1

BỘ MÔN TOÁN HỌC

CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH

(Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)

2

MÔN HỌC: TOÁN I - II (Giải tích)

- Số tín chỉ : 4 (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết .

- Chương trình đào tạo ngành: Dành cho các ngành kinh tế

- Đánh giá: Điểm quá trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút)

- Tài liệu chính thức:

+ James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University .

+ Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập 3.

+ Toán cao cấp phần giải tích dành cho các nhóm ngành kinh tế của các trường kinh tế.

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus)

Buổi Nội dung lý thuyết (2 tiết / 1 buổi)

1 + Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của Bộ môn về môn học.

+ Hàm số: các hàm cơ bản và cách thiết lập hàm mới từ các hàm đã biết.

+ Một số hàm trong kinh tế.

2 + Giới hạn của dãy số.

+ Giới hạn của hàm số.

+ Các dạng vô định.

3 + Vô cùng bé- Vô cùng lớn.

+ Khử các dạng vô định bằng VCL – VCB.

+ Tính liên tục của hàm số.

4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế.

+ Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.

+ Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định.

5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân.

+ Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.

+ Một số định lý về hàm khả vi.

6 + Khai triên Taylor và ứng dụng.

+ Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

+ Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu.

7 + Hàm hai biến và ví dụ.

+ Giới hạn của hàm hai biến.

+ Tính liên tục.

8 + Đạo hàm riêng.

+ Vi phân toàn phần.

+ Đạo hàm riêng của hàm hợp.

3

9 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn.

+ Vi phân toàn phần cấp cao.

+ Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế.

10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế.

11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc.

+ Cực trị trên miền đóng và bị chặn.

+ Một số ví dụ trong kinh tế.

12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick.

+ Kiểm tra giữa kỳ tại lớp lý thuyết.

13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định).

+ Các định lý.

+ Cách tìm nguyên hàm của một số lớp hàm.

14 + Khái niệm tích phân xác định.

+ Một số định lý cơ bản về tích phân xác định.

+ Cách tính.

15 + Tích phân suy rộng với cận vô hạn.

+ Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.

+ Một số ví dụ về ứng dụng tích phân trong kinh tế.

16 Tích phân hai lớp:

+ Khái niệm.

+ Tính chất.

+ Các cách tính.

17 + Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân.

+ Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; thuần nhất; tuyến tính; Bernoulli.

18 + Phương trình vi phân cấp 2 có thể hạ cấp

+ Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng.

19 Chuỗi số:

+ Định nghĩa và một số tính chất.

+ Một số chuỗi thường gặp.

+ Một số tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương.

20 + Chuỗi đan dấu.

+ Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ.

21 + Chuỗi lũy thừa.

+ Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa.

+ Chuỗi taylor và Maclaurin.

22 Ôn tập và giải đáp thắc mắc

4

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus)

Buổi Nội dung bài tập (2 tiết / 1 buổi)

1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số

2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng

3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn.

4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng

5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick. Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng.

6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân

7 Chuỗi số, chuỗi hàm

CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC

Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế)

Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút)

Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm

+ Tính giới hạn.

+ Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược.

+ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế.

Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến

+ Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến.

+ Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế.

Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân

+ Tích phân 1 lớp.

+ Tích phân 2 lớp.

Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân

+ Giải phương trình vi phân cấp 1.

+ Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số hằng số với vế phải đặc biệt.

Câu 5 (2 điểm) Chuỗi

+ Tìm tổng của chuỗi; khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.

+ Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa.

+ Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa.

5

$1. HÀM MỘT BIẾN

Đối tượng chính của giải tích toán học là hàm số. Chương này đề cập đến những khái niệm cơ bản nhất về

hàm số một biến, cần nhấn mạnh là có bốn cách biểu thị một hàm số: Bằng phương trình, bằng bảng, bằng

đồ thị và bằng lời. Ngoài ra, có nhắc lại một số hàm đã học ở chương trình phổ thông và cách xây dựng hàm

mới từ các hàm đã cho, đặc biệt lưu ý về các hàm ngược. Cuối cùng là khái niệm về mô hình toán và một số

mối quan hệ hàm trong phân tích kinh tế.

Các mục chính: 1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến 1.2. Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết 1.3. Mô hình toán học

1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN 1. Định nghĩa hàm một biến Khái niệm hàm số xuất hiện khi có một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ta xét các tình huống sau đây: A. Diện tích S của một đường tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó, quy tắc kết nối giữa r với S được cho bởi phương trình � � ���. Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta nói S là hàm của r. B. Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.

Chẳng hạn ��1980� 4 450 000 000. Nhưng chắc chắn rằng với mỗi t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng. Ta nói P là hàm của t. C. Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của bưu phẩm. Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được duy nhất một giá trị của C khi đã biết w. Như thế, C là hàm của w. D. Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t. Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động đất tại Los Angeles vào năm 1994.

Hình 1

Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng.

Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a). Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là hàm của số trước. Tổng quát ta có định nghĩa.

6

Định nghĩa hàm một biến số

Cho D là một tập con khác � của tập số thực �. Một hàm f là một quy tắc ấn định mỗi số cho trước thuộc tập D với duy nhất một số, ký hiệu là f(x), trong tập E.

• D được gọi là tập xác định của f.

• Số f(x) được gọi là giá trị của f tại x, đọc là “ f tại x ”.

• Tập gồm các giá trị của f tại x,với x chạy khắp tập xác định, được gọi là tập giá trị của f.

• Ký hiệu được dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập xác định của f được gọi là biến độc lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập giá trị của f thì được gọi là biến phụ thuộc. Trong Ví dụ A, r là biến độc lập và S là biến phụ thuộc.

Việc hình dung một hàm như một chiếc máy là việc rất có ích xem Hình 2.

Hình 2 Mô hình chiếc máy cho hàm số

Nếu x nằm trong tập xác định của hàm f , khi biến đầu vào x được đưa vào máy thì nó được chấp nhận và máy sẽ tạo ra, theo quy tắc của f, “sản phẩm” là biến đầu ra f(x). Như thế, ta có thể hình dung tập xác định là tập các biến đầu vào và tập giá trị là tập gồm các biến đầu ra. Một cách khác để hình dung về một hàm số là dùng biểu đồ mũi tên như Hình 3.

Hình 3 Biểu đồ mũi tên cho hàm f. Mỗi mũi tên kết nối một số thuộc tập xác định với giá trị được ấn định cho nó theo quy tắc f. Như thế, f(x) là số được ấn định cho x, f(a) được ấn định cho a, và cứ thế. Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là xét đồ thị của nó. Nếu f là một hàm số với tập xác định là D, thì đồ thị của nó là tập gồm các cặp số có thứ tự ���, ������� � �� (Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f. Đồ thị của hàm f cho ta một bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số. Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem Hình 4). Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục tung là tập giá trị (xem Hình 5).

Hình 4 Hình 5

7

VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6.

Hình 6

(a) Tìm giá trị của f(1) và f(5). (b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f. Giải (a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) = 3. Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị ��5� 0,7. (b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là �� | ! 2 # � # 4� � $!2; 4&. VÍ DỤ 2 Cho hàm số ���� � 2�� ! 5� ' 1 và ( ) 0, hãy tính

*�+,-�.*�+�- theo a và h.

Giải Trước tiên tính ��/ ' (� bằng cách thay thế x trong công thức f(x) bởi a + h : ��/ ' (� � 2/� ' 4/( ' 2(� ! 5/ ! 5( ' 1 Thay vào biểu thức đã cho và đơn giản hóa, ta được ��/ ' (� ! ��/�( � �2/� ' 4/( ' 2(� ! 5/ ! 5( ' 1� ! �2/� ! 5/ ' 1�( � 4/ ' 2( ! 5

Biểu thức *�+,-�.*�+�- trong Ví dụ 2, chẳng hạn ta sẽ xét nó ở bài 2, nó biểu thị tỷ lệ thay đổi trung

bình của hàm f giữa hai giá trị x = a và x = a + h.

Đồ thị của một hàm số là một đường trong mặt phẳng tọa độ. Vấn đề được đặt ra là một đường có đặc điểm như thế nào thì là đồ thị của một hàm số. Để trả lời câu hỏi này, ta dùng tiêu chuẩn sau đây.

TIÊU CHUẨN CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG Một đường trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường đó tại hai điểm phân biệt.

Quan sát Hình sau

Đồ thị một hàm số Không là đồ thị hàm số

Nếu mỗi đường thẳng đứng x = a cắt đường đã cho tại duy nhất một điểm (a; b) (Hình bến trái), thì xác định một hàm f theo quy tắc f(a) = b. Nhưng nếu tồn tại đường x = a cắt đồ thị tại quá hai điểm

8

phân biệt(Hình bên phải), chẳng hạn là tại (a, b) và (a, c), thì đường đó không là đồ thị hàm số bởi vì hàm số không thể ấn định hai giá trị khác nhau cho cung một số a. Biểu thị một hàm số Có bốn cách biểu thị:

• Bằng lời (dùng ngôn ngữ để mô tả)

• Bằng các con số(dùng bảng các giá trị)

• Bằng đồ thị.

• Bằng đại số(biểu thị bằng một công thức hiện) Nếu một hàm có thể biểu thị bằng nhiều cách thì ta sẽ dễ dàng hiểu biết về nó một cách sâu sắc, chẳng hạn như những hàm số ở phổ thông ta đều bắt đầu từ hàm cho bởi công thức rồi sau đó là xác định được đồ thị của nó. Tuy nhiên, có những hàm số thì biểu thị bằng cách này là tiện sử dụng hơn so với cách khác hoặc khó mà biểu thị bằng cách khác, chẳng hạn diện tích S = ��� có thể biểu thị bằng đồ thị (một nửa của parabol) nhưng ở dạng đồ thị thì không tiện dùng. Trong khi đó gia tốc chuyển động theo phương thẳng đứng của vỏ trái đất trong một trận động đất như Hình 1, thì khó có thể biểu thị bằng đại số. Trong ví dụ dưới đây, ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả và yêu cầu biểu thị hàm đó bằng đại số. VÍ DỤ 3 Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên với thể tích là 10m3. Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm đáy là 10$ một m2; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ một m2. Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng một công thức. Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, thì chiều dài của mặt đáy là 2w; và đặt h là chiều cao của container. Diện tích của mặt đáy là 20�0� � 20� nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy là 10�20�� $. Hai mặt bên có diện tích là 20( và hai mặt bên còn lại có diện tích là 0( nên giá nguyên liệu để làm các mặt bên là 6$2�0(� ' 2�20(�&$. Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng là 2 � 10�20�� ' 6$2�0(� ' 2�20(�& � 200� ' 360(

Mặt khác, thể tích của nó là 10m3 nên ta có 0�20�( � 10, tức là ( � 89: Thay vào công thức tính C, ta được 2 � 200� ' 360 ; 89:< � 200� ' =>?9

Vậy, giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau

2 � 200� ' 1800 , 0 @ 0. Một hàm số cho bởi công thức, nếu không nói gì thêm thì quy ước tập xác định của hàm số là tập các giá trị của biến độc lập làm cho công thức có nghĩa. Tuy

nhiên: y = sinx với ! B� # � # B�, thì phải hiểu tập xác định là

[ ! B� ; B�].

VÍ DỤ 4 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau.

(a) ���� � √� ' 2 (b) D��� � =E:.E.

Giải (a) √� ' 2 có nghĩa khi � ' 2 F 0, nên tập xác định là [2; +∞).

(b) =E:.E có nghĩa khi � ) 0 và � ) 2, nên tập xác định là �!∞; 0� H �0; 1� H �1; '∞�.

Hàm xác định trên từng khoảng

9

Xét hàm cho bằng lời: C(w) là chi phí vận chuyển bưu phẩm có cân nặng là w. Ngành bưu điện đưa ra quy tắc tính như sau: 39 cents nếu cân nặng không quá 1ounce, mỗi ounce tiếp theo có chi phí vận chuyển là 24 cents và bưu phẩm chỉ được có cân nặng tối đa là 13 ounce. Hàm này được trình bày ở dạng bảng thì sử dụng thuận tiện hơn, bảng các giá trị như bên lề. Từ bảng giá trị, thì được dạng công thức của hàm như sau:

2�0� �IJJKJJL

0,39 nếu 0 O 0 # 10,63 nếu 1 O 0 # 20,87 nếu 2 O 0 # 31,11 nếu 3 O 0 # 41,35 nếu 4 O 0 # 5P3,27 QếR 12 O 0 # 13.S

Đồ thị trong hình dưới đây:

Đồ thị như hình bậc thang

ta thấy tập xác định của hàm số là (0; 13] và trên mỗi khoảng xác định thì quy tắc tính giá trị của hàm số lại khác nhau. Một hàm như vậy được gọi là hàm xác định trên từng khoảng. Một cách tổng quát, hàm số được gọi là xác định trên từng khoảng nếu quy tắc xác định của hàm số trên mỗi khoảng xác định là khác nhau. Chẳng hạn các hàm sau là hàm xác định trên từng khoảng

� � T� nếu � F 0!� nếu � O 0S ; ���� � T1 ! � nếu � # 1�� nếu � @ 1 S ; ���� � U� nếu 0 # � # 12 ! � nếu 1 O � # 20 nếu � @ 2 S 2. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ

• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số chẵn. Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần � F 0 sau đó lấy thêm hình đối xứng qua trục tung ta được toàn bộ đồ thị.

• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = - f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số lẻ. Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần � F 0 sau đó lấy thêm hình thu được bằng cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm chẵn Hàm lẻ

10

3. Dáng điệu của hàm số Đồ thị của hàm f trong hình dưới đây đi lên từ A đến B, đi xuống từ B đến C, và lại đi lên từ C đến D. Ta nói hàm f đồng biến trên khoảng [a; b] và nghịch biến trên khoảng [b; c] và lại đồng biến trên khoảng [c; d]. Lưu ý rằng với hai số bất kỳ �=, �� nằm giữa hai số a và b với �=, O ��, thì ���=� O�����. Ta sử dụng điều này để định nghĩa hàm số đồng biến.

Một hàm số f được gọi là đồng biến trên khoảng I (ở đây được hiểu là một trong các dạng: [a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi: ���=� O ����� với �= O �� ở trong I. Một hàm số f được gọi là nghịch biến trên khoảng I khi: ���=� @ ����� với �= O �� ở trong I.

Lưu ý rằng bất đẳng thức ���=� O ����� phải xảy ra với mọi cặp số �=, �� ở trong I với �= O ��. 4. Một vài hàm số đã học i) Hàm tuyến tính là hàm có dạng y = mx + b trong đó m và b là các số đã cho; m là hệ số góc và b là tung độ gốc. Hàm này có nét đặc biệt là: Nếu m = 0 thì giá trị của nó không thay đổi khi x thay đổi và gọi là hàm hằng. Nếu V ) 0 thì giá trị của nó thay đổi một mức cố định khi x thay đổi một mức cố định, chẳng hạn hàm ���� � 3� ! 2 có hệ số góc là 3 nên mỗi khi x tăng 0,1 đơn vị thì giá trị của hàm tăng 0,3 đơn vị. Dưới đây là đồ thị hàm số và bảng giá trị hàm số tại một vài điểm.

ii) Hàm đa thức Hàm P được gọi là một đa thức nếu nó được cho bởi công thức có dạng ���� � /W�W ' /W.=�W.= ' X ' /��� ' /=� ' /? trong đó n là số nguyên dương và /?, /=, … , /W là các hằng số và ta gọi là các hệ số của đa thức. Tập xác định của một đa thức bất kỳ là � � �!∞; '∞�. Nếu /W ) 0 thì ta nói P là đa thức bậc n. Chẳng hạn, ta đã học đa thức bậc 1: ���� � V� ' Z đây chính một hàm tuyến tính; đa thức bậc hai: ���� � /�� ' Z� ' [ là một tam thức bậc hai; đa thức bậc ba; đa thức bậc bốn trùng phương. Đa thức � � !2�\ ' � ! 1 là đa thức bậc sáu. Nói chung các đa thức được sử dụng nhiều trong ứng dụng toán học, đặc biệt trong việc tính gần đúng và lập mô hình toán. iii) Hàm lũy thừa là hàm cho có dạng ���� � �+ trong đó a là một hằng số. Hàm này đã được trình bày ở chương trình phổ thông trung học. Trường hợp đặc biệt là a số nguyên dương thì ta được hàm đa thức.

11

Đồ thị của hàm nói trên trong một số trường hợp riêng:

iv) Hàm phân thức là thương của hai đa thức: ���� � ]�E�^�E�. Tập xác định là tập các giá trị của x

làm cho _��� ) 0. Ta đã học về phân thức: bậc 1 / bậc 1 và bậc 2/bậc 1.

v) Hàm lượng giác: � � sin � , � � cos � , � � tan � , � � cot �. Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.

� � sin � , � � cos � là hai hàm có tập xác định là � và tập giá trị là [-1; 1].

�[� � � tan �

Hàm � � tan � có tập xác định là �� � �|� ) B� ' d�} và tập giá trị là � � �!∞; '∞�.

vi) Hàm mũ là hàm có dạng ���� � /E , trong đó a là một số dương khác 1 và gọi là cơ số. Đồ thị của hai hàm � � 2E và � � �0,5�E được vẽ ở hình dưới đây, cả hai hàm đều có tập xác định là � � �!∞; '∞�, tập giá trị là �0; '∞�.

12

vii) Hàm logarit là hàm có dạng ���� � logf �, trong đó a là số dương khác 1. Đồ thị của một số hàm logarit cụ thể được vẽ trong hình dưới đây. Mỗi hàm đều là hàm có tập xác định là �0; '∞� và tập giá trị là �!∞; '∞�. Hàm logarit là hàm ngược của hàm số mũ (xem ở mục sau).

Các hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit thuộc tập hợp các hàm siêu việt, tập hợp các hàm siêu việt còn có hàm xác định bởi tổng của một chuỗi và các hàm khác mà ta chưa biết tên.

1.2 Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết

1. Phép biến đổi các hàm Mục này ta sẽ xây dựng các hàm mới từ các hàm đã học được liệt kê ở Mục I bằng cách tịnh tiến đồ thị.

Tịnh tiến theo phương thẳng đứng và phương ngang Giả sử c là số dương, thì đồ thị hàm y = f(x) + c thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm y = f(x) lên trên c đơn vị (bởi vì hoành độ giữ nguyên còn tung độ thì tăng lên c đơn vị). Tương tự, nếu g(x) = f(x – c), thì giá trị của g tại x bằng giá trị của f tại x –

c(c đơn vị về phía trái của x) do đó đồ thị của y = f(x - c) thu được bằng cách dịch chuyển đồ thị của y = f(x) về phía phải c đơn vị. Xem Hình vẽ

13

Tổng quát ta có.

Cho c > 0. Ta nhận được đồ thị của hàm � � ���� ' [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm � � ���� lên trên [ đơn vị � � ���� ! [, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm � � ���� xuống dưới [ đơn vị � � ��� ' [�, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm � � ���� sang trái [ đơn vị � � ��� ! [�, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm � � ���� sang phải [ đơn vị

2. Phép toán giữa các hàm số Hai hàm số f và g có thể được tổ hợp lại để được các hàm mới f + g, f – g. fg và f/g theo kiểu tương tự như là ta cộng, trừ, nhân, chia hai con số.

Trước tiên, ta đưa ra khái niệm hai hàm số bằng nhau: Hai hàm f , g được gọi là bằng nhau nếu thỏa mãn cả hai điều kiện là có tập xác định bằng nhau và f(x) = g(x) với mỗi x thuộc tập xác định. Các hàm số nào sau đây bằng nhau:

���� � �E,���E.=�E.= , D��� � � ' 2, (��� � T� ' 2 QếR � ) 10 QếR � � 1 S , d��� � T� ' 2 QếR � ) 13 QếR � � 1 S Cho hai hàm �, D. Tổng, hiệu hai hàm được xác định tương ứng như sau �� ' D���� � ���� ' D��� �� ! D���� � ���� ! D��� Nếu tập xác định của � là A và của D là B, thì tập xác định của � ' D và � ! D đều là g h i bởi vì cả ���� và D��� đều có nghĩa. Một cách tương tự, tích và thương của các hàm được định nghĩa như sau:

��D���� � ����D��� k�Dl ��� � ����D���

Tập xác định của hàm �D là g h i. Tuy nhiên, ta không thể chia cho số 0 nên tập xác định của hàm �/D là �� � g h i|D��� ) 0�. 3. Phép hợp hai hàm số Có một cách khác để tổ hợp hai hàm cho trước để được một hàm mới. Ví dụ, cho hai hàm số � � √R và R � �� ' 1. Do � là hàm của u và u là hàm của x, từ đó được y là hàm của x. Ta xác

định bằng cách thay thế: � � ��R� � ��D���� � ���� ' 1� � √�� ' 1

Thủ tục tìm ra hàm mới này được gọi là phép hợp thành bởi vì hàm mới được tạo thành từ hai hàm �, D đã cho. Một cách tổng quát, cho trước hai hàm bất kỳ �, D lấy một số bất kỳ x nằm trong tập xác định của hàm D và tìm được D���. Nếu D��� nằm trong tập xác định của hàm �, thì ta lại tính được �� D����. Kết quả là ta được một hàm mới (��� � ��D����, hàm này nhận được bằng cách thế g vào f . Ta gọi hàm mới này là hàm hợp của �, D và ký hiệu bởi � n D (đọc là “� o tròn D”)

Định nghĩa Cho trước hai hàm �, D, hàm hợp của � và D là một hàm được ký hiệu là � n D và được xác định như sau: �� n D���� � ��D����

Chú ý: Tập xác định của hàm � n D là tập gồm các số thuộc tập xác định của hàm D sao cho D��� thuộc tập xác định của hàm �, nghĩa là �� n D���� xác định khi cả D��� và ��D���� đều xác định. VÍ DỤ 5 Nếu ���� � �� và D��� � � ! 3. Hãy tìm hàm � n D và D n �.

Giải Ta có �� n D���� � ��D���� � ��� ! 3� � �� ! 3��

Và �D n ����� � D������ � D���� � �� ! 3

Nhận xét: Nói chung � n D ) D n �. Lưu ý rằng: Ký hiệu � n D nghĩa là D tác động trước rồi sau đó mới đến �.

14

Mô hình chiếc máy cho hàm hợp 4. Hàm ngược Quan sát thị trường vàng ở một quận tại Hà Nội vào một thời điểm nào đó, người ta ghi nhận được thông tin sau:

Giá 1chỉ (triệu đồng)=: P Lượng cầu(kg)=: Qd

1,5 5 1,4 10 1,3 20 1,0 30 0,9 50 0,8 60

Lượng cầu là hàm của Giá cả

Đặt Qd là lượng cầu(Quantity Demanded) và P(Price) là giá một chỉ vàng vào thời điểm đang xét, ta thấy bảng trên cho ta thấy Qd là một hàm của P: Qd = f(P) và lượng cầu tăng khi giá giảm. Nhà kinh doanh có thể quan tâm đến việc P phụ thuộc vào Qd như thế nào, nói cách khác người này có thể xem P là hàm của Qd, hàm này được gọi là hàm ngược của hàm f, được ký hiệu bởi �.= đọc là � nghịch đảo. Như vậy � � �.=�_o� là mức giá tại lượng cầu Qd. Giá trị của �.=có thể được tìm từ bảng trên bằng cách đặt tương ứng từ phải sang trái, để cho tiện ta có thể xây dựng bảng như dưới đây bằng cách đảo hai cột trong bảng ở trên. Chẳng hạn �.=�20� � 1,3 bởi vì ��1,3� � 20.

Lượng cầu(kg) Giá 1chỉ (triệu đồng) 5 1,5 10 1,4 20 1,3 30 1,0 50 0,9 60 0,8

Giá cả là hàm của Lượng cầu Không phải hàm nào cũng có hàm ngược, xét hai hàm � và D có sơ đồ mũi tên như sau:

Để ý rằng � không nhận một giá trị nào đó hai lần(hai biến đầu vào khác nhau thì hai biến đầu ra khác nhau) trong khi đó D lấy giá trị 4 hai lần(cả 2 và 3 đều có giá trị đầu ra là 4): D�2� � D�3� trong khi đó ���=� ) ����� nếu �= ) ��. Các hàm có tính chất như hàm � đều được gọi là hàm tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị.

Định nghĩa Một hàm được gọi là tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là hàm 1-1) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là, ���=� ) ����� khi �= ) ��

15

Nếu một đường nằm ngang giao với đồ thị của hàm � tại nhiều hơn một điểm, thì từ hình sau

ta thấy ngay là tồn tại hai số �=và �� sao cho ���=� � �����. Điều này nghĩa là f không phải là hàm 1-1. Có một phương pháp hình học để xác định xem một hàm có là hàm 1-1 hay không,

Dấu hiệu đường nằm ngang Một hàm là hàm 1-1 khi và chỉ khi không tồn tại đường nằm ngang nào giao với đồ thị của nó tại quá một điểm.

VÍ DỤ 6 Hàm D��� � �r có phải là một hàm 1-1 không? Lời giải 1: Nếu �= ) ��, thì �=r ) ��r(Hai số khác nhau không thể có cùng một lũy thừa bậc ba). Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy, không tồn tại một đường nằm ngang nào cắt đồ thị hàm số tại hai lần, theo dấu hiệu đường nằm ngang ta được hàm đã cho là hàm 1-1. VÍ DỤ 7 Hàm ���� � �� có phải là một hàm 1-1 không? Lời giải1:Ta có ��1� � ��!1�nên hàm này không phải là hàm 1-1. Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy có một đường nằm ngang cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt nên hàm đã cho không phải là hàm 1-1.

Nhận xét: Một hàm đơn điệu trên khoảng xác định thì là hàm 1-1.

Chỉ có hàm 1-1 thì mới có hàm ngược, được xây dựng theo định nghĩa sau đây:

Định nghĩa Cho � là hàm 1-1 với tập xác định là A và tập giá trị là B. Khi đó hàm ngược �.= là hàm có tập xác định là B, tập giá trị là A và được xác định như sau: �.=��� � � s ���� � � với mọi y nằm trong B.

Chú ý: Không được nhầm lẫn số -1 trong �.= là lũy thừa. Tức là �.=��� không có nghĩa là =*�E� .

=*�E� có thể được viết lại là $����&.=.

VÍ DỤ 8 Cho hàm 1-1 f, biết ��1� � 5, ��3� � 7, ��8� � !10. Tìm �.=�7�, �.=�5�, �.=�!10�. Giải�.=�7� � 3 vì ��3� � 7; �.=�5� � 1 vì ��1� � 5; �.=�!10� � 8 vì ��8� � !10. Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy rằng, với mọi x � g và � � ����, thì �.=��� � �.=������ � �. Biểu đồ mô tả hiện tượng này

16

Tiếp theo, ta tìm hiểu cách xây dựng hàm ngược. Nếu ta có hàm � � ���� và là hàm mà ta có thể giải phương trình để tìm được x theo y, theo định nghĩa về hàm ngược ta có hàm ngược là � ��.=���. Nếu ta muốn gọi biến độc lập là x và biến phụ thuộc là y, thì ta phải hoán đổi x và y cho nhau, ta được � � �.=���. Cách tìm hàm ngược của hàm 1-1

Bước 1 Viết � � ����. Bước 2 Giải phương trình để tìm x theo y (nếu có thể) Bước 3 Biểu thị hàm �.= theo biến độc lập là x, bằng cách đổi chỗ x và y cho nhau. Kết quả là ta được hàm ngược là � � �.=���.

VÍ DỤ 9 Tìm hàm ngược của hàm ���� � �r ' 2. Giải Trước tiên, ta có � � �r ' 2.

Giải phương trình để tìm x theo y: �r � � ! 2 s � � t� ! 2u

Đổi chỗ x và y: � � √� ! 2u

Vậy hàm cần tìm là �.=��� � √� ! 2u . Nguyên tắc đổi chỗ x và y để tìm viết hàm ngược theo biến x làm cơ sở cho ta có một phương pháp để tìm đồ thị của hàm �.= từ đồ thị của hàm �. Ta có: �/; Z� thuộc đồ thị hàm � khi và chỉ khi ��/� � Z khi và chỉ khi / � �.=�Z�, tức là điểm �Z; /� thuộc đồ thị hàm �.=. Nhưng ta thu được điểm �Z; /� từ điểm �/; Z�bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x. Xem hình dưới đây

Đồ thị hàm �.= nhận được từ đồ thị hàm f bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x.

Một số hàm ngược của hàm đã học i) Ta có ���� � /E là một hàm mũ, khi đó � � /E s � � logf � Nên hàm � � �.=��� � logf � chính hàm ngược của hàm mũ.

ii) Hàm � � sin �, với � � $! B� ; B�& là hàm có tập xác định chỉ là $! B� ; B�& và đồ thị là

Từ cách tìm hàm ngược, ta được: với mọi � � w!�2 ; �2x , thì � � sin � s � � sin.= � , mọi � � $!1; 1& Ta được hàm ngược của hàm đã cho là � � sin.= � với tập xác định là [-1; 1] và tập giá trị là w! B� ; B�x. Ta còn ký hiệu sin.= � y arcsin �.

17

Đồ thị hàm � � sin.= � y arcsin �. Đồ thị hàm � � cos � , � � $0; �& . iii) Tương tự, hàm � � cos � , � � $0; �& có đồ thị như hình vẽ trên, là hàm 1-1, hàm ngược của nó là � � cos.= � y arccos � s cos � � �, mọi � � $0; �&, hàm này có tập xác định là [-1; 1]. Đồ thị như sau.

Đồ thị hàm � � arccos �. Đồ thị hàm � � tan � , với � � ;! �2 ; �2<

iv) Hàm ngược của hàm � � tan � , với � � ;! B� ; B�< . Hàm này có đồ thị ở hình trên. Là hàm

1-1. Hàm ngược của nó được ký hiệu là tan.= hoặc là acrtan và xác định như sau: � � arctan� s tan � � � và – �2 O � O �2 Hàm này có tập giá trị là ;– �2 ; �2< và tập xác định là �!∞; '∞�.

Đồ thị hàm � � arctan�

v) Hàm ngược của hàm � � cot � với � � �0; �� là hàm được ký hiệu là cot.= hoặc arccot, và được xác định như sau � � arccot � s cot � � � và 0 O � O � Hàm này có tập giá trị là �0; �� và tập xác định là �!∞; '∞�. Hàm sơ cấp * Hàm sơ cấp cơ bản là các loại hàm số sau: hàm hằng, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược. * Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán số học và phép lấy hàm hợp.

18

1.3 Mô hình toán học Xem xét lại ví dụ về sự tăng trưởng dân số: Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.

Vấn đề là: Hãy tìm cách biểu diễn hàm này bằng cách dùng công thức? Rõ ràng là việc đưa ra một công thức để biểu diễn chính xác số người tại một thời điểm bất kỳ t là không thể làm được. Nhưng có thể tìm được một hàm cho bởi công thức mà hàm đó xấp xỉ P(t). Chẳng hạn, người ta đã nhận được ��|� ��|� � �0,008079266�. �1,013731�} Hình dưới đây cho thấy sự “ăn khớp” rất tốt giữa ��|� và ��|�.

Hàm � như thế được gọi là mô hình toán học cho sự tăng trưởng dân số. Đó là một ví dụ cho khái niệm sau đây: Một mô hình toán học là một mô tả toán học(thường là bằng một hàm số hoặc phương trình) cho hiện tượng trong thực tế, chẳng hạn như dân số, lượng cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật, tỷ lệ sống của trẻ sơ sinh.

Tên gọi của một số biến trong phân tích kinh tế Trong phân tích kinh tế người ta phải xem xét các đại lượng như là: Lượng cung, lượng cầu, giá, chi phí, doanh thu, tổng chi phí, tổng doanh thu, lượng lao động, lượng vốn,..để cho tiện người ta dùng các tiếp đầu từ của từ tiếng anh tương ứng để làm biến số biểu thị đại lượng đó. Như vậy, ta có các biến kinh tế như sau:

Tên tiếng Việt Tên tiếng Anh Ký hiệu Lượng cung Quantity Supplied Qs

Lượng cầu Quantity Demanded Qd

Giá hàng hóa Price P

Lượng chi phí,Lượng tiêu dùng Cost, Consumption C

Tổng chi phí Total Cost TC

Doanh thu Revenue R

Tổng doanh thu Total Revenue TR

Lợi nhuận Profit Pr

Lượng vốn Capital K

Lượng lao động Labour L

Chi phí cố định= Định phí Fix Cost FC

Chi phí phụ thuộc sản phẩm=Biến phí Variable Cost VC

Tiết kiệm Saving S

Thu nhập Income I

19

i) Hàm cung và hàm cầu. Hàm cung là hàm số được dùng để biểu diễn (mô hình toán ở dạng hàm số) sự phụ thuộc của lượng cung một loại hàng hóa nào đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Như vậy, hàm cung có dạng Qs = S(P). (lượng cung là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá.) Hàm cầu là hàm số được dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cầu một loại hàng hóa nào đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Như vậy, hàm cầu có dạng Qd = D(P).(lượng cầu là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.) Quy luật thị trường trong kinh tế học phát biểu rằng: Trong điều kiện các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung là hàm đồng biến; hàm cầu là hàm nghịch biến. Nghĩa là khi các yếu tố khác giữ nguyên, giá hàng hóa tăng thì người bán sẽ muốn bàn nhiều hơn còn người mua sẽ mua ít đi. Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung, hàm cầu lần lượt là đường cung và đường cầu. Giao điểm của hai đường được gọi là điểm cân bằng của thị trường. Tại điểm cân bằng của thị trường, ta có: với mức giá cân bằng �~ thì người bán bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng khan hiếm và dư thừa hàng hóa. Từ quy luật trên, ta thấy nếu muốn dùng mô hình tuyến tính cho hàm cung ta phải có: _� � /� ' Z, với / @ 0 Và hàm cầu có dạng _� � /� ' Z, với / O 0. Chú ý: Hàm cung và hàm cầu đều có hàm ngược, trong các tài liệu kinh tế người ta thường biểu thị sự phụ thuộc của giá cả vào lượng cung, lượng cầu thành ra người ta cũng gọi các hàm ngược của

các hàm cung và hàm cầu như đã nói trên là hàm cung và hàm cầu tương ứng đồ thị là đường cung và đường cầu. ii) Hàm sản xuất ngắn hạn. Hàm sản xuất là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố sản xuất, như là: vốn, lao động,..(là các yếu tố đầu vào của sản xuất). Trong kinh tế học, khái niệm ngắn hạn và dài hạn không được xác định bởi khoảng thời gian cụ thể mà được hiểu là như sau: Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi. Khi phân tích sản xuất thì người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là: vốn (K) và lượng lao động (L). Trong ngắn hạn, thì K được cho là không thay đổi. Như vậy hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: _ � ���� trong đó Q là mức sản lượng. iii) Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

• Hàm doanh thu là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu vào sản lượng: �� � ���_�

• Hàm chi phí là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí vào sản lượng: �2 � �2�_�

• Hàm lợi nhuận là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (Ký hiệu là Π) vào sản lượng: Π � Π�_�

iv) Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm

• Hàm tiêu dùng là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng tiền dành cho mua sắm hàng hóa C (Consumption) của người tiêu dùng vào thu nhập I: 2 � 2���

• Hàm tiết kiệm là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S vào biến thu nhập: � � ����

20

Đọc thêm: Mục đích của mô hình là nhằm hiểu biết về các hiện tượng trong thực tế và có thể đưa ra dự đoán cho tương lai. Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng trong thực tế

Một bài toán thực tế được đặt ra, nhiệm vụ của ta là đưa vào một mô hình toán học bằng cách xác định và đặt tên biến độc lập, biến phụ thuộc và sử dụng giả thiết để đơn giản hóa hiện tượng thực tế nhằm dễ vận dụng toán học. Sau đó vận dụng những hiểu biết của mình về lĩnh vực có liên quan và kỹ năng toán học để liên kết các biến để nhận được phương trình. Trong tình huống không có những kết luận về lĩnh vực đang xét ta buộc phải dùng cách thu thập số liệu và lập bảng giá trị, vẽ đồ thị điểm để thấy xu hướng của các biến. Từ đó có thể nhận thấy được dùng hàm số nào(trong những hàm đã biết) để làm mô hình toán cho hiện tượng đang xét. Giai đoạn thứ hai là áp dụng kiến thức toán học(như là các kiến thức sẽ được trình bày trong giáo trình này) vào mô hình toán học để thu được các kết luận toán học. Sau đó, ở giai đoạn thứ ba, ta giải thích các kết luận toán học thành các thông tin về bài toán ban đầu từ đó đưa ra sự giải thích cho thực tế hoặc đưa ra dự đoán cho hiện tượng. Bước cuối là kiểm tra các dự đoán bằng các số liệu thực tế mới. Nếu dự đoán không thực sự tốt, thì ta có thể phải thực hiện lại quá trình để tìm ra một môt hình phù hợp hơn.

Bài toán thực tế

Đưa vào công thức Mô hình toán học

Giải Kết luận toán học

Giải thích cho thực tế

Dự đoán cho vấn đề thực tế

Kiểm tra lại

21

$2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 2.1 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa về dãy số và ví dụ Một dãy số được hiểu là một loạt các con số được viết theo một thứ tự xác định: a=, a�, ar, a�, … , a�, …. Số a= được gọi là số hạng thứ nhất, a� là số hạng thứ hai, và một cách tổng quát a� là số hạng thứ

n. Lưu ý rằng, với mỗi số nguyên dương n thì có tương ứng duy nhất một số a� và do đó một dãy có thể định nghĩa là một hàm số có tập xác định là tập số nguyên dương. Tuy nhiên, ta thường viết a� thay vì f(n) cho giá trị của hàm tại n. LƯU Ý: Dãy {a=, a�, ar, a�, … , a�, … . � còn được ký hiệu bởi �a�� hoặc �a��W�=� VÍ DỤ 1 Một số dãy được xác định bằng cách đưa ra công thức tổng quát cho số hạng thứ n. Trong các ví dụ sau đây, chúng ta đưa ra ba cách trình bày một dãy số: Dùng cách viết như đã nói trên, cách khác là đưa ra số hạng tổng quát, và cuối cùng là liệt kê ra các số hạng đầu tiên trong dãy. Lưu ý rằng, số n trong các ví dụ dưới đây không nhất thiết phải bắt đầu là 1.

(a) � WW,=�W�=�

/W � WW,= �=� , �r , r� , �8 , … , WW,= , … �

(b) ��.=���W,=�r� �W�=�

/W � �.=���W,=�r� �.�r , r� , .��� , 8>= , … , �.=���W,=�r� , . . �

(c) �√Q ! 3�W�r� /W � √Q ! 3 , Q F 3 �0, 1, √2, √3, … , √Q ! 3, … �

(d) �cos WB\ �W�?�

/W � cos WB\ , Q F 0 �1, √r� , =� , 0, … , cos WB\ , … � ■

VÍ DỤ 2 Dưới đây là một số dãy có sự xác định không đơn giản như những dãy trên. (a) Dãy ��W�, trong đó �W là dân số của thế giới tính đến ngày 01 tháng Một của năm thứ n. (b) Nếu ta đặt /W là số thứ n sau dấu phẩy khi viết số e ở dạng thập phân, thì �/W� là một dãy số được nhiều người biết đến, dãy đó có các số hạng đầu tiên là �7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 6,… � VÍ DỤ 3 (Bài toán lãi đơn) Nếu ta cho vay một số tiền là v0 với lãi suất mỗi kỳ là r. Cuối mỗi kỳ lãi được rút ra, chỉ để lại vốn cho kỳ sau(gọi là lãi đơn). Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu? Giải Sau kỳ đầu thì số tiền lãi là v0r nên số tiền có được là: v0 + v0r. Sau kỳ thứ hai số tiền lãi là 2v0r nên số tiền có được là: v0 + 2(v0r). Tổng quát, sau n kỳ số tiền lãi thu được là nv0r nên số tiền có được là: v0 + n(v0r). Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là an = v0 + nv0r trong đó v0 và r đã biết nên ta được một dãy số, dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với một số cố định v0r. Các dãy như thế được gọi là cấp số cộng. VÍ DỤ 4 (Bài toán lãi gộp) Nếu ta cho vay một số tiền là v0 (gọi là vốn) với lãi suất mỗi kỳ là r. Cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho kỳ sau(gọi là lãi gộp hoặc lãi kép). Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu? Giải Sau một kỳ thì số tiền lãi là v0r, nên số tiền có được là: v1 = v0 + v0r = v0 (1 + r). Sau hai kỳ thì số có được là: v2 = v1 + rv1 = v0 (1 + r) + rv0 (1 + r) = v0 (1 + r)2. Sau ba kỳ thì số tiền có được là: v3 = v2 + rv2 = v0 (1 + r)2 + rv0 (1 + r)2 = v0 (1 + r)3.

22

Tổng quát, sau n kỳ thì số tiền thu được là: vn = vn-1 + rvn -1 = v0 (1 + r)n -1 + rv0 (1 + r)n - 1 = v0 (1 + r)n. Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là một dãy số với đặc điểm số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với số cố định (1 + r). Những dãy số như vậy được gọi là cấp số nhân. LƯU Ý Lãi suất r/ kỳ có thể đổi qua các kỳ khác. Chẳng hạn, nếu r = 7%/năm thì ta có:

- Lãi suất theo kỳ nửa năm: r = ��%/nửa năm.

- Lãi suất theo kỳ là quý: r = ��%/quý.

- Lãi suất theo kỳ là tháng: r = �=�%/tháng.

- Lãi suất theo kỳ là ngày: r = �r\8%/ngày.

VÍ DỤ 5 Nếu một người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo quý thì sau 5 năm số tiền người này có được là bao nhiêu?

Giải Số tiền người này có được tính theo kết quả Ví dụ 4 với v0 = 1000, r = >�%/quý = 2% và sau 5

năm, tức là sau số kỳ là n = (5)(4) = 20. Vậy, số tiền có được là v20 = 1000(1+0,02)20 1485,95USD.

2. Giới hạn là số thực của dãy số a) Định nghĩa Với mỗi dãy, chẳng hạn như dãy trong Ví dụ 1 (a), /W � Q/�Q ' 1�, đều có thể biểu diễn hình học bằng cách biểu thị các số hạng của dãy trên đường thẳng thực, như Hình 1, hoặc bằng cách vẽ đồ thị, như Hình 2.

HÌNH 1 HÌNH 2 Lưu ý rằng, một dãy chính là một hàm số với tập xác định là tập các số nguyên dương, đồ thị của nó là tập các điểm có tọa độ như sau �1, /=� �2, /�� �3, /r� … . �Q, /W� … Từ Hình 1 hoặc Hình 2, ta thấy dường như các số hạng của dãy /W � Q/�Q ' 1� ngày càng tiến dần đến số 1 khi n càng lớn. Thực tế là, hiệu số

1 ! QQ ' 1 � 1Q ' 1

có thể làm nhỏ tùy ý bằng cách ta chọn số n đủ lớn. Ta nói ngắn gọn về sự kiện này bằng cách viết limW�� WW,= � 1.

Tổng quát, ta nói dãy �/W� có giới hạn là số thực L và viết là limW�� /W � � hoặc /W � � khi Q � ∞ nếu ta có thể làm cho trị tuyệt đối của hiệu số giữa /W và L nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn. Nếu tồn tại limW�� /W � �, ta nói dãy /W hội tụ. Trong trường hợp ngược lại, thì gọi là phân kỳ. Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau:

23

ĐỊNH NGHĨA Cho �/W� là một dãy, nếu có số thực L mà với mọi số � @ 0 đều có một số nguyên dương N sao cho |/W ! �| O � khi n > N. thì ta nói rằng dãy �/W� hội tụ đến L và viết là limW�� /W � � hoặc /W � � khi Q � ∞

Định nghĩa trên được minh họa trong Hình 3. Các điểm trong đồ thị của dãy �/W� phải nằm giữa hai đường nằm ngang y = L + � và y = L - � nếu n > N. Điều này phải đúng với mọi số � nhỏ tùy ý, nhưng thông thường � càng nhỏ thì N càng lớn.

Hình 3

VÍ DỤ 6 Chứng minh rằng limW�� =W � 0.

Giải -Với mọi số � @ 0, cho trước. Ta có �=W ! 0� O � tương đương với Q @ =�. Từ đó thấy rằng cần

chọn số tự nhiên N > =� để có được n > N thì Q @ =�.

-Từ đó, Với mọi số � @ 0, ta chọn số tự nhiên N sao cho N @ =� , ta được:

khi n > N thì �=W ! 0� � =W O =� O �.

Ta nhận thấy phép chứng minh trên gồm hai phần. Thứ nhất là phân tích để chọn ra số N phù hợp, thứ hai là đưa ra phép chứng minh theo định nghĩa.

VÍ DỤ 7 Chứng minh limW�� WW,= � 1.

Giải - Phân tích bài toán để tìm số N. Với mỗi số � @ 0, cho trước. Ta có � �W,= ! 1� � =W,= O �

tương đương với Q @ =� ! 1, từ đó ta sẽ chọn N là số tự nhiên sao cho N > =� ! 1.

Chứng minh: Với mỗi số � @ 0, cho trước. Ta chọn số tự nhiên N sao cho N > =� ! 1, khi đó cứ n >

N thì n > N > =� ! 1 tức là � �W,= ! 1� O �.

Vậy, limW�� WW,= � 1.

b) Tính chất + Tính duy nhất Định lý 1. Nếu dãy �/W� có giới hạn là L, thì giới hạn đó là duy nhất. + Tính bị chặn Định lý 2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, nghĩa là tồn tại số dương M sao cho |/W| O � với mọi n. + Tính bảo toàn thứ tự Định lý 3. Nếu limW�� /W � �, limW�� ZW � � với L, K là các số thực và /W # ZW với �Q @ Q?, thì � # �. c) Các phép tính giới hạn Định lý 4. Nếu �/W� và �ZW� là các dãy hội tụ và c là một hằng số, thì lim����/W ' ZW� � lim��� /W ' lim��� ZW

24

lim����/W ! ZW� � lim��� /W ! lim��� ZW lim����ca�� � c lim��� a� lim����/W. ZW� � lim��� /W . lim��� ZW

lim���/WZW � lim��� /Wlim��� ZW khi lim��� ZW ) 0

lim��� c � c

Nhận xét: limW�� =W� � 0 với mọi k là số tự nhiên.

VÍ DỤ 8 Tìm limW�� ; =W� ' �WW,=<. Giải limW�� ; =W� ' �WW,=< � limW�� =W� ' limW�� �WW,= � 0 ' 2 limW�� WW,= � 2

Như vậy, ta có thể tìm giới hạn dãy số bằng cách phân tích dãy đã cho thành tổng, hiệu, tích, thương của các dãy hội tụ và đã biết giới hạn. Vấn đề được đặt ra là: Khi nào thì dãy số hội tụ? Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho ta các điều kiện nhận biết một dãy có hội tụ hay không. d) Các điều kiện hội tụ Điều kiện đủ 1. (Đơn điệu và bị chặn) + Dãy �/W� được gọi là tăng nếu /W O /W,= với mọi Q F 1, tức là /= O /� O /r O X. Nó được gọi là dãy giảm nếu /W @ /W,= với mọi Q F 1. Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung là dãy đơn điệu. + Một dãy �/W� được gọi là bị chặn trên nếu có một số M sao cho /W # � với mọi Q F1 Nó được gọi là bị chặn dưới nếu có một số m sao cho V # /W với mọi Q F1 Khi dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, thì ta nói �/W� là dãy bị chặn. + Định lý 5. Mọi dãy tăng(giảm) và bị chặn trên(dưới) đều hội tụ. VÍ DỤ 9 Hãy tìm hiểu về tính hội tụ và tìm giới hạn của dãy số được xác định như sau: /= � 2 /W,= � =� �/W ' 6� với n = 1, 2, 3,…

Giải Trước tiên ta tính toán và liệt kê các số hạng đầu tiên trong dãy đã cho

/= � 2 /� � 12 �2 ' 6� � 4 /r � 12 �4 ' 6� � 5 /� � 12 �5 ' 6� � 5.5 /8 � 5.75 /\ � 5.875 /� � 5.9375 /> � 5.96875 Các số hạng nói trên là cơ sở để ta ước đoán rằng dãy đã cho là dãy tăng và tiến dần đến 6. Để khẳng định dãy trên là tăng, ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh /W O /W,= với mọi Q F 1. Thật vậy, với n = 1 ta có /= � 2 O 4 � /� tức là điều phải chứng minh đúng với n = 1. Giả sử điều phải chứng minh đúng với n = k, tức là ta có /�,= @ /� nên /�,= ' 6 @ /� ' 6

tương đương =� �/�,= ' 6� @ =� �/� ' 6�

suy ra /�,� @ /�,= Ta đã chỉ ra được rằng /W,= @ /W là đúng với k = n+ 1. Ta được điều phải chứng minh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh �/W� bị chặn bằng cách chỉ ra rằng /W < 6 với mọi n.(Vì dãy đã cho là dãy tăng nên nó đã bị chặn dưới bởi a1 = 2). Ta có /= � 2 O 6, tức là /W < 6 đúng khi n = 1. Giả sử rằng nó đúng với n = k. Khi đó

25

/� O 6 � /� ' 6 O 12 � 12 �/� ' 6� O 12 �12� � /�,= O 6

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta được /W < 6 với mọi n. Như vậy, dãy đã cho đơn điệu và bị chặn. Theo Định lý dãy đơn điệu thì dãy này hội tụ. Tuy nhiên, Định lý đó không cho ta biết giới hạn bằng bao nhiêu. Ta chỉ biết rằng � � limW�� /W là tồn tại, ta dùng đẳng thức truy toán đã cho để có được

limW�� /W,= � lim12 �W�� /W ' 6� � 12 ; limW�� /W ' 6< � 12 �� ' 6�

Vì /W � � nên /W,= � � (vì khi Q � ∞, thì Q ' 1 � ∞. Như vậy, ta có

� � 12 �� ' 6�

Giải phương trình tìm L, ta được L = 6, đúng như là ta đã dự đoán. ■

Điều kiện đủ 2.(Giới hạn kẹp) Định lý 6. Nếu /W # ZW # [W với Q F Q? và lim��� /� � lim��� [W � �, thì lim��� ZW � �. Hệ quả. Nếu limW�� |/�| � 0, thì lim��� /W � 0.

VÍ DỤ 10. Tìm limW�� �.=��W .

Giải Ta có limW�� ��.=��W � � limW�� =W � 0 nên limW�� �.=��W � 0. VÍ DỤ 11 Chứng minh rằng limW���� � 0 khi |�| O 1.

Giải Cho trước số �. Nếu � F 1, ta chọn N = 1 và hiển nhiên là với mọi n > N ta đều có |�|� O �.

Nếu � O 1, thì: |�|� O � tương đương Qln�|�|� O ln � tức là Q @  � � ��|¡|�. Như vậy, ta chọn N là số tự

nhiên nào đó thỏa mãn ¢ @  � � ��|¡|� khi đó cứ Q @ ¢ đều được |�|� O �.

Tóm lại, ta được limW��|��| � 0 kéo theo limW���� � 0.

Điều kiện cần và đủ 3.(Dãy Cô-si) Dãy �/W� được gọi là dãy cô-si nếu với mỗi số � cho trước luôn tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n lớn hơn N ta đều có |/£ ! /W| O �. Định lý 7. Dãy �/W� hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cô-si.

VÍ DỤ 12 Xét tính hội tụ của dãy: /W � �!1�W . Giải

Nếu ta chọn � � =�, thì với mọi số tự nhiên N ta luôn chọn được hai số m, n với m là số chẵn và n là

số lẻ và đều lớn hơn N và |/£ ! /W| � 2 @ �. Vậy dãy đã cho không phải là dãy cô-si nên dãy này phân kỳ. 3) Giới hạn là vô cực của dãy Trong số những dãy phân kỳ, có những dãy mà cứ cho trước một số dương thì kể từ một số hạng nào đó mọi số hạng của dãy đều lớn hơn số dương đó chẳng hạn như dãy �2Q ! 1�, những dãy như thế được gọi là dãy có giới hạn '∞. Có những dãy mà cứ cho trước một số âm thì mọi số hạng của

26

dãy kể từ một số hạng nào đó đều nhỏ hơn số âm đó chẳng hạn như dãy {- n}, những dãy như thế được gọi là dãy có giới hạn !∞. Dãy �/W� có giới hạn '∞, được viết là limW��/W � '∞.

Dãy �/W� có giới hạn !∞, được viết là limW��/W � !∞.

LƯU Ý: Các kết quả trong Định lý 4 không sử dụng được mà phải tuân theo các quy tắc về giới hạn vô cực đã học ở chương trình phổ thông. VÍ DỤ 13. Chứng minh rằng limW���� � '∞ khi � @ 1.

Giải Đặt r = 1 + a thì a > 0(do r > 1). Dùng khai triển nhị thức Newton, ta được �W � �1 ' /�W � 1 ' Q/ ' W�W.=�� /� ' X @ Q/ ( vì các số hạng không viết ra đều là số dương)

Cứ cho trước số dương M lớn tùy ý nếu ta chọn N @ ¤+ , thì ¢/ @ �. Do đó, với mỗi số dương M lớn tùy ý cho trước, chọn N là số tự nhiên sao cho N @ ¤+ thì với mọi n

thỏa mãn Q @ ¢ ta đều có: �W @ Q/ @ ¢/ @ �. Vậy ta được điều phải chứng minh. Các kết quả giới hạn của dãy ��W� được tổng hợp dưới đây để sau này dùng mà không

chứng minh lại: |�| O 1: limW���� � 0 , � � 1: limW���� � 1 ,

� @ 1: limW���� � '∞ , � � !1: không tồn tại : limW���� .

2.1 Giới hạn của hàm số 1. Khái niệm giới hạn của hàm số a) Giới hạn tại một số thực Bài toán tìm tiếp tuyến Ta sẽ thấy giới hạn nảy sinh trong khi ta cố gắng tìm tiếp tuyến của một đường cong. Tiếp tuyến là một từ có nguồn gốc trong ngôn ngữ Latin là tangens, nghĩa là “tiếp xúc”. Như thế, có thể hiểu tiếp tuyến là một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong. Làm thế nào để đưa ra một khái niệm chính xác? Đối với đường tròn thì rất đơn giản, tiếp tuyến với đường tròn là một đường thẳng cắt đường tròn tại duy nhất một điểm (Hình dưới) Đối với đường cong nói chung, định nghĩa kiểu như trên là không được. Nó phức tạp hơn. Hãy quan sát hình dưới đây. Ta thấy, đường thẳng l và t đều đi qua điểm P trên đường cong C. Đường l chỉ cắt đường cong C tại duy nhất một điểm, nhưng nó không phải là một đường tiếp xúc với đường cong. Với đường t, mặc dù nó cắt C tại hai điểm nhưng nó lại tiếp xúc với C.

Để được cụ thể hơn, ta xét bài toán tìm tiếp tuyến với parabol � � �� tại điểm P(1; 1). Để có được tiếp tuyến của parabol tại điểm P, ta phải tìm được hệ số góc của m nó bởi đã biết P nằm trên tiếp tuyến rồi. Khó khăn nằm ở chỗ muốn tính hệ số góc của đường thẳng thì cần phải biết hai điểm phân biêt nằm trên nó, trong khi đó ta mới có một điểm. Tuy nhiên, ta có thể tính gần đúng giá trị của m bằng cách chọn một điểm _��, ��� trên parabol, gần điểm P và tính hệ số góc V]^

của cát tuyến PQ.

27

Ta chọn � ) 1 thì � ) _ nên V]^ � E:.=E.= Chẳng hạn, với _�1,5; 2,25� ta có

V]^ � 2,25 ! 11,5 ! 1 � 1,250,5 � 2,5

Bảng dưới đây liệt kê giá trị V]^ tại một vài giá trị của x tại các điểm gần 1.

Ta thấy: Q càng gần P tương ứng xn càng gần 1, từ bảng trên, V]^ càng gần 2. Điều này gợi ý rằng

hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm m = 2. Ta nói rằng hệ số góc của tiếp tuyến là giới hạn của các hệ số góc của các cát tuyến, ta diễn đạt điều này bằng ký hiệu như sau: lim^�] V]^ � V và limE�= E:.=E.= � 2

Giả sử rằng hệ số góc của tiếp tuyến đúng là bằng 2, thì tiếp tuyến cần tìm là � ! 1 � 2�� ! 1) tức là � � 2� ! 1. Như vậy, trong trường hợp này ta quan tâm đến giá trị của một hàm số khi biến số nhận các giá trị gần một số cho trước. Tiếp theo, ta xét đặc điểm về mặt giá trị của hàm f được xác định như sau ���� � �� ! � ' 2 tại các điểm x gần 2, nhưng không bằng 2. Bảng sau đây cho ta giá trị của f tại những điểm gần 2.

Ta lại có đồ thị của hàm đã cho ở hình bên. Từ bảng giá trị và đồ thị của hàm số cho ta thấy các số �W càng gần 2(về cả hai phía) thì giá trị ���W� tiến dần về số 4. Điều này cho thấy, ta có thể làm cho giá trị của hàm số gần số 4 một cách tùy ý miễn là lấy giá trị của x đủ gần 2, ta nói “4 là giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2” và ký hiệu limE�� ���� � 4.

28

Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau

ĐỊNH NGHĨA 1 Cho� là hàm xác định trên khoảng mở I nào đó chứa điểm a, có thể không xác định tại a. Khi đó ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là số thực L, và viết limE�+ ���� � �

nếu với mọi dãy số ��W� nằm trong I\{a} và lim�W � / đều kéo theo lim���W� � �.

Sau đây là hình minh họa về các hàm số tiến đến L khi x tiến đến a.

LƯU Ý: + Nói tới giới hạn của hàm số khi x tiến đến a ta không xét hàm số tại a. Chẳng hạn ở hình (b) thì ��/� ) �, ở hình (c) thì ta thấy ��/� không xác định. + Nếu���� � D��� khi � ) / thì limE�+ ���� � limE�+ D���,miễn là một trong hai giới hạn tồn tại.

+ Từ định nghĩa nói trên ta thấy, muốn chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số khi x tiến đến a ta chỉ cần nêu ra được hai dãy số khác nhau cùng tiến đến a đồng thời hai dãy hàm tương ứng tiến đến hai số khác nhau.

VÍ DỤ 14 Xét sự tồn tại của limE�? sin ¦E.

Giải Chọn hai dãy �W � =W và §W � =: , �W. Ta thấy: cả hai dãy đều thuộc (-1; 1) \{0} và đều có giới

hạn là 0 khi n tiến đến '∞. Tuy nhiên, lim;sin B=/W< � 0 còn lim©sin B: ª :�

« � 1. Theo định

nghĩa, limE�? sin ¦E là không tồn tại.

Đồ thị của hàm sin ¦E

Người ta còn chứng minh được rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau:

Cho� là hàm xác định trên khoảng mở nào đó chứa điểm a, có thể không xác định tại a. Khi đó ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là số thực L, và viết limE�+ ���� � �

nếu với mỗi số dương � cho trước đều có một số ¬ @ 0 sao cho : 0 O |� ! /| O ¬ thì |���� ! �| O �

29

Minh họa hình học:

Định nghĩa này có hình ảnh tương tự như định nghĩa giới hạn của dãy số. VÍ DỤ 15 Chứng minh rằng limE�r�4x ! 5� � 7. Giải I. Phân tích bài toán để đoán giá trị ¬. Cho � là số dương nào đó. Ta muốn tìm số ¬ sao cho: nếu 0 O |� ! 3| O ¬ thì |���� ! 7| O �. Ta có ���� ! 7 � �4� ! 5� ! 7 � 4�� ! 3�. Do đó, ta muốn: nếu 0 O |� ! 3| O ¬ thì |���� ! 7| O �, tức là

nếu 0 O |� ! 3| O ¬ thì 4|� ! 3| O �

ta chỉ cần chọn ¬ � ��.

II. Chứng minh

Cứ cho trước số dương �, ta chọn ¬ � ��, thì sẽ có:

Nếu 0 O |� ! 3| O ¬ thì |���� ! 7| � 4|� ! 3| O 4 �� � �.

Theo định nghĩa, ta được limE�r�4x ! 5� � 7. Nhận xét: Lời giải cho ví dụ có giai đoạn suy đoán và chứng minh. Suy đoán là giai đoạn phân tích để có được giá trị của ¬ sau đó là chứng minh một cách cẩn thận theo đúng phát biểu của định nghĩa. VÍ DỤ 16 Cho hàm số ®�|� � T0 nếu | O 01 nếu | F 0S [Hàm số này được gọi là hàm Heaviside, đặt theo tên của một kỹ sư điện Oliver Heaviside(1850-1925), nó được dùng để mô tả dòng điện bị ngắt tại t = 0]. Hãy xét sự tồn tại lim}�? ®�|�.

Giải Chọn hai dãy �W � =W và §W � ! =W, ta thấy cả hai đều tiến đến 0 khi n tiến ra dương vô cực. Thế

nhưng:lim®��W� � 1 và lim ®�§W� � 0. Từ đó, theo định nghĩa lim}�? ®�|� là không tồn tại.

Đồ thị hàm Heaviside

Tuy nhiên, ta thấy rằng với mọi dãy �W với �W @ 0 và tiến đến 0 thì ta đều có lim®��W� � 1, ta nói hàm này có giới hạn phải tại 0 là 1, ký hiệu là lim}�?ª ®�|� � 1. Tương tự, với mọi dãy �W với �W O 0 và tiến đến 0 thì ta đều có lim®��W� � 0, ta nói hàm này có giới hạn trái tại 0 là 0, ký hiệu là lim}�?¯ ®�|� � 0.

30

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 2 (GIỚI HẠN MỘT PHÍA) • Cho� là hàm xác định trên khoảng mở (a; x0) nào đó. Khi đó ta nói rằng f(x) có giới hạn

bên phải là số thực L khi x tiến đến a, và viết limE�+ª ���� � � hoặc ���� � � khi � � /, nếu với mọi dãy số ��W� nằm trong (a; x0) và lim�W � / đều kéo theo lim���W� � �.

• Cho� là hàm xác định trên khoảng mở (x0; a) nào đó. Khi đó ta nói rằng f(x) có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến đến a, và viết limE�+¯ ���� � � hoặc ���� � � khi � � /.

nếu với mọi dãy số ��W� nằm trong (x0;a) và lim�W � / đều kéo theo lim���W� � �.

Minh họa hình học cho định nghĩa trên:

LƯU Ý: + Ký hiệu "� � /," nghĩa là ta chỉ xét x > a. Ký hiệu "� � /." nghĩa là ta chỉ xét x < a. + Định nghĩa 2 chỉ khác định nghĩa 1 ở một điều là: trong định nghĩa 1 thì dãy {�W� có thể nằm về hai phía của số a, trong định nghĩa 2 thì dãy {�W� chỉ được phép nằm về một phía của số a. + Người ta chứng minh được:

• limE�+ª ���� � � nếu với mọi số � @ 0 thì đều có một số ¬ @ 0 sao cho: khi / O � O / '¬, ta được |���� ! �| O �.

• limE�+¯ ���� � � nếu với mọi số � @ 0 thì đều có một số ¬ @ 0 sao cho: khi / ' ¬ O � O/, ta được |���� ! �| O �. Giới hạn một phía và giới hạn tại một điểm của hàm số liên hệ với nhau trong định lý sau: Định lý 8. Giới hạn limE�+ ���� � � tồn tại khi và chỉ khi tồn tại limE�+ª ����, limE�+¯ ���� và limE�+ª ����= limE�+¯ ���� � �. VÍ DỤ 17 Đồ thị của hàm g được cho trong hình dưới đây

Sử dụng nó để tìm các giới hạn(nếu tồn tại) sau: (a) limE��¯ D��� (b) limE��ª D��� (c) limE�� D��� (d) limE�8¯ D��� (e) limE�8ª D��� (f) limE�8 D��� Giải Từ đồ thị, ta thấy giá trị của g(x) tiến đến 3 khi x tiến đến 2 từ bên trái nhưng nó lại tiến đến 1 khi x tiến đến 2 từ bên phải. Do đó (a) limE��¯ D��� � 3 (b) limE��ª D��� � 1 (c) limE��ª D��� ) limE��¯ D���

31

nên limE�� D��� không tồn tại. Từ đồ thị, ta có (d) limE�8¯ D��� � 2 (e) limE�8ª D��� � 2 (f) limE�8 D��� � 2 mặc dù g(5) không xác định.

VÍ DỤ 18 Tìm limE�? =E: nếu nó tồn tại.

Giải Khi xn rất gần 0 thì xn2 là số dương và cũng rất gần 0, do đó 1/xn

2 là số rất lớn.

Bảng giá trị của hàm tại một số điểm Đồ thị hàm số

Như thế, giá trị của hàm số có thể lớn tùy ý miễn là x đủ gần 0 tức là giới hạn trên không tồn tại. Để diễn đạt tình huống trong Ví dụ trên, người ta dùng ký hiệu

limE�?1�� � '∞

Điều này không có nghĩa là ta coi '∞ là một số, cũng không có nghĩa là giới hạn tồn tại nó chỉ là một trường hợp riêng của tình huống không tồn tại giới hạn, đó là tình huống giá trị của hàm lớn tùy ý miễn là giá trị x đủ gần 0. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa:

ĐỊNH NGHĨA 3 (GIỚI HẠN LÀ VÔ CỰC) • Cho� là hàm xác định trên khoảng mở I nào đó chứa điểm a, có thể không xác định tại a.

Khi đó ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là ký hiệu +∞, và viết limE�+ ���� � '∞

nếu với mọi dãy số ��W� nằm trong I\{a} và lim�W � / đều kéo theo lim���W� � '∞. • Cho� là hàm xác định trên khoảng mở I nào đó chứa điểm a, có thể không xác định tại a.

Khi đó ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là ký hiệu !∞, và viết limE�+ ���� � !∞

nếu với mọi dãy số ��W� nằm trong I\{a} và lim�W � / đều kéo theo lim���W� � !∞. Minh họa hình học cho định nghĩa:

limE�+ ���� � '∞ limE�+ ���� � !∞

32

Tương tự, ta đưa ra định nghĩa là vô cực khi x tiến đến bên trái, bên phải của số a. limE�+¯ ���� � '∞ limE�+ª ���� � '∞ limE�+¯ ���� � !∞ limE�+ª ���� � !∞ Minh họa hình học:

Nhắc lại rằng: “� � /,” nghĩa là chỉ xét x > a; “� � /.” nghĩa là chỉ xét x < a. Người ta chứng minh được: limE�+ ���� � '∞

Nếu với mỗi số dương M đều tồn tại số ¬ @ 0 sao cho: ���� @ � khi 0 O |� ! /| O ¬. Minh họa hình học:

Ta cũng có các kết quả tương tự cho giới hạn là !∞, giới hạn là vô cực khi x tiến về bên trái, bên phải số a.

b) Giới hạn tại vô cực Trong phần (a) ta đã tìm hiểu về giá trị của hàm số khi x tiến dần đến một số thực xác định. Trong phần này ta tìm hiểu xem điều gì sẽ xảy ra về giá trị của hàm số khi x tiến dần ra vô cực(nếu được).

Trước tiên ta xét đặc điểm về mặt giá trị của hàm ���� � E:.=E:,= khi x

tiến dần ra vô cực. Bảng một số giá trị và đồ thị của nó như sau:

33

Khi các giá trị của xn tiến dần đến '∞, ta thấy dãy hàm tương ứng tiến đến 1. Thực tế là ta có thể làm cho giá trị của hàm số gần 1 một cách tùy ý bằng cách lấy x đủ lớn. Để diễn đạt điều này, ta

dùng ký hiệu limE�,� E:.=E:,= � 1. Tổng quát, viết limE�,� ���� � � với L là số thực thì hiểu là

f(x) có thể làm cho gần L một cách tùy ý bằng cách lấy x đủ lớn. Một cách chính xác, ta có định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 4

• Cho f là hàm số xác định trên khoảng �/; '∞� nào đó. Nếu mọi dãy số ��W� nằm trong �/; '∞� và tiến đến '∞ ta đều có lim���W� � �, thì ta nói “f(x) có giới hạn là L khi x tiến đến dương vô cực” và ký hiệu là limE�,� ���� � �.

• Cho f là hàm số xác định trên khoảng �!∞; Z� nào đó. Nếu mọi dãy số ��W� nằm trong �!∞; Z� và tiến đến !∞ ta đều có lim���W� � �, thì ta nói “f(x) có giới hạn là L khi x tiến đến âm vô cực” và ký hiệu là limE�.� ���� � �.

Minh họa hình học cho định nghĩa:

limE�,� ���� � �

limE�.� ���� � �

Các định nghĩa trên tương đương với:

• Cho f là hàm số xác định trên khoảng �/; '∞� nào đó. Khi đó limE�,� ���� � �

Nghĩa là với mọi số � @ 0 cho trước đều có một số N sao cho: nếu x > N thì |���� ! �| O �

34

Cho f là hàm số xác định trên khoảng �!∞; /� nào đó. Khi đó limE�.� ���� � �

Nghĩa là với mọi số � @ 0 cho trước đều có một số N sao cho: nếu x < N thì |���� ! �| O �

Cũng có thể khi x tiến dần đến vô cực thì giá trị của hàm tương ứng cũng tiến đến vô cực, chẳng hạn với hàm � � �� thì x càng tăng kéo theo giá trị của hàm số càng tăng. Ta nói hàm này tiến đến dương vô cực khi x tiến đến dương vô cực. Diễn đạt tình huống này bằng ký hiệu như sau: limE�,� ���� � '∞

Và hiểu là giá trị của hàm số có thể lớn tùy ý khi lấy x đủ lớn. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 5

• Cho f là hàm số xác định trên khoảng �/; '∞� nào đó. Nếu mọi dãy số ��W� nằm trong �/; '∞� và tiến đến '∞ ta đều có lim���W� � '∞, thì ta nói “f(x) có giới hạn là +∞ khi x tiến đến dương vô cực” và ký hiệu là limE�,� ���� � '∞.

• Cho f là hàm số xác định trên khoảng �!∞; Z� nào đó. Nếu mọi dãy số ��W� nằm trong �!∞; Z� và tiến đến !∞ ta đều có lim���W� � !∞, thì ta nói “f(x) có giới hạn là !∞ khi x tiến đến âm vô cực” và ký hiệu là limE�.� ���� � !∞.

Minh họa hình học cho định nghĩa:

Tương tự, ta cũng có các định nghĩa tương đương như là các định nghĩa trên. 2. Giới hạn của một số hàm sơ cấp Nhắc lại: * Hàm sơ cấp cơ bản là các loại hàm số sau: hàm hằng, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm

35

lượng giác và hàm lượng giác ngược. * Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán số học và phép lấy hàm hợp. + Nếu f là hàm sơ cấp cơ bản và a thuộc khoảng xác định của f thì limE�+ ���� � ��/�

+ Hàm lũy thừa � � �±

• ² @ 0: limE�?ª �± � 0, limE�,� �± � '∞

• ² O 0: limE�?ª �± � '∞, limE�,� �± � 0 + Hàm mũ � � /E

• / @ 1: limE�.� /E � 0, limE�,� /E � '∞

• 0 O / O 1: limE�.� /E � '∞, limE�.� /E � 0 + Hàm logarit ���� � logf �

• / @ 1: limE�?ª logf � � !∞, limE�,� logf � � '∞

• 0 O / O 1: limE�?ª logf � � '∞, limE�,� logf � � !∞ +Hàm lượng giác: limE�³: tan� � '∞ limE�.³: tan � � !∞ limE�? cot � � '∞ limE�B tan � � !∞

+ Hàm lượng giác ngược: Đồ thị của hàm y = arctanx và y = arccotx

limE�,� arctan � � �2 limE�.� arctan � � ! �2 limE�,� arccot � � 0 limE�.� arccot � � �.

3. Các định lý cơ bản về giới hạn của hàm a) Các tính chất cơ bản của hàm số có giới hạn hữu hạn Tính chất 1(Tính duy nhất) Nếu hàm số có giới hạn hữu hạn khi � � /, thì giới hạn đó là duy nhất.

36

LƯU Ý: Tính chất 1 vẫn đúng khi thay quá trình � � / bởi một trong các quá trình � � /., � �/,, � � !∞, � � '∞. Tính chất 2 Nếu hàm số f có giới hạn hữu hạn L khi � � / và L > p(L < p), thì tồn tại một khoảng (c; d) chứa a sao cho ���� @ � ����� O ��, �� � �[; ´�\�/� LƯU Ý: Tính chất 2 vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞ và khi đó khoảng (c; d) được thay bởi (c; a) (a; d) (!∞; [� (d; '∞�. Hệ quả: Nếu hàm số f có giới hạn hữu hạn L khi � � / , thì tồn tại khoảng (c; d) chứa a mà f bị chặn trong �[; ´�\�/�. LƯU Ý: Hệ quả vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞ và khi đó khoảng (c; d) được thay bởi (c; a) (a; d) (!∞; [� (d; '∞�. b) Các phép toán về giới hạn Định lý 9. Giả sử: limE�+ ���� � �, limE�+ D��� � � với L và M hữu hạn. Khi đó: 1) limE�+$���� ' D���& � � ' �; 2) limE�+$���� ! D���& � � ! �; 3) limE�+$���� · D���& � � · �; đặc biệt limE�+$[����& � [�; 4) nếu � ) 0 thì limE�+$���� · D���& � �: �. LƯU Ý: Định lý 9 vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞.

Nếu ta biết giới hạn của hàm f tại a là '∞ và giới hạn của hàm g tại a là L (hữu hạn), thì f + g có giới hạn là '∞, một cách hình thức ta ghi là �'∞� ' � � '∞. Theo cách ghi này ta có: Định lý 9’ (Quy tắc cho giới hạn là vô cực) �¸∞� ¸ ��� � ¸∞ �'∞� ' �'∞� � '∞ �!∞� ' �!∞� � !∞ �'∞� · �'∞� � '∞ �!∞� · �!∞� � '∞ �'∞� · �!∞� � !∞

� · �'∞� � T!∞ QếR � O 0'∞ QếR � @ 0S � · �!∞� � T'∞ QếR � O 0!∞ QếR � @ 0S 1∞ � 0

Định lý 10.(Giới hạn của hàm hợp) Giả sử: 1) limE�+ ���� � �, limE�¹ D��� � /; 2) Tồn tại khoảng (c; d) chứa b sao cho D��� ) /, �� � �[; ´�\�Z�. Khi đó: limE�¹ ��D���� � �.

LƯU Ý: Định lý 10 vẫn đúng khi thay � � Z bởi một trong các quá trình � � Z., � � Z,, � �!∞, � � '∞ và khi đó khoảng (c; d) được thay bởi (c; b) (b; d) (!∞; [� (d; '∞�. Hệ quả. Giả sử: limE�+ ���� � � @ 0, limE�+ D��� � � với L và M hữu hạn. Khi đó: limE�+$����&º�E� � �¤

LƯU Ý: Hệ quả vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞.

VÍ DỤ 19 limE�= ; E.=E:.=<E,= � limE�= ; =E,=<E,= � ;=�<� � =�.

c) Chuyển bất đẳng thức qua giới hạn Định lý 11. Nếu trong một khoảng (c; d) chứa a ta có: ���� F D���, �� � �[; ´�\�/�

và limE�+ ���� � �, limE�+ D��� � � là hai số hữu hạn thì � F �

37

LƯU Ý: Định lý 11 vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞ và khi đó khoảng (c; d) được thay bởi (c; a) (a; d) (!∞; [� (d; '∞�. Định lý 12.(Định lý kẹp) Nếu trong một khoảng (c; d) chứa a ta có ���� # D��� # (���, �� � �[; ´��/� và limE�+ ���� � limE�+ (��� � � thì limE�+ D��� � �

LƯU Ý: Định lý 12 vẫn đúng khi thay � � / bởi một trong các quá trình � � /., � � /,, � �!∞, � � '∞ và khi đó khoảng (c; d) được thay bởi (c; a) (a; d) (!∞; [� (d; '∞�. Minh họa hình học cho Định lý 12:

VÍ DỤ 20 Chứng minh rằng limE�? �� sin =E � 0.

Giải Ta có: với mọi � ) 0, thì !1 # sin =E # 1. Nên !�� # �� sin =E # ��.

Mặt khác : limE�? �� � 0 và limE�?�!��� � 0.

Theo định lý kẹp: limE�? �� sin =E � 0

Minh họa hình học cho Ví dụ:

Chú ý rằng không thể sử dụng

limE�? �� sin 1� � limE�?�� · limE�? sin 1�

bởi vì limE�? sin =E là không tồn tại.

38

$3. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 3.1. Các dạng vô định Khi giải các bài toán về giới hạn, ta có gặp một số trường hợp đặc biệt sau đây. Ta cần tìm:

1) lim *�E�º�E� mà: limf(x) = limg(x) = 0 hoặc limf(x) = limg(x) = ±∞.

2) lim $���� · D���& mà limf(x) = 0 và limg(x) = ±∞. 3) lim $���� ! D���& mà

limf(x) = limg(x) = +∞ hoặc limf(x) = limg(x) = - ∞.

4) lim ����º�E� mà f(x) là hàm dương và

• hoặc limf(x) = 1, limg(x) = ∞. • hoặc limf(x) = limg(x) = 0. • hoặc limf(x) = +∞, limg(x) = 0.

Khi đó, ta không áp dụng được các định lý về giới hạn và cũng chưa xác định được giới hạn đó tồn tại hay không và nếu tồn tại thì giới hạn đó bằng bao nhiêu. Khi các trường hợp kể trên xảy ra, ta nói rằng đó là những dạng vô định và ta ký hiệu chúng theo thứ tự là 00 ; ∞∞ ; 0 · ∞; ∞ ! ∞; 1�; 0?; ∞?. Để tìm giới hạn trong trường hợp này (gọi chung là khử dạng vô định) ta phải biến đổi các biểu thức f(x) và g(x) để có thể áp dụng được các định lý về giới hạn. VÍ DỤ 21 Tìm các giới hạn sau

a) limE�= E.√�E.=E:.=�E,== b) limE�.� √E».rE�E:,= c) limE��ª�� ! 2�¼ EE:.� d) limE�,�$√1 ' � ! √�&

Phương pháp khử dạng vô định 1∞∞∞∞ Giả sử ta cần tìm lim ����º�E� mà limf(x) = 1 và limg(x) = ∞. Ta dựa vào kết quả

limE�¸� k1 ' 1�lE � lim}�?�1 ' t�=} � ½

Biến đổi

����º�E� � ¾$1 ' ����� ! 1�& =*�E�.=¿�*�E�.=�º�E� Vì

$1 ' ����� ! 1�& =*�E�.= � ½ Nên lim ����º�E� � ½ ÀÁ ��*�E�.=�º�E� �

VÍ DỤ 22 Tìm limE�� ;E�< ¨Â¯:.

Các kỹ thuật khử các dạng vô định sẽ được trình bày ở các bài tiếp theo.

39

3.2. Vô cùng bé-vô cùng lớn VÔ CÙNG BÉ

Trong phần trước ta đã biết đưa ra các dạng vô định trong đó có dạng ??, để khử dạng vô định này

trong một số trường hợp ta phải dùng đến quy tắc thay thế vô cùng bé tương đương. Muốn nắm được quy tắc này, trước tiên ta phải hiểu thế nào là một vô cùng bé. Ta dùng khái niệm giới hạn để đưa ra định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong một quá trình, nếu α(x) → 0 trong quá trình đó.

VÍ DỤ 16 Từ giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản ta có: • sinx, arcsinx, tanx, arctanx, 1 - cosx, ax – 1, (1 + x)β - 1 là các VCB trong quá trình

x → 0. • x

β (β > 0) là VCB trong quá trình x → 0+. • x

β (β < 0), ax (0<a<1) là các VCB trong quá trình x → +∞. • ax (a >1) là VCB trong quá trình x → -∞.

NHẬN XÉT Từ định nghĩa về vô cùng bé và các định lý về giới hạn, ta được các kết quả sau đây: 1. Tổng của hai VCB là một VCB. 2. Tích của hai VCB là một VCB. 3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4. limE�f ���� � � s ���� ! � là một VCB.

Ta thấy rằng x2, x4 đều là hai vô cùng bé trong quá trình x → 0 nhưng ta thấy rằng khi x rất gần 0 thì: 0 < x4 < x2, tức là x4 tiến về 0 nhanh hơn so với x2. Khi đó ta nói x4 là VCB cấp cao hơn x2. Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau đây. ĐỊNH NGHĨA (về cấp của VCB)

Cho α(x) và β(x) là các VCB trong cùng một quá trình.

� Nếu α�E�β�E� → 0, thì nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) và ký hiệu α(x) = o(β(x))

(đọc: α(x) là “không nhỏ” của β(x));

� Nếu α�E�β�E� → L ≠ 0 (L hữu hạn), thì nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp

(với nghĩa là chúng dần đến 0 nhanh như nhau). Đặc biệt, khi L = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương và ký hiệu α(x) ∼ β(x).

MỘT SỐ CẶP VCB TƯƠNG ĐƯƠNG (cần ghi nhớ):

• Nếu λ > µ > 0, thì trong quá trình x → 0+ ta có xλ = o(xµ). • Trong quá trình x → 0:

sinx ∼ x, tanx ∼ x, arcsinx ∼ x, arctanx∼ x, 1 – cosx ∼ E:� ,

loga(1 + x) ∼ E � + , ax – 1 ∼ xlna, (1 + x)µ - 1 ∼ µx.

LƯU Ý: α1(x) ∼ β1(x) và α2(x) ∼ β2(x) không thể suy ra được α1(x) + α2(x) ∼ β1(x) + β2(x). Ta có định lý sau về VCB tương đương:

Định lý 7 Trong một quá trình

β(x) + o(β(x)) ∼ β(x)

Chứng minh dành cho người đọc

40

VÍ DỤ 17 Trong quá trình x → 0:

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x

3 + 7x4 vì 3x

2 – 5x3 + 7x

4 = o(2x),

3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3x

4 + 4x5 vì - 9x

2 + x3 + 3x4 + 4x

5 = o(3x). Ứng dụng của khái niệm VCB trong việc khử dạng vô định 0/0 được thể hiện qua định lý sau:

Định lý 8 Trong một quá trình, nếu ta có hai cặp VCB tương đương: α(x) ∼ α*(x), β(x) ∼β*(x), và

tồn tại lim ÃÄ�E�º�E�ÅÄ�E�*�E�, thì

lim α�������β���D��� � lim αÄ�������βÄ���D���

LƯU Ý Nếu limE�? Ã�E�Å�E� thuộc dạng vô định ??, ta hay thay thế α(x) và β(x) bởi các VCB dạng ax

µ.

VÍ DỤ 18 Tìm các giới hạn sau:

a� limE�? 2� ' 3�� – 5�r ' 7��3� ! 9�� ' �r ' 3�� ' 4�8 b�limE�? e�E ! 1ln �1 ! �� c� limE�? ln �1 ' tan3��5� ' sinr� d� limE�= sin�eE.= ! 1�ln�

Giải a) Từ ví dụ trên ta có: trong quá trình x → 0 thì

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x

3 + 7x4 và 3x ∼ 3x - 9x

2 + x3 + 3x4 + 4x

5 nên

limE�?2� ' 3�� – 5�r ' 7��3� ! 9�� ' �r ' 3�� ' 4�8 � limE�?

2� 3� � 23

b) Theo kết quả nêu trên, ta có: trong quá trình x → 0 thì e�E ! 1~ 2�; ln�1 ! �� ~ ! �

Nên: limE�? Ì:Â.= � �=.E� � limE�? �E.E � !2.

c) Ta có limE�?  � �=,Íf�rE�rE � limE�?  � �=,Íf�rE�Íf�rE · Íf�rErE � 1 nên: ln �1 ' tan 3��~3�

Mặt khác: limE�? �À�uE8E � limE�? �À�:E·�À� E8·E � 0 tức là sinr� � Î�5��

Vậy c� limE�?  � �=,Íf�rE�8E,�À�uE � limE�? rE8E � r8

d) Trong quá trình � � 1 tức là quá trình � ! 1 � 0: eE.= ! 1 � 0 nên sin�eE.= ! 1� ~ eE.= ! 1 ln � � ln�� ! 1 ' 1� ~� ! 1.

limE�=sin�eE.= ! 1�ln� � limE�=

eE.= ! 1� ! 1 � 1. VÔ CÙNG LỚN ĐỊNH NGHĨA Hàm số Ï��� được gọi là vô cùng lớn (VCL) trong quá trình � � / (a là số thực hoặc vô cực) nếu ta có limE�+ |β���| � '∞

NHẬN XÉT:

1. Nếu Ï��� là một VCL thì =Ð�E� là một VCB;

Nếu ²��� là một VCB và ²���, thì =±�E� là một VCL.

Từ đó, các kết quả với VCB có thể suy ra kết quả đối với VCL và VCL có thể chuyển sang VCB.

41

2. Tổng của một VCL và một hàm bị chặn là một VCL. 3. Tổng hai VCL cùng dấu là một VCL. 4. Tích của hai VCL là một VCL.

VÍ DỤ 19 Với 0 < a < 1, khi x → +∞: /E là một VCB, còn =fÂlà một VCL.

Ta đã biết rằng: trong quá trình x → +∞ thì /E (với a > 1), xm (m > 0) và logax (a > 1) là các VCL. Vấn đề đặt ra là: Độ tăng của hàm nào nhanh hơn? Nội dung các định lý sau cho ta câu trả lời.

Định lý 9. Nếu a > 1 và m > 0 là các số cho trước, thì

limE�,� aE�£ � '∞

Định lý trên cho thấy dù với m rất lớn, xm tăng rất nhanh nhưng ax với a > 1 còn tăng nhanh hơn. Điều này có nghĩa là ax là VCL cấp cao hơn so với xm.

Hệ quả với 0 < a < 1 và m > 0 thì limE�,� �£/E � 0. Thật vậy, đặt a’ = 1/a thì ta được a’ > 1 và do đó: limE�,� �£/E � limE�,� EÑ+Ò � 0

Định lý 10. Nếu a > 1 và m > 0 thì

limE�,��Álogf � � '∞

Định lý này cho thấy logf � tăng chậm hơn cả �Á khi x → +∞. Nhận xét quan trọng Như vậy, trong ba VCL /E (với a > 1), xm (m > 0) và logax (a > 1) khi

x → +∞ thì hàm mũ tăng ra vô cùng nhanh nhất sau đó đến hàm lũy thừa và cuối cùng là hàm logarit. Do đó, trong các biểu thức vô định là tích của các đại lượng dạng: hàm mũ, hàm lũy thừa, hàm logarit; mà có một đại lượng kéo về 0 một đại lượng kéo ra '∞ thì tác dụng của hàm mũ lấn át tác dụng của hai đại lượng còn lại, tác dụng của hàm lũy thừa lấn át tác dụng của hàm loga. Chẳng hạn: limE�?ª��£ logf �� , với m > 0 và a > 1 ta thấy �£ kéo tích về 0 còn logf � kéo tích ra vô

cực và ta có thể đoán ngay được là kết quả của giới hạn bằng 0. Thật vậy: Đặt | � =E, ta được limE�?ª��£ logf �� � lim}�,� . ÓÔÕ}}Ñ � 0.

VÍ DỤ 20 Tìm limE�?ª�E �´ạQD 0?� , limE�,�� �´ạQD ∞?�. Giải limE�?ª�E � limE�?ªeE �E � e? � 1; limE�,�� � limE�,�eÖ× � ½? � 1

3.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Khái niệm hàm số liên tục a) Hàm số liên tục tại một điểm Trong các kết quả về giới hạn của hàm số sơ cấp cơ bản tại một điểm thuộc tập xác định của nó, ta thấy có kết quả là: Nếu f là hàm sơ cấp cơ bản và a thuộc khoảng xác định của f thì limE�+ ���� � ��/�

Hàm số với tính chất này thì được gọi là liên tục tại a. Nói như thế là vì ta có định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA Hàm số f được gọi là liên tục tại số a nếu limE�+ ���� � ��/�

42

Lưu ý rằng: theo định nghĩa trên, một hàm số liên tục tại số a khi nó thỏa mãn ba điều kiện 1. f(a) phải tồn tại, nghĩa là a là số thuộc tập xác định của hàm f. 2. Tồn tại limE�+ ����. 3. limE�+ ���� � ��/�. Chỉ một trong ba điều kiện trên bị vi phạm thì ta nói f không liên tục tại a. Định nghĩa trên nói rằng f liên tục tại a nếu f(x) tiến đến f(a) khi x tiến đến a, thế nên hàm f liên tục tại a thì sẽ có đặc điểm là: khi x thay đổi rất ít thì giá trị của hàm số cũng thay đổi rất nhỏ. Ý nghĩa hình học:

Hàm số liên tục tại a thì đồ thị hàm số không bị đứt tại (a; f(a)).

Từ định nghĩa trên và kết quả về giới hạn của hàm sơ cấp ta có: Nếu một hàm sơ cấp xác định trên khoảng (c; d) chứa điểm a, thì liên tục tại a. Nếu hàm f xác định tại các điểm gần a (nói cách khác là hàm số xác định trên một khoảng mở nào đó chứa a và không nhất thiết phải xác định tại a) đồng thời f không liên tục tại a, thì ta gọi a là điểm gián đoạn của f hoặc f gián đoạn tại a. VÍ DỤ 21 Cho hàm số f với đồ thị

Hãy giải thích tại sao hàm số gián đoạn tại 1, 3 và 5. Giải Từ đồ thị ta có: f(1) không tồn tại nên hàm không liên tục tại 1, f không có giới hạn tại 3, giới hạn của hàm số tại 5 khác với f(5) Như vậy hàm số không liên tục tại 1, 3 và 5. Mặt khác hàm số đều xác định tại các điểm gần với các số 1, 3 và 5. Theo định nghĩa điểm gián đoạn thì:1, 3 và 5 là các điểm gián đoạn của f. Sau đây là đồ thị của một vài hàm số:

43

Trong mỗi hình trên, để vẽ đồ thị ta bắt buộc phải nhấc ngòi bút khỏi mặt tờ giấy bởi vì có lỗ thủng hoặc bị vỡ hoặc xuất hiện các bước nhảy. Ở hình (a) và (c) cho thấy ta có thể bổ xung các giá trị

hàm số tại điểm gián đoạn để có một hàm mới liên tục, chẳng hạn D��� � T����QếR � ) 23 QếR � � 2 S thì ta

được g(x) liên tục tại 2, điểm gián đoạn như thế được gọi là điểm gián đoạn bỏ được. Điểm gián đoạn ở hình (b) được gọi là điểm gián đoạn vô cực . Điểm gián đoạn ở hình (d) được gọi là điểm gián đoạn bước nhảy. b) Hàm liên tục một phía ĐỊNH NGHĨA

• Hàm f liên tục bên phải tại điểm a nếu limE�fª ���� � ��/�. • Hàm f liên tục bên trái tại điểm a nếu limE�f¯ ���� � ��/�.

VÍ DỤ 22 Hàm số f(x) = [ x ] (phần nguyên của x với giá trị là số nguyên lớn nhất bé hơn hoặc bằng x) có đồ thị

Tại mỗi số nguyên n hàm này có:

limE�Wª ���� � Q � ��Q� và limE�W¯ ���� � Q ! 1 ) ��Q� như thế hàm liên tục phải tại n và không liên tục trái tại n. LƯU Ý Từ các định nghĩa ta thấy: Hàm số f liên tục tại a khi và chỉ khi liên tục trái và liên tục phải tại a.

c) Hàm số liên tục trên một khoảng

ĐỊNH NGHĨA Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó (nếu khoảng có chứa đầu mút thì hiểu liên tục là liên tục một phía).

VÍ DỤ 23 Chứng minh rằng hàm số ���� � 1 ! √1 ! �� liên tục trên [-1; 1]. Giải Nếu -1 < a < 1 thì sử dụng các định lý về giới hạn tại một điểm ta được:

limE�f ���� � limE�f�1 ! √1 ! ��� � 1 ! limE�f�√1 ! ��� � 1 ! √1 ! /� � ��/�

tức là hàm f liên tục tại mọi điểm thuộc (-1; 1).

44

Nếu a = -1 thì limE��.=�ª ���� � 1 � ��!1�. Tương tự: Nếu a = 1 thì limE��=�¯ ���� � 1 � ��1�.

Như thế, ta được hàm liên tục phải tại -1 và liên tục trái tại 1. Theo định nghĩa trên, hàm đã cho liên tục trên [-1; 1].

d) Một vài định lý về phép tính các hàm liên tục

Định lý 11 Nếu các hàm số f và g liên tục tại điểm a, thì các hàm số f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x)⋅g(x)

cũng liên tục tại a và f(x)/g(x) cũng liên tục tại a nếu g(a) ≠ 0.

Định lý 18 Nếu hàm số f liên tục tại điểm a và limE�¹ D��� � /, thì limE�¹ ��D���� � ��/� . Nói cách khác limE�¹ ��D���� � ��limE�¹ D����

Hệ quả Nếu hàm số f liên tục tại điểm a và hàm số g liên tục tại điểm b = f(a), thì hàm số g(f(x)) cũng liên tục tại a.

2. Tính chất của hàm liên tục trên một khoảng đóng [a; b] Định lý về đạt min, max Hàm số f liên tục trên khoảng đóng [a; b] thì đạt min và max trên khoảng đó.

Chú ý Hàm số f liên tục trên một khoảng không phải là khoảng đóng, thì chưa chắc đạt min và max trên khoảng đó.

VÍ DỤ 24 f(x) = 1/x liên tục trên (0; 1], đạt min = f(1) nhưng không đạt max trên (0; 1]. f(x) = x liên tục trên (0; 1), nhưng không đạt min và max trên (0; 1).

Định lý về giá trị trung gian Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng đóng [a; b] và f(a) ) f(b). Khi

đó tồn tại với mọi số N nằm giữa f(a) và f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a; b) sao cho f(c) = N

Minh họa hình học

Hệ quả Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng đóng [a; b] và f(a) · f(b) < 0. Khi đó tồn tại ít nhất một điểm

c∈(a; b) sao cho f(c) = 0. VÍ DỤ 25 Hãy chỉ ra rằng phương trình

4x3 – 6x

2 + 3x – 2 = 0 có một nghiệm nằm giữa 1 và 2.

45

$4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 4.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số Bài toán tìm tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và bài toán tìm vận tốc tức thời của một vật chuyển động cùng dẫn đến việc phải tìm giới hạn cùng kiểu. Giới hạn kiểu đó nếu tồn tại được gọi là đạo hàm. Tiếp tuyến của một đường cong:

Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x), ta muốn tìm tiếp tuyến với (C) tại P(a, f(a)), trước hết ta xét một điểm Q(x, f(x)) gần điểm P và đi tính hệ số góc của cát tuyến PQ:

V]^ � ���� ! ��/�� ! /

Cho Q tiến đến P dọc theo đường cong bằng cách cho x tiến đến a. Nếu V]^ tiến đến số m, thì ta

xác định được tiếp tuyến là đường thẳng đi qua P với hệ số góc là m. Như vậy, để xác định được tiếp tuyến ta phải đi tìm giới hạn:

limE�+���� ! ��/�� ! /

Đặt ∆� � � ! /, chính là lượng thay đổi của biến độc lập, và gọi là số gia biến độc lập thì ta có

limE�+���� ! ��/�� ! / � lim∆E�?

��∆� ' /� ! ��/�∆�

Vận tốc tức thời: Một vật chuyển động trên một đường thẳng với phương trình chuyển động là s = f(t), trong đó s là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian là t. Hàm f mô tả quãng đường của vật đi được sau khoảng thời gian là t và được gọi là hàm định vị của vật. Trong khoảng thời gian từ t = a đến t = a + ∆| vật đi được một quãng đường là f(a + ∆|) – f(a).

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là: Ù}¹ � ÚÛãWº đườWº đÞ đượß}-ờÞ ºÞ+W � *�+,∆}�.*�+�∆}

46

Nếu ta tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian [a, a + ∆|] ngày càng ngắn, nghĩa là ∆| càng gần 0, thì ta càng thấy rõ được vận tốc của vật tại thời điểm gần thời điểm a. Ta gọi vật tốc tại thời

điểm a, ký hiệu bởi v(a), là giới hạn lim∆}�? *�+,∆}�.*�+�∆} , nếu tồn tại.

Đặt | � / ' ∆|, ta được:

Ù�/� � lim}�+ ��|� ! ��/�| ! / � lim∆}�? ��/ ' ∆|� ! ��/�∆|

Trong cả hai tình huống trên đều dẫn đến cùng một kiểu giới hạn, kiểu giới hạn này còn xuất hiện trong hóa học, kinh tế,..từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu về giới hạn

lim∆E�?��∆� ' /� ! ��/�∆�

của một hàm nói chung, nếu giới hạn này tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm số tại a. Khái niệm này được phát biểu trong định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại số a, được ký hiệu là f’(a), là

�Ò�/� � lim∆E�? ��∆� ' /� ! ��/�∆�

nếu giới hạn tồn tại.

Từ định nghĩa đạo hàm của hàm số ta thấy: Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại P(a, f(a)) chính là bằng đạo hàm của f tại a: f’(a); vận tốc tại thời điểm a của vật chuyển động theo phương trình s = f(t) chính là v(a) = f’(a). CHÚ Ý: Đặt � � ∆� ' /, ta được

��/� � limE�+���� ! ��/�� ! /

Tìm hiểu thêm về khái niệm đạo hàm Tốc độ thay đổi: Giả sử rằng y là một đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x, cụ thể y là hàm của x được biểu thị bởi y = f(x). Nếu x biến thiên từ x1 đến x2, thì x đã thay đổi một lượng (gọi là số gia của x) là ∆� � �� ! �= Khi đó y thay đổi một lượng tượng ứng là ∆� à ����� ! ���=�, gọi là số gia của hàm số

Tỷ số ∆�∆� � ����� ! ���=��� ! �=

được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương ứng với x trên khoảng $�=; ��& và nó cũng chính là hệ số góc của cát tuyến PQ(Hình trên). Tương tự như với vận tốc, ta xét tốc độ thay đổi trung bình trên các khoảng rất nhỏ bằng cách cho x2 tiến đến x1, tức là cho ∆� tiến đến 0. Giới hạn của tốc độ thay đổi trung bình khi ∆� tiến đến 0

47

được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại x = x1 (gọi tắt là tốc độ thay đổi của y đối với x tại x1). Như vậy, trước đây ta hiểu đạo hàm f’(a) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ là a, bây giờ ta còn thấy rằng: f ’(a) chính là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại x = a. Hai cách hiểu này có quan hệ mật thiết đến nhau.

Giá trị của y biến đổi rất nhanh tại P và chậm tại Q

Khi hệ số góc lớn thì độ dốc của đường cong lớn và do đó giá trị của hàm số thay đổi nhanh, còn khi hệ số góc nhỏ thì đường cong tương đối bằng phẳng tức là giá trị của hàm số tăng không lớn. Giá trị cận biên trong kinh tế: Giả sử C(x) là chi phí mà một công ty phải bỏ ra khi sản xuất x sản phẩm. Hàm C được gọi là hàm chi phí. Nếu số sản phẩm được sản xuất tăng từ x1 đến x2, thì tổng chi phí phát sinh thêm là ∆2 � 2���� ! 2��=� và tốc độ thay đổi trung bình của tổng chi phí theo số sản phẩm là ∆C∆� � 2���� ! 2��=��� ! �= � 2��= ' ∆�� ! 2��=�∆�

Giới hạn của biểu thức này khi ∆� � 0 chính là tốc độ thay đổi tức thời của tổng chi phí đối với số sản phẩm làm ra tại x = x1, các nhà kinh tế gọi là chi phí cận biên , như vậy

Tổng chi phí cận biên = lim∆E�? ∆C∆E � 2Ò��=�

Khi chọn ∆� � 1 và sản xuất ra n sản phẩm (n đủ lớn để ∆� là nhỏ khi so với n), ta có tổng chi phí cận biên ở mức n sản phẩm là: 2Ò�Q� 2�Q ' 1� ! 2�Q� nghĩa là tổng chi phí cận biên ở mức n sản phẩm thì cho ta thấy mức tổng chi phí tăng khi làm thêm sản phẩm thứ n +1 đồng thời cũng cho phép ta ước đoán chi phí để làm sản phẩm thứ n + 1. Các nhà kinh tế còn tìm hiểu về: Lượng cầu cận biên, doanh thu cận biên, lợi nhuận cận biên,… đó là đạo hàm của hàm cầu, hàm doanh thu, hàm lợi nhuận,..tương ứng. LƯU Ý: Nếu hàm chi phí là C = C(Q) thì chi phí cận biên được ký hiệu là MC(Q) = C’(Q) (MC viết tắt của từ marginal cost); nếu hàm doanh thu là R = R(Q) thì doanh thu cận biên là MR(Q) = R’(Q) ; và cứ như vậy. VÍ DỤ 1 Quan hệ giữa số vé bán được Qd (lượng cầu) và giá một vé P của một hãng xe buýt là như sau: Qd = 10 000 - 125P. Hãy tìm lượng cầu cận biên khi P = 30.

48

Giải Lượng cầu cận biên khi P = 30 là:

MQd = Qd’(30) = lim∆]�? ^ã�r?,∆]�.^ã�r?�∆] � !125.

Điều này nghĩa là: Nếu tăng giá vé từ 30 (đơn vị) lên 31(đơn vị) thì số vé bán được sẽ giảm 125 vé. Bởi vì đạo hàm của hàm số tại một số thực được định nghĩa dựa vào giới hạn của hàm số

nên ta có khái niệm đạo hàm trái, đạo hàm phải và điều kiện cần đủ để có đạo hàm: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM MỘT PHÍA

* Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại số a, được ký hiệu là f’(a+), là

�Ò�/,� � lim∆E�?ª��∆� ' /� ! ��/�∆�

nếu giới hạn tồn tại. * Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại số a, được ký hiệu là f’(a-), là

�Ò�/.� � lim∆E�?¯��∆� ' /� ! ��/�∆�

nếu giới hạn tồn tại.

Từ định nghĩa này ta hiểu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) nghĩa là có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và hàm số có đạo hàm trên [a; b] nghĩa là hàm số có đạo hàm trên (a; b), có đạo hàm trái tại b và đạo hàm phải tại a.

Định lý 1. Hàm số có đạo hàm tại a khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm trái, đạo hàm phải và hai đạo hàm bằng nhau.

Nếu biết hàm số liên tục tại a thì liệu hàm số có đạo hàm tại a hay không và ngược lại? Định lý sau trả lời câu hỏi đó.

Định lý 2. Nếu hàm số có đạo hàm tại a thì liên tục tại đó.

CHÚ Ý: Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Chẳng hạn hàm f(x) = | x | liên tục tại 0.

Tuy nhiên �Ò�0,� � lim∆E�?ª |∆E|∆E � 1, �Ò�0.� � !1, tức là hàm số không có đạo hàm tại 0.

4.2 CÁC CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

• (C)’ = 0 • (ax)’ = axlna

• (loga|x|)’ = ax ln

1 (x ≠ 0)

• (x)’ = 1 ∀x∈ R • (xα)’ = αx

α - 1 với α ≠ 1 và * x ∈ R, nếu α là số nguyên ≥ 2;

* x ∈ R*, nếu α là số nguyên âm;

* x ∈(0; +∞), nếu α∈ R\Z.

• ( √�× )’ = =W √E�¯¨�¯¨ với

+ x > 0 nếu n chẵn; + ∀x∈ R* nếu n lẻ.

• (sinx)’ = cosx

49

• (cosx)’ = -sinx

• (tanx)’ = =äÓ�:E ∀x ≠

B� ' d�

• (cotx)’ =.=�À�:E ∀x ≠ d�

• (arcsinx)’ = =√=.E: , ∀x∈(-1; 1)

• (arccosx)’ = .=√=.E:, ∀x∈(-1; 1)

• (arctanx)’ = ==,E:

• (arccotx)’ = .==,E:

2. Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý 3 Nếu f và g đều có đạo hàm tại a, thì

• (f + g)’(a) = f ’(a) + g’(a); • (f - g)’(a) = f ’(a) - g’(a); • (f⋅g)(a)’ = f ’(a)⋅g(a) + f(a)⋅g’(a);

• Với g(a) ≠ 0, thì ;*º<Ò �/� � *å�+�º�+�.*�+�ºå�+�º:�+�

Định lý 4 Nếu hàm số u(x) có đạo hàm tại x = a và hàm số f(u) có đạo hàm tại u = u(a), thì h(x) = f(u(x)) có đạo hàm tại x = a, và

h’(a) = f ’(u)u’(a).

Như vậy, dùng Định lý 3 và Định lý 4 cùng với bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp ta có thể tính đạo hàm của rất nhiều hàm số khác.

VÍ DỤ 2 Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) � � arcsin 3� b) � � √arctan2� c) ���� � �E với x > 0 d) f(x) = √�u sin √��u tại x = 0.

VÍ DỤ 3 Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm khi sản xuất Q sản phẩm là:

2æ � 0,0001_� ! 0,02_ ' 5 ' 500_

Tìm chi phí cận biên đối với Q. Chi phí cận biên là bao nhiêu khi mức sản xuất Q = 500.

3. Quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định khi tính giới hạn Trong bài trước ta đã dùng phương pháp thay thế các VCB để khử dạng các vô định. Trong mục

này, ta xét một phương pháp dùng đạo hàm để khử dạng vô định ?? và

��.

Định lý 5 (Quy tắc L’Hospital) Giả sử: các hàm số f và g có đạo hàm tại các điểm trong một

khoảng I chứa a(có thể không xác định tại a) và g’(x) ) 0; tồn tại limE�f *Ò�E�ºå�E� hoặc limE�f *Ò�E�ºå�E� là

vô cực. Nếu limE�+ ���� � 0 và limE�+ D��� � 0 hoặc limE�+ ���� � ¸∞ và limE�+ D��� � ¸∞, thì

limE�f����D��� � limE�f

���D���

CHÚ Ý 1: Quy tắc L’Hospital phát biển rằng giới hạn của thương hai hàm số bằng giới hạn của thương hai đạo hàm của chúng, miễn là các điều kiện trong giả thiết của quy tắc phải thỏa mãn. Đặc biệt phải xác định được dạng vô định của giới hạn trước khi sử dụng quy tắc.

50

CHÚ Ý 2: Quy tắc L’Hospital vẫn đúng khi thay quá trình � � / bởi một trong các quá trình � � /,; � � /.; � � '∞; � � !∞. CHÚ Ý 3: Ta có thể áp dụng quy tắc này nhiều lần trong khi tìm một giới hạn.

CHÚ Ý 4: Nếu có limE�f *�E�º�E� � � thì không thể kết luận limE�f *Ò�E�ºÒ�E� � �.

VÍ DỤ 4 Tìm giới hạn limE�=  � EE.=.

Giải Giới hạn có dạng ??. Ta đi tính limE�= � � E�Ò�E.=�Ò � limE�= Â= � 1. Theo quy tắc L’Hospital, ta được

limE�=  � EE.= � 1.

VÍ DỤ 5 Tìm giới hạn limE�,� ÌÂE:.

Giải Giới hạn phải tìm có dạng ��. Ta đi tính limE�,� �ÌÂ�Ò�E:�Ò � limE�,� ÌÂ�E. Ta lại được dạng

��, ta

lại tính limE�,� �ÌÂ�Ò��E�Ò � '∞. Như vậy limE�,� ÌÂE: � limE�,� �ÌÂ�Ò�E:�Ò � limE�,� �ÌÂ�Ò��E�Ò � '∞.

VÍ DỤ 6 Tìm giới hạn limE�?ª  � EÂ .

Giải Giới hạn phải tìm có dạng ��. Ta có limE�?ª � � E�Ò�Â�Ò � limE�?ª Â.Â: � 0. Theo quy tắc

L’Hospital, ta được limE�?ª  � EÂ � 0.

LƯU Ý: Các dạng vô định khác đều có thể chuyển qua dạng ?? hoặc

�� bằng cách biến đổi biểu thức

dưới dấu giới hạn. Một cách hình thức:

• Dạng 0 · ∞ è �=/? è ��.

• Dạng ∞ ! ∞: ���� ! D��� � ¨é�Â�. ¨ê�Â�¨ê�Â�é�Â� , thành dạng ??

• Dạng 1�, ∞?, 0?: ����º�E� � ½º�E�  � *�E�, thành việc đi tìm giới hạn vô định dạng: 0 · ∞ . VÍ DỤ 7 Tìm các giới hạn: limE�?ª�W ln � �Q � ëÄ�; limE�? ; =�À�E ! =E< ; limE�?ª ; E,=�E,=<äÓÍE ; limE�?ªsinE�; limE�=ª ;E,=E.=<E.=

.

Tuy nhiên có trường hợp không áp dụng được quy tắc L’Hospital, chẳng hạn như trong ví dụ sau.

VÍ DỤ 8 Tìm giới hạn limE�,� E,�À�E�E .

Giải Nhận thấy giới hạn phải tìm là dạng ��,

ta xét limE�,� �E,�À�E�Ò��E�Ò � limE�,� =,äÓ�E� � limE�,� cos� E�. Giới hạn này không tồn tại (Hãy

giải thích?) nên không áp dụng được quy tắc L’Hospital. Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x, ta

được limE�,� E,�À� E�E � 0.

Bạn có biết? Quy tắc L’Hospital thực ra là của Johann Bernoulli. Năm 1694 Bernoulli đồng ý nhận tiền công mỗi năm 300 bảng từ L’Hospital (học trò cũ của Bernoulli) để giải một số bài toán cho L’Hospital, trong đó có bài toán tìm giới hạn 0/0. Sau đó, năm 1696 L’Hospital công bố một cuốn sách trong đó có quy tắc tìm giới hạn dạng 0/0, nhưng không ghi rõ ai là tác giả.

51

$5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 5.1 Khái niệm vi phân 1. Định nghĩa Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm tại điểm a. Khi đó, đặt ∆� � � ! /(số gia đối số) và ∆��/� � ��/ ' ∆�� ! ��/�(số gia hàm số tương ứng) thì ta được:

�Ò�/� � lim∆E�? ∆��/�∆�

tương đương với

lim∆E�?∆��/� ! �Ò�/�∆�∆� � 0

tức là ∆��/� ! �Ò�/�∆� � Î�∆�� hay ∆��/� � �Ò�/�∆� ' Î�∆��. Ta gọi giá trị xấp xỉ cho ∆ì�í� bằng cách bỏ đi Î�∆��, là vi phân của hàm số tại a. Như vậy, �Ò�/�∆� là vi phân của hàm tại a. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây:

ĐỊNH NGHĨA Cho hàm f xác định trong một khoảng chứa a. + Ta nói f khả vi tại điểm a nếu tồn tại số thực A sao cho ∆��/� à ��/ ' ∆�� ! ��/� � g · ∆� ' Î�∆��. + Khi đó, biểu thức g · ∆� được gọi là vi phân của hàm f tại a, biểu thức đó được ký hiệu là df(a) hoặc df hoặc dy.

VÍ DỤ 1 Chứng minh rằng hàm ���� � �r khả vi tại x = 1. Tìm vi phân df(1). Giải Ta có ∆��1� à ��1 ' ∆�� ! ��1� � 1 ' 3�∆�� ' 3�∆��� ' �∆��r ! 1 � 3 · ∆� ' 3�∆��� ' �∆��r � 3 · ∆� ' Î�∆�� + Theo định nghĩa hàm đã cho khả vi tại 1. + df(1) = 3 · ∆�. 2. Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân Từ mục trên ta thấy: Hàm số có đạo hàm tại a, thì hàm khả vi tại a và vi phân của hàm số là �Ò�/�∆�. Ngược lại: “Hàm khả vi tại a, thì có đạo hàm tại a” có đúng không? Ta có: hàm khả vi tại a thì tồn tại số thực A sao cho ∆��/� à ��/ ' ∆�� ! ��/� � g · ∆� ' Î�∆��

Nên lim∆E�? *�∆E,+�.*�+�∆E � lim∆E�? î·∆E,ï�∆E�∆E � g, tức là tồn tại đạo hàm tại a và f’(a) = A.

Từ trên ta được định lý như sau:

Định lý 1 Hàm số khả vi tại a khi và chỉ khi tồn tại f’(a). Khi đó: df(a) = f’(a)· ∆�.

Nhận xét: Khi g(x) = x, thì g’(x) = 1 nên dg(x) = dx = 1 · ∆� � ∆�. Như vậy, df(a) = f’(a)· ´� suy ra �Ò�/� � o*�+�oE và ´��/� � �Ò�/�´�.

52

3. Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Ta có ��/ ' ∆�� ! ��/� g · ∆� � �Ò�/� · ∆�, tức là ��/ ' ∆�� ��/� ' �Ò�/� · ∆�

Công thức xấp xỉ này cho phép ta tìm giá trị gần đúng của hàm f tại / ' ∆� theo các thông tin tại a. Tất nhiên ta chỉ dùng công thức này trong khi việc tính giá trị của hàm số tại / ' ∆� gặp khó khăn.

VÍ DỤ 2 Tính gần đúng t1,0001� n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.

Giải Xét hàm ���� � √�� , chọn / � 1, ∆� � 0,0001. Ta có � @ 0, �Ò��� � =W √E�¯¨� ,

nên �Ò�1� � =W. Mặt khác ��1� � 1.

Theo công thức tính gần đúng: √1,0001� 1 ' =W · 0,0001

4. Các quy tắc tính vi phân Từ quan hệ giữa đạo hàm và vi phân và các quy tắc tính đạo hàm ta được các quy tắc tính vi phân được phát biểu trong định lý sau.

Định lý 2 Nếu các hàm số f và g khả vi tại điểm a, thì tại điểm đó ta có d(f + g)(a) = df(a) + dg(a); d(f - g)(a) = df(a) - dg(a);

d(f g)(a) = g(a)df(a) + f(a)dg(a); ´ ;*º< �/� � º�+�o*�+�.*�+�oº�+�º:�+� . 5.2 Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao 1. Đạo hàm cấp cao

* Giả sử � � ���� là một hàm số có đạo hàm tại mọi x thuộc (c; d). Khi đó với mỗi x �(c; d) ta xác định được duy nhất một số là �Ò���, tức là ta có một hàm số f’ xác định trên (c; d). Nếu tại / ��[; ´� hàm số này có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm này là đạo hàm cấp 2 của f tại a, ký hiệu bởi �ÒÒ�/� hoặc �ÒÒ�/� hoặc �����/�. * Một cách tổng quát: Giả sử tồn tại đạo hàm cấp n -1 (n � ëÄ) của hàm f và ký hiệu là ��W.=�. Đạo hàm cấp n của hàm f tại a là đạo hàm của ��W.=� tại a, được ký hiệu là ��W��/� hoặc ��W��/�. VÍ DỤ 3 a) f(x) = ax có f(n)(x) = ax(lna)n.

b) f(x) = xα (α∈R) có f (n)(x) = α(α-1)(α-2)⋅⋅⋅(α-n+1)xα-n. c) f(x) = ln|x| có f (n)(x) = (-1)n(n - 1)!x-n.

d) f(x) = sinx có f(n)(x) =sin ;� ' Q B�<.

e) f(x) = cosx có f(n)(x) =cos ;� ' Q B�<.

2. Vi phân cấp cao Ta còn gọi df = f ’(x)dx là vi phân cấp 1 của f tại x. Với dx không đổi, khi điểm x thay đổi, df cũng thay đổi theo, do đó nó là một hàm số của x. Nếu hàm số này cũng có vi phân tại x, thì vi phân đó được gọi là vi phân cấp 2 của f tại x, ký hiệu là d2

f hoặc d2y.

Cụ thể, ta có d

2f = d(df) = d(f ’(x)dx) = d(f ’(x))dx = f ”(x)dxdx = f ”(x)(dx)2.

Một cách tổng quát, vi phân cấp n của f tại x là vi phân của vi phân cấp n – 1 của nó (nếu chúng tồn tại), ký hiệu là dn

f hoặc dny

dnf (x) = d(d(n-1)

f) = f(n)(x)(dx)n.

53

5.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI 1. Định lý FERMAT Xét hàm số với đồ thị như hình sau:

Hàm số xác định trên một khoảng nhỏ chứa điểm c và với mọi x thuộc khoảng đó và � ) [ thì f(x) < f(c), ta nói c là điểm cực đại của hàm số. Hàm số xác định trên một khoảng mở nhỏ chứa điểm d, với mọi x thuộc khoảng đó và khác d, thì f(x) > f(d). Ta nói d là điểm cực tiểu của hàm số. Điểm cực đại, điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Định lý Fermat(về điều kiện cần của cực trị)

Cho hàm số � � ���� xác định trên khoảng (a; b). Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm [ � �/; Z� và tồn tại �Ò�[�, thì �Ò�[� � 0.

Fermat là tên của một nhà toán học người Pháp. Vốn ông là một luật sư, ông coi làm toán chỉ là một thú vui. Mặc dù vậy, ông đã có những kết quả nghiên cứu kiệt xuất. Ông được coi là một trong hai người(người kia là Descartes) sáng tạo ra hình học giải tích.

Về mặt hình học, định lý trên cho biết nếu hàm đạt cực trị tại điểm c và tồn tại đạo hàm tại điểm đó, thì tiếp tuyến với đồ thị tại (c; f(c)) song song với trục hoành. LƯU Ý: Mệnh đề đảo của định lý trên không đúng, chẳng hạn xét hàm y = x3 tại x = 0!

2. Định lý ROLLE Định lý quan trọng trong bài này là Định lý Giá trị Trung bình, nhưng để có được nó ta phải biết được định lý sau.

Định lý Rolle Nếu hàm f thỏa mãn cả ba giả thiết sau đây: a. f liên tục trên khoảng đóng [a; b], b. f khả vi trên khoảng mở (a; b), c. f(a) = f(b). thì tồn tại một số c trong khoảng (a; b) sao cho �Ò�[� � 0.

Định lý Rolle xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1691 trong một cuốn sánh có tên Méthode pour resoudre les

égalité, định lý này được nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) tìm ra.

Về mặt hình học: Nếu các giả thiết của định lý được thỏa mãn, thì tồn tại một điểm c trong (a; b) sao cho tiếp tuyến tại (c; f(c)) song song với trục hoành.

VÍ DỤ 1 Áp dụng Định lý Rolle cho phương trình chuyển động s = f(t) của một vật. Nếu vật đó ở cùng một vị trí tại hai thời điểm khác nhau t = a và t = b, thì f(a) = f(b). Định lý Rolle nói rằng có một thời điểm nào đó là t = c nằm giữa a và b; vận tốc của chuyển động bằng 0.(Trường đặc biệt, ta có thể thấy điều này là đúng khi một quả bóng được ném theo phương thẳng đứng.)

54

3. Định lý Lagrange (Định lý Giá trị Trung bình) Đây là Định lý quan trọng, ta dùng Định lý Rolle để chứng minh. Định lý này được nhà toán học người Pháp, Joseph-Louis Lagrange, đưa ra.

Định lý Giá trị Trung bình Giả sử f là một hàm thỏa mãn các giả thiết sau đây: a. f liên tục trên khoảng đóng [a; b], b. f khả vi trên khoảng mở (a; b), thì tồn tại một số c trong khoảng (a; b) sao cho:

��[� � ��Z� ! ��/�Z ! /

hoặc tương đương là ��Z� ! ��/� � �Ò�[��Z ! /�

Trước khi chứng minh, ta quan sát hình vẽ sau để thấy được về mặt hình học, nó là như thế nào.

Các hình trên cho thấy, hệ số góc của cát tuyến AB là:

Vîñ � ��Z� ! ��/�Z ! /

Mặt khác: �Ò�[� là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (c, f(c)). Định lý Giá trị Trung bình phát cho thấy có ít nhất một điểm P(c, f(c)) trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến

AB. Chứng minh

Xét hàm số (��� � ���� ! ��/� ! *�¹�.*�+�¹.+ �� ! /�,

55

Ta có: h(x) thỏa mãn hai giả thiết đầu của Định lý Rolle, bởi vì f thỏa mãn hai giả thiết trong định lý Giá trị Trung bình. Mặt khác: (�/� � 0, (�Z� � 0 nên (�/� � (�Z�. Như vậy, hàm h(x) thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle.

Nên tồn tại một điểm c trong (a, b) sao cho (Ò�[� � 0, tức là �Ò�[� ! *�¹�.*�+�¹.+ � 0

Suy ra �Ò�[� � *�¹�.*�+�¹.+ .

VÍ DỤ 2 Nếu một vật chuyển động thẳng với phương trình ò � ��|�, thì vận tốc trung bình giữa

hai thời điểm t = a và t = b là *�¹�.*�+�¹.+ .

Vận tốc tại thời điểm t = c là �Ò�[�. Như thế, Định lý Giá trị Trung bình nói rằng tại một thời điểm c nào đó trong khoảng từ a đến b vận tốc tức thời bằng với vận tốc trung bình. Chẳng hạn một xe ô tô chuyển động được 180 km trong vòng 2 giờ, thì chắc chắn có một thời điểm nào đó vận tốc phải là 90km/h. Ý nghĩa chính của Định lý Giá trị Trung bình là nó cho phép ta nhận được thông tin về một hàm số từ thông tin về đạo hàm của nó. Ví dụ và các hệ quả sau đây minh họa điều này. VÍ DỤ 3 Giả sử rằng ��0� � !3 và �Ò��� # 5 với mọi x. Giá trị ��2� nhỏ hơn hoặc bằng bao nhiêu? Giải Vì hàm f có đạo hàm tại mọi số thực nên liên tục trên tập số thực. Như vậy, ta có thể áp dụng Định lý Giá trị Trung bình trên [0; 2]. Tồn tại một số c sao cho ��2� ! ��0� � �Ò�[��2 ! 0� Suy ra ��2� � ��0� ' 2�Ò�[� Theo giả thiết �Ò�[� # 5 nên ��2� # !3 ' 2 · 5 � 7. Vậy giá trị lớn nhất mà f(2) có thể nhận là 7. VÍ DỤ 4 Biết rằng 4a + 3b + 3c = 0. Chứng minh rằng ax

2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0; 2).

Hệ quả 1. Nếu �Ò��� � 0 với mọi x trong khoảng (a, b), thì f là hàm hằng trên (a, b).

Chứng minh Giả sử x1 và x2 là hai số bất kỳ trong (a, b) và x1 < x2. Do f khả vi tại mọi điểm trong (a, b) nên nó phải khả vi trên (x1, x2) và liên tục trên [x1, x2]. Bằng cách áp dụng Định lý Giá trị Trung bình cho hàm f trên [x1, x2], thì tồn tại một số c sao cho x1 < c < x2 và f(x2) – f(x1) = f ’(c)(x2 – x1) Do �Ò��� � 0, �� � �/, Z� nên �Ò�[� � 0, tức là ta được ���=� � �����. Như vậy, hàm f nhận giá trị như nhau tại mọi điểm trong (a, b), tức là f là hàm hằng trên (a, b).

Hệ quả 2. Nếu hai hàm � và D có đạo hàm bằng nhau tại mọi điểm trong (a, b), thì trên khoảng đó chúng chỉ sai khác nhau một hằng số.

Chứng minh Theo giả thiết �Ò��� � DÒ���, �� � �/, Z� tức là ta có �� ! D�Ò��� � 0, �� � �/, Z�. Theo hệ quả trên, � ! D là hàm hằng, nghĩa là tồn tại số k sao cho ���� ! D��� � d, �� � �/, Z�. Vậy với mọi số x trong (a, b), ta có ���� � D��� ' d.

56

$6. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC Trong các bài trước ta đã thấy ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm giới hạn (thể hiện qua quy tắc L’Hospital), dùng khái niệm đạo hàm để xây dựng khái niệm giá trị cận biên trong kinh tế, xây dựng khái niệm vi phân. Buổi này trình bày thêm một số ứng dụng khác. 6.1 CÔNG THỨC TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG 1. Công thức Taylor Ta đã biết, trong các hàm số thì đa thức là hàm đơn giản nhất. Đặc biệt là trong việc tính giá trị của hàm số tại một điểm. Nhắc lại rằng đa thức là một hàm số có dạng ���� � /? ' /=� ' /��� ' X ' /W�W Công thức Taylor được trình bày dưới đây cho phép ta xấp xỉ một hàm đã cho bởi một đa thức miễn là các giả thiết của công thức được thỏa mãn và từ đó việc tính giá trị của hàm số đó tại một điểm có thể tính gần đúng bởi giá trị tại điểm đó của đa thức xấp xỉ. Trong định nghĩa đạo hàm, ta đã có: Nếu hàm số � � ���� có đạo hàm tại a, thì �Ò�/� � limE�+ *�E�.*�+�E.+ hay limE�+ *�E�.*�+�.*å�+��E.+�E.+ � 0

Tức là: Trong quá trình � � / thì ���� � ��/� ' �Ò�/��� ! /� ' Î�� ! /� (1) Nên với x rất gần a, ta được ���� ��/� ' �Ò�/��� ! /� Như thế, với x rất gần a ta đã xấp xỉ f(x) bởi một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1. Công thức Taylor dưới đây là trường hợp mở rộng của (1). a) Công thức Tayor dưới dạng Peano

Định lý 1 Giả sử hàm số � có đạo hàm đến cấp n trong một khoảng mở nào đó chứa điểm a, và đạo hàm này là một hàm liên tục tại điểm a. Khi đó

���� � ��/� ' �Ò�/��� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' X ' ��W��/�Q! �� ! /�W ' Î��� ! /�W�. �2�

Định lý 1 cho thấy, với x gần với a, thì

���� ��/� ' �Ò�/��� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' X ' ��W��/�Q! �� ! /�W

Lưu ý rằng, vế phải là một đa thức. Sai số giữa ���� và đa thức vế phải là Î��� ! /�W�, gọi là phần dư dạng Peano. Công thức (2) được gọi là công thức Taylor (hay còn gọi là khai triển Taylor với phần dư Peano). Xét thêm về công thức (2):

• Ta chuyển ��/� sang vế trái và đặt ∆� � � ! /, ∆��/� � ���� ! ��/� ta được, công thức (2) trở thành

∆��/� � �Ò�/�∆� ' �ÒÒ�/�2! �∆��� ' X ' ��W��/�Q! �∆��W ' Î��∆��W�

Hay ở dạng vi phân

∆��/� � ´��/� ' ´���/�2! ' X ' ´W��/�Q! ' Î��´��W�. • Khi / � 0, thì (2) được gọi là công thức Maclaurin (hoặc khai triển Maclaurin):

���� � ��0� ' �Ò�0� · � ' �ÒÒ�0�2! · �� ' X' ��W��0�Q! · �W ' Î��W�.

57

b) Khai triển với phần dư dạng Lagrange Phần dư khi xấp xỉ hàm bởi đa thức ở dạng Peano không có biểu thức cụ thể nên ta không thể đánh giá được sai số. Công thức sau cho ta biểu thức cụ thể của phần dư nên có thể đánh giá được sai số.

Định lý 2 Giả sử hàm � � ���� có đạo hàm cấp n trên một khoảng mở chứa điểm a, và đạo hàm cấp n là một hàm liên tục trên khoảng mở đó; tồn tại đạo hàm cấp n +1, đạo hàm cấp n + 1 bị chặn trên khoảng đó. Khi ấy, với mọi x trong khoảng mở nói trên, ta có:

���� � ��/� ' �Ò�/��� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' X ' ��W��/�Q! �� ! /�W ' ��W,=��[��Q ' 1�! �� ! /�W,= �3�

Trong đó [ là một số nằm giữa / và �.

• Biểu thức ���� � �Q'1�[��Q'1�! �� ! /�Q'1 trong (3) được gọi là phần dư Lagrange, công thức (3)

được gọi là công thức Taylor (khai triển Taylor) với phần dư dạng Lagrange.

• Nếu ���W,=����� O �, thì sai số khi xấp xỉ ���� bởi đa thức

���� � ��/� ' �Ò�/��� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' X ' ��W��/�Q! �� ! /�W

được đánh giá như sau: |����| O ¤�E.+��ª¨�W,=�! . Đa thức ���� được gọi là đa thức Taylor bậc n của �

tại a. Công thức Taylor được đặt theo tên của nhà toán học người Anh là Brook Taylor(1685-1731); công thức Maclaurin là tên được đặt để thể hiện sự tôn kính đối với nhà toán học người Scotlen Colin Maclaurin(1698-1746) mặc dù công thức Maclaurin chỉ là trường hợp riêng của công thức Taylor. Công thức Maclaurin được chính nhà toán học Colin Maclaurin đưa ra trong cuốn sách giáo khoa về giải tích của ông với tiêu đề Treatise of Fluxioms được xuất bản năm 1742.

c) Một số khai triển quan trọng Khai triểm Maclaurin của một số hàm thường gặp:

• Hàm � � ½E, ta có ��ô���� � ½E , �� và ��ô��0� � 1, �� nên

½E � 1 ' �1! ' ��2! ' �r3! ' X ' �WQ! ' Î��W�

Ta được các đa thức Taylor tại 0 (còn gọi là các đa thức Maclaurin):

�=��� � 1 ' � ����� � 1 ' � ' ��2! ������ 1 ' � ' ��2! ' �r3!

Đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy ngay, việc dùng đa thức để xấp xỉ cho hàm chỉ đem lại kết quả tốt tại những điểm rất gần 0 hoặc là đa thức với bậc đủ lớn.

• Hàm ���� � sin �: sin � � � ! Eur! ' E�8! ! Eõ�! ' X ' �!1�W E:�ª¨��W,=�! ' Î���W,=�. Công thức đúng với mọi x. Một số đa thức Maclaurin:

�=��� � � ����� � � ! Eur! �r��� � � ! Eur! ' E�8! Đồ thị

58

• Hàm ���� � cos �:

cos � � 1 ! ��2! ' ��4! ! �\6! ' X ' �!1�W ��W�2Q�! ' Î���W�. Công thức đúng với mọi x.

• Hàm ���� � �1 ' ��± , ² � �:

�1 ' ��± � 1 ' ²� ' ²�² ! 1�2! �� ' X ' ²�² ! 1��² ! 2� X �² ! Q�Q! �W ' Î��W�. Công thức đúng với mọi � @ !1.

• Hàm ���� � ln�1 ' ��: ln�1 ' �� � � ! E:� ' Eur ! Eö� ' X ' �!1�W.= E�W ' Î��W�. Công thức đúng với � @ !1.

2. Ứng dụng

• Tính gần đúng Chẳng hạn sin � � ! Eu\

• Tính giới hạn

VÍ DỤ 1 Tính limE�? �À�E.÷Eu .

Giải

Vì sin � ! � � � ! Eu\ ' Î��r� ! � � ! Eu\ ' Î��r�

Nên limE�? .Âu» ,ï�Eu�Eu � ! =\

• Tìm cực trị Giả sử f : [a; b]→R, f ’(x) là các hàm liên tục trên [a; b], f ’(x0) = 0, f ”(x0) > 0 với x0 ∈[a; b]. Theo

Khai triển Taylor ���� ! ���?� � �Ò��?��� ! �?� ' *åå�Eø��! �� ! �?�� ' o��� ! �?���

� �ÒÒ��?�2! �� ! �?�� ' o��� ! �?���

Do đó, với x gần x0 ta có: f(x) - f(x0) ≈ *åå�Eø��! �� ! �?�� ' o��� ! �?��� > 0

hay : f(x) - f(x0) > 0. Suy ra x0 là điểm cực tiểu của f. 6.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ta đã biết rằng �Ò��� là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số � � ���� tại điểm ��, �����, mặt khác tại rất gần � thì đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của nó sai khác nhau không đáng kể. Thế nên ta có thể hy vọng rằng những hiểu biết về đạo hàm sẽ cung cấp cho ta những thông tin về hàm số. Trước tiên là sự biến thiên của hàm số.

1. Sự đồng biến và nghịch biến Xét đồ thị hàm số sau

59

Ta thấy trên khoảng đồng biến thì tiếp tuyến của đồ thị hướng lên trên, tức là hệ số góc của tiếp tuyến là �Ò��� @ 0. Trên khoảng nghịch biến thì tiếp tuyến đồ thị đi xuống, tức là �Ò��� O 0. Như vậy, giữa dấu của đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng là có liên quan đến nhau. Mối quan hệ đó được trình bày trong hai kết quả sau đây. a) Điều kiện cần

Định lý 3 Nếu hàm số � � ���� không giảm trên �/, Z� và có đạo hàm tại mọi điểm trong �/, Z�, thì �Ò��� F 0, �� � �/, Z�. Nếu hàm số � � ���� không tăng trên �/, Z� và có đạo hàm tại mọi điểm trong �/, Z�, thì �Ò��� #0, �� � �/, Z�.

Chứng minh Ta chỉ chứng minh cho ý thứ nhất, ý thứ hai chứng minh tương tự.

Xét một điểm bất kỳ �? trong �/, Z�. Ta có �Ò��?� � limE�Eø *�E�.*�Eø�E.Eø . Vì hàm � không giảm trên

�/, Z� nên: � O �? thì ���� # ���?�, như thế *�E�.*�Eø�E.Eø F 0; � @ �? thì ���� F ���?�, như thế

*�E�.*�Eø�E.Eø F 0.

Tóm lại, ta luôn có *�E�.*�Eø�E.Eø F 0 nên �Ò��?� � limE�Eø *�E�.*�Eø�E.Eø F 0.

b) Điều kiện đủ

Định lý 4 Giả sử f có đạo hàm trên (a; b).

+ f ’(x) ≥ 0 ∀x∈(a; b) thì f không giảm trên (a; b).

+ f ’(x) > 0 ∀x∈(a; b) thì f đơn điệu tăng trên (a; b). + f ’(x) ≡ 0 ∀x∈(a; b) thì f là hằng số trên (a; b). + f ’(x) ≤ 0 ∀x∈(a; b) thì f không tăng trên (a; b). + f ’(x) < 0 ∀x∈(a; b) thì f đơn điệu giảm trên (a; b). Chứng minh Ta chỉ chứng minh một ý, các ý còn lại là tương tự. Trước tiên, ta nhắc lại định lý giá trị trung bình: “Giả sử f là một hàm thỏa mãn các giả thiết sau đây: a. f liên tục trên khoảng đóng [a; b], b. f khả vi trên khoảng mở (a; b), thì tồn tại một số c trong khoảng (a; b) sao cho: �Ò�[� � *�¹�.*�+�¹.+ ”

Lấy hai số bất kỳ �=, �� thuộc khoảng �/, Z�. Giả sử �= O ��. Xét hàm f trên $�=, ��&, ta thấy nó thỏa mãn các giả thiết của định lý giá trị trung bình. Thế nên, tồn tại số c thuộc ��=, ��� sao cho

��[� � ����� ! ���=��� ! �=

Theo giả thiết �Ò�[� F 0, mặt khác �= O ��. Suy ra ����� ! ���=� F 0, tức là ���=� # �����. Vậy, hàm số không giảm trên (a; b). Từ các định lý trên ta thấy: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ta chỉ việc tính đạo hàm và lập bảng xét dấu của đạo hàm. 2. Cực trị của hàm số Khái niệm điểm cực trị đã được học trong chương trình phổ thông và được nhắc lại ở phần Định lý Fermat. Phần này sẽ trình bày cách tìm các điểm đó dựa vào đạo hàm. Định lý Fermat cho thấy, một điểm là cực trị của hàm số thì: hoặc hàm số có đạo hàm tại đó, ta phải có giá trị đạo hàm bằng 0

60

hoặc là hàm xác định và không có đạo hàm tại đó; các điểm như thế được gọi là các điểm tới hạn. Để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta tìm các điểm tới hạn rồi sau đó áp dụng một trong các điều kiện đủ sau đây.

Định lý 5.(Điều kiện đủ theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử / là điểm tới hạn của đồ thị hàm số � � ���� và hàm này có đạo hàm trong các khoảng �[, /� và �/, Z�. Khi đó: i) Nếu đạo hàm �Ò��� đổi dấu từ âm sang dương khi � biến thiên qua /, thì hàm số đạt cực đại tại /; ii) Nếu đạo hàm �Ò��� đổi dấu từ dương sang âm khi � biến thiên qua /, thì hàm số đạt cực tiểu tại /; iii) Nếu đạo hàm �Ò��� không đổi dấu khi � biến thiên qua /, thì hàm số không đạt cực trị tại /.

Hàm số đạt cực đại tại a Hàm số đạt cực tiểu tại a.

Hàm số không đạt cực trị tại a

Định lý 6 (Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp cao) Giả sử f khai triển được theo Công thức Taylor trong một khoảng mở nào đó chứa điểm /:

���� � ��/� ' ù �����/�d!W

��= �� ! /�� ' ��� ! /�W�

và đạo hàm đầu tiên khác 0 của nó tại / là đạo hàm cấp n, tức là:� ′�/� � � ′′�/� � X ���W.=��/� � 0 và ��W��/� ) 0.Khi đó: i) Nếu n là số lẻ, thì f không có cực trị tại /. ii) Nếu n là số chẵn, thì f có cực trị tại /, cụ thể làf

(n)(a) > 0 thì / là điểm cực tiểu;f(n)(a) < 0 thì / là điểm cực đại.

Chú ý: Ở trường phổ thông ta chỉ xét trường hợp n = 2.

61

VÍ DỤ 2 • Xét hàm f(x) = x3 tại 0. Ta có

f ’(0) = f ”(0) = 0, f(3)(0) = 6 nên x = 0 không phải là điểm cực trị.

• Xét hàm ���� � sin �, tại B�. Ta có �Ò ;B�< � 0, �ÒÒ ;B�< � !1 vậy

B� là điểm cực đại.

3. Đạo hàm cấp 2 và tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị Hàm lồi - hàm lõm trên một khoảng Xét các hình vẽ sau:

Ta thấy, mỗi hình vẽ đều mô tả hàm số đồng biến trên (a, b). Cả hai đều là đường nối A với B nhưng trông có vẻ khác nhau, bởi vì chúng được bẻ cong theo các hướng khác nhau. Ta phân biệt chúng như thế nào? Trong hình (a) các điểm trên đường cong nằm trên tiếp tuyến, nhìn từ phía dưới lên thấy nó là đường cong lồi, người ta gọi f là hàm lồi trên (a, b). Trong hình (b) các điểm trên đồ thị của g nằm phía dưới của các tiếp tuyến, nhìn từ dưới lên thấy nó là đường cong lõm, người ta nói g lõm trên (a, b).

ĐỊNH NGHĨA + Nếu đồ thị của hàm � nằm hoàn toàn ở trên và phía trên của tiếp tuyến với nó tại các điểm trong khoảng I, thì ta nói nó là hàm lồi trên I. + Nếu đồ thị của hàm � nằm hoàn toàn ở trên và phía dưới của tiếp tuyến với nó tại cácđiểm trong khoảng I, thì ta nói nó là hàm lõm trên I.

Ghi chú: Người ta còn đưa ra định nghĩa tương đương như sau về hàm lồi và hàm lõm: Một hàm số liên tục trên (a, b) được gọi là lồi nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 ) x2, với mọi ² � �0, 1�, thì ta đều có: �1 ! ²����=� ' ²����� F ���1 ! ²��= ' ²���. Nếu thay F bởi #, ta được khái niệm hàm lõm.

Chúng ta phải nhờ đến đạo hàm để tìm các khoảng lồi lõm của hàm số. Nhìn hình (a) ta thấy, tính từ trái sang phải, hệ số góc của tiếp tuyến tăng tức là f’ là hàm tăng hay �ÒÒ��� @ 0. Ở hình (b) thì tương ứng hệ số góc giảm, tức là �ç là hàm giảm hay �ÒÒ��� O 0. Hình vẽ trên là minh họa hình học cho Định lý sau đây.

Định lý 7 Giả sử hàm số � � ���� có đạo hàm đến cấp 2 trên (a, b). Khi đó: i) Nếu �ÒÒ��� @ 0 với mọi � � �/, Z�, thì hàm số lồi trong khoảng đó. ii) Nếu �ÒÒ��� O 0 với mọi � � �/, Z�, thì hàm số lõm trong khoảng đó.

62

Điểm uốn Cho hàm số � � ���� liên tục. Điểm ��/, ��/�� của đồ thị hàm số được gọi là điểm uốn của đồ thị nếu nó là điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm của đồ thị, khi đó / được gọi là điểm uốn của hàm số. Ta xác định điểm uốn của hàm số dựa vào định lý sau đây.

Định lý 8 Giả sử hàm � � ���� có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và �Ò�[� � 0 với [ � �/, Z�. i) Nếu �ÒÒ��� đổi dấu khi x biến thiên qua [, thì [ là điểm uốn của hàm số. ii) Nếu �ÒÒ��� không đổi dấu khi x biến thiên qua [, thì [ không là điểm uốn của hàm số.

VÍ DỤ 3. Tìm cực trị, khoảng lồi lõm và điểm uốn của hàm số:

���� � 1√2� ½.=�E:

(hàm này là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối tiêu chuẩn, xuất hiện trong xác suất-thống kê)

4. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất Nhắc lại về khái niệm: Cho hàm � � ���� xác định trên tập D.

• Nếu tồn tại / � � sao cho: ���� # ��/� với mọi � � �, thì ta gọi ��/� là giá trị lớn nhất của hàm � trên D, ký hiệu maxú ���� à ��/�.

• Nếu tồn tại / � � sao cho: ���� F ��/� với mọi � � �, thì ta gọi ��/� là giá trị nhỏ nhất của hàm � trên D, ký hiệu minú ���� à ��/�.

Chúng ta đã biết, hàm liên tục trên một khoảng đóng thì đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng đó. Vấn đề là tìm như thế nào? Cách tìm: + Dùng bất đẳng thức. + Dùng bảng biến thiên của hàm trên D. + Nếu D = [c, d], thì: Tìm các điểm tới hạn �=, ��, … , �� của hàm f trên [c, d]; Tính ��[�, ���=�, �����, … , �����, ��´�; giá trị lớn nhất trong các số tìm được là giá trị lớn nhất của hàm trên D, giá trị nhỏ nhất trong số các số vừa tìm được là giá trị nhỏ nhất của hàm trên D.

6.3 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 1. Giá trị cận biên Khái niệm giá trị cận biên đã được đề cập đến trong phần khái niệm đạo hàm. 2. Hệ số co giãn Độ thay đổi tương đối. Bạn có vui lòng trả thêm 1 triệu đồng để mua một đồ vật không? Câu trả lời sẽ rõ ràng nếu ta biết đồ vật ấy là gì. Nếu là cái áo, thì chắc chắn câu trả lời là không. Nếu là một miếng đất ở Hà Nội, để làm việc lớn, thì câu trả lời lại là có. Như vậy, vấn đề ở đây không phải là số tiền trả thêm (độ tăng tuyệt đối) mà là tỷ số giữa số tiền tăng thêm và thị giá của đồ vật cần mua (độ tăng tương đối). Trong tháng này, sản lượng của một nhà máy thép là _? � 100 tấn. Tháng sau, sản lượng là _= � 105 tấn. Như vậy, độ tăng của sản lượng là ∆_ � _= ! _? � 5 (tấn), đây là độ tăng tuyệt đối. Nếu đổi ra kg thì độ tăng là ∆_ �5000 (kg). Độ tăng tuyệt đối có giá trị phụ thuộc vào đơn vị đo, dựa vào đó người ta không hình dung được mức tăng trưởng là như thế nào.

Trong thực tế, để thấy rõ mức tăng trưởng, người ta xét độ tăng tương đối: ∆QQø .

• Nếu tính theo tấn: ∆QQø � 8=?? � 0,05 � 5%.

• Nếu tính theo kg: ∆QQø � 8???=?? ??? � 0,05 � 5%.

63

Như vậy, độ tăng tương đối không phụ thuộc vào đơn vị đo.

Khái niệm hệ số co giãn Xét hàm số � � ����. Khi biến số tăng từ / đến �, thì độ thay đổi của hàm số là ��/� ! ����. Ta nói độ thay đổi tuyệt đối của biến số tại a là: ∆� � / ! �, độ thay đổi tuyệt đối của hàm số tại f(a) là: ∆� � ��/� ! ����.

Tỷ số ∆E+ được gọi là độ thay đổi tương đối của biến số tại í;

∆ý*�+� gọi là độ thay đổi tương đối

của hàm số tại ì�í�. Tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của hàm số tại ��/� và độ thay đổi tương đối của biến số tại / là: ∆���/�∆�/ � ∆���/� · /∆� � ∆�∆� · /��/�

Giới hạn của tỷ số trên khi ∆� tiến đến 0 được gọi là hệ số co giãn của hàm þ � ì��� tại í, ký hiệu là �ý�E��/�.

Theo định nghĩa đạo hàm, ta được:

�ý�E��/� � �Ò�/� · /��/�

Ý nghĩa kinh tế của hệ số co giãn tại một điểm

Khi � đủ gần / thì �Ò�/� ∆ý∆E, như thế:

�ý�E��/� ∆�∆� · /��/� s ∆���/� �ý�E��/� · ∆�/

Khi độ thay đổi tương đối của biến số là 1%, tức là ∆E+ � 1%, ta được: ∆���/� �ý�E��/�. 1% � �ý�E��/�%.

Vậy, hệ số co giãn của hàm số f(x) tại a mô tả độ thay đổi tương đối của hàm số tại điểm ��/� tính theo phần trăm khi biến số tăng 1% tại /. Dựa vào hệ số co giãn người ta đưa ra các khái niệm sau:

* Nếu ��ý�E��/�� @ 1 thì hàm � được gọi là co giãn tại / (hàm số có phản ứng nhanh với sự thay

đổi của biến số).

* Nếu ��ý�E��/�� � 1 thì hàm � được gọi là đẳng co tại /.

* Nếu ��ý�E��/�� O 1 thì hàm � được gọi là không co giãn tại / (phản ứng chậm đối với sự thay đổi

của biến số). VÍ DỤ 4 Giả sử hàm cầu một loại hàng hóa được cho như sau: _o � 600 ! 2� Tìm hệ số co giãn của _o tại P =100, P = 200. Nêu ý nghĩa kinh tế. Giải Ta có _oÒ ��� � !2, nên ta có hệ số co giãn tại � là:

�^ã��� � !2 · �600 ! 2�

* Tại � � 100, thì �^ã�100� � !0,5, điều này nói nên rằng: Khi giá tăng 1%, thì lượng cầu giảm

0,5%. Ta có |�^ã�100�| � 0,5 < 1 nên có thể nói hàm cầu không co giãn tại P = 100, nghĩa là việc

tăng giá không ảnh hưởng lớn đến lượng cầu và như thế việc tăng giá có lợi cho doanh nghiệp.

64

* Tại � � 200, thì �^ã�100� � !2, điều này nói nên rằng: Khi giá tăng 1%, thì lượng cầu giảm

2%. Ta có ��^ã�100�� � 2 @ 1 nên có thể nói hàm cầu co giãn tại P = 200, nghĩa là việc tăng giá có

ảnh hưởng lớn đến lượng cầu và như thế doanh nghiệp phải thận trong khi tăng giá.

3. Quyết định tối ưu Một số bài toán trong kinh tế có mục đích là tối ưu hóa một hàm mục tiêu � � ���� nào đó, tức là chọn � để � đạt giá trị tối đa (lớn nhất) hoặc đạt giá trị tối thiểu (nhỏ nhất). Hầu hết đều đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất. Chẳng hạn: Gọi P là giá thành một đơn vị sản phẩm; Q là sản lượng, Q = f(P); R = P.Q là doanh thu; C =C(Q) là tổng chi phí khi sản xuất Q sản phẩm; � � � ! 2 là hàm lợi nhuận. Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu: + Tìm P để Q đạt tối đa. + Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa + Tìm Q để mức chi phí đạt tối thiểu.

VÍ DỤ 5 Số vé bán được của một hãng xe buýt là _ � 10 000 ! 125�, trong đó P là giá bán một vé. Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa. Giải + Ta có hàm doanh thu với biến độc lập là mức giá: ���� � _� � ��10 000 ! 125�� � !125�� ' 10 000�. + �Ò��� � !250� ' 10 000. Hàm đạt cực đại tại � � 40. Đó cũng là giá trị mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất. + Vậy, bán với giá 40 đơn vị tiền tệ, thì doanh thu đạt tối đa.

VÍ DỤ 6 Gọi Q là lượng hàng dự trữ một mặt hàng nào đó của một siêu thị và chi phí để lưu trữ là

2�_� � 4860_ ' 15_ ' 750 000. Tìm Q để mức chi phí lưu trữ là tối thiểu. Giải

+ 2Ò�_� � ! �>\?^: ' 15; 2Ò�_� � 0 s _ � 18. + Lập bảng biến thiên, ta được hàm đạt giá trị nhỏ nhất khi Q = 18. + Vậy, Q = 18 thì mức chi phí là tối thiểu.

65

$7. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC Trong các chương trước, ta đã đề cập đến hàm một biến số để tìm hiểu về sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác. Tuy nhiên, trong thực tế thì có rất nhiều đại lượng phụ thuộc vào hai, ba,…đại lượng khác. Thế nên chương này ta sẽ chuyển sang tìm hiểu về hàm với nhiều hơn một biến độc lập. Do việc nghiên cứu về hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến là tương tự nhau nên chương này trình bày về hàm hai biến.

7.1 KHÁI NIỆM VỀ HÀM HAI BIẾN

1. Một số khái niềm về hàm hai biến

Nhiệt độ T tại mỗi điểm trên bề mặt trái đất tại mỗi thời điểm thì được xác định theo kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Từ đó ta có thể nghĩ rằng T là hàm với hai biến x và y hay là hàm của cặp số có thứ tự (x, y). Khi T là hàm với đối số là (x, y) thì ta ký hiệu T = f(x,y).

Diện tích của một tam giác với chiều cao là h và độ dài cạnh đáy tương ứng a, là � � =� / · (. Từ

công thức này, với mỗi cặp (a, h) cho trước ta chỉ tìm được duy nhất một số S. Ta nó S là hàm hai biến. Tương tự như định nghĩa hàm một biến số, hàm hai biến được định nghĩa như sau.

ĐỊNH NGHĨA Cho D là một tập con của �� à ���, ��|�, � � ��. Hàm hai biến ì là một quy tắc mà theo nó cứ cho trước mỗi cặp số thực có thứ tự ��, �� trong tập D ta tìm được duy nhất một số thực, được ký hiệu là ���, ��.

Tập D được gọi là tập xác định của hàm �. Tập các số thực mà � nhận giá trị, tức là ����, ��|��, �� � ��, được gọi là tập giá trị của �. Ta thường viết § � ���, �� để chỉ ra giá trị của hàm � tại một điểm ��, �� nào đó. Biến z được gọi là biến phụ thuộc. Các biến x, y được gọi là các biến độc lập. Như vậy, hàm hai biến là một hàm với tập xác định là tập con của mặt phẳng tọa độ và tập giá trị là tập con của đường thẳng thực. Chính vì thế mà ta có thể dùng biểu đồ mũi tên như sau để hình ung rõ hơn về hàm hai biến

Biểu đồ mũi tên cho hàm hai biến

Hàm hai biến còn được diễn đạt theo một trong các cách sau:

• �: � � � ��, �� � ���, ��

• § � ���, ��-một biểu thức đại số.

• § � ����, với M = (x, y) là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ và (x,y) thuộc D.

66

Quy ước: Nếu hàm § � ���, �� được cho bởi một công thức mà không nói gì thêm về tập xác định, thì tập xác định của nó được hiểu là tập gồm các điểm ��, �� làm cho công thức có nghĩa, tập xác định như thế gọi là tập xác định tự nhiên của �. VÍ DỤ 1 Tìm tập xác định, tập giá trị và tìm ��2, !1� của mỗi hàm số:

(a) ���, �� � �� ' �� (b) ���, �� � t9 ! �� ! �� .

Đồ thị hàm số: Một phương án khác nhằm tìm hiểu về đặc điểm của hàm số là xét đồ thị của nó.

Nếu � là hàm hai biến với tập xác định là D, thì tập tất cả các điểm (x, y, z) trong �r sao cho ��, �� nằm trong D và § � ���, �� được gọi là đồ thị của ì .

Đồ thị của hàm hai biến thường là một mặt trong không gian, hình chiếu của nó trên mặt Oxy chính là D; hình chiếu của nó trên trục z chính là tập giá trị của �.

VÍ DỤ 2 Vẽ đồ thị của hàm ���, �� � 6 ! 2� ! 3�. Giải Ta có § � ���, �� � 6 ! 2� ! 3� tức là 2� ' 3� ' § ! 6 � 0. Như vậy, đồ thị của � là một mặt phẳng.

Đồ thị hàm ���, �� � 6 ! 2� ! 3�.

Nói chung, đồ thị của hàm ���, �� � /� ' Z� ' [ là một mặt phẳng; hàm này còn được gọi là hàm tuyến tính hai biến.

67

VÍ DỤ 3 Vẽ đồ thị của hàm D��, �� � t9 ! �� ! ��.

Giải Ta có § � D��, �� � t9 ! �� ! �� Tương đương với T § F 0�� ' �� ' §� � 9S Như vậy, đồ thị của g là nửa phía trên mặt phẳng xy của mặt cầu �� ' �� ' §� � 9.

Đồ thị hàm D��, �� � t9 ! �� ! ��

Đường mức: Cho đến nay, ta có hai cách để hình dung về hàm số: Biểu đồ mũi tên và Đồ thị. Cách thứ ba là dựa vào đường mức.

Cho § � ���, �� là hàm hai biến với tập xác định là D. Với mỗi hằng số d thuộc tập giá trị thì ���, �� � �|���, �� � d� được gọi là đường mức của �.

Nói khác đi, đường mức là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng Oxy có cùng giá trị hàm số. Hoặc đường mức chính là hình chiếu của giao tuyến giữa đồ thị hàm số với mặt § � d, trên mặt Oxy. Vì thế, ta có thể vẽ các đường mức của một hàm rồi hình dung về giá trị của hàm bằng cách nâng đường ấy lên cao một khoảng k đơn vị. Nếu các đường mức khít với nhau, thì ta được hình ảnh của đồ thị hàm số.

Hình minh họa cho khái niệm đường mức

68

VÍ DỤ 4 Vẽ đường mức của hàm ���, �� � t9 ! �� ! �� với d � 0, 1, 2, 3. Giải d � 0, ta được �� ' �� � 9; d � 1, ta được �� ' �� � 8; d � 2, ta được �� ' �� � 5,.. Các đường mức là :

2. Một số hàm hai biến trong phân tích kinh tế

a) Hàm sản xuất: Là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lượng lao động: _ � ���, ��. Năm 1928 Charles Cobb và Paul Douglas công bố một nghiên cứu trong đó hai người đã mô hình hóa nền kinh tế Hoa Kỳ trong giai đoạn 1899-1922. Họ đã xem xét sự phụ thuộc của sản lượng vào hai yếu tố sản xuất then chốt là lượng lao động và tổng số vốn đã đầu tư. Hàm mà hai người đã sử dụng để mô hình hóa sự sản xuất có dạng _ � ���,�� � Z · �± · �=.± trong đó Q là tổng sản lượng (trị giá của toàn bộ hàng hóa sản xuất trong năm), L là lượng lao động (số giờ làm việc của công nhân trong một năm), và K là lượng vốn đã đầu tư (trị giá của máy móc, thiết bị và nhà xưởng). Sau đó hàm sản xuất dạng trên được sử dụng thường xuyên và người ta gọi là hàm sản xuất Cobb-Douglas. Đường mức của hàm sản xuất có phương trình

Q0 = f(L, K) (Q0 = const >0). Trong kinh tế nó được gọi là đường đẳng lượng. Nó là tập hợp gồm các cặp giá trị (L, K) đem lại sản lượng như nhau. b) Hàm chi phí, hàm tổng doanh thu, hàm lợi nhuận.

* Hàm tổng chi phí được tính theo sản lượng: TC = TC(Q), Q lại là hàm hai biến. Cụ thể hơn, nếu tính theo các yếu tố sản xuất, thì �2 � 0� · � ' 0� · � ' 2? trong đó 0�: giá thuê một đơn vị vốn(chẳng hạn thuê một xưởng máy trong một giờ); 0�: giá thuê một đơn vị lao động (chẳng hạn là giá làm việc của 1 công nhân trong một giờ); 2?: chi phí cố định.

• Tổng doanh thu: �� � � · _ � � · ���, �� trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.

• Tổng lợi nhuận: � � �� ! �2.

69

c) Hàm lợi ích Các nhà kinh tế dùng biến số lợi ích u (utility) để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa được gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có hai mặt hàng, lượng hàng trong mỗi giỏ là (x, y). Hàm lợi ích là hàm số đặt tương ứng mỗi giỏ hàng với duy nhất một số thực u(x,y) để mô tả lợi ích theo nguyên tắc giỏ hàng nào được ưa thích nhiều hơn thì được gán với giá trị lợi ích lớn hơn. Như thế, ta có hàm lợi ích: u = u(x,y).

7.2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 1. Lân cận của một điểm

ĐỊNH NGHĨA + Cho trước điểm A trên mặt phẳng Oxy và một số � @ 0. Tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn AM O � được gọi là một lân cận của điểm A. + Cho � là tập con của mặt phẳng Oxy. Điểm A được gọi là điểm tụ của tập � nếu mọi lân cận của điểm A đều có chứa những điểm thuộc �\�g�. Chú ý: + Lân cận của điểm A chính là một hình tròn tâm A không kể đường tròn đó, còn gọi là hình tròn mở. + Điểm tụ của tập � có thể thuộc �, cũng có thể không thuộc �. VÍ DỤ 5

(1) Cho � � ���, ��|�� ' �� O 1�. Ta thấy mọi điểm nằm trong � đều là điểm tụ, hơn nữa các điểm nằm trên đường tròn �� ' �� � 1(là những điểm không thuộc �) cũng là điểm tụ của �. (2) Nếu � � �\��0,0��, thì điểm �0,0� cũng là điểm tụ của �.

2. Giới hạn a) Giới hạn của một dãy điểm trên mặt phẳng tọa độ. Xét trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Dãy điểm được hiểu là một loạt các điểm được liệt kê theo một thứ tự: �=, ��,�r, … �W, … được ký hiệu là ��W�

• Dãy điểm ��W� được gọi là có giới hạn là điểm A (hay còn gọi là tiến đến A) nếu dãy số §W à �Wg tiến đến 0 khi n tiến đến dương vô cực. Tức là limW�,� �Wg � 0. Ký hiệu limW�,� �W � g. Nhận xét: Nếu �=��=, �=� �����, ��� �r��r, �r� …. và g�/, Z�, thì �Wg � t��W ! /�� ' ��W ! Z��

Nên: limW�,� �Wg � limW�,�t��W ! /�� ' ��W ! Z�� � 0 s ¾ limW�,��W � /limW�,��W � ZS Như vậy: Nếu �=��=, �=� �����, ��� �r��r, �r� …. và g�/, Z�, thì

limW�,� �W � g khi và chỉ khi ¾ limW�,��W � /limW�,��W � ZS.

70

Hay nói khác đi dãy điểm ��W� hội tụ đến một điểm A khi và chỉ khi dãy hoành độ tiến đến hoành độ của A đồng thời dãy tung độ tiến đến tung độ của A. Một vài hình ảnh mô tả việc tiến tới một điểm A:

b) Giới hạn của hàm hai biến

ĐỊNH NGHĨA Cho � � ���, �� là hàm có tập xác định là � và A = �/, Z� là một điểm tụ của �. Hàm ì được gọi là có giới hạn là �(hữu hạn hoặc vô hạn) khi điểm ��, þ� tiến đến �í,�� nếu: Mọi dãy điểm ���W, �W�� nằm trong �\�g� và limW�,���W, �W� � �/, Z� ta đều có limW�,����W, �W� � �

Ký hiệu:

• Hoặc lim�E,ý���+,¹� ���, �� � �

• Hoặc limE�fý�� ���, �� � �

• lim¤�î ���� � �, với � � ��, �� g � �/, Z�. VÍ DỤ 6 a) Tìm lim�E,ý���=,���3� ! 2��.

b) Xét sự tồn tại của giới hạn lim�E,ý���?,?� E:,EýE:,ý:.

Giải (a) Với mọi dãy xn có giới hạn là 1 và mọi dãy yn có giới hạn là 2, ta có

3xn – 2yn có giới hạn là 3.1 – 2.2 = -1. Vậy lim�E,ý���=,���3� ! 2�� � !1. (b) Xét hai dãy điểm cụ thể: �W � ;=W ; =W< và �W � �! =W ; =W�.

Ta có: Với ���, �� � E:,EýE:,ý:, thì ���W� � 1, ���W� � 0 nên giới hạn không tồn tại.

Tương tự như giới hạn của hàm một biến số, ta cũng có các quy tắc tìm giới hạn của: tổng, hiệu, tích, thương của các hàm; định lý giới hạn kẹp,… Chú ý: Người ta còn gọi giới hạn limE�fý�� ���, �� là giới hạn kép hoặc là giới hạn bội khi đó ta

hiểu rằng ��, �� tiến dần đến �/, Z� theo một con đường bất kỳ

Gọi như thế để phân biệt với khái niệm giới hạn lặp được xây dựng như sau:

• � � / trước, � � Z sau: Tạm thời cố định �, với � ) Z để tìm limE�f ���, �� �:φ���. Sau đó, tìm limý��φ��� � �.

Ta được giới hạn lặp limý�¹ limE�f ���, �� � �

71

• � � Z trước, x � / sau: Tạm thời cố định x, với � ) / để tìm limý�� ���, �� �:φ���. Sau

đó, tìm limE�f φ��� � �. Ta được giới hạn lặp limE�+ limý�� ���, ��

Chú ý: 1) Sự tồn tại giới hạn bội không kéo theo sự tồn tại giới hạn lặp. 2) Sự tồn tại các giới hạn lặp thì không kéo theo sự tồn tại giới hạn bội, cho dù hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau.

VÍ DỤ 7 Cho hàm ���, �� � ¾�sin =ý khi � � 00 khi � � 0S Chứng minh rằng tồn tại giới hạn bội khi ��, �� tiến đến �0,0� tuy nhiên giới hạn lặp limE�? limý�? ���, �� không tồn tại . Giải

+ Ta có: với � ) 0, � ) 0 thì 0 # |� sin =ý | # |�|. Theo định lý về giới hạn kẹp ta được

lim�E,ý���?,?����, �� � 0. + Do với mỗi x khác 0 cho trước limý�?��sin =ý� là không tồn tại nên không tồn tại limE�? limý�? ���, ��.

VÍ DỤ 8 Cho hàm ���, �� � EýE:,ý:.

Chứng minh rằng các giới hạn lặp limE�? limý�? ���, ��, limý�? limE�? ���, ��, tuy nhiên lim�E,ý���?,?����, �� không tồn tại.

Giải + limE�? limý�? ���, �� � 0 � limý�? limE�? ���, ��

+ Xét hai dãy điểm �W � ;=W ; =W< và �W � �! =W ; =W�. Cả hai dãy này điều tiến đến gốc tọa độ, tuy

nhiên ���W� � =� , ���W� � ! =� . Ta được điều phải chứng minh.

3. Sự liên tục của hàm hai biến ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số § � ���, �� xác định trên � và A = �/, Z� là một điểm tụ của �. Khi đó

• Nếu lim¤�î ���� � ��g�, thì ta nói hàm số liên tục tại �/, Z�.

• Nếu hàm không liên tục tại �/, Z�, thì ta nói hàm số gián đoạn tại �/, Z�.

• Nếu hàm liên tục tại mọi điểm thuộc �, ta nói hàm số liên tục trên �. VÍ DỤ 9 Chứng minh rằng hàm số ���, �� � �� ' �� liên tục trên ��. Giải: Với mọi (a, b), ta đều có ���W, �W� � �W� ' �W� � /� ' Z� � ��/, Z� khi �W � /, �W � Z. Đpcm.

72

$8. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 8.1 ĐẠO HÀM RIÊNG Trong bài trước, chúng ta đã làm quen với một số hàm hai biến trong kinh tế, như là hàm sản xuất Cobb-Douglas

Q = f(L, K) = cLaK

1-a

Nếu xét trong ngắn hạn mà K không thay đổi, thì có thể đặt ra vấn đề là: Giá trị của hàm số thay đổi thế nào khi L thay đổi một đơn vị ? Tức là xác định giá trị cận biên của hàm Q theo biến L khi biến K là hằng số. Để giải quyết vấn đề này ta phải giả sử rằng K = K0 là không đổi và xét hàm _ � ���, �?�, nhận thấy rằng đây là hàm một biến, ký hiệu D��� à ���, �?�. Như thế giá trị cận biên của Q theo L là DÒ��� � lim∆��? º��,∆��.º���∆� , được gọi là đạo hàm riêng của hàm Q theo L; nếu xét tại �?, thì DÒ��?� được gọi là đạo hàm riêng của hàm Q theo L tại ��?, �?�. Một cách tổng quát ta có định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA Cho: hàm số § � ���, �� xác định trên � và điểm g � �/, Z� thuộc �.

• Cố định biến � � Z và cho x biến thiên, ta có hàm một biến số ���, Z�. Cho / số gia ∆�, tức là xét x thay đổi từ / đến / ' ∆�, ta gọi hiệu số ��/ ' ∆�, Z� ! ��/, Z� là số gia riêng của hàm f theo biến x tại (a, b); ký hiệu là ∆E§�/, Z� hoặc ∆E��/, Z�. Nếu tồn tại giới hạn

lim∆E�? ∆E��/, Z�∆�

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo x của hàm f tại điểm (a, b); ký hiệu là: *E �/, Z�

hoặc �çE�/, Z�.

• Tương tự, cố định � � /, ta có số gia riêng của hàm f theo biến y tại (a, b)là: ��/, Z ' ∆�� ! ��/, Z� ký hiệu là ∆ý§�/, Z� hoặc ∆ý��/, Z�. Nếu tồn tại giới hạn

lim∆��?∆ý��/, Z�∆y

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của f theo y tại (a, b);

ký hiệu là: *ý �/, Z� hoặc �çý�/, Z�.

• Ta gọi *E �/, Z� · ∆� là vi phân riêng của hàm f theo x tại (a, b).

• Ta gọi *ý �/, Z� · ∆� là vi phân riêng của hàm f theo y tại (a, b).

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy, khi tìm đạo hàm của hàm số theo biến này thì biến còn lại được coi là hằng số. Khi đó áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm một biến số.

VÍ DỤ 1 Cho hàm ���, �� � �r ' ���r ! 2��, hãy tìm �çE�2,1� và �çý�2,1�.

Giải + Coi y là hằng số, tính đạo hàm theo x ta được: �çE��, �� � 3�� ' 2��r, nên �çE�2,1� � 16. + Coi x là hằng số, tính đạo hàm theo y ta được: �çý��, �� � 3���� ! 4�, nên �çý�2,1� � 8.

73

Ý nghĩa hình học: Lưu ý rằng đồ thị của hàm § � ���, �� là một mặt S trong không gian. Nếu (a, b) cho trước thuộc tập xác định thì (a, b, c) với [ � ��/, Z� là một điểm nằm trên S. Khi cố định � � Z, nghĩa là ta chỉ xét đường cong C1 là giao của mặt S với mặt phẳng y = b. Như vậy, C1 là đồ thị của hàm D��� ����, Z� thế nên đạo hàm riêng của f theo x tại (a,

b), tức là đạo hàm của g tại a nên nó là là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị C1 tại điểm �/, Z, [�.

Tương tự, khi cố định � � / ta được *ý �/, Z�

chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị C2 của hàm ��/, ��, C2 là giao tuyến của S và mặt phẳng có phương trình là x = a. (Xem hình dưới đây).

VÍ DỤ 2 Cho hàm ���, �� � 4 ! �� ! 2��, hãy tìm �çE�1,1� và �çý�1,1�. Nêu ý nghĩa hình học.

Giải Ta có �çE��, �� � !2�, �çý��, �� � !4�. Nên �çE�1,1� � !2, �çý�1,1� � !4.

Đồ thị của hàm đã cho là một mặt S, gọi là paraboloid. Giao của S với mặt phẳng y = 1 là một parabol (P1) có phương trình § � 2 ! �� và � � 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với parabol này tại điểm (1, 1, 1) là – 2. Tương tự, giao của S và mặt phẳng có phương trình x = 1 là parabol (P2) có phương trình § � 3 ! 2�� và x = 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (P2) tại (1, 1, 1) là – 4.(Hình vẽ)

Trong kinh tế: Nếu xét hàm sản xuất _ � ���,�� thì các nhà kinh tế gọi ^� , ^� lần lượt là giá trị

cận biên của Q theo L, K. Ta có: ^� ��?, �?� mô tả sự thay đổi của sản lượng khi lượng lao động

tăng từ �? lên �? ' 1 với điều kiện � � �? là giá trị cố định. Tương tự cho các mô hình kinh tế nhiều biến khác. VÍ DỤ 3 Cho hàm sản xuất như sau _��, �� � 30��/r�=/r. Tìm giá trị cận biên theo K tại (64, 27), theo L tại (64, 27) và nêu ý nghĩa kinh tế. Giải

+ Khi L = 64 thì _��, �� � _�64, �� � 30�:u64u � 120�:u nên ^� �64, �� � 80. �.u.

Vậy, ^� �64, 27� � >?r 27. Điều này nghĩa là: Với L = 64, cố định, thì nếu tăng lượng lao động từ

27 lên 28 đơn vị ta sẽ có sản lượng tăng 27 đơn vị.

+ Khi K cố định, ta có ^� ��, �� � 10�:u. =r �.:u. Vậy

^� �64,27� � =?r ¼;��\�<�u � =?r �=\ � =8> 2. Điều này nghĩa là với lượng vốn cố định là 27, nếu tăng lượng lao động từ 64 lên 65 thì sản lượng sẽ tăng 2 đơn vị.

74

8.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN

ĐỊNH NGHĨA Xét hàm số z = f(x, y) xác định trong một lân cận (C) nào đó của điểm �/, Z�. Cho a

số gia ∆x, b số gia ∆y sao cho �/ ' ∆�, Z ' ∆�� � �2�. Ta gọi ��/ ' ∆�, Z ' ∆�� ! ��/, Z� là số gia toàn phần của f tại (a, b), ký hiệu là ∆��/, Z�. Ta nói f khả vi tại �/, Z� nếu tồn tại các số M, N sao cho:

∆��/, Z� � � · ∆� ' ¢ · ∆� ' Î�t�∆��� ' �∆����

trong đó lim�∆E,∆ý���?,?� Î�t�∆��� ' �∆���� � 0

Khi đó, ta gọi � · ∆� ' ¢ · ∆� là vi phân toàn phần của hàm f tại (a, b); ký hiệu: ´��/, Z�.

Định lý 1 Nếu ���, �� khả vi tại �/, Z�, thì: tồn tại *E �/, Z� và

*ý �/, Z� đồng thời

´��/, Z� � � � �/, Z�∆� ' � � �/, Z�∆� � � � �/, Z�´� ' � � �/, Z�´�

CHÚ Ý: Nếu tồn tại các đạo hàm riêng tại (a, b), thì chưa chắc hàm khả vi tại (a, b). Thật vậy, ta xét ví dụ sau.

VÍ DỤ 4 Cho hàm ���, �� � ¾ 0 QếR � ) 0 và � ) 01 QếR � � 0 hoặc � � 0S Ta có

*E �0,0� � limE�? *�E,?�.*�?,?�E.? � limE�? =.=E � 0, tương tự *ý �0,0� � 0.

Như vậy, tại (0,0) hàm số có các đạo hàm riêng, tuy nhiên hàm này không khả vi tại (0,0). Thật vậy: (Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng) Nếu f khả vi tại (0, 0) thì ở lân cận của (0, 0) ta có

∆f = 0⋅∆x + 0⋅∆y + Î�t�∆��� ' �∆����

do đó ∆f → 0 khi (∆x,∆y) → (0, 0).

Tuy nhiên với ∆x ≠ 0 và ∆y ≠ 0, ta có

∆f = f(0+∆x, 0+∆y) – f(0, 0) = !1.

không thể đến 0 khi (∆x,∆y) → (0, 0). Tuy nhiên nếu các đạo hàm riêng liên tục tại (a, b) thì hàm khả vi tại (a, b). Đó là nội dung định lý sau

Định lý 2 Nếu f(x, y) có các đạo hàm riêng f ’x(x, y) và f ’y(x, y) ở lân cận (a, b) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b).

ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN ĐỂ TÍNH GẦN ĐÚNG

Nếu f khả vi tại (a, b), thì ta có f(a + ∆x, b + ∆y) ≈ f(a, b) + f ’x(a, b)∆x + f ’y(a, b)∆y

với ∆x và ∆y đủ nhỏ.

Công thức này cho phép ta tính gần đúng giá trị của hàm f tại (a + ∆x, a + ∆y) dựa vào thông tin của hàm số tại (a, b).

VÍ DỤ 5 Tính gần đúng t�4,05�� ' �3,07��.

Giải Xét hàm ���, �� � t�� ' ��

Ta có �çE��, �� � EtE:,ý: và �çý��, �� � ýtE:,ý:

Các hàm này đều liên tục trong một lân cận của (4, 3) nên ta có:

f(4 + 0.05, 3 + 0.07) ≈ f(4, 3) + f ’x(4, 3)0.05 + f ’y(4, 3)0.07= 5.58.

75

8.3 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP Đối với hàm một biến ta đã có: � � ��R�, R � R��� thì �Ò��� � �Ò�R�. RÒ��� Viết lại theo ký hiệu vi phân được: ´����´� � ´�´R · ´R´�

Đối với hàm hai biến thì quy tắc đạo hàm của hàm hợp có hai quy tắc chính. Hai quy tắc này được dùng cho hai kiểu hợp hàm khác nhau.

• Thứ nhất là: Hàm � � ��R, Ù� với R và Ù là hai hàm của cùng biến �, do đó � là hàm một biến. Ta có công thức sau đây để tính đạo hàm của � tại x dựa vào đạo hàm của u và v tại x.

Quy tắc 1: Cho § � ��R, Ù� là một hàm xác định trong một lân cận của (a, b) và khả vi tại đó, với R � R���, Ù � Ù��� là hai hàm biến x khả vi tại x0. Khi đó hàm một biến z là hàm khả vi tại x0 và o�oE ��?� � *Û · oÛoE ' *� · o�oE

VÍ DỤ 6 Cho hàm § � ��� ' 3���, trong đó � � sin | , � � cos |. Hãy tìm o�o} khi | � 0.

Giải

+ o��}�o} � �E · oEo} ' �ý · oýo} � �2�� ' 3��� cos | ' ��� ' 12��r��! sin |� � �2 sin | cos | ' 3 cos� |� cos | ! �sin� | ' 12 sin | cosr |��sin |�

+ o��?�o} � 3.

Đạo hàm trong Ví dụ mô tả tốc độ biến đổi của hàm z theo t khi điểm (x,y) dịch chuyển dọc theo đường cong có phương trình tham số là � � sin | , � � cos |, đó là đường tròn (C). Nói riêng, tại

t = 0, thì điểm (x, y) là (0, 1) và o�o}(0) là tốc độ thay đổi khi điểm (x,y) dịch chuyển trên (C) qua

điểm (0, 1). Chẳng hạn, z = T(x, y) = ��� ' 3��� là nhiệt độ tại điểm (x, y), thì ��sin |, cos |� biểu

thị nhiệt độ tại các điểm trên (C) và o�o} biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ dọc theo (C).

• Thứ hai là: Hàm § � ��R, Ù� với R và Ù đều là các hàm hai biến: R � R��, ��; Ù � Ù��, ��. Khi đó z là hàm hai biến (x, y).

Quy tắc 2: Cho § � ��R, Ù� là hàm hai biến khả vi, với R � R��, �� và Ù � Ù��, �� là các hàm khả

vi. Khi đó: �E � �Û ÛE ' �� �E �ý � �Û Ûý ' �� �ý

VÍ DỤ 7 Cho § � ½E sin �, với � � ò|� và � � ò�|, tìm ��, �}.

Giải

+ �� �ò, |� � �E E� ' �ý ý� � ½E sin � . |� ' ½E cos � . 2ò| � ½�}: sin�ò�|� . |� ' ½�}: cos�ò�|� . 2ò|

Trong trường hợp thứ hai, có ba loại biến: z là biến phụ thuộc; u, v là các biến trung gian; x, y là các biến độc lập.

VÍ DỤ 8 Cho f(x, y) = sin(xy2). Giả sử x = t/s, y = et - s.

Hãy tính các đạo hàm riêng của ω(t, s) = f(x(t, s), y(t, s)). Hướng dẫn: Làm tương tự Ví dụ 7.

76

$9. HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 9.1 HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN 1. Hàm ẩn một biến và đạo hàm của hàm ẩn Cho đến nay, ta chủ yếu làm việc với các hàm số cho bởi công thức ở dạng � � ���� nghĩa là các hàm số biểu thị biến phụ thuộc � theo biến độc lập � một cách rõ ràng, tường minh. Có những công thức không biểu thị trực tiếp y theo x nhưng cũng cho ta một quy tắc mà cứ mỗi biến � cho trước, ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị �, chẳng hạn: � r ' 3��� ! 9 � 0 Thật vậy, coi x là tham số và xét phương trình đã cho là phương trình ẩn y, thế thì với mỗi x cho trước ta có ���� à � r ' 3��� ! 9 � �Ò��� � 3�� ' 3�� F 0, nên ���� � 0 có nghiệm duy nhất với mọi x. Tức là, với mỗi x cho trước, theo đẳng thức đã cho thì tìm được duy nhất một giá trị y tương ứng, là nghiệm của phương trình. Như thế, ta có y là hàm của x. Trong trường hợp này việc tìm ra một công thức tường minh để biểu diễn y theo x là khó khăn. Ta nói y làm một hàm ẩn được xác định bởi phương trình đã cho. Một cách tổng quát:

Cho hệ thức ���, �� � 0 �1� Nếu mỗi x thuộc tập D cho trước, từ hệ thức (1) tìm được duy nhất một nghiệm y, thì ta nói ta có y là hàm ẩn của x được xác định bởi (1). Nếu từ (1) ta tìm được � � ���� �2� thì hàm y ở dạng (2) được gọi là dạng hiện của hàm ẩn.

VÍ DỤ 9 Cho hệ thức ���, �� � �� ' �� ! 1 � 0. Với mỗi giá trị � � $!1; 1&, ta tìm được hai giá

trị � � ¸√1 ! �� thỏa mãn hệ thức đã cho nên hệ thức này không xác định một hàm ẩn nào cả. Tuy nhiên, nếu xét hệ thức ���, �� � �� ' �� ! 1 � 0, với � F 0, thì hệ thức đã cho xác định một

hàm ẩn với dạng hiện là � � √1 ! ��. Hoặc xét trong lân cận Vx của điểm x = 0 và lân cận Vy của

điểm -1, thì hệ thức đã cho xác định một hàm ẩn với dạng hiện là � � !√1 ! ��. Vấn đề được đặt ra là: Một hàm ẩn mà việc tìm dạng hiện của nó là không đơn giản thì đạo hàm của nó được xác định như thế nào? Bài toán đặt ra như sau: Giả sử hệ thức ���, �� � 0 trong đó ���, �� là hàm khả vi, xác định cho ta hàm ẩn � � ���� với � � �. Giả sử � � ���� có đạo hàm trong D. Ta sẽ tính �ç��� thông qua đạo hàm riêng của ���, ��? Thật vậy, đặt ���� � ���, ����� thì ���� là một hàm hợp và hệ thức ���, �� � 0 cho ta: ���� � ���, ����� y 0 Nên theo công thức đạo hàm hàm hợp của hàm hai biến trong trường hợp cả hai biến đều là hàm của cùng một biến thứ ba, thì: ´�´� � � � ' � � · ´�´� y 0

Tức là, với giả thiết �ý ) 0, thì ta được

���� � ! � � � �

Nhận xét, muốn tính được �Ò�/� theo công thức trên ta phải tìm được ��/�.

77

VÍ DỤ 10 (a) Tìm y’(x) biết y là hàm của x và xác định bởi phương trình sau: �r ' �r � 6�� (b) Cho hàm ẩn � � ���� xác định bởi � r ' 3��� ! 9 � 0

Tìm �Ò�0�. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số � � ���� tại điểm có hoành độ bằng 0. Giải

(a) Từ phương trình đã cho ta được ���, �� � �r ' �r ! 6�� � 0

Do đó oýoE � ! �Â�� � ! rE:.\ýrý:.\E � ! E:.�ýý:.�E

(b) Đặt ���, �� � � r ' 3��� ! 9. � � ��, �� � 6�� � � ��, �� � 3�� ' 3��

Nên �Ò��� � ! \Eýrý:,rE: � ! �Eýý:,E:

Với � � 0 thì �r�0� ! 9 � 0, tức là ��0� � √9u . Do đó �Ò�0� � 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: � ! √9u � 0�� ! 0�

Tức là � � √9u . 2. Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn Tương tự như phần hàm ẩn một biến, nếu hệ thức ���, �, §� � 0 sao cho với mỗi ��, �� � �, xác định được duy nhất một giá trị § � �, thì ta nói hệ thức đó xác định một hàm ẩn hai biến §��, �� thỏa mãn ���, �, §��, ��� y 0, ���, �� � � Giả thiết rằng hàm ���, �, §� là hàm khả vi đối với (x, y, z) và hàm §��, �� khả vi đối với (x, y). Khi đó, coi ���, �, §��, ��� là hàm hợp hai biến (x, y), ta được: �çE ' �ç� · §çE y 0 và �çý ' �ç� · §çý y 0

Nếu �ç� ) 0, thì hai hệ thức này cho ta các đạo hàm riêng của hàm ẩn §��, ��:

§çE � !�çE�ç� , §çý � !�çý�ç�

VÍ DỤ 11 Hàm ẩn § � §��, �� được cho bởi phương trình ��§ � � ' � ' §.

Tìm �E �!1, 1�, �ý �!1, 1�.

Giải Phương trình đã cho tương đương với ��§ ! � ! � ! § � 0. Đặt ���, �, §� � ��§ ! � ! � ! § � 0. Ta được: �ÒE��, �, §� � �§ ! 1; �Òý��, �, §� � �§ ! 1; �Ò���, �, §� � �� ! 1

Nên �E ��, �� � ! ý�.=Eý.= ; �ý ��, �� � ! E�.=Eý.=.

Với � � !1; � � 1 thì – § � § hay § � 0

Vậy �E �!1, 1� � !1; �ý �!1, 1� � !1.

Ở trên, ta đều giả sử rằng mỗi hệ thức ���, �� � 0, ���, �, §� � 0 xác định một hàm ẩn.

78

Vấn đề được đặt ra là: Khi nào một hệ thức ở dạng trên xác định một hàm ẩn? Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi đó.

Định lý (về sự tồn tại của hàm ẩn và tính khả vi) Cho hệ thức ���=, ��, … , �W, §� � 0 �Ä� Giả sử ta có: i) ��æ=, �æ�, … , �æW, §æ� là một nghiệm của (*); ii) Hàm F có các đạo hàm riêng theo các biến và các đạo hàm riêng đó đều liên tục trên một lân cận của điểm ��æ=, �æ�, … , �æW, §æ�; iii) Đạo hàm theo biến z tại ��æ=, �æ�, … , �æW, §æ� của hàm F, có giá trị khác 0. Khi đó: Tồn tại một lân cận Vx của điểm ��æ=, �æ�, … , �æW�, một lân cận Vz của biến §æ và một hàm n biến § � §��=, ��, … , �W�

từ Vx vào Vz sao cho ���=, ��, … , �W, §��=, ��, … , �W�� y 0

Hơn nữa, hàm z là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong Vx.

VÍ DỤ 12 (a) Cho hệ thức �r ! 3��� ' 3��� ! ��� ' 1�� � 0 �/�. Chứng tỏ rằng hệ thức đã cho xác định một hàm ẩn y = y(x) từ lân cận của -1 vào lân cận của 0. Tìm y’(-1). (b) Cho hệ thức ��§� ' �§ ! 2 � 0 �Z�. Chứng tỏ rằng hệ thức trên xác định một hàm ẩn z(x,y) từ một lân cận của điểm (1, 1) vào lân cận của 1. Tìm các đạo hàm riêng của z tại (1, 1). Giải

(a) Ta có: + Thay (-1; 0) vào phương trình (a), thì thỏa mãn. Nên (-1; 0) là nghiệm của (a). + Đặt ���, �� � �r ! 3��� ' 3��� ! ��� ' 1��, ta được F là hàm đa thức hai biến nên có đạo hàm riêng tại mọi điểm trên mặt phẳng tọa độ và các đạo hàm riêng đều liên tục tại mọi điểm thuộc R2. Suy ra F có các đạo hàm riêng liên tục trên một hình tròn bất kỳ với tâm là điểm (-1; 0).

+ �ý ��, �� � 3�� ! 6�� ' 3�� nên

�ý �!1,0� � 3 ) 0. Từ ba điều trên, ta được: Hệ thức (a) xác định một hàm ẩn y = y(x) từ lân cận của -1 vào lân cận của 0. Từ phương trình đã cho ta được

oýoE � ! �Â�� � ! .rý:,\Eý.rE:.�E.=rý:.\Eý,rE:

Nên �Ò�!1� � 0. (b) Hướng dẫn: Làm tương tự như (a). Kết quả

*E �1,1� � ! �8 ; *ý �1,1� � =8. V. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN CẤP HAI 1. Đạo hàm riêng cấp hai Giả sử f(x, y) xác định trong D. Giả thiết f(x, y) có trong D các đạo hàm riêng (cấp 1) � � ��, �� � � ��, ��

Chúng lại là những hàm của (x, y). Nếu chúng lại có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của f(x, y). Ta ký hiệu các đạo hàm đó như sau:

*E ;*E< y :*E: y �ÒÒE:; *ý ;*E< y :*Eý y �ÒÒEý;

*E ;*ý< y :*ýE y �ÒÒýE; *ý ;*ý< y :*ý: y �ÒÒý:.

Tổng quát, đạo hàm riêng cấp n của f là đạo hàm riêng của đạo riêng cấp n – 1.

79

LƯU Ý: + Ta gọi các đạo hàm riêng �ÒÒEý; �ÒÒýE là các đạo hàm riêng hỗn hợp.

+ Người ta đã xây dựng được ví dụ để chỉ ra rằng, nói chung thì �ÒÒEý�/, Z� ) �ÒÒýE�/, Z�

Nhưng có những trường hợp thì các đạo hàm riêng hỗn hợp tại cùng một điểm thì bằng nhau, đó là nội dung của định lý sau.

Định lý Schwarz Giả sử trong một lân cận nào đấy của điểm (a, b), hàm f(x, y) có các đạo hàm �çE , �çý, �ççEý, �ççýE trong đó �ççEý, �ççýE liên tục tại (a, b), thì ta có: �ÒÒEý�/, Z� � �ÒÒýE�/, Z�

VÍ DỤ 13 Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của mỗi hàm số a) § � ���r;

b) § � acrtan Eý . Giải

(a) §′E � 2��r; §′ý � 3���� §ççEE � 2�r; §ççEý � 6��� � §ççýE; §′′ � 6���. (b) Kết quả: §′E � ��� ' �� ; § ′ý � !��� ' ��

§ççEE � ! 2����� ' ���� ; §ççEý � �� ! ����� ' ���� � §ççýE; §ççýý � 2����� ' ����. 2. Vi phân toàn phần cấp hai Giả sử hàm § � ���, �� có vi phân toàn phần (cấp 1)

´§ � � � ´� ' � � ´�

Lưu ý rằng ´� � ∆�, ´� � ∆� là các hằng số; *E ��, ��,

*ý ��, �� là những giá trị phụ thuộc vào (x,

y). Như thế ´§ là một hàm hai biến, nếu hàm ´§ khả vi, thì vi phân toàn phần của nó được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu ´�§. Khi đó:

´�§ � ´ k � � ´� ' � � ´�l � k � � ´� ' � � ´�l � ´� ' k � � ´� ' � � ´�l � ´�

Vậy

´�§ � �� �� �´��� ' 2 �� � � ´�´� ' �� �� �´���

VÍ DỤ 14 Tìm vi phân toàn phần cấp hai của hàm số § � ���, �� � 2�� ! 3�� ! �� Giải + § ′E � 4� ! 3�; §ççEE � 4; §ççEý � !3 § ′ý � !3� ! 2�; §ççýý � !2. + ´�§ � 4�´��� ' 2�!3�´�´� ' �!2��´��� � 4�´��� ! 6´�´� ! 2�´���.

80

9.2 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 1. Giá trị cận biên theo từng biến (Đã đề cập đến trong phần định nghĩa về đạo hàm riêng) 2. Hệ số co giãn theo từng biến Xét hàm § � ���, �� với y = b không đổi. Nếu x thay đổi một lượng từ a thành / ' ∆�, thì ∆� được gọi là độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại a; tương ứng độ thay đổi tuyệt đối của hàm theo x tại (a,

b) là ∆��/, Z� � ��/ ' ∆�, Z� ! ��/, Z�.

Tỷ số: ∆*�+,¹�*�+,¹� và

∆E+ được gọi là độ thay đổi tương đối.

�E�/, Z� à lim∆E�? �∆��/, Z���/, Z� · ∆�/ � � �ÒE�/, Z� · /��/, Z�

được gọi là hệ số co giãn của z theo biến x tại (a, b). Nó mô tả độ thay đổi (tính theo đơn vị %) của biến z khi biến x thay đổi 1% trong khi biến y không đổi. Tương tự, ta có �ý�/, Z�.

VÍ DỤ 15 Xét hàm cầu với một sản phẩm có hai loại _��=, ��� � 10 000 ! 0,1�= ! 2�� �= là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 1 và �� là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 2. Tìm hệ số co giãn của Q theo P2 tại (50, 80). Nêu ý nghĩa kinh tế. Giải _ �� � !2; _�50,80� � 9835. Hệ số co giãn �]:�50,80� � !2. >?�>r8 !0,015. Nghĩa là: Khi giữ nguyên giá bán sản phẩm loại 1 là 50 đơn vị tiền và giá bán sản phẩm loại 2 thay đổi 1%, thì lượng cầu thay đổi 0,015% theo hướng ngược lại. 3. Hàm thuần nhất và công thức Euler 1) Khái niệm Về đa thức, nếu đa thức ���, �� có tổng các số mũ trong mỗi số hạng đều bằng nhau và bằng r, thì ta gọi ���, �� là đa thức thuần nhất bậc r. Khi ���, �� là đa thức thuần nhất bậc r, thì: ��|�, |�� � |¡���, ��. Nghĩa là khi các biến đồng thời được nhân với t, thì giá trị của hàm được nhân với |¡. Trong giải tích, người ta mở rộng khái niệm thuần nhất cho một hàm bất kỳ.

ĐỊNH NGHĨA Hàm hai biến § � ���, �� xác định miền trong � được gọi là hàm thuần nhất bậc r nếu nó thỏa mãn: ��|�, |�� � |¡���, ��, ���, �� � �; | @ 0. Số r ở đây có thể là số thực bất kỳ.

VÍ DỤ 16 Cho các hàm ���, �� � �Eu,ýuE,�ý D��, �� � tEö,ýöE:.rEý (��, �� � tE:,rý:E:.�ý: tan Eý ,

ta thấy f(x,y) là hàm thuần nhất bậc 2. g(x,y) là hàm thuần nhất bậc 0, (��, ��là hàm thuần nhất bậc – 1.

81

VÍ DỤ 17 Giả sử hàm cầu _ � ���,�� � ��], trong đó k là hằng số, Q là lượng sản phẩm mà người

mua bằng lòng mua ở mức giá P và ở mức thu nhập Y. Ta thấy, _ trong trường hợp này là hàm thuần nhất bậc 0 vì:

với t > 0, thì ��|�, | �� � }��}] � ��] � |?���,��. Điều này có nghĩa là khi mức giá và thu nhập thay

đổi với cùng tỷ lệ thì lượng cầu không thay đổi. VÍ DỤ 18 Hàm Cobb-Douglas tổng quát � � [�=£ · ��Ú ··· ��ô

là hàm thuần nhất bậc V ' � ' X�. 2) Công thức Euler Công thức cho ta mối liên hệ giữa hàm thuần nhất và các đạo hàm riêng của nó.

Cho hàm § � ���, ��. § � ���, �� là hàm thuần nhất bậc r khi và chỉ khi nó thỏa mãn công thức sau

� · � � ' � · � � � � · ���, �� �ÄÄ�

(**) được gọi là công thức Euler.

3) Vấn đề hiệu suất của quy mô (Return to scale) • Khái niệm hiệu suất (hiệu quả) của quy mô trong lĩnh vực kinh tế là khái niệm đề cập đến sự

thay đổi của sản lượng đầu ra khi tất cả các yếu tố đầu vào cùng tăng lên cùng một tỷ lệ. Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng trên k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế tăng theo quy mô. Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng dưới k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế giảm theo quy mô. Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra cũng k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế không đổi theo quy mô.

• Nếu hàm sản xuất _ � ���, �� là hàm thuần nhất bậc r, thì hiệu suất kinh tế theo quy mô được thể hiện theo r. + Nếu r > 1, thì hiệu suất kinh tế tăng theo quy mô. + Nếu r = 1, thì hiệu suất kinh tế không đổi theo quy mô. + Nếu r < 1, thì hiệu suất kinh tế giảm theo quy mô.

82

$10. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC

Khi tìm hiểu về hàm một biến ta thấy đạo hàm của hàm số có ứng dụng trong việc tìm cực

trị và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Ở phần này, ta sẽ thấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến được ứng dụng trong việc xác định cực trị của hàm hai biến và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến. 10.1 CỰC TRỊ TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG 1. Định nghĩa và điều kiện cần Quan sát đồ thị của hàm § � ���, �� sau đây. Từ đồ thị ta thấy: có hai điểm (a, b) mà tại đó � đạt cực đại địa phương, tức là điểm mà ��/, Z� lớn hơn các giá trị của � tại lân cận của điểm (a, b). Tương tự, có hai điểm cực tiểu địa phương.

ĐỊNH NGHĨA Cho § � ���, �� là hàm xác định trên � � ��. + Điểm �/, Z� trong � được gọi là điểm cực đại địa phương (gọi tắt là điểm cực đại) nếu tồn tại một hình tròn (C) tâm là (a, b) sao cho ��/, Z� F ���, �� với mọi (x, y) thuộc (C). Khi đó số ��/, Z� được gọi là giá trị cực đại địa phương (giá trị cực đại) của f. + Điểm �/, Z� trong � được gọi là điểm cực tiểu địa phương(gọi tắt là điểm cực tiểu) nếu tồn tại một hình tròn (C) có tâm là (a, b) sao cho ��/, Z� # ���, �� với mọi (x, y) thuộc (C). Khi đó số ��/, Z� được gọi là giá trị cực tiểu địa phương (giá trị cực tiểu).

Chú ý: + Nếu các bất đẳng thức trong định nghĩa trên đúng với mọi (x, y) trong tập xác định, thì ta nói (a, b) là điểm cực trị toàn cục. Tức là giá trị lớn nhất (nếu là điểm cực đại), giá trị nhỏ nhất (nếu là điểm cực tiểu) trên tập xác định. + Nếu tồn tại một hình tròn (C) có tâm là A(a, b) sao cho trừ điểm A ra ta luôn có ��/, Z� @���, �� (hoặc ��/, Z� O ���, ��� thì điểm A là điểm cực trị thực sự hay cực trị ngặt; còn nếu trong mọi hình tròn có tâm A có những điểm khác sao cho dấu bằng xảy ra thì A là điểm cực trị không thực sự.

Trong phần hàm một biến ta có điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm là: Đạo hàm tại điểm đó bằng 0 (nếu tồn tại). Tương tự, trong hàm hai biến thì định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (a, b).

Định lý(Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm) Nếu hàm � đạt cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) và tồn tại các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đó, thì *E �/, Z� � 0 và *ý �/, Z� � 0.

Từ định lý này, ta thấy điểm (a, b) trong tập xác định của hàm số muốn là điểm cực trị thì trước tiên phải là điểm mà tại đó ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại hoặc các đạo hàm riêng tồn tại và đều bằng 0, điểm như thế gọi là điểm tới hạn. Tuy nhiên điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị. Như vậy, việc tìm điểm cực trị được hạn chế đáng kể! Ta chỉ cần tìm kiếm trong tập các tới hạn.

83

VÍ DỤ 1 Hàm ���, �� � �� ' �� ! 2� ! 6� ' 14, có điểm dừng duy nhất là (1, 3). Đồng thời, ta có ���, �� � 4 ' �� ! 1�� ' �� ! 3�� Nên (1, 3) là điểm cực tiểu.

Đồ thị của hàm ���, �� � �� ' �� ! 2� ! 6� ' 14

VÍ DỤ 2 Hàm ���, �� � �� ! ��. Hàm này có điểm dừng duy nhất là (0, 0).

Đồ thị hàm ���, �� � �� ! ��

Trong một lân cận bất kỳ của điểm (0, 0) ta thấy: Nếu lấy điểm thuộc trục x, tức là điểm có dạng (x, 0), thì ���, 0� � !�� O ��0,0�; nếu lấy điểm thuộc trục y, thì ��0, �� � �� @ ��0,0�. Như vậy, (0,0) không là điểm cực trị.

VÍ DỤ 3 Hàm ���, �� � t�� ' �� đạt cực tiểu tại (0, 0). Nhưng các đạo hàm riêng đều không tồn tại.

Đồ thị hàm ���, �� � t�� ' ��

84

2. Điều kiện đủ Ta cần phải xác định xem hàm số có thực sự đạt cực trị tại một điểm tới hạn hay không, định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm có cực trị, tương tự như điều kiện đủ dựa theo đạo hàm cấp 2 trong hàm một biến.

Định lý (Điều kiện đủ) Cho hàm § � ���, �� có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên một lân cận

của điểm (a, b). Giả sử rằng *E �/, Z� � 0 và *ý �/, Z� � 0

, tức là (a, b) là điểm dừng. Đặt � � ��/, Z� � �EE�/, Z� · �ýý�/, Z� ! $�Eý�/, Z�&�.

i) Nếu � @ 0, thì (a, b) là điểm cực trị. Nếu có thêm �EE�/, Z� @ 0, thì (a, b) là điểm cực tiểu và f(a,b) là giá trị cực tiểu.

• Nếu có thêm �EE�/, Z� O 0, thì (a, b) là điểm cực đại và f(a,b) là giá trị cực đại. ii) Nếu � O 0, thì (a, b) không phải là điểm cực trị. iii) Nếu � � 0, thì không kết luận được điều gì.

Chú ý: + Định lý này nêu điều kiện đủ trong trường hợp hàm có các đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng là hàm liên tục trên một lân cận của điểm (a, b). + Để dễ nhớ số D, ta thấy:

� � ��EE �Eý�ýE �ýý�

VÍ DỤ 4 Tìm cực trị của hàm

f(x, y) = 6x2y – 24xy – 6x

2 + 24x + 4y3

– 15y2

+ 36y + 1.

Giải

Ta có hệ

f ’x(x, y) = 12xy – 24y – 12x + 24 = 12(x – 2)(y – 1) = 0,

f ’y(x, y) = 6x2 – 24x + 12y

2 – 30y + 36 = 0.

Các điểm dừng: M1(2, 2), M2(2, 1/2), M3(1, 1), M4(3, 1).

�ÒÒE:��, �� = 12y – 12, �ÒÒý:��, ��= 24y – 30, �ÒÒEý��, ��= 12x – 24

⇒ D(x, y) = 72((y -1)(4y - 5) - 2(x - 2)2).

D(M1) > 0, �ÒÒE:��=� > 0 ⇒ M1 là điểm cực tiểu.

Giá trị cực tiểu là f(2, 2) = 21

D(M2) > 0, �ÒÒE:���� < 0 ⇒ M2 là điểm cực đại.

Giá trị cực đại là f(2, 1/2) = 111/4.

D(M3) < 0, D(M4) < 0 ⇒ M2, M4 không phải là các điểm cực trị.

VÍ DỤ 5 Tìm cực trị của hàm

f(x, y) = x4 + y4 – (x + y)2.

Giải Ta có hệ

f ’x(x, y) = 4x3

– 2(x + y) = 0,

f ’y(x, y) = 4y3

– 2(x + y) = 0.

Các điểm dừng: M1(1, 1), M2(-1, -1), M3(0, 0).

85

�ÒÒE:��, �� = 12x2 – 2, �ÒÒý:��, �� = 12y

2 – 2, �ÒÒEý��, ��= = -2.

⇒ D(x, y) = 4(6x2 – 1)(6y

2 – 1) – 4.

D(M1) > 0, , �ÒÒE:��=� > 0 ⇒ M1 là điểm cực tiểu.

D(M2) > 0, �ÒÒE:���� > 0 ⇒ M2 là điểm cực tiểu.

D(M3) = 0. Tại M3(0, 0): Trong một hình tròn bất kỳ tâm (0, 0) nếu chọn y = - x và x ≠ 0 thì

f(x, y) = 2x4 > 0 = f(0,0); nhưng nếu chọn y = x với x ≠ 0 và x đủ gần 0 thì f(x, y) = 2x

4 – 4x2 =

2x2(x2 – 2) < 0 = f(0,0) như vậy M3 không là điểm cực trị.

10.2 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Tùy theo mục đích: tối đa (chẳng hạn tối đa lợi nhuận) hoặc tối thiểu (chẳng hạn tối thiểu chi phí) của các bài toán kinh tế, ta sử dụng cực trị để đưa lời giải. Một trong những tiên đề của kinh tế học thị trường là: Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận. Dưới đây là một vài ví dụ về tối đa hóa lợi nhuận.

Bài toán 1. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (tức là nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do thị trường quy định). Gọi P1, P2 là giá của một sản phẩm loại 1, loại 2 tương ứng. Sản lượng của sản phẩm loại 1, loại 2 tương ứng là Q1, Q2. Gọi C = C(Q1, Q2) là tổng chi phí. Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa. Hướng giải Doanh thu của công ty là: � � _=�= ' _���. Hàm lợi nhuận là: � � � ! 2. Bài toán đặt ra là: Tìm (Q1, Q2) mà tại đó hàm � đạt cực đại. VÍ DỤ 6 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là �= � 450, �� � 630. Tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm này phụ thuộc vào sản lượng _=, _�của mỗi loại sản lượng và được cho bởi biểu thức 2 � 2�_=, _�� � _=� ' _=. _� ' _�� ' 210 · _= ' 360 · _� ' 100 Hãy tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải + Trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo thì giá bán các sản phẩm không phụ thuộc vào mức sản lượng của doanh nghiệp, nên doanh thu của doanh nghiệp là: ��_=, _�� � 450_= ' 630_� Lợi nhuận của doanh nghiệp là ��_=, _�� � ��_=, _�� ! 2�_=, _�� � !_=� ! _=. _� ! _�� ' 240_= ' 270_� ! 100. +

B^¨ � !2_= ! _� ' 240; B^: � !2_� ! _= ' 270

Ta được hệ T!2_= ! _� ' 240 � 0!_= ! 2_� ' 270 � 0S. Giải hệ, ta được điểm dừng: M(70; 100). �� _=� � !2; �� _= _� � !1; �� _�� � !2. Từ đó, D(M) = 4 – 1 = 3 > 0 và

:B^¨: � !2 O 0. Ta được M là điểm cực đại.

86

+ Kết luận: Khi sản xuất 70 sản phẩm loại một và 100 sản phẩm loại hai thì hàm lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại và giá trị cực đại là 21 800 đơn vị tiền tệ. Bài toán 2. Một doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện độc quyền một loại sản phẩm, loại sản phẩm đó được tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Vấn đề là: Phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho mỗi thị trường và giá bán tương ứng sao cho lợi nhuận đạt tối đa. VÍ DỤ 7 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường tách biệt. Giả sử lượng cầu trên mỗi thị trường về loại sản phẩm này phụ thuộc vào giá bán của doanh nghiệp trên thị trường đó, như sau: _ú¨ � 310 ! �= _ú: � 350 ! ��

Tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản lượng _: � _= ' _�, như sau: 2 � 2�_� � 200 ' 30_ ' _�. Tìm sản lượng của mỗi loại và giá bán tương ứng ở mỗi thị trường sao cho lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại. Giải + Trong điều kiện độc quyền thì doanh nghiệp phải ấn định mức giá của sản phẩm trên mỗi thị trường sao cho nhu cầu về sản phẩm của doanh nghiệp trên mỗi thị trường bằng với sản lượng mà doanh nghiệp cung cấp cho thị trường đó. Gọi _=, _� là lượng sản phẩm cung cấp cho mỗi loại thị trường, thì ta có: _= � _ú¨ � 310 ! �= _� � _ú: � 350 ! ��

Từ đó �= � 310 ! _=; �� � 350 ! _�. Hàm tổng doanh thu R là: ��_=, _�� � �=_= ' ��_� � 310_= ' 350_� ! _=� ! _�� Vì _: � _= ' _� nên tổng chi phí là: 2 � 2�_=, _�� � 200 ' 30�_= ' _�� ' �_= ' _��� � 20 ' 30_= ' 30_� ' _=� ' 2_=. _� ' _=� Do đó, hàm lợi nhuận là: ��_=, _�� � ��_=, _�� ! 2�_=, _�� � !2_=� ! 2_�� ! 2_=. _� ' 280_= ' 320_� ! 20. +

B^¨ � !4_= ! 2_� ' 280; B^: � !4_� ! 2_= ' 320. Ta được hệ T!4_= ! _� ' 280 � 0!_= ! 4_� ' 320 � 0S. Giải hệ, ta được điểm dừng: M(40; 60). �� _=� � !4; �� _= _� � !2; �� _�� � !4. Từ đó, D(M) = 16 – 4 = 12 > 0 và

:B^¨: � !4 O 0. Ta được M là điểm cực đại.

+ Kết luận: Vậy khi _= � 40; _� � 60 và giá bán tương ứng là �= � 270; �� � 290 thì lợi nhuận của doanh nghiệp đạt lớn nhất và bằng 15 000 đơn vị tiền tệ.

87

$11. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 11.1 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC a) Đặt vấn đề Bài toán mở đầu: Trong một mùa tuyển sinh, trường đại học A tuyển được 5000 sinh viên. Các sinh viên được đào tạo tại hai cơ sở trong cùng một thành phố. Tại cơ sở A: Nếu đào tạo x sinh viên, thì hàm chi phí đào tạo là 2î � 0,01�� ' 70� ' 9300. Tại cơ sở B: Nếu đào tạo y sinh viên, thì hàm chi phí đào tạo là 2ñ � 0,015�� ' 72� ' 5200. Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ số sinh viên đào tạo tại mỗi cơ sở là bao nhiêu để tổng chi phí đào tạo thấp nhất? Hướng giải: Tổng chi phí đào tạo là 2 � 2î ' 2ñ � 0,01�� ' 70� ' 0,015�� ' 72� ' 14 500. Vấn đề được đặt ra là “Cực tiểu hóa hàm hai biến C” với điều kiện � ' � � 5 000. Như vậy, ta phải tìm cực tiểu của hàm hai biến với điều kiện hai biến thỏa mãn một hệ thức cho trước. Một cách tổng quát, ta đặt ra bài toán như sau:

Tìm cực trị của hàm § � ���, �� �1� thỏa mãn điều kiện ràng buộc ���, �� � 0 �2�

Trước khi giải bài toán, ta hãy xét minh họa hình học của hai loại bài toán cực trị. Giả sử hàm § � ���, �� có đồ thị là mặt S. Hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy là tập xác định �. Hình chiếu của điểm P(x, y, z) trên mặt Oxy là điểm ký hiệu là M(x,y).

+ Tìm cực trị tự do của hàm § � ���, ��, là việc tìm điểm ��/, Z� sao cho tại đó có điểm P(a, b, c) trên S mà P cao nhất hoặc thấp nhất so với các điểm thuộc lân cận của nó. + Tìm cực trị của hàm § � ���, �� với điều kiện ràng buộc ���, �� � 0, là việc tìm điểm cao nhất hoặc thấp nhất (xét trong một lân cận) trên đường cong Γ thuộc mặt S, trong đó hình chiếu của Γ trên mặt Oxy chính là đường có phương trình ���, �� � 0. b) Cách tìm

88

• Phương án 1: Giả sử ���, ��,���, �� là các hàm khả vi; và (2) xác định một hàm ẩn y theo x, khả vi.

+ Vì � � ���� là hàm ẩn được xác định bởi (2) nên việc tìm cực trị của (1) với điều kiện (2) chính là việc tìm cực trị của hàm hợp một biến ���� � ���, ����� �3�

trong đó ���, ����� y 0 �4� + Ta đi tìm các điểm mà tại đó �ç bằng 0 và xét dấu của �çç tại điểm đó:

Theo quy tắc hàm hợp, ta được �Ò��� � �ÒE��, �� ' �Òý��, �� · �Ò��� � 0 �5�

trong đó y’(x) có thể tìm được từ (2). Do ���, �� là hàm khả vi, ta có �çE��, �� ' �çý��, �� · �Ò��� � 0 �6�

Từ (5) và (6), khử y’(x) ta được �ÒE��, �� · �çý��, �� ! �Òý��, �� · �çE��, �� � 0

Như vậy, tại (x,y) mà hàm có thể đạt cực trị có điều kiện ràng buộc là

¾ ���, �� � 0�ÒE��, �� · �çý��, �� ! �Òý��, �� · �çE��, �� � 0S Giải hệ này ta được tọa độ các điểm dừng có điều kiện. Giả sử (a, b) là điểm dừng có điều kiện tìm được từ hệ trên. Ta cần xét dấu của �çç�/�. Từ (6) rút y’(x) rồi thay vào (5), ta được

�Ò��� � �ÒE��, �� · �çý��, �� ! �Òý��, �� · �çE��, ���çý��, �� �7�

Đặt vế phải của (7) là h(x,y), ta được �Ò��� � (��, �����

Nên �çÒ��� � (çE��, �� ' (Òý��, �� · �Ò��� �8�

Lại rút y’(x) từ (6) rồi thay vào (8). Sau đó (x,y) bởi (a, b) ta được dấu của �çç�/�. VÍ DỤ 8 Giải bài toán mở đầu: Tìm cực trị của 2��, �� � 0,01�� ' 70� ' 0,015�� ' 72� ' 14 500. Với điều kiện ràng buộc là � ' � � 5 000. Giải + Điều kiện ràng buộc � ' � � 5 000 tương đương với � ' � ! 5 000 � 0. Đặt ���, �� � � ' � ! 5 000; ���� � 2��, �����. Theo quy tắc hàm hợp �Ò��� � 2ÒE��, �� ' 2Òý��, ��. �Ò��� � 0,02� ' 70 ' �0,03� ' 72��Ò���. Từ ���, �� � � ' � ! 5 000 � 0 đạo hàm cả hai vế theo biến x, ta được: 1 ' 1. �Ò��� � 0 hay �Ò��� � !1 Thay vào �Ò��� � 0,02� ! 0,03� ! 2 Điểm dừng được tìm từ hệ T � ' � ! 5 000 � 00,02� ! 0,03� ! 2 � 0S Giải hệ ta được: (x, y) = (3040; 1960). + Xét dấu �çÒ�3040�:

89

�ÒÒ��� � 0,02 ' �!0,03��Ò��� � 0,02 ' 0,03. Nên �çÒ�3040� � 0,05 @ 0 vậy x = 3040 là điểm cực tiểu duy nhất. + Vậy: Tại cơ sở một đào tạo 3040 sinh viên và tại cơ sở hai đào tạo 1960 sinh viên thì chi phí là tối thiểu. Chú ý: Bài toán này có thể được giải theo cách đơn giản hơn, nhưng lời giải như trên đã minh họa được cách giải quyết tổng quát vừa học.

VÍ DỤ 9 Tìm giá trị cực trị của hàm ���, �� � �� ' �� ! 2� ! 2� ' 1

với điều kiện �� ' �� � 4. Biết rằng tại lân cận các điểm cực trị điều kiện ràng buộc xác định một hàm ẩn. Giải + Đặt ���, �� � �� ' �� ! 4 � 0 và ���� � ���, ����� Theo quy tắc hàm hợp: �Ò��� � �2� ! 2� ' �2� ! 2��Ò���. Nên �Ò��� � 0 s �� ! 1� ' �� ! 1��Ò � 0 �1� Vì ���, �� khả vi theo biến x nên ta có: 2� ' 2�. �Ò��� � 0 s � ' �. �Ò � 0 �2� Từ (1) và (2), khử y’ ta được: 2��� ! 1� ! �� ! 1�� � 0. Giải hệ T �� ' �� ! 4 � 0��� ! 1� ! �� ! 1�� � 0S Ta được hai điểm dừng �=�√2; √2� và ���!√2; !√2�. + �Ò��� � �2� ! 2� ' �2� ! 2��Ò � �2� ! 2� ' ��ý.��Eý � 2 E.ýý

Nên �çÒ��� � 2 ý:,E:ýu .

Do đó �çç ��=� @ 0; �çç ���� O 0. + Kết luận: �= là điểm cực tiểu giá trị cực tiểu là ���=� � 5 ! 4√2 ; �� là điểm cực đại, giá trị

cực đại ����� � 5 ' 4√2.

• Phương án 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange): Phương pháp này đưa việc tìm cực trị có điều kiện ràng buộc của hàm hai biến sang việc tìm cực trị tự do của hàm ba biến. Xuất phát từ (1) và (2), ta lập hàm ���, �, �� � ���, �� ! ����, �� Hàm này có thêm biến phụ là �, gọi là nhân tử Lagrange. Hàm ���, �, �� được gọi là hàm Lagrange. Chú ý rằng, nếu chỉ xét (x,y) thỏa mãn điều kiện ràng buộc (2) thì ���, �, �� y ���, ��

Định lý(điều kiện cần) Giả sử các hàm số ���, ��,���, �� có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm M(a, b) và ��/, Z� ) 0. Nếu hàm ���, ��, với điều kiện (2), đạt cực trị tại (a,b) thì hệ sau

U�ÒE��, �, �� � 0�Òý��, �, �� � 0�Ò ��, �, �� � 0S �Ä�

có nghiệm dạng (a, b, �?).

Như vậy, nếu các giả thiết của định lý được thỏa mãn thì ta thấy để (a, b) trở thành điểm cực trị điều kiện thì trước tiên nó phải là hai thành phần đầu trong nghiệm của hệ trên. Nghiệm của hệ trên là điểm dừng của hàm Lagrange. VÍ DỤ 10 Cho hàm

90

§ � ���, �� � �� ' 2� với điều kiện ràng buộc 2� ' � � 30 Tìm các điểm mà tại đó ���, �� có thể đạt cực trị với ràng buộc đã cho. Giải + Ta có 2� ' � ! 30 � 0 Hàm Lagrange ���, �, �� � �� ' 2� ! ��2� ' � ! 30�. + Ta được hệ:

U �ÒE��, �, �� � � ' 2 ! 2� � 0�Òý��, �, �� � � ! � � 0�Ò ��, �, �� � !�2� ' � ! 30� � 0S Giải hệ trên ! � � 8� � 14� � 8 S Từ đó, ta được điểm duy nhất có thể là điểm cực trị là (8; 14).

Để xét xem điểm nào trong số các điểm nghi ngờ là điểm cực trị ta phải dùng định nghĩa

hoặc điều kiện đủ sau đây.

Định lý(Điều kiện đủ) Giả sử (a, b, �?) là một nghiệm của hệ �Ä�. Đặt

|®| � 2 · �ÒÒEý�/, Z, �?� · �ÒE�/, Z� · �Òý�/, Z� ! �ÒÒEE�/, Z, �?� · k�Òý�/, Z�l� !

!�ÒÒýý�/, Z, �?� · ;�ÒE�/, Z�<�

Nếu |®| @ 0, thì (a, b) là điểm cực đại của (1) với điều kiện ràng buộc (2); Nếu |®| O 0, thì (a, b) là điểm cực tiểu của (1) với điều kiện ràng buộc (2).

Ghi chú: |®| là định thức của ma trận Hess sau đây

® � " 0 �çE �çý�çE �ççEE �ççEý�çý �ççýE �ççýý#

các đạo hàm riêng được tính tại �/, Z� hoặc �/, Z, �?�. VÍ DỤ 11 Hãy kiểm tra xem điểm dừng tìm được trong Ví dụ 3 có phải là điểm cực trị có điều kiện hay không? Giải + Đặt ���, �� � 2� ' � ! 30. Ta có: �ÒE � 2;�Òý � 1; �ÒE��, �, �� � � ' 2 ! 2� �çÒEE��, �, �� � 0 �çÒEý��, �, �� � 1; �Òý��, �, �� � � ! �; �çÒý��, �, �� � 0

® � $ 0 �ÒE�8; 14� �Òý�8; 14��ÒE�8; 14� �ÒÒEE�8; 14; 8� �ÒÒEý�8; 14; 8��Òý�8; 14� �ÒÒýE�8; 14; 8� �ÒÒýý�8; 14; 8�% � &0 2 22 0 12 1 0'. |®| � �0 ' 4 ' 4� ! �0 ' 0 ' 0� � 8 @ 0. Vậy điểm đã cho là điểm cực đại. VÍ DỤ 12 Cho § � �� ' 2��

91

Tìm cực trị với điều kiện ràng buộc là �� ' �� � 1.

Giải + Đặt ���, �� � �� ' �� ! 1. Ta được hàm Lagrange: ���, �, �� � �� ' 2�� ! ���� ' �� ! 1�. và �çE��, �, �� � 2� ! 2��; �çý��, �, �� � 4� ! 2��; �ç ��, �, �� � !��� ' �� ! 1�. Từ đó được hệ phương trình

U 2� ! 2�� � 04� ! 2�� � 0�� ' �� ! 1 � 0S Giải hệ này ta được các nghiệm g�0; 1; 2� i�0; !1; 2� 2�1; 0; 1� ��!1; 0; 1�. + �ÒÒEE��, �, �� � 2 ! 2�; �ÒÒEý��, �, �� � 0; �ÒÒýý��, �, �� � 4 ! 2�. �ÒE��, �� � 2�; �Òý��, �� � 2�. • ®�g� � &0 0 20 !2 02 0 0'. |®�g�| � 8 @ 0. Nên (0; 1) là điểm cực đại, giá trị cực đại là §�0; 1� � 2. • ®�i� � & 0 0 !20 !2 0!2 0 !2' |®�i�| � 8 @ 0. Nên (0; -1) là điểm cực đại, giá trị cực đại là §�0; !1� � 2. • ®�2� � &0 2 02 0 00 0 2' |®�2�| � !8 O 0. Nên (1; 0) là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu §�1; 0� � 1. • ®��� � & 0 !2 0!2 0 00 0 2' |®���| � !8 O 0. Nên (1; 0) là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu §�!1; 0� � 1.

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm ( 0; 1) và (0; -1). Các giá trị cực đại đều bằng 2. Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (1; 0) và (-1; 0). Các giá trị cực đại đều bằng 1.

11.2 GIA TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT HÀM HAI BIẾN TRÊN MIỀN ĐÓNG VÀ BỊ CHẶN Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên một tập con của �� được định nghĩa tương tự như với hàm một biến. Trong mục này ta xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến trên một tập con của �� mà tương tự như trên khoảng đóng khi xét hàm một biến.

92

Với hàm một biến số � � ����, nếu liên tục trên một khoảng đóng $/, Z& thì sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Cách tìm là: Tìm các điểm tới hạn của hàm trong [a, b]; tính giá trị của hàm tại các điểm đó và tại hai đầu mút; so sánh các giá trị và đưa ra kết luận. Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được hoặc là tại các điểm tới hạn hoặc là tại các đầu mút. Có một sự tương tự trong hàm hai biến. Trước tiên ta đưa ra một khái niệm về tập đóng trong ��. Cho � là một tập trong ��. + Điểm (a, b) được gọi là điểm biên nếu mỗi lân cận của điểm đó đều có chứa những điểm thuộc � đồng thời cũng chứa những điểm không thuộc � (Chú ý: điểm biên có thể thuộc �, cũng có thể không thuộc �). + Tập � có chứa mọi điểm biên được gọi là tập đóng.

VÍ DỤ 13 + Hình tròn được xác định bởi ���, ��|�� ' �� # 1� là một tập đóng. + Hình vẽ sau là một vài ví dụ về tập đóng và tập không đóng.

Một tập trong �� được gọi là tập bị chặn nếu nó nằm trọn vẹn trong một hình tròn nào đó. Các định lý sau đây là tương tự như các định lý trong phần hàm một biến.

Định lý(về tính đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một tập đóng bị chặn) Nếu ���, �� là hàm liên tục trên một tập đóng và bị chặn � trong ��, thì ���, �� đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong �.

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến trên một tập đóng bị chặn � , ta cần phải lưu ý rằng, từ điều kiện cần để hàm đạt cực trị ta suy ra hàm chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng nằm phía trong � hoặc các điểm biên của tập �. Từ đó, ta có cách tìm như sau.

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến liên tục ���, �� trên một tập đóng và bị chặn �, ta phải: 1. Tìm các điểm tới hạn của ���, �� trong � và giá trị của f tại các điểm đó; 2. Tìm cực trị của ���, �� trên biên của �; 3. Giá trị lớn nhất trong các số tìm được trong bước 1 và bước 2, chính là giá trị lớn nhất; còn giá trị nhỏ nhất trong các số đó là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

VÍ DỤ 14 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm ���, �� � �� ' 2�� trên hình tròn đóng � �{(x,y)│�� ' �� # 1} Giải + Xét trong hình tròn �� ' �� O 1: �ÒE��, �� � 2�; �Òý��, �� � 4�. Từ đó trong hình tròn �� ' �� O 1 hàm số đã cho có điểm tới

hạn duy nhất là (0; 0) và ��0; 0� � 0. + Xét trên biên �� ' �� � 1:

93

Theo Ví dụ trên, hàm số đạt cực trị tại các điểm (1; 0) (-1; 0) với giá trị của hàm bằng 1 và đạt cực trị tại (0; 1) và (0; -1) với giá trị của hàm bằng 2. + Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên � bằng 2 và giá trị nhỏ nhất trên � là bằng 0. VÍ DỤ 15 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm ���, �� � �� ! 2�� ' 2� trên hình chữ nhật � � ���, ��|0 # � # 3, 0 # � # 2�.

Giải ���, �� là hàm đa thức nên nó liên tục trên �. + Xét các điểm trong của �: �ÒE��, �� � 2� ! 2�; �Òý��, �� � !2� ' 2. Ta được điểm tới hạn duy nhất là (1; 1); ��1; 1� � 1. + Xét các điểm trên biên của �: Trên đoạn y = 0 với 0 # � # 3, ta được ���, 0� � �� # 9 giá trị lớn nhất là ��3; 0� � 9, giá trị nhỏ nhất là ��0; 0� � 0 Trên đoạn y = 2 với 0 # � # 3, ta được ���, 2� � �� ! 4� ' 4 � �� ! 2��, giá trị lớn nhất là ��0; 2� � 4, giá trị nhỏ nhất là ��0; 2� � 0. Trên x = 0 với 0 # � # 2, ta được ��0, �� � 2�, giá trị lớn nhất là ��0; 2� � 4, giá trị nhỏ nhất là ��0; 0� � 0. Trên x = 3 với 0 # � # 2, ta được ��3, �� � 9 ! 4�, giá trị lớn nhất là ��3; 0� � 9, giá trị nhỏ nhất là ��3; 2� � 1. + So sánh các giá trị tìm được ở trên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là bằng 9, tại (3; 0); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 tại (0;0).

Hình ảnh cho Ví dụ trên

94

11.3 MỘT SỐ VÍ DỤ TRONG KINH TẾ. i) Quảng cáo và ấn định mức giá để cực đại hóa lợi nhuận. VÍ DỤ 16 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại mặt hàng. Lượng cầu _úvề loại mặt hàng này phụ thuộc vào giá bán P do doanh nghiệp quyết định. Mặt khác, _ú còn phụ thuộc vào việc quảng cáo và khuyến mại. Tổng số tiền mà doanh nghiệp chi cho quảng cáo và khuyến mại là A. Giả sử lượng cầu là hàm của giá một sản phẩm và tổng số tiền chi cho quảng cáo và khuyến mại, như sau _ú � �200 ! ��√g ' 562 500

Biết rằng doanh nghiệp dành cho quảng cáo và khuyến mại không quá 2 triệu đơn vị tiền tệ, và chi phí để sản xuất mỗi sản phẩm là 100 đơn vị tiền tệ. Hãy tìm hàm lợi nhuận. Xác định giá bán mỗi sản phẩm, chi phí cho quảng cáo và khuyến mại để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải • Để tiêu thụ hết sản phẩm, doanh nghiệp sẽ sản xuất lượng hàng hóa đúng bằng lượng cầu,

nghĩa là sản lượng của doanh nghiệp là _ � _ú + Tổng chi phí gồm chi phí để sản xuất ra _ và chi phí cho quảng cáo và khuyến mại nên tổng chi phí là 2 � 100 · _ú ' g

+ Tổng doanh thu là � � � · _ � � · �200 ! ��√g ' 562 500 Vậy hàm lợi nhuận là � � � ! 2 � �� ! 100� · �200 ! �� · √g ' 562 500 ! g • Vấn đề tiếp theo là cực đại hóa hàm lợi nhuận. Theo giả thiết, biến A bị ràng buộc như sau: 0 # g # 2 000 000. Từ thực tế thì giá bán mỗi sản phẩm không thể thấp hơn chi phí sản xuất ra nó, tức là ta có: � F 100. Từ hàm cầu ta thấy, thị trường không chấp nhận giá hơn 200 đơn vị tiền tệ. Như thế, � # 200. Nghĩa là ta có ràng buộc cho P là: 100 # � # 200. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm trên một hình chữ nhật. Kết quả là: P = 150; A = 1 000 000 và lợi nhuận thu được là 2 125 000. ii) Sản xuất theo hạn ngạch Một doanh nghiệp được gọi là sản xuất theo hạn ngạch (quota) nếu mức sản lượng đã được ấn định là _?. Do sản lượng đã được ấn định nên tổng doanh thu là hằng số. Việc cực đại hóa lợi nhuận tương đương với việc cực tiểu hóa chi phí. VÍ DỤ 17 Một doanh nghiệp sản xuất được cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm. Để tiến hành sản xuất, doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu A và B. Đơn giá cho loại nguyên liệu A; B tương ứng là 10 và 40 đơn vị tiền tệ. Biết rằng, nếu mua x đơn vị nguyên liệu A và y đơn vị nguyên

liệu B, thì sản xuất được 10 · t�� sản phẩm.

Hỏi phải mua mỗi loại nguyên liệu với số lượng như thế nào để có chi phí cho nguyên liệu thấp nhất. Hướng dẫn giải

+ Hàm sản xuất của doanh nghiệp là _ � 10 · t�� điều kiện x > 0 và y > 0.

Theo giả thiết ta phải có 10 · t�� � 200, tức là t�� � 20. + Chi phí là 2��, �� � 10� ' 40�. + Bài toán trở thành: Tìm cực tiểu của hàm 2��, �� � 10� ' 40� với điều kiện t�� � 20. Giải, ta được: x = 40; y = 10.

95

$12. HÀM CẦU MARSHALL VÀ HÀM CẦU HICK

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC Các hàm được xét trong mục này đều được giả sử là thỏa mãn các giả thiết trong điều kiện cần và điều kiện đủ để có cực trị của hàm hai biến. 12.1 HÀM CẦU MARSHALL i) Hàm lợi ích (Utility function).

Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi phối đến quyết định mua sắm, tức là ảnh hưởng đến lượng cầu. Do đó sở thích của người tiêu dùng là một yếu tố cần được nghiên cứu. Các nhà kinh tế học dùng hàm lợi ích để làm mô hình toán cho sở thích của người tiêu dùng.

Giả sử cơ cấu tiêu dùng gồm n mặt hàng ®=, ®�, ®r, . . , ®W. Mỗi bộ số thực (�=, ��, , . . �W� trong đó �Þ là lượng mặt hàng ®Þ(i = 1, 2, …, n) được gọi là một túi hàng. Hàm lợi ích là một quy tắc đặt tương ứng mỗi túi hàng với duy nhất một số thực, theo nguyên tắc: túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán với số lớn hơn. Ký hiệu ( � (��=, ��, �r, . . �W�. Như vậy, hàm lợi ích đo mức độ ưa chuộng của người tiêu dùng đối với mỗi túi hàng. ii) Bài toán tối đa hóa lợi ích và hàm cầu Marshall

Khi ta nghiên cứu về một mặt hàng nào đó, thì ta gộp toàn bộ các mặt hàng khác trong cơ cấu tiêu dùng thành một mặt hàng. Như thế hàm lợi ích chỉ còn là hàm hai biến ( � (��, ��. Quyết định mua sắm của người tiêu dùng không chỉ dựa vào sở thích bởi vì thu nhập của mỗi người có hạn và giá mỗi mặt hàng thì bán theo thị trường. Tuy nhiên, người ta vẫn muốn lợi ích thu được là lớn nhất. Từ đó đặt ra bài toán:

Tìm cực đại của hàm lợi ích ( � (��, �� với điều kiện ràng buộc �=� ' ��� � V (gọi là ràng buộc ngân sách).

Trong đó �=, �� là giá của mặt hàng thứ nhất, thứ hai tương ứng; m là thu nhập khả dụng của người tiêu dùng(thu nhập khả dụng là thu nhập sau khi đã trừ thuế). Giải(Ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange)

• Lập hàm Lagrange ���, �, �� � (��, �� ! ���=� ' ��� ! V� • Điểm dừng của hàm L là nghiệm của hệ:

U �çE � (çE ! ��= � 0�çý � (çý ! ��� � 0�ç � �=� ' ��� ! V � 0S Hệ này tương đương với

U � � (ÒE�= � (Òý�� �=� ' ��� � VS Như vậy, điểm tới hạn của hàm lợi ích với điều kiện ràng buộc đã cho là nghiệm của hệ

96

U (ÒE�= � (Òý�� �=� ' ��� � VS Gọi (a, b) là điểm dừng, thì nhân tử Lagrange được xác định theo một trong hai công thức �? � (ÒE�/, Z��= � (Òý�/, Z���

• Điểm (a, b) là điểm cực trị cần tìm nếu nó thỏa mãn điều kiện đủ là: |®| � 2 · (ÒÒEý�/, Z� · �= · �� ! (ÒÒEE�/, Z� · ����� ! (ÒÒýý�/, Z� · ��=�� @ 0

s 2 · (ÒÒEý�/, Z� · (ÒE�/, Z��? · (Òý�/, Z��? ! (ÒÒEE�/, Z� · �(Òý�/, Z��? �� ! (ÒÒýý�/, Z� · �(ÒE�/, Z��? �� @ 0

s 2 · (ÒÒEý�/, Z� · (ÒE�/, Z� · (Òý�/, Z� ! (ÒÒEE�/, Z� · ;(Òý�/, Z�<� ! (ÒÒýý�/, Z� · �(ÒE�/, Z��� @ 0 �Ä�

Như vậy, điều kiện đủ chỉ liên quan đến hàm lợi ích. Trong kinh tế học, người ta luôn giả thiết rằng hàm lợi ích thỏa mãn điều kiện �Ä� với mọi (x, y) mà x > 0 và y > 0 (khi đó điểm cực đại cũng là điểm mà hàm đạt giá trị lớn nhất). Lưu ý rằng, lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua chính là lượng cầu. Lời giải bài toán trên cho thấy, lượng cầu là a và b. Hai số này phụ thuộc vào �=, �� và V. Từ đó ta được, hàm cầu _= � /��=, ��, V� _� � Z��=, ��, V� Hai hàm cầu này là hàm cầu của người tiêu dùng được xây dựng dựa trên nguyên tắc tối đa hóa lợi ích với mức thu nhập khả dụng cố định, được gọi là hàm cầu Marshall.

VÍ DỤ 18 Lập hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, biết hàm lợi ích là ( � �� ' 2�. Giải +Hàm cầu Marshall được xác định dựa trên cơ sở cực đại lợi ích với ràng buộc ngân sách là �=� ' ��� � V

+ Lập hàm Lagrange ���, �, �� � �� ' 2� ! ���=� ' ��� ! V� + Điểm dừng của hàm L là nghiệm của hệ:

U �ÒE � � ' 2 ! ��= � 0�Òý � � ! ��� � 0�Ò � �=� ' ��� ! V � 0S + Điểm tới hạn của hàm lợi ích với điều kiện ràng buộc đã cho là nghiệm của hệ

U � ' 2�= � ��� �=� ' ��� � VS Giải hệ được

IKL� � V ' 2��2�=� � V2�� ! 1 S

97

Vậy các hàm cầu cần tìm

IKL_= � V ' 2��2�=_� � V2�� ! 1 S

VÍ DỤ 19 Lập hàm cầu Marshall của người tiêu dùng, biết hàm lợi ích là ( � �?,� · �?,�. Giải +Hàm cầu Marshall được xác định dựa trên cơ sở cực đại lợi ích với ràng buộc ngân sách là �=� ' ��� � V

+ Lập hàm Lagrange ���, �, �� � �?,� · �?,� ! ���=� ' ��� ! V� + Điểm dừng của hàm L là nghiệm của hệ:

U�ÒE � 0,4�.?,\�?,� ! ��= � 0�Òý � 0,9�?,��.?,= ! ��� � 0�Ò � �=� ' ��� ! V � 0 S + Điểm tới hạn của hàm lợi ích với điều kiện ràng buộc đã cho là nghiệm của hệ

U0,4�.?,\�?,��= � 0,9�?,��.?,=�� �=� ' ��� � V S Giải hệ được

IKL� � 4V13�=� � 9V13��

S Vậy các hàm cầu cần tìm

IKL_= � V ' 2��2�=_� � V2�� ! 1 S

12.2 HÀM CẦU HICK

i) Bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng Khi quyết định chi tiền cho hàng hóa và dịch vụ, không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập của mình để hưởng lợi ích tối đa. Một xu hướng khác trong tiêu dùng là: Đặt ra một mức độ lợi ích nhất định R? và tìm cách đạt được lợi ích đó với chi phí thấp nhất. Từ đó đặt ra bài toán sau:

Tìm cực tiểu của hàm chi phí tiêu dùng 2��, �� � �=� ' ��� với điều kiện (��, �� � R?

Bài toán này được gọi là bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng.

98

ii) Lời giải cho bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng và hàm cầu Hick

• Lập hàm số Lagrange ���, �, �� � �=� ' ��� ! ��(��, �� ! R?� • Điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ

U �çE � �= ! � · (çE � 0�çý � �� ! � · (çý � 0�ç � (��, �� ! R? � 0S Điểm dừng cần tìm là nghiệm của hệ

U (ÒE�= � (Òý�� (��, �� � R?S

Gọi (a, b) là nghiệm, thì nhân tử Lagrange được xác định bởi một trong hai đẳng thức � � �=(ÒE�/, Z� � ��(Òý�/, Z�

• Điều kiện đủ: |®| O 0 s !�$(ÒE(Òý(ÒçEý ' (ÒE(Òý(ÒçýE ! �(ÒE��(Òçýý ! �(Òý��(ÒÒEE& O 0

Trong kinh tế học có một tiên đề về sự ưa thích là: “ nhiều được ưa chuộng hơn ít”, nghĩa là hàm lợi ích tăng theo các biến, nên (çE @ 0 và (çý @ 0 suy ra rằng � @ 0. Như vậy, điều kiện đủ tương

đương 2 · (ÒE�/, Z� · (Òý�/, Z� · (ÒçEý�/, Z� ! �(ÒE�/, Z��� · (Òçýý�/, Z� ! �(Òý�/, Z���(ÒÒEE�/, Z� @ 0

Chính là điều kiện đủ khi ta nói đến hàm cầu Marshall.

Hàm cầu Hick là hàm cầu của người tiêu dùng theo quan điểm tối thiểu hóa chi phí với một mức lợi ích được ấn định trước R?.

Từ lời giải của bài toán tối thiểu hóa chi phí nói trên, ta có:

Lượng hàng mà người tiêu dùng mua lần lượt là a và b, đó là lượng cầu được xác định dựa trên nguyên tắc tối thiểu hóa chi phí cho một mức độ lợi ích được ấn định trước. a, b là các số phụ thuộc vào R?, �=, ��. Như vậy, a và b tìm được chính là hàm cầu Hick. VÍ DỤ 20 Lập hàm cầu Hick của người tiêu dùng, biết hàm lợi ích là ( � �� ' 2�. Giải Hàm cầu Hick được xác định trên cơ sở giải bài toán Tìm cực tiểu của hàm chi phí tiêu dùng 2��, �� � �=� ' ��� với điều kiện (��, �� � R? Lời giải cho bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng và hàm cầu Hick

• Hàm số Lagrange ���, �, �� � �=� ' ��� ! ���� ' 2� ! R?� � ��= ! 2��� ' ��� ! ��� ' �R?

• Điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ

U�′E � �= ! 2� ! � · � � 0�′ý � �� ! � · � � 0�′ � �� ' 2� ! R? � 0 S Điểm dừng cần tìm là nghiệm của hệ

99

U � ' 2�= � ��� �� ' 2� � R?S

Giải hệ ta được nghiệm là

IJKJL � � )��R?�=

� � )�=R?�� ! 2S

Vì trong kinh tế học đã quy định hàm lợi ích luôn thỏa mãn điều kiện để nghiệm trên là điểm cực

tiểu của hàm chi phí tiêu dùng nên nghiệm của hệ chính là điểm cần tìm. Vậy các hàm cầu Hick cần tìm là:

IJKJL _= � )��R?�=

_� � )�=R?�� ! 2S

Chú ý: Hoàn toàn tương tự như hai bài toán đã nêu, người ta có thể lập các hàm mới dựa theo hàm đã cho và nguyên tắc cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm mục tiêu nào đó. Chẳng hạn:

• Bài toán cực đại hóa sản lượng dựa theo ràng buộc ngân sách: Tìm cực đại của hàm sản xuất _ � ���, �� với điều kiện 0� · � ' 0� · � � i

(0� , 0� tương ứng là giá thuê một đơn vị lao động và một đơn vị vốn) Ta được các hàm K, L với các biến 0� , 0�, i Thay trở lại hàm Q ta được hàm sản xuất theo nguyên cực đại hóa sản lượng với ngân sách cố định.

• Bài toán tối thiểu hóa chi phí dựa theo ràng buộc về sản lượng: Tìm cực tiểu của hàm chi phí 2 � 0� · � ' 0� · �

với điều kiện ���, �� � _? ta được các hàm K, L với các biến 0� , 0� , _?. Thay trở lại hàm C ta được hàm chi phí tối thiểu với sản lượng cố định.

• …..

100

$13. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 13.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP 1. Định nghĩa Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí là để sản xuất x đơn vị sản phẩm là 2���, thì hàm chi phí cận biên là �2��� � 2Ò���. Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là �2��� và cần tìm hàm chi phí, thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số 2��� sao cho 2Ò��� � �2���. Đó là bài toán tìm nguyên hàm.

ĐỊNH NGHĨA Cho K là một khoảng trong � (tức là K là một trong các dạng: (a, b) (a, b] [a, b) hoặc [a, b]). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu �Ò��� � ����, �� � �. Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía.

Như vậy, trong một khoảng nếu �Ò��� là đạo hàm của ���� thì ngược lại ���� được gọi là nguyên

hàm của �ç���.

VÍ DỤ 1 i) Hàm � � � ' 1 có nguyên hàm là hàm � � E:� ' � trên K = �!∞, '∞�.

ii) Hàm � � =�√E có nguyên hàm là � � √� trên K = �0, '∞�.

Nhận xét: Từ Ví dụ i), ta thấy � � E:� ' � ' 1, � � E:� ' � ! 5 cũng là các nguyên hàm của � � � ' 1. Vậy: một hàm số có thể có rất nhiều nguyên hàm! Vấn đề là một hàm số đã có một nguyên hàm thì có bao nhiêu nguyên hàm và các nguyên hàm của cùng một hàm số thì có gì đặc biệt. Định lý sau đây sẽ cho ta biết.

Định lý Nếu ���� có nguyên hàm là ���� trên K, thì ���� có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số.

Hãy chứng minh! Theo định lý trên, khi ���� có nguyên hàm là ���� trên K thì tất cả các nguyên hàm của f(x) là: ���� ' 2 với C là một hằng số nào đó. Ta ký hiệu tất cả các nguyên hàm của ���� là *����´� và gọi nó là tích phân bất định của hàm ����. * được gọi là dấu tích phân; ���� được gọi là hàm dưới dấu tích phân; x được gọi là biến lấy tích phân; ����´� được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Đặc biệt: +�Ò���´� � ���� ' 2

Chú ý: ´� trong ký hiệu trên ban đầu chỉ là quy ước, thế nhưng người ta đã chứng minh được rằng nó thực sự là một vi phân.

101

2. Tính chất tuyến tính của tích phân

Với /, Z là các hằng số bất kỳ, ta có: +�/���� ' ZD���� ´� � /+ ����´� ' Z+D���´�.

Tính chất này cho phép ta tìm tích phân bất định của một hàm phức tạp bằng cách phân rã thành tích phân của các hàm đơn giản.

3. Bảng tích phân bất định của một số hàm sơ cấp

1� + �± ´� � �±,=² ' 1 ' 2, �² ) !1�. 2� +´�� � ln |�| ' 2. 3� + /E ´� � /Eln / ' 2, đặ[ Z,ệ| k+ ½E ´� � ½E ' 2l. 4� + sin � ´� � ! cos � ' 2. 5� + cos � ´� � sin � ' 2. 6� + ´�sin � � ln | tan �2 | ' 2. 7� + ´�cos � � ln | tan ;�2 ' �4< | ' 2. 8� + ´�sin� � � !cotan � ' 2. 9� + ´�cos� � � tan � ' 2. 10� + ´�a� ' �� � 1/ arctan �/ ' 2 � ! 1/ arccot �/ ' 2, �/ ) 0�. 11� + ´�a� ! �� � 12/ ln �/ ' �/ ! ��' 2 �/ ) 0�

12� + ´�√a� ! �� � arcsin �/ ' 2 � ! arccos �/ ' 2, �/ @ 0�. 13� + ´�√�� '/� � ln�� ' t�� ' /�� ' 2, �/ @ 0�. 14� + ´�√�� !/� � ln |� ' t�� ! /� | ' 2, �/ @ 0�. 15� +t/� !�� ´� � 12 �t/� ! �� ' /�2 arcsin �/ ' 2, �/ @ 0�. 16� +t�� ¸/� ´� � 12 �t�� ¸ /� ¸ /�2 ln �� ' t�� ¸ /�� ' 2.

Việc chứng minh các công thức trên được tiến hành theo cách đạo hàm vế phải để được hàm dưới dấu tích phân.

102

13.2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÌM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Phân rã hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm trong bảng tích phân đã biết Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản, ta có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách phân tích hàm đó thành tổng của các hàm đã có tích phân được tìm sẵn. VÍ DỤ 2 + ��1 ' �� ´� � + �� ' 1 ! 11 ' �� ´� � + k1 ! 11 ' ��l ´� � + 1´� !+ 11 ' �� ´� � � ! arctan � ' 2. 2. Đổi biến số Do người ta đã chứng minh được dx trong ký hiệu tích phân bất định thực sự là một vi phân, nên: +����´� � ���� ' 2 s + ����|���ç�|�´| � ����|�� ' 2

với x là hàm của t. Khẳng định trên là cơ sở cho phép đổi biến. a) Phép đổi biến thuận

Đặt � � ��|� để chuyển việc tìm *����´� sang việc tìm *����|����|�´|.

Phép đổi biến này nên dùng khi: Việc tìm * ����´� khó hơn việc tìm *����|����|�´|.

Tuy nhiên, chỉ dùng được khi � � ��|� có hàm ngược. Bởi vì ta phải đổi lại từ biến t trong kết quả thành biến x. VÍ DỤ 3 Tìm � � +t5 ! ��´�

Đặt � � √5 sin | , | � $! B� , B�&, ta được:

| � arcsin �√5 , ´� � √5 cos | ´|, t5 ! �� � √5 cos |

Nên

� � +√5cos | √5cos | ´| � 5+ cos� | ´| � 52+�1 ' cos 2|�´| � 52 k| ' sin 2|2 l ' 2

� 52 �| ' sin | cos |� ' 2 � 52 ;| ' sin | t1 ! sin� |< ' 2

� 52 ©arcsin �√5 ' �√5)1 ! ��5 « ' 2 � 52 arcsin �√5 ' �2 t5 ! �� ' 2. b) Phép đổi biến ngược

Đặt �Ò�|�´| � ´� để chuyển việc tính * ����|���ç�|�´| sang việc tính * ����´�.

VÍ DỤ 4

� � + 2� ' 4�� ' 4� ! 5 ´� � + ��� ' 4� ! 5�Ò´��� ' 4� ! 5

Đặt | � �� ' 4� ! 5, ta được � � * o}} � ln ||| ' 2 � ln |�� ' 4� ! 5| ' 2

Tóm lại: Với tích phân * ���� ´�, có hai cách đổi biến. Thứ nhất là: Đặt � � R�|�. Thứ hai là: Đặt | � R���.

Do cách đặt thứ nhất phải xác định một hàm ngược t theo x nên hai phép đổi biến là như nhau.

103

3. Tích phân từng phần Giả sử R��� và Ù��� là hai hàm số có đạo hàm Rç��� và Ùç��� là các hàm liên tục trên khoảng K. Khi đó, từ hệ thức �R. Ù�Ò � RÒÙ ' RÙÒ Lấy tích phân hai vế, ta được R. Ù � +RÒÙ ´� '+RÙç ´�

Tức là

+R´Ù � RÙ !+Ù´R

Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần. Nó được sử dụng khi tích phân ở bên trái khó tìm trong khi tích phân bên phải dễ tìm hơn. VÍ DỤ 5 Tìm *arctan� ´�. Giải Dùng công thức tích phân từng phần, ta được +arctan � ´� � �arctan� !+ �´arctan � � �arctan� !+ � 11 ' �� ´� �

= �arctan� ! =� ln�1 ' ��� ' 2. VÍ DỤ 6 Tìm

�W � + ´���� ' /��W

Giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được

�W � � 1��� ' /��W !+ � ´ 1��� ' /��W � � 1��� ' /��W '+ � Q2���� ' /��W,= ´�

� ���� ' /��W ' 2Q+ ����� ' /��W,= ´� � ���� ' /��W ' 2Q+ �� ' /� ! /���� ' /��W,= ´�

� ���� ' /��W ' 2Q�W ! 2Q/��W,=

Như vậy, ta được:

�W,= � �2Q/���� ' /��W ' �2Q ! 1�2Q/� �W

Từ đó suy ra:

�W � �2�Q ! 1�/���� ' /��W.= ' �2Q ! 3�2�Q ! 1�/� �W.= �Q @ 1�

Các chú ý khi dùng tích phân từng phần: 1) Khi dùng tích phân từng phần ta cần chú ý xem chọn hàm nào là u, hàm nào là v, bởi vì trong nhiều trường hợp nếu chọn không phù hợp sẽ dẫn đến tích phân khó tính hơn. 2) Có thể gặp tích phân mà phải dùng công thức tích phân từng phần nhiều lần. Chẳng hạn * cos � ·½�´�, sau hai lần dùng công thức tích phân từng phần ta được tích phân ban đầu, rồi chuyển vế và chia cả hai vế cho 2, ta được kết quả. 3) Trong tích phân từng phần, nếu biểu thức ´Ù khó nhận ra, thì ta phải lấy tích phân ´Ù để có được Ù. Chẳng hạn: Tìm

104

+ ���1 ' ���� ´� � + � ��1 ' ���� ´�

Chọn R � �, ´Ù � E�=,E:�: ´�, từ đó Ù � *´Ù � * E�=,E:�: ´� � ! =� ==,E:.

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được + ���1 ' ���� ´� � + � ��1 ' ���� ´� � � k! 12 11 ' ��l ' +12 11 ' �� ´�

� ! �2�1 ' ��� ' 12 arctan � ' 2 4) Các tích phân dạng +���� ln � ´�, +���� sin /� ´�, +���� cos /� ´�, +���� ½+E´�, … Có thể tìm được nhờ tích phân từng phần. Nói chung, những hàm là tích của một thừa số có dạng đa thức hữu tỷ và một đa thức ở dạng siêu việt loại arcsin � , arccos � , arctan � , arccot � , .. đều có thể tìm bằng cách áp dụng công thức tích phân từng phần. 13.3 CÁCH TÌM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM 1. Tích phân hàm hữu tỷ a) Hàm hữu tỷ

Là hàm có dạng ���� � ]�E�^�E�, trong đó ����, _��� là các đa thức.

+ Khi bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, ta nói ���� là phân thức thực sự. + Khi bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta nói ���� là phân thức không thực sự. Nhờ phép chia hai đa thức, ta luôn biểu diễn được:

Phân thức không thực sự = đa thức + phân thức thực sự.

Do đó, khi tìm tích phân bất định của một phân thức ta chỉ tập trung vào việc tìm tích phân bất định của phân thức thực sự. b) Phân rã phân thức thực sự thành các phân thức cơ bản

• Một kết quả quan trọng trong Đại số:

“Mọi đa thức đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các đa thức bậc hai vô nghiệm”.

• Xét một phân thức thực sự: ���� � ]�E�^�E�. Từ kết quả trên, ta có quyền giả sử rằng: _��� � an(x – a)α⋅⋅⋅(x – b)β(x2 + px + q)λ⋅⋅⋅(x2 + rx + s)µ

Khi đó, ta được: ����_��� � g=�� ! /� ' g��� ! /�� ' X ' g±�� ! /�± ' X '

' i=�� ! Z� ' i��� ! Z�� ' X ' i�� ! Z�Р'

' 2=� ' �=�� ' �� ' � ' 2�� ' ����� ' �� ' ��� ' X ' 2 � ' � ��� ' �� ' �� ' X '

' -=� ' �=�� ' �� ' ò ' -�� ' ����� ' �� ' ò�� ' X ' -.� ' �.��� ' �� ' ò�.

Các số gÞ, i/ , 2� , �� ,-£,�£. Được tìm bằng cách so sánh lũy thừa cùng bậc ở tử của hai

phân số sau khi đã quy đồng hoặc chọn các giá trị đặc biệt của biến số. Ta gọi các phân thức ở vế phải là các phân thức cơ bản.

105

VÍ DỤ 7 Phân rã phân thức sau: ��� ' �r ! � ! 1. Giải Ta có �� ' �r ! � ! 1 � �� ' 1��� ! 1���� ' � ' 1� Nên

EEö,Eu.E.= � E�E,=��E.=��E:,E,=� � îE,= ' ñE.= ' 0E,úE:,E,= s � � g��r ! 1� ' i�� ' 1���� ' � ' 1� ' �2� ' ����� ! 1� �Ä�

Cho � � !1, được g � =�.

Cho � � 1, được i � =\.

Cho � � 0, được � � ! =r.

Cho � � !2, được 2 � ! �r.

Vậy EEö,Eu.E.= � =��E,=� ' =\�E.=� ! �E,=r�E:,E,=�

Chú ý: Cũng có thể tìm A, B, C, D bằng cách so sánh các hệ số trước những lũy cùng bậc ở 2 vế

của (∗).

Từ kết quả này, ta thấy để tìm tích phân bất định của một phân thức hữu tỷ thực sự thì ta chỉ cần phải tìm tích phân bất định của các hàm sau: 1� ! / , 1�� ! /�� , g� ' i�� ' �� ' � , g� ' i��� ' �� ' ��£ �d,V � ëÄ�

c) Tích phân bất định của các phân thức cơ bản.

• * oEE.+ � ln|� ! /| ' 2

• * oE�E.+�� � =�=.���E.+��¯¨ ' 2

Do �g� ' i�´� � ;î� �2� ' � ! �� ' i< ´� � î� �2� ' ��´� ' ;i ! îô� < ´�

� g2 ´��� ' �� ' �� ' ki ! g�2 l ´�

và �� ' �� ' � � ;� ' ô�<� ' �� ! ô:� �

Nên:

• Để tìm tích phân * îE,ñE:,ôE,Ú ´�, ta chỉ cần tìm * oEE:,+:. Tích phân này đã có trong bảng

nguyên hàm cơ bản.

• Để tìm * îE,ñ�E:,ôE,Ú�Ñ ´�, ta chỉ cần tìm * oE�E:,+:�Ñ. Tích phân này được tìm theo công thức

truy hồi xây dựng trong Ví dụ trên:

�£ � �2�V ! 1�/���� ' /��£.= ' �2V ! 3�2�V ! 1�/� �£.= �V @ 1�

106

TÓM LẠI: Tìm * ]�E�^�E� ´� ta làm như sau:

1) Chia đa thức (nếu phân thức đã cho chưa là phân thức thực sự) để thu được: 1���2��� � 3��� ' 4���2���

với 4���2��� là phân thức thực sự.

2) Phân rã phân thức thực sự thành các phân thức cơ bản. 3) Tìm tích phân bất định của đa thức T(x) (nếu có) và các phân thức cơ bản.

VÍ DỤ 8 Tìm các tích phân sau: + ��� ' �r ! � ! 1 ´�, +8�r ' 16���� ' 4�� ´� , + ´��8 ! ��

Giải

+ Ta có EEö,Eu.E.= � =��E,=� ' =\�E.=� ! �E,=r�E:,E,=�

Nên * EEö,Eu.E.= ´� � * =��E,=� ´� ' * =\�E.=� ´� ! * �E,=r�E:,E,=� ´�

� 12 ln|� ' 1| ' 16 ln|� ! 1| ! 13+ ��� ' � ' 1�Ò�� ' � ' 1 ´� � ln�t|� ' 1|t|� ! 1|» � ! ln t�� ' � ' 1u ' 2 � ln t|� ' 1|t|� ! 1|»

√�� ' � ' 1u ' 2

+ Ta có >Eu,=\E�E:,��: � îE,ñE:,� ' 0E,ú�E:,��:

Quy đồng mẫu thức ở vế phải và đồng nhất tử thức ở hai vế ta được: 8�r ' 16� � g�r ' i�� ' �4g ' 2�� ' 4i ' � Ta được g � 8; i � 0; 2 � !16; � � 0. Nên

>Eu,=\E�E:,��: � >EE:,� ' .=\E�E:,��:

Suy ra * >Eu,=\E�E:,��: ´� � * >EE:,� ´� ' * .=\E�E:,��: ´� � 4 ln��� ' 4� ' >E:,� ' 2. + Ta có �8 ! �� � ����r ! 1� � ���� ! 1���� ' � ' 1�. Do đó

=E�.E: � îE ' î:E: ' ñE.= ' 0E,úE:,E,=

Đồng nhất hệ số, ta được g= � 0; g� � !1; i � =r ; 2 � ! =r ; � � =r. Từ đó tính được + ´��8 ! �� � 1� ' 13 ln |� ! 1| ! 16 ln��� ' � ' 1� ' 1√3 arctan2� ' 1√3 ' 2. 2. Tích phân hàm lượng giác

Đa thức hai biến là hàm hai biến có dạng: ��R, Ù� � ∑ ∑ /Þ/RÞÙ//Þ . Phân thức hữu tỷ hai biến là thương của hai đa thức hai biến: ��R, Ù� � ]�Û,��^�Û,�� Quy ước: Viết ������, D���� thì hiểu ��R, Ù� là phân thức hữu tỷ hai biến. Dạng *��sin � , cos ��´�:

a) Phương pháp chung là đặt | � tan E�. Khi đó: sin � � �}=,}: , cos � � =.}:=,}: , � � 2 arctan | , ´� � �o}=,}:. Chuyển tích phân đã cho thành tích

phân phân thức với biến t.

107

VÍ DỤ 9 Tìm * oE�À�E äÓ�E.

Giải

đặt | � tan E�. Khi đó: sin � � �}=,}: , cos � � =.}:=,}: , � � 2 arctan | , ´� � �o}=,}:.

Nên

+ ´�sin � cos � � + 2´|1 ' |�2|1 ' |� . 1 ! |�1 ' |�´| � + 1 ' |�|�1 ! |�� ´| � +61| ! 1| ! 1 ! 1| ' 17´| � ln � 2|1 ! |��

� ln | tan �| ' 2 b) Các trường hợp riêng b1) ��sin � , cos �� là hàm lẻ đối với sin �, thì đặt | � cos �; ��sin � , cos �� là hàm lẻ đối với cos �, thì đặt | � sin �. VÍ DỤ 10 + ´�sin� � cos � , + ´�sin � cos� �

Giải + Đặt | � sin � ; ´| � cos � ´�, ta được + ´�sin� � cos � � + cos � ´�sin� � �1 ! sin� �� � + ´||��1 ! |��

� * w =}: ' =��=,}� ' =��=.}�x ´| � ! =} ' =� ln �},=}.=� ' 2

� ! 1sin � ' 12 ln �sin � ' 1sin � ! 1� ' 2

+ Đặt | � cos � ; ´| � ! sin � ´�, ta được + ´�sin � cos� � � + sin � ´�sin� � cos� � � + !´|�1 ! |��|�

� 1| ! 12 ln �| ' 1| ! 1�' 2 � 1cos � ' 12 ln �cos � ' 1sin � ! 1�' 2. b2) ��sin � , cos �� thỏa mãn: ��!sin � ,!cos �� � ��sin � , cos ��: Đặt | � tan �.

VÍ DỤ 11 Tìm * oE�À�: E äÓ�: E

Giải

Đặt | � tan � ; ´| � =äÓ�: E ´�

Ta có =�À�: E � 1 ' cot� � � 1 ' =Íf�: E

Nên * oE�À�: E äÓ�: E � *�1 ' =}:� ´| � | ! =} ' 2 � tan � ! =Íf� E ' 2

b3) ��sin � , cos �� là một trong các dạng: sinV� cosQ� ; sinV� sinQ� ; cos V� cos Q�. Dùng công thức tích thành tổng. b4) ��sin � , cos �� � sinÁ � cos� �: Nếu có một số lẻ (trong hai số m, n), chẳng hạn sinr � thì lấy một thừa số sin � đưa vào dấu vi phân, phần còn lại đổi hết ra cos �. Nếu cả hai số đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

108

VÍ DỤ 12 Tìm: � � + sin� � cos� � ´�. Giải

� � 14+ sin� 2� cos� � ´� � 18+ sin� 2� �1 ' cos 2��´�

� 116+�1 ! cos 4��´� ' 116+ sin� 2� ´ sin 2�

� 116 � ! 164 sin 4� ' 148 sinr � ' 2.

b5) ��sin � , cos �� � =�À�8 E äÓ�× E:

Dùng 1 � cos� � ' sin� �, để hạ dần số mũ ở dưới mẫu. VÍ DỤ 13 Tìm + ´�sin� � cos� �

Giải + ´�sin� � cos� � � + �cos� � ' sin� ��´�sin� � cos� �

� + ´�sin� � cos� � '+ ´�cos� � � + ´�sin� � '+ ´�cos� � '+�1 ' tan� �� ´tan�

� ! cot � ' 2 tan � ' tanr �3 ' 2.

b6) ��sin � , cos �� là tan9 � hoặc =Íf�: E, k là số nguyên dương:

Hạ dần lũy thừa bằng cách dùng ´tan � � =äÓ�: E ´� � �1 ' tan� ��´�

Hoặc ´cot � � ! =�À�: E ´� � !�1 ' cot� ��´�.

VÍ DỤ 14 Tìm + cot8 � ´�

Giải + cot8 � ´� � + cotr � �cot� � ' 1 ! 1�´� � !+ cotr � ´cot� !+ cotr � ´�� ! cot� �4 !+ cot � �cot� � ' 1 ! 1�´� � ! cot� �4 ' cot� �2 ' ln | sin � | ' 2

3. Tích phân một số dạng hàm có chứa căn

a) Dạng ���, ¼+E,¹ßE,o� �: Đặt | � ¼+E,¹ßE,o�.

VÍ DỤ 15 Tìm

� � + ´�t�� ! 1��� ' 1��u . Giải

� � + )� ' 1� ! 1u 1� ' 1 ´�

109

Đặt | � ¼E,=E.=u ta được |r�� ! 1� � � ' 1 nên � � }u,=}u.= ; ´� � ! \}:o}�}u.=�:

Vậy � � !* | }u.=�}u \}:o}�}u.=�: � * .ro}}u.= � * ;! =}.= ' },�}:,},=< ´|

� 12 ln |� ' | ' 1�| ' 1�� ' √3 arctan 2| ! 1√3 ' 2 trong đó | � ¼E,=E.=u

.

Tổng quát: Dạng ���, ¼+E,¹ßE,o� , ¼+E,¹ßE,oÑ , … , ¼+E,¹ßE,o; � đặt | � ¼+E,¹ßE,o� với d là bội số chung nhỏ nhất

của Q, V, … , �. VÍ DỤ 16 Tìm + ´�√1 ' �u ! √1 ' �ö . Hướng dẫn: /� ' Z � � ' 1; [� ' ´ � 0� ' 1; Q � 3; V � 4

Nên đặt | � √� ' 1¨: , ta được � ' 1 � |=�, ´� � 12|==´| Suy ra + ´�√1 ' �u ! √1 ' �ö � 12+ |==´||� ! |r

b) Dạng *���, √/� ! ��� ´� hoặc *���,t�� ¸ /�� ´�:

• *���, √/� ! ���´�, ta đặt ẩn phụ � � /sin | , | � $! B� , B�& hoặc � � /cos | , | � $0, �&. • *���, √�� ' /��´�, ta đặt � � / tan | , | � �! B� , B��.

• *���, √�� ! /��´�, ta đặt � � +äÓ� } , | � �0, B��<�B� , ��.

Chú ý: *���, √/�� ' Z� ' [�´�, đặt R � � ' ¹�+ để đưa về một trong ba dạng trên.

VÍ DỤ 17 Tìm + ��√4 ! �� ´�, + 1√�� ' � ' 1 ´�

Giải

+ Đặt � � 2sin | , | � �! B� , B��, ta được ´� � 2 cos | ´|

+ ��√4 ! �� ´� � + 4 sin� |2|cos || ´| � 2+1 ! cos� |cos | ´| � 2+ 1cos | ´| ' 2+ cos | ´|

� 2 ;ln �tan ;�2 ' �4<� ' sin |< ' 2. + Ta có �� ' � ' 1 � ;� ' =�<� ' r�. Đăt | � � ' =�, ta được

+ 1√�� ' � ' 1 ´� � + ´|¼|� ' 34

� ln©| ' )|� ' 34« ' 2

� ln ©� ' 12 ')�� ' 12�� ' 34« ' 2.

110

$14. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 14.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỀU KIỆN TỒN TẠI

Bài toán diện tích hình thang cong: Giả sử ���� liên tục trên $/, Z& và ���� @ 0, �� � $/, Z&. Gọi S là hình phẳng được giới hạn bởi: Đồ thị hàm � � ����; hai đường thẳng đứng � � /, � � Z; trục hoành. S được minh họa bởi hình sau đây.

Hãy xác định diện tích của hình S? Để tính diện tích hình S, ta chia đoạn $/, Z& thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các điểm chia �Þ: / � �? O �= O �� O X O �W � Z Tại mỗi �Þ �, � 1, 2, . . , Q ! 1�, ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục x. Khi đó S bị chia thành n hình thang cong nhỏ hơn, hình thứ i là Si với chiều cao là �Þ.= ! �Þ và các cạnh song song với trục y.

Trong mỗi đoạn $�Þ.=; �Þ& ta lấy điểm �ÞÄ một cách tùy ý.

Diện tích Si xấp xỉ bằng diện tích hình chữ nhật với đáy �Þ ! �Þ.= và chiều cao là ���ÞÄ�, tức là xấp xỉ bằng ���ÞÄ���Þ.= ! �Þ�. Đặt ∆�Þ � �Þ ! �Þ.=, ta được Si ���ÞÄ� · ∆�Þ. Nên: Diện tích của hình S xấp xỉ bằng

ù ���ÞÄ� · ∆�ÞW

Þ�=

Việc xấp xỉ trên càng tốt nếu n càng lớn đồng thời làm cho ∆�Þ càng gần 0. Trên cơ sở đó, người ta đưa ra định nghĩa sau về diện tích của hình S:

111

“Khi n � '∞ sao cho max∆�= � >, nếu tổng

ù ì��=Ä� · ∆�=?=�@

tiến dần tới số A, thì A được gọi là diện tích của hình S.” Trong một số tình huống khác, như: tính độ dài của quãng đường đi của một vật, tính công của một lực,…, người ta cũng thấy xuất hiện giới hạn kiểu như trên. Từ đó nảy sinh nhu cầu đặt tên cho kết quả của kiểu giới hạn nói trên và ký hiệu cho nó.

1. Định nghĩa Cho hàm số � � ���� xác định trên $/, Z&. Ta chia đoạn $/, Z& thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các điểm chia tùy ý �Þ: / � �? O �= O �� O X O �W � Z. Đặt ∆�Þ � �Þ ! �Þ.=, lấy tùy ý �ÞÄ � $�Þ.=; �Þ&, lập tổng

ù ���ÞÄ� · ∆�ÞW

Þ�=

Khi số điểm chia tăng lên vô hạn, tức là Q � '∞, sao cho max∆�Þ � 0: Nếu

ù ���ÞÄ� · ∆�ÞW

Þ�=

có giới hạn hữu hạn là I , thì ta nói ���� là hàm khả tích trên $/, Z& và số I được gọi là tích phân xác định của hàm ���� trên $/, Z&. Ký hiệu: + ����´�¹

+

/: được gọi là cận dưới, Z: được gọi là cận trên, ∑ ���ÞÄ� · ∆�ÞWÞ�= : được gọi là tổng tích phân của hàm ���� trên $/, Z&. Một số trường hợp riêng

• Z O /, ta hiểu * ����´�¹+ à !* ����´�+¹ .

• Z � /, ta hiểu * ����´�++ � 0.

Nhận xét

• * ����´�¹+ ∑ ���ÞÄ� · ∆�ÞWÞ�=

• Giá trị của tích phân xác định là một con số, không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, nên: + ����´�¹+ � + ��|�´|¹

+ � + ��R�´R¹+ � X

2. Điều kiện khả tích Từ định nghĩa trên, ta thấy việc xác định xem hàm có khả tích hay không theo định nghĩa là rất rắc rối, bởi cứ theo định nghĩa thì giới hạn của tổng tích phân không được phép phụ thuộc vào cách chia đoạn $/, Z& và cách chọn các số �ÞÄ! Do đó, người ta tìm một số điều kiện mà cứ thỏa mãn thì hàm sẽ khả tích.

112

Định lý (điều kiện đủ) Hàm � � ���� khả tích trên $/, Z& nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

+ Liên tục trên $/, Z&; + Đơn điệu và bị chặn trên $/, Z&; + Bị chặn và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong $/, Z&.

Ngược lại, hàm khả tích trên $/, Z& thì có đặc điểm gì? Định lý sau cho ta biết.

Định lý(điều kiện cần) Hàm � � ���� khả tích trên $/, Z& thì nó bị chặn trên đoạn đó.

VÍ DỤ 1 Tính + ½E´�r= .

Giải Do f(x) = ex liên tục trên [1; 3] nên nó khả tích trên đó.

Ta chọn phép chia đoạn [1; 3] ra n phần đều nhau ∆xi = xi - xi-1 = r.=W � �W.

Khi đó x0 = 1, x1 = 1+ 2/n, x2 = 1 + 4/n, x3 = 1 + 6/n,…, xi = 1+ �ÞW ,…, xn = 3.

Trong mỗi [xi - 1, xi] ta lấy �ÄÞ= xi-1.

+ ½E´�r= � lim£+E∆E�? ù ���ÞÄ�∆�Þ

WÞ�= � limW�,� ù ½=,��Þ.=�W 2Q

W�= � limW�,�

2½Q ù ½��Þ.=�W WÞ�=� limW�,�

2½�½� ! 1�Q�½�W ! 1� � limW�,�

½�½� ! 1��½�W ! 1�2Q

� ½r ! ½

Bình luận Nếu ta chưa biết tích phân trên có tồn tại hay không, thì ta cần phải chứng minh rằng e3

– e không phụ thuộc vào các phép phân chia của [1; 3] và các cách chọn �ÄÞ∈[xi-1; xi]. Rất rắc rối!

14.2 TÍNH CHẤT Các hàm dưới đây đều được giả thiết là khả tích trên từng đoạn đang xét • Tính chất tuyến tính: Với k, l là các số thực, ta có

+ �A · ì��� ' B · C����D��í � A ·+ ì���D��

í ' B · + C����í D�

• Với giá trị bất kỳ [ � �/, Z�, ta có

+ ì���D��í � + ì���D�E

í '+ ì���D��E

Minh họa hình học

113

• Các tính chất so sánh (Tính bảo toàn thứ tự):

+ Nếu ���� F 0 với mọi � � $/, Z&, thì + ����´�¹+ F 0.

+ Nếu ���� F D��� với mọi � � $/, Z&, thì + ����´�¹+ F + D���´�¹

+ . + Nếu V # ���� # �với mọi � � $/, Z&, thì

V�Z ! /� # + ����´�¹+ # ��Z ! /�

Minh họa hình học

Dùng tính chất so sánh ở trên, ta có thể ước đoán được giá trị của tích phân.

VÍ DỤ 2 Dùng tính chất so sánh thứ ba để ước đoán giá trị * ½.E:´�=? . Giải

Bởi vì ���� � ½.E: là hàm giảm trên đoạn [0; 1] nên giá trị nhỏ nhất

của hàm số là V � ��1� � ½.= và giá trị lớn nhất là � � ��0� � 1. Từ đó, ta có ½.=�1 ! 0� # * ½.E:´�=? # 1�1 ! 0�

Hay tương đương ½.= # * ½.E:´�=? # 1

Vì ½.= 0,3679 nên ta được 0,367 # * ½.E:´�=? # 1. Minh họa hình học cho ví dụ trên

• Về giá trị trung bình của tích phân: Nếu � � ���� liên tục trên $/, Z&, thì tồn tại số [ � �/, Z� sao cho + ����´�¹

+ � ��[��Z ! /� Giá trị =¹.+ * ����´�¹+ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên $/, Z&.

114

14.3 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN 1. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm-Công thức: Newton-Leibnitz Hàm � � ��|� khả tích trên $/, Z&, thì ��|� cũng khả tích trên $/, �&. Như thế, với mỗi � cho trước thuộc $/, Z& thì ta tìm được duy nhất một số ���� à + ��|�´|E

+

Do đó, ta được một hàm số. Định lý sau cho thấy ���� là một nguyên hàm của ����.

Định lý Nếu ��|� là một hàm liên tục trên $/, Z&, thì tích phân ���� à + ��|�´|E

+

là một nguyên hàm của ���� trên $/, Z&. Hệ quả • Hàm ��|� là một hàm liên tục trên $/, Z&, thì có nguyên hàm trên khoảng đó.

• Nếu hàm ���� liên tục trên $/, Z& và Φ��� là một nguyên hàm nào đó của nó trên $/, Z&, thì

+ ì���D��í � G��� !G�í�

(Công thức Newton-Leibniz) Chú ý khi sử dụng công thức Newton-Leibniz:

Nếu hàm f hoặc nguyên hàm Φ�x� gián đoạn tại c � $a, b& thì ta chia đoạn $a, b& thành hai đoạn con $a, c& và $c, b& rồi áp dụng riêng rẽ cho từng đoạn.

VÍ DỤ 3 Cho ���� � � � khi 0 # � # 2�� khi 2 O � # 3S Tính * ����´�r? . Giải

+ ����´�r? � + �´��

?'+ ��´�r

�� S��2 H?

� ' S�r3 H�r � 253 .

Bình luận: Từ công thức Newton-Leibniz và tính chất tuyến tính của tích phân ta thấy một cách để tính tích phân là “phân rã hàm dưới dấu tích phân thành các hàm đã có nguyên hàm trong bảng

nguyên hàm sau đó dùng công thức Newton-Leibniz”

2. Phương pháp đổi biến số Phương pháp này có cơ sở lý thuyết là định lý sau đây.

Định lý Cho � � ���� là hàm liên tục trên $/, Z&. Giả sử phép đổi biến số � � R�|� thỏa mãn các điều kiện sau: (i) tồn tại ², Ï sao cho R�²� � /, R�Ï� � Z; (ii) Rç��� liên tục tại các điểm nằm giữa ² và Ï; (iii) R�|� � $/, Z&, �| � $², Ï& (hoặc $Ï, ²&) thì + ����´�¹

+ � + ��R�|��RÒ�|�´|б

115

VÍ DỤ 4 Tính * ��√5 ! ��´�√8? . Giải

Đặt � � √5 sin |. Ta có � � 0 khi | � 0 ; � � √5 khi | � B� ; ´� � √5 cos | ´|.

√5 cos | là hàm liên tục trên w0; B�x và với mọi | � w0; B�x thì √5 sin | � $0; √5& Do đó

+ ��t5 ! ��´�√8? � + 5 sin� | t5 ! sin� |B�

? √5 cos | ´| � 25+ sin� |B�? cos� | ´| � 25�16 .

VÍ DỤ 5 Chứng minh rằng:

• Nếu ���� là hàm liên tục trên $!/, /& và ���� là hàm lẻ, thì + ����´�+.+ � 0;

• Nếu ���� là hàm liên tục trên $!/, /& và ���� là hàm chẵn, thì * ����´�+.+ � 2* ����´�+?

Giải

� � + ����´�+.+ � + ����´�?

.+ '+ ����´�+?

Đặt �= � * ����´�?.+ ; �� � * ����´�+? . Xét �= � * ����´�?.+ , đặt | � !�.

• Nếu f là hàm lẻ, thì ���� � ��!|� � !��|� nên ta có

�= � +�!��|��?+

�!´|� � +��|�´|?+

� !+ ��|�´|+?

Vậy � � 0.

• Nếu f là hàm chẵn , thì ���� � ��!|� � ��|� nên ta có

�= � +���|��?+

�!´|� � !+ ��|�´|?+

� + ��|�´|+?

Vậy � � 2��.

VÍ DỤ 6 Tính

� � + ´��5E ' 1�√1 ! ��√r�

.√r�

Giải Đặt � � !|, ta được

� � + !´|�5.} ' 1�√1 ! |�.√r�

√r� � + 5}´|�5} ' 1�√1 ! |�√r�

.√r� � + 5E´��5E ' 1�√1 ! ��√r�

.√r�

Nên 2� � * oE�8Â,=�√=.E:√u:.√u: ' * 8ÂoE�8Â,=�√=.E:

√u:.√u: � * oE√=.E:√u:.√u: � Sarcsin �|.√u:

√u: � Br ! ;! Br< � �Br .

Vậy � � Br.

116

VÍ DỤ 7 Tính + 1 ' ��1 ' ��=

=/� ´�

Giải � � * =,E:=,Eö=: ´� � * Â:,=

Â:,E:=: ´� � * ;.Â,E<å

;E.Â<:,�=

: ´�

Đặt | � � ! =E. Ta được � � =� thì | � ! r�, � � 1 thì | � 0 và ´| � ;! =E ' �<Ò ´�

Nên � � * o}}:,�?.u: � S =√� arctan E√��.u:? � =√� arctan �.r��√� .

3. Công thức tích phân từng phần Giả sử R���, Ù��� là hai hàm khả vi trên $/, Z& và các đạo hàm Rç���, Ùç��� liên tục trên $/, Z&. Ta có

+ IDJ�í � S�IJ�|í� !+ JDI�

í

Đây là công thức tích phân từng phần của tích phân xác định. VÍ DỤ 8 Tính

+ �arctan�´�√r? .

Giải

+ ���2 � çarctan�´�√r? � + arctan�´√r

? ���2 � � S���2 �arctan �H?√r ! + ��2 11 ' �� ´√r

? �� 32 �3 ! 12+ �1 ! 11 ' ���´�√r

? � �2 ! S�� ! arctan��|?√r � �2 ! �3 � �6.

117

$15. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC

Như đã biết, để định nghĩa tích phân của hàm ���� trên đoạn [a, b], ta thực hiện việc chia đoạn này thành một số hữu hạn đoạn con $�Þ.=, �Þ& sau đó lập tổng tích phân:

ù ���ÞÄ� · ∆�ÞW

Þ�=

và lấy giới hạn của tổng tích phân. Quá trình trên sẽ không thực hiện được khi ta rơi vào một trong hai trường hợp sau:

• Khoảng [a, b] dài vô hạn! Không thể xác định được độ dài của đoạn cuối cùng trong khi chia, nên tổng trên vô nghĩa.

• Hàm ���� không bị chặn trên [a, b]! Vì khi đó hàm không khả tích (theo điều kiện cần để khả tích).

Bài này trình bày về khái niệm tích phân suy rộng, là khái niệm mở rộng của tích phân khi gặp hai trường hợp trên. Ứng dụng rất quan trọng của tích phân suy rộng được thấy trong xác suất. 15.1 TÍCH PHÂN VỚI CẬN VÔ HẠN 1. Khái niệm

Xét phần hình phẳng S vô hạn: nằm phía dưới đường � � =E:, phía trên trục x và bên phải của đường

x = 1. Hình S được minh họa dưới đây.

Ta có cảm giác rằng, diện tích của S là vô hạn. Hãy quan tâm hơn về vấn đề này. Ta có phần của S nằm về phía trái của đường � � | (phần in đậm), có diện tích là:

g�|� � + 1��}

=´� � 1 ! 1|.

Để ý rằng: g�|� O 1, �| @ 0. Hơn nữa lim}�,� g�|� � 1 Diện tích của phần in đậm tiến đến 1 khi | � '∞ nên ta nói diện tích của hình phẳng vô hạn S

bằng 1 và viết

+ 1��,�=

´� � lim}�,�+ 1��}

=´� � lim}�,� k1 ! 1|l � 1.

Từ sự gợi ý của tình huống này, ta đưa ra khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn của một hàm nào đó.

ĐỊNH NGHĨA

118

Giả sử hàm � � ���� xác định trong khoảng $/,'∞� và khả tích trên một khoảng con hữu hạn bất kỳ $/, |&. Đặt ��|� à * ����}+ ´�

và ký hiệu * ����,�+ ´� à lim}�,���|�

+ Nếu lim}�,���|� � � là số hữu hạn, thì ta nói “I là tích phân suy rộng của hàm ���� trên $/, '∞�”

và “tích phân * ����,�+ ´� hội tụ”

+ Trong trường hợp lim}�,���|� không tồn tại hoặc là vô cực, thì ta nói “tích phân * ����,�+ ´� phân

kỳ”.

Một cách tương tự, ta định nghĩa * ����´�¹.� � lim}�.� * ����´�¹}

Với a là một số nào đó và cả hai tích phân * ����´�+.� , * ����,�+ ´� đều hội tụ, thì ta định nghĩa * ����´�,�.� à * ����´�+.� ' * ����,�+ ´�

Từ định nghĩa trên ta nói diện tích của hình phẳng vô hạn � � ���, ��|� F /, 0 # � # ����� (như hình vẽ dưới đây) bằng * ����,�+ ´�.

VÍ DỤ 1 Tích phân sau hội tụ hay phân kỳ + 1�,�

= ´�

Giải Theo định nghĩa, ta có + 1�,�

= ´� � lim}�,�+ 1�}= ´� � lim}�,� ln|�|=} � lim}�,��ln | ! ln1� � '∞.

Vậy tích phân + 1�,�= ´�

phân kỳ. Minh họa hình học

119

Ta nhận thấy rằng, về mặt hình học thì cả hai đường � � =E và � � =E: là tương tự nhau khi x > 1, tuy

nhiên diện tích phía dưới đường � � =E: bằng 1 còn diện tích phía dưới đường � � =E (phần in đậm

ở hình trên) là vô hạn. Cả hai đường nói trên đều tiến về y = 0 thế nhưng =E: tiến với tốc độ nhanh

hơn. Hàm =E giảm không đủ nhanh nên tích phân * =E,�= ´� vẫn phân kỳ.

VÍ DỤ 2 Hãy tìm giá trị của p để tích phân sau hội tụ + 1�ô,�

= ´�

Giải + p = 1, theo ví dụ trên thì tích phân phân kỳ. + p ≠ 1, ta được

+ 1�ô,�

= ´� � lim}�,�+ �ô}= ´� � lim}�,� S �.ô,=!� ' 1H=

} � lim}�,�11 ! � k 1�ô.= ! 1l.

Từ đó, ta có: p - 1 > 0 thì giới hạn trên tồn tại và p – 1 < 0 thì giới hạn trên không tồn tại. Tóm lại:

+ p > 1, thì tích phân * =E;,�= ´� � =ô.=. + p ≤ 1, thì tích phân * =E;,�= ´� phân kỳ.

Lưu ý: Kêt quả ở ví dụ 2 là quan trọng, sau này ta dùng mà không phải chứng minh lại. VÍ DỤ 3 Tính + �½E?

.� ´�. Giải + �½E?

.� ´� � lim}�.�+ �½E?} ´� � lim}�.�S��½E ! ½E�|Í? � lim}�.��!1 ! |½} ' ½}� � !1.

VÍ DỤ 4 Tìm hằng số k biết rằng + d1 ' ��,�

.� ´� � 1. Giải

Ta có * �=,E:,�.� ´� � * �=,E:?.� ´� ' * �=,E:,�? ´�

+ Xét * �=,E:?.� ´�. Theo định nghĩa, ta có + d1 ' ��

?.� ´� � lim}�.�+ d1 ' ��

?} ´� � lim}�.�S�dacrtan��|Í? � lim}�.� d�acrtan0 ! acrtan|� � d�2 .

+ Xét * �=,E:,�? ´�. Theo định nghĩa, ta có + d1 ' ��

,�? ´� � lim}�,�+ d1 ' ��

}? ´� � lim}�,� dS�acrtan��|?Í � lim}�,� d�acrtan | ! acrtan0� � d�2 .

Vậy * �=,E:,�.� ´� � d�

Nên

d � 1�

120

2. Dấu hiệu so sánh Cứ theo định nghĩa, ta phải tìm được tích phân thì biết nó có hội tụ hay không. Đôi khi việc tìm gặp khó khăn nhưng ta vẫn cần phải biết nó có hội tụ hay không. Trong những trường hợp như thế, Định lý sau tỏ ra là rất hữu ích.

Định lý: Giả sử � và D là các hàm không âm và bắt đầu từ một lúc nào đó trở đi, chẳng hạn với A nào đó thỏa mãn A > a, ta có 0 # ���� # D���, �� @ g. Khi đó

i) Nếu * D���,�+ ´� hội tụ, thì * ����,�+ ´� hội tụ;

ii) Nếu * ����,�+ ´� phân kỳ, thì * D���,�+ ´� phân kỳ.

Minh họa hình học

VÍ DỤ 5 Xét sự hội tụ của tích phân sau:

+ 1���1 ' ½E�,�=

´�; + � ' 1√�r,�=

´�

Giải

+ Với x F 1, ta có =E:�=,KÂ� O =E:, mặt khác * =E:,�= ´� hội tụ. Vậy * =E:�=,KÂ�,�= ´� hội tụ.

+ Với x F 1, ta có E,=√Eu F EE√E � =√E, mặt khác * =√E,�= ´� phân kỳ. Vậy * E,=√Eu,�= ´� phân kỳ.

VÍ DỤ 6

Chứng minh rằng * ½.E:,�= ´� hội tụ.

Giải Trước hết, ta có

+ ½.E,�=

´� � lim}�,�+ ½.E}= ´� � lim}�,�S�!eE�|=Í � lim}�,��!e} ' e.=� � e.=.

Mặt khác: Với mọi x > 1 , ta có � O �� s !�� O !� s ½.E: O ½.E

Nên * ½.E:,�= ´� hội tụ.

Minh họa hình học

121

15.2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN 1. Khái niệm Giả sử rằng hàm � � ���� là hàm dương và liên tục trên khoảng hữu hạn [a, b) nhưng có tiệm cận đứng là x = b. Gọi S là hình phẳng vô hạn nằm ở: Trên trục x, dưới đồ thị của hàm � � ����, giữa hai đường � � /, � � Z. Như hình vẽ

Gọi A(t) là diện tích của hình in đậm, ta có: g�|� � * ����´�}+

Nếu g�|� có giới hạn hữu hạn khi | � Z., thì giới hạn đó được gọi là diện tích của hình S. Ta viết + ����´�¹+ � lim}�¹¯ + ����´�}

+

Ta dùng sự gợi ý từ trên để đưa ra khái niệm tích phân cho hàm không bị chặn.

ĐỊNH NGHĨA Giả sử ���� là một hàm xác định trên $/, Z�, khả tích trên $/, |&, �| O Z và không bị

chặn tại lân cận của b. Đặt ��|� � * ����´�}+

Nếu tồn tại lim}�¹¯��|� � � thì ta gọi I là tích phân suy rộng của hàm f trên [a, b] và ký hiệu như

thông thường

� � + ����´�¹+

Trong trường hợp này, ta nói tích phân * ����´�¹+ hội tụ. Trong trường hợp lim}�¹¯��|� không tồn tại

hoặc là vô cực thì ta nói tích phân * ����´�¹+ phân kỳ.

Một cách tương tự, nếu hàm ���� xác định trên (a, b], khả tích trên $|, Z&, �| @ / và không bị chặn tại lân cận của a. Ta định nghĩa + ����´�¹

+ à lim}�+ª + ����´�¹}

Nếu ���� không bị chặn ở lân cận của điểm c trong đoạn [a, b], thì ta có định nghĩa + ����´�¹+ à + ����´�ß

+ '+ ����´�¹ß

Tích phân ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân bên vế phải hội tụ. VÍ DỤ 7 Tìm + 1√� ! 2 ´�8

� . Giải Theo định nghĩa, + 1√� ! 2 ´�8

� � lim}��ª + 1√� ! 2 ´�8} � lim}��ª�2√� ! 2 S�|}8 � lim}��ª2�√3 ! √| ! 2� � 2√3.

122

VÍ DỤ 8 Tìm tích phân sau * =E.= ´�r? . Giải Ta có: Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn tại lân cận của 1 nên ta viết + 1� ! 1 ´�r

? � + 1� ! 1 ´�=? '+ 1� ! 1 ´�r

= . + Xét tích phân * =E.= ´�=? .

Theo định nghĩa, thì + 1� ! 1 ´�=? � lim}�=¯ + 1� ! 1 ´�}

? � lim}�=¯ Sln|� ! 1||?} � lim}�=¯�ln�1 ! |� ! LQ 1� � !∞. + Vậy tích phân đã cho không hội tụ.

VÍ DỤ 9 Tìm * ln � ´�=? . Giải + Ta có hàm � � ln � có giới hạn là - ∞, khi x tiến đến 0 +. Do đó, tích phân đã cho là tích phân suy rộng. + + ln � ´�=

? � lim}�?ª + ln � ´�=} � lim}�?ª� �ln � ! �S�|}= � lim}�?ª�!1 ! |ln | ' |� � !1.

+ Vậy: + ln � ´�=? � !1.

VÍ DỤ 10 Tìm * =√=.Eu ´��? . Giải + 1√1 ! �u ´��

? � + 1√1 ! �u ´�=? ' + 1√1 ! �u ´��

=

+ * =√=.Eu ´�=? � lim}�=¯ * =√=.Eu ´�}? � lim}�=¯ S;! r� t�1 ! ���u <�?} � r�. + + 1√1 ! �u ´��

= � lim}�=ª + 1√1 ! �u ´��= � lim}�=ª Sk! 32 t�1 ! ���u l�}� � ! 32.

Vậy, tích phân đã cho hội tụ và + 1√1 ! �u ´��? � 0.

2. Dấu hiệu so sánh Tương tự như tích phân suy rộng với cận vô hạn ta có dấu hiệu so sánh được phát biểu trong Định lý sau

Định lý Giả sử ���� và D��� là hai hàm không âm và trên khoảng [a, b) ta luôn có ���� # D��� Khi đó

i) Nếu * D���´�¹+ hội tụ, thì * ����´�¹+ hội tụ;

ii) Nếu * ����´�¹+ phân kỳ, thì * D���´�¹+ phân kỳ.

123

15.3 VÀI VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ Tìm các hàm trong kinh tế từ các hàm cận biên Một cách tổng quát, ta có ���� � +�����´�

VÍ DỤ 1 Tìm hàm cầu từ hàm doanh thu cận biên Giả sử hàm giá trị cận biên của doanh thu theo sản lượng của một loại sản phẩm là ���_� � 10 000 ! _� Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này? Giải

+ Hàm doanh thu là ��_� � *�10 000 ! _��´_ � 10 000_ ! ^ur ' 2

+ Khi chưa bán hàng, thì doanh thu bằng 0, tức là ta có: ��0� � 0 Nên 2 � 0. + Vậy, hàm doanh thu là ��_� � 10 000_ ! ^ur . Vì ��_� � �_ nên hàm cầu là

� � 10 000 ! _�3

VÍ DỤ 2 Tìm hàm chi phí từ hàm chi phí cận biên Giả sử hàm chi phí cận biên theo sản lượng là �2�_� � _ ' 1000 và chi phí cố định là 10 000. Hãy xác định hàm chi phí? Giải + Ta có

2�_� � +�2�_�´_ � _�2 ' 1000_ ' 2?. Trong đó C0 là hằng số. + Khi chưa sản xuất, thì chỉ có chi phí cố định nên 2�0� � 10 000 Tức là C0 = 10 000. + Vậy hàm chi phí là: M�_� � _�2 ' 1000_ ' 10 000. VÍ DỤ 3 Cho hàm lợi nhuận cận biên theo sản lượng là ���_� � !5_ ' 500 Biết rằng nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13 500 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận ��_�? Giải

+ ��_� � *���_� ´_ � ! 8^:� ' 500_ ' 2. + ��50� � !13 500 nên 2 � !32 250. + Vậy ��_� � ! 8^:� ' 500_ ! 32 250.

124

$16. TÍCH PHÂN HAI LỚP

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC Tích phân hai lớp được trình bày ở đây nhằm chuẩn bị kiến thức cho việc học môn Xác suất- Thống kê và một số môn học khác có liên quan.

16.1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN HAI

1. Bài toán thể tích vật thể

Xét hàm số hai biến � xác định trên một hình chữ nhật đóng � � ���, �� � ��|/ # � # Z, [ # � # ´�. Giả sử rằng ���, �� @ 0. Đồ thị của � là một mặt với phương trình § � ���, ��. Đặt S là vật thể hình trụ nằm phía trên R và phía dưới đồ thị của f, tức là: � � ���, �, §� � �r|0 # § # ���, ��, ��, �� � �� S được minh họa bởi hình dưới đây.

Mục đích của ta là: Tìm thể tích của S.

Trước tiên, ta chia R thành các hình chữ nhật con bằng cách: Chia đoạn $/, Z& thành n khoảng con $�Þ.=; �Þ& với độ rộng bằng nhau và bằng ∆� � �Z ! /�/Q; chia đoạn $[, ´& thành m đoạn con $�/.=; �/& với độ rộng bằng nhau

và bằng ∆� � �´ ! [�/V; vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ từ mỗi điểm chia, như hình dưới đây.

ta chia R thành các hình chữ nhật con �Þ/ � $�Þ.=; �Þ&O P�/.=; �/Q

mỗi hình có diện tích là ∆g � ∆�∆�. Trong mỗi hình chữ nhật con �Þ/ ta lấy một

điểm tùy ý �Þ/Ä . Ta thấy, phần thể tích của S

nằm phía trên �Þ/ xấp xỉ bằng thể tích của hình hộp

chữ nhật với đáy là �Þ/ và chiều cao là ���Þ/Ä �, thể tích

của hình hộp chữ nhật ấy bằng ���Þ/Ä �∆g

125

Từ đó, thể tích của S xấp xỉ bằng

ù ù ���Þ/Ä �∆g£/�=

W�=

Cách xây dựng và trực giác của ta cho thấy, việc xấp xỉ thể tích của S bởi tổng nói trên càng tốt hơn khi n và m càng lớn. Đó là lý do ta đưa ra khái niệm thể tích của S như sau

R � lim£,W�,� ù ù ���Þ/Ä �∆g£/�=

W�=

Giới hạn như trên xuất hiện khá thường xuyên, không chỉ trong việc tìm thể tích mà còn trong lĩnh vực vật lý, trong xác suất,.. và hàm f không nhất thiết phải dương. Đó là lý do người ta nghiên cứu về kiểu giới hạn trên và đặt cho kết quả của giới hạn một cái tên: Tích phân hai lớp. 2. Khái niệm tích phân hai lớp a) Trên hình chữ nhật Cho § � ���, �� xác định trên một hình chữ nhật đóng � � ���, �� � ��|/ # � # Z, [ # � # ´�. Làm tương tự như trong phần trên: Chia thành các hình chữ nhật nhỏ, trong mỗi hình chữ nhật nhỏ chọn một điểm tùy ý, lập tổng.

ĐỊNH NGHĨA Nếu tồn tại giới hạn lim£,W�,� ∑ ∑ ���Þ/Ä �∆g£/�=WÞ�= , thì ta gọi nó là tích phân hai

lớp của hàm f trên R. Ký hiệu

S ���, ��´�´�T hoặc ++ ���, ��´�´�oß

¹+

. Khi đó hàm f được gọi là khả tích trên R.

Chú ý: Giới hạn trên nghĩa là: Với m, n đủ lớn thì

S ���, ��´�´�T ù ù ���Þ/Ä �∆g£/�=

W�=

b) Trên một miền bị chặn Phần này ta đưa ra khái niệm tích phân của hàm hai biến trên một miền D, tổng quát hơn so với hình chữ nhật, như được minh họa ở hình dưới đây

126

Ta giả sử rằng D là một miền bị chặn, nghĩa là D nằm hoàn toàn trong một hình chữ nhật đóng R. Khi đó, từ § � ���, �� ta xây dựng hàm ���, �� như sau ���, �� � ¾���, �� nếu ��, �� � �0 nếu ��, �� � �\� �Ä�S Như vậy, ���, �� xác định trên R.

Từ đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích phân hai lớp của f trên D như sau:

S ���, ��´�´�ú

� S���, ��´�´�T , với � được xác định bởi�Ä�. Chú ý: Từ định nghĩa suy ra V ´�´�ú � diện tích của miền D.

3) Điều kiện khả tích Tương tự như phần tích phân hàm một biến, người ta chứng minh được các định lý sau.

Định lý 1 (Điều kiện cần) Hàm ���, ��khả tích trên D, thì bị chặn trên D.

Định lý 2 (Điều kiện đủ) Hàm ���, �� liên tục trên miền đóng, bị chặn D, thì khả tích trên đó.

Nhận xét: Hàm đa thức khả tích trên mọi miền đóng và bị chặn. II. TÍNH CHẤT 1) Tính chất tuyến tính Giả sử �, D là hai hàm khả tích trên D. Ta có

S�/ · ���, �� ' Z · D��, ���´�´�ú

� / · S ���, ��´�´�ú

' Z ·SD��, ��´�´�ú

trong đó a, b là hai hằng số.

127

2) Nếu W@,WX là hai miền không giao nhau, thì

S ���, ��´�´�ú¨Hú:

� S���, ��´�´�ú¨

'S ���, ��´�´�ú:

III CÁCH TÍNH 1) Trường hợp miền là hình chữ nhật Phương pháp là chuyển về tích phân lặp, cơ sở lý thuyết là nội dung của định lý sau đây. Định lý Fubini Giả sử ���, �� khả tích trên miền chữ nhật � � $/, Z& O $[, ´&.

• Nếu mỗi � � $/, Z& cố định đều tồn tại tích phân theo biến y

���� � + ���, ��´�oß ,

thì khi đó tồn tại tích phân + ����´�¹+ y + �+ ���, ��´�o

ß �´�¹+ y + ´�¹

+ + ���, ��´�oß

(được gọi là tích phân lặp)

và ta có V ���, ��´�´�T � * ´�¹+ * ���, ��´�oß

• Tương tự, nếu với mỗi � � $[, ´& cố định đều tồn tại tích phân theo biến x Y��� � + ���, ��´�¹+ ,

thì khi đó tồn tại tích phân + Y���´�oß y + �+ ���, ��´�¹

+ �´�oß y + ´�o

ß + ���, ��´�¹+

(được gọi là tích phân lặp), và ta có

S ���, ��´�´�T � + ´�oß + ���, ��´�¹

+

Hệ quả Nếu ���, �� liên tục trên � � $/, Z& O $[, ´&, thì ta có:

S���, ��´�´�T � + ´�¹+ + ���, ��´�o

ß � + ´�oß + ���, ��´�¹

+ . VÍ DỤ 1 Tính mỗi tích phân sau

a) * * ���´�´��=r?

b) V �sin ����´�´�, � � $1, 2&O $0, �&T .

c) Tính thể tích vật thể hình trụ: nằm trên � � $0, 2&O $0,2&, nằm dưới mặt § � 16 ! �� ! 2��. Được minh họa trong hình sau

128

Giải a)

+ + ���´�´��=

r? � + ´�r

? + ���´��= � + ZS�� ��2 H=

�[´�r?

� + 32 ��´�r? � 32 S�r3 H?

r � 272 . b) � � $1, 2&O $0, �& S�sin ����´�´�T � +´�+ �sin ����´�B

?�

=� + ´�+�sin ����´��

=B

?� +�S! cos ��|=��´�B

?

� +�cos � ! cos 2��´�B?

� Sksin � ! 12 sin 2�l�?B � 0. c) Thể tích cần tìm là

R � + + �16 ! �� ! 2���´�´��?

�? � + ©+�16 ! �� ! 2���´��

?« ´��

?

� + Z S16� ! �r3 ! 2���H?�[´��

? � + k883 ! 4��l ´��?

� S�883 � ! 4�r3 �H?� � 48.

2) Trường hợp miền là hình chữ nhật cong a) Hình chữ nhật cong dạng I, là hình có một trong các dạng sau

129

Định lý 3 Nếu � liên tục trên miền hình chữ nhật cong thuộc một trong các dạng trên: � � ���, ��|/ # � # Z, D=��� # � # D�����, thì S���, ��´�´�ú

� + ´�¹+ + ���, ��º:�E�

º¨�E� ´�.

VÍ DỤ 2 Tính tích phân sau S �� ' 2��´�´�ú

trong đó D là miền hình phẳng được giới hạn bởi hai đường � � 2��, � � 1 ' ��. Giải + Vẽ miền D:

+ Ta có

S �� ' 2��´�´�ú � + ´�=.= + �� ' 2��=,E:

�E: ´� � + S��� ' ���|ý��E:ý�=,E:´�=.=

� + �!3�� ! �r ' 2�� ' � ' 1�´�=.=

� 3215.

b) Hình chữ nhật cong dạng II, là hình có một trong các dạng sau

tức là � � ���, ��|(=��� # � # (����, [ # � # ´�.

Định lý 4 Nếu � liên tục trên miền hình chữ nhật cong: � � ���, ��|(=��� # � # (����, [ # � # ´� thì

S ���, ��´�´�ú

� + ´�oß + ���, ��-:�ý�

-¨�ý� ´�.

130

VÍ DỤ 3 Tính tích phân sau V ��´�´�ú

trong đó D là miền hình phẳng được giới hạn bởi ba đường � � 2��, � � 2� ' 4, � � 0. Giải + Vẽ hình D. + Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm � � 2��, � � 2� ' 4 là nghiệm của hệ 2�� � 2� ' 4 Giải phương trình ta được x = - 1; x = 2.

+ Khi x ≤ 0, ta có � � 2�� s � � !¼ý� ; � � 2� ' 4 s � � ý.�� ; � � !1 |(ì � � 2

Ta được V ��´�´�ú � * ´� * ��´��¯ö:.¼�:�? � * Z SýE:� �E�.¼�:

E��¯ö: [´��?

� +12 � ��� ! 8� ' 164 ! ��2 �´��?

� 18+ ��!�� ! 8� ' 16�´��?

� 18+�!�r ! 8�� ' 16��´��?

� ! 18 S���4 ' 8�r3 ! 8���H?� � 13.

c) Các trường hợp còn lại: Tách miền lấy tích phân thành các hình chữ nhật cong ở trong hai trường hợp trên. VÍ DỤ 4 Tính tích phân sau bằng cách tách miền thành hai hình chữ nhật cong thuộc loại I

S ��´�´�ú

trong đó D là miền hình phẳng được giới hạn bởi hai đường � � � ! 1, �� � 2� ' 6. Giải + Vẽ miền D: + Ta tách miền D thành hai miền thuộc dạng I:

D1 = {� � !√2� ' 6; � � √2� ' 6; � � !1� và D2 = {� � √2� ' 6; � � � ! 1; � � !1�

Nên V ��´�´�ú � * ´�.=.r * ��´�√�E,\.√�E,\ ' * ´�8.= * ��´�√�E,\E.= . Sau khi tính toán, ta được kết quả V ��´�´�ú � 36. Chú ý: Trong ví dụ trên, miền D thuộc dạng II, thì tích phân đơn giản hơn

V ��´�´�ú � * ´��.� * ��´�ý,=�:: .r .

Tóm lại: Cách tính tích phân hai lớp theo các kết quả trên như sau

1) Vẽ miền lấy tích phân trên mặt phẳng tọa độ. 2) Xác định xem miền lấy tích phân thuộc dạng I, II hoặc là phải chia nhỏ miền lấy tích phân. 3) Áp dụng Định lý 3 hoặc Định lý 4 ( Cận: từ hằng số đến hằng số, sau đó là từ đường đến đường).

131

$17. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 17.1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương IV ta đã gặp bài toán sau đây: “Cho hàm giá trị cận biên của lợi nhuận theo sản lượng là ���_� � !5_ ' 500 �Ä�

và nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13 500 đơn vị tiền tệ. Tìm hàm lợi nhuận ��_�?”

Ta thấy: �Ä� chính là �Ò�_� � !5_ ' 500 �ÄÄ� +) �ÄÄ� là một phương trình có chứa đạo hàm của hàm ��_� và đối tượng cần tìm chính là hàm ��_�, ta nói đó là một phương trình vi phân. +) Trong phương trình cấp cao nhất của đạo hàm là 1nên được gọi là phương trình vi phân cấp 1.

+) Hàm số ��_� � ! 8� _� ' 500_ thỏa mãn �ÄÄ� được ta gọi là một nghiệm của �ÄÄ�.

+) Họ hàm số ��_� � ! 8� _� ' 500_ ' 2 với mỗi hằng số C cho trước đều là nghiệm của �ÄÄ�

được ta gọi là nghiệm tổng quát của �ÄÄ�. +) Với điều kiện ��50� � !13 500 ta tìm được 2 � !32 250 và nghiệm ��_� � ! 8� _� ' 500_ ! 32 250 được gọi là nghiệm riêng, điều kiện ��50� � !13 500 được gọi

là điều kiện ban đầu.

Một cách tổng quát, ta có các khái niệm sau đây:

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm(hoặc vi phân) của nó.

Chú ý Phương trình vi phân chỉ có một biến độc lập được gọi là phương trình vi phân thường, có từ hai biến độc lập trở nên thì được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong chương trình Toán I-II dành cho khối ngành kinh tế ta chỉ xem xét về phương trình vi phân thường và gọi tắt là phương trình vi phân. * Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình. * Mỗi hàm thỏa mãn phương trình vi phân thì được gọi là một nghiệm của nó. * Với phương trình vi phân cấp n, họ hàm số phụ thuộc vào các tham số [=, [�, … , [W và là nghiệm của phương trình vi phân được gọi là nghiệm tổng quát của nó. Lưu ý rằng, như theo định nghĩa, một nghiệm tổng quát chưa chắc đã bao quát tất cả các nghiệm của phương trình. Khi cho mỗi tham số nhận giá trị cụ thể, ta được một nghiệm gọi nó là nghiệm riêng. Nghiệm riêng thường được tìm từ điều kiện đã cho về hàm phải tìm, điều kiện này được gọi là điều kiện ban đầu.

Giả sử phương trình vi phân cấp n được cho bởi biểu thức ���, �Ò, �ÒÒ, … , ��W�� � 0 �1�

với biến độc lập là x, hàm cần tìm là y. Nghiệm của (1) được cho bởi \��, �, [=, [�, … , [W� � 0 (trong đó [=, [�, … , [W là các tham số) thì ta gọi \��, �, [=, [�, … , [W� � 0 là tích phân tổng quát của (1), đôi khi cũng gọi là nghiệm tổng quát. Khi cho mỗi tham số nhận giá trị cụ thể thì được một biểu thức, ta gọi là tích phân riêng của (1).

Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.

132

17.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

I. BÀI TOÁN CAUCHY

• Bài toán: Tìm nghiệm của phương trình vi phân ���, �, �Ò� � 0 thỏa mãn điều kiện cho trước ���?� � �?.

Được gọi là Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1.

• Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm:

Bài toán Cauchy: Tìm hàm y thỏa mãn

T�Ò � ���, �����?� � �? S

Nếu hàm số � và *ý liên tục trên một lân cận nào đó chứa ��?, �?�, thì bài toán có nghiệm duy

nhất.

II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CẤP I 1)Phương trình phân li biến số

ĐỊNH NGHĨA Là phương trình có dạng ����´� ' D���´� � 0 �1�

Tích phân tổng quát của (1) là: + ����´� '+D���´� � 2

với C là hằng số tùy ý.

VÍ DỤ 1 Giải phương trình vi phân sau 2��� ' 1 ´� ' 2��� ' 1 ´� � 0

Giải + Phương trình đã cho là phương trình biến số phân ly.

+ Tích phân hai vế, ta được: * �EE:,= ´� ' * �ýý:,= ´� � 2

Hay ln��� ' 1� ' ln��� ' 1� � 2. + Vậy nghiệm tổng quát (tích phân tổng quát) của phương trình đã cho: ��� ' 1���� ' 1� � ½0 . Dạng phương trình sau ����(���´� ' D���d���´� � 0 �2� được giải bằng cách đưa về dạng (1).

Cách giải: i) Nếu (���d��� ) 0, chia cả hai vế của (2) cho (���d���, ta được: ����d��� ´� ' D���(��� ´� � 0

đây là phương trình dạng (1). ii) Nếu (���d��� � 0, thì giải ra tìm x, y. Chẳng hạn � � /, � � Z. Lúc đó lần lượt xét các hàm số � y /, � y Z, thay trực tiếp vào phương trình (2) để xem có là nghiệm không.

133

VÍ DỤ 2 Giải phương trình vi phân sau

a) �t1 ! ��´� ' �√1 ! ��´� � 0

b) ýýÒ � ln�, với ��2� � 1.

Giải

(a) + Khi t1 ! ��√1 ! �� ) 0, chia cả hai vế cho t1 ! ��√1 ! ��, ta được �√1 ! �� ´� ' �t1 ! �� ´� � 0. Lấy tích phân hai vế: + �√1 ! �� ´� '+ �t1 ! �� ´� � 2

s ! 12 . 2t1 ! �� ! 12 . 2t1 ! �� � 2

s t1 ! �� ' t1 ! �� � !2 Vậy nghiệm tổng quát là t1 ! �� ' t1 ! �� � 2. + t1 ! ��√1 ! �� � 0, ta được � � !1; � � 1; � � !1; � � 1. Thay từng trường hợp vào phương trình đều thấy thỏa mãn. Mặt khác ta thấy mỗi nghiệm này đều thu được từ nghiệm tổng quát ở trên khi C = 0. Tóm lại: nghiệm tổng quát của phương trình là t1 ! �� ' t1 ! �� � 2. b) Phương trình

ýýÒ � ln� được viết lại thành ��´� � ln �

Hay là ´� � ln �� ´� s � � 12 �ln��� ' 2.

Thay điều kiện ��2� � 1 vào phương trình, ta được 2 � =� . 0 ' 2 s 2 � 2. Vậy nghiệm riêng cần tìm là: � � =� �ln ��� ' 2.

Phương trình dạng �Ò � ��/� ' Z�� Cách giải: Đặt R � /� ' Z�. Ta được RÒ��� � / ' Z�Ò � / ' Z��R�. Như vậy, ta được: RÒ � / ' Z��R� là phương trình biến số phân li.

VÍ DỤ 3 Giải phương trình vi phân sau �Ò � 2� ! � Giải + Đặt R � 2� ! �, ta được Rç � 2 ! �ç, tức là �Ò � 2 ! Rç. + Phương trình đã cho trở thành 2 ! RÒ � R

• u = 2 là một nghiệm, tức là: 2� ! � � 2 là một nghiệm của phương trình đã cho.

• u ≠ 2, phân li biến số, ta được oÛ�.Û � ´�.

134

Tích phân hai vế: ! ln |2 ! R| � � ' 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ! ln |2 ! 2� ' �| � � ' 2. Kết luận: Phương trình có các nghiệm là � � 2� ! 2; � ' ln |2 ! 2� ' �| ' 2 � 0. 2) Phương trình đẳng cấp

Là phương trình có dạng �Ò � � ;��<

Cách giải:

+ Đặt R��� � ýE. Ta được �Ò � RÒ� ' R.

+ Phương trình đã cho trở thành: RÒ� ' R � ��R�, tức là � oÛoE � ��R� ! R.

+ Đây là phương trình với biến số phân li. VÍ DỤ 4 Giải phương trình ��Ò � � ' t�� ! ��, � @ 0. Với điều kiện ��1� � 1. Giải Phương trình trên tương đương

�Ò � �� ')1 ! ;��<�

+ Đặt R��� � ýE. Ta được �Ò � RÒ� ' R.

+ Phương trình đã cho trở thành RÒ� ' R � R ' t1 ! R� • R � 1 hoặc u = -1 là các nghiệm, thay trở lại biến cũ và kiểm tra điều kiện đầu, ta được

y = x là một nghiệm cần tìm. • R ) ¸1, thì phương trình tương đương với ´R√1 ! R� � ´��

Phương trình này có nghiệm là arcsinR � ln� ' 2. + Thay trở lại biến cũ, ta được arcsin �� � ln � ' 2. Thay điều kiện đầu vào phương trình: 2 � arcsin 1 � B�

Vậy nghiệm của phương trình là arcsin ýE � ln � ' B� ; � � �.

Một số dạng đưa về dạng đẳng cấp a) Dạng ���, ��´� ' ¢��, ��´� � 0 ��� trong đó ���, �� ¢��, �� là các hàm thuần nhất cùng bậc r. Cách giải: (I) được viết lại ở dạng ´�´� � ! ���, ��¢��, �� � !�¡��1, ����¡¢�1, ��� � �����

135

VÍ DỤ 5 Giải phương trình với ẩn hàm là y: �� ! ��´� ! �´� � 0 Giải Với điều kiện x ≠ 0, phương trình được viết lại thành �Ò � � ! �� � 1 ! ��

+ Đặt R��� � ýE. Ta được �Ò � RÒ� ' R.

+ Phương trình đã trên trở thành RÒ� ' R � 1 ! R s RÒ� � 1 ! 2R

- Ta thấy R � =�, tức là � � E� là nghiệm của phương trình.

- Với R ) =�, phân li biến số, ta có ´R1 ! 2R � ´��

Nghiệm tổng quát là

! 12 ln|1 ! 2R| � ln|�| ' 2 s ln 1|�|t|1 ! 2R| � 2. + Thay trở lại biến cũ ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

ln 1t|�� ! 2��| � 2. Vậy phương trình có các nghiệm là � � E�; ln =t|E:.�Eý| � 2.

b) Dạng

�Ò � � k /� ' Z� ' [V� ' Q� ' �l ����

trong đó /, Z, [,V, Q, � là các số đã biết. Cách giải Xét hệ phương trình T /� ' Z� ' [ � 0V� ' Q� ' � � 0S

• � � �/ ZV Q� ) 0. Hệ này có nghiệm duy nhất là (�?, �?).

Ta đặt �� � �? ' |� � �? ' RS Ta được: ´� � ´|, ´� � ´R và /� ' Z� ' [ � /��? ' |� ' Z��? ' R� ' [ � /�? ' Z�? ' [ ' /| ' ZR � /| ' ZR

V� ' Q� ' � � V| ' QR; ´�´� � ´R|

Nên (II) trở thành

´R| � � k/| ' ZRV| ' QRl � � © / ' Z R|V ' Q R|« � � ;R|<

Tức là oÛo} � � ;Û}<.

• � � �/ ZV Q� � 0, tức là V � d/, Q � dZ. Khi đó

136

V� ' Q� ' � � d/� ' dZ� ' � � d�/� ' Z�� ' � Phương trình (II) là

�Ò � � k /� ' Z� ' [V� ' Q� ' �l � � k /� ' Z� ' [d�/� ' Z�� ' �l � D�/� ' Z��

Đây là dạng đã biết cách giải (Đặt R � /� ' Z) VÍ DỤ 6 Giải phương trình

a) �Ò � E.ý,=E,ý.r

b) �Ò � �E,ý.=�E,�ý,8

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ T� ! � ' 1 � 0� ' � ! 3 � 0S Hệ này có nghiệm duy nhất là (1; 2) + Đặt T� � 1 ' |� � 2 ' RS Thay vào phương trình đã cho, ta được ´R| � | ! R| ' R s ´R| � 1 ! R|1 ' R|

+ Đặt § � Û} , phương trình trở thành

§ ' |§Ò � 1 ! §1 ' §. Đây là phương trình phân li biến số.

b) Ta có

�Ò � 2� ' � ! 14� ' 2� ' 5 � 2� ' � ! 12�2� ' �� ' 5

Nên đặt R � 2� ' � Phương trình đã cho trở thành

RÒ ! 2 � R ! 12R ' 5

Hay tương đương là

RÒ � 5R ' 92R ' 5

Đây là phương trình phân li biến số. 3) Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa: Là phương trình có dạng �Ò ' ����� � ���� �3� trong đó ����, ���� là các hàm số liên tục. Nếu ���� y 0, thì được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.

Cách giải: Bước 1: Giải �Ò ' ����� � 0 �4�, gọi là phương trình thuần nhất cấp 1 tương ứng. + � y 0 là một nghiệm;

+ � ) 0, chia cả hai vế của (4) cho y: oýý � !����´�

137

Là phương trình với biến số phân li, có tích phân tổng quát là: ln|�| � !+ ���� ´� ' ln|2| với C là hằng số tùy ý khác 0. ln|�| � !+���� ´� ' ln|2| s |�| � ½.*ô�E�oE · ½ �|0| � |2|½.*ô�E�oE

s � � ¸2½.*ô�E�oE � �½.*ô�E�oE �� � ¸2, � ) 0� Tóm lại: Phương trình (4) có nghiệm tổng quát là � � �½.*ô�E�oE với mọi hằng số K. Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (3) có ở dạng � � ����½.*ô�E�oE.

Đạo hàm hai vế: �Ò � �Ò���½.*ô�E�oE ! ���� · ½.*ô�E�oE · ���� Thay vào (3), ta được: �Ò��� · ½.*ô�E�oE ! ���� · ½.*ô�E�oE · ���� ' ���� · ���� · ½.*ô�E�oE � ���� Suy ra: �Ò��� � ���� · ½*ô�E�oE Do đó: ���� � +����� · ½*ô�E�oE�´� ' 2

Kết luận: Nghiệm tổng quát của (3) là � � 6+����� · ½*ô�E�oE�´� ' 27 · ½.*ô�E�oE

L�u ý: + Người ta chứng minh được rằng nghiệm tổng quát của (3) ở dạng trên vét hết mọi nghiệm của (3) khi C thay đổi. Mỗi tích phân bất định trong công thức nghiệm nói trên ta chỉ cần tìm một hàm. + Khi giải phương trình cụ thể, ta có quyền áp dụng công thức nghiệm ở trên. Khi đó * ���� ´� ta chỉ lấy nguyên hàm với hệ số bất định là 0.

VÍ DỤ 7 Giải phương trình

a) �Ò ! ýE � �, � @ 0

b) oýoE � =E.ý:.

Giải a) Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với

���� � !1� ;���� � �. Nên nghiệm tổng quát là � � 6+�� · ½*.=E oE�´� ' 27 · ½.*.=E oE � 6+�� · ½. � E�´� ' 27 · ½ � E

� ��* ´� ' 2� � ��� ' 2� Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là � � �� ' 2�.

b)Coi x là hàm của y, thì ta được oýoE � =E.ý: s �Ò ! � � !��.

Đây là phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm tổng quát là � � 6+�!�� · ½*.=oý�´� ' 27 · ½—=´� � 6+�!�� · ½.ý�´� ' 27 · ½ý � ½ý 6+����´½.ý ' 27

138

� ½ý 6��½.ý !+ ½.ý 2�´� ' 27 � ½ý 6��½.ý ' 2+ �´½.ý ' 27 � ½ý$��½.ý ' 2�½.ý ' ½.ý ' 2& Vậy nghiệm tổng quát là � � ½ý$��½.ý ' 2�½.ý ' ½.ý ' 2& 4) Phương trình Bernoulli

Là phương trình có dạng: �Ò ' ����� � �����± với ² ) 0, ² ) 1 �5� p(x), q(x) là các hàm liên tục, cho trước.

Cách giải: + Với � ) 0 chia hai vế của (5) �± cho , ta được: �Ò�.± ' �����=.± � ���� Đặt § � �=.±, thì §Ò � �1 ! ²��.±�ç. Phương trình trở thành 11 ! ² §Ò ' ����§ � ����.

Quy đồng, ta được §Ò ' �1 ! ²�����§ � �1 ! ²����� là phương trình tuyến tính bậc nhất. + Nếu ² @ 0, thì � y 0 cũng là một nghiệm.

VÍ DỤ 8 Giải phương trình a) �Ò ! 2�� � 3�r��

b) �Ò � ý�E ! =ý. Giải

a) Đây là phương trình Bernoulli với ² � 2. + � y 0 là một nghiệm. + � ) 0, chia hai vế cho ��: �.��Ò ! 2��.= � 3�r

Đặt § � �.=, thì §Ò � !�.��Ò � ! =ý: �Ò. Phương trình đã cho trở thành !§Ò ! 2�§ � 3�r là phương trình tuyến tính với ẩn hàm là z. Giải phương trình này ta được

§ � 32 �1 ! �� ' 2½.E:�

Thay trở lại biến cũ, ta được nghiệm tổng quát của phương trình là 1� � 32 �1 ! �� ' 2½.E:�. b) Phương trình đã cho là phương trình Bernoulli với ² � !1.

Nhân cả hai vế với y: ��Ò ! ý:�E � !1

Đặt § � ��, , thì §Ò � 2��Ò. Phương trình trở thành =� §Ò ! =�E § � !1 s §Ò ! =E § � !2

là phương trình tuyến tính với ẩn z, giải được § � �2 ! 2 ln ���. Thay trở lại biến cũ, ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là �� � �2 ! 2 ln ���.

139

$18. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC

18.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 CÓ THỂ HẠ CẤP Trong phần này ta xét phương trình vi phân cấp 2 có dạng ���, �, �Ò, �ÒÒ� � 0 �Ä� 1) Dạng khuyết x

• Là phương trình dạng ���, �Ò, �ÒÒ� � 0 �1�.

• Cách giải: Đặt R � �Ò. Ta được

�ÒÒ � ´R´� � ´R´� ´�´� � RÒ����Ò��� � RÒ. R

Phương trình (1) trở thành ���, R, RRç� � 0 Đây là phương trình vi phân cấp 1 với biến phụ thuộc u và biến độc lập là y. Tìm được u rồi từ đó tìm y. VÍ DỤ 1 Giải phương trình �. �ÒÒ � �ç�. Giải + Phương trình đã cho là phương trình vi phân cấp 2, khuyết (vắng) x. + Đặt R � �Ò. Ta được

�ÒÒ � ´R´� � ´R´� ´�´� � RÒ����Ò��� � RÒ. R

Phương trình trở thành �. RÒ. R � R� Có ẩn hàm là u, đối số là y. + Dễ thấy R y 0 , tức là y = C là một nghiệm.

R ) 0, phân li biến số oÛÛ � oýý

Phương trình này có nghiệm là R � 2=�. Thay trở lại ẩn cũ, ta được �Ò � 2=� Giải phương trình cuối, ta được nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: � � 2�½0¨E. Nghiệm này bao hàm cả trường hợp y là hằng số (khi nếu chọn C1 = 0). Nên nghiệm của phương trình là � � 2�½0¨E. 2) Dạng khuyết y

• Là phương trình dạng ���, �Ò, �ÒÒ� � 0 �2�. • Cách giải: Đặt R � �Ò, ta được �ÒÒ � Rç. Phương trình (2) trở thành ���, R, Rç� � 0

Đây là phương trình cấp 1 với biến phụ thuộc là u và biến độc lập là x. Giải phương trình tìm u, rồi từ đó tìm y.

VÍ DỤ 2 Giải phương trình xy" + 2y' = 6x (x > 0)

Giải + Phương trình đã cho là phương trình cấp 2, khuyết y.

140

+ Đặt R � �Ò, ta được �ÒÒ � Rç. Phương trình trở thành �RÒ ' 2R � 6� Hay tương đương là

RÒ ' 2� R � 6. Phương trình này là phương trình tuyến tính với ���� � �E ;���� � 6 nên nghiệm tổng quát là

R � ½.*�EoE 6+ 6½*�EoE´� ' 2=7 � 1�� $2�r ' 2=& � 2� ' 2=��

Thay trở lại ẩn cũ và lấy tích phân, ta được nghiệm tổng quát của phương trình là

� � �� ! 2=� ' 2�

3) Dạng khuyết y và y’ • Là phương trình dạng ���, �ÒÒ� � 0 �3�.

• Cách giải: Đặt R � �ç, ta được RÒ � �çç. Phương trình (3) trở thành ���, Rç� � 0 Đây là phương trình vi phân cấp 1 với biến độc lập là u và biến phụ thuộc là x.

VÍ DỤ 3 Giải phương trình � � �ÒÒ ' sin � Giải + Phương trình đã cho là phương trình vi phân cấp 2, vắng cả y và y’. + Đặt R � �ç, ta được RÒ � �çç. Phương trình trở thành � � RÒ ' sin �

Phân li biến số và lấy tích phân hai vế, ta được: R � E:� ' cos � ' 2=. + Thay trở lại ẩn cũ và lấy tích phân hai vế, ta được � � Eu\ ' sin � ' 2=� ' 2�. 18.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 VỚI HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ 1) Các định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA (về phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng) Là phương trình có dạng �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � ���� �ÄÄ� trong đó /, Z là các hằng số thực và ���� là một hàm liên tục. Nếu ���� y 0, thì ta gọi là phương trình thuần nhất. Nếu ���� ^ 0, thì ta gọi là phương trình không thuần nhất.

ĐỊNH NGHĨA (về hai hàm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính) Cho hai hàm số ����, D���. + Nếu hàm này bằng bội của hàm kia, thì hai hàm được gọi là phụ thuộc tuyến tính. + Hai hàm không phụ thuộc tuyến tính thì gọi là độc lập tuyến tính.

Nhận xét: Nếu hai hàm đều khác hàm-không (hàm đồng nhất bằng 0), thì: Thương của hai hàm là hàm hằng khi và chỉ khi hai hàm phụ thuộc tuyến tính.

VÍ DỤ 4 + Hai hàm sin � , cos � là độc lập trên �; + Hai hàm ½�E , 3½�E là hai hàm phụ thuộc tuyến tính trên �.

141

2) Một số định lý quan trọng

Định lý 1 (Về cấu trúc nghiệm của phương trình thuần nhất) Nếu �=���, ����� là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � 0 �4�, thì nghiệm tổng quát của nó là � � 2= · �=��� ' 2� · ����� và nghiệm này vét hết các nghiệm của phương trình.

Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm nghiệm của (4) ta chỉ cần tìm hai nghiệm độc lập của nó. VÍ DỤ 5 Cho phương trình �ÒÒ ! 5�Ò ' 4� � 0 i) Chứng minh rằng ½E , ½�E là hai nghiệm độc lập của phương trình. ii) Tìm nghiệm quát của phương trình. Giải i) Xét hàm � � ½E, ta có �Ò � �çç � ½E. Thay vào phương trình ta được ½E ! 5½E ' 4½E � 0 Là đẳng thức đúng, vậy � � ½E là một nghiệm. Tương tự cho hàm � � ½�E. Do hàm thương là ½�E½E � ½rE ) [ÎQò| Nên hai nghiệm là độc lập tuyến tính. ii) Theo định lý trên, nghiệm tổng quát của phương trình là � � 2=½E ' 2�½�E.

Định lý 2 (Về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất) Nghiệm tổng quát của phương trình �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � ���� �5� bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � 0 cộng với một nghiệm riêng của nó.

Nhận xét: Nếu �=���, ����� là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4) và �?��� là nghiệm riêng nào đó của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) là: � � 2= · �=��� ' 2� · ����� ' �?���. Như vậy, để tìm nghiệm tổng quát của (5) chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của (4) và một nghiệm riêng của (5).

VÍ DỤ 6 Chứng minh hàm � � ½�E ;! E� ' =�< là một nghiệm riêng của phương trình �ÒÒ ! 5�Ò ' 4� � �½�E Từ đó và Ví dụ 5, hãy viết tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Giải

+ � � ½�E ;! E� ' =�< thì �Ò � 2½�E ;! E� ' =�< ! =� ½�E � !�½�E; �ÒÒ � !½�E ! 2�½�E . Thay vào vế trái của phương trình, ta được

!½�E ! 2�½�E ! 5�!�½�E� ' 4½�E k!�2 ' 14l � �½�E

142

Vậy � � ½�E ;! E� ' =�< là nghiệm riêng của phương trình đã cho.

Theo định lý trên và kết quả Ví dụ 5, nghiệm tổng quát của phương trình là:

� � 2=½E ' 2�½�E ' ½�E k! �2 ' 14l.

Định lý 3(Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu R��� là nghiệm của phương trình �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � D��� và Ù��� là nghiệm của phương trình �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � (��� thì R��� ' Ù��� là nghiệm của �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � D��� ' (���

3) Cách giải a) Phương trình thuần nhất Từ đặc điểm của phương trình thuần nhất �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � 0 người ta ước đoán được hàm số dạng � � ½�E là nghiệm, từ đó ta thử thay vào phương trình và được d�½�E ' /d½�E ' Z½�E � 0 tương đương với ½�E�d� ' /d ' Z� � 0 Như vậy ta thấy hàm � � ½�E , với số d thỏa mãn phương trình d� ' /d ' Z � 0 , là nghiệm của (4). Phương trình d� ' /d ' Z � 0 �6� được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (4). Cách giải Bước 1: Giải phương trình đặc trưng d� ' /d ' Z � 0

trên tập số phức. Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt d=, d�, thì nghiệm tổng quát của phương trình (4) là � � 2=½�¨E ' 2�½�:E

với 2=, 2� là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½�¨E, ½�:E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4).

• Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép d � d= � d�, thì nghiệm tổng quát của (4) là � � ½�¨E�2= ' �2�� với 2=, 2� là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½�¨E, �½�¨E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4).

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức d=,� � ² ¸ ,Ï �Ï ) 0�, thì nghiệm tổng quát của (4) là � � ½±E�2= cos Ï� ' 2� sin Ï��

với 2=, 2� là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½±E cos Ï� , ½±E sin Ï� là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4).

VÍ DỤ 7 Giải các phương trình sau a) �ÒÒ ! 5�Ò ' 4� � 0

143

b) �ÒÒ ! 2�Ò ' � � 0 c) �ÒÒ ' 2�Ò ' 5� � 0 d) �ÒÒ ' 3�Ò ' 2� � 0, ��0� � 1 �Ò�0� � !1.

Giải a) Phương trình đặc trưng là d� ! 5d ' 4 � 0

Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là 1; 4. Nghiệm tổng quát là � � 2=½E ' 2�½�E .

b) Phương trình đặc trưng là d� ! 2d ' 1 � 0 Phương trình này có nghiệm kép x = 1. Nghiệm tổng quát là � � 2=½E ' 2��½E .

c) Phương trình đặc trưng là d� ' 2d ' 5 � 0 Phương trình này có hai nghiệm phức phân biệt là � � !1 ! 2,; � � !1 ' 2,. Nghiệm tổng quát là � � ½.E�2= cos 2� ' 2� sin 2��

d) Phương trình đặc trưng là d� ' 3d ' 2 � 0 Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là � � !1; � � !2,. Nghiệm tổng quát là � � 2=½.�E ' 2�½.E . Từ điều kiện đầu, ta được hệ T 2= ' 2� � 1!22= ! 2� � !1S Giải hệ, được 2= � 0; 2� � 1. Vậy nghiệm riêng cần tìm là � � ½.E .

b) Phương trình không thuần nhất • Phương pháp tìm nghiệm riêng

Theo Định lý 2, để tìm nghiệm tổng quát của (5) ta chỉ cần đi tìm một nghiệm riêng của nó là được bởi vì ở trên đã cho ta cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Tuy nhiên việc tìm một nghiệm riêng của (5) cũng là một việc khó khăn. Sau đây là một số trường hợp mà ta chắc chắn tìm được nghiệm riêng theo hướng dẫn.

Trường hợp ���� � ½_E����, trong đó 1��� là đa thức bậc n: +) Nếu ` không là nghiệm của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng �?��� � ½_E_��� +) Nếu ` là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng �?��� � �½_E_��� +) Nếu ` là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng �?��� � ��½_E_��� Trong đó _��� là đa thức bậc n ở dạng đầy đủ. VÍ DỤ 8 Giải mỗi phương trình sau a) �ÒÒ ! 5�Ò ' 4� � �½�E b) �ÒÒ ! 2�Ò ' � � �½E Giải

144

a) + Phương trình thuần nhất tương ứng là �ÒÒ ! 5�Ò ' 4� � 0 Phương trình đặc trưng là d� ! 5d ' 4 � 0 Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là � � 1; � � 4 Nghiệm tổng quát là � � 2=½E ' 2�½�E . + ���� � ½�E . � và 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng �?��� � ½�E�g� ' i�. Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được !2g� ! g ! 2i � �

Cân bằng hệ số, ta có g � ! =� ; i � =�. Nên �?��� � ½�E ;! =� � ' =�<. Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là � � 2=½E ' 2�½�E ' ½�E ;! =� � ' =�<.

b) + Phương trình thuần nhất tương ứng là �ÒÒ ! 2�Ò ' � � 0 Nghiệm tổng quát là � � 2=½E ' 2��½E . + ���� � ½E . � và 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng �?��� � ��½E�g� ' i� � ½E�g�r ' i���. Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được �6g ! 2i�� ' 4i � �

Cân bằng hệ số, ta có g � =\ ; i � 0. Nên �?��� � ½E =\ �r. Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là � � 2=½E ' 2��½E ' =\ �r½E .

Trường hợp ���� � ½±E$�W��� cos Ï� ' _£��� sin Ï�&, trong đó 1?���,2a��� là đa thức bậc n, m tương ứng: +) Nếu ² ' ,Ï không là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng �?��� � ½±E$����� cos Ï� ' ����� sin Ï�& +) Nếu ² ' ,Ï �Ï ) 0� là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng �?��� � �½±E$����� cos Ï� ' ����� sin Ï�& Trong đó d � max�Q, V� ; �����, _���� là các đa thức bậc k dạng đầy đủ. VÍ DỤ 9 Giải phương trình sau �ÒÒ ! 2�Ò ' 5� � ½E cos � Giải + Phương trình thuần nhất tương ứng có phương trình đặc trưng là d� ! 2d ' 5 � 0 Phương trình này có hai nghiệm phức phân biệt là � � 1 ! 2,; � � 1 ' 2, Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là � � ½E�2= cos 2� ' 2� sin 2��. ���� � ½E cos � và 1+ i không là nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng �?��� � ½E�gcos � ' isin ��. Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được 3gcos � ' 3isin � � cos �

145

Cân bằng hệ số, ta có g � =r ; i � 0. Nên �?��� � =r ½E cos �. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

� � ½E�2= cos 2� ' 2� sin 2�� ' 13 ½E cos �.

Trường hợp ���� � D��� ' (���, trong đó hai phương trình �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � D��� �ÒÒ ' /�Ò ' Z� � (��� đều tìm được nghiệm riêng. Khi đó theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta suy ra nghiệm riêng của phương trình (5). VÍ DỤ 11 Giải phương trình sau �ÒÒ ! 2�Ò ' 5� � ½E cos � ' 2010. Giải + Phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là � � ½E�2= cos 2� ' 2� sin 2��. + Phương trình �ÒÒ ! 2�Ò ' 5� � ½E cos � có nghiệm riêng là �=��� � =r ½E cos �. Dễ thấy phương trình �ÒÒ ! 2�Ò ' 5� � 2010. Có nghiệm riêng là �� � 402. Nên nghiệm riêng của phương trình đã cho là �?��� � =r ½E cos � ' 402. + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

� � ½E�2= cos 2� ' 2� sin 2�� ' 13 ½E cos � ' 402

• Phương pháp biến thiên hằng số

Trong trường hợp không thể tìm nghiệm riêng của phương trình (5), thì ta làm như sau: +) Tìm nghiệm tổng quát của (4) ở dạng: � � 2= · �=��� ' 2� · ����� trong đó �=���, ����� là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). +) Coi 2=, 2� là các hàm số thì ta được hàm dạng � � 2=��� · �=��� ' 2���� · ����� �7� Sau đó tìm nghiệm tổng quát của (5) ở dạng (7). Cách tìm như sau: Đạo hàm hai vế của (7), ta được �Ò � 2Ò=��� · �=��� ' 2=��� · �ç=��� ' 2ç���� · ����� ' 2���� · �ç���� Chọn 2=���, 2���� sao cho 2Ò=��� · �=��� ' 2ç���� · ����� � 0 �8� Ta được �Ò � 2=��� · �ç=��� ' 2���� · �ç���� �9� Lấy đạo hàm hai vế của (9), ta có �çÒ � 2=��� · �çç=��� ' 2ç=��� · �ç=��� ' 2ç���� · �ç���� ' 2���� · �çç���� Thay vào phương trình (5), thì 2=��� · �ÒÒ=��� ' 2Ò=��� · �Ò=��� ' 2Ò���� · �Ò���� ' 2���� · �ÒÒ����' /P2=��� · �Ò=��� ' 2���� · �Ò����Q ' Z$2=��� · �=��� ' 2���� · �����& � ����

Tức là

146

2=���P�ÒÒ= ' /�Ò= ' Z�=Q' 2����P�ÒÒ� ' /�Ò� ' Z��Q ' 2Ò=��� · �Ò=��� ' 2Ò���� · �Ò����� ���� Do y1, y2 là hai nghiệm của (4) nên 2Ò=��� · �Ò=��� ' 2Ò���� · �Ò���� � ���� �10�

Từ hệ phương trình T �8��10�S Giải tìm được 2Ò=���, 2Ò����, từ đó tìm 2=���, 2����, thay vào (7) ta được nghiệm tổng quát của (5). Tóm lại:

Tìm nghiệm tổng quát của (4) ở dạng: � � 2= · �=��� ' 2� · ����� Giải hệ

T �=���2Ò=��� ' �����2Ò���� � 0 �Ò=���2Ò=��� ' �Ò����2Ò���� � ����S Tìm được 2=���, 2����.

Nghiệm riêng của (5) là � � 2=��� · �=��� ' 2���� · ����� Phương pháp này được gọi là Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.

VÍ DỤ 12 Giải phương trình sau bằng phương pháp biến thiên hằng số

�ÒÒ ' 2�ç ' � � ½.E�

Giải + Phương trình thuần nhất tương ứng có đa thức đặc trưng là d� ' 2d ' 1 � 0. Phương trình này có nghiệm kép d � !1. + Phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là � � 2=½.E ' 2��½.E . + Tìm nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số: Nghiệm riêng có dạng �? � R=½.E ' R��½.E Tìm hai hàm R=, R� từ hệ

U ½!�Rç= ' �½!�Rç� � 0!½!�Rç= ' �1 ! ��½!�Rç� � ½!�� S

Giải hệ trên, ta được

RÒ= � !1 RÒ� � 1� Từ đó, ta chọn R= � !� R� � ln |�|. Vậy nghiệm riêng của phương trình là �? � !�½.E ' ln |�| ½.E�. Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là � � !�½.E ' ln |�| ½.E� ' 2=½.E ' 2��½.E .

147

$19. CHUỖI SỐ

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 19.1 KHÁI NIỆM CHUNG VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

1. Một số khái niệm chung Nếu ta cộng các số hạng của một dãy vô hạn �/W� ta được một biểu thức dạng (1) /= ' /� ' /r ' X ' /W ' X gọi là một chuỗi vô hạn (hoặc ngắn gọn là một chuỗi) và ký hiệu bởi

ù /W�

W�= hoặc ù /W

Trước hết, ta làm rõ thế nào là một tổng của vô hạn các số hạng. + Chuỗi sau không thể có kết quả là một số thực 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' X ' Q ' X bởi vì nếu ta bắt đầu cộng các số hạng từ đầu, ta được các tổng tích lũy (hay còn gọi là các tổng riêng) là 1, 3, 6, 10, 15, 21,… , tổng từ đầu cho đến số hạng thứ n là n(n+1)/2, tổng này càng lớn nếu n càng lớn. + Tuy nhiên, với chuỗi sau thì lại khác, nếu ta cộng như cách ở trên đối với dãy 12 ' 14 ' 18 ' 116 ' 132 ' 164 X ' X 12W ' X

thì ta được các tổng riêng là =� , r� , �> , =8=\ , r=r� , \r\� , … ,1 ! =�× , …Bảng dưới đây chỉ ra rằng khi ta cộng

ngày càng nhiều các số hạng thì các tổng riêng dần đến số 1. n Tổng của n số hạng đầu tiên 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 25

0,50000000 0,75000000 0,87500000 0,93750000 0,96875000 0,98437500 0,99218750 0,99902344 0,99996948 0,99999905 0,99999997

Bằng cách cộng đủ nhiều các số hạng đầu tiên của chuỗi ta được các tổng riêng gần 1 một cách tùy ý. Đó là lý do ta nghĩ đến việc tổng của chuỗi vô hạn này là 1 và viết

ù 12W ��W�=

12 ' 14 ' 18 ' 116 ' 132 ' 164 X ' X 12W ' X � 1

Ta sẽ dùng ý tưởng tương tự để xác định chuỗi (1) có tổng là số hữu hạn hay không. Ta xét các tổng riêng ò= � /= ò� � /= ' /� òr � /= ' /� ' /r ò� � /= ' /� ' /r ' /� và tổng quát,

òW � /= ' /� ' /r ' /� ' X/W � ù /ÞW

Þ�=

148

Các tổng riêng này lập thành một dãy số mới �òW�, dãy này có thể hội tụ hoặc không. Nếu tồn tại limW�� òW � ò (giới hạn là một số thực), thì ta gọi s là tổng của chuỗi vô hạn ∑/W.

(2) ĐỊNH NGHĨA Cho chuỗi ∑ /W�W�= = /= ' /� ' /r ' /� ' X, đặt òW là tổng riêng thứ n:

òW � /= ' /� ' /r ' /� ' X /W � ù /ÞW

Þ�= . Nếu dãy �òW� hội tụ và limW�� òW � ò là một số thực, thì chuỗi ∑ /W�W�= được gọi là chuỗi hội tụ và viết

/= ' /� ' /r ' /� ' X /W ' X � ò (Îặ[ ù /Þ�

Þ�= � ò

Số s được gọi là tổng của chuỗi. Ngược lại, thì chuỗi được gọi là phân kỳ.

Như vậy, ta viết ∑ í=�=�@ � b thì hiểu là khi cộng càng nhiều các số hạng của chuỗi (theo thứ tự kể từ số hạng đầu) ta được số gần s một cách tùy ý.

Lưu ý rằng

ù /Þ�

Þ�= � limW�� òW � limW�� ù /ÞW

Þ�=

VÍ DỤ 1 Một ví dụ quan trọng về chuỗi vô hạn là chuỗi hình học, chuỗi hình học được xác định như sau:

/ ' /� ' /�� ' /�r ' X ' /�W.= ' X � ù /�W.=�W�= ; / ) 0

Mỗi một số hạng nhận được bằng cách lấy số hạng liền trước nhân với số cố định r.(Ta đã xét

trường hợp đặc biệt với / � =� và � � =�.) Với a, r là các số đã biết.

Sau đây, ta biện luận về tính hội tụ của chuỗi hình học theo r. Nếu r = 1, thì òW � / ' / ' X ' / � Q/ � ¸∞. Bởi vì limW�� òW không tồn tại nên chuỗi hình học phân kỳ. Nếu � ) 1, thì òW � / ' /� ' /�� ' /�r ' X ' /�W.= và �òW � /� ' /�� ' /�r ' X ' /�W.= ' /�W Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên, ta được òW ! �òW � / ! /�W

(3) òW � +�=.¡��=.¡ � +=.¡ ! +=.¡ �W.

Nếu -1 < r < 1, thì �W � 0 khi Q � ∞, do đó

limW�� òW � limW��/�1 ! �W�1 ! � � /1 ! � ! /1 ! � lim�WW�� � /1 ! �

Như vậy, khi |�| O 1 thì chuỗi hình học hội tụ và tổng của nó là a/(1 - r). Nếu � # !1 hoặc r > 1, thì ��W� không hội tụ nên từ (3) suy ra limW�� òW không tồn tại, tức là chuỗi hình học phân kỳ.

Các tình huống trong Ví dụ 1 được tổng kết trong bảng sau đây, sau này được dùng mà không phải chứng minh lại

(4) Với chuỗi hình học

/ ' /� ' /�� ' /�r ' X ' /�W.= ' X � ù /�W.=�W�= ; / ) 0.

149

Nếu | r | < 1, thì hội tụ và tổng của nó là ∑ /�W.=�W�= � +=.¡. Nếu |�| F 1, thì chuỗi hình học phân kỳ. VÍ DỤ 2 Tìm tổng của chuỗi hình học sau

5 ! 103 ' 209 ! 4027 ' X

GIẢI Số hạng đầu là a = 5 và r = -2/3. Vì |�| � �r O 1 nên theo (4) ta được chuỗi đã cho hội tụ và

tổng của nó là

5 ! 103 ' 209 ! 4027 ' X � 51 ! ;! 23< � 553 � 3

■ Khi ta nói tổng của chuỗi trong Ví dụ 2 là 3, thì có nghĩa là gì? Tất nhiên, ta không thể cộng tất cả các số hạng trong chuỗi vì có vô hạn số hạng. Nhưng, theo Định nghĩa 2, tổng của chuỗi là giới hạn của dãy tổng riêng. Vì thế, bằng cách lấy tổng của n số hạng đầu tiên với n càng lớn, ta sẽ được số gần với 3 một cách tùy ý. Bảng sau chỉ ra tổng riêng của 10 phần tử và Hình 1 cho thấy dãy tổng riêng hội tụ về 3.

HÌNH 1 VÍ DỤ 3 Chuỗi ∑ 2�W3=.W�W�= hội tụ hay phân kỳ? GIẢI

+ Ta thấy 2�W3=.W � ��r�¯¨ � 4 ;�r<W.=

+ Nên chuỗi đã cho là chuỗi hình học với a = 4 và r = 4/3. + Vì r > 1 nên chuỗi đã cho phân kỳ. ■

Ta có thể xác định a và r bằng cách viết ra các số hạng đầu tiên:

4 ' 163 ' 649 ' X

VÍ DỤ 4 Viết số 2,317~~~~ � 2, 317171717 … dưới dạng phân số. GIẢI

2,3171717 … � 2,3 ' 1710r ' 17108 ' 1710� ' X

Không kể số hạng đầu thì ta có một chuỗi hình học với / � =�=?u , � � ==?:. Nên ta có

2,317~~~~ � 2,3 ' ¨õ¨øu=. ¨¨ø: � 2,3 ' ¨õ¨øøøcc¨øø � �r=? ' =���? � ==����8 ■

n sn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5,000000 1,666667 3,888889 2,407407 3,395062 2,736626 3,175583 2,882945 3,078037 2,947975

150

VÍ DỤ 5 Tìm tổng của chuỗi ∑ �W���? , trong đó | x | < 1.

GIẢI Lưu ý rằng, chuỗi này bắt đầu bởi số hạng với n = 0 và số hạng đầu tiên là �? � 1. (Với một

chuỗi, ta chấp nhận quy ước �> � @ ngay cả khi x = 0.) Vì thế

ù �W���? � 1 ' � ' �� ' �r ' �� ' X

Đây là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Do | r | = | x | < 1 nên chuỗi này hội tụ và

(5) ∑ �W���? � ==.E ■

VÍ DỤ 6 Hãy chỉ ra rằng chuỗi ∑ =W�W,=��W�= hội tụ, hãy tìm tổng của chuỗi.

GIẢI Chuỗi này không phải là chuỗi hình học, vì thế ta phải xét theo định nghĩa của chuỗi hội tụ bằng cách tính các tổng riêng.

òW � ù 1,�, ' 1�W

Þ�= � 11 · 2 ' 12 · 3 ' 13 · 4 ' X' 1Q · �Q ' 1�

Ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách dùng: 1,�, ' 1� � 1, ! 1, ' 1

Do đó, ta có

Lưu ý rằng các số hạng được giản ước theo cặp.

Do đó lim��� òW � lim��� ;1 ! =W,=< � 1 ! 0 � 1

Thế nên, chuỗi đã cho hội tụ và ∑ =W�W,=��W�= � 1 ■ Đồ thị của dãy /W � 1/$Q�Q ' 1�& và dãy tổng riêng �òW� nói trong Ví dụ 6 được minh họa trong Hình 2. Ta nhận thấy rằng /W � 0 còn òW � 1.

HÌNH 2 VÍ DỤ 7 Hãy chứng minh rằng chuỗi điều hòa

ù 1Q�

W�= � 1 ' 12 ' 13 ' 14 ' X

là chuỗi phân kỳ.

GIẢI ò= � 1

ò� � 1 ' 12

ò� � 1 ' 12 ' k13 ' 14l @ 1 ' 1 ' 12 ' k14 ' 14l � 1 ' 22

151

ò> � 1 ' 12 ' k13 ' 14l ' k15 ' 16 ' 17 ' 18l @ 1 ' 12 ' k14 ' 14l ' k18 ' 18 ' 18 ' 18l � 1 ' 12 ' 12 ' 12� 1 ' 32

ò=\ � 1 ' 12 ' k13 ' 14l ' k15 ' 16 ' 17 ' 18l ' k19 ' X ' 116l@ 1 ' 12 ' k14 ' 14l ' k18 ' 18 ' 18 ' 18l ' k 116 ' X ' 116l � 1 ' 12 ' 12 ' 12 ' 12� 1 ' 42

Tương tự, òr� @ 1 ' 8� , ò\� @ 1 ' \�, tổng quát

ò�� @ 1 ' Q2

Điều này chỉ ra rằng ò�� � ∞ d(, Q � ∞ và do đó dãy �òW� là phân kỳ. ■ Phương pháp được sử dụng trong Ví dụ 7 để chỉ ra rằng chuỗi điều hòa phân kỳ là của học giả người Pháp Nicole Oresme (1323 - 1382).

2. Một số tính chất

(6) ĐỊNH LÝ Nếu chuỗi ∑ /W���= hội tụ, thì lim��� /W � 0.

CHỨNG MINH Đặt òW � /= ' /� ' /r ' /� ' X /W. Khi đó /W � òW ! òW.=. Vì chuỗi ∑/W hội tụ nên dãy �òW� hội tụ. Đặt lim��� òW � s, vì Q ! 1 � ∞ d(, Q � ∞ nên ta cũng có lim��� òW.= � s. Do đó limW�� /W � lim����òW ! òW.=� � lim��� òW ! lim��� òW.= � s ! s � 0. □

CHÚ Ý 1: Với một chuỗi bất kỳ ∑ /W���= ta có hai dãy: dãy các tổng riêng �òW� và dãy các số hạng �/W�. Theo định nghĩa: Chuỗi ∑ /W���= hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng hội tụ và có giới hạn là s

(tổng của chuỗi). Theo Định lý 6: Giới hạn của dãy �/W� là 0. CHÚ Ý 2: Mệnh đề đảo của Định lý 6 không đúng trong trường hợp tổng quát. Tức là limW�� /W=

0, ta không thể kết luận rằng chuỗi ∑ /W���= hội tụ. Ví dụ như chuỗi điều hòa, ta có /W � =W �0 d(, Q � ∞, thế nhưng chuỗi này phân kỳ, như đã chỉ ra trong Ví dụ 7.

(7) DẤU HIỆU PHÂN KỲ Nếu limW�� /W không tồn tại hoặc limW�� /W ) 0, thì chuỗi ∑ /W�W�= phân kỳ.

Dấu hiệu phân kỳ được suy ra từ Định lý 6, bởi vì nếu chuỗi không phân kỳ tức là chuỗi hội tụ, khi đó limW�� /W � 0 mẫu thuẫn!

VÍ DỤ 8 Chứng minh rằng chuỗi ∑ W:8W:,��W�= phân kỳ.

GIẢI limW�� /W � limW�� W:8W:,� � limW�� =8,�/W: � =8 ) 0.

Theo dấu hiệu phân kỳ, thì chuỗi đã cho phân kỳ. CHÚ Ý 3: Nếu ta biết được rằng limW�� /W ) 0 thì ta được chuỗi ∑ /W phân kỳ. Còn nếu ta biết được limW�� /W � 0 thì ta không biết gì về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi ∑/W. Nhắc lại khuyến cáo trong Chú ý 2: Nếu limW�� /W � 0 thì chuỗi ∑ /W có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

(8) ĐỊNH LÝ Nếu ∑/W và ∑ZW là các chuỗi hội tụ, thì ta có ∑ [/W (trong đó c là hằng số), ∑�/W ' ZW� và ∑�/W ! ZW� là các chuỗi hội tụ, và (i) ∑ c/W�W�= � c∑ /W�W�= (ii) ∑ �/W�W�= ' ZW� � ∑ /W�W�= ' ∑ ZW�W�= (iii) ∑ �/W�W�= ! ZW� � ∑ /W�W�= ! ∑ ZW�W�= .

152

VÍ DỤ 9 Tìm tổng của chuỗi

ù k 3n�n ' 1� ' 12�l�W�= .

GIẢI Chuỗi ∑ =�× là chuỗi hình học với a = r = ½, nên ∑ =�×�W�= � :=.: � 1.

Trong Ví dụ 6, ta đã tìm được ∑ =���,=��W�= � 1

Theo Định lý 8, chuỗi đã cho hội tụ và

ù k 3n�n ' 1� ' 12�l�W�= � 3. ù 1n�n ' 1�

�W�= ' ù 12�

�W�= � 3.1 ' 1 � 4.

■ CHÚ Ý 4: Một lượng hữu hạn các số hạng không ảnh hưởng đến tính hội tụ của chuỗi. Chẳng hạn, khi chúng ta có thể chỉ ra được rằng chuỗi

ù QQr ' 1�

W��

hội tụ, thì từ ∑ WWu,=�W�= � =� ' �� ' r�> ' ∑ WWu,=�W��

Suy ra rằng chuỗi ∑ WWu,=�W�= hội tụ.

Tương tự, nếu ta biết chuỗi ∑ /W�W��,= hội tụ, thì chuỗi đầy đủ

ù /W�

W�= � ù /W�

W�= ' ù /W�

W��,= cũng hội tụ.

19.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG Trong phần này ta xét sự hội tụ của chuỗi (1) với /W @ 0, �Q � ëÄ. Do đặc điểm của chuỗi dương mà ta có dãy tổng riêng là dãy đơn điệu tăng thế nên chỉ cần dãy tổng riêng bị chặn thì chuỗi sẽ hội tụ. Điều này được phát biểu trong định lý sau. 1. Tiêu chuẩn hội tụ

(9) ĐỊNH LÝ Chuỗi ∑ /W�W�= với /W @ 0, �Q � ëÄ hội tụ khi và chỉ khi tồn tại số M sao cho òW O �, �Q � ëÄ.

2. Một số dấu hiệu hội tụ a) Dấu hiệu so sánh với tích phân Ta xét một chuỗi mà hạng tử của nó là nghịch đảo của bình phương các số nguyên dương:

ù 1Q��

W�= � 11� ' 12� ' 13� ' 14� ' 15� ' X

Hình dưới đây mô tả đồ thị của hàm � � 1/�� và các hình chữ nhật nằm dưới đường cong này.

153

Chiều rộng của mỗi hình chữ nhật bằng 1; chiều cao bằng giá trị của hàm � � 1/�� tại điểm đầu mút phải của mỗi khoảng. Như thế, tổng diện tích của các hình chữ nhật là 11� ' 12� ' 13� ' 14� ' 15� ' X � ù 1Q�

�W�=

Nếu không tính đến hình chữ nhật đầu tiên thì tổng diện tích các hình chữ nhật còn lại nhỏ hơn diện tích phía dưới đường cong � � 1/�� ứng với � F 1, diện tích phía dưới đường cong � � 1/�� ứng

với � F 1 bằng * �1/���´��= . Ta đã biết rằng tích phân này hội tụ và có giá trị là 1. Như vậy, ta có

các tổng riêng của dãy đều nhỏ hơn ==: ' * �1/���´��= =2

Do vậy, dãy các tổng riêng của chuỗi đã cho bị chặn nên chuỗi hội tụ. Như vậy chuỗi đang xét là hội tụ. Dựa vào ví dụ trên ta có thể thấy rõ hình ảnh trực quan của định lý sau.

(10) DẤU HIỆU TÍCH PHÂN Cho f là một hàm liên tục, dương, và giảm trên [1; ∞) và /W ���Q�. Khi đó

(a) Nếu tích phân * ����´��= hội tụ, thì chuỗi ∑ /W�W�= hội tụ.

(b) Nếu tích phân * ����´��= phân kỳ, thì chuỗi ∑ /W�W�= phân kỳ.

CHÚ Ý: + Dựa vào dấu hiệu này, dễ thấy chuỗi điều hòa phân kỳ. + Khi sử dụng Dấu hiệu Tích phân thì không nhất thiết tích phân và chuỗi phải bắt đầu với n = 1. Chẳng hạn xét chuỗi ∑ =�W.r�:�W�� ta sử dụng tích phân * =�E.r�: ´���

Và hàm f cũng không nhất thiết phải luôn giảm. Điều quan trọng là hàm f phải giảm khi x đủ lớn, tức là, bắt đầu giảm kể từ khi x lớn hơn số N nào đó. Bởi vì khi chuỗi ∑ /W�W�� hội tụ thì chuỗi ∑ /W�W�= hội tụ.

VÍ DỤ 10 Hãy xác định xem chuỗi ∑  � WW�W�= hội tụ hay phân kỳ.

GIẢI Hàm ���� � �ln ��/� là hàm dương và liên tục với mọi x>1. Nhưng việc f có là hàm giảm hay không thì không rõ ràng lắm. Do đó ta tính đạo hàm của nó:

���� � � ;1�< ! ln��� � 1 ! ln ���

Do đó, �Ò��� O 0 khi ln � @ 1 khi và chỉ khi x > e. Như vậy, f là hàm nghịch biến trên (e; ∞) từ đó ta được áp dụng Dấu hiệu Tích phân:

+ ln ���= ´� � lim}��+ ln ��}

= ´� � S lim}���ln ���2 H=

} � lim}���ln |��2 � ∞

Vì tích phân suy rộng này phân kỳ nên chuỗi ∑  � WW�W�= phân kỳ. ■

VÍ DỤ 11 Với giá trị nào của p thì chuỗi ∑ =W;�W�= hội tụ?

GIẢI Nếu p < 0, thì limW�� ; =W;< � ∞. Nếu p = 0, thì limW�� ; =W;< � 1. Trong các trường hợp này thì

limW�� ; =W;< ) 0 nên chuỗi đã cho phân kỳ (theo Dấu hiệu Phân kỳ).

Nếu p > 0, thì hàm ���� � 1/�ô rõ ràng là hàm liên tục, dương, và giảm trên [1; ∞). Ta đã biết * =E;�= ´� hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p # 1.

154

Từ Dấu hiệu Tích phân ta suy ra chuỗi ∑ =W;�W�= hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ khi 0 < p # 1 . (Trường

hợp p = 1, thì chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa đã xét) ■

Chuỗi trong Ví dụ 11 được gọi là p-chuỗi. Đây là một chuỗi quan trọng được dùng trong phần còn lại của chương này, vì thế ta tổng kết kết quả của Ví dụ 11 để tiện dùng trong phần tiếp theo.

(11) p - chuỗi ∑ =W;�W�= hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ khi p # 1.

b) Dấu hiệu so sánh dựa vào bất đẳng thức

(12) DẤU HIỆU SO SÁNH Giả sử rằng ∑/W và ∑ ZW là hai chuỗi với các số hạng đều dương. (a) Nếu chuỗi ∑ ZW hội tụ và /W # ZW với mọi n >N , thì chuỗi ∑ /W hội tụ (N là một số tự nhiên nào đó). (b) Nếu chuỗi ∑ ZW phân kỳ và /W F ZW với mọi n>N, thì chuỗi ∑/W phân kỳ.

Khi sử dụng Dấu hiệu So sánh ta phải biết được chuỗi ∑ ZW để phục vụ mục đích so sánh. Hầu hết sau này ta sử dụng p - chuỗi hoặc chuỗi hình học.

VÍ DỤ 12 Xác định xem chuỗi ∑ 8�W:,�W,r�W�= hội tụ hay phân kỳ.

GIẢI Với n đủ lớn số hạng số hạng trội hơn cả trong mẫu thức là 2Q�, vì thế ta so sánh chuỗi đã cho với

chuỗi ∑ 8�W:�W�= . Ta có 8�W:,�W,r O 8�W:

Bởi vì vế trái có mẫu số lớn hơn.(Trong Dấu hiệu So sánh, /W nằm ở vế trái và ZW nằm ở vế phải.) Ta biết rằng

ù 52Q��

W�= � 52 ù 1Q��

W�=

là hội tụ (p-chuỗi với p = 2 > 1). Do đó ∑ 8�W:,�W,r�W�=

là chuỗi hội tụ. ■

VÍ DỤ 13 Kiểm tra xem chuỗi ∑  � WW�W�=

hội tụ hay phân kỳ. GIẢI Ta đã sử dụng Tiêu chuẩn Tích phân để kiểm tra tính hội tụ của chuỗi đã cho, nhưng ta cũng có thể dùng dấu hiệu so sánh bằng cách so sánh nó với chuỗi điều hòa. Ta có lnn > 1 với Q F 3 và do đó ln QQ @ 1Q Q F 3

Ta biết rằng chuỗi ∑ 1/Q phân kỳ (p-chuỗi với p = 1). Do đó, chuỗi đã cho phân kỳ theo Dấu hiệu So sánh. ■ CHÚ Ý: Các số hạng trong chuỗi đang được kiểm tra phải nhỏ hơn các số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ hoặc lớn hơn các phần tử tương ứng của một chuỗi phân kỳ. Nếu các số hạng tương ứng của dãy đang xét lớn hơn các số hạng của một chuỗi phân kỳ hoặc nhỏ hơn các số hạng tương ứng của một chuỗi hội tụ, thì Dấu hiệu So sánh không được áp dụng. Để minh họa, xét chuỗi sau ∑ =��.=�W�=

155

Bất đẳng thức =��.= @ =��, không có giá trị gì đối với Dấu hiệu So sánh bởi vì chuỗi ∑ ZW�W�= = ∑ =���W�= là chuỗi hội tụ và /W @ ZW. Tuy nhiên, ta có cảm giác rằng chuỗi ∑ =��.=�W�= hội tụ bởi vì

nó tương tự như chuỗi hình học ∑ =���W�= . Trong trường hợp như vậy dấu hiệu sau đây nên được sử

dụng.

c) Dấu hiệu so sánh bằng giới hạn

(13) DẤU HIỆU SO SÁNH GIỚI HẠN Giả sử rằng ∑ /W�W�= và ∑ ZW�W�= là các chuỗi với các số hạng dương.

(i) Nếu limW�∞+�¹� � c

trong đó c là một số hữu hạn và c > 0, thì cả hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

(ii) Nếu limW�∞+�¹� � 0 và ∑ ZW�W�= hội tụ, thì ∑ /W�W�= hội tụ.

Mặc dù ta không chứng minh Dấu hiệu Giới hạn, nhưng lý do có Dấu hiệu đó có vẻ như là với n đủ lớn /W [ZW.

VÍ DỤ 14 Kiểm tra xem chuỗi ∑ =��.=�W�=

hội tụ hay phân kỳ. GIẢI Ta sử dụng Dấu hiệu So sánh Giới hạn với

/W � 12W ! 1, ZW � 12W

Ta có limW�� +�¹� � limW�� ����.= � limW�� ==.=/�� � 1

Từ kết quả của giới hạn và chuỗi ∑ =���W�= hội tụ, ta suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu So sánh

Giới hạn. ■

CÁC NỘI DUNG CẦN GHI NHỚ 1. Định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số (hiểu được ∑ /W�W�= � s nghĩa là gì), một số tính chất;

tính hội tụ của chuỗi hình học, của p – chuỗi. 2. Một số dấu hiệu hội tụ trong trường hợp chuỗi dương. 3. Với câu hỏi: Tìm tổng của chuỗi. Trước hết xét xem chuỗi đã cho thuộc dạng chuỗi hình học không (Ví dụ 2, Ví dụ 3). Nếu không, ta phải sử dụng định nghĩa, tức là xét giới hạn của dãy tổng riêng (Ví dụ 6). Đôi khi: Ta cần phân tích các số hạng trong chuỗi để thấy chuỗi đã cho là tổng của các chuỗi đã biết (Ví dụ 9). Với câu hỏi: Xét tính hội tụ của chuỗi. Ta có một số gợi ý sau + Khảo sát xem chuỗi đã cho có phải là chuỗi hình học hoặc p – chuỗi hay không. + Thử tìm giới hạn của số hạng tổng quát, nếu không tồn tại hoặc có giá trị khác 0 thì chuỗi phân kỳ. + Nếu các số hạng của chuỗi đều dương, thì dùng một trong các dấu hiệu sau: Tích phân (phải kết nối được với một tích phân suy rộng đã biết), so sánh, giới hạn (phải kết nối với các chuỗi thuộc dạng hình học hoặc p- chuỗi với số hạng tổng quát gần gũi với chuỗi đã cho).

156

$20. CHUỖI ĐAN DẤU

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 20.1 CHUỖI ĐAN DẤU VÀ CHUỖI VỚI SỐ HẠNG CÓ DẤU BẤT KỲ

1. Chuỗi đan dấu Một chuỗi được gọi là chuỗi đan dấu nếu các số hạng của nó mang dấu dương và dấu âm xen kẽ nhau. Sau đây là hai ví dụ:

1 ! 12 ' 13 ! 14 ' 15 ! 16 ' X � ù�!1�W.= 1Q�

W�=

! 12 ' 23 ! 34 ' 45 ! 56 ' X � ù�!1�W QQ ' 1�

W�=

Từ hai ví dụ này ta thấy rằng số hạng thứ n của chuỗi số đan dấu có dạng /W � �!1�W.=ZW hoặc là /W � �!1�WZW trong đó bn là số dương. (Thực ra là ZW = |/W |.) Dấu hiệu sau nói rằng nếu các số hạng của một chuỗi đan dấu có trị tuyệt đối giảm về 0, thì chuỗi đan dấu hội tụ.

DẤU HIỆU CHUỖI ĐAN DÂU Nếu chuỗi đan dấu

ù�!1�W.=ZW�

W�= � Z= ! Z� ' Zr ! Z� ' Z8 ! Z\ ' X �ZW @ 0�

thỏa mãn (a) ZW,= # ZW với mọi n. (b) lim��� ZW � 0 thì chuỗi đã cho là hội tụ.

VÍ DỤ 15 Chuỗi điều hòa đan dấu

1 ! 12 ' 13 ! 14 ' 15 ! 16 ' X � ù�!1�W.= 1Q�

W�=

thỏa mãn

(a) ZW,= # ZW với mọi n vì =W,= O =W.

(b) lim��� ZW � lim��� =W � 0.

Do vậy chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. ■ Minh họa hình học:

VÍ DỤ 16 Chuỗi ∑ �.=��rW�W.=�W�= là chuỗi đan dấu, tuy

nhiên

limW�� ZW � limW��3Q4Q ! 1 � limW��

34 ! 1/Q � 34

Vì thế điều kiện (b) không thỏa mãn. Mặt khác giới hạn của số hạng thứ n của chuỗi:

limW�� /W � limW���!1�W3Q4Q ! 1

Giới hạn này không tồn tại, vì thế chuỗi này phân kỳ theo Dấu hiệu phân kỳ. ■

157

VÍ DỤ 17 Kiểm tra xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ

ù�!1�W,= Q�Qr ' 1�

W�=

GIẢI Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu nên ta thử kiểm tra xem các điều kiện (a) và (b) của Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. Ta không thấy rõ rằng dãy ZW= n2/(n3 +1) là dãy giảm. Tuy nhiên khi xét hàm có liên quan đặc biệt f(x) = = x2/(x3 +1), ta có

���� � ��2 ! �r���r ' 1��

Do ta đang xét x > 0, nên ta thấy rằng �Ò��� O 0 nếu 2 ! �r O 0 tức là nếu � @ √2u . Do đó f giảm

trên khoảng (√2u ; ∞�. Điều này có nghĩa là f(n+1) < f(n) và do đó bn+1 < bn khi n F2 (Bất đẳng thức b2 < b1 được kiểm tra một cách trực tiếp)

Điều kiện (b) dễ dàng được kiểm tra là thỏa mãn:limW�� ZW � limW�� W:Wu,= � limW�� �=,�u � 0

Như thế, chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. ■ 2. Chuỗi với các số hạng có dấu bất kỳ Trong phần này chúng tôi trình bày về việc khảo sát tính hội tụ của một chuỗi bất kỳ dựa vào sự hội tụ tuyệt đối, dấu hiệu tỷ lệ và dấu hiệu căn bậc hai. a) Hội tụ tuyệt đối Cho một chuỗi bất kỳ ∑/W, ta xét chuỗi tương ứng

ù |/�|���= � |/=|'|/�| ' |/r| ' X

mỗi số hạng là trị tuyệt đối của số hạng tương ứng trong chuỗi ban đầu.

ĐỊNH NGHĨA Một chuỗi ∑ /����= được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối ∑ |/�|���= hội tụ.

Lưu ý rằng nếu chuỗi ∑ /����= có các số hạng đều là số dương thì |/�| � /� và do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối hay hội tụ là như nhau. Ta đã có các dấu hiệu hội tụ cho chuỗi số dương và chuỗi đan dấu. Tuy nhiên khi dấu của các số hạng không có quy luật thì làm thế nào? Ta sẽ thấy ý tưởng của sự hội tụ tuyệt đối trong Ví dụ 20 để có kinh nghiệm trong những tình huống kiểu như thế.

VÍ DỤ 18 Chuỗi

ù �!1�W.=Q��

W�= � 1 ! 12� ' 13� ! 14� ' X

hội tụ tuyệt đối vì

ù H�!1�W.=Q� H�W�= � 1 ' 12� ' 13� ' 14� ' X

là một p- chuỗi với p =2 nên hội tụ. ■

VÍ DỤ 19 Ta đã biết rằng chuỗi điều hòa đan dấu là chuỗi hội tụ

ù�!1�W.= 1Q�

W�= � 1 ! 12 ' 13 ! 14 ' 15 ! 16 ' X

Nhưng chuỗi này không hội tụ tuyệt đối vì chuỗi giá trị tuyệt đối tương ứng

158

ù ��!1�W.= 1Q��W�= � 1 ' 12 ' 13 ' 14 ' 15 ' 16 ' X

là chuỗi điều hòa ( p-chuỗi với p = 1), do đó là chuỗi phân kỳ. ■ Ví dụ chỉ ra rằng một chuỗi hội tụ chưa chắc đã hội tụ tuyệt đối, những chuỗi như thế được gọi là chuỗi hội tụ có điều kiện hoặc bán hội tụ. Tuy nhiên, định lý sau đây chỉ ra rằng một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

ĐỊNH LÝ Chuỗi ∑ /����= hội tụ tuyệt đối, tức là chuỗi ∑ |/�|���= hội tụ, thì nó hội tụ.

Để giải thích tại sao Định lý đúng, ta có bất đẳng thức sau đây 0 # /W ' |/W| # 2|/W| là đúng vì |/W| là /W hoặc -/W. Nếu chuỗi ∑ /����= hội tụ tuyệt đối, thì ∑ |/�|���= hội tụ, do đó ∑ 2|/����= | hội tụ. Do đó, theo Dấu hiệu So sánh, chuỗi ∑ �/����= ' |/�|) hội tụ. Khi đó ∑ /����= � ∑ �/����= ' |/�|� ! ∑ /����= Là hiệu của hai chuỗi hội tụ nên là một chuỗi hội tụ. □ VÍ DỤ 20 Xác định xem chuỗi

ù cos QQ��

W�= � cos 11� ' cos 22� ' cos 33� ' X

hội tụ hay phân kỳ. GIẢI Chuỗi này có cả những số hạng âm và số hạng dương, nhưng không phải là chuỗi đan dấu. (Số hạng đầu là số dương, hai số hạng sau là số âm, ba số hạng tiếp theo là số dương. Dấu của các số hạng thay đổi không có quy luật.) Ta có thể áp dụng Dấu hiệu So sánh cho chuỗi giá trị tuyệt đối

ù �cos QQ� ��W�= # 1Q�

Ta biết rằng chuỗi ∑ =W: là hội tụ (p-chuỗi với p =2) và do đó ∑ �äÓ� WW: ��W�= là chuỗi hội tụ theo Dấu

hiệu So sánh. Như vậy, chuỗi ∑ äÓ�WW:�W�= hội tụ tuyệt đối nên hội tụ . ■

b) Dấu hiệu thương

DẤU HIỆU THƯƠNG (Dấu hiệu D’Alembert) Cho một chuỗi bất kỳ ∑ /����= .

(a) Nếu limW�� �+�ª¨+� � � � O 1, thì chuỗi ∑ /����= hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ);

(b) Nếu limW�� �+�ª¨+� � � � @ 1 hoặc limW�� �+�ª¨+� � � ∞, thì chuỗi ∑ /����= phân kỳ;

(c) Nếu limW�� �+�ª¨+� � � 1, thì không có kết luận gì.

Chú ý: Nếu limW�� �+�ª¨+� � � 1 dấu hiệu này không đưa ra kết luận gì, có nghĩa là chuỗi ∑ /����=

có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Chẳng hạn với chuỗi ∑ =W:, ta có

�/W,=/W � � 1�Q ' 1��1Q�� n��Q ' 1�� � 1

;1 ' 1n<� � 1 khi Q � ∞

159

Với chuỗi ∑ =�, ta có �+�ª¨+� � � ¨�ª¨� � W,=� � ==,× � 1 khi Q � ∞

Như vậy, limW�� �+�ª¨+� � � 1, thì chuỗi có thể hội tụ và cũng có thể phân kỳ. Trong trường hợp này

Dấu hiệu Thương không áp dụng được và chúng ta phải sử dụng các dấu hiệu khác. VÍ DỤ 21 Kiểm tra xem chuỗi sau có hội tụ tuyệt đối không

ù�!1�W Qr3W�

W�= . GIẢI Ta sử dụng Dấu hiệu Thương với /W � �!1�W Wur�:

�/W,=/W � � d�!1�W,= �Q ' 1�r3W,=�!1�W Qr3Wd � �Q ' 1�r3W,= . 3WQr � 13 kQ ' 1Q lr � 13 k1 ' 1Qlr � 13 d(, Q � ∞

Theo Dấu hiệu Thương, chuỗi đã cho hội tụ và do đó hội tụ. ■ VÍ DỤ 22 Kiểm tra tính hội tụ của chuỗi

ù QWQ!�

W�= . GIẢI Do số hạng bất kỳ của chuỗi là /W � W�W! số dương, ta không cần đến dấu trị tuyệt đối.

+�ª¨+� � �W,=��ª¨�W,=�! : W�W! � �W,=��W,=���W,=�W! · W!W� � ;1 ' =�<W � ½ d(, Q �. Vì e > 1, chuỗi đã cho phân kỳ

theo Dấu hiệu Thương. ■ LƯU Ý: Mặc dù Dấu hiệu thương được áp dụng, nhưng để giải Ví dụ trên còn một cách khác là dùng Dấu hiệu Phân kỳ. Vì

/W � QWQ! � Q · Q · Q · Q ···· Q1 · 2 · 3 · 4 ···· Q F Q

Như thế an không hội tụ đến 0 khi Q � ∞. Do đó, chuỗi đã cho phân kỳ theo Dấu hiệu Phân kỳ. c) Dấu hiệu căn thức (Dấu hiệu Cauchy) DẤU HIỆU CĂN THỨC Cho chuỗi bất kỳ ∑ /����= .

i) Nếu limW�,� t|/W|× � � O 1, thì chuỗi ∑ /����= hội tụ tuyệt đối (do đó hội tụ);

ii) Nếu limW�,� t|/W|× � � @ 1 hoặc limW�,� t/W � '∞, thì chuỗi ∑ /����= phân kỳ;

iii) Nếu limW�,� t|/W|× � 1, thì không có kết luận gì.

VÍ DỤ 23 Chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ

ù k2Q ' 33Q ' 2lW�W�= .

GIẢI

Áp dụng dấu hiệu căn bậc hai, ta được: Nếu limW�,� t|/W|× � �r O 1, chuỗi đã cho hội tụ.

160

$21. CHUỖI LŨY THỪA

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC

21.1 ĐỊNH NGHĨA CHUỖI LŨY THỪA VÀ BÁN KÍNH HỘI TỤ CỦA NÓ Chuỗi lũy thừa là một chuỗi có dạng

�@� ù [W�W�W�? � [? ' [=� ' [��� ' [r�r ' X

trong đó x là một biến số và các số ci là các hằng số, ci gọi là các hệ số của chuỗi. Với mỗi số x cố định, chuỗi (1) là một chuỗi gồm các hằng số và do đó ta có thể kiểm tra tính hội tụ hoặc phân kỳ. Một chuỗi lũy thừa có thể hội tụ với một số giá trị của x và phân kỳ với các giá trị khác.

Tổng của chuỗi là một hàm ���� � [? ' [=� ' [��� ' [r�r ' X với tập xác định là tập gồm các giá trị của x mà tại đó chuỗi số tương ứng hội tụ. Lưu ý rằng f tương tự như một đa thức. Sự khác biệt duy nhất là f có vô hạn các số hạng.

Chẳng hạn, nếu ta lấy cn = 1 với mọi n, chuỗi lũy thừa trở thành chuỗi hình học

ù �W�W�? � 1 ' � ' �� ' �r ' X � 11 ! �

khi -1< x < 1 và phân kỳ khi |x| F 1.

Một cách tổng quát, một chuỗi có dạng

�X� ù [W�� ! /�W�W�? � [? ' [=�� ! /� ' [��� ! /�� ' [r�� ! /�r ' X

được gọi là chuỗi lũy thừa của (x – a) hoặc chuỗi lũy thừa với tâm a.

Chú ý: Trong phần này ta chấp nhận quy ước (x – a)0 = 1 ngay cả khi x = a. Khi x = a thì mọi số hạng đều là 0 do đó (2) hội tụ. Sau đây, ta chỉ xét tính hội tụ khi x ≠ a.

VÍ DỤ 1 Với giá trị nào của x thì chuỗi sau hội tụ ∑ Q! �W�W�? .

GIẢI Ta sử dụng Dấu hiệu Tỷ lệ. Ta đặt /W � Q! �W.

Nếu � ) 0 và cố định, thì ta có

limW�� �+�ª¨+� � � limW�� ��W,=�!E�ª¨W!E� � � limW���n ' 1�|�| � ∞

Theo Dấu hiệu Tỷ lệ, chuỗi phân kỳ khi � ) 0. Do đó, chuỗi chỉ hội tụ khi x = 0.

VÍ DỤ 2 Với giá trị nào của x thì chuỗi sau hội tụ

ù �� ! 3�WQ�

W�=

GIẢI Đặt /W � �E.r��W . Ta có

�/W,=/W � � d�� ! 3�W,=Q ' 1�� ! 3�WQ d � H�� ! 3�W,=Q ' 1 Q�� ! 3�WH � 11 ' 1Q |� ! 3| � |� ! 3| d(, Q � ∞

Theo Dấu hiệu Tỷ lệ, chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối, và do đó hội tụ khi |x – 3| < 1 và phân kỳ khi |x – 3| > 1 tức là chuỗi đã cho hội tụ khi 2 < x < 4 và phân kỳ khi x < 2 hoặc x > 4.

161

Dấu hiệu Tỷ lệ không đưa ra kết luận khi |x – 3| = 1 vì thế ta phải xét x = 2 hoặc x = 4. Nếu ta thay

x = 2 vào chuỗi, ta được chuỗi ∑ �.=��W�W�? là chuỗi hội tụ theo Dấu hiệu về chuỗi đan dấu. Nếu ta

thay x = 4 vào chuỗi, ta được chuỗi ∑ =W�W�? là chuỗi phân kỳ vì là chuỗi điều hòa. Như vậy, chuỗi

lũy thừa đã cho hội tụ với x thỏa mãn 2 # � O 4.

(3) ĐỊNH LÝ Với một chuỗi lũy thừa ∑ [W�� ! /�W�W�? chỉ có ba trường hợp:

(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại một điểm x = a.

(ii) Chuỗi hội tụ với mọi x.

(iii) Có một số dương R sao cho chuỗi hội tụ nếu |x – a| < R và phân kỳ với |x – a| > R.

Số R trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Quy ước: Bán kính hội tụ trong trường hợp (i) là R = 0 và bán kính hội tụ trong trường hợp (ii) là R = ∞. Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập gồm các giá trị của x mà tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ. Trong trường hợp (i) khoảng chỉ gồm đúng một điểm a. Trường hợp (ii) khoảng hội tụ là �!∞; '∞�. Trường hợp (iii) ta lưu ý rằng bất đẳng thức | x – a | < R được viết lại là a – R < x < a +

R. Có thể x là điểm biên của khoảng này, tức là x = a ¸ R, bất kỳ một tình huống nào cũng có thể xảy ra- chuỗi có thể hội tụ, phân kỳ tại một hoặc cả hai đầu mút. Do đó, trong trường hợp (iii) thì khoảng hội tụ có bốn dạng �/ ! �, / ' �� �/ ! �, / ' �& $/ ! �, / ' �� $/ ! �, / ' �&

Các dạng trên được minh họa trong Hình dưới đây.

Ta tổng kết về bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của các chuỗi trong các Ví dụ trên trong bảng dưới đây

Chuỗi Bán kính hội tụ Khoảng hội tụ

Chuỗi hình học ù �W�W�? R = 1 (-1; 1)

Ví dụ 1 ù Q! �W�W�? R=0 {0}

Ví dụ 2 ù �� ! 3�WQ�

W�= R=1 [2; 4)

Dấu hiệu Tỷ lệ có thể được sử dụng để xác định được bán kính hội tụ R trong hầu hết các trường hợp. Dấu hiệu Tỷ lệ không có hiệu lực khi x là đầu mút của khoảng hội tụ, vì thế tại các điểm mút ta phải kiểm tra tính hội tụ nhờ vào các dấu hiệu khác.

VÍ DỤ 3 Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của chuỗi sau

ù �!3�W�W√Q ' 1

�W�?

162

GIẢI Đặt /W � �.r��E�√W,= . Khi đó

�/W,=/W � � H�!3�W,=�W,=√Q ' 2 √Q ' 1 �!3�W�WH � 3e1 ' 1Q1 ' 1Q |�| � 3|�| khi Q � ∞

Theo Dấu hiệu Tỷ lệ , chuỗi đã cho hội tụ nếu 3|x| < 1 và phân kỳ nếu 3|x| > 1. Điều này có nghĩa là bán kính hội tụ là R = 1/3.

Ta biết rằng chuỗi hội tụ tại mỗi điểm thuộc (-1/3; 1/3), nhưng bây giờ ta phải kiểm tra tại các đầu mút của khoảng. Nếu x = -1/3, chuỗi đã cho trở thành

ù �!3�W ;! 13<W√Q ' 1

�W�? � ù 1√Q ' 1

�W�? � 1√1 ' 1√2 ' 1√3 ' 1√4 ' X

Chuỗi này phân kỳ (Sử dụng tiêu chuẩn tích phân hoặc đơn giản hơn là dùng p –chuỗi với p=1/2<1). Nếu x = 1/3, chuỗi đã cho trở thành

ù �!3�W ;13<W√Q ' 1

�W�? � ù �!1�W

√Q ' 1�

W�?

Chuỗi này hội tụ theo Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. Do đó, chuỗi lũy thừa đã cho có khoảng hội tụ là

(! =r ; =r&. ■

VÍ DỤ 4 Tính bán kính hội tụ và tìm khoảng hội tụ của chuỗi

ù Q�� ' 2�W3W,=�

W�?

GIẢI

Đặt /W � W�E,���r�ª¨ , ta có

�/W,=/W � � H�Q ' 1��� ' 2�W,=3W,� 3W,=Q�� ' 2�WH � k1 ' 1Ql |� ' 2|3 � |� ' 2|3 khi Q � ∞

Sử dụng Dấu hiệu Tỷ lệ, ta thấy rằng chuỗi đã cho hội tụ nếu |E,�|r O 1 và phân kỳ nếu

|E,�|r @ 1.

Như vậy, chuỗi đã cho hội tụ khi |x + 2| < 3 và phân kỳ khi |x + 2| > 3.

Nên bán kính hội tụ là R = 3.

Bất đẳng thức |x + 2| < 3 được viết lại là -5 < x < 1, nên ta sẽ kiểm tra tính hội tụ của chuỗi tại

x = - 5 và x = 1. Khi x = -5, chuỗi là

ù Q�!3�W3W,=�

W�? � 13 ù�!1�WQ�W�?

Chuỗi này phân kỳ theo Dấu hiệu Phân kỳ[ �!1�WQ không hội tụ đến 0]. Khi x = 1, chuỗi đã cho là

ù Q�3�W3W,=�

W�? � 13 ù Q�W�?

chuỗi này cũng phân kỳ theo Dấu hiệu Phân kỳ. Như vậy, chuỗi đã cho hội tụ tại các giá trị x thỏa mãn −5 < x < 1 nên khoảng hội tụ là (−5; 1). ■

163

21.2 KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH CHUỖI LŨY THỪA- ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHUỖI LŨY THỪA

Trong mục này ta tìm hiểu về cách biểu diễn một số hàm thành chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng khéo léo các chuỗi hình học, bằng cách lấy vi phân hoặc lấy tích phân một chuỗi.

Bạn có thể băn khoăn rằng tại sao ta lại muốn khai triển một hàm đã biết thành tổng của chuỗi gồm vô hạn số hạng. Câu trả lời là việc đó rất có ích cho việc tính tích phân của các hàm không phải là

hàm lấy được nguyên hàm sơ cấp, cho việc giải các phương trình vi phân, và cho việc xấp xỉ hàm

bởi đa thức. (Các nhà khoa học làm điều này để đơn giản hóa biểu thức họ phải giải quyết; khoa học tính toán làm điều này để biểu diễn hàm trên máy tính cầm tay hoặc máy vi tính.)

Ta bắt đầu mục này bằng một đẳng thức mà chúng ta đã biết trước đây �f� ==.E � 1 ' � ' �� ' �r ' X � ∑ �W�W�? , |�| O 1. Ta đã gặp đẳng thức này, khi đó ta nhận được đẳng thức trên bằng cách nhận thấy nó là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Bây giờ, ta xem đẳng thức (4) là một biểu diễn của hàm

f(x) = 1/(1-x) thành tổng của một chuỗi lũy thừa. Minh họa hình học cho (4) là Hình dưới đây. Bởi vì tổng của một chuỗi là giới hạn của dãy các tổng riêng, ta có

11 ! � � limW�� òW���

trong đó òW��� � 1 ' � ' �� ' �r ' X �W là tổng riêng thứ n. Lưu ý rằng khi n tăng thì òW��� xấp xỉ f(x) càng tốt với x thỏa mãn -1 < x < 1.

VÍ DỤ 5 Khai triển 1/�1 ' ��� thành tổng của một chuỗi lũy thừa và tìm khoảng hội tụ của chuỗi.

GIẢI Thay x bởi – x2 vào (4), ta có

11 ' �� � 11 ! �!��� � ù�!���W�W�? � ù�!1�W��W�

W�? � 1 ! �� ' �� ! �\ ' �> X

Bởi vì đây là một chuỗi hình học, nên nó hội tụ khi |!��| O 1, tức là �� O 1. Do đó, khoảng hội tụ là (-1; 1).

VÍ DỤ 6 Hãy khai triển hàm 1/(x+2) thành chuỗi lũy thừa.

GIẢI Để đưa hàm này về dạng vế trái của (4), trước tiên rút 2 từ mẫu số: 12 ' � � 12 ;1 ' �2< � 12 w1 ! ;! �2<x � 12 ù ;!�2<W�W�? � ù �!1��2W,= �W�

W�?

Chuỗi hội tụ khi |-x/2| < 1, tức là, |x| < 2. Như vậy khoảng hội tụ là (-2; 2). ■

VÍ DỤ 7 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn cho EuE,�.

GIẢI Do hàm này bằng x3 nhân với hàm trong Ví dụ 6 , việc còn lại chúng ta phải làm là nhân chuỗi đó với x3: �r� ' 2 � �r ù �!1��2W,= �W�

W�? � ù �!1��2W,= �W,r�W�? � 12 �r ! 14 �� ' 18 �8 ! 116 �\ ' X

164

Chuỗi này còn có cách viết khác là EuE,� � ∑ �.=�ׯ¨��¯: �W�W�r

Tương tự như Ví dụ 6, khoảng hội tụ là (-2; 2). ■

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI LŨY THỪA Tổng của một chuỗi lũy thừa là một hàm ���� � ∑ [W�� ! /�W�W�? có tập xác định là khoảng hội tụ của chuỗi. Ta có thể muốn lấy đạo hàm hoặc tích phân những hàm số kiểu như vậy, và định lý sau (ta không chứng minh) nói rằng ta có thể làm việc đó bằng cách lấy đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng của chuỗi, tương tự như chúng ta đã làm với đa thức. Việc này được gọi là việc lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng.

(5) ĐỊNH LÝ Nếu chuỗi lũy thừa ∑ [W�� ! /�W�W�? có bán kính hội tụ là R > 0, thì hàm f được xác định bởi ���� � [? ' [=�� ! /� ' [��� ! /�� ' [r�� ! /�r ' X � ∑ [W�� ! /�W�W�?

khả vi (và do đó liên tục) trên khoảng (a – R; a + R) và

(a) �Ò��� � [= ' 2[��� ! /� ' 3[r�� ! /�� ' X � ∑ Q[W�� ! /�W.=�W�=

(b) * ����´� � 2 ' [?�� ! /� ' [= �E.+�:� ' [� �E.+�ur ' X � 2 ' ∑ [W �E.+��ª¨W,=�W�?

Bán kính hội tụ của các chuỗi trong (a), (b) vẫn là R.

CHÚ Ý 1: Các đẳng thức (a) và (b) trong Định lý 5 còn được viết lại dưới dạng

(c) ´� &ù [W�� ! /�W�W�? ' � ù ´� $[W�� ! /�W&�

W�?

(d)

+&ù [W�� ! /�W�W�? '´� � ù+ [W�� ! /�W´��

W�?

Ta biết rằng, với tổng hữu hạn thì đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm và tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân. (c) và (d) khẳng định rằng điều đó cũng đúng với tổng vô hạn, miễn là ta đang làm việc với chuỗi lũy thừa.(Đối với các chuỗi hàm kiểu khác thì chưa chắc.)

CHÚ Ý 2: Mặc dù Định lý 5 nói rằng bán kính hội tụ của chuỗi sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân vẫn là R, thế nhưng không có nghĩa là khoảng hội tụ vẫn giữ nguyên.Có thể xảy ra trường hợp chuỗi ban đầu hội tụ tại đầu mút, trong khi đó chuỗi đạo hàm phân kỳ tại đó.

VÍ DỤ 8 Khai triển 1/(1 - x)2 thành một chuỗi lũy thừa bằng cách lấy đạo hàm hai vế của (4).

GIẢI Đạo hàm hai vế của

11 ! � � 1 ' � ' �� ' �r ' X � ù �W�W�?

Ta được

1�1 ! ��� � 1 ' 2� ' 3�� ' 4�r ' X � ù Q�W.=�W�=

Nếu muốn, ta có thể thay n bởi n + 1 và viết lại kết quả

1�1 ! ��� � ù�Q ' 1��W�W�?

165

Theo Định lý 5, bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm cũng bằng bán kính hội tụ của chuỗi ban đầu, tức là, R = 1. ■

VÍ DỤ 9 Tìm một chuỗi lũy thừa biểu diễn cho ln�1 ! �� và bán kính hội tụ của nó.

GIẢI Lưu ý rằng, không quan tâm đến dấu “ - ” , thì hàm này có đạo hàm là 1/(1- x). Do đó, lấy tích phân cả hai vế của (4) ta được:

! ln�1 ! �� � + 11 ! � ´� � 2 ' � ' ��2 ' �r3 ' X � 2 ' ù �W,=Q ' 1�

W�? � 2 ' ù �WQ�

W�? |�| O 1

Để tìm giá trị của C ta cho x = 0, thì được ! ln�1 ! 0� � 2, do đó C = 0 và

ln�1 ! �� � !� ! ��2 ! �r3 ! X � ! ù �WQ�

W�? , |�| O 1. Bán kính hội tụ cũng bằng bán kính hội tụ của chuỗi ban đầu: R = 1.

Lưu ý xem điều gì sẽ xẩy ra khi ta thay � � =� vào kết quả của Ví dụ 9.

Bởi vì ln =� � ! ln2, ta thấy rằng

ln 2 � 12 ' 18 ' 124 ' 164 ' X � ù 1Q2W�

W�=

Ta có biểu thức để tính gần đúng giá trị ln2.

VÍ DỤ 10 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm ���� � tan.=�.

GIẢI Ta thấy rằng �Ò��� � 1/�1 ' ��� và sẽ tìm được chuỗi theo yêu cầu bằng cách lấy tích phân chuỗi biểu diễn hàm 1/�1 ' ���, chuỗi mà ta đã tìm được từ Ví dụ 5. tan.=� � + 11 ' �� ´� � +�1 ! �� ' �� ! �\ ' X �´� � 2 ' � ! �r3 ' �85 ! ��7 ' X

Để tìm C ta cho x = 0, thì nhận được C � tan.=0 � 0. Do đó

tan.=� � � ! �r3 ' �85 ! ��7 ' X � ù�!1�W ��W,=2Q ' 1�

W�?

Do bán kính hội tụ của chuỗi biểu diễn cho hàm ==,E: là 1, nên bán kính hội tụ của chuỗi biểu diễn tan.=� cũng là 1.

Chuỗi lũy thừa biểu diễn cho tan.=� nhận được trong Ví dụ 10 được gọi là chuỗi Gregory theo tên của nhà toán học người Scotlen James Gregory (1638-1675), người có một số đóng góp trong các phát hiện của Newton. Ta đã chỉ ra rằng chuỗi Gregory chỉ xác định khi -1 < x < 1, ngoài ra nó còn xác định tại -1 và 1(việc chứng minh là không dễ dàng).

Với x = 1, thì ¦� � 1 ! =r ' =8 ! =� ' X

Đây là một kết quả rất đẹp tương tự như công thức Leibnitz của π.

VÍ DỤ 11 (a) Tìm * ==,Eõ ´� dựa vào chuỗi lũy thừa.

(b) Sử dụng phần (a) để tính xấp xỉ * ==,Eõ ´�?,8? dựa vào bốn số hạng đầu thu được khi khai triển

hàm đã cho thành chuỗi lũy thừa.

GIẢI

(a) Bước đầu tiên để tìm tích phân là biểu diễn ==,Eõ thành chuỗi lũy thừa. Như trong Ví dụ 6, ta thay

x trong (4) bởi -x7:

166

11 ' �� � 11 ! �!��� � ù�!���W�W�? � 1 ! �� ' �=� ! ��= ' X

Sau đó ta lẫy tích phân từng số hạng:

+ 11 ' �� ´� � +ù�!���W�W�? ´� � 2 ' ù�!1�W�

W�?��W,=7Q ' 1 � 2 ' � ! �>8 ' �=815 ! ���22 ' X

Chuỗi này hội tụ khi |-x7| < 1, tức là với |x| < 1.

(b) Ta sử dụng nguyên hàm lấy từ phần (a) với C = 0:

+ 11 ' �� ´�?,8? � h� ! �>8 ' �=815 ! ���22 ' X i?

=�

� 12 ! 18 · 2> ' 115 · 2=8 ! 122 · 2�� ' X ' �!1�W�7Q ' 1��W,= ' X

Vì thế ta có

+ 11 ' �� ´�?,8? 12 ! 18 · 2> ' 115 · 2=8 ! 122 · 2�� 0,49951374

21.3 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Trong các mục trước ta đã có thể tìm được biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa cho một lớp rất hẹp các hàm. Ở mục này, ta nghiên cứu tỷ mỉ về bài toán tổng quát hơn: Hàm nào có biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa? Làm thế nào ta tìm được biểu diễn đó?

Trước tiên, ta giả sử rằng f một hàm nào đó mà có biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa như sau �j� ���� � [? ' [=�� ! /� ' [��� ! /�� ' [r�� ! /�r ' [��� ! /�� ' X |� ! /| O � Ta sẽ tìm cách xác định các hệ số [Wtheo hàm f. Để mở đầu, ta chú ý rằng nếu thay x = a vào (6), thì các số hạng sau số hạng đầu tiên đều bằng 0 và ta có ��/� � [? Theo Định lý 5, ta có thể tính đạo hàm từng số hạng của chuỗi (6): �k� �Ò��� � [= ' 2[��� ! /�= ' 3[r�� ! /�� ' 4[��� ! /�r ' X |� ! /| O � và thay x bởi a vào (7), ta được �ç�/� � [= Lấy đạo hàm cả hai vế của (7) ta được: �l� �ÒÒ��� � 2[� ' 2 · 3[r�� ! /� ' 3 · 4[��� ! /�� ' X |� ! /| O � Ta lại thay x = a vào (8), thì được �çç�/� � 2[� Thực hiện thủ tục này thêm một lần nữa. Lấy đạo hàm cả hai vế của (8), ta được: �m� �ÒÒÒ��� � 2 · 3[r ' 2 · 3 · 4[��� ! /� ' 3 · 4 · 5�� ! /�� X |� ! /| O � Và thay x = a vào (9) ta được �ÒÒÒ�+� � 2 · 3[� � 3! [� Đến bây giờ ta đã thấy được nét chung. Nếu ta tiếp tục lấy đạo hàm và thay x = a, ta được ��W��/� � 2 · 3 · 4 · 5 ···· Q[W � Q! [W Giải phương trình để tìm hệ số thứ n ta được

[W � ��W��/�Q!

Công thức này cũng đúng với n = 0 nếu ta quy ước là 0! = 1 và ��?� � �. Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau.

167

(10) ĐỊNH LÝ Nếu f có biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa tại a, nghĩa là nếu

���� � ù [W�� ! /�W�W�? , |� ! /| O �

thì hệ số của nó được tính theo công thức

[W � ��W��/�Q! .

Thay công thức này vào chuỗi, ta thấy

Nếu f có khai triển lũy thừa tại a, thì nó phải là:

�@@� ���� � ù ��W��/�Q! �� ! /�W�W�?� ��/� ' �Ò�/�1! �� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' �ÒÒÒ�/�2! �� ! /�r ' X

Chuỗi (11) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f tại a (hoặc quanh a hoặc tâm a). Trường hợp đặc biệt là a = 0, chuỗi Taylor trở thành

�@X� ù ��W��0�Q!�

W�? �W � ��0� ' �Ò�0�1! � ' �ÒÒ�0�2! �� ' X

Trường hợp này xuất hiện rất thường xuyên, người ta đặt cho một tên đặc biệt là chuỗi Maclaurin. CHÚ Ý: Ta đã chỉ ra rằng nếu f có thể biểu diễn được thành chuỗi lũy thừa tại a, thì f bằng tổng của chuỗi Taylor của nó. Tuy nhiên, tồn tại các hàm không bằng tổng của chuỗi Taylor của nó. Tức là, nếu hàm f khả vi vô hạn tại điểm a thì nó có chuỗi Taylor tại a là

ù ��W��/�Q! �� ! /�W�W�?

Nhưng chưa chắc chuỗi này là chuỗi lũy thừa biểu diễn cho f. Vấn đề đặt ra là: Khi nào chuỗi Taylor của một hàm là chuỗi lũy thừa biểu diễn cho chính nó? Ta sẽ có câu trả lời ở dưới đây.

VÍ DỤ 12 Tìm chuỗi Maclaurin của hàm ���� � ½E và tìm bán kính hội tụ của nó.

GIẢI Nếu ���� � ½E, thì ��W���� � ½E, nên ��W��0� � ½? � 1 với mọi n. Do đó, chuỗi Taylor của f tại 0 (tức là chuỗi Maclaurin) là

ù ��W��0�Q!�

W�? �W � ù �WQ!�

W�? � 1 ' �1! ' ��2! ' �r3! ' X

Để tìm bán kính hội tụ, ta đặt /W � �W/Q!. Khi đó �/W,=/W � � H �W,=�Q ' 1�! Q!�WH � |�|Q ' 1 � 0 O 1

Như vậy, theo Dấu hiệu Tỷ lệ, chuỗi hội tụ với mọi x và bán kính hội tụ là R = ∞. ■ Kết luận mà ta có thể rút ra từ Định lý 10 và Ví dụ 12 là: Nếu ½E có thể khai triển được thành chuỗi

lũy thừa tại 0, thì ½E � ∑ E�W!�W�?

Vì thế ta cần xác định xem liệu ½E có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa không? Ta sẽ nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn: Với những điều kiện nào thì một hàm f(x) bằng tổng của chuỗi Taylor của nó? Nói khác đi, nếu f có đạo hàm mọi cấp, thì khi nào ta được

���� � ù ��W��/�Q! �� ! /�W�W�? .

Cũng như với một chuỗi hội tụ, điều này nghĩa là f(x) là giới hạn của dãy các tổng riêng. Trong trường hợp chuỗi Taylor, các tổng riêng là

168

�W��� � ù ��Þ��/�,! �� ! /�Þ � ��/� ' �Ò�/�1! �� ! /� ' �ÒÒ�/�2! �� ! /�� ' X ' ��W��/�2! �� ! /�WWÞ�?

Lưu ý rằng �W��� là một đa thức bậc n và được gọi là đa thức Taylor bậc n của f tại a.Chẳng hạn với hàm ���� � ½E, Ví dụ 12 đã chỉ ra rằng các đa thức Tayor tại 0 (hay là các đa thức Maclaurin) với n = 1, 2, 3 là: �=��� � 1 ' � ����� � 1 ' � ' E:�! ����� �1 ' � ' E:�! ' Eur! Đồ thị của các hàm trên được vẽ trong Hình dưới đây. Khi n tăng, �W��� ngày càng tiến về ½E. Điều này làm cơ sở để ta dự đoán rằng ½E bằng tổng chuỗi Taylor của nó

Một cách tổng quát, f(x) bằng tổng chuỗi Taylor của nó nếu ���� � limW�� �W���. Nếu ta đặt �W��� � ���� ! �W��� do đó ���� ��W��� ' �W���, �W��� là phần dư thứ n trong khai triển Taylor. Bằng cách nào đó nếu ta chỉ ra được rằng limW�� �W��� � 0 thì suy ra limW�� �W��� � limW��$ ���� ! �W��� & � ���� ! limW�� �W��� � ����

Như vậy, ta chứng minh được định lý sau đây.

(12) ĐỊNH LÝ Nếu ���� � �W��� ' �W���, trong đó �W��� là đa thức Taylor bậc n của f tại a và limW�� �W��� � 0

Với mọi |x – a| < R, thì f bằng tổng của chuỗi Taylor của nó trên tập các x thỏa mãn |x – a| < R.

Khi ta đi chứng minh limW�� �W��� � 0, ta thường hay sử dụng kết quả sau đây

(13) BẤT ĐẲNG THỨC TAYLOR Nếu ���W,=����� # � với |x – a| < R, thì phần dư �W��� của chuỗi Taylor thỏa mãn bất đẳng thức

|�W���| # ��Q ' 1�! |� ! /|W,= với |� ! /| O �

Để thấy được tại sao điều này đúng với n = 1, ta giả sử rằng |�ÒÒ���| # �. Nói riêng, ta có �ÒÒ��� #�, thì + �ÒÒ�|�´|E+ # + �´|E

+

Một nguyên hàm của f’’ là f, vì thế ta có �Ò��� ! �Ò�/� # ��� ! /� hoặc �Ò��� # �Ò�/� ' ��� ! /�

Do đó + �Ò���´�E+ # + $�Ò��� ' ��| ! /�&´|E

+

���� ! ��/� # ��/��� ! /� ' � �� ! /��2

���� ! ��/� ! ��/��� ! /� # �2 �� ! /��

Nhưng �=��� � ���� ! �=��� � ���� ! ��/� ! �Ò�/��� ! /�. Vì thế

�=��� # �2 �� ! /��

Lý luận tương tự, bằng cách dùng �ÒÒ��� F !�, ta chỉ ra được rằng

169

�=��� F !�2 �� ! /��

Vì thế |�=���| # ¤� |� ! /|�

Như vậy, ta đã chứng minh được Bất đẳng thức Taylor cho trường hợp n =1. Với n bất kỳ thì việc chứng minh là tương tự, ta phải lấy tích phân n + 1 lần. Trong việc áp dụng các định lý trên, ta thường xuyên sử dụng kết quả sau: �@f� limW�∞

�WQ! � 0 với mỗi số thực x cố định Điều này là đúng bởi vì từ Ví dụ 12, ta có chuỗi ∑ E�W! hội tụ với mọi x và do đó số hạng thứ n tiến

đến 0. VÍ DỤ 13 Chứng minh rằng eE bằng với tổng chuỗi Taylor của nó.

GIẢI Đặt ���� � eE, thì ta có ��W���� � eE với mọi số n. Do đó, với mỗi số x cố định, ta có thể chọn � � eE trong bất đẳng thức Taylor (với a = 0) với mọi giá trị của n:

|�W���| # ½E�Q ' 1�! |�|W,=

Tuy nhiên, từ (14) ta có: limW�� KÂ�W,=�! |�|W,= � ½E limW�� =�W,=�! |�|W,= � 0

Từ Định lý giới hạn kẹp ta được limW�� |�W���| � 0 và do đó limW�� �W��� � 0. Theo Định lý 12, ½E bằng tổng chuỗi Taylor của nó, tức là, �@o� ½E � ∑ E�W!�W�? ■

Nói riêng, nếu ta thay x = 1 vào (15), ta được biểu diễn của e dưới dạng tổng của một chuỗi vô hạn

�@j� ½ � ù 1Q!�

W�? � 1 ' 11! ' 12! ' 13! ' X

VÍ DỤ 14 Tìm chuỗi Taylor của hàm ���� � ½E tại a = 2.

GIẢI Ta có ��W��2� � ½� và do đó, đặt a = 2 vào định nghĩa của chuỗi Taylor (11), ta được

ù ��W��2�Q! �� ! 2�W�W�? � ù ½�Q! �� ! 2�W�

W�?

Tương tự như Ví dụ 12, ta có thể chỉ ra được rằng bán kính hội tụ � � ∞. Tương tự như Ví dụ 13, ta có thể chứng minh được limW�� �W��� � 0. Do đó �@k� ½E � ∑ K:W! �� ! 2�W�W�? với mọi � ■

Ta đã có hai chuỗi lũy thừa biểu diễn cho ½E, Chuỗi Maclaurin trong (15) và chuỗi Taylor trong (17). Chuỗi thứ nhất tốt hơn nếu ta quan tâm đến các giá trị của x tại các vị trí gần 0, còn chuỗi thứ hai thì tốt hơn nếu ta quan tâm đến các giá trị của x gần 2. VÍ DỤ 15 Tìm chuỗi Maclaurin của hàm sinx và chứng minh rằng bằng sinx với mọi x. GIẢI Ta sắp xếp các tính toán theo hai cột như sau ���� � sin � ��0� � 0 �Ò��� � cos � �Ò�0� � 1 �ÒÒ��� � !sin � �ÒÒ�0� � 0 �ÒÒÒ��� � ! cos � �ÒÒÒ�0� � !1 ������� � sin � �����0� � 0 Do đạo hàm của hàm đã cho lặp lại sau 4 bước, ta có thể viết chuỗi Maclaurin như sau:

��0� ' �Ò�0�1! � ' �ÒÒ�0�2! �� ' �ÒÒÒ�0�3! �r ' X � � ! �r3! ' �85! ! ��7! ' X � ù�!1�W ��W,=�2Q ' 1�!�

W�?

170

Bởi vì ��W,=���� là ¸ sin � ; ¸ cos �, nên ���W,=����� # 1 với mọi x. Nên ta có thể lấy M = 1 trong bất đẳng thức Taylor:

�@l� |�W���| # ��Q ' 1�! |�W,=| # |�|W,=�Q ' 1�! Theo (14) vế phải của bất đẳng thức tiến đến 0 khi Q � ∞, vì thế |�W���| � 0 theo Định lý giới hạn kẹp. Từ đó dẫn đến �W��� � 0 khi Q � ∞ vì thế sinx bằng với tổng của chuỗi Maclaurin của nó theo Định lý 12. ■ Ta nêu lại kết quả của Ví dụ 15 để dùng sau này:

�@m� sin � � � ! �r3! ' �85! ! ��7! ' X � ù�!1�W ��W,=�2Q ' 1�!�

W�?

VÍ DỤ 16 Tìm chuỗi Maclaurin cho hàm cosx. GIẢI Ta có thể làm trực tiếp như Ví dụ 15, nhưng có cách dễ dàng hơn là lấy vi phân hai vế của chuỗi Maclaurin cho sinx được cho bởi (19):

cos � � ´� �sin �� � ´� �� ! �r3! ' �85! ! ��7! ' X� � 1 ! 3��3! ' 5��5! ! 7�\7! ' X

� 1 ! ��2! ' ��4! ! �\6! ' X

Do chuỗi Maclaurin cho sinx hội tụ với mọi x, ta biết rằng đạo hàm chuỗi thì được chuỗi cho cosx hội tụ với mọi x. Do đó

�X>� cos � � 1 ! ��2! ' ��4! ! �\6! ' X � ù�!1�W ��W�2Q�!�

W�? với mọi �

VÍ DỤ 17 Tìm chuỗi Maclaurin cho hàm ���� � � cos �. GIẢI Nhân cả hai vế của chuỗi cho cosx (20) với x:

� cos � � � ù�!1�W ��W�2Q�!�

W�? � ù�!1�W ��W,=�2Q�!�

W�?

VÍ DỤ 18 Biểu diễn hàm ���� � sin � thành tổng chuỗi Taylor của nó tại �/3. GIẢI Sắp xếp các tính toán của chúng ta thành hai cột, ta có

���� � sin � � ;�3< � √32

�Ò��� � cos � �ç ;�3< � 12

�ÒÒ��� � !sin � �ÒÒ ;�3< � !√32

�ÒÒÒ��� � ! cos � �ÒÒÒ ;�3< � !12

những nét chung này được lặp đi lặp lại. Do đó, chuỗi Taylor tại �/3 là:

� ;�3< ' �Ò;Br<1! ;� ! �3< ' �ÒÒ ;�3<2! ;� ! �3<� ' �ÒÒÒ ;�3<3! ;� ! �3<r ' X

� √32 ' 12 · 1! ;� ! �3< ! √32 · 2! ;� ! �3<� ! 12 · 3! ;� ! �3<r ' X

Ta có thể viết chuỗi ở dạng dùng dấu sigma nếu ta tách riêng số hạng có chứa √3:

sin � � ù �!1�W√32�2Q�!�

W�? ;� ! �3<�W ' ù �!1�W2�2Q ' 1�!�

W�? ;� ! �3<�W,=

Ta tổng hợp các kết quả thu được ở trên vào bảng sau đây để tiện dùng sau này, một vài chuỗi Maclaurin quan trọng mà ta đã nhận được trong phần này và ở phần trước.

171

Một số chuỗi Maclaurin quan trọng và khoảng hội tụ

11 ! � � ù �W�W�? � 1 ' � ' �� ' �r ' X �1; 1�

½E � ù �WQ!�

W�? � 1 ' �1! ' ��2! ' �r3! ' X �!∞; '∞�

sin � � ù�!1�W ��W,=�2Q ' 1�!�

W�? � � ! �r3! ' �85! ! ��7! ' X �!∞; '∞�

cos � � ù�!1�W ��W�2Q�!�

W�? � 1 ! ��2! ' ��4! ! �\6! ' X �!∞; '∞�

tan.=� � ù�!1�W ��W,=2Q ' 1�

W�? � � ! �r3 ' �85 ! ��7 ' X �!∞; '∞�

Một trong những lý do làm cho chuỗi Taylor trở lên quan trọng là nó cho phép ta tính được tích phân của những hàm mà ta không thể tính theo nguyên hàm sơ cấp. Newton thường lấy tích phân bằng cách khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa và sau đó tính tích phân từng số hạng. Hàm ���� �½.E:

không thể lấy tích phân theo cách ta đã trình bày ở các chương trước bởi vì nguyên hàm của nó không phải là hàm sơ cấp. Trong Ví dụ sau đây ta sử dụng ý tưởng của Newton để tính tích phân của hàm này.

VÍ DỤ 19 (a) Tìm * ½.E:´� dưới dạng chuỗi vô hạn.

(b) Tính * ½.E:´�=? bởi năm số hạng đầu tiên trong chuỗi.

GIẢI (a) Trước tiên ta tìm chuỗi Maclaurin cho hàm ���� � ½.E:. Ta có thể sử dụng phương pháp

trực tiếp, nhưng ở đây ta tìm nó bằng cách đơn giản hơn đó là thay thế x bởi –x2 vào chuỗi cho hàm ½E đã được tổng kết ở trên. Do đó, với mọi giá trị x ta có:

½.E: � ù �!���WQ!�

W�? � ù�!1�W ��WQ!�

W�? � 1 ! ��1! ' ��2! ! �\3! ' X Bằng cách lấy tích phân từng số hạng: + ½.E:´� � +�1 ! ��1! ' ��2! ! �\3! ' X ' �!1�W ��WQ! ' X�´� � 2 ' � ! �r3 · 1! ' �85 · 2! ! ��7 · 3! ' X ' �!1�W ��W,=�2Q ' 1�Q! ' X chuỗi này hội tụ với mọi x bởi vì chuỗi biểu diễn cho ½.E:

hội tụ với mọi x.

(b) Ta có: * ½.E:´�=? � w� ! Eur·=! ' E�8·�! ! Eõ�·r! ' Ec�·�! ' X x?= � 1 ! =r ' ==? ! =�� ' =�=\ ! X

1 ! =r ' ==? ! =�� ' =�=\ 0,7475

Một cách sử dụng chuỗi Taylor nữa được minh họa trong ví dụ sau đây. Giới hạn có thể tìm bằng cách sử dụng Quy tắc H’Lopital, nhưng ở đây ta dùng chuỗi.

VÍ DỤ 20 Tính limE�? KÂ.=.EE: . GIẢI Sử dụng chuỗi Maclaurin biểu diễn hàm ½E, ta có

limE�?½E ! 1 ! ��� � limE�?

k1 ' �1! ' ��2! ' �r3! ' X l ! 1 ! ��� � limE�?��2! ' �r3! ' ��4! X��

� limE�? ;=� ' Er! ' E:�! ' Eu8! ' X < � =� (bởi vì chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục).

172

PHẦN BÀI TẬP

$1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.

A. BÀI TẬP VỀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ

1. Một nhà đầu tư theo dõi quan hệ giữa số vốn đầu tư và lợi nhuận, thu được bảng sau:

Số vốn đầu tư (triệu đồng) 350 360 370 400 460 480 450 500

Lợi nhuận (triệu đồng) 42 46,8 48,1 54 60,75 64,4 68,5 60,75

(a) Bảng trên cho ta: Lợi nhuận là hàm của số vốn đầu tư. Hãy cho biết: Tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị của hàm số. (b) Số vốn đầu tư có phải là hàm của lợi nhuận không? Vì sao? (c) Hiệu suất sử dụng vốn được hiểu là tỷ số giữa lợi nhuận và số vốn đầu tư. Lập hàm hiệu suất sử dụng vốn theo số vốn đầu tư. 2. Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 5 nghìn đồng/1km nếu quãng đường đi không quá 100 km. Nếu quãng đường đi vượt quá 100 km thì ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả thêm 3,5 nghìn/1km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và C(x) là chi phí thuê xe. Hãy xây dựng hàm C(x) ở dạng công thức. Nêu tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị. 3. Đường cong nào là đồ thị của một hàm số với biến độc lập là x. Trong trường hợp đường cong là đồ thị, hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số.

(a) (b) (c) 4. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau đây:

4

2( )

6

xf x

x x=

+ − ; 4 2( ) 6g x x x= − ; ���� �  ��B.E�,√E:,E.�

=,Kª¨Â¯� ; (�|� � √| ! 1u .

5. Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau đây:

(a) ���� � �|�| (b) ���� � �.� (d) ���� � 1 ' 3�r ! �8 (e) 2( )f x x x= + . 6. Tìm , ,f g f g fg+ − , và f / g và đưa ra miền xác định của chúng:

(a) 3 2( ) 2f x x x= + ,

2( ) 3 1g x x= − (b) ( ) 1 , ( ) 1f x x g x x= + = − 7. Tìm các hàm số , g , , gf g f f f g� � � � và miền xác định của chúng:

(a) 2( ) 1, ( )f x x g x x= − =

(b) 1 1

( ) , ( )1 1

xf x g x

x x

−= =

− +

(c) 3( ) , ( ) 1f x x g x x= = − 8. Các hàm y � arccos x , y � arcsin x , y � arctan x , y � arccot x lần lượt là hàm ngược của các hàm lượng giác cơ bản nào? 9. Nêu cách vẽ và vẽ đồ thị hàm số � � arcsin �, từ đó tìm: Tập xác định, tập giá trị và sự biến thiên của hàm số.

173

10. Tìm tập xác định của các hàm số sau: � � arcsin �EE,= ; � � arctan √1 ! ��. 11. Biết rằng f là hàm 1-1 và f(2) = 9. Tìm f -1(9). 12. Cho hàm số ���� � 3 ' �� ' tan�BE� � , !1 O � O 1.

(a) Tìm �.=�3�.

(b) Tìm ���.=�5��.

13. Cho đồ thị hàm số (a)Tại sao nói, đồ thị là đồ thị của hàm 1-1. (b)Hãy tìm tập xác định của hàm f -1 ? (c)Ước đoán giá trị của �.=�2�. 14. Tìm hàm ngược của các hàm sau: � � 2�r ' 3; � � ln�� ' 3�; � � ½E1 ' 2½E . 15. Công ty Vinamilk bán sản phẩm phô-mai trên thị trường thành phố Hồ Chí Minh. Biết hàm cầu là: _� � !3� ' 112 (P là giá bán một sản phẩm, đơn vị tiền tệ: 1000 đồng). Hàm cung là: _� � 5� ' 20. (Q sản lượng, đơn vị:1000 hộp). (a)Với mức giá bán bao nhiêu, thì thị trường đạt trạng thái cân bằng. Khi đó, sản lượng cần sản xuất là bao nhiêu. (b)Hãy lập hàm cầu, hàm cung với biến độc lập là Q. Vẽ đường cầu, đường cung. 16. Nếu gọi Q là sản lượng, P là giá bán một sản phẩm thì tổng doanh thu là: TR = P.Q. Gọi TC(Q) là tổng chi phí để làm ra Q sản phẩm, thì hàm lợi nhuận là: Π�_� � ���_� ! �2�_�. Công ty TNHH Nam Thắng ở Đông Anh, Hà Nội chuyên sản xuất cục tẩy cho học sinh. Thông tin từ phòng kinh doanh của công ty cung cấp như sau: Giá bán một cục tẩy là 1000 đồng; tổng chi phí khi sản lượng là Q được cho bởi TC(Q) = 6 600 000 + 600Q. (a) Lập hàm lợi nhuận theo sản lượng. (b) Tìm mức sản lượng để đạt trạng thái hòa vốn. (c) Muốn có lãi phải có mức sản lượng thỏa mãn điều kiện gì? Vẽ đồ thị các hàm TC(Q), Π�_� trên cùng một hệ trục tọa độ.

B. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

1. Giả sử gửi tiết kiệm 500$ sau 3 năm thu được 588,38$ với phương thức lãi gộp và định kỳ nửa năm lãi suất r. Tìm r. 2. Nếu lãi gộp 6%/năm, tính theo quý thì cho vay 600$ sau một khoảng thời gian bao lâu thì thu được toàn bộ giá trị là 900$. 3. Nếu sau 3 năm muốn nhận được khoản tiền tiết kiệm là 1000$ với lãi suất 9%/năm, tính theo tháng thì bây giờ phải gửi vào tiết kiệm một lượng tiền là bao nhiêu? 4. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại là 120 triệu đồng, sau 4 năm sẽ thu được toàn bộ là 160 triệu đồng. Lãi suất ngân hàng là 8,6%/ năm. Hỏi thực hiện dự án thì thu được nhiều hơn hay ít hơn so với gửi ngân hàng? Từ đó cho biết có nên thực hiện dự án này không?

5. Cho hàm số òDQ � � !!1 QếR � O 00 QếR � � 01 QếR � @ 0 S. (a) Vẽ đồ thị hàm số; (b) Tìm các giới hạn limE�?ªòDQ�; limE�?¯òDQ�; limE�?òDQ�

6. Có tồn tại hay không các giới hạn sau? Hãy giải thích rõ tại sao lại kết luận như vậy. �/� limE�r�2� ' |� ! 3|� �Z� limE�.\2� ' 12|� ! 6| �[� limE�=�¯ 2� ! 1|2�r ! ��| �´� limE�? k1� ! 1|�|l

174

C. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH

1. 11

11lim

3

4

0 −+

−+

→ x

x

x. 2.

1

1lim

3

4

1 −

−

→ x

x

x.

3. 2

529lim

38 −

−+

→ x

x

x. 4.

22lim

ax

axax

ax −

−+−

→

11. 1

1lim

1 −

−

→ n

m

x x

x (m, n∈N*) 12.

−−

−→ nmx x

n

x

m

11lim

1 (m,n∈N*).

13.1

37lim

23 2

1 −

+−+

→ x

xx

x.

14.

+−−++

±∞→11lim 22 xxxx

x.

15. x

x

x

αcos1lim

0

−

→. 16.

ββ

αα

2

2lim

2 −

−

→ x

x

x.

17. )sin(

)sin(lim

nx

mx

x π→ (m, n∈Z*). 18.

)sin(

)sin(lim

1 β

α

π

π

x

x

x→ (αβ ≠ 0).

19. 882

)2(arcsinlim

2

2

2 +−

−

→ xx

x

x. 20.

2

)tan(lim

2 +−→ x

x

x

π.

21.1

arccoslim

1 +

−

−→ x

x

x

π. 22.

xx

xx

x arcsin2

arcsin2lim

0 +

−

→.

23.x

xxx

x cos1

)3cos()2cos(cos1lim

0 −

−

→. 24.

)3cos(1

)5cos(1lim

0 x

x

x −

−

→.

25. ( )3 2

2sin1

coslim

x

x

x −→π

. 26. xx

xx

x sin

1sin1lim

0

−+

→.

27. )2sin(

tan1tan1lim

0 x

xx

x

+−−

→. 28.

x

xx

x 2

3

0 sin

coscoslim

−

→.

29.20

)2cos(cos1lim

x

xx

x

−

→. 30.

−

±∞→ xx

x

1cos1lim 2 .

31.

−

→x

xx

xcos

tan2lim

2

π

π. 32.

x

xx

x 20 tan

)sin31ln(lim

+

→.

33.( )2

2

0 431ln

)31ln(lim

xx

xx

x −+

−+

→. 34.

( )1ln

)1ln(lim

510

2

++

+−

+∞→ xx

xx

x

35.x

ex

x ln

)1sin(lim

1

1

−−

→. 36.

xx

xx

x 56

78lim

0 −

−

→.

37.xx

x x

x ln

1lim

1

−

→.

38. x

x x

x 3sin

1

0 sin1

tan1lim

+

+

→.

39. x

x xx

+

+∞→

1cos

1sinlim . 40.

21

coslimx

x x

±∞→.

41.

nnn

n

ba

+

+∞→ 2lim .

175

D. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Cho hàm số f(x) =

=

≠

0

01

sin

xkhik

xkhix

x.

Cần sửa lại thế nào để f liên tục tại x = 0.

2. Xác định f(0) để hàm số f(x) = x

xx )1ln()1ln( −−+ liên tục tại x = 0.

3. Giải thích vì sao hàm số f(x) = 3sin2

sincos3

+

++

x

xxxx

liên tục trên R.

4. Cho hàm số y =

≥

<<−+

−≤−

2/cos

2/2/sin

2/sin2

π

ππ

π

xkhix

xkhiBxA

xkhix

.

Tìm giá trị của A, B để hàm số liên tục trên R.

5. Chứng minh rằng hàm số ���� � arctan =E.r gián đoạn tại x = 3.

6. Giả sử hàm số f liên tục tại a, chứng minh |f(x)| cũng liên tục tại a.

$2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

A. BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM

1. Chứng minh rằng nếu f có đạo hàm tại x = a thì ax

xafaxf

ax −

−

→

)()(lim = f(a) – af ’(a).

2. Giả sử f có đạo hàm tại x0, chứng minh rằng h

hxfhxf

h 2

)()(lim 00

0

−−+

→=f ’(x0).

3. Xét tại x = 0 tính liên tục và tính khả vi của hàm số f(x) =

=

≠

00

01

arctan

xkhi

xkhix

x.

4. Hàm cầu của một sản phẩm là � � 10 ! _�; P là giá bán một đơn vị sản phẩm, Q là sản lượng. Tìm giá bán cận biên tại Q = 5 và cho biết ý nghĩa kinh tế. 5. Cho hàm tổng chi phí sản suất �2�_� � 0,0001_r ! 0,02_� ' 5_ ' 100. Tìm hàm MC (chi phí cận biên, tiếng Anh:Marginal Cost); nếu Q = 50 thì MC là bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa kinh tế. 6. Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là _ � 1000 ! 14�. Xác định hàm doanh thu. Tìm doanh thu cận biên khi P = 40.

7. Dùng bảng đạo hàm và các định lý, tìm các đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm sau:

�/� � � 1 ! √�1 ' √� �Z� � � ln k1 ! sin �1 ' cos �l �[� � � �1 ' ��� arctan � ! �2

�´� � � �E: �� @ 0� �½� � � arccos�cos� �� ��� � � t2½E ! 2E ' �� ' ln8 � �d� � � �arcsin ��E

8. Ứng dụng Quy tắc L’Hospital để tìm các giới hạn sau đây

(a)

+

−

+∞→

x

x

x 11ln

arctan2lim

π (b) ( ) x

x

xcos

2

2lim −−

→

ππ

(c) ( )2cos

2

lim tan x

x

x−π

→

176

(d) [ ]xxx

ln)arctan2(lim −+∞→

π (e)

−

−→ xx

x

x ln1

1lim

1 (f)

x

x

x sinln

2sinlnlim

0→

(b) xx

ee xx

x cossinlim

0

−

→

−

(h) ( ))1ln(lnlim1

−+→

xxx

(i)

−−

−→ nmx x

n

x

m

11lim

1 (m,

n∈N*).

(j) limE�? KpÂ.K¯p ��=,E� �/ � qÄ� (k) limE�?ª  �E ���À�E� (l) limE�? ;�À�EE <Â:

(m) limE�?�½E ' �� (n) limE�,∞��B arctan ��E

(Dùng quy tắc L’Hospital để tìm giới hạn trong bài tập ở buổi trước, nếu có thể)

9. Giải thích vì sao khi tính các giới hạn sau không dùng được quy tắc L’Hospital rồi tìm chúng bằng cách khác

(a) xx

xx

x sin

sinlim

+

−

+∞→ (b)

2

0

sin(1/ )lim

sinx

x x

x→ (c)

x

xx

x

coslim

+

+∞→

(d)x

xx

x cot

sinlim

0

+

→ (e)

x

x

x

21lim

+

+∞→.

B. BÀI TẬP VỀ VI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI

1. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số: � � ln =.E=,E ; � � arcsin E�. 2. Tìm vi phân của hàm số � � �√E tại điểm x = 0 khi ∆� � !0,01. 3. Tính ∆y và dy của hàm số y = 2x

3 + 5x2 tại điểm x bất kỳ. Với x nào thì ∆y ∼ dy.

4. (a) Dùng vi phân tính gần đúng giá trị (i) arcsin0,51 (ii) tan460. (b) Dùng vi phân tính gần đúng nghiệm của phương trình 13sinx –15cosx = 0. 5. Dùng quy nạp, hãy chứng minh: (a) f(x) = ax có f(n)(x) = ax(lna)n. (b) f(x) = ln|x| có f (n)(x) = (–1)n(n – 1)!x-n.

(c) f(x) = sinx có f(n)(x) =sin ;� ' Q B�<. (d) f(x) = cosx có f(n)(x) =cos ;� ' Q B�<.

(e) f(x) = xα (α∈R) có f (n)(x) = α(α–1)(α–2)⋅⋅⋅(α–n+1)xα-n.

6. Cho f(x) = anxn + an-1x

n-1 + ⋅⋅⋅ + a1x + a0. Chứng minh rằng !

)0()(

k

fa

k

k = .

Áp dụng: Tính hệ số của x2 trong khai triển của (x2 – x + 1)2008.

7. Tính đạo hàm và vi phân cấp n của (a) y = 23

352 +−

−

xx

x (b) y = 5 – 3cos2

x.

8. Hàm số f(x) = 1− 3 2x bằng 0 khi x = ±1, nhưng f ’(x) ≠ 0 với x ∈[−1; 1]. Điều đó có mâu thuẫn

với Định lý Rolle?

9. Chứng minh các bất đẳng thức: (a) Nếu 0 < b < a thì : b

ba

b

a

a

ba −<<

−ln .

(b) Nếu x, y là hai số thực bất kỳ, thì |arctanx – arctany| ≤ |x – y|.

10. Cho Pn(x) đa thức bậc n. Chứng minh rằng trong khoảng hai nghiệm của đa thức bao giờ cũng có nghiệm của P’n(x).

177

$3. HÀM HAI BIẾN SỐ

A. BÀI TẬP VỀ HÀM HAI BIẾN, GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC.

1. Chứng minh rằng, với hàm sản xuất Cobb-Douglas _ � Z�±�=.±, thì khi lượng lao động và vốn đều tăng lên 2 lần kéo theo sản lượng cũng tăng lên 2 lần. 2. Cho hàm số ���, �� � ln�� ' � ! 1�. (a) Tính ��1,1�; ��½, 1�. (b) Tìm tập xác định của hàm số và vẽ tập xác định trên mặt phẳng tọa độ. (c) Tìm tập giá trị của f. 3. Tìm tập xác định và vẽ miền xác định trên mặt phẳng tọa độ của mỗi hàmsau:

(a) ���, �� � t�� ! �� (b) D��, �� � ln�9 ! �� ! 9��� (c) (��, �� � arcsin��� ' �� ! 2�. 4. Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau:

(a) 2

( 2 ), ( , ) (0;1) (1;2)( , ) 7

0, ( , ) (0;1) (1;2)

x y x yf x y

x y

+ ∈ ×

= ∉ ×

(b) ���, �� � ¾ 0 QếR � ) 0 và � ) 01 QếR � � 0 hoặc � � 0S 5. Cho hàm số bởi bảng

f(x, y) x: 2 4

y

1 0,10 0,15

3 0,20 0,30

5 0,10 0,15

Hãy tìm: Tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị. 6. Vẽ một số đường mức của hàm ���, �� � �� ' �� và mô tả về đồ thị hàm số. 7. Công ty nhôm Văn Hải cho biết: Hiện nay, công ty đang thuê một đơn vị vốn với giá là 10 (đơn vị tiền tệ) và một đơn vị lao động với giá 20 (đơn vị tiền tệ). Chi phí cố định là 150 (đơn vị tiền tệ). Hãy lập hàm tổng chi phí theo K và L. 8. Tìm các giới hạn sau: (a) lim�÷,����=,���5�r ! ����� (b) lim�E,ý���=,.=� e.E� cos�� ' ��

(c) lim�E,ý���?, ?� EýtE:,ý: (d) lim�E,ý���?, ?� Eö.ýöE:,ý:

9. Cho hàm ���, �� � E.ýE,ý . Tìm các giới hạn lặp limE�? limý�? ���, ��, limý�? limE�? ���, ��.

Chứng minh rằng lim�E,ý���?,?����, �� không tồn tại.

Nếu ta có lim�E,ý���r,=����, �� � 6. Có thể nói gì về giá trị f (3,1) hay không? Nếu biết thêm rằng f là

hàm liên tục thì sao?

10. Chứng minh rằng hàm ���, �� � ! EýtE:,ý: QếR �� ' �� ) 00 QếR �� ' �� � 0 S liên tục trên R2.

11. Chứng minh rằng hàm ���, �� � ! EuýEö,ýö QếR �� ' �� ) 00 QếR �� ' �� � 0S gián đoạn tại (0,0).

178

B. BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀ ĐẠO HÀM HÀM HỢP

1. Cho hàm ���, �� � t4 ! �� ! 4��. Tìm �E�1,0� và �ý�1,0�. Nêu ý nghĩa hình học của các số vừa tìm được.

2. Cho ���, �� � ln�� ' t�� ' ��� .Tìm �E�3,4�. 3. Cho ���, �� � arctan ýE .Tìm �E�2,3�. 4. Tìm các đạo hàm riêng của mỗi hàm sau:

(a) ���, �� � �8 ! 3�� (d) ���, �� � ���r ' 8��� (c) ���, |� � ½.} cos ��

(d) ���, |� � √� ln | (e) ���, �� � �ý .

5. Hàm lợi ích u phụ thuộc vào lượng hàng x, y của hai mặt hàng đang quan tâm và được cho bởi

công thức R��, �� � t��2� ' 3�. Hãy tìm giá trị lợi ích biên theo mỗi loại hàng. 6. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp như sau _��,�� � 80√�√�u

. (a) Nếu giữ nguyên mức vốn là K = 25 và tăng lượng lao động từ 64 lên 65 đơn vị, thì sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu. (b) Nếu giữ nguyên lượng lao động là L = 64 và tăng mức vốn từ 25 lên 26 đơn vị, thì sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu. 7. Giả sử § � ��. Tính gần đúng số gia toàn phần của hàm z (độ thay đổi tuyệt đối) khi x tăng từ 2 lên 2,01 đồng thời y tăng từ 3 đến 3,01. 8. Tìm vi phân toàn phần cấp 1 của mỗi hàm số: (a) ���, �� � ½E.ý ' 2� ! 5� ' 6

(b) ���, �� � �E.ýE:,ý: ' ln��� ' 2��

9. Dùng vi phân toàn phần để tính gần đúng (a) ln�√1,03u ' √0,98ö ! 1� (b) �0,99��,?=

10. Tìm đạo hàm của hàm hợp

(a) ���, �� � ��� với � � |� ! 3| ' 1, � � sin |. Tính o*o} .

(b) D��, �� � t1 ' �� ' ��, � � ln | , � � cos |. Tính oºo} .

(c) (��, �� � tan.= ýE , � � ½}, � � 1 ! ½.}. Tính o-o} .

11. Tìm đạo hàm riêng của hàm hợp *E , *ý.

(a) ��R, Ù� � arcsin�R ! Ù� , R � �� ' ��, Ù � 1 ! 2��. (b) ��R, Ù� � sin R sin Ù , R � ���, Ù � ���. (c) ��R, Ù� � ½Û,��, R � Eý , Ù � ýE.

179

$4. CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN

A. BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM HÀM ẨN, ĐẠO HÀM CẤP 2 VÀ HỆ SỐ CO GIÃN.

1. Sử dụng công thức tìm đạo hàm của hàm ẩn một biến, hãy tìm oýoE trong mỗi trường hợp sau:

(a) t�� � 1 ' ��� (b) �8 ' ���r � 1 ' �½E: (c) cos�� ! �� � �½ý

2. Cho y là hàm ẩn xác định bởi �� ! ½E sin � � �. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm y(x) tại điểm �1, ��. 3. Sử dụng công thức tìm đạo hàm của hàm ẩn hai biến để tìm

�E ; �ý trong mỗi trường hợp sau:

(a) ��§ � cos�� ' � ' §� (b) �§ � ln�� ' §� (c) � ! § � arctan��§�. 4. Chứng tỏ phương trình �§� ' �§r ' � ' � � 4 xác định một hàm hai biến z với hai biến độc lập x, y từ một lân cận của điểm (1, 1) vào lân cận của 1. Tìm các đạo hàm riêng của z tại (1, 1). 5. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2, vi phân toàn phần cấp 2 của mỗi hàm sau đây (a) § � sin��� ' �� (b) § � ��½.E ' ���r ' 1 (c) § � ln��� ' ��

(d) Ù � ½EK� (e) § � arctan E,ý=.Eý

6. Chứng minh rằng hàm số § � ln�½E ' ½ý� thỏa mãn mỗi phương trình sau đây:

(a) �E ' �ý � 1

(b) :�E: :�ý: ! ; :�Eý<� � 0

7. Giả sử hàm cầu của hàng hóa trên một thị trường hai loại hàng hóa có dạng _��=, ��� � 6300 ! 2�=� ! 53 ���

Tìm hệ số co giãn của hàm cầu theo P1 tại (20; 30).

8. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng _ � 120�u�:u. Tìm hệ số co giãn của hàm sản xuất lần lượt theo K, L.

B. BÀI TẬP VỀ: CỰC TRỊ TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG

1. Giả sử rằng (0, 2) là một điểm tới hạn của hàm hai biến f với đạo hàm cấp hai liên tục. Trong mỗi trường hợp, bạn có thể nói gì về hàm f. (a) �EE�0,2� � !1; �Eý�0,2� � 6; �ýý�0,2� � 1. (b) �EE�0,2� � !1; �Eý�0,2� � 2; �ýý�0,2� � !8. (c) �EE�0,2� � 4; �Eý�0,2� � 6; �ýý�0,2� � 9. 2. Tìm cực trị của mỗi hàm sau: (a) ���, �� � 9 ! 2� ' 4� ! �� ! 4��. (b) ���, �� � �r ' 3��� ! 15� ! 12�

(c) ���, �� � �� ' �� ! 2�� ' 4�� ! 2�� ' 1 (d) ���, �� � �� ' =E ' =ý

(e) ���, �� � ½.E:.ý:�2�� ' ��� (f) ���, �� � t�� ' �� ! 8

3. Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không có nắp được làm từ một tấm kim loại với diện tích 12 m2. Tìm thể tích lớn nhất của chiếc hộp. (Xem hình bên) 4. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm như sau: ��_=, _�� � 160_= ! 3_=� ! 2_=_� ! 2_�� ' 120_� ! 18. Tìm _=, _� để lợi nhuận đạt tối đa.

180

5. Hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp được cho bởi ���, �� � 100�?,\�?,� ! 20� ! 10�. Xác định K, L để lợi nhuận đạt tối đa.

6. Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau: _= � 25 ! 0,5�=; _� � 30 ! ��. Hàm tổng chi phí là 2�_=, _�� � _=� ' 2_=_� ' _�� ' 20. Hãy tìm mức sản lượng mỗi loại và giá bán ấn định cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.

C. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC, CỰC TRỊ TRÊN MIỀN ĐÓNG BỊ CHẶN VÀ ỨNG DỤNG

1. Tìm cực trị với điều kiện ràng buộc: (a) ���, �� � �� với � ' � � 1. (b) ���, �� � � ' 2� với �� ' �� � 1

(c) ���, �� � cos� � ' cos� � với � ! � � B�. (d) ���, �� � ½Eý với �r ' �r � 16. 2. Tìm cực trị trên miền D đóng bị chặn: (a) ���, �� � 3 ' �� ! � ! 2� với miền D là một tam giác có các đỉnh là (1; 0) (5; 0) và (1; 4). (b) ���, �� � �� ' �� ' ��� ' 4 với � � ���, ��||�| # 1, |�| # 1 �. (c) ���, �� � 4� ' 6� ! �� ! �� với � � ���, ��|0 # � # 4; 0 # � # 5 �. (d) ���, �� � ��� với � � ���, ��|� F 0, � F 0, �� ' �� # 3 �. (e) ���, �� � 2�r ' �� với � � ���, ��|�� ' �� # 1 �. 3. Giải chi tiết các ví dụ 16 và 17 trong bài giảng. 4. Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm từ hai loại nguyên liệu. Mức sản lượng Q phụ thuộc vào lượng nguyên liệu x, y của hai loại được cho theo công thức sau _ � 4�?,�8�?,�8

Giá bán một đơn vị nguyên liệu của loại một và hai tương ứng là 2 và 4 đơn vị tiền.

Nếu doanh nghiệp được giao sản xuất 100 sản phẩm, thì phải mua bao nhiêu nguyên liệu mỗi loại để tổng chi phí cho nguyên liệu là nhỏ nhất. 5. Cho biết hàm lợi ích R��=, ��� � �=�� ' �= ' ��

trong đó �=, �� lần lượt là lượng cầu của hai loại mặt hàng với giá bán lần lượt là $2 và $5. Biết rằng lượng thu nhập dành cho tiêu dùng là $51. Hãy tìm lượng cầu mỗi loại hàng hóa sao cho lợi ích đạt cực đại.

6. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất là _��, �� � �?,r�?,>

Giả sử giá thuê một đơn vị lao động là $2, giá thuê một đơn vị tư bản là 6$. Doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là $384. Hãy cho biết đơn vị sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và bao nhiêu đơn vị tư bản thì sản lượng đạt tối đa.

7. Một doanh nghiệp sản xuất hai mặt hàng thay thế được nhau trong điều kiện độc quyền. Nhu cầu thị trường về hai loại mặt hàng này là _ú¨ , _ú: phụ thuộc vào P1 và P2 theo các hàm _ú¨ � 1000 ! 2�= ' ��; _ú: � 4000 ' �= ! 2��

Chi phí để sản xuất một sản phẩm thứ nhất, thứ hai là 1 và 3 đơn vị tiền. Do hạn chế về vốn nên doanh nghiệp ấn định mức chi phí sản xuất là 2425 đơn vị tiền. Vậy doanh nghiệp sẽ sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để đạt lợi nhuận tối đa, lúc này giá mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu?

181

$5. HÀM CẦU MARSHALL, HÀM CẦU HICK.

NGUYÊM HÀM, TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH, TÍCH PHÂN SUY RỘNG A. BÀI TẬP VỀ LẬP HÀM CẦU MARSHALL VÀ HÀM CẦU HICK BIẾT HÀM LỢI ÍCH. 1. R��, �� � �� ' 5� 2. R��, �� � �?,\�?,�8 3. R��, �� � 4�?,�8�?,�8 4. R��, �� � �� ' 5�

B. BÀI TẬP VỀ NGUYÊN HÀM.

1. Dùng bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm để tìm các nguyên hàm sau đây �/�+ � ! 1√� ´� �Z�+�2E ' 5E�� ´� �[�+ 2E ! 2. 3E5E ´�

�´�+ �� ! 1�� ' 7 ´� �½� + cos 2�sin� � cos� � ´� ��� + ��´�√1 ! ��

�V� + ��´�√�� ' 1 �Q�+�t�� ' 1 ! t�� ! 1�´�

2. Dùng phép đổi biến tìm các nguyên hàm sau �/� + √1 ! 3�u ´� �Z�+ ½�E ' 1½E ' 1 ´� �[�+ 1cos� � √1 ' tan � ´�

�´�+ 1�arcsin ��r. √1 ! �� ´� �½� + ½E,K ´� ��� + �8´�√1 ! ��

�V� +√½E ! 1´� �Q�+ ´�1 ' √�

3. Sử dụng công thức tích phân từng phần, tìm các nguyên hàm sau �/� + �sin 2� ´� �Z�+ �½.�E ´� �[�+ ln� � ´�

�´�+ ½�E cos 3� ´� �½� + �arctan� ´� ��� +arccos � ´�

�V� +arcsin �√� ' 1 ´� �Q�+ �log ��´�

4. Tìm nguyên hàm các hàm hữu tỷ sau

�/� + 2�� ' � ! 12� ! 1 ´� �Z� +2�� ' � ' 1�� ! 2� ' 5 ´� �[� + 1�� ' 1���� ' 1� ´� �´� + ��� ! 1��. ��� ' 2� ' 2� ´� �½� +3�� ' 2� ' 1�r ! 1 ´� ��� + �r´��r ! � �V� + �� ' 5� ' 4�� ' 5�� ' 4 ´� �Q� + ��� ' 1�´����� ' 1��

5. Tìm nguyên hàm các hàm lượng giác �/� + 11 ' sin � ' cos � ´� �Z�+ sinr�cos� � ´� �[�+ cos\ � ´�

�´�+ tan� � ´� �½� + sin 3� cos � ´� ��� + ´�sin� � cos� �

�V� + sin � ' sinr �cos 2� ´� �Q�+ cos �sin� � ' sin � ´�

6. Nguyên hàm một số dạng hàm có chứa căn �/� + 1√� ! √�u ´� �Z�+ 1√�u ' √�ö ´� �[�+ √�√� ' √�u ´�

�´�+ 1�1 ' √��r ´� �½� +)1 ! �� ´� ��� +)� ! 1�

182

�V� + 1√2 ! 3�� ´� �Q�+√�� ! 1�r ´�

C. BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH.

(a) /4

0

cos 2xdx

π

∫ (b) /2

3

0

sin 2 cosx xdx

π

∫ (c) 1

01

xdx

x+∫

(d) 4

3 2

0

9x x dx+∫ (e) ln 2

0

1xe dx−∫ (f) ln5

0

1

3

x x

x

e edx

e

−

+∫

(g) 13

30

1

1 2 1dx

x+ +∫ (h)

/2

02cos 3

dx

x

π

+∫ (i) 7 3

2 20

( 0)a

x dxa

a x

>+

∫

(k) 2 2

0

a

a x dx−∫ (l) 2

0

cos 2x xdx

π

∫ (m) 2

0

( ln )e

x x dx∫

(n) 1/

| ln |e

e

x dx∫ (o) 3

0

arctanx xdx∫ (p) 1

20 ( 1)

xxedx

x +∫

D. BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1. Tại sao mỗi tích phân sau đây là tích phân suy rộng

�/�+ cos �,∞

?´� �Z� + ��½.E�

.∞

´� (c) 2

20 5 6

xdx

x x− +∫ (d)

2

1

1

2dx

x −∫

2. Tính các tích phân sau đây

(a) 0

cos xdx

+∞

∫ (b) 0

1

2 5dx

x−∞

−∫ (c) 1

1

2dx

x

−

−∞−

∫ (d) 2 2

1

( 1)( 4)dx

x x

+∞

−∞ + +∫

(e) 1

xe

dxx

+∞

∫ (f) 3

1

(ln )e

dxx x

+∞

∫ (g) 2

0

arctan

1

xdx

x

+∞

+∫ (h)

2

69

xdx

x

+∞

−∞ +∫

(k) 14

42

1

2dx

x−

+∫ (i)

8

36

4

( 6)dx

x −∫ (j)

3

42

1dx

x−∫ (m)

1

20

1

1dx

x−∫

3. Tìm hằng số k, biết rằng * ����´�,∞.� � 1 �/� ���� � �d½.E với � F 00 với � O 0 S

�Z� ���� � ! d� với 0 O � O 12 ! � với 1 # � # 20 với � O 1 hoặc � @ 2S �[� ���� � sdsin3� với � � �0; �3�0 với � t �0; �3� S

4. Xét tính hội tụ của mỗi tích phân sau

�/� + ��r ' 1 ´�,�?

�Z� + sin ��� ´�,�?

�[� + 2 ' ½.E� ´�,�?

�´� + � ' 1√�� ! � ´�,�=

�½� + arctan �2 ' ½E ´�,�?

��� + 1�± ´�=?

, �² � q� �V� + sin� �√� ´�B?

�Q� +arccot �√�:ø¨ø ´�=?

5. Một số bài tập về ứng dụng tích phân trong kinh tế (a) Cho ���_� � 84 ! 4_ ! _�. Tìm hàm doanh thu ��_� và hàm cầu.

(b) Cho �2�_� � =� _ ' 3. Tìm 2�_� biết rằng chi phí cố định là 100.

(c) Cho ���_� � 3_ ' 700. Tìm ��_� biết rằng nếu bán được 60 đơn vị sản phẩm thì lỗ 7500 đơn vị tiền.

183

$6. TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP 1. Dùng tích phân hai lớp để tìm diện tích của các miền trong mặt phẳng tọa độ được giới hạn bởi các đường sau (a) Đường Parabol � � �� và đường thẳng � � � ! 2. (b) Trục Ox; � � ½.E; � � 0; � � 2. (c) � � ��; � � 2� ! �� (d) �� � 4; � ' � � 5. (e) �� � 4; �� � 8; � � �; � � 2�. 2. Tính mỗi tích phân sau

(a) V ��´�´�ú ; � � ���, �� | ! 1 # � # 1, !� ! 2 # � # �� (b) V ýE�,= ´�´�ú ; � � ���, �� |0 # � # 1, 0 # � # ��� (c) V �´�´�ú ; � � ���, �� | 0 # � # �, 0 # � # sin ��

(d) V �r´�´�ú ; � � ���, �� |1 # � # ½, 0 # � # ln�� (e) V �t�� ! ��´�´�ú ; � � ���, �� | 0 # � # 1, 0 # � # �� (f) V ��´�´�ú ; � là hình phẳng xuất hiện lần lượt ở bài 1. (5 tích phân)

(g) V �r´�´�ú ; � là tam giác có các đỉnh là (0; 2) (1; 1) (3; 2)

(h) V ���´�´�ú ; � là hình phẳng giới hạn bởi � � 0; � � t1 ! ��

(i) V �2� ! 3��´�´�ú ; � là hình phẳng giới hạn bởi đường tròn đơn vị.

(j) V 2��´�´�ú ; � là tam giác với các đỉnh (0; 0) (1; 2) (0; 3).

(k) V ��r ' ���´�´�ú ; � là miền giới hạn bởi � � ��; � � √�.

3. Tìm hằng số k, biết rằng V ���, ��´�´�ú � 1. (a) ���, �� � ¾d�� ' 2�� nếu ��, �� � $0; 1& O $1; 2&0 nếu ��, �� t $0; 1& O $1; 2& S và � � $0; 1&O $1; 2&. (b) ���, �� � ¾d� nếu ��, �� � $0; 1& O $0; �&0 nếu ��, �� t $0; 1& O $0; �&S và � � $0; 1& O $0; �&. (c) ���, �� � ! ��B nếu ��, �� th ỏa mãn �� ' �� # 40 nếu ��, �� thỏ a mãn �� ' �� @ 4S và � là hình tròn �� ' �� # 4. 4. Dùng tích phân hai lớp để tính thể tích của khối (a) Nằm dưới mặt phẳng � ' 2� ! § � 0 và phía trên miền giới hạn bởi � � �; � � �� trong mặt Oxy. (b) Nằm dưới mặt có phương trình § � 2� ' �� và phía trên miền giới hạn bởi � � ��; � � �r trong mặt Oxy. Nằm dưới mặt có phương trình § � �� và phía trên miền tam giác có ba đỉnh (1, 1) (4, 1) và (1, 2) trong mặt Oxy.

B. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1. Kiểm tra xem mỗi hàm số có là nghiệm của phương trình vi phân đã cho hay không

(a) 22

1' 2 0;

1y xy y

x+ = =

+ (b) 2 2

1 2'' 4 ' 4 0; ,x xy y y y e y xe

− −+ + = = =

(c) 1 2'' 2 ' 2 0; cos , sinx xy y y y e x y e x− + = = =

2. Hãy tìm hàm y = f(x) thoả mãn phương trình vi phân đã cho và điều kiện ban đầu kèm theo:

(a) ;12 += xdx

dy y(0) = 3. (b)

2

1

+=

xdx

dy; y(2) = −1.

184

(c) 1

102 +

=xdx

dy; y(0) = 0. (d)

21

1

xdx

dy

−= ; y(0) = 0.

3. Phương trình phân li biến số

(a) 22 0dy

xydx

+ = (b) 221

xdyy

dx= −

(c) (x2 + 1)(tany)y’ = x (d) y’ = 1 + x + y + xy (HD: VP thành tích)

(e) x2y’ = 1 – x2 + y2 – x2 y 2 . (f) ��� ! 3�´� ! 4�´� � 0

(g) 22 cos ,dy

x ydx

= (4)4

yπ

= (l) 2 16

dy x

dx x=

−

(h) 2)3( ++= yxdx

dy

(i) �′ � �8� ' 2� ' 1��

4. Phương trình thuần nhất (a) 2xyy' = x2 + 2y

2 (b) x2y' = xy + x2ey/x

(c) x2y' = xy + y2 (d) xyy' = x2 + 3y

2

(e) xy' = y + 22 yx + (f) �′ � =.rE.rýE,ý,=

(g) 1

2 1

x yy

x y

+ −′ =

− + (h)

1 3 3

1

x yy

x y

− −′ =

+ +

5. Phương trình vi phân tuyến tính (a) ,2' =+ yy y(0)=0. (b) ,32' 2xeyy =−

(c) 2

2' xexyy =− (d) ,75' 2xyxy =+ y(2) = 3.

(e) ,cos)1(' xyy −= y(π )=2. (f) xxyy coscot' =+ .

(g) ,3')4( 2 xxyyx =++ y(0)=1. (h) .)41( 32 ydx

dyxy =− (HD: Coi x là hàm của y)

(i) .1)( =+dx

dyyex

y (HD: Coi x là hàm của y)

6. Phương trình Bernoulli (a) x

2y' + 2xy = 5y

3 (b) y2y' + 2xy

3 = 6x

(c) y' = y + y3 (d) x2

y' + 2xy = 5y4

(e) xy' + 6y = 3xy4/3 (f) 2xy' + y3e-2x = 2xy

C. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 1. Phương trình cấp hai giảm cấp được

(a) xy'' = y' (b) yy'' + (y')2 = 0 (c) y'' + 4y = 0

(d) xy'' + y' = 4x (e) y'' = (y')2 (f) x2y'' + 3xy' = 2

(g) yy'' + (y')2 = yy' (h) y'' = (x + y')2 (i) y'' = 2y(y')3

(k) y3y'' = 1 (l) y'' = 2yy' (m) yy'' = 3(y')2

2. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 với hệ số hằng

(a) " 3 ' 2 0y y y− + = (b) " 2 ' 15 0y y y+ − = (c) " 5 ' 0y y+ =

(d) 2 " 3 ' 0y y+ = (e) 2 " ' 0y y y− − = (f) 4 " 8 ' 3 0y y y+ + =

185

(g) 4 " 4 ' 0y y y+ + = (h) 9 " 12 ' 4 0y y y− + = (i) " 6 ' 13 0y y y− + =

(k) " 8 ' 25 0y y y+ + = (l) " 6 ' 25 0; (0) 3, '(0) 1y y y y y− + = = =

3. Phương trình cấp 2 hệ số hằng với vế phải đặc biệt

(a) �ÒÒ ! 2�Ò ! 3� � 6; ��0� � 3, �Ò�0� � 11. (c) 2 3 4y y y x′′ ′− − = +

(b) 316 xy y e′′ + = (e) 4 4 3 xy y y xe′′ ′+ + =

(d) 6 2sin 3y y y x′′ ′− − = (g) 22 4 7y y y x′′ ′+ + =

(f) 2siny y y x′′ ′+ + = (i) 9 2cos3 3sin 3y y x x′′ + = +

(l) ( ) ( )3 2 ; 0 0, 0 3xy y y e y y′′ ′ ′+ + = = = (h) 2 3 1 xy y y xe′′ ′+ − = +

(m) ( ) ( )9 sin 2 ; 0 0, 0 0y y x y y′′ ′+ = = = (k) sin cosy y x x x′′ + = +

4. Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số

(a) 3 2 4 xy y y e′′ ′+ + = (b) 22 8 3 xy y y e−′′ ′− − =

(c) 24 4 2 xy y y e′′ ′− + = (d) 4 cos3y y x′′ + =

(e) 9 sin 3y y x′′ + = (f)

24 siny y x′′ + =

(g) 4 xy y xe′′ − =

$7. CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM.

CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI

(1) Nếu chuỗi có dạng ∑1/Qô, thì là p – chuỗi, p > 1 thì hội tụ còn p ≤ 1 thì phân kỳ. (2) Nếu chuỗi có dạng ∑/�W hoặc ∑/�W.=, là chuỗi hình học, nếu | r | < 1 thì hội tụ , ngược lại thì phân kỳ. Đôi khi ta phải biến đổi để đưa về hai dạng trên.

(3) Nếu chuỗi có dạng tương tự như hai dạng trên, thì có thể dùng dấu hiệu so sánh.

(4) Nếu /W � ��Q�, với * ����´�,�+ hội tụ, thì dùng dấu hiệu tích phân. (5) Nếu thấy rằng limW�,� /W ) 0, thì chuỗi phân kỳ. A. BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ DƯƠNG 1. Nói rằng ∑ /W�W�= � 5, thì có nghĩa là gì?

2. (a) Biết tổng riêng thứ n của chuỗi ∑ /W�W�= là òW � W.=W,=. Hãy tìm /W và tìm ∑ /W�W�= .

(b) Biết tổng riêng thứ n của chuỗi ∑ /W�W�= là òW � 3 ! Q2.W. Hãy tìm /W và tìm ∑ /W�W�= . 3. Dùng định nghĩa để xét tính hội tụ hoặc phân kỳ của mỗi chuỗi sau

�/� ù 1Q�Q ' 2��

W�= �Z� ù 14Q� ! 1�

W�= �[� ù 1½�W�

W�= �´� ù Q� ' 3Q ' 1�Q� ' Q��

�W�=

186

4. Tính tổng của mỗi chuỗi sau �/� 1 ! 32 ' 94 ! 278 ' X �Z� ù �!3�W.=4W�

W�= �[� ù k 12W.= ' 23W.=l�W�=

�´� ù 3W ' 2W6W�

W�= �½� ù$2�0,1�W ' �0,2�W&�W�=

5. Hãy xác định xem mỗi chuỗi sau đây hội tụ hay phân kỳ, nếu hội tụ hãy tính tổng. �/� 4 ' 85 ' 1625 ' 32125 ' X �Z� ù 3.W. 8W,=�W�=

�[� ù 4W,=5W�

W�? �´� ù Q�3�Q ' 1��Q ' 2��

W�= �½� ù Q√Q� ' 1 �W�=

��� ù 15 ' 2.W�

W�= �D� ù arctanQ �W�=

6. Hãy biểu diễn mỗi số sau dưới dạng phân số. �/� 0, 5~ � 0,5555 … �Z� 0, 15~~~~ � 0,151515 … 7. Hãy tìm x sao cho mỗi chuỗi sau hội tụ. Hãy tìm tổng với x tìm được.

�/� ù�� ! 3�W�W�? �Z� ù 3W�

W�? �W �[� ù 1�W�

W�?

8. Dùng dấu hiệu tích phân để xét sự hội tụ của mỗi chuỗi sau:

�/� ù k 2Q√Q ' 3Qrl�W�= �Z� ù 1Q� ' 1

�W�= �[� ù QQ� ' 1

�W�=

�´� ù Q½.W:�W�= �½� ù lnQQ�

�W�= ��� ù 1Q lnQ

�W�=

�D� ù sin�1Q�Q��

W�= �d� ù arctan Q1 ' Q��

W�=

9. Giả sử ∑ /W�W�= và ∑ ZW�W�= là những chuỗi với mỗi số hạng đều dương và ta biết rằng chuỗi ∑ ZW�W�= là hội tụ. (a) Nếu /W @ ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /W�W�= hay không? Tại sao? (b) Nếu /W O ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /W�W�= hay không? Tại sao? 10. Giả sử ∑ /W�W�= và ∑ ZW�W�= là những chuỗi với mỗi số hạng đều dương và ta biết rằng chuỗi ∑ ZW�W�= là phân kỳ. (a) Nếu /W @ ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /W�W�= hay không? Tại sao? (b) Nếu /W O ZW với mọi n, ta có thể kết luận gì về chuỗi ∑ /W�W�= hay không? Tại sao? 11. Cho hai chuỗi ∑ Q¹�W�= và ∑ ZW�W�= .Tên gọi của chuỗi thứ nhất là gì? Tên gọi cho chuỗi thứ hai là gì? Với giá trị nào của b thì chuỗi thứ nhất hội tụ? Với giá trị nào của b thì chuỗi thứ hai hội tụ? 12. Xét tính hội tụ của mỗi chuỗi sau:

�/� ù 1√Q ! 1�

W�� �Z� ù 1Qr ' Q��

W�= �[� ù 34W ' 5�

W�=

�´� ù 1 ' 5W4W�

W�= �½� ù ò,Q�QQ√Q�

W�= ��� ù 3Q�Q ' 3��

W�=

187

�D� ù 2W ' 13W ' 1�

W�= �d� ù 11 ' √Q�

W�= �V� ù 1Q� ! 4�

W�r

�Q� ù sin k1Ql�W�= �L� ù Q� ! 3Q√Q=? ! 4Q�u

�W�=

CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU (1) Nếu chuỗi có dạng ∑�!1�W/W hoặc ∑�!1�W.=/W, thì dùng dấu hiệu chuỗi đan dấu. (2) Chuỗi mà các số hạng với dấu không có quy luật, thì có thể dùng tính hội tụ tuyệt đối (3) Chuỗi mà số hạng tổng quát có liên quan đến tỷ lệ hoặc tích, thường sử dụng dấu hiệu thương. (4) Chuỗi có số hạng tổng quát có dạng �/W�W, thường dùng dấu hiệu căn thức. B. BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ ĐAN DẤU 1. Với giá trị nào của p thì chuỗi sau hội tụ

ù �W�=

�!1�W.=Qô

2. Bạn có thể kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi ∑ /����= trong mỗi trường hợp sau đây?

�a� limW�� �/W,=/W � � 8 �Z� limW�� �/W,=/W � � 0,8 �[� limW�� �/W,=/W � � 1

3. Kiểm tra xem mỗi chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ. �/� 35 ! 36 ' 37 ! 38 ' 39 ! X �[� ù�!1�W,= Q5Q ' 1 �W�=

�Z� 1ln 2 ! 1ln 3 ' 1ln 4 ! 1ln5 ' 1ln 6 ! X �´� ù�!1�W Q�Q� ' 1 �W�=

�½� ù�!1�W QQ� ' 1 �W�= ��� ù�!1�W.= ln QQ �

W�= �D� ù cos Q�Qr� �

W��

4. Chuỗi sau có hội tụ tuyệt đối hay không?

�/� ù �W�=

�!3�WQr �Z� ù �W�=

�!3�WQ! �[� ù �W�=

�!1�W,=2Q ' 1

�´� ù �W�= �!1�W.= √QQ ' 1 �½� ù �

W�=sin 2QQ� ��� ù �

W�=�!1�W,=5W.=�Q ' 1��4W,�

�D� ù �W�=

�Q ' 2��5�WQ3�W �(� ù �W�=

cos ;Q�6 <Q√Q �,� ù �W�=

�Q ' 2�!10WQ!

5. Xét tính hội tụ của mỗi chuỗi sau

�/� ù �W�?

�!10�WQ! �Z� ù �W��

�!1�W.=2WQ� �[� ù �W�=

�!1�W,=Q�2WQ! �´� ù �

W�= k Q ' 12Q� ' 1lW �½� ù �

W��Q�ln Q�W ��� ù �

W�=�!2�WQW

188

C. BÀI TẬP VỀ CHUỖI LŨY THỪA 1. (a) Thế nào là bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm nó? (b) Thế nào là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm? 2. Nếu ∑ [W4W�W�? là chuỗi hội tụ, thì các chuỗi sau có hội tụ không?

�/� ù [W�!2�W�W�? �Z� ù [W�!4�W�

W�?

3. Giả sử rằng chuỗi ∑ [W�W�W�? hội tụ tại x = -4 và phân kỳ tại x = 6. Ta có thể nói gì về sự hội tụ của các chuỗi sau đây?

�/� ù [W�

W�? �Z� ù [W8W�W�? �[� ù [W�!3�W�

W�? �´� ù�!1�W[W9W�W�?

4. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của mỗi chuỗi sau.

/� ù �WQ ' 2�

W�? Z� ù �!1�W�W√Qu

�W�= [� ù �WQ!

�W�? ´� ù �WQ�

� W�=

½� ù �!1�W�W22W�

W�= �� ù Q��W10W�

W�? D� ù Q4W�

W�? �2� ! 1�W (� ù �!1�W��W.=�2Q ! 1�!�

W�=

,� ù �!1�W�� ! 1�W√Q

�W�= u� ù �� ! 4�WQ5W

�W�= d� ù 2W�� ! 3�WQ ' 3

�W�? L� ù �� ' 1�WQ�Q ' 1�

�W�=

V� ù Q! �2� ! 1�W�W�= Q� ù Q�W1 · 2 · 3 · 4 X �2Q ! 1�

�W�=

5. Hãy biểu diễn mỗi hàm sau đây thành chuỗi lũy thừa và tìm khoảng hội tụ.

/� ���� � 11 ' � Z� ���� � �1 ! � [� ���� � 11 ' 4�� ´� ���� � 1�� ' 16

6. Hãy biểu diễn mỗi hàm sau đây thành chuỗi lũy thừa và tìm bán kính hội tụ /� ���� � 1�1 ' ��� Z� ���� � ln � [� ���� � 1�1 ' ��r 7. Tính các tích phân không xác định sau theo chuỗi lũy thừa

/� + 11 ' �� ´� Z� + �1 ' �8 ´� [� +arctan�� ´� ´� + tan.=����´�

½� + sin���� ´� �� + sin �� ´� D� +t�r ' 1´� (� + ½Eu´�

8. Sử dụng chuỗi lũy thừa để xấp xỉ các tích phân xác định, lấy 3 số hạng đầu trong khai triển

�/� + 11 ' �� ´�?,�? �Z� + tan.=����´�=/�

? �[� + ��tan.=����´�=/r? �´� + ´�1 ' �\

=/�?

9. Sử dụng chuỗi Maclaurin nhận được trong mục này để tìm ra chuỗi Maclaurin biểu diễn cho mỗi hàm đã cho. �/� ���� � ½rE �Z� ���� � sin2� �[� ���� � �� cos � �´� ���� � cos��r�

10. Sử dụng chuỗi để tính giới hạn.

�/� limE�?� ! tan.=��r �Z� limE�?

1 ! cos �1 ' � ! ½E �[� limE�?sin � ! � ' 16 �r

�8 �´� limE�? tan� ! ��r