ĐỀ BÀI KIỂM TRA ĐIỀU KIỆNMÔN PHÉP TÍNH VI PHÂN

Ngày 25 tháng 02 năm 2013

Câu 1. Giả sử E, F là các không gian Banach, Ω ∈ E là tập mở và Cp(Ω, F )

là không gian véctơ các ánh xạ.f lớp C

p trên Ω với giá trị trong F sao cho f và các đạo hàm fk(1 ≤ k ≤ p) bịchặn trên Ωa. Đối với mỗi f ∈ C

p(Ω, F ), đặt||f ||p = sup

x∈Ω(||f(x)||+ ||f ′(x)||+ ·+ ||f (k)(x)||)

Chứng minh Cp(Ω, F ) là không gian Banach với ||.||p

b. Chứng minh ánh xạ f → f ′ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ Cp(Ω, F ) vào

Cp−1(Ω, F ) với p ≥ 2.

Câu 2. Xét ϕ : R2 → R2 cho bởi ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) với

u(x, y) = x+ f(y)v(x, y) = y + f(x)

ở đó f là ánh xạ lớp C1 và |f ′(t)| ≤ k < 1 với mọi t ∈ R.a. Chứng minh ϕ là toàn ánh.b. Chứng minh ánh xạ ϕ là song ánh.

Câu 3. Chứng minh Định lí 4.4 trang 53, giáo trình Phép tính vi phânDạng vi phân trong không gian Banach,Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải

Giả sử f : [a, b] → F, g : [a, b] → R là các ánh xạ liên tục. Nếu tồn tại f ′

+

và g′+ trên [a, b] chỉ trừ ra một tập đếm được D ⊂ [a, b], thì có:||f(b)− f(a)|| ≤ g(b)− g(a) .

(Xem thêm. Giáo trình Cơ sở Giải tích hiện đại tập 1: Phép tínhvi phân, Phan Đức Chính)

1