�ESKÉ VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická

BAKALÁRSKA PRÁCA

2008 Lukáš Ka�uch

- 1 -

�ESKÉ VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická

Katedra m��ení

Modelovanie turbulencie a vplyvu vetra na letadlo

Modelling of the Turbulence and Wind Influence on an Aircraft

Vedoucí práce Autor Ing. Michal Reinštein Lukáš Ka�uch

Praha 2008

- 2 -

Prehlásenie

Prehlasujem, že som svoju bakalársku prácu vypracoval samostatne a použil som iba podklady (literatúru, projekty, SW at�.) uvedené v priloženom zozname. Nemám závažný dôvod proti užitiu tohoto školného diela v zmyslu § 60 Zákona �.121/2000 Sb., o práve autorskom, o právach súvisiacích s právom autorským a o zmene niektorých zákonov (autorský zákon).

V Praze d�a ………………………. ……………………………………. podpis

- 3 -

Obsah 1. Úvod............................................................................................................................10

2. Fyzikálny popis modelu turbulencie...........................................................................12

2.1 Prúdenie ................................................................................................................13

2.2 Význam Reynoldsového �ísla...............................................................................14

2.3 Fyzikálne modely turbulencií ...............................................................................15

2.3.1 Jednoduchý model turbulencie ......................................................................16

2.3.2 Boussinesqov model ......................................................................................16

2.3.3 Prandtltov model............................................................................................16

2.3.4 Modely viskozity ...........................................................................................17

2.3.4.1 Algebraické modely................................................................................17

2.3.4.2 Jednorovnicové modely ..........................................................................17

2.3.4.3 Dvojrovnicové modely ...........................................................................18

2.3.4.4 Model s Reynoldsovými napätiami ........................................................18

3. Aerospace Toolbox .....................................................................................................20

3.1 Horizontal Wind Model .......................................................................................21

3.2 Discrete Wind Gust Model ...................................................................................21

3.3 Wind Shear Model ................................................................................................22

3.4 Dryden Wind Turbulence Model (Discrete) .........................................................22

3.4.1 Malá výška (výška < 304,8m)........................................................................25

3.4.2 Stredná/ vysoká výška (Výška >609,6m) .....................................................26

3.4.3 Medzi malou a ve�kou výškou (304,8m < výška > 609,6 ) ...........................26

3.4.4 Parametry Drydenova modelu turbulencie ....................................................26

3.4.5 Vstupy a výstupy ...........................................................................................32

3.4.6 DCM – direction cosine matrix .....................................................................32

3.4.7 Dôvera a obmedzenia.....................................................................................33

4. Kalmanov filter ...........................................................................................................34

4.1 Spôsoby aplikácie Kalmanovho Filtru.................................................................35

4.2 Algoritmus Kalmanovho filtra..............................................................................35

4.2.1 Predikcia stavového vektora ..........................................................................36

4.2.2 Predikcia kovarian�nej matice .......................................................................36

4.2.3 Výpo�et matice zosilnenia (váhovej matice) .................................................37

4.2.4 Aktualizácia odhadnutého stavového vektora ...............................................37

- 4 -

5. Výpo�tová náro�nos..................................................................................................38

5.1 �asová zložitos....................................................................................................38

5.2 Pamäová zložitos ...............................................................................................39

6. Praktické použitie Kalmanova filtru ...........................................................................39

6.1 Princíp realizácie Kalmanova filtru ......................................................................40

6.1.1 Výpo�et prenosov jednotlivých zložiek turbulencie......................................41

6.1.2 Diskretizácia prenosov...................................................................................42

6.1.3 Na�ítanie a spustenie hodnôt zo simulinku....................................................42

6.1.4 Vykreslenie grafov.........................................................................................43

6.2 Pamäová a �asová náro�nost modelov................................................................43

6.3 Aplikácia Kalmanovho filtru na model turbulencie .............................................44

6.3.1 Diskretizácia……………………………………………………………...... 45

6.3.2 Meranie…………………………………………………………………...... 46

6.3.3 Implementácia Kalmanovho filtru..................................................................47

7. Záver........................................................................................................................... 53

8. Použitá literatúra .........................................................................................................55

9. Prílohy.........................................................................................................................56

- 5 -

Zoznam obrázkov

Obr. 2.1 Kaskádny proces disipácie .............................................................................. 12

Obr. 2.2 Zmena prúdenia z laminárneho na turbulentné ............................................... 14

Obr. 2.3 Zobrazenie �astí krídla lietadla........................................................................ 14

Obr. 2.4 Modely turbulencie s �asovo strednou hodnotou a fluktua�nou zložkou ........ 16

Obr. 2.5 Obtiekanie krídla prúdom vzduchu .................................................................. 19

Obr. 3.3 Pomer rýchlosti vetra a džky vplyvu vetra na lietadlo .................................... 21

Obr. 3.4.1 Drydenovo okno turbulencie ......................................................................... 27

Obr. 3.4.2 Mierky intenzity turbulencií........................................................................... 29

Ob . 3.4.3 Princíp tvarovacieho filtru............................................................................. 30

Obr. 3.4.4 Zobrazenie polohy telesa.............................................................................. 32

Obr. 3.4.5 DCM - zmena súradníc.................................................................................. 33

Obr. 6.1 Vývojový diagram funkcií realizovaných v prost�edí Matlab/Simulink ........... 40

Obr. 6.2 Výpo�et prenosov turbulencie pod�a vst. parametroch................................... 41

Obr. 6.2 Simulinková schéma zapojenia diskrétneho stavového popisu turbulencie ..... 42

Obr. 6.4 Diskrétny systém turbulencie: stavový popis (hore), model zo Simulinku (dole)

........................................................................................................................................ 46

Obr. 6.5 Diskrétny systém po meraní so šumom............................................................ 47

Obr. 6.6 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre u- zložku

........................................................................................................................................ 48

Obr. 6.7 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre v- zložku

........................................................................................................................................ 48

Obr. 6.8 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre w- zložku

........................................................................................................................................ 49

Obr. 6.9 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s ružovým šumom a odhad pre w- zložku

........................................................................................................................................ 50

Obr. 6.10 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s �erveným (hnedým) šumom a odhad

pre w- zložku ................................................................................................................... 50

Obr. 6.11 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre u- zložku..... 51

Obr. 6.12 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre v- zložku..... 52

Obr. 6.13 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre w- zložku .... 52

- 6 -

Zoznam tabuliek

Tab. 2.1 Typické hodnoty Reynoldsového �ísla:............................................................. 15

Tab. 3.1 Tabu�ka spektier funkcií Drydenovho diskrétneho modelu:............................. 23

Tab. 3.2 Odchýlky turbulentných uhlových rýchlostí ..................................................... 24

Tab. 3.3 Vertikálne a prie�ne uhlové rychlosti ............................................................... 24

Tab. 3.4 Tabu�ka spektier funkcií Drydenovho diskrétneho modelu:............................. 25

Tab. 3.5 Tabu�ka na výpo�et džky turbulencie pre malú výšku ..................................... 25

Tab. 3.6 Tabu�ka na výpo�et džky turbulencie pre ve�kú/strednú výšku ....................... 26

Tab. 3.7 Tabu�ka používaných jednotiek pre Drydenov turbulentný model................... 27

Tab. 3.8 Tabu�ka druhov turbulencií v spojitom a diskrétnom �ase pre Simulink ........ 28

Tab. 4.1 Ilustrácia �asovej zložitosti, predpoklad, že vykonanie jednej operácie trvá

jednu mikrosekundu:....................................................................................................... 38

Tab. 4.2 Ilustrácia pamä�ovej zložitosti ......................................................................... 39

Tab. 6.1 Ilustrácia pamä�ovej zložitosti pre Von Karmanov model ............................... 43

Tab. 6.2 Pam��ová a �asová náro�nos� modelov........................................................... 44

Tab. 6.3 Tabu�ka použitých šumov a ich spektier........................................................... 49

- 7 -

Po�akovanie

Ako prvé by som chcel po�akova svojmu vedúcemu bakalárskej práce Ing. Michalovi

Reinšteinovi za aktívny a zhovievavý prístup a za ochotu pomôc a poradi. Ako �alšie

by som chcel po�akova svojím známym, ktorý mi pomohli zohna potrebnú literatúru

- 8 -

a štúdijné materiály a napokon svojej rodine za morálnu podporu a povzbudivé slovo.

- 9 -

Abstrakt :

Cie�om tejto bakalárskej práce je vypracova rešerše a následne porovnanie v dnešnej

dobe najviac používané modely turbulencie a vplyvu vetra na lietadlo. Bakalárska práca

sa zameriava na výpo�etnú náro�nos, numerickú stabilitu, presnos a vierohodnos

jednotlivých diskrétnych modelov. Závery sú overované v prostredí Matlab7.0 a jeho

rozhrania Simulink, kde je pre zvolené modely turbulencií navrhnutý Kalmanov filter za

ú�elom odhadu rýchlosti turbulencie. Modely sú implementováné vo formáte

tvarovacích filtrov.

Abstract:

The goal of this Bachelor Thesis is disposing omnibus volume and consequently

comparing the mostly used models of the turbulence and wind influence on the aircraft.

Bachelor Thesis is concentred for computational severity, numerical stability, precision

audreliability and veracity of separately discret models. Findings are verified in

program Matlab 7.0 enviroment and its implement of Simulink, where is suggested

Kalman filtering for select model of turbulence in order to presumption velocity of

turbulence. Models are implemented in format of the shaping filtrs.

- 10 -

1. Úvod

V dnešnej dobe sa meranie využíva sná� v každej �innosti nášho života, �i už si

to všimneme alebo nie. Táto práca je zameraná na modelovanie turbulencií a vplyvu

vetra na lietadlo. �o sa týka turbulencie, ako fyzikálneho popisu, existuje ešte ve�a

otáznikov a ve�a popisov, ktoré nesp��ajú všetky kritériam, existujú ale popisy, ktoré sa

týmto kritériam dos približujú.

V druhej kapitole je vysvetlená fyzikálna podstata turbulencií, prúdenia tekutín a

význam Reynoldsového �ísla pri zmene vlastností prúdenia. Navyše kapitola obsahuje

jednotlivé fyzikálne modely turbulencií a ich stru�ný popis.

V tretej kapitole je popísaná nadstavbová knihovna Aerospace Toolbox pre

Matlab7.0/Simulink. Obsahuje modely vplyvu vetra na lietadlo a Drydenov turbulentný

model, ktorý dokáže nasimulova turbulencie. Toolbox obsahuje aj iné modely, ale sú

popísané v spojitom �ase, �o je pre našu aplikáciu implementovanú na po�íta�i

s procesorom problém, preto je nutná diskretizácia.

Štvrtá kapitola sa zaoberá teoretickým popisom a algoritmom Kalmanovho

filtru. Práca sa sústredí na stru�né vysvetlenie fungovania algoritmu, jeho hlavných

vlastností a spôsob aplikácie Kalmanovho filtru v praktických použitiach.

V piatej kapitola je venovaná výpo�etnej náro�nosti. Zaoberá sa jej �asovou aj

pamäovou náro�nosou a rozoberá jednotlivé prípady a princíp výpo�tu oboch

zložitosti.

V šiesta kapitola je zameraná na konkrétne praktické použitie, je v nej zobrazená

štruktúra prípravy matíc (diskretizácia, simulinkové schéma) a samotná aplikácia na

konkrétnom Drydenovom diskrétnom modely turbulencie. V tejto �asti je možne

pozorova taktiež grafy, výsledky a porovnania jednotlivých modelov.

Simulácia turbulencií je v podstate matematický aparát, ktorý dokáže popisova

chaoti�nos systému, ktorá je ve�mi závislá na vstupných podmienkach, pri�om aj malá

zm�na vstupných podmienok môže spôsobi ve�ké variácie v �alšom priebehu. Tento

jav sa stal vo svete známy pod pojmom „motýlí efekt“, ktorý hovorí, že aj mavnutie

krídla motý�a v Japonsku môže spôsobi hurikán v Amerike[1]. Fyzici tvrdia, že

turbulencia a chaos sú takmer synonymá. Sú�asná veda dospela ku konštrukcií modelov

celého vesmíru a dokáže sa pozrie do neviditelného sveta subnukleárnych �astíc, ale

jav turbulencie dostato�ne stále uspokojivo popísa nedokáže. Je to najbežnejší jav

- 11 -

v prírode, �i už u morského prílivu, ktorý naráža na útes, bublajúcej vode v horskom

potoku, ktorá naráža na kamene alebo aj u oby�ejného prúdu vzduchu, ktorý naráža

�ubovo�né teleso. Práve prúd vzduchu je pre využitie asi najpodstatnejší, ke�že

automobilová a letecká technika sa rúti vpred ve�kou rýchlosou a stále je �o zlepšova.

Aerodynamika je pre toto odvetvie nepostrádate�nou sú�asou, ktorej pochopenie

prinesie v priemysle ve�a, �i už v rýchlosti prepravy alebo v stabilite pohybujúcich sa

telies.

Výsledky tejto práce budú použité pri tvorbe matematického modelu pre

jednotku inerciálnej navigácie, postavenej na novom koncepte vyhodnocovania údajov

z akcelorometra. Navrhnuté tvarovacie filtre budú použité pomocou Kalmanovho filtru

k odhadu vplyvu turbulencie, ktorá sa premietne do výstupného signálu

z akcelorometru.

- 12 -

2. Fyzikálny popis modelu turbulencie

Turbulencia je charakterizovaná nepredvídate�ným pohybom tekutiny (plynu). K�ú�om

k tomuto chaotickému chovaniu je citlivos k po�iato�ným podmienkam, t.j. malé

zmeny po�iato�ných podmienok vyvolávajú ve�ké a nepredvídate�né zmeny v

dlhodobom vývoji systému. To znamená, že výpo�ty dlhodobého chovania sú silne

ovplyv�ované malými chybami a neur�itosami.

Teda ako experimentálne, tak i po�etne sa taký systém popisuje ako chaotický a

neregulárny, a iba v štatistickom zmysle sa dá dosiahnu opakovate�nosti. Navyše

informácie o priestorových štruktúrach je ažké získa laboratórne, pretože taký

experiment vyžaduje meranie na nieko�kých meracích miestach a v rôznych �asoch.

Turbulentné prúdenie sa skladá z priestorových štruktúr tzv. eddies t.j. turbulentné víry

rôznych ve�kostí. Ve�ké víry sa rozpadávajú na menšie a tie disipáciou uvo��ujú teplo.

Tento kaskádny proces je na Obr. 2.1.

Obr. 2.1 Kaskádny proces disipácie

Existujú metódy priamej numerickej simulácie turbulencie, ale aj tie vychádzajú

z ur�itej fyzikálnej predstavy, ktorá môže by �asom obmenená. Modelovanie

turbulencie je preto stále otvoreným problémom. Modely turbulencie sú viac ako iné

modely v aerodynamike závislé na empirických poznatkoch, t.j. na konkrétnych

podmienkach a geometrie riešenej oblasti. Je ve�mi ažké posúdi do akej mieri sú

výsledky zhodné so skuto�nosou, vzh�adom k jeho náro�nému numerickému

spracovaniu.[2]

- 13 -

Turbulencia je teda vymedzená nasledovnými vlastnosami:

• je nepravidelná

• je difúzna (rýchle miešanie)

• vyskytuje sa pri vysokých Reynoldsových �íslach (vi�. kapitola 2.2 )

• je trojrozmerná

• je disipatívna

• je spojitá

• je vlastnosou prúdenia (na rozdiel od viskozity)

2.1 Prúdenie

Usporiadaný makroskopický pohyb �astíc kvapaliny alebo plynu sa nazýva prúdenie

tekutiny[1].Vzh�adom k tomu, že jednotlivé �astice (molekuly) tekutiny môžu pri

prúdeniu meni svoju vzájomnú polohu, je obecne pohyb kvapalín a plynov zložitejší

ako pohyb tuhých telies. V princípe sa dá prúdenie rozdeli na laminárne a turbulentné,

rozdiel medzi týmito dvoma prúdeniami je zobrazený na Obr. 2.2(viac nižšie).

• Laminárne prúdenie

Laminárne prúdenie je charakteristické, že sa jednotlivé vrstvy pohybujú (posúvajú)

rovnobežne vo�i sebe a rýchlos je nemenná, alebo mierne fluktuuje. Prúdnice v tomto

type prúdenia sú spojité krivky, ktoré sa nekrížia (každá �astica má iba jednu rýchlos).

Malé a ve�ké pohyby sa ve�mi rýchlo utlmia: Prúdové pole je ur�ené základnou

�asovou strednou rýchlosou (bližšie popísane kap. 2.3) so zanedbate�ným prenosom

hmotnosti, hybnosti a energiou medzi susednými vrstvami[3].

• Turbulentné prúdenie

Turbulentné prúdenie je charakteristické tým, že sa rýchlos v danom bode zna�ne

a nepravidelne mení. Pri vyšších rýchlostiach sa uplat�ujú stále viac zotrva�né sily,

ktoré umož�ujú malým poruchám ich postupné narastanie. Potom sa vektor okamžitej

rýchlosti mení náhodne v ur�itých medziach (mení svoju ve�kos aj smer). Fluktuuje

okolo ur�itej �asovo strednej hodnoty.

- 14 -

Ak je tekutina v k�ude, bez vonkajších vplyvovom turbulencia nevznikne. Turbulencia

teda nie je vlastnosou tekutiny, ale jej pohybu, t.j. prúdenia tekutiny

Obr. 2.2 Zmena prúdenia z laminárneho na turbulentné

2.2 Význam Reynoldsového �ísla

Reynoldsovo �íslo pomáha kategorizova laminárne a turbulentné prúdenie. Napríklad

pri uvažovaní jednorozmerné prúdenia v potrubí, experimentálne ur�ené hranice Re,

ke� prúdenie prestáva by laminárne a stáva sa turbulentným bolo ur�ené Rekrit = 2320.

Pod túto hranicu je prúdenie laminárne a nad je turbulentné.

Ako príklad je uvedený praktický výpo�et :

Originál má rozpätia 52.4 m a cestovná rýchlos 386 km/h (vi�. 2.3 ). Jeho

Reynoldsovo �íslo je

v = 386 kmh-1 => 107 ms-1 Re = rýchlos� . h�bka krídla . 69 000

Re = 107 . 11.5 . 69 000 = 84 904 500

Model s rozpätím 3 m bude musie lieta rýchlosou :

v = Re / l / 69000

v = 84 904 500 / 0.66 / 69000 =

= 1864 ms-1 = 6711 kmh-1

Obr. 2.3 Zobrazenie �astí krídla lietadla

- 15 -

Originálne profily sú navrhnuté pre úplne iné Reynoldsové �ísla, než za akých bude

model lieta. V tabu�ke 2.1. sú uvedené typické hodnoty Reynoldsového �ísla pre rôzne

druhy lietadiel.

typ rýchlos� [m/s] h�bka krídla [m] Re

dopravné lietadlo 200 2.50 35 000 000

ve�ké lietadlo 30 1.00 2 000 000

model 1/4 20 0,25 350 000

lopatky turbín 10 000 - 100 000

malý pomalý model 5 0,12 42 000

Tab. 2.1 Typické hodnoty Reynoldsového �ísla:

Základnou snahou pri vytváraní všetkých modelov turbulencií je získa uzavretý systém

rovníc, ktoré by spl�ovali všetky základné zákony (vrátane Navierových – Stokesových

rovníc)[3] a doplnené vzahy, vyjadrujúce vplyv turbulencie. Tento vplyv sa dá popísa

dvojakým spôsobom:

• Predpoklada, že turbulencia nezasiahne kvalitatívne do konkrétneho prúdenia,

pre dané po�iato�né a okrajové podmienky, ale prevažne iba kvantitatívne.

Potom je možné zahrnú vplyv turbulencie do empirických konštánt

v základných konštitu�ných vzahoch – predovšetkým pre viskozitu, aj to iba za

predpokladu, že v štruktúre turbulencie sa uplatní iba turbulentná nestálos,

poprípade vírivos.

• Model turbulencie je ešte doplnený o vzahy pre Reynoldsové napätie. Je nutné

nájs empirický, �i poloempirický vzah, pre ktorý sa sústava rovníc pre �asovo

stredné hodnoty (tzv. Reynoldsové rovnice) dá uzavrie.

2.3 Fyzikálne modely turbulencií

Vzh�adom k svojej zložitosti a doposia� nie celkom objasnenej fyzikálnej podstate

turbulencie je táto práca pri riešení turbulentného prúdenia prakticky celkom odkázaná

na zjednodušené modely. Existujú síce modely priamej numerickej simulácie

turbulencie, ale aj tie vychádzajú z ur�itej fyzikálnej predstavy, ktorá môže s �alším

výskumom turbulencie dôjs k ur�itým zmenám. Modelovanie turbulencie je preto stále

otvorený problém. V �alšej kapitole sú uvedené niektoré typy fyzikálny turbulentných

modelov. [3]

- 16 -

2.3.1 Jednoduchý model turbulencie

Obr. 2.4 Modely turbulencie s �asovo strednou hodnotou a fluktua�nou zložkou

Štatistický model turbulencie podchycuje turbulenciu štatistickými metódami. Základ

tvorí �asový priemer všetkých fyzikálnych veli�ín. Napríklad zložka aktuálnej rýchlosti

v smere osi je sú�tom �asovo strednej hodnoty xc a fluktua�nej zložky xc′ (vi� Obr. 2.4 ).

xxx ccc ′+= (1)

Kinetickú energiu možno napríklad vyjadri približne pomocou �asovostredných hodnôt

štvorcov fluktua�ních (fluktuácia – premenlivos) zložiek rýchlosti ve�kých mierok,

�iže stredná hodnota,ktorá sa v �ase nemení, ako je vidie aj na Obr 2.4:

( )222

2

1zyx ccck ′+′+′= (2)

kde 2xc′ ,

2yc′ ,

2zc′ sú kvadráty �asovostredných hodnôt fluktua�ných zložiek

jednotlivých osí[2].

2.3.2 Boussinesqov model

Najstarším a najjednoduchším modelom je Boussinesqov model (1877), pod�a ktorého

je všetok vplyv turbulencie zahrnutý v turbulentnej viskozite Tν , definované v analógii

s „normálnou“ viskozitou výrazom :

y

uT ∂

∂= ρντ (3)

kde Tν je turbulentná viskozita (empirická konštanta, silne závislá na riešenom prípade)

a u je stredná rýchlos a ρ je hustota prostredia[2].

2.3.3 Prandtltov model

Prandtltov model (1925) zavádza tiež iba jednu empirickú konštantu, tzv. zmiešavaciu

d�žku lm. Tento model predpokladá, že hlavným prejavom turbulencie je prenos

hybnosti makroskopických �astíc v smere kolmom na smer strednej tekutiny u .

- 17 -

O turbulentnej viskozite predpokladá, že je úmerná yulm ∂∂ /2 , takže po dosadení do

Boussinesqovho vzahu turbulentnej viskozity dostaneme :

y

u

y

ulm ∂

∂∂∂= 2ρτ (4)

kde lm je zmiešavacia d�žka, je ρ hustota prostredia a u je stredná rýchlos.

Prandtl navyše predpokladal, že zmiešavacia d�žka lm, vyjadrujúca vzdialenos, na

ktorej �astice stratia svoju identitu v dôsledku turbulentného miešania, je v turbulentnej

medznej vrstve priamo úmerná vzdialenos od steny. Tento predpoklad je základom tzv.

univerzálneho zákona steny[5].

2.3.4 Modely viskozity

V modely turbulencie potom musíme uzavrie sústavu rovníc jednak diferenciálnou

rovnicou pre kinetickú energiu turbulencie k, jednak pre diferenciálnou popr.

algebraickú rovnicu pre L (L – charakteristický rozmer energeticky najvýznamnejšieho

turbulentného víru), popr. ε (ε - rýchlos disipácie, s ktorou je turbulentná viskozita

vyjadrená ako ερν /.. 2kCT = .) Jednotlivé modely turbulentnej viskozity sú potom

klasifikované pod�a toho, akým spôsobom vyjadrujú závislos turbulentnej viskozity na

charakteristických parametroch prúdu.[3]

2.3.4.1 Algebraické modely

Algebraické modely vyjadrujú závislos turbulentnej viskozity na parametroch

stredného prúdu pomocou algebraických výrazov, �iže ako už bolo spomenuté

v kapitole 2.3.1 pri jednoduchom modely, berie sa do úvahy iba stredná hodnota.

Nepridávajú teda k pôvodnej sústave rovníc žiadne �alšie parciálne diferenciálne

rovnice a teda nezvä�šujú sa nároky na výpo�etnú techniku[3].

2.3.4.2 Jednorovnicové modely

Jednorovnicové modely, v ktorých je sústava rovníc stredného turbulentného prúdu

doplnená o parciálnu diferenciálnu rovnicu pre kinetickú energiu turbulencie:

Lky

k

y

kLk

yy

wLk

dt

dk/2/3

2

22/1

2

2/1 γνβα −∂∂+��

�

����

�∂∂

∂∂+��

�

����

�∂∂= (5)

kde �, , � sú empirické konštanty, L je d�žkové meradlo ( charakteristický rozmer

energeticky najvýznamnejšieho turbulentného víru ).

Turbulentná viskozita je potom je vyjadrená vzahom:

- 18 -

LkCT2/1

μν = (6)

kde L je d�žkové meradlo, k je kinetická energia a Tν je turbulentná viskozita.

2.3.4.3 Dvojrovnicové modely

Dvojrovnicové modely (k-ε model) dopl�ujú pôvodnú sústavu rovníc o dve parciálne

derivácie diferenciálne rovnice a to spravidla pre kinetickú energiu turbulencie a pre

rýchlos disipácie vplyvom viskozity :

ενσνε −

∂∂���

����

�

∂∂+

∂∂+�

��

����

�

∂∂

∂∂=

j

i

i

j

j

i

Tjk

T

j x

w

x

w

x

w

x

k

xdt

dk (7)

kC

x

w

x

w

x

w

kC

xxdt

d

j

i

i

j

j

i

Tjk

T

j

2

21

ενεεσνεε −

∂∂���

����

�

∂∂+

∂∂+�

��

����

�

∂∂

∂∂= (8)

kde ε je rýchlos disipácie, Tν je turbulentná viskozita, wi, wj sú Reynoldsové napätia

a k je kineteická energia.

Turbulentná viskozita je potom vyjadrená vzahom :

εν μ

2kCT = (9)

kde Tν je turbulentná viskozita , je k kinetická energia a ε je rýchlos disipácie.

Konštanty v týchto rovniciach sú �íselnými hodnotami, ktoré nemajú celkom

univerzálnu platnos a môžu sa v závislosti od druhu použitej metódy meni.

Napr. pre metódu Launder – Spalding (1974) [6]:

μC = 0,09 C1 = 1,44 C2 = 1,92 kσ = 1,0 εσ = 1,3

Hlavným obmedzením oboch predchádzajúcich modelov je izotropná turbulentná

viskozita (izotropná - všetky štatistické vlastnosti sú symetrické, t.j. stredné hodnoty

štvorca fluktua�ných rýchlostí vo všetkých smeroch sú rovnaké, �o je "ideálny"

neporiadok v pohybe. Takýto prípad turbulencie existuje približne za sitom pre

zrovnomernenie prúdenia.), ktorá nakoniec vyžaduje, aby vplyv zakrivenia, rotácie

a pod. bol modelovaný iným spôsobom. Nedostatky týchto modelov odstra�uje model

s Reynoldsovými napätiami.

2.3.4.4 Model s Reynoldsovými napätiami

Model vyžaduje vä�ší po�et dopl�ujúcich rovníc pre jednotlivé Reynoldsové napätia.

Pri praktických výpo�toch šmykových vrstiev dosiahli najvä�šieho rozšírenia

algebraické modely turbulencie, ktoré neobsahujú žiadnu parciálnu diferenciálnu

- 19 -

rovnicu a nezvä�šujú tým nároky na výpo�etnú techniku v zrovnaní s laminárnym

prúdením.[1] Vä�šina algebraických modelov vychádza z modelu, ktorý pre turbulentné

prúdenie navrhli Cebeci a Smith (1974)[4]. Turbulentná medzná vrstva (Obr. 2.5) je

rozdelená do dvoch oblastí :

1. vnútornej ( cyy ≤≤0 )

� Tν vyjadrená pomocou zmiešavacej d�žky lm a vzahom ων 2D .F miT l= ,

kde lm = k.y a vírivos ω je bu� yu ∂∂ / alebo ( )xvyu ∂∂−∂∂ // (napr.

Baldwin – Lomax, 1978), FD (van Driestova funkcia) je empirická funkcia

vyjadrujúca vplyv blízkosti steny na lm

2. vonkajšiu ( cyy < )

� Teν je vyjadrené opä empirickým výrazom, ako funkcia rýchlosti

vonkajšieho prúdu U, šírky pásma medznej vrstvy *δ a τu .

Obr. 2.5 Obtekanie krídla prúdom vzduchu

Obe hodnoty Tν na seba nadväzujú na hranici y = yc. Okrem týchto algebraických

modelov boli navrhnuté i modely s algebraickými výrazmi pre Reynoldsové napätia

(Rodi, 1976) [3].

- 20 -

3. Aerospace Toolbox Aerospace Toolbox je knihovna ur�ená pre žitvoné prostredie a simuláciu prírodných

úkazov v prostredí Matlab7.0/Simulink. Nadstavbová knihova Aerospace Toolbox

obsahuje nástroje pre štandardné modely atmosféry, gravitácie a magnetického po�a

Zeme, prevádza konverziu jednotiek a prepo�et dát pre rôzne súradnicové systémy a

importuje aerodynamické sú�initele priamo z DATCOM (U.S. Air Force Digital Data

Compendium). Aerospace Toolbox je využitý pre analýzu riadenia lietadla alebo jeho

navigácii. Pomáha analyzova tiež lietajúce systémy ako sú vesmírne telesa.[7]

Vývojový proces obsahujúci simulácie sa dá zhrnú do nieko�kých nasledujúcich etáp:

1. návrh celkovej geometrie lietadla (tvar trupu a profily nosných plôch)

2. ur�enie aerodynamických charakteristík lietadla na základe geometrie

3. využitie simulácie k overeniu predbežného návrhu lietadla

4. Vytvorenie naviga�ného systému (+ model turbulencie a modely vplyvu vetra na

lietadla)

5. návrh okruhov riadenia lietadla

6. vytvorenie HIL (hardware-in-the-loop) systému k overeniu vlastnosti v reálnom �ase

7. vytvorenie reálneho prototypu, zaistenia potrebného SW a letové skúšky

8. analýza dát nameraných v letových skúškach, certifikácia lietadla

Pri tomto postupe by daná práca bola sú�asou bodu 4., ke�že sa zaoberá štúdiom

turbulencie. Ako už bolo povedané, celý návrhový proces prebieha itera�ným

spôsobom. Intenzívny itera�ný spôsob práce prebieha v dobe, ke� ešte nie je vytvorená

konštrukcia lietadla a ke� sa h�adá pre radu vecí kompromisné riešenie. Táto metóda sa

uplat�uje aj pri návrhu matematických modelov turbulencií a vplyvov vetra na lietadlo.

Aerospace toolbox obsahuje modely popisujúce veterné vplyvy modely vetra

a turbulencií, ktoré sa naj�astejšie využívaju v leteckej technike:

- 21 -

Model horizontálneho vetra (Obr. 3.1) po�íta,

resp. odhaduje rýchlos vetra

v súradnicovom systéme. Popis vetra je

zložený z dvoch zložiek, z ve�kosti rýchlosti

a smeru prúdenia . Rýchlos a smer môžu

by konštantné, alebo sa môžu s �asom meni. Smer vetra sa ráta v stup�och v smere

hodinových ru�i�iek od smeru x - ovej osi Zeme.[7]

Diskrétny model Wind Gust

(nárazového vetra, Obr. 3.2) Tento

blok implementuje matematickú

reprezentáciu v Military

Specification MIL-F-8785C[14].

Vplyv prúdu vetra je možné

zobrazi �i už vektotorovo alebo

skalárne. Užívate� bloku má

možnos zadefinova amplitúdu

vetra, d�žku vplyvu vetra na lietadlo

a start time.[7]

Obr. 3.3 Pomer rýchlosti vetra a džky vplyvu vetra na lietadlo

3.1 Horizontal Wind Model

Obr. 3.1 Horizontal wind model

3.2 Discrete Wind Gust Model

Obr. 3.2 Discrete wind gust model

- 22 -

Model strihu vetra vypo�ítava strih vetra v modely

atmosféry. Táto implementácia je základom

matematického výpo�tu vo vojenskej špecifikácii

rovníc o vplyvu vetra na lietadlo MIL-F-8785C[8] .

Ve�kos strihu vetra je vyjadrená rovnicou v tvare

ako pomer výšky a nameranej rýchlosti vo výške 20 stôp(resp. 6 metrov) od Zeme.

���

����

�

���

����

�

=

0

02020

20ln

ln

z

z

h

Wu . fthft 10003 << [10]

V rovnici u20 je priemerná rýchlos vetra, W20 je nameraná rýchlos vetra vo výške 20

stôp, h je výška v stopách a z0 je konštanta rovnice, pri�om platí, že z0 = 0,15 stopy, pre

kategóriu C letovej fáze a z0 = 2,0 stopy, pre všetky ostatné fázy. Letová fáza kategórie

C je definovaná pre kone�nú fázu letu, ktorá obsahuje v sebe pristávanie, priblíženie sa

k zemskému povrchu a pohyb po zemi.

3.4 Dryden Wind Turbulence Model (Discrete)

Tento model generuje diskrétne spektrum

zložiek turbulencie s Drydenovým

výpo�tom spektra rýchlosti. Drydenov

model turbuletného vetra – blok využíva

Drydenovu spektrálnu reprezentáciu

výpo�tu turbulencie atmosférického modelu s použitím kmito�tovo obmedzeného

bieleho šumu s pridaním digitálneho �asovo obmedzeného filtru s rozdielnymi

rovnicami. Tento blok nám zavádza matematické vyjadrenie spektra rýchlosti

turbulencie v Military Specification MIL-F-8785C a Military Handbook MIL-HDBK-

1797[6].

Pod�a vojenského vyjadrenia[8], turbulencia je stochastický (náhodný) proces definujúci

spektrum rýchlosti. Pre let lietadla s rýchlosou v cez „zamrznuté“ turbulentné pole

s plošnou frekvenciou � [rad.s-1], s kruhovou frekvenciou � je vypo�ítaná násobením

v a �.

3.3 Wind Shear Model

Obr. 3.4 Wind shear model

Obr. 3.5 Dryden wind turbulence model

- 23 -

MIL-F-8785C MIL-HDBK-1797

Pozd�žna osa

( )ωuΦ 2

2

1

12

���

���+

VL

V

L

u

uu

ωπσ

(11)2

2

1

12

���

���+

VL

V

L

u

uu

ωπσ

(12)

( )ωpΦ2

3

1

2

41

48.0

���

���+

���

���

V

b

b

L

VL

πω

πσ

ω

ω

ω (13) 2

3

1

2

41

4

28.0

2���

���+

���

���

V

b

b

L

VL

πω

πσ

ω

ω

ω (14)

Bo�ná osa

( )ωvΦ 22

2

2

1

31

��

���

���

���+

���

���+

VL

VL

V

L

v

vvv

ω

ω

πσ

(15)22

2

2

41

1212

��

���

���

���+

���

���+

VL

VL

V

L

v

vvv

ω

ω

πσ

(16)

( )ωqΦ ( )ω

πω

ω

v

V

b

V Φ

���

���+

���

���

2

2

31

�

(17) ( )ω

πω

ω

v

V

b

V Φ

���

���+

���

���

2

2

31

�

(18)

Vertikálna osa

( )ωwΦ 22

2

2

1

31

��

���

���

���+

���

���+

VL

VL

V

L

w

www

ω

ω

πσ

(19)22

2

2

41

121

��

���

���

���+

���

���+

VL

VL

V

L

w

www

ω

ω

πσ

(20)

( )ωrΦ ( )ω

πω

ω

w

V

b

V Φ

���

���+

���

���±

2

2

41

(21) ( )ω

πω

ω

w

V

b

V Φ

���

���+

���

���±

2

2

41

(22)

Tab. 3.1 Tabu�ka spektier funkcií Drydenovho diskrétneho modelu:

Premenná b reprezentuje rozpätie krídel lietadla. Premenné Lu, Lv, Lw predstavujú

mierku d�žok turbulencií a premenné �u, �v, �w predstavujú intenzity turbulencií.

- 24 -

Turbulentné uhlové rýchlosti v spektrálnej hustote sú definované ako tri odchýlky, ktoré

sú zobrazené tabu�ke 3.2:

Pozd�žne Bo�né Vertikálne

yp g

g ∂∂

=ω

(23)x

vr g

g ∂∂

−= (25)x

q gg ∂

∂=

ω (24)

yp g

g ∂∂

=ω

(26)x

vr g

g ∂∂

= (28)x

q gg ∂

∂=

ω (27)

yp g

g ∂∂

−=ω

(29)x

vr g

g ∂∂

= (31)x

q gg ∂

∂−=

ω (30)

Tab. 3.2 Odchýlky turbulentných uhlových rýchlostí

Odchýlky ovplyv�ujú iba vertikálnu qg a prie�nu rq turbulentnú uhlovú rýchlos.

Pozd�žna zložka rýchlosti turbulencie �p(�) je racionálna funkcia. Racionálna funkcia

je odvodená zo zakrivenia komplexnej algebraickej funkcie, nie z vertikálneho

turbulentného rýchlostného spektra �w(�). Pretože uhlová rychlos turbulencie

prispieva k menšej odozve vetra na lietadlo je možné popisova iba ich odchýlky. Takže

môžeme sa zamera iba na kombinácie vertikálneho a prie�neho spektra uhlovej

rýchlosti ako je uvedené tabu�ke 3.3.

Vertikálne Bo�né

( )ωqΦ [32] ( )ωrΦ− [33]

( )ωqΦ [34] ( )ωrΦ [35]

( )ωqΦ− [36] ( )ωrΦ [37]

Tab. 3.3 Vertikálne a prie�ne uhlové rychlosti

Generovaný signál so správnymi charakteristikami, odchýlkami a kmito�tovo

obmedzeným bielym šumom sa používa na digitálnu filtráciu pre kone�né diferen�né

rovníce uvedené v tabu�ke 3.4:

- 25 -

MIL-F-8785C MIL-HDBK-1797

Pozd�žne

gu 121 ησσ

η

u

ug

u

TL

VuT

L

V +���

����

�− (38) 121 η

σσ

η

u

ug

u

TL

VuT

L

V +���

����

�− (39)

gp 4

3 2

96,0

6,22

6,21 η

σ

σ

η

ωω

ωω

bLT

bLpT

bLg +�

��

����

�−

(40)

2

9,1

2

6,22

2

6,21 η

σ

σ

η

ωω

ωω

bLT

bLpT

bLg +�

��

����

�−

(41)

Bo�né

gv 121 ησσ

η

v

ug

u

TL

VvT

L

V +���

����

�− (42) 121 η

σσ

η

v

ug

u

TL

VvT

L

V +���

����

�− (43)

gr ( )peatggg vv

brT

b

V −���

��� −

331

ππ� (44) ( )

peatggg vvb

rTb

V −���

��� −

331

ππ� (45)

Vertikálne

gw 121 ησσ

η

w

ug

u

TL

VwT

L

V +���

����

�− (46) 121 η

σσ

η

w

ug

u

TL

VwT

L

V +���

����

�− (47)

gq ( )peatggg ww

bqT

b

V −���

��� −

441

ππ� (48) ( )

peatggg wwb

qTb

V −���

��� −

441

ππ� (48)

Tab. 3.4 Tabu�ka spektier funkcií Drydenovho diskrétneho modelu:

3.4.1 Malá výška (výška < 304,8 m)

Pod�a vojenských výpo�toch, turbulencia s malou výškou, kde výška nepresahuje

304,8 m (1000 stôp) je po�ítaná pod�a nasledujúcej tabulky 3.5:

MIL-F-8785C MIL-HDBK-1797

( ) 2,1000823,0177,0 h

hLL

hL

vu

w

+==

= [49]

( ) 2,1000823,0177,02

2

h

hLL

hL

vu

w

+==

= [50]

Tab. 3.5 Tabu�ka na výpo�et džky turbulencie pre malú výšku

Intenzita turbulencie je uvedená dole, kde W20 je rýchlos vetra vo výške 6 m (20 stôp).

Typicky pre slabé turbulencie sa udáva rýchlos vetra 7,72 m/s (15 uzlov), pre stredné

turbulencie 15,43 m/s (30 uzlov) a pre silné turbulencie 23,15 m/s (45 uzlov).

201,0 Ww =σ (51)

- 26 -

( ) 4,0000823,0177,0

1

hw

v

w

u

+==

σσ

σσ

(52)

3.4.2 Stredná/ vysoká výška (Výška >609,6 m)

Pre stredné a vysoké výšky sa výpo�ty turbulencie a intenzity turbulencie zakladajú na

tom, že turbulencie sú izotropné (Izotropná turbulencia - všetky štatistické vlastnosti sú

symetrické, t.j. stredné hodnoty štvorca fluktua�ných rýchlostí vo všetkých smeroch sú

rovnaké, �o je "ideálny" neporiadok v pohybe). V tabu�ke 3.6 sú uvedené podmienky

pre výpo�ty d�žky turbulencie. Pre jednotlivé vojenské výpo�ty sa udáva d�žka 1750

stôp, �o je 533,4 m.

MIL-F-8785C MIL-HDBK-1797

)1750(4,533 stôpmLLL wvu === (53) )1750(4,53322 stôpmLLL wvu === (54)

Tab. 3.6 Tabu�ka na výpo�et džky turbulencie pre ve�kú/strednú výšku

Intenzita turbulencie vo vysokých výškach je konštantná pre všetky vektory a všetky sú

si aj rovné.

�u = �w = �v (55)

3.4.3 Medzi malou a ve�kou výškou (304,8 m < výška > 609,6 m )

Vo výške medzi 304,8 m (1000 stop) a 609,6 m (2000 stôp) sú jednotlivé zložky

turbulentnej rýchlosti a turbulentnej uhlovej rýchlos vypo�ítavané lineárnou

interpoláciou (interpolácia – výpo�et �ísel z dvoch susedných) medzi hodnotou hranice

malej výšky (304,8m) transformáciou z horizontálnej súradnice vetra do súradnicového

systému lietadla až do hodnoty hranice modelu s definovanou strednou a vysokou

výškou 533,4 m (2000 stôp) v súradniciach telesa.

3.4.4 Parametry Drydenova modelu turbulencie

Na Obr. 3.4.1 je vidie zobrazenie parametrov, ktoré je možné nastavova v simulácii

turbulencie v Simulinku.

- 27 -

Obr 3.4.1 Drydenovo okno turbulencie

Jednotky

Jedným z parametrov okna je výber jednotiek (vi�. Tab. 3.7), �i už v metrickom

systéme alebo v jednotkách stôp.

Jednotky Rýchlos vetra Výška Airspeed

Metric (MKS) meter/sekunda

(meters/second) Meter

(meters) meter/sekunda

(meters/second)

English (Velocity in ft/s) Stopa / sekunda

(feet/second) Stopa (feet)

Stopa / sekunda(feet/second)

English (Velocity in kts) Uzol

(knots) Stopa (feet)

Uzol (knots)

Tab. 3.7 Tabu�ka používaných jednotiek pre Drydenov turbulentný model

Jednotky

Vojenská špecifikácia

výpo�tu

Typ modelu turbulencie

Rýchlos� vetra vo výške 6m

Smer vetra vo výške 6m

Intenzita turbulencie

D�žka turbulencie

Rozpätie krídel

Obmedzenie pásma šumu

Zapnuté / vypnuté

- 28 -

Vojenská špecifikácia výpo�tu

Vojenská špecifikácia výpo�tu hovorí o metóde, ktorá bola použitá pri výpo�te parametrov Drydenovho modelu. Je možné vybera z dvoch špecifikácií (MIL-F-8785C, MIL-HDBK-1797)[9].

Typy modelov turbulencií obsahujúcich MATLAB

Matlab/Simulink má k dispozícii niektoré predefinované modely turbulencií, typy modelov sú uvedené v tabu�ke dole (Tab. 3.8).

Continuous Von Karman (+q -r) Používa spojité vyjadrenie Von Kármán rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a zápornou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Continuous Von Karman (+q +r) Používa spojité vyjadrenie Von Kármán rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Continuous Von Karman (-q +r) Používa spojité vyjadrenie Von Kármán rýchlostného spektra so zápornou vertikálnou a kladnou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Continuous Dryden (+q -r) Používa spojité vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a zápornou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Continuous Dryden (+q +r) Používa spojité vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a prie�nou uhlovou rýchlosou spektra

Continuous Dryden (-q +r) Používa spojité vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra so zápornou vertikálnou a kladnou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Discrete Dryden (+q -r) Používa diskrétne vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a zápornou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Discrete Dryden (+q +r) Používa spojité vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra s kladnou vertikálnou a prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Discrete Dryden (-q +r) Používa spojité vyjadrenie Drydenovho rýchlostného spektra so zápornou vertikálnou a kladnou prie�nou uhlovou rýchlosou spektra.

Tab. 3.8 Tabu�ka druhov turbulencií v spojitom a diskrétnom �ase pre Simulink

- 29 -

Smer vetra vo výške 6m (uhol v smere hodinových ru�i�iek od severu)

Nameraný smer vetra vo výške 6 m (20 stôp) je uhol, ktorý slúži ako pomôcka pri transformácii smeru vetra pri malej výške do súradníc lietadla.

Pravdepodobný odhad intenzity prekro�enia hranice vysokej výšky

Pravdepodobný odhad intenzity prekro�enia hranice vysokej výšky sa pohybuje okolo609,6 m (2000 stôp). Intenzita turbulencie je odhadovaná a vyh�adávaná z tabuliek. V tabu�kách je uvedená ako funkcia výšky a pravdepodobnej intenzity turbulencie (vi�. Obr. 3.4.2) pri prekro�ení hranice do pásma ur�enej pre výsokú výšku.

Obr . 3.4.2 Mierky intenzity turbulencií

Ako je vidie na obrázku, intenzita je rozdelená na tri �asti slabú (Light) do 10-2, strednú (Moderate) do 10-3 a silnú (Severe) 10-5 a viac.

Mierky d�žok turbulencií v strednej/vysokej výške

Mierky d�žky turbulencie okolo 609,6 m (2000 stôp) sú predpokladané konštantné. Pri výpo�toch sú závislé iba od vojenskej špecifikácie. Pre Drydenov model sa tieto

- 30 -

konštanty pohybujú okolo 533,4 m (1750stôp) vo Von Karmanových výpo�toch d�žok turbulencií okolo 762 m (2500 stôp)

Wingspan - rozpätie krídel

Rozpätie krídel je potrebné pri výpo�toch uhlovej rýchlosti..

Pásmové obmedzenie šumu a diskrétny filter so vzorkovacím �asom (sekunda)

Pásmové obmedzenie šumu a diskrétny filter so vzorkovacím �asom sú pod�a neho generované všetky odchýlky signálu bieleho šumu a aktualizovaný diskrétny filter.

Zložky šumu

Okno obsahuje štyri hodnoty potrebné pri generovaní turbulentného signálu: jedno pre každú z troch rýchlostných veli�ín a jedno pre mieru intenzity. Turbulencie ur�itého stup�a a odhadu uhlovej rýchlosti sa uplat�ujú na neskoršie tvarovanie výstupu z tvarovacích filtrov vertikálnych a prie�nych rýchlostí.[2].

Tvarovacie filtre

Tento tvarováci filter po privedení bieleho šumu na vstup (Obr. 3.4.3.) vytvára šum, ktorý odpovedá turbulencií a až potom je za�lenený do systému

Biely šum H (s) x(t)

Obr . 3.4.3 Princíp tvarovacieho filtru

Zložky turbulencie môžu by generované náhodným kmito�tovo obmedzeným bielym šumom pomocou tvarovacieho filtru. Použitím už známych spektier zložiek turbulencií (Tab. 3.1) bude ukázané ako je tvarovací filter koncipovaný a ako je závislý aj od prenosov jednotlivých turbulencií[10]:

2

2

1

12)(���

���+

=Φ

VL

VLj

u

uuu

ωπσω (56)

- 31 -

22

2

2

1

31)(

��

���

���

���+

���

���+

=Φ

VL

VL

VLj

v

vvv

vω

ω

πσω (57)

22

2

2

1

31)(

��

���

���

���+

���

���+

=Φ

VL

VL

VLj

w

www

wω

ω

πσω (58)

Ako Brown a Hwang (1997) ukázali[11], pre lineárny systém popísaný predošlími rovnicami, výsledne spektrum môžeme zapísa pod�a systému

)()(.1)( sHsHsS −=ωω (59)

kde )(sSωω je pôvodný prenos, )(sH je prenos so stabilnými pólmi a nulami a )( sH − je

prenos s nestabilnými pólmi a nulami. Pre stabilný systém, H(s) musí ma kone�ný po�et pólov a núl a každý z nich sa musí nachádza v �avej polovici komplexneho rovinusu. Prepísaním rovníc do operátorovej �asti ( sj �)( ω ) môžeme daný prenos nahradi sú�inom dvoch prenosov, pri�om jeden

bude obsahova iba nuly a poly z �avej polroviny (stabilná �as) a druhý prenos iba nuly a póly z pravej polroviny (nestabilná �as).Toto rozdelenie prenosov je zobrazené v nasledujúcich rovniciach :

����

�

�

����

�

�

���

���−�

���

�

�

����

�

�

���

���+

=

���

���−

=Φ

VsLV

L

VsLV

L

VsL

VLs

u

uu

u

uu

u

uuu

1

12.1

12

1

12)( 2

2

πσ

πσ

πσ (60)

�����

�

�

�����

�

�

���

���−

���

���−

�����

�

�

�����

�

�

���

���+

���

���+

=

��

���

���

���−

���

���−

=Φ 2222

2

2

1

31.

1

31

1

31)(

VsL

VsL

VL

VsL

VsL

VL

VsL

VsL

VLs

v

vv

v

v

vv

v

v

vvv

v πσ

πσ

πσ (61)

�����

�

�

�����

�

�

���

���−

���

���−

�����

�

�

�����

�

�

���

���+

���

���+

=

��

���

���

���−

���

���−

=Φ 2222

2

2

1

31.

1

31

1

31)(

VsL

VsL

VL

VsL

VsL

VL

VsL

VsL

VLs

w

ww

w

w

ww

w

w

www

w πσ

πσ

πσ (62)

Hu(s), Hv(s), Hw(s)

- 32 -

Turbulence on

Výber / zabránenie turbulencie

3.4.5 Vstupy a výstupy Vstupy:

• výška lietadla h• rýchlos lietadla v

Výstupy: • Prvým výstupom je trojzložkový signál zložený z rýchlostí turbulencií vo

vybraných jednotkách. • Druhým výstupom je trojzložkový signál zložený z uhlových rýchlostí

turbulencie, v radianoch za sekundu[7].

3.4.6 DCM – direction cosine matrix Ke�že lietadlo sa v �ase pohybuje po súradniciach a Zem taktiež rotuje okolo vlastnej

osi (Obr. 3.4.4), musí sa daná poloha oboch telies prepo�ítava do jedného suradnicového systému. Poloha oboch telies sa v tomto prípade vzahuje k Zemi. Zem a lietadlo majú spolo�nú osu z pri�om je potrebné bra do úvahy posun jednotlivých osí súradnicového systému. Tento problém sa dá riešivýpo�tom DCM matice (rov. 63), kde jednotlivé

zložky u, v, w reprezentujú kosínus uhla medzi rotovaným jednotkovým bázovým vektorom a jednou z pôvodných súradnicových osí[12]. Vzniknú nové súradnice ur�ené novými ortonormálnymi bázovými vektormi (ortonormálne vektory - tri navzájom kolmé jednotkové vektory) zapísanými pomocou vektorov vzh�adom k pôvodnej báze. Nová báza jednozna�ne ur�uje zmenu polohy.

Obr. 3.4.4 Zobrazenie polohy telesa

- 33 -

���

�

�

���

�

�

���

�

�

���

�

�=

���

�

�

���

�

�

0

0

0

1

1

1

.zyx

wvuwvuwvu

zyx

zzz

yyy

xxx

(63)

kde x1, y1, z1 sú nové súradnice polohy lietadla, jednotlivé zložky u, v, w reprezentujú kosínus uhla medzi rotovaným jednotkovým bázovým vektorom a jednou z pôvodných súradnicových osi x0, y0, z0 sú súradnice pôvodnej polohy. Na nasledujúcom obrázku (Obr. 3.4.5) je vidie výpo�et DMC matice, kde pomocou rovníc 64, 65, 66 je možné

vypo�íta z jednotlivých uhlov zložky DCM matice[12].

( ) xuxx == 0cos α (64)

( ) xvxy == 0cos α (65)

( ) xwxz == 0cos α (66)

Obr. 3.4.5 DCM - zmena súradníc

3.4.7 Dôvera a obmedzenia „Zamrznuté“ turbulentné polia[13] platia pre prípady zlého vetra a prostredia s turbulenciami alebo pre intenzity, ktoré sú relatívne malé vo�i zemi. Turbulentný model opisuje iba odhady všetkých podmienok pre odstránenie vzdušných turbulencií, pretože do modelu nie sú zahrnuté :

• Nerovnosti povrchu • Úpadok rýchlosti • Ve�kos veterného prostredia • Veterné kliešte • Iné meteorologické faktory (ako sú extrémne teploty, dáž�, sneh, hmla)

- 34 -

11 11

11

++ ++

+−= nnnn x

nx

nxx

4. Kalmanov filter Kalmanov filter je metóda odhadu stavových premenných systému (napr. GPS prijíma�, inerciálne senzory, senzory merajúce rýchlos a �as), obsahujúcich náhodné chyby merania (napr. �udský vplyv, povrchové nerovnosti, alebo neo�akávané zmeny parametrov senzorov), tzv. neur�itá dynamika systému (nepredvídate�né narušenia normálneho fungovania).[14] Odhad je optimálny v tom zmysle, že sú�et štvorcov chýb odhadnutých stavov premenných v �ubovo�nom �ase má najmenšiu možnú hodnotu. Chyba odhadu je rozdiel medzi odhadom spracovaným filtrom a skuto�nou hodnotou stavovej premennej systému. Najjednoduchších spôsobom pre ur�enie skuto�nej hodnoty je využitie aritmetického priemeru všetkých vykonaných meraní a pre ur�enie nestálosti odhadu môžeme využismerodajnú odchýlku[14].

n

xxxxx nn

++++= ...321 (67)

kde x1 – xn sú jednotlivé merania a n je po�et meraní. Pri tomto meraní však je nutné uchováva všetky namerané hodnoty. No �o ak hodnoty prichádzajú v �ase a ich rozsiahly po�et neumož�uje ich uchováva? V takom prípade je potrebné vytvori

rekurzívnu funkciu. Pri rekurzívnej funkcii je rozšírená rovnica o 1+nx , ktorá je

budúcim meraním.

1

... 13211 +

+++++= ++ n

xxxxxx nnn (68)

Osamostatním posledného meraného prvku a vynásobením prvej �asti jednotkovým výrazom n/n.

1

.1

... 13211 +

++

++++= ++ n

xnn

nxxxxx nn

n (69)

Úpravou tejto rovnice je možné dosta :

11 11

1 ++ ++

+= nnn x

nX

nnx (63) ,alebo 11 1

1.1

11 ++ ++�

��

���

+−= nnn x

nx

nx (70)

Predchádzajúce Nové merania merania (71)

( )nnnn xxn

xx −+

+= ++ 11 11 (72)

zosilnenie inovácia

- 35 -

Inovácia – rozdiel medzi novým meraním a najlepším odhadom založeným na hodnotách predchádzajúcich meraní Zosilnenie – váha inovácií. Z rovnice je vidie, že ak po�et bude rás, potom zosilnenie (váha) nových meraní sa bude približova k nule, �o je správne, pretože meraný parameter je stacionárny. Ak sa meraný parameter bude meni, potom je nutné novým meraniam dáva vä�šiu váhu. Pride�ovanie správnej ve�kosti uvedených váh môžeme nazva adaptívnym váhovaním nových meraní, �o predstavuje základ Kalmanovho filtru[14].

4.1 Spôsoby aplikácie Kalmanovho Filtru Existujú v princípe tri spôsoby, ako sa dá Kalmanov filter aplikova: predikcia, filtrácia a vyhladzovanie O predikcii sa hovorí vtedy, ke� sú využité merania získané pred �asom než stavy dynamického systému budú odhadnuté.

tmerania < todhadnuté (73) O filtrácii sa hovorí vtedy, ke� sú využité merania do �asu a vrátane �asu, ke� stavy dynamického systému budú odhadnuté.

tmerania ≤ todhadnuté (74) O vyhladzovaní sa hovorí, ke� sú využité merania po �ase, ke� stavy dynamického systému budú odhadnuté (post-processing).

tmerania > todhadnuté (75)

4.2 Algoritmus Kalmanovho filtra Kalmanov filter bude implementovaný do po�íta�ovej (procesorovej) formy, preto je potrebné spojitý systém najskôr zdiskretizova. Samotný algoritmus filtru pozostáva z týchto piatich krokov:

1. Predikcia stavového vektora 2. Predikcia kovarian�nej matice 3. Výpo�et matice zosilnenia (váhovej matice) 4. Aktualizácia odhadnutého stavového vektora 5. Aktualizácia kovarian�nej matice

- 36 -

4.2.1 Predikcia stavového vektora Predikcia stavového vektora v podstate predstavuje predpove� hodnôt, ktoré by mal nadobúda stavový vektor v �alšom kroku algoritmu. Tento odhad sa realizuje výpo�tom diferenciálnej rovnice popisujúcej dynamický systém v spojitom stavovom priestore. Odvodenie tohoto kroku{21} je ralizované pomocou rovnice v diskrétnom stavovom priestore:

111. −−− +Φ= kkkk wxx (76)

kde 1−kw je Gaussovský šum, kx je aktuálne meranie a 1−kx je predošlé meranie odhad

stavového vektoru potom je :

111, ˆ.ˆ −−− Φ= kkkk xx (77)

kde 1,ˆ −kkx je odhadovaná hodnota stavového vektora, 1ˆ −kx je správna hodnota

odhadnutého vektora z predchádzajúceho kroku a 1−Φ k je diskrétna matica stavov

dynamického systému.

4.2.2 Predikcia kovarian�nej matice Chyby odhadov sa udržiavajú v kovarian�nej matici, ktorá sa štandardne ozna�uje P. Tieto chyby odhadov principiálne obsahujú každú hodnotu merania odlišnú od odhadov stavového vektora. Kovarian�ná matica P má tieto vlastnosti :

• Matica je symetrická • Matica má na diagonále variancie pre každý komponent stavové vektora

• Mimo diagonály matice sú kovariancie, ktoré ur�ujú vzah medzi jednotlivými komponentmi stavového vektora

Pre odvodenie kovarian�nej matice{21} je využitá taktiež diskrétna procesná premenná. Kovarian�ná matica je definovaná ako o�akávaná hodnota rozdielu stavového vektora a o�akávaného stavového vektora.

11111, −−−−− += kTkkkkk QQPQP (78)

kde 1, −kkP je odhadovaná hodnota kovariancie, 1−kQ je kovarian�ná matica popisujúca

šum a 1−kP je správna hodnota kovariancie z predchádzajúceho kroku algoritmu.

- 37 -

4.2.3 Výpo�et matice zosilnenia (váhovej matice) Výpo�et matice zosilnenia v podstate prestavuje pridelenie optimálnej váhy jednotlivým v �ase prichádzajúcim meraniam. Princíp odvodenia matice zosilnenia je trochu zložitejší a je popísaný a vysvetlený v prílohe{21}. V tejto praci bude uvedený iba kone�ný tvar rovnice tretieho kroku algoritmu

( ) 11,1,

−−− += k

Tkkkk

Tkkkk RHPHHPK (79)

kde kK je matica zosilnenia, kH je matica merania a kR je kovarian�ná matica

a matica 1, −kkP odhadovaná hodnota kovariancie merania bola spomenutá v predošlej

kapitole.[4]

4.2.4 Aktualizácia odhadnutého stavového vektora Aktualizácia stavového vektora vychádza z rovnice odhadu vektora a po prepísaní do diskrétneho stavu a použitím dopl�ujúcich ozna�ení má tvar

( )1,1, ˆˆˆ −− −−= kkkkkkkk xHyKxx (80)

kde ky je vektor aktuálneho merania. Prichádzajúce nové meranie je porovnávané

s vypo�ítaným predikovaným meraním ur�eným pomocou odhadnutého stavového

vektora 1,ˆ −kkx a následne sa využíva pri ur�ení najlepšieho odhadu.

Aktualizácia kovarian�nej matice vychádza z matice predikcie a po prepísaní do diskrétneho stavu a použitím dopl�ujúcich ozna�ení získame tzv. Josphova forma

( ) ( ) Tkkk

Tkkkkkkk KRKHKIPHKIP +−−= −1,. (81)

V tomto vyjadrení ide o sú�et dvoch symetrických matíc, kde prvá je pozitívne definitná (nesmie by nulová pre žiadny iný vektor ako {0, 0}) a druhá pozitívne semidefinitná (môže by nulová). �asto sa však využíva zjednodušené vyjadrenie :

( ) 1, −−= kkkkk PHKIP (82)

Pri použití tohto zjednodušeného tvaru sa odporú�a vykona kontrolu matice na symetriu a pozitívnu definitos. Principiálne piaty krok algoritmu vykonáva aktualizáciu kovarian�nej matice resp. vypo�ítava kovarianciu najlepšieho odhadu stavového vektora ur�eného v štvrtom kroku algoritmu.[14]

- 38 -

5. Výpo�tová náro�nos�Výpo�tová náro�nos alebo tiež výpo�tová zložitos je pojem z teórie algoritmov.Výpo�tová zložitos má dve základné miery:

1. �asová zložitos2. pamäová zložitos

Optimalizácia algoritmu sa týka minimalizácie jednej alebo obidvoch mier zložitosti.

5.1 �asová zložitos��asovou zložitosou je nazvané to, ako dlho program beží v závislosti od po�tu dát. �as zvä�ša meraný po�tom elementárnych operácií, ktoré program urobí. Pri meraní �asovej zložitosti sa ako výsledok uvádza najhorší prípad.[15] V programe Matlab na to služia príkazy tic (spustenie �asova�a) a toc (ukon�enie a výpis výsledku �asova�a). Druhy výpo�tovej zložitosti v závislosti od po�tu vstupných prvkov n, (a, b, c sú konštanty, t je �as):

a) lineárna zložitos: t=a.n+bb) logaritmicko - lineárna: t=a.n.log(n)+b.n+cc) polynomiálna: t je funkciou polynómu nd) algoritmy so zložitosou vä�šou než je polynomiálna[16]

Ilustráciou zložitosti je nasledujúca tabu�ka (Tab. 4.1), predpokladajme, že vykonanie jednej operácie trvá jednu mikrosekundu:

Funkcia po�tu

operácií 20 40 60 80 100 200 500 1000

n 20 �s 40 �s 60 �s 80 �s 100 �s 200 �s 500 �s 1000�n.log(n) 86 �s 0,2 ms 0,35 ms 0,5 ms 0,7 ms 1,5 ms 4,5 ms 10 ms

n2 0,4 ms 1,6 ms 3,6 ms 6,4 ms 10 ms 40 ms 0,25s 1 s n3 8 ms 64 ms 0,22 s 0,5 s 1 s 8 s 125 s 17 minn4 0,16 s 2,56 s 13 s 41 s 100 s 27min 17h 11,6

dní 2n 1 s 11,7

dní 36 600r 3,9.109r n! 77 000r

Tab. 4.1 Ilustrácia �asovej zložitosti, predpoklad, že vykonanie jednej operácie trvá jednu mikrosekundu:

- 39 -

5.2 Pamä�ová zložitos�Kalmanov filter odstrá�uje z �asti jeden z najdôležitejších problémov filtrácie dát, pamäovú náro�nos.[17] Pamäová náro�nos je ve�mi ovplyvnená periódou vzorkovania a pri Kalmanovom filtri tým pádom aj po�tom cyklov. V tabu�ke dole (Tab. 4.2) je zobrazená pamäová náro�nos jednotlivých operácií a ve�kosti jednotlivých matíc použitých pri riešení stavového popisu diskrétneho systému a realizácie Kalmanovho filtru.

Operácie Matice Rozmery matice

Zabrané miesto v pamäti

Diferenciálne rovnice P n x n + n2

�P n x n + n2

GQGT n x n + n2

HP (resp. PHT) l x n + ln R l x l + l2

[HPHT+R]-1 l x l + l2

Matice systému � n x n + n2

H l x n + ln K n x l + ln

Matice odhadu z (resp. z-Hx) l + l x n + n

�x n + n = 4n2+2l2+3ln+2n+l

Tab. 4.2 Ilustrácia pamä�ovej zložitosti

6. Praktické použitie Kalmanova filtru Použitie Kalmanovho filtru sa stalo sú�asou nie len v odvetví elektrotechniky, ale našlo ve�ké uplatnenie aj v ekonomike. V elektrotechnike sa �asto používa odšumenie zarušených sígnálov, kvázistacionárnych signálov, h�adanie silne zarušených signálov, odstránenie bieleho a farebného šumu (na tento ú�el je využitý aj v tejto práci), spresnenie nameraných hodnôt pomocou fúzie (zlu�ovaniu) dát, tým pádom aj zlepšenie presnosti meraní, využíva sa pri riadení a navigácií robotov a v ekonomike si našlo svoje uplatnenie v odhade priebehu kriviek budúcnosti, pri�om sú známe stavy z minulosti

- 40 -

6.1 Princíp realizácie Kalmanova filtru Princíp návrhu Kalmanova filtru na odstránenie šumu merania popisuje Obr. 6.1, kde je je zobrazený vývojový diagram pozostavajúci z popisu, úpravy matíc, diskretizácie a samotného cyklu, v ktorom je Kalmanov filter realizovaný pre ur�itý po�et krokov.

ŠTART

Na�ítanie vstupných parametrov

Výpo�et prenosov jednotlivých zložiek

turbulencie

Diskretizácia prenosov

Na�ítanie a spustenie hodnôt zo simulinku

koniec ÁNO filtrácie ?

Kalmanov filter NIE Vykreslenie grafov

KONIEC

Obr. 6.1 Vývojový diagram funkcií realizovaných v prost�edí Matlab/Simulink

Užívate�om zadané hodnoty:

• Výšky • Rýchlosti • Rozpätia krídel • Druh výpo�tu • Vojenská

špecifikácia výpo�tu

Funkcie: vypocet_prenosov( )

• dryden_F( ) • dryden_HDBK( ) • VonKarman_F( ) • VonKarman_HDBK( )

Funkcia diskretizacia( )

sim ( diskretny_system_stavov )

Funkcie: • porovnanie_s_modelom( ) • odhad( ) • hranice_odhadu( )

Implementácia Kalmanovho filtru • �asový krok • Dátový krok • Uloženie výsledkov

- 41 -

VonKarman_HDBK( )

h ≤ 304.8 m VonKaman_HDBK_premenneMale( )

h ≥ 609.6 m VonKarman_HDBK_premenneVelke( )

VonKarman_F( )

h ≤ 304.8 m VonKaman_F_premenneMale( )

h ≥ 609.6 m VonKarman_F_premenneVelke( )

304.8 m< h <609.6 m - pásmo nelinearity

dryden_HDBK( )

h ≤ 304.8 m dryden_HDBK_premenneMale( )

304.8 m < h < 609.6 m - pásmo nelinearity

dryden_F( )

h ≤ 304.8m dryden_F_premenneMale( )

h ≥ 609.6m dryden_F_premenneVelke( )

304.8m < h < 609.6m - pásmo nelinearity

6.1.1 Výpo�et prenosov jednotlivých zložiek turbulencie Funkci vypocet_prenosov( ){2} vypo�íta v závislosti od vstupných parametrov zadaných užívate�om jednotlivé prenosy turbulencií. Každý tento prenos je závislý aj od metódy výpo�tu, preto v tejto funkcii sa vyskutujú podfunkcie pre výpo�et �i už pod�a metódy (Dryden, Von Karman) a pod�a vojenskej špecifikácie (MIL-F-8785C – dryden_F(){3},VonKarman_F(){4}, MIL-HDBK-1797 - dryden_HDBK(){5}, VonKarman_HDBK(){6}

), pri�om každý tento prenos je závislý aj od výšky, v ktorej sa dané teleso nachádza a v nasledujúcom kroku bol výpo�et prenosu rozdelený do troch pásiem pre malú výšku (h ≤ 304.8m , napr. funkcia dryden_F_premenneMale(){7}), pre strednú/ve�kú výšku (h ≥ 609.6m, napr. funkcia dryden_F_premenneVelke(){8})a na pásmo kde je to nedefinované, tzv. nelineárna oblas (304.8m < h < 609.6m). Podrobný popis je možné vidie na Obr. 6.2 .

Obr. 6.2 Výpo�et prenosov turbulencie pod�a vst. parametroch

M

etóda

pod�a

Dry

dena

Metó

da p

od�a

Von

Kar

mana

- 42 -

6.1.2 Diskretizácia prenosov Úlohou funkcie diskretizacia( ){15} je zdikretizova pomocou Van Loanovej metódy diskretizácie[6] (bližšie bude popísaná taktiež v kapitole 6.3.1) a vzorkovacej frekvencie spojitý systém popisujúci model turbulencie. Bližšie je táto problematika rozobraná v kapitole 6.2.1 .

6.1.3 Na�ítanie a spustenie hodnôt zo simulinku Tento simulinkový model (Obr. 6.3) popisuje jednotlivé zložky turbulencie a zárove�porovnáva s už vytvoreným modelom. Spúša sa automaticky pomocou príkazu sim(diskretny_system_stavov2.mdl{19}), Tento model je vytvorený pod�a Drydena a špecifikáciu MIL – F – 8785C

Obr. 6.2 Simulinková schéma zapojenia diskrétneho stavového popisu turbulencie

- 43 -

6.1.4 Vykreslenie grafov Funkcia porovnanie_s_modelom( ) {16}

Funkcia vykres�uje vypo�ítaný model a model z Matlab / Simulink. Obsahuje navyševykreslenie modelu so šumom merania.

Funkcia odhad( ) {17}

Funkcia zobrazuje grafy pre porovnanie zložiek turbulencii so šumom, bez šumu merania a odhad pomocou Kalmanovho filtru.

Funkcia hranice_odhadu( ){18}

Funkcia zobrazuje jednotlivé zložky turbulencií bez šumu, odhad pomocou Kalmanovho filtru a hranice odhadu 1�.

6.2 Pamä�ová a �asová náro�nost modelov

Overenie �asovej a pamäovej náro�nosti je overované pomocou matlabu, pomocou prikazov TIC – TOC, je možne spusti – zastavi matlabovský �asova�. Na jeho výsledky však nie je ve�ké spo�ahnutie, ke�že výpo�et môže by premenlivého �asového úseku. V tom prípade sa berie ta najvä�šia nameraná hodnota. �o sa týka pamäovej náro�nosti, bola po�ítaná vzh�adom na matice, ktoré daný systém popisujú, ako je to vidie v nasledujúcej tabu�ke 6.1.

u - zložka turbulencie Au(2,2) � 2x2=4

Bu(2,1) � 2x1=2

Cu(1,2)� 1x2=2

Du(1,1) � 1x1=1 � = 9

v – zložka turbulencie Av(3,3) � 3x3=9

Bv(3,1) � 3x1=3

Cv(1,3) � 1x3=3

Dv(1,1) � 1x1=1 � = 16

w – zložka turbulencie Aw(3,3) � 3x3=9

Bw(3,1) � 3x1=3

Cw(1,3) � 1x3=3

Dw(1,1) � 1x1=1 � = 16

� = 48datových

slov

Tab. 6.1 Ilustrácia pamä�ovej zložitosti pre Von Karmanov model

Pomocou Matlabu je vytvorená aj nasledujúca tabulka 6.2. Obsahuje modely, ktoré sú rozdelené ešte pomocou vojenskej špecifikácie výpo�tu kvôli vizualizácii a porovnaniu �asovej a pamäovej náro�nosti modelov. Bolo by možne ís ešte detailnejšie, �o sa

- 44 -

týka pamäovej náro�nosti, kde v závislosti od uloženej hodnoty by bolo možné vypo�íta pam�ový priestor, ale táto tématika je už mimo rozsah tejto úlohy.

Metóda výpo�tu

Vojenská špecifikácia

výpo�tu

Pam�ovánáro�nos

�asová náro�nost

[s]

Dryden MIL-F-8785C 27 0,114488 MIL-HDBK-1797 27 0,147821

Von Karman MIL-F-8785C 48 0,115693 MIL-HDBK-1797 48 0,123955

Tab. 6.2 Pam�ová a �asová náro�nos� modelov

Túto tabu�ku si je možné overi M-fileom modely_cas_pristor.{20} Tento súbor umož�uje pozrie sa na pamäovú náro�nos �i už po zložkách alebo celkovo.

6.3 Aplikácia Kalmanovho filtru na model turbulencie

Existuje ve�a filtrov, ktoré pomáhajú vyfiltrova signály. Výhodou Kalmanovho filtru je v rozdelení algoritmu do dvoch krokov. Prvý krok je predikcia nového stavu P, alebo akási predpove� odhadovanej hodnoty a druhým krokom je korekcia nového merania

kx̂ . Pri aplikácií iných filtrov sa predpokladá, že predikcia stavu pre nasledujúci krok sa

nemení (napr. filter realizovaný plavajúcim priemerom).

Navyše je nutné nejakým spôsobom reprezentova zabudnutie najstaršieho stavu merania. To je dosiahnuté tak, že je zapamätané, ako ve�mi sa našemu odhadu (ne)verí. Každou predikciou, �iže predpove�ou odhadovanej hodnoty je znížená dôveryhodnos(resp. zvýšená nedôveryhodnos) odhadu pripo�ítaním kovaria�nou maticou šumu Q.

Korekciu nového stavu merania je realizovaná pomocou matica Kalmanovho zosilnenia K, ktorá tvorí ur�itú váhu. Pri výpo�te tejto matice je k matici zosilnenia pripo�ítaná aj chyba merania, �iže kovaria�ná matica šumu merania R, ktorá vytvára mieru nedôveryhodnosti merania. Matica Kalmanovho zosislnenia K je vždy menšia ako 1 a pokia� by bola matica šumu merania R rovná 0, znamená to, že meranie má 100% dôveru a je možné aplikova celú korekciu. Inak je aplikovaná vždy iba jej �as,

- 45 -

ktorá je daná pomerom nedôveryhodnosti odhadu stavu a merania[18]. Realizáciu celého princípu implementácie Kalmanovho filtru môžeme popísa do 3 �astí (vi� Obr. 6.3) :

1. Diskretizácia 2. Meranie 3. Implementácia Kalmanovho filtru

6.3.1 Diskretizácia Ke�že systém je popísaný v spojitom �ase, ako prvá bola nutná diskretizácia spojitého systému. Diskretizácia je realizovaná metódou Van Loan[9]. Ak uvažujeme dynamický systém popísaný rovnicou:

( )tGwFxx +=� (83)

kde ( ) ( )TQNtw ,0~ je biely šum, QT je kovarian�ná matica tohto šumu procesu, F je

matica prechodu z predošlého stavu do nasledujúceho a G je matica riadenia medzi šumom a stavom systému. V �alšom kroku je vytvorená matica M o rozmeroch 2n x 2n a vyplnená nasledujúcim spôsobom:

( ) tF

GTGQFM T

T

���

����

�−=

0(84)

Následne z matice M je vytvorená funkciou expm (výpo�et exponenciály) matica N :

( ) ���

����

�

ΦΦ−−−

==−

TKQMmN

0exp

1

(85)

kde Φ je matica prechodu pre diskrétny systém (vzniká transpozíciou matice TΦ ),

KQ je kovarian�ná matica šumu pre diskrétny systém, získaná prenásobením hornej

�asti matice N maticou Φ sprava.

1. 2.

3.

Obr. 6.3 Implementácia Kalmanovho filtru

- 46 -

Diskretízáciou je získaný potrebný model turbulencie pre implementáciu do Kalmanovho filtru. Pre porovnanie sú uvádzané grafy jednotlivých zložiek modelu turbulencie, ktorý poskytuje Simulink/Matlab a z diskretizácie spojitého systému (Obr. 6.4). Na Obr. 6.3. je to zobrazené ako bod 1.

Obr. 6.4 Diskrétny systém turbulencie: stavový popis (hore), model zo Simulinku (dole)

Na obrázku 6.4 je vidie menšie rozdiely vo ve�kosti amplitúdy, ale celkový popis turbulencie zo simulinku a odvodený popis je správny.

6.3.2 Meranie Meraný systém vždy obsahuje ur�itú chybu, ktorá je meraním do systému privedená. Chyba je spôsobená �i už �idlami, senzorami alebo nechceným zásahom �loveka. Tento šum (Obr. 6.3 druhý bod a šum vk) je potrebné odstráni, pri�om je to nežiadúci efekt. Na obr. 6.5 je zobrazený výstup zk diskrétneho systému ovplyvnený práve touto chybou merania, t.j. šumom vk.

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5Odvodený model turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

u - zložkav - zložkaw - zložka

5 10 15 20 25 30-5

0

5Simulinkový model turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

4 6 8 10 12-5

0

5Odvodený model turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

u - zložkav - zložkaw - zložka

4 6 8 10 12-5

0

5Simulinkový model turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

- 47 -

Obr. 6.5 Diskrétny systém po meraní so šumom

6.3.3 Implementácia Kalmanovho filtru Samotný proces a algoritmus Kalmanovho filtru bol popísaný v kapitole 3, teraz budú uvedené nejaké praktické aplikácie na systéme turbulencie. Ako už bolo spomenuté, samotná rýchlos turbulencie sa skladá z troch zložiek: pozd�žnej (u), bo�nej (v) a vertikálnej (w). Na nasledujúcich obrázkoch sú uvedené jednotlivé zložky pred meraním, po meraní, t.j. s bielym šumom merania, ktorý je realizovaný pomocou funkcie randn( ) a odhadom Kalmanovho filtru pre odstránenie tohto šumu merania.

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5Odvodený model turbulencie so šumom merania

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

u - zložkav - zložkaw - zložka

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

-4

-2

0

2

4

Odvodený model turbulencie so šumom merania

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

u - zložkav - zložkaw - zložka

- 48 -

Obr. 6.6 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre u- zložku

Obr. 6.7 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre v- zložku Na ukážku sú uvedené 3 typy šumu: biely šum („1/f0 šum“náhodný signál s rovnomernou výkonovou spektrálnou hustotou), ružový šum (známý ako „1/f1 šum“ je

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4v - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7-3

-2

-1

0

1

2

3

4

v - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

- 49 -

signál s takým frekven�ným rozsahom, že výkonová frekven�ná hustota je priamo úmerná prevrátené hodnote frekvencie) a �ervený alebo hnedý šum („1/f2 šum“ podobný ružovému šumu, ale s výkonovou frekven�nou hustotou zníženou o 6 dB za oktávu so zvyšujúcou sa frekvenciou do rozsahu frekvencí). Zobrazené spektrá šumov je možné najs v nasledujúcej tabu�ke 6.3 .

Biely šum

(White noise)

Ružový šum

(Pink noise)

�ervený (hnedý) šum

(Brown noise)

Tab. 6.3 Tabu�ka použitých šumov a ich spektier

Na tretej doposia� nezobrazenej vertikálnej ose (w) je možne na nasledujúcich obrázkoch 6.8 – 6.10 vidie chovanie sa Kalmanovho filtru na zmene šumu merania. Na obrázkoch vpravo je zobrazenie detailu, ke�že systém v celom spektre �asovej osi je nepozorovate�ný.

Obr. 6.8 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s bielym šumom a odhad pre w- zložku

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

6.2 6.4 6.6 6.8 7-3

-2

-1

0

1

2

3

4w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

- 50 -

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

Obr. 6.9 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s ružovým šumom a odhad pre w- zložku

Obr. 6.10 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, s �erveným (hnedým) šumom a odhad pre w- zložku

5 6 7 8 9 10

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

4 5 6 7 8 9-4

-3

-2

-1

0

1

2

3w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model + šum meraniaModel pred meranímOdhad

- 51 -

V závislostí na type šumu sa mení aj presnos odhadu Kalmanovho filtru a na obrázku 6.10, kde bolo do merania pridaný �ervený šum sa odhad Kalmanovho filtru z �asti drží dokonca hodnoty šumu. Najlepši odhad bol nameraný, ke� meranie bolo ovplyvnené ružovým šumom. Ten šum je najbežnejší vo ve�a fyzikálnych, biologických a ekonomických systémech. Vo fyzike je v niekterých meteorologických datových oddeleniach, elektromagnetických radia�ných výstupoch niekterých astronomických inštitúciách, a najviac v elektronických zaríadeniach.[22]

Na týchto príkladoch je vidie, že Kalmanov filter nie je dokonalý nástroj na vyhladzovanie šumu. Celý algoritmus pracuje na princípe odhadu, t.j. aj ten pracuje v ur�itej oblasti svojich odchýliek (tolerancia odhadu). Tieto odchýlky sa získavajú ako odmocniny diagonály matice P, ktorá popisuje práve neistoty odhadov stavov. Pri pripo�ítaní, resp. od�ítaní maximálnych hodnôt neistôt jednotlivých stavov je vytvorené pásmo, ktoré odpovedá smerodatnej odchýlke 1� (metricky 6� systém kontroly kvality) v ktorom sa dané odhady pohybujú a do ktorého by mal vpada aj signál pred meraním a pred ovplyvnením šumom z merania. Na nasledujúcich obrázkoch 6.11, 6.12, 6.13 sú zobrazené práve tieto pásma jednotlivých zložiek turbulenci. Pre bližšie porovnanie sú opä zobrazené signály pred meraním a odhad. Pri správne navrhnutom algoritme Kalmanovho filtru by sa mal odhad nachádza v tomto �ase po celú dobu.

Obr. 6.11 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre u- zložku

0 5 10 15 20 25 30-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

6 6.5 7 7.5 8 8.5-3

-2

-1

0

1

2

3

u - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

- 52 -

Obr. 6.12 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre v- zložku

Obr. 6.13 Zložky rýchlosti turbulencie bez šumu, odhad a 1� hranice pre w- zložku

0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4

6v - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7-3

-2

-1

0

1

2

3

v - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

6 6.5 7 7.5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

w - zložka turbulencie

as (s)

Rýc

hlos�

(m/s)

Model pred meranímOdhadHranica odhadu(+/-)

- 53 -

7. Záver Táto práca je venovaná v dnešnej dobe najviac používaným modelom turbulencií a modelom vplyvu vetra na lietadlo. Práca obsahuje podrobný popis týchto modelov a ich vzájomné porovnanie, ktoré je overované pomocou Matlabu. Pre Drydenov model turbulencie je navrhnutý Kalmanov filter a jeho funk�nos je overená v prostredí Matlab/Simulink. Model turbulencie je realizovaný v diskrétnej podobe, pretože Kalmanov filter je implementovany na po�íta�ovej (procesorovej) technike. V druhej kapitole je rozobratý problém turbulencie z matematicko – fyzikálneho h�adiska, sú tu uvedené postupy výpo�tov od tých jednoduchších až po tie, ktoré sa využívajú v dnešných výpo�toch pri návrhoch turbulencie. Práca ukazuje princíp realizácie modelov turbulencií s oh�adom na výpo�etnú náro�nos. V tretej kapitole sú predstavené modely, ktoré sa v dnešnej dobe používajú na popis vetra a turbulencie. Predstavené tu sú bloky z prostredia Matlab/Simulink a ich stru�ná funkcia a využitie. V štvrtej kapitole bol rozobratý algoritmus a aplikácia Kalmanovho filtru (spôsob realizácie, jednotlivé kroky, matice, princíp a metóda odhadu). Samotné odvodenie je nad rozsah tejto práce, ale je uvedené v prilohe{21}. V �alšej kapitole bola opísaná náro�nost algoritmov. Tá bola rozdelená do dvoch �astí, pamäovej a �asovej a bol ukázaný výpo�et náro�nosti pre obe tieto zložky. Šiesta kapitola je venovaná praktickému overeniu poznatkov v prostredí Matlab/Simulink. Je uvedený a overený výpo�et �asovej a pamäovej zložitosti, kde sa �asová zložitos výpo�tu jednotlivých modelov turbulencií pohybuje v rozmedzí 0,1-0,15 s. V tomto prípade zavážil výber špecifikácie výpo�tu, pri�om výpo�et pod�a MIL-F-8785C[14] bol rychlejší ako pod�a MIL-HDBK-1797[6]. V prípade pamäovej zložitosti menej náro�ný na pamä je výpo�et rýchlostného spektra pod�a Drydenovho modelu, ktorý zaberal 27 dátovych slov, na rozdiel od výpo�tu pod�a Von Karmanovho modelu, ktorý zaberá 48 dátovych slov. Z uvedeného vyplýva, že najjednoduchší model, �o sa týka �asovej a pamäovej zložitosti je Drydenov model výpo�tu rýchlostného spektra turbulencie popísanehého vo vojenskej špecifikácii MIL-F-8785C. Práve tento model bol diskretizovaný a implementovaný v podobe tvarovacích filtrov do Kalmanovho filtru. Táto �as úlohy pozostávala z troch bodov a to z diskretizácii (metóda Van Loan), merania a samotnej implementácie Kalmanovho filtru. Ak model turbulencie má �o najvernejšie odpoveda reálnej turbulencii, berie sa do úvahy, že

- 54 -

v praxi sa aj samotné meranie nezaobíde bez chyby, ktorá na toto meranie pôsobí. Táto chyba je aproximovaná pomocou šumu (bieleho, ružového, �erveného/hnedého) a prirátana k prúdu turbulencie. V nasledujúcom kroku je pomocou Kalmanovho filtru tento šum merania odstránený. Kapitola obsahuje �i už porovnanie modelu turbulencie v Simulinku a nami navrhnutý stavový popis, pripo�ítanie šumu ako chyby merania a samotnou implementáciu do Kalmanovho filtru. Presnos odhadu bola posudzovaná pod�a pásmo odhadu, ktoré nám pri normálnom rozložení zaru�uje dovolenú 5% odchýlku v ktorom by sa mal filtrovaný signál pohybova �o sa aj podarilo. Výsledky tejto práce budú použité pri tvorbe matematického modelu pre jednotku inerciálnej navigácie, postavenej na novom koncepte vyhodnocovania údajov z akcelorometru. Navrhnuté tvarovacie filtre budú použité k odhadu vplyvu turbulencie, ktorá sa premietne do výstupného signálu z akcelorometru Odvodenie diskrétneho modelu Von Karmanovho modelu nie je bežne k dispozícii a tú to možnos neposkytuje ani prostredie Matlab/Simulink a bolo by nad rámec tejto práce. Matematicke modelovani turbulenci je komplexni a slozita problematika, proto praxi nezbyva nez vybrat vhodnou aproximaci s ohledem na cilovou aplikaci.

- 55 -

8. Použitá literatúra [1] Adamová, Dudák, Jelen a kol.: Kapitoly z filozofie v�dy, Praha 1993. [2] Molnár, V.: Po�íta�ová dynamika tekutín, Bratislava 1995 [3] Dvo�ák, R., Kozel, K.: Matematické modelování v aerodynamice, Praha : 1996, [4] P�íhoda, J., Louda, P.: Matematické modelování turbulentního proudení, Praha

2007 [5] Prof. Ing. Brož, CSc , V.:Aerodynamika vysokých rychlostí, Praha 1995 [6] Launder B.E., Spalding D.B.: The numerical computation of turbulent flows,

Comput. Methods Appl. Mech. Eng., Vol.3, (1974), strany 269-289 [7] http://www.mathworks.com/, 25.6.2008 [8] http://www.aoe.vt.edu/~durham/AOE5214/MILSPEC8785C.pdf , 25.6.2008 [9] MIL-HDBK-1797, Flying Qualities of Piloted Aircraft. Department of Defense

Handbook, 1997. [10] Liling, R.: Monte Carlo Simulating of Wind, Cambridge [11] Brown R.,G, , Patrick Y.C. Hwang.:Introduction to random signals and applied Kalman filtering: with MATLAB exercises and solutions , 1997 [12] http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ref/kvaternionyBasista.pdf, 28.4.2008 [13] Hill, R.J.: Atmospheric Research, 2.vydanie, USA 1996, str. 153-175 [14] Soták, M., Sopata, M., Bréda, R., Rohá�, J., Váci, L.: Integrácia naviga�ných

systémov, Košice 2006, str. 159 [15] http://people.ksp.sk/~david/gjh/time.html, 25.6.2008 [16] http://cs.wikipedia.org/wiki/Asymptotická_složitost, 13.6.2008 [17] Trebatický, P.: Modifikácie Kalmanovho filtra pre trénovanie neurónových sietí,

Bratislava 2005 [18] http://robotika.cz/guide/filtering/en, 13.6.2008 [19] Grewal, S. M., Andrews, P. A.: Kalman Filtering: Theory and Practice Using

MATLAB, 2001 [20] http://sk.wikipedia.org/wiki/Aerodynamika [21] http://www.naskl.cz/vzdelavani/akce/2006/doc/04-14/5%20-%206_sigma.ppt,

1.7.2008 [22] http://cs.wikipedia.org/wiki/R�žový_šum

- 56 -

9. Prílohy Zoznam položiek CD :

{1} start

- spúšajúci m-file celej aplikácie- {2} vypocet_prenosov( )

- vypo�íta v závislosti od vstupných parametrov zadaných užívate�om jednotlivé prenosy turbulencií, ur�uje akýsi sm�r výpo�tu po nasledujcich funkciách, kde prvý stanoviskom je metóda (Dryden, Von Karman), dalšim vojenská špecifikácia a nakonec je závisle aj od výšky.

{3} dryden_HDBK( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797

{4} dryden_F( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C

{5} VonKarman_HDBK( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797

{6} VonKarman_F( ),- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C pre ve�kú výšku

{7} dryden_F_premenneMale( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C pre malú výšku

{8} dryden_F_premenneVelke( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C pre ve�kú výšku

{9} dryden_HDBK_premenneMale( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797 pre malú výšku

{10} dryden_HDBK _premenneVelke ( )

- 57 -

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a drydena vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797 pre ve�kú výšku

{11} VonKarman_F_premenneMale( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C pre malú výšku

{12} VonKarman _F_premenneVelke ( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-F-8785C pre ve�kú výšku

{13} VonKarman _ HDBK _premenneMale( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797 pre malú výšku

{14} VonKarman _ HDBK _premenneVelke ( )

- koeficienty prenosu po�ítané pod�a Von Karmana vojenskou špecifikáciou MIL-HDBK-1797 pre ve�kú výšku

{15} diskretizacia( )

- úlohou funkcie je zdikretizova pomocou Van Loanovej metódy diskretizácie {16} porovnanie_s_modelom( )

- funkcia vykres�uje vypo�ítaný model a model z Matlab / Simulink. Obsahuje navyše vykreslenie modelu so šumom merania.

{17} odhad( )

- funkcia zobrazuje grafy pre porovnanie zložiek turbulencii so šumom, bez šumu merania a odhad pomocou Kalmanovho filtru.

{18} hranice_odhadu( )

funkcia zobrazuje jednotlivé zložky turbulencií bez šumu, odhad pomocou Kalmanovho filtru a

{19} Diskretny_system_spojito.mdl

-simulinkový stavový popis porovnáva simulinkový model a odvodený model z prenosov

{20} modely_cas_priestor

- po�íta výpo�etnú (�asovú a pamäovú) náro�nos modelov {21} Kalmanov filter – odvodenie.pdf

{22} Bakalárska práca.pdf

{23} Grafy