Univerzitet u Ni²u

Prirodno-matemati£ki fakultet

Departman za matematiku

Baricentri£ni sistem koordinata

master rad

Mentor: Student:

Prof. dr Milan Zlatanovi¢ Marjan Stojanovi¢

Ni², 2017.

Temu master rada predloºio je Prof. dr Milan Zlatanovi¢.

Koristim priliku da se na ovom mestu najsrda£nije zahvalim

profesoru Milanu Zlatanovi¢u na ukazanoj stru£noj pomo¢i i sa-

vetima prilikom izrade master rada.

Ovom prilikom tako�e ºelim da se zahvalim svojoj porodici,

posebno devojci na bodrenju i razumevanju tokom studija.

Student: Marjan Stojanovi¢

1

Sadrºaj

1 Uvod i osnovni pojmovi 4

1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Geometrija masa 8

2.1 Centar mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lajbnicova vektorska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Moment inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Dokazi nekih bitnih teorema preko centra mase . . . . . . . . 23

3 Baricentri£ne koordinate 33

3.1 Euklidske baricentri£ne koordinate . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Sli£nost sa mehanikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Baricentri£ne reprezentacije su kovarijantne . . . . . . . . . . 373.4 Vektor baricentri£ne reprezentacije . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Zna£ajne ta£ke trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1 Teºi²te trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2 Visina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.3 Ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.4 Centar upisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . . . . 503.5.5 Polupre£nik upisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . 543.5.6 Centar opisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . . . . 563.5.7 Polupre£nik opisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . 60

4 Hiperboli£ke baricentri£ne koordinate 62

4.1 Ajn²tajnovo sabiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Ajn²tajnov gajrovektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²tajnovom gajrovektor-

skom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog gajrovektorskog pro-

stora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2

4.5 Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Literatura 77

3

Glava 1

Uvod i osnovni pojmovi

1.1 Uvod

Osnova£ metode o kojoj ¢e se govoriti u ovom radu bio je veliki starogr£kimislilac 1Arhimed. On je u 3. veku pre nove ere otkrio mogu¢nost dokazi-vanja novih matemati£kih £injenica pomo¢u osobina centra mase (teºi²ta).Delimi£no, na ovaj na£in on je utvrdio teoremu o tome da se tri teºi²ne linijetrougla seku u jednoj ta£ki. Razmi²ljanja Arhimeda su kasnije iskoristili irazvili mnogi geometri.

Nekoliko jednostavnih osobina centra mase dozvoljavaju da se re²e razli-£iti zadaci iz geometrije i algebre.

U to doba pojavila su se rasu�ivanja da se kori²¢enjem osobina cen-tra mase ne mogu dobiti matemati£ki ta£na re²enja geometrijskih zadataka.Ipak, takvo razmi²ljanje bilo je pogre²no.

Ideje Arhimeda ºive, razvijaju se i oboga¢uju novim sadrºajima. Po-znati nema£ki matemati£ar 2August Ferdinand Mebijus, poznat po svojimradovima u oblasti teorije brojeva, topologije, geometrije, primetio je da3baricentri£na re²enja geometrijskih zadataka dovode do uvo�enja veoma in-teresantnog sistema koordinata, koji ne li£i ni na Dekartov, ni na polarnikoordinatni sistem, ali je veoma bogat geometrijskim prilozima. Dolazi douvo�enja sistema baricentri£nih koordinata. August Ferdinand Mebijus je1827. postavio prve de�nicije i osmislio koordinatni sitem (baricentri£ni ko-ordinatni sistem).

1Arhimed (287. p.n.e. - 212. p.n.e.), starogr£ki matemati£ar, �zi£ar i astronom;2August Ferdinad Mebijus(1790-1868), nema£ki matemati£ar;3Naziv baricentar poti£e od gr£ke re£i βαρισ, ²to zna£i teºak, prema tome, baricentar

ozna£ava centar teºine (centar mase).

4

U ovom radu date su neke bitne teoreme koje su dokazane preko centramase, zatim baricentri£ne koordinate, zna£ajne ta£ke trougla kao i hiperbo-li£ke baricentri£ne koordinate.

1.2 Osnovni pojmovi

Geometrijski vektori

Za objekat posmatranja uze¢emo obi£an realni trodimenzionalni prostori koristi¢emo osnovna znanja o njemu.

Ako se za odse£ak prave u prostoru zna koja mu je po£etna a koja krajnjata£ka, onda se taj odse£ak naziva usmerenim. Usmereni odse£ak s po£etkomA i krajem B ozna£ava se sa AB, a njegova duºina sa ||AB|| i naziva seintenzitet odse£ka AB. Posmatra se i slu£aj A = B i tako dolazi do pojmausmerenog nula-odse£ka: AA = 0; jasno, njegov intenzitet je 0. Kaºe se dasu usmereni odse£ci AB i CD jednaki, i pi²e AB = CD, ako je A = C iB = D. Ako su AB i CD na paralelnim pravama, onda se kaºe da su oniistog pravca.

De�ni²imo sada ²ta zna£i da su dva usmerena odse£ka iste orjentacije.Neka AB i CD pripadaju razli£itim paralelnim pravama. Kroz A i C posta-vimo ravan ρ koja sadrºi B i D. Ako pri proizvoljnom izboru takve ravnita£ke B i D pripadaju istom poluprostoru odre�enim sa ρ, onda kaºemo dasu AB i CD istog smera ili da su iste orjentacije; u protivnom su razli£itihsmerova (a istog pravca). Ako pak AB i CD pripadaju istoj pravoj, ondaza njih kaºemo da su istog smera ako postoji tre¢i odse£ak EF koji je istogsmera i sa AB i sa CD. Za nula odse£ak smatramo da je i istog i suprotnogsmera sa svakim usmerenim odse£kom.

Nazovimo usmerene odse£ke AB i CD ekvivalentnim ako su iste duºinei istog smera. Lako je proveriti da je ovako de�nisana relacija jedna relacijaekvivalencije u skupu svih usmerenih odse£aka u prostoru. Na taj na£in seovaj skup razbija na disjunktne klase me�usobno ekvivalentnih usmerenihodse£aka.

De�nicija 1.2.1. Klase me�usobno ekvivalentnih usmerenih odse£aka nazi-vaju se (geometrijski) vektori.

Pod intenzitetom vektora −→a u oznaci ||−→a ||, podrazumeva se duºina pro-izvoljnog usmerenog odse£ka AB ∈ −→a . Ugao izme�u vektora −→a i

−→b je ugao

ϕ ∈ [0, π] izme�u proizvoljnih OA ∈ −→a i OB ∈−→b . Ako je taj ugao 0 ili π,

odnosno ako su vektori istog pravca, onda se kaºe da su −→a i−→b kolinearni,

5

pri £emu su −→a i−→b istog smera ako je ugao 0. Za tri geometrijska vektora

kaºemo da su komplanarni, ako su njima odgovaraju¢i odse£ci-predstavniciparalelni istoj ravni.

De�nicija 1.2.2. Neka je K dato polje. Pod vektorskim ili linearnim pro-storom nad poljem K podrazumeva se ure�ena £etvorka (V,K,+, ·) gde je Vneprazan skup, + : V × V → V i · : K × V → V preslikavanja takva da zaproizvoljne x, y, z ∈ V i proizvoljne α, β ∈ K vaºi:

(V.1) x+ y = y + x(V.2) x+ (y + z) = (x+ y) + z(V.3) postoji 0 ∈ V takav da je x+ 0 = x za svaki x ∈ V(V.4) za svaki x ∈ V postoji −x ∈ V takav da je x+ (−x) = 0(V.5) 1 · x = x (1 je jedinica polja K)(V.6) α · (β · x) = (αβ) · x(V.7) α · (x+ y) = α · x+ α · y(V.8) (α + β) · x = α · x+ β · xElementi iz V nazivaju se vektorima, + se naziva sabiranje vektora. Vek-

tor 0 iz (V.3) naziva se nula-vektor, a −x suprotan za x. Elementi polja Kse nazivaju skalarima, a · mnoºenje vektora skalarom. Zgodno je operacijesabiranja vektora i mnoºenje vektora skalarom zvati linearnim operacijama.

Umesto o vektorskom prostoru (V,K,+, ·) govori se jednostavno o vek-torskom prostoru V (nad poljem K), a £esto samo o prostoru V .

De�nicija 1.2.3. Neka je V realan vektorski prostor. Pod skalarnim proi-zvodom na V podrazumeva se proizvoljno preslikavanje S : V ×V → R takvoda je za proizvoljne x, y, z ∈ V i proizvoljan α ∈ R vaºe ova svojstva-aksiomeskalarnog proizvoda:

(S.1) S(x, y) = S(y, x)(S.2) S(αx, y) = αS(x, y)(S.3) S(x, y + z) = S(x, y) + S(x, z)(S.4) S(x, x) > 0 za svaki x 6= 0

De�nicija 1.2.4. Par (V, S) u kome je V realan vektorski prostor, a S ska-larni proizvod na V , naziva se euklidski vektorski prostor. Realan a�ni pro-stor sa pridruºenim euklidskim vektorskim prostorom naziva se a�ni euklidskiprostor ili samo euklidski prostor.

De�nicija 1.2.5. (i) Neka je (x): x1, x2, ..., xk kona£an sistem vektoravektorskog prostora V nad poljem K i (α): α1, α2, ..., αk sistem skalara iz Kiste duºine kao (x). Vektor

y = α1x1 + α2x2 + ...+ αkxk

6

naziva se linearna kombinacija vektora x1, x2, ..., xk sa skalarima α1, α2, ..., αk.Linearna kombinacija je netrivijalna ako je bar jedan skalar αi, i 6 k razli£itod 0 ∈ K, u suprotnom je trivijalna.

(ii) Ako je {xs : s ∈ S} beskona£an sistem vektora iz V i {αs : s ∈S} odgovaraju¢i sistem skalara, onda je linearna kombinacija vektora ovogsistema sa skalarima αs vektor

y =∑{αsxs : s ∈ S},

a to zna£i da postoji kona£an F ⊂ S takav da je αs = 0 za sve s ∈ S r F iy =

∑{αsxs : s ∈ F}.

De�nicija 1.2.6. (i) Kona£an sistem (x): x1, x2, ..., xk vektora vektorskogprostora V naziva se linearno zavisnim ako je bar jedan njegov vektor jed-nak linearnoj kombinaciji ostalih; u suprotnom sistem je linarno nezavisan.Prazan sistem vektora je po de�niciji linearno nezavisan.

(ii) Beskona£an sistem vektora iz V je linearno nezavisan ako je svakinjegov kona£an podsistem linearno nezavisan; u suprotnom sistem je linearnozavisan.

Teorema 1.2.1 (4Pitagorina teorema). U pravouglom trouglu je kvadrat du-ºine hipotenuze jednak zbiru kvadrata duºina kateta. �

Teorema 1.2.2 (Sinusna teorema). Stranice trougla odnose se kao sinusiuglova nasuprot tih stranica, tj.

a : b : c = sinα : sin β : sin γ.

Preciznije,a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ= 2R

gde je R polupre£nik opisane kruºnice oko trougla. �

Teorema 1.2.3 (Kosinusna teorema). Ako su a, b, c duºine stranica trouglai α, β, γ njegovi uglovi, tada je

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = c2 + a2 − 2ca cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. �

4Pitagora (oko 570. p. n. e. - 495. p. n. e.), anti£ki �lozof i matemati£ar.

7

Glava 2

Geometrija masa

Geometrija masa je jedna od oblasti matematike koja je nastala kombina-cijom mehanike i geometrije i od kada je formalno de�nisana predstavljala jeveoma koristan alat u re²avanju geometrijskih promblema. Geometrija masakao podoblast geometrije po£ela je da napreduje od 1827. godine kada jeAugust Ferdinand Mebijus dao prve de�nicije. Kao i sve novonastale ideje upo£etku i ova de�nicija bila je prihva¢ena ali sa sumnjom. Najve¢i kriti£arove ideje bio je 1Ko²i a £ak je i 2Gaus 1843. godine priznao da su Mebijusoveideje prili£no te²ke za razumevanje.

Mebijus je dao slede¢a tri postulata:

1. Materijalna ta£ka je ure�en par (n, P ) gde je n pozitivan broj (teºina)a P ta£ka (skra¢eno nP ).

2. nP = mQ akko m = n i P ≡ Q.

3. nP +mQ = (n+m)R gde je R na PQ i PR : RQ = m : n.

Prvi postulat se odnosi na de�niciju materijalne ta£ke. Drugi postulat od-nosi se na uobi£ajenu jednakost za ure�ene parove. Tre¢i postulat predstavljaoperaciju sabiranja materijalnih ta£aka i to tako ²to se mase uobi£ajeno sa-biraju a za rezultuju¢u ta£ku uzima centar mase ove dve ta£ke, ta£nije uzimase mesto na kome treba postaviti oslonac da bi ta£ke bile u ravnoteºi.

De�nicija 2.0.1. Materijalna ta£ka je ure�en par (m,P ) gde je m realanbroj, a P ta£ka. Kaºemo jo² da ta£ka P ima masu m. Negde se materijalnata£ka obeleºava i kao mP .

1Ogisten Luj Ko²i (1789-1857), francuski matemati£ar;2Johan Karl Fridrih Gaus (1777-1855), nema£ki matemati£ar.

8

Za razliku od prvog Mebijusovog postulata, u de�niciji materijalne ta£ke,ne zahtevamo da n bude pozitivan broj. U po£etku su se razmatrale samopozitivne mase. Pojava negativnih masa nije dovela do kontradikcije sa ovomteorijom, ali sa druge strane zna£ajno je doprinela pro²irenju ove teorije.

De�nicija 2.0.2. Materijalne ta£ke (m,A) i (n,B) se poklapaju ako je A ≡B.

De�nicija 2.0.3. Sistem materijalnih ta£aka S je kona£an skup mate-rijalnih ta£aka {(m1, A1), (m2, A2), ..., (mn, An)}, n ∈ N. Masa sistema S jesuma m1 +m2 + ...+mn.

Primetimo da se ovde radi o kona£nom skupu. Me�utim, postoje i bes-kona£ni skupovi materijalnih ta£aka sa kojima se malo druga£ije radi to sunpr. zatvorene i poluotvorene povr²ine.

2.1 Centar mase

Osnovni pojam u geometriji masa je materijalna ta£ka. U ovom deludata je de�nicija centra mase (teºi²ta), i date su osobine teºista u sistemimamaterijalnih ta£aka.

De�nicija 2.1.1. Centar mase (teºi²te) sistema materijalnih ta£aka

{(m1, A1), (m2, A2), ..., (mn, An)},

ako postoji, je ta£ka T za koju vaºi

m1

−−→TA1 +m2

−−→TA2 + ...+mn

−−→TAn =

−→0 .

Iz ove de�nicije ne moºemo zaklju£iti da li teºi²te uopste postoji ili, akopostoji, da li je jedinstveno. Odgovor nam daje slede¢a teorema:

Teorema 2.1.1. Za proizvoljan sistem materijalnih ta£aka

{(m1, A1), ..., (mn, An)},

£ija je masa razli£ita od nule, postoji jedinstveno teºi²te.

Dokaz: Ozna£imo koordinatni po£etak sa O. Ako sa obe strane de�ni-cione jednakosti m1

−−→TA1 + ...+mn

−−→TAn =

−→0 dodamo m1

−−→A1O+ ...+mn

−−→AnO

dobijamo:(m1 + ...+mn)

−→TO = m1

−−→A1O + ...+mn

−−→AnO

9

odakle je−→OT =

m1−−→OA1 + ...+mn

−−→OAn

m1 + ...+mn

jer je m1 + ...+mn 6= ~0. �ime je odre�en jedinstveni vektor teºista. �Napomena: Ako je masa sistema jednaka nuli, teºi²te je ili neodre�eno

ili ne postoji.

Teorema 2.1.2. Neka je dat sistem {(m1, A), (m2, B)} £ija je masa razli£itaod nule i koje se ne poklapaju. Tada teºi²te T tog sistema pripada pravoj ABi vaºi TA : TB = |m2| : |m1|.

Dokaz: Na osnovu de�nicije teºi²ta imamo

m1

−→TA+m2

−→TB =

−→0 ,

pa na osnovu toga imamo da su vektori−→TA i

−→TB linearno zavisni odakle sledi

da su ta£ke A,B i T kolinearne. Ako jedan sabirak de�nicione jednakosti,

m1

−→TA+m2

−→TB =

−→0 ,

prebacimo na desnu stranu i zatim izjedna£imo njihove apsolutne vrednostidobijamo

|m1||−→TA| = |m2||

−→TB|

odakle direktno sledi drugi deo teoreme. �

Pri re²avanju problema kori²¢enjem geometrije masa od posebnog zna£ajaje pregrupisavanje masa u nekom sistemu i dobijanju njemu ekvivalentnogsistema.

De�nicija 2.1.2. Dva sistema materijalnih ta£aka S1 i S2 su ekvivalentna(S1 ∼ S2) ako su im jednake mase i ako im se teºi²ta poklapaju.

Ako je S sistem mase m 6= 0 £ije je teºi²te T onda je o£igledno

S v (m,T ).

Drugim re£ima, svaki sistem materijalnih ta£aka mase razli£ite od nule, mo-ºemo svesti na jednu materijalnu ta£u koja ima isti uticaj na okolinu kao ceosistem. Na ovaj na£in mnogi problemi iz �zike se upro²¢avaju. Neka nam jepoznat sistem od n+ 1 materijalnih ta£aka i odredili smo teºi²te za prvih n.Postavlja se pitanje kako odrediti teºi²te za sve materijalne ta£ke. Odgovornam daje slede¢a teorema:

10

Teorema 2.1.3. Neka je S = {(m1, A1), ..., (mn+1, An+1)}, £ija je masa ra-zli£ita od nule i neka je m = m1 + ... + mn 6= 0. Neka je T teºi²te sistema{(m1, A1), ..., (mn, An)}. Tada je S v {(m,T ), (mn+1, An+1)}.

Dokaz: Mase ova dva sistema su o£igledno jednake. Neka je T ′ te-ºi²te sistema S. Dovoljno je pokazati da je to ujedno i teºi²te sistema{(m,T ), (mn+1, An+1)}. Ozna£imo koordinatni po£etak sa O. Na osnovujednakosti

−→OT =

m1

−−→OA1 + ...+mn

−−→OAn

m1 + ...+mn

iz dokaza jedne od prethodnih teorema imamo

−−→OT ′ =

m1−−→OA1 + ...+mn+1

−−−−→OAn+1

m1 + ...+mn+1

i−→OT =

m1

−−→OA1 + ...+mn

−−→OAn

m1 + ...+mn

.

Kombinacijom ove dve jednakosti dobijamo:

−−→OT ′ =

m−→OT +mn+1

−−−−→OAn+1

m+mn+1

.

Dobijena jednakost predstavlja vektor poloºaja teºi²ta sistema

{(m,T ), (mn+1, An+1)},

a to je i trebalo pokazati. �

Primer 2.1.1. Neka je T baricentar sistema S. Ako su T1 i T2 baricentrikomplementnih skupova ta£aka A1, ..., Ap i Ap+1, ..., Am kojima su pridruºeniisti brojevi (k1, ..., km), tada se ta£ka T poklapa sa baricentrom skupa koji sesastoji iz ta£aka T1 i T2, kojima su redom pridruºeni brojevi k1 + ... + kp ikp+1 + ...+ km. Dokazati.

Re²enje: Na osnovu de�nicije baricentra je

k1−−→TA1 + ...+ km

−−−→TAm =

−→0 ,

(k1 + ...+ kp)−−→TT1 = k1

−−→TA1 + ...+ kp

−−→TAp,

(kp+1 + ...+ km)−−→TT2 = kp+1

−−−−→TAp+1 + ...+ km

−−−→TAm.

11

Iz ove tri jednakosti sledi da je

(k1 + ...+ kp)−−→TT1 + (kp+1 + ...+ km)

−−→TT2 =

−→0 ,

pa je ta£ka T baricentar skupa koji se sastoji iz ta£aka T1 i T2, kojima suredom pridruºeni brojevi k1, ..., kp i kp+1 + ...+ km. �

Primer 2.1.2. Dokazati da baricentar sistema ta£aka A1, ..., Am, kojima suredom pridruºeni pozitivni brojevi k1, ..., km, pripada svakoj konveksnoj �guriΦ koja sadrºi ta£ke A1, ..., Am.

Re²enje: Ako je m = 1 i m = 2 tvr�enje neposredno sledi. Za m > 2tvr�enje ¢e biti dokazano matemati£kom indukcijom. Neka tvr�enje vaºi zaneko m − 1, tj neka svaka konveksna �gura koja sadrºi ta£ke A1, ..., Am−1optere¢ene odgovaraju¢im masama sadrºi i njihov baricentar T ′. Prema de-�niciji baricentra je

k1−−→TA1 + ...+ km

−−−→TAm =

−→0 ,

k1−−→TA1 + ...+ km−1

−−−−→TAm−1 = (k1 + ...+ km−1)

−−→TT ′.

Iz ovih dveju jednakosti sledi da je

(k1 + ...+ km−1)−−→TT ′ + km

−−−→TAm =

−→0 .

Stoga je ta£ka T baricentar dveju ta£aka T ′ i Am kojima su redom pridruºenibrojevi k1, ..., km−1 i km. Kako su ovi brojevi pozitivni, ta£ka T se nalaziizme�u ta£aka T ′ i Am, pa pripada konveksnoj �guri Φ. �

Primer 2.1.3. Ako su (A1, A′1), (A2, A

′2),..., (Am, A

′m) parovi ta£aka prostora

En, optere¢eni masama k1, ..., km, k = k1 + ... + km 6= 0, a T i T ′ baricentrim- torki A1, ..., Am i A′1, ..., A

′m, dokazati da je

k1−−−→A1A

′1 + k2

−−−→A2A

′2 + ...+ km

−−−−→AmA

′m = k

−−→TT ′.

Re²enje: Kako je

−−→TT ′ =

−−→TAi +

−−→AiA

′i +−−→A′iT

′, 1 ≤ i ≤ m,

12

to je

k−−→TT ′ =

m∑i=1

ki−−→TT ′ =

m∑i=1

ki(−−→TAi +

−−→AiA

′i +−−→A′iT

′)

=m∑i=1

ki−−→TAi +

m∑i=1

ki−−→AiA

′i +

m∑i=1

ki−−→A′iT

′

=m∑i=1

ki−−→AiA

′i,

jer su T i T ′ baricentri odgovaraju¢ih sistema ta£aka sa odgovaraju¢im op-tere¢enjima. �

Primer 2.1.4. Ako su (A1, A′1), (A2, A

′2),..., (Am, A

′m) parovi ta£aka prostora

En, a T i T ′ baricentri m- torki A1, ..., Am i A′1, ..., A′m, dokazati da je

−−−→A1A

′1 +−−−→A2A

′2 + ...+

−−−−→AmA

′m = m

−−→TT ′.

Re²enje: Primenom prethodnog primera za k1 = ... = km = 1. �

Primer 2.1.5. Neka je T teºi²te £etvorougla ABCD (koji ne mora biti ravan)i P , Q, R i S teºi²ta trouglova ABD, BCA, CDB i DAC redom. Ako je Gteºi²te £etvorougla PQRS, proveriti da li je T ≡ G

Re²enje: Kako je

−→AP =

1

3(−→AB +

−−→AD),

−−→BQ =

1

3(−−→BC +

−→BA),

−→CR =

1

3(−−→CD +

−−→CB),

−→DS =

1

3(−−→DA+

−−→DC),

to je −→AP +

−−→BQ+

−→CR +

−→DS =

−→0 .

Na osnovu prethodnog primera je

−→AP +

−−→BQ+

−→CR +

−→DS = 4

−→TG,

pa je T ≡ G. �

13

2.2 Lajbnicova vektorska funkcija

U ovom odeljku razmatra se sistem sastavljen od kona£nog broja ta£aka

A1, A2, ..., Am

prostora En (n = 1, 2, 3) kojima su respektivno pridruºeni realni brojevik1, ..., km. Takvi sistemi razmatraju se ne samo u geometriji ve¢ i u dru-gim nau£nim oblastima. U mehanici se kaºe da su u takvom sistemu ta£keA1, ..., Am optere¢ene masama £ije se veli£ine izraºavaju respektivno broje-vima k1, ..., km. Razmatranju ovakvih sistema u geometriji pristupa se uvo-�enjem tzv. Lajbnicove vektorske funkcije.

De�nicija 2.2.1. 3Lajbnicovom vektorskom funkcijom sistema sasta-vljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni brojevi k1, ..., km nazivamo preslikavanje f : En −→ En odre�enorelacijom

f(P ) = k1−−→PA1 + ...+ km

−−−→PAm.

Teorema 2.2.1. Ako je f Lajbnicova vektorska funkcija sistema sastavlje-nog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni brojevi k1, ..., km tada za svake dve ta£ke P i Q prostora En vaºirelacija

f(P ) = f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ.

Dokaz:

f(P ) = k1−−→PA1 + ...+ km

−−−→PAm

= k1(−→PQ+

−−→QA1) + ...+ km(

−→PQ+

−−−→QAm)

= k1−−→QA1 + ...+ km

−−−→QAm + (k1 + ...+ km)

−→PQ

= f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ. �

Teorema 2.2.2. Lajbnicova vektorska funkcija f sistema sastavljenog iz ko-na£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivno pridruºenibrojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+ km = 0 predstavlja konstantu.

Dokaz: Ako obeleºimo sa P i Q bilo koje dve ta£ke prostora En, premaprethodnoj teoremi imamo da je

f(P ) = f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ.

3Gotfrid Vilhem Lajbnic (1646-1716), nema£ki matemati£ar.

14

Po pretpostavci jek1 + ...+ km = 0,

pa je f(P ) = f(Q). Stoga je pri uslovu k1+ ...+km = 0 Lajbnicova vektorskafunkcija konstanta. �

Teorema 2.2.3. Lajbnicova vektorska funkcija f sistema sastavljenog iz ko-na£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivno pridruºenibrojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+ km 6= 0 je bijektivna.

Dokaz: Svakoj ta£ki X ∈ En jednozna£no je korespondiran vektor−→x ∈

−→En takav da je f(x) = −→x . Ako obeleºimo sa O �ksiranu ta£ku prostora

En, imamo da je

f(x) = f(O) + (k1 + ...+ km)−−→XO = −→x .

Iz poslednje jednakosti dobijamo relaciju

−−→OX =

f(O)−−→xk1 + ...+ km

iz koje neposredno zaklju£ujemo da je svaki vektor −→x ∈−→En slika samo jedne

ta£ke X ∈ En. �

De�nicija 2.2.2. Lajbnicovom skalarnom funkcijom sistema sastavlje-nog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni realni brojevi k1, ..., km, nazivamo preslikavanje Ψ : En −→ Rodre�eno relacijom

Ψ(P ) = k1PA12

+ ...+ kmPAm2.

Teorema 2.2.4. Ako je Ψ Lajbnicova skalarna funkcija i f Lajbnicova vek-torska funkcija sistema sastavljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am pro-stora En kojima su respektivno pridruºeni realni brojevi k1, ..., km, tada zasvake dve ta£ke P i Q prostora En vaºi relacija

Ψ(P ) = Ψ(Q) + 2−→PQf(Q) + (k1 + ...+ km)PQ

2.

Dokaz: Saglasno de�niciji Lajbnicove skalarne i vektorske funkcije, imamoda je

Ψ(P ) = k1PA12

+ ...+ kmPAm2

= k1(−→PQ+

−−→QA1)

2 + ...+ km(−→PQ+

−−−→QAm)2

= Ψ(Q) + 2−→PQf(Q) + (k1 + ...+ km)PQ

2. �

15

Teorema 2.2.5 (Lajbnic). Ako je Ψ Lajbnicova skalarna funkcija i T bari-centar sistema sastavljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En

kojima su respektivno pridruºeni realni brojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+km 6= 0 tada za svaku ta£ku P ∈ En vaºi relacija

Ψ(P ) = Ψ(T ) + (k1 + ...+ km)PT2.

Dokaz: Koriste¢i de�niciju Lajbnicove skalarne funkcije Ψ i baricentra,nalazimo da je

Ψ(P ) = k1PA12

+ ...+ kmPAm2

= k1(−→PT +

−−→TA1)

2 + ...+ km(−→PT +

−−−→TAm)2

= Ψ(T ) + (k1 + ...+ km)PT2. �

Teorema 2.2.6 (4Stjuart). Ako su A,B,C tri razne ta£ke prave s ⊂ En,tada za svaku ta£ku P ∈ En vaºi relacija:

BC · PA2+ CA · PB2

+ AB · PC2+ AB ·BC · CA = 0.

Dokaz: Razmotrimo sistem sastavljen iz ta£aka A,B,C, kojima se re-spektivno pridruºuju realni brojevi BC, CA, AB. S obzirom da ta£ke A,B,Cpripadaju jednoj osi imamo da je

BC + CA+ AB = 0.

Stoga je Lajbnicova vektorska funkcija f pomenutog sistema konstantna, paje f(P ) = f(A). Nije te²ko dokazati da je f(A) nula vektor. Zaista, akoobeleºimo sa −→e jedini£ni vektor ose s, nalazimo da je

f(A) = BC ·−→AA+ CA ·

−→AB + AB ·

−→AC

= CA · AB · −→e + AB · AC · −→e= AB · (CA+ AC) · −→e =

−→0 .

Primenom teoreme 2.2.4 nalazimo da se Lajbnicova skalarna funkcija Ψ raz-matranog sistema moºe napisati u obliku:

Ψ(P ) = Ψ(A) + 2PAf(A) = Ψ(A)

= CA · AB2+ AB · AC2

= AB · CA · (AB + CA)

= −AB ·BC · CA. �

4James Stewart (1941-2014), ameri£ki matemati£ar.

16

Primer 2.2.1. Neka je dat kona£an skup ta£aka A1, ..., Am ravni E2 i kona-£an skup realnih brojeva k1, ..., km i l takvih da je k1 + ... + km 6= 0. Odrediskup Φ svih ta£aka P ∈ E2 za koje je

k1PA12

+ ...+ kmPAm2

= l

Re²enje: Ako obeleºimo sa T baricentar sistema

{(A1, k1), (A2, k2), ..., (Am, km)},

primenom Lajbnicove teoreme nalazimo da je

k1PA12

+ ...+ kmPAm2

= k1TA12

+ ...+ kmTAm2

+ kPT2

gde je k = k1 + ...+ km. Budu¢i da je ta£ka T jednozna£no odre�ena, zbir

k1TA12

+ ...+ kmTAm2

obeleºimo sa d. U tom slu£aju imamo da je l = d+ kPT2, tj

PT2

=1

k(l − d).

Prema znaku razlikujemo tri slu£aja:

1. Ako je 1k(l− d) > 0 skup Φ predstavlja krug kojem je sredi²te ta£ka T ,

a polupre£nik r =√

1k(l − d).

2. Ako je 1k(l − d) = 0 skup Φ se sastoji iz samo jedne ta£ke, to je ta£ka

T .

3. Ako je 1k(l − d) < 0 bi¢e Φ = ∅. �

Primer 2.2.2. U ravni su date ta£ke A1, ..., An. Na¢i geometrijsko mestota£aka u ravni £iji je zbir kvadrata rastojanja od datih ta£aka konstantan, uzuslov da ta£ka A1 pripada traºenom skupu ta£aka.

Re²enje: Primeniti prethodni primer za k1 = ... = kn = 1. Traºeno geome-trijsko mesto ta£aka je krug £iji je centar teºi²te sistema datih ta£aka T , apolupre£nik jednak A1T . �

Primer 2.2.3. Ako su A1, B1 i C1 sredi²ta stranica BC,CA i AB trouglaABC, dokazati da je

1. AA12

= 14(2 · AB2

+ 2 · AC2 −BC2)

17

2. AA12

+BB12

+ CC12

= 34(AB

2+BC

2+ CA

2)

1. na£in: Kako je−−→AA1 =

1

2(−→AB +

−→AC),

koriste¢i kosinusnu teoremu

|−→AB||

−→AC| cosα =

1

2(AB

2+ AC

2 −BC2),

sledi:

4AA12

= AB2

+ AC2

+ 2|−→AB||

−→AC| cosα

= AB2

+ AC2

+ AB2

+ AC2 −BC2

= 2 · AB2+ 2 · AC2 −BC2

.

2. na£in: Koriste¢i Stjuartovu teoremu za slu£aj P −→ A i A −→ A1 dobijase

BC · AA12

+ CA1 · AB2

+ A1B · AC2

+ A1B ·BC · CA1 = 0

²to je drugi oblik traºene relacije. �Napomena: Odavde se lako dobija i relacija

AA12

+BB12

+ CC12

=3

4(AB

2+BC

2+ CA

2),

pri £emu su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i AB.

Primer 2.2.4. Ako je T teºi²te trougla ABC dokazati da je

AT2

+BT2

+ CT2

=1

3(AB

2+BC

2+ CA

2).

Re²enje: Ako su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i AB, ondavaºi

AT =2

3AA1,

i sli£no za BT i CT , pa se na osnovu prethodnog primera dobija traºenarelacija. �

Primer 2.2.5. Ako je T teºi²te, H ortocentar i O centar kruga opisanog okotrougla ABC, dokazati da je

1. OT2

= OA2 − 1

9· (AB2

+BC2

+ CA2);

18

2. OH2

= 9 ·OA2 − (AB2

+BC2

+ CA2).

Re²enje:

1. Kako je T baricentar sistema ta£aka A,B,C sa optere¢enjima k1 =k2 = k3 = 1, na osnovu Lajbnicove teoreme vaºi relacija

Ψ(O) = Ψ(T ) + (k1 + k2 + k3)OT2

= Ψ(T ) + 3 ·OT 2

tj.OA

2+OB

2+OC

2= AT

2+BT

2+ CT

2+ 3 ·OT 2

,

pa je

OT2

=1

3· (OA2

+OB2

+OC2)− 1

3· (AT 2

+BT2

+ CT2).

Kako je O centar kruga opisanog oko trougla ABC, to je OA = OB = OC,pa se na osnovu prethodnog primera dobija

OT2

=1

3· (3 ·OA2

)− 1

3· 1

3· (AB2

+BC2

+ CA2)

= OA2 − 1

9· (AB2

+BC2

+ CA2).

2. Na osnovu rezultata dobijenog pod 1. sledi da je:

9 ·OT 2= 9 ·OA2 − (AB

2+BC

2+ CA

2),

pa je dovoljno dokazati da je

9 ·OT 2= 9 ·OH2

,

tj.OT = OH. �

2.3 Moment inercije

U �zici, moment inercije tela predstavlja meru inertnosti tela za rota-ciono kretanje, analogno masi pri pravolinijskom kretanju. �to je momentinercije nekog tela ve¢i, teºe ga je pokrenuti da rotira odnosno teºe je zau-staviti njegovu rotaciju. Me�utim, za razliku od mase, moment inercije nijenepromenljiva veli£ina ve¢ zavisi od ose oko koje rotira telo.

Moment inercije je prvi put de�nisao 5Ojler u radovima o dinamici £vr-stih tela, £ime je zna£ajno pojednostavio matemati£ki tretman te oblastimehanike.

5Leonard Ojler (1707-1783), ²vajcarski matemati£ar.

19

De�nicija 2.3.1. Moment inercije sistema materijalnih ta£aka

{(m1, A1), ..., (mn, An)}

u odnosu na proizvoljnu ta£ku M , u oznaci IM , je broj

IM = m1MA12

+ ...+mnMAn2.

Slede dve bitne teoreme o momentu inercije.

Teorema 2.3.1 (6�tajner-7Lagranºov zakon). Za moment inercije u odnosuna proizvoljnu ta£ku M vaºi

IM = IT +mMT2,

gde je m = m1 + ...+mn, dok je T teºi²te posmatranog sistema.

Dokaz: Na osnovu de�nicije momenta inercije i osobina teºi²ta dobijamo:

IM = m1MA12

+ ...+mnMAn2

= m1(−−−→MA1)

2 + ...+mn(−−−→MAn)2

= m1(−−→MT +

−−→TA1)

2 + ...+mn(−−→MT +

−−→TAn)2

= mMT2

+ 2−−→MT (m1

−−→TA1 + ...+mn

−−→TAn) + IT

= mMT2

+ IT . �

Posledica 2.3.2. Za dati sistem materijalnih ta£aka, £ija je masa ve¢a odnule, moment inercije je najmanji u odnosu na teºi²te. �

Zaista, kako je mMT2 ≥ 0, vaºi nejednakost IM ≥ IT u kojoj jednakost

vaºi ako i samo ako je M ≡ T .

Teorema 2.3.3 (8Jakobijeva teorema). Moment inercije u odnosu na teºi²tesistema dat je izrazom

IT =1

m

∑1≤i<j≤n

mimjAiAj2,

gde je m = m1 + ...+mn.

6Rudolf �tajner (1861-1925), austrijski matemati£ar;7�ozef Luj Lagranº (1736-1813), francuski matemati£ar;8Karl Gustav Jakobi (1804-1851), nema£ki matemati£ar.

20

Dokaz: Ako primenimo �tajner-Lagranºov zakon u slu£aju kada jeM = Ai, gde je Ai, jedna od ta£aka sistema, dobijamo

IAi = IT +mAiT2.

Ako obe strane dobijenog izraza pomnoºimo sa mi i tako dobijenu jednakostsumiramo po indeksu i, dobijamo

n∑i=1

IAimi =n∑i=1

ITmi +m

n∑i=1

miAiT2

n∑i=1

n∑j=1

mjAiAj2mi = mIT +mIT

2 ·∑

1≤i<j≤n

mimjAiAj2

= 2mIT

IT =1

m

∑1≤i<j≤n

mimjAiAj2,

²to je trebalo dokazati. �

Posledica 2.3.4 (Moment inercije trougla). Moment inercije trougla ABC,sa jedini£nim masama u temenima, gde su a, b i c stranice trougla, u odnosuna njegovo teºi²te je

IT =1

3(a2 + b2 + c2). �

Kombinovanjem ove dve teoreme mogu¢e je lako i elegantno re²iti £itavuklasu problema koji bi, kori²¢enjem neke druge metode, bili jako te²ko ura-divi.

Primer 2.3.1. Izra£unati rastojanje izme�u teºi²ta T i centra opisane kru-ºnice O trougla ABC u funkciji od njegovih stranica a, b i c.

Re²enje: Ako u temena trougla postavimo jedini£ne mase, centar masedobijenog sistema je upravo teºi²te trougla. �tajner-Lagranºov zakon prime-njen na ta£ku O daje

IO = IT + 3 ·OT 2.

Iz de�nicije momenta inercije i iz Jakobijeve teoreme dobijamo

IO = 3R2

IT =1

3(a2 + b2 + c2)

21

odakle je

OT2

= R2 − 1

9· (a2 + b2 + c2).

(Polupre£nik opisanog kruga R mogu¢e je lako izra£unati u funkciji od stra-nica). �

Primer 2.3.2. Izra£unati rastojanje izme�u centra upisane kruºnice I i cen-tra opisane kruºnice O trougla ABC.

Re²enje: Neka su A1, B1 i C1 redom preseci simetrala uglova ∠A,∠B i∠C sa naspramnim stranicama. Postavimo mase ka, kb i kc (k 6= o) radomu temena A,B i C. Poznato je da vaºi

BA1 : A1C = AB : AC = c : b

i analogno za ostala temena. Prema tome teºi²te sistema {(kb,B), (kc, C)}je upravo ta£ka A1 i analogno za ostale. Sledi

{(ka,A), (kb, B), (kc, C)} v {(ka,A), (k(b+ c), A1)}v {(kb,B), (k(c+ a), B1)}v {(kc, C), (k(a+ b), C1)}

odnosno teºi²te sistema pripada pravama AA1, BB1 i CC1 pa se prema tomeone seku u jednoj ta£ki (centru upisane kruºnice). Dakle sledi da je centarmase dobijenog sistema upavo centar upisane kuºnice I.

�tajner-Lagranºov zakon u odnosu na ta£ku O daje

IO = II + k(a+ b+ c)OI2,

dok iz Jakobijeve teoreme sledi

II =k2(abc2 + ab2c+ a2bc)

k(a+ b+ c)= kabc.

Iz de�nicije momenta inercije sledi

IO = k(a+ b+ c)R2,

pa je

OI2

=IO − II

k(a+ b+ c)= R2 − abc

a+ b+ c.

Iz poznatih jednakosti

R =abc

4P

22

ir =

2P

a+ b+ c

slediabc

a+ b+ c= 2Rr,

odakle je kona£noOI

2= R(R− 2r). �

Ovu formulu prvi je izveo Ojler. Iz nje neposredno sledi da je R ≥ 2r.

2.4 Dokazi nekih bitnih teorema preko centra

mase

Poznati matemati£ari kao ²to su 9Van Obel,10�eva, 11Menelaj i drugibavili su se problemima teºi²ta sistema materijalnih ta£aka i u ovom poglavljudokaza¢u njihove teoreme, kao i postojanje Simpsonove prave.

Teorema 2.4.1 (Van Obelova teorema). Neka su ta£ke A,B i C temenatrougla; AA1, BB1 i CC1 duºi: A1, B1 i C1 redom pripadaju stranicamaBC, CA, AB i sve se seku u jednoj ta£ki M . Ako vaºi AC1 : C1B = p iAB1 : B1C = q onda je i AM : MA1 = p+ q.

Dokaz:

Slika 2.1

9Van Obel, belgijski matemati£ar.10Giovanni Ceva (1879-1955), italijanski matemati£ar.11Menelaj Aleksandrijski (70-140 n.e.),gr£ki matemati£ar.

23

Dodelimo mase 1, p, q redom u ta£ke A, B, C (Slika 2.1). Tada su A1,B1, C1 redom centri masa sistema

{(p,B), (q, C)},

{(1, A), (q, C)}

i{(1, A), (p,B)},

jer vaºi:AC1 : C1B = p : 1

AB1 : B1C = q : 1

M je centar mase sistema {(1, A), (p,B), (q, C)} i iz toga sledi da je

AM : MA1 = (p+ q) : 1. �

Italijanski matemati£ar Ðovani �eva (1648− 1743) bavio se slede¢im pi-tanjem: Na stranicama BC,CA i AB trougla ABC su izabrane redom ta£keA1, B1 i C1. Moºe li se bez ikakvih docrtavanja i merenja unutar ugla, za-klju£iti da se prave AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki? �eva je odgovoriona ovo pitanje 1678. godine kada je dokazao slede¢u teoremu:

Teorema 2.4.2 (�evina teorema:). Neka su ta£ke D, E, i F redom iza-brane na stranicama BC, CA, AB trougla ABC ili na njihovim produºe-cima. Prave AD, BE, CF su konkurentne ako i samo ako vaºi uslov (�evinuslov):

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= 1

Dokaz: Pretpostavimo najpre da su prave AD, BE, CF konkurentne(Slika 2.2). Neka vaºe odnosi:

−−→BD :

−−→DC = p : 1

i −−→CE :

−→EA = q : 1.

Postavimo redom mase pq, 1, p u temena A, B, C. Tada su ta£ke D i Eredom teºi²ta sistema

{(1, B).(p, C)}

24

Slika 2.2

i{(p, C), (pq, A)}.

U preseku pravih BE i AD se nalazi teºi²te T sistema

{(pq, A), (1, B), (p, C)}.

Kako prava CF sadrºi teºi²te T , to je ta£ka F teºi²te sistema

{(pq, A), (1, B)}.

iz toga sledi da je −→AF :

−−→FB = 1 : pq.

Dakle, −−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

=p

1· q

1· 1

pq= 1

Posmatrajmo sada u suprotnom, ako vaºi−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= 1,

treba pokazati da su prave AD, BE, CF konkurentne. Pretpostavimo su-protno, da se ne seku u jednoj ta£ki. Tada postoji ta£ka F ′ na pravoj ABtakva da je ta£ka T na pravoj CF ′. Na osnovu prvog smera vaºi:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−−→AF ′

−−→F ′B

= 1

25

Na osnovu pretpostavke vaºi:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= 1

Iz poslednjih jednakosti sledi da je

−−→AF ′

−−→F ′B

=

−→AF−−→FB

.

Po²to su ta£ke A, F ′, F i B kolinearne, to se ta£ke F ′ i F poklapaju a to jekontradikcija. Postoji slu£aj kada je uslov zadovoljen, a prave su paralelne(kada je zbir masa jednak nuli). Me�utim, taj slu£aj ne¢emo razmatrati zato²to ne moºe da se dokaºe preko osobina centra masa. �

Primer 2.4.1. Neka su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i ABtrougla ABC. Tada se AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki koja te duºi deliu odnosu 2 : 1 (osnovna osobina teºi²ta).

Re²enje: Po²to su BA1 = A1C, CB1 = B1A, AC1 = C1B, vaºi:

Slika 2.3

−−→BA1−−→A1C

·−−→CB1−−→B1A

·−−→AC1−−→C1B

= 1.

26

Iz �evine teoreme sledi da se duºi AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki i nekaje to ta£ka T (Slika 2.3). Pridruºimo svakom temenu A,B i C masu 1. Tadaje A1 teºi²te sistema

{(1, B), (1, C)},a B1 teºi²te sistema

{(1, A), (1, C)},pa je T teºi²te sistema

{(1, A), (1, B), (1, C)}.

Sledi da je T teºi²te sistema

{(2, A1), (1, A)}

pa jeAT : TA1 = 2 : 1

sli£no dobijamo da jeBT : TB1 = 2 : 1

iCT : TC1 = 2 : 1. �

Starogr£ki matemati£ar Menelaj je dokazao teoremu vrlo sli£nu prethod-noj, a koja govori o kolinearnosti ta£aka na pravama kojima pripadaju stra-nice trougla.

Teorema 2.4.3 (Menelajeva teorema). Neka su u trouglu ABC ta£ke D, Ei F izabrane redom na stranicama (ili na njihovim produºecima) BC, CA,AB. Ta£ke su kolinearne ako i samo ako vaºi jednakost:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= −1.

Dokaz: Pretpostavimo da su ta£keD, E i F kolinearne. Razlikujemo dvaslu£aja: kada prava odre�ena ta£kamaD, E, F se£e dve stranice i produºetaktre¢e (Slika 2.4) i kada ta prava se£e sva tri produºetka stranica (Slika 2.5).

1.Slu£aj:

Neka je F centar mase sistema

{(mA, A), (mB, B)}

27

Slika 2.4

i neka je C centar mase sistema

{(mD, D), (mB, B)}.

Tada se u preseku pravih AC i DF nalazi teºi²te sistema

{(mA, A), (mB, B), (mD, D)}

i vaºe slede¢e jednakosti:(1) mB

−−→CB +mD

−−→CD =

−→0

(2) mA−→FA+mB

−−→FB =

−→0

(3) mA

−→EA+ (mB +mD)

−−→EC =

−→0 .

Iz jednakosti (1) sledi:

−−→BC−−→CD

=mD

mB

,

−−→BC−−→CD

+

−−→CD−−→CD

=mD

mB

+1

1,

−−→BD−−→DC

= −mB +mD

mB

.

Na sli£an na£in se i iz druge dve jednakosti moºe pokazati da vaºi:

−→AF−−→FB

=mB

mA

,

−−→CE−→EA

=mA

mB +mD

.

28

Kad poslednje tri jednakosti pomnoºimo dobijemo:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= −mB +mD

mB

· mB

mA

· mA

mB +mD

= −1.

2. Slu£aj: Neka je C centar mase sistema

Slika 2.5

{(mB, B), (mD, D)},

i F centar mase sistema

{(mE, E), (mD, D)}.

Tada je A centar mase sistema

{(mE, E), (mB, B), (mD, D)}.

Analogno prvom slu£aju, dobija se da vaºi:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= −mB +mD

mB

· mB

mA

· mA

mB +mD

= −1.

Posmatrajmo u drugom smeru: polaze¢i od poslednje jednakosti,treba dadokaºemo da su ta£ke D, E i F kolinearne.

Pretpostavimo da vaºi suprotno, tj. da D, E i F nisu kolinearne. Tadapostoji ta£ka F ′ na pravoj AD takva da su D, E i F ′ kolinearne. Na osnovuprvog smera vaºi

{(mE, E), (mB, B), (mD, D)}.

29

Analogno prvom slu£aju, dobija se da vaºi:

−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−−→AF ′

−−→F ′B

= −1,

a na osnovu pretpostavke−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB

= −1.

Iz toga sledi: −−→AF ′

−−→F ′B

=

−→AF−−→FB

.

Po²to su A, B, F , F ′ kolinearne to je F ≡ F ′. Kontradikcija.

Teorema 2.4.4 (12 Simpsonova teorema). Iz proizvoljne ta£ke M koja senalazi na kruºnici povu£ene su normale na sve tri stranice (ili na njihoveproduºetke) trougla ABC koji je upisan u tu kruºnicu. Podnoºja tih normalaA1, B1 i C1 su kolinearne ta£ke.

Dokaz: Dokaºimo da je ispunjen uslov Menelajeve teoreme za kolinear-nost ta£aka A1, B1 i C1, tj.

−−→BA1−−→A1C

·−−→CB1−−→B1A

·−−→AC1−−→C1B

= −1.

Neka su oznake ta£aka uvedene kao na slici i neka je ∠MBA = α, ∠MBC =β, ∠MCB = γ (Slika 2.6). Koriste¢i tvr�enje o jednakosti periferijskihuglova nad istim lukom sledi

∠MBA = ∠MCA = α

i∠MCB = ∠MAB = γ.

Iz pravouglog trougla MA1C sledi

A1C

A1M= ctg γ,

i iz pravouglog trougla MA1B sledi

A1B

A1M= ctg(π − β) = − ctg β,

12Thomas Simpson (1710-1761), britanski matemati£ar.

30

Slika 2.6

pa dobijamo da je −−→BA1−−→CA1

= −ctg β

ctg γ.

Stoga ako postavimo mase ctg β (< 0) i ctg γ redom u ta£ke C i B, tada jeta£ka A1 centar mase sistema

{(ctg β,B), (ctg γ, C)}.

Postavimo masu ctgα u ta£ku A. Po²to je masa u ta£ki B jednaka ctg γ toje C1 centar mase sistema

{(ctgα,A), (ctg γ,B)},

i vaºi −−→AC1−−→C1B

=ctg γ

ctgα.

31

Iz pravouglog trougla MB1C sledi

CB1

MB1

= ctgα

i iz pravouglog trougla MAB1 sledi

AB1

MA= ctg(∠MAB1) = ctg(π − β) = − ctg β.

Neka je ta£ka A′ centralno simetri£na ta£ki A u odnosu na ta£ku B1 i posta-vimo masu ctgα u A′. Kako je AB1 = B1A′ i vaºi raspored ta£aka B1−A′−Csledi da je

A′B1

CB1

= −ctg β

ctgα

tj. −−→CB1−−→B1A

′=

ctgα

ctg β.

Dakle B1 je centar mase sistema

{(ctgα,A′), (ctg γ, C)}.

Po²to je B1 sredi²te duºi AA′ to je

−−→B1A

′ = −−−→B1A,

onda je −−→CB1−−→B1A

= −ctgα

ctg β.

Tada je −−→BA1−−→A1C

·−−→CB1−−→B1A

·−−→AC1−−→C1B

=ctg β

ctg γ· − ctgα

ctg β· ctg γ

ctgα= −1.

Iz poslednje jednakosti, na osnovu Menelajeve teoreme, sledi da su ta£keA1, B1 i C1 kolinearne. �

32

Glava 3

Baricentri£ne koordinate

U cilju diskusije baricentri£nog ra£una u ovom poglavlju predstavljamobaricentri£ne koordinate, koje koristimo za odre�ivanje nekoliko ta£aka trou-gla. Trouglovi, za razliku od paralelograma i krugova imaju nekoliko ta£aka,od kojih su £etri ve¢ poznata iz drevne Gr£ke. Te £etri poznate ta£ke trouglasu: teºi²te T , ortocentar H, centar upisanog kruga I i centar opisanog krugaO. Ta£ke T,H i O su kolinearne i leºe na pravoj koja se zove Ojlerova prava.

• Teºi²te trougla, T , je ta£ka koja se dobija u preseku teºi²nih linijatrogla. Teºi²te trougla je tako�e poznato kao baricentar trougla.

• Ortocentar trougla, H, je ta£ka koja se dobija u preseku visina trougla.

• Centar upisanog kruga, I, je ta£ka koja se dobija u preseku simetralauglova, koja je podjednako udaljena od svih stranica trougla.

• Centar opisanog kruga, O, je ta£ka koja je podjednako udaljena odtemena, odnosno dobija se u preseku simetrala stranica.

Postoje jo² mnoge druge ta£ke.

3.1 Euklidske baricentri£ne koordinate

U astronomiji, pod baricentrom, podrazumeva se ta£ka izmedju dva objektakoja ih drºi u ravnoteºi. To je centar gravitacije gde dva ili vi²e nebeska telakruºe jedno oko drugog. Re£ baricentar zna£i centar gravitacije, kako je usvojoj knjizi objasnio Mebijus 1827. godine. Njegova ideja koju je ilustrovao

33

na primeru trogla, je da uzme mase m1, m2, m3 redom za tri nekolinearneta£ke A1, A2, A3 u Euklidskom prostoru R2 i izra£una centar mase ili impuls,P , tj. baricentar je dat jedna£inom

P =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

.

Baricentri£ne koordinate ta£ke P u prostoru trougla A1A2A3 u odnosu naovaj trougao mogu biti posmatrane kao mase m1, m2, m3 koje su dodeljeneta£kama A1, A2, A3 tako da ta£ka P postaje ta£ka ravnoteºe ovog prostora.Zaklju£ujemo, da je ta£ka P centar mase kada se ta£ke iz R2 posmatraju kaovektori poloºaja, i centar impulsa kada se ta£ke u R2 posmatraju kao vektorirelativne brzine.

De�nicija 3.1.1. Skup S od N ta£aka S = {A1, ..., AN} u Rn, n ≥ 2,je odvojeno nezavisan ako su vektori −A1 + Ak, k = 2, ..., N , linearnonezavisni.

Pojam odvojene nezavisnosti je koristan za narednu de�niciju Euklidskihbaricentri£nih koordinata.

De�nicija 3.1.2. Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od Nta£aka u Rn. Tada su realni brojevi m1,...,mN , za koje vaºi

N∑k=1

mk 6= 0

baricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn s obzirom na skup S ako vaºi

P =

N∑k=1

mkAk

N∑k=1

mk

.

Poslednja jedna£ina se naziva baricentri£na reprezentacija ta£ke P u od-nosu na skup S = {A1, ..., AN}. Baricentri£ne koordinate su homogeneu smislu da su baricentri£ne koordinate (m1, ...,mN) ta£ke P ekvivalentnebaricentri£nim koordinatama (λm1, ..., λmN) za svaki realan broj razli£it odnule. Kako je u baricentri£nim koordinatama samo odnos koordinata bitan,baricentri£ne koordinate (m1, ...,mN) se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN) pavaºi

(m1 : ... : mN) = (λm1 : ... : λmN)

za svaki realan λ 6= 0.

34

Baricentri£ne koordinate koje su normalizovane uslovom

N∑k=1

mk = 1

nazivaju se specijalne baricentri£ne koordinate.Za ta£ku P se kaºe da je baricentri£na kombinacija ta£aka skupa S,

koja ima baricentri£nu reprezentaciju

P =

N∑k=1

mkAk

N∑k=1

mk

.

Baricentri£na kombinacija je pozitivna ako su svi koe�cijentimk, k = 1, ..., N ,pozitivni. Skup svih pozitivnih baricentri£nih kombinacija ta£aka skupa S na-ziva se konveksan raspon od S.

Konstanta

m0 =N∑k=1

mk

naziva se konstanta ta£ke P u odnosu na skup S.

Odvojena nezavisnost skupa S iz De�nicije 3.1.2 potvr�uje da je baricen-tri£na reprezentacija ta£ke u odnosu na skup S jedinstvena.

De�nicija 3.1.3. Konveksan raspon odvojeno nezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} za N ≥ 2 ta£aka iz Rn je (N−1) - dimenzionalan simpleks, tj. (N−1)simpleks i oznacava se sa A1, ..., AN . Ta£ke skupa S su temena simpleksa.Konveksan raspon od N − 1 ta£aka je lice simpleksa. Koveksan raspon bilokoja dva temena je ivica simpleksa.

Bilo koje dve razli£ite ta£ke A,B ∈ Rn su odvojeno nezavisne i njihovkonveksan raspon je unutra²njost segmenta AB i to je 1 - simpleks, sli£nobilo koje tri nekolinearne ta£ke A,B,C ∈ Rn, n ≥ 2, su odvojeno nezavisnei njihov konveksan raspon je unutra²njost trougla ABC ²to je 2 - simpeks.Konveksan raspon bilo koje £etri odvojeno nezavisne ta£ke A,B,C,D ∈ Rn,n ≥ 3, je unutrasnjost tetraedra ABCD ²to je 3 - simpleks.

35

3.2 Sli£nost sa mehanikom

Baricentri£ne reprezentacije ta£aka u Euklidskom prostoru Rn s obziromna skup S = {A1, ..., AN} temena simpleksa u Rn imaju veliku vaºnost uklasi£noj mehanici. Vo�en analogijom klasi£ne mehanike, (N − 1) - simpleksod N ta£aka odvojeno nezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} duº baricentri£nihkoordinata (m1 : m2 : ... : mN) moºe se posmatrati kao izolovan sistemS = {Ak,mk, k = 1, ..., N} nedeluju¢ih £estica, gde je mk ∈ R masa k -te £estice i Ak brzina k - te £estice, k = 1, ..., N u odnosu na proizvoljnoizabrano O = 0 = (0, ..., 0) Njutnovog prostora brzine Rn. Svaka ta£kaNjutnovog prostora brzine predstavlja brzinu inercionog sklopa. Naravnota£ka O = 0 predstavlja ostatak sklopa.

Analogno klasi£noj mehanici, ta£ka P iz

P =

N∑k=1

mkAk

N∑k=1

mk

je brzina centra momenta (CM) sklopa sistema £estica S.Kona£no, konstanta m0 iz

m0 =N∑k=1

mk

ta£ke P skupa S se posmatra u kontekstu klasi£ne mehanike kao totalna

masa sistema £estica S.Pored svih sli£nosti izme�u Euklidske geometrije i klasi£ne mehanike po-

stoje i bitne razlike. Za razliku od klasi£ne mehanike, gde su mase uvekpozitivne, u Euklidskoj geometriji "mase" mk, k = 1, ..., N , uzete kao bari-centri£ne koordinate ta£ke, ne moraju biti pozitivne. Analogije sa klasi£nommehanikom pomo¢i¢e da se napravi veza sa hiperboli£kom geometrijom, gdesu analogije sa klasi£nom mehanikom zamenjene analogijama relativisti£kemehanike. Dakle pri prelazu iz Euklidske u hiperboli£ku geometriju

1. Euklidski prostor Njutnovih brzina zamenjuje Euklidska kugla Ajn²taj-novih brzina ²to je kugla svih relativnih brzina.

2. Dodatak Njutnovom zakonu brzine, ²to je uobi£ajan vektor u Euklid-skom prostoru, zamenjen je Ajn²tajnovim zakonom brzine u kugli re-lativnih brzina.

3. Njutnova masa zamenjena je relativnom masom koja zavisi od brzine.

36

3.3 Baricentri£ne reprezentacije su kovarijantne

Iz formule

P =

N∑k=1

mkAk

N∑k=1

mk

,

sledi da baricentri£ne koordinate ne zavise od izbora vektorskog prostora, tj.

W + P =

N∑k=1

mk(W + Ak)

N∑k=1

mk

,

za sve W ∈ Rn. Dokaz prethodne jednakosi sledi iz oblika ta£ke P koriste¢idistributivnost mnoºenja u odnosu na sabiranje vektora. Sledi da je bari-centri£na reprezentacija ta£ke P kovarijantna s obzirom na prelazak na Rn

jer ta£ka P i ta£ake Ak, k = 1, ..., N generatornog skupa S = {A1, ..., AN}variraju u prethodnoj jednakosti pri tom prelasku.

Neka je R ∈ SO(n) element specijalne ortogonalne grupe SO(n) svihkvadratnih matrica reda n sa determinantom 1, koji predstavlja rotacijuprostora Rn. Kada je R linearan vaºi

RP =

N∑k=1

mkRAk

N∑k=1

mk

za sve R ∈ SO(n).Odavde sledi da su baricentri£ne reprezentacije ta£ke P kovarijantne s

obzirom na rotaciju u Rn ta£ke P i ta£ke Ak, k = 1, ..., N generatornogskupa S koje variraju pri rotaciji.

Skup svih ta£aka skupa Rn, £ije su sve baricentri£ne koordinate pozitivneu odnosu na skup S, formiraju otvoren konveksan podskup skupa Rn, ²toje otvoren N - simpleks sa N temena. N - simpleks sa temenima A1, ..., ANse ozna£ava sa A1...AN , na primer, A1A2 je otvoren segment sa pridruºenimta£kama A1, A2 u Rn, n ≥ 1, a A1A2A3 je unutra²njost trougla s temenimaA1, A2 i A3 u Rn, n ≥ 2. Ako pozitivan broj mk posmatramo kao masu

37

objekta sa Njutnovom brzinom Ak ∈ Rn, 1 ≤ k ≤ N , ta£ke P u

P =

N∑k=1

mkAk

N∑k=1

mk

zaklju£ujemo da je to centar momenta od N masa mk, 1 ≤ k ≤ N .�tavi²e sve mase su jednake, centar mase je teºi²te N - simpleksa. Kao

primenu kovarijanse baricentri£nih reprezentacija dajemo slede¢u lemu:

Lema 3.3.1. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn, i neka je

P =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

baricentri£na reprezentacija ta£ke P ∈ Rn s obzirom na skup {A1A2A3}temena trougla. Tada,

|| − A1 + P ||2 =m2

2a212 +m2

3a213 +m2m3(a

212 + a213 − a223)

(m1 +m2 +m3)2

|| − A2 + P ||2 =m2

1a212 +m2

3a223 +m1m3(a

212 − a213 + a223)

(m1 +m2 +m3)2

|| − A3 + P ||2 =m2

1a213 +m2

2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)

(m1 +m2 +m3)2.

Dokaz: Na osnovu osobine kovarijanse baricentri£ne reprezentacije imamo

−A1 + P =m1(−A1 + A1) +m2(−A1 + A2) +m3(−A1 + A3)

m1 +m2 +m3

=m2a12 +m3a13m1 +m2 +m3

tako da je

|| − A1 + P ||2 =m2

2a212 +m2

3a213 + 2m2m3a12a13 cosα1

(m1 +m2 +m3)2.

Primenom kosinusne teoreme na trougao A1A2A3 i ugla α1 imamo

2a12a13 cosα1 = a212 + a213 − a223.

Eliminacijom cosα1 izme�u dve prethodne jednacine imamo prvu jednakostna²e teoreme. Druga i tre¢a jednakost teoreme sledi iz prve cikli£nom per-mutacijom temena trougla. �

38

3.4 Vektor baricentri£ne reprezentacije

Dve ta£ke P, P ′ ∈ Rn de�ni²u vektor −→v = −P ′ + P u Rn sa repom P ′ iglavom P . U narednoj teoremi pokaza¢emo da ako svaka od ta£aka P i P ′

ima baricentri£nu reprezentaciju s obzirom na odvojeno nezavisan skup S ={A1, ..., AN} od N ta£aka u Rn onda vektor −→v = −P ′ + P ima indukovanureprezentaciju s obzirom na vektore aij = −Aj + Ai, i, j = 1, ..., N , i < j,koji zovemo vektor baricentri£ne reprezentacije.

Teorema 3.4.1. Neka su

P =

N∑i=1

miAi

N∑i=1

mi

i

P ′ =

N∑j=1

m′jAj

N∑j=1

m′j

baricentri£ne reprezentacije ta£aka P, P ′ ∈ Rn s obzirom na odvojeno nezavi-san skup S = {A1, ..., AN} od N ta£aka u Rn. Tada, vektor −→v koji predstavljarazliku vektora poloºaja, −→v = −P + P ′, ima baricentri£nu reprezentaciju

−→v = −P + P ′ =

N∑i,j=1,i<j

(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)

N∑k=1

mi

M∑j=1

m′j

.

Dokaz: Dokaz daje slede¢i niz jednakosti a obja²njenja su numerisana i

39

nalaze se ispod jednakosti

−P + P ′ =

N∑j=1

m′j(−P + Aj)

N∑j=1

m′j

= −

N∑j=1

m′j(−Aj + P )

N∑j=1

m′j

(3.1)

= −

N∑j=1

m′j

−Aj +

N∑i=1

miAi

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.2)

= −

N∑j=1

m′j

N∑i=1

mi(−Aj+Ai)

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.3)

= −

N∑j=1

m′jN∑i=1

mi(−Ai + Aj)

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.4)

=

N∑i,j=1,i<j

mim′j(−Ai + Aj) +

N∑i,j=1,i>j

mim′j(−Ai + Aj)

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.5)

=

N∑i,j=1,i<j

mim′j(−Ai + Aj)−

N∑i,j=1,i<j

mjm′i(−Ai + Aj)

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.6)

=

N∑i,j=1,i<j

(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

(3.7)

=

N∑i,j=1,i<j

(mim′j −m′imj)aij

N∑i=1

mi

N∑j=1

m′j

. (3.8)

40

slede obja²njenja:(1) Sledi iz baricentri£ne reprezentacije ta£ke P ′ sa kovarijantnim osobi-

nama baricentri£ne reprezentacije.(2) Sledi iz (1) zamenom baricentri£ne reprezentacije za ta£ku P(3) Sledi iz (2) na osnovu osobina kovarijanse.(4) Sledi iz (3) direktno.(5) Sledi iz (4) direktno i primetimo da par (i, j) se gubi za i = j(6) Sledi iz (5) zamenjuju¢i i i j u drugoj sumi.(7) Sledi direktno iz (6)(8) Korak iz (7) u (8) se razlikuje samo u oznaci. U ovoj oznaci vektor

−Ai + Aj sa repom Ai i glavom Aj je ozna£en sa aij = −Ai + Aj i njegovanorma je aij = || − Ai + Aj||. �

Primer 3.4.1. Neka su

I =a23A1 + a13A2 + a12A3

a12 + a13 + a23

iP =

a13A2 + a12A3

a12 + a13

baricentri£ne reprezentacije ta£ke I, P ∈ Rn gde su a12, a13, a23 > 0, iS = {A1, A2, A3} je odvojeno nezavisan skup u Rn, n ≥ 2.

Tada, u baricentri£nim koordinatama ozna£enim u prethodnoj teoremi

I =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

i

P =m′1A1 +m′2A2 +m′3A3

m′1 +m′2 +m′3

gde jem1 = a23, m2 = a13, m3 = a12

im′1 = 0, m′2 = a13, m′3 = a12.

Pa na osnovu jednakosti

v = −P + P ′ =

N∑i,j=1,i<j

(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)

N∑k=1

mi

M∑j=1

m′j

,

41

iz prethodne teoreme, imamo vektor baricentri£ne reprezentacije

−I + P =(m1m

′2 −m′1m2)a12 + (m1m

′3 −m′1m3)a13 + (m2m

′3 −m′2m3)a23

(m1 +m2 +m3)(m′1 +m′2 +m′3)

= a23a13a12 + a12a13

(a12 + a13)(a12 + a13 + a23). �

3.5 Zna£ajne ta£ke trougla

3.5.1 Teºi²te trougla

Teºi²te trougla nalazi se u preseku teºi²nih linija trougla, odnosno pravihkoje spajaju teme sa sredinom naspramne stranice (Slika 3.1).

Neka je A1A2A3 trougao sa temenima A1, A2 i A3 u Euklidskom n - di-menzionalnom prostoru Rn, i neka je ta£ka T teºi²te za n = 2. Tada jeta£ka T preko baricentri£nih koordinata (m1 : m2 : m3) s obzirom na skup{A1, A2, A3} data jednako²¢u

T =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

gde su baricentri£ne koordinate m1,m2 i m3, ta£ke T , odre�ene u daljemtekstu. Sredi²nja ta£ka stranice A1A2 data je sa

MA1A2 =A1 + A2

2

tako da je prava L123 kroz ta£ku MA1A2 i A3 data sa

L123(t1) = A3 +

(−A3 +

A1 + A2

2

)t1

sa parametrom t1 ∈ R. Prava L123(t1) sadrºi jednu od tri teºi²ne linije trouglaA1A2A3. Jedna£ine pravih L123, L231 i L312, koje sadrºe, sve tri teºi²ne linijetrougla dobijene su iz prethodne jedna£ine ciklicnim permutacijama

L123(t1) =t12A1 +

t12A2 + (1− t1)A3,

L231(t2) =t22A2 +

t22A3 + (1− t3)A2,

L321(t3) =t32A3 +

t32A1 + (1− t3)A2,

42

Slika 3.1

gde su t1, t2, t3 ∈ R.Teºi²te T se nalazi u preseku ovih pravih. Ta£ka T je odre�ena re²ava-

njem jedna£ina L123(t1) = L231(t2) = L312(t3) za nepoznate t1, t2, t3 ∈ R.Dobijamo da je t1 = t2 = t3 = 2

3. Stoga, T je dato sa

T =A1 + A2 + A3

3.

U pore�enju dobijene jednakosti sa

T =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

,

na²li smo specijalne baricentri£ne koordinate (m1,m2,m3) ta£ke T s obziromna skup {A1, A2, A3} koje su date sa

m1 = m2 = m3 =1

3.

Stoga, pogodne baricentri£ne koordinate (m1 : m2 : m3) ta£ke T mogu btidate sa

(m1 : m2 : m3) = (1 : 1 : 1).

3.5.2 Visina trougla

Neka je dat trougao A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 u Euklidskom n- dimenzionalnom prostoru Rn i neka je ta£ka P3 ortogonalna projekcija iztemena A3 koja se nalazi na stranici A1A2 (ili na njenom produºetku) kaosto je prikazano na slici, za n = 2 (Slika 3.2). �tavi²e, neka su (m1 : m2)

43

baricentri£ne koordinate ta£ke P3 s obzirom na skup {A1, A2}. Tada, ta£kaP3 preko baricentri£nih koordinata (m1 : m2) s obzirom na skup {A1, A2}data je jedna£inom

P3 =m1A1 +m2A2

m1 +m2

,

gde su baricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£ke P3 odre�ene u daljem tekstu.Na osnovu kovarijanse baricentri£ne reprezentacije koordinata s obzirom

na translaciju imamo, za X = A1 i X = A2

p1 = −A1 + P3 =m2(−A1 + A2)

m1 +m2

=m2a12

m1 +m2

p2 = −A2 + P3 =m1(−A2 + A1)

m1 +m2

=−m1a12

m1 +m2

.

Kao ²to se vidi na slici, uzimamo oznake

aij = −Ai + Aj, aij = ||aij||

za i, j = 1, 2, 3, i 6= 1. Naravno, uop²teno, aij 6= aji, ali aij = aji. Tako�euzimamo oznake

p1 = −A1 + P3, p1 = ||p1||p2 = −A2 + P3, p2 = ||p2||

ih = −A3 + P3, h = ||h||.

Slika 3.2

44

U ovim oznakama, vektorske jedna£ine postaju skalarne

p1 =m2a12m1 +m2

p2 =m1a12m1 +m2

.

Primenom Pitagorine teoreme na trouglove A1P3A3 i A2P3A3 sledi

h2 = a213 − p21 = a223 − p22.

Na osnovu prethodnih jednakosti imamo

a213 −m2

2a212

(m1 +m2)2= a223 −

m21a

212

(m1 +m2)2.

Normalizacijom m1 i m2

m1 +m2 = 1

dobijamo specijalne baricentri£ne koordinate {m1,m2} ta£ke P3 s obziromna skup {A1, A2}:

m1 =a212 − a213 + a223

2a212,

m2 =a212 + a213 − a223

2a212,

tako da pogodne baricentri£ne koordinate (m1 : m2) ta£ke P3 s obzirom naskup {A1, A2} mogu biti date sa

m1 = a212 − a213 + a223m2 = a212 + a213 − a223.

Stoga,

P3 =1

2

(a212 − a213 + a223

2a212

)A1 +

1

2

(a212 + a213 − a223

2a212

)A2.

Na osnovu sinusne teoreme

a23sinα1

=a13

sinα2

=a12

sinα3

45

za trougao A1A2A3 na slici, prethodna jednakost moºe biti ispisana kao

P3 =sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3

2 sin2 α3

A1 +− sin2 α1 + sin2 α2 + sinα3

2 sin2 α3

A2.

Koriste¢i uslovα1 + α2 + α3 = π,

tada za uglove trougla imamo trigonometrijske identi£nosti

− sin2 α1 + sin2 α2 + sin2 α3 = 2 cosα1 sinα2 sinα3,

sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3 = 2 sinα1 cosα2 sinα3,

gde jeα3 = π − α1 − α2.

Zamenom prethodne jednakosti u

P3 =sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3

2 sin2 α3

A1 +− sin2 α1 + sin2 α2 + sinα3

2 sin2 α3

A2

imamoP3 =

sinα1 cosα2

sin(α1 + α2)A1 +

cosα1 sinα2

sin(α1 + α2)A2

tada, specijalne baricentri£ne koordinate (m1,m2) ta£ke P3 s obzirom na skup{A1, A2} su

(m1,m2) =

(sinα1 cosα2

sin(α1 + α2),

cosα1 sinα2

sin(α1 + α2)

)prema tome, pogodne trigonometrijske baricentri£ne koordinate (m′1 : m′2)ta£ke P3, s obzirom na skup {A1, A2} su

(m′1 : m′2) = (sinα1 cosα2 : cosα1 sinα2) = (tgα1 : tgα2).

Visina h3 trougla A1A2A3 je vektor

h3 = −A3 + P3

=1

2

(a212 − a213 + a223

a212

)(−A3 + A1) +

1

2

(a212 + a213 − a223

a212

)(−A3 + A1)

=1

2

(a212 − a213 + a223

a212

)a31 +

1

2

(a212 + a213 − a223

a212

)a31,

46

koriste¢i osobinu kovarijanse baricentri£nih reprezentacija. Primetimo da jea31 = −a13, pa je a13 = ||a31|| = ||a13|| = a13, itd.

Na osnovu kosinusne teoreme,

a212 = a213 + a223 − 2a13a23 cosα3,

i oznaka sa slike, imamo

2a31 · a32 = 2(−A3 + A1) · (−A3 + A2)

= 2a13a23 cosα3

= −a212 + a213 + a223.

Sledi da vaºi

h23 = ||h23||

=1

4·

{(a212 − a213 + a223

a212

)a213 +

(a212 + a213 − a223

a212

)a223

+a212 − a213 + a223

a212· a

212 + a213 − a223

a212(−a212 + a213 + a223)

}

=(a12 + a13 + a23)(−a12 + a13 + a23)(a12 − a13 + a23)(a12 + a13 − a23)

4a212

=F2(a12, a13, a23)

4a212.

Ovde je F2(a12, a13, a23) data sa

F2(a12, a13, a23) = (a12+a13+a23)(−a12+a13+a23)(a12−a13+a23)(a12+a13−a23)

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a212 a213 1a221 0 a223 1a231 a232 0 11 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣simetri£na funkcija duºina stranice trougla koja se moºe prikazati deter-

minatom koja se zove Cayley-Menger determinanta.

Teorema 3.5.1 (Heronova formula). Povr²ina |A1A2A3| trougla A1A2A3 uEuklidskom prostoru Rn data je Heronovom formulom

|A1A2A3| =1

2a12h3

=1

4

√a12 + a13 + a23

√−a12 + a13 + a23

√a12 − a13 + a23

√a12 + a13 − a23. �

47

3.5.3 Ortocentar trougla

Ortocentar trougla nalazi se u preseku visina trougla (Slika 3.3). Neka

Slika 3.3

su P1, P2 i P3 podnoºja visina trougla A1A2A3 u Euklidskom prostoru Rn

za n = 2. Baricentri£ne reprezentacije ta£aka P1, P2 i P3 s obzirom na skup{A1, A2, A3} su

P1 =1

2·(−a212 + a213 + a223

a223

)· A2 +

1

2

(a212 − a213 + a223

a223

)· A3

P2 =1

2·(−a212 + a213 + a223

a213

)· A1 +

1

2

(a212 + a213 − a223

a213

)· A3

P3 =1

2·(a212 − a213 + a223

a212

)· A1 +

1

2

(a212 + a213 − a223

a212

)· A2.

Jedna£ine pravih koje sadrºe visine trougla A1A2A3 su:

LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,

LA2P2 = A2 + (−A2 + P2)t2,

LA3P3 = A3 + (−A3 + P3)t3,

sa tri parametra −∞ < t1, t2, t3 <∞, gde su podnoºja visina P1, P2, P3.U cilju odre�ivanja ta£ke H, preseka visina, ako postoji, treba re²iti vek-

torske jedna£ine

A1 + (−A1 + P1)t1 = A2 + (−A2 + P2)t2 = A3 + (−A3 + P3)t3

48

tri nepoznata skalara t1, t2, t3. Re²enje se dobija u obliku

t1 =2(−a12 − a13 + a23)

D· a23,

t2 =2(−a12 + a13 − a23)

D· a13,

t3 =2(a12 − a13 − a23)

D· a12,

gde jeD = a212 + a213 + a223 − 2(a12a13 + a12a23 + a13a23).

Ukoliko dobijeni oblik za t1 (redom, za t2, t3) zamenimo u jedna£inu prave

LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1

dobijamo ortocentar H trougla A1A2A3 preko baricentri£nih koordinata

H =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

,

gde su pogodne baricentri£ne koordinate

m1 = a423 − (a212 − a213)2,m2 = a413 − (a212 − a223)2,m3 = a412 − (a223 − a213)2.

Na osnovu sinusne teoreme, baricentri£ne koordinate za H mogu biti pred-stavljene preko uglova trougla na slede¢i na£in:

m1 =1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3

1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3

,

m2 =1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3

1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3

,

m3 = 1.

Koriste¢i veze izme�u uglova trougla i koriste¢i trigonometrijske identi£nosti,baricentri£ne koordinate ortocentra H trougla A1A2A3 mogu se uprostiti,

m1 =tgα1

tgα3

, m2 =tgα2

tgα3

, m3 = 1

49

ili ekvivalentno, kako su baricentri£ne koordinate homogene, vaºi:

m1 = tgα1, m2 = tgα2, m3 = tgα3.

Kona£no, ortocentar H trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2, A3 i odgo-varaju¢im uglovima α1, α2 i α3 moºe se predstaviti baricentri£nim koordina-tama jedna£inom

H =tgα1A1 + tgα2A2 + tgα3A3

tgα1 + tgα2 + tgα3

.

3.5.4 Centar upisanog kruga trougla

Upisana kruºnica je kruºnica koja leºi unutar trougla £ije su tangentestranice trougla. Centar I ove kruºnice je centar upisane kruºnice, a to jeta£ka koja se nalazi u preseku simetrala unutra²njih uglova trougla. Nekaje P3 ta£ka na stranici trougla A1A2A3 u n - dimenzionalnom Euklidskomprostoru Rn takva da je A3P3 simetrala ugla ∠A1A3A2 (Slika 3.4). Sledi,baricentri£ne koordinate ta£ke P3, (m1,m2) u odnosu na skup {A1, A2} datesu jedna£inom

P3 =m1A1 +m2A2

m1 +m2

,

gde ¢e baricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£ke P3 biti naknadno odre�ene.Na osnovu kovarijanse baricentri£ne reprezentacije s obzirom na translacije,naro£ito za X = A1 i X = A2

p1 = −A1 + P3 =m2(−A1 + A2)

m1 +m2

=m2a12

m1 +m2

,

p2 = −A2 + P3 =m1(−A2 + A1)

m1 +m2

=−m1a12

m1 +m2

.

Koristimo oznake

a12 = −A1 + A2, a12 = ||a12||a13 = −A1 + A3, a13 = ||a13||a23 = −A2 + A3, a23 = ||a23||

i

p1 = −A1 + P3, p1 = ||p1||p2 = −A2 + P3, p2 = ||p2||

50

tako da jep1 =

m2a12m1 +m2

, p2 =m1a12m1 +m2

,

pa sledip1p2

=m2

m1

.

Na osnovu teoreme o simetrali ugla koja sledi direktno iz formule za sinus i

Slika 3.4

jedna£ine sin∠A1P3A3 = sin∠A2P3A3 simetrala ugla u trouglu deli suprotnustranicu trougla u istom odnosu kao stranice tog ugla. Dakle, vaºi

p1p2

=a13a23

.

Na osnovu sinusne teoreme

m2

m1

=a13a23

=sinα2

sinα1

,

pa su baricentri£ne koordinate za P3 date sa

m1 = a23, m2 = a13,

ili ekvivalentno sam1 = sinα2, m2 = sinα1.

Prema tome, ta£ka P3 je preko svojih baricentri£nih koordina (m1,m2) sobzirom na skup {A1, A2} data nekom od slede¢e dve jedna£ine

P3 =a23A1 + a13A2

a23 + a13

P3 =sinα1A1 + sinα2A2

sinα1 + sinα2

.

51

Slika 3.5

Tri bisektrise trougla A1A2A3 su A1P1, A2P2 i A3P3 (Slika 3.5). Analogno sedobija oblik za P1 i P2

P1 =a13A2 + a12A3

a13 + a12,

P2 =a23A1 + a12A3

a23 + a12,

P3 =a23A1 + a13A2

a23 + a13.

ili ekvivalentno

P1 =sinα2A2 + sinα3A3

sinα2 + sinα3

P2 =sinα1A1 + sinα3A3

sinα1 + sinα3

P3 =sinα1A1 + sinα2A2

sinα1 + sinα2

.

Jedna£ine pravih koje sadrºe bisektrise trougla A1A2A3 su

LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,

LA2P2 = A2 + (−A2 + P2)t1,

LA3P3 = A3 + (−A3 + P3)t1,

za tri parametra −∞ < t1, t2, t3 <∞, gde su podnoºja bisektrisa P1, P2 i P3.U cilju odre�ivanja ta£ke preseka I bisektrisa trougla ako postoje re²avamovektorske jedna£ine

A1 + (−A1 + P1)t1 = A2 + (−A2 + P2)t2 = A3 + (−A3 + P3)t3

52

za tri nepoznata skalara t1, t2 i t3. Re²enje dobijamo u obliku

t1 =a12 + a13

a12 + a13 + a23,

t2 =a12 + a23

a12 + a13 + a23,

t3 =a13 + a23

a12 + a13 + a23.

Ukoliko dobijeni oblik za t1 (redom, za t2, t3) zamenimo u jedna£inu prave

LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,

dobijamo centar upisane kruºnice trougla A1A2A3 preko baricentri£nih koor-dinata

I =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

gde su baricentri£ne koordinate

m1 = a23, m2 = a13, m3 = a12

ili ekvivalentno

m1 = sinα1, m2 = sinα2, m3 = sinα3.

Centar upisane kruºnice I, trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 iodgovaraju¢im stranicama a23, a13 i a12 preko baricentri£nih koordinata uodnosu na skup {A1, A2, A3} dat je jedna£inom

I =a23A1 + a13A2 + a12A3

a23 + a13 + a12.

Centar upisane kruºnice I, trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 i odgo-varaju¢im uglovima α1, α2 i α3 preko trigonometrijskih baricentri£nih koor-dinata u odnosu na skup {A1, A2, A3} dat je jedna£inom

I =sinα1A1 + sinα2A2 + sinα3A3

sinα1 + sinα2 + sinα3

.

Sinus svakog ugla trougla je pozitivan. Dakle, centar upisnog kruga leºi uunutra²njosti trougla.

53

3.5.5 Polupre£nik upisanog kruga trougla

Neka je I centar upisane kruºnice trougla A1A2A3 u Euklidskom prostoruRn (Slika 3.6). Na osnovu

I =a23A1 + a13A2 + a12A3

a23 + a13 + a12

i osobine kovarijanse baricentri£ne reprezentacije, imamo

−A1 + I = −A1 +a23A1 + a13A2 + a12A3

a23 + a13 + a12

=a13(−A1 + A2) + a12(−A1 + A3)

a23 + a13 + a12

=a13a12 + a12a13

a23 + a13 + a12.

Stoga,

a213 := || − A1 + I||2 =2a212a

213(1 + cosα1)

(a12 + a13 + a23)2,

uz napomenu da je

(−A1 + A2)(−A1 + A3) = a12a13 cosα1.

Na osnovu kosinusne teoreme za trougao A1A2A3,

2(1 + cosα1) =(a12 + a13)

2 − a223a12a13

.

Stoga, na osnovu prethodne tri jednakosti imamo,

a213 =a12a13

(a12 + a13 + a23)2{(a12 + a13)

2 − a223}.

Sli£no,

a223 := || − A2 + I||2 =2a212a

223(1 + cosα2)

(a12 + a13 + a23)2

pa stogaa223 =

a12a23(a12 + a13 + a23)2

{(a12 + a23)2 − a213}.

Vektori a13 i a23 sa njihovim intezitetima a13 i a23 prikazani su na slici.

54

Slika 3.6

Tangentna ta£ka T3 trougla A1A2A3, koja se nalazi nalazi na straniciA1A2 naspram temena A3, nalazi se u podnoºju normale povu£ene iz ta£keI koja prolazi kroz pravu LA1A2 koja je odre�ene ta£kama A1 i A2. Tada je

T3 =1

2

(a212 − a213 + a223

a212

)A1 +

1

2

(a212 + a213 − a223

a212

)A2.

Zamenoma213 =

a12a13(a12 + a13 + a23)2

{(a12 + a13)2 − a223}

ia223 =

a12a23(a12 + a13 + a23)2

{(a12 + a23)2 − a213}

u prethodnoj jednakosti dobijamo:

T3 =a12 − a13 + a23

2a12A1 +

a12 + a13 − a232a12

A2.

Ovaj zaklju£ak nam daje narednu teoremu.

Teorema 3.5.2. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn, i nekaje Tk tangentna ta£ka gde upisana kruºnica dodiruje trougao a koja se nalazina naspramnoj stranici temena Ak, k = 1, 2, 3. tada

T1 =−a12 + a13 + a23

2a23A2 +

a12 − a13 + a232a23

A3,

T2 =−a12 + a13 + a23

2a13A1 +

a12 + a13 − a232a13

A3,

T3 =a12 − a13 + a23

2a12A1 +

a12 + a13 − a232a12

A2.

55

Dokaz: Po²to ve¢ imamo tre¢u jednakost, prve dve jednakosti dobijamoiz prve cikli£nom permutacijom temena. �

Teorema 3.5.3. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn. Tadaje na osnovu oznaka sa slike polupre£nik r upisanog kruga u trouglu dat jed-nako²¢u

r =

√(p− a12)(p− a13)(p− a23)

p,

gde je p poluobim trougla

p =a12 + a13 + a23

2. �

Teorema 3.5.4 (Heronova formula). Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskomprostoru Rn. Tada na osnovu oznaka sa slike, povr²ina |A1A2A3| trougla dataje Heronovom formulom

|A1A2A3| =√p(p− a12)(p− a13)(p− a23),

ili ²to je ekvivalentno sa

P 2 =1

16F2(a12, a13, a23)

gde je F2(a12, a13, a23) 4x4 Cayley-Menger determinata. �

3.5.6 Centar opisanog kruga trougla

Centar opisane kruºnice oko trougla nalazi se u preseku simetrala njegovihstranica. Centar opisane kruºnice trougla podjednako je udaljen od temenatrougla.

Neka je A1A2A3 trougao sa temenima A1, A2 i A3 u n - dimenzionalnomEuklidskom prostoru Rn i neka je O centar upisane kruºnice trougla (Slika3.7). Tada, ta£ka O u terminima baricentri£nih koordinata (m1 : m2 : m3) sobzirom na skup {A1, A2, A3} data je jednako²¢u

O =m1A1 +m2A2 +m3A3

m1 +m2 +m3

,

gde ¢e baricentri£ne koordinate m1,m2 i m3 ta£ke O biti de�nisane u daljemtekstu.

56

Ako u lemi 3.3.1 stavimo da je P = O imamo jednakosti

|| − A1 +O||2 =m2

2a212 +m2

3a213 +m2m3(a

212 + a213 − a223)

(m1 +m2 +m3)2

|| − A2 +O||2 =m2

1a212 +m2

3a223 +m1m3(a

212 − a213 + a223)

(m1 +m2 +m3)2

|| − A3 +O||2 =m2

1a213 +m2

2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)

(m1 +m2 +m3)2

prethodne jednakosti sa uslovima koje zadovoljava centar opisane kruºnicetrougla, datih na slici

Slika 3.7

|| − A1 +O||2 = || − A2 +O||2,|| − A2 +O||2 = || − A3 +O||2,

i normalizacijom uslovam1 +m2 +m3 = 1,

daju sistem od tri jedna£ine sa tri nepoznate m1,m2 i m3:

m22a

212 +m2

3a213 +m2m3(a

212 + a213 − a223) = m2

1a212 +m2

3a223 +m1m3(a

212 − a213 + a223)

m21a

212 +m2

3a223 +m1m3(a

212 − a213 + a223) = m2

1a213 +m2

2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)

m1 +m2 +m3 = 1.

Zamenom m3 = 1−m1−m2 iz poslednje jednakosti u prve dve jednakostii dobijamo dve jednakosti sa nepoznatim m1 i m2 od kojih svaki je linearan u

57

m1 i kvadratan u m2. Eliminacijom m22 izme�u dve jednakosti mi dobijamo

jednu jednakost pa su m1 i m2 linearni:

a213 − a223 −m1(a212 + a213 − a223) +m2(a

212 − a213 + a223) = 0

Cikli£na permutacija temena u prethodnoj jednakosti daje nam drugu line-arnu vezu izme�u m2 i m3. Tre¢u linearnu vezu, izme�u m1, m2 i m3 daje

m1 +m2 +m3 = 1,

pa dobijamo sistem od tri linearne jedna£ine sa tri nepoznate m1,m2 i m3:

a213 − a223 −m1(a212 + a213 − a223) +m2(a

212 − a213 + a223) = 0

a212 − a213 −m2(a212 − a213 + a223) +m3(−a212 + a213 + a223) = 0

m1 +m2 +m3 = 1.

Re²enje linearnog sistema, daje specijalne baricentri£ne koordinate{m1,m2,m3} centra opisane kruºnice O:

m1 =a223(a

212 + a213 − a223)

D,

m2 =a213(a

212 − a213 + a223)

D,

m3 =a212(−a212 + a213 + a223)

D,

u smislu duºina stranica, gde je D dato sa

D = (a212 + a213 + a223)(−a212 + a213 + a223)(a212 − a213 + a223)(a

212 + a213 − a223).

Kona£no, baricentri£ne koordinate centra opisane kruºnice date su sa:

m1 = a223(a212 + a213 − a223),

m2 = a213(a212 − a213 + a223),

m3 = a212(−a212 + a213 + a223).

Ako ºelimo da na�emo trigonometrijske baricentri£ne koordinate za centaropisane kruºnice, to su onda baricentri£ne koordinate izraºene preko uglova

58

trougla. Stoga, izra£una¢emo m1

m3i m2

m3na osnovu prethodnih jednakosti, si-

nusne teoreme i trigonometrijske identi£nosti sin2 α = 1−cos 2αα2

, pa dobijamo

m1

m2

=(1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α1

(1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3

,

m2

m3

=(1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α2

(1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3

.

Stoga, trigonometrijske baricentri£ne oordinate {m1 : m2 : m3} za centaropisane kruºnice date su sa:

m1 = (1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α1,

m2 = (1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α2,

m3 = (1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3.

Ako iskoristimo uslov da je zbir unutra²njih uglova u trouglu π izme�u uglovatrougla i trigonometrijskih identi£nosti, prethodne tri jednakosti mogu bitipojednostavljene, pa dobijamo elegantne trigonometrijske baricentri£ne ko-ordinate centra opisane kruºnice trougla A1A2A3 preko njegovih uglova

m1 = sinα1 cosα1,

m2 = sinα2 cosα2,

m3 = sinα3 cosα3.

Zbog uslova α1 + α2 + α3 = π koji vaºi u trouglu prethodne tri jednakostiekvivalentne su sa

m1 = sin−α1 + α2 + α3

2sinα1

m2 = sinα1 − α2 + α3

2sinα2

m3 = sinα1 + α2 − α3

2sinα1.

Postoji bitna razlika izme�u elegantnih baricentri£nih koordinata i njihovihpojednostavljenja. Za prvi uslov ne vaºi identitet π, dok za drugi vaºi.

59

3.5.7 Polupre£nik opisanog kruga trougla

Neka je R polupre£nik opisane kruºnice oko trougla A1A2A3 u Euklidskomprostoru Rn (Slika 3.8).Stoga, na osnovu oznaka sa slike je

R2 = || − A1 +O||2

= || − A2 +O||2

= || − A3 +O||2

gde je O centar kruga trougla. Polupre£nik R = || − A1 + O|| je odre�en

Slika 3.8

sukcesivno zamenjuju¢i

|| − A1 +O||2 =m2

2a212 +m2

3a213 +m2m3(a

212 + a213 − a223)

(m1 +m2 +m3)2,

i

m1 = a223(a212 + a213 − a223)

m2 = a213(a212 − a213 + a223)

m3 = a212(−a212 + a213 + a223)

60

u prethodnoj jednakosti, dobijamo

R2 =a212a

213a

223

16p(p− a12)(p− a13)(p− a23)

=a212a

213a

223

(a12 + a13 + a23)(−a12 + a13 + a23)(a12 − a13 + a23)(a12 + a13 − a23)

=a212a

213a

223

16P 2.

Stoga, polupre£nik opisanog kruga oko trougla dat je sa

R =a12a13a23

4√p(p− a12)(p− a13)(p− a23)

=a12a13a23

4P=a12a13a23

4rp

gde su p i r poluobim i polupre£nik trougla, i gde je P povr²ina trougla dataHeronovom formulom.

61

Glava 4

Hiperboli£ke baricentri£ne

koordinate

4.1 Ajn²tajnovo sabiranje

Neka je Rn Euklidski n - dimenzionalan prostor koji se sastoji od De-kartovih koordinata (x1, x2, ..., xn). To su n - torke realnih brojeva kojezadovoljavaju uslov

x21 + x22 + ...+ x2n <∞.Neka je Rn

s ,Rns = {X = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : ||X|| < s}

s - kugla u Rn za svako �ksirano s > o. Sli£no, kao kod Dekartovih koordinatai u s - kugli za n - torke vaºi

x21 + x22 + ...+ x2n < s2.

Ta£ke prostora Rns su n - torke realnih brojeva kao ²to su

X = (x1, x2, ..., xn) ili Y = (y1, y2, ..., yn). Uvodi se pojam 1Ajn²tajnovogsabiranja ⊕ u kugli.

Ajn²tajnovo sabiranje je binarna operacija u kugli Rns gde se za n = 3

i s = c dobija brzina svetlosti u praznom prostoru

X ⊕ Y =1

1 + X·Ys2

{X +

1

γXY +

1

s2γX

1 + γX(X · Y )X

},

X, Y ∈ Rns , gde je γX gama faktor

γX =1√

1− ||X||2s2

,

1Albert Ajn²tajn (1879-1955), nema£ki matemati£ar.

62

u kugli Rns , i gde su · i || · || unutra²nji proizvod i norma u kugli Rn

s .Jasno,

X ⊕ 0 = 0⊕X = X.

Ajn²tajnovo oduzimanje, , je dato jednako²¢u

X Y = X ⊕ (−Y ),

pa je npr,

X X = 0

X = 0X = −X

i normalno vaºe,

(X) = X

(X ⊕ Y ) = X YX ⊕ (X ⊕ Y ) = Y

za sve X, Y u kugli, analogno sabiranju i oduzimanju vektora.Za gama faktor vaºi gama identitet

γX⊕Y = γXγY

(1 +

X · Ys2

).

Ako zamenimo X sa X gama identitet dobija oblik

γX⊕Y = γXγY

(1− X · Y

s2

),

koji je veoma koristan.Iz de�nicije gama faktora lako se dobija slede¢a jednakost

||X||2

s2=γ2X − 1

γ2X.

De�nicija 4.1.1. Za svako X, Y ∈ Rns , neka je gyr[X, Y ] : Rn

s −→ Rns

preslikavanje, koje je u terminima Ajn²tajnovog sabiranja ⊕, dato sa

gyr[X, Y ]Z = (X ⊕ Y )⊕ {X ⊕ (Y ⊕ Z)}.

63

De�nicija 4.1.2 (Gajrogrupe). Grupoid (G,⊕) je gajrogrupa ako binarnaoperacija zadovoljava slede¢e aksiome.

Ako u G postoji bar jedan element, 0, koji zovemo leva jedinica, kojizadovoljava

(G1) 0⊕ a = a za svako a ∈ G.Tada postoji element 0 ∈ G koji zadovoljava aksiomu (G1) tako da za

svaki element a ∈ G postoji element a ∈ G, koji zovemo levi inverz od Akoji zadovoljava

(G2) a⊕ a = 0�tavi²e, za sve a, b, c ∈ G postoji jedinstven element gyr[a, b]c ∈ G takav

da binarna operacija zadovoljava levu gajroasocijativnost(G3) a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ gyr[a, b]cPreslikavanje gyr[a, b] : G −→ G dato sa c −→ gyr[a, b]c je automor�zam

grupoida (G,⊕) tako da je(G4) gyr[a, b] ∈ Aut(G,⊕)i automor�zam gyr[a, b] zovemo gajroautomor�zam od G generisan sa

a, b ∈ G. Operator gyr : G × G −→ Aut(G,⊕) zovemo gajrator od G.Kona£no, za gajroizomor�zam gyr[a, b] generisan sa a, b ∈ G vaºi svojstvo

(G5) gyr[a, b] = gyr[a⊕ b, b].

De�nicija 4.1.3 (Gajrokomutativne gajrogrupe). Gajrogrupa (G,⊕) je gaj-rokomutativna ako binarna operacija zadovoljava uslov

a⊕ b = gyr[a, b](b⊕ a),

za sve a, b ∈ G.

4.2 Ajn²tajnov gajrovektorski prostor

Neka je X ∈ Rns ta£ka Ajn²tajnove gajrokomutativne gajrogrupe (Rn

s ,⊕).Ajn²tajnovo sabiranje k ta£aka X, k ≥ 1, u oznaci k ⊗X, dato je sa

k ⊗X =

(1 + ||X||

s

)k−(

1− ||X||s

)k(

1 + ||X||s

)k+(

1− ||X||s

)k X

||X||.

De�nicija 4.2.1 (Ajn²tajnov gajrovektorski prostor). Ajn²tajnov gajro-vektorski prostor (Rn

s ,⊕,⊗) je Ajn²tajnova gajrogrupa (Rns ,⊕) sa skalar-

64

nom multiplikativnom operacijom ⊗ datom sa

r ⊗X =

(1 + ||X||

s

)r−(

1− ||X||s

)r(

1 + ||X||s

)r+(

1− ||X||s

)r X

||X||

= s tanh

(r tanh−1

||X||s

)X

||X||,

gde je r bilo koji realan broj, r ∈ R, X ∈ Rns , X 6= 0, i r ⊗ 0 = 0.

Ajn²tajnova skalarna multiplikativnost nije distributivna u odnosu naAjn²tajnovo sabiranje ali sadrºi druge osobine vektorskog prostora. Za svepozitivne brojeve k, i sve realne brojeve r, r1, r2 ∈ R i sve X ∈ Rn

s , imamo

k ⊗X = X ⊕ ...⊕X(r1 + r2)⊗X = r1 ⊗X ⊕ r2 ⊗X

(r1r2)⊗X = r1 ⊗ (r2 ⊗X)

u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rns ,⊕,⊗).

Na primer, Ajn²tajnova polovina data je sa

1

2⊗X =

γX1 + γX

X

za svako X iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗). Zaista

1

2⊗X ⊗ 1

2⊗X =

γX1 + γX

X ⊕ γX1 + γX

X = X

²to sledi na osnovu skalarne distributivnosti.Za razliku od vektorskog prostora u Ajn²tajnovom gajrovektorskom pro-

storu (Rns ,⊕,⊗) ne vaºi zakon distribucije

r ⊗ (X ⊕ Y ) 6= r ⊗X ⊕ r ⊗ Y

za r ∈ R i X, Y ∈ Rns .

Gama faktor r ⊗X predstavljen preko gama faktora od X dat je identi-tetom

γr⊗X =1

2γrX

{(1 +||X||s

)r+

(1− ||X||

s

)r}

65

stoga vaºi

γr⊗X =1

2sγrX

{(1 +||X||s

)r+

(1− ||X||

s

)r}X

||X||

za X 6= 0.Veoma interesantan slu£aj je za r = 2

γ2⊗X(2⊗X) = 2γ2XX.

4.3 Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²taj-

novom gajrovektorskom prostoru

U ovom odeljku de�nisa¢emo gajrobaricentri£ne koordinate Ajn²tajnovoggajrovektorskog prostora.

De�nicija 4.3.1 (Hiperboli£ka odvojena nezavisnost). Skup od N ta£aka,S = {A1, ..., AN}, N ≥ 2, u gajrovektorskom prostoru (Rn

s ,⊕,⊗), n ≥ 2, jeodvojeno nezavisan ako se N − 1 gajrovektora A1 ⊕ Ak, k = 2, ..., N , uRns ⊂ Rn, smatraju kao vektori iz Rn, koji su linearno nezavisni u Rn.

De�nicija 4.3.2 (Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²tajnovom gajrovek-torskom prostoru). Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup odN ≥ 2 ta£aka u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rn

s ,⊕,⊗). N real-nih brojeva m1, ...,mN su gajrobaricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn

s sobzirom na skup S ako je

N∑k=1

mkγAk 6= 0

i

P =

N∑k=1

mkγAkAk

N∑k=1

mkγAk

Gajrobaricentri£ne koordinate su homogene u smislu da gajrobaricentri£nekoordinate (m1, ...,mN) ta£ke P su ekvivalentne gajrobaricentri£nim koordi-natama (λm1, ..., λmN) za svako λ 6= 0. Kako je u gajrobaricentri£nim koordi-natama samo odnos koordinata bitan, gajrobaricentri£ne koordinate (m1, ...,mN)se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN) pa vaºi

(m1 : ... : mN) = (λm1 : ... : λmN)

66

za svaki realan λ 6= 0.Za ta£ku P se kaºe da je gajrobaricentri£na kombinacija ta£aka skupa

S, koja ima gajrobaricentri£nu reprezentaciju

P =

N∑k=1

mkγAkAk

N∑k=1

mkγAk

.

Gajroaricentri£na kombinacija je pozitivna ako su svi koe�cijenti mk,k = 1, ..., N , pozitivni. Skup svih pozitivnih baricentri£nih kombinacija ta£akaskupa S naziva se gajrokonveksan raspon od S.

Konstanta

m0 = ±

√√√√( N∑k=1

mk

)2

+ 2N∑

j,k=1,j<k

mjmk(γAj⊕Ak − 1)

naziva se konstanta ta£ke P u odnosu na skup S. Znak konstante je poziti-

van (negativan) , ako je sumaN∑k=1

mkγAk pozitivna (negativna) .

Kona£no, gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P je specijalna ako sugajrobaricentri£ne koordinate normalizovane uslovom

N∑k=1

mk = 1.

De�nicija 4.3.3 (Ajn²tajnov gajrosimpleks). Konveksan raspon odvojenonezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} za N ≥ 2 ta£aka iz Rn

s je (N − 1) -dimenzionalan gajrosimpleks, tj. (N − 1) gajrosimpleks i ozna£ava se saA1...AN . Ta£ke skupa S su temena gajrosimpleksa. Konveksan raspon odN − 1 ta£aka je gajrolice gajrosimpleksa. Koveksan raspon bilo koja dvatemena je ivica simpleksa.

Teorema 4.3.1. Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od N ≥2 ta£aka Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rn

s ,⊕,⊗), i neka je P ,

P =

N∑k=1

mkγAkAk

N∑k=1

mkγAk

∈ Rns

67

N∑k=1

mkγAk 6= 0

ta£ka u Rns data gajrobaricentri£nim koordinatama (m1 : ... : mN) s obzirom

na skup S. Onda je,

γP =

N∑k=1

mkγAk

m0

i

γPP =

N∑k=1

mkγAk

m0

gde je m0 dato sa

m0 = ±

√√√√( N∑k=1

mk

)2

+ 2N∑

j,k=1,j<k

mjmk(γAj⊕Ak − 1).

�tavi²e, m0 je invarijanta leve gajrotranslacije, i P , γP i γPP su gajrova-rijante leve gajrotranslacije, tada, za svako X ∈ Rn

s imamo

X ⊕ P =

N∑k=1

mkγX⊕Ak(X ⊕ Ak)

N∑k=1

mkγX⊕Ak

γX⊕P =

N∑k=1

mkγX⊕Ak

m0

γX⊕P (X ⊕ P ) =

h∑k=0

mkγX⊕Ak(X ⊕ Ak)

m0

gde je

m0 = ±

√√√√( N∑k=1

mk

)2

+ 2N∑

j,k=1,j<k

mjmk(γ(X⊕Aj)⊕(X⊕Ak) − 1)

gde znak konstante m0 je pozitivan (negativan) ako je nenula sumaN∑k=1

mkγAk

pozitivna (negativna) .

68

4.4 Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog

gajrovektorskog prostora

U ovom odeljku ºelimo da transformi²emo ta£ke iz Ajn²tajnovog Gajro-vektorskog prostora (Rn

s ,⊕E,⊗) u ta£ke Mebijusovog gajrovektorskog pro-stora (Rn

s ,⊕M ,⊗). Ovde za Ajn²tajnov gajrovektorski prostor umesto znaka⊕ koristimo oznaku ⊕E dok za Mebijusov prostor koristimo oznaku ⊕M .Gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P u (Rn

s ,⊕E,⊗) data je sa

Pe =

N∑k=1

mkγAk,eAk,e

N∑k=1

mkγAk,e

gde indeks e ozna£ava da se ta£ka nalazi u Ajn²tajnovom gajrovektorskomprostoru (Rn

s ,⊕E,⊗). Zahvaljuju¢i izomor�zmu izme�u Ajn²tajnovog gajro-vektorskog prostora (Rn

s ,⊕E,⊗) i odgovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektor-skog prostora (Rn

s ,⊕M ,⊗), gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke

Pe ∈ (Rns ,⊕E,⊗)

s obzirom na odvojeno nezavisan skup S = {A1,e, ..., AN,e} postaje gajroba-ricentri£na reprezentacija

Pm =1

2⊗

N∑k=1

mkγ2Ak,m

Ak,m

N∑k=1

mk

(γ2Ak,m −

12

)odgovaraju¢e ta£ke

Pm ∈ (Rns ,⊕E,⊗)

s obzirom na odgovaraju¢i skup S = {A1,m, ..., AN,m}.

Teorema 4.4.1. Neka je

Pe =

N∑k=1

mkγAk,eAk,e

N∑k=1

mkγAk,e

gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke Pe s obzirom na odvojeno nezavisanskup ta£aka Se = {A1,e, ..., AN,e} u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru

69

(Rns ,⊕E,⊗), gde su sve gajrobaricentri£ne koordinate mk = mk(A1,e, ..., AN,e)

funkcije ta£aka Se, k = 1, ..., N .Izomorfna slika Pm od Pe u odgovaraju¢em Mebijusovom gajrovektorskom

prostoru (Rns ,⊕M ,⊗) je gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke Pm s obzi-

rom na odvojeno nezavisan skup ta£aka Sm = {A1,m, ..., AN,m} Mebijusovoggajrovektorskog prostora (Rn

s ,⊕M ,⊗) data je sa

Pm =1

2⊗

N∑k=1

mkγ2Ak,m

Ak,m

N∑k=1

mk

(γ2Ak,m −

12

)gde su sve gajrobaricentri£ne koordinate

mk = mk(A1,m, ..., AN,m)

funkcije ta£aka Sm, k = 1, ..., N .

Dokaz: Transformi²emo ta£ke Pe, Ak,e, k = 1, ..., N , Ajn²tajnovog gaj-rovektorskog prostora (Rn

s ,⊕E,⊗) koje su date sa

Pe =

N∑k=1

mkγAk,eAk,e

N∑k=1

mkγAk,e

,

u odgovaraju¢e ta£ke Pm, Ak,m odgovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektorskogprostora (Rn

s ,⊕M ,⊗). Ova transformacija daje gajrobaricenti£nu reprezen-taciju

Pm =1

2⊗

N∑k=1

mkγ2Ak,m

Ak,m

N∑k=1

mk

(γ2Ak,m −

12

)

70

a ta transformacija data je u slede¢em nizu jednakosti:

2⊗ Pm =

N∑k=1

mkγ2⊗Ak,m (2⊗ (Ak,m))

N∑k=1

mkγ2⊗Ak,m

=

N∑k=1

mk

(2γ2Ak,mAk,m

)N∑k=1

mk

(2γ2Ak,m − 1

)

=

N∑k=1

mkγ2Ak,m

Ak,m

N∑k=1

mk

(γ2Ak,m −

12

) .

1. Prva jednakost je gajrobaricentri£na reprezentacija

Pe =

N∑k=1

mkγAk,eAk,e

N∑k=1

mkγAk,e

u kojoj su ta£ke Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕E,⊗)

zamenjene njihovim slikama u odgovaraju¢em Mebijusovom gajrovek-torskom prostoru (Rn

s ,⊕M ,⊗)

(i) Pe = 2⊗ Pm i Ak,e = 2⊗ Ak,m

2. Sledi iz (1) na osnovu algebarskih identiteta:

(ii) γAk,e = γ2⊗Ak,m = 2γ2Ak,m − 1

(iii) γAk,e = γ2⊗Ak,m(2⊗ Ak,m) = 2γ2Ak,mAk,m

3. Sledi direktno iz (2). �

De�nicija 4.4.1 (Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog gajrovektor-skog prostora). Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od N ≥ 2ta£aka u Mebijusovom gajrovektorskom prostoru (Rn

s ,⊕M ,⊗). Realni brojevim1, ...,mN su gajrobaricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn

s s obzirom na skupS ako

N∑k=1

mk

(γ2Ak −

1

2

)6= 0

71

i

P =1

2⊗

N∑k=1

mkγ2AkAk

N∑k=1

mk

(γ2Ak −

12

)Gajrobaricentri£ne koordinate su homogene u smislu da gajrobaricentri£ne ko-ordinate (m1, ...,mN) ta£ke P su ekvivalentne gajrobaricentri£nim koordina-tama (λm1, ..., λmN) za svako λ 6= 0. Kako je u gajrobaricentri£nim koordina-tama samo odnos koordinata bitan, gajrobaricentri£ne koordinate (m1, ...,mN)se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN).

Kona£no, gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P je specijalna ako sugajrobaricentri£ne koordinate normalizovane uslovom

N∑k=1

mk = 1.

4.5 Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka

De�nicija 4.5.1 (Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns

dve razli£ite ta£ke u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rns ,⊕,⊗). Gaj-

rosredi²nja ta£ka M12 ta£aka A1 i A2 je ta£ka gajrosegmenta A1A2 jed-nako udaljena od A1 i A2, tj.

|| A1 ⊕M12|| = || A2 ⊕M12||

ili, ekvivalentno,γA1⊕M12 = γA2⊕M12 .

Neka je M12 gajrosredi²nja ta£ka gajrosegmenta A1A2 u Ajn²tajnovomgajrovektorskom prostoru (Rn

s ,⊕,⊗) sa gajrobaricentri£nom reprezentacijomkoordinata

M12 =m1γA1A1 +m2γA2A2

m1γA1 +m2γA2

s obzirom na skup {A1, A2}, gde gajrobaricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£keM12 su de�nisane u daljem tekstu.

Na osnovu osobina gajrokovarijanse s obzirom na levu gajrotranslaciju uidentitetu

γX⊕P =

N∑k=1

mkγX⊕Ak

m0

72

zamenimo X sa X, tada je ta£ka M12 data identitetom

γX⊕M12 =m1γX⊕A1 +m2γX⊕A2

m0

za svako X ∈ Rns . Ako uzmemo oznaku γ12 = γA1⊕A2 i m0 6= 0 koje je

de�nisano kao

m0 = ±

√√√√( N∑k=1

mk

)2

+ 2N∑

j,k=1,j<k

mjmk(γAj⊕Ak − 1)

dobijamo jednakost

m20 = (m1 +m2)

2 + 2m1m2(γ12 − 1)

gde je m0 > 0 ako su m1 i m2 pozitivni.Ako u jednakosti

γX⊕M12 =m1γX⊕A1 +m2γX⊕A2

m0

zamenimo redom X = A1 i X = A2, imamo

γA1⊕M12 =m1 +m2γA1⊕A2

m0

=m1 +m2γ12

m0

γA2⊕M12 =m1γA2⊕A1 +m2

m0

=m1γ12 +m2

m0

uz napomenu da je γA1⊕A1 = γ0 = 1.Na osnovu prethodne dve jednakosti i

γA1⊕M12 = γA2⊕M12

sa normalizacijom uslova m1 +m2 = 1, imamo

m1 +m2 = 1

m1 +m2γ12 = m1γ12 +m2,

tako dobijamo sistem od dve jedna£ine sa dve nepoznate m1 i m2. Jedin-stveno re²enje sistema je m1 = m2 = 1

2. Stoga, specijalne gajrobaricentri£ne

koordinate (m1 : m2) ta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2} su

(m1,m2) =

(1

2,1

2

)73

tako da su pogodne gajrobaricentri£ne koordinate (m1 : m2) gajrosredi²njeta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2} su

(m1,m2) = (1 : 1).

Gajrosredi²nja ta£ka M12 gajrosegmenta A1A2 u Ajn²tajnovom gajrovektor-skom prostoru (Rn

s ,⊕,⊗) je data jedna£inom

M12 =γA1A1 + γA2A2

γA1 + γA2

.

Teorema 4.5.1 (Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns ,

n ≥ 1 dve ta£ke Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗), i neka je

M12 njihova gajrosredi²nja ta£ka. Tada M12 ima gajrobaricentri£nu repre-zentaciju

M12 =γA1A1 + γA2A2

γA1 + γA2

s obzirom na skup {A1, A2}, sa gajrobaricentri£nim koordinatama

(m1 : m2) = (1 : 1). �

4.6 Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka

Transformacija Ajn²tajnove gajrobaricentri£ne reprezentacije

Pe =

N∑k=1

mkγAk,eAk,e

N∑k=1

mkγAk,e

ta£ke iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora u Mebijusovoj gajrobaricen-tri£noj reprezentaciji

Pm =1

2⊗

N∑k=1

mkγ2Ak,m

Ak,m

N∑k=1

mk

(γ2Ak,m −

12

)ta£ke odovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektorskog prostora je prikazana u jed-noj od prethodnih teorema.

Na osnovu iste teoreme, transformacija identiteta

M12 =γA1A1 + γA2A2

γA1 + γA2

74

gajrosredi²nje ta£ke iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora u Mebijusovgajrovektorski prostor daje identitet Mebijusove gajrosredi²nje ta£ke

M12 =1

2⊗γ2A1

A1 + γ2A2A2

γ2A1+ γ2A2

− 1.

Ta£ka M12 u prethodnoj jednakosti je gajrosredi²nja ta£ka gajrosegmentaA1A2 Mebijusovog gajrovektorskog prostora (Rn

s ,⊕M ,⊗). Pogodne gajro-baricentri£ne koordinate (m1 : m2) ta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2}su

(m1 : m2) = (1 : 1).

Teorema 4.6.1 (Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns ,

n ≥ 1, dve ta£ke Mebijusovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗), i neka je

M12 njihova sredi²nja ta£ka. Tada M12 ima gajrobaricentri£nu reprezentaciju

M12 =1

2⊗γ2A1

A1 + γ2A2A2

γ2A1+ γ2A2

− 1

s obzirom na skup {A1, A2}, sa gajrobaricentri£nim koordinatama

(m1 : m2) = (1 : 1). �

75

Biogra�ja

Marjan Stojanovi¢ ro�en je 05.09.1992. godine u Leskovcu. Osnovnu²kolu ”Kosta Stamenkovi¢” u Leskovcu upisao je 1999. godine i zavr²io kaonosilac diplome ”Vuk Karadzi¢”. Medicinsku ²kolu u Leskovcu, farmaceutskitehni£ar, upisao je 2007. godine i zavr²io 2011. godine. Tokom poha�anjaosnovne i srednje ²kole u£estvovao je na raznim takmi£enjima.

2011. godine upisao je osnovne akademske studije matematike, na De-partmanu za matematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, koje jezavr²io 2014. godine. Iste godine upisao je master akademske studije tako�ena Departmanu za matematiku, Prirodno matemati£kog fakulteta u Ni²u,studijski program: op²ta matematika, koje je zavr²io 2017. godine.

76

Literatura

[1] A. Pustai, Teºi²te �gura i sistema materijalnih ta£aka-mogu¢nost iz-laganja nekih delova ovog sadrºaja u nastavi matematike u osnovnoj²koli, Novi Sad, 2016.

[2] A. A. Ungar, Barycentric Calculus in Euclidean and Hyperbolic Geo-metry, Singapore, 2010.

[3] D. Ili²evi¢, M. Bombardelli, Elementarna geometrija, 2007.

[4] J. Perovi¢, J. Krmar, Geometrija masa, 2008.

[5] Lj. Ko£inac, Linearna algebra i analiti£ka geometrija, Prosveta Ni²,1997.

[6] M. B. Balk, B. G. Boltjanski, Geometrija masa, Moskva, 1987.

[7] N. Milosavljevi¢, Geometrija masa, 2008

[8] O. Milenkovi¢, M. Ðori¢, Zbirka zadataka iz analiti£ke geometrije, Beo-grad, 2007.

[9] https://www.wikipedia.org

77

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Марјан Стојановић

Ментор, МН: Милан Златановић

Наслов рада, НР: БАРИЦЕНТРИЧНИ СИСТЕМ КООРДИНАТА

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2017.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

77 стр.

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: геометрија

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Геометрија маса, барицентрични систем координата

УДК 514.12

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ: У овом раду проучавана је геометрија маса, барицентрични систем координата, значајне тачке троугла у барицентричном систему координата и хиперболичке барицентричне координате. Такође, рад је поткрепљен одговарајућим примерима и наглашена је сличност са механиком.

Датум прихватања теме, ДП: 23.12.2015.

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник:

Члан:

Члан, ментор:

Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual

Contents code, CC: university degree thesis

Author, AU: Marjan Stojanović

Mentor, MN: Milan Zlatanović

Title, TI:

BARYCENTRIC COORDINATE SYSTEM

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2017.

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

77 page

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: Geometry

Subject/Key words, S/KW: Mass point geometry, barycentric coordinate system

UC 514.12

Holding data, HD: library

Note, N:

Abstract, AB: In this work, we investigate mass point geometry as well as barycentric coordinate system. Also, we investigate classic triangle centres in barycentric coordinate system and Hyperbolic barycentric coordinate. Also, we have a lot of examples in this work and we emphasize similarity with mechanics.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: 23.12.2015.

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President:

Member:

Member, Mentor:

Образац Q4.09.13 - Издање 1