Mirko PolonijoDean CrnkovicMea BombardelliTajana Ban KiriginZrinka FranusicRene SusanjZvonko Iljazovic

EUKLIDSKI PROSTORI

Matematicki odsjek PMF-a Odjel za matematiku

Sveuciliste u Zagrebu Sveucilista u Rijeci

Recenzent

Dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof.

Sadrzaj

I Ani prostori 6

1 Pojam anog prostora 7

2 Potprostori anog prostora 12

2.1 Denicija ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Presjek i suma ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Grassmannove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Odnosi medu ravninama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Ravnine koje se sijeku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 Paralelne ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Mimosmjerne ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Analiticka geometrija anog prostora 21

3.1 Linearno zavisan i linearno nezavisan skup tocaka . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Ani koordinatni sustav. Koordinate tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Dijeljenje orijentirane duzine u zadanom omjeru . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 Transformacija anog koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Jednadzba k-dimenzionalne ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Parametarska jednadzba k-ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Opca jednadzba k-ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Jednadzbe hiperravnina i pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Parametarska jednadzba hiperravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2 Jednadzba hiperravnine zadane tockama . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.3 Segmentni oblik jednadzbe hiperravnine . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.4 Opci oblik jednadzbe hiperravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.5 Jednadzbe pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Konveksni skupovi 48

4.1 Baricentricne koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Konveksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Poluprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2 Paralelotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.3 Simpleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Orijentacija anog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

5 Ana preslikavanja 665.1 Pojam anog preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Svojstva anih preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Ana grupa prostora An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Translacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2 Neka daljnja svojstva anih preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Analiticki prikaz anog preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

II Euklidski prostori 79

6 Pojam euklidskog prostora 80

7 Ortogonalnost. Udaljenost prostora 827.1 Okomitost ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.1.1 Ortogonalna projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1.2 Paralelnost dviju ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.1.3 Okomitost dviju ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2 Udaljenost ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.1 Udaljenost tocke od hiperravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.2 Udaljenost tocke od k-ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.3 Zajednicka normala i udaljenost k-ravnina . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3 Kutovi ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3.1 Kut pravca i k-ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3.2 Kut dvije hiperravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3.3 Kut izmedu ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8 Politopi 1008.1 Volumen paralelotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2 Volumen simpleksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.3 Politopi i Eulerova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9 Preslikavanja euklidskog prostora { izometrije 1129.1 Pomaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.2 Translacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.3 Rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.4 Simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4

Predgovor

Skripta je namijenjena studentima druge godine preddiplomskog studija matematike. Nas-tala je na temelju predavanja iz kolegija Euklidski prostori na Matematickom odsjeku Priro-doslovno-matematickog fakulteta Sveucilista u Zagrebu i Odjelu za matematiku Sveucilistau Rijeci.

Od citatelja se ocekuje poznavanje standardnih matematickih sadrzaja prve godine studijamatematike, posebice sadrzaja Linearne algebre I i II.

Tocke i vektori dva su tipa matematickih objekata koji su nam od prije poznati, kao i nekanjihova svojstva. Mnoga od tih svojstava intuitivno su nam jasna, a cilj je ove skripteteorijski ih utemeljiti. U tu svrhu morat cemo prosiriti sadrzaje linearne algebre.

Skripta je podijeljena u dva dijela. U prvom dijelu obradeni su ani prostori, a u drugomeuklidski prostori, kao posebna vrsta anih prostora.

U prvom dijelu obraduju se pojam anog prostora, potprostori anog prostora, analitickageometrija anog prostora, konveksni skupovi i ana preslikavanja, a u drugom dijelu pojameuklidskog prostora, ortogonalnost, udaljenost prostora, politopi i preslikavanja euklidskogprostora.

Premda je skripta prvenstveno namijenjena studentima matematike, moze posluziti i stu-dentima srodnih studija.

5

Dio I

Ani prostori

6

Poglavlje 1

Pojam anog prostora

Podsjetimo se najprije nekih pojmova iz Linearne algebre koji ce nam trebati pri konstrukcijianog prostora.

Ako je S neprazan skup, tada se svako preslikavanje : S S ! S naziva (binarnom)operacijom, te pritom koristimo notaciju (a; b) = a b, gdje su a; b 2 S.Uredeni par (S; ) nepraznog skupa i na njemu denirane operacije naziva se grupa akovrijedi:

(i) (8a; b; c 2 S) (a b) c = a (b c) (asocijativnost);(ii) (9e 2 S) (8a 2 S) a e = e a = a (postojanje neutralnog elementa);(iii) (8a 2 S) (9a0 2 S) a a0 = a0 a = e (postojanje inverznog elementa).Grupa (S; ) je Abelova ili komutativna ako je grupovna operacija komutativna, odnosno akoje a b = b a za sve a; b 2 S.(F;+; ) je polje ako su (F;+) i (F n f0g; ) Abelove grupe (gdje je 0 neutralni element uodnosu na operaciju +) i vrijedi distributivnost operacije prema operaciji +

(8a; b; c 2 F ) a (b+ c) = a b+ a c:Ako je iz konteksta jasno o kojim se operacijama radi, kazemo jos i da je F polje, a umjestoa b pisemo ab, gdje su a; b 2 F .Elemente polja nazivamo skalarima.

(V; F; ) je vektorski prostor nad poljem F ako je (V;+) Abelova grupa, a za preslikavanje : F V ! V (za sve a; b 2 V , ; 2 F ) vrijedi:(i) (a+ b) = a+ b ;(ii) (+ ) a = a+ a ;(iii) () a = ( a) ;(iv) 1 a = a (1 je neutralni element pri operaciji mnozenja skalara)Elementi vektorskog prostora nazivaju se vektorima, a preslikavanje za koje vrijede svojstva(i)-(iv) naziva se mnozenje vektora skalarima. Neutralni element grupe (V;+) naziva senul-vektor i oznacava sa .

7

Ako je iz konteksta jasno o kojim se operacijama radi, kazemo i da je V vektorski prostor.

Vektorski prostor nad poljem R, odnosno C, nazivamo realnim, odnosno kompleksnim, vek-torskim prostorom.

Za vektore a1; : : : ; an 2 V i skalare 1; : : : ; n 2 F vektor 1a1+ : : :+nan naziva se linearnakombinacija vektora a1; : : : ; an.

Vektori a1; : : : ; an su linearno zavisni ako postoje skalari 1; : : : ; n koji nisu svi jednaki 0takvi da vrijedi 1a1 + : : : + nan = . Ako vektori a1; : : : ; an nisu linearno zavisni kaze seda su linearno nezavisni.

Baza vektorskog prostora V je skup B V linearno nezavisnih vektora takav da se svakivektor a 2 V moze prikazati kao linearna kombinacija vektora iz B.Kardinalni broj baze vektorskog prostora naziva se dimenzijom tog prostora.

Potprostor vektorskog prostora V je svaki njegov podskup W koji je i sam vektorski prostoruz iste operacije, odnosno njihove odgovarajuce restrikcije, sto zapisujemo W V .Ako su X i Y vektorski prostori nad istim poljem F , tada se preslikavanje f : X ! Y nazivaoperator.

Operator f je aditivan ako je

(8 x; y 2 X) f(x+ y) = f(x) + f(y);

a homogen ako je

(8 x 2 X) (8 2 F ) f(x) = f(x):Aditivan i homogen operator naziva se linearnim operatorom.

Ako je f : X ! Y bijektivni linearni operator kazemo da je f izomorzam vektorskih prostoraX i Y , a za te prostore kazemo da su izomorfni.

Sada mozemo denirati pojam anog prostora.

Denicija 1. Neka je A neprazan skup, V vektorski prostor nad poljem F , te neka jedenirano preslikavanje, v : AA ! V .Uredena trojka (A; V; v) naziva se anim prostorom nad V , a elementi skupa A tockama togprostora ako vrijedi:

(A1) za svaki A 2 A i svaki x 2 V postoji jednoznacno odredena tocka B 2 A tako da jev(A;B) = x;

(A2) za sve A;B;C 2 A vrijedi v(A;B) + v(B;C) = v(A;C) (Charlesova jednakost).

Ako je (A; V; v) ani prostor, tada se vektorski prostor V naziva pripadni vektorski prostorili smjer anog prostora A.

8

AB C

Slika 1.1: Zbrajanje vektora

Najcesce se, radi jednostavnosti, sam skup A naziva anim prostorom.Preslikavanje v : AA ! V svakom uredenom paru tocaka (A;B) pridruzuje vektor v(A;B).Vektori se zbrajaju prema pravilu (A2), kojeg nazivamo pravilom trokuta.

Uocimo da iz (A2) slijedi da je v(A;A) = za svaki A 2 A.

Denicija 2. Neka su (A1; V1; v1) i (A2; V2; v2) ani prostori takvi da je A1 A2, V1 V2i v1 restrikcija preslikavanja v2. Tada kazemo da je (A1; V1; v1) ani potprostor prostora(A2; V2; v2) i to oznacavamo sa (A1; V1; v1) (A2; V2; v2) ili krace sa A1 A2.

Denicija 3. Ani prostor je realan (kompleksan) ako je pridruzeni vektorski prostor realan(kompleksan).

Ani prostor je konacno-dimenzionalan (beskonacno-dimenzionalan) ako je pridruzeni vek-torski prostor konacno-dimenzionalan (beskonacno-dimenzionalan).

Dimenzija anog prostora jednaka je dimenziji pripadnog vektorskog prostora. Ubuduce cemon-dimenzionalni ani prostor (A; V; v) cesto oznacavati sa (An; V n; v).

Napomena. U anom prostoru opcenito nisu denirani neki pojmovi s kojima smo sesusreli vec u srednjoskolskoj geometriji, kao sto su udaljenost dviju tocaka i kut izmedudva pravca. Takva svojstva promatrat cemo u drugom dijelu skripte u kojem su obradenieuklidski prostori.

Primjer 1.

Svaki vektorski prostor moze se interpretirati kao ani prostor nad samim sobom.

U tom slucaju dovoljno je denirati da je skup tocaka jednak skupu V , a preslikavanjev : V V ! V denirati sa

v(x; y) = y x; x; y 2 V:

Tada za svaki x 2 V i svaki a 2 V postoji takav y 2 V da vrijedi v(x; y) = a. Ocito jey = x+ a jer je v(x; y) = y x = (x+ a) x = a.Dalje, za sve x; y; z 2 V vrijedi v(x; y)+ v(y; z) = (yx)+ (z y) = zx = v(x; z). Uvjeti(A1) i (A2) su ispunjeni, pa je (V; V; v) ani prostor.

Moze se provjeriti da je (V; V; w) ani prostor i uz preslikavanje w : V V ! V zadano saw(x; y) = k(y x), k 2 F , k 6= 0.

9

Primjer 2.

Neka je V realan ili kompleksan vektorski prostor, a v : V V ! V preslikavanje deniranosa v(x; y) = x+ y.

(V; V; v) nije ani prostor. Uvjet (A1) je ispunjen, ali nije uvjet (A2). Naime, v(x; y) +v(y; z) = (x+ y) + (y + z) = x+ 2y + z 6= v(x; z).

Primjer 3.

Neka je V vektorski prostor, a preslikavanje v : V V ! V denirano sa v(x; y) = .(V; V; v) nije ani prostor. Uvjet (A2) je ispunjen, a (A1) nije.

Iz primjera 2. i 3. zakljucujemo da su uvjeti (A1) i (A2) nezavisni.

Primjer 4.

Neka je F polje. Vektorima cemo zvati (n+ 1)-torke oblika

(a1; : : : ; an; 0); ai 2 F; i 2 f1; : : : ; ng; (1.1)

a tockama (n+ 1)-torke:

(b1; : : : ; bn; 1); bi 2 F; i 2 f1; : : : ; ng: (1.2)

Zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom deniramo jednakostima:

(a1; : : : ; an; 0) + (a01; : : : ; a

0n; 0) = (a1 + a

01; : : : ; an + a

0n; 0);

(a1; : : : ; an; 0) = (a1; : : : ; an; 0); 2 F;a funkciju v koja paru tocaka pridruzuje vektor deniramo sa

v ((b1; : : : ; bn; 1); (b01; : : : ; b

0n; 1)) = (b

01 b1; : : : ; b0n bn; 0):

Lako se pokazuje da je skup svih vektora (1.1) n-dimenzionalni vektorski prostor nad F , askup svih tocaka (1.2) s funkcijom v ani prostor nad tim vektorskim prostorom.

Propozicija 1. Neka je An n-dimenzionalni ani prostor nad vektorskim prostorom V n spreslikavanjem v : An An ! V n. Tada za sve A;B 2 An vrijedi:

a) v(A;B) = v(A;C) ) B = C;b) v(A;B) = , A = B;c) v(A;B) = v(B;A).

Dokaz. Prva tvrdnja slijedi direktno iz uvjeta (A1).

Za dokaz tvrdnje b) pretpostavimo najprije da je A = B. Tada je v(A;B) = v(A;A) = .

Obratno, ako je v(A;B) = , buduci da je v(A;A) = , tada iz a) slijedi B = A.

Tvrdnja c) slijedi iz v(A;B) + v(B;A) = v(A;A) = prema (A2) i tvrdnji b).

10

Neka je A = (A; V; v) ani prostor i A;B 2 A. Uredeni par tocaka (A;B) nazvamo ori-jentiranom duzinom i oznacavamo sa

!AB. Pritom je tocka A pocetna, a B krajnja tocka

orijentirane duzine!AB.

Na skupu orijentiranih duzina deniramo relaciju sa!AB !CD ako i samo ako je v(A;B) = v(C;D):

Dokazimo da je relacija ekvivalencije na skupu orijentiranih duzina:

1. ReeksivnostZa svake dvije tocke A;B 2 A je v(A;B) = v(A;B), pa je !AB !AB.

2. SimetricnostAko je

!AB !CD, odnosno v(A;B) = v(C;D), onda je v(C;D) = v(A;B), dakle!

CD !AB.3. Tranzitivnost

Neka je!AB !CD i !CD !EF , odnosno v(A;B) = v(C;D) i v(C;D) = v(E;F ).

Tada je v(A;B) = v(E;F ), iz cega slijedi!AB !EF .

Vektore prostora V n mozemo identicirati s klasama ekvivalentnih orijentiranih duzina, papisemo

v(A;B) = [!AB]:

Takoder, po dogovoru, pisemo

v(A;B) =!AB;

odnosno vektore identiciramo s predstavnicima klasa ekvivalencije orijentiranih duzina.

Denicija 4. Neka je O 2 An neka cvrsta tocka anog prostora. Tada vektor v(O; T ) =rT 2 V n nazivamo radijus-vektorom tocke T s obzirom na ishodiste O.

O

Tr

T

Slika 1.2: Radijus-vektor tocke T s obzirom na ishodiste O

Uvjet (A1) mozemo sada interpretirati na ovaj nacin: svakoj tocki O 2 An pridruzen jevektorski prostor radijus-vektora ciji je pocetak u O.Taj prostor radijus-vektora izomorfan je s vektorskim prostorom V n.

Uocimo da je u vektorskom prostoru istaknut jedan element, nul-vektor, dok su u anomprostoru svi elementi (tocke) ravnopravni.

11

Poglavlje 2

Potprostori anog prostora

2.1 Denicija ravnine

Denicija 5. Neka je T0 tocka n-dimenzionalnog anog prostora An, V n njemu pridruzenivektorski prostor i W k k-dimenzionalni potprostor od V n. Skup svih tocaka T 2 An za kojeje!T0T 2 W k naziva se k-dimenzionalna ravnina (k-ravnina) tockom T0 sa smjerom W k i

oznacava sa k, tj. ravnina k tockom T0 sa smjerom Wk je skupn

T 2 An !T0T 2 W ko : (2.1)Ubuduce cemo smjer ravnine oznacavati sa W .

Primjer 5.

Posebno, 0-ravnina se sastoji od samo jedne tocke. Pridruzeni vektorski prostor je trivijalan,W 0 = fg. Prema tome je svaka tocka anog prostora 0-dimenzionalna ravnina.n-ravnina je identicna s cijelim prostorom An.Denicija 6. U n-dimenzionalnom anom prostoru (n 1)-ravnina naziva se hiperravni-nom, a 1-ravnina se naziva pravcem.

U deniciji k-ravnine istaknuta je jedna tocka. Pokazimo da su sve tocke k-ravnine ravno-pravne.

Propozicija 2. Neka je A ani prostor, ravnina tockom A 2 A sa smjerom W , a B 2 bilo koja tocka te ravnine. Tada je =

nT 2 A !AT 2 Wo = nT 2 A !BT 2 Wo.

Dokaz. Odaberimo bilo koju tocku B 2 =nT 2 A !AT 2 Wo. Treba dokazati da tocka

T pripada ravnini ako i samo ako je!BT 2 W , odnosno da vrijedi

!BT 2 W , T 2 :

Pretpostavimo da je!BT 2 W . Kako je B 2 to je !AB 2 W . Slijedi da je !AT = !AB+!BT 2

W i zato je T 2 .Obratno, iz T 2 slijedi da je !AT 2 W pa je i !BT = !AT !AB 2 W .

12

Propozicija 3. Neka je An ani prostor nad V n i neka je k k-dimenzionalna ravninatockom A 2 An sa smjerom W k V n. Ravnina k je k-dimenzionalni ani prostor nadvektorskim prostorom W k.

Dokaz. Odaberimo u k bilo koje dvije tocke B i C. Tada je!BC 2 W k, a preslikavanje

v : An An ! V n inducira preslikavanje v0 : k k ! W k jednakoscu v0(B;C) =v(B;C) =

!BC, B;C 2 k. (Preslikavanje v0 je restrikcija preslikavanja v).

Uvjet (A1) za k slijedi iz denicije ravnine i prije dokazane ravnopravnosti tocaka u k

(propozicija 2).

Uvjet (A2) vrijedi za cijeli prostor An, pa vrijedi posebno i za k.

Dokazali smo da je svaka k-dimenzionalna ravnina anog prostora An k-dimenzionalni anipotprostor od An. Pokazimo da vrijedi i obrat te tvrdnje.Propozicija 4. Svaki k-dimenzionalni ani potprostor anog prostora An je k-dimenzionalnaravnina prostora An.

Dokaz. Neka je (k;W k; v0) k-dimenzionalni ani potprostor anog prostora (An; V n; v), teneka je T0 2 k. Dokazimo da je

k =nT 2 An !T0T 2 W ko : (2.2)

Buduci da funkcija v0 preslikava k k u W k, za svaku tocku T 2 k je !T0T 2 W k.Obratno, ako za neku tocku T 2 An vrijedi !T0T 2 W k, onda zbog uvjeta (A1) iz denicijeanog prostora mora biti T 2 k.

Ubuduce pojmove ravnina i ani potprostor koristimo kao sinonime.

Primjer 6.

Neka je V n n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem F , a An ani prostor nad V n.Neka je A 2 An i a1; a2; : : : ; am 2 V n pri cemu je dim[a1; a2; : : : ; am] = k.1 Tada je skup

k =

(X !AX = mX

i=1

iai; i 2 F)

potprostor od An dimenzije k, buduci da je skup

W k =n!AX

X 2 ko = ( mXi=1

iai i 2 F)

k-dimenzionalni potprostor od V n razapet vektorima a1; a2; : : : ; am; tj.Wk = [a1; a2; : : : ; am].

1 Najmanji vektorski prostor koji sadrzi vektore v1; : : : ; vm zovemo vektorski potprostor razapet vektorimav1; : : : ; vm i oznacavamo sa [v1; : : : ; vm].

13

2.2 Presjek i suma ravnina

Znamo da je presjek dvaju potprostora nekog vektorskog prostora V potprostor od V , te daje presjek (konacno ili beskonacno mnogo) potprostora od V takoder potprostor od V .

Za potprostore anog prostora vrijedi sljedeca tvrdnja.

Propozicija 5. Neka su 1 i 2 potprostori anog prostora An nad prostorom V n. Presjek1 \ 2 potprostora je ili prazan skup ili potprostor od An.

Dokaz. Pretpostavimo da je 1 \ 2 6= ;. Tada postoji bar jedna tocka A 2 1 \ 2.Promatrajmo skup W radijus-vektora svih tocaka T presjeka 1\2 s obzirom na ishodisteA. Pokazimo da je W potprostor od V n. Naime,

W =n!AT

T 2 1 \ 2o = n!AT T 2 1o \ n!AT T 2 2opa je W presjek potprostora od V n i kao takav i sam potprostor od V n. Zato je 1 \ 2potprostor anog prostora An tockom A s pridruzenim vektorskim prostorom W .

1 \ 2 moze biti prazan skup, npr. kada je 1 = fAg, 2 = fBg, za A 6= B, A;B 2 An.

Iz propozicije 5 slijedi da je presjek konacno mnogo potprostora anog prostora An ili prazanskup ili potprostor od An. Takoder je presjek beskonacno mnogo anih potprostora od Anili prazan skup ili ani potprostor od An.S druge strane unija anih potprostora od An ne mora biti ani potprostor od An.Nadalje, uocimo da smo u dokazu propozicije 5 pokazali da je, u slucaju kada ani prostori1 i 2 s pripadnim smjerovima W1 i W2 nisu disjunktni, smjer ravnine 1 \ 2 jednakW1 \W2.Denicija 7. Neka je A ani prostor i S neprazni podskup od A. Presjek svih potprostoraprostora A koje sadrze S, odnosno skup

\SPA

P je potprostor od A koji se naziva prostor

razapet skupom S i oznacava sa [S].

Neka je F skup nekih ravnina prostora A. Potprostor razapet skupom F , odnosno skup[[Q2F

Q] naziva se suma (spoj) ravnina iz F i oznacava saXQ2F

Q.

Ako su 1 i 2 ani prostori, onda njihovu sumu oznacavamo sa 1 +2. Ako je A tocka,onda umjesto + fAg pisemo + A.

Presjek svih anih potprostora koji sadrze neprazan skup S najmanji je ani potprostor

koji sadrzi taj skup. Pritom je anom potprostoru\

SPAP pridruzen vektorski prostor\

SPAWP , gdje saWP oznacavamo vektorski prostor pridruzen anom potprostoru P . Time

je opravdana upotreba oznake [S] i naziva prostor razapet skupom S, analognih oznaci i istompojmu za vektorske prostore.

Suma ravnina je asocijativna operacija, odnosno za ravnine 1, 2 i 3 nekog anog prostoraA vrijedi (1 +2) + 3 = 1 + (2 +3).

14

Primjer 7. Suma hiperravnine i tocke

Neka je An ani prostor, A 2 An i n1 hiperravnina tog prostora.Ako je A 2 n1, tada je n1 [ A = n1 pa je suma jednaka n1. Ako A =2 n1, tadaza B 2 n1 vektor !AB nije u smjeru hiperravnine n1, ali je u smjeru sume n1 + A.Stoga je smjer sume n-dimenzionalni vektorski prostor, pa je suma citav prostor An.

2.3 Grassmannove formule

O dimenzijama presjeka i sume dvaju potprostora anog prostora izrazenih pomocu dimen-zija samih potprostora i njima pridruzenih vektorskih prostora govori sljedeci teorem.

Teorem 1. (Grassmannove formule)Neka su 1 i 2 ravnine n-dimenzionalnog anog prostora An, te neka su W1 i W2 smjerovitih ravnina.

Ako je 1 \ 2 = ;, onda jedim(1 +2) = dim(1) + dim(2) dim(W1 \W2) + 1: (2.3)

Ako je 1 \ 2 6= ;, onda jedim(1 +2) = dim(1) + dim(2) dim(1 \ 2): (2.4)

Dokaz. Istinitost formule (2.4) neposredno slijedi iz formule

dim(W1 +W2) + dim(W1 \W2) = dim(W1) + dim(W2)koja vrijedi za vektorske potprostore2, jer je u tom slucaju

dim(W1 \W2) = dim(1 \ 2): (2.5)

Neka je sada 1\2 = ;. Neka je dim(1) = k, dim(2) = l. Uzmimo da ravnina 1 sadrzitocku A, ravnina 2 tocku B i da je baza prostora W2 skup fb1; b2; : : : ; blg.Ocito

!BA =2 W2, jer bi u suprotnom bilo A 2 1 \ 2 sto proturjeci pretpostavci.

Zato je skup S =n!BA; b1; b2; : : : ; bl

obaza prostora W3 = [

!AB] + W2 i dimW3 = l + 1.

Ravnina tockom A koju odreduje potprostorW3 dana je sa A+2 pa je dim(A+2) = l+1.

Buduci da je 1 \ (A+2) 6= ;, iz (2.4) slijedidim(1 +2) = dim(1 + (A+2)) =

= k + (l + 1) dim(1 \ (A+2)):(2.6)

Nadalje je zbog (2.5)dim(1 \ (A+2)) = dim(W1 \W3):

2Neka su W1 i W2 potprostori vektorskog prostora V . Najmanji vektorski prostor koji sadrzi W1 i W2naziva se suma potprostora W1 i W2 i oznacava sa W1 +W2. Ako je W1 \W2 = fg, onda kazemo da jesuma W1 +W2 direktna.

15

Neka je B 2 2. Dokazimo da !AB =2 W1 +W2. Pretpostavimo li suprotno, odnosno da je!AB 2 W1 +W2, tada postoje vektori x 2 W1 i y 2 W2 takvi da je !AB = x + y. Zatim,postoji tocka C 2 1 takva da je !AC = x, pa je prema (A1)

!AB =

!AC +

!CB = x+

!CB;

odnosno!CB = y 2 W2. Zbog toga je C 2 2, odnosno C 2 1 \2, sto je u kontradikciji s

pretpostavkom da je 1 \ 2 = ;.Time smo dokazali da

!AB =2 W1 +W2, pa buduci da je W3 = [!AB; b1; : : : ; bl], vrijedi

W1 \W3 = W1 \W2;

pa iz (2.6) slijedi

dim(1 +2) = k + l + 1 dim(W1 \W2);odnosno, vrijedi (2.3).

Direktna je posljedica teorema 1 je sljedeci korolar.

Korolar 1. Neka je k1 k-dimenzionalna, a l2 l-dimenzionalna ravnina n-dimenzionalnog

anog prostora An. Tada jedim(k1 +

l2) k + l + 1: (2.7)

Znak jednakosti u (2.7) vrijedi ako i samo ako su ravnine k1 i l2 disjunktne, a suma

potprostora W k1 ;Wl2 V n direktna.

2.4 Odnosi medu ravninama

Pitanje medusobnih odnosa dviju ravnina k1 i l2 anog prostora An prirodno je povezano

s razmatranjem pridruzenih potprostora W k1 , Wl2 vektorskog prostora V

n.

Denicija 8. Za ravnine 1 i 2 anog prostora An kazemo da su paralelne, i pisemo1 k 2, ako za pripadne vektorske potprostore W1 i W2 vrijedi W1 W2 ili W1 W2.Za ravnine 1 i 2 kazemo da su paralelne u uzem smislu ako su paralelene i disjunktne.

Denicija 9. Za ravnine 1 i 2 anog prostora An kazemo da su mimosmjerne (mimo-ilazne) ako se ne sijeku (disjunktne su) i nisu paralelene.

Dvije ravnine anog prostora mogu:

1) se sjeci, odnosno imati neprazan presjek,

2) biti paralelene,

3) biti mimoilazne (mimosmjerne).

16

2.4.1 Ravnine koje se sijeku

Jedan dovoljan uvjet da se dvije ravnine sijeku, tj. da im presjek bude neprazan, daje sljedecapropozicija.

Propozicija 6. Neka su k1 i l2 ravnine u anom prostoru An s pridruzenim potprostorima

W k1 i Wl2 za koje je dim(W

k1 \W l2) = m. Ako je

k + l m n (2.8)onda se ravnine k1 i

l2 sijeku.

Dokaz. Kad bi ravnine k1 i l2 bile disjunktne, prema jednakosti (2.3) bilo bi

k + l m+ 1 = dim(k1 +l2) n;odnosno

k + l m n 1 < n;sto je u suprotnosti sa (2.8).

Propozicija 7. Neka su 1 i 2 ravnine u anom prostoru A. Nadalje, neka su ravninama1 i 2 redom pridruzeni vektorski prostori W1 i W2, te neka je A 2 1 i B 2 2. Tadavrijedi

1 \ 2 6= ; , !AB 2 W1 +W2:

Dokaz. Pretpostavimo da je 1 \ 2 6= ;. Tada postoji tocka T takva da je T 2 1 \ 2.Buduci da vrijedi A; T 2 1, slijedi da je !AT 2 W1. Analogno je !TB 2 W2. Stoga je

!AT +

!TB =

!AB 2 W1 +W2:

Obratno, pretpostavimo da je!AB 2 W1 +W2. Tada postoje vektori x 2 W1 i y 2 W2 takvi

da je!AB = x+ y. Prema deniciji anog prostora za tocku A 2 1 i vektor x 2 W1 postoji

tocka C 2 1 takva da je !AC = x. Analogno, za tocku B 2 2 i vektor y 2 W2 postojitocka D 2 2 takva da je !BD = y, odnosno !DB = y. Tada je

!AB =

!AC +

!CD +

!DB = x+

!CD + y =

!AB +

!CD:

Slijedi da je!CD = , odnosno C = D prema Propoziciji 1 b), pa je C 2 1 \ 2. Dakle,

1 \ 2 6= ;.

Vrijede sljedece tvrdnje:

{ Ako se ravnine k1 i l2 sijeku, njihov presjek

k1 \ l2 je takoder ravnina (propozicija

5).

{ Ako se ravnine k1, l2 anog prostora An sijeku i sadrzane su u nekoj ravnini r,

onda za dimenziju m njihovog presjeka vrijedi nejednakost m k + l r. Posebno jem k + l n. Ove tvrdnje posljedice su cinjenice da je k1 +l2 r An.

17

{ Ako je presjek ravnina k1, l2 ravnina

m3 , tada postoji jedinstvena ravnina

r, di-menzije r = k + l m, koja sadrzi ravnine k1 i l2. U tom slucaju je

r = k1 +l2; W

r = W k1 +Wl2:

Posebno je k1 \ l2 tocka ako i samo ako je W k1 +W l2 direktna suma.

2.4.2 Paralelne ravnine

Primijetimo da je inkluzija k1 l2 poseban slucaj paralelnosti.Nadalje, ako su ravnine k1 i

l2 paralelne i istih dimenzija, onda za pripadne vektorske

prostore vrijedi W k1 = Wl2.

Primjer 8. Paralelnost pravaca i ravnina u A3

p1

p2

1

2

Slika 2.1: Paralelnost pravaca i 2-ravnina

Za pravce p1 i p2 i 2-ravnine 1 i 2 na slici 2.1 vrijedi:

1 k 2 ; p1 k 1 ; p2 k 1 ; p1 , p2 ; p1 k 2 ; p2 k 2 :Uocavamo da paralelnost ravnina nije tranzitivna, jer vrijedi p1 k 1 i 1 k p2 ali p1 , p2.

Propozicija 8. Neka je u anom prostoru An zadana k-dimenzionalna ravnina k1 i tockaP . Postoji jedinstvena k-dimenzionalna ravnina k2 tockom P koja je paralelna s

k1.

Dokaz. Opisana ravnina k2 je ani potprostor tockom P sa smjerom Wk1 , gdje je W

k1 vek-

torski prostor pridruzen prostoru k1.

Primjer 9.

Presjek neparalelnih hiperravnina anog prostora An je (n 2)-dimenzionalna ravnina.Neka su n11 i

n12 neparalelne hiperravnine u anom prostoru An, te neka su W n11 i

W n12 njima pridruzeni vektorski prostori. To su ocito razlicite hiperravnine, pa postoji tockaA 2 n11 takva da vrijedi A =2 n12 . Stoga je A+n12 = An, pa je i n11 +n12 = An.

18

Ako pretpostavimo da je presjek zadanih hiperravnina prazan, tada odgovarajuca Grassman-nova formula daje:

dim(An) = n = dim(n11 +n12 )= (n 1) + (n 1) dim(W n11 \W n12 ) + 1= 2n 1 dim(W n11 \W n12 )

pa je dim(W n11 \W n12 ) = n 1.Iz toga zakljucujemo da su smjerovi hiperravnina n11 i

n12 jednaki, pa su te hiperravnine

paralelne, sto je u kontradikciji s pretpostavkom. Stoga slijedi da je presjek hiperravninaneprazan.

Primjenimo li Grassmannovu formulu (2.4) dobivamo:

n = dim(n11 +n12 ) = n 1 + n 1 dim(W n11 \W n12 );

dim(W n11 \W n12 ) = n 2;

pa je

dim(n11 \ n12 ) = dim(W n11 \W n12 ) = n 2:

2.4.3 Mimosmjerne ravnine

U anom prostoru A3 dva pravca mogu biti mimosmjerna (slika 2.2), ali pravac i 2-ravninato ne mogu biti.

q

p

Slika 2.2: Mimosmjerni pravci u prostoru A3

U anom prostoru dimenzije vece od 3, pravac i 2-ravnina mogu biti mimosmjerni.

Sljedeca propozicija opisuje nacin konstrukcije mimosmjernih ravnina u An.

Propozicija 9. Neka su k1 i l2 neparalelne ravnine anog prostora An koje se sijeku, te

neka je m3 = k1 \ l2.

Ako je k+ lm < n, onda je svaka k-dimenzionalna ravnina, koja je paralelna sa k1 i nijesadrzana u k1 +

l2, mimosmjerna s

l2.

19

Dokaz. Kako je r = k + l m < n, to je r = k1 + l2 pravi potprostor od An pa postojitocka C takva da je C 2 An i C =2 r.Oznacimo sa kC k-dimenzionalnu ravninu tockom C koja je paralelna s

k1 (propozicija 8).

Pokazimo da su ravnine l2 i kC mimosmjerne.

Ravnine kC i l2 nisu paralelne, jer bi u suprotnom bilo ili W

k1 W l2 ili W k1 W l2, sto je u

proturjecju s pretpostavkom da ravnine k1 i l2 nisu paralelne.

Neka je rC ravnina tockom C paralelna sa r. Zbog C =2 r je rC 6= r. Tada je kC rC

i zato kC ne sijece l2, buduci da bi u suprotnom tocka promatranog presjeka pripadala

paralelnim ravninama r i rC . Dakle, ravnine l2 i

kC su mimosmjerne.

Primjer 10.

Ako cijeli brojevi k, l, m i n zadovoljavaju nejednakosti

0 m k; 0 m l; k + l m < n;

tada u n-dimenzionalnom anom prostoru An postoje mimosmjerne ravnine k i l2 sasmjerovima W k1 ;W

l2 V n ciji presjek Wm3 = W k1 \W l2 ima dimenziju m.

Da bismo konstruirali mimosmjerne ravnine k i l2 primjenom propozicije 9, najprije cemokonstruirati neparalelne ravnine k1 i

l2 koje se sijeku u m-dimenzionalnoj ravnini

m3 .

Odaberimo u vektorskom prostoru Vn potprostore Wk, s bazom fa1; : : : ; am; am+1; : : : ; akg, i

W l, s bazom fa1; : : : ; am; b1; : : : ; blmg, tako da njihov presjekW k\W l budem-dimenzionalnipotprostor Wm s bazom fa1; : : : ; amg.Neka je A bilo koja tocka prostora An, te neka su k1 i l2 ravnine tockom A sa smjerovimaW k i W l. Ravnine k1 i

l2 su neparalelne i sijeku se u m-dimenzionalnoj ravnini

m3 koja

sadrzi tocku A i ima smjer Wm. Ravninu k paralelnu sa k1 i mimosmjernu sa l2 mozemo

konstruirati na nacin opisan u propoziciji 9.

Primjer 11.

Ako ravnina s sadrzi mimosmjerne ravnine k1 i l2 sa smjerovima W

k1 i W

l2, onda je

s k + l m+ 1, gdje je m = dim(W k1 \W l2).Ova tvrdnja trivijalno slijedi iz (2.3), jer ravnina s sadrzi potprostor k1 +

l2.

Primjer 12.

Ako su k1 i l2 mimosmjerne ravnine u anom prostoru An pozitivnih dimenzija, onda

vrijede nejednakostik n 2; l n 2: (2.9)

Nejednakosti (2.9) slijede iz prethodnog primjera za s = n.

Primjer 13.

Neka je n11 hiperravnina, a k2 k-ravnina u anom prostoru An, pri cemu je k 1. Na

temelju nejednakosti (2.9) zakljucujemo da ravnine n11 i k2 ne mogu biti mimosmjerne.

20

Poglavlje 3

Analiticka geometrija anog prostora

Opcenito se moze proucavati analiticka geometrija bilo kojeg anog prostora. Medutim,takva opcenitost ponegdje zahtijeva detaljnije deniranje te posebnu notaciju. Buduci dasmo orijentirani prema euklidskim prostorima kojima je pridruzeno polje realnih brojeva R,mi cemo ubuduce promatrati realne ane prostore.

3.1 Linearno zavisan i linearno nezavisan skup tocaka

U ovom poglavlju denirat cemo linearno zavisan odnosno linearno nezavisan skup tocaka uanom prostoru An sa smjerom V n.Neka je u An dan skup koji sadrzi k + 1 tocku A0, A1,. . . , Ak.Promotrimo vektore

!AiAj za i; j 2 f0; 1; : : : ; kg i sa V (A0; A1; : : : ; Ak) oznacimo potprostor

od V n kojeg odreduju ti vektori. Neka je p njegova dimenzija. Kako je

!AiAj =

!AiA0 +

!A0Aj =

!A0Aj !A0Ai;

svi se vektori!AiAj mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora kojima je pocetna tocka

A0. Na taj nacin vektori !A0A1;

!A0A2; : : : ;

!A0Ak (3.1)

cine bazu prostora V (A0; A1; : : : ; Ak), odnosno

V (A0; A1; : : : ; Ak) =h!A0A1;

!A0A2; : : : ;

!A0Ak

i:

Broj linearno nezavisnih vektora medu njima je najvise k. Dakle,

dimV (A0; A1; : : : ; Ak) = p k:

21

Denicija 10. Skup fA0; A1; : : : ; Akg tocaka anog prostora je linearno zavisan (linearnonezavisan), ako je skup vektora

n!A0A1;

!A0A2; : : : ;

!A0Ak

olinearno zavisan (linearno nezavi-

san).Kazemo jos i da su tocke A0; A1; : : : ; Ak linearno zavisne (linearno nezavisne).

1

Radi jednostavnosti za linearno zavisan (linearno nezavisan) skup tocaka reci cemo da je tozavisan (nezavisan) skup tocaka.

Pretpostavimo da je prvih p vektora u (3.1) linearno nezavisno. Tada p-dimenzionalna

ravnina odredena tockom A0 i vektorima!A0A1; : : : ;

!A0Ap sadrzi sve zadane tocke. Ne postoji

ravnina dimenzije manje od p koja sadrzi sve tocke Ai, i = 0; 1; : : : ; k.

Ako je p < k, tocke A0; A1; : : : ; Ak su linearno zavisne.

Ako je p = k, tocke A0; A1; : : : ; Ak su linearno nezavisne.

Dakle, linearno nezavisan skup tocaka fA0; A1; : : : ; Akg anog prostora An sadrzi jedna isamo jedna k-dimenzionalna ravnina tog prostora.

3.2 Ani koordinatni sustav. Koordinate tocke

Analiticka geometrija nekog prostora temelji se na koordinatizaciji tog prostora. U n-dimenzionalnom anom prostoru An uvest cemo koordinatni sustav pomocu pridruzenogvektorskog prostora V n nad poljem F .

Denicija 11. Neka je An ani prostor, O 2 An bilo koja tocka, te neka je B = fe1; e2; : : : ; engbilo koja baza tom anom prostoru pridruzenog vektorskog prostora V n nad poljem F . Uredena(n+ 1)-torka

(O; e1; e2; : : : ; en) (3.2)

naziva se ani koordinatni sustav.

Tocka O je ishodiste, a e1; e2; : : : ; en su koordinatni vektori tog anog koordinatnog sustava.

Tocke E1; E2; : : : ; En za koje vrijedi!OEi = ei, i = 1; 2; : : : ; n, nazivaju se jedinicne tocke, a

skup fA!OA = !OEi; 2 Fg naziva se i-ta koordinatna os.Tocke O;E1; E2; : : : ; En u potpunosti odreduju koordinatni sustav, a osnovno im je svojstvoda je skup tocaka fO;E1; E2; : : : ; Eng linearno nezavisan.

Za bilo koju tocku T 2 An pripadni radijus-vektor rT moze se na jedinstven nacin prikazatiu obliku

rT =!OT = x1e1 + x2e2 + : : :+ xnen; xi 2 F; i = 1; : : : ; n: (3.3)

1Neka je An n-dimenzionalni ani prostor i fA0; A1; : : : ; Akg An. Ako je k > n i svaki (n + 1)-clani podskup skupa fA0; A1; : : : ; Akg linearno nezavisan, onda kazemo da su tocke A0; A1; : : : ; Ak u opcempolozaju. Kada je k n kazemo da su tocke A0; A1; : : : ; Ak u opcem polozaju ako je skup fA0; A1; : : : ; Akglinearno nezavisan.

22

E2

E1

T

O

e2

e1

rT

Slika 3.1: Ani koordinatni sustav prostora A2

Na taj nacin je izborom koordinatnog sustava (3.2) u anom prostoruAn svakoj tocki T 2 Anna jednoznacan nacin pridruzena uredena n-torka skalara iz F .

Vrijedi i obratno. Neka je (x1; x2; : : : ; xn) bilo koja uredena n-torka skalara iz F . S obziromna odabranu bazu prostora V n jednoznacno je odreden vektor v =

Pni=1 xiei te tocka T

takva da je!OT = v.

Denicija 12. Neka je (O; e1; e2; : : : ; en) ani koordinatni sustav prostora An i T 2 An.Brojevi x1; x2; : : : ; xn takvi da je

!OT = x1e1 + x2e2 + : : :+ xnen; xi 2 F

nazivaju se koordinate tocke T u koordinatnom sustavu (O; e1; e2; : : : ; en) te pisemo!OT =

[x1; x2; : : : ; xn] i T (x1; x2; : : : ; xn).

Ishodiste O ima koordinate (0; 0; : : : ; 0).

Jedinicna tocka Ei odredena je sa!OEi = ei =

nXj=1

ij ej, gdje je ij =

1; za i = j0; inace

Kroneckerov simbol. Ocito je Ei(0; : : : ; 0; 1|{z}i-to mjesto

; 0; : : : ; 0).

Izborom anog koordinatnog sustava uspostavljena je bijekcija izmedu skupa svih tocakaanog prostora An i skupa svih uredenih n-torki skalara iz polja F .

Primjer 14.

Neka suA iB dvije tocke anog prostoraAn s koordinatamaA(x1; x2; : : : ; xn) iB(y1; y2; : : : ; yn)u koordinatnom sustavu (O; e1; e2; : : : ; en).

Odredimo koordinate vektora!AB.

Iz rA =!OA =

nXi=1

xiei, rB =!OB =

nXi=1

yiei i!AB =

!OB !OA slijedi

!AB = rB rA =

nXi=1

yiei nXi=1

xiei =nXi=1

(yi xi)ei

pa su [y1 x1; y2 x2; : : : ; yn xn] koordinate vektora !AB.

23

3.2.1 Dijeljenje orijentirane duzine u zadanom omjeru

Denicija 13. Neka je u anom prostoru An zadan pravac p i tri tocke tog pravca A, B, X,pri cemu je A 6= B 6= X. Ako je !AX = !XB onda kazemo da tocka X dijeli orijentiranuduzinu

!AB u omjeru , 2 R, 6= 1 i pisemo (ABX) = .

Omjer je uvijek razlicit od 1, jer bi u tom slucaju iz !AX = !XB slijedilo A = B.Drugim rijecima, za A = B iz

!AX =

!XB slijedi = 1 neovisno o X.

Promotrimo zasto je u deniciji naglaseno B 6= X.Za X = B je

!XB =

!XX = , pa za A = B jednakost

!AX =

!XB vrijedi za sve , a za

A 6= B nije ispunjena ni za koji 2 R.

Za X = A je!AX =

!AA = i

!XB =

!AB 6= , pa je = (ABA) = 0.

Primjer 15.

Za tocke X1; X2; X3 na slici 3.2.1 vrijedi:

(ABX1) = 1; 1 > 0

(ABX2) = 2; 2 2 h1;1i(ABX3) = 3; 3 2 h1; 0i

X3

X2

X1

A

B

Slika 3.2: Dijeljenje orijentirane duzine u zadanom omjeru

Neka je u prostoru An zadan ani koordinatni sustav i tocke A;B;X 2 An pri cemu jeA(a1; a2; : : : ; an), B(b1; b2; : : : ; bn), X(x1; x2; : : : ; xn) i neka je

!AX =

!XB. Tada je

!AX = [ x1 a1; x2 a2; : : : ; xn an] ;!XB = [ b1 x1; b2 x2; : : : ; bn xn] ;

pa iz jednakosti!AX =

!XB slijedi

rX rA = (rB rX);

24

odnosnoxi ai = (bi xi); i = 1; 2; : : : ; n:

Rjesavanjem jednadzbi po xi dobivamo:

xi =ai + bi1 +

; 6= 1; i = 1; 2; : : : ; n: (3.4)

Posebno je vazan slucaj kada je = 1. Tada iz (3.4) slijedi:

xi =ai + bi

2; i = 1; 2; : : : ; n: (3.5)

Tocka X za koju je (ABX) = 1 zove se poloviste orijentirane duzine!AB, a njezin radijus-

vektor je!OX =

1

2(!OA+

!OB):

Polovista orijentiranih duzina!AB i

!BA se podudaraju.

Primjer 16.

Neka je (ABP ) = x. Odredimo omjere (APB), (BAP ), (BPA), (PAB) i (PBA).

Ako je (APB) = y1, onda je!AB = y1

!BP , pa iz

!AP = x

!PB slijedi

!AB +

!BP = x!BP!AB = (1 + x)!BPy1 = 1 x:

Ako je (BAP ) = y2, onda iz!BP = y2

!PA i

!AP = x

!PB slijedi

!PA = x!BP!BP =

1

x

!PA

y2 =1

x:

Ako je (BPA) = y3, onda iz!BA = y3

!AP i

!AP = x

!PB slijedi

!AP = x (

!PA+

!AB)

(1 + x)!AP = x!BA!BA = 1 + x

x

!AB

y3 = 1 + xx

:

25

Ako je (PAB) = y4, onda iz!PB = y4

!BA i

!AP = x

!PB slijedi

!AB +

!BP = x

!PB

(1 + x)!PB = !BA!PB = 1

1 + x

!BA

y4 = 11 + x

:

Ako je (PBA) = y5, onda iz!PA = y5

!AB i

!AP = x

!PB slijedi

!PA = x (!PA+!AB)(1 + x)!PA = x!AB

!PA =

x1 + x

!AB

y5 =x1 + x

:

Primjer 17. Koordinate tezista trostrane piramideZadani su vrhovi Ai(x

i1; x

i2; x

i3) piramide A1A2A3A4. Odredimo kooordinate njegovog tezista

T .

T

A1

A2

A3

A0

T4

P1

Slika 3.3: Trostrana piramida A1A2A3A4 s tezistem T

Neka je T4 teziste trokuta A1A2A3.Koristeci poznate cinjenice da teziste trokuta dijeli tezisnicu tog trokuta u omjeru 2 : 1, ateziste trostrane piramide dijeli tezisnicu te piramide u omjeru 3 : 1, dobivamo

!OT4 =

!OA1 +

!A1T4 =

!OA1 +

2

3

!A1P1

=!OA1 +

2

3(!A1A2 +

!A2P1) =

!OA1 +

2

3(!A1A2 +

1

2

!A2A3)

=1

3(!OA1 +

!OA2 +

!OA3):

26

Nadalje je

!OT =

!OT4 +

1

4

!T4A4 =

!OT4 +

1

4(!OA4 !OT4) = 3

4

!OT4 +

1

4

!OA4

=3

4 13(!OA1 +

!OA2 +

!OA3) +

1

4

!OA4 =

1

4

4Xi=1

!OAi:

Prema tome je teziste trostrane piramide odredeno sa

T

x11 + x

21 + x

31 + x

41

4;x12 + x

22 + x

32 + x

42

4;x13 + x

23 + x

33 + x

43

4

:

3.2.2 Transformacija anog koordinatnog sustava

Promotrimo koordinatne sustave (O; e1; e2; : : : ; en) i (O0; e01; e

02; : : : ; e

0n) u anom prostoru An.

Kako su fe1; e2; : : : ; eng i fe01; e02; : : : ; e0ng dvije baze istog vektorskog prostora V n, to je vezamedu njima dana matricama prijelaza A i B:

e0j =nXi=1

ijei; A = (ij) ; detA 6= 0; (3.6)

ej =nXi=1

ije0i; B = (ij) ; (3.7)

gdje je B = A1, detB = 1detA

6= 0.

Neka je!OO0 =

nXi=1

iei. Nadalje, neka je T 2 An bilo koja tocka s koordinatama (x1; x2; : : : ; xn)u prvom koordinatnom sustavu i koordinatama (x01; x

02; : : : ; x

0n) u drugom koordinatnom sus-

tavu. Odredimo vezu medu tim koordinatama.

Zbog!OT =

!OO0 +

!O0T , odnosno

!O0T =

!OT !OO0, vrijedi

nXi=1

x0ie0i =

nXj=1

xjej nXj=1

jej =nXj=1

(xj j)ej =

=nXj=1

(xj j)

nXi=1

ije0i

!=

nXi=1

nXj=1

ij(xj j)| {z }x0i

!e0i:

Zbog jednoznacnosti prikaza vektora s obzirom na zadanu bazu vrijedi

x0i =nXj=1

ij(xj j); i = 1; 2; : : : ; n (3.8)

27

Analologno, iz!OT =

!OO0 +

!O0T , slijedi

nXi=1

xiei =nXi=1

iei +nXj=1

x0je0j =

nXi=1

iei +nXj=1

x0j

nXi=1

ijei

!

=nXi=1

iei +nXi=1

nXj=1

ijx0jei =

nXi=1

i +

nXj=1

ijx0j| {z }

xi

!ei

pa je

xi =nXj=1

ijx0j + i; i = 1; 2; : : : ; n (3.9)

Jednadzbe (3.8) i (3.9) poznate su kao jednadzbe transformacije koordinata tocaka anogprostora. Uocimo da, za razliku od jednadzbi transformacije baza vektorskog prostora,jednadzbe transformacije koordinata tocaka anog prostora nisu homogene.

Uz uobicajene oznake

X =

264x1...xn

375 ; X0 =264x

01...x0n

375 ; A0 =2641...n

375 ; A = (ij); A1 = (ij) = B;dobivene jednadzbe se mogu napisati u matricnom obliku

X0 = A1(X A0); (3.10)X = AX0 + A0: (3.11)

Ekvivalentnost jednadzbi (3.10) i (3.11) je ocita.Matrica A naziva se matrica prijelaza, odnosno transformacije, iz koordinatnog sustava(O; e1; e2; : : : ; en) u koordinatni sustav (O

0; e01; e02; : : : ; e

0n).

Posebno, ako je ei = e0i, i = 1; 2; : : : ; n, tada je A = A

1 = E (E oznacava jedinicnu matricu)pa jednadzbe (22) i (23) poprimaju oblik

xi = x0i + i;

x0i = xi i;i = 1; 2; : : : ; n: (3.12)

Transformacija ovog tipa naziva se translacija koordinatnog sustava za vektor!OO0.

Primjer 18. Transformacije koordinata tocaka anog prostora

Odrediti jednadzbe transformacije koordinata anog prostora A4 pri prijelazu sa sustava(O; e1; e2; e3; e4), gdje je ei =

!OEi, i = 1; : : : ; n, na sustav (E2;

!E2O;

!E2E1;

!E2E3;

!E2E4).

Ishodiste drugog koordinatnog sustava je tocka E2, pa je

!OO0 =

!OE2 = e2 = [0; 1; 0; 0]:

28

Izrazimo vektore drugog koordinatnog sustava pomocu vektora polaznog sustava.

e01 =!E2O = e2 = [0;1; 0; 0]

e02 =!E2E1 =

!E2O +

!OE1 = e1 e2 = [1;1; 0; 0]

e03 =!E2E3 =

!E2O +

!OE3 = e3 e2 = [0;1; 1; 0]

e04 =!E2E4 =

!E2O +

!OE4 = e4 e2 = [0;1; 0; 1]

Koordinate vektora e0i u sustavu (O; e1; e2; e3; e4) su elementi i-tog stupca matrice prijelaza,pa je

A =

26640 1 0 0-1 -1 -1 -10 0 1 00 0 0 1

3775 :

Jednadzba transformacije koordinata u matricnom obliku je

X = AX0 + A0 =

26640 1 0 0-1 -1 -1 -10 0 1 00 0 0 1

37752664x01x02x03x04

3775+26640100

3775 :

3.3 Jednadzba k-dimenzionalne ravnine

Neka je u An zadana k-dimenzionalna ravnina k odredena tockom T0 i k-dimenzionalnimpotprostoromW k V n, te neka je odabran ani koordinatni sustav (O; e1; : : : ; en) prostoraAn i baza fa1; a2; : : : ; akg prostora W k.

3.3.1 Parametarska jednadzba k-ravnine

Neka je k k-dimenzionalna ravnina tockom T0 sa smjerom Wk. Svaka tocka T 2 k

zadovoljava jednakost

!T0T =

kXj=1

jaj ; j 2 R:

Neka je r0 radijus-vektor tocke T0. Tada za radijus-vektor r tocke T iz jednakosti!OT =!

OT0 +!T0T slijedi

r = r0 +kX

j=1

j aj : (3.13)

Svakoj tocki T 2 k na opisani je nacin jednoznacno pridruzena k-torka realnih brojeva(1; 2; : : : ; k). Obratno, svaki radijus-vektor r odreden jednakoscu (3.13) za bilo koju k-torku realnih brojeva (1; 2; : : : ; k) jednoznacno odreduje tocku T ravnine

k.

29

Jednakost (3.13) zadovoljavaju, dakle, radijus-vektori r tocaka ravnine k i samo oni, pa sezato kaze da je (3.13) jednadzba ravnine k.Skalari 1; 2; : : : ; k su ane koordinate tocaka ravnine

k kao k-dimenzionalnog prostoras obzirom na koordinatni sustav (T0; a1; a2; : : : ; ak) .

Uobicajeno je da se skalari 1; 2; : : : ; k nazivaju parametrima, a (3.13) parametarskomjednadzbom ravnine k u vektorskom obliku.

Promotrimo sto predstavlja skup radijus-vektora svih tocaka ravnine k. Za tocku T 2 kje

rT = r0 + w ; w 2 W k;sto znaci da je skup frT j T 2 kg linearna mnogostrukost2 r0 +W k odredena vektorom r0 ipotprostorom W k.

Jednadzba (3.13) moze se jednostavno zapisati u koordinatnom obliku, ako uvedemo oveoznake

r0 =nXi=1

x0i ei;

r =nXi=1

xiei;

aj =nXi=1

ijei ; j = 1; 2; : : : ; k :

Uz te oznake, iz (3.13) slijedi

nXi=1

xiei =nXi=1

x0i ei +kX

j=1

j

nXi=1

ijei =nXi=1

x0i +

kXj=1

ijj

!ei ;

pa je

x1 = x01 + 11 1 + 12 2 + : : :+ 1k k

x2 = x02 + 21 1 + 22 2 + : : :+ 2k k

: : : : : : : : :

xn = x0n + n1 1 + n2 2 + : : :+ nk k :

(3.14)

Jednadzbe (3.14) su parametarske jednadzbe k-ravnine k u koordinatnom obliku.

Posebno ce jednadzba pravca 1 imati oblik r = r0 + a, gdje vektor a zovemo vektoromsmjera tog pravca.

2Neka je V vektorski prostor nad poljem F i W potprostor od V . Skup V=W = f a + W j a 2 V g sazbrajanjem (a + W ) + (b + W ) = (a + b) + W i mnozenjem skalarom (a + W ) = (a) + W; 2 F , jevektorski prostor nad F , kojeg nazivamo kvocijentni prostor nad V po potprostoru W . Elementi skupa V=Wzovu se linearne mnogostrukosti.

30

Ako je a =Pn

i=1 iei, onda parametarske jednadzbe pravca 1 u koordinatnom obliku

glasex1 = x

01 + 1

x2 = x02 + 2

: : : : : :

xn = x0n + n

(3.15)

Analogno se dobiva da je parametarska jednadzba 2-ravnine 2 u vektorskom obliku

r = r0 + 1a1 + 2a2 (3.16)

odnosno u koordinatnom obliku

xi = x0i + i1 1 + i2 2 ; i = 1; 2; : : : ; n : (3.17)

3.3.2 Opca jednadzba k-ravnine

Jednadzbe (3.14) su parametarske jednadzbe ravnine k s parametrima 1; 2; : : : ; k. Eli-minacijom tih parametara dobit cemo opcu jednadzbu ravnine k.

Jednadzbe (3.14) napisane u obliku

11 1 + 12 2 + : : :+ 1k k =x1 x01: : : : : : : : :

k1 1 + k2 2 + : : :+ kk k =xk x0k: : : : : : : : :

n1 1 + n2 2 + : : :+ nk k =xn x0n

(3.18)

mozemo shvatiti kao sustav n jednadzbi s k nepoznanica 1; 2; : : : ; k kojemu je matricasustava

A = (ij) :

Kako su stupci te matrice koordinate vektora a1; : : : ; ak s obzirom na bazu fe1; : : : ; eng, onisu linearno nezavisni, tj. rang A = k:Bez gubitka opcenitosti mozemo pretpostaviti da je minora koju odreduje prvih k jednadzbirazlicita od nule, odnosno da je

11 : : : 1k: : : : : : : : : : : : :k1 : : : kk

6= 0 :Zbog toga sustav

11 1 + 12 2 + : : :+ 1k k = x1 x01: : : : : : : : :

k1 1 + k2 2 + : : :+ kk k = xk x0k(3.19)

ima jedno rjesenje, ono je oblika

j = Lj(x1 x01; : : : ; xk x0k) ; j = 1; : : : ; k ;

31

gdje je Lj homogeni linearni polinom3 pa se moze zapisati

j = Lj(x1; : : : ; xk) + j ; j = 1; 2; : : : ; k : (3.20)

Ako se to rjesenje uvrsti u posljednjih n k jednadzbi sustava (3.18) dobivamoxk+1 =k+1;1 x1 + k+1;2 x2 + : : :+ k+1;k xk + k+1

: : : : : : : : :

xn =n;1 x1 + n;2 x2 + : : :+ n;k xk + n

(3.21)

Dakle, svaka je k-dimenzionalna ravnina u An odredena sustavom nk nezavisnih linearnihjednadzbi.Nezavisnost jednadzbi (3.21) je ocita ako imamo u vidu matricu sustava

B =

24k+1;1 : : : k+1;k 1 : : : 0: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :n;1 : : : n;k 0 : : : 1

35 ;jer je rang B = n k .Vrijedi i obrat, svaki skup n k nezavisnih linearnih jednadzbi oblika (3.21) predstavljajednu k-dimenzionalnu ravninu. Dovoljno je uociti da se (3.21) moze pisati i ovako

x1 = 1

: : :

xk = k

xk+1 = k+1;1 1 + : : :+ k+1;k k + n

: : :

xn = n;1 1 + : : :+ n;k k + n

sto je specijalni oblik parametarskih jednadzbi k-ravnine odredene tockom T0 (0; : : : ; 0; k+1; : : : ; n)i linearno nezavisnim vektorima:

[1; 0; : : : ; 0; k+1;1; : : : ; n;1]; : : : ; [0; 0; : : : ; 1; k+1;k; : : : ; n;k] :

Nezavisnost tih vektora slijedi iz cinjenice da matrica kojoj su ti vektori stupci ima rang k.Jednadzbe (3.21) su zato jednadzbe k-dimenzionalne ravnine.

Naravno, svaki sustav linearnih jednadzbi ekvivalentan sustavu (3.21) predstavlja jednadzbute k-ravnine. Opcenito, takav ekvivalentan sustav cini n k nezavisnih linearnih jednadzbioblika

a1;1x1 + a1;2x2 + : : :+ a1;nxn = b1

: : : : : : : : :

ank;1x1 + ank;2x2 + : : :+ ank;nxn = bnk

(3.22)

3 Preslikavanje f : Rn ! R denirano sa f(x) = P ai1;:::;in xi11 : : : xinn , gdje je x = (x1; : : : ; xn), jehomogeni polinom stupnja d ako je ai1;:::;in = 0 za sve i1; : : : ; in za koje je

Pik 6= d . Za d = 1

homogeni polinom je oblika f(x) = 1x1 + : : : nxn i naziva se homogeni linearni polinom.

32

pri cemu je matrica A =

24 a11 : : : a1n: : : : : : : : : : : : : : : : : :ank;1 : : : ank;n

35 ranga n k.Svaki sustav linearnih jednadzbi (3.22) uz dani uvjet za rang matrice sustava predstavljaopci oblik jednadzbe k-ravnine.Naime, skup svih rjesenja tog sustava je linearna mnogostrukost r0 +W

k, a ona odredujejednu k-ravninu.

Primjer 19. Odredivanje opce jednadzbe k-ravnine zadane parametaskom jednadzbom

Neka je ravnina u A5 zadana parametarskom jednadzbom

x1 = 2 + 1 + 2

x2 = 1 + 21 + 2

x3 = 3 + 1 + 22x4 = 3 + 31 + 2

x5 = 1 + 1 + 32

Odredimo sustav linearno nezavisnih jednadzbi koje odreduju tu ravninu, odnosno njenuopcu jednadzbu.

Vektori a1 = [1; 2; 1; 3; 1] i a2 = [1; 1; 2; 1; 3] , su linearno nezavisni, pa je ravninadvodimenzionalna. Za njenu opcu jednadzbu potrebne su, dakle, tri nezavisne jednadzbe snepoznanicama x1; x2; x3; x4; x5 .Treba iz parametarske jednadzbe ravnine eliminirati parametre. Iz prvih dviju jednadzbimogu se izraziti 1 i 2:

1 = x1 + x2 + 12 = 2 x1 x2 3

Ako se uvrste tako izrazeni parametri 1 i 2 u preostale tri jednadzbe dobije se opca jed-nadzba prostora

3x1 x2 x3 = 8x1 2x2 + x4 = 3

5 x1 2 x2 x5 = 7

Primjer 20. Odredivanje parametarske jednadzbe k-ravnine iz njene opce jednadzbe

Odredimo parametarske jednadzbe ravnine u A4 zadane sustavom jednadzbix1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 3x1 + 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 = 22 x1 + 9 x2 + 8 x3 + 3 x4 = 73 x1 + 7 x2 + 7 x3 + 2 x4 = 125 x1 + 7 x2 + 9 x3 + 2 x4 = 20

33

Taj je sustav rjesiv jer matrica sustava i prosirena matrica sustava imaju rang 3.2666641 2 3 1 31 4 5 2 22 9 8 3 73 7 7 2 125 7 9 2 20

377775 266664

1 0 7 3 -30 1 -2 -1 30 0 6 3 -70 0 0 0 00 0 0 0 0

377775Prve tri jednadzbe su linearno nezavisne, a polazni sustav jednadzbi ekvivalentan je sustavu

x1 + 7 x3 + 3 x4 = 3x2 2x3 x4 = 3

6x3 + 3 x4 = 7Ravnina je 1-dimenzionalna, odnosno pravac, pa je za parametarski oblik jednadzbe ravninepotreban jedan parametar.Ako uzmemo da je x4 = , onda je:

x1 + 7 x3 + 3 = 3x2 2 x3 = 3

6 x3 + 3 = 7Sredivanjem dobijemo parametarsku jednadzbu ravnine

x1 =31

6+

1

2

x2 =2

3

x3 = 76 1

2

x4 =

3.4 Jednadzbe hiperravnina i pravaca

3.4.1 Parametarska jednadzba hiperravnine

Prema razmatranjima u 3.3.1. parametarska jednadzba u vektorskom obliku hiperravninen1 odredene tockom T0(r0) i vektorima aj; j = 1; 2; : : : ; n 1, je

r = r0 + 1a1 + : : :+ n1an1 ; (3.23)

a pripadne jednadzbe u koordinatnom obliku glase

x1 = x01 + 111 + : : :+ 1;n1n1

......

xn = x0n + n11 + : : :+ n;n1n1

(3.24)

34

Eliminacija parametara j iz sustava (3.24) je u ovom slucaju vrlo jednostavna. Neka jeT (r), r = [x1; : : : ; xn], bilo koja tocka hiperravnine

n1. Jednadzbe (3.24) daju odredbenisustav za pripadne vrijednosti parametara 1; : : : ; n1 tocke T . Da bi ovaj sustav imao

rjesenje, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, matrica sustava A =

2411 : : : 1;n1: : : : : : : : : : : :n;1 : : : n;n1

35i prosirena matrica sustava Apr =

24x1 x10 11 : : : 1;n1: : : : : : : : : : : : : : : : : : :xn xn0 n1 : : : n;n1

35 moraju imati isti rang.Stoga je nuzno

x1 x01 11 1;n1x2 x02 21 2;n1

......

...xn x0n n1 n;n1

= 0; (3.25)sto je trazena jednadzba hiperravnine n1.

3.4.2 Jednadzba hiperravnine zadane tockama

Neka je u prostoru An zadano n linearno nezavisnih tocaka Ti(ri), i = 1; 2; : : : ; n. Tadapostoji jedna i samo jedna hiperravnina n1 koja sadrzi tocke Ti, i = 1; 2; : : : ; n.

Da bismo odredili jednadzbu hiperravnine n1 promatramo vektore

aj =!T1Tj+1 = rj+1 r1 ; j = 1; 2; : : : ; n 1;

te ovaj slucaj svodimo na slucaj opisan u prethodnom poglavlju.

Ako je Ti (xi1; x

i2; : : : ; x

in) i T (x1; x2; : : : ; xn) bilo koja tocka hiperravnine

n1, ondajednadzbu hiperravnine n1, prema (3.25), mozemo pisati u obliku

x1 x11 x21 x11 : : : xn1 x11x2 x12 x22 x12 : : : xn2 x12

......

...xn x1n x2n x1n : : : xnn x1n

= 0 :Determinanta na lijevoj strani jednakosti moze se svesti na determinantu

x1 x2 : : : xn 1x11 x

12 : : : x

1n 1

......

...xn1 x

n2 : : : x

nn 1

= 0: (3.26)

3.4.3 Segmentni oblik jednadzbe hiperravnine

Hiperravnina n1 koja ne sadrzi ishodiste O koordinatnog sustava i nije paralelna ni sakojom od koordinatnih osi odsjeca na koordinatnim osima redom segmente s1; s2; : : : ; sn(slika 3.4).

35

T1

T2

T3

s1

s2

s3

O

x1

x2

x3

Slika 3.4: Segmenti

Segmentima si na koordinatnim osima hiperravnina n1 je potpuno odredena. Ona

sadrzi tocke

Ti (0; : : : ; 0; si; 0; : : : ; 0) ; i = 1; 2; : : : ; n :

Iz jednakosti (3.26) slijedi

x1 x2 : : : xj : : : xn 1s1 0 : : : 0 : : : 0 1...

......

...0 0 : : : sj : : : 0 10 0 : : : 0 : : : sn 1

= 0

iz cega razvijanjem determinante po elementima prvog retka dobivamo

nXj=1

(1)j+1xj

s1 0 : : : 0 0 : : : 0 1...

......

......

0 0 : : : sj1 0 : : : 0 10 0 : : : 0 0 : : : 0 10 0 : : : 0 sj+1 : : : 0 1...

......

......

0 0 : : : 0 0 : : : sn 1

+ (1)n+2s1s2 : : : sn = 0:

Primijetimo da je determinanta u jtom clanu sume u gornjoj jednakosti jednaka(1)n+js1 : : : sj1sj+1 : : : sn, pa iz te jednakosti neposredno slijedi

x1s1

+x2s2

+ : : :+xnsn

= 1 ; (3.27)

sto je segmentni oblik jednadzbe hiperravnine n1.

36

Primjer 21. Segmentni oblik jednadzbe hiperravnine

U anom prostoru A3 zadane su tocke T1 (2; 1; 3), T2 (0; 2; 0) i T3 (4; 1; 0) . Odreditisegmentni oblik jednadzbe hiperravnine 2 koja sadrzi tocke T1, T2 i T3.

Uvrstimo li koordinate tocaka T1, T2 i T3 u (3.26) dobivamox1 x2 x3 12 1 3 10 2 0 14 1 0 1

= 0 ; (3.28)iz cega slijedi

x18+x22+x312

= 1 :

3.4.4 Opci oblik jednadzbe hiperravnine

Jednadzba (3.27) je linearna s obzirom na x1; x2; : : : ; xn. Isto vrijedi za jednadzbe (3.25) i(3.26). Ova cinjenica je u skladu s nasim razmatranjima u 3.3.2 gdje smo ustanovili da sek-dimenzionalna ravnina n-dimenzionalnog anog prostora analiticki predocuje sa n knezavisnih linearnih jednadzbi i obrnuto, da svaki sustav sa n k nezavisnih linearnihjednadzbi predstavlja jednu k-dimenzionalnu ravninu u n-dimenzionalnom anom prostoru.

U slucaju hiperravnine je k = n 1. Prema tome, svaka hiperravnina u n-dimenzionalnomanom prostoru An moze se analiticki predstaviti jednom linearnom jednadzbom oblika

1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0 (3.29)

pri cemu nisu svi i jednaki nuli.Jednadzba (3.29) je opci oblik jednadzbe hiperravnine.

Veza jednadzbi (3.27) i (3.29) dana je sa

si = oi

; i = 1; 2; : : : ; n :

U A3 hiperravnina je 2-ravnina, a predocena je linearnom jednadzbom

0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 :

Ako hiperravnina n1 sadrzi ishodiste, onda je 0 = 0 , pa njezina jednadzba ima oblik

1x1 + 2x2 + : : :+ nxn = 0 :

Primjer 22. Koordinatne ravnine

Neka je (O;!OE1; : : : ;

!OEn) ani koordinatni sustav u prostoru An. Ravnina odredena

tockama O;E1; : : : ; Ei1; Ei+1; : : : ; En predstavlja i-tu koordinatnu hiperravninu "n1i .Lako se pokazuje da tocka (x1; x2; : : : ; xn) pripada koordinatnoj hiperravnini "

n1i ako i

samo ako je xi = 0. Stoga je xi = 0 jednadzba koordinatne hiperravnine "n1i .

37

Svaka k-dimenzionalna ravnina je presjek n k hiperravnina. k-dimenzionalna ravninatockama O;Ei1 ; Ei2 ; : : : ; Eik je presjek koordinatnih hiperravnina "

n1ik+1

; : : : ; "n1in , pri cemuje

fik+1; : : : ; ing = f1; 2; : : : ; ng n fi1; : : : ; ikg;pa je ona zadana sustavom jednadzbi

xik+1 = 0 xin = 0

Tako je, na primjer, i - ta koordinatna os OEi zadana sustavom jednadzbi

x1 = 0; : : : ; xi1 = 0; xi+1 = 0; : : : ; xn = 0 :

Uvjeti paralelnosti dviju hiperravnina u koordinatnom obliku dani su sljedecim teoremom.

Teorem 2. Neka su hiperravnine 1 i 2 zadane jednadzbama

1 : : : 1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0 ;

2 : : : 1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0 :

(i) Hiperravnine 1 i 2 su jednake ako i samo ako je

11

=22

= : : : =nn

=00

: (3.30)

(ii) Hiperravnine 1 i 2 su paralelne ako i samo ako je

11

=22

= : : : =nn

: (3.31)

Dokaz. (i) Da bi bilo 1 = 2 nuzno je i dovoljno da sustav

1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0

1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0

odreduje hiperravninu. Ta cinjenica je ekvivalentna sa zahtjevom da je

rang

1 : : : n 01 : : : n 0

= 1;

iz cega slijedi (3.30).

(ii) Hiperravnine 1 i 2 su paralelne ili ako se podudaraju ili ako se ne sijeku.

U prvom slucaju trazeni uvjet (3.31) je sadrzan u (3.30). U drugom slucaju promatranisustav jednadzbi mora biti nerjesiv i zato je

rang

1 : : : n 01 : : : n 0

= 2; rang

1 : : : n1 : : : n

= 1;

odnosno vrijedi (3.31).

38

Primjer 23.

U prostoru An su zadane tocka T0 (x1; : : : ; xn) i hiperravnina n11 jednadzbom 1x1 +2x2 + : : :+ nxn + 0 = 0 .

Odredimo hiperravninu koja sadrzi tocku T0 i paralelna je sa zadanom hiperravninom.

Neka je

1x1 + : : :+ nxn + 0 = 0

jednadzba trazene hiperravnine n12 . Prema uvjetu (3.31) vrijedi

1 = t1 ; : : : ; n = tn ;

pa je jednadzba te ravnine

1x1 + : : :+ nxn + 0 = 0 ; (3.32)

gdje je 0 =0t. Nadalje, uvjet T 2 n12 daje

1x1 + : : :+ nx

n + 0 = 0 : (3.33)

Oduzimanjem jednakosti (3.32) i (3.33) dobijemo

1(x1 x1) + : : :+ n(xn xn) = 0 ; (3.34)

sto je jednadzba trazene hiperravnine.

Primjer 24. Hiperravnine koordinatnim ravninama

Promotrimo uz koje je uvjete 1 x1+2 x2+ : : :+n xn+0 = 0 jednadzba hiperravninekoja sadrzi k-dimenzionalnu koordinatnu ravninu odredenu tockama O;E1; : : : ; Ek ; 1 k < n .

Trazena k-ravnina sadrzi tocke s koordinatama (x1 : : : ; xk; 0; : : : ; 0) . Uvrstavanjem ujednazbu hiperravnine dobivamo

1 x1 + : : :+ k xk + 0 = 0 :

Ova jednakost mora vrijediti za sve realne brojeve x1; : : : ; xk , pa je zato 1 = 2 = : : : =k = 0 = 0 .Dakle, jednadzba trazene k-ravnine je

k+1 xk+1 + : : :+ n xn = 0 :

Slicno se pokazuje da hiperravnina 1 x1+2 x2+: : :+n xn+0 = 0 sadrzi k-dimenzionalnukoordinatnu ravninu O + Ei1 + : : :+ Eik ako i samo ako je i1 = : : : = ik = 0 = 0 .

39

x1

x2

x3

2x

3

Slika 3.5: 2 : : : 1x1 + 2x2 = 0

Primjer 25.

Ako u jednadzbi hiperravnine : : : 1x1+2x2+ : : :+nxn+ = 0 variramo samo 0 ,dobit cemo skup paralelnih hiperravnina.Stoga, ako je i1 = : : : = ik = 0 i 0 izabran po volji, tada je hiperravnina paralelnas k-ravninom O + Ei1 + : : :+ Eik .Posebno je hiperravnina paralelna s koordinatnom osi OEik ako i samo ako je i = 0 .

Primjer 26. Medusobni polozaj dvije hiperravnine u prostoru A3Neka su u prostoru A3 zadane dvije ravnine 21 i

22 svojim jednadzbama

21 : : : 1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0

22 : : : 1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0(3.35)

Sustav (3.35) odreduje ravninu koja je presjek hiperravnina 21 i 22.

Postoje tri mogucnosti s obzirom na rangove matrica

A =

1 2 31 2 3

i Apr =

1 2 3 01 2 3 0

:

To su

a) b) c)rangA 1 1 2rangApr 1 2 2

Slucaj rang A = 2, rang Apr = 1 nije moguc, jer je rang A rang Apr.

40

x1

x2

x3

2

2x

2

Slika 3.6: 2 : : : 1x1 + 3x3 + 0 = 0

a) Ravnine 21 i 22 su identicne, prema teoremu 2.

b) Prema Kronecker - Capellijevom teoremu sustav kojeg cine jednazbe zadanih ravninanema rjesenja. Ravnine 21 i

22 su paralelne u uzem smislu.

c) Promatrani sustav ima rjesenja, a skup svih rjesenja je pravac, odnosno 1-ravnina u A3zadana s dvije nezavisne linearne jednazbe (3.35).

Primjer 27. Medusobni polozaj tri hiperravnine u prostoru A3

Ispitajmo medusobni polozaj triju hiperravnina prostora A3 , zadanih jednadzbama

21 : : : 1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0

22 : : : 1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0

23 : : : 1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0

(3.36)

Pripadna matrica sustava A i prosirena matrica sustava Apr su

A =

241 2 31 2 3

1 2 3

35 i Apr =241 2 3 01 2 3 0

1 2 3 0

35 :Razlikujemo pet slucajeva:

a) b) c) d) e)rangA 3 2 2 1 1rangApr 3 3 2 2 1

41

a) Sustav (3.36) ima jedinstveno rjesenje, a to znaci da je 21\22\23 tocka. Skup rjesenjahomogenog sustava linearnih jednadzbi

1x1 + 2x2 + 3x3 = 0

1x1 + 2x2 + 3x3 = 0

1x1 + 2x2 + 3x3 = 0

(3.37)

je nul - prostor, odnosno tocka (0; 0; 0).

Slika 3.7: Presjek triju 2-ravnina je tocka

b) Sustav (3.36) nema rjesenja, a skup rjesenja sustava (3.37) je jednodimenzionalni vektor-ski prostor. Moguca su ova dva slucaja:

(b1) Niti koja dva retka matrice A nisu proporcionalna. U ovom slucaju svake dvije odzadanih 2-ravnina sijeku se u pravcu, a taj pravac je paralelan trecoj 2-ravnini.

Slika 3.8: Presjek svake dvije 2-ravnine je pravac

(b2) Dva retka matrice A su proporcionalna. U tom slucaju dvije 2-ravnine su paralelne,a treca ih sijece.

42

Slika 3.9: Dvije 2-ravnine su paralelne

c) Sustav (3.36) je rjesiv i skup rjesenja ima dimenziju 1. Tada je 21 \ 22 \ 23 pravac.

Slika 3.10: Presjek tri 2-ravnine je pravac

d) Sustav (3.36) nije rjesiv, a rjesenje sustava (3.37) je dvodimenzionalni vektorski prostor.Sve tri 2-ravnine imaju isti smjer i 21 \ 22 \ 23 = ; .

Slika 3.11: 2-ravnine se ne sijeku

e) Sve tri jednadzbe (3.36) odreduju istu 2-ravninu 21 = 22 =

23 .

43

Primjer 28. Medusobni polozaj 2-ravnina 12 i 2

2 u A4Neka je ravnina 1

2 zadana jednadzbama

11x1 + 12x2 + 13x3 + 14x4 = 1

21x1 + 22x2 + 23x3 + 24x4 = 2

i neka je ravnina 22 zadana jednadzbama

31x1 + 32x2 + 33x3 + 34x4 = 3

41x1 + 42x2 + 43x3 + 44x4 = 4

Oznacimo sa M matricu sustava kojeg cine sve cetiri jednadzbe, a sa Mpr pripadnu prosirenumatricu sustava. Moguci slucajevi su:

a) rangM = rangMpr = 4U ovom slucaju 1

2 \ 22 je tocka, a pridruzeni homogeni sustav4X

j=1

ijxi = 0 ; i = 1; 2; 3; 4

ima samo trivijalno rjesenje.

b) rangM = 3; rangMpr = 4Ravnine 1

2 i 22 nemaju zajednickih tocaka, a kako je skup rjesenja pridruzenog homo-

genog sustava jednodimenzionalni vektorski prostor, to su 12 i 2

2 mimosmjerne ravninekoje su paralelne s istim pravcem.

c) rangM = rangMpr = 3Promatrani sustav linearnih jednadzbi je rjesiv, a 1

2 \ 22 je pravac.d) rangM = 2; rangMpr = 3

Ravnine 12 i 2

2 nemaju zajednickih tocaka, a skup rjesenja homogenog sustava je2-ravnina, pa je 1

2 k 22 :e) rangM = rangMpr = 2

Od cetiri linearne jednadzbe nikoje tri nisu linearno nezavisne, a kako su vec premapretpostavci prve, odnosno druge dvije jednadzbe nezavisne, ocito je 1

2 = 22:

3.4.5 Jednadzbe pravca

Promotrimo podrobnije jednadzbe pravca u prostoru An. Razmatranja u 3.3.1. su pokazalada pravac 1 odreden tockom T0 (x1

0; : : : ; xn0) i vektorom smjera a = [1; : : : ; n] ima

jednadzbu u vektorskom oblikur = r0 + a; (3.38)

odnosno parametarske jednadzbe u koordinatnom obliku

x1 = x10 + 1

: : : : : :xn = xn

0 + n :(3.39)

44

Eliminacijom parametra iz gornjih jednadzbi dobivamo

x1 x101

=x2 x20

2= : : : =

xn xn0n

(3.40)

Jednadzba (3.40) poznata je pod nazivom kanonska jednadzba pravca.

Ako je pravac 1 odreden s dvije razlicite tocke Ti = (x1i; : : : ; xn

i) ; i = 1; 2, onda za vektor

smjera a tog pravca mozemo uzeti vektor!T1T2 .

Kako je!T1T2 = [x1

2 x11; : : : ; xn2 xn1], jednadzba (3.40) poprima oblikx1 x11x12 x11 =

x2 x21x22 x21 = : : : =

xn xn1xn2 xn1 : (3.41)

Jednadzba (3.41) je jednadzba pravca kroz dvije tocke.

Primijetimo da neki od nazivnika u (3.41) mogu biti jednaki 0. No, kako je jednakost (3.41)ekvivalentna jednakosti xi xi1 = (xi2 xi1), to u slucaju xi2 xi1 = 0 za neki i,mozemo iskljuciti taj razlomak iz jednakosti (3.41) i dodati jednakost xi xi1 = 0.Jasan je smisao kanonske jednadzbe pravca u kojoj su nazivnici koordinate vektora smjerapravca i u slucaju kada neke od tih koordinata poprimaju vrijednost 0. Stoga cemo podogovoru dozvoliti zapise jednadzbi (3.41) i kada su neki od nazivnika jednaki 0.

Uvjete paralelnosti dvaju pravaca daje sljedeca propozicija.

Propozicija 10. Neka su pravci 11 i 2

1 zadani kanonskim jednadzbama

11 : : :

x1 a11

=x2 a22

= : : : =xn ann

21 : : :

x1 b11

=x2 b22

= : : : =xn bnn

:

Da bi zadani pravci bili paralelni nuzno je i dovoljno da vrijedi

11

=22

= : : : =nn

: (3.42)

Pravci 11 i 2

1 se podudaraju ako i samo ako uz uvjete (3.42) vrijede i uvjeti

b1 a11

=b2 a22

= : : : =bn ann

: (3.43)

Dokaz. Neka je a = (1; : : : ; n), b = (1; : : : ; n) te neka su W11 i W2

1 vektorski prostoripridruzeni redom prostorima 1

1 i 21. Iz 1

1 k 21 slijedi W11 = W21. Buduci da jea; b 2 W11 , vrijedi a = b , iz cega slijedi (3.42).Obratno, na temelju jednakosti (3.42) je a = b, a to znaci da je [a] = [b]. Vrijedi, dakle,W1

1 = W21, pa je 1

1 k 21 .Tocka B = (b1; : : : ; bn) pripada pravcu

12 . Kako je 1

1 = 21 ako i samo ako je 1

1 k 21i B 2 11, drugi dio tvrdnje teorema slijedi iz prvog dijela.

45

Osim kanonskom jednadzbom, pravac u anom prostoru An moze biti zadan sustavom line-arnih jednadzbi oblika

i1x1 + : : :+ inxn + i0 = 0 ; i = 1; 2; : : : ;m; m n 1; (3.44)

pri cemu matrica sustava i prosirena matrica sustava imaju rang n1. Drugim rijecima, pra-vac je predocen kao presjek n 1 hiperravnina. To je, u skladu s uvedenom terminologijom,opca jednadzba pravca.

Prijelaz od opce (3.44) na kanonske jednadzbe pravca (3.40) postizemo odredivanjem koor-dinata dviju razlicitih tocaka pravca (3.44) i uvrstavanjem dobivenih koordinata u (3.41).Drugi nacin je da se sustav (3.44) rijesi po x1; : : : ; xn1. Kao rezultat dobivamo

xi = ixn + ai ; i = 1; 2; : : : ; n 1 (3.45)

odakle odmah dobivamo kanonsku jednadzbu zadanog pravca

x1 a11

=x2 a22

= : : : =xn1 an1

n1= xn :

Na temelju jednakosti (3.45) pravac je predocen kao presjek od n 1 hiperravnina od kojihje svaka paralelna s po jednom (n 2)-dimenzionalnom ravninom 0 + E1 + : : : + Ei1 +Ei+1 + : : :+ En1, i = 1; : : : ; n 1.

Primjer 29.

Neka je pravac 1 A3 odreden s dvije nezavisne jednadzbe

1 : : :

1x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 01x1 + 2x2 + 3x3 + 0 = 0 :

Pretpostavimo da je

1 21 2 6= 0 .

Tada gornji sustav mozemo rijesiti po x1 i x2 i tako dobivamo

x1 =23 3212 21x3 +

20 0212 21

x2 =31 1312 21x3 +

01 1012 21

ili

1 : : :

x1 = 1x3 + 2x2 = 1x3 + 2:

(3.46)

Pravac 1 predocili smo kao presjek dviju ravnina od kojih je prva paralelna s osi x2, a drugas osi x1 .

46

x1

x2

x3

2

1

2

2

1

Slika 3.12: Pravac kao presjek hiperravnina u prostoru A3

Uvjet paralelnosti pravca i hiperravnine daje sljedeca tvrdnja.

Propozicija 11. Hiperravnina n1, zadana jednadzbom

n1 : : : 1x1 + : : :+ nxn + o = 0

paralelna je s pravcem 1, zadanim kanonskim jednadzbama

1 : : :x1 a11

=x2 a22

= : : : =xn n

n

ako i samo ako vrijedi11 + : : :+ nn = 0 : (3.47)

Dokaz. Iz jednadzbe pravca 1 dobivamo

xi = i + ai ; i = 1; 2; : : : ; n ; (3.48)

sto uvrsteno u jednadzbu hiperravnine n1 daje

(11 + : : :+ nn) = (1a1 + : : :+ nan + 0) (3.49)Ako je 11+: : :+nn 6= 0, onda iz (3.49) dobivamo jedinstvenu vrijednost za parametar , a nakon toga iz (3.48) jedinstvene vrijednosti koordinata xi tocke

1\n1. Te koordinateglase

xi = 1a1 + : : :+ nan + 011 + : : :+ nn

i + ai ; i = 1; : : : ; n :

U ovom slucaju ocito 1 i n1 nisu paralelni.

Neka je 11+ : : :+nn = 0. Ako je desna strana u (3.49) razlicita od 0, jednakost (3.49)ne daje rjesenje za i zato su 1 i n1 paralelni u uzem smislu. Ako je desna strana u(3.49) jednaka 0, jednakost je zadovoljena za sve . U tom je slucaju 1 n1, sto jeparalelnost u sirem smislu.

Posebno, hiperravnina n1 je paralelna s osi xi ako je i = 0 .

47

Poglavlje 4

Konveksni skupovi

Do sada nismo razmatrali neke bitne geometrijske pojmove kao sto su poluprostor, konvek-snost, relacija "lezati izmedu". Ti se pojmovi u anom prostoru nad bilo kojim poljem Fne mogu uvesti na prirodan nacin. Zato je potrebno suziti klasu polja i razmatrati aneprostore nad uredenim poljima, na primjer nad poljem realnih brojeva R.U daljnjim razmatranjima An je n-dimenzionalni realni ani prostor.

4.1 Baricentricne koordinate

Neka je u anom prostoru An zadan skup od k + 1 nezavisnih tocaka Ai, i = 0; 1; : : : ; k spripadnim radijus-vektorima ri = (a

i1; a

i2; : : : ; a

in).

Tocke Ai odreduju jedinstvenu k-dimenzionalnu ravninu k.

Stavimo li aj =!A0Aj, j = 1; : : : ; k, tada se jednadzba ravnine

k moze zapisati u obliku

r = r0 + 1a1 + : : :+ kak;

odnosno, zbog aj = rj r0 u obliku

r = (1 1 : : : k)r0 + 1r1 + : : :+ krk:

Oznacimo li koecijent 1 1 : : : k sa 0, slijedi

r = 0r0 + 1r1 + : : :+ krk; (4.1)

pa dobivamo sljedece parametarske jednadzbe ravnine k u koordinatnom obliku

x1 = 0a01 + 1a

11 + : : :+ ka

k1;

x2 = 0a02 + 1a

12 + : : :+ ka

k2;

: : :

xn = 0a0n + 1a

1n + : : :+ ka

kn:

(4.2)

Pritom je0 + 1 + : : :+ k = 1: (4.3)

48

Za svaku tocku T (r) 2 k odredeni su na jedinstven nacin realni brojevi 0, 1,. . . , k kojizadovoljavaju uvjet (4.3).Obratno, svaki izbor realnih brojeva 0, 1,. . . , k koji zadovoljavaju uvjet (4.3) odredujejednakostima (4.2) jedinstvenu tocku T (r) 2 k.

Za proizvoljne realne brojeve i u anom prostoru A izraz A + B, A;B 2 A, nemasmisla ako nije naglaseno ishodiste. Kao sto pokazuje slika 4.1., opcenito je

!OA +

!OB

razlicito od !O0A+

!O0B.

O

O

B

A

T

T

Slika 4.1: Ovisnost izraza A+ B o ishodistu

Kada je + = 1, tocka A+ B jednoznacno je odredena neovisno o ishodistu.

Propozicija 12. Neka su A1,. . . , An 2 A i 1,. . . , n 2 R. Tocka 1A1 + : : : + nAn neovisi o ishodistu ako i samo ako je

Pni=1 i = 1.

Dokaz. Neka su O;O0 2 A dvije razlicite tocke. Kada kazemo da tocka 1A1 + : : : + nAnne ovisi o ishodistu, mislimo da su tocke T i T 0 za koje je

1!OA1 + : : :+ n

!OAn =

!OT

1!O0A1 + : : :+ n

!O0An =

!O0T 0

jednake. Tada je!TT 0 =

!TO +

!OO0 +

!O0T 0 = .

!TT 0 = (1!OA1 + : : :+ n!OAn) +

!OO0 + 1

!O0A1 + : : :+ n

!O0An

= 1(!A1O +

!OO0 +

!O0A1) + : : :+ n(

!AnO +

!OO0 +

!O0An)+

+ (1 1 : : : n)!OO0

= 1!A1A1 + : : :+ n

!AnAn + (1

nXi=1

i)!OO0

= + : : :+ nv + (1nXi=1

i)!OO0 = (1

nXi=1

i)!OO0

49

Buduci da je!OO0 6= , uvjet da su tocke T i T 0 jednake, tj. !TT 0 = ekvivalentan je uvjetu

da je

1nXi=1

i = 0;

odnosnonXi=1

i = 1:

Buduci da tocka T , takva da je!OT = 1

!OA1+ : : :+n

!OAn , ne ovisi o ishodistu O kada

jenXi=1

i = 1 ;

u tom slucaju pisemoT = 1A1 + : : :+ nAn

i kazemo da je tocka T ana (ili baricentricna) kombinacija tocaka A1; : : : ; An.

Denicija 14. Neka linearno nezavisne tocke A0; A1; : : : ; Ak odreduju ravninu k i neka

je T 2 k . Koecijenti 0; 1; : : : ; k u jednadzbiT = 1A1 + : : :+ nAn

za koje je0 + 1 + : : :+ k = 1 (4.4)

nazivaju se baricentricne koordinate tocke T u odnosu na n-torku tocaka (A0; A1; : : : ; Ak) .Kazemo jos i da je tocka T baricentar sustava (A0; A1; : : : ; Ak) s tezinama 0; 1; : : : ; k .

Pojam baricentricnih koordinata uveo je njemacki matematicar A.F. Mobius (1790-1868).

Primjer 30. Veza baricentricnih koordinata i povrsina

Neka su A, B i C nekolinearne tocke. Tada je povrsina trokuta kojeg one odreduju razlicitaod 0 .Neka je X tocka trokuta 4ABC i neka su , , njene baricentricne koordinate u odnosuna trojku (A;B;C), odnosno

X = A+ B + C :

Tada je !AX =

!AB +

!AC ;

pa vrijedi

k!AB !AXk = 2P (ABX) = k!AB !ACk = 2 P (ABC) ;k!AC !AXk = 2P (AXC) = k!AC !ABk = 2 P (ABC) ;

odnosno

=P (ABX)

P (ABC); =

P (AXC)

P (ABC):

50

Buduci da je

P (ABC) = P (XBC) + P (AXC) + P (ABX)

slijedi

= 1 = P (ABC)P (ABC)

P (ABX)P (ABC)

P (AXC)P (ABC)

=P (XBC)

P (ABC):

Dakle,

X =P (XBC)

P (ABC)A +

P (AXC)

P (ABC)B +

P (ABX)

P (ABC)C :

4.2 Konveksnost

Uvedimo sada relaciju "lezati izmedu".

Denicija 15. Neka su A0, A1 i T tocke prostora An.Kazemo da tocka T lezi izmedu tocaka A0 i A1 ako je

!A0T =

!A0A1 i 0 1: (4.5)

U tom slucaju ocito su A0, A1 i T tri tocke jednog pravca.

Nadalje, ako tocka T lezi izmedu A0 i A1, tada T lezi i izmedu A1 i A0. Zaista, iz (4.5)dobivamo !

A0A1 =!A0T +

!TA1 =

!A0A1 +

!TA1

i zato je !A1T = (1 )!A1A0; 0 1 1:

Denicija 16. Skup svih tocaka koje leze izmedu dviju tocaka A0 i A1 naziva se segment ioznacava sa A0A1. Tocke A0 i A1 nazivaju se krajevi segmenta A0A1.

Neka su r0 i r1 radijus-vektori tocaka A0 i A1. Iz izraza (4.5) vidi se da je A0 2 A0A1 ( = 0),A1 2 A0A1 ( = 1). Takoder je segment A0A1 podskup pravca 1 = A0A1, koji prema (4.1)ima jednadzbu

r = 0r0 + 1r1 ; uz uvjet 0 + 1 = 1 : (4.6)

Usporedivanjem jednakosti (4.6) i (4.5) uvidamo da su baricentricne koordinate tocaka seg-menta A0A1 jednake 0 = 1 , 1 = , odnosno da su tocke tog segmenta karakteriziranesa

0 0; 1 0; 0 + 1 = 1:

Denicija 17. Podskup K anog prostora An naziva se konveksnim skupom ako on zasvake dvije svoje tocke sadrzi i segment kojem su te tocke krajevi, odnosno ako vrijedi

A;B 2 K ) AB K :

51

Primjeri konveksnih skupova su prazan skup, segment, k-ravnina i prostor An .Iz denicije konveksnog skupa neposredno slijedi da je presjek konacno ili beskonacno mnogokonveksnih skupova opet konveksan skup.

Nadalje slijedi da je presjek svih konveksnih nadskupova nekog skupa S takoder konveksanskup. Taj konveksan skup je sadrzan u svakom konveksnom nadskupu od S, dakle, to jenajmanji konveksan skup koji sadrzi skup S.

Denicija 18. Neka je S skup. Najmanji konveksan skup koji sadrzi skup S nazivamokonveksno zatvorenje (konveksna ljuska) od S i oznacavamo sa Conv S .

S

ConvS

Slika 4.2: Konveksno zatvorenje skupa S

VrijediS1 S2 ) ConvS1 ConvS2

Conv (ConvS) = ConvS :

Primjer 31. Konveksna zatvorenja

ConvfA;Bg = ABConvfA;B;Cg = 4 ABC

4.2.1 Poluprostori

Medu svim ravninama prostora An hiperravnine imaju jedno svojstvo koje druge ravninenemaju. To svojstvo opisuje sljedeci teorem.

Teorem 3. Ako je hiperravnina anog prostora An, onda se komplement An n mozena jedinstven nacin prikazati kao unija dvaju disjunktnih konveksnih skupova An1 i A

n2 .

Skupovi eAn1 = An1 [ i eAn2 = An2 [ takoder su konveksni.Dokaz. Neka je 1x1 + 2x2 + : : : + nxn + 0 = 0 jednadzba hiperravnine . Za svakutocku T (x1; x2; : : : ; xn) 2 An deniramo

f(T ) = 1x1 + 2x2 + : : :+ nxn + 0 :

52

Oznacimo sa An1 skup svih tocaka T za koje je f(T ) > 0, a sa An2 skup svih tocaka T za

koje je f(T ) < 0.

Tada je skup eAn1 odreden nejednakoscu f(T ) 0 , a skup eAn2 nejednakoscu f(T ) 0 .Jasno je da su skupovi An1 i A

n2 disjunktni i da je A

n1 [ An2 = An n .

S druge strane vrijedi eAn1 \ eAn2 = .Dokazimo konveksnost skupova An1 , A

n2 , eAn1 , eAn2 .

Neka su A (a1; a2; : : : ; an), B (b1; b2; : : : ; bn) dvije tocke u An s radijus-vektorima a i b. Segment AB je skup tocaka T kojima su radijus-vektori a + (1 )b , 0 1 .Koordinate tocke T su

xi = ai + (1 )bi ; i = 1; : : : ; n ;pa je

f(T ) = nXi=1

iai + (1 )nXi=1

ibi + 0 = f(A) + (1 )f(B) : (4.7)

Stoga, ako tocke A i B pripadaju jednom od skupova An1 , An2 , eAn1 , eAn2 , taj skup sadrzi i

citav segment AB . Svaki od tih skupova je, prema tome, konveksan.

Dokazimo jedinstvenost.Neka je sada An n = S1 [ S2 neka dekompozicija skupa An n na dva disjunktnakonveksna skupa. Ako je ta dekompozicija razlicita od one na An1 i A

n2 , tada barem u

jednom od skupova S1 i S2, na primjer u skupu S1, postoje dvije tocke A 2 An1 , B 2 An2 .Tada je f(A) > 0 i f(B) < 0. Na temelju jednakosti (4.7) slijedi da postoji ; 0 < < 1,takav da za tocku T s radijus-vektorom a+(1 )b vrijedi f(T ) = 0, pa segment ABsadrzi tocku hiperravnine , a ona ne pripada skupu S1 . To je u suprotnosti s konveksnoscuskupa S1 . Time je teorem dokazan.

Denicija 19. Skupovi An1 i An2 iz teorema 3 zovu se otvoreni poluprostori odredeni

hiperravninom .Skupovi eAn1 i eAn2 zovu se zatvoreni poluprostori odredeni hiperravninom .Napomena. Ako su a1; a2; : : : ; an linearno nezavisni vektori i A0(r0) tocka prostora An,onda za svaku tocku T (r) postoji jedinstven prikaz oblika

r = r0 + 1a1 + : : :+ nan : (4.8)

Sve tocke za koje je n = , za neki realni broj , tvore hiperravninu n1 koja sadrzi

tocku s radijus-vektorom r0 + an i kojoj je smjer paralelan s vektorima a1; a2; : : : ; an1 .

Skup tocaka koje ne pripadaju hiperravnini n1 dijeli se na dva skupa koji su konveksni;jedan sadrzi tocke za koje je n > , dok drugi sadrzi tocke za koje je n < .Ta dva skupa su otvoreni poluprostori.

Potpuno je analogna situacija ako se promatraju sve tocke T (r) ciji je radijus-vektor rodreden sa (4.8) i pritom je i > ili i < , za odabrani indeks i .

Korolar 2. Svaka k-dimenzionalna ravnina prostora An moze se prikazati kao presjek2(n k) poluprostora.

53

Dokaz. Znamo da je svaka k-dimenzionalna ravnina presjek n k hiperravnina.Oznacimo te hiperravnine sa n1j , j = 1; : : : ; n k .Zatim, ako su A

n

j i Bn

j zatvoreni poluprostori odredeni hiperravninom n1j , onda je

n1j = An

j \B nj ;pa je

k =nk\j=1

A

n

j \B nj

(4.9)

prikaz k-ravnine k.

Primjer 32.U anom prostoru A3 zadane su tocke A (1; 1; 1), B (2; 3;4) i C (4;5; 2) koje odredujuravninu 2. Pravac AB odreduje dvije poluravnine u 2 . 2C je ona poluravnina u

2

koja sadrzi tocku C. Treba prikazati 2C kao presjek zatvorenih poluprostora.

Jednadzbu ravnine 2 dobijemo uvrstavanjem koordinata tocaka A, B i C u (3.26)

x1 x2 x3 11 1 1 12 3 4 1

4 5 2 1= 0 ; (4.10)

pa je2 : : : 7 x1 6 x2 x3 = 0 :

Ravninu 2 ocito mozemo prikazati kao presjek sljedecih zatvorenih poluprostora

2 : : : 7x1 6x2 x3 07x1 6x2 x3 0

Jednadzba pravca 1 odredenog tockama A i B je

x1 12 1 =

x2 13 1 =

x3 14 1 ;

odnosno

1 : : :x1 1

1=

x2 12

=x3 15 ;

pa je

1 : : : 2 x1 x2 = 15 x1 + x3 = 6

(4.11)

Buduci da se pravac 1 nalazi u hiperravnini 2, a u opcem obliku pravac je presjek dvijehiperravnine, dovoljno je uzeti jednu od hiperravnina sustava (4.11), npr. 2 x1 x2 = 1, iprovjeriti vrijedi li za koordinate tocke C 2 x1 x2 1 ili 2 x1 x2 1 . Buduci da je8 + 5 = 3 1, zakljucujemo da tocka C lezi u poluprosotru 2x1 x2 1 .Dakle, 2C je presjek sljedecih zatvorenih poluprostora

7 x1 6x2 x3 07 x1 6x2 x3 02 x1 x2 1 0

54

4.2.2 Paralelotopi

Neka su Ai(ri) , i = 0; 1; : : : ; k, linearno nezavisne tocke prostora An.Tada su i vektori aj =

!A0Aj ; j = 1; 2; : : : ; k linearno nezavisni.

Denicija 20. Skup tocaka prostora An kojima su radijus-vektori zadani sa

r = r0 +kX

j=1

j aj gdje je 0 j 1

naziva se k-dimenzionalni paralelotop prostora An razapet vektorima a1; a2; : : : ; ak i oznacavasa P k(A0; : : : ; Ak) .

Skup tocaka s radijus-vektorima

r = r0 +kX

j=1

j aj gdje je 0 < j < 1

naziva se nutrina paralelotopa P k(A0; : : : ; Ak), a skup tocaka paralelotopa koje ne pripadajunutrini naziva se rub paralelotopa i oznacava sa @P k.

A0

A1

A2

A3

a1

a2

a3

Slika 4.3: Paralelotop P 3(A0; A1; A2; A3)

Promatramo n-dimenzionalni paralelotop P n(A0; : : : ; An) prostora An, tj. skup tocaka sradijus-vektorima

r = r0 +nXj=1

j aj ; 0 j 1 : (4.12)

55

Pokazimo da je n-dimenzionalni paralelotop P n(A0; : : : ; An) prostora An presjek zatvorenihpoluprostora. U tu svrhu oznacimo sa Ani skup svih tocaka s radijus-vektorima

r0 +kX

j=1

j aj

gdje je i 0, dok ostali koecijenti j , j 6= i, poprimaju bilo koje realne vrijednosti.Na temelju razmatranja u 4.2.1. skup Ani je zatvoreni poluprostor.

Analogno je skup Bni tocaka s radijus-vektorima

r0 +kX

j=1

j aj

gdje je i 1, dok ostali koecijenti j, j 6= i, poprimaju bilo koje realne vrijednosti, takoderzatvoreni poluprostor.Ocigledno je paralelotop P n(A0; A1; : : : ; An) u An presjek zatvorenih poluprostora An1 ,Bn1 ,. . . , A

nn, B

nn .

Korolar 3. Paralelotop P n(A0; : : : ; An) prostora An je konveksan skup.

Dokaz. Zatvoreni poluprostori su konveksni, a presjek konveksnih skupova je konveksanskup.

Denicija 21. Tocke s radijus-vektorima

r0 +nXj=1

j aj (4.13)

za koje je svaki od parametara 1; 2; : : : ; n jednak ili 0 ili 1 nazivaju se vrhovi paralelotopaP n(A0; : : : ; An) prostora An.

Broj vrhova n-dimenzionalnog paralelotopa je 2n. Posebno, skupu vrhova pripadaju tockeA0; : : : ; An. Vrhovi su, dakle, tocke

A0(r0) ; A1(r0 + a1) ; : : : ; An(r0 + an) ;

A1;2(r0 + a1 + a2) ; : : : ; Ai;j(r0 + ai + aj); : : : ; An1;n(r0 + an1 + an);

: : : ; A1;2;:::;k(r0 +kX

j=1

aj) ; : : : ; A1;2;:::;n(r0 +nXj=1

aj) :

Uvrstimo li u (4.13) za parametar i vrijednosti 0 ili 1, a za sve ostale parametre j, j 6= i,vrijednosti 0 j 1 dobivamo (n1)-dimenzionalne paralelotope koji se nazivaju (n1)-dimenzionalne strane od P n(A0; : : : An).

56

Denicija 22. Neka je P k(A0; : : : ; Ak) paralelotop prostora An. Skup tocaka prostora Ankojima su radijus-vektori zadani sa

r = r0 +kX

j=1

j aj ;

gdje je r1 ; : : : ; rs 2 f0; 1g za neke r1; : : : ; rs 2 f1; : : : ; kg i 0 j 1 zaj =2 fr1; : : : ; rsg , naziva se (k s)-dimenzionalna strana paralelotopa P k(A0; : : : ; Ak) :Pritom se 1-dimenzionalne strane nazivaju bridovima, dok su 0-dimenzionalne strane vrhovi.

Dvije (n1)-dimenzionalne strane paralelotopa P n(A0; : : : ; An) odredene sa i = 0 i i = 1su medusobno paralelne, odnosno leze u paralelnim (n 1)-ravninama.Oznacimo sa Nnk , broj k-dimenzionalinih strana n-dimenzionalnog paralelotopa. Vidjelismo da je

Nn0 = 2n;

a opcenito za Nnk vrijedi sljedeca tvrdnja.

Propozicija 13. Broj Nnk k-dimenzionalnih strana n-dimenzionalnog paralelotopaP n(A0; : : : ; An) je

Nnk = 2nkn

k

: (4.14)

Dokaz. (n k)-dimenzionalna strana paralelotopa P n(A0; : : : ; An) sastoji se od tocaka sradijus-vektorima

r = r0 +nXj=1

j aj;

gdje je r1 ; : : : ; rk 2 f0; 1g za neke r1; : : : ; rk 2 f1; : : : ; ng i 0 j 1 zaj =2 fr1; : : : ; rkg .Zato je

Nnnk = 2k

n

k

;

odnosno

Nnk = 2nk

n

n k= 2nk

n

k

:

Na primjer : N30 = 8, N31 = 12, N

32 = 6.

4.2.3 Simpleksi

Denicija 23. Konveksno zatvorenje skupa fA0; A1; : : : ; Akg od k + 1 linearno nezavisnetocke anog prostora An naziva se k-dimenzionalni simpleks razapet vrhovima Ai i oznacavasa Sk(A0; A1; : : : ; Ak) .

57

A1

A2

A3

A0

Slika 4.4: Simpleks S3(A0; A1; A2; A3)

Teorem 4. Neka su Ai(ri), i = 0; 1; : : : ; k linearno nezavisne tocke anog prostora An.Simpleks Sk(A0; A1; : : : ; Ak) je skup svih tocaka prostora An kojima su radijus-vektori zadanisa

r = 0r0 + 1r1 + : : :+ krk ; (4.15)

gdje je i 0 za i = 0; 1; : : : ; k i 0 + 1 + : : :+ k = 1 .

Dokaz. Neka je S skup svih tocaka prostora An s radijus-vektorima oblika (4.15). Taj skupje konveksan. Naime, za dvije tocke T 0(r0) i T 00(r00) skupa S s