Upload
rita-phinx
View
424
Download
22
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
1/105
1
TINJAUAN MATA KULIAH
I.1. Deskripsi Singkat Mata Kuliah
Berdasarkan GBPP(Garis-Garis Besar Program Pengajaran) dan kurikulum
revisi (2004) jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh
Tahun 2004, pada mata kuliah penelitian operasional II ini akan dibahas
mengenai: pengertian singkat dan menyeluruh dari penelitian operasional II,
analisis jaringan, perencanaan & pengendalian proyek dengan CPM PERT,
programa dinamis, teori permainan, rantai Markov dan teori Antrian pada suatu
perusahaan industri.
I.2. Kegunaan Mata kuliah Bagi Mahasiswa
Mata kuliah penelitian operasional II ini memiliki beberapa kegunaan bagi
mahasiswa nantinya, antara lain sebagai berikut:
1. Pada suatu perusahaan dapat diketahui bagaimana analisis jaringan,
perencanaan & pengendalian proyek suatu kegiatan produksi yang nantinya
akan dibutuhkan pada suatu perusahaan terutama dalam menghasilkan suatu
produk yang efektif dan efisien.
2. Mahasiswa dapat mengerti dan memahami konsep penelitian operasional II
secara menyeluruh dan bagaimana penerapannya pada suatu perusahaan
industri.
3. Dalam kehidupan sehari-hari mahasiswa nantinya mampu menilai,
mengevaluasi segmentasi pasar dan perkembangan produk dengan
menggunakan suatu sistem yang terdapat pada penelitian operasional II, yang
nantinya sangat berguna untuk pengembangan suatu perusahaan.
4. Mahasiswa mampu memahami bagaimana cara mengambil keputusan industri,
baik itu melalui suatu pendekatan tertentu ataupun langsung dengan
menggunakan sumber daya yang ada.
5. Dalam suatu perusahaan industri, mahasiswa nantinya mampu melihat dan
menilai berhasil tidaknya suatu perusahaan dalam mengambil keputusan
berkaitan dengan kinerja, sumber daya dan kompetensi suatu perusahaan.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
2/105
2
I.3. Tujuan Instruksional Umum (TIK)
Tujuan Instruksional Umum (TIK) penelitian operasional II yang terdapat
dalam GBPP jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh
Tahun 2004 menjelaskan bahwa dengan mempelajari mata kuliah penelitian
operasional II ini diharapkan mahasiswa mampu memahami mengenai berbagai
model optimasi dan pengambilan keputusan serta mampu menerapkan disiplin
ilmu dalam penelitian operasional II tersebut dalam kehidupan sehari-hari.
I.4. Susunan (Urutan) Bahan Ajar
Adapun susunan (urutan) bahan ajar dari perkuliahan pertama sampai
dengan perkuliahan terakhir adalah sebagai berikut:
PERKULIAHAN KE 1:
1. Pengantar Penelitian operasional II
1.1. Sejarah singkat perkembangan penelitian operasional
1.2. Komponen-komponen utama persoalan keputusan.
1.3. Model-model dalam penelitian operasional.
1.4. Metodologi penelitian operasional.
PERKULIAHAN KE 2 DAN 3:
2. Analisis Jaringan
2.1. Pengantar Analisis Jaringan
2.2. Konsep Dan Definisi
2.3. Algoritma Path
2.4. Tree Problem.
2.5. Flow Problem.
PERKULIAHAN KE 4 DAN 5:
3. Perencanaan & Pengendalian Proyek dgn CPMPERT.
3.1. Simbol-simbol yang digunakan.
3.2. Penentuan Waktu.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
3/105
3
3.3. Perhitungan maju & Perhitungan mundur.
3.4. Perhitungan kelonggaran waktu.
3.5. Pembuatan peta waktu & Pengaturan sumber daya.
3.6. Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktifitas.
3.7. Penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek.
PERKULIAHAN KE 6 DAN 7:
4. Programa Dinamis
4.1. Pengantar Programa Dinamis
4.2 Teknik penyelesaian persoalan dengan Programa Dinamis
PERKULIAHAN KE 8:
5.Ujian midsemester.
PERKULIAHAN KE 9, 10 DAN 11:
6.Teori Permainan6.1.
Pengantar Teori Permainan.
6.2. Two person, Zero-Sum Game.
6.3. Pure-Strategy Game
6.4. Mixed-Strategy Game.
6.5. Solusi Grafis dari permainan (2xn) dan (mx2).
6.6. Solusi permaianan (mxn) dgn programa linier.
PERKULIAHAN KE 12 DAN 13:
7. Proses Keputusan Markov
7.1. Pengantar proses keputusan Markov.
7.2. Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov
7.3. Membangun Matriks Probabilitas Transisi
7.4. Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas
7. 5. Model dengan Stage tidak Terbatas
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
4/105
4
PERKULIAHAN KE 14 DAN 15:
8. Teori Antrian
8.1. Pengantar Teori antrian
8.2. Contoh Sistem Antrian
PERKULIAHAN KE 16:
9. Ujian semester.
I.5. Petunjuk Bagi Mahasiswa
Dalam mempelajari materi dalam setiap bab tersebut diharapkan mahasiswa
memiliki literature atau bahan pegangan baik berupa text book, jurnal maupun
ringkasan materi dari buku-buku yang berkaitan denngan mata kuliah penelitian
operasional II, hal ini sangat berguna bagi kelangsungan proses belajar mengajar
pada mata kuliah penelitian operasional II ini.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
5/105
5
PERKULIAHAN KE 1: PENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II
SESI/PERKULIAHAN KE: 1
TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1. Menjelaskan pengertian penelitian operasional.
2. Mengetahui komponen-komponen yang diperlukan dalampengambilan keputusan.
Pokok Bahasan : Pengantar Penelitian operasional II
Deskripsi singkat :
Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yang berkaitandengan penelitian operasional, memahami dan mengetahui Komponen-komponenutama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional dan
metodologi penelitian operasional yang nantinya dapat diterapkan dalammeyelesaikan persoalan pengambilan keputusan.
I. Bahan Bacaan:1. Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2
nd
edition, John Wiley and Sons, 1987.2. Hillierand Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1st
edition, McGraw-Hill, 1991.3. Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The
MacMillan Co, 1985.
II. Bahan Tambahan:1.
Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad Operations Research, PT. Sinar Baru
Algensindo Bandung, 1999.2. Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :
Prenntice-hall Inc, 1969.3. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to Operation
Research , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.4. Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3
rd
edition, Duxbury Press, 1994.
III. Pertanyaan Kunci/Tugas:Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan
sebagai berikut:1. Apa yang dimaksud dengan penelitian operasional?2. Apa kegunaan mempelajari penelitian operasional?
IV. Tugas:1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda
baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda!2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian
operasional II!3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan
dalam suatu organisasi!
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
6/105
6
1.1. PENDAHULUANDalam perkuliahan pengantar penelitian operasional II ini akan dibahas
mengenai sejarah singkat perkembangan penelitian operasional, komponen-
komponen utama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional
dan metodologi penelitian operasional. Materi yang disampaikan sangat berkaitan
antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan suatu
keputusan yang optimal dalam menyelesaikan suatu persoalan keputusan.
1.2. PENYAJIANPENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II
1.1. Sejarah Singkat Perkembangan Penelitian Operasional
Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang inggris membentuk suatu
team yang terdiri atas para ilmuwan untuk mempelajari persoalan-persoalan
strategis dan taktik sehubungan dengan serangan-serangan yang dilancarkan
musuh terhadap negaranya.
Tujuannya adalah untuk menentukan penggunaan sumber-sumber
kemiliteran yang terbatas seperti radar dan bomber, dengan cara yang paling
efektif. Karena tim melakukan research (penelitian) terhadap operasi-operasi
militer, maka muncullah nama Military Operation Research (penelitian
operasional kemiliteran), yang sejak awal telah ditandai dengan digunakannya
pengetahuan ilmiah dalam usaha menentukan penggunaan sumber-sumber daya
yang terbatas.
Hal yang serupa dilakukan oleh angkatan perang Amerika untuk
membentuk tim yang mereka sebut team Operation Research. Mereka berhasil
dalam memecahkan persoalan-persoalan logistik, suply barang-barang keperluan
perang dan menentukan pola-pola dasar jaringan bagi operasi alat-alat elektronik.
Setelah Perang Dunia II berakhir, Operation Research yang lahir di
Inggris ini kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan yang
dicapai oleh team Operation Research tersebut, yang akhirnya menarik perhatian
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
7/105
7
orang-orang di perindustrian. Sedemikian pesat perkembanganya kini maka
Penelitian Operasional telah digunakan hampir pada seluruh kegiatan, baik
diperguruan tinggi, konsultan, rumah sakit, perencanaan kota dll.
1.2. Komponen-Komponen Utama Persoalan Keputusan.
Munculnya persoalan-persoalan keputusan adalah karena seorang pengambil
keputusan sering dihadapkan pada beberapa pilihan tindakan yang harus
dilakukan. Dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan pengambilan
keputusan ini harus diidentifikasikan terlebih dahulu 2 (dua) komponen utamanya,
yaitu:
1. Objective (tujuan).
2. Variabel-variabel.
Tujuan (objective) adalah hasil akhir yang hendak dicapai dengan cara
memilih suatu tindakan yang paling tepat untuk sistem yang dipelajari. Dalam
bidang-bidang usaha, tujuan diartikan sebagai memaksimumkan profit atau
meminimumkan ongkos yang dikeluarkan. Akan tetapi dalam bidang-bidang
lain yang sifatnya non-profit (tidak mencari keuntungan), tujuan dapat berupa
pemberian kualitas pelayanan kepada para konsumen.
Apabila tujuan telah didefinisikan, maka selanjutnya harus dilakukan
pemilihan tindakan terbaik yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini,
kualitas pemilihan akan sangat bergantung kepada tahu atau tidaknya si
pengambil keputusan dalam mencapai alternatif yang diharapkan tersebut.
Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan itu
maka haruslah diidentifikasikan variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan
oleh pengambil keputusan, yang keberhasilannya dalam mengidentifikasikan
variabel-variabel inipun akan sangat bergantung pada bias dan pelatihan si
pengambil keputusan.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
8/105
8
1.3.Model-Model dalam Penelitian Operasional.
Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata sehingga
sifatya yang kompleks dapat disederhanakan. Ada beberapa jenis model yang
biasa digunakan, diantaranya ialah:
a. Model-model fisik/ ikonis
Yaitu Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalm bentuk ideal maupun
dalam skala yang berbeda.
Contoh: Peta, foto, blueprint, globe.
b. Model-model Analogi/ diagramatis
Model-model ini dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis dan lebih
banyak digunakan dari pada model-model ikonis karena sifatnya yang dapat
dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang sedang dipelajari.
Contoh: Kurva distribusi frekuensi pada statistik, kurva supply demand, flow
chart.
c. Model-model Simbolis/ Matematis
Yaitu Penggambaran dunia nyata melalui simbol-simbol matematis.
Pada awalnya Model-model Simbolis/ Matematis ini berupa model-model
abstrak yang dibentuk di dalam pikiran seseorang yang kemudian disusun
menjadi model-model simbolis, seperti gambar, simbol atau rumus matematis.
Model matematis yang paling banyak digunakan dalam penelitian operasional
adalah model matematis berupa perasamaan atau ketidak samaan.
d. Model-model simulasiYaitu Model-model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari
interaksi komponen-komponennya. Dalam hal ini tidak diperlukan fungsi-
fungsi matematis secara eksplisit untuk merelasikan variabel-variabel sistem,
Model-model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem
kompleks yang tidak dapat memberikan solusi yang benar-benar optimum.
Dimana jawaban yang dapat diperoleh ialah jawaban yang suboptimum, yaitu
jawaban optimum dari alternatif-alternatif yang diuji/ dites.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
9/105
9
e. Model-model heuristikKadang-kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat
memberikan suatu solusi yang pasti. Atau mungkin solusi optimum dapat
diperoleh, tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan
tidak pratktis. Heuristic yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas
aturan-aturan tertentu untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada
solusi yang telah dicapai sebelumnya.
Dalam penelitian operasional, model yang paling banyak digunakan adalah
model matematis/ simbolis. Disamping itu, digunakan juga model-model simulasi
dan heuristic.
1.4.Metodologi Penelitian Operasional
Jika Penelitian operasional akan digunakan untuk memecahkan suatu
persoalan di suatu organisasi, maka harus dilakukan 5 (lima) langkah sebagai
berikut:
Langkah 1:
Memformulasikan Persoalan, mendefinisikan persoalan lengkap dengan
spesifikasi tujuan organisasi dan bagian-bagian organisasi atau sistem yang
bersangkutan. Hal ini mutlak harus dipelajari sebelum persoalannya dapat
dipecahkan.
Langkah 2:
Mengobservasikan Sistem, kumpulkan data untuk mengestimasi besaran
parameter yang berpengaruh terhadap persoalan yang dihadapi. Estimasi ini
digunakan untuk membangun dan mengevaluasi model matematis dari
persoalannya.
Langkah 3:
Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi. Dalam
memformulasikan persoalan ini biasanya digunakan model analitik, yaitu model
matematis yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
10/105
10
rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model
simulasi.
Langkah 4:
Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi. Pada langkah ini,
tentukan apakah model matematis yang dibangun pada langkah 3 telah
menggambarkan keadaan yang nyata secara akurat. Jika belum buatlah model
yang baru.
Langkah 5:
Mengimplementasikan hasil studi, Pada langkah in kita harus menterjemahkan
hasil studi atau hasil perhitungan kedalam bahasa sehari-hari yang mudah di
mengerti.
1.3. PENUTUPPada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar
mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan
juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.
Tugas/latihan untuk pengantar penelitian operasional II adalah sebagai berikut:
1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda
baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda!
2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian
operasional II!
3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan
dalam suatu organisasi!
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
11/105
11
PERKULIAHAN KE 2 DAN 3: ANALISIS JARINGAN
SESI/PERKULIAHAN KE: 2 DAN 3
TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.Menjelaskan pengertian jaringan dalam persoalan keputusan.
2.Menyelesaikan persoalan keputusan mengenai analisis jaringan.
Pokok Bahasan : Analisis Jaringan
Deskripsi singkat :
Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yangberkaitan dengan analisis jaringan, memahami dan mengetahui persoalanalgoritma path, tree problem, flow problem termasuk persoalan rute terpendek,persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran maksimum pada suatujaringan kerja.
I. Bahan Bacaan:1. Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1stedition, McGraw-Hill, 1991.
2. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to OperationResearch , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.
3. Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork :
The MacMillan Co, 1985.
II. Bahan Tambahan:1.Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2
nd
edition, John Wiley and Sons, 1987.2.Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3
rd
edition, Duxbury Press, 1994.
III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan jaringan?2. Sebutkan contoh-contoh jaringan kerja!
IV. Tugas:1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain. Dia
mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota
dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam networkberikut.
Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang tersebut
minimum?
2. Carilah Jumlah unit maksimum suatu path dari s ke t dimana seluruh arc daripath itu
termasuk di dalamsei I(Increasable path)!
i(s,1)=5 i(1,2)=3 i(2,t)=2
Kota TujuanS
C
D
B
5
3
3
3
2
A3
T
7
Kota
JarakKota Antara
13
S 1 2 t
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
12/105
12
II.1. PENDAHULUAN
Dalam perkuliahan mengenai Analisis Jaringan ini akan dibahas
mengenai pengertian dan konsep analisis jaringan, memahami dan mengetahui
persoalan rute terpendek, persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran
maksimum pada suatu jaringan kerja. Materi yang disampaikan sangat berkaitan
antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan
yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan dalam suatu jaringan
kerja.
II.2. PENYAJIAN
ANALISIS JARINGAN
2.1. Pendahuluan
Network theory (Teori Analisis Jaringan) adalah cabang-cabang matematik
yang digunakan secara luas dalam bidang praktek. Banyak problema yang timbul
dalam berbagai bidang seperti psikologi, kimia, teknik listrik, transportasi,
manajemen, pemasaran, dan pendidikan dapat digambarkan didalam bentuk
problema dari Network Theory. Oleh karena itu Network Theory tidak hanya
dikenal dan dikembangkan oleh kalangan sendiri, tetapi juga diikembangkan dari
bidang-bidang lain.
Network Theory tumbuh dan berkembang pesat pada awal abad ke 20 (dua
puluh) dengan dimotivasi oleh perkembangan dari teori molekul dan teori listrik.
Kini perkembangan analisis jaingan ini makin cepat lagi setelah ditemukannya
alat komputer.
Pengertian atau definisi-definisi yang umum dijumpai dalam analisisjaringan ini akan di bahas secara mendetail termasuk didalamnya berbagai model
dan uraian singkat mengenai analisis jaringan seperti persoalan Shortest Path
Problem (S.P.P), Spanning Tree Problem ( S.T.P), Flow Problem (F.P), yang
dilengkapi dengan algoritma penyelesaian optimum.
Graph G adalah suatu bangun (struktur) yang terdiri satu set elemen N yang
disebut node dan satu set elemen A yang disebut Arc. Secara Umum suatugraph
dituliskan dengan notasi G (N,A), dimana:
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
13/105
13
N = Setdari node (1,2,3,..n)
A = SetdariArc (a,b,c,.....n)
yang masing-masing menghubungkan suatu node dengan node yang lain.
Sebagai contoh, susunan dari satu set node N (1,2,3,4) dan satu set arc
(a,b,c,d,e,f,g) membentuk suatu graph yang salah satu diantaranya adalah dapat
dilihat pada Gambar 2.1. berikut.
Gambar 2.1. susunan dari satu set nodeN dan satu set arcmembentukgraph
Network (jaringan) adalah suatu graph dimana elemen-elemen A pada
graph tersebut merupakan suatu aliran .
Contoh dari suatu networkadalah sistem jaringan jalan raya yang menghubungkan
kota-kota yang ada pada suatu daerah. Sebagai node dalam jaringan tersebut
adalah setiap kota yang ada dalam jaringan tersebut dan sebagai arc adalah jalan
raya yang menghubungkan satu kota dengan kota yang lain. Bobot dariArc adalah
dapat berupa jarak, ongkos angkut ataupun lamanya perjalanan dari satu kota ke
kota yang lain.
2.2. Konsep Dan Definisi
Suatu arc yang mempunyai node yang sama untuk kedua ujung dan
pangkalnya disebut loop.
C adalahLoop.
Node
Arc
1
2 4
3
a
b
c
d
f
3 2 c3
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
14/105
14
Sebuah node dan sebuah arc disebut incedentsatu sama lain, jika node
tersebut adalah merupakan ujung ataupun pangkal dari arc yang
bersangkutan.
Dua buah arc dikatakan incedentsatu sama lain, jika keduanya incedent
kepada node yang sama.
Dua buah node disebut adjacent satu sama lain, jika ada sebuah arc
menghubungkan keduanya.
Chain adalah beberapa arc yang berurutan di dalam satu graph atau
network.
Panjang suatu chain adalah sama dengan banyaknya arc dalam chain
tersebut.
Path adalah suatu chain yang dibentuk oleh beberapa arc yang searah.
a1 2 3
b rc a dan node 2 adalah
incedentsatu sama lainnya.
rc a dan b adalah incedentsatu
sama lainnya karena keduanya
incedentkepada node 2.
ode 2 dan 3 adalah adjacentsatu
sama lainnya karena ada satu arc
yaitu arc b menghubungkan
keduanya.
a1 2 3
b
rc a, e, h dan i adalah chain.a
1
3
b
5
4 6
72i
c
e
d
h
gf
rc a, d, g dan i adalah
sebuah path yang arahnya
dari node 6 ke node 1.
ode 6 disebut node awal
dan node 1 disebut node
akhir.
a
1
3
b
5
4 6
72i
c
e
d
h
gf
a1 2 3
b
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
15/105
15
Cycle adalah suatu chain yang mempunyai node awal dan node akhir
yang identik atau dengan kata lain, cycle adalah suatu chain yang
tertutup.
Circuit adalah suatu path yang mempunyai node awal dan node akhir
yang identik, atau merupakan suatu path yang tertutup. Dalam gambar
di atas arc a, b dan c membentuk suatu circuit. Panjang suatu cycle dan
circuit di dalam graph adalah banyaknya arc yang membentuk cycle
atau circuittersebut.
Suatu graph disebut connectedjika terdapat sedikitnya satu chain dari
suatu node kepada setiap node yang lain di dalamgraph tersebut.
Arc c, e, h dan i membentuk
suatu cycle.a
1
3
b
5
4 6
72i
c
e
d
h
gf
Dari setiap node terdapat
sedikitnya satu chain kepada
setiap node yang lain.a
1
3
b
5
4 6
7
2 i
c
e
d
h
g
f
e1
5
4
7
6
a
c
i
f
g
b
Sub-graph 2
Sub-graph 1
2
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
16/105
16
- Graph ini tidak connected, karena tidak semua node mempunyai chain
kepada setiap node yang lain. Misalnya antara node 2 dengan node 4 tidak
terdapat chain. Graph tersebut terdiri dari 2 sub-graph dan disebut un-
connected graph.
- Suatu sub graph dari G(N,A), adalah suatu graph G yang terdapat terdiri
dari seluruh arc dari set A yang menghubungkan node di dalam sub set
tersebut.
- Suatu partial graph dari G(N,A) adalah suatu graph yang terdiri dari
semua node N dan satusub-set arc A.
- Suatugraph G(N,A) dengan arc yang arahnya ditetapkan disebut directed
graph. Bila arah dari arc tidak ditetapkan, maka disebut undirected graph.
7
6
5
42
1
a
3
d
b
e
h
i
g
c
f
j2
4
5
3
1
ac
b
e
f
d
2 4
53
1
ac
e
b
d6
7
f
7
6
5
42
1
a
3
d
b
e
h
i
g
c
f
j
7
6
5
42
1
a
3
c
b
d
f
h
g
e
i
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
17/105
17
- Tree dari suatu connected graph G(N,A) adalah suatu connected partial
sub-graph. Tree terdiri dari satu sub-set dari node dan satusub-setdari arc
yang menghubungkansub-set node dan tidak membentukcycle.
-
Spanning Tree dari suatu connected graph adalah setiap tree yang
terbentuk dari arc dan seluruh node darigraph tersebut.
- Arborescence adalah suatu tree dimana tidak terdapat 2 arc atau lebih
yang berujung pada node yang sama.
7
6
4a
3
d
b
e
h
i
g
c
f
j
5
2
1
Tree
Node (1,2,3,4 dan 5) dengan
Arc (a,c,d dan e) membentuk
tree.
Bukan Tree
Graph yang dibentuk oleh
Node (1,2,3,4 dan 5) dengan
Arc (a,b,c,d dan e) bukan tree
karena terdapat cycle.
6
4
1
a
3
c
b
d
f
h
g
e
i
2
57
7
6
4a
3
d
b
e
h
i
g
c
f
j
5
2
1
Spanning Tree
Graph yang dibentuk oleh Node
(1,2,3,4,5,6 dan 7) dengan Arc
(a,c,d,e,f dan i).
1
42
6
53
a
b
c
d
e
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
18/105
18
- Spanning arborescence adalah arborescence darispanning tree.
2.2.1. Matrix darigraph
Setiapgraph dapat juga digambarkan dalam bentuk matriks. Ada beberapa
macam matriks yang dapat dibuat untuk menggambarkan suatu matriks dimana
cara penggambaran tiap matriks ditentukan oleh penggunanya.
Dalam bagian ini hanya di uraikan dua macam penggambaran saja yaitu yang
disebut incedence matrix dan adjaccency matrix.
a. Incidence matrixIncidence matrix E dari suatugraph G dibentuk dengan cara berikut.
Kolom dari matriks adalah merupakan setiap arc dan baris matriks adalah
node. Elemen-elemen dari matriks disebut eij ditentukan dengan cara berikut.
Matrix dari undirected graph
Elemen-elemen dari matriks untukundirected graph adalah:
- eij = 1, jika node i adalah salah satu ujung dari arc.
- eij = 0, jika node i tidak merupakan salah satu ujung dari arc j.
Contoh:
a b c d e f G
1 1 1 0 0 0 0 0
2 1 0 1 1 0 0 0
3 0 1 1 0 1 1 0
4 0 0 0 1 0 1 1
5 0 0 0 0 1 0 1
Graph G (N,A)
E =1
4
5
3
a
b
c
d
e f
2
g
1
4
6
53
a
b
c
d
e
7
f
2
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
19/105
19
Dari matriks E ini terlihat bahwa banyaknya baris matriks adalah sama
dengan banyaknya node (n) pada graph 6 (N,A) dan banyaknya kolom. Sama
dengan banyaknya arc (a) darigraph tersebut, sehingga matriks terbentuk adalah
matriks E (n x a).
- Matriks dari directed graph.
Elemen-elemen eij dari matriks untukindirected graph adalah:
- eij =1, jika arc j adalah incidentdengan node i dan arahnya menuju node i
tersebut.
- eij = -1, jika arc j adalah incidentdengan node i dan arahnya tidak menuju
node i tersebut.
- eij=0, jika arcj adalah tidak incident dengan node i.
Contoh:
a b c d E f g
1 -1 1 0 0 0 0 0
2 1 0 1 -1 0 0 0
3 0 -1 -1 0 -1 1 04 0 0 0 1 0 -1 1
5 0 0 0 0 1 0 -1
b. Adjacency matrix- Adjacency matriks E dari suatu graph G dibentuk dengan cara berikut. Baris
dan kolom matriks adlah merupakan selutuh node darigraph.
Sama halnya dengan incidence matrix, elemen-elemen dari adjcency matrix
(eij) untukundirected graph berbeda dengan elemen-elemen matriks untuk
directed graph.(1). Undirect adjacency matrix.
Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai
berikut:
- eij =1, jika arc yang menghubungkan node i dengan node j.
- eij = 0, jika tidak ada arc yang menghubungkan node i dengan node j.
E =1
4
5
3
a
b
c
d
e f
2
g
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
20/105
20
Contoh:
1 2 3 4 5
1 0 1 1 0 0
2 1 0 1 1 0
3 1 1 0 1 1
4 0 1 1 0 1
5 0 0 1 1 0
(2).Direct adjacency matrix.
Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai
berikut:
- eij =1, jika ada sebuah arc yang berasal dari node i menuju nodej.
- eij = 0, yaitu:
-jika ada sebuah arc yang berasal dari node j menuju node i.
-Jika tidak ada sebuah eij yang menghubungkan node i dan
node j.
Disini terlihat bahwa baik undirect adjacency matrix, maupun direct
adjacency matrix keduanya marupakan matriks bujur sangkar E (n x n) karenamasing-masing dibentuk dari hubungan antara node dengan node pada suatu
graph.
Salah satu tujuan utama dari penggambaran graph dan network kedalam
bentuk matriks adalah untuk komputerisasi darigraph dan networktersebut.
Penggambaran graph dan networkdalam bentuk diagram ditujukan hanya untuk
memperlihatkan hubungan antara keadaan sistem nyata dengan node diagramnya.
Dengan penggambaran demikian akan ditemukan kesulitan didalam manipulasi
graph dan network. Untuk tujuan optimisasi karena peranan komputer tidak dapat
dimanfaatkan semaksimal mungkin. Komputer dapat menyimpan dan
memanipulasi angka-angka dengan mudah, tetapi tidak dapat menyimpan secara
langsung inforamasi yang berbentuk gambar atau diagram
E =
1
4
5
3
a
b
c
d
e f
2
g
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
21/105
21
2.2.2Matrix dari network.
Pada uraian sebelumnya sudah dijelaskan bahwa network adalah suatu
graph dengan arc yang mempunyai aliran.
Networkditulis dengan notasi W (N,A,d), dimana:
N =setdari node(1,2,,n)
A = setdari arc (a,b,....................)
di = bobot dari arc i.
Suatu networkdisebut non negatifjika di>0 untuk seluruh eijE.
Adjacency matrix dari network adalah identik dengan adjacency matrix
darigraph hanya saja elemen-elemen matriks ditentukan oleh arah dari setiap arc
dari networktersebut.
Contoh dari sebuah networkadalah seperti terlihat dalam gambar berikut.
Network ini adalah merupakan suatu jaringan jalan raya disuatu daerah
Node (1, 2, 3, 4, 5) adalah kota-kota yang dilintasi oleh jalan raya tersebut.
Arc (1-2) adalah jarak antar kota 1 dengan kota 2 dan seterusnya.
Sama halnya dengan graph pada network juga ditemukan bentukundirecteddan
directed network.
2.3. Algori tma Path
Dalam bagian ini akan diuraikan beberapa algoritma untuk mencari path
yang mempunyai sifat-sifat optimum tertentu.
- Pertama adalah algoritma untuk mencari path yang terpendek (shortes path)
antara dua node didalam suatu network,
- Kedua adalah algoritma untuk mencari path yang terpendek diantara setiap
pasang node didalam network.
1
4
5
3
3
2
4
1
6 2
2
3
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
22/105
22
2.3.1. Algoritma Terpendek Antara Dua Node Tertentu.
Contoh-contoh problema dan mencari arc yang terpendek adalah:
Contoh 1.
Seorang supir sedang bepergian dengan mengendarai mobil dari kota
asalnya menuju kota yang lain. Untuk mencapai kota tujuan tersebut, dia
mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota
dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam network
berikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang
tersebut minimum?
Contoh 2.
Seorang pengusaha ingin menanamkan uangnya secara optimal pada salah
satu atau beberapa bidang usaha, yaitu membeli saham dipasar uang dan modal,
membeli bond atau mendepositokan di bank, dia hanya ingin menanamkan
uangnya pada satu jenis usaha, pada tiap kali mengadakan investasi. sesuai dengan
peraturan yang berlaku saat ini, bahwa pengusaha tersebut hanya dibenarkan
untuk investasi atau menarik mdalnya pada hari pertama tiap kwartal. Besarnya
keuntungan yang diharapkan tiap bulan selama satu tahun dinyatakan sebagai
panjang dari arc.
Kota Tujuan
s
4
3
2
Awal
Kwartal 4
Akhir4
3
2
4
3
2
t
Kwartal 3Kwartal 2Kwartal 1
s
3
4
2
4
3
4
3
3
2
12
t
7
2
Kota Asal
JarakKota Antara
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
23/105
23
Dari kedua contoh problema tersebut, terlihat bahwa sebagai penyelesaian
optimum adalah lintasan (path) yang memberikan jarak terpendek dari s ke t.
Hanya saja pada contoh dua, panjang tiap path harus dinyatakan sebagai harga
negatif dari keuntungan yang diharapkan pada tiap kwartal. Ada beberapa
algoritma untuk mencari penyelesaian optimum di problemapath yang terpendek
(shortes path problem). Yang paling banyak digunakan adalah algoritma dikstra
(1959), Karena algritma ini sangat efisien. Tetapii penggunaannya terbatas hanya
untuk non negatif network. Untuk negatif network dapat digunakan algoritma
chimbel dan gellman atau algoritma ford. Ide dari algoritma dikstra adalah sebagai
berikut:
Misalkan diketahui bahwa dalam network, m node s dan juga pada m buah node
tersebut, kemudian node ke (m+1) yang terpendek ke node s di cari sebagai
berikut:
Untuk setiap node, bentuklah sebuah path dari node s ke node y dengan
menghubungkanpath terpendek dri s ke t dengan arc (x, y) untuk semua node x.
Pilihlah path yang terpendek dari n buah path ini, anggap bahwa untuk
sementara, path yang dipilih ini merupakan path yang terpendek dari s ke t.
Sekarang, node yang manakah yang merupakan node ke ( m+1), yang terdekat ke
s adalah node yang belum diberi warna yang merupakanpath terpendek sementara
dari s seperti telah dihitung di atas. Hal ini adalah benar karena path yang
terpendek dari s kepada node yang ke (m+1) yang jaraknya terpendek ke node s,
harus menggunakan node yang telah berwarna sebagai node antara.
Oleh karena itu , jika ke m buah node yang terdekat kepada node s
diketahui, maka node ke (m+1) dapat dicari, seperti yang diuraikan di atas mulai
dengan m = 0, dan proses tersebut dilakukan berulang-ulang sehingga path yag
terpendek dari s ke t telah diperoleh.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
24/105
24
Untuk jelasnya algoritma dikstra ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Langkah 1 :
Untuk semua node dan arc yang belum diwarnai. Beri angka d(x)
kepada setiap node x untuk menunjukkan panjang dari path yang
terpendek dari s ke t yang hanya menggunakan node yang berwarna
sebagai node antara. Beri pula d(s) = 0 dan d (x) = ~ untuk semua x
s. misalkanya adalah node pertama yang akan diberi warna. Beri warna
pada s dan misalkan y = s.
Langkah 2:Untuk setiap node x yang belum berwarna, tentukan d(x) dengan cara
sebagai berikut: d(x) = Min { d(x), d(y) + a(y,x)}
Jika d(x) = ~, untuk semua x yang tidak berwarna, maka iterasi
dihentikan karena tidak ada path dari s kepada setiap node yang belum
berwarna tersebut. Jika d(x) ~ , beri warna node x yang belum
berwarna yang mempunyai harga d(x) terkecil. Juga beri warna pada
arc yang langsung menuju node x dari node berwarna dimana harga
d(x) yang minimum tadi ditemukan. Misalkan y = x.
Langkah 3:
Jika node t sudah diberi warna, maka iterasi dihentikan, karena sebuah
path yang terpendek dari s ke t sudah ditemukan. Jika node t belum
berwarna, kembali ke langkah 2.
Bila algoritma dikstara ini digunakan untuk contoh soal 1 di atas maka
penyelesaian optimum yang diperoleh adalah sebagai berikut.
s
2
4
3
4
3
4
3
3
2
12
t
7
2
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
25/105
25
Langkah 1: Beri warna pada node s, d(s) = 0 dan d(x)= ~ untuk seluruh x s.
Langkah 2: y = s
d(1) = Min { d(1), d(s) + a(s,1)} = Min {~, (0+4)} = 4
d(2) = Min { d(2), d(s) + a(s,2)} = Min {~, (0+7)} = 7
d(3) = Min { d(3), d(s) + a(s,3)} = Min {~, (0+3)} = 3
d(4) = Min { d(4), d(s) + a(s,4)} = Min {~, (0+~)} = ~
d(t) = Min { d(5), d(s) + a(s,5)} = Min {~, (0+~)} = ~
Karena d(3) = 3 adalah Min {d(1), d(2), d(3), d(4), d(t)}, maka node 3 dan arc
(s,3) diberi warna.Path yang terpendek sementara adalah dari node s ke node 3.
Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.
Langkah 2: y = s
d(1) = Min { d(1), d(3) + a(3,1)} = Min {4, (3 + 4)} = 4
d(2) = Min { d(2), d(3) + a(3,2)} = Min {7, (3 + ~)} = 7
d(4) = Min { d(4), d(3) + a(3,4)} = Min {~, (3 + 3)} = 6
d(t) = Min { d(t), d(3) + a(3,t)} = Min {~, (3 + ~)} = ~
Karena d(1) = 4 adalah Min {d(1), d(2), d(4), d(t)}, maka node 1 dan arc (s,1)
diberi warna.Path arborescence terpendek adalah arc (s,3) dan (s,1).
Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.
Langkah 2: y = 1
d(2) = Min { d(2), d(1) + a(1,2)} = Min {7, (4+3)} = 7
d(4) = Min { d(4), d(1) + a(1,4)} = Min {4, (4+2)} = 6
d(t) = Min { d(t), d(1) + a(1,t)} = Min {~, (4+~)} = ~
Karena d(4) = 4 adalah Min {d(2), d(4), d(t)}, maka node 4 diberi warna.
s3
3
s
3
3
14
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
26/105
26
Salah satu dari arc (3,4) dan arc (1,4) juga diberi warna. Misalkan dipilih arc
(3,4) makapath arborecence terpendek adalah:
Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.
Langkah 2: y = d
d(2) = Min { d(2), d(4) + a(4,2)} = Min {7, (6+~)} = 7
d(t) = Min { d(t), d(4) + a(4,t)} = Min {~, (6+2)} = 8
Karena d(2) = 7 adalah Min {d(2), d(t)}, maka node 2 dan arc (s,2) diberi warna.
Salah satu dari arc (3,4) dan arc (1,4) juga diberi warna. Path arborecence
terpendek adalah sebagai berikut.
Langkah 3:Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.
Langkah 2: y =2
d(t) = Min { d(t), d(2) + a(2,t)} = Min {8, (7+2)} = 8
Beri warna pada node t dan arc (4,t) makapath arborecence terpendek adalah:
2
s
3
3
1
4
43
7
2
2
s
3
3
14
43
5
s
3
3
14
43
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
27/105
27
Dari path arborecence ini terlihat bahwa path yang terpendek dari s ke t
terdiri dari arc (s,3), (3,4), dan (4,5) dengan jarak 3 + 3 + 2 = 8.
Karena algoritma dikstra untuk mencari path yang terpendek dalam
prosesnya membentuk arborescence maka algoritma ini juga dapat digunakan
untuk mencari minimum spanning arborescence dari suatu graph atau network.
2.3.2. Shortest Path antara seluruh Node.
Problem pada uraian terdahulu adalah mencari suatu shortest path
(lintasan terpendek) diantara 2 (dua) node tertentu di dalam graph. Bagian ini
akan mempelajari shortest path antatra tiap pasang node di dalam graph.
Misalnya, suatu graph terdiri dari set elemen N (1,2,3,4 dan 5) dan satu set
elemen A {(1,2), (2,3), (3,1), (3,6), (5,4), (4,6), (1,4),(6,5)} seperti terlihat pada
gambar berikut.
Problema adalah mencari lintasan yang terpendek dari suatu node ke
seluruh node yang lain, misalnya antara node 1 dengan node 3, antara node 2
dengan node 6 dan seterusnya. Sudah barang tentu, problema ini akan dapat
diselesaikan dengan menggunakan algoritma dikstra seperti yang telah diuraikan
sebelumnya secara berulang-ulang. Tetapi penyelesaian dengan cara ini sangat
tidak efisien karena membutuhkan perhitungan yang sangat banyak dan sangat
dipengaruhi oleh banyaknya node yang terdapat di dalamgraph.
Untuk problema yang demikian, akan dapat diselesaikan dengan lebih
mudah dan lebih singkat dengan menggunakan algoritma Shimbel and Bellman
(1954), algoritma Floyd (1962) dan algoritma wantzig (1967). Pada bagian ini
31
4
3
24
52
6
2
5
3
2
Bobot arc menyatakan
jarak antara tiap
pasang node
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
28/105
28
hanya algoritma Floyd saja yang akan di uraikan sedangkan algoritma lainnya
dapat dibaca pada buku Optimization Algoritma for networks and Graphs.
Contoh.
Suatu perusahaan penerbangan domestik harus menyinggahi sejumlah kota
setiap hari. Untuk menghemat penggunaan bahan bakar dan waktu penerbangan
maka, perusahaan tersebut ingin untuk meminimumkan total jarak yang harus
ditempuhnya. Suatu hal yang sangat membantu untuk mencapai tujuan ini adalah
dengan mendapatkan rute yang terpendek antara setiap kota yang harus disinggahi
oleh pesawat.
Dalam algoritma Floyd ini digunakan beberapa notasi yaitu: nomor dari
node adalah 1,2,3,...................,N. Path yang terpendek dari node i dan j, dimana
hanya m buah node yang pertama diizinkan sebagai node antara dinyatakan
sebagai dm
ij = ~ . berdasarkan definisi ini, maka do
ij adalah panjang dari path
terpendek dari i ke j (path yang tidak mempunyai path antara) dan dI
ij adalah
panjang dari path tersebut hanya terdapat satu node antara. Pengertian ini dapat
dijelaskan dengangraph berikut.
Path dari 1 ke 4
do
ij = 3, denganpath terpendek (1,4)
dI
ij = ~, tidak adapath dari node 1 ke 4 yang mempunyai 1 node antara.
d2
ij = 11,denganpath terpendek (1,2), (2,5), (5,4)
d3
ij = ~, tidak adapath dari node 1 ke 4 yang mempunyai 3 node antara.
d4
ij = 13,denganpath terpendek (1,2), (2,3), (3,6), (6,5), (5,4).
3
1
4
3
24
52
6
2
5
3
2
7
4
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
29/105
29
Sehingga jelas bahwa do
ij = 0, untuk semua i. Misalkan Dm adalah matriks
N x N yang mempunyai elemen (i,j) adalah d mij , jika panjang setiap arc dalam
graph diketahui maka matriks D0 dapat dicari. Sebagai tujuan adalah mencari DN
yaitu matriks N x N dimana elemen (i,j) adalah dN
ij , yang merupakan panjang
daripath terpendek antara node i dengan nodej.
Algoritma Floyd dimulai dari D0 dan D1 dihitung berdasarkan D0
berikutnya, algoritma menghitung D2 dan D1 dan seterusnya.
Jika hal-hal dibawah ini telah diketahui maka Ide dari perhitungan-
perhitungan tersebut adalah sebagai berikut:
a) Shortest path dari node i ke node m yang hanya melalui (m-1) buah node
antara.
b) Shortest path dari node m ke node j yang hanya melalui (m-1) buah node
antara.
c) Shortest path dari node i ke node j yang hanya melalui (m-1) buah node
antara. Karena dalam path ini tidak terdapat circuit ataupun arc yang
panjangnya negatif, makapath yang lebih pendek diantara (4) dan (5) berikut
ini adalah merupakan shortest path dari i ke j, yang hanya melalui m buah
node antara.
d) Path yang dibentuk dari sambunganpathpada (1) danpath pada (2).
e) Path pada (3). Sehingga: dm
ij = Min { (d1m
im + d1m
mj ), d1m
ij }
Dari persamaan tersebut terlihat bahwa hanya elemen-elemen dari matriks Dm-1
yang diperlukan untuk menghitung elemen-elemen dari matriks Dm.
Algoritma Floyd untukshortest path ini adalah:
Langkah 1 : Beri nomor pada node darigraph yaitu 1,2,3,........,N.
Carilah matriks DO , yaitu suatu matriks yang elemen (i,j) sama
dengan panjang dari arc yang terpendek dari node i ke node j. Jika
arc ini tidak ada, beri do
ij = ~ . Misalkan do
ij = 0 untuk seluruh i
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
30/105
30
Langkah 2: Untuk m = 1,2,3,........,N, secara berturut-turut cari elemen elemen
dari matriks Dm dari elemen-elemen Dm-1 dengan menggunakan
formula berikut.
dm
ij = Min { (d1m
im + d1m
mj ), d1m
ij }
Bila setiap elemen sudah ditentukan, catatlah path yang bersangkutan.
Elemen-elemen dari matriks DN adalah merupakan panjang darishortest path dari
node i ke nodej.
2.4. Tree Problem
Salah satu variasi darishortest path problem adalah minimum spanning tree
problem. Dalam penyelesaian padashortest path problem,setdari node dan jarak
antara tiap pasang node tersebut terlebih dahulu telah diketahui. Pada shortest
path problem ini yang dicari adalah lintasan yang memberikan jarak terpendek
dari suatu tempat asal (source) ke suatu tempat tujuan (terminal) melalui beberapa
alternatif daerah antara.Beda halnya dengan shortest path problem minimum spanning tree
problem, menyangkut pemilihan arc dari graph sedemikian rupa sehingga
terdapat satu rute antara suatu node dengan node yang lain, tetapi total jarak harus
sekecil mungkin. Dalam hal ini, arc yang terpilih haruslah membentuk suatu
spanning tree ( tree yang menghubungkan seluruh node yang ada di dalam
graph). Dengan kata lain, problema adalah mencari spanning tree dengan total
bobot arc yang sekecil-kecilnya.
Uraian berikut ini mempelajari algoritma untuk penyelesaian problem
spanning tree (pembentukan tree) didalamgraph. Yang pertama adalah algoritma
untuk penyelesaian problemaspanning tree pada graph dan berikutnya adalah
algoritma untuk penyelesaian minimum/ maksimum spanning tree problem.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
31/105
31
2.4.1. Algoritma untuk Spanning Tree
Pada bagian ini akan dipelajari 2 (dua) macam algoritma yaitu yang
pertama adalah algoritma untuk membentuktree (tree algoritm) Pada suatugraph,
dan yang kedua adalah algoritma untuk membentuk minimum spanning tree
(minimum spanning tree algoritm) yaitu spanning tree dari suatu graph yang
mempunyai total bobot minimum diantara seluruh spanning tree yang mungkin
dibentuk darigraph tersebut.
Didalam penyelesaianproblema spanning tree didalam suatugraph (N,A)
dimisalkan bahwa bobot dari arc (x,y) adalah a(x,y), total bobot dari sebuah tree
adalah jumlah bobot dari seluruh arc yang terbentuk dari tree tersebut.
Contoh problema darispanning tree adalah:
Departemen pekerjaan umum menginginkan pembangunan jalan baru
secukupnya untuk menghubungkan 5 (lima) buah kota disuatu daerah yang baru
dibuka. Biaya untuk pembangunan 2 buah kota tertentu diketahui seperti terlihat
pada Tabel 2.1. berikut.
Tabel 2.1.
Biaya untuk pembangunan 2 buah kota1 2 3 4 5
1 0 5 30 80 90
2 5 0 70 60 50
3 50 70 0 8 20
4 80 60 8 0 10
5 90 50 20 10 0
Bagaimanakah caranya pembangunan jalan tersebut dilakukan sehingga
total biaya yang dikeluarkan oleh departemen pekerjaan umum tersebut adalah
minimum?
Kota 1 Kota 2
Kota 4Kota 3
Kota 5
KeDari
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
32/105
32
Problema ini dapat diformulasikan ke dalam bentukgraph dimana setiap
kota dinyatakan sebagai node dan setiap kemungkinan jalan yang dapat dibangun
untuk membangun 2 kota dinyatakan sebagai arc. Bobot dari tiap arc adalah
besarnya biaya yang dibutuhkan untuk pembangunan jalan antara setiap 2 kota,
seperti pada gambar berikut.
Algoritma dapat diringkaskan sebagai berikut, pertaman-tama seluruh arc
adalah tidak berwarna dan semua bucketadalak kosong.
Langkah 1: Pilihlah salah satu arc yang bukan merupakan loop. Beri warna biru
pada arc ini dan tempatkanlah kedua node ujung dan node
pangkalnya kedalam suatu bucket (bucket1) dan bucketyang disebut
bucket2.
Langkah 2: Pilih arc lain yang belum berwarna yang juga bukan loop.
Jika tidak ada lagi arc yang demikian, algoritma dihentikan. Berarti
graph tersebut tidak mempunyaispanning tree. Bila arc tersebut masih
ada maka, pada setiap pemerikasa arc, salah satu dari keempat keadaan
ini mesti ditemui yaitu:
1. Kedua node ujung atau pangkal dari arc yang sedang diperiksa,
sudah ada didalam salah satu bucket. Bila hal ini terjadi, maka arc
tersebut diberi warna orange dan kembali ke langkah 2.
2. Salah satu dari node ujung atau node pangkal dari arc tersebut
berada dalam salah satu bucket, dan node ujung yang lain tidak
berada dalam bucket. Bila hal ini terjadi, beri warna biru pada arc
tersebut dan pindahkanlah node yang belum berada dalam bucket
kedalam bucket dimana node ujung atau node pangkal tadi
terdapat.
1
60
3
5070
80
5
8
10
20
502
4
5
70
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
33/105
33
3. Tidak ada satupun dari node ujung ataupun nodepangkal dari arc
berada dalam salah satu dari ke 2 bucket. Bila hal ini terjadi, beri
warna biru pada arc ini dan kedua node ujung dan node
pangkalnya dimasukkan kedalam bucket2.
4. masing-masing node ujung dan node pangkal dalam arc berada
dalam bucketberbeda. Bila hal ini terjadi maka beri warna biru
pada arc tersebut dan isi dari kedua bucket ini digabung di dalam
bucket1. bucket 2 menjadi kosong kembali.
Langkah 3: Jika seluruh node dari graph sudah berada dalam bucket 1,
makaalgoritma dihentikan, karena arc yang berwarna biru sudah
membentuk suatu spanning tree, jika belum amaka kembali ke
langkah 2.
Jika algoritma tidak dapat dihentikan karena persyaratan diatas tidak
terpenuhi secara terus-menerus, maka pada graph tidak dapat dibentukspanning
tree. Algoritma ini mempunyai sifat-sifat bahwa masing-masing arc diperiksa satu
persatu. Bila suatu arc sudah diberi warna (biru / orange) maka arc tersebut tidak
akan diperhatikan lagi.
2.4.2.Algoritma untuk Minimum/ Maksimum Spanning Tree.
Pada penyelesaian problema spanning tree pada suatu graph yang seluruh
arcnya mempunyai bobot algoritma di atas masih dapat digunakan. Hanya saja
diperlukan penyesuaian. Bila problema adalah membentukspanning tree pada
graph dengan bobot dari arc membentuknya sekecil mungkin, maka disebut
sebagai minimum spanning tree problem. Sebaliknya jika jumlah bobot tersebut
sebesar-besarnya, maka disebut maksimum spanning tree problem.
Algoritma untuk penyelesaian minimum spanning tree problem adalah sama
dengan algoritma penyelesaian spanning tree, tetepi disini pemilihan arc
dilakukan mulai dari bobot terkecil dari suatu arc yang akan diperiksa. Oleh
karena itu pertama-tama yang harus dilakukan adalah membuat list dari arc
menurutAscending order(yang terkecil pertama dan terbesar pada bagian akhir).
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
34/105
34
Jika graph mempunyai beberapa arc yang bobotnya sama maka pemilihan
salah satu dari arc ini dapat dilakukan secara arbitrary. Pada penyelesaian
maksimum spanning tree problem, list dari arc disusun menurut discending order
(yang terbesar pertama dan terkecil pada bagian yang terakhir).
Contoh:
Selesaikanlah problema tentang pembangunan jalan raya seperti yang telah
diperlihatkan dalam contoh sebelumnya.
Penyelesaian:
Pertama-tama dilakukan penyusunan list dari arc menurut ascending order,
kemudian algoritma di atas digunakan. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2.2.
berikut.
Jadi minimum spanning tree darigraph tersebut adalahspanning tree yang
dibentuk oleh node {1, 2, 3, 4,5 } dan arc {(1,2), (3,4), (4,5), (2,5)}.
Tabel 2.2.
Penyusunan listdari arcmenurut ascending orderArc Bobot Warna Bucket 1 Bucket 2
- - - Kosong Kosong
Langkah 1: (1,2) 5 Biru 1,2 Kosong
Langkah 2: (3,4)
(4,5)
(3,5)
(2,5)
8
10
20
50
Biru
Biru
Orange
Biru
1,2
1,2
1,2
1,2,3,4,5
3,4
3,4,5
3,4,5
Kosong
Langkah 3: Stop(1,3)
(2,4)
(2,3)
(1,4)
(1,5)
50
60
70
80
90
Banyaknya arc yang
berwarna biru sama
dengan banyaknya
node dikurangi satu.
Semua node
telah berada
dalam satu
bucket.
1
60
3
5070
80
5
8
10
20
502
4
5
90
1
3
2
4
5
5
10
50
8
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
35/105
35
Berdasarkan penyelesaian ini diperoleh bahwa untuk memberi biaya
pembangunan jalan raya ini sekecil mungkin, maka jalan-jalan yang harus
dibangun adalah:
- Dari kota 1 ke kota 2, dengan biaya = 5
- Dari kota 2 ke kota 5, dengan biaya = 50
- Dari kota 5 ke kota 4, dengan biaya = 10
- Dari kota 3 ke kota 4, dengan biaya = 8
Jumlah biaya = 73
2.5. Flow Problem
Aliran (flow) didefenisikan sebagai suatu cara untuk pengiriman benda-benda dari suatu tempat ke tempat yang lain. Misalnya pengiriman bahan jadi dari
suatu pabrik kepada suatu distribusi, keberangkatan pegawai dari rumah masing-
masing ke tempat kerja ataupun pengiriman surat drai kantor pos ke alamat yang
ditujukan dapat dipandang sebagai aliran.
Berikut ini adalah merupakan uraian tentang aliran yang dijelaskan dalam
bentuk graph dengan berbagai problemnya dan algoritma penyelesaian dari
problem tersebut.
2.5.1. Flow argumentation problem
Flow argumentation problem adalah mencari jumlah unit maksimum yang
dapat ditambahkan ke dalam aliran yang telah ada di dalam suatu path. Problem
ini timbul sebagai akibat dari adanya perbedaan kapasitas maksimum dari setiap
arc yang membentukpath tersebut.
Logika yang mendasari algoritma untuk penyelesaian problem penambahan
jumlah unit pada aliran adalah: misalkan bahwa graph untuk problem ini telah
digambarkan. Misalkan pula bahwa jumlah unit yang melintas melalui arc (x,y)
dinyatakan dengan f (x,y) dan kapasitas yang dibenarkan mengalir dalam arc (x,y)
dengan c (x,y), sesuai persamaan: 0 f(x,y) f(x,y)
Seluruh arc darigraph dapat dibagi atas 3 (tiga) kategori, yaitu N, I, R,
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
36/105
36
Dimana:
N (Non increasable path) = Setdari arc yang tidak memungkinkan pertambahan
atau pengurangan jumlah unit yang mengalir melalui
arc bersangkutan.
I (Increasable path) = Set dari arc yang jumlah unit oada alirannya masih
dapat ditambahkan.
R (Reducable path) = Set yang arc yang jumlah unit pada alirannya masih
dapat dikurangi.
Misalkan i(x,y) dinyatakan sebagai jumlah unit yang maksimum masih bisa
ditambahkan ke dalam arc (x,y) dan r (x,y) sebagai jumlah unit maksimum yang
dapat dikurangi dari arc (x,y). Maka: i(x,y) = c(x,y)f(x,y) dan r(x,y) = f(x,y)
Contoh:
Carilah suatupath dari s ke t dimana seluruh arc daripath itu termasuk di
dalamset I(Increasable path).
i(s,1)=3 i(1,2)=2 i(2,t)=1
Jumlah unit maksimum yang dapat ditambahkan melalui path dari s ke t ini
adalah: I = Min {(s,1),i(1,2),i(2,t)} = Min {3,2,1} =1.
Contoh:
Carilah suatupath dari t ke s dimana seluruh arc daripath itu termasuk di
dalamset R (Reducable path).
r(1,s)=1 r(2,1)=2 r(t,2)=1
Jumlah unit maksimum yang dapat dikurangi melalui path dari t ke s ini adalah:
R=Min {(1,s),i(2,1),i(t,2)}= Min {1,2,1} =1.
S 1 2 t
S 1 2 t
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
37/105
37
Contoh :
Carilah flow augmenting chain dari s ke t dalam network seperti terlihat
dibawah ini.
Keterangan:
N =Non increasable path
I =Increasable pathR =Reducable path
Makaflow augmenting chain dari networktersebut adalah: (s,1), (1,3), (2,3), (2,t)
dan jumlah maksimum unit tambahan yang dapat dikirim dari s ke t:
Min{i(s,1), i(1,3), r(2,3), i(2,t)} = Min {4,3,2,2} = 2
Arc maju (s,1), (1,3) dan (2,t) dapat ditambahkan sebanyak 2 unit,
sedangkan arc mundur (2,3) dapat dikurangi alirannya sebanyak 2 unit. Ini berarti,
bahwa 2 unit yang sebelumnya mengalir melalui arc (2,3) dapat dipindahkan ke
arc (2,t) dan kemudian digantikan pada node 3 oleh 2 unit tambahan yang datang
dari s melalui arc (s,1) dan arc (1,3).
2.5.2. Maximum flow problem
Maximum flow problem didefinisikan sebagai problem untuk mencari suatu
cara terbaik untuk memaksimumkan jumlah unit yang dapat dikirim dari s ke t
didalam suatu networkyang mempunyai arc dengan kapasitas terbatas.
Contoh: Carilah aliran maksimum pada network berikut:
1
s
3
2
4
t
IRR
R
I
IR
N
R
I
N
R
2
2s 1 2 t
4
3
1
2
3
i (s,1) = 4 r(s,1) = 6
i (1,3) = 3 r(s,3) = 1
i (2,t) = 2 r(1,2) = 7
i (3,4) = 5 r(2,3) = 2
r(2,4) = 3
r(3,4) = 2
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
38/105
38
Penyelesaian:
- Untuk permulaan dipilihflow augmenting chain : (s,1), (1,2), (2,t)
Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain ini
adalah = Min {i(s,1), i(1,2), i(2,t)} = Min {2,3,2} = 2
Jadi jumlah unit yang dapat ditambahkan pada setiap arc didalam chain ini
adalah 2 unit, yaitu f(s,1)=2 ; f(1,2)=2 ; f(2,t) = 2.
- Untukflow augmentingyang kedua dipilih: (s,2), (1,2), (1,3), (3,t)
Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain ini
adalah = Min {i(s,2), i(1,2), i(1,3), i(3,t)} = Min {3,2,4,1}= 1
Jadi 1unit tambahan dapat dikirimkan sepanjang chain dari s ke t. Aliran
pada setiap arc maju yaitu arc (s,2), arc(1,3), arc (3,t) dalam chain ini akan
ditambahkan masing-masing sebesar 1 unit, dan aliran pada arc mundur yaitu
arc (1,2) dalam chain dikurangi 1 unit. Dengan demikian, aliran sekarang
menjadi: f(s,1)=2 ; f(1,2)=1 ;f(2,t)=2 ;f(s,2)=1 ;f(1,3)=1 ;f(3,t)=1
Jumlah unit yang dapat dialirkan melalui rute berikut ini adalah sebagai
berikut:
- 2 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,2), (2,t)
- 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,2), (2,t)
- 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,3), (3,t)
II.3. PENUTUP
Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar
mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikanjuga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
39/105
39
Tugas/latihan untuk materi analisis jaringan adalah sebagai berikut:
1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain.
Dia mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak
suatu kota dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam
networkberikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh
oleh orang tersebut minimum?
2. Carilah Jumlah unit maksimum suatupath dari s ke t dimana seluruh arc dari
path itu termasuk di dalamsei I(Increasable path)!
i(s,1)=5 i(1,2)=3 i(2,t)=2
Kota TujuanS
C
D
B
5
3
3
3
2
A3
T
7
Kota
JarakKota Antara
13
S 1 2 t
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
40/105
40
PERKULIAHAN KE 4 DAN 5:
PERENCANAAN & PENGENDALIAN PROYEK DGN CPMPERT.SESI/PERKULIAHAN KE: 4 DAN 5
TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.Menjelaskan pengertian dan langkah-langkah penyelesaian
masalah keputusan dengan menggunakan CPMPERT.2.Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakan
CPMPERT tersebut.
Pokok Bahasan : Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPMPERT.
Deskripsi singkat :
Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yangberkaitan dengan perencanaan & pengendalian proyek dgn CPM PERT,termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan waktu, perhitungan maju,perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu dan penentuan ongkosdalam penjadwalan proyek.
I.
Bahan Bacaan:1.Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2nd
edition, John Wiley and Sons, 1987.
2.Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1st
edition, McGraw-Hill, 1991.3.Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The
MacMillan Co, 1985.
II. Bahan Tambahan:1.Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to Operation
Research , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.
2.Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :
Prenntice-hall Inc, 1969.
III.Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:1.Apa yang dimaksud dengan perencanaan?2.Apa yang dimaksud dengan pengendalian?3.Apa yang dimaksud dengan proyek?
IV. Tugas:1.Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan!
2.Dari suatu proyek diperoleh data:Aktivitas Aktivitas yang telah dilalui (predecessor) Waktu penyelesaiana (duration)
A
B
-
-
6
4
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
41/105
41
C
D
E
FG
HI
J
A
A
B
D,ED,E
C,D,EC,D,E
I,F
4
6
4
64
1014
12
Buatlah diagram networknya dan tentukan lintasan kritis serta waktu penyelesaianproyek tersebut!
III.1. PENDAHULUAN
Dalam perkuliahan mengenai perencanaan & pengendalian proyek dgn
CPMPERT ini akan dibahas mengenai pengertian perencanaan & pengendalian
proyek dgn CPM PERT, termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan
waktu, perhitungan maju & perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu,
pembuatan peta waktu & pengaturan sumber daya, perkiraan waktu penyelesaian
suatu aktifitas dan penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek. Materi yang
disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna
dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan
keputusan dalam perencanaan dan pengendalian suatu proyek.
III.2. PENYAJIAN
PERENCANAAN DAN PENGENDALIAN PROYEK
DENGAN PERT-CPM
Pengelolaan proyek-proyek berskala besar yang berhasil memerlukan
perencanaan, penjadwalan dan pengorganisasian yang terjaga dari berbagai
aktivitas yang saring berkaitan. Untuk itu, maka pada tahun 1950 telah
dikembangkan prosedur-prosedur formal yang didasarkan atas penggunaan
network( jaringan ) dan teknik-teknik network. Prosedur yang paling utama dari
prosedur-prosedur ini dikenal sebagai PERT (Program Evaluation and Review
Technique) dan CPM (Critical Path Method), yang keduanya terdapat beberapa
perbedaan penting. Namun, kecenderungan pada dewasa ini adalah
menggabungkan kedua pendekatan tersebut menjadi apa yang biasa dikenal
sebagai PERT-type system.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
42/105
42
Tujuan PERT-type Sistem adalah :
1. Untuk menentukan probabilitas tercapainya batas waktu proyek.
2. Untuk menetapkan kegiatan mana yang merupakan bottlenecks (menentukan
waktu penyelesaian seluruh proyek) sehingga dapat diketahui pada kegiatan
mana kita harus bekerja keras agar jadwal dapat terpenuhi
3. Untuk mengevaluasi akibat dari perubahan-perubahan program, PERT-type
sistem ini juga dapat mengevaluasi akibat dari terjadinya penyimpangan pada
jadwal proyek.
3.1. Simbol-Simbol yang Digunakan.
Dalam menggambarkan suatu networkdigunakan tiga buah simbol sebagai
berikut:
1. Anak Panah = arrow, menyatakan sebuah kegiatan atau aktivitas.
2. O Lingkaran Kecil = node, menyatakan kegiatan atau peristiwa atau event.
3. --- Anak Panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy.
Dummy disini berguna untuk membatasi mulainya kegiatan.
Simbol-simbol ini digunakan dengan mengikuti aturan-aturan sebagai
berikut :
1. Di antara dua eventyang sama, hanya boleh digambarkan satu anak panah.
2. Nama suatu aktivitas dinyatakan dengan huruf atau dengan nomorevent.
3. Aktivitas harus mengalir dari event bernomor rendah ke event bernomor
tinggi.
4.
Diagram hanya memiliki sebuah initial event dan sebuah terminal event.
Logika ketergantungan kegiatan-kegiatan itu dinyatakan sebagai berikut :
1. Jika kegiatan A harus diselesaikan dahulu sebelum kegiatan B dapat dimulai,
maka hubungan antara kedua kegiatan tersebut dapat digambarkan sebagai
1 2 3A B
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
43/105
43
2. Kegiatan C, D, dan E harus selesai sebelum kegiatan F dapat dimulai, maka :
3. Jika kegiatan G dan H harus selesai sebelum kegiatan I dan J, maka :
4. Jika kegiatan K dan L harus selesai sebelum kegiatan M dapat dimulai, tetapi
kegiatan N sudah boleh dimulai bila kegiatan L sudah selesai, maka:
5. Jika kegiatan P, Q, dan R mulai dan selesai pada lingkaran kejadian yang
sama, maka :
5
4
3
1
D
C
E
F
6
5
4
3
2G
H
I
J
2
37
6
4
5
K
L
M
N
31 34
33
32
PQ
R
Atau
31 34
33
32
P
Q
R
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
44/105
44
3.2. Penentuan Waktu
Dalam mengestimasi dan menganalisis waktu ini, akan kita dapatkan satu
atau beberapa lintasan tertentu dari kegiatan kegiatan pada networktersebut yang
menentukan jangka waktu penyelesaian seluruh proyek. Lintasan ini disebut
lintasan kritis (criticalpath). Di samping lintasan kritis ini terdapat lintasan-
lintasan lain yang mempunyai jangka waktu yang lebih pendek daripada lintasan
kritis. Dengan demikian, maka lintasan yang tidak kritis ini mempunyai waktu
untuk bisa terlambat, yang dinamakanfloat.
3.2.1. Notasi yang Digunakan.
Untuk memudahkan perhitungan penentuan waktu ini digunakan notasi-
notasi sebagai berikut :
TE = earliest event occurence time, yaitu saat tercepat terjadinya event.
TL = latest event occurence time, yaitu saat paling lambat terjadinya event.
ES = earliest activitiy start time, yaitu saat tercepat dimulainya aktivitas.
EF = earliest activity finish time, yaitu saat tercepat diselesaikannya aktivitas.
LS = latest activity start time, yaitu saat paling lambat di mulainya aktivitas.
LF = latest activity finish time, yaitu saat paling lambat diselesaikannya
aktivitas.
t = activity duration time, yaitu waktu yang diperlukan untuk suatu aktivitas
(biasa dinyatakan dalam hari).
S = total slack / total float.
SF =free slack / free float.
3.3. Perhitungan Maju
Ada tiga langkah yang dilakukan pada perhitungan maju, yaitu :
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
45/105
45
1. Saat tercepat terjadinya initial event ditentukan pada hari ke nol sehingga
untuk initial eventberlaku TE = O. (Asumsi ini tidak benar untuk proyek
yang berhubungan dengan proyek-proyek lain.
2. Kalau initial eventterjadi pada hari yang ke nol, maka:
ES (i,j) = TE(0) = 0
EF(i,j) = ES(i,j) + t(i,j)
=TE(t)+ t(i,j)
3. Eventyang menggabungkan beberapa aktivitas (merge event). (i1,j)
Contoh
3.4. Perhitungan Mundur
Pada perhitungan mundur ini pun terdapat tiga langkah, yaitu :
t
ji (i,j)
EF(i1,j)
EF(i1,j)
EF(i1,j)
j
1
4
2
8
3
7
6
20
5
20
4
19
8
36
0
0
A
B
C
E
D
F
GH
I
J
K5
10
3
11
7
31
12
154
8
9
7
8
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
46/105
46
1. Pada terminal eventberlaku TL = TE.
2. Saat paling lambat untuk memulai suatu aktivitas sama dengan saat paling
lambat untuk menyelesaikan aktivitas itu dikurangi dengan duration aktivitas
tersebut.
LS = LF- t
LF(i,j) = TL dimana TL = TE
Maka: LS(i,j) = TL(i) - t (i,j)
3. Eventyang "mengeluarkan" beberapa aktivitas (burst event).
Contoh:
3.5. Perhitungan Kelonggaran Waktu (F loat Atau Slack)
i j
TE TL
(i,j)
LS(i1,j1)
LS(i,j2)
LS(i,j3)
j
36
31
20
2011
33
0
18
8
1
4
2
8
3
7
6
20
5
20
4
19
8
36
0
0
A
B
C
E
D
F
GH
I
J
K5
10
3
11
7
31
12
154
8
9
7
8
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
47/105
47
Kelonggaran waktu (float/slack) dari aktivitas (i. j). yang terdiri atas total
float dan free float.
Total float adalah jumlah waktu di mana waktu penyelesaian suatu aktivitas
dapat diundur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari penyelesaian proyek
secara keseluruhan. Karena itu, total floatini dihitung dengan cara mencari selisih
antara saat paling lambat dimulainya aktivitas dengan saat paling cepat di
mulainya aktivitas (LS - ES), atau bisa juga dengan mencari selisih antara saat
paling lambat diselesaikannya aktivitas dengan saat paling cepat diselesaikannya
aktivitas (LF - EF).
free float adalah jumlah waktu di mana penyelesaian suatu aktivitas dapat
diukur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari dimulainya aktivitas yang lain
atau saat paling cepat terjadinya event lain pada network.
Free float aktivitas (i, j) dihitung dengan cara mencari selisih antara saat
tercepat terjadinya event di ujung aktivitas dengan saat tercepat diselesaikannya
aktivitas (i, j) tersebut. Atau :
SF (i,,j) - TE (j) - EF(i,,j)
Dari perhitungan maju didapat EF (i,,j) = TE (i) + t (i,,j), maka :
SF(i,,j) = TE(,j) - TE(i,) - t(i,,j)
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
48/105
48
Contoh:
Perhitungan untuk menentukan lintasan kritis ini dapat di rangkum dan
dapat dilihat pada Tabel 3.1. berikut, yang memuat seluruh informasi yang
diperlukan untuk membuat peta waktu (time_chart) pelaksanaan proyek.
Tabel 3.1.
Perhitungan menentukan lintasan kritis
Aktifitas Duration Paling cepat Paling lambat Total Free
(i,j) t(i,j) Mulai Selesai Mulai Selesai Float Float
(ES) (EF) (LS) (LF) S SF
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(1,4)
(2,4)
(2,5)
(3,6)(4,8)
(5,6)
(5,8)
(6,7)
(7,8)
4
8
7
15
6
12
93
0
10
11
5
0
0
0
4
8
8
719
20
20
20
31
4
8
7
19
19
20
2036
20
36
31
36
0
0
0
18
8
8
1133
20
20
20
31
18
8
11
33
33
20
2036
20
36
31
36
14
0
4
14
19
0
414
0
6
0
0
0
0*)
0
0
5
0*)
414
0*)
6
0*)
0*)
3.6. Penentuan Ongkos Dalam Penjadwalan Proyek
36
31
20
2011
33
0
18
8
1
4
2
8
37
620
5
20
4
19
8
36
0
0
A
B
C
E
D
F
G H
I
J
K
5
10
3
11
731
12
154
8
9
7
8
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
49/105
49
Dalam penjadwalan proyek, aspek ongkos diperhitungkan dengan
membuat hubungan ongkos dengan duration untuk -setiap aktivitas pada proyek
itu. Yang dimaksud dengan ongkos di sini ialah ongkos langsung saja, tidak
termasuk ongkos-ongkos administrasi, supervisi dan lain-lain.
Kebanyakan proyek menggambarkan hubungan ongkos dengan duration ini
sebagai garis lurus yang dapat dilihatpada Gambar 3.1. berikut.
Gambar 3.1. Hubungan ongkos dengan duration
Titik (Dn, Cn) menyatakan hubungan duration Dn dengan ongkosnya Cn,
jika aktivitas diselesaikan dalam kondisi normal. Duration Dn ini dapat
dipersingkat dengan cara meningkatkan pengalokasian sumber yang dengan
sendirinya berarti meningkatkan ongkos langsung.
Contoh:
Titik percepatan
Titik normal
duration
Ongkos
DnDc
Cc
Cn
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
50/105
50
Sebagai langkah pertama prosedur perhitungannya ialah mengasumsikan
bahwa seluruh aktivitas terjadi pada waktu (duration) normal. Dari network& di
atas dapat dilihat bahwa perhitungan lintasan kritisnya adalah berdasarkan kondisi
normal dengan aktivitas (1, 2) dan (2, 5) sebagai aktivitas-aktivitas yang
membentuk lintasan kritis. Waktu penyelesaian proyek ini adalah 18 dengan
ongkos 580.
Karena aktivitas (1, 2) mempunyai kemiringan yang lebih kecil, maka
aktivitas ini dipilih sebagai aktivitas yang akan ditekan waktu penyelesaiannya.
Berdasarkan tabel hubungan ongkos dengan waktu di atas, aktivitas (1, 2) ini
dapat ditekan sebanyak 2 satuan waktu, suatu batas yang ditentukan oleh titik
percepatannya (oleh sebab itu disebut sebagai batas percepatan atau crash limit).
salah satu cara untuk memprediksi apakah lintasan kritis yang baru itu akan terjadi
sebelum mencapai titik percepatan ataukah tidak, ialah dengan memperhatikan
free float dari aktivitas-aktivitas yang tidak kritis. seperti telah dijelaskan, free
float ini bersifat independen terhadap saat dimulainya aktivitas-aktivitas yang lain.
Maka, apabila pada saat dilakukan penekanan terhadap aktivitas kritis terjadi
pengurangan harga free float dari positif menjadi nol, aktivitas kritis itu tidak
boleh ditekan tanpa melakukan pemeriksaan lebih lanjut, karena ada kemungkinan
bahwa aktivitas dengan free float nol ini menjadi aktivitas kritis. Dengan
demikian, selain crash limitkita juga harus memperhatikanfree float limit.
untuk menentukan free float limit ini, pertama-tama kurangilah duration
dari aktivitas kritis terpirih (terdasarkan slope-nya) sebanyak satu satuan waktu.
Maka, dengan menghitunt ulang nilai-nilai dari seluruh aktivitas yang tidak kritis,
akan dapat dilihat aktivitas-aktivitas mana yang free float-nya telah berkurang
sebanyak satu satuan waktu juga. Nilai free float terkecil (sebelum dilakukan
pengurangan) dari seluruh aktivitas semacam itulah yang dimaksud sebagai free
float limit.
Perhatikan sekarang bahwa dengan mengurangi duration dari aktivitas (1,
2) sebanyak satu satuan waktu akan menurunkan SF dari aktivitas (3, 4) dari
semula berharga 1 menjadi nol. SF dari aktivitas (4, 5) tetap berharga 5. Dengan
demikian, maka SF limit= 1. Karena crash limitdari (1, 2) adalah 2, maka batas
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
51/105
51
penekanannya (compression limit) sama dengan nilai minimum crash limit
dengan SF limitnya, yaitu min (2, 1) = 1.
-duration dari proyek keseluruhan = 17
- Ongkos baru = ongkos pada penjadwalan sebelumnya + ongkos penekanan
waktu.
= 580 + (18-17) 50
= 630
- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)
Karena aktivitas (1,2) ini masih merupakan aktivitas kritis terpilih untuk
dipercepat, maka lakukanlah lagi perhitungan crash limit dan SF limit-nya,
sehingga diperoleh penjadwalan baru sebagai berikut :
- Duration dari proyek keseluruhan = 16
- Ongkos = 630 + (17-16) 50 = 680
- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)
Sekarang, aktivitas (1, 2) sudah tidak dapat dipercepat lagi karena telah
mencapai crash limit-nya. Karena lintasan kritisnya tetap, yaitu (1, 2, 5), maka
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
52/105
52
tinggallah aktivitas (2, 5) yang harus dipercepat. Aktivitas (2, 5) ini mempunyai
crash limit= 10 - 5 = 5. Dari penjadwalan yang terakhir kita lihat bahwa pada saat
aktivitas (1, 2) ditekan sebanyak 1 satuan waktu,maka hanya ada satu aktivitas
tidak kritis yang SF-nya berharga positif dan bekurang sebanyak 1 satuan waktu.
Aktivitas tersebut adalah (4, 5), di mana SF-nya berkurang dari 5 menjadi 4. Maka
tidak ada pilihan lain kecuali menetapkan bahwa SF limitnya adalah 4. Dengan
demikian, compression limituntuk aktivitas (2, 5) adalah min (5, 4) = 4, dengan
hasil penjadwalan baru sebagai berikut:
- duration dari proyek keseluruhan = 12
- Ongkos = 680 + (16-12) 60 = 920
- Lintasan kritis ada dua, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5)
Karena pada persoalan di atas crash limit-nya sama dengan 1, maka SF-
limitnya dengan sendirinya tidak perlu dihitung.
Penjadwalan baru dari hitungan ini adalah :
- duration dari proyek = 11
- Ongkos = 920 + (12-11) (60+10)
= 990 Slope (2, 5), slope (4, 5)
- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5)
III.3. PENUTUP
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
53/105
53
Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar
mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan
juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.
Tugas/latihan untuk materi Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPM PERT
adalah sebagai berikut:
1.Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan!
2.Dari suatu proyek diperoleh data:
Aktivitas Aktivitas yang telah dilalui
(predecessor)
Waktu penyelesaiana
(duration)
AB
C
D
E
F
G
H
I
J
--
A
A
B
D,E
D,E
C,D,E
C,D,E
I,F
64
4
6
4
6
4
10
14
12
Buatlah diagram networknya dan tentukan lintasan kritis serta waktu
penyelesaian proyek tersebut!
PERKULIAHAN KE 6 DAN 7: PROGRAMA DINAMIS.
SESI/PERKULIAHAN KE: 6 DAN 7
TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.
Menjelaskan pengertian dan ide dasar programa dinamis.
2. Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakanprograma dinamis.
Pokok Bahasan : Programa Dinamis
Deskripsi singkat :
Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan denganmenggunakan programa dinamis termasuk pengantar dan karakteristik persoalanprograma dinamis, programa dinamis deterministik serta bagaimana caramenyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamistersebut.
I. Bahan Bacaan:1.
Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad Operations Research, PT. Sinar Baru
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
54/105
54
Algensindo Bandung, 1999.2.Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1
st
edition, McGraw-Hill, 1991.3.Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The
MacMillan Co, 1985.
II. Bahan Tambahan.1.Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :
Prenntice-hall Inc, 1969.2.Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3rd
edition, Duxbury Press, 1994.
III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:
1.
Apa yang dimaksud dengan programa dinamis?2. Carilah contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
programa dinamis.
IV. Tugas:1. Kapan metode programa dinamis dapat dilaksanakan? Dan berikan contohnya!
2. 5 (Lima) orang perawat dalam 1 (satu) team kesehatan dari puskesmas Rindina harus
ditempatkan di tiga balai pengobatan di kota Bandar jaya, dalam rangkamenyempurnakan pelayanan kesehatan, pendidikan kesehatan, dan programa latihan.
Tabel berikut ini adalah taksiran pertambahan umur (tahun orang) dalam satuan ribu
untuk tiap balai pengobatan dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan. Berikut
ukuran dari keefektifan ini ialah pertambahan umur (yaitu berapa tahun umur orang
akan bertambah dengan adanya team tersebut).Jumlah tim yangdialokasikan
Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang)Balai pengobatan
1 2 3
0
1
23
4
5
0
45
3570
90
120
0
21
2045
75
102
0
24
5070
120
130
Berapa team yang harus ditempatkan di tiap-tiap balai pengobatan, sehingga keefektifan
total dari lima team itu dapat dimaksimumkan?
IV.1. PENDAHULUAN
Dalam perkuliahan mengenai programa dinamis ini akan dibahas
mengenai pengantar dan karakteristik persoalan programa dinamis, programa
dinamis deterministik, dan programa dinamis probabilistik serta bagaimana cara
menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamis
tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang
lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam
menyelesaikan persoalan keputusan suatu perusahaan.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
55/105
55
IV.2. PENYAJIAN
PROGRAMA DINAMIS
Programa dinamis adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan
untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling
berkaitan. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah penyelesaian
persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu.
Ide dasar programa dinamis ini ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian
yang lebih kecil sehingga memudahkan penyelesaiannya.
4.1. Pengantar Programa Dinamis
Seorangsalesman harus berangkat dari satu kota ke kota lainnya. Di antara
kota asal dan kota tujuan itu terdapat beberapa kota lain yang dapat digunakan
sebagai tempat persinggahan sementara. Kota-kota yang dapat dilewati itu dapat
digambarkan sebagai berikut :
Data ongkos yang harus dibayar jika salesman itu meninggalkan kota i dan
menuju ke kota j (cij) adalah sebagai berikut :
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 3 2 7 4 6 5 1 4 8 3
3 3 2 4 6 6 3 9 4
4 4 1 5 7 3 3
Rute manakah yang dapat menimbulkan ongkos terkecil ?
4 tahap (stage) yang harus di jalani untuk melakukan perjalanan dari kota (state)
asal di 1 ke tujuan di 10.
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
56/105
56
Tetapkan variabel-variabel keputusan xn sebagai tempat-tempat
persinggahan pada stage n (n = l, 2, 3, 4). Maka rute yang dijalani adalah
1x1x2x3x4, di mana x4 adalah kota (state) 10 atau x4 = 10. Selanjutnya
tetapkan pula variabel-variabel berikut :
1. fn (s, xn) = ongkos total yang harus dibayar jikasalesman itu berada di kota s
dan memilih xn sebagai tempat persinggahan berikutnya.
2. Untuk s dan n tertentu, xn adalah nilai xn yang meminimumkan fn (s. xn).
3. fn (S) = nilai minimum dari fn (s, xn) sehingga fn (s) = fn(S, Xn ).
Tujuannya adalah untuk mendapatkan f1*(1) dengan cara mencari f4
* (s),
f3* (s), dan f2
* (s), terlebih dahulu. Jadi, programa dinamis menyelesaikan suatu
persoalan dengan melakukan perhitungan mundur walaupun untuk persoalan
tertentu bisa dengan perhitungan maju.
Solusi persoalan dengan satustage ini adalah:
S F4*(S) X4*
8
9
3
4
10
10
Hasil keseluruhan dari persoalan dengan duastage ini adalah :
x3 f3 (s,x2) = csx3 + f4* (x3) f3* (s) x3*
s 8 9
56
7
49
6
87
7
47
6
89
8
Hasil selengkapnya dari persoalan dengan tiga stage ini adalah :
x2 f1 (s,x2) = csx2 + f3* (x2) f1* (s) X2*
S 5 6 7
2
3
4
11
7
8
11
9
8
11 11 3 atau 4
7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi
57/105
57
Persoalan dengan 4 stage, ongkosnya adalah ongkos pada stage pertama
ditambah dengan ongkos minimum berikutnya yaitu :
x2 f1 (s,x2) = csx2 + f3* (x2) f1* (s) x1*
s 2 3 4
1 13 11 11 11 3 atau 4
Dengan demikian, maka salah satu rute optimalnva adalah
135810. Apabila salesman itu memilih x1 = 4, maka didapat dua rute
optimum yang lain, yaitu 145810 dan146910. semuanya itu
memberikan ongkos totat yang sama, yaitu f1*(1) = 11.
4.2. KARAKTERISTIK PERSOALAN PROGRAMA DINAMIS.
Salah satu cara untuk mengenal situasi yang dapat diformulasikan sebagai
persoalan programa dinamis ini ialah dengan memperhatikan bahwa struktur dasar
persoalan programa dinamis ini merupakan analogi dari persoalan salesman diatas.
Berikut ini diberikan beberapa gambaran dasar yang menandai (menjadi ciri)
persoalan programa dinamis :
1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage, yang pada rnasing-
masingstage diperlukan adanya satu keputusan.
2. Masing-masing stage terdiri atas sejumlah stage yang berhubungan dengan
stage yang bersangkutan.
3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap stage ditransformasikan dari
state yang bersangkutan kestate berikutnya padastage yang berikutnya pula.
4. Keputusan terbaik pada suatu stage bersifat independen terhadap keputusan
yang dilakukan padastage sebelumnya.
5. Prosedur pemecahan persoalan dimulai dengan mendapatkan cara (keputusan)
terbaik untuk setiapstate daristage terakhir.
7/22/2019 Ba