RISET OPERASIS1 A

• Dinda Dwi Chandrarini ( 1312100064 )• Zuzun Miranti ( 1312100065 )

Jurusan StatistikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember2013

Riset operasi yang biasa disingkat RO atau OR (Operation Research) adalah disiplin ilmu yang menerapkan alat-alat analitis berdasarkan metode kuantitatif untuk membantu dalam mengambil keputusan yang lebih baik dalam manajemen operasi.

RISET OPERASI

Konsep Penting

RO Optimasi Maksimum

Minimum

(Untung, hasil kerja)

(Biaya, waktu)

BAB I

Konsep Penting

RO Optimasi Maksimum

Minimum

(Untung, hasil kerja)

(Biaya, waktu)

Maksimum

Minimum

:

:

Sesuatu yang diinginkan

Output / yang harus dikeluarkan

Riset Operasi : Mengalokasikan sumber-sumber yang terbatas untuk melaksanakan berbagai aktivitas/kegiatan. Optimum dan Terbatas.

Sejarah ROPertama kali dipelajari saat perang dunia ke-II dan digunakan secara spesifik di bidang pertahanan dan keamanan Inggris. Melihat RO yang bermanfaat dan meningkatkan kinerja di bidang pertahanan, Amerika juga ikut memelajari RO. Di Amerika, dari bidang pertahanan dan keamanan, RO merambah juga di bidang industry, social pemerintahan, dan penelitian.

RO tak hanya dipelajari di jurusan statistika, namun juga matematika, Teknik Industri, Teknik Mesin, Teknik Elektro, Manajemen, Ekonomi, Akuntansi, dan bidang ilmu lainnya.

Contoh Aplikasi RO• Persoalan diet dalam ilmu gizi dan kesehatan

dengan program linier.• Menentukan tingkat produksi optimum dari setiap

produk dengan metode simpleks.• Menentukan rute terpendek oleh suatu perusahaan

jasa pengiriman barang dengan persoalan transportasi.

• Rumah Sakit Anak Texas menggunakan optimasi non-linier untuk memonitor negosiasi kontrak

perawatan kesehatan.

Penyelesaian Model RODalam RO tidak terdapat teknik yang secara tunggal dapat digunakan untuk menyelsaikan semua model matematis yang muncul di kehidupan nyata. Jenis dan kompleksitas model matematis akan mempengaruhi metode penyelesaian masalah. Teknik RO yang paling popular adalah program linier. Program linier dirancang untuk model dengan fungsi obyektif linier dan fungsi batasan yang tepat. Teknik lain dalam RO meliputi integer programming (dimana variable diasumsikan bernilai integer), dynamic programming (dimana model dapat disekomposisi dalam beberapa sub problem yang lebih kecil), network programming (dimana permasalahan dapat dimodelkan dalam network/jaringan), dan nonlinear programming (dimana fungsi dari model adalah tidak linear). (Taha, 2007)

Tahapan RO

Perumusan Masalah

Penyusunan Model

Mendapatkan Solusi

Pengujian

Penerapan

MonitoringRealisasi

BAB II

PROGRAM LINIER

• Untuk menyelesaikan persoalan dalam dunia nyata dengan metode Program Linier, maka persoalan tersebut harus model matematis, dimana model matematis persoalan program linier terdiri dari 2 fungsi obyektif(fungsi tujuan) dan fungsi batasan. Fungsi obyektif memuat tujuan apa yang ingin dicapai dalam suatu permasalahan sedangkan fungsi batasan memuat batasan-batasan atau kendala-kendala yang ada pada permasalahan tersebut.

• Apabila terdapat m jenis sumber yang jumlahnya terbatas, dimana sumber tersebut akan digunakan oleh n jenis aktivitas. Andaikan xj adalah suatu variabel keputusan atau tingkat tingkat aktivitas, dimana j = 1,2,…,n. untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Tabel 2.1 dimana :

Tabel 2.1 : Struktur Data untuk Model Program Linier

Model matematis dari tabel 2.1 dinyatakan di bawah ini.Fungsi Obyektif :

Maksimumkan / Minimumkan Z =

Fungsi Batasan :

Ruas kiri dan fungsi batasan menunjukkan jumlah kebutuhan sumber yang diperlukan untuk melakukan seluruh unit aktivitas, sedangkan ruas kanan menunjukkan jumlah sumber yang tersedia, sehingga jumlah kebutuhan harus lebih kecil atau sama dengan jumlah yang tersedia. Karena fungsi obyektif (z) ingin mengoptimumkan tujuan dari suatu permasalahan, maka z bisa berbentuk maksimumkan atau mungkin berbentuk minimumkan (z berbentuk maksimumkan jika kasus yang ingin dioptimumkan, misalnya keuntungan, sedangkan berbentuk minimumkan jika kasus yang dioptimumkan

misalnya biaya.

Asumsi Model Program LinierModel Program linier mempunyai 4 macam asumsi yang harus dipenuhi, yaitu :

1. Proporsional Naiknya nilai z proporsional dengan naiknya xk

2. Aditif Kenaikan nilai z akibat kenaikan suatu kegiatan dapat ditambah tanpa mempengaruhi bagian nilai z yang diperoleh dari kegiatan yang lain

3. DivisibelSemua variabel dapat memiliki harga berapapun asalkan real

4. Certainty Nilai dari semua parameter model (aij, bi, dan cj) merupakan konstanta-konstanta yang diketahui, bukan suatu variabel atau variabel random.

Metode Grafis

• Metode grafis digunakan untuk menyelesaikan model matematis yang sebelumnya dibuat.

• Metode grafis hanya bisa digunakan jika persoalan tersebut hanya mempunyai 2 variabel keputusan (jenis aktivitas).

Langkah-Langkah Metode Grafis• Langkah 1 : Menentukan daerah fisibel

Daerah fisibel adalah daerah yang memenuhi semua fungsi batasan, caranya :1. Buat suatu sumbu koordinat dengan sumbu X (variabel x1) dan sumbu Y (variabel x2)

2. Tanda pertidaksamaan pada semua fungsi batasan ubah menjadi tanda persamaan3. Gambarkan semua fungsi batasan pada sumbu koordinat tersebut4. Tentukan daerah yang memenuhi semua fungsi batasan.

• Langkah 2 : Menentukan penyelesaian optimalPenyelesaian optimal yaitu mencari nilai x1 dan x2 yang berada pada daerah fisibel dan akan mengoptimumkan z.

Ada 2 metode yang bisa digunakan untuk mencari z optimal, yaitu :

METODE SIMPLEK

METODE SIMPLEK

Apabila suatu persoalan program linear mempunyai lebih dari 2 variabel keputusan, maka metode grafis tidak mampu untuk menyelesaikan persoalan tersebut, tetapi Metode simplek dapat menyelesaikan persoalan tersebut .

Persoalan Linear dalam Bentuk Standar

Max/Min z=c1x1+c2x2+…+cjxj+…+cnxn

Fungsi batasan :

Program Linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Max/Min

Dengan batasan :

cxz

bAx 0x

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

n

j

x

x

x

x

x

...

...

2

1

n

j

x

x

x

x

x

...

...

2

1

;

m

i

b

b

b

b

b

...

...

2

1

ncccc ...21;

Penyelesaian persoalan pertidaksamaan pada fungsi batasan diubah dulu menjadi bentuk sama dengan, yaitu dengan menambahkan sesuatu pada ruas kiri sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan.Jika ruas kiri < ruas kanan maka ruas kiri

ditambah ‘Varaibel Slack’.Jika ruas kiri > ruas kanan maka ruas kiri

dikurangi ‘Variabel Surplus’.

Max/Min z=c1x1+c2x2+…+cjxj+…+cnxn

Dengan fungsi batasan:

PENYELESAIAN BASIS FISIBEL

Menyelesaikan program linear dengan menggunakan metode PBF, maka [A] dipartisi menjadi [B N]C dipartisi menjadi (CB CN)[x] dipartisii menjadi [xB xN]’

dimana adalah: A berukuran m x (n+m) B berukuran m x m N berukuran n x m

Sehingga fungsi objektif menjadi

Dan fungsi batasan Ax=b berubah menjadi

BxB+NxN=b ; NxN=0 sehingga BxB=b maka

xB=B-1b dan xN=0. xB adalah calon variabel basis.

N

B

NB

x

xccz

bx

xNB

N

B

Jika xB ≤0 maka xB adalah variabel non basis Jika xB ≥0 maka xB adalah variabel basisJika xB adalah variabel basis , maka masukkan

nilai xB pada fungsi objektif sehingga diperoleh nilai z. pilih z optimal sebagai penyelesaian optimal

Untuk menyelesaikan persoalan program linear tersebut dengan metode PBF kurang efisien, karena akan terdapat matriks B sebanyak

Contoh soal :max z= 2 x1 + x2

Fungsi batasan :• x1 +2x2 ≤ 80

• 3x1 +2x2 ≤ 120

• x1≥0, x2≥0

Penyelesaian Fungsi batasan ditambahkan variabel slack karena bertanda ≤, dan tanda menjadi =.Fungsi batasan :

• x1 +2x2 + x3 = 80

• 3x1 +2x2 + x4 = 120

• x1≥0, x2≥0

Kemudian dibuat matriks menjadi :

Matriks A2x4 diartisi menjadi matrik B2x2 N2x2

Matriks B yang dapat dibuat

0023

1121A

120

80b 0012c

642 CC mn

m

basisx

x

x

B

B

B

30

20

120

80

4/14/3

2/12/1

4/14/3

2/12/1

;23

21

2

1

11

1

1

basisx

x

x

B

B

B

40

40

3

120

80

3/11

3/10

;3/11

3/10

;03

11

1

12

2

2

Nonbasisx

x

x

B

B

B

120

80

120

80

13

01

;13

01

;13

01

4

1

13

3

3

Kemudian mencari z optimum dengan memasukkan nilai xB yang basis pada persamaan z=cx

Nonbasisx

x

x

B

B

B

40

60

120

80

11

2/10

;11

2/10

;02

12

3

2

14

4

4

basisx

x

x

B

B

B

40

40

120

80

11

02/1

;11

02/1

;12

02

4

2

15

5

5

basisx

x

x

B

B

B

120

80

120

80

10

01

;10

01

;10

01

4

3

16

6

6

Yang merupakan xB basis antara lain :

Sehingga diketahui z optimum saat x1=40 dan x3=40, yaitu nilai z sebesar = 80.

70

0

0

30

20

0012

30

20

2

1

z

x

x

80

0

40

0

40

0012

40

40

3

1

z

x

x

40

40

0

40

0

0012

40

40

4

2

z

x

x

0

120

80

0

0

0012

120

80

4

3

z

x

x

SIMPLEK TABEL

Apabila variabel keputusan yg dikandung tidak terlalu banyak masalah, maka masalah-masalah program linear dapat diselesaikan dengan algoritma yang disebut model simplek tabel.Persoalan program linear :

0

:.

min/

x

bAxts

cxzmaks

0

:.

/

x

bAxts

cxMinzMaks

Fungsi batasan diubahmenjadi bentuk sama dengan menambahkan variabel slack pada ruas kiri sehingga menjadi

Jika [A] dipartisi menjadi [B N], c dipartisi menjadi (cB cN) dan x dipartisi menjadi [xB

xN]’ ,maka persaman program linear menjadi :

Dengan fungsi batasan :

sehingga BxB+NxN=b

N

B

NB

x

xccz

NNBB xCxC

MinMaks /

bx

xNB

N

B

BxB+NxN=b , jika batasan dikalikan B-1 maka fungsi batasan menjadi:

Fungsi batasan dikalikan dengan CBB-1 menjadi

Sehingga fungsi obyektif z= cBxB+cNxN menjadi

bBNxBx

bBNxBIx

bBNxBBxB

NB

NB

NB

11

11

111

Persamaan yang akan masuk ke tabel simplek sebagai baris 1 s.d m

NBBBB

BNBBB

BNBBB

NxBCbBCxC

bBCNxBCxC

bBCNxBCBxBC

11

11

111

BBcxcNBCz BNNB11 )( Persamaan yang akan masuk ke tabel

simplek sebagai baris 0

TABEL SIMPLEK AWAL

Baris ke BV z XB XN RHS

0 z 1 -cN 0 01 s.d. m XB 0 y I B

TABEL SIMPLEK AWAL DALAM BENTUK SKALAR

Brs ke

BV z x1 … xj … xk xn xn+1 … xn+i … xn+r xn+m RHS

0 z 1 -c1 … -cj … -ck -cn 0 … 0 … 0 0 0

1 xn+1 0 y11 … y1j … y1k y1n 1 … 0 … 0 0 b1

… … … … … … … … … … … bi

i xn+i 0 yi1 … yij ... yik yin 0 … 1 … 0 0

… … … … … … … … … … … … … … …

r xn+r 0 yr1 … yrj … yrk yrn 0 … 0 … 1 0 br

m xn+m 0 ym1 … ym1 … ymk ymn 0 … 0 … 0 1 bm

LANGKAH-LANGKAH METODE SIMPLEK1. Mengecek apakah tabel sudah optimal lihat baris ke-0

Maks zi-ci ≥ 0, optimal

Min zi-ci ≤ 0, optimal

2. Memilih variabel yang akan masuk basis cek baris 0Maks pilih zi-ci < 0

Min pilih zi-ci > 0

3. Apakah persoalan punya penyelesaian?melihat kolom ke-k. Jika ada yk > 0, maka punya penyelesaian. Jika semua yk < 0, maka tidak punya penyelesaian.

4. memilih variabel yang akan keluar basismembagi ruas kanan dengan yik (= bi/ yik ) dimana yik > 0. Pilih bi/ yik yang terkecil sehingga xk keluar basis.

5. meng-update tabel simpleks sampai diperoleh optimum

Contoh soal:

Suatu pabrik roti memproduksi 3 jenis roti yaitu roti A,B, dan C . Keuntungan per buah roti adalah $2 , $3, dan $1 . Diperlukan 2 adonan yaitu adaonan 1 dan adonan 2. Untuk membuat roti A dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 1/3 adonan 2. Untuk membuat roti B dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 4/3 adonan 2. Sedangkan untuk membuat roti C dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 7/3 adonan 2 . Adonan 1 yang tersedia sebanyak 1 wadah dan adonan 2 yang tersedia sebanyak 2 wadah . Bantulah pabrik roti menyelesaikan permasalahannya !

Penyelesaian :

= jumlah roti A yang diproduksi

= jumlah roti B yang diproduksi

= jumlah roti B yang diproduksi

3x2x1x

Maksimumkan

Fungsi batasan :

Penyelesaian persoalan pertidaksamaan pada fungsi batasan diubah dulu menjadi bentuk sama dengan dengan cara menambah variabel slack , sehingga menjadi :Maksimumkan

Fungsi batasan :

321 32 xxxz

0,,

337

34

31

131

31

31

321

321

321

xxx

xxx

xxx

321 32 xxxz

0,,

337

34

31

131

31

31

321

5321

4321

xxx

xxxx

xxxx

Tabel simplek awal

Tabel belum optimal , karena pada baris ke-nol masih ada yang negatif , variabel yang masuk basis adalah dan variabel yang keluar basis adalah

Tabel simplek iterasi I

2x

5x

Tabel belum optimal , karena pada baris ke-nol masih ada yang negatif , variabel yang masuk basis adalah dan variabel yang keluar basis adalah

Tabel simplek iterasi II

Karena pada baris ke nol , semua elemen ≥ 0 , maka tabel sudah optimum , sehingga z=8 , =1, = 2 dan = 0

Kesimpulan :

Pabrik roti akan mendapatkan keuntungan sebesar $8 , dngan memproduksi roti A sebanyak 1 buah , roti B sebanyak 2 buah dan tidak memproduksi roti C .

1x4x

1x 2x 3x

METODE SIMPLEK YANG LAIN

Persoalan program linear-Max/Min z=c1x1+c2x2+…+cjxj+…+cnxn

Dengan batasan: 11a0,,, 4321

4444343242141

34343313232131

2424323222121

1414313212111

xxxx

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

Fungsi batasan yang ditambah dengan variabel artifisial adalah fungsi batasan yang bertanda ≥ atau =, sehingga persoalan di atas berubah menjadi :

0,,,,,,,, 987654321

47444343242141

3964343313232131

28424323222121

15414313212111

xxxxxxxxx

bxxaxaxaxa

bxxxaxaxaxa

bxxaxaxaxa

bxxaxaxaxa

Metode Dua Phase

Metode Dua Phase digunakan jika fungsi batasan ada yang bertanda ≥ atau bertanda =.

Untuk menyelesaikan dengan metode ini terdiri dari dua phase, yaitu

a. Phase Satu– Meminimumkan variabel artifisial Min Y0 = xa

Dengan Fungsi Batasan : Ax + xa = b

Ket xa = var artifisial.

Jika pada phase 1 sudah optimum (zj-cj ≤ 0) dimana :1. Variabel basis memuat xa

STOP, tidak fesibel.2. Variabel Basis tidak memuat xa

lanjut ke phase 2.

b. Phase DuaPada phase dua fungsi tujuannya adalah fungsi tujuan persoalan asli.Max/Min z=cBxB+cNxN

Dengan fungsi batasan:

Penyelesaian optimal persoalan pada phase dua merupakan penyelesaian optimal dari persoalan asli.

0;

11

NB

NB

xx

bBNxBx

Contoh soalMinimumkanFungsi batasan :

Penyelesaian :MinimumkanFungsi batasan :

214 xxz

0,

33

634

42

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

650 xxY

0,,,,,

33

634

42

654321

621

5421

321

xxxxxx

xxx

xxxx

xxx

Phase 1Tabel simplek awa phase 1

Tabel iterasi I

Tabel iterasi II

Tabel iterasi III

Phase 2Tabel awal phase 2

Tabel iterasi I

Tabel sudah optimum sebab baris ke nol ada yang bernilai negatif , sehingga z maksimum =38/5 , dimana x1=1 dan x2=6/5

METODE BIG M Seperti pada metode Dua Phase, Metode

Big M juga digunakan jika fungsi batasan ada yang bertanda ‘>’ atau bertanda ‘=‘.

Pada fungsi tujuan ditambahkan koefisien variabel artifisial yang disimbolkan dengan huruf M, dimana M adalah bilangan yang sangat besar.Jika fungsi tujuan maksimumkan :Max z=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4−Mx8− Mx9

Jika fungsi tujuan minimumkan :Min z=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+Mx8+ Mx9

Dengan batasan :

Untuk menyelesaikan persoalan program tersebut, langkah-langkah yang dilakukan adalah seperti menyelesaikan persoalan program linear dengan menggunakan simplek tabel. Jika persoalan fisibel, maka nilai Z optimum tidak memuat bilangan M.

0,,,,,,,, 987654321

47444343242141

3964343313232131

28424323222121

15414313212111

xxxxxxxxx

bxxaxaxaxa

bxxxaxaxaxa

bxxaxaxaxa

bxxaxaxaxa

CONTOH SOALMinimumkanFungsi batasan :

Penyelesaian MinimumkanFungsi batasan :

214 xxz

0,

33

634

42

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

65214 MxMxxxz

0,,,,,

33

634

42

654321

621

5421

321

xxxxxx

xxx

xxxx

xxx

Tabel simplek awal

Tabel iterasi I

Tabel iterasi II

Tabel iterasi III

Tabel iterasi 4

Karena untuk kasus minimum pada baris ke nol tidak ada elemen yang bernilai positif maka tabel sudah optimum , sehingga z maksimum 17/5 , dimana =2/5 dan =9/51x 2x

DUALITAS DAN SENSITIFITAS

DUALITASSuatu persoalan program linier :Maksimumkan z=cxFungsi batasan : Ax ≤ b

x ≥ 0Tabel simplek pada setiap iterasi

Dimana :

mjmijijjjBj

mmiiBo

Bi

awbwawawacz

bwbwbwbwbcz

cw

......

......

22111

22111

1

B

WbB

B

Tabel tetap optimum jika:

Mencari nilai sedemikian hingga syarat optimum 1 dan 2 tersebut harus terpenuhi .

untuk mencari nilai tersebut dengan cara : maksimumkan dengan batasan :

0,...,0,...0,00.2

......0.1

2

221

miii

jmjmijijjijjjjj

wwwww

cawawawawczcz

mi wwww ,...,,...,, 21

mmiiB bwbwbwbwcz ......22111

0 WbbB

0,...,0,...0,00

......0

2

221

miii

jmjmijijjijjjjj

wwwww

cawawawawczcz

Model tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks ,Minimumkan = WbFungsi batasan : WA ≥ c

W ≥ 0Yang disebut persoalan DUAL

0z

HUBUNGAN PRIMAL DAN DUAL

Persoalan Primal Persoalan Dual(atau persoalan Dual) (atau persoalan Primal)Maksimumkan MinimumkanRuas kanan Koefisien fungsi obyektif Koefisien fungsi obyektif Ruas kananFungsi batasan Variabel keputusanTanda pada fungsi Batasan Tanda pada variabel >>.>

keputusan ≥ ≤

≤ ≥= tidak ada batasan tanda

Variabel keputusan Fungsi BatasanTanda pada variabel keputusan Tanda fungsi batasan

≥0 ≥≤0 ≤

tidak ada batasan tanda =

Model matematis persoalan Primal

Maksimumkan z =Fungsi batasan :

nnjj xcxcxcxc ......2211

0,......,,......,

......

.......................................

......

.......................................

......

......

21

2211

2211

222222121

111212111

nj

mnmnimjmm

ininiijij

nnjj

nnjj

xxxx

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

Sedangkan Model matematis persoalan Dualnya :

Minimumkan z=Fungsi batasan =

nnjj wbwbwbwb ......2211

0,......,,......,

......

.......................................

......

.......................................

......

......

21

2211

2211

222222112

111221111

mi

nmmniinnn

jmmjiijjj

mmii

mmii

wwww

cwawawawa

cwawawawa

cwawawawa

cwawawawa

contoh soal: Persoalan Primal Maksimumkan

Fungsi batasan:

Buat model dualnya !Penyelesaian :

Persoalan Dual Minimumkan

Fungsi batasan:321 25 xxxz

0,,

135

283

5762

321

321

321

321

www

www

www

www

3210 403020 wwwz

0,,

4037

30586

2032

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

Penyelesaian basis komplemen :Tabel hubungan variabel-variabel persoalan primal-dual

Karena hubungan antara persoalan primal dan persoalan dual adalah simetrisMaka jika fungsi batasan disatu persoalan (primal) adalah berbentukpertidaksamaan (variabel slack/surplus ≠ 0) maka variabel yang berkaitanDengan fungsi batasan tersebut dalam pesoalan yang lain (dual) harus nol.Hal ini yang disebut dengan COMPLEMENTARY SLACKNESS , sehingga:

Variabel primal Variabel dual yang berkaitan

keterangan

Variabel asli ( ) Variabel surplus ( ) j=1,2,…,n

Variabel slack ( ) Variabel Asli ( ) i=1,2,…,m

Variabel Basis Variabel Non Basis m variabel

Variabel Non Basis Variabel Basis n variabel

j x

jj cz

inx iw

a. ; akibatnya apabila =0 , maka ( ) ≠ 0, apabila ≠ 0 maka ( ) = 0

b. = 0 , akibatnya apabila = 0, maka ≠ 0,dan apabila ≠ 0, maka = 0.

0)( jjj cxx jx jj cz

jx jj cz

iin wx inx iw

inx iw

Metode simplek dual Untuk menyelesaikan persoalan program linier dengan metodasimplek dual , ada beberapa langkah yang harus dilakukan ,yaitu: 1. Memilih satu matriks basis B sedemikian hingga

= sedemikian hingga dual fisibel .2. Membuat tabel simpleks seperti pada tabel simpleks primal

yaitu dengan mengalikan dengan .3. Memeriksa apakah tabel sudah optimum (primal fisibel) , yaitu

dengan memeriksa ruas kanan , apakah semua elemen ruas kanan non-negatif . Jika , maka tabel sudah optimum , jika belum lanjutkan ke langkah 4.

4.Memilih variabel yang akan keluar basis , yaitu elemem ruas kanan ( ) yang paling negatif . Misalkan yang terpilih

jj cz 01 jjB cac B

1B

01 bB

ibB 1

adalah elemen pada baris ke k , maka keluar basis.5. Memeriksa apakah persoalan mempunyai daerah fisibel , yaitu

apakah pada baris ke k ada elemen yang negatif ( < 0) . Jika semua elemen non-negatif , maka persoalan tidak mempunyai daerh fisibel , tetapi jika tidak lanjutkan ke langkah 6.

6. Memilih variabel yang akan masuk basis , yaitu minimum dari ( , dimana < 0 ) . Jika adalah negatif

terkecil untuk kasus maksimumkan , dan positif terkecil untuk kasus minimumkan , maka keluar basis dan adalah pivot .

BKx

jy

j

jj

y

cz jy

kr

rr

y

cz

rx ky

7. Melakukan iterasi pada tabel awal , yaitu dengan mengganti dengan dan membagi semua elemen pada baris ke k dengan dan disebut PIVOT .

8. Mengulangi terus , sampai diperoleh tabel optimum .

BKx rx

ky ky

Contoh soal

Penyelesaian

Tabel awal simplek

Tabel iterasi I

tabel iterasi II

Tabel sudah optimum karena ruas kanan sudah non negatif , sehingga z minimum = 21/5 dimana x1=3/5 dan x2=6/5

Analisis sensitifitasSuaru persoalan linier yang pada awalnya diasumsikan semuaparameter dalam model adalah tertentu , tetapi pada suatu saatnilai parameter-parameter tersebut dapat berubah .Adapun parameter-parameter yang dapat berubah adalah :

1. Perubahan pada keuntungan atau biaya ( ) Apabila keuntungan atau biaya yang berubah , maka

pada tabel optimum persoalan lama yang berubah hanya pada baris ke nol saja,

Perlu dibedakan apakah adalah koefisien dari variabel basis atau variabel non basis.

jc

jx jc

a) Variabel Non BasisBaris ke nol dari tabel simplek . Karena bukan variabel basis , maka tidak memuat , akibatnya pada baris ke nol yang berubah hanya elemen (elemen pada baris ke nol dibawah variabel ) sehingga

memeriksa optimalitas :maksimumkan masih optimum jika minimumkan masih optimum jika apabila belum optimum dilakukan cara dengan mengganti , elemen . Selanjutnya melakukan iterasi seperti penyelesain simplek tabel .

jx

jjBjj caccz 1B kx

Bc kckk cz

kx)'()(' kkkkkk ccczcz

0' kk cz

0' kk cz

kk cz 'kk cz

b) Variabel Basisbaris ke nol dari tabel simplek . Karena variabel basis , maka memuat , akibatnya semua elemen pada baris ke nol ( ) berubah menjadi ( ),dimana atau bisa juga dengan cara :

memeriksa optimalitas :maksimumkan masih optimum jika minimumkan masih optimum jika

jxjjBjj caccz 1B

kxBc kc

jj cz

0' jj cz0' jj cz

jj cz '

jjBjj caccz 1')'( B)'()()'( jjjjjj zzczcz

)'()( 11jBjBjj acaccz BB

jBBjj

jBjBjj

ycccz

ycyccz

)'()(

)'()(

apabila belum optimum dilakukan cara dengan mengganti semua elemen pada baris ke nol dengan . Selanjutnya melakukan iterasi seperti penyelesainsimplek tabel .

2 . Perubahan pada bahan sumber (sumber) yang tersedia ( ) apabila pada suatu saat bahan yang tersedia berubah, maka tabel awal yang berubah hanya pada ruas kanan (RHS) , dimana ruas kanan (RHS) = akan berubah menjadimemeriksa optimalitas :maksimumkan masih optimum jika minimumkan masih optimum jika

ib

bB 1 '1bB

0'1 bB0'1 bB

jcz jj ;'

apabila tidak optimum dilakukan cara dengan mengganti Ruas kanan (RHS) dengan . Selanjutnya melakukan iterasi dengan menggunakan simplek dual , sebab dual tidak optimum.

'1bB

3. Perubahan pada kebutuhan bahan per unit produk j ( ) Apabila terjadi suatu perubahan komposisi pada

kebutuhan bahan (sumber) untuk satu unit produk j , maka tabel optimum persoalan awal yang berubah adalah pada baris ke nol .

Apabila berubah , perlu dibedakan apakah adalah koefisien dari variabel basis ataukah variabel non basis .

a) Variabel Non Basisbaris ke nol dari tabel simplek . Karena bukan variabel basis , maka tidak memuat , akibatnya pada baris ke nol yang berubah hanya elemen (elemen pada baris ke nol dibawah variabel ) sehingga

ja

ja

jxjx

ja

jjBjj caccz 1B kx1B ka

kk cz kx

kkBkk caccz ')'( 1B

memeriksa optimalitas :maksimumkan masih optimum jika minimumkan masih optimum jika apabila tidak optimum dilakukan cara dengan menggantielemen

. pada baris ke nol dengan . Selanjutnya melakukan iterasi seperti penyelesaian simplek tabel .

b) Variabel Basisbaris ke nol dari tabel simplek . Karena variabel basis , maka memuat , akibatnya semua elemen pada baris ke nol berubah menjadi ,dimana dan adalah invers dari

)0'( kk cz

)0'( kk cz

jx

jjBjj caccz 1Bkx

1B ka)( jj xz )'( jj xz

1)'( B

kk cz kk cz '

jjBjj caBccz 1)'('

matriks B dimana elemen diganti dengan dengan memeriksa optimalitas :

maksimumkan masih optimum jika minimumkan masih optimum jika

apabila belum optimum dilakukan cara dengan mengganti elemen . Selanjutunya melakukan iterasi seperti penyelesain simplek tabel .

4. Menambah satu kegiatan (produk) baru ( )apakah ingin untuk menambah suatu kegiatan baru atau menambah suatu produk baru .

= jumlah produk jenis baru yang akan diproduksi ,

jx

ka 'ka

);0'( jcz jj

1nx

);0'( jcz jj

jj cz '

=Bahan yang diperlukan untuk membuat 1 unit produk baru .

= kontribusi untuk 1 unit produk baru . .Untuk memutuskan apakah produk baru perlu diper timbangkanatau tidak , maka menghihitung Tabel tetap optimum apabila : maksimumkan

minimumkanJika tabel belum optimum , selanjutnya diooptimumkan dengan menambah kolom ke n+1 , dimana baris ke nol diisi dengan sedangkan baris ke satu sampai dengan baris ke m diisi dengan . Selanjutnya lakukan iterasi seperti pada iterasi simplek tabel .

1na

1nc

111

11

nnBnn caccz B

);0( 11 jcz nn );0( 11 jcz nn

)( 11 nn cz

11

naB

5. Menambah jenis bahan (menambah fungsi batasan)apabila terjadi penambahan jenis bahan (sumber), jika jenis sumber baru yang bertambah adalah sumber ke –(m+1), dimana sumber ke-(m+1) , tersedia sebanyak dan setiap unit produk j , memerlukan sumber ke-(m+1) , sebanyak , tambahkan fungsi batasan baru yaitu

tabel optimum persoalan awal diupdate yaitu tambahkan fungsi batasan baru tersebut pada baris terakhir dari tabel simplek optimum persoalan awal dan tambahkan kolom terakhir sebagai variabel slack untuk fungsi batasan baru. Selanjutnya melakukan iterasi seperti pada iterasi simplek tabel .

1mb

jma )1(

1,1,122,111,1 ...... mnnmjjmmm bxaxaxaxa

Contoh soal:Suatu pabrik roti memproduksi 3 jenis roti yaitu roti A,B, dan C . Keuntungan per biji roti adalah $2,$3, dan $1 . Diperlukan 2 adonan yaitu adaonan 1 dan adonan 2. Untuk membuat roti A dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 1/3 adonan 2. Untuk membuat roti B dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 4/3 adonan 2. Sedangkan untuk membuat roti C dibutuhkan 1/3 adonan 1 dan 7/3 adonan 2 . Adonan 1 yang tersedia sebanyak 1 wadah dan adonan 2 yang tersedia sebanyak 2 wadah . Dimana tabel simplek optimumnya adalah :

a) Jika keuntungan roti C berubah menjadi $2,apakah ada pengaruhnya ?

b) Jika adonan 1 bertambah menjadi 2 wadah , apakah ada pengaruhnya ?

c) Jika kebutuhan adonan 1 untuk roti C berubah menjadi 2/3 , apakah ada pengaruhnya?

d) Jika perusahaan mempertimbangkan akan menambah produk baru yaitu roti D , dimana membutuhkan adonan 1 sebanyak 2/3 dan adonan 2 sebanyak 4/3 dengan keuntungan $4 , apakah ada pengaruhnya ?

Penyelesaian :

a) Keuntungan roti C $ 1 berubah menjadi $2 ,maka

dimana adalah bukan variabel basis , sehingga

= - (2-1)

= 2,75

karena maka tabel masih optimum , dan usulan untuk merubah keuntungan roti C ‘tidak perlu ditindaklanjuti’

13 c 2'3 c

3x)'()(' 111111 ccczcz

415

0'11 cz

b) Adonan 1 yang tersedia sebanyak 1 wadah berubah menjadi 2 wadah , maka b= berubah menjadi b’=

ruas kanan berubah menjadi

RHS = = =

karena ruas kanan bernilai positif maka tabel masih optimum , sehingga penambahan adonan 1 ‘tidak perlu ditindaklanjuti’.

3

1

3

2

'1bB

'1bB

11

14

3

2

1

5

c) Kebutuhan adonan 1 untuk roti C berubah dari 1/3 menjadi 2/3 , maka = berubah menjadi =

dimana bukan variabel basis.

sehingga :

=

=

karena , maka tabel masih optimum , artinya dengan merubah komposisi adonan 1 untuk roti C , tetap tidak akan menghemat .

a

37

31

37

32'a

3x

331

33 ')'( caccz B B

13

73

2

11

1432

314

0' 33 cz

d) Roti D memerlukan adnan 1 sebanyak 2/3 dan adonan 2 sebanyak 4/3 , jika dijual akan untung $4 . Maka

karena , maka tabel masih optimum , artinya penembahan produk baru tidak perlu dipertimbangkan untuk dibuat .

661

66 ')( caccz B B

43

53

2

11

1432

1

45

);0( 11 jcz nn