Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT - Học viện Công ...dlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1277/1/BG Toan ky thuat.pdf · Công thức tích phân Cauchy ... Đạo hàm và tích

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

PGS.TS. LÊ BÁ LONG

Bài giảng

TOÁN KỸ THUẬT dùng cho sinh viên ngành điện tử - viễn thông

HÀ NỘI 2013

LỜI NÓI ĐẦU

Tập bài giảng Toán kỹ thuật được biên soạn lại trên cơ sở giáo trình toán chuyên

ngành dành cho sinh viên ngành điện tử viễn thông của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã được tác giả và TS. Vũ Gia Tê biên soạn từ năm 2005. Giáo trình này đã được Học viện ban hành và sử dụng làm tài liệu chính để giảng dạy và học tập từ năm 2005 đến năm 2012. Năm 2012 Học viện ban hành đề cương chi tiết môn học theo hướng tín chỉ. Với hình thức đào tạo này đòi hỏi sinh viên phải tự học tập nghiên cứu nhiều hơn. Tập bài giảng này được biên soạn lại cũng nhằm đáp ứng yêu cầu đó Nội dung chương 4 “phương trình đạo hàm riêng” của giáo trình cũ được thay bằng khái niệm quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov và quá trình dừng. Đây là những nội dung toán học rất cần thiết trong việc ứng dụng để xử lí các tín hiệu ngẫu nhiên và trong các bài toán về chuyển mạch. Tập bài giảng bao gồm 4 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực điện tử viễn thông. Nội dung tập bài giảng đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được Học viện duyệt.

Chúng tôi chọn cách trình bày phù hợp với người tự học theo hình thức tín chỉ. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các khái niệm và các kết quả. Cố gắng chứng minh các định lý mà chỉ cần đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh họa, chúng tôi đã đưa thêm nhiều ví dụ hơn so với giáo trình trước đây. Hy vọng rằng qua nhiều ví dụ sinh viên sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn. Cuối từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lĩnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích của cuốn tài liệu. Hệ thống bài tập cuối mỗi chương khá đa dạng và đầy đủ từ dễ đến khó giúp sinh viên luyện tập và tự kiểm tra sự tiếp thu kiến thức của mình. Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3… Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương.

Một số nội dung trong tập bài giảng sinh viên đã được học trong các học phần giải tích 1, giải tích 2, nhưng đảm bảo tính chất hệ thống tác giả cũng trình bày lại. Vì vậy với thời lượng ứng với 3 tín chỉ của môn học giảng viên khó có đủ thời gian để trình bày hết các nội dung của tập bài giảng ở trên lớp. Tác giả đánh dấu (*) cho các nội dung này và dành cho sinh viên tự học.

Vì nhận thức của tác giả về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Tác giả rất mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để tập tài liệu được hoàn thiện hơn.

Tuy tác giả đã rất cố gắng, song do thời gian bị hạn hẹp, nên các thiếu sót còn tồn tại trong tập bài giảng là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp, các học viên xa gần. Xin chân thành cám ơn.

Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS Phạm Ngọc Anh, TS. Vũ Gia Tê, Ths. Lê Bá Cầu, Ths. Lê Văn Ngọc đã đọc bản thảo và cho những ý kiến phản biện quý giá.

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông, bạn bè đồng nghiệp đã khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để hoàn thành tập tài liệu này. Hà Nội 8/2013

Tác giả

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC ...………………………………………………... 9 1.1. SỐ PHỨC …………………………………………………………………..…….. 9 1.1.1. Các dạng và các phép toán của số…………………………………...……… 9

1.1.2. Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức ……………………….………….….... 18 1.1.3. Lân cận, miền ……………………………………………….……………… 19

1.2. HÀM BIẾN PHỨC ……………………………………….…………….…………. 20 1.2.1. Định nghĩa hàm biến phức …………………………………………..……… 20 1.2.2. Giới hạn, liên tục ……………………………………………………....…… 21 1.2.3. Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann …………………………..…... 23 1.2.4. Các hàm phức sơ cấp cơ bản ……………………………………………….. 25

1.3. TÍCH PHÂN PHỨC, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ……………..……. 28 1.3.1. Định nghĩa và các tính chất ………………………….………….………..…. 28

1.3.2. Định lý tích phân Cauchy và tích phân không phụ thuộc đường đi………….. 31 1.3.3. Nguyên hàm và tích phân bất định…………………………………………. 34 1.3.4. Công thức tích phân Cauchy …………………………………….………….. 34 1.3.5. Đạo hàm cấp cao của hàm giải tích ………………………………………… 36 1.3.6. Bất đẳng thức Cauchy và định lý Louville …………………………………. 38

1.4. CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC ………………………………………………………… 39 1.4.1. Chuỗi số phức ……………………………………………………….………. 39 1.4.2. Chuỗi luỹ thừa ………………………………………………………………. 40 1.4.3. Chuỗi Taylor, chuỗi Mac Laurin …………………………………….……… 44 1.4.4. Chuỗi Laurent và điểm bất thường ………………….…………...….………. 48

1.5. THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG …………………………….………….….……… 55 1.5.1. Định nghĩa thặng dư …………………………….………….…………...…… 55

1.5.2. Cách tính thặng dư ……………………………….………….………….…… 55 1.5.3. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư ………………………….………………… 56

1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI Z ……………………………….………….…………....……… 62 1.6.1. Định nghĩa phép biến đổi Z ……………………………….…………....…… 62

1.6.2. Miền xác định của biến đổi Z ……………………………………..………… 62 1.6.3. Tính chất của biến đổi Z ……………………………….………….………… 65

1.6.4. Biến đổi Z ngược ……………………………….………….………….…… 67 1.6.5. Ứng dụng của biến đổi Z ……………………….………….………..….…… 71

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1………………………………………... 73 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN…………………………….……... 80 2.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE……………………………………………………... 80 2.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận……………………………………………..…… 80 2.1.2. Phép biến đổi Laplace ngược ………………………………..………………. 96 2.1.3. Ứng dụng của biến đổi Laplace ………………………………….…………… 103 2.2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER ……………………………………………………… 115 2.2.1. Chuỗi Fourier ………………………………………………………………… 116 2.2.2. Phép biến đổi Fourier hữu hạn …………………….………….………….…… 123

2.2.3. Phép biến đổi Fourier ……………………………………………….…...……. 127 2.2.4. Phép biến đổi Fourier rời rạc ………………………………….……...……… 135

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 …………………………………..…. 142 CHƯƠNG 3: CÁC HÀM SỐ VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT………….…. 149 3.1. HÀM DELTA ………………………….………….………….………….……….. 149 3.1.1. Khái niệm hàm delta …………………………………………………….…... 149 3.1.2. Đạo hàm và tích phân của hàm delta ………………………………………… 151 3.1.3. Khai triển Fourier của hàm delta ………………….………….……………… 155 3.1.4. Biến đổi Fourier của hàm delta ……………………………………………… 156 3.2. CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN ………………………………………………..…... 157 3.2.1. Công thức xác định các hàm số tích phân ………………………………..….. 157

3.2.2. Khai triển các hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa ………………………… 159 3.3. HÀM GAMMA, HÀM BÊ TA …………………………………………………… 162 3.3.1. Định nghĩa hàm Gamma ………………………………………………..……. 162 3.3.2. Các tính chất của hàm Gamma ………………………………………………. 164 3.3.3. Hàm Beta …………………………………………………………………… 169 3.4. PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ CÁC HÀM BESSEL……………….………….. 173 3.4.1. Phương trình Bessel …………………………………………..……………… 173 3.4.2. Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 ……………………………………………… 173 3.4.3 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel. …………………………...……. 179

3.4.4. Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 với cấp bán nguyên …….…………..……… 182 3.4.5. Các tích phân Lommel ……………………………………………….……… 184 3.4.6. Khai triển theo chuỗi các hàm Bessel ……………………………………… 186 3.4.7. Các phương trình vi phân có thể đưa về phương trình Bessel……….……... 189

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ………………………………………. 193 CHƯƠNG 4: CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG…….……………...…… 199 4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ……………….... 200 4.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên ………………..……………..……………... 200 4.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên ……………..……………..………………….. 201 4.2 CHUỖI MARKOV ……………..……………..……………..…………………. 205 4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất ……………..……….…….. 205 4.2.2 Ma trận xác suất chuyển ……..……………………………………....…….. 206 4.2.3 Ma trân xác suất chuyển bậc cao, Phương trình Chapman–Kolmogorov ..... 206 4.2.4 Phân bố xác suất của hệ tại thời điểm n……..……..………………….…… 208 4.2.5 Một số mô hình chuỗi Markov quan trọng ……..……..…………………… 209 4.2.6 Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic ……..………………….. 212 4.3. QUÁ TRÌNH DỪNG ……………..………………………………………….… 218 4.3.1. Hàm hiệp phương sai và hàm tự tương quan của quá trình dừng …..…….. 218 4.3.2. Đặc trưng phổ của quá trình dừng ……..……..…………………………… 221 4.4. TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN VÀ TINH CHÂT ERGODIC ……..…… 232 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ………………………………..……. 234 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 1……………………………………………… 241 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 2 …………………………………………….. 247 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 3 …..………………………………………… 254

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 4…..………………………………………… 256 PHỤ LỤC A: Biến đổi Z của dãy tín hiệu thường gặp……………………….…….… 261 PHỤ LỤC B: Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier…………… 262 PHỤ LỤC C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp …………………………………… 263 PHỤ LỤC D: Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace…………… 264 PHỤ LỤC E: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp……………………………… 266 PHỤ LỤC F: Bảng giá trị của hàm mật độ và hàm phân bố xác suất phân bố chuẩn … 277 BẢNG THUẬT NGỮ ………………………………………………………….……… 279 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………. 280

CHƯƠNG I

HÀM BIẾN SỐ PHỨC Số phức khởi đầu được sử dụng để tính toán một cách đơn giản, tuy nhiên lý thuyết hàm

biến phức ngày càng chứng tỏ là một công cụ rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Hầu hết các lời giải độc đáo của các bài toán quan trọng trong lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, và thủy động lực đều được sử dụng phương pháp các hàm biến phức. Đối với vật lý hiện đại, hàm biến phức trở thành một bộ phận thiết yếu của vật lý lý thuyết. Chẳng hạn các hàm sóng trong cơ học lượng tử là các hàm biến phức.

Dĩ nhiên khi thực hiện một thí ngiệm hoặc phép đo nào đó thì kết quả mà chúng ta nhận được là các giá trị thực, nhưng để phát biểu lý thuyết về kết quả này thường phải sử dụng đến số phức. Có một điều kỳ lạ rằng nếu lý thuyết chính xác thì các phân tích toán học với hàm biến phức luôn dẫn đến lời giải là thực. Vì vậy hàm biến phức thực sự là một công cụ không thể thiếu của khoa học kỹ thuật hiện đại.

Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, miền, giới hạn, liên tục, đạo hàm của hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent … Để nghiên cứu các vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi hàm biến phức ( )f z tương ứng với hai hàm hai biến thực ( , )u x y , ( , )v x y . Hàm biến phức ( )f z liên tục khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y liên tục. Hàm ( )f z khả vi khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 của các hàm

( , )u x y , ( , )v x y … như vậy ta có thể chuyển các tính chất giải tích của hàm biến phức về tính chất tương ứng của hàm thực hai biến và các tính chất này đã được học trong giải tích 2.

Ngoài ra xuất phát từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta còn có các công thức tích phân Cauchy, khai triển hàm biến phức thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập và ứng dụng lý thuyết thặng dư để giải quyết những bài toán cụ thể. Cuối cùng ta xét phép biến đổi Z là một ứng dụng cụ thể của khai triển Laurent.

1.1 TẬP SỐ PHỨC 1.1.1 Các dạng của số phức và các phép toán của số phức

Rất nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật và trong thức tế được qui về giải phương trình đại số cấp hai:

2 0 ( 0)ax bx c a .

Phương trình này có nghiệm thực khi 2 0b ac , tuy nhiên trường hợp phương

trình không có nghiệm thực, ứng với 2 0b ac , cũng thường gặp và có nhiều ứng dụng. Vì vậy người ta mở rộng trường số thực đã có lên trường số mới sao cho trong trường số này phương trình cấp hai trên luôn có nghiệm.

Phương trình cấp hai với 0 đơn giản nhất có dạng 2 1 0x . Nếu ta đưa vào

số mới i (đơn vị ảo) sao cho 2 1i thì phương trình trên có thể phân tích thành

2 2 21 0.x x i x i x i

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x i .

Mở rộng trường số thực để phương trình trên có nghiệm ta được trường số phức ,

mỗi phần tử của nó được gọi là số phức. Trường số phức có cấu trúc trường với phép cộng,

phép nhân được mở rộng từ các phép toán của trường số thực.

A. Dạng tổng quát của số phức

z x iy , trong đó ,x y là các số thực.

x là phần thực của z , ký hiệu Rez .

y là phần ảo của z , ký hiệu Imz .

Khi 0y thì z x là số thực; 0x , z iy gọi là số thuần ảo.

Số phức x iy , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức z x iy .

Nhận xét 1.1: Một số tài liệu ký hiệu phần tử đơn vị ảo là j , lúc đó số phức viết dưới dạng tổng quát z x jy và số phức liên hợp tương ứng là *z x jy .

Hai số phức 1 1 1z x iy và 2 2 2z x iy bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và

phần ảo của chúng bằng nhau.

1 21 1 1 2 2 2 1 2

1 2

, ;x x

z x iy z x iy z zy y

(1.1)

Mở rộng các phép toán của trường số thực ta có các phép toán tương ứng sau của các số phức.

B. Các phép toán của số phức

Cho hai số phức 1 1 1z x iy và 2 2 2z x iy , ta định nghĩa:

a) Phép cộng: Tổng của hai số phức 1z và 2z , ký hiệu 1 2z z z và được xác định như sau:

1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x iy x iy x x i y y (1.2)

b) Phép trừ: Ta gọi số phức z x iy là số phức đối của z x iy .

Số phức 1 2( )z z z được gọi là hiệu của hai số phức 1z và 2z , ký hiệu

1 2z z z .

1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x iy x iy x x i y y (1.3)

c) Phép nhân: Tích của hai số phức 1z và 2z là số phức được ký hiệu 1 2z z và được xác định

như sau:

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x iy x iy x x y y i x y y x (1.4)

d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức 0z x iy là số phức ký hiệu 1z

hay 1z , thỏa

mãn điều kiện 1 1zz . Đặt 1z a ib , theo công thức (1.1) và (1.4) ta được

2 2 2 2

1,

0

xa yb x ya b

ya xb x y x y

.

Vậy

2 2 2 2

1 x yi

x iy x y x y

(1.5)

Số phức 11 2z z z ( 2 0z ) được gọi là thương của hai số phức 1z và 2z , ký hiệu

1

2

zz

z . Áp dụng công thức (1.4)-(1.5) ta có

1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x iy x x y y y x x yi

x iy x y x y

(1.6)

Ví dụ 1.1: Cho z x iy , tính 2 ,z zz .

Giải: 2 2 2 2( ) ( ) (2 )z x iy x y i xy , 2 2zz x y .

Ví dụ 1.2: Tìm các số thực ,x y là nghiệm của phương trình

5 1 2 3 3 11x y i x i i i .

Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế và áp dụng công thức (1.1) ta được

2 5 2 3 73,

4 5 6 11 5

x yx y

x y

.

Tính chất 1.1:

1 2 2 1 1 2 2 1;z z z z z z z z tính giao hoán.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3;z z z z z z z z z z z z tính kết hợp.

1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z tính phân bố của phép nhân đối với phép cộng.

1 2 10 0z z z hoặc 2 0z .

zz , 0zz và 0 0zz z .

1 1 2

2 2 2

1;

z z zzz zzz z z . (1.7)

1 11 2 1 2 1 2 1 2

2 2

; ;z z

z z z z z z z zz z

. (1.8)

Re ; Im2 2

z z z zz z

i

. (1.9)

z z z . (1.10)

Ví dụ 1.3: Viết các số phức sau dưới dạng z x iy

a) 3 2 1 3i i ,

b) 5 54 3

ii

,

c) 2 3 4 5

1i i i i i

i

,

d) 3 21

ii

.

Giải:

a) 3 2 1 3 3 6 2 9 9 7i i i i ,

b) 5 1 4 3 5 (4 3) ( 4 3)5 5 7

4 3 16 9 25 5 5

i i ii ii

,

c) 2 3 4 5 11 1 1

1 1 1 2 2 2

i ii i i i i i i i i ii i i

hoặc 2 3 4

2 3 4 5 5 61 1 11 1 1 1 2 2 2

i i i i ii i i i i i i i i ii i i i

.

d) 3 2 (3 2 )( 1 ) 5 51 ( 1 )( 1 ) 2 2 2

i i i i ii i i

.

Ví dụ 1.4: Giải hệ phương trình 1

2 1

z iw

z w i

.

Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được

1 2 21 2 4 32 1 2

2 5 5

i ii ii z i z

i

,

1 3 31

5 5i i

w i z i

.

Ta cũng có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer như sau

11 2

2 1

iD i ;

12

1 1z

iD i

i

;

1 11

2 1wD ii

.

2 (2 )(1 2 ) 4 31 2 5 5

i i i iz

i

, 1 ( 1)(1 2 ) 31 2 5 5i i i i

wi

.

Ví dụ 1.5: Giải phương trình 2 2 5 0z z .

Giải: 2 2 22 2 5 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i .

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 21 2 , 1 2z i z i .

C. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là

i

và j

. Mỗi điểm M trong mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi tọa độ ( ; )x y của nó xác

định bởi OM x i y j

(Hình 1.1).

Số phức z x iy cũng hoàn toàn được xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. Vì vậy có tương ứng 1-1 giữa các số phức và các điểm trong mặt phẳng. Người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ ( ; )x y với số phức z x iy , lúc đó mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành Ox biểu diễn các số thực nên được gọi là trục thực, trục tung Oy biểu diễn các số thuần ảo nên được gọi là trục ảo.

Tập hợp các véc tơ trong mặt phẳng với phép toán cộng véc tơ, phép nhân một số thực

với véc tơ tạo thành không gian véc tơ. Khi ta đồng nhất điểm M hay véc tơ OM

có tọa độ ( ; )x y với số phức z x iy thì hai phép toán trên hoàn toàn tương thích với phép cộng hai số phức và phép nhân số thực với số phức.

1 1 1( , )OM x y

tương ứng với số phức 1 1 1z x iy .

2 2 2( , )OM x y

tương ứng với số phức 2 2 2z x iy .

Thì 1 2OM OM

tương ứng với số phức 1 2z z và 1.k OM

tương ứng với số phức 1kz .

Hình 1.1: M t ph ng ph c

x x

M y

y

O i

j

Ngoài ra trong tập hợp các số phức còn có phép nhân và phép chia hai số phức, điều này cho phép biểu diễn thêm nhiều phép biến đổi hình học mà không có đối với các phép toán của véc tơ.

D. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , ta chọn Ox

làm trục cực khi đó điểm

( ; )M x y có tọa độ cực ;r xác định bởi

, ,r OM Ox OM

thỏa mãn cos

sin

x r

y r

(1.11)

Ta ký hiệu và gọi

2 2z r OM x y (1.12)

là mô đun và Arg 2 ,z k k (1.13)

là argument của số phức z x iy .

Góc của số phức 0z x iy được xác định theo công thức sau

2 2

tan /

cos /

y x

x x y

(1.14)

Giá trị của Arg z nằm giữa và được gọi là argument chính, ký hiệu argz . Vậy

arg z .

Từ công thức (1.11) ta có

cos sinz x iy r i (1.15)

gọi là dạng lượng giác của số phức. Áp dụng khai triển Mac Laurin

2 2 1

0 0

cos 1 , sin 12 ! 2 1 !

n nn n

n nn n

r

x x

M y

y

O i

j

Hình 1.2: Mô đun và Argument của số phức

2 2 1

0 0

cos sin 1 12 ! 2 1 !

n nn n

n n

i in n

2 2 1

0 0 0 !2 ! 2 1 !

n n n

i

n n n

i i ie

nn n

.

Vậy ta có công thức Euler

cos sinie i (1.16)

cos , sin2 2

i i i ie e e ei

. (1.17)

Từ (1.15)-(1.16) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ iz z e (1.18)

Tính chất 1.2:

1 2 1 21 2

1 2 1 2arg arg Arg Arg 2 ,

z z z zz z

z z z z k k

(1.19)

2

zz z , 1 1 22

22

z z z

z z . (1.20)

111 2 1 2 1 2 1 2

2 2

, ,zz

z z z z z z z zz z

. (1.21)

11 2 1 2 1 2

2

Arg Arg Arg , Arg Arg Argz

z z z z z zz

(1.22)

z x iy x z

y z

và z x y (1.23)

Hình 1.3: Dạng cực của số phức. Đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức được biểu diễn bởi ie . Số phức bất kỳ có dạng ire

Ví dụ 1.6:

a. Tập các số phức z thỏa mãn 2 3z tương ứng với tập các điểm có khoảng cách

đến (2;0)I bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3.

b. Tập các số phức z thỏa mãn 2z z i tương ứng với tập các điểm cách đều

(2;0)A và (0;1)B đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình 4 2 3 0x y .

c. Tập các số phức z thỏa mãn 3 3 10z z tương ứng với tập các điểm có tổng

khoảng cách đến 1( 3;0)F và 2(3;0)F bằng 10, đó là đường elip có phương trình

2 2

125 16x y

.

Ví dụ 1.7: Áp dụng công thức (1.22) và số phức viết dưới dạng mũ (1.18) ta có thể kiểm chứng lại các công thức cộng góc của các hàm lượng giác:

1 2 1 2( )1 2 1 2cos( ) sin( )i i ie e e i

Mặt khác

1 21 1 2 2cos sin cos sini ie e i i

1 2 1 2 1 2 1 2cos cos sin sin cos sin sin cosi ,

Đồng nhất phần thực và phần ảo tương ứng theo công thức (1.1) ta được

1 2 1 2 1 2cos( ) cos cos sin sin

1 2 1 2 1 2sin( ) cos sin sin cos

E. Lũy thừa và căn của số phức 1) Lũy thừa

Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức l nn

nz zz z Ç

; *n

Từ công thức (1.21)-(1.22) ta có

cos sinnnz z n i n với Arg 2z k (1.24)

2 1 x

y

a)

A

B

x

y

b)

5

4

x

y

c) Hình 1.4: Đồ thị các đường của ví dụ 1.6

Đặc biệt, khi 1z ta có

cos sin cos sinn

i n i n (1.25)

Gọi (1.25) là Công thức Moivre.

Ví dụ 1.8: Tính 8(1 )i .

Giải: Ta có 41 2i

i e

, do đó 8 88 24(1 ) 2 16 16i ii e e

.

Ví dụ 1.9: Tính 10

1 3i .

Giải:

10 10

10101 3 2 2 20 20

1 3 2 2 cos sin 2 cos sin2 2 3 3 3 3

i i i i

10 10 92 2 1 32 cos sin 2 2 ( 1 3)

3 3 2 2i i i

.

Vậy ta cũng có 9

91 3 2i .

Ví dụ 1.10: Tính các tổng cos cos2 cosS n , sin sin2 sinT n .

Giải: Đặt cos sinz i , trường hợp 1z ta có

12 1 1

(1 )1 1

n nn n z z z

S iT z z z z z z zz z

11 11 1

1 1 1 1 1

nn n n nz z z z zz zz z z z z z

z z zz z z z z

cos 1 cos( 1) cos sin sin( 1) sin

2 1 cos

n n i n n

cos 1 cos( 1) cos

2 1 cos

n nS

,

sin sin( 1) sin

2 1 cos

n nT

.

2) Căn của số phức

Số phức được gọi là căn bậc n của z nếu n z , ký hiệu n z hay 1nz .

Biểu diễn dưới dạng mũ: ,i iz re e ta có n n ine ; do đó

22 , ,

nn

nrr

z kn k k kn

(1.26)

Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của 2 nên với mỗi số phức 0z có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun và Argument nhận các giá trị ứng với 0, 1, ..., 1k n . Vì vậy các căn bậc n nằm trên đỉnh của n-giác

đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính n r .

Ví dụ 1.11: Tính 4 1 i

Giải: 1 2 cos sin4 4

i i

.

Các căn bậc 4 tương ứng là:

80 2 cos sin

16 16i

,

81 02 cos( ) sin( )

16 2 16 2i i

,

82 02 cos( ) sin( )

16 16i

,

83 0

3 32 cos( ) sin( )

16 2 16 2i i

.

Ví dụ 1.12: Giải phương trình 4 1 0z

Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 của 1 cos sini tương ứng là:

0

1cos sin

4 4 2

ii

,

1 01

2

ii

, 2 0

1

2

i

, 3 0

1

2

ii

.

1.1.2 Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức

Trong 1.1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức bằng cách đồng

nhất mỗi số phức z x iy với điểm M có tọa độ ( ; )x y trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy .

Mặt khác nếu ta dựng mặt cầu ( )S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O,

khi đó mỗi điểm z thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm là giao điểm

của tia Pz và mặt cầu ( )S , P là điểm cực bắc của ( )S .

x

y

0

1

2

3

O 4 2

Hình 1.5: Các c n b c b n 4 1 i

x

y

01

2 3

O

1

i

4

Hình 1.6: Các c n b c b n 4 1

Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu ( )S

ngoại trừ điểm cực bắc P.

Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng . Tập hợp số phức thêm số phức vô cùng

được gọi là tập số phức mở rộng . Như vậy toàn bộ mặt cầu ( )S là một biểu diễn hình học của tập số phức mở rộng.

Quy ước: ( 0), ( 0), ,0z

z z z z z .

1.1.3 Lân cận, miền A. Lân cận Khái niệm lân cận của một điểm trong mặt phẳng phức được định nghĩa hoàn toàn

tương tự với lân cận trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng .

lân cận của 0z và N lân cận lần lượt là

0 0B z z z z (1.27)

NB z z N (1.28)

B. Điểm trong, tập mở

Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm 0z được

gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của 0z nằm hoàn toàn trong E .

Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. C. Điểm biên

Điểm 1z , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi

lân cận của 1z đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E .

Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu E .

z x

O

y

P )(S

Hình 1.7: M t c u ph c

Hình tròn mở 0z z z r và phần bù của hình tròn đóng

0z z z r là các tập mở có biên lần lượt là 0z z z r và

0z z z r .

Hình tròn đóng 0z z z r không phải là tập mở vì các điểm trên biên

0z z r không phải là điểm trong.

D. Tập liên thông, miền Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường liên tục nằm hoàn toàn trongD .

Một tập mở và liên thông được gọi là miền.

Miền D cùng biên D của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu D , vậy

D D D . Miền chỉ có một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên.

Ta chỉ xét các miền hoặc miền đóng có biên là đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng

đó thì miền D ở bên tay trái.

Miền D được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại 0R sao cho ,z R z D .

1.2 HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức

Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con D của hoặc là một quy luật cho tương ứng mỗi số phức z D với một hoặc nhiều số phức w , ta ký hiệu

( ),w f z z D .

Biến z được gọi là biến độc lập hay đối số, còn w là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. Nếu với mỗi z chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị w thì ( )f z được gọi là hàm đơn

trị, lúc này f là ánh xạ từ D vào hoặc . Trường hợp ngược lại f được gọi là hàm đa trị.

Hàm số 2( ) 3w f z z là một hàm đơn trị, còn hàm số 3( )w f z z là một hàm đa trị.

Tập D trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định D là một miền, vì vậy D được gọi là miền xác định.

Thông thường người ta cho hàm biến phức dưới dạng công thức xác định ảnh ( )f z , khi đó miền xác định D là tập các số phức z sao cho biểu thức ( )f z có nghĩa.

Hàm số 2

( )1

zw f z

z

có miền xác định là D z z i .

Một hàm biến phức có thể được biểu diễn bởi hai hàm thực của hai biến ( , )x y như sau:

( ) ( )

( , ) ( , )

w f z f x iy

w u iv u x y iv x y

;

( , )

( , )

u u x y

v v x y

(1.29)

Chẳng hạn, hàm số 2 2 2 2( ) 3 ( ) 3 ( 3) 2w f z z x iy x y i xy có

2 2 3

2

u x y

v xy

.

Trường hợp hàm biến phức biến số thực, nghĩa là miền xác định D , ta ký hiệu ( )w f t , biến số là t thay cho biến số z .

Trường hợp miền xác định D là tập số tự nhiên hoặc tập con của tập số tự nhiên thì

ta có dãy số phức ( ),nz f n n , ta ký hiệu dãy số là n nz hay 0n n

z

.

Nếu 0( ); ,nz f n n n n , ta ký hiệu 0

n n nz

.

1.2.2 Giới hạn, liên tục

Định nghĩa 1.2: Dãy số phức 0n n

z

hội tụ về số phứcL , ký hiệu lim n

n

z L

, nếu

lim 0nn

z L

, nghĩa là

0, 0 : nN n N z L (1.30)

Dãy số 0n n

z

có giới hạn là , ký hiệu lim n

n

z

, nếu

0, 0 : nA N n N z A (1.31)

Giả sử zn n nx iy , L a ib . Khi đó từ (1.23) suy ra rằng

lim

limlim

nn

nnn

n

x a

z Ly b

(1.32)

Thật vậy:

Từ bất đẳng thức n n nz L x a y b suy ra lim

limlim

nn

nn n

n

x a

z Ly b

.

Bất đẳng thức n n

n n

x a z L

y b z L

suy ra

lim

limlim

nn

nnn

n

x a

z Ly b

.

Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm biến phức ( )w f z xác định trong một lân cận của 0z có giới

hạn là L khi z tiến đến 0z , ký hiệu 0

lim ( )z z

f z L

, nếu với mọi lân cận B L tồn tại lân

cận 0B z sao cho với mọi 0 0,z B z z z thì ( )f z B L .

Định nghĩa này phát biểu cho tất cả các trường hợp 0 ,z L là các số phức hữu hạn hoặc

. Cụ thể:

Trường hợp 0 ,z L là hai số phức hữu hạn:

0

0lim 0, 0 : , 0z z

f z L z z z f z L

(1.33)

Từ (1.23), (1.27) và tương tự (1.32) ta có:

0 0

00 0

0( , ) ( , )

0( , ) ( , )

lim ( , )

limlim ( , )

x y x y

z zx y x y

u x y u

f z Lv x y v

(1.34)

Trong đó 0 0 0 0 0, ,z x iy z x iy L u iv .

Trường hợp 0 ,z L :

lim 0, 0 : ,z

f z L N z z N f z L

(1.35)


0

0lim 0, 0 : , 0z z

f z N z z z f z N

(1.36)


lim 0, 0 : ,z

f z M N z z N f z M

(1.37)

Định lý 1.1: 0

limz z

f z L

khi và chỉ khi với mọi dãy 1n n

z

, 0nz z thì nf z L .

Như vậy giới hạn của hàm số khi 0z z không phụ thuộc vào đường đi khi z tiến đến 0z .

Định nghĩa 1.4: Hàm biến phức w f z xác định trong miền chứa điểm 0z được gọi là

liên tục tại 0z nếu 0

0limz z

f z f z

.

Hàm biến phức w f z liên tục tại mọi điểm của miền D được gọi là liên tục trong D .

Từ (1.34) suy ra rằng một hàm biến phức liên tục khi và chỉ khi hai hàm thực hai biến xác định bởi (1.29) là liên tục. Do đó ta có thể áp dụng các tính chất liên tục của hàm thực hai biến cho tính chất liên tục của hàm biến phức.

1.2.3 Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann

Giả sử z x iy là một điểm thuộc miền xác định D của hàm biến phức đơn trị

w f z .

Với số gia của biến z x i y thỏa mãn z z D , ta được số gia của hàm

( ) ( )w f z z f z .

Định nghĩa 1.5: Nếu wz

có giới hạn hữu hạn khi 0z thì ta nói hàm w f z khả vi

(hay có đạo hàm) tại z , giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại z , ký hiệu 'f z hoặc 'w z .

Vậy

0

( ) ( )' lim

z

f z z f zf z

z

(1.38)

Rõ ràng nếu hàm số có đạo hàm tại z thì liên tục tại z .

Ví dụ 1.13: Cho 2w z C , tính 'w z .

Giải: 2 2 2( ) 2 2w

w z z C z C z z z z zz

,

Do đó 0 0

' lim lim 2 2z z

ww z z z z

z

.

Định lý 1.2: Nếu hàm biến phức ( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y khả vi tại z x iy thì phần thực ( , )u x y và phần ảo ( , )v x y có các đạo hàm riêng cấp 1 tại ( , )x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann:

( , ) ( , )

( , ) ( , )

u vx y x y

x yu v

x y x yy x

(1.39)

Ngược lại, nếu phần thực ( , )u x y , phần ảo ( , )v x y khả vi tại ( , )x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì ( )w f z khả vi tại z x iy và

' ( , ) ( , ) ( , ) ( , )u v v u

f z x y i x y x y i x yx x y y

. (1.40)

Chứng minh: Hàm biến phức ( )w f z có đạo hàm tại z x iy , do đó tồn tại giới hạn

0

' limz

wf z

z

không phụ thuộc đường đi của z tiến đến 0 .

Xét trường hợp z x ta có:

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )' lim

x

u x x y u x y i v x x y v x yf z

x

, ,u v

x y i x yx x

(1.41)

Tương tự nếu z i y thì:

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )' lim

y

u x y y u x y i v x y y v x yf z

i y

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )u v v u

x y x y x y i x yi y y y y

(1.42)

So sánh (1.41)-(1.42) ta có điều kiện (1.39). Ngược lại, từ giả thiết ( , )u x y , ( , )v x y khả vi tại ( , )x y suy ra

1u u

u x y zx y

2

v vv x y z

x y

trong đó 2 2z x y và 1 2, 0 khi 0z .

Do đó 1 2

u u v vx y i x y i z

x y x yw u i vz x i y x i y

Thay ( , ) ( , ), ( , ) ( , )u v u v

x y x y x y x yx y y x

Ta được 1 2

zw u v u vi i i

z x x z x x

, khi 0z .

Ví dụ 1.14: Hàm 2 2 2( ) (2 )w z C x y C i xy ở ví dụ 1.13 có

2

2

u vx

x yu v

yy x

,

do đó hàm khả vi tại mọi điểm và ' 2 2 2w z x i y z .

Ví dụ 1.15: Hàm w z x iy có 1, 1u vx y

, các đạo hàm riêng không thỏa

mãn điều kiện Cauchy-Riemann, do đó hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào.

Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị ( )w f z khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích (analytic) hay chỉnh hình (holomorphe) tại z .

Nếu ( )f z khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói ( )f z giải tích trong D.

( )f z giải tích trong miền đóng D nếu nó giải tích trong một miền chứa D .

Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm biến phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm thực và công thức tính đạo hàm của biến phức có thể tính qua các đạo hàm riêng (1.40), vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với hàm biến phức. Cụ thể

( ) ( ) ( ) ( )f z g z f z g z . (1.43)

( ) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( )f z g z f z g z f z g z . (1.44)

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( ), ( ) 0

( ) ( )

f z f z g z f z g zg z

g z g z

. (1.45)

( ) '( ). '( )f u z f u u z . (1.46)

1.2.4 Các hàm biến phức sơ cấp cơ bản

A. Hàm lũy thừa nw z , n nguyên dương 2.

Hàm số lũy thừa xác định và giải tích với mọi z , có đạo hàm 1nw nz .

Nếu cos sinz r i thì cos sinnw r n i n .

Vậy ảnh của đường tròn z R là đường tròn nw R .

Ảnh cúa tia Arg 2z k là tia Arg 2w n k .

Ảnh cúa hình quạt 20 argz

n

là mặt phẳng w bỏ đi trục thực dương.

n2

x

y

O

M t ph ng Z

u

v

M t ph ng W

Hình 1.8: nh hình qu t qua hàm l y th a

B. Hàm căn nw z

Hàm căn bậc n : nw z là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n . Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n , vì vậy hàm căn là một hàm đa trị.

C. Hàm mũ zw e Từ công thức Euler (1.16) ta có thể định nghĩa hàm mũ xác định như sau

cos sinz x iy x iy xw e e e e e y i y (1.47)

, Arg( ) 2z x ze e e y k .

Hàm mũ giải tích tại mọi điểm và z ze e .

1 2 1 2z z z ze e e , 1

1 2

2

zz z

z

ee

e

, n

z nze e , 2 ,z ik ze e k . (1.48)

0 21 , , 1i ie e i e

.

Qua phép biến hình zw e , ảnh của đường thẳng x a là đường tròn aw e , ảnh của

đường thẳng y b là tia Arg 2w b k .

Ảnh của băng 0 2y là mặt phẳng w bỏ đi nửa trục thực dương.

D. Hàm lôgarit

Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ xác định như sau: Ln ww z z e

Ln cos sinarg 2

uw u iv u e z

w z u iv z e e e v i vv z k

Re lnLn

Im arg 2

w zw z

w z k

(1.49)

x

y

O

ax

by O

ae u

v

b

M t M t ph ng

Hình 1.9: nh ng th ng qua hàm m

Điều này chứng tỏ hàm lôgarit phức là hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của w , những giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau bội số nguyên của 2 .

Ứng với mỗi k ở trên ta có một nhánh của hàm lôgarit. Để tiện cho việc khảo sát, đôi khi người ta tách hàm Lnw z thành các nhánh đơn trị

như sau. Trong công thức (1.49) nếu ta cố định 0k k khi đó

0ln arg 2w z i z k

trở thành một nhánh đơn trị của hàm lôgarit. Nhánh này biến miền arg z của mặt

phẳng Z thành băng 0 02 1 Im 2 1k w k của mặt phẳng W. Nhánh đơn trị ứng

với 0k được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu lnz . Vậy

ln ln argz z i z

trong đó ln ở vế trái là hàm lôgarit chính biến phức và ln ở vế phải là hàm lôgarit biến thực.

Ln 1 ln 1 arg( 1) 2 2 1i k k i và ln 1 i .

11 2 1 2 1 2

2

Ln Ln Ln , Ln Ln Ln , Ln Lnnzz z z z z z z n z

z

.

Các nhánh đơn trị của hàm lôgarit giải tích trên nửa mặt phẳng phức Z bỏ đi nửa trục thực âm ( 0)x .

Ví dụ 1.16: Tìm lôgarit chính của 1 i .

Giải: Vì 41 2i

i e

, do đó ln(1 ) ln 24

i i

.

E. Các hàm lượng giác phức Mở rộng công thức Euler (1.17) cho các đối số phức ta được các hàm lượng giác phức

cos , sin ;2 2

iz iz iz ize e e ez z z

i

(1.50)

sin costan , 2 1 ; cot ;

cos 2 sinz z

z z k z z kz z

.

Tính chất 1.3: Các hàm lượng giác phức còn giữ được nhiều tính chất của hàm lượng giác thực.

Hàm cos , sinz z tuần hoàn chu kỳ 2 , hàm tan , cotz z tuần hoàn chu kỳ .

Các hàm lượng giác phức giải tích trong miền xác định

sin cos , cos sinz z z z

2 2

1 1tan , cot

cos sinz z

z z

.

2 2cos sin 1;z z z

Các công thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng vẫn còn đúng Tuy nhiên có những tính chất của hàm lượng giác thực không còn đúng đối với hàm

lượng giác phức. Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn nhưng hàm lượng giác phức không bị chặn (ta có thể chứng minh điều này bằng cách áp dụng định lý Louville):

Từ đẳng thức 2 2cos sin 1x x suy ra cos 1, sin 1,x x x

nhưng cos 1, sin 12 2

n n n ne e e eni ni

i

khi 1n .

F. Các hàm lượng giác hyperbolic phức

sinh coshcosh , sinh , tanh , coth

2 2 cosh sinh

z z z z z ze e e ez z z z

z z

(1.51)

Tính chất 1.4: Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích trong miền xác định

sinh cosh , cosh sinhz z z z ,

2 2

1 1tanh , coth

cosh sinhz z

z z

.

cosh sinh , cosh sinh , sin sinh , cos coshz zz z e z z e iz i z iz z .

2 2 2 2cosh sinh 1, sinh 2 2cosh sinh , cosh 2 cosh sinhz z z z z z z z .

1.3 TÍCH PHÂN PHỨC, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Trong mục này ta nghiên cứu tích phân phức của các hàm đơn trị.

1.3.1 Định nghĩa và các tính chất Khái niệm tích phân phức dọc theo một đường cong được định nghĩa tương tự tích phân

đường loại 2. Giả sử hàm biến phức đơn trị ( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y xác định trong miền D và L

là đường cong (có thể đóng kín) nằm trong D có điểm mút đầu là A mút cuối là B.

Chia L thành n đoạn bởi các điểm 0 1 2, , , ..., nA z z z z B nằm trên L theo thứ tự

tăng dần của các chỉ số.

Chọn trên mỗi cung con 1,k kz z của đường cong L một điểm bất kỳ k k ki .

Đặt k k kz x iy ,

1 1 1, , ; 1,2, ..., .k k k k k k k k kz z z x x x y y y k n

1

( )n

n k kk

S f z

(1.52)

được gọi là tổng tích phân của hàm ( )f z trên L ứng với phân hoạch 0 1, , ..., nz z z và cách

chọn các điểm k k ki . Tổng này nói chung phụ thuộc vào hàm ( )f z , đường L, cách

chia L bởi các điểm kz và cách chọn các điểm k (xem hình 1.7).

Khi 1max 0kk n

z

tổng nS tiến tới giới hạn I không phụ thuộc cách chia đường

L và chọn các điểm k ta nói hàm ( )f z khả tích trên cung AB và I được gọi là tích phân

của hàm ( )f z dọc theo đường cong L từ A đến B, ký hiệu

( )

AB

f z dz . Vậy

1max 0 1

( ) limkk n

n

k kz kAB

I f z dz f z

(1.53)

Mặt khác, tổng tích phân (1.52) có thể phân tích thành tổng của 2 tổng tích phân đường loại 2.

1 1

, ,n n

k k k k k k k kk k

f z u iv x i y

1 1

, , , ,n n

k k k k k k k k k k k kk k

u x v y i v x u y

(1.54)

Tương tự (1.32), áp dụng (1.23) ta có

1

11

max 0max 0

max 0

kk nkk n

kk n

xz

y

Vì vậy tích phân phức (1.53) tồn tại khi và chỉ khi hai tích phân đường loại 2 có tổng tích phân (1.54) tồn tại và có đẳng thức

AB AB AB

f z dz udx vdy i vdx udy (1.55)

Mặt khác, nếu hàm ( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y liên tục trên D và đường L trơn từng khúc thì tồn tại hai tích phân đường loại 2 ở vế phải của (1.55) (ta đã biết trong Giải tích 2), do đó tồn tại tích phân phức tương ứng.

x

y

0zA

nzB

1kz kz

k

O

Hình 1.7: T ng tích phân

Từ đẳng thức (1.55) suy ra rằng tích phân phức có các tính chất tương tự như các tính chất của tích phân đường loại 2.

AB AB AB

f z g z dz f z dz g z dz , (1.56)

AB AB

kf z dz k f z dz ; constk , (1.57)

AB BA

f z dz f z dz , (1.58)

L L

f z dz f z ds . (1.59)

vế phải của bất đẳng thức (1.59) là tích phân đường loại 1 dọc theo cung L và có vi phân cung:

2 2ds dz dx dy .

Đặc biệt, nếu ,f z M z L và l là độ dài của đường cong L thì

L

f z dz M l (1.60)

Khi A trùng với B thì L là đường cong kín (ta chỉ xét các đường cong kín không tự cắt, gọi là đường Jordan). Tích phân trên đường cong kín L lấy theo chiều dương của L được ký

hiệu L

f z dz , trường hợp lấy theo chiều âm ta ký hiệu L

f z dz .

Ví dụ 1.17: Tính tích phân

2

AB

I z dz ; 0, 2 4A B i

1. Dọc theo parabol 2, 0 2y x x .

2. Dọc theo đường thẳng nối A và B. Giải:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 ( )

AB AB AB AB

I z dz x iy dx idy x y dx xydy i xydx x y dy

x

y

A

B

2

i4

Hình 1.8: ng c a ví d 1.17

1. Nếu lấy tích phân dọc theo 2y x thì 2dy xdx

2 2

2 4 4 3 2 4

0 0

88 164 2 2

3 3I x x x dx i x x x x dx i .

2. Nếu lấy tích phân dọc theo đường thẳng nối từ A đến B thì 2y x , 2dy dx

2 2

2 22 2

0 0

88 162 2 2 2 2 2 2 2

3 3I x x x x dx i x x x x dx i

.

Qua ví dụ trên ta nhận thấy giá trị của tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B. Các định lý sau cho điều kiện cần và đủ để tích phân phức không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nối hai đầu mút của đường.

1.3.2 Định lý tích phân Cauchy và tích phân không phụ thuộc đường đi

Định lý 1.3: Điều kiện cần và đủ để tích phân của hàm ( )f z trong miền D không phụ thuộc vào đường lấy tích phân là tích phân của ( )f z dọc theo mọi đường cong kín bất kỳ (không tự cắt nhau) trong D phải bằng 0.

Chứng minh: Giả sử 1 2,L L là hai đường cong nối A, B trong D . Ta xét đường cong kín L

gồm 1 2,L L , trong đó 2L là cung ngược chiều của 2L .

1 2 1 2

0L L L L L

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz

1 2L L

f z dz f z dz

.

Ngược lại, giả sử L là đường cong kín nằm trong D . Chọn hai điểm khác nhau A, B

nằm trên L, ký hiệu 1 2,L L là các cung của L nối từ A đến B khi đó

1 2

0L L L

f z dz f z dz f z dz

.

Định lý 1.4: Nếu hàm biến phức ( )w f z giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân của ( )f z dọc theo mọi đường cong kín L bất kỳ trong D đều bằng 0.

A

B

1L

2L

Hình 1.9: Tích phân không ph thu c ng l y tích phân

Chứng minh: Áp dụng định lý Green chuyển tích phân đường loại 2 về tích phân kép và công thức (1.55) ta có

L L L

v u u vf z dz udx vdy i vdx udy dxdy i dxdy

x y x y

trong đó là hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín L nằm trong D .

Vì ( )w f z giải tích trong miền đơn liên D nên các hàm dưới dấu tích phân trong hai tích

phân kép ở vế phải bằng 0 do thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Vậy 0L

f z dz .

Hệ quả 1.1: Nếu ( )w f z giải tích trong miền kín đơn liên D và khả tích trên biên D thì

0D

f z dz

.

Chứng minh: Tồn tại miền đơn liên G D và ( )f z giải tích trong G . Áp dụng định lý 1.4 cho hàm ( )f z trong G và tích phân lấy trên đường cong kín D G .

Hệ quả 1.2: Giả sử hàm ( )f z giải tích trong miền kín đa liên D có biên ngoài là 0 và biên

trong là 1,..., n và khả tích trên các biên thì

0

1k

n

k

f z dz f z dz

(1.61)

Chứng minh:

Cắt D theo các lát cắt nối 0 với 1, ..., n ta được một miền đơn liên (xem hình

1.10). Theo hệ quả 1.1 tích phân trên biên của miền này bằng 0 và chú ý rằng lúc đó tích phân trên đường nối 0 với 1, ..., n được lấy hai lần ngược chiều nhau vì vậy tích phân trên

biên bằng 0

1

0

k

n

k

f z dz f z dz

. Chuyển vế ta được đẳng thức cần chứng minh.

Có thể chứng minh được rằng hệ quả 1.1 và hệ quả 1.2 còn đúng khi ( )f z giải tích

trong D và liên tục trong D .

0

1

n

Hình 1.10: Tích phân biên ngoài và biên trong

Ví dụ 1.18: Tính tích phân

;n nL

dzI n

z a

trong đó L là đường cong kín bất kỳ không đi qua a . Giải: Gọi D là miền được giới hạn bởi L.

Nếu a D thì

1n

f zz a

giải tích trong D nên 0nI .

Nếu a D . Gọi rC z z a r là đường tròn tâm a bán kính r . Chọn

r đủ bé để rC D . Xét 'D là miền nhị liên có được bằng cách lấy miền D bỏ đi

hình tròn tâm a bán kính r . 'D có biên ngoài là L, biên trong là rC .

1n

f zz a

giải tích trong 'D .

Theo hệ quả 1.2 ta có

r

n n nL C

dz dzI

z a z a

.

Phương trình tham số của : ; 0 2itrC z a re t . Do đó

2

202int

(1 )01

0

khi 12 khi 1

0 khi 1.1khi 1

it

n ni n t

n

idt ni nrie

I dtnr e

e dt nr

(1.62)

1.3.3 Nguyên hàm và tích phân bất định Hàm ( )F z được gọi là một nguyên hàm của hàm biến phức ( )f z nếu '( ) ( )F z f z .

Tương tự như hàm thực, ta có thể chứng minh được rằng nếu ( )F z là một nguyên hàm

của ( )f z thì F z C (với mọi hằng số C tùy ý) cũng là một nguyên hàm của ( )f z và mọi

nguyên hàm của ( )f z đều có dạng như thế.

arC

L

Hình 1.11: Chuy n tích phân trên ng L v ng rC

Tập hợp các nguyên hàm của ( )f z được gọi là tích phân bất định của ( )f z , ký hiệu

( )f z dz .

Định lý 1.5: Giả sử hàm ( )f z giải tích trong miền đơn liên D , 0z D , khi đó tích phân dọc

theo cung nối điểm 0z đến điểm z không phụ thuộc đường đi nằm trong D. Hàm biến phức

xác định như sau

0 0

( ) : ( )z

z z z

F z f z dz f z dz

là một nguyên hàm của ( )f z . Trong đó vế phải của đẳng thức trên là tích phân phức được lấy

theo đường cong bất kỳ nằm trong D nối 0z đến z .

Định lý 1.6 (Công thức Newton - Lepnitz): Giả sử ( )F z là một nguyên hàm của ( )f z trong

miền đơn liên D . Khi đó, với mọi 0 1,z z D ta có:

1

1

0

0

1 0

zz

zz

f z dz F z F z F z (1.63)

Ví dụ 1.19: z ze dz e C , 1

1

nn z

z dz Cn

, sin coszdz z C ;

2 4 3 2 42 3

00

8 88 16(1 2 )

3 3 3 3

iiz

z dz i i

(xem ví dụ 1.17).

Hàm 2( ) sin( )f z z z có một nguyên hàm là 21cos( )

2z do đó

2 2 2 2

00

1 1 1sin( ) cos( ) cos 0 cos( ) 1 cos( )

2 2 2

i iz z dz z

1.3.4 Công thức tích phân Cauchy

Định lý 1.7: Giả sử ( )f z giải tích trong miền D (có thể đa liên) và khả tích trên biên D . Khi đó, với mọi a D ta có:

1 ( )( )

2D

f zf a dz

i z a

(1.64)

Hoặc

( )2 ( )

D

f zdz if a

z a

(1.65)

Chứng minh: Với mọi 0 chọn r đủ bé để đường tròn tâm a bán kính r : rC D và

( ) ( )f z f a với mọi :| |z z a r (điều này có được vì ( )f z liên tục tại a). Gọi rD là

miền có được bằng cách bỏ đi hình tròn rC z z a r từ miền D . Biên của rD

gồm biên D của D và rC .

Hàm f z

z a giải tích trong miền rD , áp dụng hệ quả 1.2 ta được

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )0

2 2 2 2r rD C D C

f z f z f z f zdz dz dz dz

i z a i z a i z a i z a

.

Mặt khác, từ (1.62) ta có

1 1 1 12 2 2 2

r r rD C C C

f z f z f a f z f adz f a dz dz dz

i z a i z a i z a i z a

1 12

2 2rC

f z f adz r

z a r

Vì 0 bé tuỳ ý cho trước nên

1 10

2 2D D

f z f zdz f a f a dz

i z a i z a

.

Nhận xét 1.2: Công thức (1.64) được gọi là công thức tích phân Cauchy. 1. Công thức tích phân Cauchy nói lên rằng giá trị của hàm giải tích ( )f z hoàn toàn

được xác định bởi giá trị của nó ở trên biên.

2. Công thức (1.64) còn đúng khi ( )f z giải tích trong miền D và liên tục trong D .

3. Khi ( )f z giải tích trong D có biên D là đường cong trơn từng khúc, nếu a D thì

f z

z a giải tích trong D do đó

1 ( )0

2D

f zdz

i z a

.

Kết hợp với công thức (1.65) ta có

arC rD

Hình 1.12: Chuy n tích phân trên biên D v ng rC

D

2 ( )( )

0D

if a a Df zdz

z a a D

nÕu

nÕu (1.66)

1.3.5 Đạo hàm cấp cao của hàm giải tích

Định lý 1.8: Hàm ( )f z giải tích trong D thì có đạo hàm mọi cấp trong D và với mọi a D ta có:

( )1

! ( )( )

2n

nC

n f zf a dz

i z a

(1.67)

Hoặc

( )

1

( ) ( )2

!

n

nC

f z f adz i

nz a

(1.68)

trong đó C là đường cong kín bất kỳ bao quanh a nằm trong D.

Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp Ta chứng minh công thức với trường hợp 1n . Áp dụng công thức (1.64) ta có

1 1 1 12 2

C C

f a z f a f fd d

z i z a z a i a z a

Đặt 2 minC

d a

; cho 1 1 1 1,z d

d da a z

.

2 2 3

.1 12 2 2C C

Mf a z f a f zfd d z

z i da a z a

lt

rong đó ,f M C ; đường cong kín C có độ dài là l .

Cho 0z ta được 2

1'

2C

f zf a dz

i z a

.

Giả sử công thức đúng đến 1n , ta chứng minh công thức đúng đến n . ( 1) ( 1)

( 1)! 1 12 ( ) ( )

n n

n nC

f a z f a fnd

z i z a z a

11

0

( 1)!( ) ( )

2 ( ) ( )

nk n k

n nkC

fna z a d

i a z a

( 1) ( 1)

1

!2 ( )

n n

nC

f a z f a fnd

z i a

11

01

( ) ( )( 1)!

2 ( ) ( ) ( )

nk n k

kn n n

C

a z an n

f di a z a a

1

01

( ) ( ) ( )( 1)!

2 ( ) ( )

nk n k n

kn n

C

a z a a zn

f di a z a

Chọn 2n n n nn n nz d d a a z z

1 12 2 2

n nn n n n n n nn n

a z d z d d d dda z

.

Do đó

1

01

( ) ( ) ( )( 1)!

2 ( ) ( )

nk n k n

kn n

C

a z a a zn

f di a z a

1

2 10

( 1)!( ) ( ) ( ) 0

2

nk n k n

nkC

n Ma z a a z d

i d

khi

0z .

Trong đó M là chặn trên của ( )f z trên C.

Theo nguyên lý quy nạp công thức đúng với mọi n. Nhận xét 1.3:

1. Định lý trên suy ra rằng đạo hàm của một hàm giải tích là một hàm giải tích. 2. Kết hợp định lý 1.5 và định lý 1.8, ta suy ra rằng: điều kiện cần và đủ để hàm đơn trị

có nguyên hàm trong miền D là giải tích trong D. 3. Tương tự công thức (1.66) ta có công thức tương ứng với (1.68)

( )

1

( )2

!( ) 0

n

nD

f af z i a Ddz n

z a a D

nÕu

nÕu (1.69)

Ví dụ 1.20: Tính tích phân 2

cos

1C

zI dz

z z

, trong đó C là đường tròn: 1 3z .

Giải: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có thể phân tích 2

1

1z z thành tổng các phân

thức hữu tỷ tối giản 2 2

1 1 1 111 z zz z z

.

Do đó 2 2

cos cos cos cos11C C C C

z z z zI dz dz dz dz

z zz z z

.

Các điểm 0z và 1z đều nằm trong hình tròn giới hạn bởi C. Áp dụng công thức (1.66) và (1.69) ta có:

0 0 12 cos 2 cos ' 2 cos 4z z zI i z i z i z i .

1.3.6 Bất đẳng thức Cauchy và định lý Louville

Từ công thức (1.69) suy ra rằng, nếu đường tròn :RC z a R nằm trong D và

( )f z M với mọi Rz C thì

( )1 1

! ! 22 2

R

nn n

C

f zn n M Rf a dz

Rz a

hay ( ) !; 0, 1, ...n

n

n Mf a n

R (1.70)

Bất đẳng thức (1.70) được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Định lý 1.9 (định lý Louville): Nếu ( )f z giải tích trong toàn mặt phẳng và bị chặn thì nó là một hàm hằng.

Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại 0M sao cho ( )f z M với mọi z . Áp dụng bất

đẳng thức Cauchy (1.70) với 1n , ta được 'M

f aR

với mọi 0R suy ra ' 0f a

với mọi a .

Áp dụng công thức Newton - Leibniz, ta có

0

0 00 ,z

z

f z f z f z dz f z f z z .

Nhận xét 1.4: Hai hàm lượng giác phức cosz và sinz giải tích tại mọi điểm và không phải hàm hằng do đó không bị chặn.

1.4 CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC 1.4.1 Chuỗi số phức

Cho dãy số phức 0n n

u

, tổng

0n

n

u

được gọi là một chuỗi số phức có số hạng tổng

quát thứ 1n là nu .

Tổng 0 1n nS u u u được gọi là tổng riêng thứ 1n của chuỗi trên.

Nếu dãy các tổng riêng 0n n

S

có giới hạn hữu hạn là S thì ta nói chuỗi

0n

n

u

hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu 0

nn

S u

.

Trong trường hợp ngược lại, dãy 0n n

S

không có giới hạn hoặc có giới hạn bằng

thì ta nói chuỗi phân kỳ.

Tương tự sự hội tụ của dãy số phức (công thức 1.32), mỗi chuỗi số phức 0

nn

u

hội tụ

khi và chỉ khi hai chuỗi số thực tương ứng 0 0

,n nn n

a b

hội tu; trong đó n n nu a ib .

Đồng thời ta có đẳng thức

0 0 0

( )n n n nn n n

a ib a i b

; ,n na b (1.71)

Với nhận xét này, ta có thể áp dụng các kết quả đã biết đối với chuỗi số thực cho các chuỗi số phức. Chẳng hạn:

Điều kiện cần để chuỗi 0

nn

u

hội tụ là lim 0nn

u

.

Thật vậy, Chuỗi 0

nn

u

hội tụ suy ra hai chuỗi số thực tương ứng

0 0

,n nn n

a b

hội tụ.

Theo điều kiện cần hội tụ của chuỗi số thực ta có lim 0nna

và lim 0nn

b

, do đó

lim 0nnu

.

Nếu chuỗi các môđun 0

nn

u

hội tụ thì chuỗi

0n

n

u

cũng hội tụ.

Khi đó ta nói chuỗi 0

nn

u

hội tụ tuyệt đối.

Vì n na u và n nb u , do đó từ chuỗi 0

nn

u

hội tụ suy ra hai chuỗi số dương

0n

n

a

,

0n

n

b

hội tụ. Theo tính chất hội tụ tuyệt đối của chuỗi số thực ta cũng có

0 0

,n nn n

a b

hội

tụ, do đó chuỗi 0

nn

u

cũng hội tụ.

Nếu chuỗi 0

nn

u

hội tụ nhưng chuỗi các môđun

0n

n

u

không hội tụ thì ta nói chuỗi

bán hội tụ.

1.4.2 Chuỗi luỹ thừa Chuỗi có dạng

0

( )nnn

c z a

(1.72)

trong đó ,nc a là các hằng số phức và z là biến số phức, được gọi là chuỗi luỹ thừa tâm a .

Rõ ràng rằng mọi chuỗi luỹ thừa tâm a bất kỳ có thể đưa về chuỗi luỹ thừa tâm 0 bằng cách đặt Z z a .

0

nn

n

c Z

(1.73)

Ví dụ 1.21: Xét chuỗi luỹ thừa cấp số nhân 0

n

n

z

.

Tổng riêng thứ n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

2 11

11 11

n

nn

zzS z z z z

n z

nÕu

nÕu

Nếu 1z thì 1nz với mọi n , dó đó nz không thể tiến đến 0 khi n , và khi

1z thì nz tiến đến 0 khi n . Vậy

0

1khi 1

1khi 1

n

n

zz z

z

ph©n kú

(1.74)

Ví dụ 1.22: Với mọi 1r , chứng minh rằng 2 2

2 22 4

0 0

1cos sin

1 2 cosn n

n n

r n r nr r

.

Giải: Xét 2 2 2 2

0 0 0 0

cos sin (cos sin )n n n n in

n n n n

Z r n i r n r n i n r e

Đặt 2 iz r e , vì 1r do đó 1z . Áp dụng công thức (1.74) ta được

2

1

1 iZ

r e

.

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1i i i iZZ

r e r e r e r e

2 4 2 4

1 1

1 ( ) 1 2 cosi ir e e r r r

,

Mặt khác 2 2

2 2 2

0 0

cos sinn n

n n

ZZ Z r n r n

.

Vậy 2 2

2 22 4

0 0

1cos sin

1 2 cosn n

n n

r n r nr r

.

Định lý 1.10 (định lý Abel):

1. Nếu chuỗi (1.73) hội tụ tại 0 0z thì hội tụ tuyệt đối trong hình tròn 0:z z z .

2. Từ đó suy ra rằng nếu chuỗi (1.73) phân kỳ tại 1z thì phân kỳ tại mọi điểm 1:z z z .

Chứng minh: Chuỗi 00

nn

n

c z

hội tụ suy ra

0lim 0nnn

c z

, vì vậy tồn tại 0M sao cho

0 ,nnc z M 0, 1, 2, ...n Do đó

00 0

nn

n nn n n n

zzc z c z M

z z

Chuỗi 0 0

n

nn

zM

z

hội tụ khi 0z z .

Suy ra chuỗi 0

nn

n

c z

hội tụ tuyệt đối khi 0z z ,

Từ định lý trên ta thấy rằng với chuỗi (1.73) sẽ có ba khả năng sau:

1) Không tồn tại 0 0z để chuỗi (1.73) hội tụ tại 0z , trường hợp này chuỗi (1.73) chỉ

hội tụ tại 0z . Ta đặt

0R . (75)

2) Không tồn tại 1z để chuỗi (1.73) phân kỳ tại 1z , trường hợp này chuỗi (1.73) hội tụ tại

mọi z . Ta đặt

R . (1.76)

3) Tồn tại 0 0z để chuỗi (1.73) hội tụ tại 0z và tồn tại 1z để chuỗi (1.64) phân kỳ tại

1z . Theo định lý 1.10 ta suy ra rằng chuỗi (1.73) hội tụ khi 0 0z z R , phân kỳ khi

1 1z z R . Trong hình vành khăn 0 1:z R z R , chuỗi (1.73) có thể hội tụ hoặc phân

kỳ.

Nếu 0 1R R thì ta đặt 0 1R R R .

0z

1z

1R0R

Nếu 0 1R R , ta xét 0 12 22

R Rz R

Nếu chuỗi (1.73) hội tụ tại 2z , ta 2z xem đóng vai trò như 0z .

Nếu chuỗi (1.73) phân kỳ tại 2z , ta 2z xem đóng vai trò như 1z .

Trong cả hai trường hợp thì ta đã thu hẹp hình vành khăn mà trong đó ta chưa biết chuỗi (1.73) hội tụ hay phân kỳ xuống còn một nửa.

Tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta tìm được số R sao cho:

Chuỗi (1.73) hội tụ khi z R , phân kỳ khi z R . (1.77)

Số R xác định theo công thức (1.75) hoặc (1.76) hoặc (1.77) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.73).

Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn để tìm bán kính hội tụ R .

Định lý 1.11: Nếu

1lim n

nn

c

c

(tiêu chuẩn D'Alembert)

hoặc

lim nnn

c

(tiêu chuẩn Cauchy)

thì

0 n u

1n u 0

n u 0

R

Õ

Õ

Õ

(1.78)

là bán kính hội tụ của chuỗi (1.73). Nhận xét 1.5: Giả sử chuỗi (1.73) có bán kính hội tụ là 0R :

1. Có thể chứng minh được chuỗi (1.73) hội tụ đều trong mọi hình tròn 1z R , với 1R

bất kỳ thỏa mãn 1R R .

2. Tại các điểm trên đường tròn z R chuỗi (1.73) có thể hội tụ hay phân kỳ.

3. Như vậy để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa tâm a bất kỳ dạng (1.72) ta thực hiện các bước sau:

Đổi biến Z z a để đưa về chuỗi lũy thừa tâm 0 dạng (1.73),

Tìm bán kính hội tụ R theo công thức (1.78),

Xét sự hội tụ khi Z R , và từ đó suy ra miền hội tụ.

Ví dụ 1.23: Tìm miền hội tụ của chuỗi

0

n

nn

z i

b n

; 1b .

Giải: Đặt Z z i , ta được chuỗi 0

n

nn

Z

b n

là chuỗi lũy thừa tâm 0 có dạng (1.73).

11

1

11 1

( 1)1 11( 1)

nnn n nn

nnn

n nn

n nbc b nb n b b

nc nb n bb bb n bb

.

Do đó 1 1lim n

nn

c

bc

. Vậy bán kính hội tụ R b .

Khi Z b thì 1

nn n

nn n n

ZZ b

b n b n b n

, do đó

n

n

Z

b n không thể hội tụ

về 0 khi n . Vậy chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi cần tìm là hình tròn mở tâm i bán kính b : z i b .

Định lý 1.12: Giả sử chuỗi (1.72) có bán kính hội tụ R . Khi đó tổng của chuỗi

0

( )nnn

f z c z a

là một hàm giải tích trong hình tròn hội tụ z a R ,

có đạo hàm ( )f z nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi

1

0 1

'

( ) ( ) ( )n nn n

n n

f z c z a nc z a

(1.79)

và một nguyên hàm được xác định bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi

( )z

a

F z f z dz ; 1

0 0

( ) ( ) ( )1

zn nn

nn na

cF z c z a dz z a

n

. (1.80)

' ,f z F z cũng có bán kính hội tụ là R .

Định lý được chứng minh tương tự trường hợp chuỗi lũy thừa biến số thực trong Giải tích 1.

1.4.3 Chuỗi Taylor, Chuỗi Mac Laurin 1.4.3.1 Khái niệm và tính chất

Giả sử chuỗi luỹ thừa tổng quát 0

n

nn

c z a

có bán kính hội tụ R , theo định lý

1.12 ta có hàm tổng 0

n

nn

f z c z a

giải tích trong hình tròn hội tụ z a R .

Lấy lần lượt đạo hàm các cấp của hàm tổng theo công thức (1.79) ta được

1

1 22n

nf z c c z a nc z a

2

2 32 3 2 ( 1)n

nf z c c z a n n c z a

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

( )1! ( 1)!n

n nf z n c n c z a

Thay z a ta được:

( )

0 1 2, , , ..., , ...2 ! !

n

n

f a f ac f a c f a c c

n

(1.81)

Thay vào chuỗi (1.72) ta được

( )

0

( )!

nn

n

f af z z a

n

(1.82)

Chuỗi (1.82) được gọi là chuỗi Taylor của hàm ( )f z tại a .

Chuỗi Taylor tại điểm 0a được gọi là chuỗi Mac Laurin.

( )

0

(0)!

nn

n

ff z z

n

(1.83)

Định lý 1.13: 1. Chuỗi luỹ thừa bất kỳ là chuỗi Taylor của hàm tổng của nó trong hình tròn hội tụ.

2. Ngược lại, mọi hàm ( )f z giải tích tại a có thể được khai triển thành chuỗi Taylor

trong lân cận z a R . Bán kính hội tụ R là số thực dương lớn nhất sao cho ( )f z giải tích

trong lân cận z a R .

Chứng minh: Phần 1 của định lý được suy ra từ định lý 1.12 và công thức (1.81). Để chứng minh phần 2 của định lý ta giả sử hàm ( )f z giải tích trong hình tròn tâm a bán

kính R : RB z z a R .

Với bất kỳ Rz B , chọn 1R sao cho: 1z a R R (xem hình 1.13).

Ký hiệu 1RC là đường tròn tâm a bán kính 1R .

Áp dụng công thức tích phân Cauchy (1.64) cho hàm ( )f z tại điểm z nằm trong đường

tròn 1RC , ta có

1

1 ( )( )

2RC

ff z d

i z

.

Mặt khác

1 1( ) ( )z a z a

1

( ) 1z a

aa

1

0 0

1( )

nn

nn n

z az aa a a

Vì 1

1z az a

a R

đều với mọi

1RC do đó chuỗi lũy thừa 1

0

n

nn

z a

a

hội tụ

đều với mọi 1RC . Vì vậy có thể chuyển dấu tích phân vào trong dấu tổng của chuỗi, đồng

thời sử dụng công thức (1.69) ta được:

1 1

1 10 0

1 12 2

R R

nn

n nn nC C

z a ff z f d d z a

i ia a

( )

0

( )!

n n

n

f az a

n

.

Nhận xét 1.6:

1. Nếu hàm ( )f z giải tích tại a thì hàm có thể khai triển duy nhất thành chuỗi luỹ thừa tâm a , đó chính là chuỗi Taylor của ( )f z tại a . Vì vậy, nếu có thể bằng một phương pháp

khác, ta có khai triển 0

( ) ( )nnn

f z c z a

thì ( )( )

!

n

nf a

cn

.

2. Chuỗi Mac Laurin là chuỗi lũy thừa tâm 0.

Ví dụ 1.24: Khai triển hàm

1( )

1 2f z

z z

thành chuỗi Mac Laurin.

Giải: Rõ ràng rằng hàm ( )f z không giải tích tại 1 và 2 , vì vậy hàm số khai triển được

thành chuỗi Mac Laurin trong hình tròn 1z .

Ta có

1 1 1 1( )

3 1 21 2f z

z zz z

và

1

1 ( 1) !

( )

n n

n n

d nz adz z a

a

1RC z

Hình 1.13

RB

1R R

Do đó ( )

1 1 10

(0) ( 1) 1 1 1 11

! 3 3( 1) ( 2) ( 2)

n n

n n nz

fn z z

.

Vậy hàm ( )f z có chuỗi Mac Laurin

10

1 1 1( ) 1

31 2 ( 2)n

nn

f z zz z

.

Mặt khác ta cũng có thể khai triển hàm ( )f z thành tổng của chuỗi lũy thừa tâm 0 bằng cách sử dụng hàm tổng của chuỗi cấp số nhân (1.74):

Nếu 1z thì:

0 0

1 11 1

n n

n n

z zz z

1 12z

z

do đó 1 12

2 12

z z

10 0

1( 1) ( 1)

2 2 2

n nn n

nn n

z z

.

Vậy 1 1

0 0 0

1 1 1 1 1 1( ) ( 1) 1

3 1 2 3 32 ( 2)

nn n n

n nn n n

zf z z z

z z

.

1.4.3.2 Khai triển thành chuỗi Mac Laurin của các hàm số sơ cấp cơ bản

a. Hàm mũ ( ) zf z e

Với mọi ( ) ( ), 0 1n z nn f z e f . Vậy

2

0

11! 2! ! !

n nz

n

z z z ze

n n

(1.84)

Hàm mũ giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R .

b. Hàm ( ) sinf z z

0 0 0

1 1sin 1 ( 1)

2 2 ! ! 2 !

k k kiz iz

k

k k k

iz iz ize ez

i i k k i k

2 1

0

sin ( 1)(2 1)!

nn

n

zz

n

. (1.85)

x

y

O 1 2

Hình 1.14

c. Hàm ( ) cosf z z

2 1 2'

0 0

(2 1)cos sin ( 1) ( 1)

(2 1)! (2 )!

n nn n

n n

n z zz z

n n

. (1.86)

Hàm sin, cosin giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R .

d. Hàm ( ) sinhf z z

0 0 0

1 1sinh 1 ( 1)

2 2 ! ! 2 !

k k kz z

k

k k k

z z ze ez

k k k

2 1

0

sinh(2 1)!

n

n

zz

n

. (1.87)

Hàm giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R .

Tương tự 2

0

cosh(2 )!

n

n

zz

n

. (1.88)

e. Hàm 1

( )1

f zz

0

1 1( 1)

1 1 ( )n n

n

zz z

.

Bán kính hội tụ của chuỗi là 1R vì hàm số không giải tích tại 1 .

f. Nhánh chính của hàm lôgarit và hàm lũy thừa

Vì hàm ln(1 )z là một nguyên hàm của 1

1z nên

1

0

ln(1 ) ( 1)1

nn

n

zz

n

. (1.89)

Bán kính hội tụ của chuỗi là 1R .

Hàm lũy thừa m :

2( 1) ( 1)...( 1)1 1

1! 2! !

m nmz m m m m m nz z z

n

(1.90)

Bán kính hội tụ của chuỗi là 1R .

Đặc biệt:

1

2 32

1 3 1 3 512 2 2 2 21 21 1

1! 2! 3!1z z z z

z

2 2

0 0

( 1) (2 1)!! ( 1) (2 )!

2 ! 2 ( !)

n nn n

n nn n

n nz z

n n

.

Định nghĩa 1.7: Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích ( )f z nếu ( ) 0f a .

Khai triển Taylor của ( )f z tại không điểm a có dạng

( )1

1( )

( )!

kn n k k

n n kk n k n

f af z c z a c z a c z a z a

k

.

Số tự nhiên n bé nhất sao cho ( )

0!

n

n

f ac

n thì được gọi là cấp của không điểm a .

Nếu n là cấp của không điểm a thì

nf z z a z , với 0na c . (1.91)

z là tổng của một chuỗi luỹ thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi Taylor của ( )f z tại a

nên giải tích trong lân cận của a .

Định lý 1.14: Giả sử ( )f z giải tích tại a và không đồng nhất bằng 0 trong bất kỳ lân cận nào của a , khi đó nếu a là không điểm của ( )f z thì tồn tại một lân cận của a sao cho trong lân cận này không có một không điểm nào khác. Chứng minh: Vì a là không điểm của ( )f z nên có thể biểu diễn dưới dạng (1.91) trong đó

hàm giải tích z thỏa mãn 0a . Vì vậy tồn tại một lân cận của a để trong lân cận này

0z , do đó ( )f z cũng khác 0.

Hệ quả 1.3: Nếu ( )f z giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm 0n n

a

, na a , có giới

hạn là a khi n thì ( )f z đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a .

Định lý 1.15 (định lý về tính duy nhất): Nếu ( ), ( )f z g z là hai hàm giải tích trong miền D và

trùng nhau trên một dãy 0n n

a

, na a , hội tụ về a trong D thì ( ) ( ),f z g z z D .

1.4.4 Chuỗi Laurent và điểm bất thường Có thể xảy ra trường hợp hàm ( )f z không giải tích tại a nhưng giải tích trong một lân

cận của a bỏ đi điểm a :

0 z a R

hoặc giải tích trong hình vành khăn

r z a R .

Trong trường hợp này hàm ( )f z không thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa (chuỗi Taylor) tại a . Tuy nhiên, có thể khai triển được dưới dạng chuỗi Laurent tại a như sau.

1.4.4.1 Chuỗi Laurent

Định nghĩa 1.8: Giả sử hàm ( )f z giải tích trong hình vành khăn :K z r z a R ;

0 r R . Khi đó chuỗi sau được gọi là chuỗi Laurent của hàm ( )f z tại a,

nnn

c z a

, với

1

12n n

C

f zc dz

i z a

(1.92)

trong đó C là đường cong kín bất kỳ nằm trong hình vành khăn K bao quanh a (xem hình 1.15).

Tổng 10

n

nn

f z c z a

được gọi là phần đều

và

21

nn

n

cf z

z a

được gọi là phần chính của chuỗi Laurent (1.92).

Định lý 1.16 (định lý tồn tại và duy nhất của chuỗi Laurent):

1. Mọi hàm ( )f z giải tích trong hình vành khăn K : r z a R đều có thể khai triển

thành chuỗi Laurent (1.92).

2. Ngược lại, chuỗi bất kỳ có dạng nnn

c z a

hội tụ trong hình vành khăn K :

r z a R ; 0 r R

có hàm tổng là ( )f z thì chuỗi này là chuỗi Laurent của hàm tổng ( )f z trong hình vành khăn K . Chứng minh:

1. Với mọi 0z K : 0r z a R do đó tồn tại 1 1,r R sao cho

1 0 1r r z a R R .

Gọi là 1K hình vành khăn: 1 0 1r z a R thì ( )f z cũng giải tích trong 1K .

Áp dụng hệ quả 1.2 và công thức (1.66) đối với hàm ( )f z tại 0 1z K ta có

a

R

R1

1r

C

Hình 1.15

r

1 1

00 0

1 12 2

R rC C

f z f zf z dz dz

i z z i z z

trong đó 1 1,R rC C lần lượt là đường tròn tâm a bán kính 1 1,R r .

Xét hàm

1

1 00

12

RC

f zf z dz

i z z

, tương tự cách chứng minh định lý 1.13 ta có

1 1

01 0 01 1

0 0

1 12 2

R R

nn

n nn nC C

z a f zf z f z dz dz z a

i iz a z a

Đặt

1

1

12

R

n nC

f zc dz

i z a

thì 1 0 0

0

n

nn

f z c z a

.

Xét hàm

1

2 00

12

rC

f zf z dz

i z z

, tương tự chứng minh định lý 1.13 ta xét

1

10 10 0

0 000

1 1 1

( ) ( )( ) 1

n n

n nn n

z a z a

z z z a z a z a z a z az az a

.

Vì 1

0 0

1rz a

z a z a

đều với mọi

1rz C , do đó chuỗi lũy thừa

1

10

n

nn

z a

z a

hội tụ

đều với mọi 1r

z C . Vì vậy có thể chuyển dấu tích phân vào trong dấu tổng của chuỗi:

1 1

11

2 01 1

0 0

1 1 12 2

r r

nn

n nn nC C

z af z f z dz f z z a dz

i iz a z a

Đặt 1

112

r

n

nC

c f z z a dzi

thì

2 0 01 1

0

nnnn

n n

cf z c z a

z a

.

Thay chỉ số n mà n chạy qua 1, 2, 3, ... bởi chỉ số n chạy qua 1, 2, 3, ...

trong công thức trên, cuối cùng ta được.

0 1 0 2 0 0 0,n

nn

f z f z f z c z a z K

.

Với đường cong C bất kỳ bao quanh a nằm trong hình vành khăn K , ta có thể chọn

1 1,r R thỏa mãn 1 1r r R R sao cho đường cong kín C cũng vẫn nằm hoàn toàn trong

1K . Lúc đó:

1

1 1

1 12 2

R

n n nC C

f z f zc dz dz

i iz a z a

với mọi 0n ,

1

1 1

1 12 2

r

n n nC C

f z f zc dz dz

i iz a z a

với mọi 0n .

2. Ngược lại, giả sử chuỗi ( )n

nn

f z c z a

hội tụ trong hình vành khăn K :

0 r z a R .

Với mỗi z K , chọn 1 1r R thích hợp sao cho 1 1r z a R , khi đó chuỗi hội tụ đều

trong 1K : 1 1r z a R . Chọn đường cong kín C nằm hoàn toàn trong 1K bao quanh

điểm a . Áp dụng công thức (1.62) ta có

1 1

1 12 2

k

knn n

kC C

f z c z adz dz c

i iz a z a

.

Như vậy chuỗi nnn

c z a

là chuỗi Laurent của hàm tổng ( )f z .

Nhận xét 1.7:

1) Các hệ số nc trong (1.92) không bằng ( )

!

nf a

n vì ( )f z không giải tích tại a .

2) Hình vành khăn K : r z a R với 0 r R có các trường hợp riêng:

Khi 0r thì K là hình tròn mở tâm a bán kính R bỏ đi điểm a : 0 z a R .

Khi R thì K là miền ngoài của hình tròn tâm a bán kính r : z a r .

3) Hình vành khăn K trong định lý 1.16 là hình vành khăn tâm a lớn nhất mà ( )f z giải

tích trong hình vành khăn này. Vì vậy trên RC và rC có ít nhất một điểm mà ( )f z không giải

tích tại đó. 4) Từ tính duy nhất của chuỗi Laurent suy ra rằng nếu hàm ( )f z giải tích trong hình vành

khăn K : r z a R và chuỗi nnn

c z a

có tổng là ( )f z thì chuỗi này là chuỗi

Laurent của hàm ( )f z .

5) Sử dụng tính chất tồn tại và duy nhất của chuỗi Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z ở mục 1.6.

Ví dụ 1.25: Khai triển hàm

1( )

1 2f z

z z

thành chuỗi Laurent có tâm tại 1z .

Giải: Rõ ràng rằng hàm ( )f z không giải tích tại 1 và 2. Vì vậy, khi khai triển theo chuỗi

Laurent tâm tại 1 thì chỉ khai triển được trong hai miền: 0 1 1z hoặc 1 1z

a. Khai triển Laurent trong miền 0 1 1z :

Chọn đường cong kín 1L bao quanh 1 nằm trong miền này: 1

2

11 2

2 1n n

L

zc dzi z

.

2 0 0nn c (theo định lý 1.4).

1

11

11 121 1

2 1 2 zL

zn c dzi z z

(theo công thức 1.58).

( 1) 1

21

1 1 1 ( 1) ( 1)!0 1

( 1)! 2 ( 1)! ( 1)

n n

n nz

nn c

n z n

(xem công thức 1.68)

Vậy 1

1 1n n

nn n

f z c z z

.

b. Khai triển Laurent trong miền 1 1z :

Chọn đường cong kín 2L bao quanh 1 nằm trong miền này.

2

2

1 12 2 1

n nL

c dzi z z

.

x

y

O 1 2

1L 2L

2

1

Hình 1.16

Chọn 1 2, lần lượt là 2 đường cong kín nằm trong 2L bao quanh 1 và 2.

Áp dụng công thức (1.61) hệ quả 1.2 của định lý 1.4 ta có:

2 1 2

2

2 2

11

2 11 1 1 12 2 2 22 1 1

n

n n nL

z zc dz dz dz

i i i zz z z

Áp dụng công thức (1.69) ta được

1

( 1)

2

1

1 0 22 0 21

1 11 112 1 ( 1)! 2

n

n

z

nz n

dznni z n z

nÕu

nÕu

nÕunÕu

2

2

2

2

1

11 11

2 2 1

n

n

z

zdz

i z z

, với mọi n .

Vậy 1 2

0 1n

nc

n

nÕu

nÕu

2

11

1

n

n nn n

f z c zz

.

Ta cũng có thể khai triển Laurent của hàm ( )f z cách phân tích thành tổng của các phân thức hữu tỉ tối giản

1 1 1( 1)( 2) 2 1

f zz z z z

.

Trong miền 0 1 1z

0 1

1 1 1 1( 1) ( ) ( 1)

2 1 ( 1) 2 1n n

n n

z f z zz z z z

.

Trong miền 11 1 1

1z

z

10 0 1

1 1 1 1 1 12 11 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1

1

n n nn n nz z z z zz

z

1 2

1 1 1( )

1( 1) ( 1)n nn n

f zzz z

.

1.4.4.2 Điểm bất thường cô lập

Định nghĩa 1.9: Nếu hàm ( )f z giải tích trong hình vành khăn 0 z a R và không giải

tích tại a thì a được gọi là điểm bất thường cô lập hay kỳ dị cô lập của hàm ( )f z .

Theo định lý 1.16 ta có thể khai triển hàm giải tích trong hình vành khăn ứng với điểm bất thường cô lập thành chuỗi Laurent. Có ba trường hợp xảy ra:

a. Nếu chuỗi Laurent của hàm chỉ có phần đều, nghĩa là

20 1 2f z c c z a c z a

do đó tồn tại 0limz a

f z c

.

Đặt 0f a c thì ( )f z giải tích trong hình tròn z a R . Điểm a được gọi là điểm bất

thường bỏ được. b. Nếu phần chính chỉ có một số hữu hạn các số hạng, nghĩa là

210 1 2

nn

c cf z c c z a c z a

z az a

trong đó 0nc thì a được gọi là cực điểm và n được gọi là cấp của cực điểm.

Cực điểm cấp 1 được gọi là cực điểm đơn.

c. Nếu phần chính có vô số số hạng thì a được gọi là điểm bất thường cốt yếu. Người ta còn chứng minh được rằng điểm bất thường cô lập a là:

bỏ được khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim ( )z a

f z

.

cực điểm khi và chỉ khi tồn tại giới hạn là vô cùng lim ( )z a

f z

.

cốt yếu khi và chỉ khi không tồn tại lim ( )z a

f z

.

Ví dụ 1.26:

3 5 7

sin3! 5! 7 !z z z

z z 2 4 6sin

13! 5! 7 !

z z z zz

Vậy 0z là điểm bất thường bỏ được của hàm số sin zz

.

Hàm 1

1 2f z

z z

trong ví dụ 1.25 có 1z là cực điểm cấp 1.

Hàm 1

2

1 1 11

2! !z

ne

z z n z có 0z là điểm bất thường cốt yếu.

Định lý 1.17: Giả sử hai hàm ( ), ( )f z g z giải tích tại a và a là không điểm lần lượt cấp ,n m

của ( )f z và ( )g z . Khi đó a là điểm bất thường của ( )( )

f zg z

:

bỏ được nếu n m

cực điểm cấp m n nếu n m .

1.5 THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG 1.5.1 Định nghĩa thặng dư

Giả sử ( )f z giải tích trong hình vành khăn 0K z z a R có a là điểm bất

thường cô lập. Từ hệ quả 1.2 ta suy ra rằng tích phân lấy theo mọi đường cong kín C bất kỳ bao điểm a nằm trong hình vành khăn K là một số phức không phụ thuộc vào đường C . Ta gọi số phức này là thặng dư của ( )f z tại a , ký hiệu

1Res ;

2C

f z a f z dzi

(1.93)

1.5.2 Cách tính thặng dư

a. Từ công thức khai triển Laurent của hàm trong hình vành khăn : 0K z a R

(công thức (1.92)), ta có

1Res ;f z a c

(1.94)

trong đó 1c là hệ số của số hạng ứng với 1z a

trong khai triển Laurent của hàm ( )f z .

Chẳng hạn, từ ví dụ 24 ta có

1Res ;1 1

1 2z z

b. Thặng dư tại cực điểm đơn Nếu a là cực điểm đơn của ( )f z thì

Res ; limz a

f z a z a f z

(1.95)

Thật vậy, khai triển Laurent của ( )f z tại a có dạng 11

cf z f z

z a

, trong đó

1f z là phần đều của khai triển.

Nhân hai vế cho z a và lấy giới hạn khi z a , ta được:

1 1 1lim limz a z a

z a f z c z a f z c .

Đặc biệt, nếu z

f zz

thỏa mãn điều kiện 0, 0, ' 0a a a thì

Res ;'

z aa

z a

(1.96)

Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( )Res ; lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) '( )( )

z a z a

z z z aa z a

z z z a az a

.

Ví dụ 1.27: 2

1 1Res ; 2 lim 1

( 1)( 2) 1zz z z

;

0

cosRes cot ;0 1

sinz

zz

z

;

2 2

3 3 3 1 3Res ;

2 21 ( 1) z i

z z i ii

iz z

.

c. Thặng dư tại cực điểm cấp m

Giả sử a là cực điểm cấp m của ( )f z thì

1

1

1Res ( ); lim ( ) ( )

( 1)!

mm

mz a

df z a z a f z

m dz

(1.97)

Thật vậy, khai triển Laurent của ( )f z tại a có dạng 11

( )m

m

c cf z f z

z az a

,

trong đó 1f z là phần đều của khai triển.

Nhân hai vế cho ( )mz a ta được

11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m

mz a f z c c z a z a f z .

Lấy đạo hàm liên tiếp đến cấp 1m và lấy giới hạn khi z a , ta được: 1 1

1 1 11 1lim ( ) ( ) ( 1)! lim ( ) ( ) ( 1)!

m mm m

m mz a z a

d dz a f z m c z a f z m c

dz dz

.

Ví dụ 1.28: 3 30

1 1 1Res ;0 lim

8( 2) ( 2)zz z z

,

2

3 2 32 2

1 1 1 1 2 1Res ; 2 lim lim

2! 2! 8( 2) z z

dzz z dz z

.

1.5.3 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 1.5.3.1 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư để tính tích phân phức

Định lý 1.18: Cho miền đóng D có biên là D . Giả sử ( )f z giải tích trong D , ngoại trừ tại

một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập 1,..., na a D . Khi đó

1

( ) 2 Res ( );n

kkD

f z dz i f z a

(1.98)

2C

1C nC 1a

2a

na D

Chứng minh: Gọi 1, ... , nC C là các đường tròn tâm 1,..., na a có bán kính đủ bé nằm trong

D . Gọi 'D là miền D bỏ đi hình tròn có các biên tương ứng là các đường tròn 1, ... , nC C .

Biên của 'D là D và 1, ... , nC C .

Áp dụng hệ quả 1.2 cho hàm ( )f z giải tích trong 'D ta có

1 1

( ) ( ) 2 Res ( );

k

n n

kk kD C

f z dz f z dz i f z a

.

Ví dụ 1.29: Tính tích phân 2( 1)( 3)

z

C

eI

z z

, trong đó

a. C là đường tròn: 32

z .

b. C là đường tròn: 10z .

Giải: Hàm 2( 1)( 3)

ze

z z có 1z là cực điểm đơn và 3z cực điểm kép.

2 21

Res ;1 lim16( 1)( 3) ( 3)

z z

z

e e e

z z z

,

3

2 23 3

1 1 1 5Res ; 3 lim lim

1! 1 1 16( 1)( 3) ( 1)

z zz

z z

e d e ee

dz z zz z z

.

a. Khi C là đường tròn 32

z thì trong C hàm đã cho chỉ có một cực điểm 1z .

Vậy 216 8e e i

I i

.

b. Khi C là đường tròn. 10z thì trong C hàm đã cho có hai cực điểm 1z và

3z .

Do đó 43

3

552

16 16 8

i ee eI i

e

.

1.5.3.2 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư để tính tích phân thực

Bổ đề 1.1: Giả sử hàm ( )f z giải tích trong nửa mặt phẳng Im 0z , trừ ra tại một số hữu

hạn các điểm bất thường cô lập 1, ..., na a và thoả mãn:

Im 0;

lim ( ) 0z z

zf z

(1.99)

Khi đó lim ( ) 0

R

RC

f z dz

, trong đó , Im 0RC z z R z (xem hình 1.18).

Chứng minh: Điều kiện (1.99) suy ra: với mọi 0 tồn tại 0N sao cho với mọi R N

: , Im 0z z R z thì ( )zf z .

Có thể chọn 0N đủ lớn sao cho các điểm bất thường cô lập ka thỏa mãn ka N , do đó

với mọi R N , ( )f z giải tích nửa trên đường tròn : , 0itRC z Re t . Vì vậy

0 0 0

( )

R

it it it it

C

f z dz f Re iRe dt f Re iRe dt dt

(hoặc xem công thức 1.59). Điều này chứng tỏ lim 0

R

RC

f z dz

.

A. Tính tích phân có dạng ( )( )

P xI dx

Q x

, trong đó ( ), ( )P x Q x là hai đa thức thực.

Định lý 1.19: Giả sử ( ), ( )P z Q z là hai đa thức hệ số thực biến phức, bậc của ( )Q z lớn hơn

bậc của ( )P z ít nhất là hai. Nếu ( ) 0,Q x x và 1, ..., na a là các cực điểm nằm trong

nửa mặt phẳng Im 0z của phân thức ( )( )

( )P z

R zQ z

. Khi đó

1

( ) 2 Res ( );n

kk

R x dx i R z a

(1.100)

Chứng minh:

Chọn 0R đủ lớn sao cho các cực điểm 1, ..., na a đều ở trong nửa trên đường tròn tâm O

bán kính R . Gọi RC là nửa trên của đường tròn này nằm trong nửa mặt phẳng Im 0z .

Áp dụng công thức (1.98) của định lý 1.18 ta có đẳng thức sau đúng với mọi 0R đủ lớn:

y

R R x

1a 2a

na

O

RC

Hình 1.18: Các i m b t th ng cô l p trong n a trên c a hình tròn

1

( ) ( ) 2 Res ( );

R

R n

kkR C

R x dx R z dz i R z a

.

Tích phân thứ nhất ở vế trái hội tụ. Theo bổ đề 1.1 tích phân thứ hai có giới hạn bằng 0 khi R vì thỏa mãn điều kiện (1.99). Vế phải không đổi khi R đủ lớn.

Do đó khi cho R ta được

1

( ) 2 Res ( );n

kk

R x dx i R z a

.

Ví dụ 1.30: Tính tích phân 2 2

0 ( 1)

dxI

x

.

Giải: Hàm 2 2 2 2

1 1

( 1) ( ) ( )R z

z z i z i

có cực điểm kép z i nằm trong nửa mặt

phẳng Im 0z . Vậy

2 2 2 2 2 3

1 1 1 1 22 Res ; lim

2 2 4( 1) ( 1) ( ) (2 )z i

dx dI i i i i

dzx z z i i

.

B. Tính tích phân có dạng ( )cosR x xdx

, ( )sinR x xdx

Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân ( ) i xR x e dx

.

Bổ đề 1.2: Giả sử hàm ( )f z giải tích trong nửa mặt phẳng Im 0z , ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập và thoả mãn:

, Rk

Mf z z C

R ; 0,k M là hằng số (1.101)

thì lim 0

R

i z

RC

e f z dz

, với mọi 0 ,

trong đó , Im 0RC z z R z .

Chứng minh: Với mọi Rz C , đặt itz Re

0

it

R

i Rei z it it

C

e f z dz e f Re Rie dt

/2

sin sin

1 10 0 0

2it

R

i Re R t R ti z it itk k

C

M Me f z dz e f Re R ie dt e dt e dt

R R

Vì sint

t

khi 02

t

, do đó

/2 /2

sin

1 10 0

2 21 0

RtR t R

Rk k k

M M Me dt e dt e

R R R

.

Định lý 1.20: Giải sử ( )

( )( )

P zR z

Q z là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau:

1. ( )R z giải tích trong nửa mặt phẳng Im 0z ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực

điểm 1, ..., na a .

2. ( )R z có thể có m cực điểm 1, ..., mb b trên trục thực và ( ) i xR x e khả tích tại những

điểm này. 3. Bậc của ( )Q z lớn hơn bậc của ( )P z ít nhất là 1.

Khi đó

1 1

2 Res ( ) ; Res ( ) ;n m

i x i z i zk k

k k

R x e dx i R z e a i R z e b

(1.102)


0

cos; , 0

xI dx a

x a

.

Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên

2 2 2 2 2 2

1 cos 1 12 Res ;

2 2 2 2

i x i x ax e e eI dx dx i ai

ax a x a x a

.


sin xI dx

x

.

Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên 1 sin 12 2

ixx eI dx dx

x i x

.

Hàm 1( )R z

z thoả mãn các điều kiện của định lý 1.20, có cực điểm đơn duy nhất 0z

trên trục thực, do đó 1 1Res ;0

2 2 2

izeI i i

i z i

.

C. Tính tích phân dạng 2

0

cos , sinR nx mx dx

.

Đặt ixz e , ta có cos , sin ,2 2

n n m mz z z z dznx mx dx

i iz

Khi x biến thiên từ 0 2 thì ixz e vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì vậy

2

0

cos , sin ,2 2

n n m m

C

z z z z dzR nx mx dx R

i iz

(1.103)


05 3sin

dxI

x

Giải:

2

1 2 22 Res ;

3 23 1 105 3 1 3 3

2 3 3C C

dz dz iI i

iz i iz z z z z i

i z

,

vì hàm số 2

2 2

103 1 3 3

3 3i i

z z z z i

chỉ có một cực điểm đơn 3i

z nằm

trong đường tròn đơn vị C .


0

1( ) , , 1

21

inx

ix

eK n dx z z

z e

Giải: Đặt ( )ixz e dz i zdx . Khi x tăng từ đến thì z vạch nên đường tròn đơn vị theo chiều âm, do đó

20 00

1 1( )

2 ( ) 2 1 11

n n

C C

z dz z dzK n

i z i zz z z zz z

Mặt khác 1z C z

z .

Do đó 0 0 0 0 0

0

1 1

1 1 11 1

n n nz z zz zz z z z z z z z z

z zz

.

Trong đường tròn đơn vị C hàm 0 01

nz

z z z z chỉ có một cực điểm đơn 0z z .

Vậy

0

20 0 0

1( )

2 1 1

nn

C

zzK n dz

i z z z z z

.

1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z Từ sau Thế chiến thứ II, sự phát triển của công nghệ kỹ thuật số đòi hỏi cần thiết kế và

giải quyết các hệ dữ liệu mẫu với thời gian rời rạc (các tín hiệu được lấy mẫu tại những thời điểm rời rạc). Những hệ dữ liệu này thỏa mãn phương trình sai phân, trong đó mỗi thành phần ( )y n tại thời điểm n phụ thuộc vào các thành phần tại các thời điểm khác.

Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn

r z R bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (công thức 1.92 và định lý

1.16), người ta xây dựng phép biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các dãy tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn.

Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc.

1.6.1 Định nghĩa phép biến đổi Z

Định nghĩa 1.10: Biến đổi Z của dãy tín hiệu ( )n

x n

là hàm biến phức

1( ) ( ) ( )( )n n

n n

X z x n z x n z

(1.104)

Miền hội tụ của chuỗi (1.104) là miền xác định của biến đổi Z.

Ký hiệu ( ) ( )ZX z x n

Trường hợp dãy tín hiệu ( )n

x n

chỉ xác định với 0n , nghĩa là ( ) 0x n , 0n ,

khi đó biến đổi Z của tín hiệu này được gọi là biến đổi một phía.

1.6.2 Miền xác định của biến đổi Z Để tìm miền xác định của phép biến đổi Z ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc

tiêu chuẩn D'Alembert (định lý 1.11, công thức (1.78)). Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi:

11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nn

n n

X z x n z x n z X z X z

(1.105)

trong đó 11

0

( ) ( )n

n

X z x n z

, 1

12

1

( ) ( ) ( )n

m

n m

X z x n z x m z

(đặt m n ).

Nếu ( 1)

lim( )n

x nr

x n


hoặc lim ( )nn

r x n


thì chuỗi 1( )X z hội tụ khi 1 1 1| |z

rz hay r z .

Nếu ( 1)

lim( )m

x m

x m


hoặc lim ( )mm

x m


thì chuỗi 2( )X z hội tụ khi 1

z R

.

Tóm lại ta có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của ( )X z .

Tiêu chuẩn D'Alembert

Nếu ( 1)

lim( )n

x nr

x n

và

( 1)1lim

( )n

x n

R x n

(1.106)

thì miền xác định của ( )X z là r z R .

Tiêu chuẩn Cauchy

Nếu lim ( )nn

r x n

và 1

lim ( )nn

x nR

(1.107)

thì miền xác định của ( )X z là r z R .

Trường hợp 0( ) 0,x n n n thì 0r , do đó miền xác định có dạng

0 z R .

0( ) 0,x n n n có miền xác định 0 z R (1.108)

Trường hợp 0( ) 0, 0x n n n thì R , miền xác định có dạng r z . Ta

gọi là phép biến đổi một phía.

0( ) 0, 0x n n n có miền xác định r z (1.109)

Ví dụ 1.35: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu 2 3

( )0 3

n nx n

n

nÕu

nÕu

Giải: 3 1

3 2

8 4 2( ) ( ) 2 1 2n n n n n

n n n

X z x n z z zzz z

.

Đổi m n vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được:

1

1 0

1 21 2 1 2 ,

2 21

2

mn n m m

n m m

zz z

z z

với 2z .

Vậy 3 2

8 4 2 2( )

2X z

z zz z

với 0 2z .

Mặt khác theo nhận xét trên ta có ( ) 0, 3x n n 0r .

1( 1) 2 1( ) 2 , 3 ( ) 2 , 3

( ) 22

nn n

n

x nx n n x n n

x n

hoặc 1( ) 2 , 0 2

2

nn nx n n R

Vậy biến đổi Z có miền xác định 0 2z .

Ví dụ 1.36: Tìm biến đổi Z của tín hiệu xác định bởi 3( )

4

n

x n

.

11

0 0

3 3 1 4( )

4 4 3 4 31

4

n nn

n n

zX z z

z zz

, với 3

14z

hay 34

z .

1 1

1 12

1

3 3( ) ( )

4 4

n mn n

n n m

zX z x n z z

(đặt m n )

0

3 1 4 31 1 1

4 3 4 3 4 31

4

m

m

z zz z z

, với 3

14z

hay 43

z .

Vậy

4 3 7( )

4 3 4 3 4 3 4 3

z z zX z

z z z z

, với 3 4

4 3z .

Ta cũng thấy rằng 3 3 3

lim ( ) lim lim4 4 4

n nn nn

n n nr x n

.

3 3 3 4lim ( ) lim lim

4 4 4 3

n nn nn

n n nx n R

.

Ví dụ 1.37: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu 0

( )0 0 ; 0

na nx n

n a

nÕu

nÕu

Giải:

10

1( ) ( )

1n n n

n n

zX z x n z a z

z aaz

(1.110)

có miền xác định z a , (công thức 1.109).

Trường hợp 1a dãy tín hiệu 1 0

( )0 0

nn

n

nÕu

nÕu

có biến đổi Z là 1

1( )

11

zz

zz

.

Trường hợp 1a , ( ) ( 1) ; 0nx n n có biến đổi Z là 1

1( )

11

zX z

zz

.

Ví dụ 1.38: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu 0

( )0 0

anTe nx n

n

nÕu

nÕu

với a là số phức. Giải: Theo ví dụ 1.37 ta có

0

( ) ( ) n anT naT

n n

zX z x n z e z

z e

(1.111)

có miền xác định aTz e

Trường hợp a là số thực thì aT aTe e , do đó miền xác định của biến đổi Z là aTz e .

Trường hợp a i là số thuần ảo thì 1i Te , do đó miền xác định của biến đổi Z

là 1z .

Trường hợp a i thì ( )i T Te e , do đó miền xác định của biến đổi Z

là Tz e .

Ví dụ 1.39: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu 1 0 5

( )(1 / 2) 6n

nx n

n

nÕu

nÕu

Giải: 5

0 6

1( ) ( )

2

nn n

n n n

X z x n z zz

.

Áp dụng công thức 1

0

11

NNn

n

qq

q

và công thức tổng của chuỗi cấp số nhân ta được

6 66 6 6

1 6 5 6 5 6 50

1 1 1 1 1 1 1 1( )

2 2 2 11 (2 ) (2 )12

m

m

z z zX z

z z zz z z z z z zz

,

miền xác định 12

z .

1.6.3 Tính chất của biến đổi Z

Các tín hiệu ( )x n thường được xét từ thời điểm 0n trở đi. Vì vậy hầu như chỉ xét

phép biến đổi Z một phía. Các tính chất sau cũng chỉ xét với phép biến đổi Z một phía. a. Tuyến tính:

( ) ( ) ( ) ( )Z Z ZAx n By n A x n B y n , A, B là hằng số. (1.112)

b. Đồng dạng:

Nếu ( ) ( )ZX z x n thì ( ) ( )Z na x n X az . (1.113)

c. Tịnh tiến

Nếu ( ) ( )ZX z x n thì ( 1) ( ) (0)Z x n zX z zx ,

1( ) ( ) (0) (1) ... ( 1); 0Z m m mx n m z X z z x z x zx m m (1.114)

d. Trễ

Ký hiệu 1

( )0

n kn k

n k

nÕu

nÕu (1.115)

Nếu ( ) ( )ZX z x n thì ( ) ( ) ( )Z kx n k n k z X z . (1.116)

e. Nhân với n

Nếu ( ) ( )ZX z x n thì ( )( )Z dX z

nx n zdz

. (1.117)

f. Dãy tuần hoàn

Xét dãy tín hiệu rời rạc chu kỳ N có dạng 0 1 2 1 0 1 2( ) ... ...Nf n f f f f f f f

Chu kú thø nhÊt

,

Đặt 0 1

( )0nf n N

x nn N

nÕu

nÕu

Nếu ( ) ( )ZX z x n thì ( )( )

1Z

N

X zf n

z

, 1Nz . (1.118)

g. Tích chập

Tích chập của hai dãy tín hiệu ( )x n và ( )y n là dãy tín hiệu ( )z n được ký hiệu và xác

định như sau

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

z n x n y n x k y n k x n k y k

(1.119)

Nếu hai dãy tín hiệu ( )x n và ( )y n chỉ xác định khi 0n thì tích chập trở thành

0 0

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

k k

z n x n y n x k y n k x n k y k

và biến đổi Z một phía có tính chất

( ) * ( ) ( ) ( )Z x n y n X z Y z (1.120)

Ví dụ 1.40: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu cos 0

( )0 0

n T nx n

n

nÕu

nÕu

Giải: 0 0

1( ) ( ) (cos ).

2n n in T in T n

n n n

X z x n z n T z e e z

.

Theo ví dụ 1.38 ứng với trường hợp số a thuần ảo và áp dụng công thức (1.110) ta được

20

cos( )1 1( )

2 2 2 cos( ) 1in T in T n

i T i Tn

z z Tz zX z e e z

z e z e z z T

,

miền xác định 1z .

Ví dụ 1.41: Từ ví dụ 1.37 ta có 1

1

1Z na

az

, áp dụng công thức (1.115) ta được

1 2

1 1 22

1 ( )( 1) 1 ( )( 1)( )

Z n d azna z az z az a z

dz z a

.

1.6.4 Biến đổi Z ngược

Theo định lý 1.16 mỗi hàm biến phức ( )X z giải tích trong hình vành khăn r z R ,

(0 r R ) đều có thể khai triển duy nhất thành chuỗi Laurent:

( ) nn

n

X z c z

với 1

1 ( )2n n

C

X zc dz

i z ,

C là đường cong kín bao quanh gốc O và nằm trong hình vành khăn r z R .

Đặt ( ) nx n c thì

( ) ( ) n

n

X z x n z

với 11( ) ( )

2n

C

x n z X z dzi

. (1.121)

Theo (1.121) ( )n

x n

xác định duy nhất bởi ( )X z được gọi là biến đổi ngược

của biến đổi Z của ( )X z . Ký hiệu

1( ) ( )Zn

x n X z

.

Nhận xét 1.8: 1) Tương tự khai triển Taylor, do tính chất duy nhất của khai triển hàm số giải

tích trong hình vành khăn r z R thành tổng của chuỗi Laurent nên ta có thể sử

dụng phương pháp tính trực tiếp theo công thức (1.121) hoặc các phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa để tìm biến đổi ngược của phép biến đổi Z .

2) Theo công thức (1.105), (1.106), (1.107) miền xác định của phép biến đổi Z một phía

có dạng z r . Vì vậy khi tìm biến đổi ngược 1Z thì hàm ảnh phải giải tích trong

miền z r .

3) Có thể sử dụng thặng dư để tính các giá trị ( )x n theo công thức (1.119).

4) Để tìm phép biến đổi ngược 1Z ta có thể sử dụng các tính chất của phép biến đổi thuận. Chẳng hạn

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )Z Z ZAX z BY z A X z B Y z (tuyến tính)

1 1( ) ( ) ( ) ( )Z Z nX z x n X az a x n (đồng dạng) …

Ví dụ 1.42: Hàm 2

2

12 2 12( )

1 37 32 7 3 222 2

z zX z

zz z zz z

giải tích tại

mọi 1, 3

2z . Vì vậy ta có thể tìm biến đổi ngược trong 3 miền sau:

a. Miền 10

2z :

10 0 0

1 1 1 1( ) 2 2

1 2 3 3 33 13

nn n n n

n nn n n

zX z z z

z z

0

1

12

3n n

nn

z

.

Vậy 1

12 0

( ) 30 0

nn

nx n

n

nÕu

nÕu .

b. Miền 1 32

z :

0 0

1 1 1 1( ) 2

2 31 32 1 3 12 3

nn n

nn n

zX z z

zzz

z

01

1

2 3n n n n

n n

z z

.

Vậy

13 0( )

2 0

n

n

nx n

n

nÕu

nÕu .

c. Miền 3 z : (Biến đổi Z ngược một phía)

1

0 0 1 1

1 1 1 1( ) 2 3 2 3

21 32 1 1

2

n n n n n n n n

n n n n

X z z z z zz z

z zz z

Vậy 1

0 0( )

3 2 1n n

nx n

n

nÕu

nÕu .

A. Tìm biến đổi Z ngược bằng cách khai triển thành chuỗi hoặc tính thặng dư

Ví dụ 1.43: Tìm biến đổi Z ngược một phía của 1

( )( 1)( 2)

X zz z

.

Giải: Hàm ( )X z không giải tích tại 1z và 2z , do đó biến đổi Z ngược một phía của

( )X z có dạng 2z .

Cách 1: Khai triển thành chuỗi

Ta có 1 1 1( 1)( 2) 2 1z z z z

1 ( 1)1

0 0

1 1 1(2 ) 2

2 (1 2 )n n n

n n

z zz zz z

, khi 2z .

1 ( 1)1

0 0

1 1 1( )

1 (1 )n n

n n

z zz zz z

, khi 1z .

Vậy khi 2z ta có khai triển Laurent của hàm ( )X z

( 1) ( 1) ( 1) 1

0 0 0 2

( ) 2 (2 1) (2 1)n n n n n m m

n n n m

X z z z z z

Do đó biến đổi Z ngược của ( )X z là

1

0 1( )

2 1 2n

nx n

n

nÕu

nÕu

Cách 2: Dùng thặng dư và sử dụng công thức (1.121) để tìm biến đổi ngược như sau

111 1

( ) ( )2 2 ( 1)( 2)

nn

C C

zx n z X z dz dz

i i z z

, 0n

trong đó C là đường khép kín bất kỳ nằm trong miền 2z

Khi 0n , sử dụng thặng dư và công thức (1.98) ta được

1 1 111

( ) Res ;1 Res ;2 1 22 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

n n nn

C

z z zx n dz

i z z z z z z

Khi 0n hàm dưới dấu tích phân có 3 điểm bất thường cô lập là 0, 1, và 2, vậy

x

y

O 2 1

Hình 1.18

C

11 ( ) ( ) ( ) 1 1(0) ( ) Res ;0 Res ;1 Res ;2 1 0

2 2 2C

X z X z X zx z X z dz

i z z z

.

Do đó 1 1

0 0 0 1( )

2 1 0 2 1 2n n

n nx n

n n

nÕu nÕu

nÕu nÕu


2

2( )

( 1)

z zX z

z

.

Giải: Cách 1: Khai triển thành chuỗi trong miền | | 1z .

( 1)2

0 0

1 1( )

1 1 ( 1)1

n n

n n

zz n z

z zz

22 ( 1)

20

2( 2 )

( 1)n

n

z zn z z z

z

1

0 0 0 0

( ) 2 ( 1) 2 (3 1)n n m n m

n m n m

X z nz nz m z nz m z

.

Cách 2: Sử dụng công thức (1.121) để tìm biến đổi ngược như sau: Với mọi 0n

1 11

2 2

1 1 2 2( ) ( ) Res ;1

2 2 ( 1) ( 1)

n n n nn

C C

z z z zx n z X z dz dz

i i z z

,

1

12 1

2( ) Res ;1 2 3 1

( 1)

n nn n

z

z z dx n z z n

dzz

, 0n .

Vậy ( ) 3 1, 0x n n n .

B. Tìm biến đổi Z ngược của các phân thức hữu tỉ

Để tìm biến đổi Z ngược một phía của các phân thức hữu tỉ dạng ( )( )

( )P z

X zQ z

ta phân

tích thành tổng của các phân thức tối giản sử dụng các tính chất của biến đổi Z.


( )1

zX z

z

.

Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có

2

1( )

2 1 11

z z zX z

z zz

.

Theo công thức (1.108) ví dụ 1.37 ta có 1 11

Z zz

, 1 ( 1)

1Z nz

z

1 1( ) 1 ( 1) , 0

2Z nX z n .


2

2( )

( 2)( 1)

zX z

z z

.

Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có

2

2 2

2 4 4 2( )

2 1( 2)( 1) ( 1)

z z z zX z

z zz z z

.

Theo công thức (1.110) ví dụ 1.37 ta có

1 ( 1)1

Z nzz

, 1 ( 2)

2Z nz

z

,

Áp dụng công thức (1.115) ta có

1 1 12

( 1)1 1( 1)

Z Z Z nz d z zz n ndz z zz

.

1 ( ) 4( 1) 4( 2) 2 ( 1) , 0Z n n nX z n n .


2( )

( 2)

z zX z

z

.

Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có 2

2 2

32( 2) ( 2)

z z z zzz z

.

Theo công thức (1.110) ví dụ 1.37 ta có 1 22

Z nzz

Áp dụng công thức (1.117) ta có

1 1 12

12

2 2 2 2 2( 2)Z Z Z nz d z n z n

zdz z zz

.

1 3 3( ) 2 2 1 2 , 0

2 2Z n n nX z n n n

.

1.6.5 Ứng dụng biến đổi Z để giải phương trình sai phân Có thể sử dụng các tính chất của phép biến đổi Z và phép biến đổi ngược để giải các

phương trình sai phân. Ví dụ 1.48: Giải phương trình sai phân bậc hai

2 ( 2) 3 ( 1) ( ) 5 3nx n x n x n , 0n

thỏa mãn điều kiện đầu (0) 0x và (1) 1x .

Giải: Thực hiện biến đổi Z hai vế của phương trình và áp dụng công thức (1.112) ta được

2 ( 2) 3 ( 1) ( ) 5 3Z Z Z Z nx n x n x n ,

Từ công thức (1.114) và ví dụ 1.37 ta có

2 2 52 ( ) 2 (0) 2 (1) 3 ( ) (0) ( )

3z

z X z z x zx zX z zx X zz

.

Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được

(2 1)(2 1)( 1) ( )

3z z

z z X zz

( )

( 3)( 1)z

X zz z

.

1( )

( 3)( 1) 2 3 1z z z

X zz z z z

.

Do đó nghiệm của phương trình sai phân cần tìm là (xem công thức 1.110 ví dụ 1.37 và nhận xét 1.8-4)

1 1 11 1 1( ) ( ) 3 1

2 3 2 1 2Z Z Z nz z

x n X zz z

, 0n

Ví dụ 1.49: Giải phương trình sai phân bậc hai ( 2) 2 ( 1) ( ) 1x n x n x n , 0n

thỏa mãn điều kiện đầu (0) 0x và (1) 3 / 2x .


( 2) 2 ( 1) ( ) 1Z Z Z Zx n x n x n ,

2 2( ) (0) (1) 2 ( ) (0) ( )1

zz X z z x zx zX z zx X z

z

Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được 2

3

3( )

2( 1)

z zX z

z

.

2 1 2 11 2

3 3 21

3 1 3 1 3 1( )

2 2! 2 2 22( 1) 2( 1)

n n n n

C z

z z z z d z zx n dz n n

iz z dz

Z .

Ví dụ 1.50: Giải phương trình sai phân bậc hai 2( 2) ( ) 0x n b x n , 0n

với 1b và thỏa mãn điều kiện đầu 2(0)x b và (1) 0x .


2( 2) ( ) 0Z Zx n b x n ,

2 2 2( ) (0) (1) ( ) 0z X z z x zx b X z

Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được 2 2

2 2( )

b zX z

z b

.

2 2 2 11

2 2

1( )

2 ( )( )Z

n

C

b z b zx n dz

i z ib z ibz b

2 1 2 1 2 2( )( )

2 2

n n n n n n

z bi z bi

b z b z b i b ix n

z bi z bi

2 /2 2 /22 cos

2 2 2

n in n innb e b e n

b

, 0n .

Ví dụ 1.51: Giải hệ phương trình sai phân

( 1) 4 ( ) 2 ( )

( 1) 3 ( ) 3 ( ), 0

x n x n y n

y n x n y n n

thỏa mãn điều kiện đầu (0) 0x và (0) 5y .

Giải: Thực hiện biến đổi Z ta được hệ phương trình ảnh

( ) (0) 4 ( ) 2 ( )

( ) (0) 3 ( ) 3 ( )

zX z x z X z Y z

zY z y z X z Y z

,

Thay điều kiện đầu ta được ( 4) ( ) 2 ( ) 0

3 ( ) ( 3) ( ) 5 .

z X z Y z

X z z Y z z

Giải hệ phương trình ta có nghiệm ảnh

10 2 2( )

( 6)( 1) 1 6z z z

X zz z z z

; 5 ( 4) 2 3

( )( 6)( 1) 6 1

z z z zY z

z z z z

.

1( ) ( ) 2 2 6Z nx n X z ; 1( ) ( ) 3 2 6Z ny n X z .

BÀI TẬP CHƯƠNG I

1.1. Nếu hàm biến phức ( )w f z có đạo hàm tại 0z thì có đạo hàm mọi cấp tại 0z .

Đúng Sai . 1.2. Hàm biến phức ( )w f z giải tích tại 0z thì có thể khai triển thành tổng của chuỗi lũy

thừa tâm 0z .

Đúng Sai . 1.3. Hàm biến phức ( )w f z có đạo hàm khi và chỉ khi phần thực và phần ảo

,u x y , ,v x y có đạo hàm riêng cấp 1.

Đúng Sai . 1.4. Nếu 0z là điểm bất thường cô lập của hàm biến phức ( )w f z thì có thể khai triển

Laurent của hàm số này tại 0z .

Đúng Sai . 1.5. Tích phân của hàm biến phức giải tích ( )w f z trong miền đơn liên D không phụ

thuộc đường đi nằm trong D . Đúng Sai .

1.6. Tích phân trên một đường cong kín của hàm biến phức giải tích ( )w f z trong miền đơn liên D luôn luôn bằng không.

Đúng Sai . 1.7. Thặng dư của hàm biến phức ( )w f z tại 0z là phần dư của khai triển Taylor của hàm

này tại 0z .

Đúng Sai . 1.8. Hàm biến phức ( )w f z có nguyên hàm khi và chỉ khi giải tích.

Đúng Sai . 1.9. Giả sử hàm biến phức ( )w f z chỉ có một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập, khi

đó tích phân của ( )w f z dọc theo đường cong kín C (không đi qua các điểm bất thường) bằng tổng các thặng dư của ( )w f z nằm trong đường C .

Đúng Sai . 1.10. Có thể tìm được một hàm biến phức bị chặn, không phải hàm hằng và giải tích tại mọi

điểm. Đúng Sai . 1.11 Rút gọn các biểu thức sau

a. 2 5 3 3 2 5 3i i i , b. 1 11 3 1 3i i

,

c. 3 4 4 3i i , d. 33 2i ,

e. 10

11

ii

, f.

3

1 2 3 4 2

1 2 1

i i i

i i

.

1.12 Giải các phương trình sau

a. 2 1 0z z , b. 3 2 4 0z z ,

c. 4 3 22 3 7 8 6 0z z z z .

1.13 Tính căn

a. 3 1 i , b. 3 4 2 4 2i .

1.14 a. Giả sử z là một nghiệm khác 1 của phương trình 5 1z , chứng minh rằng

2 3 41, , , , là tập hợp nghiệm của phương trình 5 1z .

b. Chứng minh 2 3 41 0 .

c. Tổng quát hóa kết quả a. và b. cho phương trình 1nz . 1.15 Tính quỹ tích những điểm trong mặt phẳng phức thoả mãn

a. 3 4 2z i , b. arg4

z i

,

c. 2 2 6z z , d. 2 2 1z z ,

e. 5 5 6z z , f. Im 3z ,

g. 1 2 2z i , h. arg3 2

z .

1.16 Tính phần thực và phần ảo của các hàm biến phức sau

a. 3w z b. 11

wz

c. .

1.17 Cho . Tìm đạo hàm trực tiếp từ định nghĩa. Với giá trị nào của thì

hàm số không giải tích.

1.18 Chứng minh hàm không giải tích tại mọi .

1.19 Chứng minh rằng hàm

a. b.

thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tính trong mỗi trường hợp trên.

1.20 Tìm hàm biến phức giải tích biết phần thực

a. , b. ,

c. .

1.21 Tìm hàm biến phức giải tích biết phần ảo

a. , b. ,

c. .

1.22 Tính tích phân trong hai trường hợp sau

a. C là đoạn thẳng nối 2 điểm và +1.

b. C là nửa cung tròn tâm 0 nằm trong nửa mặt phẳng trên đi từ điểm đến điểm .

1.23 a. Tính tích phân , C là đường tròn .

b. Tính tích phân , dọc theo đường từ điểm đến (1,1).

1.24 Cho C là đường tròn 1 3z , tính các tích phân sau:

a. cos

C

zdz

z , b. ( 1)

z

C

edz

z z .

1.25 Tính tích phân 3

C

dzI

z

trong hai trường hợp sau:

a. C là đường tròn 1z . b. C là đường tròn 4z i .

1.26 Tính tích phân C

I zdz trong đó C là đường gấp khúc có đỉnh lần lượt là

2, 1 2 ,i 1 , 2i .


sin41C

z

I dzz

trong đó C là đường tròn 2 2 2 0x y x .

1.28 Tính tích phân 22 1

z

C

eI dz

z

trong đó C là ellipse 2 24 2 0x y y .

1.29 Tính tích phân 3 3

1 1C

dzI

z z

trong các trường hợp sau:

a. C là đường tròn 1 , 2z R R ,

b. C là đường tròn 1 , 2z R R ,

c. C là đường tròn , 1z R R .


z

C

e zI dz

z

trong đó C là đường cong kín bất kỳ bao quanh điểm

1z .

1.31 Tính tích phân

2

3

5 3 2

1C

z zI dz

z

, C là đường tròn 1 3z .

1.32 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

a. 2

1 2

n

nn

z

n

, b.

2 11

1

12 1 !

nn

n

z

n

,

c.

0 3

n

nn

z i

, d.

3

0 3

n

nn

z i

n

.

1.33 Viết bốn số hạng đầu trong khai triển Taylor của hàm số dưới đây tại 0z .

a. 1

1 zw e , b. 1sin

1w

z

.

1.34 Khai triển Laurent của hàm số 2

1

2

zw

z z

a. Trong hình vành khăn 1 2z .

b. Trong hình tròn 1z .

c. Trong miền ngoài của hình tròn 2z .

1.35 Khai triển Laurent của các hàm số tại các điểm được chỉ ra sau đây. Tìm miền hội tụ chuỗi, chỉ ra cấp hay loại cực điểm.

a. 2

, 11

zew z

z

; b. 1

cos , 0w z zz

;

c. sin,

zw z

z

; d.

, 1

1 2

zw z

z z

;

e. 3

1, 0, 2

2w z z

z z

;


( 1)( 3)C

zdz

z z trong đó C là đường tròn 4z .

1.37 Nếu C là đường tròn 2z , chứng tỏ rằng 22

1 1sin

2 21

zt

C

zedz t t

iz

.

1.38 Tính tích phân 2 21 1C

dz

z z , C là đường tròn 2 2 2 2x y x y .

1.39 Tính tích phân 4 1C

dz

z , C là đường tròn 2 2 2x y x .

1.40 Tính các tích phân thực sau

a. 2

4

1

1

xI dx

x

; b.

2,

1n

dxI n

x

nguyên dương;

c. 2 2 2( 4)( 1)

dxI

x x

; d. 6 6

, 0dx

I ax a

.


a. 2

0

sin2

4

x xI dx

x

; b. 220

sin

1

xI dx

x x

;

c. 2

0

cos2

4

xI dx

x

; d. 220

sin

1

x xI dx

x

.


a. 2

02 cos

dxI

x

; b.

2

0

sin5 4 cos

xI dx

x

;

c. 2

0sin cos 2

dxI

x x

; d.

2

20

cos

1 2 cos

nxI dx

a x a

, 0 1,a n .

1.43 Chứng minh các tính chất sau đây của phép biến đổi Z :

Tín hiệu: ( )x n Biến đổi Z tương ứng: ( )X z

a. ( ) ( )Ax n By n ( ) ( )AX z BY z (tính tuyến tính).

b. 0 0( ) ( )x n n n n 0 ( )nz X z (tính trễ).

c. ( )na x n zX

a

(tính đồng dạng).

d. ( )nx n ( )dX zz

dz (đạo hàm ảnh)

e. ( ) * ( ) ( ) ( )k

x n y n x k y n k

( ) ( )X z Y z (tích chập).

1.44 Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau:

a. ( ) ( )inx n e n .

b. ( ) ( )nax n ne n .

1.45 Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau:

a. ( ) ( )nx n a n .

b. ( ) ( 1)nx n a n .

c. ( ) 2 rect ( )nNx n n , trong đó rect ( ) ( ) ( )N n n n N : gọi là dãy chữ nhật.

1.46 Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích 3

4( )

(2 1)X z

z z

trong miền 1

2z .

1.47 Tìm biến đổi Z một phía của dãy các tín hiệu sau

a. 1( )

2

n

x n

b. 0 5

( )1 0 5

nx n

n

nÕu

nÕu c.

0 0

( ) 1 1

2n

n

x n n

a n

nÕu

nÕu

nÕu

1.48 Tìm biến đổi Z một phía của dãy các tín hiệu sau

a. ( ) anTx n nTe b. 2 1

0 0( )

1n

nx n

n a n

nÕu

nÕu c.

( ) cos( 2) ( 2)x n n n

d. 0( ) sin( )x n n T e. ( ) ( 1)nx n

1.49 Tìm biến đổi ngược một phía 1( ) ( )x n X z Z , 0n .

a. 2

( 1)( )

( 1)( 1 / 4)

z zX z

z z z

b.

2

( )( 1)( )

zX z

z z a

c. /( ) a zX z e

d. 10

1( )

( 1 / 2)

zX z

z z

e.

2( )

( 1) ( 2)

zX z

z z

1.50 Giải các phương trình sai phân, các hệ phương trình sai phân sau:

a. 2( 1) ( ) , (0) 1x n x n n x b. ( 2) 2 ( 1) ( ) 1, (0) (1) 0x n x n x n x x

c. ( 1) 5 ( ) cos( ), (0) 0x n x n n x d. 1 1( 2) ( ) , (0) (1) 0

4 2nx n x n x x

e. ( 1) 3 ( ) 4 ( )

( 1) 2 ( ) 3 ( ); (0) 3, (0) 2

x n x n y n

y n x n y n x y

f. ( 1) ( ) 2 ( )

( 1) 6 ( ); (0) 1, (0) 7

x n x n y n

y n y n x y

.

CHƯƠNG 2

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Nhiều vấn đề trong kỹ thuật, trong ngành điện tử viễn thông, trong lý thuyết mạch … , đưa về bài toán giải các phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân của các hàm nào đó, nghĩa là phải giải các phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng. Việc giải trực tiếp các phương trình này nói chung rất khó. Một trong những phương pháp có hiệu quả để giải các bài toán dạng này là sử dụng phép biến đổi Laplace.

Phép biến đổi Laplace là một tương ứng 1-1 biến các hàm gốc theo biến t thành hàm ảnh theo biến s . Với phép biến đổi này việc tìm hàm gốc thoả mãn các biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm. Kỹ sư Oliver Heaviside (1850-1925) là người đầu tiên đã vận dụng phép biến đổi Laplace để giải quyết các bài toán liên quan đến lý thuyết điện từ.

Trong mục này ta giải quyết hai bài toán cơ bản của phép biến đổi Laplace là tìm biến đổi thuận, biến đổi ngược của biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó.

Các hàm số trong chương này được ký hiệu là ( ), ( ),...x t y t thay cho ( ), ( ),...f x g x ,

vì ( ), ( )x t y t được ký hiệu cho các tín hiệu phụ thuộc vào thời gian t .

2.1.1 Phép biến đổi Laplace thuận 2.1.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 2.1: Giả sử ( )x t là hàm số thực xác định với mọi 0t . Biến đổi Laplace của hàm số ( )x t được định nghĩa và ký hiệu:

0

( ) ( ) ( )stx t X s e x t dt

L (2.1)

( )x t được gọi là hàm gốc, ( )X s được gọi là hàm ảnh của phép biến đổi.

Phép biến đổi Laplace của hàm số ( )x t được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ với giá trị s trong miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm

số x t không tồn tại.

Các hàm gốc ( )x t thường được xét là các tín hiệu phụ thuộc thời gian t và hàm ảnh tương ứng có biến s thuộc mặt phẳng phức, vì vậy người ta còn nói phép biến đổi Laplace biến miền thời gian thành miền không gian.

Phép biến đổi Laplace là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh ( )X s là thực hay phức.

Theo thói quen người ta thường ký hiệu các hàm gốc bằng các chữ bé ( ), ( ),...x t y t

còn các biến đổi của nó bằng các chữ in hoa ( ), ( ), ...X s Y s . Đôi khi cũng được ký hiệu bởi

( ), ( ),...x s y s .

2.1.1.2 Điều kiện tồn tại Định nghĩa 2.2: Hàm biến thực ( )x t được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn 3 điều kiện sau:

1. ( ) 0x t với mọi 0t .

2. ( )x t liên tục từng khúc trong miền 0t .

Nghĩa là với mọi khoảng ;a b

trên nửa trục thực 0t hàm chỉ gián đoạn nhiều nhất tại

một số hữu hạn các điểm và các điểm gián đoạn là gián đoạn loại 1, nghĩa là hàm có giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn tại các điểm gián đoạn này.

3. ( )x t không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t .

Nghĩa là tồn tại 00, 0M sao cho

0( ) , 0tx t Me t . (2.2)

0 được gọi là chỉ số tăng của ( )x t .

Rõ ràng 0 là chỉ số tăng thì mọi số 1 0 cũng là chỉ số tăng.

Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function)

0 0

( )1 0

tt

t

nÕu

nÕu (2.3)

Hàm bước nhảy đơn vị ( )t liên tục với mọi 0t , không tăng hơn ở mũ và có chỉ số

tăng 0 0 .

Nhận xét 2.1: Các hàm sơ cấp ( )x t là hàm liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ. Nhưng vẫn chưa phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1. của định nghĩa 2.2. Tuy nhiên hàm số sau:

t

( )t

1

O

Hình 2.1: Đồ thị hàm bước nhảy đơn vị

0 0

( ) ( )( ) 0

tx t t

x t t

nÕu

nÕu (2.4)

là một hàm gốc.

Hàm bước nhảy đơn vị ( )t thường được sử dụng để biểu diễn các hàm thỏa mãn điều kiện ở vế phải của công thức (2.4). Ví dụ 2.2: Hàm cost không phải là hàm gốc vì không thỏa mãn điều kiện 1. của định nghĩa 2.2 (xem Hình 2.2). Hàm cos ( )t t là hàm gốc.

Định lý 2.1: Nếu ( )x t là hàm gốc với chỉ số tăng 0 thì tồn tại biến đổi Laplace

0

( ) ( ) ( )stx t X s e x t dt

L

xác định với mọi số phức s i sao cho 0 và Re( )

lim ( ) 0s

X s

.

Hơn nữa hàm ảnh ( )X s giải tích trong miền 0Re( )s với đạo hàm

0

'( ) ( ) ( )stX s t e x t dt

(2.5)

Chứng minh: Với mọi s i sao cho 0 , ta có:

và 0( )

0

te dt

hội tụ.

Do đó tích phân 0

( ) stx t e dt

hội tụ tuyệt đối nên hội tụ, vì vậy tồn tại biến đổi Laplace.

Ngoài ra 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )st t i t tX s x t e dt x t e e dt x t e dt

2 / 2 / 2

Đồ thị hàm số cos t

2 / 2

Đồ thị hàm số ( )cos( )t t Hình 2.2

0

0

0 00 0

tt Me M

Me dt

.

Ta có 0

lim 0M

do đó

Re( )lim ( ) 0s

X s

. Hơn nữa tích phân 0

( ) stx t e dt

hội tụ,

tích phân 0 0

( ) ( ) ( )st stx t e dt x t e t dts

hội tụ đều trong miền 1Re( )s s với

mọi 1 thỏa mãn 1 0 , do đó hàm ảnh có đạo hàm

0 0

'( ) ( ) ( )st stX s x t e dt tx t e dts

tại mọi s thuộc mọi miền trên (theo định lý Weierstrass). Vậy ( )X s giải tích trong miền 0Re( )s .

Nhận xét 2.2:

1. Theo định lý 2.1 mọi hàm gốc đều có ảnh qua phép biến đổi Laplace. Tên gọi "hàm gốc" là do vai trò của nó trong phép biến đổi này.

2. Điều kiện 1. của định nghĩa hàm gốc phù hợp với các bài toán bắt đầu từ thời điểm 0t .

3. Điều kiện 2. của định nghĩa hàm gốc là điều kiện để hàm gốc khả tích trong mọi khoảng.

4. Điều kiện 3. suy ra tích phân suy rộng 2.1 của hàm gốc ( )x t hội tụ.

5. Định lý trên chỉ là điều kiện đủ chứ không cần. Chẳng hạn hàm 1( )x t

t không phải

là hàm gốc vì 0

1limt t

, nhưng tích phân 1

0 0 1

1 1 1st st ste dt e dt e dtt t t

tồn tại với mọi s thỏa mãn Re( ) 0s . 6. Từ nhận xét 2.1, công thức (2.4), suy ra rằng mọi hàm sơ cấp ( )x t đều có biến đổi

Laplace ( ) ( )x t tL . Tuy nhiên, để đơn giản thay vì viết đúng ( ) ( )x t tL thì ta viết tắt

( )x tL . Chẳng hạn ta viết sintL thay cho ( )sint tL , 1L thay cho ( )tL .

0 O

Hình 2.3: Miền giải tích của ( )X s

Miền giải tích của ( )X s

7. Ta quy ước các hàm gốc liên tục phải tại 0, nghĩa là 0

lim ( ) (0)t

x t x

.

Ví dụ 2.3: Vì hàm ( )t có chỉ số tăng 0 0 do đó biến đổi

0 0

1st

st ee dt

s

L với mọi , Re( ) 0s s .

, 0s i : .0

0

limst t i t s

t

e e es s s

; 0

t i t te es s

khi t .

Do đó

0

11 ste dt

s

L .

Ví dụ 2.4: Hàm sint có chỉ số tăng 0 0 , do đó biến đổi Laplace

0

sin ( ) sinstt X s e t dt

L tồn tại với mọi , Re( ) 0s s .

Áp dụng công thức tích phân từng phần và để ý đến điều kiện Re( ) 0s ta được:

2

0 00 0

( ) cos cos 1 sin sinst st st stX s te se t dt se t s e t dt

22

1(1 ) ( ) 1 ( )

1s X s X s

s

.

2.1.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 1. Tính tuyến tính Định lý 2.2: Giả sử ( ), ( )x t y t có biến đổi Laplace, khi đó với mọi hằng số A, B,

( ) ( )Ax t By t cũng có biến đổi Laplace và

( ) ( ) ( ) ( )Ax t By t A x t B y t L L L . (2.6)

Chứng minh: Nếu hai tích phân của vế phải của đẳng thức sau tồn tại thì tích phân của vế trái cũng tồn tại và có đẳng thức

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )st st stAx t By t e Ax t By t dt A e x t dt B e y t dt

L .

Ví dụ 2.5: 2

5 45 4 sin 5 1 4 sin

1t t

s s

L L L .

2. Tính đồng dạng

Định lý 2.3: Giả sử ( ) ( )X s x t L , khi đó với mọi 0a ta có

1( )

sx at X

a a

L . (2.7)

Chứng minh: Đổi biến số u at ta được:

0 0

1( ) ( ) ( )

usst a du s

x at e x at dt e x u Xa a a

L .

Ví dụ 2.6: 2 2 2

1 1sin

1

tss

L .

2 2

1sin( ) cos( ) sin(2 )

2 4t t t

s

L L .

3. Tính dịch chuyển ảnh

Định lý 2.4: Giả sử ( ) ( )X s x t L , khi đó với mọi a ,

( )ate x t X s a L . (2.8)

Chứng minh: ( )

0 0

( ) ( ) ( )at st at s a te x t e e x t dt e x t dt X s a

L .

Ví dụ 2.7: 2 2sin

( )ate t

s a

L .

11at ate e

s a

L L ,

2 2cosh

2

t te e st

s

L L ,

2 2sinh

2

t te et

s

L L .

2 2 2 2

1 1sinh sin sin

2 2 2( ) ( )

at ate eat t t

s a s a

L L .

4. Tính trễ

Định lý 2.5: Giả sử ( ) ( )X s x t L , khi đó với mọi a , 0a :

( ) ( ) sat a x t a e X s L . (2.9)

Chứng minh: 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st st

a

t a x t a e t a x t a dt e x t a dt

L .

Đổi biến số u t a , ta được

( )

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st s u a as

a

t a x t a e x t a dt e x u du e X s

L .

Đồ thị của hàm ( ) ( )t a x t a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của ( ) ( )t x t dọc theo trục hoành một đoạn bằng a . Nếu ( )x t biểu diễn tín hiệu theo thời gian t thì ( )x t a biểu diễn trễ a đơn vị thời gian của quá trình trên.

Ví dụ 2.8: ( )ase

t as

L .

Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) là hàm chỉ khác không trong một khoảng thời gian nào đó.

0

( ) ( )

0

t a

x t t a t b

t b

nÕu

nÕu

nÕu

(2.10)

Hàm xung đơn vị trên đoạn ;a b

được ký hiệu và xác định như sau:

,

0

( ) 1 ( ) ( )

0a b

t a

t a t b t a t b

t b

nÕu

nÕu

nÕu

(2.11)

Hàm xung bất kỳ (2.10) có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị

,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a bx t t a t t b t t t (2.12)

, ( ) ( ) ( )as bs

a be e

t t a t as

L L L .

O t

x

)(tx )( atx

)()( txt

)()( atxat

t O

x

t

t O

O

x

x

a

a

Hình 2.4: Đồ thị hàm trễ

Ví dụ 2.10: Tìm biến đổi Laplace của hàm xung 0 0

( ) sin 0

0

t

x t t t

t

nÕu

nÕu

nÕu

Theo công thức (2.12) ta có thể viết

( ) ( )sin ( )sin ( )sin ( )sin( )x t t t t t t t t t

Vậy 2 2 2

1 1( )

1 1 1

s se ex t

s s s

L .

Ví dụ 2.11: Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang

0 0 3

2 0 1( )

4 1 2

1 2 3

t t

tx t

t

t

nÕu hoÆc

nÕu

nÕu

nÕu

0,1 1,2 2,3( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )x t t t t

2 ( ) ( 1) 4 2 ( 1) ( 2) ( 2) ( 3)t t t t t t

2 ( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ( 3)t t t t .

Do đó 2 32 2 3

( )s s se e e

x ts

L .

5. Biến đổi của đạo hàm

t t

, ( )a b t

O Oa a

b b

)(t

1

Hình 2.5: Đồ thị hàm xung

t

( )x t

2

4

1

1 2 3 O

Hình 2.6: Đồ thị hàm bậc thang

t t

( )t b

O Oa a

b b

1

( )t a

Định lý 2.6: Giả sử hàm gốc ( )x t có đạo hàm '( )x t cũng là hàm gốc, đặt ( ) ( )X s x t L

khi đó ta có

'( ) (0)x t sX s x L . (2.13)

Tổng quát hơn, nếu ( )x t có đạo hàm đến cấp n cũng là hàm gốc thì

( ) 1 2 ( 1)( ) (0) '(0) (0)n n n n nx t s X s s x s x x L . (2.14)

Chứng minh: Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

0

0 0

'( ) '( ) ( ) ( ) (0)st st stx t e x t dt e x t se x t dt sX s x

L .

Công thức (2.14) được chứng minh quy nạp từ công thức (2.13).

Ví dụ 2.12: 2 2 2 2

sin 1cos sin 0

t st s

s s

L L .

22 2

1 1cos 1 cos(2 )

2 2 2( )

st t

s s

L L ;

22 2

1 1sin 1 cos(2 )

2 2 2( )

st t

s s

L L .

Hệ quả 2.1: Với giả thiết của định lý 2.6 ta có Re( )

lim ( ) (0)s

sX s x

.

Chứng minh: Áp dụng định lý 2.1 cho đạo hàm '( )x t ta có Re( )

lim ( ) (0) 0s

sX s x

.

6. Biến đổi Laplace của tích phân

Định lý 2.7: Giả sử hàm gốc ( )x t có ( ) ( )X s x t L , khi đó hàm số 0

( ) ( )t

t x u du cũng

là hàm gốc và

0

( )t X s

x u dus

L . (2.15)

Chứng minh: Hàm ( )t có đạo hàm là ( )x t liên tục từng khúc nên cũng liên tục từng khúc.

0 0

0

0 00 0 0 0

( ) ( ) ( )

tt t t u tu Me Me

t x u du x u du Me du

.

Vậy ( )t là hàm gốc có cùng chỉ số tăng với ( )x t và (0) 0 . Từ công thức (2.13) ta có

0 0

( )( ) ( ) ( ) (0) ( )

t tX s

X s x t s x u du x u dus

L L L .

Ví dụ 2.13: Tìm biến đổi Laplace 0

sinh(3 )sin( )t

u u du L .

Theo ví dụ 2.7 ta có 2 2 2 2

/ 2 / 2sinh(3 )sin( )

( 3) ( 3)t t

s s

L .

Từ công thức (2.15) suy ra

2 2 2 20

1 1sinh(3 )sin( )

2 ( 3) ( 3)

t

u u dus s s

L .

7. Đạo hàm ảnh

Định lý 2.8: Giả sử ( )x t là một hàm gốc có ( ) ( )X s x t L , khi đó

( ) 1nnnn

dt x t X s

ds L . (2.16)

Chứng minh: Theo định lý 2.1 hàm ( )X s giải tích trong miền 0Re( )s nên có đạo hàm

mọi cấp trong miền này. Từ công thức (2.5) ta có ( ) 'tx t X sL .

Áp dụng liên tiếp công thức này ta được công thức (2.16).

Ví dụ 2.14: 1 1

1 !1 !1 1

nnn nnn n n

nd nt

sds s s

L .

Ví dụ 2.15: Hàm dốc

0 0

( ) 0

1

t

tu t t a

at a

nÕu

nÕu

nÕu

0( ) ( ) ( )at

u t t t aa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t a

t t a t a t t aa a a a

.

2 2 2

1 1( )

as ase eu t

as as as

L .

Ví dụ 2.16: Hàm xung tam giác đơn vị

0 0

0 1( )

2 1 2

0 2

t

t tt

t t

t

nÕu

nÕu

nÕu

nÕu

t

( )u t

a

O

1

Hình 2.7: Đồ thị hàm dốc

( ) ( ) ( 1) 2 ( 1) ( 2)t t t t t t t

( ) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2)t t t t t t .

22

2 2 2 2

11 2( )

ss s ee e

ts s s s

L .

8. Tích phân ảnh

Định lý 2.9: Giả sử ( )x t là một hàm gốc và ( )x tt

cũng là một hàm gốc (chẳng hạn ( )x t là

một hàm gốc và tồn tai 0

( )lim

t

x tt

hữu hạn). Đặt ( ) ( ) ,X s x t s L , khi đó

( )( )

s

x tX u du

t

L . (2.17)

Chứng minh: Đặt ( )( ) ,

x tY s s

t

L . Từ công thức (2.15) ta có ( ) 'x t Y sL .

Mặt khác lim ( ) 0s

Y s

( ) '( ) ( )s s

Y s Y u du X u du

.

Ví dụ 2.17: Vì 0

sinlim 1

t

tt

và 2

1sin

1t

s

L .

2

sin 1arctan arctan arctan

21 ss

t duu s

t su

L .

Hàm tích phân sin (xem công thức 3.24 chương 3):

0

sinSi , 0

tu

t du tu

có biến đổi Laplace 0

sin 1 1arctan

tu

duu s s

L .

Ví dụ 2.18: Hàm cost là một hàm gốc nhưng 0

coslim

t

tt

, do đó không tồn tại biến

đổi Laplace của costt

. Tuy nhiên hàm 1 cosatt

cũng là hàm gốc, có biến đổi Laplace:

2 22 2

1 cos 1 1ln ln( )

2u ss

at udu u u a

t u u a

L

t

( )t

1 O

1

2

Hình 2.8: Đồ thị xung tam giác đơn vị

2 2

2 2 2 2ln ln1 ln ln

u s

u s s asu a s a

.

Tương tự 1 1

ln lnat bt

u ss

e e u a s bdu

t u a u b u b s a

L .

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos 1 1ln ln

2 2s u s

at bt u u u a s bdu

t u a u b u b s a

L .

9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn Định lý 2.10: Giả sử ( )x t là một hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 0T , khi đó

0

( )

( ) ( )1

Tst

sT

e x t dt

X s x te

L . (2.18)

Chứng minh: 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

st st st

T

X s x t e x t dt e x t dt e x t dt

L .

Đổi biến số t T u đối với tích phân thứ hai của vế phải ta có

0 0

( )s T ust sT su

T

e x t dt e x T u du e e x u du

Do đó 0

0

( )

( ) ( ) ( ) ( )1

Tst

Tst sT

sT

e x t dt

X s e x t dt e X s X se

.

Ví dụ 2.19: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 0T hình 2.9

2

/2 /2/2

0 0 /2 0 /2

1( )

T T sTTT T st stst st st

T T

ee ee x t dt e dt e dt

s s s

.

2/2 /2 4 4

/24 4

sinh1 1 1 1 1 14( ) tanh411 cosh

4

sT sTsT sT

sT sT sTsT

sTe e e e sT

X ss s s sT ses e

e e

.

t 1

1

/ 2T T 3 / 2T 2T

Hình 2.9: Đồ thị của hàm gốc tuần hoàn

( )x t

Trường hợp hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 0T có biên độ h có công thức xác định trong một chu kỳ

0 / 2( )

/ 2

h t Tx t

h T t T

nÕu

nÕu

Bằng cách áp dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace vào kết quả trên ta

được hàm ảnh tương ứng là ( ) tanh4

h sTX s

s .

Ví dụ 2.20: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 0T (xem đồ thị hình 2.9) có công thức xác định trong một chu kỳ

2sin 0 / 2

( )0 / 2

tt T

x t TT t T

nÕu

nÕu

/2

/22 2 2

0 0

2 2( ) sin 1

4

TTst st sTt T

e x t dt e dt eT s T

/2

2 2 2 2 2 2 /2

2 1 2 1( )

4 1 4 1

sT

sT sT

T e TX s

s T e s T e

.

Ví dụ 2.21: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 0T (xem đồ thị hình 2.11) có công thức xác định trong một chu kỳ

( ) sint

x tT

, 0 t T

( )x t

1

t / 2T 3 / 2TT 2T 5 / 2THình 2.10: Đồ thị tách nửa sóng (ví dụ 2.20)

( )x t

1

t T 3T 2T 4T 5T

Hình 2.11: Đồ thị tách sóng hoàn toàn (ví dụ 2.21)

2 2 20 0

( ) sin 1T T

st st sTt Te x t dt e dt e

T s T

2 2 2 2 2 2

1 2( ) coth

21 4

sT

sT

T e T sTX s

s T e s T

.

10. Ảnh của tích chập Định nghĩa 2.3: Tích chập của hai hàm số ( ), ( )x t y t là hàm số được ký hiệu và xác định bởi

công thức

( ) ( ) ( ) ( )x t y t x u y t u du

(2.19)

Tích chập của của hai dãy số được định nghĩa theo công thức (1.119), chương 1. Tính chất 2.1:

Nếu ( ), ( )x t y t là hai hàm gốc thì 0

( ) ( ) ( ) ( )t

x t y t x u y t u du

( ) ( ) ( ) ( )x t y t y t x t (tích chập có tính giao hoán)

Nếu ( ), ( )x t y t là hai hàm gốc thì tích chập của chúng ( ) ( )x t y t cũng là hàm gốc.

Chứng minh:

( ), ( )x t y t là hai hàm gốc do đó ( ) ( ) 0x u y t u khi 0u hoặc u t

Vì vậy

( ) ( ) ( ) ( )x t y t x u y t u du

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

t

x u y t u du x u y t u du x u y t u du x u y t u du

.

Đổi biến số v t u

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

t

x t y t x u y t u du x t v y v dv x t v y v dv y t x t .

Giả sử 11( ) tx t M e , 2

2( ) ty t M e . Đặt 0 1 2max , , 0;u t :

0 0 0( )1 2 1 2( ) ( ) u t u tx u y t u M e M e M M e

0 0 0( 1)1 2 1 2 1 2

0 0

( ) ( )t t

t t tx u y t u du M M e du M M te M M e .

Vậy ( ) ( )x t y t là hàm gốc với chỉ số tăng 0 1 .

Ví dụ 2.22: Tìm tích chập của hai hàm gốc sau:

a. cos( )t và sin( )t ,

b. 2t và sin( )t .

Giải: a. 0 0

1cos( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( 2 )

2

t t

t t u t u du t t u du

0 0

1 1 1sin( ) cos( 2 ) sin( )

2 4 2

t t

u ut u t u t t

.

b. 2 2 2

00 0

sin( ) ( ) sin( ) ( ) cos( ) 2 ( )cos( )t tt

ut t t u u du t u u t u u du

2 2

00

2( )sin( ) 2 sin( ) 2cos 2t

t

ut t u u u du t t

.

Ví dụ 2.23: Tìm tích chập của hàm gốc ( ) tt e và hàm gián đoạn ( 1) ( 2)t t .

0 0

( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)t t

t t u t ue t t e u u du e e u u du

Hàm dưới dấu tích phân của tích phân 0

( 1) ( 2)t

ue u u du phụ thuộc t và ta có

các trường hợp sau:

Nếu 1t thì 0

( 1) ( 2) 0t

ue u u du ,

Nếu 1 2t thì 1

0 1

( 1) ( 2) 1t t

t u t u te e u u du e e du e

Nếu 2t thì 2

1 2

0 1

( 1) ( 2)t

t u t u t te e u u du e e du e e

Vậy 1

1 2

0 1

( 1) ( 2) 1 1 2

2

t t

t t

t

e t t e t

e e t

nÕu

nÕu

nÕu

Sử dụng công thức 2.11 ta có

1 1 2( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2) ( 2)t t t te t t e t t e e t

1 21 ( 1) 1 ( 2)t te t e t .

Định lý 2.11: Giả sử ( ) ( )X s x t L , ( ) ( )Y s y t L , khi đó ta có

( ) ( ) ( ) ( )x t y t X s Y s L (2.20)

Ngoài ra nếu '( ), '( )x t y t cũng là hàm gốc thì ta có công thức Duhamel:

(0) ( ) '( ) ( ) ( ) (0) ( ) '( ) ( ) ( )x y t x t y t x t y x t y t sX s Y s L L (2.21)

Chứng minh: Xét miền D cho trong hình 2.12.

Sử dụng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân ta được

0 0

( ) ( ) ( ) ( )t

stx t y t e x u y t u du dt

L ( ) ( )st

D

e x u y t u dtdu

0

( ) ( )st

u

e x u y t u dt du

Đổi biến số v t u dv dt

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )st su sv

u

x t y t e x u y t u dt du e x u du e y v dv X s Y s

L .

Để chứng minh công thức (1.21) ta sử dụng công thức (2.6), (2.13) và (2.20):

(0) ( ) '( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )x y t x t y t x Y s sX s x Y s sX s Y s L .

Ví dụ 2.24: Tìm biến đổi Laplace 0

sinh2 cos 3( )t

u t u du L .

Giải: Ta có 0

sinh2 cos3( ) sinh2 cos 3t

u t u du t t .

Theo công thức 2.20 và ví dụ 2.7, ví dụ 2.12 ta được:

2 20

1sinh2 cos 3( ) sinh2 cos 3

4 9

ts

u t u du t ts s

L L

u

ut

t

D

OHình 2.12:

Ví dụ 2.25: Ta có thể nghiệm lại công thức 2.20 qua các ví dụ 2.22, 2.23 như sau:

2 2 2 2

1cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

1 1 ( 1)

s st t t t

s s s

L L L ,

2 23 2 2 3

2 1 2sin( ) sin( )

1 ( 1)t t t t

s s s s

L L L ,

2 21

( 1) ( 2) ( 1) ( 2)1 ( 1)

s s s st t e e e e

e t t e t ts s s s

L L L

Ta cũng có 2 2 2

1 1 1sin( )

2 2 1 ( 1)

st t

s s

L ,

23 2 2 3

2 2 2 22 cos 2

1 ( 1)

st t

ss s s s

L ,

2

1 2 21 11 ( 1) 1 ( 2)

1 ( 1)

s st t s s e e

e t e t e es s s s

L .

2.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược Sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace ta có thể đưa các bài toán liên quan đến

đạo hàm, tích phân của các hàm gốc về bài toán đại số của các hàm ảnh tương ứng. Khi đã nhận được nghiệm của hàm ảnh ta cần tìm nghiệm của hàm gốc tương ứng. Nói cách khác: cho hàm ảnh tìm hàm gốc tương ứng, đó là phép biến đổi Laplace ngược.

Trong mục này ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó, khẳng định hàm gốc nếu tồn tại là duy nhất và giới thiệu một vài phương pháp tìm hàm gốc.

Định nghĩa 2.4: Cho hàm ( )X s , nếu tồn tại ( )x t sao cho ( ) ( )x t X sL thì ta nói ( )x t là

biến đổi ngược của ( )X s , ký hiệu 1( ) ( )x t X s L .

2.1.2.1 Tính duy nhất của biến đổi ngược

Định lý 2.13: Giả sử ( )x t là một hàm gốc với chỉ số tăng 0 và ( ) ( )x t X sL , khi đó tại

mọi điểm liên tục t của hàm ( )x t ta có:

1( ) ( )

2

ist

i

x t e X s dsi

(2.22)

trong đó tích phân ở vế phải được lấy trên đường thẳng Re( )s theo hướng từ dưới lên,

với là số thực bất kỳ lớn hơn 0 .

Công thức (2.22) được gọi là công thức tích phân Bromwich. Công thức Bromwich cho thấy biến đổi Laplace ngược nếu tồn tại thì duy nhất.

Ví dụ 2.26: 2 2

1 1sin sin

1t t t t

s s

L L L

2 22 2

1 1 1sin

11t t

s ss s

L .

2 2 2

1 1cos cos

1 ( 1)

st t t t

s s s s

L L L

2 2 2 22 2

1 1 1 1 11 cos

( 1) 1 11

ss s t

ss s s s ss s

L .

Do tính duy nhất của biến đổi ngược (định lý 2.13) ta suy ra:

* sin sint t t t ; * cos 1 cost t t .

2.1.2.2 Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược Định lý 2.1 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có biến đổi ngược.

Chẳng hạn hàm 2( )X s s không thể là ảnh của hàm gốc nào vì Re( )

lim ( )s

X s

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược Định lý 2.14: Giả sử hàm phức ( )X s thoả mãn 3 điều kiện sau:

1. ( )X s giải tích trong nửa mặt phẳng 0Re( )s ,

2. ( ) RX s M với mọi s thuộc đường tròn Rs M và lim 0RRM

,

3. Tích phân ( )i

i

X s ds

hội tụ tuyệt đối.

Khi đó ( )X s có biến đổi ngược là hàm gốc ( )x t cho bởi công thức (2.22).

Độc giả có thể tìm hiểu chứng minh Định lý 2.13, Định lý 2.14 trong Phụ lục C của [5] hoặc Định lý 2.1 trang 29 của [11].

2.1.2.3 Một vài phương pháp tìm hàm ngược A. Sử dụng các tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược

Từ tính duy nhất của biến đổi ngược, ta suy ra rằng tương ứng giữa hàm gốc và hàm ảnh là tương ứng 1-1 . Vì vậy ta có thể áp dụng các tính chất đã biết của phép biến đổi thuận để tìm hàm ngược bằng cách đọc ngược lại các tính chất trên.

Hàm gốc

1( ) ( )

2

ist

i

x t e X s dsi

Hàm ảnh

0

( ) ( )stX s e x t dt

L

1L

Hình 2.13

Chẳng hạn nếu 1 ( ) ( )X s x t L thì

1 ( ) ( )atX s a e x t L , (dịch chuyển ảnh)

1 ( ) ( ) ( )ase X s x t a t a L , (trễ)

1

0

( )( )

tX s

x u dus

L , (biến đổi của tích thân)

1 ( ) ( )X s tx t L (nhân với t)

… … …

Ví dụ 2.27:

51 4 1 4

6 6

1 15!4

t t te e

ss

L L

55 3 34 31 5 1 5

6 6

3( 3)

5!4 4

s st te e

e e e ts s

L L .

Ví dụ 2.28: 2 2 2 2 2

12( )

s aas a s a

và 1

2 2sin( )

aat

s a

L , do đó

12 2 2

1sin( )

2( )

st at

as a

L .

Ví dụ 2.29: Tìm 1 lns as b

L .

Giải: Đặt 1( ) lns a

x ts b

L , nghĩa là ( ) ln

s ax t

s b

L .

Từ kết quả 1 1( ) ln ln( ) ln( )

d s a d dtx t s a s b

ds s b ds ds s b s a

L

Suy ra 1 1 1( ) bt attx t e e

s b s a

L .

Vậy 1 lnbt ats a e e

s b t

L .

Cũng với phương pháp này ta có 2 2 2 2

1 1 12 2 2 2 2

1 1 2 2 2ln ln (1 cosh )

s a d s a s sat

t ds t ts s s a s

L L L .

2 2 2 21 1 1

2 2 2 2 2

1 1 2 2 2ln ln (1 cos )

s a d s a s sat

t ds t ts s s a s

L L L .

B. Khai triển thành chuỗi lũy thừa

Nếu 0 1 2 3 42 3 4 5

( )a a a a a

X ss s s s s

thì

2 3 4

1 2 3 40 1( ) ( )

2! 3! 4!

a t a t a tx t X s a a t L (2.23)

Ví dụ 2.30: 1

2 3 4 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

2! 3! 4 ! 2! 3! 4!se

s s s ss s s s s s s

1 2 3 41

2 2 2

1( ) 1

(2!) (3!) (4 !)s t t t

x t e ts

L

2 4 6 8

02 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 2

2 2 4 2 4 6 2 4 6 8

t t t tJ t

trong đó 0J là hàm Bessel bậc 0 (xem chương 3).

C. Sử dụng thặng dư của tích phân phức

Với điều kiện của Định lý 2.14 thì ( )X s có biến đổi ngược ( )x t xác định bởi công thức Bromwich (2.22).

Giả sử hàm ( )X s chỉ có một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập 1 2, , ..., na a a trong

nửa mặt phẳng Re( )s với nào đó 0 . Chọn R đủ lớn sao cho các điểm bất thường

này đều nằm trong phần của mặt phẳng được giới hạn bởi đường tròn RC tâm O bán kính R

và đường thẳng Re( )s (xem hình 2.14). Khi đó

1''

1 1( ) ( ) Res ( );

2 2

B nst st st

kkBBAB

e X s ds e X s ds e X s ai i

. (2.24)

B

'B

A

RC

1a2a

nax

y

O

Hình 2.14:

Ta xét các trường hợp sau:

1. Nếu trên cung 'BAB của đường tròn RC hàm ( )X s thoả mãn điều kiện ( )k

MX s

R ;

0k , theo Bổ đề 1.2 (Chương 1) thì '

lim ( ) 0 , 0st

RBAB

e X s ds t

.

2. Hàm phân thức ( )( )

( )P s

X sQ s

, nếu bậc của đa thức ( )Q s lớn hơn bậc của đa thức ( )P s

thì ( )X s thỏa mãn điều kiện trên.

Lấy giới hạn của đẳng thức (2.24) khi R và áp dụng định lý 2.13 ta được:

1

1

( ) ( ) Res ( );n

stk

k

x t X s e X s a

L (2.25)

3. Đặc biệt nếu ( )

( )( )

P sX s

Q s , trong đó bậc của đa thức ( )Q s lớn hơn bậc của đa thức

( )P s , ( )Q s chỉ có các không điểm đơn là 1 2, , ..., na a a và chúng không phải là không điểm

của ( )P s thì ta có công thức Heaviside:

1

1

( )( )( )

( ) ( )k

na tk

k k

P aP sx t e

Q s Q a

L (2.26)

Ví dụ 2.31: Tìm hàm gốc 2

1 3 5( )

( 1)( 2)( 3)s s

x ts s s

L .

Giải: Hàm ảnh 2( ) 3 5

( ) ( 1)( 2)( 3)P s s sQ s s s s

có các cực điểm đơn là 1, 2, 3 .

1

( ) 3( ) 4

s

P sQ s

, 2

( )1

( )s

P sQ s

, 3

( ) 5( ) 4

s

P sQ s

2 33 5( )

4 4t t tx t e e e .

Ví dụ 2.32: Tìm hàm gốc

21

2

3 3 2( )

( 2) 4 8

s sx t

s s s

L .

Giải: Hàm ảnh

2

2

( ) 3 3 2( ) ( 2) 4 8

P s s sQ s s s s

có các cực điểm đơn là 2, 2 2 , 2 2i i .

2

( )1

'( )s

P sQ s

, 2

2 22 2

( ) 9 221

'( ) 44 8 ( 2)(2 4)s is i

P s s iQ s s s s s

,

2 2

( ) ( 2 2 )1 1

'( ) '( 2 2 ) 4 4s i

P s P i i iQ s Q i

.

2 2 2 2 2( ) 1 14 4

t t it t iti ix t e e e

2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 cos 2 sin 2

4 2t t it it t it it t ti

e e e e e e e e e t t .

1.2.3.4 Tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỉ

Mọi phân thức hữu tỉ có dạng ( )

( )( )

P sX s

Q s , trong đó bậc của ( )Q s lớn hơn bậc của

( )P s đều có thể phân tích thành tổng của các phân thức tối giản loại I và loại II.

Các phân thức hữu tỉ loại I: 1s a

hay 1

( )ns a, a có hàm gốc:

1 1 ates a

L , 1

1 1( 1)!( )

nat

n

te

ns a

L . (2.27)

Các phân thức hữu tỉ loại II: 2 2( )

n

Ms N

s a

, , , ,M N a .

Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta có thể đưa các phân thức tối giản loại II về một trong hai dạng sau:

2 2

n

s

s hoặc

2 2

1n

s (2.28)

Trường hợp 1n , từ ví dụ 2.6 và ví dụ 2.12 ta có:

12 2

coss

ts

L , 1

2 2

1 sin t

s

L (2.29)

Áp dụng công thức đạo hàm hàm ảnh (2.16) liên tiếp vào (2.29), (2.30), ... ta suy ra các trường hợp sau (xem ví dụ 2.28) Trường hợp 2n :

1

22 2

sin2

s t t

s

L ,

12 3

2 2

1 sin cos

2

t t t

s

L (2.30)

Trường hợp 3n :

21

3 32 2

sin cos

8

s t t t t

s

L

2 2

12 3

2 2

3 sin 3 cos1

8

t t t t

s

L (2.31)

Ví dụ 2.33: Hàm ảnh

2

2

3 3 2( )

( 2) 4 8

s sX s

s s s

(xem ví dụ 2.32) có thể phân tích thành

tổng các phân thức tối giản

2 2 2

1 2 3 1 2( 2) 1( )

2 24 8 ( 2) 4 ( 2) 4

s sX s

s ss s s s

2

1 2 2 2

2

3 3 2 1( ) 2 cos2 sin2

2( 2) 4 8

t t ts sx t e e t e t

s s s

L .

Ví dụ 2.34:

2 2 22 2 2

3 4 3( 1) 1( )

2 2 ( 1) 1 ( 1) 1

s sX s

s s s s

1

22

3 4 sin( ) 3 sin cos 3 sin sin cos

2 2 22 2

t tts t t e e

x t e t t t t t t t ts s

L

Ví dụ 2.35: Tìm hàm gốc của

3 2

2 2

2 10 9 45( )

9

s s sX s

s s

.

Ta có 2 22 2

1 1 1 19 99 s ss s

2 2 2 2 2 2 2

2 10 9 45 1 1 1 5 5( )

99 9 9 9 9

s s sX s

ss s s s s s s

3 21

2 2

2 10 9 45 5( ) 1 5 cos 3 sin 3

39

s s sx t t t t

s s

L .

Ví dụ 2.36: Tìm hàm gốc của 2

3

5 15 11( )

( 1)( 2)

s sX s

s s

.

Ta phân tích ( )X s thành tổng các phân thức tối giản

2

3 2 3

1 15 15 11 4 73 3( )

1 2( 1)( 2) ( 2) ( 2)

s sX s

s ss s s s

21 2 2 2 2

3

5 15 11 1 1 7( ) 4

3 3 2( 1)( 2)t t t ts s

x t e e te t es s

L .

2.1.3 Ứng dụng của biến đổi Laplace 2.1.3.1 Ứng dụng của biến đổi Laplace để tính tích phân

Một vài tích phân lấy cận từ 0 đến có thể tính được bằng cách áp dụng phép biến đổi Laplace. A. Thay trực tiếp vào công thức xác định biến đổi Laplace (2.1) ta có thể tính được tích phân

với hàm dưới dấu tích phân có chứa ate .

0 0

( ) ( ) ( )at st

s as a

e x t dt e x t dt X s

. (2.32)


0

sinte tdt

.

Giải: 32

3 30

1 1sin sin

101t

s s

e tdt ts

L .


0

coste t tdt

.

Giải: 2

20

cos cost

se t tdt t t

L ,

2

2 2 2

1cos

1 ( 1)

d s st t

ds s s

L .

Vậy

2

22 2

20 2

1 3cos cos

25( 1)t

ss

se t tdt t t

s

L .

B. Sử dụng tính chất tích phân ảnh (2.17)

( )( )

s

x tX u du

t

L ,

trong đó 0

( ) ( )stx t x te dt

t t

L và 0

( ) ( ) ( )stX s x t e x t dt

L .

Nếu ( )x t là hàm gốc với chỉ số tăng 0 0 , thay 0s ta nhận được công thức quan trọng

0 0

( )( )

x tdt X s ds

t

(2.33)

Công thức này tỏ ra hiệu quả khi tính trực tiếp tích phân ở vế trái gặp khó khăn.


0

t te edt

t

.

Giải: Ta có 3 1 11 3

t te es s

L .

Áp dụng công thức (2.33) ta được:

3

000 0

1 1 1ln( 1) ln( 3) ln ln 3

1 3 3

t te e sdt ds s s

t s s s

.


sintdt

t

.

Giải: 2 0

0 0

sin 1arctan

21

tdt ds s

t s

.


20

sin tdt

t

.

Giải: Ta có 2 1sin (1 cos2 )

2t t , do đó

2

2 20 0

sin 1 1(1 cos2 )

2tdt t dt

t t

.

Sử dụng công thức biến đổi Laplace ta lại có 2

0

1 tue udut

, do đó

2

20 0 0 0 0

sin 1 1(1 cos2 ) (1 cos2 )

2 2ts tst

dt t e sds dt e t dt sdst

.

2 20

1 4(1 cos2 )

4 ( 4)st s

e t dts s s s

,

Vậy

2

2 2 200 0 0

sin 1 4 2arctan

2 2 2( 4) 4

t sdt sds ds

t s s s

.

2.1.3.2 Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính

A. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

1

1 1 01( )

n n

n nn n

d x d x dxa a a a x y t

dtdt dt

(2.34)

thỏa mãn điều kiện đầu ( 1)

0 1 1(0) , '(0) , ..., (0)nnx x x x x x (2.35)

Ta tìm nghiệm là hàm gốc bằng cách đặt ( ) ( )X s x t L , ( ) ( )Y s y t L .

Áp dụng công thức biến đổi Laplace của đạo hàm (2.13), (2.14) với điều kiện đầu (2.35),

0 0( ) ( )a x t a X sL

1 1 0'( ) ( )a x t a sX s x L

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

( 1) 1 21 1 0 2( ) ( )n n n

n n na x t a s X s s x x L (2.36)

( ) 10 2 1( ) ( )n n n

n n n na x t a s X s s x sx x L .

Thay vào (2.34) ta được

1 1 21 1 0 0 1 1( ) ( )n n n n

n n n na s a s a s a X s Y s x a s a s a

2 31 1 2 1

n nn n n nx a s a s a x a

.

Vậy phương trình ảnh có dạng: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )Y s B s

A s X s Y s B s X sA s

.

Ảnh ngược 1( ) ( )x t X s L là nghiệm cần tìm.

Ví dụ 2.42: Tìm nghiệm của phương trình: " 2 ' 2 2 costx x x e t

thỏa mãn điều kiện đầu (0) '(0) 0x x .

Giải: 2

2( 1)2 cos

( 1) 1t s

e ts

L . Áp dụng công thức (2.36) với điều kiện đầu của bài toán

ta có phương trình ảnh:

22 2

2

2( 1) 2( 1)2 2 ( ) ( )

( 1) 1 ( 1) 1

s ss s X s X s

s s

Áp dụng công thức (2.32) ta có nghiệm 1 sin( ) ( ) 2 sin

2t tt t

x t X s e te t L .

Ví dụ 2.43: Tìm nghiệm của phương trình: (4) 2 " sinx x x t

thỏa mãn điều kiện đầu (3)(0) '(0) "(0) (0) 0x x x x .

Giải: Phương trình ảnh:

4 22 3

2

1 12 1 ( ) ( )

1 1s s X s X s

s s

.

Áp dụng công thức (2.31) ta có nghiệm 2

13 sin 3 cos

( ) ( )8

t t t tx t X s

L .

Ví dụ 2.44: Tìm nghiệm của phương trình: " tx x e

thỏa mãn điều kiện đầu (1) 1, '(1) 0x x .

Giải: Đổi biến số 1u t , điều kiện đầu 1t trở thành điều kiện đầu 0u .

Đặt ( ) ( 1) ( )y u x u x t và sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có:

dy dx dx dt dxdu du dt du dt

, tương tự 2 2

2 2

d y d x

du dt .

Do đó phương trình đã cho có thể viết lại tương ứng: 1"( ) ( ) uy u y u e

với điều kiện đầu (0) 1, '(0) 0y y .

Đặt 2( ) ( ) "( ) ( )Y s y u y u s Y s s L L .

Phương trình ảnh:

222

( ) ( ) ( )1 1( 1) 1

e e ss Y s s Y s Y s

s ss s

.

2 22 2( ) 1 ( ) 1 cos sin

( 1) 2 2 2 21 1u

e ee s e e e

Y s y u e u us s s

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1( ) 1 cos( 1) sin( 1)

2 2 2t e e

x t e t t

.

B. Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Ví dụ 2.45: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân:

' 2 3

' 2

x x y

y y x

với điều kiện đầu

(0) 8

(0) 3

x

y

.

Giải: Đặt ( ) ( )X s x t L , ( ) ( )Y s y t L ( ) 8, ( ) 3x t sX y t sY L L .

Thay vào hệ phương trình trên ta có hệ phương trình ảnh:

8 2 3

3 2

sX X Y

sY Y X

hay

( 2) 3 8

2 ( 1) 3

s X Y

X s Y

Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:

8 17 5 3( 1)( 4) 1 4

3 22 5 2( 1)( 4) 1 4

sX

s s s ss

Ys s s s

4

4

( ) 5 3

( ) 5 2 .

t t

t t

x t e e

y t e e

Ví dụ 2.46: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân:

' 2

' 2

x x y

y x y


(0) 1

(0) 0

x

y

.

Giải: Đặt ( ) ( )X s x t L , ( ) ( )Y s y t L ( ) 1, ( )x t sX y t sY L L .

Thay vào hệ phương trình trên ta có hệ phương trình ảnh:

1 2

2

sX X Y

sY X Y

hay

( 2) 1

( 2) 0

s X Y

X s Y

Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:

2

2

2

( 2) 11

( 2) 1

sX

s

Ys

2

2

( ) cos

( ) sin

t

t

x t e t

y t e t

C. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Ví dụ 2.47: Giải phương trình " ' 4 0t x x tx

Đặt ( ) ( )X s x t L thì 4 ( ) 4dX

tx tds

L , '( ) (0)x t sX x L .

2 2"( ) (0) '(0) 2 (0)d dX

tx t s X sx x sX s xds ds

L .

Phương trình ảnh: 22 (0) (0) 4 0dX dX

sX s x sX xds ds

.

Hay 22

( 4)4

dX dX ss sX ds

ds X s

.

Giải phương trình này ta được: 2

( )4

CX s

s

.

Theo 63. phụ lục C ta được nghiệm 1 1

02 2

1( ) (2 )

4 4

Cx t C CJ t

s s

L L .

Để xác định C ta thay 0t vào hai vế của đẳng thức trên: 0(0) (0)x CJ C .

Vậy nghiệm của phương trình là: 0( ) (0) (2 )x t x J t .

2.1.3.3 Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân dạng tích chập

0

( ) ( ) ( ) ( )t

Ax t B x u k t u du C f t (2.37)

, ,A B C là các hằng số, ( ), ( )f t k t là các hàm gốc.

Giải phương trình (2.37) là tìm tất cả các hàm thực ( )x t thỏa mãn phương trình với mọi t thuộc một miền nào đó.

Giả sử ( )x t là hàm gốc. Đặt ( ) ( )X s x t L , ( ) ( )F s f t L , ( ) ( )K s k t L .

Phương trình ảnh ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

C F sAX s B X s K s C F s X s

A B K s

.

Nghiệm của phương trình (2.37) là 1 ( )( )

( )

C F sx t

A BK s

L .

Ví dụ 2.48: Giải phương trình tích phân:

2

0

( ) ( )sin( )t

x t x u t u du t .

Giải: Phương trình ảnh 2 3

1 2( ) ( )

1X s X s

s s

.

22 4

2 3 5 3 5

1 2 2( 1) 2 2 11 ( ) ( ) ( )

121

sX s X s x t t t

s s s s s

.

Ví dụ 2.49: Giải phương trình tích phân Abel:

0

( )( ) ; 0 1

( )

tx u

du f tt u

.

Giải: 11

( ) (1 ), 0 ( )t K s t

s s

L L (xem phụ lục E).

Do đó 1( )

( ) ( )( ) (1 )

F s sX s F s

K s

.

Nghiệm của phương trình là 1( ) ( )x t X s L .

Chẳng hạn 21, ( ) 1

2f t t t thì

2 3

1 1 2(1 ) , ( )F s

s s s .

2 3 1 3 52 2 2

1 1 2 1 1 1 2( )

sX s

s s ss s s

1 1 3 1 1 32 2 2 2 2 21 2 1 2

( )1 3 5 1 1 1 3 1 1

. .2 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t tx t

(xem hàm Gamma chương3)

2

21 1 2 8 1( ) 3 6 8

3 3

t tx t t t

t t

.

2.1.3.4 Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải các bài toán mạch điện Một số bài toán về các mạch điện được đưa về bài toán giải phương trình vi phân,

phương trình tích phân, hoặc phương trình đạo hàm riêng… Vì vậy, nếu chuyển qua ảnh của biến đổi Laplace thì việc giải các bài toán sẽ đơn giản hơn.

Giả sử trên một đoạn mạch có điện trở R , một cuộn dây có hệ số tự cảm L và một tụ điện có điện dung C .

Gọi ( )u t là hiệu điện thế của hai đầu đoạn mạch, ( )i t là cường độ dòng điện của mạch tại thời điểm t . ( )u t và ( )i t thỏa mãn các đẳng thức sau:

2 1( ) ( ) ( )u t u t Ri t ; 3 2

( )( ) ( )

di tu t u t L

dt ; 4 3 0

0

1( ) ( ) ( )

t

u t u t i t dt qC

. (2.38)

Đặt ( ) ( )I s i t L , ( ) ( )U s u t L thì

( )(0)

di tsI i

dt

L , 0

00

( )t qI

i t dt qs s

L ,

trong đó 0q là điện lượng ban đầu ( 0t ) trên các thành tụ điện. Đối với bài toán đóng mạch

tại thời điểm 0t , các điều kiện ban đầu đều bằng 0: 0 0, (0) 0q i , lúc đó tỉ số giữa

điện thế ảnh và cường độ ảnh gọi là trở kháng ảnh UZ

I . Như vậy các trở kháng ảnh của

điện trởR , cuộn dây có hệ số tự cảm L và tụ điện có điện dung C lần lượt tương ứng là:

1; ;Z R Z Ls Z

Cs (2.39)

Khi tính toán một mạng gồm nhiều mạch điện kín ta áp dụng định luật thứ nhất của Kirchoff (kiếc-sốp) cho từng nút và định luật thứ hai cho từng mạch kín, sau đó chuyển các phương trình tìm được sang phương trình ảnh.

Trong quá trình tính toán ta có thể thay trở kháng ảnh tương đương cho các trở kháng ghép nối tiếp hoặc song song. Áp dụng hai định luật Kirchoff ta có thể tìm trở kháng ảnh tương đương của mạch mắc nối tiếp và mạch song song cơ bản sau:

Trở kháng ảnh tương đương Z của hai trở kháng 1 2,Z Z mắc nối tiếp bằng tổng hai

trở kháng này.

Gọi 1 2, ,u u u lần lượt là hiệu điện thế giữa A, B; B, C và A, C. Theo định luật 1 Kirchoff

ta có 1 2u u u , chuyển qua ảnh 1 2 1 2U U U ZI Z I Z I . Vậy

1 2Z Z Z (2.40)

1Z 2Z

A B C

R L C i

1u 2u 3u 4u

Hình 2.15:

Nghịch đảo của trở kháng ảnh tương đương của hai trở kháng 1 2,Z Z mắc song

song bằng tổng nghịch đảo hai trở kháng này.

Gọi 1 2, ,I I I lần lượt là cường độ ảnh trong mạch 1, mạch 2 và mạch chính. U là điện

thế ảnh giữa A và B.

Áp dụng định luật 2 Kirchoff tại nốt A và nốt B ta có 1 2I I I 1 2

U U UZ Z Z

. Vậy:

1 2

1 1 1Z Z Z

(2.41)

Ví dụ 2.50: Một tụ điện có điện dung C được nạp điện có điện lượng 0q . Khi 0t , ta mắc

nó vào 2 mút của một cuộn dây có hệ số điện cảm L . Tìm điện lượng ( )q t của tụ điện và cường độ ( )i t của dòng điện trong mạch tại thời điểm t (xem hình 2.16).

Giải: Áp dụng định luật Kirchoff thứ nhất cho mạch vòng ta có:

00

10

tdi

L idt qdt C

.

Vì ( )dq

i tdt

nên phương trình trên trở thành

2 2

02 20

10 0

td q dq d q q

L dt q LC dt Cdt dt

, (vì 0

0

( )t

dqdt q t q

dt ).

1Z

2Z

A B

1I

2I

I

C

L

i

Hình 2.16:

Đặt ( ) ( )Q s q t L , vì 0(0) , '(0) (0) 0q q q i . Ta có phương trình ảnh:

20 0

2( ) 0

1Q s

L s Q sq Q qC

sCL

Vậy 00( ) cos ; ( ) sin

qt dq tq t q i t

dtCL CL CL .

Ví dụ 2.51: Xét mạch RLC nối tiếp (cho trong hình 2.17) với 110R , 1L H ,

0,001C F và một ắc quy cung cấp sức điện động 90V . Đóng mạch tại thời điểm 0t

và đến thời điểm t T (T = 1 s) ắc quy sẽ được tách ra khỏi mạch, lúc đó mạch RLC cũng đóng nhưng không con sức điện động. Tìm cường độ ( )i t của dòng điện trong mạch tại thời điểm 0t .

Giải: Áp dụng định luật Kirchoff thứ nhất cho mạch vòng với điều kiện đầu (0) 0i , (0) 0q ta có:

0

1( )

tdi

L Ri i dt E tdt C

.

Sức điện động ( ) 90 ( ) ( 1)E t t t , do giả thiết 1T .

Áp dụng biến đổi Laplace ta được phương trình ảnh

1 190

seLsI RI I

Cs s

.

Thay số ta tính được 2

1 1 190 (1 )

10 100110 1000

sse

I es ss s

,

Vậy 10 100 10( 1) 100( 1)( ) ( 1)t t t ti t e e e e t .

Ví dụ 2.52: Xét một mạch điện như hình 2.18. Suất điện động 0( )E t E hằng số. Đóng

mạch tại thời điểm 0t . Hãy tìm cường độ 1( )i t , 0t .

C

L i

Hình 2.17: Mạch RLC

R

0E

0t

t T

Gọi 1I là cường độ ảnh của mạch 1R C .

2I là cường độ ảnh của mạch 2R L .

1Z là trở kháng ảnh của mạch 1R C . 1 1

1Z R

Cs

2Z là trở kháng ảnh của mạch 2R L . 2 2Z R Ls

Z là trở kháng ảnh tương đương của hai đoạn mạch 1R C và 2R L mắc song song.

1 2

1 1 1Z Z Z

hay 1 2 2

1 2 1 1 2

Z Z ZZZ

Z Z Z Z Z

(*)

Hiệu điện thế ảnh giữa hai đầu A, B của đoạn mạch:

1 1 2 2 11

ZI Z I Z I Z I I

Z (**)

Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch vòng ta có

0( )E

R Z Is

(***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra

1 2

0 1 2 0 2 01

1 1 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1

Z Z

E Z Z E Z EZI

Z s R Z Z s Z Z s R Z Z Z ZRZ Z

.

Thay 1 2,Z Z vào kết quả trên ta được

0 21

2 21 1 2 1 2

( )E R LsI

RL Rs RL R L s RR RR R R

C C C

.

Đặt 21 1 2 1 2; 2 ;

RL RRL R L RR RR R R

C C C .

C

L

1R

2RR

0E E

A B

Hình 2.18:

Nếu 2' 0 , gọi 1 2,s s là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của

tam thức 2 2 0s s và 21 2,

Rs s

L . Khi đó từ công thức Heaviside ta

có hàm gốc 1 20 2 1 2 21

1 2

( )2

s t s tE R Ls R Lsi t e e

s s

.

Nếu 2' 0 , tam thức 2 2 0s s có nghiệm kép s

.

Ta có hàm gốc 01 2( )

2

tEi t L t R L e

.

Nếu 2Rs

L là một nghiện của 2 2 0s s thì 0

1

2

LEI

Ls

R

,

Ta có hàm gốc 201( )

Lt

RLEi t e

.

Ví dụ 2.53: Cho một dây dẫn nằm dọc theo trục Ox

từ O đến l . Gọi , , ,C R L G lần lượt là

điện dung, điện trở, điền cảm, hệ số hao phí điện ứng với một đơn vị dài sợi dây. Khi có dòng điện chạy trong dây, xung quanh nó tạo nên một từ trường làm thay đổi cường độ dòng điện và điện thế. Tìm cường độ ( , )i x t và điện thế ( , )u x t dòng điện ở vị trí x thời điểm t với điều kiện đầu và điều kiện biên:

( , 0) 0

( ,0) 0

i x

u x

và 1

2

(0, ) ( )

( , ) ( )

u t t

u l t t

. (2.42)

Theo các định luật vật lý ta suy ra rằng giữa chúng liên hệ với nhau bởi hệ phương trình.

0

0

u iRi L

x ti u

Gu Cx t

(2.43)

Đặt

1 1( ) ( )F s t L ; 2 2( ) ( )F s t L . (2.44)

0

( , ) ( , ) ( , )stU x s u x t e u x t dt

L ; 0

( , ) ( , ) ( , )stI x s i x t e i x t dt

L (2.45)

Dựa vào tính hội tụ đều của tích phân suy rộng (2.45) ta chứng minh được:

u Ux x

L ; i I

x x

L (2.46)

( , ) ( , 0)u

sU x s u xt

L ; ( , ) ( , 0)

isI x s si x

t

L (2.47)

Áp dụng các công thức (2.44)-(2.46) vào (2.43) ta có hệ phương trình ảnh, các điều kiện biên ảnh.

0

0

URI LsI

xI

GU CsUx

; (2.48)

1

2

(0, ) ( )

( , ) ( )

U s F s

U l s F s

. (2.49)

Để giải hệ phương trình này ta khử đi một ẩn hàm, chẳng hạn khử I. Lấy đạo hàm riêng theo x phương trình thứ nhất (2.48) ta có:

2

20

U I IR Ls

x xx

. (2.50)

Thay IGU CsU

x

vào phương trình trên ta được:

2

20

UR Ls G Cs U

x

. (2.51)

Giải phương trình (2.49) theo biến x ta có nghiệm tổng quát:

( , ) kx kxU x s Ae Be , với ( )( )k Ls R Cs G . (2.52)

1( , ) kx kx kx kxU k Cs G

I x s Ae Be Ae BeR Ls x R Ls Ls R

. (2.53)

Thay điều kiện biên (2.48) ta tìm được A, B xong lấy ảnh ngược ta sẽ có ( , )u x t , ( , )i x t cần tìm.

Tuy nhiên nói chung không có một công thức tổng quát để tìm hàm gốc từ hàm ảnh có dạng trên. Ta tìm hàm gốc trong một vài trường hợp cụ thể sau. Ví dụ 2.54: Giả sử dây dẫn khá dài và ảnh hưởng của quá trình dao động điện không đáng kể. Khi đó, về mặt lý thuyết ta có thể xem x biến thiên từ 0 đến . Trong trường hợp này, điều kiện biên thứ hai phải được thay đổi bằng điều kiện buộc ( , )u x t , ( , )i x t bị chặn khi x .

Chọn ( )( )k Ls R Cs G thỏa mãn Re 0k . Điều kiện ( , )u x t , ( , )i x t bị chặn

khi x suy ra ( , )U x s , ( , )I x s cũng bị chặn khi x , do đó 0A . Vậy

( , ) kxU x s Be .

Thay điều kiện biên 1(0, ) ( )U s F s ta được 1( )B F s . Vậy

1( , ) ( ) ; ( , ) ( , )kx Cs GU x s F s e I x s U x s

Ls R

. (2.54)

Các trường hợp đặc biệt: Truyền điện trên dây không bị hao điện ( 0, 0)R G . Khi đó:

1( , ) ( ) ; ( , ) ( , )sx LC CU x s F s e I x s U x s

L .

Suy ra nghiệm 1( , )0

t x LC t x LCu x t

t x LC

nÕu

nÕu

( , ) ( , )C

i x t u x tL

.

Truyền sóng không méo mó: RC LG .

Khi đó: 2

( )( )Ls R Cs G s LC RG , Cs G CLs R L

.

1( , ) ( ) ; ( , ) ( , )x RG sx LC CU x s e F s e I x s U x s

L .

Suy ra nghiệm

1( , )0

x RGe t x LC t x LCu x t

t x LC

nÕu

nÕu

, ( , ) ( , )C

i x t u x tL

.

2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Sử dụng phương pháp tọa độ mỗi véc tơ có thể đồng nhất với tọa độ của véc tơ này.

Mỗi véc tơ trong mặt phẳng có tọa độ là một cặp số ( , )x y , x là hoành độ và y tung độ, véc tơ trong không gian có tọa độ là bộ ba thành phần ( , , )x y z . Một hàm số được xem là véc tơ của không gian vô hạn chiều có các thành phần của tọa độ là các hệ số Fourier.

Cuối thế kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời là kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste Joseph Fourier đã có khám phá kỳ lạ. Trong một kết quả nghiên cứu của mình về phương trình đạo hàm riêng mô tả sự truyền nhiệt của vật thể, Fourier đã khẳng định rằng “mọi” hàm số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vô hạn các hàm lượng giác. Sau này ta gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.

Có ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 2.57, 2.59), dạng cực (công thức 2.67) và dạng phức (công thức 2.68, 2.72).

Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, trong đó mỗi hàm số hoàn toàn được xác định bởi các hệ số Fourier của nó và ngược lại. Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được xây dựng dựa vào công thức tích phân Fourier.

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu phụ thuộc thời gian t thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ tần số, vì mỗi hệ số Fourier tương ứng với một tần số của hàm sin hoặc hàm cosin, các hệ số Fourier đóng vai trò như các thành phần tọa độ của véc tơ. Tín hiệu tuần hoàn sẽ có phổ rời rạc, còn tín hiệu không tuần hoàn sẽ có phổ liên tục. Đối số của hàm tín hiệu là thời gian còn đối số của biến đổi Fourier của nó là tần số, vì vậy phép biến đổi Fourier còn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số. Biểu diễn phổ tần số của tín hiệu phụ thuộc thời gian cũng giống như biểu diễn véc tơ theo tọa độ của chúng.

Phép biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng để tính toán khi các tín hiệu được rời rạc hoá bằng cách chọn các giá trị mẫu tại một số hữu hạn thời điểm và phổ cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần số. Tuy nhiên để thực hiện nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật toán biến đổi Fourier nhanh.

Hướng ứng dụng vào viễn thông: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM...

2.2.1 Chuỗi Fourier (*) 2.2.1.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2

Hệ các hàm số

1, cos , sin ; 1, 2, ...nt nt n (2.55)

là một hệ trực giao theo tích vô hướng 2

0

( ), ( ) ( ) ( )x t y t x t y t dt

nghĩa là 2 2 2

0 0 0

cos sin cos sin 0 ; ,ntdt ntdt nt mtdt n m

2 2

0 0

0 cos cos sin sin

n mnt mtdt nt mtdt

n m

nÕu

nÕu (2.56)

Thật vậy 22

*

00

sincos 0,

ntntdt n

n

;

22*

00

cossin 0,

ntntdt n

n

2 2

0 0

1cos sin sin( ) sin( ) 0

2nt mtdt n m t n m t dt

2 2

0 0

1, cos cos cos( ) cos( ) 0

2n m nt mtdt n m t n m t dt

2 2

0 0

1, sin sin cos( ) cos( ) 0

2n m nt mtdt n m t n m t dt

2 2 22

0 0 0

1, cos cos cos 1 cos2

2n m nt mtdt ntdt nt dt

2 2 22

0 0 0

1, sin sin sin 1 cos2

2n m nt mtdt ntdt nt dt

Từ tính chất trực giao của hệ (2.55) ta có thể chứng minh được rằng, nếu hàm ( )x t tuần hoàn chu kỳ 2 và khai triển thành tổng của chuỗi lượng giác

0

1

( ) cos sin2 n n

n

ax t a nt b nt

thì các hệ số 0a , na , nb ; 1, 2, ...n nghiệm đúng công thức sau:

2 2 2

00 0 0

1 1 1( ) ; ( )cos ; ( )sinn na x t dt a x t ntdt b x t ntdt

; 1, 2, ...n (2.57)

Thật vậy, từ công thức (2.56) ta có 2 2

0

10 0

1 1( ) cos sin

2 n nn

ax t dt a nt b nt dt

2 2 2

00

10 0 0

1 1 1cos sin

2 n nn

adt a ntdt b ntdt a

2 20

10 0

1 1( )cos cos sin cos

2 m mm

ax t ntdt a mt b mt ntdt

2 2 20

10 0 0

1 1cos cos cos sin cos

2 m m nm

antdt a mt ntdt b mt ntdt a

Các hệ số (2.57) được gọi là hệ số Fourier của hàm ( )x t và chuỗi

0

1

cos sin2 n n

n

aa nt b nt

(2.58)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm ( )x t .

Với mọi hàm tuần hoàn chu kỳ 2 và khả tích ta có thể tính các hệ số Fourier vì vậy có chuỗi Fourier tương ứng. Ta ký hiệu

0

1

( ) cos sin2 n n

n

ax t a nt b nt

(2.59)

Hệ số 12

của số hạng thứ nhất xuất phát từ sự thuận lợi trong việc tính toán sau này.

Ký hiệu trong công thức (2.59) ngụ ý rằng chuỗi Fourier của hàm ( )x t chưa chắc hội tụ về hàm ( )x t .

Các câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: (i) Khi nào chuỗi lượng giác vô hạn (2.58) hội tụ?

(ii) Loại hàm ( )x t nào có thể biểu diễn thành tổng của chuỗi Fourier? Nghĩa là có thể thay dấu thành dấu =.

Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển một hàm thành tổng của chuỗi Fourier.

Định lý 2.15 (Định lý Dirichlet): Giả sử hàm ( )x t tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn (gọi là điều kiện Dirichlet), tại các điểm gián đoạn ta ký hiệu

( 0) ( 0)( )

2x t x t

x t

(2.60)

trong đó ( 0)x t , ( 0)x t lần lượt là giới hạn phải và giới hạn trái của ( )x t tại t . Khi đó chuỗi Fourier hội tụ và công thức (2.59) trở thành đẳng thức.

Ví dụ 2.55: Xét hàm số ( )x t t , t ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì ( )x t là hàm lẻ nên các hệ số Fourier có thể tính như sau

01

0a tdt

, 1cos 0na t ntdt

,

12

00

1 2 2 cos sin 2sin sin ( 1)nn

t nt ntb t ntdt t ntdt

n nn

.

Do đó chuỗi Fourier tương ứng

1

1

sin sin2 sin 3 sin 42 ( 1) 2 sin

2 3 4n

n

nt t t tt t

n

Áp dụng định lý 2.15 ta có

1

1

sin2 ( 1)

0n

n

t tnttn

nÕu

nÕu

Thay 2

t

và chia hai vế cho 2 ta được

1 1 1 11

4 3 5 7 9

Ví dụ 2.56: Xét hàm số ( )x t t , t ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì ( )x t là hàm chẵn

nên các hệ số Fourier có thể tính như sau

1sin 0nb t ntdt

; 00

1 2a t dt tdt

,

200 2

0 2 02 2 sin cos

cos 42 1n

t

n kt nt nt

a t ntdtn n kn

n

nÕu

nÕu.


21

4 cos 4 cos 3 cos5 cos7cos

2 2 9 25 49n

nt t t tt t

n

Thay 0t ta được .

Ví dụ 2.57: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn chu kỳ 2 xác định như sau

1 0( )

0 0

tt

t

nÕu

nÕu

Các hệ số Fourier

00

1 1( ) 1a t dt dt

, 0

1 1( )cos cos 0na t ntdt ntdt

,

0

21 1 2 1

( )sin sin0 2

nn k

b t ntdt ntdt nn k

nÕu

nÕu.

Chuỗi Fourier tương ứng 1 2 sin 3 sin 5 sin 7( ) sin

2 3 5 7t t t

t t

2.2.1.2 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 0 2T l (*)

Xét ( )x t là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2l , đặt ( )l

y t x t

thì ( )y t tuần hoàn chu

kỳ 2 . Nếu ( )x t thỏa mãn điều kiện Dirichlet thì ( )y t cũng thỏa mãn điều kiện Dirichlet, do đó có thể khai triển thành chuỗi Fourier.

0

1

( ) cos sin2 n n

n

ay t a nt b nt

( )l

y t x t

tương đương với ( )x t y t

l

. Vậy

0

1

( ) cos sin2 n n

n

a n nx t y t a t b t

l l l

(2.61)

Các hệ số Fourier được tính theo công thức sau: 2 2 2

00 0 0

1 1 1( ) ; ( )cos ; ( )sin

l l l

n n

n na x t dt a x t tdt b x t tdt

l l l l l

; 1, 2, ...n (2.62)

Nhận xét 2.2:

1. Hàm tuần hoàn chu kỳ 2 là một trường hợp đặc biệt của hàm tuần hoàn chu kỳ 2l , vì vậy các nhận xét sau đây được giả thiết là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l . Ngoài ra do tính chất tích phân của hàm tuần hoàn nên các hệ số Fourier (2.62) cũng có thể tính như sau:

2 2

01 1

( ) ; ( )cos ;l c l c

nc c

na x t dt a x t tdt

l l l

2

1( )sin ; 1, 2, ...

l c

nc

nb x t tdt n c

l l

(2.63)

2. Nếu ( )x t là hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l thì ( )cosn

x t tl là hàm lẻ và ( )sin

nx t t

l là

hàm chẵn, do đó các hệ số Fourier (2.62) thỏa mãn

00

20; ( )sin ; 1, 2, ...

l

n nn

a a b x t tdt nl l

(2.64)

3. Nếu ( )x t là hàm chẵn tuần hoàn chu kỳ 2l thì ( )cosn

x t tl là hàm chẵn và ( )sin

nx t t

l

là hàm lẻ, do đó các hệ số Fourier (2.62) thỏa mãn

00 0

2 20; ( ) ; ( )cos ; 1, 2, ...

l l

n nn

b a x t dt a x t tdt nl l l

(2.65)

4. Trường hợp ( )x t là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng ,a b , ta

có thể mở rộng thành hàm tuần hoàn chu kỳ 2l b a . Khi đó ( )x t có thể khai triển thành chuỗi Fourier với các hệ số Fourier được tính như sau

02 2 2

( ) ; ( )cos ;b b

na a

na x t dt a x t tdt

b a b a b a

2 2( )sin ; 1, 2, ...

b

na

nb x t tdt n

b a b a

(2.66)

5. Trường hợp ( )x t là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng 0, l , ta

có thể mở rộng thành hàm chẵn hoặc hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l . Nếu mở rộng thành hàm chẵn thì các hệ số Fourier được tính theo công thức (2.65) và nếu mở rộng thành hàm lẻ thì các hệ số Fourier được tính theo công thức (2.64).

Ví dụ 2.58: Xét hàm số ( )x t t , 1 1t ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì ( )x t là hàm lẻ nên các hệ số Fourier có thể tính như sau

1

01

10

1a tdt

, 1

1

1cos 0

1na t n tdt

,

11 11

21 0 0

1 cos sin 2sin 2 sin 2 ( 1)

1 ( )n

nt n t n t

b t ntdt t n tdtn nn

.


1

1

2 sin 2 sin2 sin 3 sin 4( 1) sin

2 3 4n

n

n t t t tt t

n

.

2.2.1.3 Dạng cực của chuỗi Fourier (Polar Fourier Series) Từ công thức (2.61) nếu ta đặt

2 200 ;

2 n n n

aA A a b (2.67)

và góc , 0 2n n xác định bởi

n ncos , sinn n

n n

a b

A A (2.68)

khi đó công thức (2.61) có thể viết lại

00

1 1

( ) cos sin cos2 n n n n

n n

a n n nx t a t b t A A t

l l l

(2.69)

Công thức (2.61) được gọi là chuỗi Fourier dạng cầu phương (Quadrature Fourier Series). Công thức (2.69) được gọi là chuỗi Fourier dạng cực của ( )x t .

2.2.1.4 Dạng phức của chuỗi Fourier (Complex Fourier Series) (*) Thay hàm sin và cosin theo các hàm mũ từ công thức Euler (1.17) vào công thức (2.59)

ta được

int int int int

0 0

1 1

( ) cos sin2 2 2 2n n n n

n n

a a e e e ex t a nt b nt a b

i

int int0

12 2 2n n n n

n

a a ib a ibe e

Vậy ta có thể viết chuỗi Fourier dưới dạng phức

int( ) nn

x t c e

(2.70)

trong đó các hệ số Fourier phức nc xác định như sau

0 0 / 2

( ) / 2

( ) / 2n n n

n n n

c a

c a ib

c a ib

hoặc 0 02

( )n n n

n n n

a c

a c c

b i c c

(2.71)

Mặt khác, tương tự hệ trực giao (2.55) ta có thể kiểm tra được rằng hệ các hàm phức

imt

me

thỏa mãn

2int

0

2

0imt n m

e e dtn m

nÕu

nÕu (2.72)

do đó đây là một hệ trực giao. Vì vậy các hệ số Fourier phức (2.71) có thể tính trực tiếp

2

int1( ) ,

2

c

nc

c x t e dt c

(2.73)

Trường hợp hàm tuần hoàn chu kỳ 0 2T l có khai triển Fourier dạng phức

( )n

i tl

nn

x t c e

, 2

1( ) ,

2

c l ni t

ln

c

c x t e dt cl

(2.74)

Nếu ký hiệu 00

1f

T là tần số cơ bản của hàm tuần hoàn chu kỳ 0T thì công thức

(2.74) được biểu diễn

02( ) i n f tn

n

x t c e

, 0

221

( ) ,2

c li n f t

nc

c x t e dt cl

(2.75)

Ví dụ 2.59: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn ví dụ 2.57

nt nt

0

10

21 1( ) 0 0

2 21

i in

n

c t e dt e dt n n

nin

nÕu

nÕu ch½n

nÕu lÎ

Vậy, hàm bước nhảy đơn vị có khai triển Fourier (2 1)1

( )2 2 1

m it

m

i et

m

.

Ví dụ 2.60: Tìm khai triển Fourier của hàm mũ ( ) atx t e , t tuần hoàn chu kỳ 2 .

( )nt ( )1 1

2 2 2 ( )

a in tat i a in t

n

t

ec e e dt e dt

a in

( ) ( ) ( )

2 2

( )sinh( 1) ( 1)

2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )

a in t a in a in a an n

t

e e e e e a in aa in a in a in a n

.

Vậy hàm có chuỗi Fourier tương ứng

nt2 2

sinh ( 1) ( )nat i

n

a a ine e

a n

.

Định lý 2.16: Giả sử hàm ( )x t tuần hoàn chu kỳ 0 2T l thoả mãn điều kiện Dirichlet, khi đó

ta có đẳng thức Parseval

0

2 2

0

1( )

c T

nnc

x t dt cT

(2.76)

Chứng minh:

0 0 0

2

0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

c T c T c T m ni t i t

l lm n

m nc c c

x t dt x t x t dt c e c e dtT T T

0

2

,0

1c T m n

i t i tl l

m n nm n nc

c c e dt cT

Nhận xét 2.3: Công thức (2.69), (2.71), (2.74) cho thấy dạng cực, dạng phức và dạng cầu phương của chuỗi Fourier là hoàn toàn tương đương, nghĩa là từ dạng này ta có thể biểu diễn duy nhất qua dạng kia và ngược lại. Vậy thì dạng nào được ứng dụng tốt nhất. Câu trả lời là phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Nếu bài toán thiên về giải tích thì sử dụng dạng phức sẽ thuận lợi hơn vì việc tính các hệ số nc dễ hơn. Tuy nhiên đối với các hàm dạng sóng được

thực hiện trong phòng thí nghiệm thì dạng cực sẽ thuận tiện hơn, vì các thiết bị đo lường như vôn kế, máy phân tích phổ sẽ đọc được biên độ và pha. Dùng các kết quả thí nghiệm đo được các nhà kỹ thuật có thể vẽ các vạch phổ một phía là các đoạn thẳng ứng với mỗi giá trị biên

độ nA tại tần số 00

n

nf nf

T .

2.2.2 Phép biến đổi Fourier hữu hạn Mỗi hàm tuần hoàn được xác định duy nhất bởi các hệ số Fourier của nó và ngược lại

(công thức 2.55, 2.60, 2.71, 2.72), điều này được suy ra từ tính chất trực giao của hệ 2.53, 2.70.

Tương tự ta có thể chứng minh được hệ các hàm phức tuần hoàn 2i nf

ne

là

một hệ trực chuẩn trên đoạn 0, 1

12 2

0

1

0i nf i mf n m

e e dfn m

nÕu

nÕu. (2.77)

Dựa vào hệ trực chuẩn này ta định nghĩa phép biến đổi Fourier hữu hạn của các tín hiệu rời rạc như sau.

Định nghĩa 2.5: Biến đổi Fourier hữu hạn của tín hiệu rời rạc ( )n

x n

là

2( ) ( ) ( ) i nf

n

X f x n x n e

F (2.78)

nếu chuỗi ở vế phải hội tụ. Công thức biến đổi ngược

1

1 2

0

( ) ( ) ( ) i nfx n X f X f e df F (2.79)

Hàm ( )X f tuần hoàn có chu kỳ 1.

Ví dụ 2.61: Tìm biến đổi Fourier hữu hạn của tín hiệu rời rạc ( ) rect ( )Nx n n , N là 1 số tự

nhiên.

1 0 1

rect ( )0N

n Nn

nÕu

nÕu ngîc l¹i

Giải: 21

2 22

0

1( ) ( )

1

i NfNi nf i nf

i fn n

eX f x n e e

e

( 1) sin( )sin( )

i Nf i Nf i Nfi N f

i f i f i f

e e e N fe

fe e e

.

Nhận xét 2.4:

1. Trong công thức biến đổi Fourier 2.76, 2.77 đối số f được ký hiệu cho tần số. Có tài liệu không biểu diễn biến đổi Fourier qua miền tần số mà qua miền tần số góc như sau

( ) ( ) ( ) i n

n

X x n x n e

F , 2

1

0

1( ) ( ) ( )

2i nx n X X e d

F (2.80)

Hai cách biểu diễn này tương ứng với nhau qua phép đổi biến số 2 f .

2. Một điều kiện đủ để tín hiệu rời rạc ( )n

x n

tồn tại biến đổi Fourier hữu hạn là

( )n

x n

.

3. Công thức biến đổi ngược 2.77 là khai triển Fourier dạng phức của hàm ( )X f đối với hệ

trực chuẩn 2.75. Nếu biến đổi Fourier xét trong miền thì biến đổi ngược của ( )X là khai triển Fourier dạng phức đối với hệ trực giao 2.10. Vì vậy biến đổi ngược tồn tại khi ( )X f (hoặc ( )X ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet.

Tính chất 2.2: Tương tự phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier hữu hạn có các tính chất sau: 1. Tuyến tính:

( ) ( ) ( ) ( )Ax n By n A x n B y n F F F (2.81)

Chứng minh: 2( ) ( ) ( ) ( ) i nf

n

Ax n By n Ax n By n e

F

2 2( ) ( ) ( ) ( )i nf i nf

n n

A x n e B y n e A x n B y n

F F .

2. Trễ: 02

0( ) ( ) ( ) ( )i n fX f x n x n n e X f F F . (2.82)

Chứng minh:

0 02 2 ( )20 0 0( ) ( ) ( )i n f i n n fi nf

n n

x n n x n n e e x n n e

F

0 02 22( ) ( )i n f i n fi nf

n

e x n e e x n

F .

3. Dịch chuyển ảnh:

020( ) ( ) ( ) ( )i nfX f x n e x n X f f F F . (2.83)

4. Điều chế:

0 02 20 0

0

( ) ( )( )cos(2 ) ( )

2 2

i nf i nf X f f X f fe ex n nf x n

F F . (2.84)

5. Liên hợp phức: Nếu 2( ) ( ) ( ) i nf

n

X f x n x n e

F thì

2 2( ) ( ) ( ) ( )i nf i nf

n n

x n x n e x n e X f

F (2.85)

Khi ( )x n thực thì ( ) ( )X f X f .

6. Biến số đảo: Nếu 2( ) ( ) ( ) i nf

n

X f x n x n e

F thì

2 2 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )i nf i n f

n n

x n x n e x n e X f

F (2.86)

7. Tích chập (xem công thức 1.102):

( ) ( ) ( ) ( )x n y n x n y n F F F (2.87)

Chứng minh: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

z n x n y n x k y n k

2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )i nf i kf i n k f

n k n k

Z f x k y n k e x k e y n k e

2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )i n k f i kf

k n

y n k e x k e X f Y f

8. Tích chập ảnh:

( ) ( ) ( ) ( )x n y n x n y n F F F (2.88)

Chứng minh: 2( ) ( ) ( ) ( ) i nf

n

x n y n x n y n e

F . Theo 2.71 ta có:

12 2 ( ) 2

0

( ) ( ) ( ) ( )i nf i m n u i nf

n n m

x n y n e x m e du y n e

12 ( ) 2

0

( ) ( )i m n u i nf

n m

x m e y n e du

1 1

2 2 ( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i mu i n f u

m n

x m e y n e du X u Y f u du X f Y f

.

9. Biến đổi của hàm tương quan

, ( ) ( ) ( )x ym

r n x m y m n

gọi là hàm tương quan của hai dãy tín hiệu ( )x n , ( )y n ,

, ( ) ( ) ( )x xm

r n x m x m n

gọi là hàm tự tương quan của dãy tín hiệu ( )x n .

, ( ) ( ) ( )x yr n X f Y fF (2.89)

Chứng minh: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x ym

r n x m y m n x n y n

, ( ) ( ) ( )x yr n X f Y fF .

Hoặc ta có thể chứng minh trực tiếp như sau:

2, ( ) ( ) ( ) i nf

x yn m

r n x m y m n e

F

2 ( ) 2( ) ( ) i n m f i mf

m n

x m y m n e e

2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )i m n f i mf

m n

x m y m n e e X f Y f

.

Áp dụng công thức (2.89) vào hàm tự tương quan của dãy tín hiệu ( )x n ta có định

lý Weiner-Khinchin:

2

, ( ) ( )x xr n X fF . (2.90)

Trường hợp ( ), ( )x n y n thực,

, ( ) ( ) ( )x ym

r n x m y m n

, ( ) ( ) ( )x yr n X f Y f F .

10. Đạo hàm ảnh:

( )

( ) ( ) ( )2i dX f

X f x n nx ndf

F F (2.91)

Chứng minh: 2

2 1 ( )( ) ( ) ( )

2 2

i nfi nf

n n

de i dX fnx n nx n e x n

i df df

F

11. Đẳng thức Parseval:

1

0

( ) ( ) ( ) ( )n

x n y n X f Y f df

; 1 22

0

( ) ( )n

x n X f df

. (2.92)

Chứng minh:

1 1

2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i nf i nf

n n n

x n y n y n X f e df X f y n e df

1 1

2 ( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( )i n f

n

X f y n e df X f Y f df

.

12. Quan hệ giữa phép biến đổi Fourier rời rạc và phép biến đổi Z (mục 1.6 chương 1)

Biến đổi Z của dãy ( )n

x n

là ( ) ( ) n

n

X z x n z

có biến đổi Fourier rời rạc

2( ) ( ) ( ) i nf

n

X f x n x n e

F . Vậy

2( ) ( ) i fz e

X f X z (2.93)

2.2.3 Phép biến đổi Fourier Khởi đầu chuỗi Fourier được xây dựng với mục đích giải quyết các bài toán tương ứng

với các hàm số xác định trong miền bị chặn hoặc hàm tuần hoàn. Để giải quyết các bài toán có các hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực t người ta mở rộng một cách tự nhiên phương pháp chuỗi Fourier, điều này đưa đến phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier là một công cụ mạnh mẽ và đóng vai trò cốt yếu trong nhiều miền ứng dụng như: Giải phương trình vi phân, giải phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, ứng dụng vào lý thuyết điều khiển và trong nhiều lĩnh vực khác của toán lý thuyết cũng như toán ứng dụng. Đối với các nhà toán học phép biến đổi Fourier là cơ bản hơn phép biến đổi Laplace. Cơ sở của phép biến đổi Fourier là công thức tích phân Fourier, công thức này có được bằng cách xét chuỗi Fourier trong khoảng khá lớn tùy ý, sau đó cho khoảng này tiến đến vô cùng.

2.2.3.1 Công thức tích phân Fourier (*)

Định lý 2.17: Giả sử hàm ( )x t khả tích tuyệt đối trên toàn bộ trục thực ( | ( ) |x t dt

)

và thoả mãn điều kiện Dirichlet, khi đó ta có đẳng thức sau và gọi là công thức tích phân Fourier

0

1( ) ( )cos ( )x t d x u t u du

(2.94)

Chứng minh: Vì hàm ( )x t thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên toàn bộ trục thực nên với mọi 0l ta có thể khai triển thành chuỗi Fourier trong khoảng ( ; )l l (xem nhận xét 2.2, công

thức 2.64 và định lý 2.15).

0

1

( ) cos sin2 n n

n

a n nx t a t b t

l l

, ( ; )t l l .

Các hệ số Fourier được tính theo công thức sau:

01 1 1

( ) ; ( )cos ; ( )sin ; 1, 2, ...l l l

n nl l l

n na x u du a x u udu b x u udu n

l l l l l

1

1 1( ) ( ) ( ) cos cos sin sin

2

l l

nl l

n n n nx t x u du x u u t u t du

l l l l l l

1

1 1( ) ( ) ( )cos ( )

2

l l

nl l

nx t x u du x u t u du

l l l

(2.95)

Vì | ( ) |x t dt

nên khi cho l ta có:

1 1

1lim ( ) 0

2

1 1lim ( )cos ( ) lim ( )cos ( )

l

ll

l

l ln nl

x u dul

n nx u t u du x u t u du

l l l l

(2.96)

Đặt l

, 1

( ) ( )cos ( )F x u t u du

(2.97)

0 1

1( )cos ( )

n n

nx u t u du F n

l l

(2.98)

Vế phải của (2.98) là tổng tích phân của hàm ( )F trong khoảng [0, ) .

Theo (2.97), l khi và chỉ khi 0 .

Vậy lấy giới hạn hai vế của (2.95) khi cho l và sử dụng (2.96)-(2.98) ta được

0 0

1( ) ( ) ( )cos ( )x t F d d x u t u du

.

Vì hàm cosin là hàm chẵn và sin là hàm lẻ nên từ công thức (2.94) ta cũng có:

0

1 1( ) ( )cos ( ) ( )cos ( )

2x t d x u t u du d x u t u du

1( ) cos ( ) sin ( )

2d x u t u i t u du

Vậy

( )1( ) ( )

2i t ux t d x u e du

(2.99)

Công thức (2.99) được gọi là công thức tích phân Fourier phức. Nhận xét 2.5:

1. Các công thức trên đã sử dụng quy ước (2.60) tại những điểm không liên tục.

2. Nếu ( )x t là hàm chẵn thì

0 0

2( ) cos ( )cosx t td x u udu

. (2.100)

3. Nếu ( )x t là hàm lẻ thì

0 0

2( ) sin ( )sinx t td x u udu

. (2.101)

4. Các công thức tích phân Fourier (2.94), (2.99) và định lý 2.17 được phát biểu và chứng minh cho trường hợp ( )x t là hàm thực. Tuy nhiên do tính chất tuyến tính của tích phân nên các kết quả trên vẫn còn đúng cho trường hợp hàm phức biến thực ( )x t khả tích tuyệt đối có phần thực, phần ảo thỏa mãn điều kiện Dirichlet. 5. Đổi biến 2 2f d df , thay vào công thức (2.99) ta được

2 ( ) 2 2( ) ( ) ( )i f t u i fu i ftx t df x u e du x u e du e df

(2.102)

Sử dụng công thức (2.102) ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier của hàm không tuần hoàn như sau.

2.2.3.2 Định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 2.6: Giả sử hàm ( )x t khả tích tuyệt đối trên trục thực và thỏa mãn điều kiện Dirichlet. Biến đổi Fourier (viết tắt là FT) của ( )x t là

2( ) ( ) ( ) ,i ftX f x t x t e dt f

F (2.103)

Trong kỹ thuật, nếu ( )x t là hàm dạng sóng (waveform) theo thời gian t thì ( )X f được gọi là phổ hai phía của ( )x t (two - sided spectrum), còn tham số f chỉ tần số, có đơn vị là Hz.

Từ công thức tích phân Fourier (2.102) ta có công thức biến đổi ngược

1 2( ) ( ) ( ) i ftx t X f X f e df

F (2.104)

Hàm ảnh qua phép biến đổi Fourier ( )X f có thể viết dưới dạng cực

( )( ) ( ) i fX f X f e (2.105)

trong đó

( ) ( ) ( )X f X f X f , ( ) ( )f X f (2.106)

được gọi dạng biên độ - pha của phép biến đổi.

Cặp ( ), ( )x t X f được gọi là cặp biến đổi Fourier.

Tính chất 2.3: A. Tương tự các tính chất (2.81)-(2.92) của phép biến đổi Fourier hữu hạn, phép biến đổi

Fourier có các tính chất được tổng kết trong bảng sau: (2.107)

Tính chất Hàm ( )x t Biến đổi Fourier ( )X f

1. Tuyến tính 1 2( ) ( )Ax t Bx t 1 2( ) ( )AX f BX f

2. Đồng dạng ( )x at 1/

| |X f a

a

3. Liên hợp ( )x t ( )X f

4. Đối ngẫu ( )X t ( )x f

5. Trễ ( )dx t T 2 ( )di T fe X f

6. Dịch chuyển ảnh 02( )

i f te x t

0( )X f f

7. Điều chế 0( )cos2x t f t 0 0

1 1( ) ( )

2 2X f f X f f

8. Đạo hàm ( )n

n

d x t

dt 2 ( )

ni f X f

9. Tích phân ( )t

x u du 1 1

( ) (0) ( )2 2

X f X fi f

10. Đạo hàm ảnh ( )nt x t ( )

2nn

n

d X fi

df

11. Tích chập 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t x u x t u du

1 2( ) ( )X f X f

12. Tích 1 2( ) ( )x t x t 1 2( ) ( )X f X f

Hàm trong tính chất 9. là hàm Dirac (xem mục 3.1 chương 3).

B. Từ công thức định nghĩa biến đổi Fourier (công thức 2.100) ta nhận thấy rằng nếu ( )x t là hàm thực chẵn thì biến đổi Fourier của nó cũng là hàm thực chẵn. Kết hợp với tính chất

đối ngẫu 4. ta có thể chuyển đổi vai trò của ( )x t và ( )X f cho nhau, nghĩa là

( ) ( ) ( ) ( )X f x t X t x f F F (2.108)

Ví dụ 2.62:

a. ( 2 )

2 ( 2 )

0 0 0

1( ) ; 0

( 2 ) 2

i f a tat at i ft i f a t e

e t e e df e dt ai f a a i f

F .

b. 00 0 ( 2 )

2 ( 2 ) 1( ) ; 0

2 2

a i f tat at i ft a i f t e

e t e e df e dt aa i f a i f

F .

Áp dụng tính chất đạo hàm ảnh ta được

c. 2

1 1 1( ) ; 0

2 2 ( 2 )at d

te t ai df a i f a i f

F

2

1 1 1( ) ; 0

2 2 ( 2 )at d

te t ai df a i f a i f

F

2.2.3.3 Định lý Parseval và định lý năng lượng Rayleigh

Nếu 1 2( ), ( )x t x t là hai hàm bình phương khả tích (gọi là hàm kiểu năng lượng) thì ta

có đẳng thức Parseval

1 21 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t dt X f X f df

(2.109)

Khi 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t ta có định lý năng lượng Rayleigh

22( ) ( )x t dt X f df

(2.110)

Như vậy năng lượng được tính trong miền thời gian bằng năng lượng được tính trong miền tần số.

Có thể chứng minh công thức (2.109) bằng cách sử dụng công thức tích phân Fourier như sau:

221 2 1( ) ( ) ( ) ( ) i ftx t x t dt x t X f e df dt

22 1 21( ) ( ) ( ) ( )i ftX f x t e dt df X f X f df

.

2.2.3.4 Biến đổi Fourier của các hàm đặc biệt

Ví dụ 2.63: Biến đổi Fourier của xung chử nhật hay hình hộp có độ dài 2a

1 | |

( )0 | | , 0a

t at

t a a

nÕu

nÕu (2.111)

2 2

2

2 0

( )0

ai ft

a

a

ai ft

i fa

e

a f

f e dtf

nÕu

nÕu

2 0

sin(2 )0

a f

a ff

f

nÕu

nÕu

Đặt

1 0

sinc( ) sin( )0

tt t

tt

nÕu

nÕu (2.112)

Ta có

( ) 2 sinc(2 )a t a af F . (2.113)

Phép biến đổi Fourier ngược cho phép khôi phục lại giá trị của xung chử nhật ( )a t theo tích

phân (xem công thức (2.104))

2

1 | |sin(2 )

1 / 2 | |

0 | |

i ft

t aa f

e df t af

t a

nÕu

nÕu

nÕu

(2.114)

Tách phần thực, phần ảo (2.114) và nhân vào hai vế ta được:

0

/ 2 | |cos(2 )sin(2 )

/ 4 | |

0 | |

t aft a f

df t af

t a

nÕu

nÕu

nÕu

;

sin(2 )sin(2 )

0ft a f

dff

.

( )t

( )f

Khi 1a ta có xung:

1 | | 1( )

0 | | 1

tt

t

nÕu

nÕu và ( ) 2 sinc(2 )t f F .

Áp dụng công thức (2.108) ta cũng có

2 sinc(2 ) ( )t f F .

Áp dụng đẳng thức Parseval (2.110) ta được

22sin (2 )

1 22( )

a

a

a fdf dt a

f

Đặt 2 2u af du adf , 2 2

2 2

sin (2 ) sin2

( )

a f u dudf a

f u

.

2 2

2 2

sin sin2 2

u du ua a du

u u

.

Ví dụ 2.64: Xung tam giác đơn vị

1 | | | | 1

( )0 | | 1

t tt

t

nÕu

nÕu (2.115)

Sử dụng tính chất tích phân hàm chẵn và quy tắc tích phần từng phần ta được

1 1

22

1 0

( ) 1 2 1 cos(2 ) sinc( )i ftf t e dt t ft dt f

Áp dụng công thức (2.108) của tính chất 2.3.B. ta cũng có

2sinc ( ) ( )t f F .

Hình 2.19: Đồ thị của ( )t và biến đổi Fourier ( )f

t

( )t

( )f

f

Áp dụng đẳng thức Parseval (2.110) ta được

1 12 2 22

1 0

2sin ( ) 1 2 1

3c f df t dt t dt

Đặt u f du df , 4 4 4

4 4 4

sin ( ) sin sin 23( )

f u du udf du

f u u

.

Ví dụ 2.65: Hàm phân bố mũ hai phía

( ) , 0t

x t e

.

2

0

( ) 2 cos2t i ft tX f e e dt e ft dt

Áp dụng quy tắc tích phân từng phần, đặt

cos2 sin 2 / 2

t tU e dU e dt

dV ftdt V ft f

0

0 0

sin2( ) 2 sin2 sin2

2 2

tt te ft

X f e ft dt e ft dtf f f

Tiếp tục đặt

sin2 cos2 / 2

t tU e dU e dt

dV ftdt V ft f

0

0

cos2 1( ) cos2 ( )

2 2 2 4

tte ft

X f e ft dt X ff f f f f f

2 2 2

2( )

4X f

f

.

Hoặc áp dụng công thức (2.32) ta cũng có

2 2 2 2 2 2

0

2( ) 2 cos2 2

4 4t

s

sX f e ft dt

s f f

.

Sử dụng tính chất 2.3-B và công thức (2.108) ta có: 2 2 2

2, 0

4

fe

t

F .

Vậy

2 2 2

20;

4

te

f

F ,

2 2 2

2

4

fe

t

F (2.116)

Công thức (2.116) có thể viết 12 2 2

2; 0

4

fe

t

F . Ta có thể tìm lại kết quả

này từ định nghĩa công thức (2.104) như sau. 00 ( 2 ) ( 2 )

2 ( 2 ) ( 2 )

0 0

( )2 2

i t f i t ffi ft i t f i t f e e

x t e e df e df e dfi t i t

2 2 2

1 1 22 2 4i t i t t

Ví dụ 2.66: Tìm biến đổi Fourier ngược của 2

1( )

(1 2 )(1 4 )X f

i f i f

Giải: Đặt 2 2

1 12

(1 2 )(1 4 ) (1 )(1 2 )s i f

i f i f s s

2 2 2

1 1 1 / 9 1/ 9 1 / 61 1 / 2(1 )(1 2 ) 4( 1)( 1 / 2) ( 1 / 2)s ss s s s s

2

1 / 9 1 / 9 1 / 61 2 1 / 2 2 (1 / 2 2 )i f i f i f

Từ kết quả ví dụ 2.62 ta có

/2 /21 1 1( ) ( ) ( ) ( )

9 9 6t t tx t e t e t te t .

2.2.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT: Discrete Fourier Tranform) Trong thực tế các dữ liệu nhận được không thể là hàm liên tục mà thường là các dữ

liệu số rời rạc. Chẳng hạn, ngay cả khi đo các tín hiệu liên tục người ta cũng chỉ thực hiện một số hữu hạn các lần đo, đó là một mẫu của tín hiệu đầy đủ. Các phương tiện số (CD, DVD, ..) hoặc các dữ liệu thí nghiệm được lưu trữ trong máy tính cũng chỉ là các tín hiệu được lấy mẫu tại những khoảng thời gian rời rạc. Vì vậy mặc dù chuỗi Fourier về mặt lý thuyết là rất quan trọng không thể chối cãi được nhưng theo quan điểm tính toán trong thực tế cần phải chuyển các không gian hàm vô hạn chiều (của các hàm liên tục) về các không gian véc tơ hữu hạn chiều của các dữ liệu mẫu.

Thông thường một tín hiệu liên tục ( )x t xác định trong đoạn ,a b

, máy tính chỉ có

thể lưu trữ các giá trị đo được của nó tại một số hữu hạn điểm mẫu 0 1 ... na t t t b .

Đơn giản nhất người ta xét các điểm mẫu cách đều nhau.

jt a jh , 0,...,j n , trong đó b ah

n

là tốc độ mẫu.

Khi xử lý tín hiệu ( )x t , biến số t chỉ tời gian và jt chỉ thời điểm lấy mẫu lần thứ j .

Tốc độ mẫu h rất cao, thường lấy khoảng 3 310.10 20.10 giây. Chuỗi Fourier thích hợp với các hàm tuần hoàn, tổng của chuỗi Fourier rời rạc thích

hợp với các tín hiệu được lấy mẫu tuần hoàn, (trong thực tế các tín hiệu lấy mẫu hiếm khi tuần hoàn, tuy nhiên vì mục đích tính toán giải tích người ta thường mở rộng tuần hoàn từ tín hiệu mẫu gốc). Để đơn giản ta chọn chu kỳ 2 (trường hợp chu kỳ khác có thể nhận được

bằng phép đổi biến). Ở đây ta chọn khoảng 0;2

thay cho ; . Các điểm mẫu tương

ứng

0 0t , 1

2t

n

, 2

4t

n

, … 2j

jt

n

, … 1

2( 1)n

nt

n

(2.117)

Tính tuần hoàn đòi hỏi (0) (2 )x x , do đó giá trị tại điểm mẫu 2nt được bỏ

qua. Việc lấy mẫu (có thể nhận giá trị phức) của tín hiệu hoặc hàm số ( )x t tại các điểm mẫu cung cấp một véc tơ mẫu

0 1 1 0 1 1, ,..., ( ), ( ),..., ( )n nx x x x t x t x t x , trong đó 2( )j j

jx x t x

n

(2.118)

Sự lấy mẫu không thể phân biệt được giữa những hàm có cùng giá trị mẫu tại tất cả các điểm mẫu, như vậy chúng phải được đồng nhất như nhau theo quan điểm lấy mẫu. Chẳng hạn hàm tuần hoàn

( ) cos sini n t

x t e nt i nt

Có các giá trị mẫu

22 2exp 1j i

jj j

x x in en n

với mọi 0,..., 1j n .

Vì vậy không thể phân biệt với hàm hằng ( ) 1c t , cả hai hàm này đều có véc tơ mẫu là (1,1,...,1). Điều này dẫn đến một hệ quả quan trọng cần tránh, đó là việc lấy mẫu tại n điểm

cách đều nhau không thể phân biệt các tín hiệu tuần hoàn tần số n . Một cách tổng quát hơn, hai tín hiệu mũ giá trị phức

( )i k n t i k te e

(1.119) là không thể phân biệt khi lấy mẫu. Vì vậy chỉ cần chọn n hàm mũ phức đầu tiên sau đây làm cơ sở để biểu diễn cho các tín hiệu được lấy mẫu bất kỳ tuần hoàn chu kỳ 2 với n điểm mẫu.

0( ) 1x t , 1( ) itx t e , 22( ) i tx t e , … ( 1)

1( ) i n tnx t e (1.120)

Đặc biệt hàm mũ tần số “âm” ikte có thể chuyển về dạng ( )i n k te có cùng giá trị mẫu. Chẳng

hạn ite và ( 1)i n te có cùng giá trị mẫu tại các điểm mẫu. Tuy nhiên ngoài giá trị mẫu hai

hàm này hoàn toàn khác nhau, hàm ite có tần số thấp còn ( 1)i n te có tần số cao hơn.

Hình sau cho sự so sánh đồ thị của ite và 7i te với 8n điểm mẫu.

Vì không thể phân biệt giá trị mẫu của các hàm mũ có tần số lớn hơn n (xem công

thức 2.122) do đó chỉ có thể khai triển ( )x t thành tổng của các hàm mũ có cùng giá trị mẫu tại các điểm mẫu dưới dạng

12 ( 1)

0 1 2 10

( ) ( ) ...n

it i t i n t iktn k

k

x t p t c c e c e c e c e

(1.121)

trong đó

( ) ( )j jx t p t với mọi 0,..., 1j n (1.122)

Như vậy ( )p t là đa thức lượng giác nội suy bậc 1n đối với các dữ liệu mẫu

( )j jx x t . Nếu ( )x t nhận giá trị thực thì đa thức lượng giác nội suy tương ứng được chọn là

phần thực của ( )p t .

Vì chúng ta làm việc với các dữ liệu là các véc tơ mẫu thuộc không gian phức hữu hạn

chiều n , do đó ta có thể chuyển chuỗi Fourier rời rạc về dạng véc tơ. Mẫu của các hàm của cơ sở gồm các hàm mũ (2.118) được biểu diễn dưới dạng véc tơ

0 1 1 2 / 4 / 2( 1) /, , ..., 1, , ,...,nikt ikt ikt i k n i k n i n k nk e e e e e e , 0,..., 1k n (2.123)

Vì vậy, điều kiện nội suy các giá trị điểm mẫu được viết lại dưới dạng véc tơ

0 0 1 1 1 1n nc c c x (2.124)

Hình 2.20: Đồ thị của cost và cos7t với 8 điểm mẫu

Hình 2.21: Đồ thị của sint và sin 7t với 8 điểm mẫu

Nói cách khác ta có thể tính các hệ số Fourier rời rạc 0 1 1, ,..., nc c c của ( )x t bằng

cách biểu diễn véc tơ mẫu x (công thức 2.118) thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ mẫu hàm mũ cơ sở 0 1 1, ,..., n .

Định lý 2.12: Hệ các véc tơ 0 1 1, ,..., n tạo thành một cơ sở trực chuẩn của n với tích

vô hướng trung bình xác định như sau 1

0

1;

n

j jj

x yn

x y ; 0 1 1( , ,..., )nx x x x , 0 1 1( , ,..., ) nny y y y (2.125)

Chứng minh: Để chứng minh định lý ta xét

2 / 2 2cos sini ne i

n n

E

Lũy thừa n lần ta được 2 / 2( ) 1n i n n ie e E .

Vậy E là một căn bậc n của 1: 1nE .

Có n số phức khác nhau là n căn bậc n của 1, trong đó có 1 và các lũy thừa của E , cụ thể

2 / 2 2cos sink i k n k k

e in n

E ; 0,..., 1k n (2.126)

Véc tơ k trong công thức (2.123) có thể viết lại

2 ( 1)1, , ,...,k k n kk

E E E ; 0,..., 1k n (2.127)

Từ công thức 2 11 ( 1)(1 )n nz z z z z

Suy ra

2 ( 1) 01

0 0k k n k n k

k n

nÕu

nÕuE E E (2.128)

Ngoài ra từ tính chất k n k E E có thể mở rộng công thức (2.128) cho mọi số nguyên k bất kỳ,

2 ( 1)10

k k n k n k n

nÕu lµ béi sè cña

nÕu ngîc l¹iE E E (2.129)

Từ (2.128) và (2.129) ta có 1 1

( )

0 0

11 1;

0

n njk jl j k l

k lj j

k l

k ln n

nÕu

nÕu E E E ; 0,..., 1k n (2.130)

Vậy 0 1 1, ,..., n là một cơ sở trực chuẩn.

Từ định lý 2.12 ta suy ra rằng các hệ số 0 1 1, ,..., nc c c trong công thức (1.124) là tọa

độ của véc tơ x trong cơ sở 0 1 1, ,..., n

1 1 1

0 0 0

1 1 1; j j

n n nikt ikt jk

k k j j jj j j

c x e x e xn n n

x E (2.131)

Nói cách khác, hệ số Fourier rời rạc kc có được bằng cách lấy trung bình của các giá trị mẫu

của hàm tích ( ) iktx t e .

Chuyển từ tín hiệu ( )x t thành các hệ số Fourier rời rạc gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc, ký hiệu

0 1 1( ) ( ) ( , ,..., )nDFT x t X k c c c ;

1

0

1 njk

k jj

c xn

E , 2j

jx x

n

(2.132)

Biến đổi ngược

0 1 1 0 1 1, ,..., , ,...,n nIDFT c c c x x x , 1

0

njk

j kj

x c

E (2.133)

0 1 1, ,..., nx x x là các giá trị mẫu của hàm ( )x t và đa thức lượng giác ( )p t thỏa mãn

12 ( 1)

0 1 2 10

( ) ( ) ...n

it i t i n t iktn k

k

x t p t c c e c e c e c e

. (2.134)

Ví dụ 2.67: Xét trường hợp 4n thì

2 /4 2 2cos sin

4 4ie i i

E , 2 1E , 3 i E

Từ công thức (2.127) ta có các véc tơ cơ sở

2 30 1,1,1 ,1 1,1,1,1 , 2 3

1 1, , , 1, , 1,i i i i i ,

2 32 1, 1,( 1) ,( 1) 1, 1,1, 1 , 2 3

3 1, ,( ) ,( ) 1, , 1,i i i i i .

Cho tín hiệu có các giá trị mẫu tại 4 thời điểm lấy mẫu

0 (0)x x , 1 2x x

, 2x x , 3

32

x x

.

Khi đó biểu diễn Fourier rời rạc tương ứng

0 0 1 1 2 2 3 3c c c c x

Trong đó

0 0 0 1 2 3

1; ( )

4c x x x x x , 1 1 0 1 2 3

1; ( )

4c x ix x ix x

2 2 0 1 2 3

1; ( )

4c x x x x x ,

3 3 0 1 2 3

1; ( )

4c x ix x ix x

Chẳng hạn với tín hiệu 2( ) 2x t t t

có các giá trị mẫu 0 0,x 1 7,4022x 2 9,8696x 3 7,4022x

tính toán dựa vào công thức trên ta được

0 6,1685c 1 2, 4674c 2 1,2337c 3 2,4674c

Vì vậy đa thức lượng giác nội suy là phần thực của đa thức 2 3( ) 6,1685 2,4674 1,2337 2,4674it i t i tp t e e e (2.135)

Cụ thể Re ( ) 6,1685 2,4674cos 1,2337 cos2 2, 4674cos3p t t t t

Trong hình sau chúng ta sẽ so sánh tín hiệu ( )x t và các biểu diễn Fourier với 4n và 16n .

Kết quả của đồ thị chỉ ra rằng có cản trở đáng kể đối với phép biến đổi Fourier rời rạc

đó là trong khi đa thức lượng giác nội suy một cách chính xác từ các giá trị mẫu của tín hiệu nhưng dáng điệu dao động cao làm cho chúng vượt xa tại các điểm khác điểm mẫu (hình 2.22).

Tuy nhiên khó khăn này có thể khắc phục được một cách linh hoạt. Vấn đề là ta đã không chú ý đầy đủ đến các tần số được biểu diễn trong tổng Fourier (2.124).

Hình 2.23 cho ta thấy rằng các hàm mũ với tần số cao và tần số thấp có thể cho cùng dữ liệu mẫu nhưng có sự khác nhau rõ rệt trong khoảng giữa các điểm mẫu. Một nửa các số hạng đầu trong công thức tổng Fourier (2.121) có tần số thấp, nửa còn lại có tần số cao hơn. Ta thay các hàm mũ tần số cao này bằng các hàm mũ tần số thấp hơn tương ứng, như vậy sẽ giảm bớt sự dao động của các hàm mũ.

Cụ thể với 02n

k thì ikte và ( )i n k te có cùng các giá trị mẫu, nhưng hàm ikte

có tần số thấp hơn ( )i n k te .

Hình 2.22: Biến đổi Fourier của 22 t t úng với 4n và 16n

Vì vậy ta sẽ thay các hàm mũ trong các số hạng nửa sau của tổng Fourier (2.121) bằng các hàm mũ tương ứng có tần số thấp hơn.

Nếu 2 1n m là một số lẻ thì ta có thể xét đa thức lượng giác nội suy như sau

1 0 1( ) ... ...m

imt it it imt iktm m k

k m

p t c e c e c c e c e c e

(2.136)

Nếu 2n m là một số chẵn thì ta có thể xét đa thức lượng giác nội suy như sau 1

( 1)1 0 1 1( ) ... ...

mimt it it i m t ikt

m m kk m

p t c e c e c c e c e c e

(2.137)

Trở lại ví dụ trên, ta thay đa thức lượng giác nội suy (2.135) bằng đa thức dạng (2.137) 2( ) 1,2337 2,4674 6,1685 2, 4674i t it itp t e e e

Re ( ) 6,1685 4,9348 cos 1,2337 cos2p t t t (2.138)

Hình 2.23 sau đây so sánh đồ thị của hàm gốc 22 t t và các đa thức lượng giác nội suy gồm các hàm mũ tần số thấp ứng với 4n và 16n .

Như vậy, bằng cách sử dụng tần số thấp ta có thể nội suy một hàm cho trước bằng đa thức lượng giác cùng giá trị mẫu.

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm ( )x t liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2 , và khả vi liên tục từng khúc thì đa thức lượng giác nội suy (2.136)-(2.137) hội tụ đều về ( )x t khi số các điểm mẫu n .

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1.11. Hàm ảnh ( )X s của biến đổi Laplace là một hàm giải tích trong nửa mặt phẳng.

Đúng Sai . 1.12. Nếu ( )x t là hàm gốc thì đạo hàm '( )x t cũng là hàm gốc.

Đúng Sai .

Hình 2.23: Biến đổi Fourier tần số thấp của 22 t t ứng với 4n và 16n

1.13. Nếu ( )x t là hàm gốc thì tích phân 0

( ) ( )t

t x u du cũng là hàm gốc.

Đúng Sai . 1.14. Phép biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính. Đúng Sai . 1.15. Biến đổi Laplace của tích hai hàm gốc bằng tích hai hàm ảnh. Đúng Sai . 1.16. Chỉ có các hàm tuần hoàn mới tồn tại biến đổi Fourier. Đúng Sai . 1.17. Phép biến đổi Fourier hữu hạn được sử dụng để khảo sát các tín hiệu rời rạc

( )n

x n

.

Đúng Sai . 1.18. Mọi hàm gốc của biến đổi Laplace đều tồn tại biến đổi Fourier. Đúng Sai .

1.19. Phép biến đổi Fourier rời rạc áp dụng cho các dãy tín hiệu ( )x n tuần hoàn chu kỳ

N . Đúng Sai . 1.20. Phép biến đổi Fourier biến miền thời gian về miền tần số. Đúng Sai . 2.11 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau:

a. 3sin t b. 4cos t c. 2 cosh 3te t

d. 31 tte e. cosh2 cost t f. sin2 cos 4te t t .

2.12 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau:

a. cosh 3t t b. cos cosht t a t c. 2 sint t

d. sin 4tt

e. cos cosat btt f.

at bte et

.

2.13 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc:

a. 2( )cos ( )t b t b b. 21 1( )0 0 1

t tx tt

nÕu

nÕu

c. 0 1

( ) 2 1 2

0 2

t t

x t t t

t

nÕu

nÕu

nÕu

d. cos 0

( )sin

t tx t

t t

nÕu

nÕu .

2.14 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc:

a. 2

0

( )t

ux t u u e du b. 0

( ) ( 1)cost

x t u udu

c. 2

0

( ) cos( )t

ux t t u e du d. 0

1( )

t uex t du

u

2.15 Chứng minh rằng nếu ( ) ( )X s x t L thì 1

1 20 0

( )( )

ttX s

dt x u dus

L .

2.16 Gọi 0( )J t là hàm Bessel bậc 0 (nghiệm của phương trình vi phân " ' 0tx x tx với

điều kiện ban đầu 0(0) 1J . Chứng minh:

a. 0 2

1( )

1J t

s

L b. 0 2 2

1( )J at

s a

L

c. 2 2

202 2(2 ) 2

4 8

td se J t s

dt s s

L .

d. 0 2 3

1( )

( 2 2)

t ste J t

s s

L .

e. Sử dụng kết quả a. suy ra 00

( ) 1J t dt

và 00

2( )

2te J t dt

.

2.17 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc tuần hoàn có đồ thị hoặc xác định như sau:

a.

b.

c.

d. ( ) cosx t t .

2.18 Sử dung công thức định nghĩa Laplace tính các tích phân sau:

1

1

t 1 2 3 4 5 6 7

1

t 1 2 3 4 5 6 7

1

t 1 2 3 4 5 6 7

a. 3

0

sintt e t dt

b. 0

sinte tdt

t

c. 0

cos6 cos 4t tdt

t

d. 3 6

0

t te edt

t

e.

2

20

sin tdt

t

.

2.19 a. Chứng minh rằng biến đổi Laplace 2 1

2 2 2

(2 1)!sin

1 (2 1)

n nt

s s n

L .

b. Chứng minh rằng biến đổi Laplace 2

2 2 2

(2 )!sin

4 (2 )

n nt

s s s n

L .

2.20 Tìm hàm gốc của các hàm số sau:

a. 2

3( 1)

s

s b.

2

3

6 11

s

s s

c.

2

6 4

4 20

s

s s

d. 2

4 12

8 16

s

s s

e.

3

22 4

s

s f.

2

2

3 2

4 6

s

s s

.

2.21 Tìm hàm gốc:

a. 2

3 1

( 1) 1

s

s s

b.

3 3

1

1s s c.

2

1

( 3) 2 2

s

s s s

d. 2

2

5 15 11

( 1)( 2)

s s

s s

e.

2

2 2

2 3

2 2 2 5

s s

s s s s

f.

2

22 2

s

s a.

2.22 Tìm hàm gốc:

a. 4 3 2

5 4 3

9 16 4 5

4 5

s s s s

s s s

b.

2

4 4

1

( 3)

se

s s

c. 3

2( 1)

s

e

s s

d. 3

1

s e. 1

2 3s f.

4 3

5( 4)

se

s

.

2.23 Sử dụng phép biến đổi Laplace hãy nghiệm lại các tích chập sau

a. 1*1 t b. 1 * 1t te e c. 2

2 23

4* sin( ) sin

2t at

t ata a

d. ( ) * ( ) ( )t t te t e t te t e. 2 2( ) * ( ) ( ) ( )t t t te t e t e e t

f.

0, 0

, 0 2( ) ( 2) * ( ) ( 2)

4 , 2 4

0, 4

t

t tt t t t

t t

t

.

2.24 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với các điều kiện đầu:

a. 2" 2 ' tx x x t e , (0) '(0) 0x x .

b. "' 3 " 3 ' 6 tx x x x e , (0) '(0) "(0) 0x x x .

c. " 4 sin 5cos2x x t t , (0) 1, '(0) 2x x .

d. " 9 cos2x x t , (0) 1, ( / 2) 1x x .

2.25 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với các điều kiện đầu:

a. 2" ( )x a x f t , (0) 1, '(0) 2x x .

b. 2" ( )x a x g t , 1 2(0) , '(0)x C x C .

2.26 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên " 2 ' 0tx x tx thỏa mãn điều kiện đầu (0) 1, '( ) 0x x

2.27 Giải hệ phương trình:

a. ' '

" t

x y t

x y e


(0) 3, '(0) 2

(0) 0

x x

y

.

b. ' ' 2 2 sin

" 2 ' 0

x y x y t

x y x


(0) '(0) 0

(0) 0

x x

y

.

c. 3 " 3 " 3 cos

" ' sin

tx y te t

tx y t


(0) 1, '(0) 2

(0) 4, '(0) 0

x x

y y

.

2.28 Cho mạch điện cho trong hình 2.24 được nối tiến với suất điện động E volts, điện dung 0,02 farads, hệ số tự cảm 2 henry và điện trở 16 Ohms. Tại thời điểm t = 0 điện lượng ở tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch bằng 0. Tìm điện lượng và cường độ dòng điện tại thời điểm t nếu:

a. E = 300 (Volts) b. E = 100 sin3t (Volts)

2.29 Cho mạch điện cho trong hình 2.25. Xác định cường độ trong các nhánh biến rằng cường độ ban đầu bằng 0.

E

FC 02.0

16

h2

Hình 2.24

2.30 Tìm trở kháng ảnh tương đương của hai mạch rẽ cho trong hình 2.26:

2.31 Cho mạch điện như hình 2.27:

500 sin10 1 henryE t L

1 210 ohms 10 ohmsR R

0,01 faradC .

Nếu điện thế ở tụ điện và cường độ

1 2,i i bằng không tại thời điểm 0t .

Tìm điện lượng tại tụ điện tại thời điểm 0t .

2.32 Tìm nghiệm của bài toán: 2

2

u ut x

, với điều kiện đầu

( ,0) 3 sin2 , 0 1u x x x và điều kiện biên:

(0, ) 0

(1, ) 0 , 0.

u t

u t t

2.33 Cho ( )x t là hàm tuần hoàn chu kỳ 10 và 0 5 0

( )3 0 5

tx t

t

nÕu

nÕu

a. Tìm chuỗi Fourier của ( )x t .

b. ( )x t nhận giá trị bao nhiêu tại 5,0,5t để chuỗi Fourier hội tụ về ( )x t với mọi

[ 5;5]t .

2.34 Cho ( ) 2 , 0 4x t t t .

a. Tìm khai triển Fourier của ( )x t theo các hàm sin .

b. Tìm khai triển Fourier của ( )x t theo các hàm cos .

2.35 Viết các chuỗi Fourier dạng cầu phương sau về dạng cực.

a. 1

sin (2 1)1 2( )

2 2 1n

n tx t

n

VoltE 110

h2

h4

30

10

20

i 1i

2i

Hình 2.25

2R C

1R L

Hình 2.26

E

C

L

1R 2R

1i

2i

Hình 2.27

b. 1

( 1)( ) 2 sin( )

n

n

x t ntn

.

2.36 Viết chuỗi Fourier dạng phức của các hàm số sau a. ( ) | |,x t t t

b. ( ) , 0 2x t t t

c. 0 / 2 0

( )1 0 / 2

tx t

t

nÕu

nÕu

2.37 Cho dãy tín hiệu rời rạc 1 / 3 0

( )0 0

n nx n

n

.

a. Tìm biến đổi Z của ( )x n .

b. Tìm biến đổi Fourier của ( )x n .

c. Tìm biến đổi Fourier của ( ) ( )y n nx n .

2.38 Tìm biến đổi Fourier ngược của 02

0( )0

i fne f fX f

nÕu ngîc l¹i

trong trường hợp 0 0

1, 4

4f n .

2.39 a. Tìm biến đổi Fourier của 1

( )0 | |

T t Tx t

t T

nÕu

nÕu

b. Hãy suy ra giá trị của tích phân sin cosT t

d

.

c. Tính 0

sinudu

u

.

d. Áp dụng đẳng thức Parseval cho hàm ( )x t ở câu a, suy ra giá trị của tích phân:

2

20

sin udu

u

.

2.40 Tìm hàm chẵn thỏa mãn phương trình tích phân

0

1 0 1( )cos

0 1x t t dt

nÕu

nÕu .

2.41 Chứng minh rằng 2

0

cos21

ttd e

.

2.42 Tìm biến đổi Fourier của các hàm số sau:

a. 0( ) ( / )sinx t t T t . b. | |

1 | |( / )0 | |

tt Tt T Tt T

.

2.43 Tìm biến đổi Fourier của các hàm số sau:

a. / 0

( )0 0

t Te tx t

t

, 0T . b. ( )

t

Tx t e

, 0T .

c. 2 2

1( ) , 0x t a

t a

. d.

21 1 1( )

0 | | 1

t tx t

t

nÕu

nÕu

e. 2 2 2

( ) , 0( )

tx t a

t a

f. ( ) ( ) cos( ), 0atx t t e bt a

2.44 Sử dụng công thức Parseval cho hàm ( ) ( ) sin( ), 0atx t t e bt a suy ra đẳng thức

2 2 2 2 2 2 2 20

2( ) 4 2 ( )

du

u a b a b a a b

.

2.45 Chứng minh các tính chất (2.107) của phép biến đổi Fourier.

CHƯƠNG 3

CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính cộng,

trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp của các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số. Hàm không phải sơ cấp được gọi là hàm siêu việt. Các hàm số thường gặp là các hàm sơ cấp, tuy nhiên có một số hàm siêu việt và hàm theo nghĩa suy rộng được sử dụng nhiều trong kỹ thuật nói chung và trong ngành điện tử viễn thông nói riêng.

Trong chương này ta xét các hàm siêu việt sau: Hàm delta, hàm Gamma hàm Beta, các hàm tích phân, hàm xác suất lỗi và các hàm Bessel. Đối với mỗi hàm ta khảo sát các tính chất của chúng, tìm biến đổi Laplace và khai triển Mac Laurin.

3.1 HÀM DELTA 3.1.1 Khái niệm hàm delta

Hàm delta còn gọi là hàm Dirac (hoặc hàm xung đơn vị), là một hàm số suy rộng. Hàm xung đơn vị tại 0t t được ký hiệu là

0( )t t thỏa mãn hai điều kiện sau:

vì 0( )t t là hàm xung nên chỉ tập trung giá trị tại 0t t , nghĩa là

0( ) 0t t với mọi 0t t , (3.1)

xung đơn vị đòi hỏi tích phân bằng 1, nghĩa là

0( ) 1t t dt

. (3.2)

Rõ ràng rằng không tồn tại hàm theo nghĩa thông thường thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên, vì hàm thỏa mãn điều kiện (3.1) sẽ có tích phân bằng 0.

Kỹ sư Oliver Heaviside là người đầu tiên sử dụng hàm delta để biểu diễn các kết quả trong công trình của mình, mặc dù các nhà toán học lý thuyết cùng thời cho rằng đó là ý nghĩ điên rồ. Ba mươi năm sau, nhà Vật lý lý thuyết nổi tiếng Paul Dirac đã sử dụng hàm delta trong lý thuyết cơ học lượng tử của mình, nhờ đó cuối cùng các nhà lý thuyết đã chập nhận hàm delta. Năm 1944 nhà toán học Pháp Laurent Schwartz cuối cùng đã xây dựng được lý thuyết phân bố kết hợp với hàm suy rộng, điều này giải thích cơ sở tồn tại của hàm delta.

Có thể sử dụng hàm delta để biểu diễn các tín hiệu có nhiễu. Có hai cách khác nhau để xây dựng hàm delta:

Cách thứ nhất xem hàm delta là giới hạn của dãy hàm trơn theo nghĩa thông thường.

Cách thứ hai xem hàm delta như là một phiếm hàm tuyến tính của không gian hàm thích hợp.

Cả hai đều quan trọng và đáng quan tâm. Tuy nhiên cách thứ nhất sẽ dễ dàng tiếp thu hơn, vì vậy ta chỉ xét phương pháp này.

Phương pháp giới hạn xem hàm delta 0( )t t là giới hạn của dãy hàm khả vi ( )ng t có

giá trị ngày càng tập trung tại 0t t và có tích phân luôn bằng 1.

Chẳng hạn xét dãy hàm 2 2

( )(1 )

nn

g tn t

thỏa mãn hai điều kiện

0 0lim ( )

0nn

tg t

t

nÕu

nÕu (3.3)

1( ) arctan 1n t

g t dt n t

(3.4)

Vì vậy, một cách hình thức ta đồng nhất giới hạn của dãy hàm ( )ng t là hàm delta tập trung tại

gốc 0t .

0lim ( ) ( ) ( )nng t t t

. (3.5)

Hình 3.1 cho thấy các hàm ( )ng t có giá trị ngày càng tập trung tại gốc 0t .

Cần chú ý rằng có nhiều cách chọn các hàm ( )ng t có giới hạn là hàm delta.

Hàm delta 0( )t t có giá trị tập trung tại 0t bất kỳ có thể nhận được từ hàm ( )t bằng

cách tịnh tiến

0 0( ) ( )t t t t . (3.6)

Vì vậy, có thể xem 0( )t t là giới hạn của dãy hàm

Hình 3.1: Đồ thị các hàm ( )ng t

0 2 20

( ) ( )1 ( )

n nn

g t g t tn t t

(3.7)

Tích chập của hàm delta Từ (3.2) và (3.6) ta có công thức tính tích chập của hàm delta.

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t t t dt f t

(3.8)

3.1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm delta Từ công thức (3.1)-(3.2) ta có Với mọi hàm liên tục ( )x t :

0

( ) 0( ) ( )

0

l

v

x v v lt x t dt

nÕu

nÕu ngîc l¹i (3.9)

Do đó

1( ) ( )

0

t

v

t vu du t v

t v

nÕu

nÕu (3.10)

Theo định nghĩa thông thường của nguyên hàm, từ công thức (3.10) ta có thể xem hàm bước nhảy là một nguyên hàm của hàm delta, do đó đạo hàm của hàm bước nhảy là hàm delta. Sự khác biệt ở đây là mặc dù hàm delta là hàm suy rộng nhưng hàm bước nhảy là hàm số theo nghĩa thông thường.

Công thức (3.10) cũng phù hợp với định nghĩa của hàm delta theo giới hạn của dãy hàm ( )ng t có dãy các nguyên hàm ( )nf t hội tụ về hàm bước nhảy

2 2

1 1( ) arctan +

21

t

nn

f t du ntn u

Các hàm này sẽ hội tụ về hàm bước nhảy 1 0

lim ( ) ( ) 1/ 2 0

0 0nn

t

f t t t

t

nÕu

nÕu

nÕu

Với nhận xét trên ta có thể coi

Hình 3.2: Đồ thị của hàm bước nhảy như là giới hạn của dãy hàm ( )nf t

( )( )

d tt

dt

(3.11)

Đối với các hàm số theo nghĩa thông thường tính liên tục là điều kiện cần của tính khả vi, như vậy hàm không liên tục thì không khả vi. Tuy nhiên người ta có thể mở rộng khái niệm đạo hàm của các hàm không liên tục có đạo hàm là hàm suy rộng, với các hàm delta tập trung giá trị tại những điểm gián đoạn.

Giả sử ( )x t là hàm khả vi (theo nghĩa thông thường) tại mọi t ngoại trừ tại điểm gián

đoạn 0t với bước nhảy , khi đó ta có thể biểu diễn lại hàm ( )x t dưới dạng tiện lợi hơn

0( ) ( ) ( )x t y t t t (3.12)

Trong đó ( )y t là hàm liên tục tại mọi điểm và khả vi tại mọi điểm có thể trừ điểm gián đoạn. Đạo hàm công thức (3.12) và áp dụng công thức (3.11) ta được

0'( ) '( ) ( )x t y t t t (3.13)

Ví dụ 3.1: Xét hàm số 2

1( ) 1

15

t tx t

t t

nÕu

nÕu

Hàm số gián đoạn tại 1t với bước nhảy 65

(có đồ thị trong hình 3.3).

Do đó có thể biểu diễn theo công thức (3.13) như sau

6( ) ( ) ( 1)

5x t y t t ,

2

1( ) 1 6

15 5

t ty t

t t

nÕu

nÕu

Công thức đạo hàm (3.13) tương ứng

6'( ) '( ) ( 1)

5x t y t t ,

1 1'( ) 2

15

ty t

t t

nÕu

nÕu

Đồ thị hàm ( )x t

Đồ thị hàm '( )x t

Hình 3.3: Đồ thị của ( )x t và đạo hàm '( )x t ví dụ 3.1

Ví dụ 3.2: Xét hàm số 2

0

( ) 1 0 1

2 1t

t t

x t t t

e t

nÕu

nÕu

nÕu

Hàm số gián đoạn tại 0t với bước nhảy 1 và tại 1t với bước nhảy 2e

(có đồ thị trong

hình 3.4), do đó đạo hàm suy rộng có dạng

1 02

'( ) ( ) ( 1) 2 0 1

2 1t

t

x t t t t te

e t

nÕu

nÕu

nÕu

Tích phân của hàm bước nhảy 0( )t t (hàm gián đoạn) là hàm dốc liên tục 0( )u t t

(xem hình 3.5).

0 0( ) ( )t t t t ; 0 0

0 00

0

( ) ( ) ( )0

t

t ta

t t t t at dt u t u t t

a t t

nÕu

nÕu (3.14)

Hàm dốc 0( )u t t có điểm góc tại 0t t do đó không khả vi tại điểm này; đạo hàm

( )du

tdt

gián đoạn tại điểm này và đạo hàm bậc hai 2

2

d u

dt là hàm suy rộng.

Hình 3.5: Đồ thị của hàm bước nhảy và hàm dốc

t0t

1

0( )t t

t0t

0( )u t t

Hình 3.4: Đồ thị của ( )x t và đạo hàm '( )x t ví dụ 3.2

'( )x t

( )x t

t t

/ 2e

Như vậy lấy tích phân hai lần của hàm delta ta được hàm dốc. Bằng cách quy nạp ta có tích phân 1n lần của hàm delta là hàm dốc bậc n

00

0

0

( )( ) !

0

n

n

t tt tu t t nt t

nÕu

nÕu (3.15)

Ví dụ 3.3: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X xác định bởi công thức:

( )XF x P X x , với mọi x .

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì tồn tại hàm mật độ xác suất ( )Xf x sao cho

( ) ( )x

X XF x f t dt

, với mọi x

Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc có miền giá trị là một tập đếm được 1 2, , ...XR x x , phân

bố xác suất chỉ tập trung tại các giá trị này. Xác suất của X nhận các giá trị ; 1,2, ...kx k gọi là hàm khối lượng xác suất

( )X k kp x P X x

Hàm phân bố xác suất được xác định từ hàm khối lượng xác suất theo công thức

( ) ( )k

X X kx x

F x P X x p x

Đồ thị của hàm phân bố ( )XF x là có dạng bậc thang liên tục phải tại các bước nhảy.

Sử dụng công thức (3.6) và (3.10) ta có thể viết lại

;

( ) ( ) ( ) ( )k k X k X

x

X X k X k kx x x R x R

F x p x p x t x dt

Vì vậy ta có thể xem hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc là

( ) ( ) ( )k X

X X k kx R

f x p x x x

.

Hình 3.6: Đồ thị của hàm dốc bậc nhất và hàm dốc bậc hai

3.1.3 Khai triển Fourier của hàm delta Áp dụng công thức (2.57) tính hệ số Fourier ta có

-

1 1 1( )cos cos 0na t ntdt n

, -

1 1( )sin sin 0 0nb t ntdt n

(3.16)

Vậy hàm delta có khai triển Fourier

1 1( ) cos cos2 cos 3

2t t t t

(3.17)

Thay ik ik

cos2

t te ekt

(công thức Euler) vào (3.17) ta được

ik 2 21 1( ) 1

2 2t it it it it

k

t e e e e e

(3.18)

Cũng có thể nhận được công thức khai triển trên bằng cách tính trực tiếp các hệ số theo công thức (2.73) và (3.2)

ik 0

-

1 1 1( )

2 2 2t ik

kc t e dt e

.

Tổng riêng của chuỗi Fourier

ik12

nt

nk n

s e

Hình 3.7: Đồ thị các tổng riêng của chuỗi Fourier hàm delta

là tổng của 2 1n số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là in te và công bội ite , do

đó: in(2 1) ( 1)

in1 1 12 21 1

ti n t i n tt

n it it

e e es e

e e

1 12 2

/2 /2

1sin

21 12 2 1

sin2

i n t i n t

it it

n te e

e e t

3.1.4 Biến đổi Fourier của hàm delta Trong chương 2 ta xét biến đổi Fourier của các hàm khả tích tuyệt đối trên tập số thực. Đối với các hàm không khả tích tuyệt đối (chẳng hạn hàm sin hàm cosin) ta cũng có thể tìm biến đổi Fourier mở rộng thông qua biến đổi Fourier của hàm delta.

Theo điều kiện (3.2) ta có thể tính biến đổi Fourier của hàm delta

2( ) ( ) 1i ftt t e dt

F ,

0220 0( ) ( ) i t fi ftt t t t e dt e

F

(3.19)

Từ công thức (3.19) ta được biến đổi ngược

1 2( ) 1 i ftt e df

F , 0210( )i t fe t t F . (3.20)

Từ công thức (3.20) ta có

0 0 02 2 2 ( )1 20( ) i t f i t f i t t fi tft t e e e df e df

F (3.21)

Theo giả thiết ( )t là hàm chẵn, do đó

2( ) ( ) i ftt t e df

.

Từ công thức (3.21) ta được

0 0 02 ( ) 2 2 ( )0 0( ) ( )i f f t i f t i f f te dt f f e e dt f f

F (3.22)

Tương tự

0 02 2 ( )0( )i f t i f f te e dt f f

F (3.23)

Áp dụng tính đồng dạng của biến đổi Fourier ta có

1( ) ( )at t

a . (3.24)

Hoặc có thể tính trực tiếp

1 ( )( ) ( ) ( ) (0) ( ) , 0

t dt tf t at dt f t f f t dt a

a a a a

vì vậy 1

( ) ( ), 0at t aa

.

Ngoài ra ( ) ( )at at .

Do đó ta cũng có 1

( ) ( )at ta

0 02 2

0sin(2 )2

i f t i f te ef t

i

, 0 02 2

0cos(2 )2

i f t i f te ef t

0 02 20 0 0

1 1sin(2 ) ( ) ( )

2 2i f t i f tf t e e f f f f

i i F F F

(3.25)

0 02 20 0 0

1 1cos(2 ) ( ) ( )

2 2i f t i f tf t e e f f f f F F F . (3.26)

Công thức (3.11) chứng tỏ hàm bước nhảy đơn vị ( )t là một nguyên hàm theo nghĩa rộng của hàm delta.

Hàm ( )t không khả tích tuyệt đối trong toàn bộ trục thực nhưng từ tính chất biến đổi Fourier của tích phân (Tính chất 2.3 mục 9. chương 2) ta có thể mở rộng và xem

1 1( ) ( ) ( )

2 2

t

t d fi f

F F . (3.27)

Ví dụ 3.4: Hàm dấu

1 0

sgn( ) ( ) ( )1 0

tt t t

t

nÕu

nÕu (3.28)

1 1 1 1 1sgn( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2t t t f f

i f i f i f

F F F .

3.2 CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN 3.2.1 Công thức xác định các hàm số tích phân Định nghĩa 3.1:

Hàm tích phân mũ xác định bới tích phân suy rộng phụ thuộc cận dưới với mọi

Ei( )u

t

et du

u

(3.29)

Hàm tích phân sin

0

sinSi( )

tu

t duu

(3.30)

Hàm tích phân cosin

cosCi( )

t

ut du

u

(3.31)

Ngoài ra ký hiệu:

sinsi( )

t

ut du

u

cũng đọc là tích phân sin của 0t

vì 0

sin2

udu

u

Suy ra Si( ) si( )2

t t

.

Hàm lỗi (error function) xác định với mọi 0t

2

0

2erf( )

t ut e du

(3.32)

Hàm mật độ của phân bố chuẩn tắc (0,1)N :

2

21( )

2

t

t e

gọi là hàm Gauss. Đồ thị của hàm Gauss được cho trên hình 3.8:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục Ot và đồ thị hàm số Gauss bằng 1, thật vậy: 2 2

2 2

0

1 2( )

2

t t

S t dt e dt e dt

Đặt 1

2 2

0

1 1 12 1

2ut u S e u du

2

1

( )t

21

O

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm Gauss, nửa trục hoành bên trái tính từ điểm có

hoành độ t sẽ là hàm phân phối chuẩn tắc

2

21( )

2

t u

t e du

(3.33)

Đặt 2x u vào (3.26) sẽ có: 2

22

0

2erf( )

2

xt dx

t e

2

2

0

2erf

2

t ut

e du

(3.34)

Mặt khác 2021 1

22

u

e du

và 2 2

2 2

0 0

2 22 ( ) 1

2

t tu u

e du e du t

,

ta được

erf 2 2 1t t (3.35)

Các hàm erf( )t và ( )t đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt thường được sử dụng khi phân tích các nhiễu tín hiệu.

Bảng tính các giá trị của hàm ( )t được cho trong phụ lục E.

Ví dụ 3.5: Tính erf 1 .

Giải: Áp dụng công thức (3.35) ta có erf 1 2 2 1 .

Tra bảng ta được 2 0,8729 . Vậy erf 1 2.0, 8729 1 0,7458 .

3.2.2 Khai triển các hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa (*) Đế tìm khai triển Mac Laurin của hàm tích phân sin ta sử dụng khai triển Mac Laurin

của hàm sintt

.

2 1 2

0 0

sinsin ( 1) ( 1)

(2 1)! (2 1)!

n nn n

n n

t t tt

n t n

Do đó 2 1

00

sinSi( ) ( 1)

(2 1)!(2 1)

t nn

n

u tt du

u n n

3.36)

Ta tiếp tục tìm khai triển Mac Laurin của hàm tích phân mũ và tích phân cosin bằng cách sử dụng biến đổi Laplace:

0

Ei( )u

st

t

et e du dt

u

L , đổi biến số

u duv dv

t t

0 1 1 0 1

1 1 1Ei( )

tvst st vte

t e dv dt e e dt dv dvv v v v s

L

11 1

1 1 1 1 1 1 1ln ln 1

v

vdv dv s

v v s s v v s s v s s

1Ei( ) ln 1t s

s L (3.37)

20

1 1 1 1 ( 1)ln 1 ln ln 1 ln

( 1)

n

nn

s s ss s s s n s

.

Sử dụng công thức tìm biến đổi Laplace ngược (2.23) và

1 lnln

st

s

L (3.35)

1 1lim (1 .... ln )

2mm

m

(3.36)

gọi là hằng số Euler. Ta có khai triển Mac Laurin của hàm tích phân mũ

1

1

( 1)Ei( ) ln

1 ( 1)!

n n

n

tt t

n n

(3.37)

Tương tự trường hợp hàm Ei( )t , bằng cách đổi biến số u

vt

ta được

0 0 1

cos cosCi( ) st st

t

u tvt e du dt e dv dt

u v

L

1 0

1Ci( ) cosstt e tvdt dv

v

L

Sử dụng biến đổi Laplace của hàm cosin ta được

2 21 0 1

1 1cosst s

e tvdt dv dvv v s v

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

( )

s sv v v v vv s s s vs v v s v v s v v s v s v

22 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1ln ln 1

2s v v

dv dv sv s v s ss v s v s v

21Ci( ) ln 1

2t s

s L (3.41)

2 22 2 3

0

1 1 1 1 ( 1)ln 1 ln ln 1 ln

2 2 2( 1)

n

nn

s s ss s ss n s

,

22 1

1

1 1 ( 1)ln 1 ln

2 (2 )

n

nn

s ss s n s

.

Sử dụng công thức tìm biến đổi Laplace ngược (2.23) và công thức (3.35) ta được 2

1

Ci( ) ln ( 1)(2 )!2

nn

n

tt t

n n

(3.42)

Mặt khác, từ khai triển 2

0

cos ( 1)(2 )!

nn

n

tt

n

Suy ra 2 1

1

cos 1( 1)

(2 )!

nn

n

t tt n

,

Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên ta được

2

1 0

1 cos( 1)

(2 )!2

tnn

n

t udu

n n u

.

Kết hợp với công thức (3.42) ta có

0

1 cosCi( ) ln

tu

t t duu

(3.43)

Khai triển luỹ thừa của hàm lỗi

22

0

( 1) !

nt n

n

te

n

22 1

00

( 1)!(2 1)

t nu n

n

te du

n n

,

Do đó 3 5 2 12

erf( ) ( 1) 1!3 2!5 !(2 1)

nnt t t

t tn n

(3.41)

Chuỗi ở vế phải hội tụ với mọi t .

Với t khá bé ( ký hiệu 1t ) sẽ nhận được các công thức sấp xỉ như sau :

Si( ) , Ci( ) ln , Ei( ) lnt t t t t t , 2erf( )t t

. (3.45)

Các công thức gần đúng cho phép xác định các giá trị Si( )t và Ci( )t .

Đồ thị của các hàm Si( )t và Ci( )t cho ở hình 3.9.

3.3 HÀM GAMMA, HÀM BETA 3.3.1 Định nghĩa hàm Gamma (Gauss) Hàm Gamma là hàm siêu việt mở rộng từ hàm giai thừa xác định với mọi số tự nhiên n theo công thức ! ( 1)...2.1n n n .

Hàm giai thừa ( ) !f n n thỏa mãn hai điều kiện ( 1) ( )f n nf n và (1) 1f . Ta mở rộng hàm giai thừa thành hàm Gamma với biến số phức thỏa mãn hai điều kiện trên. Định nghĩa 3.2: Hàm số Gamma, ký hiệu ( )z , là hàm số biến số phức xác định với mọi số phức khác nguyên âm 0, 1, 2,...z cho bởi biểu thức:

!( ) lim

( 1)( 2)...( )

z

m

m mz

z z z z m

(3.46)

Ngoài định nghĩa hàm Gamma theo công thức (3.46) của Gauss, ta có hai định nghĩa tương đương sau. Định lý 3.1: Hàm gamma có các dạng sau đây:

1. Công thức Weierstrass:

1

1. 1

( )

zz m

m

zze e

z m

(3.47)

trong đó là hằng số Euler (công thức 3.33), thường lấy gần đúng

31( 10 1) 0,57721566

2

2. Công thức Euler: Trường hợp Re 0z ta có công thức

+2

t

2

1 2 3 4 5 6 7 0

Hình 3.9: Đồ thị của các hàm Si( )t và Ci( )t

Si( )t

Ci( )t

1

0

( ) t zz e t dt

nếu Re 0z (3.48)

Khi Re 0z tích phân suy rộng theo cận dưới 1

0

t ze t dt

không hội tụ.

Chứng minh:

1.

1

1 21lim lim 1

( ) !

mz

zm m k

z z z z m zz m

z km m

1 11 ...

2ln ln

1 1

lim 1 lim 1zm mz

mz m z m km mk k

z zz e z e e e

k k

1 11 ... ln

2

1 1

lim 1 1z zmz m

m zk mm k m

z zz e e ze e

k m

.

2. Để chứng minh công thức (3.48) chúng ta hãy tính tích phân sau

1

0

1nn

zn

tI t dt

n

Đổi biến số t

x t nx dt ndxn

, thay vào nI ta được

11

0

(1 )z n znI n x x dx .

Ta sẽ chứng minh

11

0

!(1 )

1n z n

x x dxz z z n

khi Re 0z

Tích phân từng phần sẽ có: 11 1

1 1

0 00

(1 )(1 ) (1 )

n zn z z nx x n

x x dx x x dxz z

Nếu Re 0z thì 0

lim 0z

xx

Suy ra: 1 1

1 1

0 0

(1 ) (1 )n z n znx x dx x x dx

z

1 1

1 2 1

0 0

1(1 ) (1 )

1n z n zn

x x dx x x dxz

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 1

2 1

0 0

1 1(1 )

1 ( 1)( )z n z nx x dx x dx

z n z n z n

Cuối cùng ta được: 1

1

0

!(1 )

( 1)...( )n z n

x x dxz z z n

Do đó 1

0

!1

( 1)...( )

n znz

n

n ntt dt I

n z z z n

.

Mặt khác 1 1

0 0

lim 1nn

z t z

n

tt dt e t dt

n

Từ công thức (3.46) suy ra

1

0

( ) lim t znn

z I e t dt

.

Ví dụ 3.6: Chứng minh 1

( 1); 1, 0t s

s

L .

Giải: 0

stt e t dt

L . Đặt u st du sdt ; u

ts

1 10 0 0

1 ( 1)st u uu due t dt e e u du

ss s s

.

3.3.2 Các tính chất của hàm Gamma a.

1z z z , với mọi 0, 1, 2,...z (3.49)

(1) 1 . (3.50)

Với mọi z n : 1 ! 1 !n n n (3.51)

Chứng minh: Từ (3.46) ta có 1! !

( 1) lim lim( 1)( 2)....( 1) ( 1)( 2)....( ) 1

z z

m m

m m m m zmz

z z z m z z z z m z m

( ) lim ( ).1m

mzz z z

z m

. !(1) lim lim 1

1.2...( 1) 1m m

m m mm m

.

Đồ thị hàm số Gamma với z là số thực cho trên hình 3.10 (theo công thức (3.46)).

( 1)t

4 3

b.

1sin

z zz

, với mọi 0, 1, 2,...z (3.52)

Chứng minh: Từ ( 3.47) ta có:

2

21 1 1

11 ( ) 1 ( ). 1

( ). ( )

z zz zm m

m m m

z z zze e z e e z z

z z m m m

Theo (3.49): 1 z z z ,

Do đó 2

21

11

( ). (1 ) m

zz

z z m

.

Vậy để chứng minh công thức (3.52) ta chỉ cần chứng minh: 2

21

sin1

m

z zz

m

.

Trước hết ta khai triển Fourier hàm số ( ) cosy t t trong ; với .

Vì ( )y t là hàm chẵn, do đó ta có

0nb , 00

2 2 sincosa t dt

0 0

2 1cos cos cos( ) cos( )na t nt dt n t n t dt

1 sin( ) sin( )n nn n

sin( ) sin cos sin cos ( 1) sinnn n n

sin( ) sin cos sin cos ( 1) sinnn n n

1 sin( ) sin( ) ( 1) sin 1 1nn nn n n n

2 2

2 ( 1) sin

( )

n

nan

.

2 2 21

2 sin 1 ( 1) coscos

2

n

n

ntt

n

Thay ,t x vào công thức trên và chia hai vế cho sin x ta được:

2 2 21

2 1 ( 1) coscot

2

n

n

x nx

x x n

2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1....

2 1 2 3

x

x x x x

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1cot ....

1 2 3

xx

x x x x

2 2 2 20 0

1 2 1 1cot ...

1 2

t t

x dx x dxx x x

Vì rằng: 0

sinlimx

xx

Do đó tích phân vế trái

0 0 0

1 cos 1 1 cos 1cot

sin sin

t t tx x

x dx dx dxx x x x x

0

1 sin 1 sin 1 sinln ln ln ln

tx t t

x t t

.

Tích phân của vế phải

2 2 2 2 2 2 2 20 0

2 1 1 1 2 2... ...

1 2 1 2

t tx x

x dx dxx x x x

2 2 2 2 2

01 1

1 1ln( ) ln( ) ln

n n

tn x n t n

2 2

2 211

1 1ln 1 ln 1

nn

t t

n n

Vậy 2 2

2 21 1

sin sinln ln 1 1

n n

t t t tt tn n

. Từ đó nhận được (3.52).

c.

Từ (3.52) suy ra sin( ) 01

n nn

với *n . (3.53)

Như vậy ( )z với mọi 0, 1, 2, ...z

1 12 2 cos

z zz

, với mọi

1 3, , ...

2 2z (3.54)

12

(3.55)

Chứng minh: Với mọi 1 3, , ...

2 2z thay z bởi

12

z vào công thức (3.52) ta nhận

được:

1 1 1 11

2 2 2 2 cos1sin

2

z z z zz

z

.

Thay 12

z vào công thức (3.49) ta nhận được 2 12

, hơn nữa 10

2

.

Do đó 12

0

12

te t dt

.

d.

1 (2 1)!!2 2n

nn

, với mọi z n (3.56)

1 ( 2)2 (2 1)!!

n

nn

, với mọi z n (3.57)

Chứng minh: Với mọi n , với mọi k . Áp dụng liên tiếp công thức (3.49) sẽ có: ( 1) ( )( 1)....( 1) ( 1)n k n k n k k k

Thay 12

k suy ra

1 1 1 1 1 (2 1)!!1 ....

2 2 2 2 2 2n

nn n n

.

Trong đó (2 1)!! 1.3.5...(2 1)n n .

Thay z n vào (3.54) ta có:

1 12 2 cos ( 1)n

n nn

Áp dụng kết quả (3.56) ta được

1 1 2 ( 1) 22 (2 1)!!1( 1) ( 1) (2 1)!!

2

n n n

n nn

nnn

.

e.

1

0

'( ) lnz tz t e tdt

; '(1) (3.58)

Chứng minh: Sử dụng quy tắc đạo hàm dưới dấu tích phân công thức (3.48) ta được

1 1 1

0 0 0

'( ) lnz t z t z tz t e dt t e dt t e tdtz z

,

Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta lấy loga và đạo hàm hai vế công thức (3.47),

1

ln ( ) ln ln 1m

z zz z z

m m

1

'( ) 1 1 1( ) m

zz z m z m

thay 1z ta được '(1) .

Ví dụ 3.7: Tính a. b.

113

23

c. 1 54 4

.

Giải: a. 4 ! 24

b.

11 8 8 8 8 5 8 5 5 8 5 2 21 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3

8027

c. 3 1 1 1 1 31 4

4 4 4 4 4 4

;

5 1 1 11

4 4 4 4

1 5 3 1 1 3 14 2

4 4 4 4 4 4 4sin

4

.

Ví dụ 3.8: Một hạt M với khối lượng m đặt cách điểm O cố định khoảng cách 0a . M bị hút về O với một lực tỉ lệ nghịch với khoảng cách. Tìm thời gian để M về đến điểm O. Giải: Gọi ( )x t là khoảng cách từ M đến O ở thời điểm t, (0)x a . Theo định luật Newton

2

2

d x km

xdt , k là hằng số tỷ lệ.

Ta có dx

vdt

là vận tốc của hạt và 2

2

d x dv dv dx dvv

dt dx dt dxdt , thay vào phương trình

trên ta được dv k

mvdx x , do đó

kmvdv dx

x

Lấy tích phân hai vế ta được 2

ln2

mvk x C .

Khi 0, (0) , (0) 0t x a v suy ra lnC k a . Vậy

22 2 2

ln ln ln ln22

mv a k a dx k a dt m ak v v

k xx m x dt m x dx .

Do đó thời gian T để M về đến O thỏa mãn 0

0

1 12 2ln( / ) ln( / )

a

a

m mT dx dx

k ka x a x .

Đổi biến ln( / ) u ua x u x ae dx ae du ta được 0

1/2

0

1 1( )

2 2 2 2 2u um m m m

T a e du a u e du a ak k k ku

.

3.3.3 Hàm Beta Định nghĩa 3.3: Hàm số biểu diễn dưới dạng tích phân phụ thuộc hai tham số thực , 0p q

1

1 1

0

( , ) (1 )p qB p q x x dx (3.59)

Gọi là hàm Beta hay là tích phân Euler loại 1. Hàm Gamma (công thức 3.46) gọi là tích phân Euler loại 2.

Tính chất 3.1:

, ,B p q B q p (3.60)

2

2 1 2 1

0

( , ) 2 cos sinp qB p q d

(3.61)

( ). ( )( , )

( )p q

B p qp q

(3.62)

Chứng minh: Để chứng minh công thức (3.60), ta đổi biến x t .

Để chứng minh công thức (3.61), ta đặt 2cosx khi đó 2cos sindx d 1 1 2 1 2 1(1 ) 2cos sinp q p qx x dx d

Thay vào công thức (3.59) ta được công thức (3.61). Để chứng minh công thức (3.62), ta xét công thức biểu diễn hàm Gamma dưới dạng tích

phân (công thức 3.48).

Thay z lần lượt bởi ,p q thay t bởi 2 2,y x nhận được

2 22 1 2 1

0 0

( ) 2 , ( ) 2p y q xp y e dy q x e dx

2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 ( )

0 0

( ) ( ) 4 4p q x y p q x y

D

p q x y e dxdy x y e dxdy

Trong đó D là góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy .

Chuyển sang toạ độ cực:

cos

sin

x r

y r

,

0 2

0 r

; dxdy rdrd

2 22

2 1 2 1 2( ) 1 2( ) 1

0 0 0

( ) ( ) 2 cos sin 2 . . , 2p q p q r p q rp q d r e dr B p q r e dr

Đ

ặt 2 2t r dt rdr ta được

2 22( ) 1 2( ) 2 ( ) 1

0 0 0

2 . . . .2p q r p q r p q tr e dr r e rdr t e dt p q

Vậy ( ) ( ) ,p q B p q p q ( ). ( )( , )

( )p q

B p qp q

.

Từ công thức (3.61), (3.62) ta có

22 1 2 1

0

( ). ( )cos sin

2 ( )p q p q

x xdxp q

(3.63)

Ví dụ 3.9: Tìm khối lượng của vật thể phẳng nằm trong mặt phẳng Oxy giới hạn bới;

1x y , 0x , 0y và có khối lượng riêng xy .

Giải:

13

1 1 1 1 1 322 2

0 0 0 00

2 2(1 )

3 3

x

x

D

yM xydxdy xdx ydy xdx x x dx

3 5 1 1 3 1 12 2 2 2 2 2 22 3 5 2 2

,3 2 2 3 (4) 3 3! 24

B

Ví dụ 3.10: Công thức tích phân Dirichlet

1 1 1 ( / 2) ( / 2) ( / 2)

8 ( ) / 2 1V

I x y z dxdydz

, (3.64)

trong đó V là 1/8 hình cầu đơn vị: 2 2 2 1; 0, 0, 0x y z x y z .

Giải: Đổi biến số 2u x , 2v y , 2w z . Miền V trở thành hình chóp tứ diện

: 1; 0, 0, 0u v w u v w (Hình 3.11).

( 1)/2 ( 1)/2 ( 1)/2

2 2 2

du dv dwI u v w

u v w

( /2) 1 ( /2) 1 ( /2) 118

u v w dudvdw

1 1 1( /2) 1 ( /2) 1 ( /2) 1

0 0 0

18

u v u

u v w

u du v dv w dw

1 1( /2) 1 /2 ( /2) 1

0 0

1(1 )

4

u

u v

u du v u v dv

Đặt (1 ) (1 )v u t dv u dt ; 1 (1 )(1 )v u u t

/2 ( /2) 1 ( )/2 1 /2 ( /2) 1(1 ) (1 ) (1 )v u v u t t

1 1

/2 ( /2) 1 ( )/2 /2 ( /2) 1

0 0

(1 ) (1 ) (1 )u

v t

v u v dv u t t dt

( )/2 ( )/2 ( / 2) ( / 2 1)(1 ) ( / 2; / 2 1) (1 )

( ) / 2 1u B u

1( /2) 1 ( )/2

0

1 ( / 2) ( / 2 1)(1 )

4 ( ) / 2 1u

I u u du

1 ( / 2) ( / 2 1)( / 2;( ) / 2 1)

4 ( )/ 2 1B

Hình 3.11

( / 2) ( ) / 2 11 ( / 2) ( / 2 1) ( / 2) ( / 2) ( / 2)

4 ( ) / 2 1 ( ) / 2 1 8 ( ) / 2 1

.

Ví dụ 3.11: Tìm khối lượng của vật thể hình cầu tâm O bán kính 1 và có khối lượng riêng tỷ lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâm của nó.

Giải: Khối lượng riêng tai điểm có tọa độ ( , , )x y z là 2 2 2, , )x y z x y z . Do tính chất đối xứng của vật thể suy ra khối lượng M của vật thể bằng tám lần khối lượng vật thể nằm trong góc phần tám thứ nhất của trục tọa độ.

2 2 28 ( )V

M x y z dxdydz , 2 2 2( , , ) 1; 0, 0, 0V x y z x y z x y z .

Ta cũng có 2 2 2

V V V

x dxdydz y dxdydz z dxdydz 28.3V

M x dxdydz

Áp dụng công thức Dirichlet (3.64) với ; 1 ta được

2

3 1 1 32 2 2 2 4

8.3 8.3. 3.53 1 1 5 3 3

8 1 .2 2 2 2

V

M x dxdydz

.


0 tan

dxI

x

Giải: 2 2 1 1

2 2

0 0

cos sintan

dxI x x dx

x

.

Áp dụng công thức (3.61) với

1 3 32 1 2

2 2 41 1 1

2 1 22 2 4

p p p

q q q

2

0

3 14 4 2

22 1tan 2 sin4

dxI

x

.

Ví dụ 3.13: Chứng minh rằng

1 1

0

2 ( , )( 1)

u v

u v

x xdx B u v

x

,

với u, v là các hằng số dương tùy ý.

Giải: Đổi biến 1 1

x yy x

x y

2

1

(1 )dx dy

y

, 1

1 11 1

yx

y y

1 1

11 1

20 0

1 1 1

( 1) (1 )11

u v

u v

u v u v

y yy yx x

dx dyx y

y

1 1

1 11 1

0 0

1 1 2 ( , )v uu vy y dy y y dy B u v .

3.4 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ CÁC HÀM BESSEL 3.4.1 Phương trình Bessel

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 2 2

2 2

1(1 ) 0

d y dyy

z dzdz z

(3.65)

gọi là phương trình Bessel ứng với tham số . Dưới đây ta xét với và gọi là phương trình Bessel cấp , 0 .

Nghiệm riêng của phương trình (3.65) gọi là hàm Bessel cấp .

Rõ ràng nếu J z và Y z là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (3.65) thì nghiệm

tổng quát của phương trình có dạng

y z AJ z BY z Z z (3.66)

Trong đó A , B là các hằng số tuỳ ý.

3.4.2 Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 3.4.2.1 Hàm Bessel loại 1

Ta tìm nghiệm của phương trình (3.65) theo phương pháp Frobenius bằng cách xét các nghiệm dạng

00

( ) , 0kk

k

y z z a z a

.

1 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k k kk k k

k k k

y z a z y z k a z z k a z

2 2

0 0

( ) ( )( 1) ( )( 1)k kk k

k k

y z k k a z z k k a z

Thay vào phương trình (3.65) ta được

2 2 2

0 0 0 0

( )( 1) ( ) 0k k k kk k k k

k k k k

z k k a z k a z a z a z

Ta có 2( )( 1) ( ) ( )k k k k , do đó đẳng thức trên được viết lại

2 2 2 2

0 0 0

( ) 0k k kk k k

k k k

z k a z a z a z

1

2 2 2 22

0 2

( ) ( ) 0k kk k k

k k

k a z k a a z

.

Đồng nhất hệ số suy ra các hằng số và ka ; 0,1,2,...k thoả mãn hệ phương trình

2 20

2 21

2 22 0

2 22

( ) 0

( 1) 0

( 2) 0

................................

( ) 0 ; 2k k

a

a

a a

r a a k

(3.67)

Từ điều kiện 0 0a ta được , 0

1. Trường hợp thứ nhất:

2 2 2 2( ) ( ) (2 )k k k k

2 2(2 )

kk

aa k

k k

(3.68)

Thay vào công thức (3.67) suy ra 1 0a . Kết hợp với công thức (3.68) ta có hệ số lẻ

đồng nhất bằng 0:

2 1 0; 0, 1, 2,...ka k

Quy nạp và sử dụng công thức (3.68) với các số hạng chẵn ta có

2( 1)2 22 22 (2 2 ) 2 ( )

kkk

aaa

k k k k

,

22( 2)

2 2 2

( 1)

2 2 ( 1)( ) ( 1)

kk

aa

k k k k

…. 2 0 2

( 1)

2 !(1 )(2 )...( )

k

k ka a

k k

,

( )y z là nghiệm của phương trình thuần nhất do đó hệ số 0a có thể chọn tuỳ ý.

Chọn 01

2 (1 )a

và sử dụng đẳng thức:

1 ... 2 1 1k k 2 2

( 1)

2 2 ! ( 1)

k

k ka

k k

Suy ra:

2

0

( 1)( ) ( )

2 ! ( 1) 2

kk

k

z zy z J z

k k

(3.69)

Nếu n thì: 2

0

( 1)( )

2 !( )! 2

n kk

nk

z zJ z

k k n

(3.70)

Đặc biệt

2

0 20

( 1)2( !)

kk

k

zJ

k

(3.71)

2. Trường hợp thứ hai:

2 2 2 2( ) ( ) ( 2 )k k k k

Các hệ số chẵn liên hệ theo công thức

2 2 22 2 2 0k kk k a a (3.72)

Các hệ số lẻ thoả mãn

2 1 2 12 1 2 1 2 0k kk k a a

a. Nếu 2 1

,2

mm

thì 1 0a , suy ra

2 1

2 1 02 1 2 1 2

kk

aa

k k

với mọi k ,

khi đó tương tự như trên, chọn 0a thích hợp sẽ có

2

0

( 1)( ) ( )

2 ! ( 1 ) 2

kk

k

z zy z J z

k k

(3.73)

b. Nếu 2 1

,2

mm

(cấp bán nguyên) thì hệ số lẻ 2 1 0ka với mọi chỉ số

r k và hệ số lẻ 2 1ka có thể khác không khi r k . Tuy nhiên nếu ta chọn các hệ

số lẻ đều bằng không và chọn 0a thích hợp vẫn được nghiệm có dạng (3.65), (3.69).

Gọi J z và J z là các hàm Bessel loại 1.

Định lý 3.2:

1. Nếu (không phải là số tự nhiên) thì J z và J z độc lập tuyến tính.

2. Nếu n thì nJ z và nJ z phụ thuộc tuyến tính, hơn nữa

( 1)nn nJ z J z . (3.74)

Chứng minh: Thật vậy, nếu thì 0

lim ( ) 0z

J z và

0lim ( )z

J z

Suy ra J z và J z độc lập tuyến tính

Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của (3.69) có dạng

Z z AJ z BJ z

Trường hợp n ta có

2 2

0

1 1( )

2 2 2 2! 1 ! !

k kn k n k

nk k n

z z z zJ z

k k n k k n

bởi vì

10

1k n

với mọi số tự nhiên k n (công thức 3.53).

Thay k bởi k n vào công thức trên ta được

2 2

0

11 ( )

2 2! !

k nn k nn

n nk

z zJ z J z

k k n

điều này chứng tỏ nJ z và nJ z phụ thuộc tuyến tính.

3.4.2.2 Hàm Bessel loại 2

Định lý 3.2 cho thấy hai hàm Bessel loại 1 J z và J z không phải lúc nào cũng

độc lập vì vậy ta cần tìm hàm Bessel loại 2 độc lập với hàm Bessel loại 1. Hàm số xác định như sau

;

(cos ) ( ) ( )

sinlim ( )n

J z J z

Y zY z n

nÕu

nÕu

(3.75)

Cũng là nghiệm của phương trình Bessel (3.61), được gọi là hàm Bessel loại 2. Từ công thức (3.71) ta thấy khi n giới hạn

;

(cos ) ( ) ( )lim

sinn

J z J z

có dạng vô định 00

. Áp dụng quy tắc De L’Hospital nhận được

Hình 3.11: Đồ thị các hàm Bessel 0 ( )J t , 1( )J t , 2 ( )J t

0 ( )J t

1( )J t

2 ( )J t

t

(cos ) ( ) ( )

sinn

n

J z J zY z

sin ( ) (cos ) ( ) ( )

cos

n

J z J z J z

11

nn nn

J z J zY z

n n

.

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số ln z nhận được kết quả sau:

2 21

0 0

2 1 ( 1)! 1ln ( )

2 ! 2 !( )! 2( 1)

n k k nnk nk

n nk k

Sz n k z zY z J z

k k n k

Trong đó:

1 1 1 11 .... ... 1 ..... , 0

2 2nkS kk k n

01 1

1 ......2nS

n

Với mọi , các hàm J z và Y z là độc lập tuyến tính.

Ta cũng có thể tìm hàm Bessel độc lập với hàm Bessel loại 1 như sau. Theo lý thuyết của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2:

2

20

d y dyp z q z y

dzdz

Nếu biết 1y z là một nghiệm thì ta có thể tìm nghiệm độc lập tuyến tính với 1y z

theo công thức:

( )

2 1 21

1 p z dzy z y e dz

y

.

0 ( )Y t1( )Y t

2 ( )Y t0( )Y x

1( )Y x 2( )Y x

t

Vì vậy với trường hợp phương trình Bessel cấp n nguyên, ta có thể tìm nghiệm độc lập

với nJ z theo công thức:

2( ) ( )

( )n n

n

dzI z J z A B

zJ z

Chọn A , B thích hợp sẽ được hàm số nI z cho bởi (3.75). Hàm số nI z gọi là hàm

Weber.

Đôi khi còn sử dụng hàm số độc lập tuyến tính với J z theo công thức sau và gọi là

hàm số Neumann.

1

( ) ( ) (ln2 ) ( )2

N z Y z J z (3.76)

Gọi ,Y z N z là các hàm Bessel loại 2.

Từ các hàm Bessel loại 1 và loại 2 ta có các hàm Hankel loại 1 và hàm Hankel loại 2 xác định lần lượt như sau

(1)( ) ( ) ( )H z J z iY z

(2)( ) ( ) ( )H z J z iY z ,

Các hàm Hankel đôi khi còn được gọi là hàm Bessel loại 3.

3.4.3 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel Các công thức sau đúng với mọi (kể cả trường hợp 0 ):

1. 1 12

J z J z J zz

. (3.77)

Thay công thức (3.69), (3.73) vào vế phải và biến đổi thành vế trái:

2 1 2

10 0

2 2 ( 1) ( 1)2 ! ( 1) 2 2 ! ( ) 2

k kk k

k k

z z z zJ z J z

z z k k k k

1 2 2

0

( 1) 12 ! ( 1) ( ) 2

kk

k

z zk k k

1 2( 1) 1 2

10 0

( 1) ( 1)( )

2 ! ( 1) 2 2 ! ( 2) 2

k kk k

k k

z k z z zJ z

k k k k

.

2. 1'zJ z J z zJ z . (3.78)

Trường hợp đặc biệt 0 10 'J z J z . Chứng tỏ các không điểm của

1J z làm cho 0J z đạt cực đại hoặc cực tiểu.

Tính 'J z từ công thức (3.65), (3.69) thay vào vế trái suy ra vế phải:

2 2

0 0

( 1) ( 1)2 ! ( 1) 2 ! ( 1) 2

k kk k

k k

z z zJ z

k k k k

2 1

0

( 1) (2 ) 1! ( 1) 2 2

kk

k

k zzJ z z

k k

2 1 1 2( 1)

0 0

( 1) ( 1)2 ! ( 1) 2 2 2 ! ( 1) 2

k kk k

k k

z z z z k zz

k k k k

1 2( 1)1

11

( 1)2 ( 1)! ( 1) 2

kk

k

z zJ z z J z zJ z

k k

3. 1 11

'2

J z J z J z . (3.79)

Từ công thức (3.78) và (3.79) ta có:

1 1 1 12 1

2J z J z J z J z J z J z

z z

1 1 1 1 1 11 1

'2 2

J z J z J z J z J z J z J z J zz

4. 1'zJ z zJ z J z . (3.80)

(Thay 1J z ở 1. vào 2. suy ra 4.)

5. 1d

z J z z J zdz

. (3.81)

Đạo hàm vế trái và sử dụng 1. và 2.:

2 2 2 2 1

0 0

( 1) 2 ( 1) 2 (2 2 ) 1! ( 1) 2 ! ( 1) 2 2

k kk k

k k

d d z k zz J z

dz dz k k k k

2 2 1 1 2

10 0

( 1) ( )2 ( 1) ( )! ( 1) 2 2 ! ( 1) 2

k kk k

k k

k z z k zz z J z

k k k k

.

6. 1d

z J z z J zdz

. (3.82)

7. 0

0 0

1

z z z

zz z

dz J z dz z J z dz z J z

dz

. (3.83)

0

0 0

1

z z z

zz z

dz J z dz z J z dz z J z

dz

. (3.84)

8. 1 3 2 100

2 2z

kk

J z dz J z J z J z

. (3.85)

Đặc biệt 0 1 3 2 100

2 2z

kk

J z dz J z J z J z

.

Để chứng minh công thức (3.85) ta lấy tích phân hai vế của (3.79):

với 1 ta được 1 20 0

2z z

J z J z dz J z dz .

với 3 ta được 3 2 40 0

2z z

J z J z dz J z dz .

............................................................................................... Cộng theo vế ta suy ra (3.85).

9. Với mọi số tự nhiên *m , 0m , đặt: thì

1 1(2 1)mm m mI z J z m I . (3.86)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt

2 1 2 2

1 11

(2 1)m m

m mm m

U z dU m z dz

dV z J z dz V z J z

và áp dụng công thức (3.84) với 1m ta được:

2 1 1

0 0

z zm m m

m m mI z J z dz z z J z dz

2 1 1 1

1 10

(2 1)z

m m mm mz z J z m z J z dz

10. Với mọi cặp số tự nhiên ,m n , n m đặt: ,0

zm

m n nI z J z dz thì

, 1 1, 1( 1)mm n n m nI z J z m n I . (3.87)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt

1 2

1 11

( 1)m n m n

n nn n

U z dU m n z dz

dV z J z dz V z J z

và áp dụng công thức (3.84) với ta được

1 1,

0 0

z zm m n n

m n n nI z J z dz z z J z dz

1 1 1 21 1

0

( 1)z

m n n n m nn nz z J z m n z J z z dz

1 1, 1( 1)mn m nz J z m n I .

Nhận xét 3.1:

1. Để tính tích phân 0

zm

m mI z J z dz ta sử dụng liên tiếp công thức truy hồi (3.86)

cuối cùng được tích phân dạng (3.85) với 0 .

2. Để tính tích phân ,0

zm

m n nI z J z dz với ,m n , m n ta sử dụng công thức

truy hồi (3.87). Sau mỗi bược truy hồi chỉ số m giảm 1 và chỉ số n tăng 1, do đó khoảng cách m n giảm 2.

Áp dụng liên tiếp công thức (3.87) ta đưa về công thức (3.86) nếu m n chẵn và đưa về công thức (3.83) nếu m n lẻ.


0

I z J z dz

theo 1( )J và , trong đó là một nghiệm

dương của phương trình 0 0J z .

Giải: 3,0 zI I

. Áp dụng công thức (3.87) ta được 3

3,0 1 2,1( ) 2I z J z I

Áp dụng công thức (3.84) ta được 2 22,1 1 2

0

( ) ( )z

I z J z dz z J z

Áp dụng tiếp công thức (3.77) ta có

3 2 3 23,0 1 1 0 1 0

2( ) 2 ( 4 ) ( ) 2I z J z z J z J z z z J z z J z

z

,

Do đó

3 2 33,0 1 0 1( 4 ) ( ) 2 ( 4 ) ( )

z zI I z z J z z J z J

.

3.4.4 Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 với cấp bán nguyên

Xét phương trình Bessel với cấp bán nguyên 12

có dạng:

2

2 2

1 11 0

4

d y dyy

z dzdz z

Bằng cách đặt 1 2

y uz

ta có thể đưa phương trình trên về dạng phương trình vi tuyến tính cấp 2 hệ số hằng:

2 21 2 1 2 3 2 1 2 3 2 5 2

2 2

1 32 4

dy du d y d u duy uz z z u z z z u

dz dz dzdz dz

.

Thay vào phương trình ta được 2

1 2 3 2 5 2 1 2 3 2 1 2 1 2

2 2

3 1 1 10

4 2 4

d u du duz z z u z z u uz uz

dz z dzdz z

dẫn phương trình về dạng: 2

20

d uu

dz

Phương trình này cho nghiệm tổng quát

cos sinu A z B z ; A , B là hai hằng số tùy ý.

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình Bessel cấp 12

1( cos sin )y A z B z

z ; A , B là hai hằng số tùy ý.

Vì vậy 1 2J z và 1 2J z đều có dạng trên với A , B nào đó.

Cụ thể, vì 1 2 0 0J suy ra 0A , do đó 1 2 sinB

J z zz

.

Mặt khác theo công thức (3.56) 1 2 1

1

1 (2 1)!! 1 2 21

2 12 !(2 1)!! (2 1)!! 12

k k

k

kk

k k kk k

1

2 2 1 22

1 2 20 0

( 1) ( 1) 2.

2 2 21 2(2 1)!! 12

kk k k k

kk k

z z z zJ z

kk k

2 1

0

2 ( 1) 2 2sin

(2 1)!

k k

k

zz B

z k z

Do đó

1 22

( ) sinJ z zz

(3.88)

Tương tự, ta có

1 22

( ) cosJ z zz (3.89)

Từ (3.75) nhận được hàm Bessel loại 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2( ) ( ) cos

2( ) ( ) sin

Y z J z zz

Y z J z zz

Từ công thức truy toán (3.77), thay 12

sẽ nhận được:

3 2

2 sin( ) cos

zJ z z

z z

thay 12

sẽ nhận được:

3 2

2 cos( ) sin

zJ z z

z z

Tương tự ta có các công thức sau:

5 2 2

2 3 3( ) 1 sin cosJ z z z

z zz

5 2 2

2 3 3( ) sin 1 cosJ z z z

z z z

7 2 3 2

2 15 6 15( ) sin 1 cosJ z z z

z zz z

7 2 2 3

2 15 15 6( ) 1 sin cosJ z z z

z zz z

9 2 4 2 3

2 105 45 105 10( ) 1 sin cosJ z z z

z zz z z

9 2 3 4 2

2 105 10 105 45( ) sin 1 cosJ z z z

z zz z z

.

3.4.5 Các tích phân Lommel (*) Định lý 3.3:

0

2 21 12 2

,z

zJ kz J lz zdz kJ lz J kz lJ kz J lz k l

k l

. (3.90)

0

2 21 12 2

,z

zJ kz J lz zdz lJ lz J kz kJ kz J lz k l

k l

. (3.91)

2

2 2 2 22 2

0

1' 1

2

z

z J kz J kzk z

zJ kz dz

. (3.92)

Các công thức (3.90), (3.91), (3.92) gọi là các tích phân Lommel. Chứng minh:

Chúng ta xét hai phương trình vi phân dạng Bessel 2

2 2 2 22

( ) 0d x dx

z z l z xdzdz

(3.93)

22 2 2 2

2( ) 0

d y dyz z k z y

dzdz (3.94)

Nhân phương trình thứ nhất với yz

, phương trình thứ hai với xz

rồi trừ từng vế cho

nhau sẽ nhận được

2 2

2 22 2

d x d y dx dyyz xz y x k l xyz

dz dzdz dz

hay

2 2d dx dyz y x k l xyz

dz dz dz

(3.95)

Nghiệm của phương trình (3.93), (3.94) tương ứng là (xem công thức 3.96).

,x J lz y J kz

Thay vào (3.95) xét với 1 sẽ có

2 2

0

( ) ( )( ) ( ). ( ) ( ) ( )

z dJ lz dJ kzk l J kz J lz zdz z J kz J lz

dz dz

Mặt khác

( ) ( )( )

( )

dJ lz dJ lzl lJ lz

dz d lz

Do đó với 1 . thì

2 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zJ kz J lz zdz lJ kz J lz kJ lz J kz

k l

Áp dụng các công thức truy toán (3.74)

1 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )J kz J kz J kz J lz J lz J lzkz lz

Ta được:

1 12 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zJ kz J lz zdz kJ lz J kz lJ kz J lz

k l

Từ các công thức (3.79):

1 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )J kz J kz J kz J lz J lz J lzkz lz

.

Suy ra:

1 12 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zJ kz J lz zdz lJ lz J kz kJ kz J lz

k l

.

Với k l thì

2 22

0 0

1( ) ( ) , ( 1)

z kz

zJ kz dz zJ z dzk

.

Tích phân từng phần nhận được

2 22 2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )2

kz kzk z

zJ kz dz J kz z J z J z dz

Vì J z là hàm Bessel nên thoả mãn

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )z J z z J z zJ z J z

Thay vào trên sẽ có:

2 2

2 2 2 2 22 2

0 0 0

1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

z kz kzz

zJ kz dz J kz d z J z dJ zk k

Hay

22 2 2 2

2 20

1( ) ( ) 1 ( )

2

z

zJ kz dz z J kz J kzk z

.

3.4.6 Khai triển theo chuỗi các hàm Bessel 3.4.6.1. Nghiệm của hàm Bessel

Chúng ta xét nghiệm của phương trình 0J x với 1 .

Định lý 3.4: Tất cả các nghiệm của 0J x đều thực.

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh các số thuần ảo 0 ,z ix x , 0x không thể là

nghiệm của phương trình 0J x . Thật vậy, vì rằng tất cả các số hạng của chuỗi sau đây

đều dương do đó 2 2

0 0

( 1) 10, 0

! ( 1) 2 ! ( 1) 2

k kk

k k

ix xx

k k k k

Suy ra 0, 0J ix x , hơn nữa .

Giả sử tồn tại nghiệm phức 0z . Vì J x là hàm thực nên 0z cũng là nghiệm của nó.

Vì 0z và

0 ,z ix x , do đó 2 20 0z z . Áp dụng công thức tích phân Lommel (3.86)

ta được:

0 0 0 1 0 0 0 1 02 20 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

ox

zJ z z J z z dz z J z x J z x z J z x J z xz z

Lấy 1x thì 1

0 00

( ) ( ) 0zJ z z J z z dz (vì 0 0( ) ( ) 0J z J z ).

Điều này vô lý, vì hàm dưới dấu tích phân

0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, [0;1]zJ z z J z z zJ z z J z z zJ z z J z z z .

Vậy mọi nghiệm của phương trình 0J x đều thực.

Định lý 3.5: Các nghiệm 0x của 0J x và 1 0J x xen kẽ nhau.

Chứng minh: Từ các công thức (3.81 ), (3.82) chúng ta nhận được công thức tính đạo hàm sau đây:

1( ) ( )d

x J x x J xdx

1 11( ) ( )

dx J x x J x

dx

Theo định lý Rolle; công thức thứ nhất chứng tỏ rằng giữa hai nghiệm liên tiếp của

( )x J x

có ít nhất một nghiệm của 1( )x J x

, công thức thứ hai chứng tỏ giữa hai

nghiệm liên tiếp của 11( )x J x

có ít nhất một nghiệm của 1 ( )x J x

. Ngoài ra từ các

công thức tích phân Lommel (3.91) ta nhận thấy các phương trình 0J x và

1 0J x không có nghiệm chung và các nghiệm của phương trình 0J x đều là

nghiệm đơn.

Tương tự suy ra các nghiệm của 0J x và 0mJ x cũng xen kẽ nhau, với

mọi m (xem hình 3.12).

Nhận xét 3.2:

a. Hai hàm Bessel loại 1 cấp 12

: 1 2( )J z và 1 2( )J z thỏa mãn 1 22

( ) sinzJ z z

1 22

( ) cos ; 0zJ z z z là những hàm tuần hoàn chu kỳ 2 , do đó hai hàm Bessel

loại 1 cấp 1 / 2 1 2( )J z và 1 2( )J z có vô số nghiệm dương.

b. Với phương trình Bessel cấp tùy ý 2 2

2 2

1(1 ) 0

d y dyy

z dzdz z

, bằng cách đặt

1 2y uz

ta có thể đưa về dạng đơn giản hơn

22

2 2

14

1 0d u

udz z

.

Vì vậy khi z đủ lớn hàm Bessel cấp xấp xỉ hàm hàm Bessel cấp 12

, do đó cũng có vô số

nghiệm dương.

3.4.6.2 Khai triển Fourier - Bessel Định lý 3.6: Dãy hàm

, 1, 2, 3, ...ixJ x i (3.92)

trực giao trên 0; 1

, trong đó 1 , , ,i là nghiệm dương của phương trình 0J x .

Chứng minh: Theo công thức tích phân Lommel (3.90)

2 21 1

0

( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

k l zJ kz J lz dz x kJ lx J kx lJ kx J lx

Lấy 1, , ; , 1, 2, ...i jx l k i j thì

1

0

( ). ( ) 0i jzJ z zJ z dz , nếu i j .

Từ công thức (3.87)

22 2 2 2

2 20

1( ) ' ( ) (1 ) ( )

2

x

zJ kz dz x J kx J kxk x

.

Lấy 1, ; 1, 2, ...ix k i sẽ có:

1 2

2

0

1( ) ' ( ) 0

2i izJ z dz J .

Định nghĩa 3.4: Nếu hàm số ( )f x biểu diễn dưới dạng

1

( ) ( )i ii

f x a J x

(3.97)

trong đó 1 , , ,i là nghiệm dương của phương trình 0J x , thì nói rằng hàm số

đó được khai triển thành chuỗi Fourier - Bessel. Từ tính chất trực giao của hệ (3.96) suy ra rằng, nếu ( )f x khai triển thành chuỗi Fourier

- Bessel (3.97) thì các hệ số của chuỗi được tính theo công thức: 1

20

2( ) ( ) ; 1, 2, ...

' ( )i i

i

a xf x J x dx iJ

(3.98)

Gọi đó là các hệ số Fourier - Bessel.

Ví dụ 3.15: Hãy khai triển hai hàm số ( )f x sau thành chuỗi Fourier-Bessel trong khoảng

0; 1 theo hệ các hàm 0( ), 1,2...ixJ x i .

1 0 1 2 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )i if x a J x a J x a J x

a. Hàm số ( ) 1f x ; 0 1x

b. Hàm số 2( )f x x ; 0 1x .

Giải: a. Theo (3.98) và (3.83) sẽ có :

1 1

0 02 2 20 00 1

2 2( ) ( ) ( )

' ( ) ( )i i i i i

i i i

a xJ x dx xJ x d xJ J

0 12 2 2 2101 1 0

2 2 2( ) ( ) ; 1, 2, ...

( )( ) ( )

ii

i ii i i i x

xJ x dx xJ x iJJ J

Vậy

0 2 0 3 00 1

1 1 1 2 1 2 3 1 3 1

2 2 22 ( )( ) 1 i

i i

J x J x J xJ xf x

J J J J

b. Theo (3.98) và đổi biến iu x sẽ có :

13 3

0 02 4 20 00 1

2 2( ) ( )

' ( ) ( )

i

i ii i i

a x J x dx u J u duJ J

Theo ví dụ 3.14 ta có

3 3 2 3 20 3,0 1 0 1 00

0

( ) ( 4 ) ( ) 2 ( 4 ) ( ) 2i

i

i

z

i i i i iz zu J u du I z z J z z J z J J

Áp dụng công thức (3.77) ta được

0 1 2

2( ) ( ) ( )i i i

i

J J J

; 2 2

0 1 22 ( ) 4 ( ) 2 ( )i i i i i iJ J J

3 2 3 21 0 1 2( 4 ) ( ) 2 ( ) 2i i i i i i i i iJ J J J

3 2 21 24 2

1 11

2 ( )2 2( ) 2 ( ) 1

( ) ( )( )i

i i i i ii i i ii i

Ja J J

J JJ

.

3.4.7 Các phương trình vi phân có thể đưa về phương trình Bessel (*) A. Phương trình dạng

2 22

2 2

10

d y dyk y

x dxdx x

Đổi biến dy dy dz dy

z kx kdx dz dx dz

, tương tự 2 2

22 2

d y d yk

dx dz .

Thay vào phương trình trên dẫn đến phương trình Bessel 2 2

2 2

11 0

d y dyy

z dzdz z

khi đó nghiệm tổng quát sẽ là:

AJ kx BJ kx nZ kx

AJ kx BY kx n

nÕu

nÕu (3.95)

Ví dụ 3.16: Giải phương trình '' ' 0a

y y byx

, trong đó a, b là hằng số.

Giải: Đặt 2 2

1 1 22 2

2 ( 1)dy du d y d u du

y x u x z u x x x udx dx dxdx dx

Thay vào phương trình trên nhận được

1 2" ( 2 ) ' ( 1) 0x u a x u a x bx u

Chọn 1

2a

để 2 1a ; 1a

2( 1) ( 1)a a .

Chia hai vế cho x ta được

2

2

10u u b u

x x

.

Áp dụng công thức (3.99) ta được nghiệm tổng quát

|1 |2

|1 |2

( )a

ay x Z x b

Ví dụ 3.17: Giải phương trình 2

( ) 0 , ( 0)ma cy y bx y c

x x .

Giải: Tương tự trên đặt y x u :

1 2" ( 2 ) ' ( 1) 0mx u a x u a c x bx u

Chọn 1

2a

và chia cho x ta được: 2

2

10m c

u u bx ux x

Thay biến 1

2 2 22 22 2

m m mdt m du du dt m du

t x x xdx dx dt dx dt

22 212 2

2 2

2 2 22 2 2 2

m md u du m du m m du m d u

x xdx dt dtdx dt

Thay vào phương trình và chia cho 2

22

m ta được

2 2

2 2 2 2

1 4 (1 ) 4 10

( 2) ( 2)

d u du b a cu

t dtdt m m t

.

Áp dụng công thức (3.99) ta được nghiệm tổng quát

'2

2b

u Z tm

;

1 22 2

'2

2

a mb

y x Z xm

với

2(1 ) 4' , ( 2)

2

a cm

m

Chẳng hạn phương trình: 45'' ' 16 0y y x y

x

Có nghiệm 2 323

43

y x Z ix

Các trường hợp riêng của ví dụ 3.17:

a. 2

'' 0m Cy bx y

x

có nghiệm tổng quát dưới dạng:

222 1 4

,2 2

mb C

y xZ xm m

b. 2

( 1)'' 0

p py b y

x

có nghiệm tổng quát

12

py xZ x b

.

c. '' 0my bx y có nghiệm tổng quát

22

12

22

m

m

by xZ x

m

.

d. '' 0y bxy có nghiệm tổng quát

32

13

23

y xZ bx

.

e. '' ' 0may y bx y

x có nghiệm tổng quát

1 22 2

12

22

a m

am

by x Z x

m

.

Ví dụ 3.18: Giải phương trình 0d dy

x bx ydx dx

.

Giải: 2

12

d dy d y dyx x x

dx dx dxdx

Thay vào phương trình trên ta được 2

12

0d y dy

x x bx ydxdx

Có dạng phương trình e. với m và a . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

1 22 2

12

22

by x Z x

.

Nhận xét 3.2: Khi 2m , 0c phương trình trong ví dụ 3.17 dẫn đến phương trình Euler:

2 '' ' 0x y axy by

Bằng cách đặt ux e . Ta có 1

lndu

u xdx x

2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2

1

1 1 1

dy dy du dy dy dyx

dx du dx x du dx dud y dy d y du d y dy d y d y dy

xdu x dx du dudx x du x du dx du

Thay vào ta nhận được phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng:

2

2( 1) 0

d y dya by

dudu .

Nghiệm tổng quát của phương trình được tìm thông qua nghiệm của phương trình đặc trưng.

B. Phương trình dạng

2

2

1'' 2 ' 0

ay a y b y

x x x

(3.100)

Đặt: 2 2

22 2

2ax ax axdy du d y du d uy e u e au e a u a

dx dx dxdx dx

Thay vào phương trình sẽ nhận được 2 2

22 2

12 2 0ax ax axdu d u du a

e a u a a e au b e udx x dx xdx x

Chia hai vế cho axe và rút gọn ta được

2 2

22 2

10

d u dub a u

x dxdx x

. (3.101)

a. Khi 2b a nghiệm tổng quát có dạng:

2axy e Z b a x

b. Khi 2b a và 0 , (3.101) là phương trình Euler có hai nghiệm độc lập

1u x và 2u x . Vậy nghiệm tổng quát của (3.100):

axy e Ax Bx ; ,A B là hằng số tuỳ ý.

c. Khi 2b a và , (3.101) có nghiệm tổng quát lnu A B x . Vậy (3.100) có nghiệm tổng quát

( ln )axy e A B x ; ,A B là hằng số tuỳ ý.

C. Phương trình dạng

2

22

1 ( )'' 2 ( ) ' 1 ( ) '( ) 0

g xy g x y g x g x y

x xx

(3.106)

Nghiệm tổng quát có dạng: ( ) ( )g x dxy e Z x .


2

1 tan'' 2 tan ' 0

xy x y y

x xx

.

Giải: Phương trình có dạng (3.102) với ( ) tan( )g x x .

Áp dụng công thức nghiệm với ( ) tan( ) 1cos

g x dx x dxe ex

Ta được nghiệm tổng quát 1

( )cos

y Z xx .


2

1 cot'' 2 cot ' 0

xy x y y

x xx

Giải: Phương trình có dạng (3.98) với ( ) cot( )g x x .

Áp dụng công thức nghiệm với

Ta được nghiệm tổng quát 1

( )sin

y Z xx .

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1.21. Hàm Gamma giải tích tại mọi điểm. Đúng Sai . 1.22. Các hàm tích phân mũ, tích phân cosin, tích phân sin có đạo hàm mọi cấp. Đúng Sai . 1.23. Hàm Bessel cấp bán nguyên là hàm sơ cấp. Đúng Sai . 1.24. Các hàm tích phân là các hàm sơ cấp. Đúng Sai . 1.25. Hàm Gama chỉ xác định với mọi số phức Re 0z . Đúng Sai . 1.26. Hàm Bêta là hàm hai biến. Đúng Sai . 1.27. Hàm Bessel là nghiệm của phương trình Bessel. Đúng Sai . 1.28. Hàm Bessel loại I ( )J z và loại II ( )Y z luôn luôn độc lập tuyến tính.

Đúng Sai . 1.29. Hàm Bessel loại I ( )J z và ( )J z luôn phụ thuộc tuyến tính.

Đúng Sai . 1.30. Nếu hàm ( )f x khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel thì ( )f x là hàm tuần hoàn.

Đúng Sai . 3.11 Sử dụng định nghĩa của hàm Delta tính các tích phân sau:

a. 4

2

3

(3 2 4) ( 3,2)x x x dx b. cos(6 ) ( 1)x x dx

c. 4 2

24 ( 2)

3 2

x dx

x x

d. 2

0( ) i ftt t e dt

e. 3

3

( 4) ( 3)x x dx

.

3.12 Nghiệm lại công thức sau

a. 00 0 02 2

0

1( )sin(2 ) ( ) ( )

22 ( )

ft f t f f f f

if f

F

b. 0 0 02 20

1( )cos(2 ) ( ) ( )

22 ( )

ift f t f f f f

f f

F

3.13 Tính

a. 53

2

112

b.

86

3

25

3

c. 12

d. 52

e. 1 1

4 4

.

3.14 Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau:

a. 3

0

xx e dx

b. 6 2

0

xx e dx

3.15 Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau:

a. 3

0

yye dy

b. 24

0

3 t dt

3.16 Chứng minh: 1

10

( 1) !(ln ) ,

( 1)

nm n

n

nx x dx n

m

, , 1m m .

3.17 Tính khối lượng của vật thể hình cầu tâm O bán kính R: 2 2 2 2x y z R có khối

lượng riêng 2 2 2( , , )x y z x y z .

3.18 Chứng minh công thức tích phân Dirichlet

1 1 1

1V

p q ra b cx y z dxdydz

pqr

p q r

,

Trong đó V là hình giới hạn bởi mặt 1p q r

x y za b c

, các mặt phẳng tọa độ và nằm

trong góc phần tám thứ nhất. Các hằng số , , ; , ,a b c p q r dương.

3.19 Tìm khối lượng của vật thể giới hạn bởi với ellipsoid 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c và có khối

lượng riêng tỷ lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâm của nó.

3.20 Tìm thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt có phương trình m m m mx y z a , 0m .

3.21 Xác định tọa độ trọng tâm của vật thể nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi

mặt có phương trình m m m mx y z a , 0m .

3.22 Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau:

a. 1

4 3

0

(1 )x x dx b. 2 2

0 2

x dx

x c.

23 3

0

8x x dx

3.23 Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau:

a. 2

4 5

0

sin cosx xdx

b. 2

6

0

cos xdx

c. 2

0

tanx dx

3.24 Chứng minh: 2 2

0 0

( 1)!!

2 !!cos sin( 1)!!

!!

n n

nn

nxdx xdxn

nn

nÕu ch½n

nÕu lÎ

trong đó (2k+1)!! = 1.3.5...(2k+1). (2k)!! = 2.4.6...(2k).

3.25 2 2

2 2

0 0

sin , sin 2 , 0 p pI xdx J xdx p

a. Chứng minh: I = J

b. Chứng minh:

22 1 11 2

22 ;

2 ( 1) (2 1)

p pp

I Jp p

c. Suy ra công thức nhân đôi của hàm Gamma:

2 1 12 ( ) (2 )

2p p p p

.

3.26 Áp dụng công thức (3.43), (3.44) chứng minh rằng:

0

1 lnte tdt

.

3.27 Chứng minh rằng:

a. 1

0

11

pxdx p p

x

, 0 1p .

b. 0

1 11 1

1p

dxp px

, 1p .

3.28 Tính các tích phân sau

a. 4

0 1

dxdx

x

b.

60 1

xdx

x

c.

2

40 1

x dx

x

.

3.29 Chứng minh các công thức truy toán đối với hàm Bessel

-n

-n

1) z ( ) ( ( ));( )

z ( ) ( 1) ( ( ));( )

n

n n

nn

n n

dJ z z J z

zdzd

J z z J zzdz

0

10

2) ( ) ( )z

z

zz J z dz z J z

z

0

10

3) ( ) ( )z

z

zz J z dz z J z

z

1 30

4) ( ) 2 ( ) ( )z

J z dz J z J z

3.30 Sử dụng phép biến đổi Laplace hãy tính: 0 00

( ) ( ) , ( 0)t

J u J t u du t .

3.31 Tính các tích phân không xác định:

a. 1( )nnx J x dx b. 1( )n

n

J xdx

x c. 4

1( )x J x dx

3.32 Tính theo 1( )J x và 0( )J x

a. 3( )J x b. 31( )J x dx c. 0( )sinJ x xdx

3.33 Chứng minh:

a. 0 2 41 ( ) 2 ( ) 2 ( )J x J x J x

b. 1 3 5 71

( ) ( ) ( ) ( ) sin2

J x J x J x J x x .

3.34 Tính tích phân:

a. 120

( )J x dx

b. 120

( )J x dx

.

3.35 Người ta định nghĩa các hàm Hankel loại 1, loại 2 theo các hàm Bessel như sau:

(1) (2)( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )H x J x iY x H x J x iY x .

Chứng minh rằng khi không phải là số tự nhiên thì

(1) ( ) ( )( )

sin

iJ x e J xH x

i

; (2) ( ) ( )( )

sin

ie J x J xH x

i

.

3.36 Người ta định nghĩa các hàm Bessel có hiệu chỉnh loại 1, loại 2 như sau:

2( ) ( )i

I x e J ix

;

( ) ( )

2 sin( )lim ( )

n

I x I xn

K xK x n

nÕu

nÕu.

a. Chứng minh rằng ( ), ( )I x K x là nghiệm của phương trình vi phân:

2 2 2" ' ( ) 0x y xy x y .

b. 1 12

( ) ( ) ( )I x I x I xx

.

c. 1 12

( ) ( ) ( )K x K x K xx

.

3.37 Chứng tỏ rằng

a. 2

03

1 1

( )1, 0 1

8 ( )n

n n n

J xxx

J

.

Trong đó n là nghiệm thực dương của phương trình 0( ) 0J .

b. 2

3 13

1 1

2(8 ) ( ), 0 1

' ( )n n

n n n

J xx x

J

.

Trong đó n là nghiệm thực dương của phương trình 1( ) 0J .

3.38 Chứng minh rằng nếu 01

( ) ( ), 0 1n nn

f x a J x x

; trong đó n là nghiệm thực

dương của phương trình 0( ) 0J thì 1

2 2 21

10

( ) ( )n nn

x f x dx a J

.

3.39 a. Chứng tỏ rằng 1

1 2

( ), 0 1

( )n

n n n

J xx x

J

. Trong đó n là nghiệm thực

dương của phương trình 1( ) 0J .

b. Sử dụng bài 22. và a. chứng tỏ 2

1

1 14n n

.

3.40 Chứng tỏ rằng phương trình: 2 2

22 2

1( ) 0

d y dyk y

x dxdx x

có nghiệm tổng quát: ( ) ( )y AJ kx BY kx

3.41 Giải phương trình : " ' 0a

y y byx

3.42 Giải các phương trình sau: a. " ' 0zy y ay

b. 4 " 4 ' 0zy y y

c. " 2 ' 2 0zy y y

d. 2" 0y z y

e. " 0y zy .

CHƯƠNG 4

CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG Các hiện tượng diễn ra trong tự nhiên, xã hội hoặc có tính chất tất định (có tính quy

luật, có thể biết trước kết quả) hoặc có tính chất ngẫu nhiên (không biết trước kết quả). Mặc dù không thể nói trước một hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát, tuy nhiên nếu tiến hành quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể đáng giá được khả năng xuất hiện của các biến cố tương ứng và rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu khả năng xuất hiện của các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Trong học phần xác suất và thống kê chúng ta đã tìm hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên, đó là các biến nhận giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta có quá trình ngẫu nhiên. Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên lần đầu tiên được nghiên cứu liên quan đến bài toán dao động và nhiễu của các hệ vật lý. Quá trình ngẫu nhiên là một mô hình toán học của quá trình thực nghiệm mà sự phát triển bị chi phối bởi các quy luật xác suất. Quá trình ngẫu nhiên cung cấp những mô hình hữu ích để nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý thống kê, viễn thông, điều khiển, phân tích chuỗi thời gian, sự tăng trưởng dân số và các ngành khoa học quản lý. Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, dữ liệu máy tính, nhiễu của một hệ thống viễn thông, nhiễu điện trong các thiết bị điện, số khách hàng đến một điểm phục vụ, chỉ số chứng khoán trong thị trường chứng khoán… là các quá trình ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong viễn thông là quá trình Markov (quá trình không nhớ, memoryless) và quá trình dừng. Chuỗi Markov là một quá trình Markov có không gian trạng thái rời rạc, thời gian rời rạc và thuần nhất. Chuỗi Markov thường gặp trong bài toán chuyển mạch của hệ thống viễn thông. Tín hiệu viễn thông, nhiễu không có tính Markov. Các quá trình này quá khứ của nó có ảnh hưởng lớn đến sự tiến triển của quá trình trong tương lại. Tuy nhiên hàm trung bình không thay đổi và hàm tương quan thuần nhất theo thời gian, đó là quá trình dừng. Khi các quá trình dừng biểu diễn các tín hiệu hoặc nhiễu thì biến đổi Fourier của hàm tương quan của quá trình là hàm mật độ phổ công suất của tín hiệu hoặc nhiễu này. Trong chương này ta chỉ nghiên cứu một cách khái quát khái niệm quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov thời gian rời rạc thuần nhất và quá trình dừng. Để học tốt chương này học viên cần nắm vững khái niệm xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, biến ngẫu nhiên, các đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên và các kiến thức đại số tuyến tính như ma trận, hệ phương trình tuyến tính.

4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 4.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành phần mang tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị.

Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm t nhận các giá trị phụ thuộc hệ các biến cố

,iE i N của phép thử, tín hiệu này nhận giá trị mẫu là ( , )ix t E tại thời điểm t và khi biến

cố iE xảy ra. Như vậy ( , )ix t E là một hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên ( )X t . Quá trình

ngẫu nhiên ( )X t vừa phụ thuộc thời gian t , vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên iE .

Một cách tổng quát một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên

( , );X t t T xác định trong cùng một phép thử. Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời

gian t . Khi cố định tham số t thì ( , )X t là biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên , các giá trị quan sát nhận được theo thời gian t được gọi là hàm mẫu hoặc một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên. Tập chỉ số T thường biểu diễn tham số thời gian.

Do tác động của các yếu tố ngẫu nhiên nên một tín hiệu ( , );X t t T được truyền đi là

một quá trình ngẫu nhiên. Tín hiệu cụ thể nhận được ( );x t t T là hàm mẫu (một thể hiện)

của quá trình ngẫu nhiên ( , );X t t T .

Để đơn giản trong cách viết người ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên ( );X t t T thay cho

( , );X t t T , hàm mẫu tương ứng được ký hiệu ( );x t t T .

4.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên Có thể phân loại các quá trình ngẫu nhiên theo các đặc trưng sau:

Không gian trạng thái,

Tập chỉ số thời gian T ,

t

1( , )x t E ),( 1Etv

t

2( , )x t E ),( 1Etv

t

3( , )x t E ),( 1Etv

t

4( , )x t E

),( Etv

1t

1t

1t

1t

2t

2t

2t

2t

1( , ),ix t E i N 2( , ),ix t E i N

Quá trình ng u nhiên ( )X t

Hình 4.1: Mô hình quá trình ng u nhiên

Quan hệ độc lập và quy luật phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên ( )X t .

4.1.2.1 Phân loại quá trình ngẫu nhiên theo tập trạng thái E Ta ký hiệu E là tập tất cả các giá trị của ( ),X t t T và gọi là không gian trạng thái của

quá trình, mỗi giá trị của ( )X t được gọi là một trạng thái.

Nếu E là tập đếm được thì ( );X t t T gọi là quá trình có trạng thái rời rạc.

Nếu E là 1 khoảng của tập số thực thì ( );X t t T được gọi là quá trình thực

hoặc quá trình trạng thái liên tục.

Nếu E tập con của tập số phức thì ( );X t t T là quá trình trạng thái phức.

Nếu kE thì ( );X t t T là quá trình trạng thái k-véc tơ.

4.1.2.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên theo tập các chỉ số T

Nếu T là tập con của tập số nguyên (T ) thì quá trình ( );X t t T được gọi

là quá trình có thời gian rời rạc hoặc tham số rời rạc. Trường hợp này ta ký hiệu nX thay

cho ( )X t và gọi là một dãy ngẫu nhiên.

Nếu [0; )T hoặc T thì ( );X t t T được gọi là quá trình có thời gian

liên tục.

4.1.2.3 Phân loại theo các tính chất phân bố xác suất của quá trình ngẫu nhiên a. Quá trình độc lập

Quá trình ( );X t t T được gọi là quá trình độc lập nếu với mọi thời điểm

1 2 .... nt t t các biến ngẫu nhiên sau là độc lập

1 2( ), ( ),...., ( )nX t X t X t (4.1)

Ví dụ 4.1: Giả sử 1 2, ,...X X là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Bernoulli

với xác suất 1nP X p , 0 1nP X q p với mọi 1,2,...n . Khi đó

, 1nX n là một quá trình ngẫu nhiên gọi là quá trình Bernoulli. Vậy quá trình Bernoulli

là quá trình độc lập có không gian trạng thái rời rạc 0,1E , thời gian rời rạc

1,2,...T .

Một ví dụ mô phỏng về dãy mẫu của quá trình Bernoulli có thể nhận được bằng cách gieo đồng xu liên tiếp. Nếu mặt sấp xuất hiện ta gán giá trị 1, nếu mặt ngửa xuất hiện ta gán giá trị 0. Chẳng hạn

n

n

x

MÆt xuÊt hiÖn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0 1 1 1 0 1 1 0

S N N S S S N S S N

Dãy mẫu , 1nx n nhận được ở trên được minh họa trong hình sau

b. Quá trình có gia số độc lập:

Quá trình ( );X t t T được gọi là quá trình gia số độc lập nếu các gia số của quá trình

trong các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập. Tức là với mọi cách chọn

1 2 .... nt t t , các biến ngẫu nhiên sau là độc lập

2 1 3 2 1( ) ( ), ( ) ( ),...., ( ) ( )n nX t X t X t X t X t X t . (4.2)

Đặc biệt với quá trình thời gian rời rạc { }nX thì tính chất gia số độc lập dẫn đến dãy các biến

ngẫu nhiên 0 0 1, ; 1,2,...i i iZ X Z X X i là độc lập. Ngoài ra nếu ta biết luật phân

bố của từng biến ngẫu nhiên 0 1, , ...Z Z thì ta biết được luật phân bố của mọi nX .

Thật vậy, điều này được suy từ công thức phân bố tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập

0 1 ...i iX Z Z Z .

c. Quá trình gia số độc lập dừng

Quá trình gia số độc lập ( );X t t T được gọi là quá trình gia số độc lập dừng nếu

, , ; 0s t s t h : ( ) ( )X t X s và ( ) ( )X t h X s h độc lập và có cùng phân bố (4.3)

Quá trình Wiener (ví dụ 4.10) là một ví dụ của quá trình gia số độc lập dừng. d. Quá trình Martingal

Quá trình ( );X t t T được gọi là quá trình Martingal nếu:

Với mọi thời điểm 1 2 1.... n nt t t t , với mọi giá trị 1 2, ,...., na a a thì

1 1 1E ( ) ( ) ,..., ( )n n n nX t X t a X t a a . (4.4)

Quá trình Martingal có thể xem như là mô hình mô tả trò chơi may rủi, trong đó ( )X t là số tiền của người chơi ở thời điểm t . Tính chất Martingal nói rằng số tiền trung bình của người chơi sẽ có ở thời điểm tương lai 1nt bằng số tiền anh ta có ở thời điểm hiện tại nt và không

phụ thuộc vào những gì anh ta có trước đó trong quá khứ.

Nếu ( ); 0X t t là quá trình gia số độc lập với kỳ vọng bằng 0 thì ( ); 0X t t là quá

trình Martingal với thời gian liên tục (xem [8]).

nx

1

0 2 4 6 8 10 n

Hình 4.2: Hàm m u c a quá trình Bernoulli

e. Quá trình Markov:

Quá trình ( );X t t T được gọi là quá trình Markov nếu:

Với mọi thời điểm 1 2 .... nt t t , với mọi giá trị 1 2, ,...., na a a cho trước, với mọi thời

điểm nt t và với mọi a ta có

1 1( ) ( ) ,..., ( ) ( ) ( )n n n nP X t a X t a X t a P X t a X t a . (4.5)

Nghĩa là qui luật phân bố xác suất trong tương lai chỉ phụ thuộc hiện tại và độc lập với quá khứ. Nói cách khác quá trình Markov mô tả các hệ không có trí nhớ (memoryless). Với mọi ;t s với mọi tập giá trị A và giá trị a ta ký hiệu

( , ; , ) ( ) ( )p s a t A P X t A X s a (4.6)

và gọi là hàm xác suất chuyển từ thời điểm s đến thời điểm t . Như vậy công thức (4.5) được viết lại

1 1( ) ( ) ,..., ( ) ( , ; , )n n n nP X t a X t a X t a p t a t A , trong đó ,A a . (4.7)

Quá trình Markov với không gian trạng thái rời rạc được gọi là chuỗi Markov (hay xích Markov, Markov chains). Chuỗi Markov với thời gian rời rạc và thuần nhất được xét trong mục tiếp theo. Quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc được xét qua hàm khối lượng xác suất

( ) ,Xp x P X x x ; vì vậy tính chất Markov – công thức (4.5) đối với chuỗi

Markov ; 0,1,2,...nX n với thời gian rời rạc được viết lại như sau

1 0 0 1 1 1, ,...,n n n nP X j X i X i X i P X j X i , 0 1, ,..., ,i i i j E . (4.8)

f. Quá trình dừng (stationary)

Xét quá trình ngẫu nhiên ( );X t t T có thời gian T , , hoặc . Nói một cách khái quát một quá trình ngẫu nhiên là quá trình dừng nếu các tính chất thống kê của quá trình không phụ thuộc thời gian. Các tính chất thống kê của quá trình được xác định bởi các hàm phân bố đồng thời của quá trình tại các thời điểm. Tùy theo mức độ không phụ thuộc thời gian của các biến ngẫu nhiên của quá trình tại các thời điểm ta có các mức độ dừng khác nhau.

Quá trình dừng bậc nhất nếu: với mọi h , với mọi 1t T hai biến ngẫu nhiên

1( )X t và 1( )X t h có cùng quy luật phân bố xác suất. Như vậy quá trình dừng bậc nhất có quy luật phân bố xác suất tại mọi thời điểm là như nhau. Do đó quá trình dừng bậc nhất có hàm trung bình là hàm hằng E ( ) constX t .

Quá trình dừng bậc hai nếu: với mọi h , với mọi 1 2,t t T hai véc tơ ngẫu nhiên

1 2( ), ( )X t X t và 1 2( ), ( )X t h X t h có cùng quy luật phân bố xác suất.

Như vậy 1 2( ), ( )X t X t và 2 1(0), ( )X X t t có cùng quy luật phân bố xác suất. Nói cách khác hàm phân bố xác suất đồng thời của quá trình dừng bậc hai không phụ thuộc thời điểm 1 2,t t T mà chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hai thời điểm là 2 1t t .

Trong chương trình Xác suất Thống kê ta đã biết rằng nếu , ( , )X YF x y là hàm phân bố xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên ,X Y thì ta có thể xác định hàm phân bố xác suất

thành phần theo công thức sau

, ,( ) ( , ) lim ( , )X X Y X YyF x F x F x y

và , ,( ) ( , ) lim ( , )Y X Y X Yx

F y F y F x y

.

Do đó quá trình dừng bậc hai cũng là quá trình dừng bậc nhất. Hơn nữa E ( ) constX t

E ( ) ( )X t X t chỉ phụ thuộc . Dựa vào kết quả này, ta mở rộng khái niệm dừng bậc hai theo nghĩa rộng

Dừng theo nghĩa rộng hay dừng hiệp phương sai (wide sense stationary or covariance stationary) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: i) E ( ) constX t m ii) Với mọi , E ( ) ( )t X t X t chỉ phụ thuộc .

Đặt ( ) E ( ) ( )XK X t X t (4.9)

gọi là hàm tự tương quan của quá trình ( );X t t T . Quá trình dừng bậc hai là quá trình dừng theo nghĩa rộng, nhưng điều ngược lại không đúng.

Quá trình dừng bậc N nếu: với mọi 1 2, ,... , Nt t t T , với mọi h , hai véc tơ ngẫu

nhiên

1 2( ), ( ), ...,, ( )NX t X t X t và 1 2( ), ( ), ...,, ( )NX t h X t h X t h

có cùng phân bố xác suất. Tương tự trường hợp trên, các hàm phân bố xác suất biên của véc tơ ngẫu nhiên N

chiều có thể nhận được từ hàm phân bố xác suất đồng thời. Vì vậy quá trình dừng bậc N cũng là quá trình dừng bậc k, với mọi k N .

Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary) là quá trình dừng mọi bậc. Nghĩa là:

Với mọi N, với mọi 1 2, ,...., Nt t t T , với mọi 0h ; hai véc tơ ngẫu nhiên

1 2( ), ( ),..., ( )NX t X t X t và 1 2( ), ( ),..., ( )NX t h X t h X t h có cùng quy luật phân bố xác suất. Nói riêng mọi ( )X t có cùng phân bố. Quá trình dừng theo nghĩa chặt rất ít gặp trong thực tế, quá trình dừng hiệp phương sai được sử dụng nhiều hơn. Vì vậy người ta gọi tắt quá trình dừng hiệp phương sai là quá trình dừng.

4.2 CHUỖI MARKOV

Xét quá trình Markov ( );X t t T có không gian trạng thái E đếm được.

Tùy theo tập chỉ số {0,1,2,...}T hoặc (0; )T ta có tương ứng quá trình Markov với thời gian rời rạc hoặc liên tục.

Công thức xác suất chuyển (4.6) của quá trình Markov với không gian trạng thái rời rạc được viết cụ thể

( , ; , ) ( ) ( ) , ; ,p s i t j P X t j X s i t s i j E . (4.10)

Nếu xác suất chuyển (4.10) chỉ phụ thuộc vào t s , nghĩa là với mọi h ( , ; , ) ( , ; , )p s i t j p s h i t h j (4.11)

thì ta nói quá trình Markov thuần nhất theo thời gian.

4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất Định nghĩa 4.1: Quá trình , 0,1,2,...nX n với thời gian rời rạc được gọi là chuỗi

Markov thời gian rời rạc thuần nhất nếu thỏa mãn hai điều kiện sau i) Không gian trạng thái E của mọi nX là tập đếm được.

ii) Hàm xác suất chuyển là thuần nhất theo thời gian, tức là thoả mãn (4.11). Từ đây trở đi ta chỉ xét chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất và ta gọi tắt chuỗi Markov.

4.2.2 Ma trận xác suất chuyển

Giả sử , 0,1,2,...nX n là chuỗi Markov thời gian rời rạc có không gian trạng thái E đếm

được. Các phần tử của E được ký hiệu , , ...i j k

Với mọi ,i j E ; đặt

1 1 0ij n np P X j X i P X j X i (4.12)

không phụ thuộc vào n . Đó là xác suất để từ trạng thái i sau một bước sẽ chuyển thành trạng thái j .

Định nghĩa 4.2: Ma trận ijP p với ijp xác định theo (4.12) được gọi là ma trận xác suất

chuyển hay ma trận xác suất chuyển sau 1 bước của chuỗi Markov , 0,1,2,...nX n .

Các phần tử ijp trên mỗi hàng của ma trận xác suất chuyển thỏa mãn điều kiện

0ijp ; 1ijj E

p

, i E (4.13)

Nếu tập trạng thái E vô hạn thì ma trận xác suất chuyển có vô số hàng, vô số cột và tổng các xác suất chuyển trên mỗi hàng trong công thức (4.13) là tổng của một chuỗi số dương.

Nếu tập trạng thái E hữu hạn, chẳng hạn 1,2,...,E m thì ma trận xác suất

chuyển và công thức (4.13) được viết dưới dạng

11 12 1

21 22 2

1 2

m

mij

m m mm

p p p

p p pP p

p p p

(4.14)

0ijp ; 1

1m

ijj

p

, 1,...,i m (4.15)

Ma trận vuông thỏa mãn điều kiện (4.15) được gọi là ma trận Markov hoặc ma trận ngẫu nhiên.

4.2.3 Ma trân xác suất chuyển bậc cao, Phương trình Chapman–Kolmogorov Đặt

( )0

kij n k n kp P X j X i P X j X i . (4.16)

Đó là xác suất sau k bước hệ sẽ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j .

Định nghĩa 4.3: Ma trận vuông ( ) ( )k kijP p

gọi là ma trận xác suất chuyển sau k bước.

Ký hiệu (0)P I , I là ma trận đơn vị; (1)P P .

Tương tự ma trận xác suất chuyển P , số hàng số cột của ( )kP có thể vô hạn nếu không gian trạng thái E có vô số đếm được các phần tử. Nếu không gian trạng thái E hữu hạn thì ma

trận xác suất chuyển sau k bước ( )kP cũng là ma trận Markov (xem bài tập 4.8). Định lý 4.1: Với mọi 0n , ta có:

( 1) ( ) ( )n n nP PP P P (4.17) Từ đó suy ra

( )n nP P (4.18) Chứng minh: Áp dụng công thức xác xuất đầy đủ với hệ đầy đủ các biến cố ;kA k E ,

trong đó 1 0kA X k X i , ta có

( 1)1 0

1 0 1 1 0,

nij n

nk E

p P X j X i

P X j X i X k P X k X i

1 1 1 0nk E

P X j X k P X k X i

( )nik kj

k E

p p

(do tính chất

không nhớ của chuỗi Markov). ( 1) ( )n nP PP .

Ta cũng có ( 1)1 0

nij np P X j X i

1 0 0,n n nk E

P X j X i X k P X k X i

1 0n n nk E

P X j X k P X k X i

( )nik kj

k E

p p

( 1) ( )n nP P P .

Từ (4.17) suy ra (2) 2P PP P , bằng quy nạp ta có ( )n nP P với mọi 0,1,2,...n

Từ công thức (4.18) và đẳng thức n m n mP P P , , 0n m ; ta có

( ) ( ) ( )n m n mP P P , , 0n m

ta có thể viết các phần tử tương ứng dưới dạng ( ) ( ) ( )n m n m

ij ik kjk

p p p (4.19)

Công thức (4.19) được gọi là Phương trình Chapman-Kolmogorov. Phương trình Chapman-Kolmogorov giải thích quy luật chuyến trạng thái của chuỗi Markov như sau: hệ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau n m bước có thể đạt được bằng

cách chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k trong n bước (với xác suất ( )nikp ) và

tiếp tục chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j trong m bước (với xác suất ( )mkjp ). Hơn

nửa biến cố “chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k trong n bước” và biến cố “chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j trong m bước” là độc lập. Vậy xác suất chuyển từ

i sang j sau n m bước qua các trạng thái , ,i k j bằng tích ( ) ( )n mik kjp p . Cuối cùng xác suất

chuyển từ i sang j có được bằng cách lấy tổng theo mọi trạng thái trung gian k , k chạy trong không gian các trạng thái của chuỗi.

4.2.4 Phân bố xác suất của hệ tại thời điểm thứ n

Giả sử không gian trạng thái có dạng 0,1,2,...E

Ma trận hàng

0 1 2( ) ( ) ( ) ( )n p n p n p n P , ( ) , 0,1,2,...j np n P X j n . (4.20)

gọi là ma trận phân bố xác suất của hệ tại thời điểm n hoặc phân bố của nX .

Các phần tử của ma trận hàng ( )nP thỏa mãn điều kiện

( ) 0; ( ) 1k kk E

p n p n

0 1 2(0) (0) (0) (0)p p p P là ma trận phân bố tại thời điểm 0n và được gọi là ma

trận phân bố xác suất ban đầu. Định lý 4.2: Với mọi n , 0m :

( )( ) (0) nn PP P (4.21) ( 1) ( )n n P P P (4.22)

( )( ) ( ) mn m n P P P . (4.23) Chứng minh: Từ định lý 4.1 ta suy ra 3 điều trên là tương đương. Vì vậy để chứng minh định lý 4.2 ta chỉ cần chứng minh (4.23) và công thức này được chứng minh bằng cách áp dụng công thức xác suất đầy đủ như sau.

( )( ) ( ) mj n m n n m n i ij

i E i E

p n m P X j P X i P X j X i p n p

.

Vậy chuỗi Markov rời rạc thuần nhất hoàn toàn được xác định bởi ma trận xác suất chuyển một bước P và ma trận phân bố ban đầu (0)P .

Ví dụ 4.2: Một mạng viễn thông gồm một dãy các trạm chuyển tiếp các kênh viễn thông nhị phân cho trong sơ đồ sau, trong đó nX ký hiệu mã số nhị phân đầu ra của trạm thứ n và 0X ký

hiệu mã số nhị phân đầu vào của trạm đầu tiên.

Đây là 1 mô hình chuỗi Markov có không gian trạng thái 0,1E , tập chỉ số

0,1,..., ,...T n .

Ma trận xác suất chuyển của mạng viễn thông này thường được gọi là ma trận kênh:

1

1

a aP

b b

; 0 1a , 0 1b .

Trong đó a , b là xác suất lỗi.

Giả sử 0,1a , 0,2b và phân bố xác suất đầu 0 00 1 0,5P X P X

(hai tín hiệu 0, 1 đồng khả năng). a.Tìm ma trận xác suất chuyển sau 2 bước, b. Tìm phân bố xác suất của trạm thứ hai.

Giải: a. (2) 0,9 0,1 0,9 0,1 0,83 0,17

0,2 0,8 0,2 0,8 0,34 0,66P

.

b. (2) 0,83 0,17(2) (0) 0,5 0,5 0,585 0,415

0,34 0,66P

P P .

Như vậy có 58,5% tín hiệu 0 và 41,5% tín hiệu 1 ở đầu ra của trạm thứ hai, mặc dù đầu vào ở trạm đầu tiên hai tín hiệu này xuất hiện đồng khả năng.

4.2.5 Một số mô hình chuỗi Markov quan trọng 4.2.5.1 Mô hình phục vụ đám đông Xét mô hình phục vụ đám đông (lý thuyết sắp hàng). Khách đến sắp hàng chờ phục vụ theo nguyên tắc FIFO (first in first out) và trong mỗi chu kỳ cửa hàng chỉ phục vụ một khách. Số khách đến trong chu kỳ thứ n là biến ngẫu nhiên n . Giả sử 1 , 2 ,... là các biến ngẫu nhiên

độc lập cùng phân bố xác suất với biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất.

kP k a ; 0,1,2,...k ; 0; 1k kk

a a . (4.24)

1 a

ba

1 0nX 0nX

1 1nX 1nX 1 b

Hình 5.3: M ng vi n thông nh phân

Trạng thái của hệ (cửa hàng) là số khách xếp hàng chờ phục vụ tại thời điểm đầu của mỗi chu kỳ (khi một khách hàng vừa được phục vụ xong). Nếu hiện tại hệ ở trạng thái i và sau 1 chu kỳ hệ rơi vào trạng thái j thì

1 1,

0.

i ij

i

nÕu

nÕu (4.25)

Vì các biến ngẫu nhiên n độc lập và có cùng phân bố với biến ngẫu nhiên .

Ký hiệu nX là số khách hàng tại thời điểm đầu của chu kỳ thứ n , ta có

1 1n n nX X

, trong đó ký hiệu max(0, )X X ,

Từ (4.24)-(4.25) suy ra

n u n u

n un u

n u1 1

0 11 0

1 0 0

0, 0

nn n j i

nj

j iP j i i

P X j X i a j iP j i

a i j

ÕÕ

ÕÕ

Õ

(4.26)

Vì các quá trình đến n độc lập do đó xác suất chuyển 1ij n np P X j X i thỏa

mãn điều kiện (4.7), hơn nữa các biến ngẫu nhiên n có cùng phân bố với biến ngẫu nhiên

do đó xác suất chuyển ijp thuần nhất theo thời gian.

Vậy ; 0,1,...nX n là chuỗi Markov thuần nhất có ma trận xác suất chuyển được xác định

từ công thức (4.26)

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2

0 1

0

0 0

a a a a

a a a a

a a aP

a a

4.2.5.2 Mô hình kiểm kê (Inventory Model) Giả thiết phải dự trữ trong kho một loại hàng nào đó để đáp ứng nhu cầu liên tục của khách hàng. Hàng được nhập kho tại cuối mỗi chu kỳ

( 1) ( )lim limn nj ij ik kj k kjn n k k

p p p p

Giả sử tổng số lượng hàng cần phải đáp ứng nhu cầu trong chu kỳ n là biến ngẫu nhiên n

có phân bố độc lập với chu kỳ thời gian, nghĩa là dãy biến ngẫu nhiên n độc lập có cùng

phân bố với .

; 0k kP k a a và 0( )

,inf 0n

iji jp . (4.27)

Mức hàng dự trữ được kiểm kê tại cuối mỗi chu kỳ. Cách nhập hàng căn cứ vào 2 chỉ số tiêu

chuẩn s và ( ) ( ) ( ) ( )inf , supn n n nj ij j iji i

m p M p ( )s S như sau: Nếu ở cuối mỗi chu kỳ

lượng hàng dự trữ s thì ngay tức khắc nhập hàng để có số hàng dự trữ bằng S ; Nếu hàng

hiện có s thì không cần nhập hàng. Giả sử số nhu cầu trong mỗi chu kỳ không vượt quá

( ) ( ) ( ) ( )inf , supn n n nj ij j iji i

m p M p , công thức (4.27) trở thành 0

1S

kk

a

.

Ký hiệu nX là lượng hàng hiện có tại cuối chu kỳ ( ) ( ) 0n nj jM m và trước khi nhập hàng,

như vậy

11

1

,

.n n n

nn n

X s X SX

S X s

nÕu

nÕu (4.28)

Các trạng thái của quá trình , 0nX n là các số lượng hàng dự trữ:

1 ,..., 2, 1, 0,1,2,..., 1,s S S S

trong đó giá trị âm là nhu cầu chưa được phục vụ mà sẽ được đáp ứng ngay sau khi nhập hàng. Từ công thức (4.28) ta có

1 .ij n n

P i j s i Sp P X j X i

P S j i s

nÕu

nÕu (4.29)

Ví dụ 4.3: Xét mô hình kiểm kê phụ tùng thay thế, trong đó yêu cầu có thể là 0, 1 hoặc 2 đơn vị phụ tùng cần thay thế trong một chu kỳ bất kỳ với phân bố xác suất như sau

0 0,3; 1 0,6; 2 0,1P P P

và giả sử 0; 2s S .

Không gian trạng thái sẽ là 1,0,1,2E .

Ta có: 1

0 2,

2 0.ij n n

P i j ip P X j X i

P j i

nÕu

nÕu

1, 1 1 1 1 2 ( 1) ( ) 0n np P X X P P ,

1,0 1 0 1 2 0 2 0,1n np P X X P P ,

1,1 1 1 1 2 1 1 0,6n np P X X P P ,

1,2 1 2 1 2 2 0 0, 3n np P X X P P ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2, 1 1 1 2 ( ) 0n np P X X P ,

2,0 1 0 2 2 0 2 0,1n np P X X P P ,

2,1 1 1 2 1 2 1 1 0,6n np P X X P P ,

2,2 1 2 2 2 2 0 0,3n np P X X P P

Ma trận xác suất chuyển:

0,0 0,1 0,6 0,3

0,0 0,1 0,6 0,3

0,1 0,6 0,3 0,0

0,0 0,1 0,6 0,3

P

4.2.6 Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic

Định nghĩa 4.4: *1 2 ...p p P được gọi là ma trận phân bố dừng của chuỗi Markov với

ma trân xác suất chuyển P nếu thoả mãn 2 điều kiện:

* * ( )

0, 1 ( )j jj

P a

p p b

P P (4.30)

Điều kiện (4.30-b) là cần thiết để *P là phân bố xác suất của hệ tại thời điểm bất kỳ.

Điều kiện (4.30-a) suy ra * * * 2 *... ;nP P P n P P P P .

Như vậy nếu chuỗi Markov có phân bố dừng tại thời điểm 0n nào đó thì hệ sẽ có phân bố xác

suất không thay đổi sau mọi bước chuyển kể từ thời điểm 0n . Đặc biệt nếu phân bố đầu

*P của chuỗi Markov thỏa mãn điều kiện (4.30) thì * *( )n P P với mọi n , nghĩa là phân bố xác suất của hệ không thay đổi. Điều kiện (4.30-a) có thể viết lại dưới dạng

* *t t tP P P (4.31)

trong đó ma trận cột *tP là ma trận chuyển vị của ma trận hàng *P .

Công thức (4.31) cho thấy phân bố dừng *P là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng bằng

1 của ma trận tP . Định nghĩa 4.5: Ta nói rằng chuỗi Markov với ma trân xác suất chuyển P có ma trận phân

bố giới hạn là 1 2p p nếu thoả mãn 2 điều kiện:

1) Với mọi j tồn tại giới hạn ( )lim nij jn

p p

không phụ thuộc i , (4.32)

2) 1 , 0j jj E

p p

, (4.33)

Nếu điều kiện (4.33) được thay bởi 3) 1 , 0j j

j E

p p

(4.34)

thì chuỗi Markov được gọi là có tính ergodic và 1 2p p là ma trận phân bố ergodic.

Nhận xét 4.1:

Nếu phân bố của 0nX (ở thời điểm thứ 0n ) của chuỗi là phân bố dừng thì từ thời điểm

này trở đi phân bố xác suất của chuỗi không thay đổi; nghĩa là với mọi 0m n , mX và 0nX

có cùng phân bố xác suất. Phân bố giới hạn là phân bố hệ sẽ đạt được khi thời gian tiến đến vô cùng. Phân bố

giới hạn chỉ phụ thuộc ma trận xác suất chuyển, không phụ thuộc phân bố đầu (ví dụ 4.5). Trong thực tế có thể đến thời điểm nào đó trở đi ma trận xác suất chuyển có các hàng bằng nhau, lúc đó chuỗi đạt được phân bố giới hạn. Ví dụ 4.4 sau đây chứng tỏ với 20n thì chuỗi đạt được phân bố giới hạn. Phân bố ergodic là phân bố giới hạn với xác suất dương tại mọi trạng thái của chuỗi.

Như vậy về lâu dài hệ nhận giá trị tại mọi trạng thái với xác suất dương.

Ví dụ 4.4: Có 3 mạng điện thoại di động A, B, C cùng khai thác thị trường. Tỉ lệ chiếm lĩnh thị trường hiện tại tương ứng là 40%, 30% và 30%. Theo thống kê người ta thấy xác suất thay đổi mạng của khách hàng trong mỗi quí (3 tháng) như sau:

0,6 0,3 0,1

0,1 0, 8 0,1

0,1 0,2 0,7

A B C

AP

B

C

Áp dụng công thức (4.18) và (4.21) ta tính được phân bố tại thời điểm thứ n : ( )( ) (0) nn PP P trong các trường hợp sau.

0n (0) 0,4 0,3 0, 3 P ,

1n 0,6 0,3 0,1

0,1 0,8 0,1

0,1 0,2 0,7

P

(1) (0) 0,35 0,43 0,22P P P ,

6n 6

0,2125 0,5492 0,2383

0,1969 0,5648 0,2383

0,1969 0,5181 0,2853

P

6(6) (0) 0,2047 0,5476 0,2477P P P ,

12n 12

0,2002 0,5503 0,2495

0,2000 0,5506 0,2495

0,2000 0,5484 0,2516

P

12(12) (0) 0,2001 0,550 0,2499P P P ,

18n 18

0,2000 0,5500 0,2500

0,2000 0,5500 0,2500

0,2000 0,5499 0,2501

P

18(18) (0) 0,2000 0,550 0,2500P P P .

20n 20

0,2000 0,5500 0,2500

0,2000 0,5500 0,2500

0,2000 0,5500 0,2500

P

20(20) (0) 0,20 0,55 0,25P P P .

Ta thấy rằng khi n càng lớn xác suất trên mỗi cột càng gần bằng nhau và đạt được phân bố giới hạn khi 20n . Vậy thị trường đạt trạng thái ổn định với tỉ lệ chiếm lĩnh thị trường tương ứng 20%, 55% và 25%. Ta nhận thấy phân bố giới hạn chỉ phụ thuộc ma trận xác suất chuyển và không phụ thuộc phân bố ban đầu. Ví dụ sau đây cũng minh họa thêm về điều đó. Ví dụ 4.5: Về sự bình đẳng trong giáo dục giữa các nhóm chủng tộc. Trên cơ sở báo cáo điều tra dân số của văn phòng điều tra dân số Hoa kỳ năm 1960, hai tác giả Lieberson và Fuguitt (1967) đã xác định được ma trận chuyển trình độ học vấn giữa hai thế hệ khi so sánh tình trạng học vấn của nhóm thanh niên độ tuổi 20-24 với trình độ học vấn của bố của họ:

Nghĩa là xác suất để người con có trình độ dưới ĐH với điều kiện người bố dưới ĐH là

0,43 và xác suất để người con có trình độ ĐH với điều kiện người bố dưới ĐH là 0,34 … Hai tác giả đồng ý rằng có hai loại bất lợi đối với các nhóm chủng tộc và dân tộc. Loại bất

lợi thứ nhất bắt nguồn từ nguồn gốc chủng tộc và dân tộc mà kết quả là có sự khác nhau giữa ma trận chuyển của nhóm người da trắng và nhóm người da mầu. Ngay cả khi sự phân biệt chủng tộc bị loại bỏ thì vẫn còn loại bất lợi thứ hai đó là vị trí xã hội và thu nhập của người da mầu thấp hơn nhiều so với người da trắng. Nói cách khác ngay cả khi ma trận chuyển về học vấn giữa hai thế hệ P (ma trận xác suất chuyển) được xem là như nhau giữa hai nhóm thì điều kiện ban đầu (0)P (phân bố đầu) cũng khác nhau.

Hai tác giả cho rằng có thể xem ma trận chuyển P giữa hai nhóm da trắng và da mầu là như nhau nhưng có xuất phát điểm khác nhau. Nghĩa là trình độ học vấn ở thời điểm ban đầu (năm 1960) của hai nhóm chủng tộc khác nhau.

Chẳng hạn năm 1960: Tỷ lệ trình độ học vấn dưới ĐH, ĐH, trên ĐH của nhóm chủng tộc da trắng tương ứng là: 46%, 31%, 23%. Tỷ lệ trình độ học vấn dưới ĐH, ĐH, trên ĐH của nhóm chủng tộc da màu tương ứng là: 75%, 16%, 09%.

Vậy phân bố đầu của nhóm chủng tộc da trắng (1) 0,46 0,31 0,23P ,

phân bố đầu của nhóm chủng tộc da màu (1) 0,75 0,16 0,09P .

Áp dụng công thức (4.21) ta có thể tính được phân bố xác suất của các thế hệ tiếp theo. Chẳng hạn tỉ lệ trình độ học vấn của thế hệ tiếp theo là

Da trắng: 0,43 0,34 0,23

(2) 0,46 0,31 0,23 0,10 0,36 0,54 0,24 0,30 0, 46

0,05 0,15 0,80

P

P

D i H

H

D i H

H

Trên H

Trên H 0,43 0,34 0,23

0,10 0,36 0,54

0,05 0,15 0,80

Da màu: 0,43 0,34 0,23

(2) 0,75 0,16 0,09 0,10 0,36 0,54 0,34 0,33 0,33

0,05 0,15 0,80

P

Tiếp tục tính toán ta được kết quả trình bày trong bảng sau, trong đó chỉ số khác nhau trong bảng là tỷ lệ % khoảng cách mà hai nhóm cần phải thay đổi để đạt được phân bố trình độ học vấn bằng nhau.

Như vậy không phụ thuộc vào xuất phát điểm, sau 8 thế hệ các nhóm người trong cộng đồng đều có trình độ học vấn như nhau theo tỷ lệ 10% dưới ĐH, 21% ĐH và 69% trên ĐH.

Các định lý sau cho quan hệ giữa phân bố giới hạn và phân bố dừng, và điều kiện tồn tại phân bố ergodic.

Định lý 4.3: Nếu tồn tại phân bố giới hạn thì đó là phân bố dừng duy nhất.

Chứng minh: Giả sử 1 2p p là phân bố giới hạn, khi đó với mọi j ta có:

( 1) ( )lim limn nj ij ik kj k kjn n k k

p p p p p p

1 2 1 2p p p p P . Do đó 1 2p p

là một phân bố dừng.

Ngược lại giả sử 1 2p p

là một phân bố dừng bất kỳ của chuỗi Markov này thì

(2) ( ).... nj k k kkj kj kj

k k k

p p p p p p p

( )lim nj k kkj j jn k k

p p p p p p

.

Nghĩa là phân bố giới hạn là phân bố dừng duy nhất.

% D i H % H % Trên H

Ch s % khác nhau

(1960)

Da tr ng 46 31 23 29 Da m u 75 16 09

(2)P Da tr ng 24 30 46 13 Da m u 34 33 33

(3)P Da tr ng 16 26 58 6 Da m u 20 28 52

(4)P Da tr ng 12 23 64 3 Da m u 14 25 61

(5)P Da tr ng 11 22 68 1 Da m u 11 23 66

(6)P Da tr ng 10 22 68 1 Da m u 11 22 67

(7)P Da tr ng 10 21 69 1 Da m u 10 22 68

(8)P Da tr ng 10 21 69 0 Da m u 10 21 69

Định lý 4.4: Nếu chuỗi Markov có không gian trạng thái hữu hạn thì chuỗi này là ergodic khi

và chỉ khi tồn tại 0n sao cho 0( )

,min 0n

iji jp .

Nhận xét 4.2: 1) Phân bố dừng là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (4.30), cụ thể:

1 2 1 2... ...

0, 1.j jj

x x x x P

x x

hay

1 1

2 2

0, 1.

t

j jj

x x

P x x

x x

(4.35)

Hệ phương trình (4.35) có thể vô nghiệm, duy nhất nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Do đó, một cách tương ứng chuỗi Markov có thể không tồn tại phân bố dừng, có phân bố dừng duy nhất hoặc có vô số phân bố dừng. Giải hệ phương trình (4.35) cho trường hợp ví dụ 4.5 ta cũng thu được phân bố dừng tương

ứng * 0,20 0,55 0,25 P .

2) Từ định lý 4.3 và 4.4 ta thấy rằng nếu chuỗi Markov hữu hạn trạng thái với ma trận xác

suất chuyển ijP p thỏa mãn điều kiện tồn tại 0n sao cho 0( )

,min 0n

iji jp thì chuỗi này là

ergodic. Phân bố ergodic là phân bố giới hạn và cũng là phân bố dừng duy nhất, đó là nghiệm của hệ phương trình (4.35). Ví dụ 4.6: Xét chuỗi Markov ở ví dụ 4.2, ma trận xác suất chuyển

1

1

a aP

b b

, 0 , 1a b

Theo định lý 4.4 chuỗi Markov có tính ergodic với phân bố ergodic là nghiệm của hệ phương trình (theo nhận xét 4.2-2).

1 1 11 22 2

1 221 2

10

11

1

ba b x x xax bx a ba b x xx x a

xx xa b

Mặt khác cũng có thể tính trực tiếp ma trận chuyển sau n bước

1 1(1 )

1

n

n na a b a a aP a b

b b b a b ba b

(4.36)

Vì 1 1 1a b do đó (1 ) 0na b khi n . Vậy

( )lim n

n

b aa b a bP

b aa b a b

.

Đế chứng minh (4.36) ta có thể tính theo một trong các cách sau: Quy nạp theo n .

Sử dụng công thức: nếu AB BA thì 0

( )n

n k k n kn

k

A B C A B

và bằng cách đặt

1 1 0

1 0 1

a a a aP

b b b b

; 1( )k ka a

A A a b Ab b

1

0 1 1

( )n n n

n k k k k k kn n n

k k k

P C A I C A I C a b A

1 1(1 ) 1 (1 )

( )n nb a a a

I a b A a bb a b ba b a b

.

Ví dụ 4.7: Trong một bài báo viết năm 1913 A. A. Markov đã chọn 1 dãy gồm 20.000 chữ cái trong trường ca Evghenhi Onheghin của A. X. Puskin và thấy rằng các chữ cái này chuyển đổi liên tiếp theo hai trạng thái nguyên âm (Na) và phụ âm (Pa) với ma trận xác suất chuyển là

0,128 0,872

0,663 0,337

NaP

Pa

Na Pa

Phân bố giới hạn (cũng là phân bố dừng) của chuỗi Markov này là 0,663

( ) 0,4230,872 0,663

P Na

, 0, 872

( ) 0,5680,872 0,663

P Pa

.

Vậy có khoảng 42,3% nguyên âm và 56,8% phụ âm trong tác phẩm trên.

4.3 QUÁ TRÌNH DỪNG 4.3.1 Hàm tự hiệp phương sai và hàm tự tương quan của quá trình dừng

Giả sử ( );X t t I là quá trình dừng với giá trị trung bình m và hàm tự tương quan

( )XK , nghĩa là:

1) ( ) E ( ) constm t X t m ,

2) Hàm tự tương quan: ( ) E ( ) ( ) ; ,XXK t s X s X t s t I .

Hoặc ( ) E ( ) ( )XXK X t X t

Hàm tự tương quan có các tính chất sau. Định lý 4.5: 1) ( ) ( )XX XXK K .

2) 2 2

( ) (0) E ( ) E (0) , .XX XXK K X t X t

Nếu ( )X t là tín hiệu ngẫu nhiên thì2

(0) E ( )XXK X t được gọi là năng lượng trung bình

của tín hiệu.

Hai hàm tương quan chéo của hai quá trình ( );X t t I , ( );Y t t I được định nghĩa và

ký hiệu

( ; ) E ( ) ( )XYR s t X s Y t , ( ; ) E ( ) ( )YXR s t Y s X t ; ,s t I (4.37)

Hai quá trình dừng ( );X t t I , ( );Y t t I được gọi là dừng liên kết cùng nhau nếu

hàm tự tương quan chéo chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hai thời điểm, nghĩa là

( ; ) E ( ) ( ) ( )XY XYR t t X t Y t R .

Trường hợp ( ; ) E ( ) ( ) 0XYR t t X t Y t ta nói hai quá trình ( )X t , ( )Y t trực giao

nhau. Hàm tương quan chéo của hai quá trình dừng ( )X t , ( )Y t có các tính chất sau:

1) ( ) ( )XY YXR R

2) 1| ( ) | (0) (0) (0) (0)

2XY XX YY XX YYR R R R R

Nhận xét 4.3: 1) Ý nghĩa vật lý của hàm tự tương quan ( )XK của quá trình dừng thể hiện sự phụ thuộc lẫn

nhau của hai biến ngẫu nhiên của quá trình ( )X t lấy ở hai thời điểm cách nhau đơn vị thời gian. Vì vậy rõ ràng rằng nếu quá trình ( )X t thay đổi nhiều theo thời gian thì hàm tự tương

quan giảm nhanh từ giá trị cực đại (0)XK khi tăng. Sự giảm nhanh của hàm tự tương quan

có thể được đặc trưng bởi thời gian không tương quan 0 , đó là giá trị sao cho khi 0 thì

trị tuyệt đối của ( )XK nhỏ hơn mức ý nghĩa, và thường chọn bằng 1% của giá trị cực đại

(0)XK .

2) Giả sử quá trình ( );X t t I có hàm trung bình ( ) E ( ) constm t X t m và hàm tự

tương quan E ( ) ( )X s X t chỉ phụ thuộc vào t s , khi đó hàm tự hiệp phương sai

2cov( ( ), ( )) E ( ) ( ) E ( ) ( )X s X t X s m X t m X s X t m

cũng chỉ phụ thuộc vào t s , nghĩa là tồn tại hàm ký hiệu ( )XC , sao cho

( ) cov( ( ), ( )); ,XXC t s X s X t s t I (4.38)

( )XXC được gọi là hàm tự hiệp phương sai của quá trình dừng ( );X t t I .

Vì vậy có thể định nghĩa quá trình dừng theo nghĩa rộng là quá trình thỏa mãn hai điều kiện sau: 1’) ( ) E ( ) constm t X t m ,

2’) hàm tự hiệp phương sai ( , ) cov( ( ), ( ))XXR s t X s X t chỉ phụ thuộc vào

t s ; ,s t I .

Rõ ràng rằng hai định nghĩa này trùng nhau khi ( ) E ( ) 0,m t X t t .

Ví dụ 4.8: Giả sử U, V là hai biến ngẫu nhiên thoả mãn

E E 0U V , 2var varU V , cov( , ) 0U V . Khi đó quá trình ( ) cos sinX t U t V t , là một hằng số, là quá trình dừng với hàm tự

tương quan 2( ) cosXK .

Giải: E ( ) E cos sin cos E sin E 0X t U t V t t U t V .

Từ giả thiết E E 0U V , 2 2 2 2var var E( ) E( )U V U V ,

0 cov( , ) E( ) (E )(E ) E( ) 0U V UV U V UV .

E ( ) ( ) E cos sin cos sinX s X t U s V s U t V t

2 2E cos cos sin sin cos cos sin sinU s t V s t UV s t s t

2 2cos cos E sin sin E cos cos sin sin Es t U s t V s t s t UV

2 2cos cos sin sin cos ( )s t s t t s

Vậy ( )X t là một quá trình dừng với hàm tự tương quan 2( ) cosXXK .

Ví dụ 4.9: Tín hiệu ngẫu nhiên hình sin 0( ) cosX t A t , trong đó ,A là hai biến

ngẫu nhiên độc lập, A có phương sai hữu hạn và có phân bố đều trên đoạn 0;2

, 0 là

hằng số. ( )X t là một quá trình dừng với hàm tự tương quan 2

0( ) cos2XXK

, với

2 2E A .

Giải: là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên đoạn 0;2

với hàm mật độ

10 2

( ) 20

uf u

nÕu

nÕu ngîc l¹i

2

2

0 0 0 0 00

1 1E cos cos( ) ( ) cos( ) sin( ) 0

2 2 ut t u f u du t u du t u

0 0E ( ) E cos E E cos 0X t A t A t

(vì ,A độc lập và 0E cos 0t )

0 0E ( ) ( ) E cos cosX s X t A s A t

2 20 0 0 0E cos( ) cos( ) E E cos( ) cos( )A s t A s t

0 0 0 01 1

E cos( ) cos( ) E cos ( ) 2 cos ( )2 2

s t s t t s

0 0 0

1 1 1E cos ( ) 2 E cos ( ) cos ( )

2 2 2s t t s t s .

Do đó quá trình ngẫu nhiên hình sin là một quá trình dừng với hàm tự tương quan

20

1( ) cos

2XXK .

Ví dụ 4.10: (Quá trình Wiener) Quá trình ( ), 0W t t được gọi là một quá trình Wiener với

tham số 2 nếu nó thoả mãn các tính chất sau: a. (0) 0W . b. Với mọi 0 s t thì ( ) ( )W t W s là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn

2(0; ( ))t s N .

c. ( ), 0W t t là quá trình với gia số độc lập, nghĩa là với mọi 1 20 ... nt t t các

biến ngẫu nhiên: 2 1 3 2 1( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) ( )n nW t W t W t W t W t W t là độc lập.

Như vậy ( ), 0W t t là một quá trình có: ( ) E ( ) 0 0m t W t t .

, 0t s , giả sử s t :

( , ) E ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) ( )r s t W s W t W s W s W t W s

2E ( ) E ( ) (0) ( ) ( )W s W s W W t W s

2 2E ( ) (0) E ( ) ( )s W s W W t W s s . (do gia số độc lập và E ( ) 0W s )

Do đó 2( , ) min( , )r s t s t . Vậy quá trình Wiener là một quá trình gia số độc lập dừng (thỏa mãn điều kiện 4.3)

nhưng không phải là quá trình dừng. Quá trình Wiener biểu diễn chuyển động Brown, mô tả sự chuyển động của hạt trong môi trường chất lỏng thuần nhất.

4.3.2 Đặc trưng phổ của quá trình dừng Đối với các hệ thống tuyến tính tất nhiên hoặc các tín hiệu tất nhiên người ta có thể sử dụng cả hai phương pháp phân tích theo miền thời gian và theo miền tần số. Các tính chất phổ tần số của tín hiệu tất nhiên ( )x t nhận được từ biến đổi Fourier (xem chương 2)

2( ) ( ) ( )

i t fX f x t e x t dt

F

Hàm ( )X f đôi khi được gọi một cách đơn giản là phổ của ( )x t , có đơn vị volt/hertz.

Nếu biết phổ ( )X f thì có thể khôi phục tín hiệu thông qua phép biến đổi Fourier ngược

21( ) ( ) ( )i t f

x t X f e X f df

F

Một cách tự nhiên ta cũng tìm cách sử dụng hai phương pháp này cho trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên là quá trình dừng. Biểu diễn phổ của tín hiệu tất nhiên nhận được từ biến đổi Fourier của tín hiệu đó. Mặc dù phép biến đổi Fourier cũng có vai trò rất quan trọng trong việc đặc trưng phổ của các tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên không thể tính trực tiếp biến đổi Fourier các tín hiệu ngẫu nhiên, vì phép biến đổi có thể không tồn tại đối với hầu hết các hàm mẫu của quá trình. Vì vậy phân tích phổ của các quá trình ngẫu nhiên đòi hỏi tỉ mỉ hơn phân tích các tín hiệu tất nhiên. Mặt khác ta có thể biểu diễn công suất của quá trình ngẫu nhiên dưới dạng hàm theo tần số thay vì theo hiệu điện thế (đẳng thức Parseval 2.92 và định lý năng lượng Rayleigh 2.109-2.110), biểu diễn như thế tồn tại. Trong mục này ta xét đến các hàm đó và gọi là mật độ phổ công suất. A. Mật độ phổ công suất

Xét tín hiệu là quá trình ngẫu nhiên ( );X t t , có hàm mẫu ( )x t .

Với mỗi 0T xét: ( )

( )0T

x t t Tx t

t T

nÕu

nÕu

Đặt biến đổi Fourier của ( )Tx t là ( ) ( )T TX f x t F

2 2( ) ( ) ( ) .T

i ft i ftT T

T

X f x t e dt x t e dt

Năng lượng của ( )x t trong khoảng ( , )T T là

2 2( ) ( ) ( )T T

TT T

E T x t dt x t dt

Áp dụng đẳng thức Parseval ta có:

22 2( ) ( ) ( ) ( )

T

TT TT

E T x t dt x t dt X f df

.

Chia cho 2T ta được ta được công suất trung bình ( )P T của ( )x t trong khoảng ( , )T T .

2

2( )1

( ) ( )2 2

T

T

X fP T x t dt df

T T

2( )

2

TX f

T là mật độ phổ công suất của tín hiệu trong khoảng ( , )T T . Tuy nhiên

2( )

2

TX f

T

vẫn là một biến ngẫu nhiên vì được tính toán theo hàm mẫu. Mật độ phổ công suất được tính

theo giá trị trung bình (kỳ vọng) của 2

( )

2

TX f

T và khi T .

221 1lim E ( ) lim E ( )

2 2

T

TXX T TT

P X t dt X f dfT T

(4.39)

2 21lim E ( ) E ( )

2

T

XX TT

P X t dt A X tT

(4.40)

trong đó kí hiệu và định nghĩa 1

lim2

T

TTA dt

T (4.41)

(xem định nghĩa 4.7 và các công thức 4.52-4.53). Ta định nghĩa mật độ phổ công suất của quá trình, viết tắt PSD (Power Spectral Density), là

21( ) lim E ( )

2TXX T

f X fT

. (4.42)

Từ công thức (4.31), (4.42) ta có công thức tính công suất

( )XX XXP f df

Trường hợp quá trình ( );X t t là quá trình dừng thì

22E ( ) (0) constXXX t R X , do đó

22E ( )XXP A X t X

.

Ví dụ 4.11: Xét quá trình ngẫu nhiên 0( ) cos 2X t A f t , trong đó A và 0f là hai

hằng số, là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên khoảng 0; / 2 .

Ta tính trực tiếp công suất trung bình của tín hiệu:

2 2

2 2 20 0E ( ) E cos 2 E cos 4 2

2 2A A

X t A f t f t

/2

2

0 0 000

2 1E cos 4 2 cos 4 2 sin 4 2

2f t f t d f t

0 0 0 0

1sin 4 sin 4 cos 4 sin sin 4

2 2 2f t f t f t f t

/22 2 2 2

20 0

0

2E ( ) cos 4 2 sin 4

2 2 2A A A A

X t f t d f t

2 2 2

20

1E ( ) lim sin 4

2 2 2

T

XX TT

A A AP A X t f t dt

T

.

Cũng có thể tính qua mật độ phổ công suất như sau:

2 2 20( ) ( ) ( ) cos 2

T Ti ft i ft i ft

T TT T

X f X t e dt X t e dt A f t e dt

0 02 ( ) 2 ( )

2 2

T Ti f f t i f f ti i

T T

A Ae e dt e e dt

0 0

0 0

sin2 ( ) sin2 ( )

2 ( ) 2 ( )i if f T f f T

ATe ATef f T f f T

22 2 2 2( ) 2 cos2TX f A T

, 0 0

0 0

sin 2 ( ) sin 2 ( );

2 ( ) 2 ( )

f f T f f T

f f T f f T

Vì E cos2 0 , do đó

2 222

0 0

0 0

sin2 ( ) sin2 ( )1E ( )

2 2 2 ( ) 2 ( )T

f f T f f TA T TX f

T f f T f f T

Sử dụng kết quả (Lathi, 1968: An Introduction to Random Signals and Communication Theory, International Textbook, Scranion, Pennsylvania. p.24)

2sin

lim ( )T

T aTa

aT

. (4.43)

Ta có

22

0 01

( ) lim E ( ) 2 ( ) 2 ( )2 2

TXX T

Af X f f f f f

T

Áp dụng công thức (3.24) ta được 2

0 0( ) ( ) ( )4XX

Af f f f f

Vậy 2 2

0 0( ) ( ) ( )4 2XX XXA A

P f df f f f f df

.

Tính chất mật độ phổ công suất 1. ( )XX f là hàm thực

2. ( ) 0XX f

3. ( ) ( )XX XXf f nếu là quá trình thực

4. 2

( ) E ( )XX f df A X t

5. 2( ) ( , )i fXX XXf e df A R t t

; 2( ) ( , ) i fXX XXf A R t t e d

(4.44)

Chứng minh: Từ công thức (4.42) suy ra tính chất 1. và 2. Tính chất 3. suy từ tính chất của phép biến đổi Fourier, công thức (2.107-3). Ta chứng minh công thức (4.44):

Theo công thức (4.42): 21( ) lim E ( )

2TXX T

f X fT

Mặt khác 2 2( ) ( ) ( ) .T

i ft i ftT T

T

X f x t e dt x t e dt

Do đó 1 22 21 1 2 2

1( ) lim E ( ) ( )

2

T Ti ft i ft

XX TT T

f X t e dt X t e dtT

2 12 ( )1 2 1 2

1lim E ( ) ( )

2

T Ti f t t

TT T

X t X t e dt dtT

1 2 1 2E ( ) ( ) ( , )XXX t X t R t t với 1T t T và 2T t T

2 12 ( )1 2 1 2

1( ) lim ( , )

2

T Ti f t t

XX XXTT T

f R t t e dt dtT

.

Đổi biến số lấy tích phân 1 1

2 1 2 2

t t dt dt

t t t t d dt

21( ) lim ( , )

2

T t Ti f

XX XXTT t T

f R t t dte dT

21lim ( , )

2

Ti f

XXTT

R t t dt e dT

Mặt khác 1lim ( , ) ( , )

2

T

XX XXTT

R t t dt A R t tT

Vậy 2( ) ( , ) i fXX XXf A R t t e d

.

Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có 2( ) ( , )i fXX XXf e df A R t t

.

b. Biểu diễn phổ của quá trình dừng

Định nghĩa 4.6: Giả sử ( );X t t I quá trình dừng với hàm tự tương quan ( )XXK . Nếu

tồn tại ( )XX fP sao cho:

1/22

1/2

( ) ( )in fXX XXK n e f df

P khi I (4.45)

hoặc

2( ) ( )i fXX XXK e f df

P khi I (4.46)

thì ( )XX fP được gọi là mật độ phổ của quá trình dừng ( );X t t I .

Định lý 4.6: 1) Trường hợp thời gian rời rạc I : Nếu ( )XXn

K n

thì tồn tại mật

độ phổ

2( ) ( )in fXX XX

n

f e K n

P . (4.47)

2) Trường hợp thời gian liên tục I : Nếu ( )XXK khả tích tuyệt đối trên thì tồn tại

mật độ phổ

2( ) ( )

i fXX XXf e K d

P . (4.48)

Như vậy hàm mật độ phổ là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan và hàm tự tương quan là biến đổi Fourier ngược của mật độ phổ.

1( ) ( ) , ( ) ( )XX XX XX XXf K K f P F F P . (4.49)

Định lý 4.7 (Định lý Wiener - Khintchine): Mật độ phổ công suất PSD của quá tình dừng

( );X t t I có giá trị trung bình E ( ) 0X t bằng mật độ phổ của quá trình này và bằng

biến đổi Fourier của hàm tự tương quan:

21( ) lim E ( )TXX XX Tf X f

T

P và ta có ( )XX XXP f df

P (4.50)

Chứng minh: Theo công thức (4.44) ta có

2( ) ( , )i fXX XXf e df A R t t

; 2( ) ( , ) i fXX XXf A R t t e d

( )X t là quá trình dừng do đó ( , ) ( ), ( , ) ( )XX XX XX XXR t t K t A R t t K , từ tính duy nhất của phép biến đổi Fourier và công thức (4.49) suy ra

( )XX XXf P .

Ví dụ 4.12: Xét quá trình ngẫu nhiên 0( ) cos 2X t A f t , trong đó 0f là hai hằng số;

,A là hai biến ngẫu nhiên độc lập, A có phương sai hữu hạn 2 2E A và có phân bố

đều trên đoạn 0;2

(xem ví dụ 4.9).

Hàm tự tương quan 20

1( ) cos(2 )

2XXK f ; Theo công thức (4.49), (4.50) và (3.26) ta

được 2 20 0 0

1 1( ) ( ) cos(2 ) ( ) ( )

2 4XX XX XXf K f f f f f

P F F .

Ta có thể tính trực tiếp công suất trung bình của tín hiệu như sau:

2 2

2 2 20 0E ( ) E cos 2 E cos 4 2

2 2A A

X t A f t f t

22 2 2

00

1cos 4 2

2 2 2 2f t d

2 2

2 20 0

1 1E ( ) lim ( ) ( )

2 2 2 4

T

XX TT

P A X t dt f f f f dfT

.

Có thể tính trực tiếp mật độ phổ công suất như sau:

2 2 20( ) ( ) ( ) cos 2

T Ti ft i ft i ft

T TT T

X f X t e dt X t e dt A f t e dt

0 0

0 0

2 22 22

2 2 2

T T Ti f t i f ti f f t i f f ti ft i i

T T T

e e A AA e dt e e dt e e dt

Ta có

0 0 0

0

2 2 22 0

0 0 0

sin 2

2 2

TT i f f t i f f T i f f T

i f f t

T T

f f Te e ee dt

i f f i f f f f

0 0 0

0

2 2 22 0

0 0 0

sin 2

2 2

TT i f f t i f f T i f f T

i f f t

T T

f f Te e ee dt

i f f i f f f f

0 0

0 0

sin2 ( ) sin2 ( )( )

2 ( ) 2 ( )i i

Tf f T f f T

X f ATe ATef f T f f T

22 2 2 2( ) 2 cos2TX f A T

, 0 0

0 0

sin 2 ( ) sin 2 ( );

2 ( ) 2 ( )

f f T f f T

f f T f f T

Vì E cos2 0 , do đó

2 222

0 0

0 0

sin 2 ( ) sin2 ( )1E ( )

2 2 2 ( ) 2 ( )T

f f T f f TT TX f

T f f T f f T

Sử dụng kết quả (Lathi, 1968), công thức (4.43) 2

sinlim ( )

T

T aTa

aT

, ta được

22

0 0

1( ) lim E ( ) 2 ( ) 2 ( )

2 2TXX T

f X f f f f fT

Áp dụng công thức (3.24) ta được 2

0 01

( ) ( ) ( )2 2XX f f f f f

Vậy mật độ phổ công suất 20 0

1( ) ( ) ( )

4XX f f f f f .

Nhận xét 4.4:

1. Ta có thể kiểm tra công thức (4.43) bằng cách chỉ ra hàm 2

sinT aTaT

thỏa mãn điều

kiện (3.1), (3.2) như sau:

Khi 0t , 2

sin 10

T

T aTaT aT

(thỏa mãn điều kiện 3.1).

Ta có 2

2

sin udu

u

(ví dụ 2.63), do đó 2 2

sin 1 sin( ) 1

T tT tTdt d Tt

tT tT

(thỏa mãn điều kiện 3.2). 2. Từ công thức (4.42) ta có: giá trị của hàm mật độ phổ tại 0 bằng diện tích giới hạn bởi

đồ thị của hàm tự tương quan, (0) ( )XX XXK d

P .

3. Giá trị bình phương trung bình của quá trình dừng bằng diện tích giới hạn bởi đồ thị

của hàm mật độ phổ 2 2

E ( ) E (0) (0) ( )XX XXX t X K f df

P .

4. Hàm mật độ phổ là hàm chẳn và nhận giá trị không âm

( ) ( )XX XXf f P P ; ( ) 0XX f P với mọi f .

5. Định lý 4.7 cho ta ý nghĩa của khái niệm mật độ phổ của quá trình dừng, đó là mật độ phổ công suất của quá trình. Như vậy ta có thể tính mật độ phổ của một quá trình dừng theo 2 công thức khác nhau (4.41)-(4.42) hoặc (4.44). Tuy nhiên có thể tồn tại quá trình ngẫu nhiên không dừng (không có mật độ phổ) nhưng vẫn có mật độ phổ công suất.

Ví dụ 4.13: Xét quá trình tín hiệu cực với dữ liệu nhị phân ( )X t

( ) ( )n bn

X t A g t nT

, (4.51)

trong đó ( )g t là xung mẫu 1 2

( )0 2,

b

b

t Tg t

t T

nÕu

nÕu bT là chu kỳ 1 bít.

nA là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập biểu diễn các dữ liệu nhị phân. Các biến ngẫu nhiên

nA có phân bố rời rạc nhận hai giá trị 1 đồng khả năng. Vậy

1 1 1/ 2n nP A P A ; 2 2 21 1

E 0; var E 1 ( 1) 1;2 2n n nA A A

cov , E E E 0n m n m n mA A A A A A , nếu n m .

Đặt (2 1) bT N T thì quá trình ( )TX t của quá trình (4.40) sẽ là

( ) ( )N

T n bn N

X t A g t nT

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bN N N

i nT i nTT T n b n n

n N n N n N

X f X t A g t nT A G f e G f A e

F F

trong đó ( ) ( ) sincb bG f g t T T f F (ví dụ 2.63, công thức 2.111)

2 2 ( )

,

E ( ) E ( ) bN

i n m TT n m

n m N

X f G f A A e

2 2 2( )

,

( ) E ( ) 1 ( ) (2 1)bN N

i n m Tn m

n m N n N

G f A A e G f G f N

.

Vậy mật độ phổ công suất PSD

2 2

22

( ) (2 1) ( )1lim E ( ) lim sinc

(2 1)T b bT T

b b

G f N G fX f T T f

T N T T

.

Tuy nhiên E ( ) ( ) E ( ) ( )n b m bn m

X t X t A g t nT A g t mT

E ( ) ( ) ( ) ( )n m b b b bn m n

A A g t nT g t mT g t nT g t mT

trong đó 1 / 2 / 2

( ) ( )0

b b b bb b

t nT T t nT Tg t nT g t mT

nÕu vµ

nÕu ngîc l¹i

Điều này chứng tỏ E ( ) ( )X t X t còn phụ thuộc vào thời điểm t nên quá trình ( )X t

không dừng.

Ví dụ 4.14: (Sóng ngẫu nhiên nhị phân) Xét quá trình ngẫu nhiên ( );X t t gồm các

bit 1 và các bit 0 thoả mãn các điều kiện sau: 1) Bit 1 và 0 lần lượt được biểu diễn bởi các xung chữ nhật với biên độ a và a volt với độ rộng của xung là T giây. 2) Các hàm mẫu (sample functions) là không đồng bộ và giả thiết rằng thời điểm xuất phát của xung thứ nhất dt xảy ra đồng khả năng trong khoảng từ 0 đến T. Điều này có nghĩa là

dt là giá trị mẫu của biến ngẫu nhiên dT có phân bố đều trong đoạn 0;T .

3) Trong khoảng thời gian xung bất kỳ ( 1) dn T t t nT , hai bit 1 và 0 là đồng khả

năng xuất hiện, nghĩa là ( )X t nhận giá trị a hoặc a trong suốt khoảng xung này với xác

suất 1 2 . ( )X t và ( )X s là độc lập nếu ,t s ở trong khoảng xung thời gian khác nhau.

Ta có: ; E ( ) 1 2 ( ) 1 2 0t X t a a .

Hàm tự tương quan: ( , ) E ( ) ( )X k i k iR t t X t X t .

* Nếu k it t T thì ( ), ( )k iX t X t độc lập, do đó

( , ) E ( ) ( ) 0X k i k iR t t X t X t .

* Nếu k it t T và giả sử rằng ( ), ( )k iX t X t cùng có trễ là dt thì ( ), ( )k iX t X t cùng

xung khi và chỉ khi k i dt t T t .

Vậy 2

E ( ) ( )0

d k ik i d

a t T t tX t X t t

nÕu

nÕu ngîc l¹i

.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

dt

a

a1

T

t

Hình 4.4: Sóng ng u nhiên nh phân

22 2

0 0

E ( ) ( ) ( ) 1k i k i

d

T t t T t tk i

k i T d d d

t taX t X t a f t dt dt a

T T

.

Đặt k it t Hàm tự tương quan 2 1

( )

0 .XX

a TK T

T

nÕu

nÕu

Mật độ phổ công suất 2 2 2 2( ) ( ) 1 sinc ( )-i fXX XXf K a e d a T fT

T

π τ τT

-T

P F .

Ví dụ 4.15: Nhiễu trắng (White Noise) được mô tả như là một quá trình dừng (theo nghĩa

rộng) mà mật độ phổ công suất là một hằng số 0( )2WW

Nf P .

Hệ số 1 2 để chỉ một nửa công suất ứng với tần số dương và một nửa ứng với tần số âm. 0N

có đơn vị watt/ hertz. Từ công thức (4.42) ta có hàm tự tương quan của nhiễu trắng

1 0 0( ) ( )2 2WW

N NK

F .

Như vậy hàm tự tương quan của nhiểu trắng tỉ lệ với hàm delta tập trung tại 0 với hằng

số tỉ lệ 0

2

N. Do đó ( ) 0WWK khi 0 , nói cách khác hai mẫu tại hai thời điểm khác

nhau của nhiễu trắng là không tương quan. Quá trình nhiễu trắng không phải là một quá trình vật lý có thực vì có công suất bằng . Trong quang học, mật độ phổ năng lượng của ánh sáng trắng là không đổi ( )P = hằng số với mọi tần số (Năng lượng ánh sáng trắng phân bố đều theo mọi tần số ). Vì vậy nhiễu với mật độ phổ hằng số được gọi là nhiễu trắng.

4.4 TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN VÀ TÍNH CHẤT ERGODIC Định nghĩa 4.7: Trung bình theo thời gian của hàm số ( )x t ,t được định nghĩa và ký hiệu

0 f

20N

( )WW fP ( )WWK

)()2( 0 N

0

Hình 4.5: M t ph và hàm t t ng quan c a nhi u tr ng

M t ph nhi u tr ng Hàm t t ng quan nhi u tr ng

1( ) lim ( )

2

T

TT

A x t x t dtT

(4.52)

Toán tử

1lim

2

T

TT

A dtT

(4.53)

gọi là toán tử trung bình theo thời gian. Toán tử A tương tự toán tử kỳ vọng E (trung bình theo tập hợp) của các biến ngẫu nhiên. Thực hiện toán tử trung bình theo thời gian theo các hàm mẫu ( )x t của quá trình ngẫu nhiên ( )X t ta được trung bình theo thời gian và hàm tự tương quan theo thời gian xác định như sau

1( ) lim ( )

2

T

TT

x A x t x t dtT

(4.54)

1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

2R

T

XX TT

A x t x t x t x t dtT

(4.55)

Trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp được gọi là tính ergodic. Quá trình ngẫu nhiên có tính ergodic được gọi là quá trình ergodic. Quá trình dừng là quá trình ergodic nếu

E ( )x X t m và ( ) ( ) E ( ) ( )RXX XXR X t X t .

Giả thiết Ergodic cho rằng trung bình theo thời gian ở các cấp trùng với trung bình theo tập hợp cùng cấp tương ứng. Giả thiết này đáng tiếc là không phải luôn đúng như một số các nhà kỹ thuật đầu thế kỷ 20 tin tưởng. Khoảng năm 1931 hai nhà toán học G. D. Birkhoff (Mỹ) và A. Ia. Khintchine (Nga) đã chứng minh rằng trung bình theo thời gian luôn luôn tồn tại và chỉ ra các điều kiện để nó trùng với trung bình tập hợp. Định lý sau đây cho điều kiện cần và đủ để trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp.

Định lý 4.8: Quá trình dừng thời gian rời rạc ( ); 0X n n với hàm tự hiệp phương sai

( )XXC n là ergodic khi và chỉ khi

0

1lim ( ) 0

n

XXn m

C mn

. (4.56)

Định lý 4.9: Quá trình dừng ( );X t t với hàm tự hiệp phương sai ( )XXC là ergodic

khi và chỉ khi

20 0

1lim ( ) 0

T T

XXTC t s dtds

T . (4.57)

Hệ quả 4.10: Quá trình dừng ( );X t t với hàm tự hiệp phương sai ( )XXC là ergodic

khi và chỉ khi

0

1lim 1 ( ) 0

T

XXT

tC t dt

T T

. (4.58)

Hệ quả 4.11: Nếu lim ( ) 0XXC

thì quá trình ( );X t t là ergodic.

Ví dụ 4.16: Xét quá trình ngẫu nhiên 0( ) cos( )X t A t . Trong đó 0,A là hai hằng

số. là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên đoạn 0;2

với hàm mật độ

1

0 2( ) 2

0

uf u

nÕu

nÕu ngîc l¹i

0 0E ( ) E cos( ) cos( ) ( )X t A t A t u f u du

2

00

1cos( ) 0

2A t u du

0 0( , ) E ( ) ( ) E cos( ) cos( ( ) )XXR t t X t X t A t A t

2

0 0E cos (2 ) 2 cos2

At

2 2

0 0 0E cos (2 ) 2 E cos cos2 2

A At

Như vậy ( )X t là một quá trình dừng với hàm tự hiệp phương sai 2

0( ) cos2XX

AC .

2 20 0 0

00 0 00 0 00

sin sin cos1 11 cos

2 2

TT T TA A

dT T T T

khi2

0 0 0

0 0 0

sin sin 1 cos0

2

T T TAT

T T

Theo hệ quả 4.10 ( )X t là một quá trình dừng thoả mãn điều kiện (4.58) do đó là một quá

trình ergodic. Ta cũng có thể kiểm chứng điều này bằng cách tính trực tiếp như sau: Vì quá trình tuần hoàn

theo thời gian với chu kỳ 00

2T

nên trung bình theo thời gian

00

00

0 0 00 0

sin( )1 1cos( ) 0 E ( )

TTt

A t dt A X tT T

0 22 2 2

00 0

1cos ( ) (0) E ( )

2

T

XXA

A t dt K X tT

.

Nhận xét 4.5: Tính ergodic là một dạng rất hạn chế của tính dừng và thật khó khăn để kiểm tra xem trong tình huống vật lý cụ thể nào thì giả thiết ergodic thỏa mãn. Dù sao chúng ta vẫn thường giả thiết quá trình là ergodic để đơn giản hóa. Trong thế giới thực, chúng ta vẫn buộc

lòng phải làm việc với hàm mẫu của quá trình vì hầu như ta chỉ nhận được các hàm mẫu của quá trình. Khi ấy, dù muốn hay không ta cũng chỉ nhận được các giá trị trung bình, hàm tự tương quan theo thời gian. Từ giả thiết ergodic ta có thể xem các giá trị nhận được là các thống kê của quá trình. Nhiều người cảm thấy khó chấp nhận những lời bàn luận này, tuy nhiên cần phải nhớ rằng, lý thuyết của chúng ta chỉ để mô hình hóa những điều xảy ra trong thế giới thực.

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4

4.1 Quá trình ngẫu nhiên ( );X t t I là một hàm số của biến số t .

Đúng Sai . 4.2 Mọi quá trình có gia số độc lập là quá trình Markov. Đúng Sai .

4.3 Chuỗi Markov là quá trình Markov ( );X t t I có không gian trạng thái E đếm được.

Đúng Sai . 4.4 Ma trận xác suất chuyển sau n bước của một chuỗi Markov bằng tích n lần ma trận xác

suất chuyển một bước của chuỗi Markov này. Đúng Sai . 4.5 Nếu tồn tại phân bố giới hạn thì nó là phân bố dừng duy nhất. Đúng Sai . 4.6 Mọi chuỗi Markov có hữu hạn trạng thái luôn tồn tại phân bố dừng duy nhất đó là phân

bố ergodic. Đúng Sai .

4.7 Hàm trung bình ( ) E ( ),m t X t t I của quá trình ngẫu nhiên ( )t I

X t

là một biến

ngẫu nhiên. Đúng Sai .

4.8 Trung bình theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên ( )t I

X t

là 1( )

2

T

T

x t dtT

, trong đó

( )x t là một hàm mẫu của ( )t I

X t

.

Đúng Sai .

4.9 Hàm tự tương quan của một quá trình dừng ( )t I

X t

, là một hàm 2 biến theo thời gian.

Đúng Sai . 4.10 Mật độ phổ của quá trình dừng bằng biến đổi Fourier của hàm tự tương quan. Đúng Sai . 4.11 Hàm tự tương quan của quá trình dừng bằng biến đổi Fourier của mật độ phổ của quá

trình. Đúng Sai .

4.12 Quá trình dừng có hàm trung bình là hàm hằng nên trung bình theo thời gian bằng trung bình theo tập hợp.

Đúng Sai .

4.13 Cho quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc 1n n

X

, các biến ngẫu nhiên nX độc

lập, có cùng phân bố với hàm phân bố ( )XF x , kỳ vọng và phương sai 2 .

a. Tìm hàm phân bố đồng thời của 1 2( , ,..., )nX X X .

b. Tìm hàm trung bình E nX .

c. Tìm hàm tự tương quan của nX .

d. Tìm hàm tự hiệp phương sai của nX .

4.14 Cho chuỗi Markov 1n n

X

với không gian trạng thái 0,1,2E và ma trận xác suất

chuyển

0,1 0,2 0,7

0,9 0,1 0,0

0,1 0,8 0,1

P

Biết phân bố xác suất ban đầu:

0 0 1 0 2 00 0,3; 1 0,4; 2 0,3p P X p P X p P X

a. Tính 0 1 20, 2, 1P X X X .

b. Tính 2 02 1P X X và 0 21, 2P X X .

4.15 Giả sử

11 12 1

21 22 2

1 2

m

mij

m m mm

p p p

p p pP p

p p p

là một ma trận Markov, (là ma trận thỏa mãn

điều kiện 0ijp ; 1

1m

ijj

p

, 1,...,i m ).

Chứng minh rằng nP cũng là ma trận Markov, với mọi số tự nhiên dương n .

4.16 Cho chuỗi Markov 1n n

X

với không gian trạng thái 0,1,2E và ma trận xác suất

chuyển

0,1 0,2 0,7

0,2 0,2 0,6

0,6 0,1 0, 3

P

a. Tính ma trận xác suất chuyển 2 bước.

b. Tính 3 11 0P X X ; 3 01 0P X X .

c. Tìm phân bố dừng. 4.17 Xét bài toán truyền một bức điện gồm các tín hiệu 0, 1 thông qua kênh có nhiều trạm và

mỗi trạm nhận sai tín hiệu với xác suất không đổi bằng (0,1) . Giả sử 0X là tín hiệu

truyền đi và nX là tín hiệu nhận được tại trạm n . Cho biết ; 0,1,2,...nX n lập thành

chuỗi Markov với ma trận xác suất chuyển

1

1P

.

a. Tính 0 1 20, 0, 0P X X X .

b. Tính 0 1 2 0 1 20, 0, 0 0, 1, 0P X X X P X X X .

c. Tính 5 00 0P X X .

4.18 Xét chuỗi Markov với không gian trạng thái , , ,E a b c d và ma trận xác suất chuyển

0,1 0,3 0,2 0, 4

0,2 0.3 0,2 0, 3

0, 3 0, 5 0,1 0,1

0,2 0,1 0, 4 0, 3

P

a. Tìm xác suất chuỗi đi theo đường đi: b a b c b a .

b. Tính 1 3 4 5 0, , ,P X a X c X b X a X b .

c. Tính (5)P .

d. Tính 5 0P X a X b .

e. Tìm (5)P biết (0) 0,2 0,4 0,3 0,1 P .

4.19 Xét chuỗi Markov với không gian trạng thái 0,1E và ma trận xác suất chuyển

1

1

a aP

b b

, 0 1a , 0 1b .

Giả sử phân bố đầu 0 00 1 0,5P X P X .

a. Tìm phân bố dừng.

b. Tìm phân bố của nX .

c. Tìm phân bố giới hạn.

4.20 Xét mô hình kiểm kê phụ tùng thay thế với 0s và 3S là các mức căn cứ để nhập hàng cùng với n là lượng hàng khách yêu cầu trong chu kỳ n . Biết rằng

0 0,4; 1 0,3; 2 0,3n n nP P P với mọi n .

Xác định ma trận xác suất chuyển của chuỗi Markov nX , trong đó nX là số phụ tùng

còn lại tại cuối chu kỳ n . 4.21 Hai công ti A và B cung cấp cho thị trường cùng một loại sản phẩm. Hiện tại công ti A

chiếm 60% và công ti B chiếm 40% thị phần. Mỗi năm A mất 2/3 thị phần của mình cho B và B mất 1/2 thị phần cho A. Tìm tỉ lệ thị phần hai công ti chiếm được sau hai năm.

4.22 Mỗi một người dân của thị trấn N có một trong ba nghề (A, B, C). Con cái họ nối tiếp nghề của cha mình với xác suất tương ứng là (3 / 5, 2 / 3, 1/ 4) . Nếu không theo nghề của cha thì chúng chọn một trong hai nghề còn lại với xác suất như nhau. Hãy tìm:

a. Phân bố theo nghề nghiệp của dân cư thị trấn ở thế hệ tiếp theo, nếu thế hệ hiện tại có tỉ lệ theo nghề nghiệp là 20% có nghề A, 30% có nghề B và 50% có nghề C.

b. Phân bố giới hạn theo nghề nghiệp của dân cư thị trấn ở thế hệ tương lai xa.

4.23 Cho quá trình ngẫu nhiên 0 0( ) sin( )X t A t , 0 0,A là hai hằng số và là biến

ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên khoảng , . Xét quá trình ngẫu nhiên mới

2( ) ( )Y t X t .

a. Tìm hàm tự tương quan của ( )Y t .

b. Tìm hàm tự tương quan chéo của ( )X t và ( )Y t .

c. ( )X t và ( )Y t có phải là hai quá trình dừng không?

d. ( )X t và ( )Y t có phải là hai quá trình dừng liên kết cùng nhau không?

4.24 Cho quá trình ngẫu nhiên 0( ) ( )cos( )Y t X t t ; trong đó biên độ ( )X t là một quá

trình dừng, tần số góc 0 không đổi và pha là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều

trên khoảng , , và ( )X t độc lập.

a. Tìm hàm trung bình E ( )Y t .

b. Tìm hàm tự tương quan của ( )Y t .

c. ( )Y t có phải là quá trình dừng không?

4.25 Cho quá trình ngẫu nhiên 0 0( ) cos( ) sin( )X t A t B t , trong đó 0 là hằng số; A và

B là hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, không tương quan, có phương sai bằng nhau

và bằng 2 . Chứng minh rằng ( )X t là quá trình dừng (theo nghĩa rộng) nhưng không dừng theo nghĩa chặt.

4.26 Cho ( )t I

X t

là một quá trình dừng với hàm trung bình E ( ) ,X t m t . Chứng minh

rằng ( )t I

Y t

, ( ) ( )Y t X t m là quá trình dừng có hàm trung bình E ( ) 0,Y t t và

hàm tự tương quan YY XXK K .

4.27 Cho ( )t I

X t

là một quá trình cấp 2 có tính chất E ( )X s và E ( ) ( )X s X s t không

phụ thuộc vào s . Chứng minh rằng ( )t I

X t

là quá trình dừng.

4.28 Cho ( )t I

X t

là một quá trình dừng với hàm tự tương quan ( )XXK . Chứng minh rằng

( )t I

Y t

, ( ) ( 1) ( )Y t X t X t cũng là quá trình dừng. Tìm hàm trung bình và hàm

tự tương quan.

4.29 Cho là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trong khoảng 0,2 , 0 0,A là hai

hằng số. Chứng minh rằng 0 0( ) sin( )X t A t là một quá trình dừng. Tìm hàm tự

tương quan. Quá trình ( )X t có phải là quá trình ergodic?

4.30 Cho là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn 0,2

, R là biến ngẫu

nhiên liên tục có hàm mật độ

2

222

, 0( )

0 , 0

r

R

re rf r

r

nÕu

nÕu

.

Giả sử và R độc lập, 0 . Chứng minh rằng ( ) cos( )X t R t là một quá trình

dừng với trung bình 0 và hàm tự tương quan 2( ) cosXXK t t .

4.31 Cho A là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn 2N(0; ) . Đặt ( ) cos( )X t A t .

a. Tìm hàm mật độ xác suất của (0)X và (1)X .

b. Quá trình ( )t I

X t

có phải là quá trình dừng theo nghĩa gì không?

4.32 Cho 1Z và 2Z là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất

1 11

1 12

P Z P Z . Đặt 1 2( ) cos sinX t Z t Z t , là hằng số. Chứng

minh ( )t I

X t

là quá trình dừng. Tìm hàm tự tương quan.

4.33 Cho hai quá trình dừng ( )X t , ( )Y t có trung bình bằng 0, độc lập nhau và có hàm tự

tương quan X( )XR e

, ( ) cos(2 )YYR .

a. Tìm hàm tự tương quan của tổng 1( ) ( ) ( )W t X t Y t .

b. Tìm hàm tự tương quan của hiệu 2( ) ( ) ( )W t X t Y t .

c. Tìm hàm tương quan chéo của 1( )W t và 2( )W t .

4.34 Cho quá trình ngẫu nhiên 0 0( ) cos( )X t A t , 0 0,A là hai hằng số và là biến

ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên khoảng 0, .

a. ( )X t có phải là quá trình dừng không?

b. Tìm công suất của ( )X t .

c. Tìm mật độ phổ công suất và mật độ phổ của ( )X t .

4.35 Cho quá trình ngẫu nhiên 0 0( ) cos( ) sin( )X t A t B t , trong đó 0 là hằng số

a. Chứng minh rằng nếu A và B là hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, không tương quan, có phương sai bằng nhau thì ( )X t là quá trình dừng.

b. Tìm hàm tự tương quan của ( )X t .

c. Tìm mật độ phổ công suất của ( )X t .

4.36 Cho quá trình dừng ( )n

X n

có trung bình E ( ) 2X n và hàm tự tương quan

1 3( )

7 4

n

XK n

. Tìm mật độ phổ.

4.37 Cho ( )W t là quá trình Wiener với tham số 2 . Đặt 2( ) ( )t tX t e W e , 0 là hằng số. Chứng minh rằng ( )X t là quá trình Gauss dừng với hàm tự tương quan

2( )t

XXK t e

, t . Tìm mật độ phổ.

4.38 Cho quá trình dừng ergodic ( )X t có mật độ phổ 2

1( ),

( )0 ,

XX

B f f Bf

nÕu

nÕu ngîc l¹i P .

Tìm hàm tự tương quan.

4.39 Tìm mật độ phổ của quá trình dừng có hàm tự tương quan 40( ) cos ( )XXR P , trong

đó 0,P là hai hằng số. Tìm công suất của quá trình.

4.40 Tìm công suất trung bình của hai quá trình dừng có mật độ phổ công suất tương ứng sau

a. 2 2

4 4

24( )

1 16XX

ff

f

P .

b.

2 2

32 2

24( )

1 4YY

ff

f

P .

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Sai Đúng Sai Đúng Đúng Đúng Sai Đúng Sai Sai

1.11 a. 1 4i b. 35i c. 25

d. 9 46i e. 1 f. 16 25 5

i .

1.12 a. 1 32 2

i b. 2, 1 , 1i i c. 13, , 1 , 1

2i i .

1.13 a.

32

46 32 , 0, 1, 2

ki

z e k

b. 2

432 , 0, 1, 2

ki

z e k

.

1.15 a. Đường tròn tâm (3;4) bán kính 2. b. Nửa đường thẳng gốc tại z i và tạo với trục thực góc . c. Ellipse với tiêu điểm 1 2( 2;0), (2;0)F F độ dài trục lớn 2 6a .

d. Đường tròn tâm (2;0) bán kính 2.

e. Nhánh của Hyperbol 2 2

19 16x y

với 3x .

f. Nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng 3y , kể cả đường thẳng đó. g. Miền nằm ngoài đường tròn tâm (0;-2) bán kính 2 (kể cả đường tròn này) và nằm

ngoài đường tròn tâm (0;-2) bán kính 1.

h. Miền giới hạn bởi hai nửa tia xuất phát từ gốc lập với trục thực góc 3 và

2 ,

kể cả hai nửa tia này.

1.16 a. 3 2 2 3( , ) 3 , ( , ) 3u x y x xy v x y x y y .

b. 2 2 2 2

1( , ) , ( , )

(1 ) (1 )

x yu x y v x y

x y x y

.

c. 3 3( , ) cos 3 , ( , ) sin 3x xu x y e y v x y e y .

1.17 2

1'( ) 1w z

z , không giải tích tại 0z .

1.18 2 2 2 2( , ) , ( , )u x y x x y v x y y x y . 2

2 2

2 2

u xx y

x x y

,

2

2 2

2 2

v yx y

y x y

;

2 2 2 2,

u xy v xyy xx y x y

.

Hàm số không thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại mọi 0z .

0 0

( ) (0)lim lim 0z z

z zw z wz z

. Vậy '(0) 0w .

1.19 a. 3'( ) 4w z z b. 2 2

2'( )

( 1)

zw z

z

.

1.20 a. 2 3 3( , ) 3 , ( )v x y x y y C w z z Ci .

b. 2( , ) 2 2 , ( ) 2v x y xy y C w z z z Ci .

c. 2 2

1( , ) 2 , ( ) 2

yv x y x C w z iz Ci

zx y

.

1.21 a. 2 2

1 1( , ) , ( )

1( 1)

xu x y C w z C

zx y

.

b. 2 2 2( , ) 3 , ( ) 3u x y x y y C w z z iz C .

c. ( , ) 3 cos , ( ) 3 (1 )x zu x y e y x y C w z e i z C .

1.22 2 2

C C

I z dz x y dx idy .

a. 1 1

:0

xC

y

1 12

1 0

2 1I x dx xdx

.

b. cos( )

:sin( ) ; 0

x tC

y t t

0

sin( ) cos( ) 2I t i t dt

.

1.23 a. 0I b. 1415 3

iI .

1.24 a. 2 cos 2I i i .

b. 0 11 12

( 1) 1

zz

C C

eI dz e dz i e e

z z z z

.

1.25 a. 0I b. 2I i .

1.26 a. 2 4

2e e b.

2 .

1.27 2

2

2

02

z

zI

.

1.28 1

sin( / 4)sin( / 4)1: 1 1 2

1 1 2zC

zz izC z I dz i

z z

.

1.29 '

22 2

2 2

( ): 4 ( 1) 1 2 1

2( ) ( )

z

z

Cz i

e

ez iC x y I dz i i

z i z i

.

1.30 a. ''

3

3 3

1

1

2 1 3( 1)2! 8( 1) ( 1)C

z

i izI dz

z z

.

b. ''

3

3 3

1

1

2 1 3( 1)2! 8( 1) ( 1)C

z

i izI dz

z z

. c. 0I .

1.31 '''

1

23! 3

z

z

i eI e z i

.

1.32 ''

2

1

25 3 2 10

2! z

iI z z i

.

1.33 a. 2 2

12; 2

2

ni

n

zR z e

n n miền hội tụ 2z .

b. Đặt 2 1

2 1

1 0

( 1) ( 1)(2 1)! (2 1)!

n nn n

n n

z uu z z

n n

hội tụ với mọi z .

c. Đặt u z i ; miền hội tụ 3z i .

d. Đặt 3( )u z i ; 3, 3 03 1

3

inni

n

n

u eR u e

nn

: miền hội tụ

3 3z i

e. 1z i

1.34 a. Cách 1: 1 1

1 12 4 3

1 1 2' , '' ,

(1 ) (1 ) (1 )z zw e w e

z z z

11

6 5 5 4

1 2 4 6'''

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )zw e

z z z z

2 33 131

2 6w e z z z

.

Cách 2: 1

12 3 3 2 3 31 0( ) 0( )z z z z z z z z ze e ee

2 3

2 3 3 2 3 32 3 3

30( ) 0( )0( )

1 0( )1! 2! 3!

z z z z z z z zz z z ze z

2 3 33 131 0( )

2 6e z z z z

.

b. 2 3 3sin 1 0( )w z z z z

2 3 3 2 3 3sin1cos 0( ) sin 0( ) cos1z z z z z z z z

2 31 5sin1 cos1 cos1 sin1 cos1 sin1

2 6w z z z

1.35 2 / 3 1 / 3

1 2w

z z

a. 2 3

2 3

1 2 1 1 11

6 2 4 8 3z z z

wz z z

b. 2 3

21 21 1

6 2 4 8 3z z z

w z z

c. 2 3 2 3

1 1 2 4 2 1 1 13 3

wz zz z z z

.

1.36 a. Đặt 1u z 2

2

1 1 1 1 ( 1)1 2! 3! 4 !( 1)

z zw e

zz

1z là cực điểm bậc 2, chuỗi hội tụ với mọi 1z .

b. 2 4 6 3 5

1 1 1 1 1 11

2!2! 4! 6! 4! 6!w z z

zz z z z z

0z là điểm cô lập cốt yếu, chuỗi hội tụ với mọi 0z .

c. 2 4sin( ) sin( ) ( ) ( )

13! 5!

z z z zw

z z

z là điểm cô lập bỏ được, chuỗi hội tụ với mọi z .

d. 0

1 2 12 ( 1) ( 1)

1 2 1n n

n

w zz z z

1z là cực điểm đơn, chuỗi hội tụ trong vành khăn 0 1 1z .

e. Tại 0z , xét 3 ( )3

( 1) ( 2)!( ) ( 2) ( )

2( 2)

nn

n

nf z z f z

z

2 31 1 3 3 58 16 16 32

w z z zz

0z là cực điểm đơn, chuỗi hội tụ trong vành khăn 0 2z .

Tại 2z , xét 0

1 1 1 ( 2)2 2 2 21

2

n

nn

zz z z

23 2

1 1 1 1 1 1( 2) ( 2)

8( 2) 16 32 642( 2) 4( 2)w z z

zz z

2z là cực điểm bậc 3, chuỗi hội tụ trong vành khăn 0 2 2z .

1.37 2 2 21

8( 1)( 3) 2 1 3

C C C

z z zI dz dz dz i

z z z z

.

1.38 '

2 2 2 21

1 12 2

2( 1) ( 1) 1 ( 1) ( )C z iz

dz iI dz i i

z z z z z i

.

1.39 Phương trình 4 1 0z chỉ có hai nghiệm 12

i nằm trong đường tròn C (xem ví dụ

10). Áp dụng công thức (1.71) ta có 4 3 3

1 12

1 21 14 4

2 2

C

dz iI i

z i i

.

1.40 a. 2 2

4 4

1 1 1 12 Re s ; Re s ;

1 12 2

z i z iI i

z z

2 2

3 3

1 11 1

2 22 21 1

4 42 2

i i

ii i

.

b.

( 1)

22 2

2 1 (2 2)!( 1)! ( ) 2 ( 1)!

n

n nz i

i nI

n z i n

.

c. 9

I

d. 5

2

3I

a

.

1.41 Áp dụng công thức (1.76).

a. 2 2 4

2 2

1 1Im Im 2 Res ; 2

2 2 24 4

i x i zxe ze eI dx i z i

x z

.

b. 2 2

1Im

2 ( 1)

ixeI dx

x x

2 2 2 2

1 (2 3)Im2 Res ; Res ; 0

2 4( 1) ( 1)

iz ize e ei z i z

ez z z z

.

c. 2

8e

I

d. 2

4e

I

.

1.42 Áp dụng công thức (1.77).

a. 2

3I

b.

8I

c. 2I d.

2

2

1

naI

a

.

1.44 a. 0 0

( ) ( ) ; 1

ni

n in ni

n n n

e zX z x n z e z z

z z e

.

b. Ta có 0 0

1;

1

n ana n a

a an n

e ze z z e

e z e z

.

'

20

( ) ( ) ;1 ( 1)

a an na n a

a an n

e z e zX z x n z ne z z z e

e z e z

.

1.45 a. 0

0

( ) ( ) ;n

n n n n

n n n

z aX z a n z a z z a

a a z

.

b. 1

0

( ) ( 1) ;n

n n

n n

z zX z a n z z a

a z a

.

c.

11

10 0

1( ) ;

1

n NNn

Nn n

z zX z z z

a z z

.

1.46 Trong miền 12

z ;

3 4 54 0 4

4 2 2 1 1( )

21(2 1) 212

nn

nn n

X z zzz z zz

z

5

1( ) ( 4)

2nx n n

.

1.47 a. 2( )

2 1z

X zz

, 12

z .

b. 6

6 5

1( )

zX z

z z

, 0z .

c. 2

( )( )

a a zX z

z z a

, z a .

1.48 a. 2

( )( 1)

aT

aT

zTeX z

ze

b.

3

( )( )

( )

z z aX z

z a

c. 2

cos1( )

2 cos1 1

zX z

z z z

d. 0

20

sin sin( )( )

2 cos( ) 1

z z TX z

z z T

e. ( )1

zX z

z

1.49 a. 1 1( ) 8 8 6

2 2

n n

x n n

b. 11

( )1

nax n

a

c. ( )

!

nax n

n

d. 10 11

1 1( ) ( 10) ( 11)

2 2

n n

x n n n

e. 1 4 1( ) (6 4) 1

9 9 2

nn

x n n

1.50 a. 1( ) 1 ( 1)(2 1)

6x n n n n b. 1

( ) ( 1)2

x n n n c. 1( ) 5 ( 1)

6n nx n

d. 1 1( ) (2 1)

2 2

n n

x n n

e. ( ) 2 ( 1)

( ) 1 ( 1)

n

n

x n

y n

f.

( ) 1 2( 6)

( ) 7( 6)

n

n

x n

y n


2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Đúng Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Đúng

2.11 Tìm biến đổi Laplace

a. 3 3 sin sin 3( ) sin

4t t

x t t

2 2

6( )

( 1)( 9)X s

s s

.

b. 4 3 1 1cos cos2 cos 4

8 2 8t t t

2 2 2 2

1 3 4( )

8 4 16

s sX s

s s s

c. 22 2

2cosh 3 cosh3

9 ( 2) 9ts s

t e ts s

L L .

d. 3 2 2 3 3( ) 1 1 3 3t t t tx t te te t e t e

2 3 4

1 3 6 6( )

( 1) ( 2) ( 3)X s

s s s s

.

e. 2 2

( ) cosh2 cos cos2

t te ex t t t t

3

4 2

3( )

25

s sX s

s s

.

f. ( ) sin2 cos4 sin6 sin22

tt e

x t e t t t t

2 2

3 1( )

2 37 2 5X s

s s s s

.


a. ' 2

2 2 2

9( )

9 ( 9)

s sX s

s s

.

b. 2 2

2 2 2cos

( )

st t

s

L

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 ( ) ( )cos cosh

2( ) ( )

s a s at t at

s a s a

L .

c. 2

22 2 3

1 6 2sin

1 ( 1)

st t

s s

L .

d. sin 4 sin 4 44 arctan

4t t

t t s

L L .

e. 2 2

2 2 2 2 2 2

cos cos 1( ) ln

2s

at bt u u s bX s du

t u a u b s a

L .

f. 1 1( ) ln

at bt

s

e e s bX s du

t u a u b s a

L .


a. 2 2

2 22 2

2 2cos ( )cos ( )

( 4) ( 4)bss s

t t b t b es s s s

L L .

b. 23

2( ) ( 1) ( 1) ( ) sx t t t X s e

s .

c. ( ) ( ) ( 1) (2 ) ( 1) ( 2)x t t t t t t t

2

2

1 2( ) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )

s se et t t t t t X s

s

.

d. ( ) cos ( ) ( ) sin ( )x t t t t t t

2

( 1)( )cos ( ) cos( ) sin( ) ( )

1

ss s et t t t t X s

s

.


a. 3 2

1 2 1 11s ss s

b.

3 2 2 2

22 2

1 s s ss

s

.

c. 22

( ) cos * ( )( 2)( 1)

t sx t t e X s

s s

.

d. 1 1 1 1

ln1

t

s

e sdu

t u u s

L

0

1 1 1ln 1

t uedu

u s s

L .

2.15 Đặt 1 1 20 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

t tX s Y s X s

y t x u du Y s y t dts s s

L .

2.16 a. Đặt ( ) ( )X s x t L , tương tự ví dụ 2.47 ta được nghiệm

1

02( )

1

CCJ t

s

L , thay điều kiện đầu ta có

b. Sử dụng tính đồng dạng.

c. '2 2 2 '0 0 0(2 ) 2 (2 ) (2 )t t te J t e J t e J t . Từ phương trình suy ra '

0(0) 0J .

2 2'' '

2 2 20 0 02 20 0

(2 ) (2 ) (2 ) 2( 2) 4 ( 2) 4

t t t

t t

s se J t s e J t e J t s

s s

L

d. Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh và đạo hàm ảnh.

e. Áp dụng công thức 0 20

1( ) , 0

1

ste J t dt ss

.


a. 1 tanh2s

s b.

2

1

(1 )

s

s

e

s s e

c. 2

1tanh

2s

s d.

22

1 2

1(1

s s

ss

e e

.

2.18 Áp dụng công thức định nghĩa biến đổi Laplace.

a. Sử dụng câu 2, c,

23

420

1

24 ( 1)sin 0

1

t

s

s se t tdt

s

.

b. 10

sin 1arctan

4

t

s

e tdt

t s

.

c. Áp dụng câu 2. e, 2 2

2 20 0

cos6 cos 4 1 4 2ln ln

2 36s

t t sdt

t s

.

d. Áp dụng câu 2. f, 3 6

00

6ln ln2

3

t t

s

e e sdt

t s

.

e. 2

2

sin 1 cos2 1 12 2 4s

t t udu

t t u u

L L

2 2

2 2 20 0 0

sin sin 1 12 4

ot

s

t t udt e dt duds

ut t u

2

2 200 0 0

1 11 arctan

2 2 24 4

uu u u

du ds duu u u

.

2.19 Chứng minh theo quy nạp và sử dụng công thức sau:

a. ''2 1 2 1 2 2 1sin (2 1)(2 )sin (2 1) sinn n nt n n t n t .

b. ''2 2 2 2 2 2sin (2 2)(2 1)sin (2 2) sinn n nt n n t n t .

2.20 Tìm hàm gốc

a. 2 2 2

3 3 3 2

( 1 1) 1 2 1( ) 1 2

1 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)ts s t

x t e tss s s s

.

b. 3 cos 2te t c. 22 3cos 4 sin 4te t t

d. 44 1te t e. cos2 sin2t t t

f. 2 32 sin 2 2 cos 2

2 2

te t t t t

.


a. 2 2 cos sinte t t .

b. 3 3 3 3 3 2

1 1 1 1 1 23( 1)( 1) 1 3( 1)

sss s s s s s s

3 2

1 1 ( 1 / 2) 3 / 23( 1) 1 3

32 4

sss

s

22 21 1 3 1 3

( ) cos sin2 3 3 2 23

t ttt

x t e e t e t

c. 31 44 cos 3 sin

5 5t te t t e d.

221 1 7

43 3 2

t t te e t

e. 1sin sin2

3te t t f. 1

sinh cosh2

at at ata

.


a. 2

23 2 cos sin2

tte t t . b. 3 31

( ) ( 2)6

tt t e t

c. ( 1 / 3) ( 1 / 3)cos( 1 / 3)t t t d. 2 t

e.

321

2

t

e

t

f. 3 4( 4)4 ( 3)

( 3)3

tt et

.

2.24 a. 2

( )12

tt ex t b. 3( ) tx t t e

c. ( ) 2 sin cos2x t t t d. 4 4 1( ) cos3 sin 3 cos2

5 5 5x t t t t .

2.25 a. sin sin( ) cos 2 ( ) *

at atx t at f t

a a

b. 1 2

sinh sinh( ) cosh ( ) *

at atx t C at C g t

a a .

2.26 sin( )

tx t

t .

2.27 a. 21 1 3 1

( ) 2 sin cos2 2 2 21 3 1

( ) 1 sin cos2 2 2

t

t

x t t e t t

y t e t t

b. 2

2

1 4 2 1 1( ) sin cos

9 45 5 8 31 1 1

( )9 9 3

t t t

t t t

x t e e t t te

y t e e te

c. 2

2

2 5 2 1( )

3 3 3 32 8 1 1

( ) cos3 3 3 3

t

t t

x t t t e

y t t e te t

.

2.28 Phương trình ảnh 5016 2s I E

s

L

Hay 25016 2 ( (0)) 16 50 2s sQ q E s s Q E

s

L L .

a. 4 42

150( ) 6 6 cos3t 8 sin3t

( 8 25)t tQ q t e e

s s s

;

4( ) 50 sin 3tdqi t e t

dt .

b. 2 2

150

( 9)( 8 25)Q

s s s

425 25( ) 2 sin 3 3cos3 2 sin 3 3cos3

52 52tq t t t e t t

475 25( ) 2 cos3 3 sin 3 17 sin 3 6cos 3

52 52tdq

i t t t e t tdt

.

2.29 Áp dụng hai định luật Kirchoff ta có hệ phương trình ảnh 552

21 2551 22

1 1 2 1 255

1 1 2 2 22 2

12

11030 2 10 3 2 2 2

5510 2 20 43 3 3(2 55)

t

t

t

i eI I II I

I sI I I I i i es

I sI I sI I i i es s

2.30 Trở kháng ảnh tương đương Z thỏa mãn: 1

2

1 1 11Z R Ls

RCs

.

2.31 10( ) sin10 2cos10 sin10 2cos10tq t t t e t t .

2.32 Áp dụng các công thức (2.36)-(2.38) ta được nghiệm: 24( , ) 3 sin2tu x t e x .

2.33 a.

0

3 1 ( 1)3, 0;

n

n na a bn

.

Chuỗi Fourier

1

3 1 ( 1)3sin

2 5

n

n

nt

n

.

b. 3( 5) (0) (5)

2x x x .

2.34 a. 1

4( ) 1 ( 1) sin

4n

n

nx t t

n

.

b. 2 21

16( ) 4 ( 1) 1 cos

4n

n

nx t t

n

.

2.35 a. 1 1

sin (2 1) cos (2 1) / 21 2 1 2( )

2 2 1 2 2 1n n

n t n tx t

n n

b.

1 1 1

( 1) 1 1( ) 2 sin( ) 2 cos ( 1) 2 sin 1 ( 1)

2 2

nn n

n n n

x t nt nt ntn n n

2.36 a. (2 1)

2

2( )

2 (2 1)

i n t

n

ex t

n

b. ; 0

( ) 1n it

n n

i ex t

n

c. 2(2 1)1

( )2 2 1

n it

n

i ex t

n

2.37 a. Biến đổi Z : 0

1 1 3( ) ( )

3 1 3 11

3

nn

n n

zX z x n z

z zz

, 1

3z .

b. Biến đổi Fourier:

2

22 2

20

2

1 3( ) ( ) 3 ( )

1 3 113

i f

i fni nf i f

i f z en n

i f

eX f x n e e X z

ee

.

c. 2 2 1( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )

2i nf i nf

n n

d dX f i n x n e nx n e X f

df i df

2 2

2 22

3 3( )

2 3 1 3 1

i f i f

i fi f

i d e eY f

df e e

.

2.38 1/4 1/41

2 8 2 2 ( 4)

1 1/4 1/4

( ) ( ) i n f i f i n f i n fx n X f e df e e df e df

1/4

0

sin ( 4) / 214 1 42 ( 4) / 22 cos 2 ( 4) sinc

2 214

2

nn nnn f df

n

.

2.39 a. 2

0

( ) ( ) 2 cos 2 2 sinc(2 )T

i ftX f x t e dt ft dt T Tf

.

b. sin cos sin i tT t TI d e d

.

Đổi biến số 2 1sin22 2 ( ) / 2

20

i ft

t TfT

f I e df X f t Tf

t T

F .

c. Sử dụng kết quả b. với 1, 0T t 0

sin 1 sin2 2

udu d

u

.

d. 22( ) ( )x t dt X f df

2 2 2 2

2 2 2 20 0

sin 2 2 sin 4 sin sin2

2Tf T u T u u

T df du du duu u uf

.

2.40 Áp dụng công thức (2.93) tích phân Fourier cho hàm chẵn: 1

20 0 0

2 2 2(1 cos )( ) cos ( )cos (1 )cos

tx t t d x u udu t d

t

.

2.41 Áp dụng công thức (2.93) tích phân Fourier cho hàm chẵn:

0 0

2cos cos

t ue td e udu

và 210

1cos cos

1u

se udu t

L .

2.42 a. 0 0( ) sinc ( ) sinc ( )2A

X f i T T f f T f f .

b. 2( ) sinc ( )X f T Tf .

2.43 a. 2

2 2

0 0

( ) ( )1 2

tt i f tTi ft i ftT T

X f x t e dt e e dt e dti Tf

.

b. 21 2

0

2( ) 2 cos(2 ) cos(2 )

1 (2 )

t ti ftT T

sT

TX f e e dt e ft dt ft

Tf

L .

c. 2

2

2 2 2 2 20 0

cos(2 ) 2 cos(2 )( ) 2

1

i fta fe ft fa

X f dt dt d ea at a t a

.

d. 1

2 3 3

0

sin(2 ) (2 )cos(2 )0

( ) 2 (1 )cos(2 ) 24 / 3 0

f f ff

X f t ft dt ff

.


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Sai Sai

3.13 a. 16315

b. 43

c. 2 d. 812

e. 4 2 (sử dụng 1/ 4 4 3 / 4 ).

3.14 a. 3! b. Đổi biến số 2y x suy ra 7

(7) 4582

3.15 a. Đổi biến số 3x y suy ra 1

(1 / 2)3 3

b.

2 4 ln 3

3.16 Đổi biến số 1ln lny x

x .

3.17 3 3 3 9

3

8 (3 / 2) (3 / 2) (3 / 2) 4(1 9 / 2) 9452

R R R RM

.

3.18 Đổi biến và tính tương tự ví dụ 3.7.

3.19 2 2 2( )30abck

a b c

, k là hằng số tỷ lệ.

3.20 3

32

8 (1 / )

3 (3 / )

mV a

m m

.

3.21 3 (2 / ) (3 / )4 (1 / ) (4 / )

m mx y z a

m m

.

3.22 a. 1180

b. 64 215

c. 16

9 3

.

3.23 a. 8315

c. 512 c.

2

.

3.22 a. Đặt 1

xy

x

1

0

( ,1 )1

pxdx B p p

x

.

b. Đặt px y và áp dụng a.

3.28 a. 24

b. 3 3

c. 2 2

.

3.29 a. Áp dụng công thức (1.90)

2( 1) ( 1)...( 1)1 1

2! !

m nm m m m m nz mz z z

n

với | | 1z

1

222 2

0

1 31 1 ( 1) (2 )!2 21 1

2 2! 2 ( !)1

nn

nn

nz z z z

nz

Với mọi 0s , 2 2 2 2 2 2 12 2 0 0

1 1 1 ( 1) (2 )! 1 ( 1) (2 )! 1

2 ( !) 2 ( !)1 1. 1

n n

n n n nn n

n ns n s n ss

ss

22

0 2 2 20 0

( 1) (2 )! ( 1)( )

(2 )! 22 ( !) ( !)

nn n n

nn n

n t tJ t

nn n

.

b. 1/2 3 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 11

2! 3! 2 ! 3!se

s s s ss s s s s

2 4 6

2 3

02 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) 1 1 (2 )

(2!) (3!) 2 2 4 2 4 6

t t tt tx t t J t .

3.30 0 0( ) * ( ) sinJ t J t t

3.31 a. ( )nnx J x C b.

( )nn

J xC

x

c. 2 4 30 1(8 ) ( ) (4 16 ) ( )x x J x x x J x C .

3.32 a. 2

3 1 02

8 4( ) ( ) ( )

xJ x J x J x

xx

b. 33 3 32

1 06 ( ) 3 ( )xJ x x J x C

c. 0 1( )sin ( )cosxJ x x xJ x x C .

3.34 a. 1 b. 1

3.41 12

12

( )a

ay x z x b

3.42 a. 12

0(2 )y z ax b. 12

0( )y z x c. 12

12

( )y x z x

c. y = 12

0( )z x d. 1

2214

1( )2

y x z x e. 1 32 2

13

2( )3

y x z x .


4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

Sai Sai Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Sai Sai

4.13 a. 1... 1 2

1

( , ,..., ) ( )n

n

X X n X ii

F x x x F x

b. ( ) EX nn X

c. 2

2 2( , )XX

n mR n m

n m

d. 2

0( , )XX

n mC n m

n m

4.14 a. 0 1 20, 2, 1P X X X

0 1 0 2 0 10 2 0 1 0, 2P X P X X P X X X

0 1 0 2 10 2 0 1 2P X P X X P X X 0,3 0,7 0,8 0,168 .

b. 2 02 1 0,63P X X ; 0 21, 2 0,4.0,63 0,252P X X .

4.15 Điều kiện thứ hai của ma trận Markov có thể viết dưới dạng

11 12 1

21 22 2

1 2

1 1

1 1

1 1

m

m

m m mm

p p p

p p p

p p p

hay là P a a trong đó

1

1

1

a .

Do đó 2P P a a a … 1n nP P a a a .

4.16 a. 2

0,47 0,13 0,40

0,42 0,14 0,44

0,26 0,17 0,57

P

.

b. 3 1 2 01 0 1 0 0,13P X X P X X ;

3 0 3 2 0 3 2 01 0 1, 0 0 1, 1 0P X X P X X X P X X X

3 2 01, 2 0P X X X

2 0 3 0 20 0 1 0, 0P X X P X X X

2 0 3 0 21 0 1 0, 1P X X P X X X

2 0 3 0 22 0 1 0, 2P X X P X X X

2 0 3 2 2 0 3 20 0 1 0 1 0 1 1P X X P X X P X X P X X

2 0 3 22 0 1 2 0,47 0,2 0,13 0,2 0,40 0,1 0,16P X X P X X .

c. Phân bố dừng , ,x y z là nghiệm của hệ phương trình

, , 0; 1

x y z P x y z

x y z x y z

.

Như vậy , ,x y z là nghiệm không âm của hệ phương trình

9 2 6 0

2 8 0

1

x y z

x y z

x y z

Hệ phương trình có nghiệm 50 21 68, ,

139 139 139x y z .

4.17 Đặt 0 0 0p P X .

a) 0 1 2 0 1 2 00, 0, 0 0 0, 0 0P X X X P X P X X X

20 1 0 2 0 1 00 0 0 0 0, 0 (1 )P X P X X P X X X p .

b) 2 20 1 2 0 1 2 00, 0, 0 0, 1, 0 (1 )P X X X P X X X p .

c) 5 4 3 25 00 0 16 40 40 20 5 1P X X .

4.18 a) (0,2)(0, 3)(0,2)(0,5)(0,2) 0, 0012P .

b) 2

0,21 0,26 0,26 0,27

0,20 0,28 0,24 0,28

0,18 0,30 0,21 0,31

0,22 0,32 0,22 0,24

P

1 3 4 5 0, , ,P X a X c X b X a X b

1 0 3 1 4 3 5 4P X a X b P X c X a P X b X c P X a X b

(0,2)(0,26)(0,5)(0,2) 0, 0052 .

c) 5

0,2029 0,2912 0,2319 0,2740

0,2028 0,2914 0,2317 0,2740

0,2027 0,2918 0,2313 0,2742

0,2030 0,2916 0,2317 0,2737

P

d) 5 0 0,2028P X a X b

e) (5) 0,2028 0,2915 0,2316 0,2740 P .

4.19 a) Hệ phương trình 1

1

0, 0; 1

a b x x

a b y y

x y x y

0

1

0, 0

bax by xa bx y

ayx y

a b

b) 1(1 )n nb a a a

P a bb a b ba b

1( ) (0) 0,5 0,5 (1 )n nb a a an P a b

b a b ba b

P P

12 (1 ) ( ) 2 (1 ) ( )

2( )n nb a b a b a a b b a

a b

c) Nếu 1a b thì 1lim n

n

b aP

b aa b

4.20 Không gian trạng thái sẽ là 1,0,1,2, 3E .

Theo công thức (5.21) ta có

3 0,( 1) ( )

0 3.ij

P j ip P X n j X n i

P i j i

nÕu

nÕu

1, 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 0p P X n X n P ,

1,0 ( 1) 0 ( ) 1 ( 3) ( ) 0p P X n X n P P ,

1,1 ( 1) 1 ( ) 1 ( 2) 0,3p P X n X n P ,

1,2 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 0,3p P X n X n P ,

1,3 ( 1) 1 ( ) 1 ( 0) 0, 4p P X n X n P ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ma trận xác suất chuyển:

0 0 0,3 0,3 0,4

0 0 0,3 0,3 0,4

0,3 0,3 0, 4 0 0

0 0,3 0,3 0, 4 0

0 0 0,3 0,3 0,4

P

4.21 A có 43,3% và B có 56,7% thị phần.

4.22 a) 3 / 5 1 / 5 1 / 5

1 / 6 2 / 3 1 / 6

3 / 8 3 / 8 1 / 4

P

;

3 / 5 1/ 5 1 / 5

(1) 2 / 10 3 / 10 5 / 10 1 / 6 2 / 3 1 / 6 143 / 400 171 / 400 86 / 400

3 / 8 3 / 8 1 / 4

P .

b) 0,3659 0,4390 0,1951

0,3659 0,4390 0,1951

0,3659 0,4390 0,1951

nP

với mọi 15n .

Vậy chuỗi có phân bố giới hạn * 0,3659 0,4390 0,1951 P .

4.28 E ( ) E ( 1) ( ) E ( 1) E ( ) 0Y t X t X t X t X t .

cov ( ); ( ) cov ( 1) ( ); ( 1) ( )Y t Y t X t X t X t X t

cov ( 1); ( 1) cov ( ); ( 1)X t X t X t X t

cov ( 1); ( ) cov ( ); ( )X t X t X t X t

( ) ( 1) ( 1) ( )XX XX XX XXK K K K không phụ thuộc t . Vậy ( )Y t là quá

trình dừng có hàm tự tương quan ( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)YY XX XX XXK K K K .

4.29 22

00 0 0 0 0

0 0

1E ( ) E sin( ) sin( ) cos( ) 0

2 2

AX t A t A t d t

0 0 0 0cov ( ); ( ) E sin( ( ) ) sin( )X t X t A t A t .

2 20 0

0 0 0E cos( ) cos( (2 ) 2 ) cos( )2 2

A At .

Vậy ( )X t là quá trình dừng có hàm tự tương quan 20

0( ) cos( )2X

AK .

2 20 0 00 0

0 20 0 00 00 0

sin sin cos1 11 cos

2 2

TT T TA A

dT T T T

20 0

0 00 0

1 cossin sin 0

2

A TT T T

T T

khi

Theo định lý 5.11 ( )x t là một quá trình dừng thoả mãn điều kiện (5.16) do đó là một

quá trình ergodic. 4.30 Theo giả thiết R và độc lập, do đó

E ( ) E cos( ) E E cos( )X t R t R t .

Mặt khác

2

212

2 22

0 0

2E 2 2 (3 / 2)

2

rtr

R e dr t e dt

;

E cos( ) 0t . Vậy E ( ) 0X t .

cov ( ); ( ) E cos( ( ) ) cos( )X t X t R t R t

2E E cos( ( ) ) cos( )R t t

2 2

cos (2 ) 2 cos cosE E E

2 2

tR R

2

23

2 2 2 222

0 0

E 2 2 (2) 2r

trR e dr te dt

.

Vậy ( )X t là quá trình dừng có hàm tự tương quan 2( ) cosXK .

4.31 a. E ( ) E cos( ) cos( )E 0X t A t t A .

2 2 2 2D ( ) E cos ( ) cos ( )X t A t t

Do đó và (1)X có phân bố chuẩn 2N(0; ) .

b. cov ( ); ( ) E cos( ( )) cos(X t X t A t A t

2 2E cos( ( ))cos( ) cos( ( ))cos( )A t t t t .

Hàm tương quan phụ thuộc t do đó quá trình ( )X t không dừng theo nghĩa rộng, suy ra không dừng cấp 2n .

( )X t có phân bố chuẩn 2 2N(0; cos ( ))t ;

( )X t h có phân bố chuẩn 2 2N(0; cos ( ))t h

Do đó quá trình ( )X t không dừng dừng cấp 1. Vậy ( )X t không dừng theo mọi cấp. 4.32 1 2 1 2E ( ) E cos sin cos E sin E 0X t Z t Z t t Z t Z .

Theo giả thiết 1 2,Z Z độc lập do đó:

1 2 1 2cov cos ( ) sin ( ); cos sinZ t Z t Z t Z t 2 21 2cos ( )cos E sin ( )sin E cost t Z t t Z

.

Vậy ( )X t là quá trình dừng có hàm tự tương quan ( ) cosXK .

4.36 Áp dụng công thức (5.9) ta có

2 2 1 3( ) ( )

7 4

nin f in f

xn n

f e K n e

P

2 2

2 2

1 3 3 11

7 25 24 cos24 3 4 3

i f i f

i f i f

e efe e

.

4.37 Theo ví dụ 5.1 ta có 2 2E ( ) E ( ) E ( ) 0t t t tX t e W e e W e .

Với mọi 0 : (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 2 2E ( ) ( ) E ( ) ( )t t t t tX t X t e W e W e e e e

.

Do đó 2( )XK e

.

Theo công thức (5.10) và ví dụ 2.39 ta được: 2

2 222 2

2( ) ( )

4

i f i fXf e K d e e d

f

P .

4.38 Theo công thức (5.10) và ví dụ 2.64

2 2 22

1( ) ( ) sinc

Bi f i f

XB

K e f df e B f df BB

P .

PHỤ LỤC A: Biến đổi Z của dãy các tín hiệu thường gặp

STT ( )x n , 0n ( )X z Miền hội tụ

1 (0)x k , ( ) 0x n , 1n k 0z

2 ( )x m k , ( ) 0x n , n m mkz 0z

3 k / 1kz z 1z

4 nk 2( 1)kz z 1z

5 2n k 3( 1) ( 1)kz z z 1z

6 anTke , a là số phức ( )aTkz z e aTz e

7 anTkne , a là số phức 2( )aT aTkze z e aTz e

8 0sin( )nT 0

20

sin( )2 cos( ) 1z T

z z T

1z

9 0cos( )nT 0

20

cos( )2 cos( ) 1

z z Tz z T

1z

10 0sin( )anTe nT 0

2 20

sin( )

2 cos( )

aT

aT aT

ze T

z ze T e

aTz e

11 0cos( )anTe nT 0

2 20

cos( )

2 cos( )

aT aT

aT aT

ze ze T

z ze T e

aTz e

12 na ( )z z a z a

13 nna 2( )az z a z a

14 2 nn a 3( ) ( )az z a z a z a

15 0sinh( )nT 02

0

sinh( )2 cosh( ) 1z T

z z T

0cosh( )z T

16 0cosh( )nT 02

0

cosh( )2 cosh( ) 1

z z Tz z T

0sinh( )z T

17 !na n /a ze 0z

18 ln !na n 1/za 0z

PHỤ LỤC B

Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier

2( ) ( )i ftX f e x t dt

Tính chất Hàm ( )x t Biến đổi Fourier ( )X f

1. Tuyến tính 1 2( ) ( )Ax t Bx t 1 2( ) ( )AX f B X f

2. Đồng dạng ( )x at 1/

| |X f a

a

3. Liên hợp ( )x t ( )X f

4. Đối ngẫu ( )X t ( )x f

5. Trễ ( )d

x t T 2 ( )di Te X f

6. Dịch chuyển ảnh 02( )

i f te x t

0

( )X f f

7. Điều chế 0( )cos 2x t f t

0 0

1 1( ) ( )

2 2X f f X f f

8. Đạo hàm ( )n

n

d x t

dt 2 ( )

ni f X f

9. Tích phân ( )t

x u du 1 1( ) (0) ( )

2 2X f X f

i f

10. Đạo hàm ảnh ( )nt x t ( )2

nn

nd X fi

df

11. Tích chập 1 2 1 2( )* ( ) ( ) * ( )x t x t x u x t u du

1 2( ) ( )X f X f

12. Tích 1 2( ) ( )x t x t

1 2( ) * ( )X f X f

PHỤ LỤC C:

Các cặp biến đổi Fourier thường gặp

STT Hàm ( )x t Biến đổi Fourier ( )X f

1 ( / )t T sinc( )T Tf

2 2 sinc(2 )W Wt ( / 2 )f W

3 ( / )t T 2sinc ( )T Tf

4 ( ); 0te u t 12i f

5 ( ); 0tte u t 2

1

( 2 )i f

6 ; 0t

e

2 2

2

(2 )f

7 2 2

1; 0

(2 )t

2

fe

8 ( )t 1

9 1 ( )f

10 0( )t t 02i fte

11 02i f te

0( )f f

12 0cos2 f t 0 0

( ) ( )

2

f f f f

13 0sin 2 f t 0 0

( ) ( )

2

f f f f

i

14 ( )u t 1 1( )

2 2f

i f

15 sgn( )t 1i f

16 1t

sgn( )i f

PHỤ LỤC D

Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace

0


Tính chất Hàm ( )x t Biến đổi Laplace ( )X s

1. Tuyến tính 1 2( ) ( )Ax t Bx t

1 2( ) ( )AX s BX s

2. Đồng dạng ( )x at 1 sX

a a

3. Dịch chuyển ảnh ( )a t

e x t ( )X s a

4. Trễ ( ) ( )x t a t a ( )ase X s

5. Đạo hàm ( )dx tdt

( ) (0)sX s x

6. Đạo hàm ( )n

n

d x t

dt 1 ( 1)( ) (0) (0)n n ns X s s x x

7. Đạo hàm ảnh ( )nt x t ( )1

nn

n

d X s

ds

8. Tích phân 0

( )t

x u du ( )X ss

9. Tích phân 1

0 0 0

( ) ( )( 1)!

nt t t

nt u

x u du x u dun

( )n

X s

s

10. Tích phân ảnh ( )x tt

( )s

X u du

11. Tích chập 1 2( ) * ( )x t x t 1 2( ) ( )X s X s

12. Duhamel 1 2 1 2(0) ( ) ' * ( )x x t x x t

1 2( ) ( )sX s X s

13. Tuần hoàn ( ) ( )x t T x t 0

( )

( )1

Tst

sT

e x t dt

X se

14. 2

4

0

1( )

ute x u du

t

X s

s

15. 00

(2 ) ( )J ut x u du

1 1X

s s

16. 2 2

0

(2 ) ( )n n

nt u J ut x u du

1

1 1n

Xss

17. 00

(2 ( ) ) ( )t

J u t u x u du 2

1 1

1X s

ss

18. 2( )x t 23

2 4

0

1( )

2

suu e X u du

19. 0

( )( 1)

ut x udu

u

ln

ln

X s

s s

20. 1

( )

'( )k

na tk

k k

P ae

Q a

( )( )

P sQ s

Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) chỉ có các nghiệm đơn là

1,...,

na a và

không phải là nghiệm của ( )P s

PHỤ LỤC E

Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp

0


TT Ảnh biến đổi Laplace ( )X s Hàm gốc ( )x t

1. 1s

1

2. 1; 1, 2, 3, ...

nn

s

1

( 1)!

ntn

3. 1; 0

s

1

( )t

4. 1s a

ate

5. 1

; 1, 2, 3, ...( )n

ns a

1

( 1)!

natt

en

6. 1

; 0( )s a

1

( )att

e

7. 2 2

1

s a sinat

a

8. 2 2

s

s a cosat

9. 2 2

1

( )s b a sinbte at

a

10. 2 2( )

s b

s b a

cosbte at

11. 2 2

1

s a

sinhat

a

12. 2 2

s

s a coshat

13. 2 2

1

( )s b a sinhbte at

a

14. 2 2( )

s b

s b a

coshbte at

15. 22 2

1

s a

3

sin cos

2

at at at

a

16. 22 2

s

s a sin

2t at

a

17.

2

22 2

s

s a sin cos

2at at at

a

18.

3

22 2

s

s a 1

cos sin2

at at at

19.

2 2

22 2

s a

s a

cost at

20. 22 2

1

s a

3

cosh sinh

2

at at at

a

21. 22 2

s

s a sinh

2

t at

a

22.

2

22 2

s

s a sinh cosh

2

at at at

a

23.

3

22 2

s

s a 1cosh sinh

2at at at

24.

2 2

22 2

s a

s a

cosht at

25. 3

2 2

1

s a 2 2

5

(3 )sin 3 cos

8

a t at at at

a

26. 32 2

s

s a 2

3

sin cos

8

t at at at

a

27.

2

32 2

s

s a 2 2

3

(1 )sin cos

8

a t at at at

a

28.

3

32 2

s

s a 23 sin cos

8t at at at

a

29.

4

32 2

s

s a 2 2(3 )sin 5 cos

8a t at at at

a

30.

5

32 2

s

s a 2 2(8 )cos 7 sin

8a t at at at

31.

2 2

32 2

3s a

s a

2 sin

2t at

a

32.

3 2

32 2

3s a s

s a

21

cos2t at

33.

4 2 2 4

42 2

6s a s a

s a

31

cos6

t at

34.

3 2

42 2

s a s

s a

3 sin

24t at

a

35. 32 2

1

s a

2 2

5

(3 )sinh 3 cosh

8

a t at at at

a

36. 32 2

s

s a

2

3

cosh sinh

8

at at t at

a

37.

2

32 2

s

s a

2 2

3

cosh ( 1)sinh

8

at at a t at

a

38.

3

32 2

s

s a

23 sinh cosh

8

t at at at

a

39.

4

32 2

s

s a 2 2(3 )sinh 5 cosh

8

a t at at at

a

40.

5

32 2

s

s a

2 2(8 )cosh 7 sinh

8

a t at at at

41.

2 2

32 2

3s a

s a

2 sinh

2

t at

a

42.

3 2

32 2

3s a s

s a

21

cosh2t at

43.

4 2 2 4

42 2

6s a s a

s a

31

cosh6t at

44.

3 2

42 2

s a s

s a

3 sinh

24

t at

a

45. 3 3

1

s a

/23 /2

2

3 33 sin cos

2 23

atat

at atee

a

46. 3 3

1

s a

/23 /2

3 33 sin cos

3 2 2

atat

at atee

a

47. 2

3 3

s

s a /2

312 cos

3 2at at

ate e

48. 3 3

1

s a

/23 /2

2

3 33 sin cos

2 23

atat

at atee

a

49. 3 3

1

s a

/23 /2

3 33 sin cos

3 2 2

atat

at atee

a

50. 2

3 3

s

s a /2

312 cos

3 2at at

ate e

51. 4 4

1

4s a 3

1sin cosh cos sinh

4at at at at

a

52. 4 44

s

s a

2

sin sinh

2

at at

a

53. 2

4 44

s

s a 1

sin cosh cos sinh2

at at at ata

54. 3

4 44

s

s a cos coshat at

55. 4 4

1

s a 3

1sinh sin

2at at

a

56. 4 4

s

s a 2

1cosh cos

2at at

a

57. 2

4 4

s

s a 1

sinh sin2

at ata

58. 3

4 4s

s a 1

cosh cos2

at ata

59. 1

s a s b

32( )

bt ate e

b a t

60. 1

s s a erf at

a

61. 1

( )s s a erfate at

a

62. 1

s a b 21

erfc( )at b te be b tt

63. 2 2

1

s a

0( )J at

64. 2 2

1

s a 0 ( )I at

65. 2 2

2 2; 1

n

s a sn

s a

( )n

na J at

66. 2 2

2 2; 1

n

s s an

s a

( )n

na I at

67. 2 2( )

2 2

b s s ae

s a

0 ( 2 )J a t t b

68. 2 2

2 2

b s ae

s a

2 2

0( )t b J a t b

69. 2 2 3

1

( )s a 1( )tJ at

a

70. 2 2 3( )

s

s a

0 ( )tJ at

71. 2

2 2 3( )

s

s a 0 1( ) ( )J at tJ at

72. 1

( 1) (1 )

s

s se

s e s e

( ) , 1, 0, 1, 2, ...x t n n t n n

73. 1

( ) (1 )

s

s se

s e r s re

1

( ) ;t

k

k

x t r t

là phần nguyên của t

74. 1 1

( ) (1 )

s s

s se e

s e r s re

( ) , 1, 0, 1, 2, ...nx t r n t n n

75. /s aes

cos2 at

t

76. /

3

s ae

s

sin2 at

a

77. /

1; 1

s ae

s

/2

(2 )t

J ata

78. a se

s

2

41 ate

t

79. a se 2

4

32

ata

et

80. 1 a ses

erf2

a

t

81. a ses

erfc2

a

t

82. ( )

a se

s s b

( ) erfc

2

b bt a ae b t

t

83. /

1; 1

a se

s

2

2422 1

0

1(2 )

u

a tu e J u dut a

84. lns as b

bt ate et

85. 2 2

2

1ln

2s a

s a

Ci( )at

86. 1

lns a

s a

Ei( )at

87. lnss

lnt ; là hằng số Euler

88. 2 2

2 2ln

s a

s b

2(cos cos )bt at

t

89. 2 2( ln )

6s

s s

2ln t ; là hằng số Euler

90. lnss

(ln )t

91. 2ln ss

2

2(ln )6

t

92. 1

( 1) ( 1)s

s

; 1 lnt t

93. arctanas

sinat

t

94. 1

arctana

s s

Si( )at

95. /

erfc /a se

a ss

2 ate

t

96. 2 2/4 erfc / 2s ae s a 2 22 a ta

e

97. 2 2/4 erfc / 2s ae s a

s erf at

98. erfcase

ass

1

( )t a

99. Ei( )ase as 1t a

100. cos Si( ) sin Ci( )2

as as as as

a

2 2

1

t a

101. sin Si( ) cos Ci( )2

as as as as

2 2

t

t a

102. cos Si( ) sin Ci( )

2as as as as

s

arctan( / )t a

103. sin Si( ) cos Ci( )

2as as as as

s

2 2

2

1ln

2t a

a

104. 2

2Si( ) Ci ( )2

as as

2 2

2

1ln

t at a

105. 1 ( )t - hàm Dirac

106. ase ( )t a

107. ases

( )t a

108. sinh1sinh

xs

s as

1

2 ( 1)sin cos

n

n

x n x n ta n a a

109. sinh1cosh

xs

s as

1

4 ( 1) (2 1) (2 1)sin sin

2 1 2 2

n

n

n x n tn a a

110. cosh1sinh

xs

s as

1

2 ( 1)cos sin

n

n

t n x n ta n a a

111. cosh1cosh

xs

s as

1

4 ( 1) (2 1) (2 1)1 cos cos

2 1 2 2

n

n

n x n tn a a

112. 2

sinh1sinh

xs

ass

2 21

2 ( 1)sin cos

n

n

xt a n x n ta a an

113. 2

sinh1cosh

xs

ass

21

28 ( 1) (2 1) (2 1)

sin cos2 2(2 1)n

na n x n tx

a an

114. 2

cosh1sinh

xs

ass

2

2 21

2 ( 1)cos 1 cos

2

n

n

t a n x n ta a an

115. 2

cosh1cosh

xs

ass

21

28 ( 1) (2 1) (2 1)

cos sin2 2(2 1)n

na n x n tt

a an

116. sinh

sinh

x s

a s

2 2 2/2

1

2( 1) sinn n t a

n

n xne

aa

117. cosh

cosh

x s

a s

2 2

1

(2 1)21 4

2(2 1)

(2 1)( 1) cos2n

n tn a n

nx

eaa

118. sinh1

cosh

x s

s a s

2 2

1

(2 1)21 4 (2 1)2

( 1) sin2n

n tn a n x

ea a

119. cosh1

sinh

x s

s a s

2 2

1

21 2( 1) cos

2n

n tn a n xe

a a a

120. sinh1

sinh

x s

s a s

2 2

1

22 ( 1)sin

2n

n t

a nnx xe

a n a

121. cosh1

cosh

x s

s a s

2 2

1

1)(224 (2 1)4 ( 1)

1 cos2 1 2n

n t

a nn xe

n a

122. 2

sinh1

sinh

x s

s a s

2 2

22

21

2 ( 1)(1 )sin

2 2

n t

a

n

nnxt a xe

a an

123. 2

cosh1

cosh

x s

s a s

2 22

21

1)(224 (2 1)2 2 16 ( 1)

cos2 3 2(2 1)n

n t

a nnx a a xt e

an

124. 0

0

( )1

( )

J ix s

s J ia s

2 2/

0

1 1

( / )1 2

( )

nt a

n

n n n

e J x a

J

1 2, , ... là các nghiệm dương của 0( ) 0J

125. 02

0

( )1

( )

J ix s

s J ia s

2 2/2 22 0

31 1

( / )2

4 ( )

nt a

n

n n n

e J x ax at a

J

1 2, , ... là các nghiệm dương của 0 ( ) 0J

126. 21 tanh ( )

2as

as

127. 1tanh( )

2as

s

128. 2 2 2

cosh( )2

a as

a s

129. 2 2 2( )(1 )as

a

a s e

130. 2

1

(1 )

as

as

e

as s e

131. (1 )as

bsee

s

( ) ( )t a t a b

132. 1

(1 )ass e

1

( 1)n

n t n a t na

133. 2

2(1 )

s s

se es e

2

0( 1)

nn t n t n

134. 21

(1 )

s

ase

s re

0

( 1)n

nr t n t n

135. 2 2 2(1 )asa e

a s

( ) ( ) sin tt t aa

t

t 1

1 a

a2 a3 a4

0

1

a2 a4

t 0

1

a2 a3a

t 0

1

a2 a3

a

t 0

1

a2 a3

a

PHỤ LỤC F

GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC 2

21( )

2

t

t e

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2370 2347 2320 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 00080 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC (0;1)N

2

21( )

2

t x

t e dx

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0,1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0,2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 1,0 0,8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 1,1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 2,0 0,9773 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 2,1 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 2,3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 2,4 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 2,5 0,9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 2,6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 2,7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

)(t 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999

t a t

y12

O

)(t

CÁC THUẬT NGỮ

Số phức liên hợp 10 Hàm tích phân mũ 152

Argument của số phức 14 Hàm tích phân sin 152

Công thức Euler 14 Hàm tích phân cosin 156

Mô đun của số phức 14 Hàm lỗi 163

Căn bậc n của số phức 17 Hàm số Gamma 165

Tập số phức mở rộng 18 Hàm Beta 168

Tập liên thông, miền 20 Hàm Bessel loại 1 172

Hàm đơn trị, hàm đa trị 20 Hàm Bessel loại 2 176

Công thức Cauchy-Rieman 24 Tích phân Lommel 179

Hàm giải tích, hàm chỉnh hình 29 Khai triển Fourier - Bessel 193

Tích phân phức 35 Hàm mẫu 195

Công thức tích phân Cauchy 48 Không gian trạng thái của quá trình 196

Không điểm của hàm giải tích 54 Quá trình độc lập 196

Điểm bất thường cô lập 55 Quá trình Bernoulli 196

Thặng dư 74 quá trình gia số độc lập dừng 197

Biến đổi Z 74 Quá trình dừng các cấp 197

Hàm gốc của biến đổi Laplace 74 Quá trình dừng theo nghĩa rộng 197

Liên tục từng khúc 86 Quá trình dừng theo nghĩa hẹp 203

Hàm bước nhảy đơn vị 94 Hàm trung bình 212

Tích chập của hai hàm số 104 Hàm tự tương quan 220

Công thức Heaviside 111 Quá trình Markov 222

Trở kháng ảnh 111 Ma trận xác suất chuyển 250

Hệ trực giao 112 Phân bố đầu của hệ 251

Hệ số Fourier 117 Phân bố của hệ ở thời điểm n 252

Điều kiện Dirichlet 120 Phương trình Chapman-Kolmogorov 253

Đẳng thức Parseval 122 Phân bố dừng, giới hạn, ergodic 254

Hàm tương quan 125 Hàm tự hiệp phương sai 255

Công thức tích phân Fourier 126 Mật độ phổ công suất 257

Định lý năng lượng Rayleigh 127 Mật độ phổ của quá trình dừng 262

Xung chử nhật hay hình hộp 144 Quá trình nhiễu trắng 267

Xung tam giác đơn vị 151 Trung bình theo thời gian 269

Hàm delta (hàm Dirac) 152 Quá trình ergodic 273

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm và xác suất ứng dụng trong viễn thông. Trung Tâm

Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thông 1, 1999. 2. Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng. NXB Đại học Quốc gia Hà nội.

2000. 3. Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 4. L. W. Couch, II, Digital and Analog Communication Systems. 6th ed, Prentice Hall,

2001. 5. V. Ditkine et A. Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel. Dịch ra

tiếng Pháp bởi Djilali Embarex, Mir 1978. 6. Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering. John Wiley & Sons:

London, New York, Sydney, Toronto 1980. 7. Dean G. Duffy, Advanced Engineering Mathematics, CRC Press LLC, 1998. 8. E. J. Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation. Mc Graw - Hill Book

company, Inc. 1962. 9. M. R. Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform. Schaum's outline

series. Mc Graw - Hill Book company, Inc. 1986. 10. Peter J. Olver, Chehrzad Shakiban; Applied Mathematics. c 2003 Peter J. Olver. 11. Robert Wrede. Muray R. Spigel. Theory and Problems of Advanmced Calculus. Schaum's

outline series. Mc Graw - Hill Book company, Inc. 2002. 12. R. E. Ziemer & R. L.Peterson, Introduction to digital communication, Macmillan

Publishing Company, 1992.

Documents

Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT - Học viện Công ...dlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1277/1/BG Toan ky thuat.pdf · Công thức tích phân Cauchy ... Đạo hàm và tích