Bài giảng Toán cao cấp B1 Tác giả: TS. Trần Bá Tịnh, TS. Nguyễn Vũ Tiến, TT Giảng dạy và Thực hành cơ bản, Đại học Huế, 2006

8/12/2019 Bài giảng Toán cao cấp B1 Tác giả: TS. Trần Bá Tịnh, TS. Nguyễn Vũ Tiến, TT Giảng dạy và Thực hành cơ bản, Đại…

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-b1-tac-gia-ts-tran-ba-tinh-ts-nguyen 1/79

ĐẠI HỌC HUẾTRUNG TÂM GIẢNG DẠY VÀ THỰC HÀNH CƠ BẢN

BÀI GIẢNG

PHẦN PHÉP TÍNH VI - TÍCH PHÂN. LÝ THUYẾT CHUI

D!"# $%& '("% )(*" $+$ "#,"%N"# - L/0 - N#1 - Y 2%&3

B(*" '&4" T5. T67" B+ T8"% T5. N#9:;" V< T(="

H9=> ?@ - A@@



Lời nói đầu

Được sự phân công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm giáo dục ! thực h!nh c" #ản$ #% môn Toán & Tin của ch'ng tôi thực hi(n #i)n soạn #!i giảng * các môn h+c Toán cao c,p B-! B./ B!i giảng n!y nh0m cung c,p các 1i2n th3c c" #ản * giải t4ch c5 đi6n c7n cho các ng!nhsinh h+c$ nông 8âm$ th5 như9ng$ 1hoa h+c môi trư:ng$ thủy sản;/ ! m%t số ng!nh 1hoa h+ccông ngh( 1hác/

B!i giảng được #i)n soạn th<o đ* cư"ng chi ti2t của #% chư"ng tr=nh >?@A CD EFD ĐG?DHIJ> do B% >iáo ục #an h!nh th<o Kuy2t đLnh số M.NNO>PĐT ng!y -.OQRO-RRS của B%trưng B% >iáo dục ! đ!o tạo /

B!i giảng do t5 #% môn Toán & Tin ch'ng tôi #i)n soạn trưUc mVt phục ụ cho đối tượng 8!

8! sinh i)n các trư:ng đW n)u$ th<o chư"ng tr=nh của dự án m3c D trong Đại E+c Eu2/X7n đ7u ti)n #i)n soạn th<o y)u c7u đ5i mUi phư"ng pháp giảng dạy$ chVc chVn 1hông tránh1hYi thi2u sZt$ ch'ng tôi r,t mong được sự trao đ5i$ đZng gZp [ 1i2n của các đ\ng nghi(p đ6 ho!nthi(n #!i giảng th<o đLnh hưUng * m%t #!i giảng chung môn h+c Toán cao c,p B- ! B./

Các tác giả

-

www.daykemquynhon.ucoz.com



MỤC LỤC

Chương 1 4

Hàm số và giới hạn hàm số 4

]-/ T^_ E`_ b @JE G////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////N ]./ Eb ef/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////--

]M/ ef b >?? EGJ ef ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////..

]N/ >?? EGJ Eb ef///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////.N

]S/ ej X?kJ TCD Dl Eb ef///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////.R

Chương 2

!ạ" hàm và vi #h$n ]-/ ĐGA Eb////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// MM

]./ ? _EJ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// N-

Chương 4

%&ch #h$n 'h(ng )ác đ*nh 4]-/ ĐJE J>E b TqJE DET//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// NM

]./ D@D _EHIJ> _E@_ X TqDE _EJ ////////////////////////////////////////////////////////////////////////NN

EJ> @D ĐJE//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// NN

]M/ D@D DJ> TED Tvw Ex?/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////N

]N/ TqDE _EJ D@D Eb Ezw T{//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////N|

]S/ TqDE _EJ }T ef Eb T{ GJ> ĐIJ >?~J/////////////////////////////////////////////////SQ

Chương 4 +1%&ch #h$n )ác đ*nh +1

]-/ ĐJE J>E///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// S-

]./ }T b? TqJE DET Dl TqDE _EJ @D ĐJE//////////////////////////////////////////////////SM

]M/ Đ?•w ?€J E~ TqDE Dl Eb X?kJ TCD////////////////////////////////////////////////////////////// S

]N/ ej _EJ DE? EA~J> X TqDE _EJ///////////////////////////////////////////////////////////////S

‚D^J X TqDE _EJ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// S

?/ eự phân chia 1hoảng 8,y t4ch phân//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////S|

??/ Dƒn 8,y t4ch phân////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////S|

]S/ Eb ef >?? EGJ TvkJ‚>?? EGJ H? Dl //////////////////////////////////////////////////////SR

TqDE _EJ @D ĐJE//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////SR

]/ TqDE _EJ @D ĐJE b J>wkJ Eb ////////////////////////////////////////////////////////////////SR

]/ B?„J Đ…? TqDE _EJ @D ĐJE///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// -

?/ Đ5i #i2n trong t4ch phân †ác đLnh/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// -

??/ _hư"ng pháp t4ch phân t‡ng ph7n//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////M

]|/ J> CJ> Dl _Eˆ_ TqJE TqDE _EJ //////////////////////////////////////////////////////////////////M

.




?/ T4nh di(n t4ch mi*n ph‰ng///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////N

??/ T4nh th6 t4ch/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// N

???/ T4nh đ% d!i cung/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// S

]R/ TqDE _EJ ew v}J>///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

?/ T4ch phân suy r%ng 8oại ? Šhoảng 8,y t4ch phân ô hạn‹///////////////////////////////////////////////////

??/ T4ch phân suy r%ng 8oại ?? Šh!m đạt giá trL ô cŒng‹////////////////////////////////////////////////////// ???/ Dác đLnh 8[ so sánh///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Chương + ,-

Chu.i số ,-]-/ D@D E@? J?€ DI B~J b D@D TqJE DET /////////////////////////////////////////////////////// |

ĐIJ >?~J////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////|

]./ w E?€w E}? TC Dl DEw? HIJ>/////////////////////////////////////////////////////////////////////Q

]M/ ej E}? TC Dl DEw? BT Ž//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// M

?/ eự h%i tụ tuy(t đối/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// M

??/ eự h%i tụ của chui đan d,u/ ,u hi(u Xai#nit//////////////////////////////////////////////////////////////////N]N/ DEw? Eb////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// N

?/ ĐLnh ngha/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// N

??/ Dhui 8‘y th‡a////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////S

???/ Dhui Tay8o ! 3ng dụng/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

M




Chương 1

Hàm sHàm sốố và givà giớiới hạn hàm shạn hàm sốố

/10 % H3 5 67H 89

:0 %;# h<# = Các #h># t"án -/ Tập hợp

Tƒp hợp 8! m%t 1hái ni(m c" #ản của toán h+c$ 1hông cZ đLnh ngha chung/ Jgư:i tathư:ng mô tả tƒp hợp/ Dh‰ng hạn$ tƒp hợp h+c sinh trong mi 8Up$ tƒp hợp các số tự nhi)n$ cáctƒp hợp số ô t’$ số h“u t’$ tƒp hợp các đi6m của m%t đoạn th‰ng$ tƒp hợp các nghi(m của m%t phư"ng tr=nh ;

Jgư:i ta 14 hi(u tƒp hợp #0ng các ch“ in hoa” $ B$ D;/$ $//

_h7n t của tƒp hợp 8! ƒt Šhay đối tượng nghi)n c3u‹ n0m trong tƒp hợp/ 4 hi(u các ph7nt #0ng các ch“ thư:ng a$ #$ c$;$ †$ y/// hi cho tƒp hợp $ ph7n t a thu%c được i2t a ∈ – ph7n t # 1hông thu%c được i2t # ∉ Šhay #∈ ‹/

Th4 dụ”

-P Dho tƒp — ˜-$.$M$N™ th= .∈ – ∉

.P >+i 8! tƒp các nghi(m của phư"ng tr=nh †. š M† − N — Q

”—˜†O †.

š M† − N — Q™ th= - ∈ – M ∉ MP Dác tƒp hợp số thư:ng g›p J”—˜Q$ -$ .$ M$;//™ – Jœ”—˜-$ .$ M$ N;//™– – ž– v;

-/-/ Cách mô tả tập hợp

uốn mô tả tƒp hợp ta phải 8!m đủ rY đ6 #i2t m%t ph7n t n!o đZ cZ thu%c tƒp hợp của tahay 1hông/ Thư:ng cZ . cách”

-P Xi(t 1) t,t cả các ph7n t của tƒp hợp !o trong d,u ˜™

Th4 dụ” ”— ˜†$y$Ÿ$t™ Tƒp hợp n!y cZ N ph7n t †$ y$ Ÿ$ t

DZ ngha †∈ $ y∈ $ Ÿ∈ $ t∈

Jhưng u∉ $∉

i(c 8i(t 1) cZ th6 tri(t đ6 ho›c 1hông tri(t đ6/ J2u 8i(t 1) 1hông tri(t đ6 ta cZ th6 dŒngd,u;

.P J)u các t4nh ch,t đ›c trưng của các ph7n t tạo th!nh tƒp hợp

Th4 dụ” 8! tƒp hợp các số chn dư"ng

”— ˜†O†∈ J$ † chia h2t cho .™

DZ ngha N∈ nhưng S∉

-/./ Tập con

N




Dho hai tƒp ! B$ n2u mi ph7n t của đ*u 8! ph7n t của B th= ta nZi r0ng 8! m%ttƒp con của B ! i2t ⊆ B– n2u 8! con của B ! B cZ 4t nh,t m%t ph7n t 1hông 8! ph7n t của th= ta nZi r0ng 8! tƒp con thực sự của B ! i2t ⊂ B

J2u ⊂ B ta c¡n nZi #ao h!m trong B – B ch3a – 8! #% phƒn của B/

Th4 dụ” cho ”— ̃ † O †.šM†PN — Q™

B ”— ˜PN$-$.$M™ th= B

D ”— ˜PN$-™ th= ⊆ D -/M/ Tập bằng nhau

Dho hai tƒp ! B$ ta nZi r0ng tƒp #0ng tƒp B ! i2t —B n2u ⊆ B ! B ⊆

Th4 dụ” cho ”— ˜†O†.PS†š—Q™ ! B”— ˜.$M™

Th= — B

-/N/ Tập rỗng

Th<o Kuan ni(m thông thư:ng th= m%t tƒp hợp c7n cZ 4t nh,t m%t ph7n t mUi cZ ngha/ Tuynhi)n trong toán h+c đ6 ti(n cho i(c 8ƒp 8uƒn ngư:i ta đưa th)m !o 1hái ni(m tƒp rng i2t 8! φ

/ JZ 8! tƒp 1hông cZ ph7n t n!o ! 8! tƒp con của #,t 1= tƒp hợp n!o$ φ ⊆

Th4 dụ”˜† ∈ v O †.š†š- — Q™ — φ

-/S/ Biểu diễn hình học- Biểu đ !"n

Đ6 d¢ h=nh dung m%t số Kuan h( gi“a các tƒp hợp ngư:i ta dŒng #i¢u di¢n h=nh h+c g+i 8! #i6u đ\ <n /<m tƒp hợp 8! tƒp đi6m trong m%t h=nh ¡ng ph‰ng/ i đi6m trong ¡ng 8! m%t ph7n t trong tƒp hợp ŠE/-‹/ hi đZ Kuan h( ⊂ B được #i6u di¢n h=nh E/.

./ Các ph#p toán $% tập hợp

./-/ &h#p hợp

Eợp của hai tƒp hợp ! B 8! tƒp hợp D tạo #i các ph7n t thu%c ho›c thu%c B

4 hi(u” D — ∪ B — ˜†O † ∈ ho›c † ∈ B™

Bi¢u di¢n #0ng #i6u đ\ <n tr)n E/M

S




r%ng cho nhi*u tƒp hợp ν ” ν

ν ' — - ∪ .

∪

;// ∪ n – ν —-//n

././ &h#p giao

>iao của hai tƒp hợp ! B 8! tƒp hợp D tạo #i các ph7n t ‡a thu%c ‡a thu%c B

4 hi(u” D — ∩ B — ˜†O † ∈ ! † ∈ B™

>iao ∩ B #i¢u di¢n #0ng s" đ\ <n tr)n E/N

r%ng chonhi*u tƒp hợp ν

”ν

ν ' — - ∩ . ∩

;// ∩ n – ν —-//n

Đ›c #i(t n2u D — ∩ B — φ ta nZi r0ng ! B r:i nhau/

./M/ T(nh ch)t

Dác t4nh ch,t sau đối Ui các ph£p toán * tƒp hợp được suy t‡ đLnh ngha”

∪ B — B ∪

∩ B — B ∩

∪ —

∩ —

Š ∪ B‹ ∪ D — ∪ ŠB ∪ D‹

Š∩

B‹∩

D — ∩

ŠB∩

D‹ ∪ ŠB ∩ D‹—Š ∪ B‹ ∩ Š ∪ D‹

∩ ŠB ∪ D‹—Š ∩ B‹ ∪ Š ∩ D‹

Dác t4nh ch,t tr)n đ*u được ch3ng minh #0ng đLnh ngha/ Ta ch3ng minh t4nh ch,t đ7u ti)n/

† ∈ ∪ B ⇒ † ∈ ho›c † ∈ B ⇒ † ∈ B ho›c † ∈ ⇒ † ∈ B ∪

⇒ ∪ B ⊆ B ∪

† ∈ B ∪ ⇒ † ∈ B ho›c † ∈ ⇒ † ∈ ho›c † ∈ B ⇒ † ∈ ∪ B

⇒ B ∪ ⊆ ∪ B

ƒy ∪ B — B ∪

./N/ *i+u c,a hai tập hợp Ei(u của hai tƒp hợp ! B 8! tƒp hợp D tạo #i t,t cả các ph7n t ‡a thu%c m! 1hôngthu%c B

4 hi(u” D — ¤B ”— ˜† O † ∈ $†∉ B™

Ei(u ¤B #i¢u di¢n #0ng s" đ\ <n tr)n E/S




J2u B⊂ th= ¤B — B >+i 8! ph7n #Œ của B trong ŠE/‹

4 hi(u” ¤B — B — DB

./S/ T(ch % các

Dho hai tƒp hợp ! B 1hông rng $ Ui mi a ∈ ! mi # ∈ B ta 8ƒp c›p Ša$#‹ g+i 8!m%t c›p sVp †2p th3 tự Ui ph7n t của tƒp trưUc ! ph7n t của tƒp B sau $ t4ch Đ* các của tƒp ! tƒp B 8! tƒp D /

4 hi(u” D— † B ! được đ+c 8! ¥ t4ch Đ*các B¦ ! #i¢u di¢n ”

D— † B ”— ˜Ša$#‹ ¤ a ∈ $# ∈ B™

Th4 dụ”Dho —ã-$a.™ B—˜#-$#.$#M™

D— † B — ˜Ša-$#-‹$Ša-$#.‹$Ša-$#M‹$Ša.$#-‹$Ša.$#.‹$Ša.$#M‹™

r%ng t4ch Đ* các cho n tƒp hợp ν $ν — n//- 8! tƒp hợp các #% cZ th3 tự Ša-$a.$;/$an‹œtrong đZ aν ∈ ν

4 hi(u” - † . †;//† n

J2u ν — Ui ∀ ν — n//-

th= aν ∈ ν !

n

.' '.'.'.//// — n

::0 6nh )ạ -/ /nh ngh0a

@nh †ạ t‡ tƒp § tUi tƒp ¨ 8! m%t Kuy 8uƒt © 8i)n h( gi“a § ! ¨ sao cho Ui ph7n t † ∈ §tạo ra duy nh,t m%t ph7n t y ∈ ¨

4 hi(u” ©” §→ ¨ hay § → 1 ¨

! g+i § 8! tƒp ngu\n$ ¨ 8! tƒp đ4ch

_h7n t y ∈ ¨ được tạo ra t‡ ph7n t † ∈ § #i Kuy 8uƒt © g+i 8! ảnh của † ! † g+i 8! tạoảnh Šhay nghLch ảnh‹ của y/ Ta i2t”

y —©Š†‹

hay † → y—©Š†‹ hay † → 1 y




©Š†‹ đ+c 8! ¥© của †¦ hay ¥© tại †¦

Ch? @ r0ng mi ph7n t † ∈ § cZ duy nh,t m%t ảnh y ∈ ¨ nhưng mi y ∈ ¨ cZ th6 cZnhi*u tạo ảnh ho›c 1hông cZ tạo ảnh n!o /

Tƒp tạo #i các tạo ảnh của t,t cả các ph7n t † ∈ § g+i 8! ảnh của § Kua ¨ ! i2t 8! ©Š§‹/

©Š§‹”— ˜y O y—©Š†‹$ † ∈ §™

Ta 8uôn cZ” ©Š§‹ ⊂ ¨

Th4 dụ”

§ 8! tƒp các sinh i)n trong m%t 8Up h+c

¨ 8! tƒp t)n g+i/

hi đZ cZ th6 †ảy ra các trư:ng hợp” mi sinh i)n cZ m%t t)n ! các t)n đZ 1hác nhauho›c 8! cZ m%t số sinh i)n cŒng t)n ho›c cZ nh“ng t)n m! 1hông cZ sinh i)n n!o đ›t cả/

./ 2n ánh

ĐLnh ngha” @nh †ạ ©” § → ¨ được g+i 8! đ"n ánh n2u Ui †- ≠ †. 8! hai ph7n t của § th=©Š†-‹ ≠ ©Š†.‹ Š-P-‹

! ©Š†-‹ — ©Š†.‹ ⇒ †-—†. Š-P-‹ª

Th4 dụ”-/ @nh †ạ ©” v → v cho #i Kuy 8uƒt †M—y cZ nghi(m †— M 3 8! m%t đ"n ánh/

./ @nh †ạ ©” v → v š cho #i Kuy 8uƒt †.—y cZ hai nghi(m 1hác nhau /ƒy ánh †ạn!y 1hông 8! đ"n ánh/

M/ To4n ánh

ĐLnh ngha” @nh †ạ ©” § → ¨ 8! m%t to!n ánh n2u ©Š§‹ — ¨ ! ta g+i © 8! ánh †ạ t‡ § 8)n ¨/

Đ6 1i6m tra © cZ phải 8! to!n ánh 1hông ta ch’ c7n 1i6m tra †<m Ui y∈ ¨ #,t 1= cZ t\n tạinghLch ảnh hay 1hông/

Th4 dụ”

-/ © ” v → v cho #i †M—y @nh †ạ n!y 8! m%t to!n ánh /./ © ” v → v cho #i †.—y @nh †ạ n!y 1hông 8! to!n ánh /

M/ © ” v → v š cho #i †.—y @nh †ạ n!y 8! m%t to!n ánh /

N/ 5ong ánh

ĐLnh ngha” @nh †ạ ©” §→ ¨ g+i 8! m%t song ánh n2u nZ ‡a đ"n ánh ‡a to!n ánh/

Th4 dụ”

-/ © ” v → v cho #i †M—y @nh †ạ n!y 8! m%t song ánh /

./ © ” v → v š cho #i †.—y @nh †ạ n!y 1hông 8! song ánh /

S/ 6nh .7 ng8ợc c,a m9t :ong ánh ; T82ng <ng =-=

£t . tƒp § ! ¨ ! © 8! m%t song ánh t‡ § 8)n ¨/ = © 8! song ánh n)n Ui ph7n t y ∈

¨ s«t\n tại duy nh,t † ∈ § 3ng Ui nZ th<o m%t Kuy 8uƒt n!o đZ n)n nZ c‘ng 8! m%t ánh †ạ/

ĐLnh ngha” eong ánh ©” § → ¨ tạo ra m%t ánh †ạ t‡ ¨ tUi §/ @nh †ạ n!y g+i 8! ánh †ạ ngượccủa ánh †ạ © ! 14 hi(u 8!” © P-

|




© P-” ¨→ § Ui đ›c đi6m 8!”

n2u ©Š†‹ — y th= © P-Šy‹—† Š† ∈ §$y ∈ ¨‹

n2u © P-Šy‹—† th= ©Š†‹—y Šy ∈ ¨$† ∈ §‹

Th<o đLnh ngha © P- c‘ng 8! m%t song ánh /

Th4 dụ”

eong ánh ©” v → v †ác đLnh #i y — †M

v ∋ † → 1 y—†M ∈ v

DZ ánh †ạ ngược © P- ” v → v †ác đLnh #i †— M 3

v ∋ y → − - 1 †— M 3 ∈ v

eong ánh n!y tạo ra môt tư"ng 3ng -P- gi“a v ! v

/ *ợp >T(ch c,a ? ánh .7@

Dho M tƒp hợp $$ ! hai ánh †ạ © ! g

© ” → $ g ” → † ∈ – ©Š†‹ — y ∈ duy nh,t

y ∈ $ gŠy‹ — Ÿ ∈ duy nh,t

Jhư ƒy Ui mi † ∈ tạo ra duy nh,t Ÿ ∈ /Th<o đLnh ngha Kuy 8uƒt n!y 8! m%t ánh

†ạ/ Ta i2t g¬©Š†‹ — Ÿ ∋ † → Ÿ — g¬©Š†‹ ∈

ĐLnh ngha” @nh †ạ hợp Št4ch‹ của hai ánh †ạ © ! g t‡ tƒp tUi tƒp ŠKua trung gian ‹g+i 8! hợp của © ! g Šhay t4ch của © ! g‹/

4 hi(u” go©

Th4 dụ ”

go© ” →

R




Dho — — — v

† ∈ v → y — ©Š†‹ — †.∈ v

y ∈ v → Ÿ — gŠy‹ — yPS ∈ v

@nh †ạ hợp go© ”v → v †ác đLnh như sau”

† ∈ v → Šgo©‹Š†‹ — g¬©Š†‹ — †.PS ∈ v

Ch? @A -O Eợp của hai đ"n ánh 8! m%t đ"n ánh /

Eợp của hai to!n ánh 8! m%t to!n ánh/

Eợp của hai song ánh 8! m%t song ánh/

.O J2u © ” § → ¨ 8! m%t song ánh

hi đZ t\n tại © P-”¨ → § ! ta cZ ”

†∈ § → Š© P-o©‹Š†‹ — © P-¬©Š†‹ — © P-Šy‹ — †

y∈ ¨ → Š©o© P-‹Šy‹ — ©¬© P-Šy‹ — ©Š†‹ —y

DZ ngha 8! ©

P-

o© ! ©o©

P-

8! các ánh †ạ đ\ng nh,t trong § ! ¨4 hi(u” ?§—© P-o© – ?¨—©o© P-

/ Tập hAu h7n ; Tập đm đ8ợc ; Tập hông đm đ8ợc

Th4 dụ ”

£t các tƒp hợp”

— ̃ a$#$c$d™ cZ N ph7n t

B — ˜†-$†.$†M$†N™ cZ N ph7n t

— ˜-$.$M$;/$n™ cZ n ph7n t/

Jh“ng tƒp n!y cZ số h“u hạn các ph7n t

Jœ— ˜-$.$M$;/$n$;/™

— ˜†-$†.$†M$;//†n;;™

v — ˜số thực™

Jh“ng tƒp n!y cZ ô số các ph7n t/

/-/ DEc F8ợng c,a tập hợp

Ta nZi hai tƒp § ! ¨ cZ cŒng 8ực 8ượng n2u t\n tại m%t tư"ng 3ng -P- gi“a ch'ng/ Eayđi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 hai tƒp hợp § ! ¨ cŒng 8ực 8ượng 8! gi“a ch'ng t\n tại m%t song ánh/

Th4 dụ”

£t các tƒp $B cZ N phân t như đW đưa ra /

>i“a ! # cZ tư"ng 3ng -P-

a ↔ †-$ # ↔ †.$ c ↔ †M$ d ↔ †N

Ta nZi N 8! 8ực 8ượng của ! B/

/./ Tập hAu h7n ;Tập đm đ8ợc ; Tập hông đm đ8ợc

š Tƒp cZ n ph7n t ! các tƒp cŒng 8ực 8ượng Ui nZ g+i 8! tƒp h“u hạn

š Tƒp Jœ cZ ô số ph7n t ! các tƒp cŒng 8ượng Ui nZ g+i 8! các tƒp ô hạn đ2m được/

š Dác tƒp cZ cŒng 8ực 8ượng Ui các tƒp con của Jœ g+i 8! các tƒp đ2m được /

-Q




šTƒp v cZ ô số ph7n t ! các tƒp cŒng 8ực 8ượng Ui nZ g+i 8! tƒp ô hạn 1hông đ2mđược/

/20 H5M B

:0 Dhái niEm hàm số = Các đ*nh nghFG

-/ /nh ngh0a” Dho tƒp số thực $ ta s« g+i m%t ánh †ạ © t‡ tƒp !o tƒp số thực v 8! m%t h!msố /Tƒp được g+i 8! mi*n †ác đLnh ! tƒp ảnh y— ©Š‹ của ánh †ạ được g+i 8! tƒp giá trL củah!m số ©/

4 hi(u” † → 1 y– → 1 — ©Š‹

Eay y — ©Š†‹

† ” g+i 8! #i2n số đ%c 8ƒp/

y — ©Š†‹ g+i 8! giá trL của h!m số tại †

uốn cho m%t h!m số c7n phải ”− Dho mi*n †ác đLnh của h!m

− Dho ánh †ạ ©/

Th4 dụ”

a$ † → . cZ mi*n †ác đLnh v š ! © 8! ph£p 8,y c®n #ƒc ./

#$ † → .† š M cZ mi*n †ác đLnh 8! v ! ánh †ạ © 8! h!m số #ƒc nh,t/i*n giá trL 8! v

./ Các ph82ng pháp cho h4m :G

./-/ &h82ng pháp giải t(ch

X! cách cho dưUi dạng phư"ng tr=nh trong đZ m%t 2 8! y ho›c ©Š†‹ 8! giá trL của h!m tại †$

m%t 2 8! các #i6u th3c giải t4ch của †/ Thư:ng được áp dụng trong nghi)n c3u 84 thuy2t /Th4 dụ”

y — P.†. š S† š - h!m #ƒc hai

y — §Š†‹ h!m ph7n nguy)n của †

y—sign † —

<−=>

Q-

QQ

Q-

.

.

.

././ &h82ng pháp Fập bảng

_hư"ng pháp 8ƒp #ảng thư:ng được s dụng trong thực t2/ Ta 8ƒp m%t #ảng g\m . h!ng !nhi*u c%t/ Trong m%t h!ng ghi các giá trL của #i2n đ%c 8ƒp$ h!ng 1ia ghi các giá trL của h!m th<o #i2n đ%c 8ƒp đZ/ i m%t c%t 3ng Ui m%t giá trL của #i2n đ%c 8ƒp ! giá trL của h!m tại #i2n đZ/

Th4 dụ”

Đo tốc đ% giZ trong m%t ng!y Ui mốc th:i gian đo 8! đ7u mi gi: /Ta cZ #ảng”

tŠgi:‹ - . M ;;/ .M .N

ŠmOs‹ - . M ///////// .M .N

./M/ &h82ng pháp đ th/

--




Trong 1 thuƒt c‘ng như trong 8nh ực 1hoa h+c c" #ản cZ nhi*u đại 8ượng ch'ng ta c7n†ác đLnh thông Kua các công cụ đo/ ›c dŒ ta 1hông #i2t được Kuy 8uƒt ch4nh †ác của h!m nhưnggiá trL cụ th6 của h!m th<o #i2n đ%c 8ƒp ho!n to!n †ác đLnh được thông Kua đ\ thL/ Dh'ng ta ch’i(c 1¯ các đư:ng giZng th<o các trục t+a đ% đ6 †ác đLnh/

M/ &h#p toán trHn h4m :G

M/-/ TIngJ hi+uJ t(chJ th82ng c,a ? h4m :G

Dho h!m số ©Š†‹ †ác đLnh tr)n - ! gŠ†‹ †ác đLnh tr)n ./ >+i —- .

hi đZ t5ng$ hi(u$ t4ch$ thư"ng của ©Š†‹$ ! gŠ†‹ được cho #i các Kuy 8uƒt ©šg$ ©Pg$ ©/g$ g

1 †ác

đLnh tr)n tƒp !”

Š© š g‹Š†‹ — ©Š†‹ š gŠ†‹

Š© P g‹Š†‹ — ©Š†‹ P ©Š†‹

Š©/g‹Š†‹ — ©Š†‹/gŠ†‹

g

1 Š†‹ —

‹Š

‹Š

. g

. 1 Ui gŠ†‹ ≠ Q ∀ †∈

M/./ &h#p bằng nhau Eai h!m ©Š†‹ ! gŠ†‹ g+i 8! #0ng nhau tr)n tƒp n2u ©Š†‹—gŠ†‹ Ui ∀ †∈

4 hi(u” © — g

M/M/ &h#p FKn h2n >b# thua@

E!m ©Š†‹ g+i 8! 8Un h"n Š#£ thua‹ h!m gŠ†‹ tr)n n2u ©Š†‹ ° gŠ†‹ Š©Š†‹±gŠ†‹‹ Ui ∀ †∈

4 hi(u” © ° g Šhay ©± g‹

N/ th/ h4m :G

Ta giả thi2t r0ng cZ m%t song ánh 8! ánh †ạ đ\ng nh,t gi“a tƒp số thực v Ui các đi6m tr)nđư:ng th‰ng X/ Jhư ƒy ta †<m đư:ng th‰ng như m%t trục số thư:ng 14 hi(u 8! †/ Ta thư:ng †ây

dựng m%t song ánh t‡ tƒp t4ch Đ* các v † v !o m%t m›t ph‰ng _ #0ng cách « th)m trục số yuông gZc trục số † tại đi6m † — Q / Dác đ"n L ch+n tr)n . trục số n!y cZ th6 giống ho›c 1hácnhau Šthư:ng ch+n giống nhau‹/

Trục A† 8! trục ho!nh ! trục Ay 8! trục tung

-.




E/-Q

Đi6m A 8! gốc t+a đ% / ,u của các giá trL tr)n trục số được #i6u hi(n tr)n h=nh « / ›t ph‰ng _ Ui các trục t+a đ% như ‡a †ây dựng được g+i g+i 8! m›t ph‰ng t+a đ%/ %tđi6m được †ác đLnh #i . giá trL t+a đ% của nZ 8! ho!nh đ% ! tung đ% #0ng cách như sau/ T‡ 1¯ đư:ng th‰ng song song Ui Ay cVt A† tại giá trL † g+i 8! ho!nh đ% của / T‡ 1¯ đư:ngth‰ng song song Ui A† cVt Ay tại giá trL y g+i 8! tung đ% của / 4 hi(u 8! Š†$y‹/ Th<o Kuy 8uƒtcủa h!m số ta †ác đLnh đư"c tƒp hợp các đi6m của Š†$y‹ — Š†$©Š†‹‹ Ui † ∈ / Đư:ng cong nốicác đi6m Š†$y‹ g+i 8! đ\ thL của h!m số y — ©Š†‹ trong m›t ph‰ng t+a đ% A†y đW cho/

S/ Các t(nh chLt c,a h4m :G

S/-/ *4m :G đ2n di+u ; *4m :G hông đ2n đi+u

ĐLnh ngha” E!m số © g+i 8! đ"n đi(u t®ng Šho›c đ"n đi(u giảm‹ tr)n mi*n †ác đLnh n!o đZ

n2u mi giá trL †-$†.∈ t‡ †-±†. suy ra ©Š†-‹ ≤ ©Š†.‹ Šho›c ©Š†-‹ ≥ ©Š†.‹‹ Š-P.‹ J2u ch’ †ảy ra d,u #,t đ‰ng th3c ©Š†-‹ ± ©Š†.‹ Šho›c ©Š†-‹ ° ©Š†.‹‹ th= ta nZi r0ng h!m số t®ngnghi)m ng›t Šhay giảm nghi)m ng›t‹ tr)n /

E!m số ©Š†‹ được g+i 8! đ"n đi(u t‡ng 1h'c trong m%t mi*n n!o đZ n2u ta cZ th6 chia mi*nđZ th!nh m%t số h“u hạn các 1hoảng Šđoạn‹ sao cho h!m số đ"n đi(u trong mi 1hoảng Šđoạn‹đZ/

S/./ *4m :G b/ chMn $4 h4m :G hông b/ chMn

ĐLnh ngha” E!m số ©Š†‹ #L ch›n trong tƒp n2u t\n tại số ° Q sao cho”

‹Š . 1 ± Š-PM‹

J2u tƒp — ŠP ∞ $š ∞ ‹ th= ta nZi ©Š†‹ #L ch›n tr)n to!n trục số hay ©Š†‹ #L ch›n/ T‡ Š-PM‹ ta cZ ” P ≤ ©Š†‹ ≤ Š-PN‹

Jhư ƒy n2u « đ\ thL h!m số ©Š†‹ ta th,y đ\ thL đZ n0m gi“a giải được †ác đLnh #i haiđư:ng th‰ng y — ±

E!m số ©Š†‹ được g+i 8! h!m số #L ch›n tr)n Šhay #L ch›n dưUi ‹ trong n2u t\n tại m%t số tŒy [ sao cho”

©Š†‹ ≤ Š hay ©Š†‹ ≥ ‹ Š-PS‹

Ch? @A

-M




E!m số © cZ th6 1hông #L ch›n trong m%t 1hoảng n!o đZ$ nhưng #L ch›n tr)n Šho›c ch›ndưUi‹ trong 1hoảng đZ/

Th4 dụ”

E!m số ” y— .

- 1hông #L ch›n trong ŠQ$š ∞ ‹ nhưng #L ch›n dưUi #i A/

E!m số © cZ th6 #L ch›n trong m+i đoạn ¬α

$β

⊂

Ša$#‹ nhưng 1hông #L ch›n trong đoạnŠa$#‹/

S/M/ *4m :G chNn ; *4m :G FO

ĐLnh ngha”

Tƒp đối †3ng ” Tƒp được g+i 8! tƒp đối †3ng đối Ui gốc t+a đ% n2u †∈ th= &†∈ /

Th4 dụ” đoạn ¬Pa$a$ 1hoảng ŠP#$#‹$ ŠP ∞ $š ∞ ‹

E!m số ©Š†‹ †ác đLnh tr)n tƒp đối †3ng được g+i 8! h!m số chn n2u ∀ †∈ ta cZ”

©Š†‹ — ©ŠP†‹ Š-P‹

Đ\ thL của h!m số chn nhƒn trục Ay 8! trục đối †3ng/

E!m số ©Š†‹ †ác đLnh tr)n tƒp đối †3ng được g+i 8! h!m số 8¯ n2u ∀ †∈ ta cZ”

©Š†‹ — ©PŠ†‹ Š-P‹

Đ\ thL của h!m số 8¯ nhƒn gốc t+a đ% 8!m tâm đối †3ng/

Các ph#p toán”

ĐLnh 8[”

a‹ T5ng ho›c hi(u của hai h!m số chn Š ho›c 8¯ ‹ 8! m%t h!m số chn Šho›c 8¯‹

#‹ T4ch của hai h!m số chn ho›c 8¯ 8! h!m số chn/

c‹ T4ch của h!m số chn Ui h!m số 8¯ 8! h!m số 8¯/

S/ *4m :G tuPn ho4n

ĐLnh ngha”

E!m số ©Š†‹ được g+i 8! h!m số tu!n ho!n tr)n tƒp †ác đLnh của nZ n2u t\n tại số 8 ≠ Q saocho”

©Š 8š† ‹ — ©Š†‹ Ui †š8$ † ∈ Š-P|‹

eố dư"ng T #£ nh,t trong các số 8 thYa mWn Š-P|‹ g+i 8! chu 1= của h!m số tu7n ho!n ©Š†‹/

Ta cZ”

8 — 1/T$ 1 ∈ J

Th4 dụ”

-− ©Š†‹—˜†™ — †P¬† ph7n nguy)n của †

-N




E/--

Dhu 1= T—-/

.& Š†‹—

∉∈Q .

Q .

Q

-Šž 8! tƒp các số h“u t’‹

Ui r 8! số h“u t’ ta cZ ” †šr 8! số h“u t’ n2u † 8! số h“u t’

†šr 8! số ô t’ n2u † 8! số ô t’/

ƒy Šr š †‹ — Š†‹ n2u r 8! h“u t’ P Š†‹ tu7n ho!n Ui các số r h“u t’/

T‡ th4 dụ n!y ta cZ nhƒn †£t h!m số tu7n ho!n cZ th6 1hông cZ chu 1=/

/ *4m :G hợp

Dho h!m số † —ϕ Št‹ †ác đLnh tr)n tƒp T ! — ϕ ŠT‹

y — ©Š†‹ †ác đLnh tr)n tƒp ! — ©Š‹ J2u Ui t∈ T th<o cách n!o đZ ta †ác đLnh được y — ©Š†‹ thông Kua † — ϕ Št‹ th= h!m số 3ngth<o Kuy 8uƒt n!y s« †ác đLnh tr)n T ! cZ tƒp giá trL 8! / Ta g+i h!m số mUi n!y 8! h!m số hợpcủa các h!m © ! ϕ /

4 hi(u” ¨—©oϕ ! ¨Št‹ — ©oϕ Št‹ — ©¬ϕ Št‹ Š-PR‹

Th4 dụ”

† —ϕ Št‹ — tMPMtš-

y — ©Š†‹ —†.

¨ — ©oϕ —y ⇒ y — ŠtMPMtš-‹.

Ta cZ th6 m r%ng cách đLnh ngha tr)n cho hợp của nhi*u h!m số/ Dho y—©Š†‹$ u—ϕ

Š†‹$ †— gŠt‹Ta cZ” ¨—©oϕ og

/ *4m :G ng8ợc

Dho h!m số © 8! m%t song ánh t‡ tƒp !o tƒp / hi đZ 3ng Ui mi giá trL y∈ s« †ácđLnh duy nh,t †∈ $ ph£p tư"ng 3ng n!y †ác đLnh cho ta m%t h!m số$ được g+i 8! h!m số ngượccủa h!m số ©/ 4 hi(u” © P-

E!m số © P- cZ tƒp †ác đLnh 8! /

= Kuy ưUc #i2n của các h!m số 8! † n)n i2t 8! © P-Š†‹ nhưng hi6u ng7m †∈ /

-S




J2u #i6u di¢n đ\ thL của h!m số ©Š†‹ ! © P-Š†‹ tr)n cŒng m%t h( trục A†y th= đ\ thL củach'ng 8uôn đối †3ng Ui nhau Kua đư:ng phân giác của gZc ph7n t th3 nh,t /

Th4 dụ”

y — .†PM

! † —.

M+ 3

E/-.

E!m số ©Š†‹ ! h!m số ngược © P-Š†‹ cŒng t4nh đ"n đi(u$ t3c 8! cŒng t®ng nghi)m ng›t Šho›ccŒng giảm nghi)m ng›t‹/

::0 Các hàm số cơ ản -/ *4m :G FR3 thSa” y— α

. α ∈ v

P i*n †ác đLnh $ phụ thu%c α

J2u α ≥ Q $ α ∈ Jœ mi*n †ác đLnh 8! v

J2uα

±Q $α

∈ J mi*n †ác đLnh v¤˜Q™/ Đ\ thL 8uôn đi Kua Š-$-‹ ! ŠQ$Q‹ n2u 1°Q ! 1hông đi Kua ŠQ$Q‹ n2u α °Q

Ui” α — p

- $ p∈

J2u p∈ Jœ$ p chn/ i*n †ác đLnh 8! v š

p∈ Jœ$ p 8¯/ i*n †ác đLnh 8! v

p∈ mi*n †ác đLnh c‘ng phụ thu%c p chn hay 8¯

Ui α 8! m%t số ô t’ ta cZ Kuy ưUc/

-




J2u α °Q †£t ∀ † ≥ Q

J2u α ±Q †£t ∀ †°Q

E/-M

./ *4m :G mR” y—a† Ša°Q$ a ≠ -‹

P eố a g+i 8! c" số của h!m số m‘ /

P i*n †ác đLnh v & i*n g4a trL v š

P E!m t®ng nghi)m ng›t Ui a°- ! giảm nghi)m ng›t Ui Q±a±-

P Đ\ thL của h!m số m‘ y—a† 8uôn đi Kua đi6m ŠQ$-‹ ! 8uôn n0m ph4a tr)n trục A†/

M/ *4m :G Fogarit ” y— 8oga† a°Q$a ≠ -

P E!m số y— 8oga† 8! h!m số ngược của h!m số m‘ y—a†

P i*n †ác đLnh 8! vš ! mi*n giá trL 8! v/

P E!m số t®ng nghi)m ng›t Ui a°- giảm nghi)m ng›t Ui a±- /

P Đ\ thL h!m số 8uôn đi Kua đi6m Š-$Q‹ ! 8uôn n0m ph4a #)n phải của trục tung/

-




E/-N

Dác t4nh ch,t”8oga †/y — 8og a† š 8og ay

8og a 3

.

— 8og a† P 8og ay

8og a†1 — 1/ 8og a†

J— a a 8og

8og ac — 8og a #/ 8og #c

8og #c —b

c

a

a

8og

8og

N/ *4m :G F8ợng giác”

y — sin †– y — cos †– y — tg †$ y — cotg †

Đây 8! các h!m số †ác đLnh tr)n đư:ng tr¡n 8ượng giác /

E/-S

Tr)n h=nh «” U& —cos † – UQ —sin †

'T —tg † – BC — cotg †

P E!m y — sin† $y— cos † cZ mi*n †ác đLnh 8! v! mi*n giá trL 8! ¬P-$-/

-|




P E!m y — tg † cZ mi*n †ác đLnh 8! m+i giá trL † ≠ Š.1š-‹.

π $ 1 ∈ ! mi*n giá trL 8! v

P E!m y — cotg † cZ mi*n †ác đLnh 8! m+i giá tri † ≠ 1$π 1 ∈ ! mi*n giá trL 8! v/

P Tr)n h=nh « 8! đ\ thL của các h!m số y— sin † $ y— cos † $ y—tg † $y— cotg †

E/-

E/- P Dác h!m 8ượng giác đ*u 8! các h!m tu7n ho!n /

E!m số y — sin † $ y— cos † cZ chu 1= T—.π

E!m số y — tg † $ y— cotg † cZ chu 1= T—π

S/ Các h4m F8ợng giác ng8ợc”

£t các h!m số 8ượng giác trong mi*n †ác đLnh của nZ ! th<o t‡ng chu 1= ta th,y r0ng đZ8! các h!m t®ng ho›c giảm nghi)m ng›t trong m%t 1hoảng cụ th6 tư"ng 3ng/ hi đZ nZ s« t\n tạicác h!m số ngược ! được g+i 8! các h!m 8ượng giác ngược/

-R




Dụ th6”

a$ E!m số y — arcsin †

P i*n †ác đLnh 8! 1hoảng đZng ¬P-$- ! mi*n giá trL ¬P.

π $

.

π

P Đ\ thL của nZ đối †3ng Ui h!m số y—sin † Kua đư:ng phân giác của gZc ph7n tư th3 nh,t/

E/-|

#$ E!m số y — arccos †

P i*n †ác đLnh 8! 1hoảng đZng ¬P-$- á mi*n giá trL ¬Q$ π P X! m%t h!m số giảm nghi)m ng›t ! đ\ thL cZ h=nh dạng như E/-R

P = sin † — cosŠ.

π P†‹ n)n ta cZ ” arcsin † š arccos † —

.

π

E/-R

c$ E!m số y — arctg †

.Q




P i*n †ác đLnh 8! v ! mi*n giá trL ¬P.

π $

.

π

P X! m%t h!m số t®ng ! đ\ thL cZ h=nh dạng như E/.Q

E/.Q

d$ E!m số y — arccotg †

P i*n †ác đLnh 8! v ! mi*n giá trL ¬Q$ π

P X! m%t h!m số giảm ! đ\ thL cZ h=nh dạng như E/.-

E/.-

P = tg † — cotgŠ.

π P†‹ n)n ta cZ ” arctg † š arccotg † —

.

π

/ Các h4m :G :2 c)p”

ĐLnh ngha” E!m số s" c,p 8! h!m số được tạo th!nh #i m%t số h“u hạn các ph£p toán sốh+c Šc%ng$ tr‡$ nhân $ chia$ ;‹ các ph£p 8,y h!m số hợp đối Ui các h!m số s" c,p c" #ản /

.-




Th4 dụ”

y — sin N† š cos Š.† šN

π ‹ šM

y — MP† š †.šR

y — S M . P 8ogŠM†š‹ š -

y —.

.

-

sin-

. .

. . .

+−+++

Trong các h!m s" c,p $ ta đ›c #i(t ch' [ đ2n hai 8oại h!m số ” các đa th3c ! các h!m h“ut’$ = 1hi t4nh giá trL của các h!m n!y ngư:i ta ch’ c7n thực hi(n các ph£p toán số h+c đối Ui các #i2n/

/0 IJK B 5 :: H97 IJK B

:0 !*nh nghFG NOP số

ĐLnh ngha” Dho h!m số a †ác đLnh tr)n tƒp các số tự nhi)n J œ -$ .$ M$ N;//$ n ;/ Dác giátrL tư"ng 3ng của h!m số 8! aŠ-‹$ aŠ.‹$ aŠM‹$;/aŠn‹;/ Ta g+i tƒp các số aŠ-‹$ aŠ.‹$;/$aŠn‹$; i2tth<o th3 tự đW cho 8! m%t dWy số/ Šg+i tVt 8! dWy‹/

4 hi(u” a-$ a.$ aM$;;an; ho›c ãn™ Š-P-Q‹

an P Šn—-$.$M$;/‹ g+i 8! số hạng hay ph7n t của dWy /

1 P ch’ số của số hạng a1

hi cho dWy ngư:i ta cho số hạng t5ng Kuát an

Th4 dụ”

Dho dWy ãn™ — ˜-+n

n™ —

.

-$

M

.$

N

M$;//$

-+n

n $;

ãn™ — ñ.™ — -$N$R$;/$n.$;/

* phư"ng di(n h=nh h+c dWy số a-$ a.$ aM$;;an; 8! tƒp hợp các đi6m dạng Šn$an‹ trongm›t ph‰ng t+a đ% = ƒy ta cZ th6 †<m các đi*m dạng Šn$an‹ 8! m%t dWy số/

::0 !*nh nghFG giới hạn NOP số -/ /nh ngh0a” eố a được g+i 8! giUi hạn của dWy số ãn™ n2u Ui mi số ε °Q $ ∃ J —JŠ ε ‹ saocho ∀ n ° J ta đ*u cZ”

aan − ± ε Š-P--‹

4 hi(u” ∞→n8im an—a ho›c an → a 1hi n→ ∞ Š-P-.‹

Wy ãn™ cZ giUi hạn a h“u hạn g+i 8! m%t dWy h%i tụ/ J2u 1hông t\n tại giUi hạn th= dWyãn™ g+i 8! m%t dWy phân 1=/

Th4 dụ”

-/ Dh3ng minh” ãn™—˜-+n

n™ cZ giUi hạn 8! -/

..




Thƒt ƒy$ n2u ãn™ cZ giUi hạn 8! -$ th<o đLnh ngha Ui ε °Q

Ta cZ” -−na ± ε / J2u t=m được J — JŠ ε ‹ sao cho ∀ n°J ta cZ #,t đ‰ng th3c tr)n 8uôn

th²a mWn/

--

−+n

n —

n

-± ε ⇒ n°

ε

-

Dh+n J—

ε

- th= ta 8uôn cZ ” -−na ± ε hay

∞→n8im an — ∞→n

8imn

n -+—-/

./ Dh3ng minh” ãn™—ñ

n‹-Š- −+™ cZ giUi hạn #0ng Q/

Ta cZ”n

n‹-Š- −+±

n

n-- +—n

.± ε

Dh+n J—

ε . ƒy Ui n°J ta cZ

n

n‹-Š- −+ ± ε

Eay ∞→n8im ˜

n

n‹-Š- −+™ —Q

M/ Wy số ˜ŠP-‹n™8! phân 1=/

>iả s ngược 8ại dWy đW cho h%i tụ$ t3c 8! ∞→n8im ŠP-‹n — 8 ∈ v ! ch+n Q± ε ±-/ Th<o đLnh

ngha ∃ J — JŠ ε ‹ sao cho ∀ n° J ta cZ ” F n −− ‹-Š ± ε ± -

›t 1hác ta th,y t\n tại ô số các số n ≥ J sao cho F n +− ‹-Š °- Šn—.1‹/ Đi*u n!y mâu

thu³n Ui giả thi2t h%i tụ của dWy đW cho/ ƒy dWy đW cho phân 1=/

N/ Wy số ãn™ —ñ™ 8! phân 1=

>iả s ngược 8ại ãn™—ñ™ h%i tụ $ t3c ∞→n8im n—a

Dh+n ε — - 1hi đZ an − ±- Ui ∀ n°J

Ta cZ” nPa ± -⇒ n ± -ša/ Đi*u n!y mâu thu³n = a h“u hạn m! n → ∞ / ƒy dWyãn™—ñ™ phân 1=/

./ /nh F( ” J2u dWy số ãn™ cZ giUi hạn th= giUi hạn đZ 8! duy nh,t/

Dh3ng minh”

>iả s” ∞→n

8im an —a ! ∞→n

8im an—# $ a$#∈ v Ui ε °Q ∃ J-$ J. sao cho ”

∀ n ° J- aan − ± ε

n ° J. ban − ± ε

Đ›t J— ma† ŠJ-$J.‹ hi đZ ∀ n ≥ J cả hai #,t đ‰ng th3c tr)n đ*u th²a mWn/ Ta cZ”

ba − — buua nn −+− ≤ buua nn −+− ±. ε /

Th<o đLnh ngha ba − — Q t3c 8! a — # /

.M




ƒy giUi hạn của dWy 8! duy nh,t/

:::0 %&nh chQt giới hạn cRG NOP số Dác t4nh ch,t của giUi hạn dWy số được th6 hi(n Kua các đLnh 84/

ĐLnh 84 -” J2u các dWy ãn™ ! ˜#n™ h%i tụ th= các dWy”

ãnš#n™$ãnP#n™$ãn/#n™$ñ

n

ba ™ Šn2u #n ≠ Q ∀ n ! ∞→n

8im #n ≠ Q‹ c‘ng h%i tụ ! ta cZ ”

a$ ∞→n

8im Š anš#n‹ — ∞→n

8im anš ∞→n

8im #n Š-P-M‹

#$ ∞→n

8im Š anP#n‹ — ∞→n

8im an P ∞→n

8im #n Š-P-N‹

c$ ∞→n

8im Šan/#n‹— ∞→n

8im an/ ∞→n

8im #n Š-P-S‹

d$ ∞→n

8im Šn

n

b

a‹—

nn

nn

b

a

∞→

∞→

8im

8im Š-P-‹

Ch? @ Ui giả thi2t m%t trong hai dWy 8! h0ng $ ch‰ng hạn an— D ta cZ”∞→n

8im Šanš#n‹— ∞→n

8im ŠDš#n‹ — Dš ∞→n

8im #n Š-P-M‹ª

∞→n

8im Šan/#n‹— ∞→n

8im ŠD/#n‹—D/ ∞→n

8im #n Š-P-S‹ª

⇒ ∞→n

8im ŠPan‹— P ∞→n

8im an Š-P-‹

ĐLnh 84 .” J2u dWy ãn™ h%i tụ th= dWy ˜ na ™ c‘ng h%i tụ !

∞→n

8imna — n

na

∞→8im Š-P-|‹

ĐLnh 84 M” J2u các dWy ãn™$ ˜#n™ h%i tụ ! an ≤ #n ∀ n th=∞→n

8im an≤ ∞→n

8im #n Š-P-R‹

Đ›c #i(t n2u an≤ 1 ! #n

≥ h th= ∞→n

8im an≤ 1 – ∞→n

8im #n≥ h

Š-P-R‹ª

ĐLnh 84 N” J2u dWy ãn™ h%i tụ ! ∞→n

8im an — a ± # Šho›c a°#‹ th= ∃ J sao cho

an±# Šho›c an°#‹ ∀ n°J

ĐLnh 84 S” J2u các dWy ãn™$˜#n™ h%i tụ ! ∞→n

8im an— ∞→n

8im #n ! n2u an ≤ cn

≤ #n th= dWy ˜cn™

c‘ng h%i tụ ! h%i tụ * cŒng m%t giUi hạn /

∞→n8im an — ∞→n

8im #n — ∞→n8im #n

ĐLnh 84 ” J2u dWy ˜ na ™ h%i tụ ! ∞→n

8imna —Q th= dWy ãn™ c‘ng h%i tụ ! ∞→n

8im an — Q

/40 :: H97 H5M B

.N




:0 Các đ*nh nghFG -/ /nh ngh0a giKi h7n h4m :G t7i m9t điểm

£t h!m số © †ác đLnh tr)n tƒp ⊆ v$ †Q 8! m%t đi6m giUi hạn của /

ĐLnh ngha -” eố 8 được g+i 8! giUi hạn của h!m số © 1hi † d7n đ2n † Q$ n2u Ui mi ε °Q$ ∃δ —δ Š ε ‹°Q$ sao cho F . 1 −‹Š ± ε Ui m+i †∈ m! Q . . − ±δ /

4 hi(u”Q

8im . .→ ©Š†‹ — 8 Eay ©Š†‹ → 8 1hi †→ †Q Š-P.-‹

Th4 dụ”

-$-

8im→ .

ŠM†š-‹ — N

Thƒt ƒy N‹-MŠ −+ . — ‹-ŠM − . ± ε

Ta ch’ c7n ch+n δ —M

ε hi đZ Ui m+i †” -− . ± δ —

M

ε th= N‹-MŠ −+ . ± ε

.$M

8im→ .

M

R.

−−

.

.— $ † ≠ M

Ta cZ ” 1hi † → M$ † ≠ M

•M

R.

−−−

.

. — •‹MŠ −+ . — M− .

uốn ε <− F . 1 ‹Š ta ch’ c7n ch+n δ — ε hi đZ ”

Q± M− . ± ε — δ

./ ViKi h7n m9t ph(a

ĐLnh ngha . ” Ta g+i số 8 8! giUi hạn trái của h!m số © 1hi † → †Q Šngha 8! † → †Q nhưng

8uôn 8uôn †±†Q‹$ n2u Ui mi ε °Q$ ∃ δ Š ε ‹°Q sao cho” ε <− F . 1 ‹Š Ui Q . . − ± δ ∀

†∈

QQ

8im−→ . . — 8 — ©Š†QPQ‹ Š-P..‹

hi †Q —Q thay cho QPQ ta i2t PQ

Th4 dụ” £t h!m d,u”

eŠ†‹—eign † —

<−=>+

Q-

QQ///

Q-

.

.

.

v² r!ng Q8im

−→ . eŠ†‹— P-ĐLnh ngha M” Ta s« g+i số 8 8! giUi hạn phải của h!m số © 1hi † → †Q šQ Šngha 8! † → †Q

nhưng 8uôn 8uôn †°†Q ‹ n2u Ui mi ε °Q$ ∃ δ Š ε ‹°Q sao cho”

ε <− F . 1 ‹Š Ui Q . . − ± δ ∀ †∈

4 hi(u”QQ

8im+→ . . ©Š†‹ — 8 — ©Š†o š Q‹ Š-P.M‹

hi †Q —Q thay cho Q š Q ta i2t šQ

.S




M/ ViKi h7n W $ô tận $4 giKi h7n $ô tận

>iả s h!m số © †ác đLnh trong m%t tƒp số thực 1hông #L ch›n$ †Q 8! đi6m giUi hạn của /

ĐLnh ngha N” Ta g+i số 8 8! giUi hạn của h!m số © 1hi † → š∞ n2u Ui mi ε °Q t\n tạisố ° Q 8Un tŒy [ sao cho ”

ε <− F . 1 ‹Š Ui m+i † ∈ th²a mWn †°

4 hi(u” + ∞→ .8im ©Š†‹—8 hay ©Š†‹→

8 1hi † →

š ∞

Š-P.N‹

Th4 dụ” + ∞→ .8im

-

-. + .

—Q

Thƒt ƒy Ui ε °Q đ6 Q-

-.

−+ .

—-

-. + .

± ε th= †.š-°†.°ε

-

Đ›t —ε

- ta 8uôn cZ Q

-

-.

−+ .

± ε ∀ †°

ĐLnh ngha S” Ta g+i số 8 8! giUi hạn của h!m số © 1hi † → P ∞ n2u Ui mi ε °Q t\n tại số

° Q 8Un tŒy [ sao cho” ε <− F . 1 ‹Š Ui m+i † ∈ th²a mWn †±P

4 hi(u” − ∞→ .8im ©Š†‹ — 8 hay ©Š†‹ → 8 1hi † → P ∞ Š-P.S‹

ĐLnh ngha ” J2u Ui mi số dư"ng ∃ δ Š‹ sao cho ©Š†‹ ° Ui m+i † ∈ th²a mWn

Q . . − ± δ Š‹ th= †<m như Kuy ưUc ta nZi r0ng h!m số © cZ giUi hạn š ∞ 1hi † → †Q

4 hi(u”Q

8im . .→ ©Š†‹— š ∞ Š-P.‹

Th4 dụ ”-

8im→ . .

‹-Š

-

− .— š ∞

Ta cZ ” Š†P-‹.± '

- n2u Q± -− . ±

'

-— δ

ĐLnh ngha ” J2u Ui mi số dư"ng ∃ δ Š‹ sao cho ©Š†‹±P Ui m+i † ∈ thYa mWn

Q . . − ± δ Š‹ th= †<m như Kuy ưUc ta nZi r0ng h!m số © cZ giUi hạn P ∞ 1hi † → †Q

4 hi(u”Q

8im . .→ ©Š†‹ — P ∞ Š-P.‹

Ch? @” đây 1hi † → ± ∞ ta c‘ng cZ th6 i2t ”

+ ∞→ .

8im ©Š†‹— š ∞ $− ∞→ .

8im ©Š†‹ — š ∞

+ ∞→ .

8im ©Š†‹— P ∞ $ − ∞→ .8im ©Š†‹ — P ∞ Š-P.|‹

::0 %&nh chQt và #h># t"án cRG giới hạn hàm số -/ T(nh ch)t c,a giKi h7n h4m :G

Dho h!m số ©Š†‹ được †ác đLnh trong tƒp ⊆ v ! a 8! đi6m giUi hạn của / T4nh ch,t củagiUi hạn h!m số được th6 hi(n Kua các đLnh 84 sau”

.




ĐLnh 8[ -” J2ua .→

8im ©Š†‹—8 ! n2u ± 8 ± B th= t\n tại m%t 1hoảng ´ ch3a đi6m a sao cho∀ † ∈ ´∩ ! † ≠ a ta cZ” ± ©Š†‹ ± B

Đ›c #i(t n2u 8 ° Q Šho›c 8 ± Q ‹ th= t\n tại 1hoảng ´ sao cho ©Š†‹°Q Š ho›c ©Š†‹±Q ‹ Ui m+i † ≠

a ! † ∈ ´∩

ĐLnh 8[ .” J2ua .→

8im ©Š†‹ —8 ! n2u α ± ©Š†‹ ± β th= α ≤ 8 ≤ β

Đ›c #i(t n2u a .→

8im ©Š†‹ — 8 ! ©Š†‹ ° Q th= 8 ≥ Q

©Š†‹ ± Q th= 8 ≤ Q

ĐLnh 8[ M” J2u a .→

8im ©Š†‹ — 8 ! a .→

8im gŠ†‹ — 8ª ! 8 ° 8ª th= t\n tại m%t 1hoảng ´ ch3a đi6m a

sao cho ∀ † ∈ ´∩ ! † ≠ a ta cZ ©Š†‹ ° gŠ†‹

ĐLnh 84 N” Dho hai h!m số © ! g cŒng †ác đLnh tr)n tƒp ! ©Š†‹° gŠ†‹ ∀ † ∈ / J2u

a .→

8im ©Š†‹ — 8 ! a .→

8im gŠ†‹ — 8ª th= 8 ≥ 8ª

ĐLnh 8[ S” Dho M h!m số ©$g$h cŒng †ác đLnh tr)n tƒp ! gŠ†‹ ± ©Š†‹ ±hŠ†‹

J2ua .→

8im

gŠ†‹ —a .→

8im

hŠ†‹ — 8 th=a .→

8im

©Š†‹ —8ĐLnh 8[ ” J2u a .→

8im ©Š†‹ — 8 th= a .→

8im ‹Š . 1 — F Š-PMQ‹

./ Các ph#p toán

Dho các h!m ©Š†‹$gŠ†‹ cŒng †ác đLnh tr)n tƒp ⊆ v >iả thi2t r0ng các h!m số n!y cZ giUihạn h“u hạn tại ž 8! đi6m giUi hạn của / hi đZ ch'ng th²a mWn đLnh 84 sau”

ĐLnh 84 ”

-$ a .→

8im ¬©Š†‹šgŠ†‹ — a .→

8im ©Š†‹ š a .→

8im gŠ†‹ Š-PM-‹

.$ a .→

8im ¬©Š†‹PgŠ†‹ — a .→

8im ©Š†‹ P a .→

8im gŠ†‹ Š-PM.‹

M$ a .→

8im ¬©Š†‹/gŠ†‹ — a .→

8im ©Š†‹ / a .→

8im gŠ†‹ Š-PMM‹

N$ a .→

8im ¬‹Š

‹Š

. g

. 1 —

‹Š8im

‹Š8im

. g

. 1

a .

a .

→

→ n2u a .→

8im gŠ†‹ ≠ Q Š-PMN‹

Jhƒn †£t” ĐLnh 84 tr)n ³n đ'ng cho trư:ng hợp 1hi các h!m số ©Š†‹$ gŠ†‹ cZ giUi hạn #0ng ôcŒng/

M/ !ô cXng b# ;!ô cXng FKn ; 5o :ánh các $ô cXng b#

M/-/ Yhái ni+m $ô cXng b# ; !ô cXng FKn

ĐLnh ngha |” E!m số ©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ được g+i 8! m%t đại 8ượng ô cŒng #£ trong Kuá tr=nh † → α Š α ∈ ¬a$#‹ n2u

α → .8im ©Š†‹—Q

Š-PMS‹

Jhƒn †£t ” ĐLnh ngha n!y c‘ng đ'ng cho Kuá tr=nh † → ± ∞ áp dụng cho các 1hoảng Ša$š ∞

‹ hay ŠP ∞ $a‹

.




ĐLnh ngha R” E!m số ©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ được g+i 8! đại 8ượng ô cŒng 8Un1hi † → α Š α ∈ ¬a$#‹ n2u Ui mi số °Q 8Un tŒy [ cho trưUc $ ∃ δ °Q sao cho Ui m+i †

∈ Ša$#‹ thYa mWn α − . ± δ ta đ*u cZ ”

‹Š . 1 ≥ Š-PM‹

Jhƒn †£t ”

š J2uα → .

8im ©Š†‹ —š ∞ hay α → .

8im ©Š†‹ — P ∞ th= ©Š†‹ 8! đại 8ượng ô cŒng 8Un 1hi † → α

š ĐLnh ngha tr)n c‘ng đ'ng 1hi † → ± ∞

M/./ T(nh ch)t $4 ph#p toán

T4nh ch,t ! ph£p toán đối Ui các đại 8ượng ô cŒng 8Un ! đại 8ượng ô cŒng #£ được phát #i6u #0ng các m(nh đ* như sau”

-/ T5ng của hai đại 8ượng ô cŒng #£ 8! m%t ô cŒng #£ Š†£t trong cŒng m%t Kuá tr=nh‹

./ T4ch của m%t đại 8ượng ô cŒng #£ Ui m%t đại 8ượng #L ch›n 8! m%t ô cŒng #£/

M/ Đi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 α → .

8im ©Š†‹— 8! 8uôn i2t ©Š†‹— š α Š†‹ trong đZ α Š†‹ 8! ô

cŒng #£ 1hi † →

a N/ T4ch của hai đại 8ượng ô cŒng 8Un 8! m%t ô cŒng 8Un

S/ T5ng của m%t ô cŒng 8Un Ui m%t đại 8ượng #L ch›n 8! m%t ô cŒng 8Un/

/ JghLch đảo của m%t ô cŒng #£ α Š†‹ Š α Š†‹ ≠ Q‹8! m%t ô cŒng 8Un ! ngược 8ạinghLch đảo m%t ô cŒng 8Un ! 8! m%t ô cŒng #£ /

Jhƒn †£t ”

T‡ m(nh đ* ta cZ th6 nghi)n c3u m%t trong hai đại 8ượng ô cŒng 8Un ho›c ô cŒng #£$ t‡đZ suy ra cho đại 8ượng 1ia #0ng cách 8,y nghLch đảo đại 8ượng nghi)n c3u /

M/M/ &hLn Fo7i các $ô cXng b#

Dh'ng ta †£t các ô cŒng #£ α $ β $ γ $; trong cŒng m%t Kuá tr=nh 1hi † → a Šho›c † →

± ∞

‹ĐLnh ngha -Q”

-/ J2uβ

α 8! m%t ô cŒng #£ Šho›c ngược 8ại n2u

α

β 8! m%t ô cŒng 8Un‹ th= ta nZi β 8!

m%t ô cŒng #£ #ƒc cao h"n so Ui ô cŒng #£ α Šhay α 8! ô cŒng #£ #ƒc th,p h"n so Uiβ ‹

4 hi(u ” β — oŠ α ‹ Šđ+c 8! ô nhY của α ‹

./ J2uα

β Šhay

β

α ‹ cZ giUi hạn 1hác Q $ t3c 8! α → .

8im

α

β— ≠ Q th= ta nZi α $ β 8! hai đại

8ượng ô cŒng #£ cŒng #ƒc4 hi(u” β — AŠ α ‹ hay α — AŠ β ‹ Šđ+c 8! ô 8Un ‹

M/ J2u đ®c #i(t α → .

8im

β

α—- th= ta nZi α ! β 8! hai ô cŒng #£ tư"ng đu"ng/ 4 hi(u α ≈

β hay β ≈ α Š-PM‹

.|




Ch? @A Dh'ng ta cZ th6 s dụng đLnh ngha ô cŒng #£ tư"ng đư"ng đ6 1h dạng ô đLnhQ

Q 1hi

t=m giUi hạn thư"ng của hai ô cŒng #£α

β

Thƒt ƒy n2u α ≈ α $ β ≈ β

hi đZα

β —β β /

α β /

α α = α → .

8im

β β — - ! α → .

8im

α α — -

J)n α → .

8im

α

β — α → .

8im

α

β Š-PM|‹

Th4 dụ” Bi2t r0ng .+- P- ≈ .

-† ! sin .† ≈ .† 1hi † → Q

J)nQ

8im→ .

.

.

.sin

-- −+ —

Q8im

→ .

.

.

.

.

-

—N

-

Đ6 so sánh các ô cŒng #£ c‘ng như phân 8oại ch'ng$ ta ch+n m%t trong các ô cŒng #£ 8!mchuµn ! g+i 8! ô cŒng #£ c" #ản/ hi đZ ta cZ th6 #i6u di¢n các ô cŒng #£ c¡n 8ại Kua ô cŒng #£ c" #ản /

>iả s α 8! ô cŒng #£ c" #ản thi các ô cŒng #£ 1hác cZ dạng c α 1 $ c ∈ v$ 1 ∈ v š/

ĐLnh ngha --” J2u ô cŒng #£ β cŒng #ƒc Ui c α 1 t3c 8!

α → .

8im

α

β — c ≠ Q Š-PMR‹

Th= ta nZi β 8! ô cŒng #£ #ƒc 1 so Ui α ! c α 1 8! ph7n ch4nh của ô cŒng #£ β /

Th4 dụ ”α —† $ β — - & cos† 1hi † → Q

Dho α 8! ô cŒng #£ c" #ản

hi đZQ

8im→ . .

cos-

.

.− —

Q8im

→ ..

.

‹.

/ŠN

.sin/.

.

.

—.

-

J)n ph7n ch4nh của β Š†‹ — -P cos † 8!.

-†.

/+0 BS L:T7 %ỤC CUV H5M B

:0 Các đ*nh nghFGĐLnh ngha -.” Dho h!m số y—©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ ! đi6m † Q ∈ Ša$#‹/ E!m số

đZ được g+i 8! m%t h!m số 8i)n tục tại đi6m †Q n2u”

.R




Q

8im . .→ ©Š†‹ — ©Š†Q‹ Š-PNQ‹

4 hi(u” ∆ y — ©Š†‹ P ©Š†Q‹ số gia h!m số

∆ † — † P †Q số gia đối số

J2u ©Š†‹ 8i)n tục tại †Q th= ”

Q

8im→∆ .

∆ y — Q hayQ

8im . .→

∆ y — Q

Š-PN-‹

Th4 dụ” £t t4nh 8i)n tục của h!m số tại †Q — Q

©Š†‹—

=

≠

QQ

Q-

sin/

.

. .

.

= sin .

- #L ch›n #i - n)n

Q8im

→ . †/sin .

- — Q — ©ŠQ‹/ ƒy ©Š†‹ 8i)n tục tại đi6m †Q — Q/

ĐLnh ngha -M” Dho h!m số ©Š†‹ †ác đLnh tr)n đoạn ¬a$#/ E!m số ©Š†‹ được g+i 8! 8i)n tụctrái tại đi6m # Šhay 8i)n tục phải tại đi6m a‹ n2u”

Q8im

−→ b .©Š†‹ — ©Š#PQ‹ — ©Š#‹ Š-PN.‹

Q8im

+→ α .©Š†‹ — ©ŠašQ‹ — ©Ša‹ Š-PNM‹

E!m số 8i)n tục trái hay phải tại đi6m †Q được g+i 8! h!m số 8i)n tục m%t ph4a tại đi6m đZ/

Th4 dụ” £t t4nh 8i)n tục m%t ph4a của h!m”

©Š†‹—

<≥

+ -

-

-M

.

.

.

.

.tại †Q—-

Ta cZQ-

8im+→ .

©Š†‹ —Q-

8im+→ .

†. — - — ©Š-‹ n)n h!m số 8i)n tục phải tại †Q — -

Q-8im

−→ .©Š†‹ —

Q-8im

−→ .M†š- — N ≠ ©Š-‹ n)n h!m số 1hông 8i)n tục trái tại †Q—-

ĐLnh 8[ |” Đi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tại đi6m † Q 8! nZ phải 8i)n tục phải !8i)n tục trái tại đi6m đZ/

ĐLnh ngha -N” E!m số ©Š†‹ được g+i 8! 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# n2u nZ 8i)n tục trong1hoảng Ša$#‹ 8i)n tục trái tại đi¯m # ! 8i)n tục phải tại đi6m a/

ĐLnh ngha -S” Dho h!m số ©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹/ E!m số n!y được g+i 8! h!mgián đoạn tại đi6m †Q ∈ ¬a$# n2u nZ 1hông 8i)n tục Šhay nZ 1hông 8i)n tục m%t ph4a‹ tại đi6mđZ/

Jgư:i ta chia gián đoạn cuả h!m số th!nh hai 8oại”

a$ >ián đoạn 8oại ?” 8! gián đoạn tại đi6m †Q nhưng t\n tại ©Š†QšQ‹ ! ©Š†QPQ‹/Đ›c #i(t n2u ©Š†QšQ‹ — ©Š†QPQ‹ ≠ ©Š†Q‹ th= h!m ©Š†‹ được g+i 8! gián đoạn 1h được tại đi6m †Q/

#$ >ián đoạn 8oại ?? ” 8! các gián đoạn c¡n 8ại của ©Š†‹ 1hông thu%c gián đoạn 8oại ?/

Th4 dụ” -/ Dho h!m ©Š†‹—

=≠

Q

Q

Q

sin

.

. .

.

MQ




Ta cZ”Q

8im+→ . .

.sin —

Q-8im

−→ . .

.sin — - ≠ Q — ©ŠQ‹

ƒy h!m số gián đoạn 8oại ? 1h được/ J2u thay ©ŠQ‹ — - th= h!m tr th!nh 8i)n tục tại † — Q/

./ Dho h!m d,u sign † —

<

=>

− Q

Q

Q

-

Q

-

.

.

.

Ta cZ”Q†

8im+→ ©Š†‹—- ≠ ©ŠQ‹

Q

8im−→ . ©Š†‹—P- ≠ ©ŠQ‹

E!m số gián đoạn 8oại ? tại †Q—Q

M/ Dho h!m ©Š†‹—

=≠

Q

Q

Q

-.

.

. .

Ta cZ Q

8im→ . .

-

. — š∞ ≠

Q — ©ŠQ‹ƒy h!m số gián đoạn 8oại ?? tại †Q—Q

::0 Các #h># t"án và t&nh chQt cRG hàm WiXn tYc -/ &h#p toán

Dác ph£p toán của h!m số 8i)n tục tại m%t đi6m †Q được th6 hi(n thông Kua các đLnh 84 sau”

ĐLnh 8[ R” T5ng hi(u$ t4ch$ thư"ng Šh!m m³u số 1hác 1hông tai †Q‹ 8! nh“ng h!m số 8i)n tụctại †Q/

ĐLnh 8[ -Q” J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tại đi6m † Q ! h!m số gŠy‹ 8i)n tục tại yQ—©Š†Q‹ th= h!m

số hợp gQ© 8i)n tục tại †Q/./ T(nh ch)t

ĐLnh 8[ --” J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tại đi6m a ! ©Ša‹ °Q Šhay ©Ša‹±Q‹ th= t\n tại m%t 8âncƒn của đi6m a$ sao cho Ui m+i † thu%c 8ân cƒn đZ th= ©Š†‹°Q Šhay ©Š†‹±Q‹

ĐLnh 8[ -.” ŠĐLnh 8[ ¶ay<strat th3 nh,t‹

J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# th= nZ #L ch›n tr)n đoạn đZ /

ĐLnh 8[ -M” ŠĐLnh 8[ ¶ay<strat th3 hai‹

J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# th= nZ đạt giá trL 8Un nh,t ! #£ nh,t tr)n đoạn đZ/

:::0 Các đ*nh W@ vZ hàm WiXn tYcĐLnh 8[ -N” ŠĐLnh 8[ Bôn†ano & cosi th3 nh,t‹

J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# ! n2u ©Š#‹/©Ša‹±Q th= cZ 4t nh,t m%t đi6m c∈ ¬a$#sao cho ©Šc‹—Q/

Dh3ng minh”

= ©Ša‹/©Š#‹±Q n)n ©Ša‹ trái d,u ©Š#‹ ta giả thi2t ©Ša‹°Q ! ©Š#‹±Q/

M-




BưUc - ” Dhia đoạn ¬a$# th!nh . ph7n #0ng nhau #i đi6m chia.

ba +/

J2u ©Š.

ba +‹ — Q th= c —

.

ba + ! đLnh 8[ được ch3ng minh/

J2u ©Š.

ba +‹ ≠ Q t3c ©Š

.

ba +

‹ ± Q ho›c ©Š.

ba +

‹ ° Q

Ta ch+n đoạn ¬a-$#- sao cho tr)n đoạn n!y ©Ša-‹/©Š#-‹ ± Q Ui a-$#- 8! đi6m Š.

ba +

‹ ! m%t

trong . đi6m a ho›c #/

BưUc .” @p dụng cách 8!m như #ưUc - đối Ui đoạn ¬a-$#- n2u ©Š.

-- ba +‹—Q ta †ác đLnh

được c ! đLnh 8[ được ch3ng minh /

J2u ©Š.

-- ba +‹ ≠ Q ta thực hi(n ch+n đoạn ¬a.$#. đ6 ©Ša.‹/©Š#.‹±Q

B0ng cách ti2n h!nh như ƒy ta 8ƒp được dWy con đoạn ¬an$#n Ui ©Šan‹/©Š#n‹±Q

= ∞→n8im Š#n−an ‹— Q n)n ∞→n

8im an — ∞→n8im #n — c$ c ∈ ¬a$#

Ta 8uôn cZQ

8im+→ C .

©Š†‹ 1hác d,uQ

8im−→ C .

©Š†‹ nhưng = ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$# n)n 8i)n tục tại c/

ƒy ©Šc‹—Q/ ĐLnh 8[ được ch3ng minh/

ĐLnh 84 -S” ŠĐLnh 8[ Bôn†anô & cosi th3 hai‹

J2u h!m số ©Šc‹ 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# ! ©Ša‹— $ ©Š#‹—B th= h!m số đZ s« nhƒn m+i giá trLtrung gian gi“a ! B/

E( Kuả” J2u h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n đoạn ¬a$# th= nZ nhƒn m+i giá trL trung gian gi“a giá trL nhYnh,t m ! giá trL 8Un nh,t của nZ tr)n đoạn đZ/

Ch? @A J2u ch’ giả thi2t h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n 1hoảng Ša$#‹ th= các đLnh 8[ t‡ -M đ2n -S s«1hông c¡n đ'ng n“a/

Th4 dụ” E!m số ©Š†‹— .

- 8i)n tục trong 1hoảng ŠQ$-‹ nhưng 1hông #L ch›n tr)n 1hoảng đZ/

ĐLnh 8[ -” i h!m s" c,p đ"n giản 8i)n tục tại m+i đi6m thu%c mi*n †ác đLnh của nZ/

M.




Chương 2

Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân

/10 !9[ H5M

:0 HGi ài t"án N\n đ]n đạ" hàm-/B!i toán th3 nh,t ” ƒn tốc t3c th:i của chuy6n đ%ng th‰ng

£t ch,t đi6m chuy6n đ%ng th‰ng th<o Kuy 8uƒt cho #i #i6u th3c”

e — eŠt‹ Š.P-‹ e P KuWng đư:ng đi được của ch,t đi6m trong KuWng th:i gian t

t P th:i gian

Ta c7n †ác đLnh ƒn tốc của ch,t đi6m

a‹J2u ch,t đi6m chuy6n đ%ng đ*u th=”

-.

-.

tt

‹tŠe‹tŠe

−−

= Š.P.‹

#‹J2u ch,t đi6m chuy6n đ%ng 1hông đ*u th= công th3c Š.P.‹ ch’ cho ch'ng ta ƒn tốc trung #=nh của ch,t đi6m trong 1hoảng th:i gian t$t¬ .- / ƒy muốn #i6u thL ƒn tốc của ch,t đi6m tại

th:i đi6m t ta c7n”-PĐLnh ngha ƒn tốc t3c th:i tại th:i đi6m t của chuy6n đ%ng th‰ng

.PT4nh ƒn tốc t3c th:i đZ

Ta nhƒn th,y r0ng n2u 1hoảng th:i gian t − to c!ng #£ th=”

o

o

ttt

‹tŠe‹tŠe

−−

= Š.PM‹

Dho ta #i6u th3c c!ng ch4nh †ác * ƒn tốc tại đi6m to/ o đZ ƒn tốc t3c th:i của chuy6nđ%ng th‰ng e — eŠt‹ tại th:i đi6m to được †<m 8! giUi hạn

QQt

o

o

tt

tt

‹tŠe‹tŠe8im =

−

−

→ Š.PN‹

4 hi(u” ∆© — eŠt‹ P eŠto‹ — ∆e

∆t — t & to

Dông th3c Š.PN‹ được i2t 8ại”

t

s8im

Qt ∆∆

→∆ Š.PS‹

./B!i toán th3 hai ” T’ 1hối đLa phư"ng của thanh 1hông đ\ng ch,t

MM




£t thanh th‰ng B cZ thi2t di(n 1hông đ5i/ T’ 1hối trung #=nh của thanh 8! t’ số d gi“a 1hối8ượng ! chi*u d!i của thanh/

a‹J2u thanh đ\ng ch,t th= d 8! h0ng số/

#‹J2u thanh 1hông đ\ng ch,t th= d 8! m%t h!m số th<o t+a đ% của trục thanh/ Jhư ƒy đ6 †ácđLnh được t’ 1hối đLa phư"ng ch'ng ta c7n”

-PĐLnh ngha t’ 1hối đLa phư"ng th<o t+a đ% trục thanh

.Pác đLnh giá trL của t’ 1hối đZ Dụ th6” ch+n trục thanh 8! trục t+a đ% ††ª/ X,y m%t đ7u m't Šch‰ng hạn m't ‹ 8!m gốc A/hi đZ chi*u d!i B — 8 8! dư"ng/ <m các đi6m của thanh tr)n m%t thi2t di(n 8! giống nhauŠthực t2 cZ sự sai 1hác‹$ 1hi đZ mi đi6m tr)n thanh s« ho!n to!n †ác đLnh #i ho!nh đ% của đi6mđZ/ >+i m 8! 1hối 8ượng của đoạn thanh A Š A — †‹ th= m — mŠ†‹ — ©Š†‹/

£t t’ 1hối trung #=nh của m%t m³u thanh d!i Š† & †o‹ †ác đLnh #i”

o

o

††

‹†Š© ‹†Š©

−−

Š.P‹

J2u chi*u d!i m³u c!ng #£ th= Š.P‹ cho ta đ% ch4nh †ác c!ng cao của sự phân #ố ƒt ch,t

†ung Kuanh đi6m †o/ Ta cZ đLnh ngha”

Ta †<m giUi hạno

o

Q† ††

‹†Š© ‹†Š© 8im

−−

→ 8! t’ 1hối đLa phư"ng của thanh th‰ng ti2t di(n đ*u B

tại đi6m †o/ Š.P‹

4 hi(u ∆© — ©Š†‹ & ©Š†o‹

∆† — †P †o

Dông th3c Š.P‹ được i2t 8ại”

†

© 8im

†

© 8im

Q††Q† ∆∆

=∆∆

→→∆ Š.P|‹

M/2t 8uƒn ” Đ6 †ác đLnh ƒn tốc t3c th:i t của chuy6n đ%ng th‰ng đ*u hay t’ 1hối đLa phư"ngcủa thanh đ\ng ti2t di(n đ*u$ ta đ*u d³n đ2n #!i toán t=m giUi hạn của t’ số gi“a số gia của h!m số! số gia đối số 1hi số gia đối số ti2n đ2n 1hông

T‡ hai #!i toán tr)n ta d³n đ2n 1hái ni(m đạo h!m của h!m số/

::0 !*nh nghFG đạ" hàm cRG hàm m^t i]n số >iả s y — ©Š†‹ 8! h!m số †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ ! †o∈Ša$#‹ tŒy [/ Ui số gia ∆† saocho †o š ∆† ∈ Ša$#‹ ta 8ƒp t’ số

†

‹†Š© ‹††Š©

†

© oo

∆

−∆+=

∆

∆ Š.PR‹

J2u t\n tại giUi hạn h“u hạn †

© 8im

Q†=

∆∆

→∆ th= số được g+i 8! đạo h!m của h!m số ©Š†‹ tại

đi6m † — †o/

4 hi(u ©ªŠ†o‹ — —†

© 8im

†

‹†Š© ‹††Š© 8im

Q†

oo

Q† ∆∆

=∆

−∆+→∆→∆

Š.P-Q‹

v² r!ng 1hi †o thay đ5i$ giá trL của ©ªŠ†o‹ c‘ng thay đ5i t3c đạo h!m ©ª của h!m số ©Š†‹ c‘ng8! m%t h!m số/

MN




Trong m›t ph‰ng t+a đ% A†y cho đư:ngcong ŠD‹/

X,y đi6m cố đLnh ∈ŠD‹$ Š†$y‹ ! đi6m- chạy tr)n ŠD‹/

ựng cát tuy2n -/ hi - chạy tr)nŠD‹ - s« Kuay †ung Kuanh đi6m /

L tr4 giUi hạn của cát tuy2n - 1hi -

ti2n đ2n d+c th<o ŠD‹ 8! ti2p tuy2n của đư:ng

cong ŠD‹ tại / 4 hi(u T

>+i ©ªP đạo h!m của h!m số ©

©ªŠ†o‹ P giá trL đạo h!m của h!m số © tại đi6m †o

4 hi(u ©ªŠ†o‹ — ¬©Š†‹ª·†—†o — ©ªŠ†‹·†o Š.P--‹

:::0 _ nghFG h`nh hac cRG đạ" hàm-/ĐLnh ngha ti2p tuy2n của đư:ng cong ŠD‹

E/..

./¸ ngha h=nh h+c của đạo h!m

>iả s đư:ng cong ŠD‹ 8! đ\ thL của h!m số y — ©Š†‹/ >iả thi2t h!m số ©Š†‹ cZ đạo h!m tạiđi6m †/

- cZ t+a đ% 8! Š† š ∆†$ ©Š† š ∆†‹‹/

ϕ P gZc gi“a cát tuy2n - Ui chi*u dư"ng A†/

α P gZc gi“a ti2p tuy2n T Ui chi*u dư"ng A†/

Th<o đLnh ngha ti2p tuy2n ta cZ”

ϕ=α→ -

8im hay ϕ=α→

tg8imtg-

Ta cZ†

©

†‹††Š

‹†Š© ‹††Š©

E

Etg -

∆∆

=−∆+

−∆+==ϕ Š.P-.‹

Eay†

© 8im

†

© 8imtg

-- ∆∆

=∆∆

=α→→

Š.P-M‹

Th<o đLnh ngha 2 phải của Š.P-M‹ ch4nh 8! đạo h!m ©ªŠ†‹/ 2 trái của Š.P-M‹ 8! h( số gZccủa ti2p tuy2n T của đư:ng cong ŠD‹ tại /

ƒy đạo h!m của h!m số ©Š†‹ tại † cZ giá trL #0ng h( số gZc của ti2p tuy2n của đư:ng cong y

— ©Š†‹ tại đi6m đZ/ Đây ch4nh 8! [ ngha h=nh h+c của đạo h!m/

:0 Các buP tc cơ ản đd t&nh đạ" hàm Ta cZ th6 thực hi(n 8,y đạo h!m của m%t 8Up 1há r%ng các h!m số #0ng cách 12t hợp i(cthi2t 8ƒp các Kuy tVc c" #ản 8,y đạo h!m t5ng Kuát Ui i(c t=m đạo h!m của các số ri)ng #i(t/

MS

ª

† †š∆†

©Š†‹

©Š†‹š∆†

-




ĐLnh 8[ -” Dho h!m số © ! g †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ ! cZ đạo h!m tại đi6m †o∈Ša$#‹$

1hi đZ © ± g$ 1© ŠUi 1 8! số thực #,t 1=‹ ©/g !‹†Šg

‹†Š© ŠgŠ†‹ ≠ Q Ui ∀† ∈ Ša$#‹‹ c‘ng cZ đạo h!m tại

đi6m †o ! ta cZ”

-PŠ© ± g‹ªŠ†o‹ — ©ªŠ†o‹ ± gªŠ†o‹ Š.P-N‹

.PŠ1/©‹ªŠ†o‹ — 1/©ªŠ†

o‹ Š.P-S‹

MPŠ©/g‹ªŠ†o‹ — ©ªŠ†o‹/gŠ†o‹ š ©Š†o‹/gªŠ†o‹ Š.P-‹

NP‹†Šg

‹†Š¹g‹/†Š© ‹†Šg‹/†Š¹© ‹Š†‹¹

g

© Š

o

.

oooo

o

−= Š.P-‹

Dh3mg minh”

-PTa cZ”h

‹†‹Šg© Š‹h†‹Šg© Š oo ±−+± [ ]h

‹†Šg‹†Š© ‹h†Šg‹h†Š© oooo ±−+±+=

[ ] [ ]

h

‹†Šg‹h†Šg‹†Š© ‹h†Š© oooo −+±−+=

[ ]

h

‹†Šg‹h†Šg

h

‹†Š© ‹h†Š© oooo −+±

−+=

Dhuy6n Kua giUi hạn ta nhƒn được 12t Kuả Š.P-N‹Th4 dụ”

-/T4nh đạo h!m của h!m số h0ng y — c

∆y ≡ Q ∀†→ yªŠ†‹ ≡ Q

./T4nh đạo h!m của h!m đ\ng nh,t y — †

o ∆y — ∆† n)n -†

y=

∆∆

⇒ Š†‹ª—-

M/T4nh đạo h!m của h!m 8‘y th‡a y—†n$ n ∈ Jš

Dho số gia ∆†/ hi đZ”

∆y — Š† š ∆†‹n P †n — n†nP-∆† š

º.‹.nŠn − †nP.∆†. š /// š ∆†n

†

y

∆∆

— n†nP- šº.

‹.nŠn −†nP.∆† š /// š ∆†nP-

Dhuy6n Kua giUi hạn 1hi ∆†→ Q ta nhƒn được

Š†n‹ª — n/†nP-

N/ĐLnh ngha các đạo h!m m%t ph4a

»>iả s h!m số ©Š†‹ †ác đLnh Ui m+i †o≤ † ≤ #

J2u t\n tạih

‹†Š© ‹h†Š© 8im oo

Qh

−++→

th= ta nZi r0ng h!m số © cZ đạo h!m #)n phải tại đi6m

†o/

4 hi(u ©ªŠš†o‹ hay ©ªŠ†ošQ‹

»>iả s h!m số ©Š†‹ †ác đLnh Ui m+i a ≤ † ≤ †o

J2u t\n tạih

‹†Š© ‹h†Š© 8im oo

Qh

−+−→

th= ta nZi r0ng © cZ đạo h!m #)n trái tại đi6m †o/

4 hi(u ©ªŠ−†o‹ hay ©ªŠ†o−Q‹

M




»E!m số ©Š†‹ n2u cZ đạo h!m tại đi6m † o th= nZ cZ các đạo h!m #)n trái ! đạo h!m #)n phải tại đi6m †o/ Đi*u 1h‰ng đLnh ngược 8ại 8! 1hông h‰n đ'ng/

Th4 dụ” h!m số y — ·†· cZ đạo h!m trái tại Š†ª‹ŠPo‹ — −- ! Š†ª‹Ššo‹ — -/ JZ 1hông cZ đạo h!m tại †o

— Q/

»Dác đạo h!m #)n trái ! #)n phải đi6m †o$ g+i chung 8! các đạo h!m m%t ph4a/

.PTa cZ ‹†Š© /1 h

‹†Š© ‹h†Š© /1

h

‹†Š1© ‹h†Š1© o

¹Qh

oooo→→

−+=

−+

MPTa cZh

‹†Šg‹/†Š© ‹h†Šg‹/h†Š©

h

‹†‹Šg/© Š‹h†‹Šg/© Š oooooo −++=

−+

h

‹†Šg‹/†Š© ‹h†Šg‹/†Š© ‹h†Šg‹/†Š© ‹h†Šg‹/h†Š© oooooooo −+++−++=

[ ] [ ]

h

‹†Šg‹h†Šg‹†Š©

h

‹h†Šg/‹†Š© ‹h†Š© oo

o

ooo −++

+−+=

Kua giUi hạn ta nhƒn được Š.P-‹

NPĐ6 ch3ng minh ta ch’ c7n †£t trư:ng hợp 1hi ©Š†‹ ≡ -

Ta cZ‹h†Šg‹†Šg

‹†Šg‹h†Šg

‹†Šg

-

‹h†Šg

-

oo

oo

oo +−+

−=−+ chia cho h ! Kua giUi hạn ta cZ”

‹†Šg

‹†Šg‹†Š

g

-

o

o

¹

o

¹

−=

Thực hi(n ti2p th<o cho h!m ‹†Šg

-© o

⋅ 12t hợp Ui M ta nhƒn được Š.P-‹/

ĐLnh 8[ .” ŠĐạo h!m của h!m số hợp‹

J2u h!m y — ©Š†‹ cZ đạo h!m tại † — †o ! Ÿ — gŠy‹ †ác đLnh trong 1hoảng ch3a đi6m y o—©Š†o‹cZ đạo h!m tại y — yo th= h!m h"p Ÿ — go©Š†‹ cZ đạo h!m tại đi6m †o ! ta cZ”

ŸªŠ†o‹ — gªŠyo‹©ªŠ†o‹ Š.P-|‹

Dh3ng minh” Th<o đLnh ngha đạo h!m ta cZ”

y & yo — ©Š†‹ − ©Š†o‹ — Š† − †o‹¬©ªŠ†o‹ š εŠ†‹

trong đZ εŠ†‹→ Q 1hi †→ †o

! gŠy‹ − gŠyo‹ — Šy − yo‹¬gªŠyo‹ š δŠy‹

trong đZ δŠy‹→ Q 1hi y→ yo

J)n ŸŠ†‹ − ŸŠ†o‹ — g¬©Š†‹ − g¬©Š†o‹ — gŠy‹ − gŠyo‹ — Šy − yo‹¬gªŠyo‹ š δŠy‹

— Š† − †o‹¬©ªŠ†o‹ š εŠ†‹¬gªŠyo‹ š δŠy‹

hi †→ †o th= εŠ†‹→ Q$ th<o t4nh 8i)n tục của ©Š†‹ tại †o ta c‘ng cZ y→ yo ! do đZ δŠy‹→Q/

o đZ”o

o

††

‹†ŠŸ‹†ŠŸ

−−

— ¬©ªŠ†o‹ š εŠ†‹¬gªŠ†o‹ š δŠy‹

Dhuy6n Kua giUi hạn ta nhƒn được Š.P-|‹/

ĐLnh 8[ M” ŠĐạo h!m của h!m số ngược‹

M




>iả s h!m số y — ©Š†‹ 8i)n tục ! t®ng nghi)m ng›t trong 1hoảng Ša$#‹ ! giả thi2t r0ng †—ϕŠy‹ 8! h!m ngược †ác đLnh trong 8ân cƒn của đi6m y — yo — ©Š†o‹ Š†o ∈ Ša$#‹‹/ hi đZ n2u h!m số y— ©Š†‹ cZ đạo h!m tại † — †o ! ©ªŠ†o‹ ≠ Q th= h!m số † — ϕŠy‹ cZ đạo h!m tại y — yo ! ta cZ”

‹†Š¹©

-‹yŠ¹

o

o =ϕ Š.P-R‹

Dh3ng minh”

Th<o đLnh ngha đạo h!m ta †£t t’ sốo

o

yy

‹yŠ‹yŠ

−ϕ−ϕ

Ta cZ” ϕŠy‹ — †$ ϕŠyo‹ — †o$ y — ©Š†‹$ yo — ©Š†o‹ n)n”

o

oo

o

o

o

††

‹†Š© ‹†Š©

-

‹†Š© ‹†Š©

††

yy

‹yŠ‹yŠ

−−

=−−

=−

ϕ−ϕ

= y − yo ≠ Q$ † − †o ≠ Q ! giả thi2t t\n tại ©ªŠ†o‹$ chuy6n Kua giUi hạn ta nhƒn được Š.P-R‹/

0 Be WiXn hE gifG đạ" hàm và t&nh WiXn tYc J2u h!m số ©Š†‹ cZ đạo h!m h“u hạn tại †o th= nZ 8i)n tục tại †o/

Thƒt ƒy = © cZ đạo h!m tại †o n)n ∆© — ¬©ªŠ†o‹ š αŠ†‹∆† Ui αŠ†‹→ Q 1hi †→ †o/ E"nn“a 1hi †→ †o$ ∆©→ Q/ T3c 8! © 8i)n tục tại †o/

Đi*u 1h‰ng đLnh ngược 8ại 1hông h‰n đ'ng/

Th4 dụ” £t h!m ©Š†‹ — ·†·

E!m n!y 8i)n tục tại † — Q$ nhưng 1hông t\n tại ©ª tại † — Q/

:0 !ạ" hàm cQ# cG"

Dho h!m số ©Š†‹ †ác đLnh$ 8i)n tục trong 1hoảng Ša$#‹/ >iả s ©Š†‹ cZ đạo h!m tại ∀†∈Ša$#‹$1hi đZ đạo h!m ©ª c‘ng 8! m%t h!m số †ác đLnh ! 8i)n tục trong 1hoảng Ša$#‹/ J2u h!m số ©ªŠ†‹cZ đạo h!m tại †o ∈ Ša$#‹ th= ta g+i đạo h!m đZ 8! đạo h!m c,p hai của h!m số © tại đi6m †o/

4 hi(u ©¦Š†o‹/

Ti2p tục th<o cách suy di¢n như ƒy ta cZ th6 đLnh ngha đạo h!m c,p n/

ĐLnh ngha đạo h!m c,p cao”

Dho h!m số ©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng Ša$#‹ ! ©Š†‹ được g+i 8! cZ đạo h!m c,p n tại †o∈Ša$#‹ n2u h!m số © cZ đạo h!m đ2n c,p Šn−-‹ trong Ša$#‹ ! h!m số đạo h!m c,p Šn−-‹ cZ đạoh!m tại đi6m †o/

4 hi(u © Šn‹Š†o‹ — ¬© Šn−-‹Š†‹ª·†—†o

::0 !ạ" hàm các hàm sơ cQ#-/Đạo h!m của h!m số 8ogarit ! h!m số m‘

£t h!m số 8ogarit y — 8oga† Ui a>Q$ a≠- ! †o>Q

Ta cZ”

+=

+=

−+

o

a

o

o

a

oaoa

†

h-8og

h

-

†

h†8og/

h

-

h

†8og‹h†Š8og

M|




<8og/†

-

h

†-8og/

†

-

†

h-8og/

h

†/

†

-a

o

h†h

†

o

a

oo

a

o

o

o

o→

→

+=

+= 1hi h→Q

ƒy Š8oga†‹ª —†

- /8oga< Š.P.-‹

Đ›c #i(t n2u a — < công th3c Š-P.-‹ được i2t 8ại

Š8n†‹ª—†

- Š.P.-‹ª

J2u † < Q th= 8ogaŠ−†‹ 8uôn †ác đLnh/ Thực hi(n 8,y đạo h!m của h!m số hợp ta c‘ng nhƒnđược các công th3c Š-P.-‹$ Š-P.-‹ª/

£t h!m số m‘ † — ay$ 8! h!m số ngược của y — 8og a†/ Th<o Kuy tVc 8,y đạo h!m của h!m sốngược ta cZ”

a8oga

<8og

a

<8og†

-

-

†‹¹†Š8og

- ·‹¹Ša <

yo

a

yo

a

o

oa

yy

y

o=====

ƒy Šay‹ª·yo a8nayo=

<m #i2n 8! † ta cZ” Ša†‹ª — a† / 8na Š.P..‹

Đ›c #i(t 1hi a — < ta nhƒn được công th3c đ"n giản h"n”

Š<†‹ª—<† Š.P..‹ª

./Đạo h!m của h!m số 8‘y th‡a

£t h!m số 8‘y th‡a y — †α$ α P số thực †ác đLnh Ui † > Q

Ta #i6u di¢n h!m y dưUi dạng y — <α8n† ! thực hi(n 8,y đạo h!m của h!m số n!y th<o Kuy tVcđạo h!m của h!m số hợp/

Ta cZ” yªŠ†‹ — <α8n†/Šα8n†‹ª — α/ †

-

/<α8n† — α/ †

† α

— α†α−- Š-P.M‹

Đ›c #i(t 1hi α ∈ Jš ta tr 8ại công th3c”

Š†n‹ª — n†n−- Š-P.N‹

Dông th3c Š-P.M‹ ³n đ'ng trong trư:ng hợp † < Q ! †α cZ ngha/

hi đZ ta i2t y — Š−-‹αŠ−†‹α †<Q

= Š−†‹>Q n)n áp dụng Š.P.M‹ ta cZ”

yª — Š−-‹αš-/αŠ−†‹α−- — α†α−-

M/Đạo h!m của các h!m 8ượng giác ! các h!m 8ượng giác ngược

a‹y — sin†

£t”†

.

†sin‹

.

††sinŠ.

†

†sin‹††sinŠ

†

y

∆

∆∆+

=∆

−∆+=

∆∆ ‹

.

††cosŠ/

.

†.

†sin ∆

+∆

∆

=

Dhuy6n Kua giUi hạn Šsin†‹ª — cos† Š-P.S‹

#‹y — cos†

MR




£t”†

.

†sin‹

.

††sinŠ.

†

†cos‹††cosŠ

†

y

∆

∆∆+−

=∆

−∆+=

∆∆ ‹

.

††sinŠ/

.

†.

†sin ∆

+∆

∆

−=

Dhuy6n Kua giUi hạn Šcos†‹ª — −sin† Š-P.‹

c‹y — tg†

Ta i2t”†cos

†sintg†y ==

†

†cos

†sin

‹††cosŠ

‹††sinŠ

†

tg†‹††Štg

†

y

∆

−∆+∆+

=∆

−∆+=

∆∆

‹††cosŠ/†cos

-/

†

†sin

‹††cosŠ/†cos/†

†sin‹/††cosŠ†cos‹/††sinŠ

∆+∆∆

=∆+∆

∆+−∆+=

Dhuy6n Kua giUi hạn Štg†‹ª —

†cos

-.

Š-P.‹

d‹y — cotg†

Thực hi(n tư"ng tự như cách 8!m đối Ui t4nh đạo h!m của tg† ta cZ

Šcotg†‹ª —†sin

-.

− Š-P.|‹

<‹y — arcsin† Ui † — sin†$.

y.

π≤≤

π−

Th<o Kuy tVc 8,y đạo h!m của h!m số ngược

( ) ycos

-

¹ysin

- Šarcsin†‹¹ ==

= y ∈ Š.

$.

ππ−‹ n)n .. †-ysin-ycos −=−= $ do đZ”

( ).†-

-¹†arcsin

−=

©‹Tư"ng tự ta nhƒn được công th3c t4nh đạo h!m của các h!m 8ượng giác ngược c¡n 8ại

( ).†-

-¹†arccos

−

−=

( ) .†-

-

¹arctg† +=

( ).†-

-¹g†cotarc

+−

=

g‹Đạo h!m các h!m Eyp<c#o88ic

»y — sh† —.

<< †† −−

NQ




Šsh†‹ª — ch†‹<<Š.

-‹¹<<Š

.

- †††† =−=− −− Š.PMM‹

»Tư"ng tự ta nhƒn được công th3c t4nh đạo h!m của”

Šch†‹ª — sh† Š.PMN‹

/20 : H7

:0 !*nh nghFG vi #h$n Dho h!m số y — ©Š†‹ cZ đạo h!m tại đi6m † ∈ Ša$#‹

T3c t\n tại yª — ©ªŠ†‹ —

†

y8im

Q†

∆

∆→∆

Xƒp ‹†Š‹†Š¹© †

‹†Š© ‹††Š© ¹y

†

y∆α=−

∆−∆+

==∆∆

Š.PMS‹

Ui αŠ∆†‹ 8! ô cŒng #£ 1hi ∆†→ Q/ o đZ α/∆† 8! ô cŒng #£ #ƒc cao h"n so Ui ∆†/ T‡ Š.−MS‹ ta nhƒn được”

∆y — ©Š†š∆†‹ − ©Š†‹ — ©ªŠ†‹/∆† š α/∆† — ©ªŠ†‹/∆† š AŠ∆†‹ Š.PM‹

= ©ªŠ†‹ tại mi † nhƒn giá trL #0ng số ! 1hông phụ thu%c ∆†$ n)n ©Š†‹/∆† 8! m%t đại 8ượng t’ 8(Ui ∆†/ Ta cZ Jhƒn †£t”

»J2u y — ©Š†‹ cZ đạo h!m tại đi6m † th= tại đZ số gia ∆y cZ th6 #i6u di6n dưUi dạng Š-−M‹$t3c nZ được phân t4ch th!nh t5ng của m%t đại 8ượng t’ 8( Ui ∆† ! m%t ô cŒng #£ #ƒc cao so Ui∆† Šhi ∆†→ Q‹/

»Đảo 8ại n2u số gia ∆y tại đi6m † của h!m số y — ©Š†‹ cZ th6 #i6u di¢n dưUi dạng

∆y — ©Š† š ∆†‹ − ©Š†‹ — /∆† š AŠ∆†‹ Š.PM‹

¼ đây 1hông phụ thu%c ∆†$ th= h!m số y — ©Š†‹ cZ đạo h!m tại †/

T‡ Š-PM‹ ta cZ” ‹-ŠA†

y+=

∆∆

Ui AŠ-‹→ Q 1hi ∆†→Q

ƒy ra yª — ©ªŠ†‹ —

Jhư ƒy đi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 h!m số y — ©Š†‹ cZ th6 phân t4ch số gia ∆y của nZ th!nh t5ngdạng Š.PM‹ 8! ©Š†‹ phải cZ đạo h!m ©ªŠ†‹ tại †/ eố hạng th3 nh,t ©ªŠ†‹/∆† được g+i 8! i phân của

h!m số y — ©Š†‹ ! được 14 hi(u 8! dy/ dy — ©ªŠ†‹/∆† Š.PM|‹

£t h!m đ\ng nh,t y — †/ o yªŠ†‹ ≡ - n)n”

dy — d† — ∆†/

Ta Kuy ưUc d† ≡ ∆† Ši phân của #i2n số † đ\ng nh,t Ui số gia‹$ n)n công th3c Š.PM|‹ đượci2t 8ại”

dy — ©ªŠ†‹/d† Š.PMR‹

N-




E!m số ©Š†‹ cZ i phân tại †o được g+i 8! h!m 1hả i tại đi6m đZ

::0 ng NYng vi #h$n đd t&nh gần đ?ng Jhƒn †£t” Th<o #i6u di¢n Š-PM‹ ∆y — ©ªŠ†‹∆† š AŠ∆†‹/

hi ∆† 1há #£ ta th,y ©ªŠ†‹∆† †,p †’ số gia ∆y của h!m/

J2u ©ªŠ†‹ ≠ Q th= ©ªŠ†‹∆† 8! ph7n ch4nh tuy2n t4nh của số gia ∆y/ Jhư ƒy n2u #i2t được giá

trL của h!m tại đi6m †o n!o đZ ta cZ th6 t4nh được giá trL g7n đ'ng của h!m trong 8ân cƒn đi6mn!y Ui đ% ch4nh †ác tŒy [ tŒy thu%c !o i(c ch+n số gia đối số ∆†/ >iá trL g7n đ'ng †,p †’ i phân của h!m tại †o c%ng Ui giá trL của h!m tại đi6m đZ Š©ªŠ†o‹ ≠Q‹/ Ta cZ công th3c”

©Š†‹ ≈ ©Š†o‹ š ©ªŠ†o‹/∆† Š.PNQ‹

Th4 dụ”

-/T4nh giá trL g7n đ'ng của M .|

Ta †£t h!m ©Š†‹ — M † ! †o — .$ ∆† — -

@p dụng công th3c Š.PNQ‹ $ ta cZ”

-

MMM

.M

-

..

|.

.

-

MR

-

/M

-

M-‹/.Š¹© ‹.Š© .|©Š.|‹

−

+==+=+=+≈=

./T4nh giá trL g7n đ'ng của sinNo

Ta †£t h!m y — sin† ! †o — NSo —N

π$ ∆ —

-|Q

π

@p dụng công th3c Š.PNQ‹$ ta cZ”

-|Q

/NSsinNSsinN•sin ooo π+≈

M•Q

‹-|QŠ.‹

-|Q-Š

.

.

-|Q/

.

.

.

.o

+π=

π+=

π+=

:::0 %&nh Qt i]n cRG Nạng idu thc vi #h$n >iả s y — ©Š†‹ ! † — ϕŠt‹ 8! các h!m số 1hả i tại †o ! tại to$ Ui †o — ϕŠto‹ ! giả s r0ng tathi2t 8ƒp được h!m hợp y — ©¬ϕŠt‹/ hi đZ ta cZ”

dy — d© — Š©ŠϕŠt‹‹‹ª/dt — ©ªŠ†‹/†ªŠt‹/dt — ©ªŠ†‹/d†

Ta nhƒn th,y dŒ † 8! #i2n đ%c 8ƒp hay † 8! h!m 1hả i của m%t #i2n đ%c 8ƒp 1hác th= dạng i phân c,p - của nZ ³n 1hông thay đ5i/ Đây ch4nh 8! t4nh #,t #i2n dạng của #i6u th3c i phân/

:0 i #h$n cQ# cG" >iả s h!m số y — ©Š†‹ 1hả i trong Ša$#‹/ i phân dy — ©ªŠ†‹d† được g+i 8! i phân c,p -của h!m y — ©Š†‹ tại † ∈ Ša$#‹/ J2u h!m số đạo h!m ©ªŠ†‹ c‘ng cZ đạo h!m tại †$ 8,y i phân của

h!m dy — ©ªŠ†‹d† trong đZ †<m d† — ∆† 8! 1hông đ5i/ Bi6u th3c nhƒn được$ g+i 8! i phân c,p .của h!m số y — ©Š†‹ tại †$ 14 hi(u d.© — d.y/

d.© — d.y — d¬dy — d¬©ªŠ†‹d† — ©¦Š†‹d†.

dy. — ©¦Š†‹d†. Š.PN-‹

Tư"ng tự ch'ng ta thi2t 8ƒp được công th3c của các i phân c,p M$ N$;$ n của h!m số ©Š†‹/Bi6u th3c t5ng Kuát được cho dưUi dạng”

dny — © Šn‹Š†‹/d†n Š.PN.‹

Th4 dụ” £t h!m số y — ©Š†‹ — |†N š M†. š S† š .

N.




dy — ŠM.†M š † š S‹d†

d.y — ŠR†. š ‹d†.

Chương

Tích phân không xác địnhTích phân không xác định

/10 !j7H 7HkV 5 %l7H CH%

:0 !*nh nghFG nguPXn hàm cRG hàm số ĐLnh ngha -” Ta nZi r0ng h!m số ¨Š†‹ 8! m%t nguy)n h!m của h!m số ©Š†‹ trong m%t1hoảng n!o đZ Šh“u hạn ho›c ô hạn‹$ n2u tại mi đi6m 1hoảng n!y

‹†Š© d†

‹†Šd¨= ŠMP-‹

Th4 dụ”

-/ ¨Š†‹ — sin† 8! nguy)n h!m của ©Š†‹ — cos†/

./ .†-¨Š†‹

−= 8! nguy)n h!m của h!m số

.†-

†‹†Š©

−−= Ui P- < † < -

Jgư:i ta c¡n g+i nguy)n h!m của m%t h!m số 8! t4ch phân 1hông †ác đLnh của h!m số đZ$ 14

hi(u ∫ d†‹†Š© /

›t 1hác ‹†Š© d†

‹†Šd¨

d†

‹D‹†Š¨Šd==

+ ŠMP.‹

n)n ¨Š†‹ šD Ui D∈ v 8! h0ng số tŒy [ c‘ng 8! m%t nguy)n h!m của h!m số ©Š†‹/ J)n ta cZ”

D‹†Š¨d†‹†Š© +=∫ ŠMPM‹

J2u nZi ¨Š†‹ 8! t4ch phân 1hông †ác đLnh của h!m ©Š†‹ th= phải hi6u đZ 8! t4ch phân được 8,y

tr)n mi*n m! h!m số †ác đLnh/

::0 Các t&nh chQt cRG t&ch #h$n 'h(ng )ác đ*nh >iả s trong 1hoảng Ša$#‹ các h!m ¨Š†‹ ! φŠ†‹ 8! nguy)n h!m của các h!m ©Š†‹ ! ϕŠ†‹/ hiđZ”

Dác h!m ¬©Š†‹ ± ϕŠ†‹ c‘ng cZ nguy)n h!m !

[ ]∫ ∫ ∫ ϕ±=ϕ± d†‹†Šd†‹†Š© d†‹†Š‹†Š© D‹†Š‹†Š¨ +φ±= ŠMPN‹

NM




Ui số 1 ∈ v$ 1/©Š†‹ c‘ng cZ nguy)n h!m !

D‹†Š/̈1 d†‹†Š© /1 d†‹†Š© /1 +== ∫ ∫ ŠMPS‹

:::0 Các c(ng thc cơ ản cRG t&ch #h$n 'h(ng )ác đ*nh

-/ D†d† +=

∫ ./ D†

-n

-d†† -nn +

+= +∫ Ui n ≠ −-

M/ ∫ += D†8n†

d†

N/ Da/a8n

-d†a †† +=∫ Ui a ° Q$ a ≠ -

S/ D<d†< †† +=∫

/ D†cos†d†sin +−=

∫ / D†sin†d†cos +=∫

|/ ∫ +−=+=−

D†arccosD†arcsin†-

d†

.

R/ ∫ +−=+=+

Dg†cotarcDarctg††-

d†.

Đ6 8,y t4ch phân của h!m ©Š†‹ ta s« phân t4ch ©Š†‹ th!nh #i6u th3c 8! t5 hợp của các h!m c" #ản m! các h!m đZ công th3c 8,y t4ch phân đW được #i2t/ hi đZ dựa !o các t4nh ch,t của t4ch phân 1hông †ác đLnh ta ho!n to!n 8,y được t4ch phân của h!m ©Š†‹ đW cho/

/20 C6C Ho7 H6 LK %lCH H7

DHp7 86C !j7H

Đ6 8,y t4ch phân của h!m ©Š†‹ ta phải #i2n đ5i ©Š†‹ sao cho #i6u th3c dưUi d,u t4ch phân dạng mUi s« thực hi(n được i(c 8,y t4ch phân thông Kua các công th3c 8,y t4ch phân của các h!mc" #ản/ Ta cZ hai phư"ng pháp c" #ản 8,y t4ch phân 1hông †ác đLnh sau”

:0 hương #há# th] >iả s trong 1hoảng Ša$#‹ ta cZ” D‹†Š¨d†‹†Š© +=∫ ŠMP‹

† — ϕŠt‹ 8i)n tục cŒng Ui đạo h!m c,p m%t của nZ trong đoạn ¬α$β ! a ≤ ϕŠt‹ ≤ # ∀t∈ ¬α$β/hi đZ h!m ¨ được †<m 8! h!m hợp ¨ŠϕŠt‹‹ †ác đLnh tr)n ¬α$β/ Ta cZ”

‹tŠ¹‹‹/tŠŠ¹¨dt

‹‹tŠŠd¨ϕϕ=

ϕ ŠMP‹

NN




= ¨ªŠ†‹ — ©Š†‹ n)n i2t 8ại ŠMP‹ ‹tŠ¹‹‹/tŠŠ© dt

‹‹tŠŠd¨ϕϕ=

ϕ

Eay [ ]‹tŠ¨dt‹tŠ¹‹‹tŠŠ© ϕ=ϕϕ∫ ŠMP|‹

eo sánh ŠMP‹ ! ŠMP|‹ ta th,y r0ng cZ th6 i(c 8,y t4ch phân th<o ŠMP|‹ 8! thực hi(n được/ eau1hi 8,y được t4ch phân th<o t$ tr * #i2n c‘ † ta cZ được #i6u th3c t4ch phân 1hông †ác đLnh ¨Š†‹

c7n t4nh/ Jhư ƒy thực ch,t của ph£p đ5i #i2n số 8! ta #i2n đ5i #i6u th3c dưUi d,u t4ch phân ©Š†‹d†th<o #i2n mUi th<o ph£p th2 † — ϕŠt‹$ d† — ϕªŠt‹dt ! thực hi(n t4ch phân th<o t

∫ ∫ ϕϕ= dt‹tŠ¹‹‹/tŠŠ© d†‹†Š©

Th4 dụ”

-/T4nh ∫ + d†‹ #†aŠ n

n ≠-$ # ≠ Q

Th2 aš#† — t ⇒ #d† — dt ⇒

#

dtd† =

Dt-n

-/

#

-dtt

#

-d†‹ #†aŠ -nn

tn +

+==+ +∫ ∫ D‹ #†aŠ

-n

-/

#

- -n†

+++

= +

hi n — −- ta cZ”

∫ ∫ +==+

Dt8n #

-

t

dt

#

-

#†a

d† t

D #†a8n #

-†

++=

./T4nh ∫ − .†a

d† a ° Q ! a ° †.

Th2 dtad†$ta† ==

∫ ∫ ∫ +=−

=−

=−

Dtarcsint-

dt

ata

dta

†a

d†

..

t

.D

a

†arcsin

†

+=

J2u trao đ5i ai tr¡ của † ! t trong công th3c ŠMP|‹ ta nhƒn được”

D‹tŠ¨dt‹tŠ© d†‹†Š¹‹‹/†ŠŠ© +==ϕϕ ∫ ∫ ŠMPR‹

Đây 8! dạng ch'ng ta thư:ng hay g›p/

Th4 dụ”

-/ T4nh d†-††

-†..∫ ++

+

¢ th,y dŠ†. š † š-‹ — Š.† š -‹d† Th2 †. š † š - — t

∫ ∫ +++=+==++

+D-††8nDt8n

t

dtd†

-††

-†. .†t

.

./T4nh ∫ + †d†/‹ #†aŠ n.

# ≠ Q$ n ≠ −-

Th2 a š #†. — t$ dt #.

-†d† =

NS




Dt/-n

-/

#.

-dt/t/

#.

-†d†‹ #†aŠ

-nnt

. ++

==+ +∫ ∫ D‹ #aŠ-n

-/

#.

- -n.†

+++

= +

M/T4nh ∫ + a†

d†

.

Th2 dtd†-†a

†

t†a† .

.

=

++⇒=++

t

dt

†a

d†dtd†

†a

†a†

..

.

=+

⇒=+

++

∫ ∫ +++=+==+

D†a†8nDt8nt

dt

a†

d† .†t

. ŠMP-Q‹

N/T4nh ∫ †d†cos†sinn

dsin† — cos†d†/ Th2 sin† — t

D†sin-n

-Dt/-n

-dtt†d†cos†sin -n

†

-nn

t

n ++=++== ++∫ ∫

S/T4nh ∫ + n. ‹-†Š

†d† n ≠ -

Th2 †.š- — t

Dt

-

‹-nŠ.

-

t

dt

.

-

‹-†Š

†d†-nn

t

n. +⋅

−−==

+ −∫ ∫ ( ) D

-†

-

‹-nŠ.

--n.

†

++

⋅−

−=−

::0 hương #há# t&ch #h$n tqng #hần >iả s các h!m uŠ†‹ ! Š†‹ 8i)n tục ! cZ đạo h!m trong 1hoảng Ša$#‹/ hi đZ uŠ†‹/Š‹ c‘ng

8i)n tục ! cZ đạo h!m trong 1hoảng đZ/ Ta cZ” d¬uŠ†‹/Š†‹ — duŠ†‹/Š†‹ š uŠ†‹/dŠ†‹

[ ] [ ]∫ ∫ += ‹†Šdu‹†Š‹†Šd‹†Šu‹†Š‹/†Šud

∫ ∫ += ‹†Šdu‹†Š‹†Šd‹†Šu‹†Š‹/†Šu

Ta suy ra” ∫ ∫ −= ‹†Šdu‹†Š‹†Š‹/†Šu‹†Šd‹†Šu ŠMP--‹

∫ ∫ −= ‹†Šd‹†Šu‹†Š‹/†Šu‹†Šdu‹†Š ŠMP-.‹

Dác công th3c ŠMP-Q‹$ŠMP--‹ cho ph£p ch'ng ta chuy6n i(c t4nh ∫ ‹†Šd‹†Šu * i(c t4nh

∫ ‹†Šdu‹†Š Šhay ngược 8ại‹ m! đối Ui t4ch phân sau ta thực hi(n i(c 8,y t4ch phân m%t cách d¢

d!ng h"n/ Đ›c #i(t nh“ng t4ch phân dạng ∫ †d†8n† m1 $ ∫ d†<† a†1

$ ∫ #†d†sin† 1 $ ∫ #†d†cos† 1

thư:ng dŒng Kuy tVc n!y/

Th4 dụ”

-/T4nh ∫ d††<†

Đ›t uŠ†‹ — †⇒ duŠ†‹ — d†

N




dŠ†‹ — <†d†⇒ Š†‹ — <†

∫ ∫ −= d†<</†d††< †††

D<</† †† +−=

./T4nh ∫ †d†8n

Đ›t uŠ†‹ — 8n†⇒ d†

†

-‹†Šdu =

dŠ†‹ — d†⇒ Š†‹ — †

D††8n†d††8n/††d†8n +−=−= ∫ ∫ ŠMP-M‹

T‡ các 4 dụ ta #5 sung các công th3c ŠMP-Q‹$ ŠMP-M‹ !o #ảng các công th3c t4ch phân c" #ản/

/0 C6C Cp7 %HC %rK H:

Trong Kuá tr=nh 8,y t4ch phân ta thư:ng hay g›p m%t số dạng h!m dưUi d,u t4ch phân 8! 8u½th‡a #ƒc n của m%t h!m n!o đZ Ui n ∈ J/ Ta đưa ra m%t số các công th3c truy h\i sau”

-/ ∫ = †d†sin? n

n n ≠ Q

.n

-n

n ?n

-n

n

†sin†cos? −

− −+−= ŠMP-N‹

./ ∫ = †d†cos? n

n n ≠ Q

.n

-n

n ?n

-n

n

†cos†sin? −

− −+= ŠMP-S‹

M/ ∫ =†cos

d†?

nn n ≠ -

( ) .n-nn ?

-n.n

†cos-n†sin? −− −

−+−

= ŠMP-‹

N/( )∫

+=

n.n

-†

d†? n ≠ -

( ) ( )

-n-n.n ?

.n.

Mn.

-†.n.

†? −− −

−+

+−= ŠMP-‹

i(c ch3ng minh các công th3c ŠMP-N‹$ ŠMP-S‹$ ŠMP-‹$ ŠMP-‹ được thực hi(n #0ng phư"ng pháp t4ch phân t‡ng ph7n/ eau đây ta s« ch3ng minh các công th3c ŠMP-N‹ ! ŠMP-‹/

•£t ∫ = †d†sin?

n

n

Ta cZ” ( )†cos-†sin†sin/†sin†sin ..n..nn −== −−

∫ ∫ ∫ −−

− −=−== †d†cossin?d†‹†cos-Š†sin†d†sin? ..n

.n

..nn

n

T4nh ∫ ∫ −− = †sin†dsin†cos†d†cos†ins .n..n

Đ›t u — cos†⇒ du — −sin†d†

N




†sin-Pn

-†dsin†sind

-Pn.Pn =⇒=

ƒy ∫ ∫ −+

−= −− †d†sin

-n

-†sin/†cos

-n

-†d†cos†ins

n-n..n

n

-n

?-n

-

-n

†sin†cos

−+

−=

−

Th2 !o #i6u th3c ?n ta được”

n

-n

.nn ?-n

--n

†sin†cos??−

+−

−= −−

.n

-n

n ?n

-n

n

†sin†cos? −

− −+−=⇒ / Đi*u phải ch3ng minh/

•£t( )∫

+=

n.n

-†

d†?

Thực hi(n t4ch phân t‡ng ph7n Ui( ) ( ) -n.n.

-†

n†d†.du

-†

-u +

+−=⇒

+=

d — d†⇒ — †

( ) ( ) ( )∫ ∫ +

++

+=

+=

-n.

.

n.n.n

-†

d††/n.

-†

†

-†

d†?

( ) ( ) ( )∫ ∫ ++

−+

++

=-n.n.n. -†

d†n.

-†

d†n.

-†

†

( ) -nnn.

n?.n?.-†

†? +−+

+=⇒

( )

nn.-n ?

n.

-n.

-†n.

†?

−+

+=⇒ +

Trong công th3c tr)n n2u thay n #i n−- ta nhƒn được

( ) ( )

-n-n.n ?

.n.Mn.

-†.n.†? −− −−+

+−= / Đi*u phải ch3ng minh

/40 %lCH H7 C6C H5M H %

£t h!m h“u t’( )( )†ž

†_‹†Šv =

¼ đây _Š†‹$žŠ†‹ 8! các đa th3c #ƒc m$ n/ J2u m ° n$ vŠ†‹ g+i 8! m%t h!m phân th3c 1hông thực sự

m ± n$ vŠ†‹ g+i 8! m%t h!m phân th3c thực sự/

B0ng ph£p chia đa th3c ta 8uôn đưa vŠ†‹ * dạng t5ng của m%t đa th3c Ui m%t h!m phân th3cthực sự/

£t( )( )†ž

†_‹†Šv = 8! phân th3c thực sự th= ta 8uôn cZ th6 phân t4ch nZ th!nh t5ng của các

phân th3c c" #ản Ui các t4ch phân của các phân th3c c" #ản cZ các dạng sau”

N|




-/ ∫ − d†a†

./

( )∫ − d†

a†

1

M/ ∫ +++

d†K p††

J†. N/

( )∫ ++

+d†

K p††

J†n.

Ui $ $ J$ a$ p$ K ∈ v– 1$ n ∈ Jš

! NK − p. ° Q

Ta ch’ ra r0ng các t4ch phân của các phân th3c c" #ản đ*u 8,y được t4ch phân/ Dác t4ch phân Š-‹$Š.‹ 8! hai dạng Ku<n thu%c Ui”

∫ ∫ +−=−

=−

Da†8na†

d†/d†

a†

( ) ( ) ( )∫ ∫ +−

⋅−

−=−

=− − D

a†

-

-1

a†

d†/d†

a†

-1 1 1 Š1 ≠ -‹

Dác t4ch phân ŠM‹$ ŠN‹ được t4nh Ui ph£p th2”

t p.

-† =+ – d†—dt

đ›t a ° Q$N

pKa

.. −=

hi đZ”

... atK p†† +=++

p‹

.

-ŠJt J† −+=+

T4ch phân ŠM‹ cZ dạng”

∫ ∫ +

−+

=++

+dt

at

p.

- Jt

d†K p††

J†..

t

.∫ ∫ +

−+

+=

.... at

dtp

.

- J

at

tdt.

.

( ) Da

tarctg

.

-at8n

.

.. +++=

ƒy ( ) D pKN

p†.arctg

pKN

p J.K p††8n

.

d†

K p††

J†

..

.

. +

−

+

−

−+++=

+++

∫ ŠMP-R‹

T4ch phân ŠN‹ cZ dạng”

( ) ( )∫ ∫ +

−+

=++

+dt

at

p.

- Jt

d†K p††

J†n..

t

n. ( ) ( )∫ ∫ +

−+

+=

n..n.. at

dtp

.

- J

at

tdt.

.

Ta 8,y t4ch phân của t4ch phân th3 nh,t #0ng cách đ5i #i2n/

..atu += – tdt.du =

NR




( )

Du

-

-n

-

u

du

at

tdt.-nn..

+⋅−

−==+

−∫ ∫

T4ch phân th3 hai được 8,y dựa !o công th3c truy h\i ŠMP-‹ sau 1hi r't .a ra ngo!i ! th2

a

t— u/

Thực hi(n tr * #i2n †$ ch'ng ta nhƒn được #i6u th3c cuối cŒng của t4ch phân ŠN‹ c7n t4nh/ Ta 12t 8uƒn r0ng m+i h!m hu t’ đ*u cZ th6 thực hi(n 8,y t4ch phân của ch'ng/

/+0 %lCH H7 Mw% B H5M p % I97 !o7 :x7 Ui h!m đại số 8! các h!m ô t’ dưUi dạng đ"n giản$ 8! ch3a 8u½ th‡a số m‘ phân của #i2nđối 8ƒp của m%t nhL th3c hay m%t phân th3c$ #0ng các ph£p th2 th4ch hợp ta c‘ng cZ th6 thực hi(n8,y được t4ch phân của ch'ng/ Dác ph£p th2 đZ 8!”

p

Ÿ† = – p

Ÿ #a† =+ –

p

Ÿ¹ #†¹a

#a†

=+

+

/ Ui p & eDJJ của các số m‘ phân Th4 dụ”

-/Ui ph£p th2 pŸ† =

a‹T4nh ( ) ( )∫ ∫ +=

+ .-

M-

††-

d†

††-

d†M

p — / Th2 † — Ÿ– d† — tSdŸ

( ) ( )∫ ∫ ∫ +⋅=

+=

+ .

.

M.

SŸ

M Ÿ-

dŸŸ•

ŸŸ-

dŸŸ•

††-

d†DarctgŸ•Ÿ• +−= D†arctg/•†/• ••

†

+−=

#‹T4nh d††-

†d††-

†N

-

.

-

N ∫ ∫ +=

+ p — N/ Th2 † — ŸN– d† — NŸMdŸ

D-Ÿ8nNŸ.

Ÿ

M

Ÿ

N

Ÿ

S

ŸN

Ÿ-

dŸŸNd†

†-

† .MNSSŸ

N++−

+−+−=

+=

+ ∫ ∫

( ) D-†8nN††.

-†

M

-†

N

-†

S

-N NNN .N MN S

†

++−

+−+−=

./Ui ph£p th2 pŸ #a† =+

T4nh( )∫ ∫ +

=+ .

-

-††d†

-††d†

p — .– † š - — Ÿ.– d† — .ŸdŸ

D-Ÿ

-Ÿ8n

-Ÿ

dŸ.

-††

d†.

Ÿ

++−

=−

=+∫ ∫ D

--†

--†8n +

++−+

=

M/Ui ph£p th2 pŸ¹ #†¹a

#a†=

++

SQ




T4nh ∫ ∫

+

⋅=+

⋅ d††

†-

†

-d†

†

†-

†

- .-

p — .– .Ÿ†

†-=

+–

( ) .. -Ÿ

ŸdŸ.d†

−=

∫ ∫ ++−

−−=−

−=+

⋅ D-Ÿ

-Ÿ8nŸ.dŸ

-Ÿ

Ÿ/.d†

†

†-

†

-.

.Ÿ

D

-†

†-

-†

†-

8n†

†-.

†

++

+

−+−

+−=

Chương 4

Tích phân xác địnhTích phân xác định

/10 !j7H 7HkV

:0 yài t"án NiEn t&ch h`nh thGng c"ng >iả s h!m số y — ©Š†‹ †ác đLnh trong 1hoảng ¬a$#$ chia ¬a$# th!nh m%t số h“u hạn n cácđoạn cZ chi*u d!i tư"ng 3ng 8! ∆†-$ ∆†.$;$ ∆†n/

Tr)n mi đoạn ∆†i ta ch+n tŒy [ các

đi6m ξi Š n$-i = ‹/

Thi2t 8ƒp t5ng

∑=

∆ξ=n

-i

ii †‹/Š© ŠNP-‹

* m›t h=nh h+c t5ng 8! t5ng di(nt4ch của các h=nh ch“ nhƒt cZ m%t cạnh 8!

( )i© ξ ! cạnh 1ia 8! i†∆

E/.M

¼ đây được hi6u ∆†i ‡a 8! đ% d!i ‡a 8! 14 hi(u ch4nh đoạn đZ/ Dách chia ¬a$# th!nh n đoạncon ∆†i được g+i 8! m%t ph£p phân hoạch δ của đoạn ¬a$#/

4 hi(u i†ma† ∆=δ

o các đoạn ∆†i 8! ch+n tŒy [ n)n Ui mi số n cho trưUc ta 8uôn ch+n được ph£p phânhoạch ˜δn™/ Wy phân hoạch ˜δn™ được g+i 8! dWy phân hoạch chuµn n2u”

Q8im nn

=δ∞→ ŠNP.‹

ng Ui mi δn ta thi2t 8ƒp t5ng n tư"ng 3ng/ Ui dWy phân hoạch ˜δn™ ta nhƒn được dWyt5ng ñ™/ ¼ đây ta cZ ô số các dWy t5ng ñ™ 3ng Ui ˜δn™$ tŒy th<o i(c ta ch+n các đi6m ξi∈

S-




∆†i/ J2u Ui ˜δn™ 8! dWy phân hoạch chuµn ! i(c ch+n hợp 8[ ξi∈ ∆†i$ 8! cZ th6 nhƒn được giátrL của t5ng 3ng ∆n †,p †’ Ui di(n t4ch của h=nh thang cong e — ˜† — a$ † — #$ y—Q$ y — ©Š†‹™/

i(c t4nh ch4nh †ác di(n t4ch h=nh thang cong e d³n đ2n i(c t=m giUi hạn của dWy t5ng ñ™/* m›t h=nh h+c giUi hạn n!y 8uôn t\n tại/

::0 !*nh nghFG hàm 'hả t&ch z %&ch #h$n )ác đ*nh J2u m%t h!m số ©Š†‹ cZ t4nh ch,t 8! Ui mi dWy phân hoạch chuµn ˜δn™$ dWy t5ng tư"ng 3ngñ™ h%i tụ Š1hông phụ thu%c i(c ch+n các đi6m ξi‹$ th= ta nZi r0ng h!m ©Š†‹ 1hả t4ch trong1hoảng đZng ¬a$#/ hi đZ m+i dWy t5ng ñ™ 3ng Ui dWy phân hoạch chuµn ˜δn™ đ*u cZ cŒngm%t giUi hạn/

ĐLnh ngha -” >iUi hạn chung của các dWy t5ng ñ™ 3ng Ui dWy phân hoạch chuµn ˜δn™g+i 8! t4ch phân †ác đLnh của h!m số ©Š†‹ trong 1hoảng đZng ¬a$#/

4 hi(u ∫ #

a

d†‹†Š© ŠNPM‹

E!m số y — ©Š†‹ 8i)n tục trong 1hoảng đZng ¬a$# s« 1hả t4ch tr)n đoạn đZ/ i(n t4ch của mi*n

giUi hạn #i đư:ng cong 8i)n tục y — ©Š†‹$ trục toạ đ% A† ! các đư:ng th‰ng †—a$ †—# ch4nh 8!

giá trL của t4ch phân †ác đLnh ∫ #

a

d†‹†Š© / JZi cách 1hác đLnh ngha di(n t4ch mi*n như 8! giá trL

của t4ch phân ∫ #

a

d†‹†Š© /

Trong #i6u th3c t4ch phân †ác đLnh thay cho #i2n đ%c 8ƒp † ta cZ th6 #i6u di¢n Kua các #i2nsố #,t 1= 1hác/ T3c 8!”

∫ ∫ ∫ == #

a

#

a

#

a

dŸ‹ŸŠ© dt‹tŠ© d†‹†Š© ; ŠNPN‹

:::0 Các th& NY -/ T(ch phLn .ác đ/nh c,a h4m 3 Z c

E!m h0ng y — c 1hả t4ch trong m+i 1hoảng đZng ¬a$#/ X,y m%t phân hoạch δ tŒy [ đoạn¬a$# g\m các đoạn ∆†i/ Dh+n ξi∈ ∆i tŒy [/Ta cZ ©Šξi‹ ≡ c ∀ξi/

T5ng ( ) ‹a #/Šc†/c†/c†/© n

-i

i

n

-i

i

n

-i

ii −=∆=∆=∆ξ= ∑∑∑===

ƒy ‹a #/Šccd†d†‹†Š©

#

a

#

a −== ∫ ∫ ŠNPS‹

Đây ch4nh 8! di(n t4ch của h=nh ch“ nhƒt được giUi hạn #i đư:ng th‰ng y — c$ song song UiA†$ trục A† ! các đư:ng th‰ng † — a$ † — #

./ T(ch phLn .ác đ/nh c,a h4m đng nh)t 3 Z .

E!m y — † 1hả t4ch trong m+i 1hoảng ¬a$#/ X,y phân hoạch δ đoạn ¬a$# g\m các đoạn ∆†i

được †ác đLnh #i các đi6m chia a — ao < a-< a.<; < an — #/

∆†i — ai − ai−- Ši — -$ .$;$ n‹/

S.




X,y đi6m ξi∈ ∆†i tŒy [/ Ta cZ ©Šξi‹ ≡ ξi

Xƒp t5ng” ∑∑==

∆ξ=∆ξ=n

-i

ii

n

-i

ii ††‹Š© ŠNP‹

>iả s †i 8! trung đi6m của đoạn ∆†i$ t3c.

aa† -ii

i−+

=

Ta i2t 8ại ŠNP‹ dưUi dạng mUi”

( )∑∑==

∆−ξ+∆=n

-i

iii

n

-i

ii †††† ŠNP‹

£t số hạng th3 nh,t của t5ng

∑∑∑=

−−

=

−

=

−=−

+=∆

n

-i

.

-i

.

i

-ii

n

-i

-iin

-i

ii.

aa‹aaŠ

.

aa††

.

a

.

a///

.

a

.

a

.

a

.

a .

-n

..

-

.

.

.

o

.

- −−++−+−=.

.. ab −=

£t số hạng th3 hai của t5ng ( ) ∑ ∑∑

= ==

δ−ξ≤∆−ξ≤∆−ξn

-i

n

-i

iiiii

n

-i

iii †††††

Ch? @ Ui †i 8! trung đi6m đoạn ∆†i ! ξ? ∈ ∆†i tŒy [ ta 8uôn cZ”.

†† i

ii

∆<−ξ

ƒy ( ) ( )a #.

-†/

.

-††v

n

-i

i

n

-i

iii −δ=∆δ≤∆−ξ= ∑∑==

J2u ch+n m%t dWy phân hoạch chuµn ˜δn™ #,t 1= ta 8uôn cZ”

n

..

n v .

a # +

−=

¼ đây nn a #.

-v δ−≤

Dhuy6n Kua giUi hạn Qv 8im nn

=∞→ = Q8im n

n=δ

∞→

T3c.

a #v 8im

.

a #8im

..

nn

..

nn

−=+

−=

∞→∞→

ƒy.

a #†d†

.. #

a

−=∫

Đây ch4nh 8! di(n t4ch của h=nh thang được giUi hạn #i đư:ng y — †$ trục A† ! các đư:ngth‰ng † — a$ † — #/

/20 Mw% 5: %l7H CH% CUV %lCH H7 86C !j7H

T4nh ch,t của t4ch phân †ác đLnh được th6 hi(n Kua các đLnh 8[ sau”

SM




ĐLnh 8[ -” T5ng của hai h!m số ©Š†‹ ! ϕŠ†‹ 1hả t4ch trong 1hoảng đZng ¬a$# 8! m%t h!m1hả t4ch tr)n đoạn đZ !”

[ ] ∫ ∫ ∫ ϕ+=ϕ+ #

a

#

a

#

a

d†‹†Šd†‹†Š© d†‹†Š‹†Š© ŠNPR‹

Dh3ng minh” Ui phân hoạch δ #,t 1=$ ta 8ƒp các t5ng”

( )∑=

∆ξ=n

-i

ii †©

( )∑=

∆ξϕ=n

-i

ii †¹ Ui ξi∈ ∆†i

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑ ∑= = =

∆ξϕ+ξ=∆ξϕ+∆ξ=+n

-i

n

-i

n

-i

iiiiiii †© ††© ¹

J2u ˜δn™ 8! m%t dWy phân hoạch chuµn$ 1hi đZ”

¹

nnn

¹

nnn

8imn8im‹Š8im∞→∞→∞→

+=+

Th<o giả thi2t ©Š†‹ ! ϕŠ†‹ 1hả t4ch tr)n các giUi hạn 2 phải 8! t\n tại/ Đi*u đZ cZ ngha 8!giUi hạn của 2 trái ŠNP-Q‹ 8! t\n tại/ T3c h!m số ©Š†‹ š ϕŠ†‹ 1hả t4ch trong ¬a$# !”

[ ] ∫ ∫ ∫ ϕ+=ϕ+ #

a

#

a

#

a

d†‹†Šd†‹†Š© d†‹†Š‹†Š©

Đây ch4nh 8! đi*u c7n phải ch3ng minh/

ĐLnh 8[ .” T4ch của m%t h0ng số 1 Ui m%t h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch trong 1hoảng đZng ¬a$#c‘ng 8! m%t h!m 1hả t4ch trong 1hoảng n!y !”

∫ ∫ = #

a

#

a

d†‹†Š© /1 d†‹†Š© /1 ŠNP--‹

Th4 dụ” T4nh ( )∫ +=-

Q

d†c #†?

Ta cZ” ∫ ∫ ∫ ∫ +=+=-

Q

-

Q

-

Q

-

Q

cd††d†/ #cd† #†d†? c #.

-‹Q-Šc

.

Q-/ # +=−+

−=

ĐLnh 8[ M” J2u h!m số ©Š†‹ đ\ng nh,t #0ng Q h7u 1hVp n"i tr)n 1hoảng đZng ¬a$# tr‡ m%t

số h“u hạn đi6m th=” Qd†‹†Š©

#

a

=∫

Dh3ng minh” >iả s 1 8! số đi6m m! tại đZ h!m ©Š†‹ ≠ Q$ ! ‹†Š© ma† †∀= $ † ∈ ¬a$#/ hi đZUi m+i phân hoạch δ ta cZ” δ≤ //1 .

Jhư ƒy n2u ˜δn™ 8! m%t dWy phân hoạch chuµn$ 1hi đZ dWy t5ng ñ™ tư"ng 3ng Ui nZ 8uôncZ”

nn //1 . δ≤

= Q8im nn

=δ∞→

n)n Q8im nn

=∞→

SN




Eay Qd†‹†Š©

#

a

=∫ / Đi*u c7n ch3ng minh/

ĐLnh 8[ N” J2u các h!m số ©Š†‹ ! ϕŠ†‹ ch’ 1hác nhau tại m%t số h“u hạn đi6m tr)n 1hoảngđZng ¬a$# ! giả thi2t m%t trong các h!m số n!y 1hả t4ch th= ta 1h‰ng đLnh r0ng h!m số 1ia c‘ng1hả t4ch ! h"n n“a

∫ ∫ ϕ= #

a

#

a

d†‹†Šd†‹†Š©

Dh3ng minh” £t h!m ©Š†‹ − ϕŠ†‹$ ta th,y r0ng nZ #0ng 1hông h7u 1hVp n"i tr)n 1hoảng đZng¬a$#$ tr‡ m%t số h“u hạn đi6m/ Th<o đLnh 8[ M”

[ ] Qd†‹†Š‹†Š© #

a

=ϕ−∫ ŠNP-.‹

>iả s r0ng ϕŠ†‹ 8! h!m 1hả t4ch/ = ©Š†‹ — ¬©Š†‹ − ϕŠ†‹ š ϕŠ†‹/ Jhư ƒy ta cZ th6 †<m ©Š†‹8! t5ng của hai hám số 1hả t4ch tr)n 1hoảng đZng ¬a$# n)n ©Š†‹ c‘ng 8! m%t h!m 1hả t4ch tr)n1hoảng đZ/ o ŠNP-.‹ n)n”

[ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ=ϕ+ϕ−= #

a

#

a

#

a

#

a

d†‹†Šd†‹†Šd†‹†Š‹†Š© d†‹†Š©

Đây 8! đi*u c7n phải ch3ng minh/

ĐLnh 8[ S” J2u h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch trong 1hoảng đZng ¬a$#$ a < #/ J2u ©Š†‹ ≥ Q ∀† ∈ ¬a$#

th= Qd†‹†Š© #

a

≥∫

o các t5ng đ*u dư"ng n)n giUi hạn dư"ng/

ĐLnh 8[ ” J2u các h!m ©Š†‹ ! gŠ†‹ 1hả t4ch tr)n 1hoảng đZng ¬a$# ! n2u ©Š†‹ ≤ gŠ†‹$ ∀†

∈¬a$# th= ∫ ∫ ≤ #

a

#

a

d†‹†Šgd†‹†Š© /

Ta ch3ng minh đLnh 8[ n!y dựa !o đLnh 8[ S 1hi †£t”

gŠ†‹ − ©Š†‹ ≥ Q ∀† ∈ ¬a$#

J)n [ ] Qd†‹†Š© ‹†Šg

#

a

≥−∫

Qd†‹†Š© d†‹†Šg #

a

#

a

≥−⇒ ∫ ∫ / o ƒy ∫ ∫ ≤ #

a

#

a

d†‹†Šgd†‹†Š©

ĐLnh 8[ ” J2u h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n 1hoảng đZng ¬a$# th= h!m ·©Š†‹· c‘ng 1hả t4ch tr)nđoạn đZ !”

∫ ∫ ≤ #

a

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© ŠNP-M‹

@p dụng đối Ui t5ng ta cZ”

∑∑==

∆ξ≤∆ξ=n

-i

ii

n

-i

ii †‹Š© †‹Š©

SS




n)n ta nhƒn được ŠNP-M‹/

ĐLnh 8[ |” E!m số ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n 1hoảng đZng ¬a$# ! n2u m$ 8! các trL nhY nh,t !8Un nh,t của ©Š†‹ tr)n ¬a$# th=”

‹a #Šd†‹†Š© ‹a #Šm

#

a

−≤≤− ∫ ŠNP-N‹

Dh3ng minh” X,y phân hoạch δ$ 8ƒp t5ng” ∑=

∆ξ=n

-i

ii †‹Š©

Ta cZ” ∑∑∑−==

∆≤∆ξ≤∆n

-i

i

n

-i

ii

n

-i

i †/†‹Š© †m

Eay ∑=

−≤∆ξ≤−n

-i

ii ‹a #Š†‹Š© ‹a #Šm

o ©Š†‹ 1hả t4ch n)n ‹a #Šd†‹†Š© ‹a #Šm #

a

−≤≤− ∫ / Đi*u c7n ch3ng minh/

Dhia cả . 2 của ŠNP-N‹ cho Š#−a‹ ta cZ”

m ≤ ∫ −

#

a

d†‹†Š© a #

- ≤ ŠNP-S‹

Đ›t ∫ −=µ

#

a

d†‹†Š© a #

-/ Ta g+i µ 8! giá trL trung #=nh của t4ch phân †ác đLnh ! c‘ng ch4nh

8! giá trL trung #=nh cảu h!m ©Š†‹ tr)n đoạn ¬a$ #/

/0 !:{ D:|7 DHx %lCH CUV H5M L:T7 %ỤC

£t h!m số ©Š†‹ †ác đLnh$ 8i)n tục tr)n ¬a$ # Ui δ 8! ph£p phân hoạch #,t 1= đoạn ¬a$ #/>+i mi$ i 8! các giá trL #£ nh,t ! 8Un nh,t của ©Š†‹ tr)n ∆†i$ ta 8ƒp các t5ng”

e — ∑=

∆n

-i

ii † ŠNP-‹

s — ∑=

∆n

-i

ii †m ŠNP-‹

¼ đây e$ s được g+i 8! các t5ng ac#u tr<) ! dưUi của h!m ©Š†‹ 3ng Ui phân hoạch δ của¬a$ #/

Ta 8uôn cZ” s ≤ ≤ e ŠNP-|‹

Ui ˜δn™ 8! dWy phân hoạch chuµn th= đối Ui h!m ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$ #$ ngư:i ta đWch3ng minh được r0ng”

Q‹se8imŠ nn =− ŠNP-R‹

S




J2u ta t®ng số đi6m chia của phân hoạch δ th= Ui ph£p phân hoạch mUi δª ta 8uôn cZ t5ngtr)n s« giảm ! t5ng dưUi s« t®ng 8)n ! = ƒy t5ng tr)n của m%t phân hoạch #,t 1= 8uôn 8Un h"nt5ng dưUi của m%t phân hoạch #,t 1= 1hác/T3c 8! Ui hai phân hoạch δ$ δª ta cZ”

sª ≤ e ŠNP.Q‹

ĐLnh 8[ R” J2u hai h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$# th= ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ #

Dh3ng minh” Th<o giả thi2t ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$ # n)n nZ 8i)n tục đ*u tr)n đZ/ Jgha 8! Ui ¾°Q$∃δ — δŠ¾‹ ° Q sao cho

†-$ †. ∈ ¬a$ # – ·†- − †.· ± ¿ th= ·©Š†-‹ − ©Š†.‹· ±a # −

ε

Ui ¿ t=m được ta thi2t 8ƒp phân hoạch ¬a$ #/ hi đZ”

e − s — ∑=

∆−n

-i

iii †‹mŠ / Jhưng do các ∆† ≤ ¿

n)na #

n−ε

≤−

T3c 8! ·e−s· ≤ ∑=∆−ε

n

-i

i†a # — ¾/

ƒy ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ #/

ĐLnh 8[ -Q” J2u h!m ©Š†‹ #L ch›n ! ch’ cZ m%t số h“u hạn đi6m gián đoạn tr)n ¬a$ # th=©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ #/

Dh3ng minh” >iả s r0ng ©Š†‹ ch’ gián đoạn tại m%t đi6m †o ∈ ¬a$ #/ Ui số ¾ ° Q ta tách ¬a$#th!nh . ph7n” m%t ph7n 8! 8ân cƒn Š†o − ¾$ †o š ¾‹ ! ph7n c¡n 8ại/ Tr)n ph7n c¡n 8ại ©Š†‹ 8)n tụcn)n 8i)n tục đ*u/ Ui số ¾ ° Q n)u tr)n ∃¿ — ¿Š¾‹ ° Q ! ta †<m/ Ta 8uôn †<m ¿ ± ¾ m! 1hông cZ g=mâu thu³n$ 1hi đZ Ui phân hoạch ¿ các đi6m chia 8uôn r"i !o . trư:ng hợp”

− J0m ho!n to!n ngo!i 8ân cƒn Š†o − ¾$ †o š ¾‹/ 4 hi(u 8! iª

− DZ m%t số đi6m n0m trong 8ân cƒn đZ/ 4 hi(u 8! i¦/>+i ¶ 8! #i)n đ% 8Un nh,t của các giá trL của ©Š†‹ tr)n ¬a$ #/ hi đZ i − ni ≤ ¶ Ui m+i

1hoảng chia ∆†i/

Ta cZ” e − s — ∑=

∆−n

-i

iii †‹mŠ — ∑ ∆−¹i

¹i¹i¹i †‹mŠ š ∑ ∆−Ài

ÀiÀiÀi †‹mŠ

¼ đây ∑ ∆−¹i

¹i¹i¹i †‹mŠ ≤ ∑ ∆ε¹i

¹i† ± ¾Š# − a‹

∑ ∆−Ài

ÀiÀiÀi †‹mŠ ≤ Á ∑ ∆Ài

Ài† ± N¾Á

⇒ e −s ≤ ¾¬Š#−a‹ š NÁ — ¾œ/

Dh3ng tY r0ng ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ #/

/40 BS H7 CH:V DH[x7 LK %lCH H7

}C7 LK %lCH H7

S




:0 Be #h$n chiG 'h"ảng WQP t&ch #h$nĐLnh 8[ --” J2u a ± # ± c ! n2u h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch trong 1hoảng ¬a$ c th=

∫ ∫ ∫ =+c

a

c

a

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š© ŠNP.-‹

Dh3ng minh” Xƒp dWy phân hoạch chuµn ˜¿n™ của ¬a$ c sao cho # 8! m%t đi6m chia của #,t 1= phân hoạch ¿n n!o/ 4 hi(u n 8! dWy t5ng tư"ng 3ng của ˜¿n™/ 4 hi(u ∆†iª 8! các đoạn chia thu%c¬a$ #$ ∆†i¦ 8! đoạn chia thu%c ¬#$ c ! ξiª ∈ ∆†iª$ ξi¦ ∈ ∆†i¦

n — ∑ ∆ξ¹i

¹i¹i †‹Š© š∑ ∆ξÀi

ÀiÀi †‹Š©

Đ›t nª — ∑ ∆ξ¹i

¹i¹i †‹Š© – n¦ — ∑ ∆ξÀi

ÀiÀi †‹Š©

o ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ c/ ! do ˜¿n™ 8! phân hoạch chuµn n)n nª ! n¦ đ*u cZ giUi hạnh“u hạn 1hi n Â Ã/ T3c 8! ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ #$ ¬#$ c/

Ta nhƒn được ŠNP.-‹/

::0 C;n WQP t&ch #h$nĐLnh ngha .” >iả s h!m ©Š†‹ 1hả t4ch trong ¬a$ #$ a ± #$ 1hi đZ ta đ›t

∫ ∫ −=a

#

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© ŠNP.M‹

E( Kuả” Qd†‹†Š©

a

a

=∫ ŠNP.N‹

ĐLnh 8[ -.” J2u a$ #$ c 8! các h!m số #,t 1= th= ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n m+i đoạn 8ƒp #i a$ #$ c th=

∫ ∫ ∫ =+c

a

c

#

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š© ŠNP.S‹

Dh3ng minh”

-/ J2u a ± # ± c th= ŠNP.S‹ suy ra t‡ ŠNP.-‹

./ J2u a± c ± # 1hi đZ th<o ŠNP.-‹ ta cZ”

∫ ∫ ∫ =+ #

a

#

c

c

a

d†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š©

⇒ ∫ ∫ ∫ =−c

a

#

c

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š©

∫ ∫ ∫ =+c

a

c

#

#

a

d†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š© / Đi*u phải ch3ng minh/

Jhƒn †£t” -/ J2u a — # ho›c a — c ho›c # — c th= đLnh 8[ 8! hi6n nhi)n/

./ Dông th3c ŠNP.S‹ cZ th6 i2t 8ại dưUi dạng

S|




Qd†‹†Š© d†‹†Š© d†‹†Š©

a

c

c

#

#

a

≡++ ∫ ∫ ∫ ŠNP.‹

ĐLnh ngha M” Dác số a$ # trong #i6u th3c t4ch phân ∫ #

a

d†‹†Š© được g+i 8! các cƒn của t4ch

phân †ác đLnh/ JZ 1hông phụ thu%c !o giá trL đại số m! ch’ phụ thu%c !o L tr4/ J2u L tr4 n0m ph4a tr)n ta g+i 8! cƒn tr)n$ L tr4 n0m ph4a dưUi g+i 8! cƒn dưUi/

/+0 H5M B :: H97 %rT7}:: H97 I: CUV

%lCH H7 86C !j7H

Đ6 đưa ra cách t4nh t4ch phân †ác đLnh 1hi #i2t được nguy)n h!m của t4ch phân 1hông †ácđLnh của nZ ch'ng ta †ây dựng các h!m số của giUi hạn tr)n ! dưUi của t4ch phân †ác đLnh như

sau/ĐLnh ngha M” J2u h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ # ! Ui †$ α ∈ ¬a$ # #,t 1= ta 8ƒp h!m”

¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© − g+i 8! h!m của giUi hạn tr)n

! φŠ†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© − g+i 8! h!m của giUi hạn dưUi của t4ch phân †ác đLnh của h!m ©Š†‹

¼ đây φŠ†‹ — −¨Š†‹ ŠNP.‹

Dác h!m ¨Š†‹$ φŠ†‹ phụ thu%c !o i(c ch+n đi6m α ∈ ¬a$ #/

Dh3ng minh” £t đi6m †o ∈ ¬a$ # ! Ui λ đủ #£ đ6 †o š λ ∈ ¬a$ #Ta cZ”

¨Š†o š λ‹ − ¨Š†o‹ — ∫ ∫ ∫ λ+

α

λ+

α

=−Q

Q

QQ †

†

††

dt‹tŠ© dt‹tŠ© dt‹tŠ© ŠNP.|‹

= ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ # n)n ©Š†‹ #L ch›n tr)n đZ/ Ta suy ra ·©Š†‹· ± X ∀† ∈ ¬a$ #/

ƒy ·¨Š†o š λ‹ − ¨Š†o‹· — ∫ λ+Q

Q

†

†

dt‹tŠ© ≤ ∫ λ+Q

Q

†

†

dt·‹tŠ© · ≤ ∫ λ+Q

Q

†

†

Xdt — X/·λ·

v² r!ng 1hi λ Â Q Ta cZ ¨Š†o š λ‹ Â ¨Š†o‹/ T3c h!m ¨Š†‹ 8i)n tục tại †o/ Đi*u n!y thYa

mWn ∀†o ∈ ¬a$ # n)n ¨Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$ #/

/,0 %lCH H7 86C !j7H 5 7KT7 H5M

SR




ĐLnh 8[ -N” J2u h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n ¬a$ # Ui α$ † ∈ ¬a$ # ta 8uôn cZ đạo h!m của

h!m số ¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© t\n tại ! #0ng giá trL của h!m ©Š†‹ tại mi đi6m m! h!m n!y 8i)n tục/

Dh3ng minh”

>iả s ©Š†‹ 8i)n tục tại †o∈¬a$ #/ Ui ¾ ° Q$ ∃η — ηŠ¾‹ sao cho ∀† ∈ ¬a$ # m! ·† − †o·±η th=

·©Š†‹ − ©Š†o‹· ± ¾ ŠNP.R‹

£t ¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© $ α ∈ ¬a$ #

Ta cZ” ¨Š†‹ − ¨Š†o‹ — ∫ ∫ ∫ =−αα

†

†

††

Q

Q

dt‹tŠ© dt‹tŠ© dt‹tŠ© ŠNPMQ‹

∫ −=

−− †

†QQ

Q

Q

dt‹tŠ© ††

-

††

‹†Š¨‹†Š¨— ©Šc‹ 8! giá trL trung #=nh của h!m

Ui t ∈ ¬†o$ † ta cZ” ·t − to· ≤ ·† − †o· ± η $ = ƒy ©Št‹ c‘ng thYa mWn ŠNP.R‹$ t3c ©Šc‹ th²amWn ŠNP.R‹/ ƒy

©Š†o‹ − ¾ ±Q

Q

††

‹†Š¨‹†Š¨

−−

± ©Š†o‹ š ¾

hay ε<−−−

‹†Š© ††

‹†Š¨‹†Š¨Q

Q

Q

DZ ngha ‹†Š© ††

‹†Š¨‹†Š¨8im Q

Q

Q

†† Q

=−−

→ ŠNPM-‹

Th<o giả thi2t ©Š†‹ 8i)n tục tại †o$ n)n ©Š†‹ h“u hạn/ 2 trái ŠNPM-‹ th<o đLnh ngha 8! đạo

h!m của ¨Š†‹ tại †o/ Đi*u phải ch3ng minhTa cZ” ¨ªŠ†‹ — ©Š†‹ ŠNPM.‹

tại nh“ng đi6m † m! ©Š†‹ 8i)n tục/ euy ra các đLnh 8[ sau”

ĐLnh 8[ -S” E!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$ # cZ nguy)n h!m trong 1hoảng n!y ! nguy)nh!m đZ cZ #i6u di¢n

¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© š D ŠNPMM‹

ĐLnh 8[ -” J2u ¨Š†‹ 8! m%t nguy)n h!m của h!m số ©Š†‹ 8i)n tục tr)n ¬a$ # th= Ui †$α∈

¬a$# ta cZ”

∫ α

†

dt‹tŠ© — ¨Š†‹ − ¨Šα‹ ŠNPMN‹

Dh3ng minh” Th<o giả thi2t ¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© 8! m%t nguy)n h!m n)n nZ cZ #i6u di¢n ŠNPMM‹

Q




¨Š†‹ — ∫ α

†

dt‹tŠ© š D

J2u đ›t † — α ta nhƒn được DDdt‹tŠ© ‹Š¨ =+=α ∫ α

α

euy ra ‹Š¨dt‹tŠ© ‹†Š¨

†

α+= ∫ α

Eay ‹Š¨‹†Š¨dt‹tŠ©

†

α−=∫ α

/ Đi*u phải ch3ng minh/

Jhƒn †£t” J2u trong ŠNPMN‹ đ›t † — #$ α — a ta nhƒn được”

‹aŠ¨‹ #Š¨d†‹†Š©

#

a

−=∫ ŠNPMS‹

Đây 8! công th3c Jiut"n−X£pn4t cho ph£p ta t4nh t4ch phân †ác đLnh Kua nguy)n h!m ¨Š†‹

của t4ch phân 1hông †ác đLnh của nZ/Ta cZ th6 i)t đ"n giản h"n”

· #

a

#

a

‹†Š¨d†‹†Š© =∫ ŠNPM‹

/~0 y:•7 !€: %lCH H7 86C !j7H

:0 !i i]n t‚"ng t&ch #h$n )ác đ*nh£t t4ch phân ∫

#

a

d†‹†Š© ŠNPM-‹

e dụng ph£p th2 † — ϕŠt‹ ŠNPM.‹

d† — d¬ϕŠt‹ —[ ]

dtdt

‹tŠd⋅

ϕ — ϕªŠt‹dt

©Š†‹ — © ¬ϕŠt‹

a — ϕŠα‹ – # — ϕŠβ‹

hi đZ [ ] dt‹tŠ¹/‹tŠ© d†‹†Š©

#

aϕϕ= ∫ ∫

β

α ŠNPM.‹

Ch? @” hi s dụng ph£p #i2n đ5i #i2n số ta ho›c 8! đ5i cƒn$ ho›c 8! t4ch phân 1hông †ácđLnh th<o #i2n mUi$ ti2p đZ tr * #i2n #an đ7u ! t4nh th<o các cƒn đW cho/

Th4 dụ -” T4nh ∫ +-

Q

. d††-†

Đ›t .†- + — t – †. — -t. −

-




Ta cZ † — Q – t — -

† — - – t — .

d† —-t

tdt

. −

M

-..

M

t

dttd††-† · .

-

M.

-

.t-

Q

. −===+ ∫ ∫

Th4 dụ .” T4nh ∫ ++-

Q

. d†

†-

‹†-8nŠ

Đ›t † — tgt – d† —tcos

dt.

Ta cZ † — Q – t — Q

† — - – t — Nπ

∫ ∫ ∫ ππ −

π

=+=+

+ N

Q

N

Q

t-

Q

. dt

tcos

‹tNcosŠ.8ndt‹tgt-8nŠd†

†-

‹†-8nŠ

— ∫ ∫ ∫ π ππ

−−π

+N

Q

N

Q

N

Q

tdtcos8ndt‹tN

cosŠ8ndt.8n

Ch? @” ∫ ∫ π π

=−πN

Q

N

Q

tdtcos8ndt‹tN

cosŠ8n

ƒy ∫ ++-

Q

. d†

†-

‹†-8nŠ— .8n

|t/.8n

.

-dt.8n ·

N

Q

N

Q

π==

ππ

∫

Th4 dụ M” T4nh ∫ π

+Q

. d††cos-

†sin†

Ta tách mi*n 8,y t4ch phân th!nh . 1hoảng ¬Q$.

π $ ¬ π

π$

.

∫ π

+Q

. d††cos-

†sin† — ∫

π

+

.

Q

. d††cos-

†sin† š ∫

π

π +.

. d††cos-

†sin†

Bi2n đ5i t4ch phân th3 hai #0ng cách đ›t † — π − t – d† — −dt

∫ π

π +.

. d††cos-

†sin† — − ∫ π −π+ −π−πQ

.

. dt

‹tŠcos-‹tsinŠ‹tŠ — ∫

π

+−π.

Q

. dttcos-tsin‹tŠ

i2t 8ại ∫ π

+Q

. d††cos-

†sin† — ∫

π

+

.

Q

. d††cos-

†sin† š ∫

π

+π.

Q

. d††cos-

†sin − ∫

π

+

.

Q

. d††cos-

†sin†

— ∫ π

+π.

Q

. d††cos-

†sin — − ∫

ππ π

=π−=+

.

Q

..

Q. N†cos8n

†cos-

†cosd·

.




::0 hương #há# t&ch #h$n tqng #hần>iả s ©Š†‹$ ϕŠ†‹ 8i)n tục cŒng các đạo h!m của nZ tr)n ¬a$ # ! ¨Š†‹ — ©Š†‹/ϕŠ†‹

hi đZ ¨ªŠ†‹ — ©ªŠ†‹/ϕŠ†‹ š ©Š†‹/ϕªŠ†‹ ŠNPMM‹

›t 1hác · #

a

#

a

‹†Š¨d†‹†Š¹¨ =∫ ŠNPMN‹

T4ch phân hai 2 ŠNPMM‹ ta cZ”

[ ]∫ ∫ ϕ+ϕ= #

a

#

a

d†‹†Š¹‹†Š© ‹†Š‹†Š¹© d†‹†Š¹¨

— ∫ ∫ ϕ+ϕ #

a

#

a

d†‹†Š¹‹†Š© d†‹†Š‹†Š¹© ŠNPMS‹

T‡ ŠNPMN‹$ ŠNPMS‹ ta r't ra”

∫ ∫ ϕ−ϕ=ϕ #

a

#

a

#

a

d†‹†Š¹‹†Š© ‹†Š‹†Š© d†‹†Š‹†Š¹© · ŠNPM‹

! ∫ ∫ ϕ−ϕ=ϕ #

a

#

a

#

a

d†‹†Š‹†Š¹© ‹†Š‹†Š© d†‹†Š¹‹†Š© · ŠNPM‹

Th4 dụ -” T4nh ∫ π

Q

†d†cos†

Đ›t ©Š†‹ — †$ ϕªŠ†‹ — cos†/ ⇒ ϕŠ†‹ — sin†

.†cos†cosd†d†sin†sin††d†cos† ··Q

QQQ

Q

−===−= π

πππ

π

∫ ∫ ∫

Th4 dụ .” T4nh ∫ −-

Q

M. d†‹†-Š†

Đ›t ©Š†‹ — †.$ ϕªŠ†‹ — Š-−†‹M – ⇒ ϕŠ†‹ —N

‹†-Š N−−

ƒy ∫ −-

Q

M.d†‹†-Š† — ∫ ∫ −=

−+

−−

-

Q

N

-

Q

N-

Q

N.

d†‹†-Š†.

-d†

N‹†-Š†.

N

‹†-Š†·

Đ›t © œŠ†‹ — †.

-$ ϕªœŠ†‹ — Š-−†‹N$ ⇒

S

‹†-Š‹†Š

Sœ −

−=ϕ

Ta cZ” ∫ −-

Q

M. d†‹†-Š† — ∫ ∫ −+−−=−-

Q

S-

Q

S-

Q

N d†‹†-Š-Q

-‹†-Š†-Q

-d†‹†-Š†.

- ·

—•Q

-‹†-Š

•

-

-Q

-·-

Q

• =−⋅−

/-0 7 IỤ7 CUV Hƒ %l7H %lCH H7

M




:0 %&nh NiEn t&ch miZn #h„ng

>iả s trong m›t ph‰ng A†y ta cho cácđư:ng cong y- — ©Š†‹$ y. — gŠ†‹/ >+i 8! mi*n ph‰ng giUi hạn #i các đư:ng cong y- — ©Š†‹$y. — gŠ†‹$ † — a$ † — #/ Ta †ác đLnh di(n t4che của mi*n dựa !o t4ch phân †ác đLnh Ta cZ” e — e- − e.

E/.N

Trong đZ e- — di(n t4ch h=nh thang cong giUi hạn #i y- — ©Š†‹$ y — Q$ † — a$ † — #

e. — di(n t4ch h=nh thang cong giUi hạn #i y. — gŠ†‹$ y — Q$ † — a$ † — #

T3c e — [ ]∫ ∫ ∫ −=− #

a

#

a

#

a

d†‹†Šg‹†Š© d†‹†Šgd†‹†Š© ŠNPM|‹

Trong trư:ng hợp t5ng Kuát ta cZ”

e — ∫ − #

a

d†·‹†Šg‹†Š© · ŠNPMR‹

Ch? @” Đ6 t4nh di(n t4ch mi*n ph‰ng giUi hạn #i m%t số h“u hạn các đư:ng cong ta c7n Kua các #i)n/

-/ ác đLnh giao đi6m của các đư:ng cong

./ ác đLnh di(n t4ch mi*n ph‰ng giUi hạn #i các đư:ng cong

M/ T4nh t4ch phân †ác đLnh th<o các mi*n ph‰ng ch’ ra

Th4 dụ” T4nh di(n t4ch mi*n ph‰ng giUi hạn #icác đư:ng cong p†.y. = ! py.† . =

Eai đư:ng cong cVt nhau tại †—Q$ †—.p$y—Q$ y—.p/ Th<o h=nh « ta cZ”

d†‹ p.

† p†.Še

p.

Q

.

B ∫ −=

— Š p.

Q

M

‹ p•

††/ p.

M

. M. − —N . p

E/.S

::0 %&nh thd t&ch

N




£t ƒt th6 trong h( A†yŸ như cho tr)nh=nh «/ Ta †<m th6 t4ch 8! t5ng của các trụcZ đáy 8! e ‹Š i . ! chi*u cao 8! ∆ i . n!o đ,y/

Jhư ƒy nZ cZ dạng 8! m%t t5ng t4ch phân/ ƒycông th3c t4nh t5ng th6 t4ch 8!”

— ∫ b

a eŠ†‹d† ŠNPNQ‹

E/.

Trong trư:ng hợp ƒt 8! 1hối tr¡n †oay do m%t h=nh ph‰ng 8! h=nh thang cong ˜y—©Š†‹$ †—a$†—#™cho trong m›t ph‰ng A†y ! Kuay Kuanh trục A†/ hi đZ eŠ†‹ ch4nh 8! h=nh tr¡n #án 14nh©Š†‹/

ƒy” — ∫ b

aeŠ†‹d† — ∫

b

aŠ†‹d†©

.π — π ∫ b

aŠ†‹d†©

. ŠNPN-‹

:::0 %&nh đ^ Nài cung >iả s trong m›t ph‰ng toạ đ% A†y ta †£tđư:ng cong s cho dưUi dạng tham số”

ψ =ϕ=

‹tŠy

‹tŠ†ŠN−N.‹

Ui t ∈ ¬α$ β ! sŠt‹ 1hông tự cVt/

Đ6 t4nh chi*u d!i của s t‡ tQ — α đ2n t- — βta thực hi(n như sau”

E/ .

Tr)n sŠt‹ ta 8,y đi6m iŠti ‹ Ui ? — -$ n/ Ta thi2t 8ƒp các dây cung-ii ++ ! 8ƒp t5ng”

∑+

+

n

-n

-ii / ¼ đây”-ii ++ — .

i-i

.

i-i ‹yyŠ‹††Š −+− ++

›t 1hác ii . . −+ - — ii

¹

i-ii

¹ t‹tŠ‹tt‹ŠtŠ ∆ϕ=−ϕ +

ii 3 3 −+ - — ii

¹

i-ii

¹ t‹tŠ‹tt‹ŠtŠ ∆ψ =−ψ +

ƒy ∑+

+

n

-n

-ii — i

n

-n

œ

i

.¹œ

i

.¹ t‹tŠ‹tŠ ∆ψ +ϕ∑+

ŠNPNM‹

ŠNPN-‹ cZ dạng của m%t t5ng t4ch phân/ hi i

t

∆ →Q ta nhƒn được giUi hạn của nZ ch4nh 8! chi*ud!i của cung sŠt‹/

T3c 8!” sŠt‹βα ∫

β

α

ψ +ϕ= dt‹tŠ‹tŠ .¹.¹ ŠNPNN‹

Jhƒn †£t”

-O Trong trư:ng hợp đư:ng cong cho dưUi dạng

† — †

S




y — ©Š†‹

th= sŠ†‹ #

a ∫ += #

a

.¹d†‹†Š© - ŠNPNS‹

.O J2u đư:ng cong sŠt‹ được cho #i phư"ng tr=nh tham số trong 1hông gian”

† — ϕŠt‹

y — ψ Št‹Ÿ — χŠt‹

th= sŠt‹ #

a ∫ β

α

χ+ψ +ϕ= dt‹tŠ‹tŠ‹tŠ .¹.¹.¹

ŠNPN‹

Th4 dụ” T5ng đ% d!i của m%t cung yc8oit cho #i phư"ng tr=nh

† — aŠtPsint‹

y — acost $ t ∈ ¬Q$ .π

cZ” ‹tcos-Ša‹tŠ†¹ −=

tsina‹tŠ¹y −=

s — dt t at a∫ Π

+−.

Q

....sin‹cos-Š — dt t a∫

Π

−.

Q

‹cos..Š — a dt t

∫ Π.

Q .sin. — PNa ∫

Π.

Q .cos

t d

— Pacos.

t Π.

Q — |a

/…0 %lCH H7 BK rw7

:0 %&ch #h$n suP ‚^ng W"ại : †Dh"ảng WQP t&ch #h$n v( hạn‡ĐLnh ngha” Dho h!m số ©Š†‹ 1hả t4ch tr)n m+i đoạn h“u hạn ¬a$#$ #°a/ J2u”

-/ ∃ ∫ ∞→

b

and. . 1 ‹Š8im h“u hạn th= ta g+i giUi hạn n!y 8! t4ch phân suy r%ng 8oại -/

./ hông t\n tạo giUi hạn tr)n ta nZi t4ch phân đW cho phân 1=/

Jhƒn †£t” ĐLnh ngha được m r%ng cho cƒn P∞ ! 1hoảng ŠP∞$ š∞‹/

Th4 dụ -” T4nh ∫ ∞+

+- .‹†-Š

d†— ∫ ++ ∞→

#

- . # ‹†-Š

d†8im — #

- # †-

†8im

+−

+ ∞→—

.

-

#-

-¬8im

#+

+−

+ ∞→—

.

-

Th4 dụ .” T4nh ∫ ∞− +Q

.†

d† — Q

aa

Q

aa.†8n8im

.†

d†8im +=+ − ∞→− ∞→ ∫ — .†8n.Š8n8im

a+−

− ∞→— P∞

T4ch phân đW cho phân 1=/

::0 %&ch #h$n suP ‚^ng W"ại :: †hàm đạt giá t‚* ˆ v( c‰ng‡




ĐLnh ngha” Dho h!m số ©Š†‹ đạt giá trL ô cŒng tại m%t số h“u hạn đi6m ∈ ¬a$ #/ Ta phân

¬a$ # th!nh h“u hạn các 1hoảng con ! n2u tr)n các 1hoảng con đZ” ∫ ξ

→

i

i

†

††d†‹†Š© 8im t\n tại h“u

hạn th= ta nZi t5ng giUi hạn đZ 8! t4ch phân suy r%ng 8oại hai của h!m ©Š†‹ tr)n ¬a$ # /

J2u cZ 4t nh,t m%t giUi hạn 1hông t\n tại ho›c #0ng ô cŒng th= t4ch phân của ©Š†‹ 8! phân

1=/

Th4 dụ” T4nh ∫ −

.

Q

. d†

‹†-Š

-

Ta cZ” ∫ −

.

Q

. d†

‹†-Š

- —

−+

− ∫ ∫ →

.

†

.

†

Q

.-† ‹†-Š

d†

‹†-Š

d†8im — ··

.

†Q-†

†

QQ-† †-

-8im

†-

-8im

−+

− +→−→

—

−−−−

−→ -†

---

-†

-8im

-† — −.

:::0 Các đ*nh W@ s" sánhĐLnh 8[ -” Dho ©Š†‹$ gŠ†‹ 1hả t4ch tr)n m+i đoạn ¬a$ # h“u hạn ! # 8Un tŒy [ ! Q ≤©Š†‹≤

gŠ†‹ ∀† ≥ a

hi đZ” n2u ∫ + ∞

a

d†‹†Šg h%i tụ suy ra ∫ + ∞

a

d†‹†Š© h%i tụ

n2u ∫ + ∞

a

d†‹†Š© phân 1= th= ∫ + ∞

a

d†‹†Šg phân 1=

ĐLnh 8[ -.” >iả s ©Š†‹$ gŠ†‹ 8! hai h!m 1hông âm$ 1hả t4ch tr)n m+i đoạn ¬a$ # h“u hạn$ #

8Un tŒy [/ hi đZ n2u t\n tại 1 ‹†Šg

‹†Š© 8im

†=

+ ∞→ ŠQ ± 1 ± š∞‹ th= các t4ch phân suy r%ng ∫

+ ∞

a

d†‹†Š© !

∫ + ∞

a

d†‹†Šg s« cŒng t4nh ch,t h%i tụ ho›c phân 1=/






Jhƒn †£t” š eự h%i tụ của chui cZ th6 Kui * sự t\n tại của giUi hạn của dWy t5ng ri)ng/

š Jgược 8ại sự t\n tại giUi hạn của dWy c‘ng cZ th6 Kuy * sự h%i tụ của chui/

Dho dWy †-$ /// $ †n /// t\n tại giUi hạn

Xƒp chui †- š Š†. − †-‹ š /// š Š†n − †n−-‹ š ///

¼ đây t5ng ri)ng ch4nh 8! các số hạng của dWy/

::0 Các t&nh chQt đơn giản@p dụng ti)u chuµn cosi cho sự h%i tụ của dWy n ta suy ra

-/ i%u i+n h9i t[ c,a chuỗi :G

Đi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 chui số Š‹ h%i tụ 8!” Ui số ¾ ° Q t=m được số tự nhi)n J sao cho

∀ n ° J ! ∀ số nguy)n p ta cZ” ε<++⇐− +++ ·a///a··· pn-nn pn

Đ›c #i(t n2u p — -⇒ ·anš-· ± ¾⇒ E( Kuả

E( Kuả” Đi*u 1i(n c7n đ6 chui số Š‹ h%i tụ 8!” Š1hông 8! đi*u 1i(n đủ‹

Qa8im nn

=∞→

./ 5G d8 $4 các t(nh ch)t ”

>+i chui” anš- š anš. š /// —∑

∞

=+

-1

1 na

Š¿‹

nhƒn được t‡ chui Š‹ #0ng cách #Y đi n số hạng đ7u 8! số dư của Š‹/

Dác chui Š‹ ! Š¿‹ cŒng h%i tụ ho›c phân 1=/

J2u 1hi ch'ng h%i tụ th= t5ng của Š¿‹ 14 hi(u 8! v n”

v n — ‹Š8ima8im nmnm

-1

1 nm

−= +∞→

∞

=+∞→ ∑ — − n

¼ đây P T5ng của chui n P T5ng ri)ng của n số hạng

hi đZ” Q‹Š8imv 8im nn

nn

=−=∞→∞→

M/ C ác ph#p t (nh tr H n chu ỗi : G h 9i t [

š J2u Š‹ h%i tụ th= chui số

∑∞

=

++++=-n

n.-n ///ca///cacaa/c

ŠD‹

c‘ng h%i tụ ! cZ t5ng 8! D/

š J2u hai chui số Š‹$ ŠB‹ h%i tụ ! $ B cZ t5ng tư"ng 3ng 8! th= chui Š š B‹”

∑

∞

=

+++++++=+-n

nn..--nn ///‹ #aŠ///‹ #aŠ‹ #aŠ‹ #aŠ

c‘ng h%i tụ ! cZ t5ng 8! š B

4 dụ -” Dhui số 8! c,p số nhân

a š aK š aK. š /// š aKn š /// Ui K Ä -

R




en —-K

-Ka

K-

aKa nn

−−

⋅=−

−

œ hi ·K· ± - e —K-

ae8im n

n −=

∞→ − chui h%i tụ

œ hi ·K· Å - an — a/Kn 1hông ti2n tUi 1hông − chui phân 1=

4 dụ .” Šw‹ ///n

-///

.

--

n

-

-n

++++=∑∞

=

un —n

- Â Q Šn Â Ã‹

Jhưng n — nn

-/n

n

-///

.

-- =>+++ Â Ã phân 1= 1hi n Â Ã

/20 I H:| Hw: %Ụ CUV CHŠ: Io7

ĐLnh ngha” ¼ đây ta ch’ †£t chui Ui các số hạng đ*u 1hông âm Šan Å Q‹/ hi đZ n 8!dWy số đ"n đi(u t®ng/ Dhui như ƒy 8! chui dư"ng/

:0 !iZu 'iEn hî tYĐLnh 8[” Đi*u 1i(n c7n ! đủ đ6 chui dư"ng Š‹ h%i tụ 8! dWy t5ng ri)ng #L ch›n tr)n/

n ± X ∀n

J2u ngược 8ại th= dWy n Â Ã ! chui phân 1=/

4 dụ” £t sự h%i tụ của chui đi*u h¡a

///n

-///

.

--

n

-

-n

++++=∑∞

=

Ta cZ”.

-

n.

-/n

-n.

-///

-n

-

n

-=>

−++

++

J2u †£t tr!n chui ta g%p các số hạng th<o t‡ng nhZm g\m .1 số hạng

$M-

.- + $

-

•-

S-

N- +++ -S

-///|- ++ $ ///

ta cZ t5ng mi nhZm đ*u °.

- ⇒ dWy t5ng ri)ng 1hông #L ch›n tr)n Â chui phân 1=/

::0 Các đ*nh W@ s" sánhĐLnh 8[ -” Dho hai chui số dư"ng Š‹$ ŠB‹$ n2u 16 t‡ số hạng n!o đZ Šn ° J‹ m! an ± #n

th=”

Q




š T‡ ŠB‹ h%i tụ suy ra Š‹ h%i tụ

š T‡ Š‹ phân 1= suy ra ŠB‹ phân 1=/

ĐLnh 8[ .” Dho hai chui số dư"ng Š‹$ ŠB‹

J2u cZ giUi hạn 1 #

a8im

n

n

n=

∞→ ŠQ ≤ 1 ≤ Ã‹ th=”

š T‡ sự h%i tụ ŠB‹ ! 1 ± Ã suy ra h%i tụ của Š‹/š T‡ sự phân 1= ŠB‹ ! 1 ° Q suy ra Š‹ phân 1=

ĐLnh 8[ M” Dho hai chui dư"ng Š‹$ ŠB‹

J2u 16 t‡ m%t số hạng n!o đZ Šch‰ng hạn n ° J‹n

-n

n

-n

#

#

a

a ++ < th=

š T‡ ŠB‹ h%i tụ suy ra Š‹ h%i tụ

š T‡ Š‹ phân 1= suy ra ŠB‹ phân 1=/

T‡ các đLnh 8[ tr)n ta suy ra r0ng” đ6 ch3ng minh sự h%i tụ của m%t chui số n!o đZ ta thư:ng sosánh nZ Ui m%t chui ¥m³u¦/ Dh‰ng hạn †£t chui viman”

///n-///

M-

.--

n-

ss-n

s ++++=∑∞

= Še ° Q‹

š Ui e — -/ Ta cZ nZ 8! chui đi*u h¡a ∑∞

= -n n

- phân 1=/

š Ui e ± -

v² r!ngn

-

n

-s > n)n chui c‘ng phân 1=/

š Ui e ° - chui h%i tụ/ ŠDh3ng minh #0ng d,u hi(u t4ch phân‹/

4 dụ -” £t chui”

∑∞

= +-n . ‹-nŠn

- h%i tụ =

.M

n

-

‹-nŠn

-

.<

+ s ° - h%i tụ ŠĐLnh 8[ -‹/

Eay -‹-nŠn

-”

n

-8im

.n .M

=+∞→

Â h%i tụ ŠĐLnh 8[ .‹

4 dụ .” ∑∞

= .n p‹nŠ8n

-Šp ° Q‹

Ui n 1há 8Un” Š8n n‹ p ± n Ân

-

‹nŠ8n

- p

> / _hân 1=

:::0 Các NQu hiEu hî tY ŠDosi − a8®m#< − vap Švaa#‹‹

e dụng chui m³u Š‹”

Dhui h%i tụ ///K///KKK n.

-n

n ++++=∑∞

= Q ± K ±-

Dhui phân 1= ///-///----n

n ++++=∑∞

=

-




-/ \ )u hi +u C o: i

ĐLnh 8[” >+i Dn — nna

− J2u Ui n 1há 8Un Dn ≤ K ± - th= chui Š‹ h%i tụ

− J2u 16 t‡ m%t 8'c n!o đZ Dn Å - th= chui Š‹ phân 1=/ Šeo sánh Dn Ui K‹

E( Kuả”

>iả s DD8im nn

=∞→

J2u D ± - chui h%i tụ

J2u D ° - chui phân 1=/

D — - chưa cZ 12t 8uƒn g=/

./ \)u hi+u \aF]mb"

ĐLnh 8[” >+in

-n

na

aB +=

− J2u Ui n 1há 8Un n ≤ K ± - th= chui h%i tụ/

− J2u 16 t‡ m%t 8'c n!o đZ n Å - th= chui phân 1=/E( Kuả” >iả s cZ BB8im n

n=

∞→

hi đZ”

− J2u ± - chui h%i tụ

− J2u ° - chui phân 1=

hông cZ 12t 8uƒn g= 1hi D — -

M/ \)u hi+u âp Šeo sánh Ui chui viman‹

ĐLnh 8[” >+i

−= +

n

-n

n

a

a-nv

hi đZ”

− J2u Ui n đủ 8Un v n Å n ° - chui số h%i tụ

− J2u 16 t‡ m%t 8'c n!o đZ v n ≤ - chui phân 1=/

E( Kuả” v v 8im nn

=∞→

− J2u v ° - chui h%i tụ

− J2u v ± - chui phân 1=

− J2u v — - chưa cZ 12t 8uƒn g=/

N/ \ )u hi +u t (ch ph L n

.




Dho chui dư"ng ∑∞

= -n

na trong đZ các số

hạng 8ƒp th!nh m%t dWy giảm

a- Å an Å an Å /// Å an Å /// Š°Q‹

£t h!m ©Š†‹ giảm tr)n ¬-$ šÃ‹

DZ an — ©Šn‹T5ng ri)ng

•n — a- š /// š an 8! di(n t4ch h=nh #ƒc thangngoại ti2p h=nh thang cong 8,p #i ©Š†‹

•nš- − a- — a. š aM š /// š anš- 8! di(n t4chh=nh #ƒc thang n%i ti2p h=nh thang cong/

J)n”

--n

-n

-

n ad†‹†Š© −≥≥ +

+

∫

ĐLnh 8[” Dho chui dư"ng ∑∞

= -n

na cZ các số hạng giảm d7n$ ©Š†‹ h!m số 8i)n tục giảm tr)n

¬-$š∞‹ ! ©Šn‹ — an/ hi đZ chui Š‹ đ\ng th:i h%i tụ hay phân 1= Ui t4ch phân suy r%ng

∫ ∞

-

d†‹†Š© /

J2u − T5ng của chui ? 8! giá trL của t4ch phân/ Ta cZ”

? ≤ ≤ ? š a-

Tr 8ại †£t” Dhui viman ∑∞

= -nsn

- đ\ng h%i tụ hay phân 1= Ui ∫

∞

-

s†

ds

Tr 8ại” ∑∞

= .n n8nn

- phân 1= = ·

..

‹†8nŠ8n†8n†

d† ∞∞

=∫ phân 1=

/0 BS Hw: %Ụ CUV CHŠ: y% D‹0

:0 Be hî tY tuPEt đối

Đưa * chui///·a·///·a··a· n-

-n

n +++=∑∞

=Š··‹

Ta cZ” ·nšp − n· — ·anš- š /// š anšp· ≤ ·anš-· š /// š ·anšp·

ĐLnh 8[” J2u chui Š··‹ h%i tụ→ Š‹ h%i tụ

Đi*u ngược 8ại 1hông h‰n đ'ng/

ĐLnh ngha” J2u chui Š··‹ h%i tụ th= ta nZi chui Š‹ h%i tụ tuy(t đối/ Trái 8ại n2u ch’ cZchui Š‹ h%i tụ Šchui Š··‹ 1hông h%i tụ‹ th= ta nZi chui Š‹ #án h%i tụ

M




::0 Be hî tY cRG chu.i đGn NQu0 IQu hiEu LGinitDhui đan d,u” Dhui Xai#nit 8! chui cZ số hạng 8uân phi)n đ5i d,u$ t3c cZ dạng”

///D‹-Š///DDDD‹-Š n

-n

M.-

-n

n

-n +−++−=− −∞

=

−∑

Trong đZ Dn ° Q ∀n

ĐLnh 8[ Xai#nit” J2u các số hạng của chui ŠX‹ giảm * giá trL tuy(t đối

T3c 8! Dnš- ± Dn ! QD8im nn

=∞→ th= chui đZ h%i tụ

4 dụ” ///n

-‹-Š///

M

-

.

--

n

‹-Š -n

-n

-n

+−+−+−=− −

∞

=

−

∑ h%i tụ/

/40 CHŠ: H5M

:0 !*nh nghFG

œ £t chui ///‹†Šu///‹†Šu‹†Šu‹†Šu n.-

-n

n ++++=∑∞

= ŠSP-‹

Trong đZ các số hạng unŠ†‹ đ*u 8! các h!m số †ác đLnh tr)n tƒp / Ta g+i chui đW cho 8!chui h!m

œ Ui † — †o chui h!m ŠSP-‹ tr th!nh chui số ∑∞

= -n

Qn ‹†Šu

J2u chui số n!y h%i tụ th= †o g+i 8! đi6m h%i tụ của chui h!m

J2u chui số n!y phân 1= th= †o g+i 8! đi6m phân 1= của chui h!m

œ Tƒp hợp t,t cả các đi6m h%i tụ của chui h!m g+i 8! tƒp h%i tụ

œ T5ng của chui h!m số 8! m%t h!m số †ác đLnh trong tƒp h%i tụ của nZ/

4 dụ -” Dho chui h!m

- š † š †. š /// š †n š ///

Dhui n!y h%i tụ Ui ·†· ± -/ Tƒp h%i tụ 8! Š−-$ -‹

T5ng eŠ†‹ —†-

-

†-

†-8im

†-

uu8im

†-

- n

n

n-

n −=

−−

=−−

=− ∞→∞→

4 dụ .” £t chui h!m ∑∞

= +-n.. †n

n†sin

o ·sin n†· ± - ⇒ ... n

-

†n

·n†sin·<

+ ∀† ∈ v

o ∑∞

= -n.n

- h%i tụ ⇒ chui đW cho h%i tụ tuy(t đối/

œ Dhui h!m số h%i tụ đ*u

N




>iả s chui h!m số ∑∞

= -n

n ‹†Šu h%i tụ tr)n tƒp ! cZ t5ng 8! h!m eŠ†‹/ >+i enŠ†‹ 8! t5ng

ri)ng th3 n của chui h!m đW cho th= ‹†Še‹†Še8im nn

=∞→ / T3c 8! Ui ∀¾ ° Q$ ∃ J — JŠ¾$†‹ sao cho

∀n ° J ta cZ ·enŠ†‹ −eŠ†‹· ± ¾

Trư:ng hợp J — JŠ¾‹ ! 1hông phụ thu%c † ∈ ta nZi r0ng chui h!m số h%i tụ đ*u tr)n tƒp

đ2n eŠ†‹i2t 8ại ∀¾ ° Q$ ∃ J — JŠ¾‹/ eao cho ∀n ° J

·enŠ†‹ − eŠ†‹· ± ¾ ∀† ∈

œ Ti)u chuµn h%i tụ đ*u ŠTi)u chuµn Dosi‹

Dhui h!m số ∑∞

= -n

n ‹†Šu h%i tụ đ*u tr)n tƒp 1hi ! ch’ 1hi ∀¾ ° Q ∃ J sao cho ∀ p°K°J

ta cZ” ·e pŠ†‹ − eKŠ†‹· ± ¾ ∀† ∈

::0 Chu.i WŒP thqG

œ ĐLnh ngha” Dhui 8‘y th‡a 8! chui h!m số cZ dạng

///†a///†a†aa†a n

n

.

.-Q

Qn

n

n +++++=∑∞

= ŠS−.‹

hi 1hảo sát chui h!m số đi*u c" #ản 8! †ác đLnh tƒp h%i tụ của nZ/

œ ĐLnh 8[ B<n” J2u chui 8‘y th‡a ∑∞

= Qn

n

n †a h%i tụ tại † — †o ≠ Q th= nZ h%i tụ tuy(t đối

tại ∀† Ui ·†· ± ·†o·

E( Kuả” J2u chui 8‘y th‡a ∑∞

= Qn

n

n †a phân 1= tại † — †- th= nZ phân 1= tại ∀†” ·†· ° ·†-·/

œ Bán 14nh h%i tụ” v² r!ng ∑∞

= Qn

n

Q †a 8uôn h%i tụ tại † — Q/ T‡ đLnh 8[ B<n suy ra ∃v ŠQ≤

v±š∞‹ sao cho chui 8‘y th‡a h%i tụ tuy(t đối trong các 1hoảng Š−∞$ v‹ ! Šv$ š∞‹/ Tại †—±vchui h!m cZ th6 h%i tụ ho›c phân 1=/ eố v được g+i 8! #án 14nh h%i tụ/ hoảng Š −v$ v‹ được g+i8! 1hoảng h%i tụ của chui/

ĐLnh 8[” Dho chui 8‘y th‡a ∑∞

= Qn

n

n †a / J2u

ρ=+

∞→n

-n

n a

a8im ho›c ρ=

∞→n

nn

·a·8im

Th= #án 14nh h%i của chui 8!ρ-

Šn2u ρ — Q th= v—š∞ ! ρ — š∞ th= v — Q‹/

Dh3ng minh”

J2u ρ=+

∞→n

-n

n a

a8im $ Q ± ρ ± š∞ th= Ui m+i †$ ·†· ±

ρ-

ta cZ”

S




--

·†·a

a8im

†a

†a8im

n

-n

nn

n

-n

-n

n=

ρ⋅ρ<⋅= +

∞→

++

∞→

n)n chui h%i th<o d,u hi(u a8am#<

J2u ·†· °ρ-

th=

n

n

n

n

.a

.a -

-+

+°

ρ⋅ρ -

°-

n)n th<o d,u hi(u a8an#< chu5i #,t 1=/ hi ρ—∞ th= hi6n nhi)n v—Q ! 1hi ρ—Q$n

n

n a

a -8im

+

∞→

—Q n)n chui h%i tụ Ui ∀ † t3c v—š∞/

Bán 14nh h%i tụ của chui 8! ρ

-

Ta cZ 1hi ρ =∞→n

nn a8im $ s dụng ti)u chuµn h%i tụ Dosi ta ho!n to!n ch3ng minh được ρ

-

8! #án 14nh h%i tụ của chui/

Th4 dụ -” Dhui ∑∞

= Q ºn

n

n

.

Ta cZn

n

a

a -+—

-

-

+n → Q 1hi n→ ∞$ n)n #án 14nh h%i tụ 8! v—š∞$ t3c chui h%i tụ Ui ∀ †

∈ v

Th4 dụ .” Dhuin

n

n .n∑

∞

= -

Ta cZ nna n nnn == → ∞$ n)n v—Q$ t3c chui ch’ h%i tụ tại m%t đi6m duy nh,t †—Q

:::0 Chu.i %GPW" và ng NYng£t h!m số ©Š†‹ cZ #án 14nh h%i tụ v/ E!m ©Š†‹ được g+i 8! 1hai tri6n th!nh chui 8u½ th‡a

tr)n 1hoảng ŠPv$ v‹ n2u cZ chui 8u½ th‡a ∑∞

= Qn

n

n .a sao cho ©Š†‹— ∑∞

= Qn

n

n .a Ui ∀ †∈ ŠPv$ v‹

œ ĐLnh 8[” J2u ©Š†‹ 1hai tri6n được th!nh chui 8u½ th‡a tr)n 1hoảng ŠPv$ v‹ th= ©Š†‹ cZ đạoh!m m+i c,p tr)n ŠPv$ v‹ ! Y

Y a Y 1 º‹QŠ‹Š = Ui ∈ J

= chui 8u½ th‡a 8! đa th3c #ƒc n$ n)n nZ cZ đạo h!m m+i c,p cho đ2n nš-/ J)n đLnh 8[ tr)n 8!hi6n nhi)n

œ Ui h!m ©Š†‹ cZ đạo h!m m+i c,p tr)n 1hoảng ŠPv$ v‹$ 1hi đZ ta cZ chui h!m”

eŠ†‹ — n

n

n

.n

1 ∑

∞

= Q

‹Š

º

‹QŠ g+i 8! 1hai tri6n Tay8o của h!m trong 8ân cƒn đi6m Q

J2u †£t trong 8ân cƒn đi6m a ∈ ŠPv$ v‹ ta cZ 1hai tri6n Tay8o của h!m ©Š†‹ 8!”




eŠ†‹ — n

n

a .n

a 1 ‹Š

º

‹Š

Q

‹Š

−∑∞

=

đây eŠ†‹ được g+i 8! chui Tay8o tại 8ân cƒn đi6m a ∈ ŠPv$ v‹

Jhƒn †£t”

-/ ©ŠQ‹—eŠQ‹

./ eŠ†‹ 1hông h%i tụ #,t c3 đi6m †ÆQ n!oM/ eŠ†‹ Æ ©Š†‹ trong m+i 8ân cƒn của đi6m †—Q

Th4 dụ” £t h!m ©Š†‹— ‹Š-

- .

.ϕ +

−

Trong đZ” ‹Š .ϕ —

−

Q

<.†

-

n2u † ≠ Q

n2u † — o

Ta cZ” Q‹QŠ‹Š = Y ϕ Ui ∈ J

-

‹†-Š

-º

†-

-+−

=

−n)n ºQº‹QŠ‹Š Y Y 1 Y =+=

hai tri6n Tay8o”

eŠ†‹— .

. .n

1

n

n

n

nn

−== ∑∑

∞

=

∞

= -

-

º

‹QŠ

QQ

‹Š

– -< .

v² r!ng eŠ†‹ Æ ©Š†‹ Ui ∀ †∈ ŠP-$ -‹¤ ˜Q™/

ĐLnh 8[” J2u t\n tại số dư"ng D sao cho C . 1 n ≤‹Š‹Š

$ Ui ∀ n∈ J– †∈ ŠPv$ v‹ th= ta cZ”

¨Š†‹— ∑

∞

= = Q

‹Š

º

‹QŠ

n

nn

.n

1

œ ng dụng của chui Tay8o

-/ Ta s dụng chui Tay8o đ6 t4nh giá trL g7n đ'ng của h!m trong 8ân cƒn đi6m a∈ ŠPv$ v‹1hi #i2t giá trL của h!m tại a/

./ e dụng chui Tay8o đ6 †,p †’ h!m #0ng các đại 8ượng ô cŒng #£ tư"ng đư"ng dŒng

đ6 1h các dạng ô đLnhQ

Qtrong Kuá tr4nh t=m giUi hạn/

Th4 dụ” T=m giUi hạnN

.

Q

sinsin8im

.

. . .

.

−→

Ta cZMQN

.

Q

sin/

sin8im

sinsin8im

.

. .

.

.

.

. . .

. .

−=−→→

Ch? @” sin†— ///‹º-.Š

‹-Š///ºSºMº-

- -.SM

++

−+++−+

n

. . . .

nn

N

.

Q

sinsin8im

.

. . .

.

−→

—M

M

Q

ºM

-

/sin

8im .

. . .

.

.

.

−−

→

—•

-sin8im

Q .

.

.→—

•

-




|

Documents

Bài giảng Toán cao cấp B1 Tác giả: TS. Trần Bá Tịnh, TS. Nguyễn Vũ Tiến, TT Giảng dạy và Thực hành cơ bản, Đại học Huế, 2006