MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

Jerzy Pamin

e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl

Podziękowania:

P. Mika, A. Winnicki, A. WosatkoADINA R&D, Inc.http://www.adina.comANSYS, Inc. http://www.ansys.comTNO DIANA http://www.tnodiana.comFEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap

Metody komputerowe, studia II st.

Tematyka zajęć

Nieliniowość fizyczna

Teoria plastycznego płynięcia

Zastosowania - deformacje plastyczne

Uwagi końcowe

Literatura[1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear SolidMechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999.

[2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanicekostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

[3] M. Jirasek and Z.P. Bazant. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley &Sons, Chichester, 2002.

Metody komputerowe, studia II st.

Analiza przyrostowo-iteracyjnaNieliniowy problem:fext przykładane w przyrostacht → t + ∆t → σt+∆t = σt + ∆σ

Równowaga w chwili t + ∆t:ne∑e=1

AeT∫V eBTσt+∆t dV = ft+∆t

ext

ne∑e=1

AeT∫V eBT∆σ dV = ft+∆t

ext − ftint

gdzie: ftint =∑nee=1A

eT∫V e B

Tσt dV

Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))

Układ równań dla przyrostu:

K∆ug = ft+∆text − ftint

Metody komputerowe, studia II st.

Nieliniowość fizyczna

K∆ug = ft+∆text − ftint

Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))

∆σ =(∂σ∂ε

)t ( ∂ε∂u

)t∆u

D = ∂σ∂ε , L = ∂ε

∂u

Dyskretyzacja: ∆u = N∆ue

Liniowe związki geometryczne → macierz dyskretnych związkówkinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń

Styczna macierz sztywności

K =ne∑e=1

AeT∫V eBTDB dV Ae

Metody komputerowe, studia II st.

Uplastycznienie materiału

A

CB

przemieszczenie

siła

P

A

+

-σy

σy

σy

σy

σy

σy

+

- -

+

CB

zakres sprężysty

pełne uplastycznienie

pełne uplastycznieniezakres sprężysty

Metody komputerowe, studia II st.

Teoria płynięcia plastycznego [1,3]

Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstająodkształcenia trwałe

Pojęcia teorii plastycznościI Funkcja plastyczności f (σ) = 0

- określa granicę zachowania sprężystegoI Prawo płynięcia plastycznego εp = λm

- określa prędkość odkształceń plastycznychλ - mnożnik plastycznym - kierunek płynięcia plastycznego(zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia mT = nT = ∂f

∂σ )I Wzmocnienie plastyczne f (σ −α, κ) ¬ 0

kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0)I Warunki obciążenie-odciążenie:

f ¬ 0, λ ­ 0, λf = 0(odciążenie jest sprężyste)

Metody komputerowe, studia II st.

Teoria płynięcia plastycznego

Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związkikonstytutywne są zapisywane w prędkościach.

Płynięcie plastyczne gdyf = 0 i f = 0(warunek zgodności plastycznej)

Dekompozycja addytywnaε = εe + εp

Odwzorowanie bijekcyjneσ = Deεe

Wykorzystując prawo płynięciaσ = De(ε− λm)

Zgodność procesu plastycznego

f = ∂f∂σ σ + ∂f

∂κ κ

Moduł wzmocnienia

h = − 1λ∂f∂κ κ

Podstawiając σ do równ. zgodnościnTσ − hλ = 0

oblicza się mnożnik plastyczny

λ = nTDe εh+nTDem

Macierzowe równanie konstytutywne

σ =[De − D

emnTDe

h+nTDem

]ε

Operator styczny

Dep = De − DemnTDe

h+nTDem

Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu

Metody komputerowe, studia II st.

Teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego

Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H),oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego.Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów:ε = εe + εp

I Funkcja płynięcianp. ze wzmocnieniem izotropowymf (σ, κ) =

√3Jσ2 − σ(κ) = 0

κ - miara odkształcenia plastycznego(κ = 1

σσTεp = λ)

I Prawo płynięcia plastycznegoεp = λ ∂f∂σ

I Prawo wzmocnienia izotropowegonp. linioweσ(κ) = σy + hκh - moduł wzmocnienia

Metody komputerowe, studia II st.

Wykresy siła-przemieszczenie

Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem

Metody komputerowe, studia II st.

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla metali:Coulomba-Tresci-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego

Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

Metody komputerowe, studia II st.

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla gruntów:Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia

Metody komputerowe, studia II st.

Powierzchnie „plastyczności” dla betonuPłaski stan naprężenia

Eksperyment Kupfera

Funkcja ”plastyczności” Rankine’a: f (σ, κ) = σ1 − σ(κ) = 0Miara odkształcenia zarysowania κ = |εp1 |

Metody komputerowe, studia II st.

Algorytm komputerowej plastyczności

Algorytm powrotnego odwzorowania→ algorytm Eulera „wstecz” (bezwarunkowo stabilny)

1. Obliczyć sprężysty predyktorσtr = σt +De∆ε

2. Sprawdzić, czy f (σtr , κt) > 0 ?Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σtrJeśli tak, to stan plastyczny,obliczyć plastyczny korektorσ = σtr −∆λDem(σ)

f (σ, κ) = 0(układ 7 równań nieliniowych na σ,∆λ)Obliczyć κ = κt + ∆κ(∆λ)

σ

σtr

σt

f = 0

Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się popromieniu i wzmocnienie jest liniowe.

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia

Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, zależność naprężeń od siatki

Naprężenia σyy dla rzadkiej i gęstej siatki

Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązaniaod gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σyy

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement

0

200

400

600

800

Forc

e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement

0

200

400

600

800

Forc

e

This is correct!

Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazujewzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-Hzawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyćpoprawnie model MESElement ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe

Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σyy

Metody komputerowe, studia II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2

Metody komputerowe, studia II st.

Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-PrageraI Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem

izotropowymf (σ, κ) = q + α p − βcp(κ) = 0q =√

3J2 - dewiatorowa miara napr.p = 1

3 I1 - ciśnienie hydrostatyczneα = 6 sinϕ

3−sinϕ , β = 6 cosϕ3−sinϕ

ϕ - kąt tarcia wewnętrznegocp(κ) - kohezja

I Potencjał plastyczny f p = q + α pα = 6 sinψ

3−sinψψ - kąt dylatacjiNiestowarzyszone prawo płynięciaεp = λm, m = ∂f p

∂σ

I Miara odkształceń plastycznychκ = ηλ, η = (1 + 2

9 α2)

12

I Moduł wzmocnienia kohezjih(κ) = ηβ

∂cp∂κ

cp

q

p

HMH

BDP

ϕ

Dla sinϕ = sinψ = 0otrzymuje się funkcję Hubera-Misesa-Hencky’ego.

Metody komputerowe, studia II st.

Symulacja niestateczności zbocza

Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Ewolucja miary odkształceń plastycznych

Metody komputerowe, studia II st.

Uwagi końcowe

1. Konsystentna linearyzacja równań zapewnia kwadratową zbieżnośćprocedury Newtona-Raphsona.

2. W projektowaniu akceptuje się zazwyczaj połączenie liniowosprężystych obliczeń statycznych celem wyznaczenia naprężeń (siłprzekrojowych) z analizą stanów granicznych uwzględniającychuplastycznienie lub zarysowanie.

3. W obliczeniach nieliniowych szacuje się mnożnik obciążenia, przyktórym następuje uszkodzenie/zniszczenie/utrata statecznościkonstrukcji - ma on interpretację globalnego współczynnikabezpieczeństwa, więc obliczenia powinno się prowadzić dla średnichwartości obciążeń i wytrzymałości.

Metody komputerowe, studia II st.