Upload
ledien
View
262
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB �
Konsep Dasar
�
BAB �
Solusi Persamaan Fungsi
Polinomial
�
BAB �
Interpolasi dan Aproksimasi
Polinomial
�
BAB �
Metoda Numeris untuk Sistem
Nonlinier
�
BAB �
Metoda Numeris Untuk Masalah
Nilai Awal
�
BAB �
Metoda Numeris Untuk Masalah
Nilai Batas
Suatu fenomena yang umum dibicarakan berkenaan dengan masalahnilai batas ini adalah dalam bidang teknik sipil� Salah satu contohnyayaitu de�eksi dari suatu balok persegi panjang yang kedua ujungnyatersanggah dengan kuat sehingga tidak mengalami perubahan� Persa�
S S
0 L
w(x)
x
maan difrensial dari fenomena ini digambarkan sebagai
d�w
dx��
S
EIw �
qx
�EI�x� L
dimana w�w�x� adalah de�eksi yang dialami balok pada jarak tertentux� sedang L� q�E� S� dan I masing�masing menunjukkan panjang balok�intensitas beban� modulus elastisitas� tekanan pada ujung balok� danmomen inersia� Selanjutnya karena ujung balok tidak mengalami pe�rubahan maka de�eksi tidak terjadi pada daerah ini� sehingga PD order� tersebut memenuhi sarat batas
w� � w�l �
��
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Fokus permasalahan sekarang berkenaan dengan ketebalan balok itu�apakah balok itu mempunyai ketebalan yang sama �uniform�� jika initerpenuhi solusi eksak dapat ditelusuri oleh solusi analitik� dan EI akanmenjadi konstan� Namun pada umumnya ketebalan itu tidak uniformatau beragam� sehingga momen inesrsia I merupakan fungsi dari x�yaitu I � I�x� sehingga dibutuhkanlah solusi numeris�
Masalah nilai batas dalam hal ini akan direpresentasikan dengan persamaan
difrensial order dua� dengan asumsi semua sistem persaamaan difrensial order p
dapat ditransformasikan kedalam order � ini Secara umumpersamaan itu adalah
sebagai berikut
y�� � f�x� y� y�� a � x � b �� �
y�a � � dan y�b � � �� �
Teorema ��� Bila suatu fungsi f dalam masalah nilai batas
y�� � f�x� y� y�� a � x � b� y�a � �� y�b � ��
adalah fungsi kontinyu dalam himpunan
D � f�x� y� y�ja � x � b��� � y ����� � y� ��g�
dan �f�y� �f�y�
juga kontinyu dalam D� maka jika
�� �f�y�x� y� y� � untuk semua �x� y� y� � D� dan
�� ada konstanta M � denga j �f�y�
�x� y� y�j �M � untuk setiap �x� y� y� � D�
masalah nilai batas diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal�
Contoh ��� Masalah nilai batas berikut
y�� � e�xy � sin y� � � � � x � �� y�� � y�� � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
mempunyai
f�x� y� y� � �e�xy � siny��
Sekarang
�f
�y�x� y� y� � xe�xy � � sebab � � x � �
dan
j�f
�y��x� y� y�j � j � cos y�j �M� dimana M � �
sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal�
��� Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB li�
nier
Jika f�x� y� y� disajikan dalam bentuk
f�x� y� y� � p�xy� � q�xy � r�x� a � x � b� y�a � �� y�b � �� �� �
maka persamaan difrensial y�� � f�x� y� y� disebut MNB linier Selain itu disebut
MNB non linier
Selanjutnya untuk menerapkan metoda ini pertama kali kita pilih N � dan
bagi interval �a� b� menjadi bagian kecil �grid kedalamN�� subinterval homogen�
dimana xi � a � ih� untuk i � � �� �� � � � � N � � dan h � b�aN�� Perlu dicatat
bahwa untuk N �� maka h� � solusi numeris dengan metoda ini diharapkan
mengaplikasikan N �� sehingga solusinya benar�benar akurat menginterpolasi
y���xi � p�xiy� � q�xiy � r�xi� a � x � b� y�a � �� y�b � � �� �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Perluas y dalam deret Taylor sampai order � akan xi untuk xi�� dan xi��
y�xi�� � y�xi � h � y�xi � hy��xi �h�
�y���xi �
h�
�y����xi �
h�
��y������i � �� �
untuk �� � �xi� xi�� dan
y�xi�� � y�xi � h � y�xi� hy��xi �h�
�y���xi�
h�
�y����xi �
h�
��y������i � �� �
untuk �� � �xi��� xi Dalam hal ini y � C��xi��� xi���
Jumlahkan kedua persamaan ��� dan ��� sehingga diperoleh
y���xi ��
h��y�xi��� �y�xi � y�xi����
h�
���y������ � y������i �� �� �
Dengan teorema nilai tengan diperoleh
y���xi ��
h��y�xi��� �y�xi � y�xi����
h�
��y�����i �� �
untuk �i � �xi��� xi��� ini disebut dengan rumus Difrensi Terpusat
Selanjutnya dengan mengurangkan kedua persamaan itu diperoleh
y��xi ��
�h�y�xi��� y�xi����
h�
�y���
�i� �� �
untuk i � �xi��� xi��
Substitusikan ��� dan ��� ini kedalam ��� maka
y�xi�� � �y�xi � y�xi��
h�� p�xi
�y�xi��� y�xi��
�h
�� q�xiy�xi
�r�xi �h�
����p�xiy
���
�i� y�����i�
Metoda difrensi terbatas dengan kesalahan pemenggalan O�h� dapat di�
sajikan bersama nilai batas y�a � � dan y�b � �� yakni
w� � �� wN�� � � �� �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
��wi � wi�� � wi��
h�
�� p�xi
�wi�� � wi��
�h
�� q�xiwi � �r�xi�
�
�� �
h
�p�xi
�wi�� � �� � h�q�xiwi �
�� �
h
�p�xi
�wi�� � �h�r�xi��� ��
dimana i � �� �� � � � � N Kombinasi dari ��� dan ��� akan mengarah pada
pembentukan sistem linier
Aw � b �� ��
dimana A adalah matrik tridiagonal� w dan b adalah suatu vektor� dengan entri
sebagai berikut
A �
��������������
� � h�q�x� �� � h�p�x� � � �
�� � h�p�x� � � h�q�x� �� � h
�p�x�
�� � h�p�xN��
� � � ��� h�p�xN � � h�q�xN
�
w �
��������������
w�
w�
wN��
wN
�� dan b �
���������������
�h�r�x� �
�� � h
�p�x�
�w�
�h�r�x�
�h�r�xN��
�h�r�xN �
��� h
�p�xN
�wN��
�
Algoritma metoda Difrensi Terbatas linier
INPUT a� b� nilai batas �� beta dan N � �
OUTPUT approksimasi wi untuk y�xi� dimana i � � �� � � � � N � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Step � Set h � �b� a�N � ��
x � a� h�
a� � � � h�q�x�
b� � �� � �h�p�x�
d� � �h�r�x � �� � �h�p�x�
Step � For i � �� � � � � N � �
set x � a� ih�
ai � � � h�q�x�
bi � �� � �h�p�x�
ci � ��� �h�p�x�
di � �h�r�x
Step � Set x � b� h�
aN � � � h�q�x�
cN � ��� �h�p�x�
dN � �h�r�x � �� � �h�p�x�
Step � Set l� � a�� �Step ���� adalah program untuk menyelesaikan sistem
linier tridiagonal
u� � b�a��
z� � d�l��
Step � For I � �� � � � � N � ��
set li � ai � ciui���
ui � bili�
zi � �di � cizi��li�
Step � Set lN � aN � cNuN���
zN � �dN � cNzN��lN �
Step � Set w� � ��
wN�� � ��
wN � zn�
Step � For i � N � �� � � � � � set wi � zi � uiwi���
Step � For i � � �� � � � � N � � set x � a� ih�
OUTPUT �x�wi
Step � STOP �Prosedur selesai
Contoh ���� Gunakan algoritma metoda Difrensi Terbatas Untuk menyelesaikan
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
masalah nilai batas berikut ini�
y�� � ��
xy� �
�
x�y �
sin�lnx
x�� � � x � �� y�� � �� y�� � ��
dengan N��� dan h����
Penyelesaian ���� Memahami bentuk persamaan linier itu dalam hal ini dapat
ditulis bahwa p�x � � �x� q�x � �
x�dan r�x � sin�lnx�
x�� Selanjutnya untuk xi �
a� ih� maka
i � � x� � a� �h � ��
i � � � x� � a� ��h � �� � �� � ���
i � � � x� � ���
���
i � � � x � ���
sehingga sebagian entri dari matrik A dan vektor w� b dapat digambarkan sebagai
berikut
A �
��������������
� � ����q���� �� � ���� p���� � � �
�� � ���� p���� � � ����q���� �� � ���
� p�������
��� �� � ���� p����
� � � ��� ���� p���� � � ����q����
�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
w �
��������������
w�
w�
���
wN��
wN
�� dan b �
���������������
�����r���� �
�� � ���
� p����
���
�����r����
���
�����r����
�����r���� �
�� � ���
�p����
���
�
Dengan menggunakan algoritma diatas diperoleh hasil dalam tabel dibawah
ini�
xi wi y�xi en� � � � � � ���� � ����� ���� � ��
� � � ����� � ����� ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ����� � ������ ���� � ��
� � � ����� � ������ ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ������ � ����� ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ���
� � �
Tabel � �� Data hasil simulasi Difrensi Terbatas Linier
Dibawah ini dapat dilihat visualisasi gra�k dari metoda Difrensi Terbatas untuk
interval domain � � x � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
o : Solusi eksak
−− : Solusi numeris
Gambar � �� Interpolasi metoda Difrensi Terbatas
��� Metoda Difrensi Terbatas untuk MNB non
linier
Secara umum MNB non linier disajikan dalam bentuk
y�� � f�x� y� y�� a � x � b� y�a � �� y�b � �� �� ��
Teorema ���� MNB diatas dikatakan mempunyai solusi tunggal bila untuk in�
terval domain
D � f�x� y� y�ja � x � b��� � y ����� � y� ��g�
maka
�� f� �f�y
dan �f�y�
adalah fungsi kontinyu dalam D�
�� �f�y�x� y� y� � � untuk sebarang � �
� ada konstanta K� dan L dimana
K � max�x�y�y���Dj�f
�y�x� y� y�j� L � max�x�y�y���Dj
�f
�y��x� y� y�j
Selanjutnya sebagaimana halnya metoda Difrensi Terbatas pertama kali kita
pilih N � dan bagi interval �a� b� menjadi bagian kecil �grid kedalam N � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS �
subinterval homogen� dimana xi � a � ih� untuk i � � �� �� � � � � N � � dan
h � b�aN��
Kemudian kita ganti y���xi dan y��xi pada persamaan non linier
berikut
y���xi � f�xi� y�xi� y��xi a � x � b� y�a � �� y�b � � �� ��
dengan rumus Difrensi Terpusat pada ��� dan ���� maka untuk i � �� �� � � � � N
berlaku
y�xi�� � �y�xi � y�xi��
h�� f
�xi� y�xi�
y�xi��� y�xi��
�h�
h�
�y���
�i
�
�h�
��y�����i� �� ��
untuk sebarang �i� i elemen �xi��� xi�� Demikian juga bila suku kesalahan kita
penggal maka diperoleh bentuk selengkapnya dengan nilai batas sebagai beikut
w� � �� wN�� � � �� ��
�wi�� � �wi � wi��
h�� f
�xi� wi�
wi�� �wi��
�h
�� � �� ��
untuk i � �� �� � � � � N
Sekarang sistem nonlinier N �N yang diperoleh dari metoda ini adalah
�w� � w� � h�f
�x�� w��
w� � �
�h
�� � � �
�w� � �w� � w� � h�f
�x�� w��
w� �w�
�h
�� �
�� ��
�wN�� � �wN�� � wN � h�f
�xN��� wN���
wN �wN��
�h
�� �
�wN�� � �wN � h�f
�xN � wN �
� � wN��
�h
�� � � �
mempunyai solusi tunggal sepanjang h � �L
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Untuk mengaproksimasi solusi terhadap sistem ini akan digunakan metoda
Newton sebagaimana dijelaskan dalam bab �� dengan hasil berupa barisan bila�
ngan fw�k � � w
�k � � � � � � w
�k N g� yang diawali dengan memilih nilai awal fw��
� � w�� � � � � � � w
�� N g
Untuk sistem diatas dapat ditentukan Jacobian matriknya� yakni
J�wi �
���������� ����������
�� � h�fy�
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j � � j � �� ���� N�
� � h�fy
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j j � �� ���� N�
��� h�fy�
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j � � j � �� ���� N � ��
dimana w� � � dan wN�� � � Fungsi F�x� dapat ditentukan langsung dari
persamaan nonlinier diatas� yaitu
F�wi �
����������������
�w� � w� � h�f
�x�� w��
w����h
�� �
�w� � �w� � w� � h�f
�x�� w��
w��w��h
�
�wN�� � �wN�� �wN � h�f
�xN��� wN���
wN�wN��
�h
�
�wN�� � �wN � h�f
�xN � wN �
��wN��
�h
�� �
�
�
Metoda newton dapat diterapkan dengan dengan menyelesaikan persamaan
J�wi�viT � �F�wi
terlebih dahulu� kemudian hasil v�� v�� � � � � vn dipakai untuk menghitung
w�k i � w
�k�� i � vi� i � �� �� � � � � N
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Algoritma metoda Difrensi Terbatas non linier
INPUT a� b� nilai batas �� beta dan N � �� toleransi �� jumlah iterasi
maksimumM
OUTPUT approksimasi wi untuk y�xi� dimana i � � �� � � � � N � �
Step � Set h � �b� a�N � ��
w� � ��
wN�� � ���
Step � For i � �� � � � � N � �
set wi � �� i
����b�a
�h�
Step � Set k � ��
Step � While k �M kerjakan step ����
Step � Set x � a� h�
t � �w� � ���h�
a� � � � h�fy�x�w�� t�
b� � �� � �h�fy� �x�w�� t�
d� � ���w� �w� � �� h�f�x�w�� t�
Step � For i � �� � � � � N � ��
t � �wi�� � wi����h�
ai � � � h�fy�x�wi� t�
bi � �� � �h�fy��x�wi� t�
ci � ��� �h�fy� �x�wi� t�
di � ���wi � wi�� � wi�� � h�f�x�wi� t�
Step � Set x � b� h�
t � �� �wN����h�
aN � � � h�fy�x�wN � t�
cN � �� � �h�fy� �x�wN � t�
dN � ���wN � wN�� � �� h�f�x�wi� t�
Step � Set l� � a�� �Step ���� adalah untuk menyelesaikan sistem
linier tridiagonal
u� � b�a��
z� � d�l��
Step � For i � �� � � � � N � �
Set li � ai � ciui���
Set ui � b�li�
zi � �di � cizi��li�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Step � Set lN � aN � cNuN���
zN � �dN � cNzN��lN �
Step �� Set vN � zN �
wN � wN � vN �
Step �� For I � N � �� � � � � ��
Set vi � zi � uivi���
Set wi � wi � vi�
Step �� If jjvjj � � maka kerjakan langkah �� dan ��
Step �� For i � � � � � � N � �
Set x � a� ih�
OUTPUT �x�wi �Prosedur selesai dengan sukses
Step �� STOP
Step �� Set k � k � �
Step �� OUTPUT �Jumlah maksimum dari iteraszi dibutuhkan
�Prosedur selesai dengan tidak sukses
STOP
Contoh ���� Gunakan algoritma ini� dengan h � ��� hitung masalah nilai
batas berikut ini
y�� ��
���� � �x� � yy�� � � x � �� y�� � ��� y�� � ����
Penyelesaian ���� Memahami bentuk persamaan non linier ini maka sistem
nonlinier �� � �� dapat ditulis sebagai berikut
�w� � w� � �����
�
��� � �x�
� �w�w� � ��
����
�� �� � �
�w� � �w� � w� � �����
�
��� � �x�
� � w�w� � w�
����
�� �
���
�w�� � �w� � �����
�
��� � �x�
� � w�
��� � w��
����
��
��
�� �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Selanjutnya matrik Jacobiannya adalah
J�wi �
���������� ����������
�� � ������ fy�
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j � � j � �� ���� ���
� � ����fy
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j j � �� ���� ���
��� ������fy�
�xi� wi�
wi���wi���h
�� i � j � � j � �� ���� ���
Tabel berikut ini memberikan hasil selengkapnya dari metoda Difrensi Terbatas
non linier ini dengan menentukan nilai awal fw�� � � w
�� � � � � � � w
�� N g�
xi wi y�xi en� � � � � � ���� � ����� ���� � ��
� � � ����� � ����� ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ����� � ������ ���� � ��
� � � ����� � ������ ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ������ � ����� ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ��
� � � ������ � ������ ���� � ���
� � �
Dibawah ini dapat dilihat visualisasi gra�k dari metoda Difrensi Terbatas untuk
interval domain � � x � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
o : Solusi eksak
−− : Solusi numeris
Gambar � �� Interpolasi metoda Difrensi Terbatas
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI BATAS ��
Latihan Tutorial �
� Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk�
y�� � ��y � x� � x � �� y� � � y�� � �
mempunyai solusi y�x � e��e� � ����e�x � e��x � x Gunakan metoda
difrensi terbatas dengan h � �� dan h � ��
� Masalah nilai awal yang disajikan dalam bentuk�
y�� � y� � �y � cosx� � x � �� y� � ���� y� � � ���
mempunyai solusi y�x � � ����sinx � � cos x Gunakan metoda difrensi
terbatas dengan h � � dan h � �
� Gunakan algoritma difrensi terbatas untuk menyelesaikan beberapa soal
berikut ini
� y�� � y� � �y � �x � �� � x � �� y� � �� y�� � �� h � ��
� y�� � � �xy� � �
x�y � �
x�lnx� � � x � �� y�� � ���� y�� �
ln �� h � ��
� y�� � �x � �y���y� ��� x�e�x� � x � �� y� � ��� y�� �
� h � ��
� y�� � y�
x� �y
x�� lnx
x� �� � � x � �� y�� � � y�� � � h � ��
� Gunakan difrensi terbatas linier untuk menentukan solusi hampiran y�x �
e���x terhadap masalah nilai batas� y�� � �y� � x � �� y� �
�� y�� � e��� dengan h � �� dan h � ��
Daftar Pustaka
Burden� R L and Faires� J D ���� Numerical Analysis Brooks�Cole Publishing
Company U S
Golub� G H and Van Loan� C F ���� Matrix Computations Second Edition
Johns Hopkins University Press Baltimore and London
Higham� N J ���� Accuracy and Stability of Numerical Algorithms SIAMBooks Philadelphia
Penny� J and Lind�eld� G ���� Numerical Methods Using Matlab EllisHorwood Limited London
Powell� M J D ���� Approximation Theory and Methods Cambridge UniversityPress U K
Strang� G ���� Linear Algebra and its Applications Academic Press� U K
Varga� R S ���� Matrix Iterative Analysis Prentice�Hall� Inc EnglewoodCli�s New Jersey
��