BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE …rozszerzeniem kryterium płynięcia von Misesa poprzez wprowadzenie naprężeń hydrostatycznych do naprężeń ekwiwalentnych. Motz i Pippan[9]

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X

42, s. 97-112, Gliwice 2012

BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE

PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS

MARIAN KLASZTORNY, JERZY MAŁACHOWSKI,

PAWEŁ DZIEWULSKI, DANIEL NYCZ, PAWEŁ GOTOWICKI Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wojskowa Akademia Techniczna

e-mail:[email protected]

Streszczenie. Przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania

numerycznego jest piana ze stopu aluminium, o porach zamkniętych (nazwa

handlowa Alporas), o gęstości 0.22 g/cm3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti.

Na podstawie danych literaturowych przyjęto, że piana jest izotropowa po

homogenizacji. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania

jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie

prostopadłej do arkusza piany. Pianę po homogenizacji opisano modelem

materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do walidacji eksperymentalnej

modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych w elementach z piany

Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego statycznego pod

kątem 20° do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie i zginanie).

Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności (wymaganego

w przypadku modelu MAT_026) krzywej ścinania w funkcji odkształcenia

objętościowego do krzywej ściskania również w funkcji odkształcenia

objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem.

1. WSTĘP

Piana aluminiowa o porach zamkniętych należy do materiałów znajdujących coraz szersze

zastosowania militarne i cywilne ze względu na specyficzne właściwości materiałowe, m.in.

mała gęstość, wysoka wytrzymałość względna, wysoka sztywność względna, wysoka

względna absorpcja energii, stabilność wymiarów, dobra obrabialność mechaniczna,

absorpcja dźwięku, odporność ogniowa, nietoksyczność, łatwy recykling.

Piana aluminiowa o porach zamkniętych jest materiałem z mikrostrukturą o losowych

parametrach. W modelowaniu numerycznym najczęściej stosuje się homogenizację, tj.

zastąpienie materiału niejednorodnego w skali mikro materiałem jednorodnym w skali makro.

Podstawową próbą eksperymentalną pian metalowych jest jednoosiowe ściskanie. Typowa

krzywa odkształcenie – naprężenie zawiera strefę nieliniową sprężystą (z małymi

deformacjami plastycznymi), strefę quasi-liniową plateau oraz nieliniową strefę zagęszczania

materiału. Obserwuje się bardzo mały efekt Poissona w dwóch pierwszych strefach oraz efekt

prawie całkowitej nieściśliwości piany całkowicie zagęszczonej. W przypadku próby

rozciągania jednokierunkowego obserwuje się strefę nieliniową sprężystą (z małymi

deformacjami plastycznymi), lokalną strefę nieliniową plastyczną oraz pękanie piany

aluminiowej (zerwanie próbki).

98 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI

Zagadnienie modelowania konstytutywnego metali spienionych, w tym pian o porach

zamkniętych ze stopów aluminium, jest rozwijane od ponad 20 lat. W większości prac piana

metalowa modelowana jest jako jednorodne continuum materialne, m.in. [1-13]. Równolegle

rozwijane są metody modelowania mikrostrukturalnego, m.in. [14,15].

Gibson i in. [1] zastosowali teorię plastyczności przyrostowej, niezależną od prędkości

odkształceń, ze stowarzyszonym prawem płynięcia i wzmocnieniem izotropowym do

sformułowania równania powierzchni płynięcia piany metalowej jako continuum

izotropowego. Autorzy przyjęli teorię dużych deformacji i tensor odkształceń

logarytmicznych. Zaproponowany trójparametrowy model fenomenologiczny został

zaimplementowany w systemie ABAQUS.

Gibson i Ashby [2] opracowali formuły analityczne do predykcji naprężeń plateau

i modułu Younga piany metalowej, w których rozdzielono wpływ ścianek (zależność liniowa

od względnej gęstości) i naroży porów zamkniętych (zależność w potędze 1,5 dla lub 2

dla modułu Younga od względnej gęstości).

Andrews i in. [3] porównali wyniki eksperymentalnych testów ściskania i rozciągania pian

aluminiowych, wytwarzanych w różnych technologiach, z modelami ośrodków komórkowych

o porach otwartych i zamkniętych. Przeprowadzono eksperymentalny test zginania 4-

punktowego belki z piany Alporas i wykorzystano go do walidacji modelu MES

z mikrostrukturą. Opracowano formuły analityczne określające moduł Younga i naprężenia

plateau pian o gęstościach względnych poniżej 20%.

Sheni in. [4] wykazali, że piana Alporas (kompozycja Al+1,5%Ca+1,5%Ti) o porach

zamkniętych i gęstości 0,23 g/cm3 jest wrażliwa na prędkości odkształceń przy ściskaniu, co

uzasadniają mikroinercją ścianek porów. Badania przeprowadzili dla prędkości odkształceń

w przedziale [10-3

; 2,2×102] s

-1. Autorzy wyznaczyli formułę potęgową określającą względne

naprężenie plateau w funkcji prędkości odkształceń i względnej gęstości. W rozpatrywanym

przedziale prędkości odkształceń naprężenia plateau wzrastają do 45%.

Miller [5] zaproponował opis powierzchni płynięcia homogenizowanej piany aluminiowej

izotropowej, wykazującej różne granice plastyczności przy jednoosiowym rozciąganiu

i ściskaniu. Autor uwzględnił umocnienie przy zagęszczaniu piany oraz efekt Poissona.

Model nie obejmuje rozciągania piany. Testy walidacyjne dotyczyły ściskania próbki naciętej

obustronnie oraz wciskania indentera sferycznego.

Olurin i in. [6] przedstawili wyniki badań eksperymentalnych dwóch pian ze stopu

aluminium o porach zamkniętych (Alporas i Alcan), a także wyniki badań wiązkości pękania

próbek z ostrymi nacięciami. Badano piany o gęstościach =0,20; 0,30; 0,40 g/cm3. Badania

obejmowały testy rozciągania i ściskania jednokierunkowego w trzech kierunkach.

Wykazano, że piana Alporas jest materiałem quasi-izotropowym.

Onck [7] przedstawił badania numeryczne jednoosiowego ściskania próbki

prostopadłościennej z piany aluminiowej Alporas, naciętej obustronnie. Zastosowano model

fenomenologiczny piany opracowany przez Deshpande’a i Flecka w pracy [8]. Model ten jest

rozszerzeniem kryterium płynięcia von Misesa poprzez wprowadzenie naprężeń

hydrostatycznych do naprężeń ekwiwalentnych.

Motz i Pippan[9] opisali próbę rozciągania piany Alporas o gęstościach =0,25; 0,40

g/cm3, przeprowadzoną na próbkach wiosełkowych o przekroju części środkowej 25×25 mm

2.

Analizowali lokalne deformacje i rozwój pęknięć.

Hanssen i in. [10] opracowali bazę danych eksperymentalnych obejmującą testy

kalibracyjne piany aluminiowej, testy walidacyjne piany aluminiowej oraz testy strukturalne

na prętach i belkach z rdzeniem z piany aluminiowej. Powyższą bazę wykorzystano do

walidacji modeli konstytutywnych o numerach 26, 63, 75, 126 w systemie LS-Dyna oraz 5

innych modeli piany. Badania eksperymentalne ograniczono do testów quasi-statycznych oraz

BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 99

testów dynamicznych przy niskiej prędkości odkształceń rzędu 101 s

-1. Badania dotyczą piany

aluminiowej produkcji Hydro Aluminium AS (materiał bazowy AlSi8Mg, nazwa handlowa

1997 foam), o gęstościach =0,10 – 0,50 g/cm3. Próbki prostopadłościenne wycinano

z uwzględnieniem układu xyz, gdzie x – kierunek odlewania ciągłego, y – kierunek

prostopadły do odlewania ciągłego, z – kierunek grubości arkusza piany. Wykazano, że piana

1997 foam wykazuje znaczną ortotropię. Testy kalibracyjne obejmowały ściskanie

i rozciąganie jednokierunkowe, ściskanie dynamiczne na młocie udarowym, ściskanie

hydrostatyczne, rozciąganie materiału litego. Testy walidacyjne obejmowały wciskanie

indentera, obciążenie diagonalne, ściskanie dwustopniowe. Testy strukturalne obejmowały

ściskanie pręta i zginanie 3-punktowe belki, wypełnionych pianą aluminiową. Opracowano

formuły analityczne do opisu krzywych naprężenie – odkształcenie objętościowe

w jednoosiowym ściskaniu i hydrostatycznym ściskaniu i wyznaczono stałe materiałowe

w zależności od gęstości piany.

Kontynuacją pracy [10] jest praca [11], w której rozszerzono model konstytutywny

Deshpande’a i Flecka poprzez dodanie dwóch kryteriów pękania. Pierwsze kryterium dotyczy

odkształceń plastycznych objętościowych przy rozciąganiu hydrostatycznym, a drugie

sformułowano na dla energii odkształceń plastycznych. Rozszerzony model autorzy

zaimplementowali w systemie LS-Dyna jako procedurę własną. Uwzględnili również

niejednorodność właściwości piany po homogenizacji, przez wprowadzenie statystycznego

rozkładu gęstości elementów skończonych piany. Badania numeryczne i eksperymentalne

weryfikacyjne dotyczą piany Hydro Aluminium

Wyniki testów eksperymentalnych piany Hydro Aluminium (stop Al, Si, FE, Cu, Ni)

w złożonych stanach obciążenia, a także w prostych przypadkach wytrzymałościowych,

zaprezentowano w pracy [12]. Gęstość piany wynosiła =0,26 g/cm3 . Wariacje stałych

materiałowych piany poddano analizie statystycznej Weibulla. Aly [13] przedstawił wyniki

badań eksperymentalnych testu ściskania piany Alporas, w zakresie temperatur 25-620 ˚C.

Badano piany o gęstościach 0,25; 0,29, 0,36 g/cm3. Zgodnie z oczekiwaniami, wpływ

temperatury i gęstości piany na stałe materiałowe jest znaczny.

Georgi i in. [14] rozwinęli modelowanie mikrostrukturalne piany aluminiowej AlSi10Mg

o gęstości średniej =0,43 g/cm3, z porami zamkniętymi, przy zastosowaniu MES.

W modelowaniu deterministycznym zastosowali wielościany Kelvina, a w modelowaniu

losowym – klatki elipsoidalne o losowych rozmiarach, lokalizacji i orientacji. Badania

ukierunkowano na wpływ gęstości i efekt skali.

Inne podejście do modelowania mikrostrukturalnego piany aluminiowej (o porach

otwartych) prezentują autorzy pracy [15]. Zastosowano technikę skanowania CT do

identyfikacji losowej geometrii próbek piany przed i w czasie próby ściskania

jednokierunkowego. Przeprowadzono modelowanie numeryczne tej próby z wykorzystaniem

przestrzennie zeskanowanej próbki przed przyłożeniem obciążenia. Chmura punktów została

przetransformowana na model rastrowy z użyciem 8-węzłowych elementów 3D. Celem pracy

było określenie podstawowego mechanizmu niszczenia piany w strefie naprężeń plateau.

W niniejszej pracy przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania numerycznego

jest piana ze stopu aluminium o porach zamkniętych, o nazwie handlowej Alporas, o gęstości

0,22 g/cm3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. Na podstawie literatury przyjęto, że piana

po homogenizacji jest izotropowa. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania

jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie

prostopadłej do arkusza piany. Wyniki poddano obróbce statystycznej. Pianę po

homogenizacji opisano modelem materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do

walidacji eksperymentalnej modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych

w elementach z piany Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego

statycznego pod kątem 20° do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie


i zginanie). Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności krzywej ścinania

w funkcji odkształcenia objętościowego i krzywej ściskania w funkcji odkształcenia

objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem.

2. BADANIA EKSPERYMENTALNE IDENTYFIKACYJNE

Badania dotyczą piany aluminiowej Alporas, produkowanej przez firmę Gleich GmbH

w Kaltenkirchen, Niemcy. Stop aluminium Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti ma gęstość =0,22 g/cm3

i pory zamknięte o średnim rozmiarze 4,0 mm (średnica zastępcza). Dodatek Ca wzmacnia

wiskotyczność piany, a dodatek Ti w postaci pudru wodorkowego jest czynnikiem

spieniającym. W tabeli 1 zestawiono stałe materiałowe piany Alporas podane w karcie

materiałowej producenta [16]. Indeks dolny u dotyczy materiału spienionego w postaci

wyjściowej.

Tabela 1. Stałe materiałowe piany Alporas w karcie materiałowej producenta [16] wartość jednostka

gęstość 0.25 g/cm3

moduł Younga Eu 0.7 GPa

moduł ścinania Gu 0.3 GPa

wytrzymałość na ścinanie Rsh 1.2 MPa

wytrzymałość na rozciąganie Rt 1.6 MPa

naprężenie plateau przy ściskaniu 1.5 MPa

stała Poissona materiału litego s 0.33 -

Badania identyfikacyjne statyczne przeprowadzono na maszynie INSTRON 8802

z prędkością 20 mm/min (prędkość odkształcenia normalnego 6,7×10-3

s-1

). Wymiary

przekrojów próbek prostopadłościennych piany aluminiowej są przyjmowane przez innych

badaczy od 20×20 mm2 do 70×70 mm

2[1-15]. Powszechnie uważa się, że efekt skali jest

wyeliminowany, jeśli wymiar próbki jest większy od 7d, gdzie d – średni rozmiar porów.

Próba ściskania jednokierunkowego statycznego została przeprowadzona dla dwóch

wariantów wymiarów próbek: 50 × 50 × 50 mm3, 100 × 100 × 50 mm

3 (ściskanie w kierunku

trzeciego wymiaru, odpowiadającego kierunkowi grubości arkusza piany). Na rys. 1

przedstawiono przebiegi - (naprężenie inżynierskie normalne ściskające – odkształcenie

inżynierskie normalne ściskające) dla próbek poddanych testom ściskania do wartości 80%

odkształcenia próbki prostopadłościennej. W rozpatrywanym zakresie odkształceń efekt

Poissona jest bardzo mały, stąd nie ma konieczności eliminacji sił tarcia na styku próbki

z płytami ściskającymi.

Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 1 jest mały. Na podstawie tych wykresów można

wyznaczyć początkowy moduł Younga materiału spienionego (z pominięciem próbek nr 2

i 4), naprężenia plateau, odkształcenie zagęszczenia oraz odkształcenie odpowiadające

pełnemu sprasowaniu piany. Uplastycznienie piany nie przebiega równomiernie w całej

objętości próbki; zamykają się kolejne warstwy porów, rozmieszczone losowo.

Naprężenia plateau, reprezentujące dyssypację (absorpcję) energii przy ściskaniu

jednoosiowym, zostały zdefiniowane w pracy [17], zgodnie z poniższymi wzorami:

- efektywność dyssypacji energii:

(1)


- warunek określający odkształcenie zagęszczenia:

(2)

- naprężenie plateau:

(3)

gdzie: – naprężenie normalne odpowiadające bieżącemu odkształceniu

normalnemu materiału homogenizowanego, – odkształcenie zagęszczenia.

Wartość naprężenia plateau można oszacować jako średnie naprężenie w przedziale 5-30%

odkształcenia normalnego , a odkształcenie zagęszczenia odpowiada w przybliżeniu

podwójnej wartości naprężenia plateau [6, 18].

Odkształcenie objętościowe inżynierskie odpowiadające pełnemu sprasowaniu piany może

być oszacowane ze wzoru [10]

(4)

gdzie: – gęstość początkowa piany, – gęstość materiału litego.

Rys. 1. Przebiegi - próby ściskania jednokierunkowego próbek 100 × 100 × 50 mm

2 piany

Alporas (=0.22 g/cm3)

Próbę rozciągania jednokierunkowego statycznego przeprowadzono na 6 próbkach

przedstawionych na rys. 2. Są to próbki wiosełkowe o przekroju poprzecznym 50×50 mm2

w części pomiarowej. Powierzchnie wiosełek mocowanych w uchwytach maszyny

wytrzymałościowej wzmocniono żywicą epoksydową. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi -

odpowiadające 4 próbkom (dwie próby uznano za nieudane).

Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 3 jest większy niż w próbie ściskania

jednokierunkowego. Materiał po homogenizacji (w skali makro) zachowuje się w sposób

nieliniowo – sprężysto – kruchy. Na podstawie wykresu średniego można wyznaczyć

początkowy moduł Younga przy rozciąganiu jednokierunkowym oraz oszacować

wytrzymałość na rozciąganie. Oszacowanie odkształceń normalnych rozciągających

niszczących nie jest możliwe w ramach modelu continuum jednorodnego. Uplastycznieniu

ulega najsłabsza warstwa porów, quasi-prostopadła do osi próbki, której odkształcenia

0

2

4

6

8

10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

e [-]

s [M

Pa]

s_01

s_02

s_03

s_04

s_05

s_06


normalne w kierunku osi próbki narastają gwałtownie aż do zerwania próbki. Odkształcenie

inżynierskie normalne rozciągające jest obliczane na podstawie przesunięcia trawersy

w odniesieniu do długości pomiarowej 150 mm, a więc jest wielokrotnie mniejsze od

rzeczywistego odkształcenia normalnego rozciągającego niszczącego.

Rys. 2. Kształt i wymiary geometryczne próbek o przekroju 50 × 50 mm2 piany Alporas

(=0.22 g/cm3), poddanych rozciąganiu jednokierunkowemu (w kierunku odlewania)

Rys. 3. Przebiegi - próby rozciągania jednokierunkowego czterech próbek wiosełkowych o

przekroju poprzecznym 50 × 50 mm2 piany Alporas (=0,22 g/cm

3)

Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby rozciągania, np. poprzez

przeprowadzenie ich na próbkach sześciennych 50 × 50× 50 mm3 przyklejonych do płyt

oprzyrządowania próby, podobnie jak w pracach [10,11].

Próbę ścinania statycznego piany Alporas (=0.22 g/cm3) przeprowadzono według normy

[19] na 5 próbkach. Podczas próby materiał próbki nie jest w stanie czystego ścinania, jednak

zastosowana długość próbki powoduje minimalizację wpływu naprężeń normalnych. Próbki

mają wymiary 150 × 50 × 12 mm i są przyklejone cienką warstwą żywicy epoksydowej do

stalowych płyt obciążających (rys. 4). Podczas próby rejestrowano przemieszczenie oraz siłę

obciążającą. Naprężenie styczne, odkształcenie styczne i moduł ścinania obliczono ze

wzorów klasycznej wytrzymałości materiałów [19]:

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

e [-]

s [M

Pa]

s_01

s_02

s_03

s_06


(5)

gdzie: τ – naprężenie styczne [MPa], P – obciążenie [N], L – długość próbki [mm], b –

szerokość próbki [mm], odkształcenie postaciowe, przemieszczenie płyty ruchomej

[mm], – grubość próbki [mm], – moduł ścinania [MPa], przyrost siły

odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu [N], – przyrost

przemieszczenia płyty ruchomej odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu

[mm]. Wytrzymałość na ścinanie Rshobliczono jako średnią z maksymalnych naprężeń

stycznych. Moduł ścinania wyznaczono metodą regresji liniowej.

Rys. 4. Próbka piany Alporas (=0.22 g/cm3) do testu ścinania według normy [19]

Rys. 5. Przebiegi dla trzech prób ścinania piany Alporas (=0,22 g/cm

3 ) według [19]

Na rys. 5 pokazano przebiegi dla trzech próbek (dwie próby uznano za nieudane).

W przypadku próbek Nr 3 i 4 widoczny jest początkowy luz oprzyrządowania. Na

krawędziach poprzecznych próbek Nr 3 i 5 (wymiar b) wystąpił efekt karbu. W chwili

osiągnięcia maksymalnego naprężenia stycznego inżynierskiego próbki te zaczęły odrywać

się od płyt stalowych. Piana Alporas w próbie ścinania zachowuje się jak materiał nieliniowo

sprężysto – plastyczny. Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby ścinania, np.

poprzez zastosowanie mocniejszego kleju i dodatkowe wzmocnienie linii karbu.

Stałe materiałowe wyznaczone z opisanych prób wytrzymałościowych zestawiono w tabeli

2. W nawiasach podano odchylenia standardowe. Symbolem t oznaczono odkształcenie

normalne inżynierskie niszczące przy rozciąganiu (zerwanie próbki).

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

g [-]

t [M

Pa]

spacimen_3

spacimen_4

spacimen_5


Tabela 2. Stale materiałowe piany Alporas (=0.22 g/cm3) wyznaczone z badań własnych

Wymiarypróbki

[mm]

[GPa]

[GPa]

[MPa]

[MPa]

[MPa]

[-]

50 × 50 × 50 0.207

(0.024)

- - - 1.14

(0.05)

-

100 × 100 × 50 0.179

(0.017)

- - - 1.33

(0.03)

-

150 × 50 × 50 - - - 1.62

(0.03)

- 0.027

(0.006)

150 × 50 × 12 - 0.041

(0.003)

1.28

(0.33)

- - -

Na podstawie przeprowadzonych badań eksperymentalnych identyfikacyjnych oraz

wyników zestawionych w tabeli 2 sformułowano następujące wnioski dotyczące piany

aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 (gęstość względna 0.08):

1) Zgodnie z literaturą, stałe materiałowe silnie zależą od gęstości piany. Wartości

dwóch pierwszych stałych okazały się jednak znacznie niższe od wartości katalogowych

zawartych w tabeli 1.

2) W przypadku próby ściskania, efekt skali jest również mierzalny w przedziale b=50-

100 mm, gdzie b jest wymiarem poprzecznym przekroju próbki. Świadczy to o pewnym

niewielkim efekcie Poissona również w strefie quasi-liniowej sprężystej.

3) Moduł Younga do symulacji można przyjąć jako wartość średnią dla próbek

o wymiarach 50 × 50 × 50 mm3 i 100 × 100 × 50 mm

3, tzn. 0.193 GPa. Aby

uwzględnić w przybliżeniu nieliniowość (mikrouplastycznienia) również w strefie

pierwszej, należy przyjąć sieczny, a nie styczny moduł Younga na poziomie

GPa.

4) Wyniki w zakresie stałych mogą być wyznaczone dokładniej poprzez odpowiednie

modyfikacje prób rozciągania jednokierunkowego i ścinania, opisane przy omawianiu

wyników tych prób.

5) Stałem materiałowe piany Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 charakteryzują się pewnym

rozrzutem wartości, który powinien być uwzględniony w symulacjach elementów

złożonych (próbki z ostrymi nacięciami, wciskanie indentera). Można to uzyskać,

symulując metodą Monte Carlo losowe fluktuacje gęstości piany wokół wartości średniej.

3. BADANIA EKSPERYMENTALNE WALIDACYJNE

Próba walidacyjna ściskania jednokierunkowego statycznego pod kątem 20° do osi próbki

z piany Alporas (=0.22 g/cm3) została przeprowadzona na próbkach sześciennych

50 × 50 × 50 mm3, z wykorzystaniem specjalnych głowic kątowych. Próbki zabezpieczono

przed przesuwem poprzecznym (poślizgiem) za pomocą występów w stalowych płytach

głowic. Na rys. 6 pokazano zdjęcia, w wybranych położeniach trawersy, z testu

odpowiadającego próbce nr 1. Można wykazać, że inżynierskie odkształcenie kątowe w

płaszczyźnie pionowej, obliczone na podstawie ilorazu przemieszczenia poprzecznego próbki

do aktualnej długości próbki, wynosi

(6)

gdzie: , przemieszczenie pionowe trawersy, długość próbki (mierzona

prostopadle do powierzchni głowic) w czasie eksperymentu.


Na rys. 7 przedstawiono wykresy F-s (pionowa siła ściskająca – pionowe przemieszczenie

trawersy) dla 5 próbek. Widoczna jest dobra zgodność jakościowa i ilościowa wykresów dla

poszczególnych próbek.

próbka nieodkształcona początek strefy plateau = 0.2 rad

= 0.4 rad = 0.6 rad = 0.8 rad

Rys. 6. Kolejne etapy próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi próbki

50 × 50 × 50 mm3, wykonanej z piany Alporas (=0.22 g/cm

3)

4. OPIS MODELU MATERIAŁOWEGO

Do modelowania numerycznego testu walidacyjnego wybrano model materiałowy

MAT_026 (MAT_HONEYCOMB), zaimplementowany w systemie LS-Dyna, dostosowany

m.in. modelowania do materiałów spienionych [20,21]. Powierzchnia płynięcia, umocnienie

odkształceniowe (ewolucja przy powierzchni płynięcia) oraz płynięcie odkształceń

plastycznych opisują następujące równania [10,20,21]:

(7)

gdzie:

składowe naprężeń Cauchy’ego,

krzywe naprężenie-odkształcenie w stanach jednoosiowych/ jednopłaszczyznowych,

naprężenia plateau w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych,

funkcje umocnienia w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych,

odkształcenie objętościowe inżynierskie,


funkcje płynięcia,

potencjał płynięcia.

Rys. 7. Wykresy F-s (siła czynna pionowa – przemieszczenie pionowe trawersy) dotyczące

próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi próbki sześciennej

50 × 50 × 50 mm3, wykonanej z piany Alporas (=0.22 g/cm

3)

Piana, ogólnie ortotropowa, jest opisana w układzie xyz przez 6 niezależnych kryteriów

plastyczności (7)1. Umocnienie (7)2 jest tylko funkcją odkształcenia objętościowego

inżynierskiego. Zgodnie ze wzorami (7)3 rozwój odkształceń plastycznych następuje tylko

w kierunku / płaszczyźnie przyłożonego naprężenia.

Model MAT_026 wymaga deklaracji krzywych ściskania w kierunkach x,y,z oraz

krzywych ścinania w płaszczyznach xy, xz, yz, w funkcji odkształcenia objętościowego

inżynierskiego . W deklaracji krzywych dokonuje się ekstrapolacji w tył wykresu plateau aż

do . Krzywe ścinania w funkcji odkształcenia objętościowego nie zostały

zinterpretowane w podręcznikach [20,21]. Domyślnie krzywa ścinania materiału

izotropowego w skali makro jest równa krzywej ściskania jednokierunkowego.

W przypadku piany izotropowej model MAT_026 wymaga deklaracji m.in. następujących

krzywych i parametrów:

krzywa ściskania jednokierunkowego w funkcji ,

krzywa ścinania jednopłaszczyznowego w funkcji ,

moduł Younga i moduł ścinania materiału spienionego (wartości początkowe),

moduł Younga, stała Poissona, granica plastyczności materiału litego.

W strefie plateau oraz w strefie zagęszczenia moduły E, G zmieniają się liniowo w funkcji .

5. MODELOWANIE NUMERYCZNE PRÓBY WALIDACYJNEJ

Modelowanie numeryczne próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi

próbki wykonanej z piany Alporas o gęstości względnej 0.08 przeprowadzono, używając

solveraexplicit LS-Dyna v971 i modelu materiałowego MAT_026. W modelowaniu

wykorzystano średni przebieg krzywej ściskania jednokierunkowego F-s wzdłuż osi próbki,

pokazany na rys. 8. Krzywą deklaruje się za pomocą zbioru punktów wykresu , przy

0

4

8

12

16

20

0 10 20 30 40 50s [mm]

F [kN

]

s_01

s_02

s_03

s_04

s_05


czym – zgodnie z opisem krzywej w [21] – odcinek krzywoliniowy w przedziale s=0 – 2.5

mm zastępuje się ekstrapolacją wstecz krzywoliniowego wykresu w strefie plateau. W

wyniku otrzymuje się krzywą o rzędnych zestawionych w tabeli 3. Wartości parametrów

modelu MAT_026, przyjęte w symulacji, zestawiono w tabeli 4. Indeksy u,s oznaczają

odpowiednio konfigurację początkową i skompresowaną.

Rys. 8. Średni przebieg F-s próby ściskania jednokierunkowego próbek 100 × 100 × 50 mm

3,

wykonanych z piany Alporas (=0.22 g/cm3)

Tabela 3. Współrzędne punktów deklarujących wykresy

Nr punktu s [mm] F [kN] [-] [MPa]

1 0 12.19 0 1.22

2 5 12.64 0.10 1.26

3 10 13.33 0.20 1.33

4 15 14.18 0.30 1.42

5 20 15.47 0.40 1.55

6 22.5 16.52 0.45 1.65

7 25 18.21 0.50 1.82

8 27.5 20.62 0.55 2.06

9 30 24.36 0.60 2.44

10 31.7 27.90 0.634 2.79

11 33.4 32.91 0.668 3.29

12 35 39.72 0.70 3.97

13 36.7 49.76 0.734 4.98

14 38.4 65.52 0.768 6.55

15 40 83.36 0.80 8.34

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

s [mm]

F [kN

]


Tabela 4. Wartości parametrów modelu MAT_026 [21]

LS-

Dyna

Stałamateriałowa Wartośćdomyślna Wartość

zadeklarowana

Jednostka

RO - 0.22 g/cm3

E Es - 61.7 GPa

PR s - 0.33 -

SIGY - 136 MPa

VF Vs - 0.08 -

MU 0.05 0.05 -

EAAU

EBBU

ECCU

Eu - 0.100 GPa

GAAU

GBBU

GCCU

Gu - 0.041 GPa

TSEF 0 -

SSEF gsh 0 -

Stałe materiału litego (moduł Younga Es, stała Poissona s i granica plastyczności )

przyjęto na podstawie pracy [7], przy czym wartość jest wartością średnią. Objętość

względną przy pełnym skompresowaniu Vs przyjęto równą gęstości względnej na podstawie

wzoru (4). Stała jest współczynnikiem lepkości piany (wartość defaultowa). Stałe gsh są

odkształceniami normalnym i stycznym, którym odpowiada zniszczenie i erozja piany.

Parametry te przyjęto o wartości defaultowej 0, eliminującej zniszczenie i erozję, które w

przeprowadzonej eksperymentalnej próbie walidacyjnej nie występują. Erozję zbyt silnie

zdeformowanych elementów skończonych można zadeklarować przy pomocy opcji

MAT_ADD_EROSION [21]. W rozpatrywanym teście walidacyjnym tak duże deformacje

również nie występują.

Symulację próby walidacyjnej przeprowadzono na modelu numerycznym pokazanym na

rys. 9. Model ten ma 8000 elementów sześciościennych typu solid, o 24 stopniach swobody

(ELFORM 1), z jednym punktem całkowania. Zastosowano kontrolę Hurglass typu 2.

Zastosowano podpory sztywne typu RIGIDWALL_PLANAR oraz wymuszenie

kinematyczne quasi-statyczne (RIGIDWALL_ GEOMETRIC_FLAT_MOTION). Dolna

powierzchnia sztywna (kolor czerwony) jest nieruchoma w czasie trwania procesu. Górna

powierzchnia sztywna (kolor zielony) przemieszcza się w kierunku z globalnego układu

współrzędnych z prędkością narastającą w czasie według wzoru [11]

(8)

gdzie:

T – czas trwania procesu wymuszenia kinematycznego (40 ms),

– maksymalne przemieszczenie pionowe trawersy (40 mm).

Wymuszenie kinematyczne prędkością według wzoru (8) gwarantuje eliminację impulsu

początkowego i zachowanie quasi-statyczne próbki w czasie ruchu trawersy mm.

Współczynnik tarcia Coulomba między spienionym aluminium a płytami sztywnymi

oszacowano na poziomie 0.8. Siła nacisku pionowego płyty sztywnej jest obliczana jako suma

odpowiednich sił węzłowych. Czas CPU jednego testu wynosił w przybliżeniu 1 godzinę.

Kalibracja modelu numerycznego polegała na testowaniu wartości współczynnika

proporcjonalności wykresu do . Wyniki kalibracji pokazano na rys. 10.


Wykalibrowana wartość wynosi . Porównanie pod względem ilościowym i

jakościowym wybranych stanów deformacji próbki, uzyskanych z symulacji i eksperymentu,

pokazano na rys. 11, 12. Widoczna jest dobra zgodność wyników symulacji z

eksperymentem. Dodatkowo testowano wartość defaultową , dla której otrzymano

znaczne odchylenie (do góry) wykresu F-s od wykresów eksperymentalnych oraz stany

deformacji próbki znacznie odbiegające od wyników eksperymentalnych pokazanych na rys.

6.

Rys 9. Model numeryczny próbki sześciennej piany Alporas 50×50×50 mm

3

Rys 10. Wykresy numeryczne F-s dla wybranych wartości współczynnika , na tle

wyników eksperymentalnych (próbki nr 1,2,3,5)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

s [mm]

F [kN

]

experiment

Rs=0,2Rs=0,35

Rs=0,5


s=28,8 mm

Rys. 11. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20° do osi próbki z piany

Alporas (=0.22 g/cm3). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu

inżynierskiemu 0.6 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu

s=38,8 mm

Rys. 12. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20° do osi próbki z piany

Alporas (=0.22 g/cm3). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu

inżynierskiemu 0.8 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu

Na podstawie przeprowadzonych symulacji sformułowano następujące wnioski:

1) Model MAT_026, zaimplementowany w systemie LS-Dyna, jest adekwatny do

modelowania piany aluminiowe Alporas w przypadku struktur pianowych

z dominującym ściskaniem i ścinaniem. Model tej jest przydatny np. w symulacjach

struktur energochłonnych z warstwą piany Alporas.

2) Wykalibrowano wartość współczynnika proporcjonalności wykresu do

wykresu , dla której wykres numeryczny F-s jest zgodny jakościowo i ilościowo

ze średnim wykresem eksperymentalnym.

3) Uzyskano dobrą zgodność stanów deformacji próbki z symulacji i eksperymentu w całym

przedziale zmienności przemieszczenia pionowego trawersy.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

s [mm]

F [kN

]

experiment

FEM

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

s [mm]

F [kN

]

experiment

FEM


6. PODSUMOWANIE

W pracy rozwinięto modelowanie numeryczne pian aluminiowych o porach zamkniętych

jako izotropowego continuum jednorodnego. Badania eksperymentalne i numeryczne odnoszą

się do piany aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 (gęstość względna 0.08).

Przeprowadzono badania eksperymentalne identyfikacyjne w zakresie próby ściskania

jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego i ścinania jednopłaszczyznowego.

Utworzono bazę danych potrzebnych do zadeklarowania parametrów i wykresów dla modelu

materiałowego piany MAT_026 zaimplementowanego w systemie LS-Dyna. Stałe

materiałowe materiału litego odpowiadającego badanej pianie aluminiowej zaczerpnięto

z literatury. Wskazano na potencjalne możliwości modyfikacji prób identyfikacyjnych

w kierunku uściślenia wyników badań.

Zaproponowano próbę eksperymentalną walidacyjną w formie ściskania

jednokierunkowego pod kątem 20° do osi pionowej próbki pianowej sześciennej 50×50×50

mm3. W trakcie próby występuje ściskanie, ścinanie i zginanie próbki. W procesie walidacji

bada się zgodność ilościową i jakościową wykresów F-s (siła ściskające pionowa –

przemieszczenie pionowe trawersy) oraz stanów deformacji próbki, z symulacji

i eksperymentu.

Przeprowadzono modelowanie numeryczne i symulację próby walidacyjnej w systemie

LS-Dyna z zastosowaniem modelu materiałowego MAT_26. Wyznaczono wartość

współczynnika proporcjonalności wykresu do wykresu , dla której

zgodność jakościowa i ilościowa wyników symulacji z eksperymentem jest najlepsza.

Interpretacja fizyczna wykresu pozostaje nadal otwarta.

LITERATURA

1. Gibson L.J. et al.: Failure surfaces for cellular materials under multiaxial loads I:

Modeling. “International Journal of Mechanical Sciences” 1989, 31(9), p. 635-663.

2. Gibson L.J., Ashby M.F.: Cellular solids, structures and properties. Cambridge:

University Press, 1997.

3. Andrews E. et al.: Compressive and tensile behaviour of aluminum foams. “Materials

Science and Engineering” 1999, A270, p. 113–124.

4. Shen J. et al.: Compressive behaviour of closed-cell aluminum foams at high strain rates.

Composites: Part B, 2010, 41, p. 678–685.

5. Miller R.E.: A continuum plasticity model for the constitutive and indentation behaviour

of foamed metals. “Int. J. Mechanical Sciences” 2000, 42, p. 729-754.

6. Olurin O.B. et al.: Deformation and fracture of aluminum foams. “Materials Science and

Engineering” 2000, A291, p. 136–146.

7. Onck P.R.: Application of a continuum constitutive model to metallic foam DEN-

specimens in compression. “Int. J. Mechanical Sciences” 2001, 43, p. 2947–2959.

8. Deshpande V.S., Fleck N.A.: Isotropic constitutive models for metallic foams. “J.

Mechanics and Physics of Solids” 2000, 48, p. 1253-1283.

9. Motz C., Pippan R.: Deformation behavior of closed-cell aluminium foams in tension.

“Acta Mater.” 2001, 49, p. 2463–2470.

10. Hanssen A.G. et al.: Validation of constitutive models applicableto aluminium foams,

“Int. J. Mechanical Sciences” 2002, 44, p. 359–406.

11. A. Reyes et al.: Constitutive modeling of aluminum foam including fracture and

statistical variation of density. “ European Journal of Mechanics A/Solids” 2003, 22, p.

815–835.


12. Blazy J.S. et al.: Deformation and fracture of aluminium foams under proportional and

non proportional multi-axial loading: statistical analysis and size effect. “Int. J.

Mechanical Sciences” 2004, 46, p. 217–244.

13. Aly M.S.: Behavior of closed cell aluminium foams upon compressive testing at elevated

temperatures: Experimental results. Materials Letters,2007, 61, p. 3138–3141.

14. De Giorgi M. et al.: Aluminum foams structural modelling.” Computers and Structures”

2010, 88, p. 25–35.

15. Miedzinska D. et al.: Numerical and experimental aluminum foam microstructure testing

with the use of computer tomography. “Comput. Mater. Sci.”2012, doi: 10.1016/

j.commatsci.2012.02.021.

16. Li Q.M. et al.: Compressive strain at the onset of the densification of cellular solids. “J

Cell. Plast.” 2006, 42(5), p. 371-392.

17. Raj R.E., Daniel B.S.S.: Customization of closed-cell aluminum foam properties using

design of experiments. “Materials Science and Engineering” 2011, A528, p. 2067–2075.

18. LS-Dyna.Theoretical manual, compiled by J.O. Hallquist, LSTC, Livermore, CA, USA,

2006.

19. LS_DYNA v971/R4 Beta. Keyword User's Manual. LSTC, Livermore, CA, USA, 2009.

20. http://www.gleich.de/files/data_sheet__alporas.pdf ALPORAS (karta materiałowa).

21. ASTM C273-00. Standard Test Method for Shear Properties of Sandwich Core Materials,

2000.

EXPERIMENTAL INVESTIGATIONS AND MODELLING

OF ALPORAS ALUMINIUM FOAM

Summary.The study presents the experimental investigations and numerical

modelling of closed-cell aluminium alloy foam (trade name Alporas), with 0.22

g/cm3 density and structural composition Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. The

considerations are under assumption of homogenization and isotropy of the foam

material. Three basic strength tests have been conducted, i.e. the unidirectional

compressive test, the unidirectional tensile test, the shear test in the plane

perpendicular to the foam sheet. The homogenized foam has been described with

MAT_26 material model implemented in FE code LS-Dyna. In order to validate

experimentally numerical modelling of quasi-static processes in elements made of

Alporas foam the unidirectional compressive static test at 20° angle with respect

to the specimen axis (simultaneous compression, shear and bending) is proposed.

The coefficient expressing proportionality of the shear curve vs. volumetric strain

to the compression curve vs. volumetric strain has been determined, at which the

simulation and the experiment are in good conformity.

Praca wykonana w ramach projektu rozwojowego na rzecz bezpieczeństwa i obronności Nr

O R00 0097 12, finansowanego w latach 2010-2012 przez NCBiR.

Documents

BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE …rozszerzeniem kryterium płynięcia von Misesa poprzez wprowadzenie naprężeń hydrostatycznych do naprężeń ekwiwalentnych. Motz i Pippan[9]