Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học

1

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC

I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức

Có dạng ( )m n px a bx dx

với , , , , , , 0a b R m n p Q n p

Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau.

Cụ thể xét bộ ba số 1 1; ;m mp pn n

TH 1: Nếu p Z thì ta đặt qx t với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n

TH 2: Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r

ta đặt pnt a bx hoặc nt a bx

Đặc biệt

- Nếu rp Zs

ta chỉ được đặt nt a bx

- Nếu rp Zs

và 2,3,...p ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi 2p TPTP một lần, khi 3p

TPTP hai lần, …

TH 3: Nếu 1 , , ,m sp Z p r s Zn r

thì ta đặt

nr

n

a bx tx

Bài tập giải mẫu: TH 1: Nếu p Z thì ta đặt qx t với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n

Bài 1: Tính tích phân sau

4

1 1dxI

x x

Giải:

Ta có

114 41 2

1 1

11

dxI x x dxx x

Nhận xét: 11, , 1 22

m n p Z q

Cách 1:

Đặt 2

2x t

x tdx tdt

TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn

2

Đổi cận 4 21 1

x tx t

Khi đó

2 2 2

21 1 1

21 1 42 2 2 2 ln ln 1 2 ln11 1 31

t dtI dt t tt t t tt t

Cách 2:

Đặt

211

2 1

x tx t

dx t dt

Đổi cận 4 31 2

x tx t

Khi đó

2 3 3

22 2 2

1 31 1 42 2 2 2 ln 1 ln 2ln21 1 31

t dt dtI dt t tt t t tt t

TH 2: Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r

ta đặt pnt a bx hoặc nt a bx

Đặc biệt

- Nếu rp Zs

ta chỉ được đặt nt a bx

- Nếu rp Zs

và 2,3,...p ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi 2p TPTP một lần, khi 3p

TPTP hai lần, …

Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau 1

3 2

0

1I x x dx

Giải:

Phân tích 1 1

3 2 2 2

0 0

1 1 .I x x dx x x xdx

Nhận xét: 1 13, 2, 22

mm n pn

Cách 1:

Đặt 2 2

2 11

x tt x

xdx tdt

Đổi cận 1 00 1

x tx t

Khi đó 10 1 1

2 2 2 2 2 4 3 5

1 0 0 0

1 1 21 13 5 15

I t t dt t t dt t t dt t t

Cách 2:


3

Đặt

2

21

1

2

x tt x dtxdx

Đổi cận 1 00 1

x tx t

Khi đó 11 1 1 3 3 30 1 1

2 2 2 2 2 2

1 0 0 0

1 1 1 1 2 2 21 12 2 2 2 3 3 15

I t t dt t t dt t t dt t t

Cách 4: Đặt cos sinx t dx tdt

Khi đó 2 2

2 3 2 2

0 0

sin cos sin 1 sin cosI t tdt t t tdt

Cách 4.1. Đặt sin cost u tdt du Khi đó

1 1 3 5

2 2 2 4

0 0

1 2(1 )03 5 15

u uI u u du u u du

Cách 4.2.

3 52 2

2 2 2 4

0 0

sin sin 2sin 1 sin sin sin sin sin 23 5 150

t tI t t d t t t d t

.

Cách 4.3.

2 2 2 22

0 0 0 0

1 1 1 cos 4 1 1sin 2 cos cos cos cos 4 cos4 4 2 8 8

tI t tdt tdt tdt t tdt

Cách 5:

1 12 2 2 2 2 2

0 01 13 1

2 2 2 22 2

0 0

1 11 1 1 1 1 12 2

1 11 1 1 12 2

I x x d x x x d x

x d x x d x

Cách 3: Đặt 2

2dtt x xdx

Bài 3: Tính tích phân 7 3

3 20 1

x dxIx

Giải :

Cách 1: Đặt

2 3

3 22

11 3

2

x tt x

xdx t dt


4

Đổi cận 2710

txtx

Khi đó

3 27 2 22 5 24

3 20 1 1

1 . 2. 3 3 3 9312 2 2 5 2 101

t t dtx xdx t tI t t dttx

Cách 2:

Đặt

2

21

1

2

x tt x dtxdx

Đổi cận 8710

txtx

Khi đó 2 1 5 28 8

3 3 3 31

1 13

1 81 1 1 3 312 2 2 5 2

t dtI t t dt t t

t

Cách 3: Phân tích 23

3 2 2 33 32 2

1 11 1

x xx x x x x xx x

Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần

Đặt

2

2 32 2

3 32 2

21 31 1

421 1

u x du xdxd xx v xdv dx

x x

Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân 4

27 9

dxIx x

Giải: Phân tích

4

27 7

4 11 2 29

9x x dxdxI

x x

Nhận xét: 1 11, 2, 02

mm n pn

Đặt 2 2

2 99

x tt x

xdx tdt

Đổi cận 4 5

47

x ttx

Khi đó 4 5 5

2 22 24 47

51 3 1 7ln ln46 3 6 4( 9) 99

xdx tdt dt tItt t tx x

Cách 2:


5

Đặt

2

29

9

2

x tt x dtxdx

Khi đó

25

116 2

1 ...2

9

dtIt t

đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt

1 22

2u t

u tudu dt

… bạn đọc giải tiếp nhé

Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: 1

65 3

0

1I x x dx

Giải:

1 1

6 65 3 3 3 2

0 0

1 1I x x dx x x x dx

Nhận xét: 15, 3, 6 0mm n p Zn

Cách 1:

Đặt 2

3

3

1 31

dt x dxt x

x t

Đổi cận 1 00 1

x tx t

Khi đó 0 1 1 7 8

6 6 6 7

1 0 0

1 1 1 1 11 13 3 3 3 7 8 168

t tI t t dt t t dt t t dt

Cách 2:

1 1 1 16 6 6 75 3 2 3 3 2 3 2 3

0 0 0 0

7 83 31 16 73 3 3 3

0 0

1 1 1 1 1 1

1 11 11 1 1 11 1 1 1 . .0 03 3 7 3 8 168

I x x dx x x x dx x x dx x x dx

x xx d x x d x

Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau 2

2

0

1I x x dx

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Đặt 2

2

2 11

2

du x dxu x

xdv xdx v

Khi đó 2 22 4 3

2 2 3

0 0

2 2 341 1 6 60 02 4 3 3

x x xI x x x dx x x dx


6

Cách 2:

Đặt 1

1x t

t xdx dt

Đổi cận 2 30 1

x tx t

Khi đó

3 3 4 3

2 3 2

1 1

3 34114 3 3

t tI t t dt t t dt

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có 2 2 3 21 2 1 2x x x x x x x x

Khi đó 2 4 3 2

3 2

0

22 34204 3 2 3

x x xI x x x dx

Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Ta có 2 2 3 21 1 1 1 1 1x x x x x x

Khi đó 4 32 2 2 23 2 3 2

0 0 0 0

1 1 341 1 1 1 1 14 3 3

x xI x dx x dx x d x x d x

TH 3: Nếu 1 , , ,m sp Z p r s Zn r

thì ta đặt

nr

n

a bx tx

Bài 7: Tính tích phân sau 2

4 21 1

dxIx x

Giải:

Nhận xét: 1 12; 2; 22

mm n p p Zn

nên đặt 2

22

1x tx

Đặt

222

22

22

111

1

xtx t tdtx xdx

t

Đổi cận 52

21

2

x tx

t

Ta có

5 322 2 2 32

224 2 2

61 1 2 52 2

21 7 5 8 2. 1 53 2411 11 2

tdx dx tdt tI t dt ttx x tx

x


7

Bài 8: Tính tích phân sau:

1

31

4

31

3

dxxxxI .

HD:

Ta có

1

31

3

31

2

1.11 dxxx

I 1 1

3 2 3

13

1x x dx

Nhận xét: 1 13, 2, 13

mm n p Zn

Đặt 2 3

1 12dt dxt

x x …. 6I bạn đọc tự giải


2 33

2(1 )

dxIx

Giải :

Ta có 3 10; 2; 12

mm n p p Zn

Đặt

22 2

22

2 2

11 1

( 1)

xx tt tdtx xdx

t

Đổi cận 2 33

3332

x t

x t

Khi đó 3 3 3

22 2 2 2 23 2 3 2 342 222 3 3

31 1

2 31 2 3(1 ) 1 ( 1) . . .. . 3( 1)

xdx tdt dtIt tx x t t tx tx x

Bài tập tự giải:

Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân 2

31 1

dxIx x

HD:

Đặt 2

323 3

3112 1 1

x dx dtt x dt dxtx x x

Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân 4

27

1 7ln6 41

dxIx x


8

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân 2

223

121dxI

x x

Cách 1:

Đặt 222 2 2 2

111 1 1

x dx xdx dtt x dt dxtx x x x x

và t tanu ,2 2

u , 2 1

dt dut

.

Cách 2: Đặt 2

1 , 0;cos 2 1

dxt t dtt x x

C1: Đặt 1 cos

xt

với

2π0;t hoặc

tx

sin1

C2: Đặt 2 1x t C3: Đặt 2 1x t

C4: Đặt 1xt

C5: Phân tích 2 21 1x x


21

01

xI dxx

C1: Đặt tanx t C2: Phân tích 3 2 1x x x x

C3: Đặt

2

2 1

u xxdv dx

x

C4: Đặt x t C5: Phân tích 3 2 2 21 1 1x dx x xdx x d x

Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân 7 3

3 20

141201

xI dxx

Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân 2 4

50 1

xI dxx

Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân 3

3 2

1

14 315

I x x dx

Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân 9

3

1

468. 17

I x x dx

Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân 1

2

0

2 2 113

I x x dx

Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân 3

3 5

0

8481.105

I x x dx


9

Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân 1

3 2

0

6 3 8. 35

I x x dx

Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân 1

5 2

0

81105

I x x dx

Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân 1

20

1 ln 221

xI dxx

Bài 14: Tính tích phân 1

2 3

0

22 3 3 2 29

I x x dx

Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân

3

2 21

313 121

dxIx x


2 23

2 33 2 21

dxIx x

b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức

Mở rộng pm nI u x a bu x d u x

với với , , , , , , 0a b R m n p Q n p

Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau

Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r

ta đặt pnt a bu x hoặc nt a bu x

Đặc biệt : Nếu rp Zs

ta chỉ được đặt nt a bu x

Ta xét các thí dụ sau đây

Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau ln 5 2

ln 2 1

x

x

eI dxe

Lời giải.

Ta có ln 5 ln 5 12

2

ln 2 ln 2

11

xx x x

x

eI dx e e dee

thì đây chính là tích phân nhị thức với

1 11, 22

mm n p Zn

và xu x e

Đặt 2

2 11

2

xx

x

e te t

e dx tdt

Đổi cận ln 5 2ln 2 1

x tx t

Khi đó

22 22 3

1 1

1 2 22 202 2 1 21 13 3

t tdtI t dt t t

t


10

Cách khác: Đặt 1xe t

Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau 1

1 3ln .lne x xI dxx

Lời giải.

Ta có 13

1 1

1 3ln .ln ln 1 3ln lne ex xI dx x x d x

x


1 11, 22

mm n p Zn

và lnu x x

Đặt

2

2

1ln31 3ln

23

txx t

dx tdtx

Đổi cận 2

1 1x e tx t

Khi đó 2 22 5 3

2 4 2

1 1

22 1 2 2 116( )13 3 9 9 5 3 135

t t tI t dt t t dt

Cách khác: 1 3lnt x

Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau 3 2

1

ln . 2 lne x xI dxx

Lời giải.

Ta có 13 2

2 3

1 1

ln . 2 ln ln 1 ln lne ex xI dx x x d x

x


1 11, 2, 13

mm n p Zn

và lnu x x

Đặt 3 2 23 ln2 ln2

xt x t dt dxx

Đổi cận 3

3

31 2

x e tx t

Khi đó 3 3

3 3

3 3 33

42 3

32 2

33 3 3 233 3 3. .

2 2 2 42

82tI t t dt t dt

Cách khác: Đặt 22 ln x t

Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau 2

1

ln2 ln

e xI dxx x

Lời giải.


11

Ta có

2

22

1 1

ln ln 2 ln ln2 ln

e xI dx x x d xx x


11, 1, 2 , 2mm n Z p Zn

và lnu x x

Đặt ln 2

2 lnx t

t x dx dtx

Khi đó 3 3

2 22 2

2 31 2 2ln2

3 1ln2 3

tI dt dt t

t tt t

Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau

ln 3

30 1

x

x

e dxIe

Lời giải.

Ta có

ln 3 ln 3 1

33

0 0

11

xx x

x

e dxI e dee


1 10, 1, 12

mm n p Zn

và xu x e

Đặt 2 1 2 2x xt e tdt e dx dx tdt

Khi đó 2

32

212 2. 2 12

tdtItt

Thí dụ 6. Tính tích phân sau 2

5 31

dxIx x

Lời giải.

Ta có 2 2

13 25 3

1 1

1dxI x x dxx x

đây là tích phân nhị thức với 3, 2, 1m n p Z

Đặt

2

21

1

2

x tt x dt xdx

Đổi cận 2 51 2

x tx t

Ta có

2 2

3 2 4 21 1

11 1

xI dx dxx x x x

Khi đó

5 5

2 22 2

51 1 1 1 1 1 3 1 5ln ln 2 ln22 1 2 1 1 8 2 21 1

dt tI dtt t t tt t t


12

Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm:

2

391x dxI

x

Lời giải.

Ta có

2

39239 1

1x dxI x x dx

x

đây là tích phân nhị thức với 12, 1, 39 3mm n p Z Z

n

Đặt 1 1t x x t dx dt Khi đó

2

39 39 38 37 38 37 36

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1238 37 36

t dtI dt dt dt C

t t t t t t t

với 1t x

Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 2

0

sin 2 .cos1 cos

x xI dxx

Lời giải. Phân tích

22 2 2

12

0 0 0

sin 2 .cos sin .cos2 2 cos 1 cos cos1 cos 1 cos

x x x xI dx dx x x d xx x

thì đây chính là tích phân nhị thức

với 2, 1, 1m n p Z và cosu x x

Đặt sin

1 coscos 1dt xdx

t xx t

Đổi cận 1

220

txtx

Khi đó 21 2 2

2 1

1 212 2 2 2 2 ln 2 ln 2 112

t tI dt t dt t tt t

Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau 2

2

0

sin cos 1 cosI x x x dx

Lời giải.

Ta có 2 2

2 2

0 0

sin cos 1 cos cos 1 cos cosI x x x dx x x d x


1, 1, 2m n p Z và cosu x x

Đặt sin

1 coscos 1

xdx dtt x

x t


13

Đổi cận 1

220

txtx

Khi đó 1 2 4 3

2 3 2

2 1

2 17114 3 12

t tI t t dt t t dt

Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như trong lý thuyết

Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 2

0

sin 2 sin1 3cos

x xI dxx

Lời giải.

Ta có

1 2

2 2 21 12 2

0 0 0

sin 2cos 12cos 1 3cos cos 1 3cos cos

1 3cosI I

x xI dx x x d x x d x

x

Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức cosu x x với 1I ta có 11 2mm n Zn

và với 2I

ta có 10, 1 1mm n Zn

.

Vậy chung qui lại ta có thể

Đặt

2

2

1cos31 3cos

sin 231 3cos

txx t

x dtdxx

Đổi cận 1

220

txtx

Khi đó 2 2

3

1

24 2 4 2 3419 9 27 9 27

tI dt t t

Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2

0

sin 31 cos

xI dxx

Lời giải.

Ta có 32 2 2

12

0 0 0

sin 3 3sin 4sin 4cos 1 1 cos cos1 cos 1 cos

x x xI dx dx x x d xx x

thì đây chính là tổng của

hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với 12, 1, 1 3mm n p Z Zn

và cosu x x nên ta

đặt cos 1

1 cossin

x tt x

dt xdx


14

Đổi cận 1

220

txtx

Khi đó

21 22

2 1

4 1 1 234 8 2 3ln 8 3ln 2 21

tI dt t dt t t t

t t

Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau

Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau 3 2

1

ln 7615ln 1

e xI dxx x

Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau ln 2 2

0

2 231

x

x

eI dxe

Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = dxxx

xe

1 ln1.ln 4 2 2

3

Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau 1

3 2 ln 10 2 1131 2ln

e xI dxx x

Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau 2

1

ln 1 (ln 2 1)2ln 1

e xI dxx x


321

log 427 ln 21 3ln

e xI dxx x

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau ln 8 ln 8

2

ln 3 ln 3

1. 1. .x x x x xI e e dx e e e dx

Bài 9: Tính tích phân sau ln 5

ln 2

1

1

x x

x

e eI dx

e

Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau 2

20

sin 4 32 6 ln41 cos

xI dxx

Bài 11: Tính tích phân sau 2 32

0

15sin 2 1 sin4

I x x dx

Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau 32

20

sin cos1 cos

x xI dxx

Bài 13: Tính tích phân 36

0

sin 3 sin 3 1 1 ln 21 cos3 6 3

x xI dxx


15

Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau 3

30

6ln2

dxIx x

Bài 15: Tìm nguyên hàm 3

10 6 7 8 9

1 1 3 1 3 1 1 16 7 8 9( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x dxI Cx x x x x


Education

Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học