Bài 3. TÍNH CHẤT CỦA TẬP PHƯƠNG ÁN VÀ TẬP PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN QH T T

1. Tập hợp lồi. a) Khái niệm tổ hợp lồi

Chương I: QHTT

Điểm được gọi là tổ hợp lồi của m điểm

nx R1 2, ,.., mx x x nếu tồn tại

1 2 1 2, ,.., 0, .. 1 :m m sao cho

1 1 2 2 .. m mx x x x Ví dụ 1: Trong R, cho x1=1; x2= 4. Điểm x=3 là tổ hợp lồi của hai điểm 1; 4. Thật vậy, 1 2 1 2 1 2

3 .1 .4, ; 0; 13 3 3 3 3 3

Ví dụ 2: Trong R2, cho tam giác ABC, với A(1,1); B(1,2); C(3;4). Khi đó trọng tâm G là tổ hợp lồi của các đỉnh A, B, C.

Thật vậy, trọng tâm G có tọa độ (5/3, 7/3), mà 5 7 1 1 1

, (1,1) (1,2) (3,4)3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1, , 0; 1.

3 3 3 3 3 3

b) Định nghĩa tập lồi: Tập được gọi là tập lồi, nếu

nL R

, , ; 0 1(1 )x yx y L L

Hay, L là tập lồi, nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong L nằm gọn trong L.

•Ví dụ: Trong mặt phẳng: đoạn thẳng, đường thẳng, tia, toàn bộ mp, nửa mp, đa giác lồi, tam giác, hình tròn, hình elip… đều là các tập lồi. •Trong không gian: đoạn thẳng, đ.thẳng, mp, đa diện lồi, hình cầu… là các tập lồi.c) Điểm cực biên của một tập lồi: x0 gọi là điểm cực biên của tập lồi L, nếu:

1 2 1 20 (1 ) , ; , 0 1x x x x x L

1 20 0 .x x x x

Ví dụ 1: Trong R, cho đoạn [1, 4]. Hai điểm 1; 4 là hai điểm cực biên.

Ví dụ 2: Hình đa giác lồi; đa diện lồi, thì các đỉnh là các điểm cực biên.

2. Tính chất của bài toán QHTT dạng TQ

Định lý: •Tập PA của bt Qhtt là một tập lồi.•Tập PATƯ của bt Qhtt cũng là một tập lồi.

3. Tính chất của bt QHTT dạng chính tắc

Xét bt:

1 1 2 2

11 1 12 2 1n 1

21 1 22 2 2n 2

m1 1 m2 2 mn

(1) ( ) .. min (max)

..

..(2)

.........................................

..

(3) 0 1, .

n n

n

n

n m

j

f x c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x j n

Hoặc viết dưới dạng ma trận: (1) ( ) min(max)

(2)

(3) 0

f x

Ax b

x

1 21 2( .. )n

nx A x A x A b

Giả sử bt trên có PA 0

10 20 0( , ,.., )nx x x x

1 210 20 0.. n

nx A x A x A b

Khi đó: xj0≥0 và

Định nghĩa 1: Ứng với những

0 0jx Ta có hệ véctơ được gọi là hệ véctơ liên kết với x0.

jA

Định lý 1: x0 là PACB ↔ hệ véctơ liên kết với nó độc lập tuyến tính.

Hệ quả 1: Số PACB là hữu hạn.

Ví dụ 1: Xét bt Qhtt

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 min

2 5

4 2

0, 1,3.j

f x x x

x x x

x x x

x j

1 2 31 2 3x A x A x A b

•Trong đó ta có: m=2, n=3 và

1 2,

1A

2 1,

1A

3 1,

4A

5

2b

•Cho trước 2 vectơ:

0 17 1 22 7, ,0 , 0, ,

3 3 3 3x x

1) C/m x0 là một PA của bt đã cho.

2) Tìm hệ véctơ liên kết của x0

Giải: là PA của bt, vì nó thỏa rb (2), (3).

0 7 1, ,0

3 3x

1 2 37 1. . 0.

3 3A A A b

nên hệ véctơ liên kết của x0 là: 1 2,A A

ta có

1 22 70, ,

3 3x

là PA của bt, vì nó thỏa rb (2), (3).

1 2 322 70. . .

3 3A A A b

Vậy hệ véctơ liên kết của x1 là: 2 3,A A

-Một PACB được gọi là không suy biến nếu số thành phần dương của nó bằng m.

( m là số dòng của mtr A cũng chính là số phương trình trong rb (2) )

- PACB gọi là suy biến nếu số thành phần dương ít hơn m.

Hệ quả 2: Số thành phần dương của một PACB tối đa bằng m.

Định nghĩa 2:

Ví dụ 2: Xét bt 1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 min

2 5

2 5

0, 1,3.j

f x x x

x x x

x x x

x j

2 2;

1A

3 1;

2A

1 1;

1A

•Trong đó: m=2, n=3 và

5

5b

•Cho trước 3 vectơ:

1) C/m x0 là một PA của bt đã cho.

2) Tìm hệ véctơ liên kết của x0

3) x0 có là PACB?

4) nếu x0 là PACB thì nó là suy biến hay không suy biến?

0 1 2(0,5,5); (5,0,0); (1, 4, 4)x x x

Giải:

là PA của bt, vì nó thỏa rb (2), (3).

•hệ véctơ liên kết với nó là {A2 A3}

• x0 là PACB vì hai véctơ này đltt:

0 (0,5,5)x

2 10

1 2

•x0 là PACB không suy biến vì hệ vtlk có 2vt = đúng số pt.

là PA của bt, vì nó thỏa rb (2), (3).

•hệ véctơ liên kết với nó là {A1}

• x1 là PACB vì véctơ này khác vt không nên hệ 1 vt là đltt

1 (5,0,0)x

•x1 là PACB suy biến vì hệ vtlk có 1vt < m.

2 (1,4,4)x là PA của bt.

Nó không là PACB, vì hệ véctơ liên kết với nó là {A1,A2,A3}có 3 véctơ >số pt.

PP tìm PACB: - Xác định hệ gồm m véctơ đltt từ các véctơ cột của A. Các hệ này là hữu hạn :

!

!( )!mn

nC

m n m

- Biểu diễn véctơ b theo các hệ con đltt ở trên, ta được các hệ số biểu diễn xác định các véctơ x tương ứng.

- Loại đi những véctơ x có thành phần âm còn lại là các PACB.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các PACB của tập PA của bt:

1 3 4

1 3 4

2 3 4

2 5 min

5

2 1

0, 1,4 .j

f x x x

x x x

x x x

x j

Giải:

1 2 3 41 0 1 1, , ,

0 1 1 2A A A A

A có 4 véctơ cột:

•Ta có 6 hệ con đltt:

1 2; ,A A

•Biểu diễn véctơ theo các hệ đltt:5

1b

1 3; ,A A 1 4; ,A A 2 3; ,A A 2 4; ,A A 3 4;A A

1 2

1 2

1

5

(5,1,0

5 1 0 5

1 0 1

,0) (

1

)

b A A

b A A

x PACB

Tương tự ta có:

1 3 26 (6,0, 1,0) ( )b A A x loai 1 4 39 1 9 1

,0,0, ( )2 2 2 2

b A A x PACB

Ta có 6 véctơ thỏa hệ phương trình và loại 2 véctơ có thành phần âm còn lại 4 PACB.

2 3 46 5 (0,6,5,0) ( )b A A x PACB 2 4 59 5 (0, 9,0,5) ( )b A A x loai

3 4 63 2 (0,0,3,2) ( )b A A x PACB

-Điều kiện cần và đủ để bt có PATƯ là tập PA ≠ Ø và hàm mục tiêu bị chặn.

Định lý 2: -Bt có tập PA ≠ Ø thì có ít nhất một PACB.

-Nếu bt có PATƯ thì sẽ có ít nhất một PACB là PATƯ.

-Bt có tập PA ≠ Ø và là một đa diện lồi thì bt sẽ có ít nhất một PATƯ là PACB.

Giải bt chính tắc bằng PP tính chất:

- Kiểm chứng tập PA ≠ Ø và hàm mục tiêu bị chặn.

- Tìm tất cả các PACB.

- Lần lượt thử các PACB sau đó so sánh các giá trị ta suy ra giá trị TƯ và PATƯ tương ứng.

Ví dụ 4: Giải bt QHTT

1 3 4

1 3 4

2 3 4

2 5 min

5

2 1

0, 1,4 .j

f x x x

x x x

x x x

x j

Giải: Ví dụ này ta đã xét ở VD3.

- Bt có tập PA ≠ Ø vì ta đã chỉ ra được có ít nhất 1 PACB.

- Hàm mục tiêu bị chặn dưới bởi 0, vì

1 3 42 5 0f x x x Vậy bt sẽ có PATƯ trùng với PACB nào đó. -Theo ví dụ 3 bt có tất cả 4 PACB là:

1 3

4 6

9 1(5,1,0,0), ,0,0, ,

2 2

(0,6,5,0), (0,0,3,2).

x x

x x

1( ) (5,1,0,0) 2.5 1.0 5.0 10f x f 3 9 1 9 1 23

( ) ,0,0, 2. 1.0 5.2 2 2 2 2

f x f

4( ) 2.0 5 5.0 5f x 6( ) 3 5.2 13f x

Vậy giá trị TƯ là 5 ứng với PATƯ là x4.

1 2 3( ) 4 5 7 minf x x x x

1 2 3

1 2 3

3 6

2 3 14

0, 1,3.j

x x x

x x x

x j

Bài tập: Câu 5. Cho bài tóan

1) Liệt kê tất cả các phương án cực biên của bài toán.2) Chứng tỏ bài toán có PATƯ. Từ đó chỉ ra phương án cực biên tối ưu.