Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
55
BAB IV
JAJAR GENJANG, BELAH KETUPAT, LAYANG-LAYANG,
TRAPESIUM DAN LINGKARAN
1. Jajar Genjang
Pengertian Jajar Genjang
Segitiga ABC pada gambar di atas diputar setcngah putaran pada titik
tengah BC, maka ABC dan bayangannya membentuk bangun jajar genjang
ABDC (Gambar (ii)). Jadi, jajar genjang dibentuk dari suatu segitiga dan
bayangannya setelah diputar setengah putaran pada titik tengah salah satu sisinya.
Bila ABC diputar setengah putaran pada titik tengah sisi yang lain, maka ABC
dan bayangannya akan membentuk jajargenjang berikut.
Pada Gambar (i) ABC diputar setengah putaran pada titik tcngah AC,
rnaka ABC dan bayangannya membentuk jajargenjang ABCD. Pada Gambar (ii)
ABC diputar setengah putaran pada titik tengah AB, maka ABC dan
bayangannya membentuk jajar genjang ADBC.
(i) (ii)
A
D
B
C
C
A B
D
56
Sifat-sifat Jajar Genjang
1) Jajar genjang ABCD diputar setengah putaran pada O, rnaka:
AB → CD
Jadi, AB = CD dan AB//CD.
BC → DA
jadi, BC = DA dan BC// DA
Karena AB # CD dan BC # DA ( #: sama
dan sejajar), maka dapat disimpulkan
bahwa:
Pada setiap jajar genang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2) Jajar genjang ABCD diputar setengah putaran pada O, maka:
ABC → CDA, Jadi ABC = CDA
BAD → DCB, Jadi BAD= DCB
Karena ABC = CDA dan BAD = DCB maka dapat disimpulkan
bahwa:
Pada setiap jajar genjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) Pada jajar genjang ABCD, AB // CD dan AD // BC
Karena AB//CD dan A dengan D
maupun B dengan C merupakan sudut
dalam sepihak, maka:
A + D = 180°
B + C = 180°
Karena AD//BC dan A dengan B
maupun C dengan D merupakan sudut
dalam sepihak, maka:
B C
D A
C
D A
B
O
57
A + B = 180°
C + D = 180°
Dengan demikian dapat disimpulkan:
Pada setiap jajar genjang jumlah besar sudut-sudut yang berdekatan = 180O
4) Jajargenjang ABCD diputar setengah putaran pada O, maka:
OA → OC
Jadi, OA = OC
OB → OD
Jadi, OB = OD
Karena OA = OC dan OB = OD, maka dapat disimpulkan bahwa:
Pada setiap jajar genjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama
panjang.
Berdasarkan sifat-sifat di atas dapat kita berikan batasan berikut:
Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar dan sama
panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Contoh:
Pada jajargenjang PQRS yang diagonal-diagonalnya berpotongan di O
diketahui PQ = 8cm, PS = 6 cm, QS = 7 cm, dan QPS = 58°. Tentukanlah:
a. Panjang QR
b. Panjang QO
c. Besar QRS
d. Besar PQR
Jawab:
58
a. QR = PS (sisi-sisi yang berhadapan sama besar)
= 6 cm
b. QO = 2
1QS (diagonal-diagonal saling membagi dua sama panjang)
= 2
1 x 7 cm
= 32
1 cm
c. QRS = QPS (sudut yang berhadapan sama besar)
= 58O
d. PQR = 180O – QPS (jumlah sudut yang berdekatan 180O)
= 180O – 58O
= 122O
2. Belah Ketupat
59
Gambar (i) di atas adalah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC dicerminkan
terhadap alas AC (Gambar (ii)) sehingga ABC dan bayangannya membentuk
segiempat ABCB yang disebut belah ketupat (Gambar (iii)).
Jadi, belahketupat dibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap alas segitiga tersebut.
Belahketupat ABCD (Gambar (i)) dibentuk dari segitiga sama kaki ABC dan
bayangannya (ADC) setelah dicerminkan terhadap alas AC.
Belahketupat PQRS (Gambar (ii)) dibentuk dari segitiga sama kaki PQR dan
bayangannya (PSR) setelah dicerminkan terhadap alas PR.
Sifat-sifat Belahketupat
1. ABC kongruen dengan ADC, maka:
AB = AD ..................................................(1)
BC = CD ...................................................(2)
ABC sama kaki, maka:
AB = BC ...................................................(3)
ADC sama kaki, maka:
CD = AD ................................................. (4)
Dan persamaan-persamaan di atas dapat disimpulkan hal berikut ini.
AB = BC ........................ (3)
BC = CD ......................... (2)
60
CD = AD ........................ (4)
Jadi, AB = BC = CD = AD
Semua sisi pada setiap belahketupat sama panjang. .
2. Perhatikan belahketupat ABCD pada Garnbar 5.8.
Segitiga ABC sama kaki dengan AB = CB, maka BC merupakan sumbu
simetri. Segitiga ABC sama kaki dengan AD = CD, maka OD merupakan
sumbu simetri.
Karena BOC dan COD saling berpelurus, maka BD adalah garis lurus
yang merupakan sumbu simetri belahketupat.
Segitiga sama kaki ABC kongruen dengan segitiga sama kaki ADC, maka AC
merupakan sumbu simetri belahketupat.
Karena AC dan BD merupakan sumbu simetri, maka dapat disimpulkan
bahwa:
Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya merupakan sumbu simetri.
3.
61
Pada letak 2, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri BD, maka:
A → C, sehingga A = C.
Pada letak 3, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC, maka:
B → D, sehingga, B = D
Karerta A = C, B = D dan kedua diagonal belahketupat merupakan
sumbu simetri, maka dapat disimpulkan:
Pada setiap belahketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi
dua smaa besar oleh diagonalnya.
4. Pada gambar di samping, belahketupat ABCD diputar setengah putaran pada
O, maka:
OA → OC, sehingga OA = OC
OB → OD, sehingga OB = OD
AOB = AOD = ½ x 180O
= 90O
Karena OA = OC, OB = CD dan
AOB = 90O, maka dapat
disimpulkan hal berikut ini.
Pada setiap belahketupat kedua diagonalnya saling membagi dua sama
panjang dan saling berpotongan tegak lurus
Berdasarkan sifat-sifat di atas dapat kita berikan batasan berikut.
Belahketupat adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat
sisinya sama panjang dan sudut-sudut yang berhadapan sarna besar
62
Berdasarkan sifat-sifat belahketupat yang telah kita pelajari, kita dapat
mengerjakan lukisan dalam Geometri yang pengerjaannya menggunakan mistar
dan jangka.
Pelajaran lukisan dasar dalam Geometri ini bertahun-tahun lamanya
menggunakan buku karangan Euclides, seorang ahli Matematika Yunani yang
hidup di Iskandaria kira-kira pada tahun 300 S.M.
Dengan lukisan dasar Geometri, kita dapat melukis garis-garis istimewa
dalam suatu segitiga, yaitu:
1. Garis tinggi
2. Garis bagi
3. Garis berat
4. Garis sumbu
Melukis Garis Tegak Lurus
a. Melukis Garis Tegak Lurus pada Suatu Garis dan Suatu Titik di luar Garis
Untuk melukis garis dari titik P yang tegak lurus dengan garis k (Gambar (i)),
bayangkanlah titik P sebagai titik sudut belahketupat dan garis k scbagai garis
yang memuat diagonal belahketupat (Gambar (ii)).
Dengan demikian langkah-langkah rnelukisnya adalah:
1. Lukis busur lingkaran dengan pusat P sehingga memotong garis k di titik
A dan B.
2. Dengan titik A dan B sebagai pusat dan jari-jari tetap, buatlah busur
lingkaran yang saling berpotongan di titik C.
63
3. Hubungkan P dan C, maka PC tegak lurus dengan garis k (PC ⊥ k) karena
PACB belahketupat
b. Melukis Garis Tegak Lurus pada Suatu Garis dan Suatu Titik yang Terletak
pada Garis
Untuk melukis garis dari titik M yang tegak lurus dengan garis k,
bayangkanlah titik M sebagai titik tengah dan alas segitiga sama kaki
(Gambar (ii)) sehingga sudut pada M rnerupakan sudut siku-siku.
Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:
0) Lukis busur Iingkaran dengan pusat M sehingga memotong garis k di titik
A dan B.
1) Dengan titik A dan B sebagai pusat dan jari-jari lebih panjang dari MA
buatlah busur lingkaran yang saling berpotongan di C.
2) Hubungkan C dan M, maka CM tegak lurus dengan garis k (CM ⊥ k)
64
c. Garis Tinggi Suatu Segitiga
Dangan pengetahuan melukis garis tegak lurus
terhadap garis yang ditentukan, maka kita dapat
melukis garis tinggi suatu segitiga AD tegak
lurus dengan sisi BC. AD disebut garis tinggi
segitiga ABC. Garis tinggi yang lain adalah B E
dan CF. Ketiga garis tinggi, yaitu AD, BE, dan
CF bertemu pada satu titik yaitu T. T disebut
titik tinggi.
Catatan: tiga garis atau lebih yang melalui suatu titik disebut konkruen.
iGaris tinggi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga
dan tegak lurus terhadap sisi di hadapannya.
Melukis Garis Bagi Suatu Sudut
a. Membagi Sudut Menjadi dua Sama Besar
Untuk melukis garis yang membagi sudut (Gambar (i)) menjadi dua bagian
yang sama, bayangkan kedua kaki sudut sebagai sisi-sisi yang berdekatan
pada belahketupat dan garis bagi sudut sebagai salah satu diagonalnya
(Gambar (ii)).
65
Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:
1) Lukis busur lingkaran dengan pusat P sehingga memotong kaki sudut PQ
di S dan kaki sudut PR di T.
2) Dengan titik S dan T sebagai pusat dari jari-jarinya tetap, buatah busur
lingkaran yang saling berpotongan di titik U.
3) Hubungkan P dan U, maka PU adalah garis yang membagi QPR
menjadi dua sudut sama besar, yaitu QPU dan RPU.
b. Garis Bagi Suatu Segitiga
AD membagi BAC menjadi dua sudut
sama besar, yaitu BAD = CAD. AD
disebut garis bagi pada ABC. Garis
bagi yang lain adalah BE dan CF. Ketiga
garis bagi bertemu pada satu titik yaitu
Z. Z merupakan titik pusat lingkaran
dalam pada ABC.
Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan
membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar
Melukis Sumbu Ruas Garis
a. Melukis Sumbu Ruas Garis
Sumbu ruas garis adalah garis yang membagi dua sama panjang ruas garis itu
dan tegak lurus pada ruas garis itu. Untuk melukis sumbu ruas garis AB,
bayangkan titik A dan B sebagai titik sudut belahketupat dan AB sebagai
A
66
diagonal belahketupat, sehingga diagonal yang lain merupakan sumbu ruas
garis AB.
Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:
1) Dengan titik A sebagai pusat dan
jari-jari lebih dari ½ AB, buatah
busur lingkaran di atas dan di bawah
garis AB.
2) Dengan titik B sebagai pusat dan
jari-jari tetap, buatlah busur
lingkaran di atas dan di bawah garis
AB, sehingga berpotongan dengan
busur tadi di titik P dan Q.
3) Hubungkan P dan Q maka PQ adalah
sumbu garis AB.
b. Garis Sumbu Suatu Segitiga
c.
Ketiga garis sumbu pada segitiga ABC
di samping bertemu pada satu titik, yaitu
M. Titik M merupakan titik pusat
lingkaran luar segitiga ABC, yaitu
lingkaran yang melalui titik sudut A, B,
dan C.
67
Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari pertengahan sisi
segitiga dan tegaklurus dengan sisi itu.
d. Garis Berat Suatu Segitiga
Titik D, B, dan F adalah titik tengah dan sisi-sisi segitiga ABC.
Garis AD, BE, dan CF disebut garis
berat segitiga ABC. Ketiga garis berat
bertemu pada satu titik (titik C) yang
disebu titik berat.
Garis berat suatu segitga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke
pertengahan sisi di hadapannya.
3. Layang-layang
Pengertian Layang-Layang
Kedua segitiga pada Gambar (i) dan (ii) di atas adalah segitiga sama kaki yang
memiliki alas yang sama panjang, yaitu BD. Bila segitiga ABD dan CBD
diimpitkan alasnya, maka terbentuk bangun segiempat ABCD pada Gambar (iii)
dan (iv) yang disebut layang-layang.
Sifat-sifat Layang-Layang
68
1. Layang-layang ABCD dibentuk dari segitiga sama kaki ABD dan segitiga
sama kaki BCD.
ABD sama kaki, maka AB = AD.
BCD sama kaki, maka BC = CD.
Karena AB = AD dan BC = CD, maka
dapat disimpulkan
Pada setiap layang-layang, sisinya
sepasang-sepasang sama panjang.
2. ABD sama kaki, maka ABD = ADB
BCD sama kaki, maka CBD = CDB
ABD + CBD = ADB + CDB
Jadi, ABC = ADC
Karena ABC = ADC, maka dapat
disimpulkan:
Pada setiap layang-layang, sepasang sudut
yang berhadapan sama besar.
3. Segitiga ABD sama kaki dengan AB = AD,
maka AO merupakan sumbu simetri.
Segitiga BCD sama kaki dengan BC = CD,
maka OC merupakan sumbu simetri.
Karena AOD dan DOC saling berpelurus,
maka AC adalah garis lurus yang merupakan
sumbu simetri layang-layang ABCD.
Dengan demikian dapat disimpulkan:
Pada setiap layang-layang salah satu
diagonalnya merupakan sumbu simetri.
69
4. Pada gambar di samping, layang-layang
ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC,
maka:
OB →OD
Jadi, OB = OD
AOB = AOD = ½ x 180°
= 90O
Karena OB = OD dan AOB = 90°, maka dapat disimpulkan:
Pada setiap layang-layang salah satu diagonal membagi dua sama panjang
diagonal lain dan tegak lurus dengan diagonal itu.
4. Trapesium
Pengertian Trapesium
Keempat segiempat pada Gambar di atas masing-masing hanya memiliki
sepasang sisi berhadapan yang sejajar. Segiempat seperti itu disebut trapesium.
Gambar (i) dan (ii) adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama
panjangnya, disebut trapesium sembarang. Gambar (iii) adalah trapesium yang
memiliki sepasang sisi berhadapan sama panjang, disebut trapesium sama kaki.
Sedangkan Gambar (iv) adalah trapesium yang memiliki sudut siku-siku, disebut
trapesium siku-siku.
Trapesium adalah segiempat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar
70
5. Lingkaran
Unsur-unsur Lingkaran
Dari benda-benda yang kita lihat, sering terdapat benda yang pada bagian
tepinya berbentuk lengkung melingkar yang disebut lingkaran. Beberapa benda
yang bagian tepinya berbentuk lingkaran di antaranya diperlihatkan pada gambar
berikut.
Selain benda-berida tersebut, masih banyak benda lain yang bagian
tepinya berbentuk lingkaran. Dapatkah kamu menyebutkan contoh lainnya?
Selanjutnya untuk memahami unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran,
perhatikan uraian berikut ini.
- Titik O disebut pusat lingkaran
- Garis OA, OB dan OC disebut jari-jari
atau radius (r).
- Garis AC disebut garis tengah atau
diameter (d), yaitu garis yang
menghubungkan dua titik pada
lingkaran dan melalui titik pusat
lingkaran
- Garis lurus FG disebut tali busur.
- Garis lengkung AB dan FG disebut busur.
- Daerah arsiran yang dibatasi oleh dua jari-jari, misalnya OA, OB, dan busur
AB disebut juring atau sektor.
71
- Daerah arsiran yang dibatasi oleh tali busur EG dan busur FG disebut
tembereng.
- Garis OD (tegak lurus FG) disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali
busur dengan pusat lingkaran.