan tempat tujuan.
64
Kemudian beralih ke sel termurah berikutnya dan mengadakan alokasi dengan
memperhatikan kapasitas yang tersisa dari permintaan baris dan kolom. Dalam
perhitungannya metode ini membuat matriks sesuai dengan persyaratan. Untuk
permasalahan transportasi di atas apabila dilakukan dengan metode Inspeksi maka
langkah-langkahnya sebagai berikut:
Biaya terkecil adalah 1 yaitu pada sel O2D2, O3D1, dan O4D5. Sel-sel ini kita isi dengan
memperhatikan kapasitas dan permintaan, yaitu dengan mencari nilai minimum dari
keduanya.
Sel O2D2 kita isi 50, sehingga kapasitas O2 menjadi 40 dan permintaan D2 menjadi 0,
kemudian kolom D2 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya.
Sel O3D1 kita isi 70, sehingga kapasitas O3 menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 10,
kemudian baris O3 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya.
Sel O4D5 kita isi 70, sehingga kapasitas O4 menjadi 20 dan permintaan D5 menjadi 0,
kemudian kolom D5 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya.
Hasil perhitungan di atas ini dapat dilihat pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2.
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1
8 1 6 6 7 40
90 O2 50
1 12 4 7 7 0
70 O3 70
10 15 6 9 1 20
90 O4 70
Permin-
taan
10 0 0
80 50 90 60 70 350
65
Biaya terkecil selanjutnya adalah 5 yang terletak pada sel O1D4. Sel O1D4 kita isi minimum
dari kapasitas O1dan permintaan D4, sehingga kita isi dengan 60 unit. Dengan pengisian
60 unit pada sel O1D4 maka kapasitas O1 menjadi 40 dan permintaan D4 menjadi 0,
kemudian kolom D4 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Hasil
perhitungan ini dapat kita hihat pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3.
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik
D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40
100 O1 60
8 1 6 6 7 40
90 O2 50
1 12 4 7 7 0
70 O3 70
10 15 6 9 1 20
90 O4 70
Permin-
taan
10 0 50 30 0 0
80 50 90 60 70 350
Biaya terkecil selanjutnya adalah 6 yang terletak pada sel O2D3. dan sel O4D3. Sel O2D3
kita isi minimum dari sisa kapasitas O2 dan permintaan D3, sehingga kita isi dengan 40
unit. Dengan pengisian 40 unit pada sel O2D3 maka kapasitas O2 menjadi 0 dan
permintaan D3 menjadi 50, kemudian baris O2 kita tandai dan tidak kita olah pada program
selanjutnya. Sel O4D3 kita isi minimum dari sisa kapasitas O4 dan sisa permintaan D3,
sehingga kita isi dengan 20 unit. Dengan pengisian 20 unit pada sel O4D3 maka kapasitas
O4 menjadi 0 dan permintaan D3 menjadi 30, kemudian baris 42 kita tandai dan tidak kita
olah pada program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita hihat pada Tabel 2.4.
66
Tabel 2.4.
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40
100 O1 60
8 1 6 6 7 40
90 O2 50 40
1 12 4 7 7 0
70 O3 70
10 15 6 9 1 20
90 O4 20 70
Permin-
taan
10 0 50 30 0
80 50 90 60 70 350
Selanjutnya kekurangan dari permintaan D1 sebanyak 10 unit, dan kekurangan permintaan
D2 sebanyak 30 unit di alokasikan dari sisa produksi D1 yang besarnya 40 unit. Dengan
demikian maka semua permintaan maupun pemawaran telah selesai dan diperoleh Tabel
2.5 berikut.
Tabel 2.5.
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40
100 O1 10 30 60
8 1 6 6 7 40
90 O2 50 40
1 12 4 7 7 0
70 O3 70
10 15 6 9 1 20
90 O4 20 70
Permin-
taan
10 0 50 30 0 0
80 50 90 60 70 350
67
Berdasarkan Tabel 2.5 di atas diperoleh sistem transportasi sebagai berikut: X11 = 10, X13
= 30, X14 = 60, X22 = 50, X23 = 40, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 = 70. Besarnya biaya
transportasi dengan metode Inspeksi adalah
10 (12) + 30 (9) + 60 (5) + 50 (1) + 40 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70 (1) = 1240.
iii. Metode VAM ( Vogel Approximation Method)
Metode VAM ini didasarkan atas “beda kolom” dan “beda baris” yang menentukan
perbedaan antara dua ongkos termurah dalam satu kolom atau satu baris. Setiap
perbedaan dapat dianggap sebagai “penalti”, karena menggunakan route termurah. Beda
baris atau beda kolom berkaitan dengan penalti tertinggi, merupakan baris atau kolom
yang akan diberi alokasi pertama. Alokasi pertama ini, atau menghabiskan tempat
Kapasitas produksi, atau menghabiskan permintaan tujuan atau kedua-duanya.
Untuk memperjelas metode ini, marilah kita mengerjakan soal yang sama dengan diatas
dengan menggunakan metode VAM.
Masalah transportasi ini adalah:
Tabel 2.6.
Tempat
Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas
Pabrik
Beda
Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
O1 100
8 1 6 6 7
O2 90
1 12 4 7 7
O3 70
10 15 6 9 1
O4 90
Permin-
taan
80 50 90 60 70 350
Beda
Kolom
68
Besarnya beda baris dan beda kolom adalah sebagai berikut.
Tabel 2.7. Beda baris dan beda kolom.
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 4 dan 5 1 Baris O2 1 dan 6 5 Baris O3 1 dan 4 3 Baris O4 1 dan 6 5 Kolom D1 1 dan 8 7
Kolom D2 1 dan 4 3 Kolom D3 4 dan 6 2 Kolom D4 5 dan 6 1 Kolom D5 1 dan 7 6
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 7 yaitu pada kolom D1, biaya termurah kolom
D1 adalah 1 yaitu pada sel O3D1. Oleh karena itu sel O3D1 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum kapasitas O3 dan permintaan D1 yaitu 70. Dengan mengisi sel
O3D1 sebesar 70, maka kapasitas O3 menjadi 0 dan permintaan D1 menjadi 10. Dengan
demikian baris O3 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.8. Tabel 2.8.
Origin (Tempat
Asal)
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 O1 100 1
8 1 6 6 7 O2 90 5
1 12 4 7 7 O3 70 70 3
10 15 6 9 1 O4 90 5
Demand (Permin-
taan)
10
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
7 3 2 1 6
69
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 2.9. Beda baris dan beda kolom
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 4 dan 5 1 Baris O2 1 dan 6 5 Baris O4 1 dan 6 5 Kolom D1 8 dan 10 2 Kolom D2 1 dan 4 3 Kolom D3 6 dan 6 0 Kolom D4 5 dan 6 1 Kolom D5 1 dan 7 6
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 6 yaitu pada kolom D5, biaya termurah kolom
D5 adalah 1 yaitu pada sel O4D5. Oleh karena itu sel O4D5 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum kapasitas O4 dan permintaan D5 yaitu 70. Dengan mengisi sel
O4D5 sebesar 70, maka kapasitas O4 menjadi 20 dan permintaan D5 menjadi 0. Dengan
demikian kolom D5 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.10.
Tabel 2.10.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 O1 100 1
8 1 6 6 7 O2 90 5
1 12 4 7 7 0 O3 70 70
10 15 6 9 1 20 O4 70 90 5
Permin-taan
10 0
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
2 3 0 1 6
70
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 2.11. Beda baris dan beda kolom
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 4 dan 5 1 Baris O2 1 dan 6 5
Baris O4 6 dan 9 3 Kolom D1 8 dan 10 2 Kolom D2 1 dan 4 3 Kolom D3 6 dan 6 0 Kolom D4 5 dan 6 1
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 5 yaitu pada baris O2, biaya termurah kolom
O2 adalah 1 yaitu pada sel O2D2. Oleh karena itu sel O2D2 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum kapasitas O2 dan permintaan D2 yaitu 50. Dengan mengisi sel
O2D2 sebesar 50, maka kapasitas O2 menjadi 40 dan permintaan D2 menjadi 0. Dengan
demikian kolom D2 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.12.
Tabel 2.12.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 O1 100 1
8 1 6 6 7 40 O2 50 90 5
1 12 4 7 7 0 O3 70 70
10 15 6 9 1 20 O4 70 90 3
Permin-taan
10 0 0
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
2 0 1 6
71
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 2.13. Beda baris dan beda kolom.
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 4 dan 9 4 Baris O2 6 dan 6 0 Baris O4 6 dan 9 3 Kolom D1 8 dan 10 2 Kolom D3 6 dan 6 0 Kolom D4 5 dan 6 1
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada baris O1, biaya termurah baris
O1 adalah 5 yaitu pada sel O1D4. Oleh karena itu sel O1D4 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum sisa kapasitas O1 dan permintaan D4 yaitu 60. Dengan mengisi
sel O1D4 sebesar 60, maka kapasitas O1 menjadi 40 dan permintaan D4 menjadi 0.
Dengan demikian baris O4 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.14.
Tabel 2.14.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40 O1 60 100 4
8 1 6 6 7 40 O2 50 90 0
1 12 4 7 7 0 O3 70 70
10 15 6 9 1 20 O4 70 90 3
Permin-taan
10 0 0 0
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
2 0 1
72
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 2.15. Beda baris dan beda kolom.
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 9 dan 12 3 Baris O2 6 dan 8 2 Baris O4 6 dan 10 4 Kolom D1 8 dan 10 2 Kolom D3 6 dan 6 0
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada baris O4, biaya termurah baris
O4 adalah 6 yaitu pada sel O4D3. Oleh karena itu sel O4D3 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum sisa kapasitas O4 dan permintaan D3 yaitu 20. Dengan mengisi
sel O4D3 sebesar 20, maka kapasitas O4 menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 80.
Dengan demikian baris O4 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.16.
Tabel 2.16.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40 O1 60 100 3
8 1 6 6 7 40 O2 50 90 2
1 12 4 7 7 0 O3 70 70
10 15 6 9 1 20 0 O4 20 70 90 4
Permin-taan
10 0 70 0 0
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
2 0 1
73
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 2.17. Beda baris dan beda kolom.
Baris atau kolom Dua biaya termurah Beda baris atau beda kolom
Baris O1 9 dan 12 3 Baris O2 6 dan 8 2 Kolom D1 8 dan 12 4 Kolom D3 6 dan 9 3
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada kolom D1, biaya termurah kolom
O1 adalah 8 yaitu pada sel O2D1. Oleh karena itu sel O2D1 ini diisi terlebih dahulu, yang
besarnya adalam minimum sisa kapasitas O2 dan permintaan D1 yaitu 10. Dengan mengisi
sel O2D1 sebesar 10, maka kapasitas O2 menjadi 30 dan permintaan D1 menjadi 0.
Dengan demikian baris D1 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.18.
Tabel 2.18.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Beda Baris D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9 40 0 O1 40 60 100 3
8 1 6 6 7 40 30 O2 10 50 30 90 2
1 12 4 7 7 0 O3 70 70
10 15 6 9 1 20 0 O4 20 70 90
Permin-taan
10 0 0 70 0 0
80 50 90 60 70 350
Beda Kolom
4 3
Terakhir kekurangan kebutuhan D3 dicukupi oleh sisa dari O1 sebanyak 40 dan sisa O2
sebanyak 30. Dengan demikian kita peroleh sistem transportasi sebagai berikut: X13 = 40,
74
X14 = 60, X21 = 10, X22 = 50, X23 = 30, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 = 70. Besarnya biaya
transportasi dengan metode VAM adalah
40 (9) + 60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70 (1) = 1230.
b. Menentukan Nilai Optimal
Dari ketiga metode tersebut di atas dapat kita lihat bahwa metode yang paling sederhana
adalah metode NWC, tetapi hasil dari metode ini umumnya kurang memuaskan.
Sedangkan dengan metode VAM hasilnya paling baik, tetapi perhitungannya cukup rumit.
Metode Inspeksi secara perhitungan sederhana, tetapi hasilnya mendekati dengan matode
VAM.
Jika kita diberi pertanyaan, metode mana yang akan dipakai untuk menyelesaikan
masalah transportasi?. Maka jawabnya tergantung banyaknya sumber (banyaknya tempat
produksi), banyaknya tempat tujuan serta waktu yang disediakan untuk memutuskan.
Bilamana diberi waktu yang cukup, maka akan digunakan metode VAM, tetapi apabila
waktu untuk memutuskan sempit maka metode Inspeksi sudah cukup baik.
Masalah yang perlu ditanyakan lagi ialah apakah dengan metode Inspeksi atau VAM telah
mencapai biaya optimum?. Untuk menjawab pertanyaan ini, ada dua metode untuk
mengetahui apakah sudah optimum atau belum, untuk mengetahui optimalitas model
transportasi digunakan metode Steppingstone atau metode Modi.
i. Metode Steppingstone
Metode Steppingstone bekerja dengan mempertimbangkan ”opportinity cost” dari sel
kosong, yaitu berkurangnya biaya akibat pemindahan model pengangkutan bilamana sel
kosong itu diisi satu barang. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut:
Tabel 2.19. Menghitung opportunity cost sel kosong
Tempat Asal
Destination ( Tujuan)
Kapasitas D1 D2 D3
O1
10 5 7
100 60 10 30
O2
6 4 9
50 50
Permintaan 60 60 30
75
Dari Tabel 2.19 di atas, sel kosong adalah sel O2D1 dan sel O2D3, dengan biaya
transportasi = 60 (10) + 10 (5) + 30 (7) + 50 (4) = 1.060
Untuk sel O2D1.
Tabel 2.19.a.
D1 D2
O1 10 5
-1 +1
O2 6 4
+1 -1
Andaikan sel O2D1 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O1D1 dan sel
O2D2 dikurangi satu dan sel O1D2 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D1 → O1D1
→ O1D2 → O2D2. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan
biaya adalah = 6 - 10 + 5 – 4 = -3. Jadi opportunity cost sel O2D1 adalah 3. Ini artinya
bahwa apabila kita mengisi sel O2D1 satu barang, maka terjadi pengurangan biaya
sebesar 3.
Untuk sel O2D3.
Andaikan sel O2D3 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D2 dan sel
O1D3 dikurangi satu dan sel O2D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D3 → O2D2
→ O1D2 → O1D3. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan
biaya adalah = 9 - 4 + 5 – 7 = 3. Jadi opportunity cost sel O2D3 adalah -3. Ini artinya bila
kita mengisi sel O2D3 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 3.
Dari perhitungan di atas, maka sel O2D1 harus diisi sebanyak mungkin, sedangkan sel
O2D3 tidak perlu diisi sebab apabila diisi akan menambah biaya (merugi). Banyaknya
barang yang dapat diisikan pada sel O2D1 adalah minimum isi sel yang terkurangi yaitu
O1D1 dan O2D2, jadi sel O2D1 dapat diisi sebesar 50, sehingga terbentuk Tabel 2.19.b.
76
Tabel 2.19.b.
Tempat Asal
Destination (Tujuan) Kapasitas
D1 D2 D3
O1 10
10 5
60 7
30 100
O2 6
50 4
9
50
Permintaan 60 60 30
Dari Tabel 2.19.b di atas, sel kosong adalah sel O2D2 dan sel O2D3.
Untuk sel O2D2.
Andaikan sel O2D2 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D1 dan sel
O1D2 dikurangi satu dan sel O1D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D2 → O2D1
→ O1D1 → O1D2. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan
biaya adalah = 4 - 6 + 10 – 5 = 3. Jadi opportunity cost sel O2D1 adalah -3. Ini artinya bila
kita mengisi sel O2D2 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 3.
Untuk sel O2D3.
Andaikan sel O2D3 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D1 dan sel
O1D3 dikurangi satu dan sel O1D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D3 → O2D1
→ O1D1 → O1D3. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan
biaya adalah = 9 - 6 + 10 – 7 = 6. Jadi opportunity cost sel O2D3 adalah -6. Ini artinya bila
kita mengisi sel O2D3 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 6.
Dari perhitungan ini, semua opportunity cost sel kosong adalah negatif, maka Tabel 2.19.b.
di atas telah optimal, dengan biaya transportasi = 10 (10) + 60 (5) + 30 (7) + 50 (6) = 910.
Ini cocok bila kita hitung dari 1060 – 910 = 150, berasal dari pemindahan 50 satuan barang
dengan opportunity cost 3.
Untuk kasus di atas, kita dapat bekerja mulai hasil dari NWC, Inspeksi, atau VAM. Apabila
kita mulai dari NWC, langkah pada metode NWC nya mudah, tetapi akan menjadi sukar
pekerjaan di Steppingstone, apabila kita mulai dari VAM, maka akan sukar pada langkah di
VAM nya, tetapi mudah pada langkah Steppingstone. Langkah yang cukup bijaksana
77
(meskipu tidak harus), adalah langkah awalnya dengan metode Inspeksi, sebab metode
Inspeksi perhitungannya mudah dan hasilnya sudah dekat dengan langkah pada VAM.
Dari langkah awal metode Inspeksi diperoleh hasil seperti Tabel 2.19.c.
Tabel 2.19.c
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1 10 30 60
8 1 6 6 7
90 O2 50 40
1 12 4 7 7
70 O3 70
10 15 6 9 1 90
O4 20 70
Permin-taan
80 50 90 60 70 350
Dari Tabel 2.19.c di atas kita buat tabel opportunity cost sel kosong seperti pada Tabel
2.19.d berikut:
Tabel 2.19.d. Hasil perhitungan opportunity cost sel kosong
No Sel
kosong Loop Perubahan biaya
Opportunity cost
1 O1D2 O1D2→O1D3→O2D3→O2D2 4-9+6-1=0 0 2 O1D5 O1D5→O4D5→O4D3→O1D3 9-1+6-9=5 -5 3 O2D1 O2D1→O1D1→O1D3→O2D3 8-12+9-6=-1 1 4 O2D4 O2D4→O2D3→O1D3→O1D4 6-6+9-5=4 -4 5 O2D5 O2D5→O4D5→O4D3→O2D3 7-1+6-6=6 -6 6 O3D2 O3D2→O3D1→O1D1→O1D3→O2D3→O2D2 12-1+12-9+6-1=19 -19 7 O3D3 O3D3→O3D1→O1D1→O1D3 4-1+12-9=6 -6 8 O3D4 O3D4→O3D1→O1D1→O1D4 7-1+12-5=13 -13 9 O3D5 O3D5→O4D5→O4D3→O1D3→O1D1→O3D1 7-1+6-9+12-1=14 -14 10 O4D1 O4D1→O1D1→O1D3→O4D3 10-12+9-6=1 -1 11 O4D2 O4D2→O2D2→O2D3→O4D3 15-1+6-6=14 -14 12 O4D4 O4D4→O4D3→O1D3→O1D4 9+6+9-5=7 -7
78
Dari tabel 2.19.d. di atas, terlihat bahwa opportunity cost terbesar adalah pada sel O2D1
sehingga sel ini harus diisi sebanyak mungkin. Sel ini diisi sebanyak minimun dari sel O1D1
dan O2D3 yaitu sebanyak 10. Sehingga Tabel 2.19.d. menjadi Tabel 2.19.e berikut:
Tabel 2.19.e.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1 40 60
8 1 6 6 7
90 O2 10 50 30
1 12 4 7 7
70 O3 70
10 15 6 9 1 90
O4 20 70
Permin-taan
80 50 90 60 70 350
Dari Tabel 2.19.e. di atas kita buat tabel opportunity cost semua sel kosong sehingga
diperoleh Tabel 2.19.f berikut:
Tabel 2.19.f.
No Sel
kosong Loop Perubahan biaya
Opportunity cost
1 O1D1 O1D2→O1D3→O2D3→O2D1 12-9+6-8=1 -1 2 O1D2 O1D2→O1D3→O2D3→O2D2 4-9+6-1=0 0 3 O1D5 O1D5→O4D5→O4D3→O1D3 9-1+6-9=5 -5 4 O2D4 O2D4→O2D3→O1D3→O1D4 6-6+9-5=3 -3 5 O2D5 O2D5→O4D5→O4D3→O2D3 7-1+6-6=6 -6 6 O3D2 O3D2→O3D1→O2D1→O2D3 12-1+8-1=18 -18 7 O3D3 O3D3→O3D1→O2D1→O2D3 4-1+8-6=5 -5 8 O3D4 O3D4→O3D1→O2D1→O2D3→O1D3→O1D4 7-1+8-6+9-5=12 -12 9 O3D5 O3D5→O4D5→O4D3→O2D3→O2D1→O3D1 7-1+6-6+8-1=13 -13 10 O4D1 O4D1→O2D1→O2D3→O4D3 10-8+6-6=2 -2 11 O4D2 O4D2→O2D2→O2D3→O4D3 15-1+6-6=14 -14 12 O4D4 O4D4→O4D3→O1D3→O1D4 9+6+9-5=7 -7
79
Dari Tabel 2.19.f. terlihat bahwa tidak ada lagi sel kosong yang mempunyai opportunity
cost positif, ini berarti bahwa Tabel 2.4.f telah optimal, dengan biaya transportasi =40 (9) +
60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70(1) = 1.230.
Sebagai catatan bahwa opportunity cost sel O1D2 adalah nol, ini berarti bahwa sel ini diisi
maupun tidak, tidak akan menambah atau mengurangi biaya transportasi.
ii. Modified Distribution Method (MODI)
Pada penyelesaian metode Steppingstone umumnya akan mengalami kesulitan utama
pada menentukan “loop”, apalagi kalau banyaknya sumber (tempat asal) atau tempat
tujuan banyak. Metode Modi meniadakan loop yang banyak, dimana pada metode Modi ini
setiap langkah mencari opportunity cost terbesar hanya memerlukan satu kali loop.
Untuk membahas metode ini, perlu dikenalkan beberapa istilah / singkatan yang akan
digunakan untuk merumuskan masalah transportasi.
Misalkan banyaknya tempat asal adalah m dan banyaknya tempat tujuan n, dan misalkan
Oi = tempat asal ke i, dimana i = 1, 2, ..., m.
Dj = tempat tujuan ke j, dimana j = 1, 2, ..., n.
Cij = besarnya biaya satuan pengiriman barang dari Oi ke Dj.
Vi = bilangan baris, dimana i = 1, 2, ..., m.
Uj = bilangan kolom, dimana j = 1, 2, ..., n.
Kij = bilangan sel kosong.
Langkah-langkah menghitung opportunity cost sel kosong.
1. Menghitung Vi dan Uj berdasarkan sel yang telah terisi sehingga dengan
hubungan Cij = Vi + Uj. Dimana pertama kali kita dapat memberikan sebarang
bilangan pada salah satu Vi atau Uj.
2. Menghitung Kij pada sel kosong dengan ketentuan Kij = Vi + Uj.
3. Menghitung opportunity cost sel kosong dengan ketentuan
Opportunity cost = Kij – Cij.
Sebagai ilistrasi perhatikan tabel berikut:
80
Tabel 2.19.f
Tempat Asal
Destination ( Tujuan) Kapasitas Bil Baris (Vi)
D1 D2 D3
O1 10
60
5
10
7
30 100 0
O2 K21
6
4
50
K23 9 50 – 1
Permintaan
60 60 30
Bil Kolom (Uj)
10 5 7
Misalkan kita ambil sebarang bilangan untuk V1 = 0, maka kita kita peroleh:
U1 = C11 – V1 = 10 – 0 = 10
U2 = C12 – V1 = 5 – 0 = 5
U3 = C13 – V1 = 7 – 0 = 7
V2 = C22 – U2 = 4 – 5 = –1
K21 = V2 + U1 = (–1) + 10 = 9
K23 = V2 + U3 = (–1) + 7 = 6
Opportunity cost sel O2D1 = K21 – C21 = 9 – 6 = 3
Opportunity cost sel O2D3 = K23 – C23 = 6 – 9 = –3
Selanjutnya kita akan menghitung opportunity cost sel kosong pada masalah di atas
dengan Modi. Pertama misalkan kita ambil Tabel hasil dari metode Inspeksi yaitu seperti
Tabel 2.19.g berikut:
81
Tabel 2.19.g.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Bil Baris (Vi) D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 0
O1 10 30 60 8 1 6 6 7
90
O2 50 40
1 12 4 7 7
70
O3 70
10 15 6 9 1
90
O4 20 70
Permintaan
350
80 50 90 60 70 Bil.
Kolom
Misalkan kita ambil V1 = 0, maka U1 = 12, U3 = 9, U4 = 5.
Dari U1 = 12, diperoleh V3 = -11, dari U3 = 9, diperoleh V2 = -3, dan V4 = -3, dari V2 = -3,
diperoleh U2 = 4, dan dari V4 = -3, diperoleh U5 = 4.
Selanjutnya dengan menghitung Kij = = Vi + Uj, maka kita peroleh Tabel 2.19.h.
Tabel 2.19.h.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
Bil Baris (Vi) D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 0
O1 10 30 60
8 1 6 6 7
90 -3 O2 50 40
1 12 4 7 7
70 -11
O3 70 10 15 6 9 1
90 -3
O4 20 70
Permintaan
350
80 50 90 60 70 Bil.
Kolom 12 4 9 5 4
82
Tabel 2.19.i. Hasil Perhitungan Opportunity cost sel kosong
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sel kosong
O1D2 O1D5 O2D1 O2D4 O2D5 O3D2 O3D3 O3D4 O3D5 O4D1 O4D2 O4D4
Opp cost
0 -5 1 -4 -6 -19 -6 -13 -14 -1 -14 -7
Dari hasil ini, bandingkan dengan Tabel 2.19.d.
Perhitungan selanjutnya sama dengan metode Steppingstone.
83
c. Penyelesaian Masalah Transportasi dengan Program Komputer
i. Program Lindo
Seperti pada penyelesaian program Linear dengan Lindo, masalah transportasi juga dapat
dikerjakan dengan Lindo, yaitu dengan memandang masalah transportasi sebagai
program Linear. Berikut akan dibahas masalah transportasi yang sama di atas, tetapi
solusinya dengan Program Lindo.
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1 8 1 6 6 7
90 O2
1 12 4 7 7
70 O3
10 15 6 9 1
90 O4
Permintaan 350
80 50 90 60 70
Misalkan banyaknya barang pada sel Xij yaitu banyaknya barang yang dikirim dari pabrik
Oi ke permintaan Dj, dan cij adalah biaya satuan pengiriman dari pabrik Oi ke permintaan
Dj, maka basarnya biaya pengiriman adalah:
Z =∑ ijijcX
Dengan syarat untuk setiap j, ∑ = jij DtaanperX min , dan
Untuk setiap i, ∑ = iij OkapasitasX .
Dari ketentuan ini, untuk kasus masalah transportasi ini, maka kita peroleh model.
Minimumkan biaya: 12X11 + 4X12 +9 X13 + 5X14 + 9X15 + 8X21 + 1X22 + 6X23 + 6X24
+ 7X25 + 1X31 + 12X32 + 4X33 + 7X34 + 7X35 + 10X41 + 15 X42 + 6X43 + 9X44 + 1X45
Dengan syarat
X11 + X21 + X31 + X41 = 80
X12 + X22 + X32 + X42 = 50
X13 + X23 + X33 + X43 = 90
84
X14 + X24 + X34 + X44 = 60
X15 + X25 + X35 + X45 = 70
Dan X11 + X12 + X13 + X14 + X15 =100
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 90
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 =70
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 90
Xij ≥ 0, untuk setiap i dan j.
Dalam menyelesaikan program linear maupun masalah transportasi, indeks ditulis sejajar
dengan variabelnya sehingga dalam penulisan pada Lindo sebagai berikut.
MIN 12X11+4X12+9X13+5X14+9X15+8X21+1X22+6X23+6X24+7X25
+1X31+12X32+4X33+7X34+7X35+10X41+15X42+6X43+9X44+1X45
SUBJECT TO
X11+X12+X13+X14+X15=100
X21+X22+X23+X24+X25=90
X31+X32+X33+X34+X35=70
X41+X42+X43+X44+X45=90
X11+X21+X31+X41=80
X12+X22+X32+X42=50
X13+X23+X33+X43=90
X14+X24+X34+X44=60
X15+X25+X35+X45=7
END
Setelah program Lindo dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1230.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 1.000000
X12 40.000000 0.000000
X13 0.000000 0.000000
X14 60.000000 0.000000
X15 0.000000 5.000000
X21 10.000000 0.000000
X22 10.000000 0.000000
X23 70.000000 0.000000
X24 0.000000 4.000000
X25 0.000000 6.000000
85
X31 70.000000 0.000000
X32 0.000000 18.000000
X33 0.000000 5.000000
X34 0.000000 12.000000
X35 0.000000 13.000000
X41 0.000000 2.000000
X42 0.000000 14.000000
X43 20.000000 0.000000
X44 0.000000 7.000000
X45 70.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 3.000000
4) 0.000000 10.000000
5) 0.000000 3.000000
6) 0.000000 -11.000000
7) 0.000000 -4.000000
8) 0.000000 -9.000000
9) 0.000000 -5.000000
10) 0.000000 -4.000000
NO. ITERATIONS= 8
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X11 12.000000 INFINITY 1.000000
X12 4.000000 0.000000 4.000000
X13 9.000000 INFINITY 0.000000
X14 5.000000 4.000000 INFINITY
X15 9.000000 INFINITY 5.000000
X21 8.000000 1.000000 5.000000
X22 1.000000 4.000000 0.000000
X23 6.000000 0.000000 2.000000
X24 6.000000 INFINITY 4.000000
X25 7.000000 INFINITY 6.000000
X31 1.000000 5.000000 INFINITY
X32 12.000000 INFINITY 18.000000
X33 4.000000 INFINITY 5.000000
X34 7.000000 INFINITY 12.000000
X35 7.000000 INFINITY 13.000000
X41 10.000000 INFINITY 2.000000
X42 15.000000 INFINITY 14.000000
X43 6.000000 2.000000 5.000000
X44 9.000000 INFINITY 7.000000
X45 1.000000 5.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 100.000000 0.000000 0.000000
86
3 90.000000 0.000000 0.000000
4 70.000000 0.000000 0.000000
5 90.000000 0.000000 0.000000
6 80.000000 0.000000 0.000000
7 50.000000 0.000000 0.000000
8 90.000000 0.000000 0.000000
9 60.000000 0.000000 0.000000
10 70.000000 0.000000 0.000000
Tampilan yang muncul pada layar editor di atas merupakan penyelesaian suatu masalah
transportasi yang dapat diartikan sebagai berikut.
1. Biaya minimum yang diperlukan untuk pengangkutan barang adalah 1.230 yang
dapat dibaca dari
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1230.000
2. Alokasi pengiriman barang dapat diketahui dari nilai
value pada hasil berikut.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 1.000000
X12 40.000000 0.000000
X13 0.000000 0.000000
X14 60.000000 0.000000
X15 0.000000 5.000000
X21 10.000000 0.000000
X22 10.000000 0.000000
X23 70.000000 0.000000
X24 0.000000 4.000000
X25 0.000000 6.000000
X31 70.000000 0.000000
X32 0.000000 18.000000
X33 0.000000 5.000000
X34 0.000000 12.000000
X35 0.000000 13.000000
X41 0.000000 2.000000
X42 0.000000 14.000000
X43 20.000000 0.000000
X44 0.000000 7.000000
X45 70.000000 0.000000
a. Dari O1 (tempat asal) dikirimkan ke D2 (tempat tujuan) sebanyak 40 unit, dan ke
D4 sebanyak 60 unit.
b. Dari O2 dikirimkan ke D1 sebanyak 10 unit, ke D2 sebanyak 10 dan dikirim ke
D3 sebanyak 70
87
c. Dari O 3 dikirimkan sebanyak 70 unit ke D1.
d. Dari O 4 dikirimkan sebanyak 20 unit ke D3, dan 80 unit ke D5
Reduced Cost adalah lawan dari opportunity cost, jadi apabila Reduced Cost = 4, maka
opportunitu costnya = -4. Dengan demikian dari hasil di atas, tidak ada opportunity cost
yang positif, jadi program optimal.
Pada masalah transportasi keadaan pasar seimbang artinya jumlah permintaan akan
barang sama dengan jumlah kapasitas produksi, maka dual price tidak memiliki makna
khusus.
Selanjutnya hasil berikut menunjukkan perubahan yang dibolehkan agar sistem
transportasi tetap, dengan biaya optimal.
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X11 12.000000 INFINITY 1.000000
X12 4.000000 0.000000 4.000000
X13 9.000000 INFINITY 0.000000
X14 5.000000 4.000000 INFINITY
X15 9.000000 INFINITY 5.000000
X21 8.000000 1.000000 5.000000
X22 1.000000 4.000000 0.000000
X23 6.000000 0.000000 2.000000
X24 6.000000 INFINITY 4.000000
X25 7.000000 INFINITY 6.000000
X31 1.000000 5.000000 INFINITY
X32 12.000000 INFINITY 18.000000
X33 4.000000 INFINITY 5.000000
X34 7.000000 INFINITY 12.000000
X35 7.000000 INFINITY 13.000000
X41 10.000000 INFINITY 2.000000
X42 15.000000 INFINITY 14.000000
X43 6.000000 2.000000 5.000000
X44 9.000000 INFINITY 7.000000
X45 1.000000 5.000000 INFINITY
Misalnya c11 dapat turun sampai 11 atau naik sampai tak berhingga, c12 dapat turun
sampai 0 dan tidak boleh naik, dan seterusnya.
88
Hasil terakhir yaitu
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 100.000000 0.000000 0.000000
3 90.000000 0.000000 0.000000
4 70.000000 0.000000 0.000000
5 90.000000 0.000000 0.000000
6 80.000000 0.000000 0.000000
7 50.000000 0.000000 0.000000
8 90.000000 0.000000 0.000000
9 60.000000 0.000000 0.000000
10 70.000000 0.000000 0.000000
Menunjukkan bahwa jumlah produksi maupun jumlah permintaan adalah tetap karena
memang keadaan pasar seimbang.
ii. Program Lingo untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi
Lingo adalah salah satu program (software) dibawah Winston satu set bersama-sama
dengan Lindo. Program Lingo lebih luas cakupannya, namun output (hasil keluaran) nya
tidak selengkap program Lindo. Pada program Lingo, dapat mengolah data atau rumusan
non-linear, seperti membuat grafik fungsi sinus, fungsi logarirmis, fungsi eksponen, dan
lain-lain.
Bentuk pemrograman Lingo juga lebih rumit sedikit, tetapi akan lebih efisien
apabila digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan banyak variabel.
Karena pada program Lingo disediakan perintah (command) looping dengan perintah for ...
loop. Sebagai contoh masalah transportasi yang sudak kita bahas di atas akan dikerjakan
dengan program Lingo.
Permasalahan transportasi di atas supaya lebih jelas, kita tulis lkembali tabelnya sebagai
berikut.
89
Tabel Trasportasi
Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) Kapasitas Pabrik
D1 D2 D3 D4 D5
12 4 9 5 9
100 O1 8 1 6 6 7
90 O2
1 12 4 7 7
70 O3
10 15 6 9 1
90 O4
Permintaan
350 80 50 90 60 70
Dengan program Lingo, maka perintah untuk menyelesaikan masalah transportasi ini
adalah.
Model: Sets: �ariable�/O1, O2, O3, O4/:Asal; Permintaan/D1, D2, D3, D4, D5/ :Demand ;
Links(Kapasitas,Permintaan) :Ship, Cost ;
Endsets
Min=@sum(Links:Ship*Cost);
@for(Permintaan(j) :@sum(Kapasitas(i) :Ship(i,j))>Demand(j)) ;
@for(Kapasitas(i) :@sum(Permintaan(j) :Ship(i,j))<Asal(i)) ;
Data:
Asal=100, 90, 70, 90;
Demand=80, 50, 90, 60, 70;
Cost=12, 4, 9, 5, 9, 8, 1, 6, 6, 7, 1, 12, 4, 7, 7,
10, 15, 6, 9, 1;
Enddata
End
Dari program di atas nampak bahwa, program Lingo ini sangat baik untuk masalah
transportasi khususnya untuk banyak �ariable, karena dengan Lingo, kita tidak usah
mendefinisikan nama �ariable. Perhatikan bahwa bentuk program Lingo untuk
menyelesaikan masalah transportasi ini. Bentuk program sudah baku dan tidak perlu
mengganti variabel/ menambah variabel. Perubahan program hanya mengubah
banyaknya Kapasitas, Permintaan, dan perubahan pada data saja.
90
Setelah program dijalankan, maka akan diperoleh hasil
sebagai berikut.
Rows = 10 Vars = 20 No. integer vars = 0 ( all are linear)
Nonzeros= 69 Constraint nonz= 40( 40 are +- 1) Density=0.329
Smallest and largest elements in absolute value = 1.00000
100.000
No. < : 4 No. =: 0 No. > : 5, Obj=MIN, GUBs <= 5
Single cols= 0
Optimal solution found at step: 15
Objective value: 1230.000
Variable Value Reduced Cost
ASAL( O1) 100.0000 0.0000000E+00
ASAL( O2) 90.00000 0.0000000E+00
ASAL( O3) 70.00000 0.0000000E+00
ASAL( O4) 90.00000 0.0000000E+00
DEMAND( D1) 80.00000 0.0000000E+00
DEMAND( D2) 50.00000 0.0000000E+00
DEMAND( D3) 90.00000 0.0000000E+00
DEMAND( D4) 60.00000 0.0000000E+00
DEMAND( D5) 70.00000 0.0000000E+00
SHIP( O1, D1) 0.0000000E+00 1.000000
SHIP( O1, D2) 0.0000000E+00 0.0000000E+00
SHIP( O1, D3) 40.00000 0.0000000E+00
SHIP( O1, D4) 60.00000 0.0000000E+00
SHIP( O1, D5) 0.0000000E+00 5.000000
SHIP( O2, D1) 10.00000 0.0000000E+00
SHIP( O2, D2) 50.00000 0.0000000E+00
SHIP( O2, D3) 30.00000 0.0000000E+00
SHIP( O2, D4) 0.0000000E+00 4.000000
SHIP( O2, D5) 0.0000000E+00 6.000000
SHIP( O3, D1) 70.00000 0.0000000E+00
SHIP( O3, D2) 0.0000000E+00 18.00000
SHIP( O3, D3) 0.0000000E+00 5.000000
SHIP( O3, D4) 0.0000000E+00 12.00000
SHIP( O3, D5) 0.0000000E+00 13.00000
SHIP( O4, D1) 0.0000000E+00 2.000000
SHIP( O4, D2) 0.0000000E+00 14.00000
SHIP( O4, D3) 20.00000 0.0000000E+00
SHIP( O4, D4) 0.0000000E+00 7.000000
SHIP( O4, D5) 70.00000 0.0000000E+00
COST( O1, D1) 12.00000 0.0000000E+00
COST( O1, D2) 4.000000 0.0000000E+00
COST( O1, D3) 9.000000 0.0000000E+00
COST( O1, D4) 5.000000 0.0000000E+00
COST( O1, D5) 9.000000 0.0000000E+00
COST( O2, D1) 8.000000 0.0000000E+00
COST( O2, D2) 1.000000 0.0000000E+00
COST( O2, D3) 6.000000 0.0000000E+00
COST( O2, D4) 6.000000 0.0000000E+00
COST( O2, D5) 7.000000 0.0000000E+00
COST( O3, D1) 1.000000 0.0000000E+00
COST( O3, D2) 12.00000 0.0000000E+00
COST( O3, D3) 4.000000 0.0000000E+00
COST( O3, D4) 7.000000 0.0000000E+00
COST( O3, D5) 7.000000 0.0000000E+00
COST( O4, D1) 10.00000 0.0000000E+00
COST( O4, D2) 15.00000 0.0000000E+00
COST( O4, D3) 6.000000 0.0000000E+00
COST( O4, D4) 9.000000 0.0000000E+00
COST( O4, D5) 1.000000 0.0000000E+00
91
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1230.000 1.000000
2 0.0000000E+00 -11.00000
3 0.0000000E+00 -4.000000
4 0.0000000E+00 -9.000000
5 0.0000000E+00 -5.000000
6 0.0000000E+00 -4.000000
7 0.0000000E+00 0.0000000E+00
8 0.0000000E+00 3.000000
9 0.0000000E+00 10.00000
10 0.0000000E+00 3.000000
Makna hasil keluaran Lingo mirip dengan hasil keluaran dari Lindo, pembaca dipersilahkan
mengartikan makna hasil keluaran di atas (sebagai latihan)
92
iii. Program Solver untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi
Untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan Solver, maka kita buat tabel biaya,
kapasitas, dan permintaan pada lembar kerja excel seperti berikut.
Langkah awal adalah membuat Tabel biaya pengiriman, kapasitas produksi dan
permintaan. Tabel ini kita copy dan diletakkan dibawahnya, dengan mengganti menjadi
Tabel Benyaknya Pengiriman Barang. Nilai awal yang diberikan kepada banyaknya barang
yang dikirim dari Oi ke Dj adalah 0. Sedangkan banyaknya barang yang dikirim dari Oi
adalah jumlah banyaknya barang yang dikirim dari Oi ke Dj untuk suatu i. Jadi dalam hal ini
sel G16 ditulis dengan formula “=SUM(B16:F16)”. Formula ini di-copy-kan ke sel G17
sampai G19. Selanjutnya banyaknya Penerimaan Barang adalah jumlah barang yang
93
diterima dari Oi ke Dj untuk suatu j. Jadi dalam hal ini sel B20 ditulis dengan formula
“=SUM(B16:B19)”. Formula ini di-copy-kan ke sel C20 sampai F20.
Biaya Pengiriman merupakan kelipatan yang seletak antara banyaknya barang yang
dikirim dengan biaya satuan pengiriman. Oleh karena itu pada sel B22 kita tuliskan formula
“ =SUMPRODUCT(B6:F9,B16:F19)”.
Menjalankan Solver
Setelah persiapan pada lembar kerja Excel selesai, saatnya menjalankan Solver, yaitu
Tools, Solver, maka akan keluar menu Solver.
Hasil perhitungan total biaya kita letakkan pada sel B2, dan ini tidak diubah ke sel lain oleh
karena itu semua hasil kita tetapkan dengan menambahkan tanda $ pada sel tempat
perumusan hasil atau sumber. Sehingga untuk sel Set Target Cell kita ini dengan $B$22.
Masalah yang kita cari adalah masalah minimumkan biaya transportasi, sehingga pada
Equal To kita pilih Min. Selanjutnya pada By Changing Cells meminta bagian (kelompok)
sel yang merupakan variabel. Pada masalah ini adalah menentukan banyaknya barang
pada sistem transportasi, oleh karena itu kita isikan B18 sampai F19 sehingga kita tulis
$B$16:$F$19.
Subject to the Constraints meminta syarat pembatas. Dalam masalah ini ada dua syarat
pembatas yaitu pembatas permintaan (penerimaan barang) dan Kapasitas Pabrik
(Banyaknya barang yang dikirim), oleh karena itu.
Pembatas permintaan yaitu permintaan harus dipenuhi, jadi permintaan kurang dari atau
sama dengan penerimaan barang. Sehingga $B10:$F$10 <= $B20:$F$20.
94
Pembatas kapasitas menyatakan bahwa barang yang dikirim akan kurang dari atau sama
dengan kapasitas pabrik. Sehingga $G$16:$G$19 <= $G$6:$G$9.
Selanjutnya dengan memilih/mengisikan keterangan berikut pada menu solver, dan
dengan mengisi options asumsi linear dan non-negatif variable. maka setelah dijalankan
atau meng-klik Solve akan diperoleh hasil berikut.
Hasil ini menunjukkan bahwa Biaya Pengiriman sebesar 1.230, dengan sistem pengiriman:
Produksi dari O1 sebanyak 100 unit, dikirim ke D2 sebanyak 40 unit, dan ke D4 sebanyak
60 unit. Produksi dari O2 sebanyak 90 unit, dikirim ke D1 sebanyak 10 unit, ke D2 sebanyak
10 unit, dan ke D3 sebanyak 70 unit. Produksi dari O3 sebanyak 70 unit, dikirim semuanya
ke D3 yaitu sebanyak 70 unit. Produksi dari O4 sebanyak 90 unit, dikirim ke D3 sebanyak
20 unit dan ke D5 sebanyak 70 unit.
95
d. Masalah Transportasi Pasar Tidak Seimbang
Kenyataan di lapangan, keadaan seimbang sangatlah langka. Keadaan yang sering terjadi
adalah tidak seimbang. Ini desebabkan karena sangat sukar menentukan secara tepat
kebutuhan lapangan yang sebenarnya. Ketidak seimbangan ada dua macam yaitu
keadaan jumlah barang yang diproduksi lebih besar daripada kebutuhan lapangan atau
sebaliknya kebutuhan di lapangan yang lebih besar daripada jumlah barang yang
diproduksi.
Penyelesaian Masalah Transportasi Pasar Tidak Seimbang
1. Jumlah produksi lebih besar daripada permintaan pasar
Apabila jumlah produksi lebih besar daripada jumlah permintaan di pasar, maka perlu
ditambah tempat permintaan dummy yaitu permintaan yang tidak sebenarnya yang
besarnya sama dengan selisih antara jumlah produksi dan jumlah permintaan, dan dalam
tabel transportasi diberi biaya transportasi sebesar 0. Dalam kenyataan permintaan
dummy ini adalah gudang perusahaan.
Sebagai contoh, perhatikan masalah transportasi berikut:
PT “Cocacola” memproduksi Coco cola, Fanta, dan Sprite di empat kota di Pulau Jawa
untuk memenuhi permintaan masyarakat, yaitu kota P, Q, R, dan S berturut-turut 50, 70,
30, dan 80 truk setiap hari. Untuk mempermudah pemasaran, barang-barang produksi
tersebut dikirim ke lima agen besar yaitu Agen A, B, C, D, dan E berturut-turut 40, 60, 30,
45, dan 50 truk. Jarak antara pabrik dan agen terlihat pada tabel berikut:
Tabel Jarak antara Pabrik dan Agen (dalam km)
Kota Tujuan / Permintaan
A B C D E
P 40 105 70 20 40
Q 60 80 80 20 60
R 90 30 40 25 70
S 130 100 60 25 45
96
Dalam rangka penghematan penggunaan bahan bakar minyak (BBM), perusahaan akan
mengirimkan barang-barang produksi tersebut dengan biaya terkecil, yaitu dengan
meminimumkan jarak tempuh armada truknya. Di lain pihak, perusahaan ini memberi
pelayanan kepada masyarakat sebaik mungkin, sehingga setiap truk hanya digunakan
untuk mengirim satu kali. Buatlah sistem Transportasi untuk PT Cocacola ini dan berikan
komentar saudara tentang sistem produksi pada perusahaan ini?.
Dari masalah di atas, apabila tabel dilengkapi dengan permintaan virtual maka akan
diperoleh tabel berikut.
Kota Tujuan / Permintaan
Produksi A B C D E Dummy
P 40 105 70 20 40 0 50
Q 60 80 80 20 60 0 70
R 90 30 40 25 70 0 30
S 130 100 60 25 45 0 80
Permintaan 40 60 30 45 50 5 230
Penyelesaian masalah ini deserahkan kepada pembaca.
2. Jumlah produksi lebih kecil daripada permintaan pasar
Dalam hal jumlah produksi lebih kecil daripada permintaan pasar, maka ada
tempat permintaan yang tidak dikirim barang secara penuh. Dalam menyelesaikan
masalah ini, dapat ditambahkan pabrik dummy yang memproduksi sebanyak selisih antara
jumlah permintaan dan jumlah kapasitas produksi, pada tabel biaya transportasi, kapasitas
produksi dan permintaan dilengkapi dengan pabrik virtual dengan biaya transportasi 0.
Kemudian tempat permintaan yang dikirim dari pabrik dummy ini akan mengalami
kekurangan barang sebanyak produksi virtual tersebut.
Contoh masalah dan penyelesaiannya diserahkan kepada pembaca.
97
Penerapan Metode Transportasi
Selanjutnya kita bahas masalah transportasi pada PT Aqua Golden Mississippi di
Jawa Barat. Data Permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut:
Tabel 2.5.a. Data Lokasi Pabrik dan Kapasitas Produksi di Jawa Barat dalam 1 Tahun
No Lokasi Pabrik Aktivitas Kapasitas Produksi
1 Bekasi Produksi AQUA 250.000.000 Liter
2 Citeurep (Bogor) Produksi AQUA 200.000.000 Liter
3 Cimelati (Sukabumi) Produksi AQUA 200.000.000 Liter
4 Kuningan Produksi AQUA 100.000.000 Liter
Kapasitas Produksi dalam 1 Tahun 750.000.000 Liter
Sumber: PT. Tirta Babakan Pari Cimelati (Sukabumi) Produksi AQUA
Tabel 2.5.b Data Jarak Lokasi Pabrik dengan 12 kota Daerah Pemasaran dan
Demand
Lokasi
Pabrik
Tujuan Pengiriman
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bekasi 119 140 29 0 84 87 148 154 217 261 260 229
Citeurep (Bogor) 148 118 58 87 163 0 61 129 192 194 235 259
Cimelati (Sukabumi) 209 179 119 148 136 61 0 96 159 261 202 226
Kuningan 383 404 293 261 235 194 261 165 192 0 185 35
Kebutuhan Permin
taan (Demand)
40
40
195
50
55
40
35
145
35
30
35
50
Keterangan :
Angka pada kolom 1 sampai dengan kolom 12 adalah nama kota tujuan pengiriman:
1) Serang; 2) Pandeglang; 3) Jakarta; 4) Bekasi; 5. Purwakarta; 6. Bogor ; 7.
Sukabumi; 8) Bandung; 9) Garut ; 10) Kuningan; 11) Tasikmalaya; 12) Cirebon.
98
Angka yang ada dalam kolom dibawah kolom nama kota adalah angka jarak antara pabrik
dengan kota tujuan pengiriman dalam kilometer ( Km ), sedangkan biaya angkut dihitung
dalam puluhan ribu rupiah (Rp 10.000,-) per satu juta liter kilometer. Jumlah kebutuhan
atau permintaan dalam juta liter per tahun untuk tiap kota yang menjadi tujuan pengiriman.
Setelah informasi/data di atas tersedia maka langkah selanjutnya menuliskan
permasalahan yang ada ke dalam bentuk tabel biaya pengangkutan atau jarak. Pada
PT.AQUA di Jawa Barat seperti terlihat pada tabel 4. untuk kapasitas produksi per tahun
dan pada tabel 5. untuk jarak antara lokasi pabrik dengan kota tujuan pengiriman,
sedangkan biaya dihitung dalam Rp 10.000,- per satu juta liter kilometer. Kemudian
merumuskan dan menuliskannya pada papan editor dalam bentuk persamaan linear untuk
fungsi tujuan, fungsi kendala, dan penyelesaian non negatif. Data pada PT.AQUA Golden
Mississippi Jawa Barat seperti tercantum pada tabel 2.5.a. dan tabel 2.5.b bentuk
penulisan pada papan editor LINDO untuk diolah sebagai berikut:
MIN
119X11+140X12+29X13+84X15+87X16+148X17+154X18+217X19+261X110
+260X111+229X112+148X21+118X22+58X23+87X24+163X25+61X27+129X28
+192X29+194X210+235X211+259X212+209X31+179X32+119X33+148X34
+136X35+61X36+96X38+159X39+261X310+202X311+226X312+383X41
+404X42+293X43+261X44+235X45+194X46+261X47+165X48+192X49
+185X411+35X412
SUBJECT TO
X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X110+X111+X112 = 250
X21+X22+X23+X24+X25+X26+X27+X28+X29+X210+X211+X212 = 200
X31+X32+X33+X34+X35+X36+X37+X38+X39+X310+X311+X312 = 200
X41+X42+X43+X44+X45+X46+X47+X48+X49+X410+X411+X412 = 100
X11+X21+X31+X41 = 40
X12+X22+X32+X42 = 40
X13+X23+X33+X43 = 195
X14+X24+X34+X44 = 50
X15+X25+X35+X45 = 55
X16+X26+X36+X46 = 40
X17+X27+X37+X47 = 35
99
X18+X28+X38+X48 = 145
X19+X29+X39+X49 = 35
X110+X210+X310+X410 = 30
X111+X211+X311+X411 = 35
X112+X212+X312+X412 = 50
End
Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat dilanjutkan untuk mencari jawaban
yang optimal. Langkah untuk mencari jawaban optimal adalah dengan menggunakan
Solve Solve. Kemudian secara otomatis LINDO akan membuka papan editor report. Pada
kasus PT.AQUA Golden Mississippi di atas akan muncul tampilan sebagai berikut.
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 17
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 51320.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 0.000000
X12 0.000000 51.000000
X13 145.000000 0.000000
X15 55.000000 0.000000
X16 0.000000 116.000000
X17 0.000000 144.000000
X18 0.000000 54.000000
X19 0.000000 54.000000
X110 0.000000 240.000000
X111 0.000000 54.000000
X112 0.000000 173.000000
X21 40.000000 0.000000
X22 40.000000 0.000000
X23 50.000000 0.000000
X24 0.000000 58.000000
X25 0.000000 50.000000
X27 0.000000 28.000000
X28 0.000000 0.000000
X29 30.000000 0.000000
X210 0.000000 144.000000
X211 0.000000 0.000000
X212 0.000000 174.000000
X31 0.000000 94.000000
X32 0.000000 94.000000
X33 0.000000 94.000000
X34 0.000000 152.000000
X35 0.000000 56.000000
X36 0.000000 94.000000
X38 145.000000 0.000000
X39 5.000000 0.000000
X310 0.000000 244.000000
100
X311 15.000000 0.000000
X312 0.000000 174.000000
X41 0.000000 285.000000
X42 0.000000 336.000000
X43 0.000000 285.000000
X44 0.000000 282.000000
X45 0.000000 172.000000
X46 0.000000 244.000000
X47 0.000000 278.000000
X48 0.000000 86.000000
X49 0.000000 50.000000
X411 20.000000 0.000000
X412 50.000000 0.000000
X14 50.000000 0.000000
X26 40.000000 0.000000
X37 35.000000 0.000000
X410 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 29.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 33.000000
5) 0.000000 50.000000
6) 0.000000 -148.000000
7) 0.000000 -118.000000
8) 0.000000 -58.000000
9) 0.000000 -29.000000
10) 0.000000 -113.000000
11) 0.000000 0.000000
12) 0.000000 -33.000000
13) 0.000000 -129.000000
14) 0.000000 -192.000000
15) 0.000000 -50.000000
16) 0.000000 -235.000000
17) 0.000000 -85.000000
NO. ITERATIONS= 17
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X11 119.000000 INFINITY 0.000000
X12 140.000000 INFINITY 51.000000
X13 29.000000 0.000000 50.000000
X15 84.000000 50.000000 INFINITY
X16 87.000000 INFINITY 116.000000
X17 148.000000 INFINITY 144.000000
X18 154.000000 INFINITY 54.000000
X19 217.000000 INFINITY 54.000000
X110 261.000000 INFINITY 240.000000
X111 260.000000 INFINITY 54.000000
X112 229.000000 INFINITY 173.000000
X21 148.000000 0.000000 INFINITY
X22 118.000000 51.000000 INFINITY
101
X23 58.000000 50.000000 0.000000
X24 87.000000 INFINITY 58.000000
X25 163.000000 INFINITY 50.000000
X27 61.000000 INFINITY 28.000000
X28 129.000000 INFINITY 0.000000
X29 192.000000 0.000000 56.000000
X210 194.000000 INFINITY 144.000000
X211 235.000000 INFINITY 0.000000
X212 259.000000 INFINITY 174.000000
X31 209.000000 INFINITY 94.000000
X32 179.000000 INFINITY 94.000000
X33 119.000000 INFINITY 94.000000
X34 148.000000 INFINITY 152.000000
X35 136.000000 INFINITY 56.000000
X36 61.000000 INFINITY 94.000000
X38 96.000000 0.000000 INFINITY
X39 159.000000 50.000000 0.000000
X310 261.000000 INFINITY 244.000000
X311 202.000000 0.000000 50.000000
X312 226.000000 INFINITY 174.000000
X41 383.000000 INFINITY 285.000000
X42 404.000000 INFINITY 336.000000
X43 293.000000 INFINITY 285.000000
X44 261.000000 INFINITY 282.000000
X45 235.000000 INFINITY 172.000000
X46 194.000000 INFINITY 244.000000
X47 261.000000 INFINITY 278.000000
X48 165.000000 INFINITY 86.000000
X49 192.000000 INFINITY 50.000000
X411 185.000000 50.000000 144.000000
X412 35.000000 173.000000 INFINITY
X14 0.000000 58.000000 INFINITY
X26 0.000000 94.000000 INFINITY
X37 0.000000 28.000000 INFINITY
X410 0.000000 144.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 250.000000 0.000000 0.000000
3 200.000000 0.000000 0.000000
4 200.000000 0.000000 0.000000
5 100.000000 0.000000 0.000000
6 40.000000 0.000000 0.000000
7 40.000000 0.000000 0.000000
8 195.000000 0.000000 0.000000
9 50.000000 0.000000 0.000000
10 55.000000 0.000000 0.000000
11 40.000000 0.000000 0.000000
12 35.000000 0.000000 0.000000
13 145.000000 0.000000 0.000000
14 35.000000 0.000000 0.000000
15 30.000000 0.000000 0.000000
16 35.000000 0.000000 0.000000
17 50.000000 0.000000 0.000000
102
Hasil pengolahan data tersebut di atas, dapat diartikan sebagai berikut:
1. Biaya minimum yang diperlukan untuk pengangkutan dan distribusi air mineral
AQUA di Jawa Barat dalam satu tahun sebesar Rp 513.200.000,-
2. Alokasi pengiriman barang (air AQUA) dari lokasi pabrik sampai ke tempat tujuan
pengiriman dapat digambarkan dalam Tabel 2.5.c berikut:
Keterangan Tabel 2.5.c
1) Bilangan dalam kolom kanan atas adalah data jarak pabrik dengan kota tujuan
pengiriman (dalam Km); 2) Angka yang dicetak merah dalam kolom adalah alokasi
pengiriman ke kota tujuan selama satu tahun (dalam juta liter); 3) Biaya dalam puluhan
ribu rupiah per juta liter kilometer; 4) Kapasitas pabrik dalam juta liter per tahun; 5)
Kebutuhan permintaan dalam juta liter per tahun
Proporsi pengiriman barang atau alokasi pengiriman barang yang diperlukan agar
biaya yang ditanggung oleh PT. AQUA minimal/ efisien adalah sebagai berikut:
a. Dari lokasi pabrik Bekasi di kirim ke Jakarta sebanyak 145 juta liter, untuk kota
Bekasi sendiri dipenuhi oleh pabrik Bekasi sebanyak 50 juta liter dan sebanyak 55
juta liter dikirim ke kota Purwakarta.
b. Dari lokasi pabrik Citeurep (Bogor) dikirim ke Serang sebanyak 40 juta liter,
dikirim ke Pandeglang sebanyak 40 juta liter, dan kekurangan kebutuhan kota
Jakarta sebanyak 50 juta liter dipenuhi oleh pabrik Bogor, untuk kota Bogor dipenuhi
dari Bogor sendiri sebanyak 40 juta liter, dan sebanyak 30 juta liter dikirim ke Garut.
c. Dari lokasi pabrik Cimelati (Sukabumi) untuk memenuhi permintaan kota
Sukabumi sendiri sebanyak 35 juta liter, dikirim ke Bandung sebanyak 145 juta liter,
dikirim ke Garut sebanyak 5 juta liter dan 15 juta liter dikirim ke Tasikmalaya.
d. Dari lokasi pabrik Kuningan untuk memenuhi kebutuhan permintaan kota
Kuningan sendiri sebanyak 30 juta liter, dikirim ke Tasikmalaya sebanyak 20 juta
liter dan 50 juta liter dikirim ke Cirebon.
103
Tabel 2.5.c Hasil Akhir Perhitungan dengan LINDO dan Alokasi Pengiriman Barang
Lokasi Tujuan Pengiriman Kapasitas
Pabrik Serg Pandl Jakt Bks Pwkt Bgr Skb Bdg Gart Kng Tasik Cirb Pabrik
Bekasi
119 140 29
145
0
50
84
55
87 148 154 217 261 260 229
250
Citeurep
(Bogor)
148
40
118
40
58
50
87 163 0
40
61 129 192
30
194 235 259
200
Cimelati
(Sukabumi)
209 179 119 148 136 61 0
35
96
145
159
5
261 202
15
226
200
Kuningan 383 404 293 261 235 194 261 165 192 0
30
185
20
35
50
100
Kebutuhan
Permintaan
(Demand)
40
40
195
50
55
40
35
145
35
30
35
50
750
104
Penyelesaian dengan Solver seperti terlihat berikut.
Tabel Awal
Lokasi Tujuan Pengiriman Kapasitas
Pabrik Serg Pandl Jakt Bks Pwkt Bgr Skb Bdg Gart Kng Tasik Cirb Pabrik
Bekasi 119 140 29 0 84 87 148 154 217 261 260 229 250
Citeurep 148 118 58 87 163 0 61 129 192 194 235 259 200
Cimelati 209 179 119 148 136 61 0 96 159 261 202 226 200
Kuningan 383 404 293 261 235 194 261 165 192 0 185 35 100
(Demand) 40 40 195 50 55 40 35 145 35 30 35 50 750
Penyelesaian sistem transportasi
Lokasi Tujuan Pengiriman Dikirim
Pabrik Serg Pandl Jakt Bks Pwkt Bgr Skb Bdg Gart Kng Tasik Cirb Pabrik
Bekasi 0 0 145 50 55 0 0 0 0 0 0 0 250
Citeurep 40 40 50 0 0 40 0 0 15 0 15 0 200
Cimelati 0 0 0 0 0 0 35 145 20 0 0 0 200
Kuningan 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 20 50 100
Diterima 40 40 195 50 55 40 35 145 35 30 35 50 750
Total Biaya 51320
Bandingkan hasil ini dengan penggunaan Lindo, selanjutnya perhitungan secara konvensional atau
dengan program Lingo diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal-soal
1. CV “Aneka Ukir” membuat sejumlah ukiran di empat kota dan akan dikirim ke empat kota lain.
Dari keempat kota pembuat itu berturut-turut membuat 18, 4, 6, dan 12 set ukiran. Permintaan
ke empat kota itu berturut-turut 6, 14, 15, dan 5 set ukiran. Biaya transportasi dari kota
pembuat ke kota permintaan terlihat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1. Biaya pengiriman tiap set ukiran (dalam ribuan rupiah)
Kota Kota Tujuan / Permintaan
105
Pembuat A B C D
P 9 7 12 8
Q 15 12 12 15
R 8 6 9 12
S 14 12 11 12
Tentukan sistem pengiriman ukir agar diperoleh biaya pengiriman minimum.
2. Tabel 2 dan Tabel 3 berikut adalah hasil perhitungan suatu model transportasi.
Tabel 2. Hasil perhitungan I.
Kota A Kota B Kota C
Kapasitas
6 8 10
Pabrik I 30 40 70
11 6 8
Pabrik II 20 30 50
Kebutuhan 30 60 30
Tabel 3. Hasil perhitungan II.
Kota A Kota B Kota C
Kapasitas
6 8 10
Pabrik I 30 10 30 70
11 6 8
Pabrik II 50 50
Kebutuhan 30 60 30
Manakah hasil yang paling menguntungkan dari hasil perhitungan model transportasi di atas.
Berikan komentar saudara tentang hasil kedua perhitungan tersebut (Tabel 2 dan Tabel 3)!
106
3. Perusahaan Karoseri Mobil “Arifin” akan membuat sejumlah mobil pengangkut untuk melayani
sebuah perusahaan Travel. Mesin yang digunakan adalah mesin jenis mesin disel seri
ENG450, mesin ini harus didatangkan dari perusahaan ”ANY”. Perusahaan Arifin membuat
kontrak kerja dengan perusahaan pengangkutan untuk mengambil mesin dan menyimpanya
bila tidak segera dipasang (diinstall). Semua mobil tersebut harus diselesaikan sampai akhir
bulan keempat.
Perusahaan pengangkutan itu menjadwalkan pengantaran mesin jet seperti pada
Tabel 2 di bawah. Secara komulatif pada akhir bulan ke 1, 2, 3, dan 4 berturut-turut sekurang-
kurangnya 10, 25, 50, dan 70 buah mesin. Jumlah mesin yang didatangkan tiap bulan paling
banyak terlihat pada kolom ketiga pada Tabel 2. Sedangkan biaya produksi (dalam ratusan
juta rupiah) tiap mobil tiap bulannya berbeda dan terlihat pada kolom keempat. Biaya
penyimpanan mesin yang tidak dipasang pada bulan yang bersangkutan 150,000 tiap
bulannya, dan terlihat pada kolom paling kanan pada Tabel 2.
Tabel 2. Data jadwal dan biaya produksi mobil
Bulan ke Pemasangan
yang dijadwalkan
Produksi
maksimum
Biaya satuan
produksi
Biaya satuan
penyimpanan
1 10 25 1.08 0.015
2 15 35 1.11 0.015
3 25 30 1.10 0.015
4 20 10 1.13
Manajer perusahaan ingin membuat jadwal pembuatan pesawat, agar biaya produksi dan
biaya penyimpanan minimum.
4. Perusahaan mobil akan menanamkan modalnya untuk membuat tiga pabrik di kota A, B, dan
C berturut-turut mempunyai kapasitas produksi 2000, 1300, dan 1600 unit setiap tahunnya.
Mobil-mobil itu akan dijual di kota-kota P, Q, R, dan S dengan permintaan berturut-turut 1000,
1500, 1200, dan 700 unit tiap tahunnya. Biaya pengiriman tiap unit dari pabrik ke tempat
penjualan terlihat pada Tabel 3 berikut:
107
Tabel 3. Biaya pengiriman tiap-tiap unit mobil (dalam ribuan rupiah)
Pabrik pembuat-an
Mobil
Kota Penjualan Mobil
P Q R S
A 1000 8000 1800 2000
B 400 700 900 1400
C 800 1200 900 1100
Tentukan model trasnportasi agar diperoleh biaya pengiriman mobil minimal.
5. Perusahaan Motor Nasional akan dibuat di tiga kota yaitu Kota A, Kota B dan Kota C. Hasil
Produksi Motor tersebut akan disalurkan ke 4 Agen besar, yaitu Agen W, Agen X, Agen Y dan
Agen X. Biaya satuan pengiriman Motor, Jumlah produksi dan Jumlah kebutuhan Agen terlihat
pada tebel berikut.
Tabel Biaya satuan pengiriman Motor, Jumlah produksi dan Jumlah kebutuhan Agen
Agen W Agen X Agen Y Agen Z Kapasitas
Produksi
Kota A 100 800 180 200 20000
Kota B 40 70 90 140 13000
Kota C 80 120 90 110 16000
Permintaan 10000 15000 12000 7000
Buatlah sistem transportasi agar biaya pengiriman Motor minimum!
108
F. Penugasan
Masalah penugasan bermula dari penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia agar biaya
yang ditanggung perusahaan dapat diminimalkan. Jika pekerja dianggap sebagai sumber dan
pekerjaan dianggap sebagai tujuan, maka model transportasi akan sama dengan masalah
transportasi, dimana jumlah sumber dan tujuan sama, setiap sumber hanya menghasilkan satu
demikian pula setiap tujuan hanya memerlukan satu.
Untuk lebih mudah memahami, marilah kita perhatikan contoh berikut:
Sebuah perusahaan yang berada di tiga kota yaitu Banjarmasin, Solo, dan Denpasar memerlukan
tenaga ahli untuk menyelesaikan pekerjaan tertentu. Ketiga ahli itu berada di Jakarta, Surabaya,
dan Ujung Pandang. Biaya ketiga orang ahli tersebut adalah seperti Tabel 2.6.a.
Tabel 2.6.a.
Tujuan
Banjarmasin Solo Denpasar
Asal Ahli Jakarta 30 36 40
Surabaya 20 25 29
Ujung Pandang 27 24 22
Cara menentukan total biaya minimum adalah dengan mengurangkan setiap baris dengan
bilangan terkecil dari baris itu sendiri, sehingga kita peroleh tabel berikut:
0 6 10
0 5 9
5 2 0
Selanjutnya dikurangi dengan bilangan terkecil menurut kolom-kolomnya, sehingga diperoleh tabel
berikut:
0 4 10
0 3 9
5 0 0
109
Selanjutnya dibuat garis sesedikit mungkin menurut baris atau kolom sehingga menutup semua
bilangan nol (0).
Bilamana jumlah garis masih lebih kecil dari banyaknya baris atau kolom, maka belum dapat
disusun tabel optimalnya.
Dalam hal diatas diperlukan dua garis, sehingga harus dilakukan langkah berikutnya yaitu:
Mengurangi semua bilangan yang tidak tertutup garis dengan bilangan terkecil, dan menambahkan
bilangan tersebut kepada persilangan garis penutup.
Pada masalah diatas, diperoleh tabel berikut:
0 1 7
0 0 6
8 0 0
Dari tabel di atas, bagaimanapun caranya mencoret bilangan nol, paling sedikit diperlukan tiga
buah garis.
Langkah selanjutnya memilih sel nol untuk setiap baris atau kolom. Caranya ialah ada dua yaitu
menurut baris atau menurut kolom.
Pilih sel yang baris/kolom yang bilangan nolnya hanya satu (paling sedikit)
Buang baris dan kolom pada sel yang terpilih.
Lakukan terus sampai selesai.
Dari tabel diatas misalnya kita lakukan pada baris, maka sel pada baris 1 kolom 1 adalah set
pertama yang dipilih, jadi baris 1 dan kolom 1 dibuang (diabaikan)
0 * 1 7
0 0 * 6
8 0 0 *
Setelah kita lakukan proses diatas, maka sel yang terpilih adalah sel (1,1), (2,2), dan (3,3).
Sehingga total biaya minimal yang diperlukan adalah 30 + 25 + 22 = 77. Dimana Banjarmasin
mendatangkan ahli dari Jakarta, Solo mendatangkan ahli dari Surabaya, dan Denpasar
mendatangkan ahli dari Ujung Pandang.
110
Masalah penugasan ini juga dapat digunakan untuk masalah maksimum, yaitu dengan mengubah
sedikit masalah maksimum ke minimum.
Untuk lebih mudahnya kita ambil contoh berikut:
Sebuah Perusahaan akan memberi tugas kepada tiga orang ( A, B, C) untuk menduduki jabatan
tertentu (X,Y, Z). Keuntungan dari ketiga orang pada ketiga jabatan tersebut sebagai berikut:
Jabatan
X Y Z
Pekerja
A 20 26 30
B 10 15 19
C 17 14 12
Langkah pertama adalah membuat tabel regrete, yaitu tabel karena tidak mengambil tindakan
terbaik. Cara membuat adalah dengan mengurangkan setiap sel dengan bilangan terbesar tiap
barisnya.
Langkah ini menghasilkan tabel berikut:
10 4 0
9 4 0
0 3 5
Selanjutnya kita lakukan langkah-langkah seperti pekerjaan minimum, sehingga kita peroleh tabel
berikut:
6 0 0
4 0 0
0 3 9
Penugasan optimal dicapai pada
6 0 0 *
4 0 * 0
0 * 3 9
Pekerja A pada jabatan Z, Pekerja B pada jabatan Y, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = 30 + 15 + 17 = 62
111
Atau
6 0 * 0
4 0 0 *
0 * 3 9
Tabel Pekerja dan Jabatan
Jabatan
X Y Z
Pekerja
A 20 26 30
B 10 15 19
C 17 14 12
Penyelesaian dengan Lindo.
Dengan komputer (program Lindo) juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
penugasan ini yaitu seperti permasalahan pada transportasi. Program perhitungan dipersilahkan
kepada pembaca sebagai latihan.
MAX 20 AX + 26 AY + 30 AZ + 10 BX + 15 BY + 19 BZ
+ 17 CX + 14 CY + 12 CZ
SUBJECT TO
2) AX + AY + AZ = 1
3) BX + BY + BZ = 1
4) CX + CY + CZ = 1
5) AX + BX + CX = 1
6) AY + BY + CY = 1
7) AZ + BZ + CZ = 1
END
Hasil perhitungan dengan Lindo diperoleh sebaga berikut:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 62.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
AX 0.000000 9.000000
AY 0.000000 0.000000
AZ 1.000000 0.000000
Pekerja A pada jabatan Y, Pekerja B pada jabatan Z, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = 26 + 19 + 17 = 62
112
BX 0.000000 8.000000
BY 1.000000 0.000000
BZ 0.000000 0.000000
CX 1.000000 0.000000
CY 0.000000 0.000000
CZ 0.000000 6.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 -11.000000
4) 0.000000 -12.000000
5) 0.000000 29.000000
6) 0.000000 26.000000
7) 0.000000 30.000000
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 62.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
BX 0.000000 0.000000
BY 0.000000 0.000000
BZ 1.000000 0.000000
CX 1.000000 0.000000
CY 0.000000 8.000000
CZ 0.000000 14.000000
AX 0.000000 1.000000
AY 1.000000 0.000000
AZ 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 5.000000
4) 0.000000 9.000000
5) 0.000000 21.000000
6) 0.000000 10.000000
7) 0.000000 17.000000
NO. ITERATIONS= 3
Diselesaikan dengan Solver, maka kita buat tabel dan hasilnya sebagai berikut.
Seperti pada penyelesaian masalah transportasi, masalah Penugasan dikerjakan dengan memulai
mengisi nilai awal = 0. sehingga tabel awalnya sebagai berikut
113
Setelah solver dijalankan dengan mengisi / memilih seperti gambar berikut.
Selanjutnya dengan memilih Solve, maka akan diperoleh hasil seperti berikut.
114
Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa Pendapatan optimun terjadi apabila A ditempatkan pada
jabatan Z, B pada jabatan Y dan C pada jabatan X. Dengan pendapatan sebesar 62.
Soal-soal
1. Suatu perusahaan memerukan 4 orang untuk 4 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, Q, R, dan
S. Pekerjaan-pekerjaan itu akan diisi oleh 4 calon, yaitu: A1, A2, A3, dan A4. Prediksi
pendapatan tiap bulan yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pekerja tersebut
adalah seperti Tabel 3 berikut:
Tabel 3. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan
Pekerjaan Kode Pelamar
A1 A2 A3 A4
P 100 120 85 100
Q 70 110 70 80
R 95 110 90 90
S 90 115 80 100
115
Gaji yang diminta tiap bulan dari pekerja tersebut adalah seperti Tabel 4 berikut:
Tabel 4. Data permintaan gaji pelamar
Pekerjaan Kode Pelamar
A1 A2 A3 A4
Gaji 50 60 50 45
Berikan penyelesaian tentang posisi pekerjaan para pekerja tersebut agar pendapatan
perusahaan maksimum.
2. Sebuah Kantor akan mengangkat empat Kepala SubBagian (Kasubag) dari empat orang, yaitu
Keuangan, Rumah Tangga, Pelayanan Masyarakat, dan Kerja Sama. Keempat calon adalah
A1, A1, A3, dan A4. Dari keempat orang tersebut mengajukan anggaran seperti terlihat pada
Tabel 4 berikut:
Tabel 4. Usulan dana berkenaan jabatan
Jabatan Calon Pejabat Kasubag
A1 A2 A3 A4
Keuangan 100 90 90 100
Rumah Tangga 70 65 85 90
Pelayanan Masyarakat 80 70 70 90
Kerja Sama 75 65 80 95
Tentukan posisi jabatan masing-masing agar biaya pengelolaan pekerjaan minimal. Adakah
posisi lain yang sama-sama menguntungkan?.
3. Untuk melayani transportasi Anak Sekolah/Pegawai Kantor, sebuah perusahaan kereta api
listrik akan membeli empat buah lokomotif yang akan ditempatkan pada tiga tempat yang
menyebar dalam kota itu, yaitu tempat I, II, dan III, masing-masing sebuah lokomotif kecuali
tempat III sebanyak dua buah lokomotif. Lokomotif-lokomotif itu akan melayani perjalanan dari
kota asal menuju tempat tujuan di pagi hari, dan pulang di siang hari. Jarak antara tempat asal
dan tempat tujuan terlihat pada Tabel 2 berikut:
116
Tabel 2. Jarak antara tempat asal dengan tempat tujuan.
Tempat Asal
Tempat tujuan
A B C D
I 13 35 42 9
II 6 61 18 30
III 15 10 5 9
Tentukan jaringan rel kereta api, agar total panjang rel minimum.
4. Suatu perusahaan memerlukan 5 orang untuk 5 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, pekerjaan
Q, pekerjaan R, pekerjaan S, dan pekerjaan T.
Untuk memenuhi pekerjaan itu, perusahaan membuka lowongan kerja, dan ternyata yang
melamar ada 7 orang, kemudian diberi kode: A1, A2, ..., A7. Prediksi pendapatan tiap bulan
yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pelamar adalah seperti Tabel 2 berikut:
Tabel 2. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan
Pekerjaan Kode Pelamar
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
P 100 120 85 100 90 130 90
Q 70 110 70 80 100 120 90
R 95 110 90 90 60 140 100
S 90 115 80 100 80 150 80
T 70 100 80 75 100 120 75
Para pelamar disuruh mengajukan gaji yang diminta setiap bulannya. Hasil permintaan
gaji pelamar adalah seperti Tabel 3 berikut:
Tabel 3. Data permintaan gaji pelamar
Pekerjaan Kode Pelamar
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Gaji 50 60 50 45 45 60 35
Tentukan 5 calon yang harus diterima agar keuntungan perusahaan maksimum.