Baigiang ToanKT Chuong 12 1lmcuong/EMAT/ch12.pdf · 2012-12-11 · 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi: Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một

Chapter 12:

Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping)

2Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 12: Nội dung12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi.

12.2 Ánh xạ bảo giác.

12.3 Phép Biến đổi song tuyến tính.

12.4 Biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị.

12.5 Một số ánh xạ bảo giác thường dùng khác.


12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi :

Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một điểm hay tập A trên mp z và một điểm hay tập B (gọi là ảnh) trên mp w.

1. Khái niệm:

0 u

v w-plane

0 x

y z-plane

x1

y1z1

w1 = f(z1)

A B


2. Tìm ảnh của một điểm hay một tập hợp:Ảnh của điểm z1 là w1 = f(z1).

Ảnh của một tập (đường thẳng, đường tròn, đĩa, …) liên quan đến tìm hàm ngược. Qui trình:

w = f(z) z = f–1(w) x + jy = f–1(u + jv)

x = ϕ(u, v)

y = ψ(u, v)

Dùng các phương trình hay bất phương trình mô tả tập A trên mp z để nhận được phương trình hay bất phương trình mô tả tập B trên mp w.


VD 12.1.1: Ảnh của một điểmTìm ảnh của các điểm A (z = – 2 + j) và B (z = 3 + j4) trên mặt phẳng w dưới phép biến đổi w = j2z + 3 và minh họa bằng hình vẽ.


VD 12.1.2: Ảnh của đoạn thẳng

Hàm ngược: z = – j0,5w + j1,5

Phương trình mô tả đường AB: y = x + 3.

x + jy = – j0,5(u + jv) + j1,5x = 0,5v

y = 1,5 – 0,5u

1,5 – 0,5u = 0,5v + 3 v = – u – 3

Tập ảnh của đường qua AB cũng là một đường thẳng trên mp w và có phương trình v = – u – 3.

Tìm ảnh của đoạn thẳng nối A (z = – 2 + j) và B (z = 3 + j6) trên mặt phẳng w dưới phép biến đổi w = j2z + 3.


VD 12.1.2: Ảnh của đoạn thẳng (tiếp theo) Tiếp tục ta tìm ảnh A’ và B’ của A và B.

Suy ra ảnh của đoạn AB là phần đường thẳng nằm giữa hai điểm A’ và B’.

Tập A Tập B


Lưu ý:

i. Đoạn A’B’ có thể được xác định khi ta tìm thấy ảnh K’ (của điểm K trong đoạn AB) nằm trong đoạn A’B’.

ii. Ảnh của miền D được xác định khi ta dùng điểm thử và xác định vị trí ảnh của nó : nằm bên trong hay bên ngoài D’.

KK’


VD 12.1.3: Ảnh của một miền

Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z + 1 + j| < 1} dưới phép biến đổi w = (3 – j4)z + 6 + j2 ?

Hàm ngược: z = (3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5)

|w + 1 – j3| < 5

Thế vào bất pt mô tả tập A ta có:

|(3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5) + 1 + j| < 1

-1

-1-1

3

A

B Ảnh của tập A là đĩa hở tâm (-1,3), bán kính là 5.


3. Một số phép biến đổi đơn giản:

i. Phép dời: w = z + a

Tịnh tiến miền đã cho theo hướng của a.

ii. Phép xoay: w = ejθ.z

Xoay miền đã cho theo CCW nếu θ > 0 và CW nếu θ < 0 .

iii. Phép giãn: w = αz

Giãn miền đã cho.

iv. Phép nghịch đảo: w = 1/z


12.2 Ánh xạ bảo giác :

Ánh xạ bảo toàn độ lớn và hướng của góc giữa 2 đường cong C1 và C2 qua phép biến đổi gọi là ánh xạ bảo giác (conformal mapping).

Nếu f(z) giải tích và f’(z) ≠ 0 thì w = conformal mapping.

x

y

0

α

C1

C2z0

u

v

0

θ = αC1’

C2’

w0

1. Định nghĩa và điều kiện:


2. Một số phép biến đổi bảo giác đơn giản:

Do w = z2 = (x + jy)2 = x2 – y2 + j2xy.u = x2 – y2

v = 2xy.

Là bảo giác với mọi z khác 0.

Biến các đường thẳng ở miền w là u = a và v = b thành các hyperbol trực giao ở miền z.

Biến các đường thẳng ở miền z là x = a và y = b thành các parabol trực giao ở miền w.

a) Phép biến đổi w = z2:


b) Phép biến đổi w = ez:

Do w = ez = e(x+jy) = ex.ejyR = ex

φ = y. Biến đường x = a ở miền z thành

đường tròn tâm O, R = ea ở miền w. Biến đường thẳng y = b ở miền z

thành tia qua tâm O φ = b ở miền w.

Biến hình c.nhật ở mp z thành miền giữa 2 đường tròn và 2 tia ở mp w.

Biến nửa trái mp z thành bên trong đường tròn đơn vị ở miền w.

Ta thấy rõ tính bảo giác ở đây.

Là bảo giác với mọi z.


c) Phép biến đổi w = 1/z :

x

y

R

u

v

1/R0 0

x

y

au

v

1/a0 0

Phép biến đổi w = 1/z dùng để biến miền giữa hai đường tròn qua 1 điểm (kđx) thành miền giữa hai đường thẳng (đx).

Là bảo giác với mọi z khác 0.


3. Ứng dụng của ánh xạ bảo giác : Tham khảo thêm tại phần 18.2, tài liệu “Advanced

Engineering Mathematics”, 10ed, Erwin Kreyszig, 2011.

Ánh xạ bảo giác ứng dụng nhiều trong kỹ thuật điện – điện tử để giải các bài toán điều kiện biên (bài toán Dirichlet).

Bài toán tìm thế điện của Trường điện tĩnh là bài toán điều kiện biên cơ bản nhất với việc giải phương trình Laplace.

Hoặc dùng cách giải khác là ta đưa bài toán về đối xứng nhờ phép biến đổi bảo giác.

Nếu không đối xứng, ta phải dùng Phương pháp tách biến.

Trong môn học Trường điện từ , ta thường kèm điều kiện đối xứng, bỏ hiệu ứng mép, … để Thế điện chỉ phụ thuộc 1 biến tọa độ và bài toán giải được dễ dàng.


a) Công dụng/tính chất của ánh xạ bảo giác: Dùng ánh xạ bảo giác chuyển một miền có biên phức tạp về

một miền có biên đơn giản ( tính trường điện, thế điện, …)

Khi f(z) là bảo giác thì nghiệm của 2 phương trình Laplace ở hai miền D và D’ là như nhau. Có thể tra bảng các biến đổi thích hợp để chuyển miền D về

D’ đơn giản hơn cho việc giải phương trình Laplace. Việc này cũng cần nhiều kinh nghiệm.

x

y

0

∆Φ = 0

Φ = const u

v

0

∆Φ1 = 0

Φ1 = const

w = f(z)D D’


b) Qui trình giải dùng ánh xạ bảo giác:

Giả sử tìm nghiệm ϕ(x, y) của ptrình Laplace:2 2

2 2x y0∂ ϕ ∂ ϕ

∂ ∂+ =

biết giá trị tại biên miền D của nó.

Step1: Tìm ánh xạ bảo giác w = f(z) biến miền D thành D’.

Step2: Chuyển điều kiện biên ϕ = A ở miền D thành ϕ = A ở miền D’.

Step3: Giải tìm nghiệm phương trình Laplace ϕ = f(u, v) ở miền D’.

Step4: Suy ra nghiệm ở miền D: ϕ(x, y) = ϕ[u(x, y), v(x, y)].


VD12.2.1: Thế điện giữa 2 bản cực hyperbol

f(z) = z2

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 bản cực hyperbol như H1 ?

Giải Biến các bản cực hyperbol thành các

bản cực thẳng ta dùng ánh xạ f(z) = z2 để có hệ H2.

Ở H2, ta giải dễ dàng: ϕ = 25v – 50 .

x

y

0

ϕ = 0

ϕ = 50V

xy = 1xy = 2

∆ϕ = 0

H1

(mp z)

u

v

0

ϕ = 0

ϕ = 50V

v = 2

v = 4

∆ϕ = 0

H2

(mp w)

Chuyển về mp z: dựa vào ánh xạ

Vậy ở mpz, ta có phân bố thế điện:

ϕ = 50xy – 50 (V)

2 2 2w z (x y ) j2xy= = − +


VD12.2.1: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_2_1 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(0:.1:5,0:.1:5);Z = 50*X.*Y - 50;[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:5:50]); %gia tri z tu 0 -> 50, buoc 5V colormap cool;

Thế điện ϕ = 0

Thế điện ϕ = 50 V


VD12.2.2: Ứng dụng ánh xạ bảo giácTìm phân bố thế điện trong miền giữa |z – 1| > 1 và |z – 2| < 2 như H1 ?

Hai đường tròn đi qua 1 điểm, ta dùng phép biến đổi w = 1/z và có H2 & ĐKB.

x

ϕ = 100V

H1

4

ϕ = 50V

21

C1C2

Giải Ptrình Laplace trong miền giữa C1’ và C2’ ta có :

w

u

v

01/2

ϕ = 50Vϕ = 100V

H21/4

C1’ C2’



Code chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_2_2 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(0.001:.2:5,-2.1:.2:2.1);Z = 150 - 200*X./(X.^2 + Y.^2);[C,h] = contour(X,Y,Z,[50:5:100]); %gia tri z tu 50 -> 100, buoc 5V colormap cool;% End of program

Thế điện ϕ = 50V



12.3 Phép biến đổi song tuyến tính (Mőbius):

az bcz dw ++=

Phép biến đổi song tuyến tính là phép biến đổi bảo giác quan trọng nhất, được định nghĩa bởi:

Miền của phép biến đổi này: mọi giá trị z thỏa z ≠ -d/c.

Do yêu cầu T’(z) = [ad – bc]/(cz+d)2 ≠ 0 → (ad – bc) ≠ 0 : ánh xạ là bảo giác.

1. Định nghĩa:

Phép biến đổi ngược của biến đổi này : dw bcw az − +

−= Phép biến đổi song tuyến tính biến đường tròn và đường thẳng

thành đường tròn và đường thẳng.


VD12.3.1: Phép biến đổi song tuyến tính

2.0 11 0 jw T(0) j+

−= = =

Tìm ảnh của các điểm: 0, 1+j, j và ∞ qua phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa bởi: w = (2z + 1)/(z – j) ?

2.(1 j) 12 (1 j) jw T(1 j) 3 j2+ +

+ −= + = = +

2.( j) 13 ( j) jw T( j) +

−= = = ∞2.( ) 1

4 ( ) jw T( ) 2∞ +∞ −= ∞ = =



w jw jz − ++

=

Tìm ảnh của đĩa hở D: |z| < 1 qua phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa bởi : w = (– jz + j)/(z + 1) ?

Phép biến đổi ngược:

Với |z| < 1 ta có : w jw j 1− ++ < u j(v 1)

u j(v 1) 1− − −+ + < 0 v<

Ảnh của đĩa hở là nửa trên mặt phẳng w.



Tìm ảnh của đường tròn |z| = 1 dưới phép biến đổi song tuyến tính w = (z + 2)/(z – 1) ? Suy ra ảnh của miền |z| < 1 ?

1-1

-j

j

z-plane

-1/2

w-plane

mapping

Tìm ảnh miền trong, dùng điểm thử: w(z=0) = - 2: left u = -1/2.

w 2w 1z +−= Phép biến đổi ngược:

Với |z| = 1 ta có : w 2w 1 1+−= 2 2 2 2(u 2) v (u 1) v+ + = − +

12u = −


VD12.3.4: Phép biến đổi song tuyến tínhTìm ảnh của đường tròn |z| = 2 dưới phép biến đổi song tuyến tính w = (z + 2)/(z – 1) ? Suy ra ảnh của miền |z| < 2 ?

Tìm ảnh miền trong, dùng điểm thử: w(z=0) = - 2: miền ngoài.

w 2w 1z +−= Phép biến đổi ngược:

Với |z| = 2 ta có : w 2w 1 2+−= 2 2 2 2(u 2) v 4(u 1) 4v+ + = − +

2 2(u 2) v 4− + =

2-2

-j2

j2

z-plane

mapping

w-plane

02

4

w-plane

02

4


2. Tỉ chéo:Định lý: Tồn tại duy nhất phép biến đổi song tuyến tính để biến 3 điểm z1, z2, z3 thành w1, w2, w3 theo công thức tỉ chéo:

2 3 2 31 1

3 2 1 3 2 1

z z w wz z w wz z z z w w w w

− −− −− − − −

=

Nếu z3 = ∞: 2 31 1

2 1 3 2 1

w wz z w wz z w w w w

−− −− − −

=

Nếu w3 = ∞: 2 31 1

3 2 1 2 1

z zz z w wz z z z w w

−− −− − −

=


VD12.3.5: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến các điểm: – 2, – 1 – j, 0 thành các điểm : – 1, 0, 1 ?

z ( 2) 1 j 0 w ( 1) 0 1z 0 1 j ( 2) w 1 0 ( 1)− − − − − − − −− − − − − − − −

=Áp dụng công thức tỉ chéo:

z 2 1 j w 1z 1 j w 1+ − − +

− − += z 2 w 1

jz w 1+ +

− +=

– w(z + 2) + (z+2) = wjz + jz

w(jz + z + 2) = z + 2 – jz

(1 j)z 2(1 j)w 2w − ++ +=


VD12.3.6: Phép biến đổi song tuyến tínhTìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi các điểm: 1, j, – 1 (trên đường tròn |z| = 1) thành các điểm: – 1, 0, 1 ? Tìm ảnh của đĩa |z| < 1 qua phép biến đổi này ?

z 1 j 1 w 1 1z 1 j 1 w 1 1− + + −+ − −

=Dùng tỉ chéo: j(z 1) w 1z 1 w 1− ++ −

=z jjz 1w −−

=w jjw 1z −−

= Phép biến đổi ngược:u j(v 1)

( v 1) juz + −− − +

=

| z | 1< 2 2 2 2u (v 1) (v 1) u+ − < + + v 0>

Ảnh của đĩa là nửa trên mặt phẳng w.


VD12.3.7: Ứng dụng bđổi song tuyến tínhĐường dây tích điện mật độ dài ρℓ = 2πε0 C/m đặt tại x = 1 bên trong mặt trụ bán kính 2 nối đất, cho ε = ε0 . (a) Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi các điểm: 2, 1, – 2 (trên đường tròn |z| = 2) thành các điểm: 1, 0, – 1 (trên đường tròn |z| = 1) ? (b) Tìm ảnh của đĩa |z| < 2 qua phép biến đổi này ? (c) Tìm thế điện bên trong mặt trụ ?

a) Dùng tỉ chéo:

2z 2z 4w − +−

=

b) Nhờ biến đổi ngược:

2-2

C

y

x

1

ρℓ1-1

C’

v

uρℓ

: ảnh |z| = 2 là |w| = 1.


VD12.3.7: (tiếp theo)c) Tìm thế điện:

2-2

C

y

x

1

ρℓ1-1

C’

v

uρℓ

Giải miền w:

( ) ( )0

1 12 r |w|ln lnρπε

ϕ = =

2z 2 2 2x j2yz 4 x 4 jyw − + − −− − +

= =Từ:

Suy ra: ( )2 2

2 21 ( x 4) y2 (2 2 x ) 4 y

ln − +− +

ϕ =

Code MATLAB và đồ thị:[X,Y] = meshgrid(-2.1:.03:2.1,-2.1:.03:2.1);Z = 0.5*log(((X-4).^2 + Y.^2)./((2 - 2*X).^2

+ 4*Y.^2));[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:0.1:10]); colormap cool;

12.4

Biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị


1. Bài toán: Tìm PBĐ song tuyến tính để biến :

i. Nửa MP Hở Trên π: Imz > 0 → Đĩa Hở ĐV π’: |w| < 1.

ii. Trục Thực Γ (Biên của π): Imz = 0 → VTĐV Γ’:|w| = 1.


2. Xác định phép biến đổi tổng quát:

α −= ⋅ α∈ >

−i o

oo

z zw e ( R,Im(z ) 0)z z

az bcz dw ++

=Từ phép biến đổi:

Để biến trục thực thành đường tròn thì ta có : a x b / ac x d / c1 +

+=

Phương trình này thỏa khi x = ∞, tức là |a/c| = 1 và (b/a) với (d/c) là 2 số phức liên hợp.

Phép biến đổi song tuyến tính khi đó có dạng:

(Ở đây α = π tương ứng nửa mp trên và z0 là 1 điểm bất kỳ thuộc về nửa mp trên tương ứng ảnh của nó là tâm của đường tròn đơn vị)


3. Phép Biến Đổi thuận M(z) :

NMPT:−∞ < < ∞ >

xy 0

GPT I:< < ∞

< < ∞

0 x0 y

ĐĐV:0 10 2≤ ρ <

≤ φ < π

NĐTĐV:0 10≤ ρ <

≤ φ ≤ π

− += =

+z jw M(z)z j

Phép biến đổi: Chọn z0 = j ta có :

Sử dụng để biến đổi:


4. Phép Biến Đổi ngược N(z) :

ĐĐV:≤ <

≤ θ < π

0 r 10 2 NMPT:

uv 0−∞ < < ∞ >

NĐTĐV:≤ <

≤ θ ≤ π

0 r 10 GPT I:

0 u0 v< < ∞

< < ∞

− + − += = =

+ +jz j z 1w N(z) jz 1 z 1

Phép biến đổi:

Sử dụng để biến đổi:

(Bán kính R chỉ cần nhân kết quả R lần)


VD12.4.1: Biến NMPT → ĐĐVịĐường dây tích điện mật độ dài ρℓ = 2πε0 C/m đặt tại y = 5 bên trên mặt đất, cho ε = ε0 . (a) Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi NMPT thành ĐĐV với đường dây tại tâm đĩa ? (b) Tìm thế điện ở nửa mp trên ?

a) Theo 12.4.2, có z0 = j5, do đó:

1-1

C’

v

uρℓ

C

y

xρℓ

5

− − += − =

+ +z j5 z j5wz j5 z j5

ảnh biên y = 0 là đường tròn đvị |w| = 1.Ta chứng minh được :


VD12.4.1: (tiếp theo)b) Tìm thế điện: Giải miền w:

( ) ( )0

1 12 r |w|ln lnρπε

ϕ = =

z j5 x j(5 y)z j5 x j(5 y)w − + − + −+ + +

= =Từ:

Suy ra: ( )2 2

2 21 x (5 y)2 x (5 y)

ln + ++ −

ϕ =

Code MATLAB và đồ thị:%Vidu 12_4_1 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(-5:.3:5,-0.5:.3:7.5);Z = 0.5*log((X.^2 + (5+Y).^2)./(X.^2 + (5-Y).^2));[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:0.1:10]); colormap cool;% End of program

1-1

C’

v

uρℓ

C

y

xρℓ

5


VD12.4.2: Biến Nửa ĐĐV → Góc Phần Tư ITìm phân bố thế điện trong miền nửa đường tròn như H1 ?

Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến đổi song tuyến tính biến nửa đường tròn đơn vị thành góc phần tư thứ nhất), ta có phép biến đổi: z 1

z 1w j − ++

=cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB.

x

ϕ = 0

H11

ϕ = 110V

0-1

C1

C2

1

u

ϕ = 0

H2

ϕ = 110VC1’

C2’

vGiải bài toán đối xứng ở H2, ta có:

( )220 v1utan 110 (V)−

πϕ = − +

( )2 2220 1 x y12ytan 110− −−

πϕ = − +



Code chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_4_2 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(-1.1:.02:1.1,0.01:.02:1.1);Z = -(220/pi)*atan((1 - X.^2 - Y.^2)./(2*Y)) + 110;[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]);%gia tri z tu 0 -> 110, buoc 10V colormap cool;% End of program





12.5

Một số ánh xạ bảo giác thường dùng khác


1. Phép biến đổi z aaz 1w −−

=

2 21 2 1 2

1 2

1 x x (x 1)(x 1)(x x )a + + − −

+=2 2

1 2 1 2

1 2

x x 1 (x 1)(x 1)(x x )R − − − −

−=Với:

u

v

0 1– 1 R– Rx

y

0 1– 1 x2 x1

2 11 x x< <

Phép biến đổi này dùng để biến miền giữa hai mặt trụ song song (kđx & vh) về miền giữa hai mặt trụ đồng trục (đx & hh).

Nếu mặt trụ 2 là mặt phẳng tại x2: cho x1 = ∞.2

2 2a x (x 1)= + −Và có: 22 2R x (x 1)= − −


2. Phép biến đổi hai đường tròn lệch trục:

2 21 2 1 2

1 2

1 x x (1 x )(1 x )(x x )a + + − −

+=2 2

1 2 1 2

1 2

1 x x (1 x )(1 x )(x x )R − + − −

−=Với:

x

y

0 1– 1 x2

x1 u

v

0 1– 1 R– R

2 11 x x 1− < < <

Phép biến đổi này dùng để biến miền giữa hai mặt trụ song song lệch trục (kđx) về miền giữa hai mặt trụ đồng trục (đx).

z aaz 1w −−

= Là phép biến đổi:


VD12.5.1: Thế điện giữa 2 dây dẫn khác bkTìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 mặt trụ như H1 ?

xϕ = 0

H1

1

ϕ = 110V

-1

C1C2

2 3

Xem công thức phần 12.5.1 (Các phép biến đổi bảo giác thường dùng) ta tính được a và R : a = (7+2*sqrt(6))/5;R = 5 - 2*sqrt(6);.

z aaz 1w −−

=Từ đó có ánh xạ:

cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB. Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có:

[ ] [ ]110 110ln R ln Rln R ln r ln R ln | w |ϕ = − = −

u

ϕ = 0

H2

1

ϕ = 110V

-1

C2’

C1’

R-R

v

2 2

2 2 2110 (x a) yln R (ax 1) a y

ln R 0,5ln − +− +

ϕ = −



Code chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_5_1 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(-1.2:.01:4,-2:.01:2);a = (7+2*sqrt(6))/5; R = 5 - 2*sqrt(6);Z = (110/log(R))*(log(R)-0.5*log(((X-a).^2 + Y.^2)./((a*X-1).^2 + a^2*Y.^2)));[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]);%gia tri z tu 0 -> 110, buoc 10V colormap cool;% End of program






VD12.5.2: Thế điện trong cáp lệch trụcTìm phân bố thế điện trong miền giữa |z| < 1 và |z – 2/5| > 2/5 như H1 ?

Xem công thức phần 12.5.2 (Các phép biến đổi bảo giác thường dùng) ta tính được a = 2 và R = 2.

x

ϕ = 0

H1

1

ϕ = 110V

2/5-1

C1

C2 z aaz 1w −−


cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB.

u

ϕ = 0

H2

R=2

ϕ = 110V

-R

C1’

C2’

1-1

v

Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có:110 110ln R ln Rln r ln | w |ϕ = =

2 2

2 2 2110 (x a) yln R (ax 1) a y

.0,5ln − +

− +ϕ =



Code chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_5_2 - Ve ho duong cong[X,Y] = meshgrid(-1.2:.03:1.2,-1.2:.03:1.2);a = 2; R = 2;Z = (110/log(R))*0.5*log(((X-a).^2 + Y.^2)./((a*X-1).^2 + a^2*Y.^2));[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]);%gia tri z tu 0 -> 110, buoc 10V colormap cool;% End of program






VD12.5.3: Thế điện giữa dây dẫn và đấtTìm phân bố thế điện trong miền giữa dây dẫn 220V và đất như H1 ?

Xem công thức phần 12.5.1 với x2 = 9 và x1 = ∞ ta tính được a và R : a = (9+sqrt(80); R = 9 - sqrt(80);.

z aaz 1w −−


cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB.

Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có:

[ ] [ ]110 110ln R ln Rln R ln r ln R ln | w |ϕ = − = −

u

ϕ = 0

H2

1

ϕ = 220V

-1

C2’

C1’

R-R

v

x

ϕ = 0

H1

1

ϕ = 220V

-1C1 C2

9

2 2

2 2 2220 (x a ) yln R (ax 1) a y

ln R 0,5ln − +− +

ϕ = −


VD12.5.3: MATLAB vẽ phân bố thếCode chương trình vẽ phân bố thế:%Vidu 12_5_3 - Phan bo the ddan - mdat[X,Y] = meshgrid(-1.2:.01:11,-4:.01:4);a = 9 + sqrt(80);R = 9 - sqrt(80);Z = (220/log(R))*(log(R)-0.5*log(((X-a).^2 + Y.^2)./((a*X-1).^2 + a^2*Y.^2)));[C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:220]);%gia tri z tu 0 -> 220, buoc 10V colormap cool;% End of program





Documents

Baigiang ToanKT Chuong 12 1lmcuong/EMAT/ch12.pdf · 2012-12-11 · 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi: Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một