Univerzita Karlova v PrazeMatematicko-fyzikální fakulta

BAKALÁSKÁ PRÁCE

Jakub Rozehnal

Pozdní fáze formování velkýchplanet slune£ní soustavy

Astronomický ústav MFF UK

Vedoucí bakalá°ské práce: Mgr. Miroslav Broº, Ph.D.,Studijní program: Fyzika, obecná fyzika

2009

D¥kuji Mgr. Miroslavu Broºovi, Ph.D. za podn¥tné p°ipomínky, neocenitelnoupomoc s p°ípravou této práce a její pe£livé vedení. Rád bych také na tomto míst¥ pod¥ko-val Prof. RNDr. Petru Kulhánkovi, CSc., za jeho ob¥tavou pomoc p°i mém studiuna MFF UK, za kterou bych mu rád tuto práci v¥noval.

Prohla²uji, ºe jsem svou bakalá°skou práci napsal samostatn¥ a výhradn¥ s pouºitímcitovaných pramen·. Souhlasím se zap·j£ováním práce a s jejím zve°ej¬ováním.

V Praze dne 25. 5. 2009 Jakub Rozehnal

2

Název práce: Pozdní fáze formování velkých planet slune£ní soustavyAutor: Jakub RozehnalÚstav: Astronomický ústav MFF UKVedoucí bakalá°ské práce: Mgr. Miroslav Broº, Ph.D.E-mail vedoucího: mira@sirrah.troja.m.cuni.czAbstrakt: Práce se zabývá procesem vzniku slune£ní soustavy, zejména fázemi, kterénastaly po rozptýlení plynné sloºky disku. Nejprve popisujeme model akrece velkýchplanet z malých planetezimál, který v²ak není schopen objasnit vznik planet Urana Neptun ve velkých heliocentrických vzdálenostech. Proto následn¥ diskutujememigraci planet, která je procesem nezbytným nejen pro vysv¥tlení sou£asnýchdrah planet, ale také pochopení populací malých t¥les, nap°íklad Plutin. Záv¥re£ná£ást práce je v¥nována vlastním numerickým simulacím, ve kterých se snaºímevystihnout n¥které aspekty planetární migrace.

Klí£ová slova: slune£ní soustava, planetezimály, akrece, migrace planet

Title: Late phases of the formation of the giant planets in the Solar SystemAuthor: Jakub RozehnalDepartment: Astronomical Institute of Charles UniversitySupervisor: Mgr. Miroslav Broz, Ph.D.Supervisor's e-mail address: mira@sirrah.troja.m.cuni.czAbstract: In this work we study the processes in the Solar System, namely duringthe phases, which occurred after dissolution of the gaseous protoplanetary disk. Atrst we describe a standard accretion model of giant planets, which is not able toexplain formation of Uranus and Neptune at large heliocentric distances. Secondly,we discuss migration of planets, which seems to be an inevitable process, both toexplain current orbits of planets and distribution of small-body populations, likePlutinos. Last part of the thesis is devoted to our numerical simulations, which aimto explain some of the aspects of planetary migration.

Keywords: solar system, planetesimals, acretion, planet migration

OBSAH 3

Obsah1 Úvod 5

2 Vznik slune£ní soustavy 7

3 Planetární akrece 103.1 Model planetární akrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 etnost kolizí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Vývoj rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.3 Viskózní promíchávání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Vývoj hmotností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 R·st planet Uranu a Neptunu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1 Maximální rozm¥r planetezimál . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Problém s dokon£ením akrece . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Migrace planet v planetezimálních discích 244.1 Dynamické p°í£iny planetární migrace . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Diskuze sm¥ru migrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Zachycení v rezonanci b¥hem migrace . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Jednoduchá migrace ve slune£ní soustav¥ . . . . . . . . . . . . 32

4.4.1 Migrace v rozlehlém disku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4.2 Omezení plynoucí z pozorování Kuiperova pásu . . . . 34

4.5 Model vzniku Uranu a Neptunu mezi Jupiterem a Saturnem 364.6 Model z Nice dynamického vývoje ob°ích planet . . . . . . . . 37

4.6.1 Nastavení po£áte£ních podmínek . . . . . . . . . . . . . . 384.6.2 Výsledky simulací a vývoj drah ledových obr· . . . . . 38

4.7 Pozorování podporující model z Nice . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.1 Zachycení Jupiterových Trojan· . . . . . . . . . . . . . . 414.7.2 Kuiper·v pás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.3 Pozdní bombardování M¥síce . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Migrace planet v extrasolárních planetezimálních discích 455.1 P·vod horkých Jupiter· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Migrace v dvouplanetárních systémech . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Vypuzení planety daleko od mate°ské hv¥zdy . . . . . . . . . . 485.4 Pozdní nestability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

OBSAH 4

6 Simulace migrace planet 516.1 Symplektické integrátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Limity pouºití integrátor· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2.1 Hmotnost testovacích £ástic . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Vylou£ení gravita£ní interakce mezi £ásticemi disku . . 556.2.3 Vylou£ení sráºek mezi £ásticemi disku . . . . . . . . . . 56

6.3 Simulace konkrétních d¥j· v pozdním období formováníslune£ní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.4 Simulace N-£ásticovým integrátorem MERCURY . . . . . . . 586.4.1 Zachycení t¥les v rezonancích s Neptunem . . . . . . . . 656.4.2 Rozpad populace v rezonanci 3:2 s Jupiterem . . . . . . 65

6.5 Simulace integrátorem SWIFT a porovnání výsledk· . . . . . 67

7 Záv¥r 73

Literatura 74

1 ÚvodTeorii vzniku slune£ní soustavy m·ºeme právem povaºovat za jednu z nejdéle sevyvíjejících astrofyzikálních teorií. Poté, co Mikulá² Koperník (14731543) vzal Zemijejí výsadní postavení ve vesmíru, zaloºené na základech více neº 1 000 let staréhoPtolemaiovského geocentrického modelu, Galileo Galilei (15641642) roku 1610 ob-jevil p°irozené satelity Jupiteru a William Hershel (17381822) objevil v po°adísedmou planetu slune£ní soustavy, za£ali mnozí badatelé uvaºovat o tom, jakýmzp·sobem slune£ní soustava vznikla, a jak se od svých po£átk· vyvíjela. Pr·chodnovým my²lenkám umoºnily mimo jiné práv¥ objevy Galileiho a Hershella, kte°ísvými výzkumy vyvrátili p°es jeden a p·l tisíce let staré aristotelovské paradigmanem¥nnosti nebeské sféry. Vynález dalekohledu dramaticky roz²í°il obzory lidskéhochápání vesmíru a odhalil existenci t¥les a objekt·, o kterých lidé d°íve nem¥li anipotuchy.

Jedny z prvních novodobých úvah o vzniku slune£ní soustavy najdeme v díleAllgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels, které roku 1755 vydal Im-manuel Kant (17241804). Je zde na£rtnuta teorie, podle které byly v²echny objektyslune£ní soustavy na po£átku tvo°eny elementární pralátkou. Významného lozofak tomuto záv¥ru vedl poznatek, ºe v²echny planety obíhají p°ibliºn¥ v jedné ro-vin¥, která je navíc blízká rovin¥ slune£ního rovníku, a dále fakt, ºe v²echny planety,jejichº rotace byla tehdy známa, rotují ve stejném smyslu, v jakém revolují.

Na Kantovy lozocké úvahy navázal Pierre Simon de Laplace (17491827),který roku 1796 ve své knize Exposition du systéme du Monde poprvé p°edstavilmatematicky a fyzikáln¥ formulovanou nebulární teorii vzniku slune£ní soustavy.P°edpokládal, ºe slune£ní pramlhovina m¥la p·vodní rozm¥r odpovídající dráze ne-jvzdálen¥j²í planety a postupným smr²´ováním a zrychlováním rotace odd¥lovalaprstence látky, z níº pak zkondenzovaly planety. Tato hypotéza, dnes známá jakoKantovaLaplaceova nebulární teorie, dob°e vysv¥tlovala základní mechanické as-pekty slune£ní soustavy, ov²em p°i bliº²ím zkoumání se z hlediska dynamiky stalaneudrºitelnou, nebo´ nedovedla vysv¥tlit pozorované velikosti moment· hybnostiplanet a Slunce. Slunce totiº obsahuje 99,9 % hmoty slune£ní soustavy, ale jenositelem pouhých 2 % momentu hybnosti, zbytek je uloºen v orbitálním pohybuplanet.

Na problém s momentem hybnosti poukázal James Jeans (18771946), kterývypracoval vlastní teorii, podle níº se Slunce v minulosti st°etlo s jinou hv¥zdou.P°i této kolizi m¥la procházející hv¥zda na Slunci vytvo°it ohromnou slapovou vlnu,

5

která se od Slunce pozd¥ji zcela odtrhla a z jejích rotujících zbytk· se následn¥utvo°ily planety. P°estoºe se tato katastrocká teorie v r·zných obm¥nách udrºelaaº do £ty°icátých let 20. století, ani ona po fyzikální stránce neobstála. Její konecp°edznamenalo odhalení fyzikální podstaty stavby hv¥zd, jeº ukázalo, ºe látka napovrchu hv¥zd je velmi °ídká, a odtrºená slapová vlna by nemohla zkondenzovat dopodoby planet. Nebulární teorie tak prod¥la svou renesanci.

První kvantitativní výpo£ty struktury pramlhoviny provedli na po£átku druhépoloviny 20. století Otto Juljevi£ midt (18911956) a pozd¥ji Viktor Sergeje-vi£ Safronov (19171999). P°es dlouhý vývoj, který nebulární teorie prod¥lala,dnes máme za to, ºe její základy, vytvo°ené p°ed více neº dv¥ma staletími, jsouv zásad¥ kvalitativn¥ správné. Následující kapitola proto nasti¬uje sou£asný stan-dardní a ²iroce p°ijímaný model vzniku planetárních soustav.

6

2 Vznik slune£ní soustavyJiº v úvodu bylo zmín¥no, ºe hlavními d·vody, které vedly tv·rce nebulární teorieke zformulování své domn¥nky, byly:1. nízké sklony drah planet v·£i rovin¥ slune£ního rovníku;2. stejný smysl revoluce a zárove¬;3. shodný smysl rotace v²ech planet (s výjimkou Venu²e a Neptunu, jejichº rotace

nebyla tehdy známa).P°estoºe byla první teorie vystav¥na na lozockém základ¥ a pramenila ze-

jména z kvalitativních úvah, odhalili její auto°i velmi d·leºitou skute£nost a to,ºe planetární systém vzniká p°irozen¥ jako vedlej²í produkt tvorby hv¥zd.

Zásobárnami stavebního materiálu pro tvorbu hv¥zd a jejich planetárních sous-tav jsou ob°í molekulární mra£na (GMC - Giant Molecular Clouds). Tato oblakamají hmotnost v rozmezí 104106 hmotnosti Slunce (M¯ ), jejich rozm¥ry dosahujíjednotek aº desítek parsek· a st°ední hustota látky se pohybuje okolo 103 £ástic nakrychlový centimetr. Oblaka mohou mít i n¥kolik hust²ích jader o typické hmotnosti1 M¯ a centrální hustot¥ aº 108 £ástic/cm3 [67].

Nejbliº²ím ob°ím molekulárním mra£nem je rozsáhlý komplex mlhovin v Ori-onu, které se rozprostírají ve vzdálenostech 350500 pc od Zem¥. Analýzy chemick-ého sloºení odhalily krom¥ p°evaºující sm¥si molekulárního vodíku a atomárníhohelia1 také molekuly oxidu uhelnatého CO, kyanovodíku HCN, oxidu si°i£itého SO2,amoniaku NH3 a °adu dal²ích molekul, iont· a radikál·. Díky své relativn¥ malévzdálenosti od Zem¥ je komplex mlhovin v Orionu zdrojem °ady zásadních infor-mací o d¥jích, které provázejí vznik nových hv¥zd. Nachází se zde celkem (13)×104

hv¥zd o stá°í men²ím neº (13) Myr (milion· let) a dále star²í populace hv¥zdo stá°í (330) Myr. Okolo £etných mladých hv¥zd jsou pozorovány prachoplynnédisky (proplydy) staré °ádov¥ 1 Myr, výjime£n¥ p°es 10 Myr.

P°i dostate£n¥ velké hmotnosti oblaku nastane jeho gravita£ní kolaps. JamesJeans odvodil hmotnostní kritérium, jeº dává do souvislosti gravita£ní nestabilitu,zaji²´ující pokra£ování kontrakce, se st°ední hustotou oblaku ρ a teplotou T :

M > MJ ≈ konst.

(kT

GµmH

)3/21√ρ. (1)

1Vodík a hélium jsou ve spektru ob°ích molekulárních mra£en ²patn¥ detekovatelné. K odhadujejich mnoºství v oblaku se vyuºívá pozorování emisních spekter oxidu uhelnatého, který tyto dvaprvky v oblacích doprovází.

7

Tabulka 1: Velikost Jeansova kritéria pro ob°í molekulární mra£na (GMC), jejich chladnájádra (GMCC) a protoplanetární disk, jenº byl p°edch·dcem slune£ní soustavy (PPD).

GMC GMCC PPDT [K] 100 30 100

ρ [kg.m−3] 3× 10−18 3× 10−15 1× 10−11

MJ [M¯] 133 0,7 0,1

Toto Jeansovo kritérium tedy udává minimální hmotnost zhustku M v ob°ímmolekulárním mra£nu, ze kterého m·ºe vzniknout samostatný gravita£n¥ vázanýsystém. Tato hmotnost musí být podle o£ekávání tím vy²²í, £ím vy²²í je teplota,tj. st°ední rychlost £ástic v oblaku, nebo´ se stoupající teplotou dle stavové rovniceroste tlak, a tedy i tlakový gradient. Vy²²í teplota proto vede k samovolnému rozptylu£ástic a rozpadu GMC.

Tabulka 1 uvádí typické hodnoty Jeansova kritéria pro GMC, jejich chladnájádra (stín¥ná okolním materiálem) a protoplanetární disk [5].

Vidíme, ºe velikost Jeansovy hmotnosti pro ob°í molekulární mra£na dosahuje°ádov¥ vy²²ích hodnot, neº je hnotnost Slunce. Z jednoho takového oblaku v²akdíky jeho následné fragmentaci vznikají zpravidla desítky £i stovky hv¥zd, jak o tomsv¥d£í £etná pozorování otev°ených hv¥zdokup.

Podrobn¥j²í popis hroucení £ásti oblaku a vznik plochého disku není p°edm¥temtéto práce, proto p°ejd¥me do okamºiku, kdy jedno z jader pramlhoviny jiº zkolabo-valo do hv¥zdy, v jejímº okolí se ze zbylého materiálu utvo°il plochý disk. Díkyradiometrickým metodám datování nejstar²ích meteorit· - chondrit·, které nenesouznámky ºádné podstatné metamorfózy, soudíme, ºe k vytvo°ení plochého protopla-netárního disku do²lo v období p°ed (4,56 ± 0,01) miliardy let, nebo´ ºádný meteoritnení star²í.

Uváºíme-li, ºe protoplanetární disk, jenº byl p°edch·dcem dne²ní slune£nísoustavy, m¥l hmotnost p°ibliºn¥ 0,04 M¯, st°ední teplotu v °ádu 100 K a jehost°ední hustota nep°esahovala 10−11kg/m3 [5], dosp¥jeme dosazením t¥chto hodnotdo vztahu (1) k záv¥ru, ºe v protoplanetárním disku nebylo Jeansovo kritériumspln¥no, viz tabulka 1. Planety obíhající okolo Slunce tedy nemohly vzniknoutp°ímým kolapsem zárode£ného disku2. Mezi dal²í faktory, které znemoº¬ují vznik

2Uvedené hodnoty se týkají p°edpokládaných vlastností protoplanetárního disku, který bylprekurzorem dne²ní slune£ní soustavy. V jiných discích mohou být p°edpoklady Jeansova kritériaspln¥ny.

8

planet p°ímým kolapsem, m·ºeme za°adit ru²ivé ú£inky slapových sil Slunce a takéskute£nost, ºe na budoucí zárodek planety mohou akreovat jen £ástice z blízkéhookolí, vymezeném jeho Rocheovým lalokem.

Uvedené skute£nosti ukazují nutnost zavedení modelu planetární akrece, kterýmse zabývá následující kapitola.

9

3 Planetární akreceZ fenomenologického hlediska m·ºeme formování planet rozd¥lit do £ty° základníchfází [5]:1. kondenzace plynu a formování malých prachových £ástic;2. akrece prachu aº na planetezimály (rozm¥ru °ádov¥ 1 km);3. vznik planetárních embryí (°ádov¥ o hmotnosti M¥síce) gravita£ním spojováním

planetezimál;4. vznik planet a akrece plynu na ob°í planety.

Po£áte£ním procesem tvorby zárodk· planet je formování prachových £ástic,které p°edpokládá kondenzaci plynu p°i poklesu teploty disku na 1 7001 200 K,a jejich elektrostatické slepování do v¥t²ích celk·.

Fakt, ºe teplota T v disku klesala se vzdáleností r od st°edu jako T ∼ r−1/2, vedlk chemické diferenciaci disku, nebo´ volatilní látky mohly kondenzovat aº ve v¥t²íchvzdálenostech od Slunce (nap°íklad voda mohla za podmínek v protoplanetárnímdisku zkondenzovat ve vzdálenosti 34 AU). Podle [3] lze odhadnout maximálnírychlost r·stu £ástic

dRs

dt= 0, 6 cm/rok, (2)

kde Rs je typický polom¥r £ástice. Prachové £ástice milimetrových rozm¥r· tedymohou v protoplanetárním disku nar·st b¥hem jediného roku.

Vzájemnou interakcí nar·stajících £ástic s okolním plynem a p°evládajícímisráºkami v husté centrální rovin¥ disku dochází v £asové ²kále °ádu desítek let k po-klesu nar·stajících £ástic do centrální Laplaceovy roviny a k jejich radiálnímu driftusm¥rem ke Slunci, £ímº se dále zvy²uje pravd¥podobnost vzájemných sráºek. Tímtozp·sobem se z prachových £ástic vytvo°ily planetezimály o velikosti v °ádu 100 maº 1 km.

Druhou vývojovou etapou vzniku planet je kolizní r·st, zp·sobený sráºkamiplanetezimál. T°ení o plyn zp·sobuje, ºe sklon ob¥ºných drah i excentricita obíha-jících planetezimál se p°iblíºí nule. Jejich vzájemné rychlosti p°i t¥sném p°iblíºeníjsou proto zpravidla malé, a konstruktivní kolize proto p°evaºují nad destruktivními.

Pokud budeme zkoumat rychlost zm¥ny relativní hmotnosti 1M

dMdt

planetezi-mál o polom¥ru R, m·ºeme rozli²it dva základní p°ípady (viz téº dále v kapitolepopisující model planetární akrece):

10

1. uspo°ádaný r·st, daný vztahem1

M

dM

dt∼ 1

R, (3)

který funguje za p°edpokladu vrel > vesc, kdevrel je pr·m¥rná rychlost pohybusledovaného t¥lesa vzhledem k okolním planetezimálám a

vesc =

√2GM

R(4)

je úniková rychlost z jeho povrchu.2. p°ekotný r·st, ke kterému dochází za podmínky vrel < vesc, lze popsat vztahem

1

M

dM

dt∼ R. (5)

P°i uspo°ádaném r·stu rostou men²í t¥lesa rychleji neº v¥t²í, naproti tomu p°ip°ekotném r·stu je podstatn¥j²í r·st v¥t²ích t¥les. To je zp·sobeno jejich vzájemnourychlostí: v p°ípad¥ p°ekotného r·stu se v·£i sob¥ blízké planetezimály pohybujípomalu, takºe se projevuje gravita£ní fokusace, tedy vzájemné gravita£ní p°itahováníplanetezimál. Naopak p°i uspo°ádaném r·stu jsou vzájemné rychlosti planetezimálvelké, takºe ke kolizím dochází jen na geometrickém ú£inném pr·°ezu pohybujícíchse t¥les.

Podrobný model kolizního r·stu, zahrnující také £asový vývoj vrel (viz 3.1)ukazuje, ºe v popisované fázi vývoje planetárního systému probíhal nejprve uspo°á-daný r·st balvan· na planetezimály rozm¥r· ∼ 1 km. Díky vzájemným gravita£níminterakcím a t°ení o plyn v²ak do²lo ke sníºení vzájemné rychlosti planetezimál, coºvedlo k jejich p°ekotnému r·stu.

Gravita£ní p·sobení obíhajících velkých t¥les posléze zvy²ovalo vzájemné rela-tivní rychlosti okolních planetezimál, coº vedlo k postupnému útlumu p°ekotnéhor·stu, který trval po dobu °ádov¥ 105 let. Poté pokra£oval uspo°ádaný r·st velkýchplanetezimál, který ozna£ujeme jako oligarchický r·st, a p°ekotný r·st malých pla-netezimál, £ímº se zvy²oval po£et planetárních embryí, jenº na konci této fáze dosáhln¥kolika desítek.

B¥hem kone£né fáze do²lo ke vzniku terestrických planet a plynných obr·. Pla-netární embrya o velikosti srovnatelné s M¥sícem se náhodn¥ sráºela, coº m¥lo zanásledek vznik t¥les hmotností srovnatelných se Zemí v £asovém období 108 let. Vev¥t²ích vzdálenostech od Slunce docházelo ke kolapsu plynu na kamenná jádra, £ímºvznikly ob°í planety.

Následující kapitola pojednává o modelu planetární akrece podrobn¥ji.

11

3.1 Model planetární akreceCílem této kapitoly je p°edstavení self-konzistentního modelu planetární akrece, po-psaného v [15]. V záv¥ru jsou diskutována problematická místa tohoto modelu, kterádále vysv¥tluje teorie migrace planet.

Model planetární akrece je moºno v ur£itém p°iblíºení popsat v rámciomezeného problému t°í t¥les - Slunce o polom¥ru R¯ a hmotnosti M¯, velkéhot¥lesa (budoucí planety) o polom¥ru R a hmotnosti M a bezrozm¥rné testovací£ástice, planetezimály. Velké pom¥ry mezi hmotnostmi jednotlivých t¥les umoº¬ujídal²í zjednodu²ení zaloºené na faktu, ºe p°i dostate£n¥ velké vzdálenosti testovací£ástice od planety je £ástice primárn¥ ovliv¬ována gravita£ním polem Slunce, a gra-vita£ní p·sobení planety je tedy moºno zanedbat. Naopak, pohyb testovací £ásticeje v malé vzdálenosti od planety dominantn¥ ovliv¬ován její gravitací, a zanedbatpak m·ºeme silové p·sobení Slunce.

Oblast, ve které je pohyb £ástice dominantn¥ ur£ován p·sobením gravita£níhopole planety, ozna£ujeme jako Hillovu sféru o polom¥ru RH .3 Jeho velikost m·ºemes dostate£nou p°esností odvodit s pomocí aproximace, ve které je velikost Hillovysféry dána takovou vzdáleností, v níº se ob¥ºná perioda malého t¥lesa okolo velkéhorovná ob¥ºné period¥ velkého t¥lesa okolo Slunce, tj.:

(GM¯

a3

)1/2

∼(

GM

R3H

)1/2

, (6)

kde a je hlavní poloosa ob¥ºné dráhy velkého t¥lesa. Z vý²e uvedeného vztahu vy-plývá pro Hill·v polom¥r

RH ∼ a

(M

M¯

)1/3

, (7)

nebo

RH ∼ Rζ−1, (8)

kde ozna£ujeme ζ ≡(

ρS

ρP

)1/3 RS

a. Protoºe st°ední hustota Slunce je p°ibliºn¥ rovna

st°ední hustot¥ planety a ζ závisí na t°etí odmocnin¥ jejich pom¥ru, je ζ je p°ibliºn¥rovno zdánlivému úhlovému polom¥ru Slunce, pozorovaného ze vzdálenosti a 4.

3Hamilton a Burns [24] ukazují, ºe v dlouhodobém m¥°ítku nejsou v reálných podmínkách dráhyt¥les v Hillov¥ sfé°e v blízkosti Hillova polom¥ru stabilní, stability dosahují zhruba v 1/2 vzdálenostiRH od planety. P°i studiu akrece planet je v²ak moºno tuto skute£nost zanedbat.

4Ve vzdálenosti Zem¥ je ζ ∼ 10−2, pro Kuiper·v pás je ζ ∼ 10−4

12

Obrázek 1: P°íkady moºné dráhy malého t¥lesa p°i pr·letu okolo velkého t¥lesa s Hillovousférou o polom¥ru RH v závislosti na impaktovém parametru h v korotující soustav¥.Modrá k°ivka ukazuje dráhu pro h1 < RH , zelená k°ivka pro h2 ∼ RH a £ervená k°ivkapro h3 > RH .

Pro jednoduchost dále zavedeme formalismus, v n¥mº ozna£íme odchylkurychlosti velkého t¥lesa v ≡ vact−vcirc, kde vact je skute£ná obvodová rychlost a vcirc

kruhová rychlost ve vzdálenosti a od Slunce. Pro velké t¥leso na kruhové dráze jetedy v ≡ 0. Stejným zp·sobem zavedeme i relativní rychlost pro testovací £ásticeu ≡ uact − ucirc. Ve v¥t²in¥ p°ípad· budeme dále p°edpokládat, ºe dráhy velkýcht¥les jsou obecn¥ mén¥ excentrické, tj. ºe v pr·m¥ru je v < u .

Petit a Hénon [49] popisují t°i odli²né zp·soby, jakými se m·ºe testovací £ástices relativní rychlostí u ≡ 0 pohybovat p°i pr·chodu v blízkosti velkého t¥lesa, a tov závislosti na impaktovém parametru h, viz obrázek 1.1. Pro h < RH vyústí zpravidla setkání velkého a malého t¥lesa v gravita£ní

odraz malého t¥lesa do poloprostoru, odkud p°ilétlo.2. Pro velké hodnoty h vzhledem k RH nastává jen malá odchylka od p·vodního

sm¥ru.3. Kone£n¥ pro h ∼ RH vstupuje men²í t¥leso do Hillovy sféry v¥t²ího t¥lesa,

kde se pohybuje po komplexních trajektoriích, a zpravidla Hillovu oblast opustív náhodném sm¥ru relativní rychlostí v °ádu hillovské rychlosti vH :

vH =(

GMS

RH

)1/2

. (9)

Pokud je relativní rychlost malého t¥lesa u < vH , je moºno za p°edpokladu,ºe se malá t¥lesa nacházejí v innitezimáln¥ tenkém disku malých t¥les, odhad-

13

Obrázek 2: Geometrie tlou²´ky disku (plná £ára), velikosti t¥lesa (plný kruh), jeho Hillovysféry (£árkovaná kruºnice) a jeho efektivního ú£inného pr·°ezu (plná kruºnice) pro p°ípadya) u = vesc, b) vesc > u > vH , c) vH > u > ζ1/2vH , d)u < ζ1/2vH . Podle [15].

nout závislost £etnosti vstup· t¥chto t¥les do Hillovy sféry velkého t¥lesa ERH (Hillentering rate). Je-li σ plo²ná hustota disku a m st°ední hmotnost malých t¥les,pak m·ºeme £etnost ERH vyjád°it jako sou£in po£tu malých t¥les na jednotkovouplochu σ/m, úhlové frekvence ob¥hu (st°edního pohybu) velkého t¥lesa okolo Slunceve vzdálenosti a:

Ω ∼(GMS/a3

)1/2, (10)

a ú£inného pr·°ezu R2H , tedy

ERH ∼ σ

mΩR2

H . (11)

3.1.1 etnost kolizí

Chceme-li odhadnout rychlost r·stu hmotnosti velkých t¥les, musíme nejd°íve spo£í-tat £etnost kolizí mezi malými t¥lesy, která se rozkládají v plochém disku, a velkýmt¥lesem, jeº je v disku vno°eno. Pro odvození £etnosti kolizí budeme odd¥len¥vy²et°ovat celkem £ty°i moºné p°ípady (viz obrázek 2), závisející na pom¥rech ve-likosti u k únikové rychlosti z povrchu velkého t¥lesa vesc, a také na pom¥rech k vH

a ζ1/2vH :1. Pro p°ípad u > vesc je moºno gravita£ní p·sobení velkého t¥lesa zcela zaned-

bat a kolizní ú£inný pr·°ez planety je proto úm¥rný R2. Ozna£íme-li plo²nouhustotu disku malých t¥les σ, je koncentrace malých t¥les o st°ední hmotnosti

14

m v jednotkovém objemu ns = ρm

= σΩ/ (mu), 5 a pro kolizní £etnost CR

(collisional rate) m·ºeme psát:

CR ∼ σ

muΩR2u =

σ

mΩR2 (12)

Kolizní £etnost je tedy p°ímo úm¥rná plo²né hustot¥ disku malých t¥les.2. Pro p°ípad, kdy je relativní rychlost u malých t¥les men²í neº úniková rychlost

z velkého t¥lesa, ale stále vy²²í neº Hillova rychlost, vesc > u > vH , zvy²uje gra-vita£ní p·sobení ú£inný pr·°ez velkého t¥lesa (hovo°íme o gravita£ní fokusaci).Ú£inný kolizní pr·°ez je za takových podmínek moºno ur£it s pomocí impak-tového parametru bg, na který se musí malé t¥leso p°iblíºit k velkému, abyse práv¥ te£n¥ dotklo jeho povrchu. Hodnotu tohoto parametru m·ºeme ur£itnásledovn¥: p°ed p°iblíºením je moment hybnosti na jednotkovou hmotnostmalého t¥lesa okolo velkého roven u.bg, p°i kontaktu je roven vesc · R, takºep°i zachování momentu hybnosti musí platit:

bg ∼ Rvesc

u, (13)

takºe kolizní ú£inný pr·°ez je úm¥rný b2g ∼ R2 (vesc/u)2. Gravitace tedy zvy²uje

kolizní £etnost danou rovnicí (12) o faktor (vesc/u)2, odkud pro daný p°ípaddostáváme

CR ∼ σ

mΩR2

(vesc

u

)2

(14)

3. Nyní uvaºujme p°ípad, kdy je vH > u > ζ1/2vH . Analytickou formuli kolizní£etnosti pro tento p°ípad odvodili mezi prvními Greenberg et al. [20]. Podlenich je dána sou£inem dvou £len·:

CR ∼ ERH · P, (15)

kde P je pravd¥podobnost, ºe po vstupu do Hillovy sféry dojde k impaktumalého t¥lesa na velké. Hodnotu P je moºno odhadnout následovn¥: Pokudje impaktový parametr malého t¥lesa uvnit° Hillovy sféry vzhledem k velkémut¥lesu men²í neº bg (viz rovnice 13), dojde ke sráºce. S vyuºitím vztahu (8)a skute£nosti, ºe vH ∼ vescζ

1/2 ∼ ΩRH, m·ºeme nyní vztah pro bg p°epsat natvar

bg ∼ ζ1/2RH . (16)5K ur£ení hustoty ρ jsme vyuºili následující úvahu: ρ = σ

H , kde H je tlou²´ka disku. Nyníbudeme p°edpokládat, ºe rychlost u a z-ová sloºka uz jsou stejného °ádu, tj. u ' uz ' Ωri ' ΩH,kde i je mezní sklon ob¥ºných drah (po£ítáme i

.= sin i). Je tedy H ∼ uΩ a ρ = σ Ω

u .

15

A£koli m·ºeme disk t¥les p°i odhadu ERH pokládat za innitezimáln¥ tenký, p°iodhadu kolizní pravd¥podobnosti musíme jeho kone£nou tlou²´ku vzít v úvahu.Protoºe trajektorie malých t¥les uvnit° Hillovy sféry jsou náhodné, odhadnemeP jako pom¥r kolizního ú£inného pr·°ezu b2

g k ú£innému pr·°ezu té £ásti Hillovysféry, která je pono°ená v disku malých t¥les RH/H = RH · u/Ω. S vyuºitím(16) obdrºíme

P ∼ R2HζΩ

RHu∼ ζ

vH

u. (17)

Dosazením (9) a (17) do (15) dostáváme

CR ∼ σΩ

mR2

Hζ−1vH

u(18)

4. Pro velmi tenký disk za p°edpokladu u < ζ1/2vH je postup odhadu CR stejnýs tím, ºe disk p°i odhadu P m·ºeme pokládat za innitezimáln¥ tenký [20].Potom je P dáno pom¥rem impaktových parametr· vedoucích ke kolizi (vztah16) k RH , tj.

P ∼ ζ1/2, (19)z £ehoº s vyuºitím (9) a (15) plyne

CR ∼ σΩ

mR2ζ−3/2. (20)

3.1.2 Vývoj rychlostí

Relativní rychlosti u a v se v £ase m¥ní díky t°em r·zným proces·m:1. dynamickému oh°evu2. dynamickému ochlazování3. viskóznímu promíchávání

K dosud u£in¥ným p°edpoklad·m u > v a M > m budeme dále p°edpokládat,ºe mu < Mv, díky £emuº m·ºe velké t¥leso p°edtím, neº se zm¥ní jeho relativnírychlost, prod¥lat zna£né mnoºství sráºek s malými t¥lesy.

Pro p°ípad u > vesc m·ºeme zanedbat gravita£ní fokusování, takºe ke zm¥n¥ v

a u dojde jen v p°ípad¥, kdy se t¥lesa srazí. Za p°edpokladu, ºe budeme uvaºovatelastické sráºky a nebudeme se zabývat fragmentací, se hybnost velkého t¥lesa, kteréprod¥lá £elní sráºku s malým t¥lesem, sníºí o ∼ m(u + v). Protoºe £etnost £elníchsráºek je úm¥rná ∼ nsR

2 (u + v), kde ns je koncentrace malých t¥les, velké t¥lesoztrácí díky sráºkám hybnost rychlostí

Mdv

dt

∣∣∣∣∣f

∼ −nsR2m (u + v)2 . (21)

16

Naopak díky dopadu t¥les zezadu získává hybnost

Mdv

dt

∣∣∣∣∣r

∼ −nsR2m (u− v)2 . (22)

Rozdílem obou rovnic zji²´ujeme, ºe

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣ochlaz.

∼ −nsR2u

m

M(23)

coº lze interpretovat tak, ºe velké t¥leso zpomaluje do doby, ve které se st°etnes malými t¥lesy o celkové hmotnosti M .

Pokud má velké t¥leso dostate£n¥ malou rychlost v < u, pak jej malá t¥lesa majítendenci urychlovat. P°i kaºdé sráºce mu p°edají hybnost ∼ mu, a to v náhodnémsm¥ru, takºe celková hybnost velkého t¥lesa se zvy²uje jako p°i náhodné procházce,tj. po N sráºkách vzroste hybnost velkého t¥lesa o ∼ mu

√N . Relativní rychlost

v velkého t¥lesa se zdvojnásobí, jestliºe mu√

N ∼ Mv, tj. po N ∼ (Mv/mu)2

sráºkách, takºe

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣otepl.

∼ −nsR2u

(mu

Mv

)2

= −mu20

Mv2

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣ochlaz.

(24)

Pokud by náhodou bylo Mv2 = mu2, dostali bychom dvdt

∣∣∣otepl.

+ dvdt

∣∣∣ochlaz.

= 0. Protoºeje ale ve v¥t²in¥ p°ípad· kinetická energie velkých t¥les vy²²í neº energie malých,p°evládá v diskutovaném p°ípad¥ u velkých t¥les dynamické ochlazování. Naopakmalá t¥lesa jsou dynamicky oteplována, nebo´ p°i £elních sráºkách získávají víceenergie, neº kolik jí p°i dopadech zezadu odevzdávají.

Analogicky k postupu uvedenému vý²e lze pro rychlost u malých t¥les odvoditvztahy:

1

u

du

dt

∣∣∣∣∣otepl.

∼ −nbR2v2

u, (25)

a1

u

du

dt

∣∣∣∣∣ochlaz.

∼ −nbuR2 m

M, (26)

kde jsme nb ozna£ili koncentraci velkých t¥les.

3.1.3 Viskózní promíchávání

Kinetická energie malých t¥les se v planetezimálním disku obecn¥ nezachovává, nebo´je zvy²ována viskózním promícháváním velkými t¥lesy. Je to podobné jako v p°ípad¥

17

viskózní kapaliny, kterou promícháváme, a díky t°ení se kapalina zah°ívá.6 Analogies kapalinou v²ak v disku není zcela p°esná, nebo´ £etnost interakcí mezi planetezi-málami je mnohem men²í, neº neº je obvyklé u molekul kapaliny.

Vzhledem ke kruhové dráze jsou azimutální (tangenciální) a radiální sloºkyrychlosti °ádu u. P°i elastické sráºce dojde k rotaci vektoru relativní rychlosti p°izachování jeho velikosti. (Za p°edpokladu, ºe zanedbáme reakci velkého t¥lesa.) etaková rotace má tendenci zvý²it relativní energii malého t¥lesa, ukázal jako prvníSafronov [52]. Z jeho p°edpoklad· vyplývá, ºe dynamické oteplování malých t¥lesviskózním mícháním je obdobné jako £etnost kolizí:

1

u

du

dt

∣∣∣∣∣vs

∼ nbuR2 (27)

a efekt viskózního míchání na velká t¥lesa je stejný jako oh°ev dynamickým t°ením

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣vs

∼ nsuR2(

mu

Mv

)2

. (28)

Shrneme-li tyto poznatky, je moºno konstatovat, ºe pro u > vesc je relativnírychlost velkých t¥les v ovliv¬ována dynamickým ochlazováním:

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣ochlaz.

∼ −Ωσ

ρR(29)

a dále dynamickým oh°evem a viskózním mícháním

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣otepl.

∼ 1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣vs

∼ Ωσ

ρR

mu2

Mv2, (30)

kde bylo nahrazeno ns = σΩ/mu. Rychlosti malých t¥les u jsou významn¥ovliv¬ovány pouze viskózním promícháváním:

1

u

du

dt

∣∣∣∣∣vs

∼ ΩΣ

ρR, (31)

coº plyne z (27), kde jsme dosadili nb = ΣΩ/Mu, p°i£emº Σ jsme ozna£ili plo²nouhustotu velkých t¥les.

Pro p°ípad vesc > u > vH je jiº nutno brát v potaz gravita£ní fokusaci velkéhot¥lesa, p°i níº dochází k vým¥n¥ momentu hybnosti mezi velkým a malým t¥lesem,

6Studujeme-li procesy p°i viskózním promíchávání, bereme v potaz i vzájemné interakce mezimalými £ásticemi, které zde hrají d·leºitou roli. Tím se tento proces li²í od dynamického oh°evu,kde uvaºujeme pouze interakce mezi planetezimálami a planetou.

18

zejména p°i odchýleních nekon£ících sráºkou. Ú£inný pr·°ez této interakce je rovenR2(vesc/u)4, nikoli R2, a proto je nutno rovnice (29)(31) násobit faktorem (vesc/u)4.7

Zm¥nu relativní rychlosti u malých t¥les díky promíchávání je moºno vyjád°itvztahem

1

u

du

dt

∣∣∣∣∣vs

∼ ΩΣ

ρRfvs

(u

vesc

), (32)

kde funkce

fvs(x) =

x−4, x ∈(α1/2, 1

),

α−3/2x−1, x < α1/2.(33)

Zm¥nu u zp·sobenou dynamickým oh°evem a ochlazováním velkými t¥lesy je moºnovzhledem ke zm¥n¥ zp·sobené viskózním promícháváním zanedbat.

Vliv dynamického ochlazování velkých t¥les, zp·sobeného malými t¥lesy, jemoºno popsat vztahem (rovnice (27) a (30))

1

v

dv

dt

∣∣∣∣∣ochlaz.

∼ −Ωσ

ρRfochlaz

(u

vesc

), (34)

kdefochlaz.(x) =

x−4, x ∈(α1/2, 1

),

α−2, x < α1/2.(35)

Zm¥nu v viskózním promícháváním zp·sobeném mo°em malých t¥les je moºnozanedbat, stejn¥ jako dynamický oh°ev velkých t¥les malými, nebo´ ten je pro u >

vH s viskozním promícháváním srovnatelný, v opa£ném p°ípad¥ je men²í.Tyto výsledky jsme obdrºeli za p°edpoklad·, ºe v < u , mu < Mv, u < aΩ

a u < vesc. Dále jsme p°edpokládali, ºe sklony jsou srovnatelné s excentricitami,a zkoumali jsme vzájemnou interakci velkých a malých t¥les, nikoli v²ak to, jak tytoskupiny p·sobí samy na sebe (s výjimkou viskózního promíchávání).

3.1.4 Vývoj hmotností

K akreci malých t¥les dochází p°i nepruºných sráºkách, takºe rychlost vzr·stu hmot-nosti velkého t¥lesa M je rovna m-násobku £etnosti sráºek CR:

dM

dt= m · CR. (36)

Shrneme-li poznatky získané vý²e, m·ºeme pro p°ípad u < vesc z rovnic (14),(18)) a (20) odvodit vývoj hmotnosti velkého t¥lesa M :

7Podrobné odvození uvedených vztah· je moºno nalézt v [15], App. D.

19

1

M

dM

dt∼ 1

R

dR

dt∼ Ω

σ

ρRf

(u

vesc

), (37)

kde

f(x) =

x−2, x ∈(ζ1/2, 1

),

ζ−1/2x−1, x ∈(ζ, ζ1/2

),

ζ−3/2, x < ζ.

(38)

Uváºíme-li nyní, ºe v2esc ∼ M/R ∼ R2, m·ºeme z (37) odvodit vztah (5),

popisující fázi p°ekotného r·stu.Pro u > vesc je moºno zanedbat gravita£ní fokusaci velkým t¥lesem, takºe

ú£inný pr·°ez sráºky je roven R2. Horní mez rychlosti r·stu velkých t¥les získámesou£tem hmotností dopadajících malých t¥les, z rovnice (12) dostáváme

1

M

dM

dt∼ 1

R

dR

dt∼ Ω

σ

ρR, (39)

coº je vztah popisující uspo°ádaný r·st (viz téº vztah (3)).Je v²ak nutno podotknout, ºe ve skute£nosti se m·ºe díky fragmetaci velkého

t¥lesa dopady jeho celková hmotnost i sniºovat, zejména pokud je u À vesc. Tentojev není v modelu zapo£ten.

3.2 R·st planet Uranu a NeptunuV úvahách o vzniku Uranu a Neptunu nás omezuje n¥kolik pozorovaných skute£ností.P°edev²ím jsou to základní parametry, jako je sou£asná hmotnost a pr·m¥r planet,a také pozorované stá°í slune£ní soustavy. Teoretické modely, vystav¥né na zá-klad¥ telemetrických dat z druºice Voyager 2, ukazují, ºe planety Uran i Neptunpravd¥podobn¥ obsahují vodík a hélium o celkové hmotnosti n¥kolikanásobku hmot-nosti Zem¥ [21]. Z toho vyplývá, ºe je²t¥ p°ed vypuzením plynu z protoplanetárníhodisku musely existovat dostate£n¥ hmotné protoplanety, na kterých do²lo k akreciplynu. Pozorování mladých hv¥zd slune£ního typu (nap°. [28]) nazna£ují, ºe k rozptý-lení cirkumstelárního disku dojde v £asovém m¥°ítku n¥kolika milion· let, nejpozd¥jipak do 10 milion· let.

20

Hayashi [26] odvodil pro plo²nou hustotu ve slune£ní mlhovin¥ o minimálníhmotnosti 8 (MMSN Minimum Mass Solar Nebula) vztah, platný pro a ≥ 2, 7 AU:

σMMSN = 177[g cm−2

]·(

a

10 [AU]

)−3/2

. (40)

Za p°edpokladu, ºe v¥t²inu £asu formování planety zabere poslední zdvojná-sobení její hmotnosti, m·ºeme dobu formování odhadnout s vyuºitím vztahu (37):

tform ∼ MdMdt

∼ Ω−1ρR

σ

(u

vesc

)2

, u ∈ (vH , vesc) . (41)

Ztotoºníme-li σ ≡ σMMSN a polom¥r planety poloºíme R = 25 000 km, získámeodhad

tform ∼ 15 [Gyr] ·(

a

10 [AU]

)3 (u

vesc

)2

. (42)

Bez gravita£ní fokusace, tj. pro p°ípad u = vesc, by byl £as pot°ebný k akreciUranu, resp. Neptunu, 100 Gyr, resp. 400 Gyr. Aby do²lo ke vzniku Neptunu zadobu existence slune£ní soustavy, musel by Neptun vzniknout akrecí malých t¥less u ≤ vesc/10. Tyto odhady ov²em vycházejí z p°edpokladu, ºe se planety vytvo°ilyve stejných vzdálenostech, v jakých dnes obíhají.

3.2.1 Maximální rozm¥r planetezimál

Vý²e odvozená podmínka, ºe relativní rychlost planetezimál musí být malá, v²akp°edstavuje problém. Za podmínky u < vesc je totiº p°i viskózním míchání jen malá£ást rozptýlených planetezimál akreována. To proto, ºe ú£inný pr·°ez pro rozptylje vy²²í neº ú£inný pr·°ez pro akreci, tj. Fcol (u/vesc) < Fvs (u/vesc) p°i u < vesc.Znamená to, ºe embryo oh°ívá malá t¥lesa rychleji, neº je dokáºe pohlcovat. Pokudnejsou malá t¥lesa ochlazována nepruºnými sráºkami nebo brzd¥na plynem, jen malá£ást jich je akreována p°i u < vesc a v¥t²ina aº p°i u ∼ vesc. Bez mechanismu ochla-zování by byla v¥t²ina t¥les akreována v reºimu bez efektivního p·sobení gravita£ní

8Název slune£ní mlhovina minimální hmotnosti odráºí zp·sob, jakým byla hmotnost protopla-netárního disku ur£ena. P°i odhadu musíme vzít v úvahu, ºe zna£ná £ást mlhoviny byla odvanutaslune£ním v¥trem, zejména její volatilní sloºky. Proto bylo p°i odhadu dopln¥no sloºení planeto t¥kavé prvky tak, aby jejich chemické sloºení odpovídalo sloºení Slunce. Odtud m·ºeme získatpr·b¥h plo²né hustoty v disku a p°i znalosti rozm¥r· i jeho hmotnost. Uvedený odhad udáváminimální hmotnost proto, ºe p°edpokládá, ºe v disku z·staly v²echny net¥kavé prvky.

21

fokusace, a planety Uran a Neptunem by nebyly s to se zformovat v £asov¥ p°ijatel-ném m¥°ítku.

Tyto obecné záv¥ry jsou v souladu s výsledky N -£ásticových simulací [39], kterépo£ítaly s n¥kolika sty t¥les stejné hmotnosti, jejiº celková hmotnost mírn¥ p°evy²o-vala sou£et hmotností Uranu a Neptunu. Tyto simulace, které zárove¬ zahrnovalygravita£ní perturbace od Jupiteru a Saturnu, ukázaly, ºe v oblastech dne²ních drahUranu a Neptunu prakticky nedocházelo k ºádné akreci, nebo´ výrazn¥ p°evaºovalyefekty viskózního promíchávání.

Jak malá musejí být t¥lesa akreovaná Neptunem, aby se ochladila neelastic-kými sráºkami? Vyrovnáme-li viskózní míchání embryem (rovnice (32) se Σ ∼ σ )s neelastickými sráºkami mezi malými t¥lesy o polom¥ru s,9 získáváme

s

R∼

(u

vesc

)4

. (43)

Protoºe jsme jiº vý²e odvodili, ºe má-li Neptun vzniknout za dobu existence slune£nísoustavy, musí být u < vesc/10, vychází velikost malých t¥les mén¥ neº n¥kolikkilometr·.10 Rychlý r·st planet p°i akreci malých t¥les kilometrových rozm¥r· nu-merickými simulacemi prokázali Rakov [50] a Thommes, Duncan a Levison [56].

3.2.2 Problém s dokon£ením akrece

Z pozorování víme, ºe se v okolí Uranu a Neptunu nevyskytují ºádná malá t¥lesa.Uran a Neptun akreovaly zejména planetezimály o rozm¥rech pod 1 km (viz vý²e).Nyní je t°eba ov¥°it, zda se b¥hem akrece spot°ebovaly v²echny p°ítomné planetezi-mály.

Jednou z moºností, jak tohoto stavu docílit, je p°edpokládat, ºe se planetezimálypohybovaly po výst°edných drahách. Pro vý²e popsaný akre£ní model dává vztah(42), za p°epokladu u ∼ ucirc, kde ucirc =

√GM/a, a R ∼ 25 000 km:

tform ∼ 2 [Gyr]

(a

10 [AU]

)2.= 20Gyr. (44)

9Dosud jsme p°edpokládali dokonale elastické sráºky. V reálném p°ípad¥ jsou ov²em sráºkynepruºné, £ímº dochází k tlumení relativní rychlosti malých t¥les u: 1

ududt ∼ −Ω σ

ρs , u > vesc [15].10Poznamenejme, ºe dle rovnice (41) je £as nutný pro zformování Zem¥ roven tform ∼ 100 Myr,

takºe podmínka p°ítomnosti malých t¥les nemusela být v oblasti dráhy Zem¥ spln¥na. Naopak, po-dle v²eobecn¥ p°ijímané teorie vznikl M¥síc poté, co Zem¥ akreovala t¥leso o rozm¥ru asi polovi£nímneº ona sama. Zem¥ tedy nevznikala jako jediné embryo, jednalo se o sráºku embryí

22

Z toho plyne, ºe za uvedených podmínek ob°í planety slune£ní soustavy vzniknoutnemohly.

Pokud budeme naopak p°edpokládat, ºe u ¿ ucirc, pak se m·ºe akre£ní dobasnadno sníºit i na mén¥ neº 10 Myr, ale pak akrece planetezimál kon£í vytvo°enímv¥t²ího po£tu planetárních embryí. Greenberg [20] odvodil vztah pro maximálnípolom¥r embrya:

2πσa (5RH) =4

3πρR3, (45)

odkud dostáváme za p°edpokladu ρ.= 1 g cm−3, RH

.= 0, 62R (a/R¯) a σ = σMMSN

pro maximální polom¥r nálního izolovaného t¥lesa odhad):

Rfin.= 12 000

(a

10 AU

)1/4

km. (46)

Pro planetární embrya ve vzdálenostech Uranu a Neptunu vycházejí z tohotovztahu polom¥r Uranu RU = 14 100 km a Neptunu RN = 15 800 km. S uváºenímM ∼ R3 dostáváme hmotnosti p°ibliºn¥ 5-krát men²í, neº jaké jsou dnes pozorované.

Pokud by akrece za podmínky u ¿ ucirc dosp¥la do nálního stadia, kdy jsouspot°ebována ve²kerá t¥lesa, bylo by za uvedených p°edpoklad· výsledkem p°ibliºn¥10 malých planet obíhajících za drahou Saturnu, coº je v p°íkrém rozporu s po-zorováním.

Rozporu skute£nosti se záv¥ry plynoucími z akre£ního modelu se nelze vyhnoutani tím, ºe n¥kolikrát zvý²íme po£áte£ní velikost plo²né hustoty disku. Protoºe jeRfin ∝ σ1/2, vzniknou sice planety hmotností srovnatelné s Uranem a Neptunem,ale jak ukázali Goldreich et al. [15], musí jich potom vzniknout nejmén¥ p¥t, a nikolidv¥, coº je op¥t v rozporu s pozorováním.

Fernandez a Ip [13], Malhotra [42] a dal²í p°i²li s my²lenkou, ºe uvedené nes-rovnalosti by mohly být d·sledkem migrace planet, tedy zm¥n velkých poloos jejichdrah, vyvolaných interakcí s planetezimálami. Touto teorií se zabývá následujícíkapitola.

23

4 Migrace planet v planetezimálních discíchP°es desetiletí trvající vývoj scéná°e vzniku slune£ní soustavy, stru£n¥ popsanéhov p°edchozí kapitole, se na²e znalosti o vývoji planetárních systém· za posledních 15let dramaticky zm¥nily. Za v·bec nejzávaºn¥j²í poznatek posledních let lze z°ejm¥pokládat fakt, ºe planety patrn¥ nevznikaly v t¥ch místech, kde je dnes nacházíme,ale naopak, v d·sledku vynucených zm¥n velkých poloos se dnes mohou nacházeti n¥kolik AU od místa svého vzniku. Mimo jiné to nazna£ují i analýzy extrasolárníchplanetárních systém·, které byly v posledních letech objeveny [44], [48], dále vizkapitola 5.

Ov²em klí£ové d·kazy migrace planet poskytuje na²e vlastní slune£ní sous-tava. Z teorie vzniku planetárních systém· vyplývá, ºe velké planety slune£ní sous-tavy vznikly na prakticky kruhových a koplanárních drahách, coº je v²ak v roz-poru s dne²ními pozorovanými hodnotami excentricit, které se u Jupiteru, Saturnua Uranu pohybují okolo 0,05, a sklon· ob¥ºných rovin, které u Saturnu, Uranua Neptunu dosahují vhledem k ob¥ºné rovin¥ Jupiteru hodnot aº 2 [31].

Uvedená fakta vedla k °ad¥ model· (nap°íklad Malhotra, 1995 [42], Thommes,2001, [57]), jeº se více £i mén¥ úsp¥²n¥ pokou²ejí pozorované skute£nosti vysv¥tlit.Dosud nejúsp¥²n¥j²í teorii vývoje slune£ní soustavy p°edstavili Tsiganis, Morbidelli,Gomes a Levison (2005), [58]. Tento model dynamického vývoje vn¥j²ích oblastíslune£ní soustavy, který bude podrobn¥ji popsán dále, nejp°esn¥ji odráºí pozorovanévlastnosti vn¥j²ích oblastí slune£ní soustavy a vysv¥tluje v²echny d·leºité cha-rakteristiky ob¥ºných drah ob°ích planet, zejména velikosti jejich velkých poloos,excentricit a sklon·. Dále ukazuje, ºe planetární soustava s po£áte£ními kvazi-cirkulárními a koplanárními drahami mohla být p°edch·dcem slune£ní soustavys dne²ními parametry. Jedním z poºadavk· tohoto scéná°e je, aby planety Jupitera Saturn pro²ly rezonancí st°edních pohyb· (MMR, z angl. Mean Motion Reso-nance) v pom¥ru 1:2, p°i£emº pr·chod planet touto rezonancí nastal díky migraci,zp·sobené interakcí planet s diskem planetezimál. Uvedený model bývá také oz-na£ován jako model z Nice, podle místa svého vzniku na observato°i v Nice. Textv této kapitole je zpracován zejména podle p°ehledového £lánku [40], který se zabýváteorií migrace planet a zárove¬ porovnává výsledky modelu z Nice s pozorovanýmicharaktristikami planet a dal²ích t¥les slune£ní soustavy.

Migrace planet je podle v²eho p°irozeným d·sledkem vzniku a vývoje plan-etárních systém·. Poté, co vznikly ob°í planety a ze zárode£ného oblaku byly vy-puzeny zbytky primordiální mlhoviny, sestávala slune£ní soustava ze Slunce, planet

24

a dynamicky chladného disku drobných t¥les, planetezimál, jeº se akrecí je²t¥ ne-spojily do v¥t²ích celk·. Tento disk byl gravita£ním p·sobením planet postupn¥dynamicky erodován, coº m¥lo za následek £asté vybo£ení planetezimál z kruhovýchdrah. Docházelo tak k jejich sráºkám £i £ast¥ji k vypuzení z p·vodního planetezi-málního disku. Z fyzikálního hlediska je migrace planet d·sledkem vým¥ny momentuhybnosti mezi planetami a £ásticemi planetezimálního disku. Numerické simulace,nap°íklad [17], ukazují, ºe Jupiter byl tímto mechanismem tla£en sm¥rem ke Slunci,zatímco planety Saturn, Uran a Neptun migrovaly sm¥rem ven.

Vlastní idea planetární migrace je ov²em stará bezmála 25 let. Fernandez a Ip[14] popisují ve své práci interakci Jupiteru, Saturnu, Uranu a Neptunu s remanent-ními t¥lesy planetezimálního disku. Význam této práce v²ak nebyl zcela docen¥n,a to aº do doby objev· £etných t¥les Kuiperova pásu. Malhotra [42], [41] poprvéukázala, ºe existence t¥chto t¥les je z°ejm¥ d·sledkem migrace Neptunu, který sep°ed za£átkem migrace mohl nacházet i pod hranicí 20 AU, zatímco prvotní diskplanetezimál se rozprostíral aº do vzdálenosti p°ibliºn¥ 3035 AU.

4.1 Dynamické p°í£iny planetární migraceZ hlediska dynamiky m·ºeme rozli²ovat mezi t°emi hlavními typy migrace:1. Migrace v plynném disku probíhá za p°ítomnosti poz·statk· zárode£né ml-

hoviny. Tuto migraci m·ºeme pozorovat v raných fázích vývoje planetárníchsystém·. Její p°í£inou je krom¥ t°ení planety o plyn (viz dále kapitola 5.1) takégravita£ní interakce mezi plynným diskem a planetou. Tento typ migrace zdenebude podrobn¥nji rozebírán, podrobné informace lze nalézt nap°íklad v [8].

2. Prostá migrace (angl. simple migration) probíhá v disku, ze kterého jiº byl pri-mordiální plyn vypuzen, ale nachází se v n¥m stále podstatné mnoºství planete-zimál. Planetární migrace je pak d·sledkem gravita£ní interakce s t¥mito t¥lesyb¥hem t¥sných p°iblíºení, konkrétn¥ reakcí na zm¥ny v drahách malých t¥les,která díky svému gravita£nímu p·sobení rozptyluje. Pokud by k p°iblíºenímmezi planetou a malými t¥lesy mohlo docházet se stejnou pravd¥podobnostíve v²ech moºných vzájemných orientacích, zm¥ny hlavní poloosy planety bym¥ly charakter náhodné ch·ze. Pokud v²ak bude k setkáním mezi planetoua malými t¥lesy docházet z ur£itého preferovaného sm¥ru, bude se za nep°ítom-nosti siln¥j²ích gravita£ních perturbací ostatních planet velká poloosa planetyplynule s £asem m¥nit.

25

3. Chaotická migrace (angl. chaotic migration) nastává, pokud se planetární sys-tém dostane do stavu dynamické nestability, b¥hem které mohou excentricityplanet nabýt velmi vysokých hodnot. Z toho d·vodu nelze vylou£it t¥sná p°i-blíºení mezi planetami, která mají zpravidla za následek vypuzení jedné z planetmimo systém.Poznamenejme, ºe planeta m·ºe i v relativn¥ krátké £asové ²kále (mén¥ neº

100 My) projít v²emi vý²e uvedenými typy migrace. Nap°íklad pozvolná prostámigrace m·ºe planetu dopravit do oblasti rezonance s jinou planetou, coº zp·sobídynamickou excitaci její dráhy. Vysoká excentricita pak m·ºe mít za následek t¥snép°iblíºení k jiné planet¥, a migrace se stane chaotickou. Vysoké amplitudy oscilacídráhy planety ale op¥t mohou být utlumeny dynamickým t°ením planetezimál, kterédráhu planety cirkularizuje. Výsledkem pak m·ºe být op¥t kruhová dráha, ov²ems odli²nou velikostí hlavní poloosy.

Nejjednodu²²í analytické modely planetární migrace byly odvozeny ze studiavlastností systému jediné planety, obíhající v dynamicky chladném disku. Ida et al.[30] popsali rychlost zm¥ny velikosti hlavní poloosy a planety vztahem

da

dt= −2

√a

Mp

dH×dt

, (47)

kde MP je hmotnost planety a dH×/dt je rychlost p°enosu momentu hybnosti z pla-netezimálního disku na planetu. Tento vztah platí za p°edpokladu, ºe excentricitaplanety je malá, a hodnota gravita£ní konstanty G ≡ 1. S pouºitím aproximacenekone£né potenciálové jámy ukázali, ºe

dH×dt

=εk

aM(t), (48)

kde ε je kombinací základních konstant a popisuje také geometrii p°iblíºení v blízkémokolí planety, M(t) je celková hmotnost t¥les obíhajících v blízkém okolí planety, a k

je pr·m¥rná zm¥na momentu hybnosti, která p°ipadá na jednu interakci p°i blízkémp°iblíºení planetezimály jednotkové hmotnosti k planet¥. Dosazením (48) do (47)dostáváme

da

dt= −2

εk√a

M(t)

Mp

. (49)

asový vývoj M(t) m·ºe být dále aproximován vztahem

dM

dt= −M

τ+ 2πa

∣∣∣∣∣da

dt

∣∣∣∣∣ σ(a), (50)

26

kde první £len popisuje rozpad planetezimální populace díky kone£né dynamickéºivotnosti τ planetezimál a druhý £len p°edstavuje planetezimály, které díky zm¥n¥pozice planety vstupují do oblasti, kde mohou být planetou rozptýleny. σ(a) jeplo²ná hustota mate°ského (nerozptýleného) disku v heliocentrické vzdálenosti a.Dosazením (49) do (50) dostáváme

dM(t)

dt=

(−1

τ+ 4π

√a ε

∣∣∣k∣∣∣ σ(a)

Mp

)M(t). (51)

Ozna£íme-li nyní £len v závorce −τ−1+4π√

a ε∣∣∣k

∣∣∣ σ(a)M−1p ≡ α, a pro jednoduchost

p°edpokládáme, ºe α se nem¥ní s £asem, dostáváme integrací pro celkovou hmotnostmalých t¥les, jeº mohou gravita£n¥ interagovat s planetou, jednoduchou £asovouzávislost

M(t) = eαt. (52)

V závislosti na koecientu α m·ºeme rozli²it dva typy migrace:1. Tlumená migrace (angl. damped migration): Je-li α < 0, pak není ztráta pla-

netezimál, zp·sobená jejich kone£nou dynamickou ºivotností, kompenzovánap°ílivem nových planetezimál do oblasti v okolí planety. Planetezimální diskv okolí planety se tedy rozpadá, nebo´ M(t) exponenciáln¥ klesá k nule, a mi-grace planety se zastaví.

2. Podporovaná migrace (angl. sustained migration): Naopak, je-li α kladné, akviz-ice nových planetezimál do oblasti v okolí planety díky její migraci p°evy²ujeztráty zp·sobené gravita£ním rozptylováním, M(t) exponenciáln¥ roste a mi-grace planety se urychluje. Tuto migraci m·ºeme dále rozd¥lit do dvou typ·:a) P°ekotná migrace (angl. runaway migration) nastává, jestliºe je migrace

podporována planetezimálami dopl¬ovanými do okolí planety její vlastnímigrací a není k tomu zapot°ebí p°ítomnosti ostatních planet.

b) Nucená migrace (angl. forced migration) probíhá za podmínky, ºe jek p°ílivu nových planetezimál do okolí planety nutná p°ítomnost jinýchplanet.

Skute£né chování migrujících planet tedy závisí na pom¥ru p°ílivu a odlivu planete-zimál do/z oblasti jejich interakce s planetou.

4.2 Diskuze sm¥ru migraceJedním z omezení popsaného modelu je, ºe neposkytuje ºádné informace o sm¥ru,kterým planeta migruje. Tato informace je v²ak obsaºena v hodnot¥ zm¥ny momentu

27

hybnosti k . P°ipome¬me, ºe proces migrace je °ízen gravitací p°i p°iblíºeních meziplanetami a £ásticemi disku. Uvaºujme p°ípad, kdy se dv¥ t¥lesa v·£i sob¥ nacházejína keplerovských drahách. Protoºe energie t¥chto stav· musí být zachována, v²e, com·ºe p°iblíºení zp·sobit, je rotace vektoru relativní rychlosti mezi párem. Následkytakového p°iblíºení je proto moºno ve v¥t²in¥ p°ípad· snadno spo£ítat metodou im-pulsové aproximace. V této aproximaci platí, ºe v pr·m¥ru (p°es v²echny impaktovéparametry a relativní orientace) jsou planetezimály, které zp·sobují migraci planetysm¥rem ven takové, pro jejichº zovou sloºku momentu hybnosti na jednotku hmoty

H =H

m=

~r ×m~v

m=

√a (1− e2) cos i (53)

platí, ºe H > HP kde, HP je velikost jednotkové zové sloºky momentu hybnostiplanety. Opa£ný p°ípad nastane pro planetezimály s H < HP [62]. V t¥chto vztazíchjsou a, e, a i hlavní poloosa excentricita a sklon ob¥ºné roviny planetezimály. Veli£inak je tedy funkcí rozloºení momentu hybnosti t¥chto t¥les v oblasti, v níº docházík interakci s planetou. Její velikost je kladná, jestliºe pro v¥t²inu t¥les platí H > HP ,nulová, jestliºe pr·m¥rné H je stejné jako HP , a záporná v posledním p°ípad¥.

Hlavní fyzikální efekt, jenº nebyl zahrnut v odvození rovnice (51), byl vliv, kterýmají £ástice vstupující a opou²t¥jící zónu interakce s planetou na k . Pro jedinouplanetu v disku nastávají pro £ástice dv¥ moºnosti:1. ástice mohou narazit na planetu. Protoºe pravd¥podobnost nárazu na planetu

je p°ibliºn¥ nezávislá na znaménku rozdílu (H −HP ), obecn¥ tato moºnostnezm¥ní k a migrace je ve výsledku nulová.

2. Dále m·ºe planeta £ástice z disku vypuzovat.11 Tyto £ástice odná²ejí energii,12a planeta se proto musí pohybovat sm¥rem dovnit°.V systémech s více planetami nastává dal²í moºnost planetezimály mohou být

p°esunuty od jedné planety ke druhé. Nejlep²í p°íklad poskytují £ty°i ob°í planetyslune£ní soustavy. Numerické simulace ukazují, ºe díky interakci s diskem plane-tezimál se Jupiter pohybuje sm¥rem dovnit°, ale ostatní t°i planety sm¥rem ven.Ukaºme si to na p°íkladu Neptunu. Rychlost objektu v inerciálním p°iblíºení je

11Schopnost planety vypuzovat £ástice závisí na dynamické excitaci disku, kterou charakter-izujeme parametrem v′ ≡ venc/vcirc, kde venc je typická rychlost £ástice v·£i planet¥ a vcirc jekruhová rychlost planety. Bez ohledu na to, jakou má planeta hmotnost, nem·ºe £ástici vypudit,je-li v′ < v∗, kde v∗ =

√2 − 1 .= 0, 4. Nicmén¥ v′ se zachovává jen v p°ípad¥, ºe planeta je na

kruhové dráze. Pokud tomu tak není, m·ºe k vypuzení dojít i v p°ípad¥, ºe po£áte£ní disk jedynamicky chladný.

12To znamená, ºe jejich celková energie E = Ek + Ep stoupla.

28

Obrázek 3: Závislost pravd¥podobnosti rozptylu £ástice Neptunem na dráhu s perihelovouvzdáleností men²í, neº je velká poloosa Uranu, na v′ = venc/vcirc pro r·zné pom¥ry hlavníchpoloos Uranu a Neptunu aU/aN . P°evzato z [40].

~v = ~vcirc + ~venc. P°edpokládáme-li, ºe po interakci mí°í venc náhodným sm¥rem, jepravd¥podobnost vypuzení [40]

Peject =

(v′2 + 2v′ − 1

4v′

), (54)

kde v′ = venc/vcirc. Na obrázku 3 je tato závislost vynesena £ernou k°ivkou.Pravd¥podobnost, ºe bude £ástice p°esunuta k Uranu (tedy ºe se dostane na dráhus perihelovou vzdáleností q < aU), závisí na v′ a na pom¥ru velikosti hlavních poloosUranu a Neptunu aU/aN . Barevné k°ivky na obrázku 3 ukazují výsledky pro p¥todli²ných pom¥r· aU/aN , v sou£asné dob¥ je aU/aN = 0, 64 (oranºová k°ivka).Obrázek 3 ukazuje, ºe jestliºe je aU/aN > 0, 3 a v′ < 0, 5, bude p°evládat p°esunplanetezimál Neptunem k Uranu nad jejich vypuzováním. Celková energie t¥chto p°e-nesených £ástic se tím sníºí a z tohoto d·vodu se bude Neptun pohybovat sm¥remven.

Dosud jsme v procesu migrace planet p°edpokládali pouze události s jed-notlivými planetezimálami. Navíc v²ak existují dva procesy, díky kterým se k planet¥mohou p°iblíºit dal²í planetezimály. První z nich je zp·sobená samotným procesemmigrace. Jak se planeta pohybuje, dochází i k pohybu oblasti interakce s planete-zimálami, takºe ji n¥které £ástice opou²t¥jí a nové do ní vstupují. V p°ípad¥, ºe

29

se planeta pohybuje sm¥rem ven (tj. od Slunce), mají planetezimály, které oblastopou²t¥jí, p°irozen¥ H < HP , a ty, které do ní vstupují, mají H > HP . V p°ípad¥,ºe se planeta pohybuje sm¥rem dovnit°, je tomu naopak. Proto má tento procestendenci podporovat migraci, která byla p°edtím nastartovaná jiným mechanismem.

Dal²ím zdrojem £ástic mohou být oblasti rezonancí s planetou. T¥lesa, kterájsou zachycena v rezonanci, mohou být nucena zv¥t²it svoji excentricitu natolik,ºe jejich dráha za£ne k°íºit dráhu planety [12]. Vliv tohoto zdroje na velikost k

závisí na prolu plo²né hustoty planetezimálního disku a na intenzit¥ rezonan£níchperturbací.

4.3 Zachycení v rezonanci b¥hem migraceJedním z d·sledk· migrace planet je, ºe se p°íslu²né oblasti rezonancí st°edníhopohybu (MMR) také pohybují. B¥hem tohoto procesu mohou být planetezimály,které se dostanou do oblasti MMR, v této oblasti zachyceny. Vývoj interakce £ástics pohybující se rezonancí velmi citliv¥ závisí na po£áte£ních podmínkách, povazerezonance, rychlosti vývoje, p°ípadných disipativních procesech atd. Model, jehoºvlastnosti byly podrobn¥ji popsány, je model jediné rezonance v adiabatické aproxi-maci. V rámci této kapitoly popí²eme model odpovídající jediné planet¥ na kruhovédráze, která migruje pomalu a monotónn¥. Adiabatická podmínka je spln¥na, jestliºe£as ∆t pot°ebný k p°esunu rezonance o heliocentrickou vzdálenost ∆a, srovnatel-nou s ²í°kou rezonance, je mnohem del²í neº libra£ní perioda τlib orbit uvnit° rezo-nance (která je také o mnoho del²í neº £asová ²kála ob¥hu). V tomto p°ípad¥ bylapravd¥podobnost zachycení v rezonanci vypo£ítána semianalyticky [4].

Podle [59] m·ºe obecn¥ dojít k rezonan£nímu zachycení:1. ve vn¥j²í rezonanci (j : j + k, k > 0), pokud se planeta pohybuje sm¥rem ven2. ve vnit°ní rezonanci (j : j + k, k < 0), jestliºe se planeta pohybuje sm¥rem

dovnit°.Je namíst¥ podotknout, ºe i kdyº nastane jeden z uvedených p°ípad·, nemusí

k záchytu v rezonanci s jistotou dojít. Nap°íklad zachycení do rezonance 2:3 MMRs Neptunem (kde se nachází mnoho objekt· Kuiperova pásu v£etn¥ Pluta) nastanepodle adiabatického modelu s ur£itostí jen v p°ípad¥, ºe Neptun migruje sm¥remven a po£áte£ní excentricita planetezimály je p°ed p°iblíºením k rezonanci men²í neº

30

p°ibliºn¥ 0,03. Pravd¥podobnost záchytu se zvy²ujícími se excentricitami monotónn¥(ale ne lineárn¥) klesá: pro e > 0, 15 je jiº men²í neº 10 %.13

Jestliºe je objekt zachycen v rezonanci, pak se nadále pohybuje zárove¬ s ní.14V pr·b¥hu migrace se excentricita objektu monotónn¥ zvy²uje rychlostí ur£enourychlostí migrace planety podle vztahu [42]:

e2f = e2

i +j

j + kln

ap,f

ap,i

, (55)

kde ap,i je hlavní poloosa planety v dob¥, kdy t¥leso vstupuje do rezonance, ei jeexcentricita t¥lesa v tomtéº £ase, ap,f je hlavní poloosa planety v daném £ase a ef jekone£ná excentricita t¥lesa.

T¥leso se ale v oblasti rezonance nemusí nacházt neomezen¥ dlouhou dobu,protoºe (je-li jeho excentricita dostate£n¥ vysoká) m·ºe dojít k blízkým p°iblíºenímk planet¥. V p°ípad¥ migrace planety diskem jsou tedy planetezimály zachytáványv oblasti její rezonance a pohybují se spole£n¥ s ní. Zárove¬ v²ak nar·stá jejich excen-tricita aº do okamºiku, kdy dosáhne meze stability, nad níº jsou planetou rozptýleny.Rezonan£ní populace z·stává v p°ibliºn¥ po£etn¥ ustáleném stavu takovou dobu, pojakou se oblast rezonance nachází v disku, protoºe zatímco objekty s vysokou ex-centricitou rezonanci opou²t¥jí, nové do ní vstupují. Pokud ale rezonance p°ekro£íhranici disku, není jiº dále dopl¬ovaná novými t¥lesy a rezonan£ní populace ses dal²ím pohybem rezonance sm¥rem ven postupn¥ rozpadá. Minimální excentricitat¥les rezonan£ní populace tedy postupn¥ nar·stá a relativní zastoupení t¥les s malouexcentricitou postupn¥ klesá.

Uváºíme-li, ºe nejd°íve zachycená t¥lesa dosáhnou p°i pokra£ující migraci pla-nety nejvy²²ích excentricit, m·ºe být vztah daný rovnicí (55) uºite£ný k odvození

13Bohuºel reálné chování není tak jednoduché, jak adiabatický model p°edpovídá. Jestliºe je re-zonance obklopená chaotickou oblastí, jako v p°ípad¥, kdy excentricita planety není nulová nebosklon £ástic je velký, je výpo£et pravd¥podobnosti zachycení s vyuºitím semianalytických technikv podstat¥ nemoºný, nebo´ závisí také na rychlosti difúze vn¥ chaotické oblasti [27]. Numerické sim-ulace migrace Neptunu v realisti£t¥j²ích modelech planetárního systému ukazují, ºe pravd¥podob-nost záchytu je mnohem mén¥ citlivá na excentricitu £ástice, neº adiabatická teorie p°edpovídá,a zachycení v rezonani je moºné i p°i velkých excentricitách [19], [22].

14Komplikace nastává, pokud se v planetezimálním disku, p°es který planeta migruje, objevírelativn¥ velká t¥lesa. Zachycení v rezonanci vyºaduje, aby migrace planety byla hladká. Jestliºeplaneta skokov¥ zm¥ní svoji hlavní poloosu díky setkání s jinou planetou nebo velmi hmotnouplanetezimálou, skokov¥ se zm¥ní i místo MMR. Jestliºe je amplituda t¥chto skok· stejného °ádujako ²í°ka rezonance nebo vy²²í, £ástice zachycené v rezonanci budou uvoln¥ny. Model stochastickémigrace v planetezimálním disku byl nedávno vyvinut Murray-Clayem a Chiangem [47].

31

n¥kterých parametr· migrace. Nap°íklad nacházejí-li se v rezonan£ní populaci t¥lesas maximální excentricitou emax (která je men²í neº mez nestability), znamená to, ºeplaneta migrovala o vzdálenost

∆ap = exp

(j + k

je2max

). (56)

Malhotra [42] rozborem excentricit t¥les v Kuiperov¥ pásu v rezonanci 2:3 MMRzjistila hodnotu emax = 0,25, z £ehoº odvodila, ºe Neptun migroval nejmén¥ 7 AU(tzn., ºe vznikl ve vzdálenosti a ≤ 23 AU)15.

4.4 Jednoduchá migrace ve slune£ní soustav¥Jak bylo popsáno v kapitole 4.3, rychlost a sm¥r migrace planet °ízené planetezimá-lami komplexn¥ závisí na interakcích r·zných dynamických zdroj· a ztrátách £ásticdisku. Proto je ke studiu migra£ních proces· nejlépe pouºít numerických experi-ment·.

4.4.1 Migrace v rozlehlém disku

Následující simulace, popsané v [40], vy²ly z totoºných po£áte£ních podmínek.16Planety byly obklopeny hmotným diskem, který se rozprostíral mezi 18 AU a 50AU a jeho plo²ná hustota klesala úm¥rn¥ vzdálenosti. Vn¥j²í okraj disku byl zvolentak, aby korespondoval s okrajem klasického Kuiperova pásu, a po£áte£ní hmotnostdisku se m¥nila v rozmezí 40 ME (hmotnost Zem¥) aº 200 ME.

Obrázek 4 ukazuje £asový vývoj hlavní poloosy £ty° ob°ích planet pro disko hmotnosti 50 ME. Výsledkem je, ºe se planety Neptun, Uran a Saturn pohybovalysm¥rem ven, zatímco Jupiter sm¥rem dovnit°, stejn¥ jako v analytických modelech.

15Zatímco v adiabatickém modelu excentricita monotónn¥ vzr·stá, ve skute£nosti zde mohoubýt sekulární £leny, nutící objekty v rezonancích k oscilacím v excentricit¥ s vysokou amplitudou.Nap°íklad Levison a Morbidelli [38] ukázali, ºe pokud se v MMR nashromáºdilo dostate£n¥ velkémnoºství hmoty, planeta pocítí perturbace zp·sobené tímto materiálem a v precesním spektruplanety se objeví nové frekvence, které jsou blízké libra£ním frekvencím, jeº vykazují t¥lesa v re-zonanci. ástice tedy mohou rezonovat s frekvencemi planetárního pohybu, které samy vyvolaly,coº má za následek velké oscilace v jejich excentricit¥. Za této situace m·ºe rezonan£ní populacedosáhnout excentricit blízkých nule, i kdyº rezonance pro²la vzdáleností 10 AU a posunula se zaokraj disku.

16Planety Jupiter, Saturn, Uran a Neptun se na po£átku nacházely ve vzdálenostech 5,45 AU,8,7 AU, 15,5 AU a 17,8 AU.

32

Obrázek 4: asový vývoj hlavní poloosy £ty° ob°ích planet v disku planetezimál o hmot-nosti 50 ME . P°evzato z [40].

erné k°ivky na obrázku 5 ukazují £asový vývoj velké poloosy Neptunu prosimulace s r·znými hmotnostmi disku. B¥hy 40 ME a 45 ME jsou p°íklady tlumenémigrace. Po rychlém startu se pohyb Neptunu za£al zpomalovat a planeta dosáhlakvasiasymptotické hlavní poloosy. ást disku vn¥ dráhy Neptuna si zachoval svojip·vodní plo²nou hustotu, zatímco £ást uvnit° dráhy byla kompletn¥ rozptýlena.

Zm¥na v chování Neptunu nastává ve chvíli, kdy hmotnost disku p°ekro£í50 ME. Neptun nejd°íve za£ne migrovat rychle, poté se migrace postupn¥ zpoma-luje, ale vzáp¥tí je urychlena aº k okraji disku, kde se nakonec zastaví. Takovývývoj nazna£uje, ºe plo²ná hustota disku leºí blízko kritické hodnoty, která odd¥lujetlumenou migraci od udrºované. Ve v²ech p°ípadech s v¥t²í hmotností disku leºelakone£ná pozice Neptunu v blízkosti okraje disku. Z obrázku 5 je patrný p°echodmezi lineární a akcelerovanou fází migrace, který nastal díky zm¥nám v po£tu £ás-tic zachycených v Neptunových rezonancích. ástice v rezonanci ovliv¬ují migraci,protoºe efektivn¥ zvy²ují Neptunovu inerciální hmotnost. B¥hem prosté migraceje po£et £ástic v rezonancích p°ibliºn¥ konstantní do doby, kdy rezonance z·stáváv disku. V dané simulaci Neptun zrychluje ve chvíli, kdy jeho rezonance 1:2 MMR

33

opustí disk, takºe po£et t¥les v rezonanci klesá a nové £ástice nejsou dopl¬ovány.P°i zvy²ování hmotnosti disku na hodnoty vy²²í neº 100 ME dochází k dal²ímu

d·leºitému zlomu v Neptunov¥ chování migrace p°echází z nucené do p°ekotné.Tato zm¥na vyvolá velmi zajímavý jev migrace Neptunu není nadále monotónní.Obrázek 5 ukazuje, ºe v p°ípadech vysokých hmotností disku Neptun dosáhne hran-ice 50 AU za mén¥ neº 3 miliony let a poté se p°ibliºn¥ stejnou rychlostí vracízp¥t do vzdálenosti asi 30 AU. Takový pr·b¥h je dán tím, ºe p°i p°ekotné migraciNeptunu sm¥rem ven z·stávají planetezimály v excitovaném disku místo toho, abybyly p°emíst¥ny k vnit°ním planetám nebo vypuzeny. Kdyº Neptun dosáhne okrajedisku, po£et £ástic vn¥ jeho dráhy (s m¥rným momentem hybnosti H > HN) klesáa objekty uvnit° Neptunovy dráhy (H < HN) vyvolají návrat planety. Sm¥r mi-grace Neptunu se tedy obrátí. Nastane p°ekotná migrace sm¥rem dovnit° a skon£íve chvíli, kdy je dosaºeno oblasti disku rozptýlené Uranem.

4.4.2 Omezení plynoucí z pozorování Kuiperova pásu

P°irozen¥ vyvstává otázka, zda je moºné ur£it, jaký typ migrace se odehrál v na²íslune£ní soustav¥, a zda odtud lze odvodit hmotnost a strukturu primordiálního pro-toplanetárního disku. Klí£ová vodítka pro odhalení historie slune£ní soustavy posky-tuje mimo jiné Kuiper·v pás, nebo´ jeho struktura v sob¥ stále nese stopy událostí,jeº provázely rané fáze jejího vývoje. Z hlediska vý²e uvedeného jsou d·leºité ze-jména t°i následující vlastnosti Kuiperova pásu:1. Sou£asná hmotnost t¥les Kuiperova pásu je odhadována na 0,1 ME [2]. To

je p°ekvapivá skute£nost vzhledem k tomu, ºe akre£ní modely p°edpovídajíhmotnost ≥ 10 ME. 17

2. Kuiper·v pás je dynamicky excitován. Tato skute£nost je op¥t v rozporus akre£ními modely, jeº ukazují, ºe relativní rychlosti mezi blízkými objektymusí být malé, aby se z nich v budoucnu vytvo°ila t¥lesa sou£asných rozm¥r·.

3. Kuiper·v pás podle sou£asných poznatk· kon£í na hranici p°ibliºn¥ 50 AU [1].Gomes el al. [16] dosp¥li k záv¥ru, ºe sou£asná pozice Neptunu a hmotnostní

decit Kuiperova pásu implikují, ºe protoplanetární disk p·vodn¥ kon£il na hranici30 AU. Ve své studii migrace v takovém disku ukazují, ºe planeta se nutn¥ ne-musí zastavit p°esn¥ na okraji disku. Ve skute£nosti, z d·vodu nutnosti zachovánímomentu hybnosti b¥hem procesu migrace, závisí kone£ná pozice planety více na

17Tato hmotnost je pot°ebná k tomu, aby zde do²lo k akreci transneptunických t¥les o po-zorovaných velikostech 103 km, viz [54], [33], [34].

34

Obrázek 5: asový vývoj velké poloosyNeptunu pro simulace s r·znými hmotnos-tmi disku. P°evzato z [40].

Obrázek 6: Migrace Neptunu v discích vevzdálenostech mezi 10 a 30 AU a s hmot-nostmi od 20 do 100 ME . P°evzato z [40].

momentu hybnosti disku neº na poloze jeho okraje. Obrázek 6 ukazuje pr·b¥h mi-grace Neptunu v ²esti r·zných discích, rozprost°ených ve vzdálenostech mezi 10 a 30AU a s hmotnostmi od 20 do 100 ME.

Disk s hmotností 20 ME má podkritickou plo²nou hustotu. Neptun vykazujetlumenou migraci a zastavuje se hluboko uvnit° disku. Disky s hmotností 30 a 35 ME

mají plo²nou hustotu blízkou kritické hodnot¥. V obou p°ípadech doputuje oblastdisku ovlivn¥ná Neptunovými perturbacemi k jeho okraji poté, co planeta dosáhnevzdálenosti p°ibliºn¥ 26 AU. Migrace planety je rychle utlumena blíºícím se okrajemdisku a její kone£ná poloha leºí asi 2 AU od p·vodního okraje disku, jehoº £ást zaplanetou byla zcela rozptýlena. Disky s v¥t²í po£áte£ní hmotností mají nadkritickouplo²npou hustotu. V p°ípad¥ disku s hmotností 50 ME planeta zastaví tém¥° naokraji disku a v ostatních p°ípadech aº n¥kolik AU za jeho okrajem.

Gomes et al. tedy do²li k záv¥ru, ºe disk s okrajem sahajícím p°ibliºn¥ dovzdálenosti 30 AU (p°esná hodnota závisí na hmotnosti disku) m·ºe vysv¥tlitsou£asnou hodnotu velikosti velké poloosy Neptunu.18 Zd·razn¥me, ºe malý polom¥ro°íznutého disku není v rozporu se skute£ností, ºe se dnes Kuiper·v pás rozkládá zahranicí 40 AU, protoºe mohl být vytla£en ven b¥hem migrace Neptunu.

18Existuje zde nejmén¥ p¥t mechanism·, které mohly protoplanetární disk o°íznout v tak maléheliocentrické vzdálenosti je²t¥ p°ed akrecí planet: 1) Kuiper·v pás byl ovlivn¥n gravita£ními slapyod blízko procházející hv¥zdy [30], [37]; 2) Okraj se vytvo°il p°ed formací planetezimál díky t°enío plyn [69]; 3) okraj se vytvo°il v pr·b¥hu planetární akrece díky radiální migraci zp·sobené t°ením[68]; 4) Blízké hv¥zdy raných typ· zp·sobily fotoevaporaci vn¥j²ích oblastí slune£ní mlhoviny p°edtím, neº se sta£ily planetezimály vytvo°it [29]; 5) Magnetohydrodynamické nestability ve vn¥j²íoblasti disku bránily vzniku planetezimál v tomto regionu [55].

35

Obrázek 7: Závislost excentricity e na velké poloose a pro simulaci vzniku Uranu a Neptunumezi drahami Jupiteru a Saturnu. P°evzato z [57].

4.5 Model vzniku Uranu a Neptunu mezi Jupiterem a Sat-urnem

Aº do této chvíle jsme diskutovali jednoduchou migraci. Existuje v²ak i jiný zp·sob,jakým mohou interakce mezi planetami a malými t¥lesy vyústit ve znatelné zm¥nyvelkých poloos planet. Je jím celková nestabilita v planetárním systému. P°iblíºeníplanet zvy²uje excentricity jejich drah a odstupy mezi velkými poloosami. Následnéinterakce mezi £ásticemi disku a planetami ov²em planetární dráhy cirkularizují.

Tuto my²lenku vyslovili Thommes et al. [60], kte°í p°edpokládali, ºe £ty°i ob°íplanety vznikly v tak kompaktní konguraci, ºe jejich dráhy byly dynamicky nesta-bilní. Obrázek 7 ukazuje závislost excentricity e na velké poloose a pro jednu ze simu-lací, kde ledoví ob°i vznikli mezi drahami Jupiteru a Saturnu. Tak°ka bezprost°edn¥po svém vzniku (104 let) byli ledoví ob°i vypuzeni z oblasti mezi Jupiterem a Sat-urnem do primordiálního planetezimálního disku, kde byly jejich dráhy gravita£nímiinterakcemi s £ásticemi disku cirkularizovány. Gravita£ní interakce mezi planetezi-málami a vypuzenými jádry se vyskytuje ve dvou podobách:1. Sekulární zm¥ny Jsou zde patrné sekulární zm¥ny v disku, vyvolané zvý²enými

excentricitami ledových obr·. To je velmi dob°e viditelné na dolním levémobrázku (t = 180 000 let), kde t¥lesa mezi 20 a 30 AU mají systematickyzv¥t²ované excentricity. Protoºe tato oblast disku je hmotn¥j²í neº ledoví ob°i,sekulární perturbace zv¥t²í periheliové vzdálenosti ledových obr·, takºe se

36

vzdálí od Saturnovy dráhy, a tak je zachrání p°ed vyvrºením do mezihv¥zd-ného prostoru.

2. Dynamické t°ení projevuje se tam, kde se velké t¥leso pohybuje v mo°imalých £ástic. P°itom se cirkularizují dráhy ledových obr·.Problém tohoto vývojového scéná°e v²ak spo£ívá v tom, ºe disk, který má hmot-

nost dostate£nou k tomu, aby cirkularizoval dráhy ledových obr·, zp·sobí jejichmigraci do p°íli² velkých vzdáleností.

4.6 Model z Nice dynamického vývoje ob°ích planetTeorie vzniku planetárních systém· p°edpokládá, ºe velké planety vznikly nakruhových a koplanárních drahách. Tato skute£nost v²ak neodpovídá dne²nímu po-zorování. Model z Nice [40] vysv¥tluje v²echny d·leºité charakteristiky ob¥ºnýchdrah ob°ích planet, zejména velikosti jejich velkých poloos, excentricit a sklon·a ukazuje, ºe planetární soustava s po£áte£ními kvazi-cirkulárními a koplanárnímidrahami m·ºe být prekurzorem slune£ní soustavy s dne²ními parametry za p°edpok-ladu, ºe planety Jupiter a Saturn pro²ly rezonancí st°edních pohyb· 1:2. Pr·chodtouto resonancí nastal díky migraci planet, zp·sobené jejich interakcí s planetez-imálním diskem.

V p°edchozích kapitolách jsme ukázali, ºe migrace planet je p°irozeným d·sled-kem vzniku a vývoje planetárních systém·. Poté, co vznikly ob°í planety a zezárode£ného oblaku byly odstran¥ny zbytky plynu, sestávala slune£ní soustava zeSlunce, planet a (dynamicky chladného) disku drobných t¥les planetezimál. Tentodisk byl planetami postupn¥ dynamicky erodován, coº vedlo bu¤ ke konstruktivnímsráºkám planetezimál, nebo k jejich rozptylu. Planetární migrace byla d·sledkemvým¥ny momentu hybnosti mezi planetami a £ásticemi tohoto disku. Numerickésimulace potvrzují, ºe Jupiter byl tímto mechanismem tla£en dovnit°, sm¥rem keSlunci, zatímco planety Saturn, Uran a Neptun migrovaly sm¥rem ven. Rozloºenídrah transneptunických objekt· je patrn¥ d·sledkem této migrace a ukazuje, ºeplaneta Neptun se p°ed za£átkem migrace musela nacházet hluboko pod hranicí 20AU, zatímco disk sahal p°ibliºn¥ do vzdálenosti 3035 AU.

Pokud byly dráhy planet na po£átku migrace dostate£n¥ blízko sebe, muselyprojít rezonancemi malých °ád·.19

19Rezonance popisujeme pom¥rem p+qp , °ádem rezonace nazýváme hodnotu q. Poruchová funkce,

popisující rezonanci potom obsahuje £leny úm¥rné eq a (sin i)q. Perturbace jsou nejvýrazn¥j²í promalá q. Vývoj slune£ní soustavy nejvíce poznamenala rezonace Jupiteru a Saturnu v pom¥ru 1:2,

37

4.6.1 Nastavení po£áte£ních podmínek

Ve v²ech simulacích byly po£áte£ní podmínky nastaveny tak, ºe hlavní poloosaJupiteru byla aJ = 5,45 AU a Saturn byl umíst¥n o n¥kolik desetin astronomickéjednotky blíºe ke Slunci vzhledem k hranici rezonance 1:2 s Jupiterem (aJ:S (1 : 2)

.=

8, 65 AU). Po£áte£ní velké poloosy ledových obr· Uranu a Neptunu byly nastavenyv rozmezích 1113 AU, resp. 13,517 AU, p°i£emº byla stanovena minimální vzá-jemná vzdálenost 2 AU. Ve v²ech p°ípadech byly dráhy tak°ka kruhové a koplanární(e, i ' 10−3). V simulacích byl uvaºován disk planetezimál o hmotnosti 3050 ME,který sestával z 1 0005 000 t¥les stejné hmotnosti. Po£átek disku byl ztotoºn¥ns drahou poslední planety a kon£il ve vzdálenosti 3035 AU od Slunce. Plo²ná hus-tota tohoto disku lineárn¥ klesala s rostoucí vzdáleností od Slunce. Ukázalo se, ºep°estoºe toto rozli²ení nedosta£uje k modelování v²ech aspekt· planetární migrace,adekvátn¥ modeluje makroskopický vývoj drah planet. V simulacích byl uvaºovánjak dynamicky chladný (e .

= sin i.= 10−3), tak dynamicky horký (e .

= sin i.= 0, 05)

disk. Simulace byly provád¥ny s pomocí dvou N-£ásticových integrátor·, SyMBA[36] a MERCURY [7] s krokem 0,250,5 roku. Gravita£ní interakce mezi malýmit¥lesy disku byly v t¥chto simulacích zanedbány.

4.6.2 Výsledky simulací a vývoj drah ledových obr·

Typický vývoj planet a planetezimálního disku, který vidíme na obrázku 8, m·ºemeposat takto:1. Po fázi dlouhé pomalé migrace po tém¥° kruhových drahách, která v této simu-

laci trvala 6,6 milionu let, pro²ly Jupiter a Saturn rezonancí 1:2 MMR. V tomtobod¥ do²lo ke zvý²ení jejich excentricit k hodnotám blízkým t¥m, které dnespozorujeme.

2. Tento náhlý skok v excentricitách Jupiteru a Saturnu m¥l dramatický dopadna planety Uran a Neptun. Sekulární perturbace, kterými Jupiter a Saturn nadal²í ledové obry p·sobily, zp·sobily nár·st jejich excentricit na hodnotu ' 0,1,(která je závislá na hmotnostech a velkých poloosách v²ech planet).

3. Díky kompaktní konguraci systému se planetární dráhy staly chaotickými a za-£aly se k°íºit, d·sledkem £ehoº docházelo krátce po pr·chodu rezonací J:S 1:2k blízkým p°iblíºením planet. To m¥lo za následek i zvý²ení jejich sklonu o 17.

jeº zp·sobuje nejv¥t²í perturbace.

38

Obrázek 8: Vývoj velkých poloos, pericenter a apocenter drah velkých planet p°edpoklá-daný modelem z Nice. P°evzato z [40].

4. Navíc byli oba ledoví ob°i vytla£eni sm¥rem do planetezimálního disku, coºm¥lo za následek zvý²ení toku malých t¥les sm¥rem k Saturnu a Jupiteru, a tímpádem i zvý²ení rychlosti jejich migrace.

5. B¥hem této rychlé fáze migrace do²lo k pozvolnému poklesu excentricit a sklon·planet v d·sledku dynamického t°ení.

6. Migrace planet ustala poté, co byl p·vodní planetezimální disk tak°ka úpln¥rozptýlen a planetární systém byl stabilizován.Jak ukazuje obrázek 8, nejen velké polosy, ale i excentricity výsledných drah

planet jsou blízké sou£asným hodnotám. Podoba výsledných drah planet závisína vývoji systému bezprost°edn¥ po pr·chodu planet rezonancí. P°estoºe bylov po£áte£ních podmínkách mnoho volných parametr·, ukázalo se, ºe nální kon-gurace je nejvíce citlivá na po£áte£ní orbitální separaci ledových obr· (∆aII)a vzdálenosti mezi Saturnem a vnit°ním ledovým obrem (∆aIS). V provedenýchsimulacích bylo ∆aII v rozp¥tí 2 6 AU a ∆aIS v rozmezí 2,55 AU.

Pro ∆aII < 3 AU roste pravd¥podobnost, ºe Saturn destabilizuje dráhu jednohoz ledových obr· tak, ºe bude k°íºit dráhu Jupitera. V takovém p°ípad¥ je ledový obrvypuzen ze sytému, k £emuº do²lo ve 33 % simulací. Ve zbylých 67 % p°ípad·dosáhly v²echny £ty°i planety stabilních drah.

39

Obrázek 9: Porovnání výsledk· modelu z Nice s pozorovanými hodnotami velkých poloos,excentricit a sklon· drah velkých planet. ed¥ jsou vyzna£eny výsledky simulací v mén¥kompaktní konguraci (∆armIS ≥ 3,5 AU), £ern¥ je vizna£ena varianta, p°i níº do²lok blízkému setkání Saturnu s ledovým obrem (∆armIS > 3,5 AU) P°evzato z [58].

Jen v necelých 5 % p°ípad· nedo²lo k ºádným blízkým p°iblíºením ob°ích planet.V t¥chto b¥zích byla nastavena hodnota ∆aIS = 5 AU, coº znamená, ºe se jednaloo nejmén¥ kompaktní po£áte£ní kongurace. Opakovaná setkání ledových obr· bylazaznamenána ve v²ech ostatních 95 % p°ípad·. Tam, kde byla nastavena po£áte£ní∆aIS ≥ 3,5 AU, do²lo k blízkému p°iblíºení mezi ledovými obry; pro ∆aIS < 3,5 AUdocházelo rovn¥º k blízkým setkáním Saturnu s ledovým obrem. P°iblíºení ledovéhoobra k Saturnu zárove¬ ovliv¬uje dynamiku systému JupiterSaturn, a umoº¬ujetak plynným obr·m udrºet si své excentricity navzdory dynamickému t°ení v disku.

Pro tyto dv¥ uvedené varianty pr·b¥hu simulací (tj. kompaktní a mén¥ kompak-tní kongurace) byly ze v²ech dosaºených výsledk· vypo£ítány standardní odchylkya st°ední hodnoty velkých poloos, excentricit a sklon·. Uvedené veli£iny byly vyne-

40

seny do graf· (e, a) a (i, a), kde byly zárove¬ porovnány se sou£asnými parametryplanet (obrázek 9). Ob¥ skupiny simulací vykazují dobré výsledky, nicmén¥ varianta,p°i níº do²lo k interakci ledových obr· se Saturnem, je evidentn¥ lep²í.

Kone£ná vzdálenost drah Jupiteru a Saturnu závisí na hmotnosti planetezimál-ního disku. A£koli se zvy²ující se hmotností disku roste jeho schopnost stabilizovatcelý systém, pro hmotnosti v¥t²í neº 35-40 ME vychází rozdíl velkých poloos Jupiterua Saturnu v¥t²í neº je dnes pozorovaný. A pro disky s hmotností > 50ME jiº Saturnprojde rezonancí 2:5 s Jupiterem, coº je v rozporu se sou£asnou polohou Saturnu,který se nachází t¥sn¥ p°ed 2:5 rezonancí. Proto povaºujeme hmotnost disku okolo35 ME za nejpravd¥podobn¥j²í.

4.7 Pozorování podporující model z Nice4.7.1 Zachycení Jupiterových Trojan·

Dal²í argumenty pro model z Nice pocházejí z pozorovaných populací malých t¥les.Nap°íklad Jupiterovi Trojané, malá t¥lesa nacházející se v rezonanci 1:1 MMRs Jupiterem (v okolí Lagrangeových bod· L4, L5 soustavy SlunceJupiter), posky-tují významný test popsaného scéná°e. Gomes [18] a Mi²£enko et al. [43] studovaliefekty planetezimálami °ízené migrace na trojanské asteroidy. Zjistili, ºe populaceJupiterových Trojan· se stává p°i pr·chodu Jupiteru a Saturnu rezonancí 1:2 MMRzcela nestabilní. Tito auto°i tedy p·vodn¥ dosp¥li k názoru, ºe planety Jupiter a Sa-turn touto rezonancí projít nemohly.

e²ení tohoto problému p°edstavili auto°i modelu z Nice [40], kte°í upozornili nato, ºe dynamický vývoj kaºdého gravita£ního systému je £asov¥ reverzibilní. Pokudse planetární systém vyvine do kongurace, v níº zachycené objekty mohou opustitLagrangeovy body, musí být moºné, aby jiná t¥lesa do této oblasti vstoupila a bylazde do£asn¥ zachycena. Následn¥ m·ºe být vytvo°ena nová populace Trojan· zap°edpokladu, ºe je k dispozici dostate£ný zdroj takových t¥les. V tomto p°ípad¥jsou zdrojem tytéº objekty, které zp·sobují planetární migraci transneptunicképlanetezimály. Kdyº se Jupiter a Saturn dostate£n¥ vzdálí od 2:1 MMR, stane setato oblast Lagrangeových bod· op¥t stabilní a populace, která se zde náhodn¥nacházela, z·stane zachycena a stává se Jupiterovými Trojany. Auto°i modelu z Niceprovedli °adu N -£ásticových simulací a dokázali, ºe na drahách Trojan· mohoubýt skute£n¥ t¥lesa trvale zachycena. Za p°edpokladu, ºe planetezimální disk m¥lhmotnost 35 ME, p°edpovídají, ºe zde mohli existovat Trojané s celkovou hmotností

41

4 · 10−6 − 3 · 10−5ME a s amplitudou librace do 30. To je v dobré shod¥ s celkovouhmotností Trojan·, která je odhadovaná na 1, 1 · 10−5ME [45].

Jedním z p°ekvapivých aspekt· populace Trojan· je ²iroké rozmezí sklon·, kterésahají aº ke 40, coº nem·ºe být vysv¥tleno pomocí tradi£ních scéná°·. Protoºemodel z Nice je zatím jediný, který dokáºe danou skute£nost reprodukovat, m·ºemepopulaci Trojan· povaºovat za pozorovatelný d·sledek pr·chodu Jupiteru a Saturnurezonancí 1:2.

Jupiter není jedinou planetou ve vn¥j²í slune£ní soustav¥, která má své Trojany.Také u Neptunu se takové objekty nacházejí a jejich existenci lze op¥t vysv¥tlitpomocí modelu z Nice. Tyto objekty mohly být zachyceny v Neptunov¥ 1:1 MMRb¥hem období, kdy byla excentricita jeho dráhy tlumena planetezimálním diskem.20

4.7.2 Kuiper·v pás

Kuiper·v pás také p°edstavuje d·leºitý test pro ov¥°ení platnosti modelu z Nice.Kaºdý model proces· probíhajících ve vn¥j²ích oblastech slune£ní soustavy totiºmusí vysv¥tlit hlavní vlastnosti orbit t¥les Kuiperova pásu, zejména:1. p°ítomnost objekt· zachycených v Neptunových rezonancích (viz obrázek 10A);2. náhlý konec klasického Kuiperova pásu v blízkosti 1:2 MMR (klasický Kuiper·v

pás denujeme jako systém t¥les, která nejsou v rezonancích a nacházejí se podmezí stability ur£enou Duncanem et al. [12]);

3. úbytek t¥les s velkou poloosou v rozmezí 4548 AU a s e < 0, 1;4. koexistenci dvou zdánliv¥ odli²ných populací Kuiperova pásu: dynamicky

chladné populace, sloºené z t¥les se sklonem i < 4, a dynamicky horké po-pulace, jejíº sklony mohou dosahovat aº 30 i více. Tyto populace mají odli²nérozd¥lení velikostí [2] a odli²né barevné indexy [61].Z d·vod· diskutovaných vý²e model z Nice p°edpokládá konec protoplanetár-

ního disku na hranici p°ibliºn¥ 30 AU. Z toho plyne, ºe Kuiper·v pás, který dnespozorujeme, musel být vytla£en sm¥rem ven b¥hem vývoje dráhy Neptunu. Kdyºexcentricita dráhy Neptunu dosáhovala do£asn¥ excentricity asi eN ' 0, 3, jehooblasti rezonancí byly ve velké poloose velmi ²iroké. Numerické simulace ukazují,ºe pro eN > 0, 2 je celá oblast uvnit° 1:2 MMR vypln¥na vzájemn¥ se p°ekrýva-jícími rezonancemi vy²²ích °ád·, a je proto zcela chaotická. Následn¥ se proto m·ºenaplnit £ásticemi disku rozptýlenými Neptunem a migrovat spolu s ním sm¥rem ven,

20K záchytu jednoho Trojana u Neptunu do²lo také p°i námi provedené simulaci migrace Neptunudo disku planetezimál, viz kapitola 6.

42

Obrázek 10: A) Závislost excentricity t¥les pozorovaného Kuiperova pásu na velké poloosedráhy v porovnání s B) výsledky modelu z Nice. P°evzato z [40].

k v¥t²ím velkým poloosám. Jak Neptunova excentricita díky interakci s planetezimá-lami klesá, mnoho z t¥chto t¥les je v Kuiperov¥ pásu zanecháno na ne-rezonan£níchdrahách. Díky tomu, ºe se na po£átku nacházela rezonance 1:2 aº za okrajem disku,vytvo°ila p°irozenou hranici zachycené populace.

Obrázek 10B ukazuje výsledek numerické simulace tohoto procesu. S uváºením,ºe v¥t²ina £ástic nad hranicí stability by byla na dlouhé £asové ²kále (4 miliardy let)ze systému vypuzena, musíme konstatovat velmi dobrou shodu mezi simulovanoua skute£nou populací. Na hranici 1:2 MMR pozorujeme okraj Kuiperova pásu a re-zonan£ní populace jsou zde dob°e viditelné. Výsledek simulace také ukazuje úbytekt¥les s malou excentricitou za hranicí 45 AU.

4.7.3 Pozdní bombardování M¥síce

Pozdním bombardováním M¥síce ozna£ujeme etapu ve vývoji M¥síce, která nastalap°ibliºn¥ p°ed 3,9 miliardy let, b¥hem které vzniklo mnoºství impaktových pánví,jejichº stá°í dokáºeme radiometricky datovat (díky vzork·m p°ivezeným lod¥miApollo). Dosud probíhá debata, zda tato fáze provázela pozdní období planetárníakrece, nebo zda se jednalo o zvý²enou impaktní £innost, trvající mén¥ neº 100 Myr.P°estoºe tato debata dosud pokra£uje, ukazuje se stále pravd¥podobn¥j²í druhá vari-anta [25], [39].

Zvý²ený tok impaktor· ve vnit°ních oblastech slune£ní soustavy patrn¥vyºadoval významné zm¥ny parametr· drah planet, které destabilizovaly zásobárny

43

malých t¥les, do té doby stabilní [39]. Model z Nice takové zm¥ny p°irozen¥ p°ed-povídá p°i pr·chodu Jupiteru a Saturnu rezonancí 1:2. Problém, který byl následn¥vy²et°ován, byl, jak pozdrºet rezonanci o zhruba 700 milion· let od vzniku slune£nísoustavy. V simulacích za£aly planety migrovat prakticky ihned, protoºe planetezi-mály byly umíst¥ny k planetám velmi blízko, a systém byl proto zna£n¥ nestabilní.Tato kongurace byla zvolena ke studiu vlastního procesu migrace a pr·chodu re-zonancí, ale to neznamená, ºe musela £asov¥ korespondovat se vznikem slune£nísoustavy, mohla nastat aº pozd¥ji. Planetezimálami °ízená migrace patrn¥ nehrajepro dynamiku planet d·leºitou roli do doby, kdy v disku p°etrvávají zbytky p·vodníplynné mlhoviny. Po£áte£ní podmínky pro simulace migrací reprezentují systém,který existoval aº v dob¥, kdy se mlhovina rozpadla, tedy systém, ve kterém jedynamická ºivotnost £ástic disku vy²²í neº ºivotnost mlhoviny.

Pr·chod Jupiteru a Saturnu rezonancí 1:2 MMR je moºno v závislosti nar·zných po£áte£ních podmínkách zpozdit o 350 My aº 1,1 Gy [17], coº znamená, ºecelková nestabilita vyvolaná pr·chodem 1:2 MMR m·ºe být odpov¥dná za pozdníbombardování M¥síce. Pro po£áte£ní disk o hmotnosti 35 ME mohlo po pr·chodurezonancí dopadnout na povrch M¥síce p°ibliºn¥ 8× 1018 kg planetezimálního mate-riálu [17], coº je hodnota °ádov¥ shodná s odhadem u£in¥ným na základ¥ pozorováníimpaktových pánví [39].

44

5 Migrace planet v extrasolárních planetezimálníchdiscích

Migrace planet v extrasolárních planetezimálních discích je zatím pom¥rn¥ t¥ºkoobecn¥ popsatelná, protoºe migrace velmi citliv¥ závisí na specických vlastnostechsystému, jako je po£et planet a pom¥r jejich hmotností, jejich vzájemná vzdálenost,hmotnost disku a jeho radiální ²í°e, radiální prol jeho plo²né hustoty atd. V¥t²inat¥chto veli£in je obtíºne m¥°itelná, proto se zam¥°íme jen na £ty°i hlavní aspekty:p·vod horkých Jupiter·, vývoj systém· s dv¥ma planetami, únik planet st°edníchhmotností do velkých vzdáleností od mate°ských hv¥zd a spou²t¥cí mechanismypozdních nestabilit.

5.1 P·vod horkých Jupiter·Mezi prvními objevenými extrasolárními planetami bylo mnoho horkých Jupiter·, tj.planet s hmotností °ádov¥ srovnatelnou s Jupiterem, které v²ak obíhají v extrémn¥malých vzdálenostech od centrální hv¥zdy, °ádov¥ i 10−2 AU [53].21 P°irozen¥ protovyvstává otázka, jak pozorovanou skute£nost fyzikáln¥ interpretovat.

Jak jsme d°íve poznali, jediná planeta (hmotnosti Jupitera nebo v¥t²í)obklopená planetezimálním diskem migruje sm¥rem dovnit°, protoºe v¥t²inu pla-netezimál, se kterými interaguje, vypudí ven. Murray et al. [46] ukázali s uváºenímminimální hmotnosti planetezimálního disku (pevné sloºky Hayashiho minimálníhmotnosti mlhoviny, viz vztah 40), ºe migrace Jupiteru byla velmi tlumená a tatoplaneta se významn¥ nepohnula. Nicmén¥ dále ukázali, ºe pokud je hustota diskupodstatn¥ vy²²í (15- aº 200-krát), migrace m·ºe p°ejít do p°ekotného reºimu. Tam·ºe transportovat planetu sm¥rem dovnit°, do vzdáleností k centrální hv¥zd¥, kteréjsou srovnatelné s t¥mi, jeº pozorujeme v extrasolárních planetárních systémech.

Alternativní teorií, vysv¥tlující p·vod horkých Jupiter·, je t°ení t¥chto planeto plynný disk. Na konci kapitoly 2 bylo poznamenáno, ºe v hmotných planetezi-málních discích mohlo být spln¥no Jeansovo kritérium, takºe plynní ob°i zde mohlivzniknout p°ímou fragmentací zárode£ného oblaku.22 Interakce obíhající planetys plynným diskem má za následek zpomalování její ob¥ºné rychlosti, takºe se planta

21Pro srovnání, nejvnit°n¥j²í planeta slune£ní soustavy Merkur obíhá okolo Slunce ve st°ednívzdálenosti 0,378 AU.

22Jedná se tedy o jiný model, neº zde byl od po£átku popisovaný velká planeta se v diskuvyskytuje jiº v dob¥, kdy je v n¥m je²t¥ p°ítomen plyn!

45

po spirále p°ibliºuje k centrální hv¥zd¥. To je d·sledkem p°ítomnosti tlakovéhogradientu v plynu, který se projevuje tím, ºe na obíhající plyn p·sobí zrychlení−1/ρ · dP/dr = g, které mí°í proti sm¥ru gravitace. Tlakový gradient proto zp·-sobuje, ºe plyn obíhá pomaleji neº v n¥m vno°ená planeta, a proto mezi nimi docházíke t°ení, díky kterému se planeta postupn¥ po spirále p°ibliºuje k centrální hv¥zd¥.Plynný disk v²ak nesahá p°ímo k povrchu hv¥zdy mezi ním a hv¥zdou zeje mezera,na jejímº okraji se planeta zastaví.

Vznik mezery v disku si vysv¥tlujeme tím, ºe hv¥zda je zdrojem ultraalovéhozá°ení, které ionizuje okolní plyn. Disk v blízkém okolí hv¥zdy je proto tvo°en io-nizovaným plynem, zatímco ve v¥t²ích vzdálenostech se jiº nachází plyn neutrální.ástice ionizovaného plynu interagují s magnetickým polem hv¥zdy, které rotujespole£n¥ s ní. Na ionizovaný plyn proto p·sobí Lorenzova síla FL

∼= (~v − ~vm)× ~B,která je závislá na rozdílu ob¥ºné rychlosti £ástice v a rychlosti rotace magnetickéhopole vm. Mohou tedy nastat dva mezní p°ípady:1. Pokud je v > vm, je £ástice ionizovaného plynu magnetickým polem zpoma-

lována a po spirále padá ke hv¥zd¥. Tato situace nastává uvnit° korotující or-bity.

2. Pokud je v < vm, je £ástice magnetickým polem urychlována a materiál jez oblasti, kde platí uvedená podmínka, transportován dále od hv¥zdy.

Výsledkem popsaného mechanismu je mezera, která se vytvo°í mezi plynným diskema centrální hv¥zdou. Planeta, která se díky t°ení o plyn spirálovit¥ p°ibliºuje kehv¥zd¥, se proto na okraji této mezery zastaví a dále obíhá p°ibliºn¥ kruhovourychlostí.

5.2 Migrace v dvouplanetárních systémechDvouplanetární systémy jsou zajímavé i proto, ºe mají mnoho charakteristikspole£ných se systémy s v¥t²ím po£tem planet. V sérii simulací [58] byla simulovánamigrace dvou planet na sou£asných drahách Jupiteru a Saturnu v disku sahajícímod 6 do 20 AU, obsahujícím hmotu o celkové hmotnosti 1,2-násobku sou£tu hmot-ností planet. Ve v²ech takových p°ípadech dojde k nucené migraci. Pokud majíJupiter a Saturn své sou£asné hmotnosti, Jupiter migruje sm¥rem dovnit° a Saturnsm¥rem ven (£erné k°ivky na obr. 11a), obdobn¥ jako v p°ípad¥ £ty° planet. V uve-dených simulacích byla sledována závislost migrace na celkové hmotnosti planetMJ + MS. Zvý²ení hmotnosti disku a planet na 3-násobek, respektive 10-násobekm¥lo za následek vývoj popsaný modrou, resp. £ervenou k°ivkou na obrázku 11a.

46

Obrázek 11: asový vývoj velkých poloos ob°ích planet p°i simulaci migrace v dvoupla-netárním systému. A) migrace Jupiteru a Saturnu v disku rozkládajícím se ve vzdálenostiod 6 do 20 AU v závislosti na hmotnosti disku a planet. erná k°ivka znázor¬uje simulacis hmotnostmi ekvivalentními Jupiteru a Saturnu, £ervená a modrá k°ivka popisuje vývoj,kdy byla hmotnost disku i planet trojnásobn¥, respektive desetinásobn¥, vy²²í. B) Simulaces konstantní celkovou hmotností planet, ale s r·zným hmotnostním pom¥rem planet. er-vená, alová, zelená, oranºová a hn¥dá k°ivka odpovídají simulacím s pom¥rem hmotnostívnit°ní a vn¥j²í planety 10:3, 2:1, 3:2, 1:1 a 1:2. P°evzato z [40].

Tato chování jsou si vzájemn¥ podobná, jediný podstatný rozdíl je v £asové ²kálemigrace. Vysv¥tlením takového chování je, ºe pro hmotn¥j²í planety nastávají díkyv¥t²ímu gravita£nímu ú£innému pr·°ezu £ast¥ji blízká p°iblíºení planet a planetezi-mál, coº zp·sobuje rychlej²í migraci planet.

V druhé sérii simulací byla celková hmotnost planet konstantní (trojnásobekhmotnosti Jupiteru a Saturnu), ale m¥nil se jejich pom¥r. Výsledky t¥chto simulacíukazuje obrázek 11b. Pro hmotnostní pom¥r MJ/MS > 2 vn¥j²í planeta vºdy mi-gruje sm¥rem ven, nicmén¥ pro MJ/MS < 2 se vnit°ní planeta stává mén¥ efektivnív odstra¬ování £ástic k°íºících dráhu vn¥j²í planety a vn¥j²í planeta má tendencije více vypuzovat. Proto po krátkém £ase migrace sm¥rem ven za£ne vn¥j²í planetamigrovat sm¥rem dovnit°. Dále poznamenejme, ºe alespo¬ pro podmínky, které bylystudovány, migrace vn¥j²í planety sm¥rem dovnit° je rychlej²í neº u vnit°ní planety.Tyto výsledky nazna£ují, ºe planetezimální migrace m·ºe vést k rezonancím mezidv¥ma ob°ími planetami, jak je pozorováno v mnoha extrasolárních planetárníchsystémech [53]. To také m·ºe p°ivést planetární systém do nestabilní kongurace.

47

5.3 Vypuzení planety daleko od mate°ské hv¥zdyVe v¥t²in¥ protoplanetárních disk· m·ºeme pozorovat útvary, jako jsou mezery, zvl-n¥ní, asymetrické shluky £i spirálovité vlny, které jsou zpravidla p°ipisovány p°í-tomnosti obíhajících planet. Nap°íklad Wyatt [63] ukázal, ºe útvary v disku okoloVegy mohly vzniknout gravita£ním p·sobením planety o hmotnosti Neptunu, kteráze vzdálenosti 40 AU od centrální hv¥zdy migrovala aº do vzdálenosti 65 AU zadobu 56 My. Wyatt et al. [65] také p°edstavili model disku pozorovaného u hv¥zdyη Crv s planetou o hmotnosti Neptunu, která se za 25 My vzdálila z 80 na 105 AU.Také útvary v discích u hv¥zd β Pic a ε Eri byly modelovány s pomocí p°ítomnostiplanet ve vzdálenosti n¥kolika desítek AU od centrální hv¥zdy. Spirálovité útvaryv disku u hv¥zdy HD141569 jsou spojovány s p°ítomností planety o hmotnosti 0,22hmotnosti Jupitera, obíhající dokonce ve vzdálenosti 250 AU a planety o hmotnostiSaturnu ve vzdálenosti 150 AU [64]. Tyto modely volají po vysv¥tlení, jak mohouplanety migrovat tak daleko od centrální hv¥zdy do oblastí, ve kterých rozhodn¥nemohla prob¥hnout akrece.

Jiº jsme poznali, ºe pokud by se v na²em planetárním systému nacházel hmotnýplanetezimální disk, sahající aº do vzdálenosti 50 AU, Neptun by velice rychle za£alp°ekotn¥ migrovat aº na okraj tohoto disku. Obrázek 12 ukazuje vývoj dráhy Nep-tunu ve stejném disku, který byl roz²í°en aº do 200 AU s radiálním prolem plo²néhustoty úm¥rným 1/r. Neptun zde dosahuje heliocentrické vzdálenosti vy²²í neº 110AU, ale aniº by dosáhl okraje disku, vrací se zp¥t. Tato náhlá zm¥na v pr·b¥hu mi-grace nastává proto, ºe planeta migruje natolik rychle, ºe £asová ²kála pro blízká p°i-blíºení planety s planetezimálami je srovnatelná, nebo dokonce del²í neº pro vlastnímigraci planety skrz oblast planetezimál. Takºe v sou°adnicové soustav¥ spojenés planetou v¥t²ina £ástic jednodu²e driftuje sm¥rem dovnit° a ponechává si p°ibliºn¥konstantní excentricitu. Celkový výsledek je, ºe hodnota k, charakterizující v rovnici(48) rychlost zm¥ny momentu hybnosti, se s £asem postupn¥ sniºuje.

Planeta neodpovídá na redukci k postupným sniºováním rychlosti své migrace,protoºe se sou£asn¥ zvy²uje mnoºství hmoty v oblasti pro²lé planetou (M v rovnici(48), a to rychleji neº se sniºuje hodnota k. To má za následek, ºe se velikost daP

dt

nesniºuje s £asem. Nicmén¥ pokud k = 0, daP

dtse stává nulovým a migrace se náhle

zastaví. Kdyº k tomu dojde, planeta se nachází v nestabilní situaci. Jestliºe gravi-ta£ní p·sobení planetezimál excitovaného disku ve vnit°ní £ásti sm¥rem od planetymírn¥ p°evládne nad p·sobením £ástic z vn¥j²ího disku, planeta za£ne p°ekotn¥migrovat zp¥t sm¥rem dovnit°. Takový scéná° migrace je bohuºel z°ejm¥ moºný

48

Obrázek 12: Vývoj dráhy Neptunu v planetezimálním disku o polom¥ru 200 AU s radiál-ním prolem plo²né hustoty úm¥rným 1/r. P°evzato z [17].

pouze pro planety st°edních hmotností, jako je nap°íklad Neptun. Podobný pohybpro planetu hmotnosti Jupiteru by vyºadoval p°íli² vysokou hmotnost planetezimál-ního disku, coº není realistické. Záv¥rem tedy je, ºe pro migraci planet do velkýchvzdáleností od centrální hv¥zdy jsou £asto pot°eba velmi rozlehlé disky.

5.4 Pozdní nestabilityModel z Nice raného vývoje slune£ní soustavy ukazuje, ºe gravita£ní nestabilitymohou hrát ve vývoji planetárních soustav významnou roli. Dal²í d·kazy p°icházejíz oblastí mimo slune£ní soustavu. Mnoho známých extrasolárních planet obíhá povelmi excentrických drahách. Bylo ukázáno, ºe nejp°irozen¥j²í vysv¥tlení tohoto jevusouvisí s rychlou zm¥nou parametr· planetárních drah (nap°. [39], [44]).

Pro£ se planetární systémy stávají nestabilními? Neexistuje ºádný fyzikálníd·vod v procesu tvorby a vývoje planet, který by zaru£il, ºe bude systém stabilnív dlouhém £asovém m¥°ítku. Planetární systémy tedy mohou p°etrvávat i stovkymilion· let a poté se stanou nestabilními [39]. Je moºné, ºe gravita£ní interakcemezi planetami a dostate£n¥ hmotnými populacemi malých t¥les mohou vést plane-tární systém k nestabilním konguracím. (Existence planetezimál p°itom m·ºe býtzcela p°irozená na konci fáze plynného disku se planetezimály nacházejí jen na

49

drahách s vy²²í dynamickou ºivotností, neº je £as pot°ebný k rozpadu mlhoviny).Události jako pozdní silné bombardování nemusí být pravidlem, ale lze je mnohdyv multiplanetárních systémech o£ekávat.

Skute£n¥, pozorování disk· u hv¥zd hlavní posloupnosti spektrálního typuA a G Spitzerovým dalekohledem odhalila n¥které systémy o stá°í 100 My aº 3 Gys neo£ekávan¥ vysokým tokem v infra£ervené £ásti spektra, coº nazna£uje p°ítom-nost velkého mnoºství cirkumstelárního prachu [51], [32]. U hv¥zd spektrálního typuA byly pozorovány systémy se stá°ím n¥kolika málo 100 My, které na vlnové délce 24mikrometr· vykazovaly p°ebytek zá°ení oproti normálním hv¥zdám typu A. Odtudlze odhadnout teplotu prachového disku v rozmezí od 75 do 175 K. V okolí hv¥zdspektrální t°ídy A m·ºeme takovou rovnováºnou teplotu o£ekávat ve vzdálenosti od10 do 60 AU.

Ozna£íme-li bolometrickou svítivost hv¥zdy LS a bolometrickou svítivost diskuLD, odpovídá pozorovaná odchylka pom¥ru LD/LS °ádu 10−4. Minimální hmotnostprachu pot°ebná k takové emisi je v °ádu 1020 kg, coº odpovídá jednomu rozpadlémut¥lesu o pr·m¥ru n¥kolika stovek kilometr·.

Podobn¥ u hv¥zd podobných Slunci bylo objeveno více neº 15 % systému sestá°ím aº miliardu let s IR anomálií na vlnové délce 70 mikrometr·, coº odpovídáp°ibliºn¥ teplotám 4075 K a polom¥ru od 20 do 50 AU, podobn¥ jako u Kuiperovapásu. Poznamenejme, ºe minimální hmotnost prachu, pot°ebná ke vzniku výrazn¥j²íanomálie p°i niº²ích teplotách a na v¥t²ích vlnových délkách u hv¥zd podobnýchSlunci, je typicky 10−3 aº 10−2ME, tedy o dva °ády více neº u hv¥zd spektrálníhotypu A. Pro disk o velikosti Kuiperova pásu by bylo zapot°ebí k vytvo°ení takovéhomnoºství prachu v kolizní rovnováze planetezimál o celkové hmotnosti 310 ME.

Takovýto pás v²ak pravd¥podobn¥ není poz·statkem hmotn¥j²ího planetezimál-ního disku. Bu¤ se jedná o systém, ve kterém prob¥hly nedávné kolize t¥les o hmot-nosti M¥síce, nebo se zde s v¥t²í pravd¥podobností objevily nestability v pozdníchfázích, jako tomu bylo v na²í slune£ní soustav¥ v období pozdního t¥ºkého bombar-dování.

50

6 Simulace migrace planetP°esné informace o po£áte£ních fázích vzniku a vývoje slune£ní soustavy nelzezískat zp¥tnou integrací pohybových rovnic, nebo´ se jedná o ljapounovsky nesta-bilní chaotický a £asov¥ ireverzibilní systém, jehoº £asový vývoj je extrémn¥ citlivýna nastavení po£áte£ních podmínek. Pro modelování primordiálních fází planetár-ního systému je proto zapot°ebí provést n¥kolik sad simulací jeho vývoje s r·znýmihodnotami po£áte£ních parametr·, porovnat je s pozorovanými charakteristikamislune£ní soustavy, a na výsledná data nahlíºet statisticky.

6.1 Symplektické integrátoryP°i studiu problém· nebeské mechaniky jsou ²iroce vyuºívány symplektické integrá-tory numerická schémata, pomocí kterých je hamiltonovský systém aproximovánp°i zachování jeho základní symplektické struktury, tj. nap°íklad zachování st°edníhodnoty integrálu energie. Symplektické integrátory mají oproti jiným algoritm·mdv¥ hlavní výhody. Zaprvé nevykazují dlouhodobý nár·st chyby celkové energie sys-tému a zadruhé je moºno výpo£et pohybu kaºdého objektu okolo centrálního t¥lesaurychlit vhodným rozd¥lením hamiltoniánu na dv¥ £ásti.

Nejuºívan¥j²ími jsou symplektické integrátory druhého °ádu, nebo´ se snadnoimplementují a spokojíme-li se pr·m¥rnou p°esností, je pr·b¥h integrace velmirychlý. Pro dosaºení p°esn¥j²ích výsledk· je t°eba vyuºít metod £tvrtého a vy²²ího°ádu, coº je samoz°ejm¥ £asov¥ náro£n¥j²í, nebo´ jeden krok se skládá z ²esticedíl£ích subkrok·, zatímco metoda druhého °ádu vyºaduje pouze dva subkroky najeden krok. Tuto nevýhodu lze obejít pouºitím symplektických integrátor· pseudo-vy²²ího °ádu, které umoº¬ují zmen²it po£et subkrok· tím, ºe jsou n¥které £lenyvy²²ích °ád· zanedbávány. Výsledky takových integrací jsou p°i znatelném zvý²enírychlosti výpo£tu (desítky aº stovky procent) srovnatelné s pouºitím pravých in-tegrátor· vy²²ích (4, 6) °ád· [9].

Základem symplektických integrátor· pro N£ásticový model jsou Hamiltonovyrovnice

dqi

dt=

∂H

∂pi

,dpi

dt= −∂H

dqi

, (57)

kde qi jsou zobecn¥né sou°adnice, pi kanonicky sdruºené impulzy a H ozna£ujehamiltonián systému (celkovou energii), p°i£emº £asový vývoj jakékoli dynamickéveli£iny f(~q, ~p, t) m·ºeme vyjád°it jako

51

df

dt=

3N∑

i=1

(∂f

∂qi

∂H

∂pi

− ∂f

∂pi

∂H

∂qi

)≡ f, H ≡ Ff, (58)

kde jsme F ozna£ili operátor Poissonových závorek s hamiltoniánem. Formálním°e²ením (58) a následným Taylorovým rozvojem dostaneme

f(t) = exp(τF )f (t− τ) =

(1 + τF +

τ 2F 2

2+ ...

)f (t− τ) , (59)

coº nám ze staré hodnoty f v £ase (t − τ) umoº¬uje vypo£ítat novou hodnotu f

v £ase t.Nyní p°edpokládejme, ºe hamiltonián lze n¥jakým zp·sobem rozd¥lit na dva

£leny HA a HB: H = HA + HB. Dále se budeme zabývat vývojem sou°adnic qi, £ilizmi¬ovaná funkce f je velmi jednoduchá: f = qi. Vztah pro f pak p°echází na tvar:

qi(t) = exp [τ (A + B)] qi (t− τ) , (60)

kde A a B jsou diferenciální operátory vztahující se k HA a HB stejn¥ jako F k H.Vyuºijme platnosti Baker-Campbell-Hausdorova vztahu pro operátory τA

a τB:exp(τA) · exp(τB) = exp(τC), (61)

kde τC je dáno vztahem

τC = τA + τB +1

2[τA, τB] +

1

12[τA, τA, τB] +

1

12[τB, τB, τA] + .... (62)

Pokud se totiº pokusíme zap·sobit na q postupn¥ ob¥ma operátory τA a τB,dostáváme

exp (τA) . exp (τB) q (t− τ) =

= exp

[τ(A + B) +

τ 2

2[A,B] + ...

]q (t− τ)

.= q(t), (63)

coº je, vezmeme-li v úvahu pouze první °ád v τ , pravá strana rovnice (60). Vztah(63), tedy p°ibliºn¥ popisuje £asový vývoj sou°adnic a reprezentuje integrátor 1.°ádu. Kaºdý krok integrace je sloºen ze dvou sub-krok· exp(τA) a exp(τB), coº nacelý krok dává chybu °ádu τ 2. Jinak °e£eno, daný integrátor by p°esn¥ °e²il takovýproblém, jehoº hamiltonián je:

52

Hint = H +τ

2HB, HA+ O

(τ 2

). (64)

Za p°edpokladu, ºe je τ dostate£n¥ malé a HB, HA omezené, z·stává energiemodelového sytému p°i integraci vºdy velmi blízká reálnému systému, popsanémuhamiltoniánem H.

Integrátory vy²²ích °ád· dostaneme libovolnou kombinací exponeciálních ope-rátor·, která bude ekvivalentní rovnici (60) aº do daného °ádu τ , tj. nap°íklad:

P2 = exp(

τ

2B

)exp (τA) · exp

(τ

2B

)q (t− τ) =

= exp

[τ(A + B) +

τ 3

12[A,A, B]− τ 3

24[B,B,A] + ...

]q (t− τ) (65)

Dosud nebylo ov²em °e£eno, jakým zp·sobem je moºno hamiltonián H rozd¥lit.Konstrukce symplektických integrátor· pseudo-vy²²ích °ád· je zaloºena na faktu, ºelze celkový hamiltonán rozd¥lit nap°íklad dle vztahu

H = HA + εHB, (66)

kde ε ¿ 1. Pro konkrétní p°ípad integrace systému N t¥les obíhajících okolo cen-trálního t¥lesa je první £ástí HA keplerovský hamiltonián pohybu t¥les okolo cen-trálního t¥lesa, druhou £ástí pak εHB hamiltonián vzájemných interakcí v²ech t¥less výjimkou centrálního. Pravá strana vztahu (65) pak p°echází do tvaru

P2 = exp

[τ(A + εB) +

ετ 3

12[A,A, B]− ε2τ 3

24[B, B, A] + ...

]q (t− τ) (67)

Vidíme, ºe chybové £leny °ádu τ 3 se li²í ve faktoru ε. Podobn¥ bychom prointegrátor £tvrtého °ádu dostali

P4 = exp(

τεB

2c

)· exp

(τA

c

)· exp

(τεB(1− k)

2c

)· exp

(−τkA

c

)·

· exp

(τεB(1− k)

2c

)· exp

(τA

c

)· exp

(τεB

2c

)(68)

a

P4 = exp[τF + O

(ετ 5

)+ O

(ε2τ 5

)+ O

(ε3τ 5

)+ O

(ε4τ 5

)]q (t− τ) , (69)

53

kde k = 21/3 a c = 2− k.P°i konstrukci sostikovan¥j²ích forem symplektických integrátor· se vyuºívá

práv¥ té skute£nosti, ºe n¥které chybové £leny jsou v·£i ostatním velmi malé a lzeje zanedbat. P°i konstrukci p°esných integrátor· je v²ak t°eba po£ítat se závislostíchybových £len· jak na τ , tak na ε.

Symplektický integrátor implementovaný v balíku SWIFT [6] po£ítá ke-plerovský pohyb po elipsách dle HA analyticky (s vyuºitím numerického °e²eníKeplerovy rovnice) této fázi se v algoritmu °íká drift. V p°ípad¥ interak£níhohamiltoniánu εHB je pouºito dal²í aproximace násobení hamiltoniánu δfunkcív £ase. Jinými slovy: v diskrétních £asových krocích se numericky spo£ítají pertur-bace rychlostí, zp·sobné interakcí s ostatními planetami. Tato fáze je v algoritmuozna£ována jako kick.

6.2 Limity pouºití integrátor·V¥t²ina informací, jeº poskytuje model z Nice, je zaloºena na výsledcích simulacísymplektických integrátor·, a je proto p°irozené poloºit otázku, jak provedené si-mulace odpovídají realit¥ a jaké jsou jejich limity.

Aby bylo simulace v·bec moºno provést, je i p°es vyuºití nejmodern¥j²ívýpo£etní techniky stále nutno zavád¥t ur£itá zjednodu²ení. P°edev²ím je nutnovýznamn¥ omezit po£et £ástic v disku obvykle je k simulacím vyuºíváno 103104

£ástic stejné hmotnosti, které interagují s velkými t¥lesy (planetami), ale neinter-agují spolu navzájem. Tento zp·sob zjednodu²ení modelu disku p°iná²í t°i hlavníomezení:

6.2.1 Hmotnost testovacích £ástic

Typická hodnota hmotnosti £ástice uvaºovaného disku vychází v rozmezí 0,0050,1ME, v závislosti na zvolené hmotnosti disku a po£tu jeho £ástic. P°estoºe v reál-ném primordiálním disku nelze vylou£it p°ítomnost t¥les o hmotnosti M¥síce (0,01ME), nebo dokonce Marsu (0,1 ME), je velice pravd¥podobné, ºe v takových t¥lesechbude obsaºena jen velmi malá £ást hmotnosti celého disku, takºe hmotnosti £ásticv pouºitém modelu jsou zcela nerealistické. A protoºe setkání s t¥lesy velké hmot-nosti vede ke stochastické migraci, m·ºe pouºití takovéhoto zjednodu²ení vyústitve zkreslení pr·b¥hu a výsledku migrace. Tyto stochastické d¥je ovliv¬ují záchytyt¥les v rezonancích a jejich následná uvoln¥ní, takºe velikost t¥les má ve skute£nostivliv jak na st°ední rychlost migrace, tak na strukturu disku. Navíc stochastické os-

54

cilace hlavní poloosy planety podporují její migraci tam, kde by ve skute£nosti jiºbyla migrace tlumena. P°i vý²e popsaných simulacích byly nalezeny p°ípady, kdybyla migrace Neptunu v disku s 10 000 £ásticemi o hmotnosti 4045 ME rychleutlumena, zatímco v disku o stejné hmotnosti, sloºeném z pouze 1 000 £ástic, bylanaopak urychlována.

Z tohoto d·vodu je dobré v p°ípad¥, ºe v disku pozorujeme n¥jaký zajímavýdynamický jev, ov¥°it, zda se tento jev uplatní i v p°ípad¥ disku s v¥t²ím po£tem£ástic o men²í hmotnosti, nebo s £ásticemi o nulové hmotnosti, a s rychlostí migraceplanet analyticky p°edepsanou. Pokud daný jev p°etrvá, je s velkou pravd¥podob-ností reálný. Naopak, pokud zmizí, je t°eba na n¥j nahlíºet p°inejmen²ím s jistoudávkou skepse.

6.2.2 Vylou£ení gravita£ní interakce mezi £ásticemi disku

Pouºité modely nezahrnují interakce mezi £ásticemi disku. Toto zjednodu²ení m·ºebýt zdrojem dal²ích dvou potenciálních problém·. Jednak jsou výsledné rychlostiprecese drah £ástic nesprávné, a proto jsou chybné i polohy sekulárních rezonancí.Tomuto problému se bez zapo£tení vzájemných interakcí £ástic disku prakticky nelzevyhnout, opa£ný postup v²ak enormn¥ prodluºuje dobu výpo£tu. V p°ípad¥, ºe jen¥jaký fenomén úzce spjat s ur£itými sekulárními rezonancemi, pak m·ºe být jehointerpretace z uvedeného d·vodu mylná.

Druhým d·sledkem nezapo£ítání vzájemné interakce mezi £ásticemi je fakt, ºeje-li disk v n¥jakém míst¥ dynamicky excitován, nap°íklad rezonancí, pak se tatoexcitace ne²í°í diskem jako vlna, tak jako by tomu bylo v p°ípad¥ modelu, jenº bysprávn¥ modeloval kolektivní chování £ástic [66]. Díky tomu, ºe pouºité modely toto²í°ení postrádaly, nejsou excitace v míst¥ svého vzniku tlumeny. Na druhou stranuje vlnové ²í°ení uskute£nitelné pouze za p°edpokladu, ºe je dynamická excitace diskuvelmi malá (e < 0, 01, i < 0, 3, viz [23]).

Kaºdopádn¥ se nezdá být pravd¥podobné, ºe by tento problém m¥l zásadnívliv na popis planetární migrace, nebo´ hlavní hybnou silou migrace popisovanévý²e jsou relativn¥ blízká p°iblíºení mezi planetami a £ásticemi disku. Na druhoustranu m·ºe mít popsaná skute£nost sekundární vliv, nebo´ kolektivní vlastnostimohou zp·sobit zm¥nu stavu £ástic, které vstupují do oblasti, v níº dochází k jejichinterakci s planetou.

55

6.2.3 Vylou£ení sráºek mezi £ásticemi disku

Dal²ím omezením pouºitých integrátor· byla absence sráºkové interakce mezi £ás-ticemi disku. Neelastické sráºky do jisté míry tlumí dynamickou excitaci disku, mírajejich vlivu je v²ak funkcí mnoha parametr·, mezi jinými sloupcové hustoty disku,jeho dynamické teploty a velikosti jednotlivých £ástic disku. Na moºný význam to-hoto procesu upozornili Goldreich et al. [15], kdyº studovali p°ípad, ve kterém jesráºkové tlumení tak efektivní, ºe dokáºe prakticky okamºit¥ utlumit kaºdou dy-namickou excitaci. Takový efekt mohl mít znatelný vliv na proces formování planeta patrn¥ i na podobu planetární migrace. Nicmén¥ rozd¥lení velikosti £ástic v disku,které by bylo pot°ebné pro tento p°ípad, je zna£n¥ extrémní prakticky v²echnyplanetezimály by musely mít pr·m¥r okolo 1 cm a p°irozen¥ vystává otázka, zdatakový scéná° rozd¥lení velikosti £ástic je reálný, tj. zda disk s takovými vlastnos-tmi mohl být p°irozeným produktem vývoje primordiálního planetárního systému,a pokud ano, zda se tato jeho vlastnost uplat¬ovala po dostate£n¥ dlouhou dobup°ed tím, neº se vyvinula do dal²ího stadia (bu¤ vytvo°ením v¥t²ích t¥les, neborozm¥ln¥ním na prach). Existence t¥les v hlavním pásu planetek i v Kuiperov¥ pásuv²ak ukazuje, ºe alespo¬ v dob¥, kdy vznikly planety, m¥ly planetezimály r·znévelikosti, od malých zrnek aº k t¥les·m velikosti Ceresu nebo Pluta.

Aby bylo rozhodnuto, zda mají sráºky mezi £ásticemi podstatný vliv naplanetární migraci, bylo sestaveno n¥kolik sráºkových model· a provedeny simu-lace s takovým rozd¥lením, které preferovalo £ástice st°ední velikosti. Leinhardta Richardson [35] ukázali, ºe p°ekotný r·st planetárních embryí se sráºkami je prak-ticky nerozli²itelný od simulací, ve kterých nebyly brány sráºky v úvahu. Charnoza Morbidelli [10] ov¥°ili, ºe kolizní vývoj disku s realistickým rozd¥lením velikostí£ástic je jen mírný a týká se jen malé £ásti t¥les mezi drahami Jupiteru a Saturnu.Studiem rozptylu planetezimál t¥lesem o hmotnosti Jupiteru se, se zapo£tením vlivuvzájemných sráºek, zabývali také Charnoz a Brahic [11]. Tyto simulace ukázaly, ºezanedbání vlivu sráºek nemá z°ejm¥ znatelný vliv na dynamiku systému a následn¥na proces migrace. P°estoºe tedy kolektivní chování £ástic a jejich vzájemné sráºkyalespo¬ v ur£itých fázích vývoje systému hrají ur£itou roli, jejich vliv na pr·b¥hmigrace je z°ejm¥ moºno zanedbat.

Záv¥rem lze tedy °íci, ºe výsledky simulací, na jejichº základ¥ byl sestavenmodel z Nice, snad dob°e popisují realitu a ºe zanedbané jevy mají pouze druho°adývýznam. Ov²em ke studiu díl£ích fenomén·, které nám model planetární migracep°edestírá, bude nutno vyuºít jak sostikovan¥j²ích forem symplektických integrá-

56

tor·, tak zvý²ení po£tu £ástic disku, coº v²ak v sou£asné dob¥ klade p°íli² vysoképoºadavky na výpo£etní výkon.

6.3 Simulace konkrétních d¥j· v pozdním období formováníslune£ní soustavy

K simulaci dynamických d¥j·, které probíhaly v raných obdobích vývoje slune£nísoustavy a které byly popsány vý²e, bylo pouºito dvou symplektických integrátor·:MERCURY [7] a SWIFT (upravená verze, [6])23

Program MERCURY je p°íkladem N£ásticového integrátoru, ve kterém jezahrnuto jak gravita£ní p·sobení planet na testovací £ástice (planetezimály), taki gravita£ní p·sobení testovacích £ástic na planety. Zanedbáno je pouze vzájemnégravita£ní p·sobení mezi planetezimálami.

Naproti tomu program SWIFT je p°íkladem integrátoru, ve kterém je projevgravita£ního p·sobení planetezimál na planety (tj. planetární migrace) p°edepsánanalyticky. Na planetu zde p·sobí disipativní zrychlení

~a = kmige(t−t0)/τ ~v

|~v| , (70)

kde konstantakmig = −1

τ

(√GM¯

af

−√

GM¯ai

). (71)

Integra£ní schéma integrátoru SWIFT tedy po£ítá pouze gravita£ní p·sobení planetna testovací £ástice, migrace je p°edepisována zadanými po£áte£ními a koncovýmihodnotami velikosti velké poloosy ai a af a £asovou ²kálou migrace τ . Uvedenéodli²nosti uvedených integrátor· zárove¬ vymezují oblast jejich pouºití, jak je doku-mentováno dále.

Provedeny byly celkem t°i simulace, ozna£ené dále jako M1, SP, SH, ve kterýchbyla sledována migrace vn¥j²ích planet (zejména planety Neptun) do oblasti diskuplanetezimál, spolu s d¥ji, které ji doprovázejí. Dále byl simulován proces rozpadupopulace t¥les nacházejících se v oblasti rezonance 3:2 s Jupiterem24 p°i jeho pr·-chodu rezonancí 2:1 se Saturnem.

23Programy byly zkompilovány 64-bitovou verzí p°eklada£e Intel Fortran na platform¥ LinuxOpenSuse v. 10.3. K simulacím byl vyuºit po£íta£ s dvoujádrovým procesorem architektury IntelPentium IV Dual Core o taktu 3,4 GHz.

24V této oblasti dnes pozorujeme skupinu planetek ozna£ovaných jako skupinu Hilda. Jednáse o p°ibliºn¥ 1000 t¥les s velkou poloosou dráhy od 3,7 do 4,2 AU, obíhajících v·£i ekliptice sesklonem do 20 a s maximální excentricitou 0,07.

57

6.4 Simulace N-£ásticovým integrátorem MERCURYV simulaci ozna£ené jako M1 byl programem MERCURY simulován vývoj plane-tárního systému, jehoº po£áte£ní (index i) a kone£nou (index f) konguraci spolus dnes pozorovanými hodnotami (ozna£ení indexem o, [31]) uvádí tabulka 2.

Tabulka 2: Po£áte£ní a koncové podmínky simulace M1 v oskula£ních elementech.ai [AU] af [AU] ao [AU ei ef eo ii [] if [] io

Jupiter 5,21 4,95 5,20 0,002 0,003 0,049 0 0,08 1,30Saturn 8,07 8,86 9,55 0,005 0,02 0,054 0 0,35 2,49Uran 12,40 17,28 19,19 0,007 0,03 0,047 0 1,17 0,77

Neptun 17,64 29,10 30,06 0,008 0,005 0,009 0 1,33 1,77

Ve studované soustav¥ se na po£átku simulace nacházely dva systémy testo-vacích £ástic:1. Systém ozna£ovaný dále jako M1.H obsahoval celkem 1 000 t¥les, která se na

po£átku simulace pohybovala v blízkosti oblasti vnit°ní rezonance s Jupiterem3:2. Jednalo se o t¥lesa s hlavní poloosou dráhy v rozmezí (3,894,02) AU,s excentricitami (0,030,35) a sklonem dráhy (0,320). Testovací £ástice to-hoto systému m¥ly nulovou hmotnost, tj. byly zanebány jak jejich vzájemnégravita£ní interakce tak gravita£ní interakce £ástice planeta.

2. Systém ozna£ený jako M1.P tvo°ilo 1 000 t¥les, obíhajících po drahách s hlavnípoloosou 18,530 AU, excentricitou do 0, 001 a sklonem do 0, 001. Celkováhmotnost t¥les v systému M1.P £inila 50 ME.25 Tento systém reprezentovalt¥lesa primordiálního disku, která díky velké vzdálenosti od Slunce jiº nepro²ladal²ím akre£ním vývojem (viz kap. 3.1).

Po£áte£ní stav studované soustavy ukazuje obrázek 13, kde jsou t¥lesa vyobrazenav rovin¥ XY, tj. p°i pohledu shora, a obrázek 14, kde je soustava vyobrazenav rovin¥ XZ (pohled zboku). Obrázek 14 dokumetuje, ºe narozdíl od systému M1.Hbyl disk M1.P dynamicky chladný sklony drah (a také excentricity t¥les) bylyzpo£átku velmi malé.

Dal²í £asový vývoj sytému ukazují obrázky 1519. Obrázek 15 ukazuje systémpo 300 000 letech relativn¥ klidného vývoje. V tomto období nedocházelo mezi pla-

25Hmotnost disku byla v této simulaci nadhodnocena, podle sou£asných poznatk· [59] £inilajeho hmotnost p°ibliºn¥ 35 ME . Disk také nebyl tak dynamicky chladný, jak bylo v simulaci M1uvaºováno.

58

netami k rezonancím st°edních pohyb· a jejich velké poloosy se m¥nily jen pozvolnadíky gravita£ní interakci s diskem planetezimál.

Zcela jinou situaci ukazuje obrázek 16, kde je systém zachycen v okamºiku800 000 let od po£átku simulace. P°edtím, v £ase 637 000 let od po£átku simulace,do²lo k pr·chodu Jupiteru a Saturnu rezonancí ob¥ºných dob 2:1. Obrázek 16 tedyukazuje, jak se planety dynamicky zah°ály (tj. do²lo ke zvý²ení jejich excentricit,sklon·, a tedy i vzájemných rychlostí).

Obrázek 17 dokumentuje stav systému po 1,1 Myr od po£átku simulace, kdyzmín¥ný pr·chod Jupiteru a Saturnu rezonancí 2:1 zp·sobil výrazný úbytek t¥lesv sytému M1.H. Po£et t¥les systému M1.H v závislosti na £ase znázor¬uje téº obrázek21, na kterém je patrný strmý úbytek t¥les v okamºiku uvedené rezonance. Z°etelnédynamické oteplení disku v dob¥ po pr·chodu Jupiteru a Saturnu rezonancí 2:1 takédob°e dokumentuje obrázek 18. Ten zachycuje systém ve stá°í 1,1 Myr p°i pohleduv rovin¥ XZ. Z porovnání s obrázkem 14 vyplývá výrazný nár·st sklonu drah.

Obrázek 13: t = 0. Pohled v rovin¥ XYukazuje systémy M1.P (vn¥j²í prstenec),M1.H (vnit°ní prstenec) a dráhy planet.

Obrázek 14: t = 0, pohled v rovin¥ XZ.Pro zvýrazn¥ní prolu disku byla zvolenarozdílná m¥°ítka na osách X a Z.

Obrázek 19 zachycuje systém po 20 Myr simulace, kde je znatelný po£átekrozpadu systému M1.P, zp·sobený migrací Neptunu do vzdálenosti p°ibliºn¥ 28 AUa jeho rychlým vno°ením do disku planetezimál v období od 3 do 5 Myr. T¥lesasystému M1.H jiº nejsou v soustav¥ p°ítomna. Kone£ný stav systému ve stá°í 100Myr ukazuje obrázek 20, který dokumentuje úplný rozpad obou systém· testovacích£ástic. Zde je namíst¥ poznamenat, ºe v reálném p°ípad¥ se v obdobných systémechve slune£ní soustav¥ nacházelo o n¥kolik °ád· v¥t²í mnoºství £ástic, a úplný rozpadobou testovacích systém· v simulacích proto sám o sob¥ nevylu£uje moºnost, ºen¥která t¥lesa, jeº se zde p·vodn¥ nacházela, mohla v t¥chto oblastech setrvat.

59

Obrázek 15: t =0,3 Myr. Obrázek 16: t =0,8 Myr.

Obrázek 17: t =1,1 Myr. Obrázek 18: t =1,1 Myr, pohled XZ.

Dynamický oh°ev disku, který zp·sobil jeho postupnou erozi a vyústil v celkovýrozpad na konci simulace, je patrný z grafu pr·b¥hu st°ední excentricity t¥les diskuv závislosti na £ase (obrázek 22). Po£áte£ní strmý nár·st st°ední excentricity z hod-noty 0,03 na 0,16 b¥hem prvních 500 kyr, zp·sobený gravita£ní interakcí t¥les testo-vaných systém· s planetami na po£átku migrace, je vyst°ídán stejn¥ strmým pokle-sem k hodnot¥ 0,1 v £ase 1 Myr. Tento pokles je zp·soben úbytkem26 t¥les s vysokouexcentricitou, která byla ze systému vypuzena b¥hem pr·chodu Jupiteru a Saturnurezonancí ob¥ºných dob 2:1. Dal²í rychlý nár·st st°ední excentricity t¥les je zp·-soben rychlým vno°ením migrujícího Neptunu do disku planetezimál (M1.P). Vestá°í 10 Myr se nár·st stává pozvoln¥j²ím a maximální st°ední excentricity 0,36dosahuje systém ve stá°í 23 Myr. Poté dochází k dal²ímu, tentokrát pomalému, po-klesu excentricit, který je op¥t zp·soben úbytkem t¥les, pohybujících se po vysocevýst°edných drahách. Od £asu t = 50 Myr je moºno st°ední excentricitu t¥les disku

26V simulacích není nadále po£ítáno s t¥lesy, jejichº pericentrum je men²í neº polom¥r Slunce.Z d·vody úspory po£etního výkonu nejsou také nadále uvaºována t¥lesa, u kterých velikost velképoloosy p°esáhne 1 000 AU. V reálném p°ípad¥ se samoz°ejm¥ nejedná o úbytek t¥les.

60

Obrázek 19: t =20 Myr. Obrázek 20: t =100 Myr, konec simulace.

Obrázek 21: Po£et £ástic systému M1.Hv závislosti na £ase.

Obrázek 22: asový vývoj st°ední excen-tricity £ástic systému M1.

povaºovat díky jeho stabilizaci (vypuzení t¥les na excentrických drahách) za p°ib-liºn¥ konstantní.

Vizualizace disku (obrázky 1320) sice dokumentuje £asový vývoj vzhledu sys-tému, ale pro jeho lep²í kvalitativní popis je vhodn¥j²í pouºít grafu závislosti velképoloosy a t¥les na £ase. Takový graf ukazuje obrázek 23, ze kterého je dob°e patrné,kdy docházelo k migraci jednotlivých planet. K nejvýrazn¥j²í zm¥n¥ do²lo u velképoloosy planety Neptun, který shodou okolností migroval z po£áte£ní vzdálenosti 18AU do vzdálenosti 29 AU, tedy p°ibliºn¥ do vzdálenosti, v níº se dnes tato planetanachází. Nejrychlej²í nár·st velké poloosy Neptunu nastal ve chvíli, kdy se planetadíky pomalé migraci, zp·sobené gravita£ní interakcí s t¥lesy systému M1.P, dostalak okraji tohoto disku a rychle se do n¥j vno°ila. Nejrychlej²í fáze migrace tedy £asov¥koresponduje s obdobím, kdy se v okolí planety pohybuje velké mnoºství hmotných£ástic.

V souladu s migrací Neptunu probíhala i migrace planety Uran. Ta totiº do £asup°ibliºn¥ 3 Myr migrovala jen velmi pozvolna a zrychlení její migrace nastalo aº ve

61

Obrázek 23: asový vývoj velikosti velké poloosy planet a £ástic systém· M1.P a M1.H.

chvíli, kdy k ní bylo prost°ednictvím Neptunu transportováno v¥t²í mnoºství £ásticz disku. V období, kdy byly £ástice z Uranova okolí ze systému vypuzeny (v £ase 10Myr), se migrace planety zastavila.

Na rozdíl od Uranu a Neptunu byla migrace Saturnu, respektive Jupiteru jenvelmi málo výrazná (+0,5 AU, respektive 0,2 AU), a to jednak díky vy²²í hmot-nosti planet, jednak z d·vodu nedostatku £ástic v okolí jejich ob¥ºných drah. K nej-výrazn¥j²í zm¥n¥ ve velikosti jejich velkých poloos do²lo díky pr·chodu rezonancíob¥ºných dob 2:1 v období 700 kyr po za£átku simulace. Tato rezonance také desta-bilizovala do té doby stabilní oblasti rezonance 3:2 MMR s Jupiterem a zp·sobilavelice rychlý rozpad populace M1.H. K tomu do²lo do 2 Myr po pr·chodu rezonancí.

Graf £asové závislosti velké poloosy a(t) oproti £asové vizualizaci disku lépedokumentuje, kam zmizela v¥t²ina £ástic disku byla rozptýlena na dráhys hlavními poloosami výrazn¥ v¥t²ími neº 70 AU.

Rozbor £asového vývoje hlavních poloos t¥les systému v²ak sám o sob¥ pro jehopopis nesta£í, nebo´ nevypovídá nic o sklonech ob¥ºných drah t¥les (planet), a ze-

62

jména o jejich excentricitách. Kup°íkladu vysoká výst°ednost drah planet by mohlaznamenat moºnost takového vzájemného p°iblíºení, které by vyústilo v destabi-lizaci celého planetárního sytému, zakon£eného nap°íklad únikem n¥které planety.Obrázky 24 a 25 v²ak ukazují, ºe sklony a excentricity ob¥ºných drah planet nevy-bo£ují z parametr· dne²ní slune£ní soustavy (viz téº tabulka 2). Poznamenejme,ºe práv¥ zvý²ení sklonu ob¥ºných drah z hodnot blízkých 0 na sou£asné hodnotyje jedním z d·kaz· o perturbaci drah planet interakcí s planetezimálním diskem.Obrázek 25 ukazuje £asový vývoj excentricit planet. Dob°e patrný je r·st excen-tricity Jupiteru a Saturnu v okamºiku pr·chodu rezonancí 2:1, stejn¥ jako nár·stexcentricit Uranu a Neptunu v pr·b¥hu migrace. Graf také ukazuje dynamické tlu-mení excentricit, zp·sobené interakcí s t¥lesy disku. Tento jev byl jedním z hlavníchproces·, které zformovaly parametry t¥les slune£ní soustavy do dne²ních hodnot (jakbylo popsáno v kapitole 4.6).

Obrázek 24: asový vývoj sklonu drahplanet v simulaci M1.

Obrázek 25: asový vývoj excentricitdrah planet v simulaci M1.

Pro kvalitativní popis evoluce drah planet v raných obdobích vývoje slune£nísoustavy se také £asto vyuºívá grafu znázor¬ujícího nejen £asový pr·b¥h zm¥n velképoloosy planety a, ale také vývoj jejího pericentra q a apocentra Q. Poslední dv¥jmenované veli£iny totiº zárove¬ udávají excentricitu ob¥ºné dráhy e:

e =Q− q

Q + q. (72)

Takový graf ukazuje obrázek 26. Velká poloosa dráhy kaºdé planety je zde znázorn¥na£erven¥, pericentrum je vyzna£eno zelenou a apocentrum modrou barvou.

Z grafu je dob°e patrná p°ekotná fáze migrace Neptunu v období od 3 do 5 Myr,b¥hem níº do²lo také ke zvý²ení jeho excentricity. V této fázi migrace navíc planetyUran a Neptun pro²ly v £ase t = 3,3 Myr rezonancí ob¥ºných dob 2:1, coº se pro-

63

Obrázek 26: Vývoj velkých poloos, pericentra a apocentra planet v simulaci M1.

jevilo zvý²ením excentricity obou planet a skokovou zm¥nou jejich velkých poloos.Je moºné, ºe práv¥ tato událost urychlila erozi planetezimálního disku Neptunema urychlila proces vno°ení této planety do disku.

Z°etelné jsou dále d·sledky rezonancí, jimiº pro²ly planety Jupiter a Saturn,zejména 2:1 MMR v £ase 0,7 Myr. Ta zp·sobila skokovou zm¥nu velké poloosy draht¥chto planet a nár·st jejich excentricit, coº je, s ohledem na pom¥r hmotností obouplanet, patrné zejména u Saturnu.

Gravita£ní interakcí Saturnu s planetezimálami v²ak do²lo k postupnému tlu-mení jeho excentricity a cirkularizaci jeho dráhy. Naopak, proces tlumení excentricitynení patrný u Uranu v £ase od 40 Myr. Jedná se o následek skute£nosti, ºe drtiváv¥t²ina t¥les byla jiº ze systému vypuzena, takºe nem·ºe docházet k jejich interakcis planetou a k následné cirkularizaci její dráhy. Planeta Uran proto m¥la na koncisimulace ze v²ech planet nejvy²²í excentricitu 0,025.

Vývoj dráhy planety Uran nakonec poznamenaly dal²í rezonance ob¥ºné dobys planetou Saturn, konkrétn¥ 2:1 MMR, ke které do²lo v £ase 13,2 Myr od po£átkusimulace a dále slab²í rezonance 3. °ádu 5:2 MMR, ke které do²lo v £ase 6,6 Myr.

64

6.4.1 Zachycení t¥les v rezonancích s Neptunem

P°estoºe rychlé vno°ení planety Neptun do planetezimálního disku m¥lo za následekjeho rozpad, do²lo v pr·b¥hu simulace k zachycení n¥kolika t¥les na drahách blízkýchrezonancím s Neptunem 2:3 a 1:2 MMR, tedy v oblasti, kde se vyskytují t¥lesadne²ního Kuiperova pásu. Protoºe existence t¥chto t¥les je velmi pravd¥podobn¥p°ímým d·sledkem evoluce drah planet v pozdních fázích formování slune£ní sous-tavy, lze porovnáním sou£asných parametr· t¥les Kuiperova pásu a parametr·, jakémají testovací £ástice po ukon£ení simulací s r·znými po£áte£ními podmínkami,odhadnout pravd¥podobný vývoj drah vn¥j²ích planet v tomto období. Na obrázku27 vidíme graf závislosti excentricity t¥les na velké poloose dráhy ve vzdálenosti2855 AU. K°íºky jsou vyzna£eny polohy t¥les na konci simulace v £ase 100 Myr,te£ky ukazují polohy £ástic za poslední 1 Myr simulace.

Z obrázku (27) je patrné, ºe v oblasti rezonance 1:2 s Neptunem bylo zachycenon¥kolik t¥les, zatímco k zachycení t¥les v rezonanci 2:3 nedo²lo. Naopak jedna £ásticebyla zachycena v rezonanci 1:1 MMR a stala se Neptunovým Trojanem. Z polohyt¥les v·£i £ervené k°ivce vyzna£ující hranici, na níº je pericentrum planetky shodnés velkou poloosou Neptunu, je patrná p°ítomnost protek£ního mechanismu, udrºu-jícího t¥lesa v rezonan£ní oblasti p°esto, ºe se jejich dráha zdánliv¥ k°íºí s drahouNeptunu. Na obrázku 28 vidíme graf po£tu t¥les, která se nacházela v oblasti re-zonance s Neptunem 2:3 MMR, v závislosti na £ase. Je zde patrný strmý úbytek,který odpovídá období p°ekotné migrace Neptunu.

6.4.2 Rozpad populace v rezonanci 3:2 s Jupiterem

V první £ásti kapitoly 6.4 byl zmi¬ován celkový rozpad populace t¥les systému M1.H,tj. t¥les, která se nacházela v oblasti reznonace st°edních pohyb· 3:2 s Jupiterem.Obrázek 29 ukazuje vývoj velkých poloos planet a planetezimál (u planet téº peri-center a apocenter) v závislosti na £ase. Do £asu 637 000 let od po£átku simulacem·ºeme u planet pozorovat pozvolnou migraci (u Jupiteru sm¥rem ke Slunci, u Sat-urnu sm¥rem od Slunce), zp·sobenou interakcí s planetezimálami disku za drahouNeptunu (£ástice systému M1.H byly na rozdíl od systému M1.P nehmotné, je-jich gravita£ní p·sobení na planety nebylo v simulaci uvaºováno). V okamºiku pr·-chodu Jupiteru a Saturnu rezonancí 2:1 dochází k prudkému nár·stu excentricityobou planet, coº je dokumentováno nár·stem rozdílu vzdálenosti pericentra a apoc-entra. Pr·chod rezonancí je doprovázen zm¥nou stabilních oblastí v rezonanci 3:2s Jupiterem, rychlým rozptylem planetezimál a prudkým úbytkem jejich po£tu, viz

65

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

30 35 40 45 50 55

e

a [AU]

q=aN1:12:32:1

Obrázek 27: Závislost excentricity planetezimál za drahou Neptunu na velké poloose dráhy stav na konci simulace M1.

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100

poce

t

t [My]

Pocet castic v rezonanci 3:2

Obrázek 28: Po£et £ástic, které se v pr·b¥hu simulace M1 nacházely v oblasti rezonance2:3 MMR s Neptunem.

66

Obrázek 29: Simulace M1.H £asová závislost velké poloosy populace planetezimál v re-zonanci 3:2 s Jupiterem p°i jeho pr·chodu rezonancí 1:2 se Saturnem. U planet je téºznázorn¥na vzdálenost pericentra a apocentra.

téº obrázek 21. Op¥t poznamenejme, ºe sou£asný výskyt planetek skupiny Hildav oblasti rezonance 3:2 s Jupiterem není v rozporu s vývojem slune£ní soustavy,p°edpokládaným modelem z Nice, viz téº kapitola 4.7.

6.5 Simulace integrátorem SWIFT a porovnání výsledk·Po£áte£ní hodnoty velkých poloos drah planet, jejich excentricity a sklony drah(index i) spolu s koncovým stavem (index f) a porovnání s pozorovanými hodnotamioskula£ních element· (index o) pro simulaci S.P, p°i které byl simulován záchyt t¥lesv rezonan£ních oblastech za drahou Neptuna, uvádí tabulka 3.

P°ipome¬me, ºe kone£né hodnoty velikostí velkých poloos zde nejsou výsledkeminterakce planet s planetezimálami, nebo´ v²echny testovací £ástice m¥ly nulovouhmotnost. Migrace planet je u tohoto integrátoru d·sledkem p·sobení disipativního

67

Tabulka 3: Po£áte£ní a koncové podmínky simulace S1.P v oskula£ních elementech.ai [AU] af [AU] ao [AU ei ef eo ii [] if [] io

Jupiter 5,20 5,11 5,20 0,049 0,021 0,049 0,33 0,45 1,30Saturn 8,50 9,35 9,55 0,054 0,067 0,054 0,93 0,93 2,49Uran 18,20 18,37 19,19 0,047 0,080 0,047 1,03 1,03 0,77

Neptun 25,15 30,01 30,06 0,008 0,061 0,009 0,73 0,60 1,77

zrychlení dle vztahu (70).27asový vývoj velikostí hlavních poloos planet spolu s jejich pericentry a apocen-

try v simulaci S1.P ukazuje obrázek 30. Porovnání s grafem vývoje velkých poloosplanet v simulaci M1 (obrázek 26) ukazuje zásadní odli²nost ve vývoji drah planetUran a Neptun, coº je dáno rozdíly obou integrátor·. Dal²í odli²nosti vidíme vevývoji excentricity planet. Zatímco u simulace provedené integrátorem MERCURYse projevuje tlumení excentricit drah planet iterakcí s planetezimálami (alespo¬v dob¥, ve které jsou v systému planetezimály p°ítomny), u integrátoru SWIFT tototlumení chybí, coº je op¥t zp·sobeno tím, ºe planetezimály mají nulovou hmotnosta nemohou tedy excentricity planet tlumit.

Pomocí integrátoru SWIFT byly provedeny simulace obou d¥j· popsanýchv oddíle 6.4, tj.1. simulace rozpadu populace planetezimál v rezonanci 3:2 MMR s Jupiterem p°i

pr·chodu Jupiteru rezonancí 2:1 MMR se Saturnem,2. simulace záchytu t¥les v rezonanancích 1:1, 2:3 a 1:2 s Neptunem b¥hem jeho

migrace do disku planetezimál.Porovnejme nyní výsledky simulací provedených ob¥ma integrátory. Srovnáním

obrázk· 29 a 31 docházíme ke zji²t¥ní, ºe v p°ípad¥ rozpadu rezonan£ní populace3:2 s Jupiterem dávají oba modely kvalitativn¥ i kvantitativn¥ shodné výsledky.Odli²nosti m·ºeme op¥t pozorovat ve vývoji excentricit planet Jupiteru a Saturnu,které, nejsou v p°ípad¥ integrátoru SWIFT tlumeny.

Dobrou shodu obou simulací je moºno téº dokumentovat srovnáním obrázk· 21a 32. Strm¥j²í pokles po£tu £ástic v p°ípad¥ simulace rozpadu rezonan£ní populaceintegrátorem SWIFT je moºno vysv¥tlit rychlej²í migrací Jupiteru a Saturnu do

27Hodnoty charakteristické £asové ²kály migrace (τ ve vztazích (70) a (71)) byly získány pro-loºením £asového vývoje velkých poloos drah planet v simulaci M1 exponencielou. Uvaºovány bylypouze ty £ásti vývoje, ve kterých neprobíhala p°ekotná migrace a ve kterých nebyl pohyb planetovlin¥n pr·chodem rezonacemi.

68

Obrázek 30: asový vývoj velikosti velké poloosy planet b¥hem simulace S1 záchytut¥les v rezonancích s Neptunem.

oblasti jejich rezonance 1:2. Zatímco v p°ípad¥ simulace M1.H nastal tento pr·chodpo 0,67 Myr od po£átku simulace, v p°ípad¥ simulace S.H do²lo k pr·chodu Jupiterua Saturnu rezonancí 1:2 jiº v £ase 0,27 Myr od po£átku simulace. Tento £asový rozdílje dán pouze mírn¥ odli²ným nastavením po£áte£ních podmínek.

Kvalitativn¥ odli²né výsledky poskytují oba modely v p°ípad¥ simulace záchytut¥les planetezimálního disku do rezonancí s Neptunem, coº zjistíme porovnánímobrázk· 27 a 33. To je dáno p°edev²ím charakterem vývoje dráhy této planety.Ta byla v p°ípad¥ integrátoru MERCURY °ízena výhradn¥ interakcí s planetezi-málami, zatímco v p°ípad¥ integrátoru SWIFT byla migrace analyticky p°edep-sána. V £asovém vývoji dráhy Neptunu simulovaném integrátorem MERCURY jeproto moºno sledovat prudký nár·st velikosti velké poloosy, zp·sobený jeho inter-akcí s t¥lesy planetezimálního disku, do kterého se postupn¥ vno°il, coº jeho migracinadále urychlilo. V p°ípad¥ simulace integrátorem SWIFT byla ale p°edepsána pouzepozvolná zm¥na velké poloosy, odpovídající pozd¥j²í fázi migrace.

Dal²í rozdíl spo£ívá v po£áte£ním nastavení vlastností disku planetezimála v poloze rezonancí s Neptunem. Na obrázcích 34 a 35 vidíme grafy závislostíe(a) t¥les za drahou Neptunu. Vidíme, ºe v p°ípad¥ simulace M1.P byl zvolen dy-

69

Obrázek 31: Simulace S.H £asová závislost velké poloosy populace planetezimál v re-zonanci 3:2 s Jupiterem p°i jeho pr·chodu rezonancí 2:1 se Saturnem. U planet je téºznázorn¥na vzdálenost pericentra a apocentra.

0

200

400

600

800

1000

0 0.5 1 1.5 2

poce

t

t [My]

Pocet castic v rezonanci 3:2

Obrázek 32: Po£et t¥les v oblasti rezonance 3:2 s Jupiterem p°i jeho pr·chodu rezonancí2:1 se Saturnem simulace S.H.

70

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

30 35 40 45 50 55

e

a [AU]

q=aN1:12:32:1

Obrázek 33: Závislost excentricity planetezimál za drahou Neptunu na velké poloose dráhy stav na konci simulace S1.P.

namicky chladný disk, narozdíl od simulace S1.P, kde byla excentricita t¥les °ádov¥vy²²í, takºe n¥která jiº na po£átku simulace k°íºila dráhu Neptunu.

Pro výsledek simulace byla také podstatná poloha oblastí vn¥j²ích rezonancís Neptunem v·£i disku testovacích t¥les planetezimál. Pro výsledek simulací bylopodstatné, ºe v p°ípad¥ simulace M1.P se rezonance 2:1 nacházela uvnit° disku,zatímco v p°ípad¥ simulace S1.P leºela vn¥ disku.

Odli²né po£áte£ní podmínky a pr·b¥h migrace jsou patrné na po£tu t¥les,zachycených v rezonanci 3:2 s Neptunem. V p°ípad¥ simulace M1.P nastala u Nep-tunu p°ekotná fáze migrace, b¥hem které rezonance 3:2 rychle opustila disk, za-tímco v p°ípad¥ simulace S1.P se Neptun pohyboval jen pozvolna. Absence tlumeníNeptunovy excentricity v simulaci S1.P také zp·sobila, ºe oblasti rezonancí bylypodstatn¥ ²ir²í, coº vedlo spolu se zm¥nou polohy sekulárních rezonancí ke zm¥n¥vnit°ní struktury rezonance st°edního pohybu, v£etn¥ zm¥ny stabilních oblastí.28

Díky uvedeným rozdíl·m v pr·b¥hu simulovaných dynamických d¥j· je efek-tivita zachycení t¥les v rezonancích z°ejm¥ vy²²í v p°ípad¥ integrátoru SWIFT neº

28V místech p°ekryvu rezonancí totiº dochází k chaotické difuzi a p°ípadn¥ ke vzniku velko²kálovénestability.

71

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

18 20 22 24 26 28 30 32

e

a [AU]

q=aN1:12:32:1

Obrázek 34: Závislost e(a) t¥les za dra-hou Neptunu na po£átku simulace M1.P.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

25 30 35 40 45

e

a [AU]

q=aN1:12:32:1

Obrázek 35: Závislost e(a) t¥les za dra-hou Neptunu na po£átku simulace S1.P.

v p°ípad¥ integrátoru MERCURY.Záv¥rem lze °íci, ºe se poda°ilo numericky simulovat n¥které fáze vývoje slune£ní

soustavy, tj. migraci velkých planet a její vliv na populace malých t¥les. Simulacevystihují základní aspekty vývoje, pro zji²t¥ní efektivity zachycení ve vn¥j²ích re-zonancích v²ak nemají dostate£né rozli²ení (po£ty testovacích £ástic byly z d·vodusníºení nárok· na výpo£etní výkon malé).

72

7 Záv¥rV práci bylo ukázáno, ºe planety slune£ní soustavy vznikly postupnou akrecí pla-netezimál a planetárních embryí v protoplanetárním disku, v p°ípad¥ ob°ích planetdo²lo téº ke gravita£nímu kolapsu okolního plynu. Po akreci planet v²ak v systémuz·stalo velké mnoºství planetezimál, které obíhaly okolo Slunce a gravita£n¥ p·so-bily na planety, coº zp·sobovalo podstatné zm¥ny jejich velkých poloos migraci.

V sou£asnosti nejúsp¥²n¥j²í teorií, popisující tuto fázi, je model z Nice [59], kterýpostuluje existenci disku planetezimál za drahou Neptuna o celkové hmotnosti 3050 ME. Mezi d·kazy podporujícími tento model pat°í zejména pozorované vlastnostit¥les Kuiperov pásu a také po£et t¥les, která se nacházejí v oblastech rezonancís planetami.

V práci byly provedeny N£ásticové numerické integrace disku planetezimálsymplektickým integrátorem z balíku MERCURY, které simulovaly vlastní migracizp·sobenou dikem planetezimál. Zkoumána byla také moºnost zachycení t¥les v re-zonacích s Neptunem p°i jeho pr·chodu diskem planetezimál a stabilita populacet¥les ve vnit°ní rezonanci s Jupiterem p°i jeho pr·chodu rezonancí 2:1 se Saturnem.Ob¥ simulace potvrdily vývoj p°epokládaný v citovaných modelech.

Z provedených integrací dále vyplývá, ºe n¥které fáze orbitálního vývoje (nikolicelý vývoj) lze simulovat pomocí integrátoru SWIFT s analyticky p°edepsanou mi-grací. Jde nap°íklad o výpo£et destabilizace rezonan£ní populace Hild p°i pr·choduJupiteru a Saturnu rezonancí 2:1. Výhodou pouºití jednodu²²ího modelu je moºnostpodstatného zvý²ení po£tu testovacích £ástic, protoºe je moºné s£ítat £ástice z vícesimulací se shodn¥ p°edepsanou migrací, b¥ºících paraleln¥ na více procesorech. Tobude p°edm¥tem dal²í práce.

73

Reference[1] Allen R. L., Bernstein G. M., Malhotra R., 2001. Astron. J., 124, 2949-2954.[2] Bernstein G. M., Trilling D. E., Allen R. L., Brown M. E., Holman M., Malhotra R., 2004.

Astron. J., 128, 1364-1390.[3] Bertotti B., Farinella, R., Vokrouhlický, D., 2003. Physics of the solar system. Dordrecht:

Kluwer Academic Publishers.[4] Borderies N., Goldreich P., 1984. Celestial Mechanics, 32, 127-136.[5] Broº, M., 2004, Pov¥tro¬, 12, 5, 4.[6] Broº, M., 2008. http://sirrah.troja.m.cuni.cz/yarko-site/[7] Chambers, J. E., 1999. MNRAS, 304, 793[8] Chambers, J. E., 2009. Annu. Rev. Earth Planet. Sci., 37, 321-344.[9] Chambers, J. E., Murison, M. A., 2000. Astron. J., 119, 425-433.

[10] Charnoz, S., Morbidelli, A., 2003. Icarus, 166, 141-156.[11] Charnoz, S., Brahic, A., 2003. Astron. Astrophys., 375, L31-L34.[12] Duncan, M. J., Levison, H. F., Budd, S. M., 1995. Astron. J., 110, 3073-3081.[13] Fernandez, J. A., Ip, W. H.,1984. Icarus, 103,67-92.[14] Fernandez, J. A.; Ip, W. H.,1984. Icarus, 58, 109-120.[15] Goldreich, P., Lithwick, Y., Sari, R., 2004. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 42, 549-601.[16] Gomes, R. S., Morbidelli A., Levison H.F., 2004. Icarus, 170, 492-507.[17] Gomes, R., Levison, H. F., Tsiganis K., Morbidelli, A., 2005. Nature, 435, 466-469.[18] Gomes, R. S., 1998. Astron. J., 116, 2590-2597.[19] Gomes R. S., 2003. Icarus, 161, 404-418.[20] Greenberg, R., Botthe, W. F., Carusi, A., Valsecchi, G.B., 1991. Icarus, 94, 98-111.[21] Guillot, T., 1999. Science, 286, 72-77.[22] Hahn, J. M., Malhotra, R., 2005. Astron. J., 130, 2392-2414.[23] Hahn, J. M., 2003. Astron. J., 595, 531-549.[24] Hamilton, P.D., Burns, J.A., 1992. Icarus, 96, 4364.[25] Hartmann, W. K., Ryder, G., Dones, L., Grinspoon, D., 2000. in Origin of the earth and

moon, 493-512. University of Arizona Press, Tucson.[26] Hayashi, C., 1981. Prog. Theor. Phys. Suppl., 70, 35-53.[27] Henrard, J., Morbidelli, A., 1993. Phys. D, 68, 187-200.[28] Hillenbrand, L. A., 2004. Origins 2002 proceedings, C. E. Woodward, E. P. Smith.[29] Hollenbach, D., Adams, F. C., 2004. Debris Disks and the Formation of Planets, 168. Astro-

nomical Society of the Pacic, San Francisco.[30] Ida, S., Bryden, G., Lin, D. N. C., Tanaka, H., 2000. Astrophys. J., 534, 428-445.[31] JPL Solar System Dynamics. http://ssd.jpl.nasa.gov[32] Kim, J. S., Hines, D. C., Backman, D. E., Hillenbrand, L. A., Meyer, M. R., 2005. Astrophys.

J., 632, 659.[33] Kenyon, S. J., Luu, J. X., 1998. Astron. J., 115, 2136-2160.[34] Kenyon, S. J., Luu, J. X., 1999. Astron. J., 118, 1101-1119.[35] Leinhardt, Z. M., Richardson, D. C., 2005. Astrophys. J., 625, 427-440.[36] Levison, H. F., Duncan, M. J., 1994. Icarus, 108, 18.

74

[37] Levison, H. F., Morbidelli, A., Dones, L., 2004. Astron. J., 128, 2553-2563.[38] Levison, H. F., Morbidelli, A., 2003. Nature, 426, 419-421.[39] Levison, H. F., Stewart, G. R., 2001. Icarus, 153, 224-228.[40] Levison, H. F., Morbidelli, A., Gomes, R., Backman, D., 2007. in Protostars and Planets V,

University of Arizona Press.[41] Malhotra, R., 1993. Nature, 365, 819.[42] Malhotra, R., 1995. Astron. J., 11O, 1, 420-429.[43] Miscenko, T. A., Beauge, C., Roig, F., 2001. Astron. J., 122, 3485-3491.[44] Moorhead, A. V., Adams, F. C., 2005. Icarus, 178, 517-539.[45] Morbidelli, A., Levison, H. F., Tsiganis, K., Gomes, R., 2005. Nature, 435, 462-465.[46] Murray, N., Hansen, B., Holman, M., Tremaine, S., 1998. Science, 279, 69.[47] Murray-Clay, R. A., Chiang, E. I., 2005. Astrophys. J., 619, 623-638.[48] Papaloizou, J. C. B., Terquem, C., 2006. Rep. Prog. Phys., 69, 119-180.[49] Petit, J. M.; Henon, M., 1986. Icarus, 66, 536-55.[50] Rakov, R. R., 2003. Astron J., 125, 922-941.[51] Rieke, G. H., Su, K. Y. L., Stansberry, J. A., Trilling, D., Bryden, G., Muzerolle, J., White,

B., Gorlova, N., Young, E. T., Beichman, C. A., Stapelfeldt, K. R., Hines, D. C., 2005.Astrophys. J., 620, 1010-1026.

[52] Safronov, V. S., 1972. NASA TTF, 667, 206.[53] Schneider, J., 2009. Extra solar planets encyclopaedia, http://exoplanet.eu/[54] Stern, S. A., 1996. Astron. J., 112, 1203-1211.[55] Stone, J. M., Ostriker, E. C., Gammie, C. F., 1998. Astrophys. J., 508, L99-L102.[56] Thommes, E. W., Duncan, M. J., Levison, H. F., 2003. Icarus 161, 431-455.[57] Thommes, E. W., 2001. PhD thesis, Queen's University at Kingston.[58] Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H. F., 2005. Nature, 435, 459-461.[59] Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H. F., 2005. Nature, 435, 459-461.[60] Thommes, E. W., Duncan, M. J., Levison, H. F., 1999. Nature, 402, 635-638.[61] Tegler, S. C., Romanischin, W., 2003. Icarus, 161, 181-191.[62] Valsecchi, A., Manara, G. B., 1997. Astron. Astrophys., 323, 986-998.[63] Wyatt, M. C., 2003. Astrophys. J., 598, 1321-1340.[64] Wyatt, M. C., 2005. Astron. Astrophys., 440, 937-948.[65] Wyatt, M. C., Greaves, J. S., Dent, W. R. F., Coulson I. M., 2005. Astrophys. J., 620, 492-500.[66] Ward, W. R., Hahn, J. M., 2003. Astron. J., 125, 3389-3397.[67] Williams, J. P., Blitz, L., McKee, C. F., 2000. in Protostars and Planets IV: 97, Tucson:

University of Arizona Press.[68] Weidenschilling, S. J., 2003. Icarus 165, 438-442.[69] Youdin, A. N., Shu, F. H., 2002. Astrophys. J., 580, 494-505.

75