Baustatik 2 (Modul 3121) Veranstaltungen Sommersemester 2018 · [1] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke

Baustatik 2 (Modul 3121)

Veranstaltungen Sommersemester 2018

Vorlesung: Di 08:15 – 09:45 Uhr, R. 1.115 Beginn: 11.04.2018 Hörsaalübung: Do 14:15 – 15:45 Uhr, R. 1.017 Beginn: 12.04.2018

Ansprechpartner: Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk

Sprechstunde Do. 10:00 – 11:30 Uhr, R. 1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: www.hs.owl.de/fb3/labore/tm0.html

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Baustatik 2 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk

02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 2

Literaturangaben

[1] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 292

[2] Dallmann, R.: Baustatik 1 - Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[3] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.

XBK 266

[4] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage, 2016, Springer Vieweg.

XBK 278

[5] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.

Campus-zugriff

[6] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele; 4. Aufl. 1998, Springer-Verlag.

XBK 186

[7] Holschemacher, K. (Hrsg.): Entwurfs- und Berechnungstafeln für Bauingenieure. 7. Auflage 2015, Bauwerk Verlag.

WSN 142

[8] Horschig, R.; Spitzer, P.: Statik im Bauwesen, Bd. 5, Aufgaben und Lösungen. 2. Auflage 2011, Beuth-Verlag.

XBK 128

[9] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 1, Statisch bestimmte Systeme; 22. Auflage 2011, Beuth-Verlag.

XBK 128

[10] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre; 19. Auflage 2012, Beuth-Verlag.

XBK 128

[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme; 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.

XBK 128

[12] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U.: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2014, Springer-Verlag.

XBN 174

[13] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke; 4. Auflage 2004, Springer-Verlag.

XBN 174

[14] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente; 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.

XBN 174

[15] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.

XBK 204


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 3

[16] Lohmeyer, G.C.O.; Baar, S. : Baustatik 1, Grundlagen; 12. Auflage 2015, Vieweg + Teubner.

XBK 110

[17] Lohmeyer, G.C.O, Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre; 12. Auflage 2014, Vieweg + Teubner.

XBK 110

[18] Petersen, C., Gebbeken, N.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen; 3. Auflage 2002, Vieweg + Teubner.

XBK 129

[19] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Vieweg +Teubner XBK 208

[20] Schneider, K.-J. (Hrsg.): Bautabellen für Ingenieure; 22. Auflage 2016, Werner-Verlag.

WSN 106

[21] Schneider, K.-J.; Schmidt-Gönner, F.: Baustatik Zahlenbeispiele – Statische bestimmte Systeme. 3. Auflage 2009. Bauwerk Verlag.

XBK 256

[22] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik – Beispielsammlung. 1999, Werner-Verlag.

XBK 122

[23] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik – Statisch bestimmte Systeme. 5. überarbeitete Auflage 1999, Werner-Verlag.

XBK 122

[25] Schneider, K.-J.; Schweda, E Seeßelberg, C.; Hausser, C.: Baustatik kompakt. 6. überarbeitete Auflage 2007, Bauwerk-Verlag.

XBK 122

[24] Schweda, E.; Krings, W.: Baustatik – Festigkeitslehre. 3. überarbeitete Auflage 2000, Werner-Verlag.

XBK 117

[26] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg + Teubner.

XBK 198

[27] Wetzell, O.W. (Hrsg).: Wendehorst –Beispiele aus der Baupraxis. 5. Aufl. 2015, Teubner Verlag.

WSN 145

[28] Wetzell, O.W. ; Krings, W.: Technische Mechanik für Bauingenieure 3 – Verformungen und statisch unbestimmte Systeme. 2. Auflage, 2011. Vieweg + Teubner.

WSN 145

[29] Widjaja E.: Baustatik – einfach und anschaulich. 4. Aufl. 2013, Bauwerk Verlag.

XBK 262


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Internet-Hinweise

www.structurae.de (Fast alle großen Bauwerke der Welt)

www.brueckenweb.de (Für Brückenfans)

www.brueckenbau-links.de (Links für Brückenfans)

Hochschulen (Auswahl)

www.ibnm.uni-hannover.de (Institut für Baumechanik u. Numerische Mechanik)

www.isd.uni-hannover.de (Institut für Statik und Dynamik, Uni Hannover)

www.infam.tu-bs.de (Institut für Angewandte Mechanik, TU Braunschweig)

www.statik.tu-bs.de (Institut für Statik, TU Braunschweig)

http://www.structurae.de/

http://www.brueckenweb.de/

http://www.brueckenbau-links.de/

http://www.ibnm.uni-hannover.de/

http://www.isd.uni-hannover.de/

http://www.infam.tu-bs.de/

http://www.statik.tu-bs.de/


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Inhalt 1 ALLGEMEINES ZUR BERECHNUNG STATISCH UNBESTIMMTER STABWERKSYSTEME 11

1.1 Grundlegende Annahmen für Theorie 1. Ordnung 11 1.2 Grundgleichungen der Elastostatik 12

1.3 Methoden der Stabstatik 13

1.4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme 14

2 ELASTISCHE FORMÄNDERUNGEN IN DER LINEAREN STABSTATIK 19

2.1 Kleine Übersicht: Kraftgrößen – Weggrößen 19

2.2 Schnittgrößen und Spannungen 20

2.3 Grundlegende Zusammenhänge 21

2.4 Verformungen infolge Normalkraft 22

2.5 Verformungen infolge Biegemoment 24

2.5.1 Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge 24

2.5.2 Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung 25

2.6 Verformungen infolge Querkraft 26

2.7 Zusammenfassung: Verformungen infolge M, N, V 27

2.8 Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T 28

2.9 Verformungen infolge veränderlicher Temperatur ∆T 28 2.10 Verformungen infolge Schwinden 28

2.11 Verformungen infolge Kriechen 28

2.12 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken 29

3 MECHANISCHE ARBEIT UND FORMÄNDERUNGSENERGIE 30

3.1 Einführung 30

3.2 Annahmen und Voraussetzungen 31 3.3 Äußere Arbeit 32

3.3.1 Begriffe, Definitionen 32

3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit 33

3.4 Innere Arbeit – Formänderungsenergie 34

3.4.1 Spezifische Formänderungsenergie 34

3.4.2 Formänderungsenergie bei Normalspannungen 35

3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen 36

3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft 37

3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment My 38

3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz 39

3.4.7 Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen 40

4 ARBEITSPRINZIPE, ARBEITSSÄTZE 41

4.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) 41

4.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) 41

4.1.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) 42


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4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln 43

4.2.1 Beispiel 1: Kragträger unter Einzellast 45

4.2.2 Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast 45

4.2.3 Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast 45

4.2.4 Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm 45

4.2.5 Beispiel 5: Holzbalken 45

4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm 46

4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung 47

4.2.8 Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder 47

4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss 48

4.2.10 Beispiel 10: Klausuraufgabe 49

4.3 Zwängungslastfälle 50

4.3.1 Allgemeines 50

4.3.2 Beispiel 11: Verformungsberechnung für den Lastfall „Erwärmung“ 51

4.3.3 Beispiel 12: Verformungsberechnung für den Lastfall ∆T 52

4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53

4.3.5 Beispiel 13: Dreigelenkrahmen 54

4.4 Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung 58

4.4.1 Allgemeines 58

4.4.2 Dehnfedern 58

4.4.3 Beispiele für Dehnfedern 59

4.4.4 Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern 62

4.4.5 Drehfedern 63

4.4.6 Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz 64

4.5 Gesamtverschiebung 66

4.6 Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen 67

4.6.1 Beispiel 14 67


4.6.3 Beispiel 16 - Gelenkträger 69

4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 17 70

4.6.5 Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 73

4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung 74

5 DAS KRAFTGRÖßENVERFAHREN 75

5.1 Idee des Kraftgrößenverfahrens 75

5.2 Vorgehen 76

5.3 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz 80

5.4 Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme 81

5.4.1 Beispiel 1 81

5.4.2 Beispiel 2 82


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5.4.3 Beispiel 3 83

5.5 Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn 84

5.5.1 Temperatureinfluss 84

5.5.2 Gleichmäßige Temperatur Ts 85

5.5.3 Veränderliche Temperaturverteilung ∆T über den Querschnitt 85

5.5.4 Schwinden 86

5.5.5 Vorgegebene Auflagerverformungen 86

5.5.6 Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen 86

5.5.7 Federungen 87

5.5.8 Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System) 88

5.5.9 Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes) 90

5.5.10 Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen 93

5.6 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme 94

5.6.1 Einführendes Beispiel 94

5.6.2 Gleichungssystem und -lösung 95

5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98

5.6.4 Beispiel 7 - Dreifeldträger 100

5.6.5 Beispiel 8 (mit Federungen) 101


5.7 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 106

5.7.1 Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und antimetrischer Belastung 106

5.7.2 Belastungsumordnung 107

5.7.3 Beispiel 10 - Klausuraufgabe 108

5.7.4 Beispiel 11 - Klausuraufgabe 2 111

5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 114

5.8.1 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) 114

5.8.2 Kurzer Vergleich 115

5.8.3 Eingabe von Temperaturlastfällen 115

5.9 Rahmentragwerke 116

5.9.1 Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit 116

5.9.2 Beispiel 12 117

5.9.3 Beispiel 13 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119

5.9.4 Beispiel 14 mit Rahmenformel und Reduktionssatz 121


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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger 14 Bild 1-2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger 15 Bild 1-3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 16 Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 17 Bild 2-1: Normalspannungen infolge Biegemoment 20 Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft 20 Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen 21 Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung 22 Bild 2-5: Längsverformungen 22 Bild 2-6: Längsdehnungen 22 Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen 23 Bild 2-8: Kinematik bei Biegung 25 Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N, M, V 27 Bild 2-10: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt 28 Bild 3-1: Äußere Arbeit 32 Bild 3-2: Eigenarbeit 33 Bild 3-3: Fremdarbeit 33 Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie 34 Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen 35 Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen 36 Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft 37 Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment 38 Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft 39 Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung 45 Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung 46 Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung 48 Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien 48 Bild 4-7: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung 49 Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien 49 Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen 50 Bild 4-10: Beispiel 11 – System und Belastung 51 Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 51 Bild 4-12: Beispiel 12 – System und Belastung 52 Bild 4-13: Beispiel 12 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 52 Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger 53 Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53 Bild 4-16: Beispiel 13 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen 54 Bild 4-17: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 54 Bild 4-18: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge Ts 55 Bild 4-19: Beispiel 13 – wirkliche Beanspruchung infolge ∆T 55 Bild 4-20: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sv 56 Bild 4-21: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sh 56


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Bild 4-22: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q 57 Bild 4-23: Lineares Federgesetz 58 Bild 4-24: Federnde Lagerungen 58 Bild 4-25: Ersatzfedern 59 Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung 60 Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager 61 Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund 61 Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn 62 Bild 4-30: Drehfedergesetz 63 Bild 4-31: Ersatz-Drehfeder 63 Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung 64 Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung 65 Bild 4-34: Beispiel 14 mit Dehnfeder - System und Belastung 67 Bild 4-35: Beispiel 14 mit Dehnfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 67 Bild 4-36: Beispiel 15 mit Drehfeder - System und Belastung 68 Bild 4-37: Beispiel 15 mit Drehfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 68 Bild 4-38: Beispiel 16 - Gelenkträger - System und Belastung 69 Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte 69 Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien 69 Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung 70 Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse 71 Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung 73 Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien 73 Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung 74 Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens 75 Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung 81 Bild 5-3: Beispiel 1 – Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme 81 Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung 82 Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen – LSZ und ESZ 82 Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung 83 Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm – LSZ und ESZ 83 Bild 5-8: Temperaturlastfälle 84 Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung 88 Bild 5-10: Zweigelenkrahmen – SBHS / LSZ 88 Bild 5-11: Zweigelenkrahmen – Visualisierung der Ergebnisse 89 Bild 5-12: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung 90 Bild 5-13: Ergebnisplot aus STAB2D 90 Bild 5-14: M(q) am SBHS 91 Bild 5-15: M(1) am SBHS 91 Bild 5-16: ESZ 91 Bild 5-17: Endgültige Momentenlinie M(1) 92 Bild 5-18: Beispiel 6 - System und Belastung 93 Bild 5-19: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger 94 Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98 Bild 5-21: Verschiebliche Systeme 99 Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen 100


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Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe 100 Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung 101 Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – SBHS und LSZ 101 Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – ESZe 102 Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – Superposition 103 Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung 105 Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder – ESZe 105 Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie 106 Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab 106 Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab 107 Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen 107 Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung 108 Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung 109 Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ 109 Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe 110 Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung 111 Bild 5-39: Beispiel 11 mit Drehfedern – EDV-Plot der M-Linie 112 Bild 5-40: Beispiel 11 - EDV-Plot der M-Linie 113 Bild 5-41: Skizze zu Temperatureinwirkungen 115 Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2 115 Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit 116 Bild 5-44: Beispiel 12 - System, Belastung 117 Bild 5-45: Beispiel 12 - ESZ und LSZ 117 Bild 5-46: Beispiel 12 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 118 Bild 5-47: Beispiel 13 – System und Belastung 119 Bild 5-48: Beispiel 13 – LSZ und ESZe 119 Bild 5-49: Beispiel 13 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 120 Bild 5-50: Beispiel 14 – System und Belastung 121 Bild 5-51: Beispiel 14 mit Reduktionssatz 121 Bild 5-52: Beispiel 14 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 122

Tabellenverzeichnis Tabelle 2-1: Formänderungsanteile 29 Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen 40 Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien 111 Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme 115


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1 Allgemeines zur Berechnung statisch unbestimmter Stabwerksysteme

1.1 Grundlegende Annahmen für Theorie 1. Ordnung Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes

Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.

b,h << ℓ, ℓ ≥ 5 h

kleine Verformungen

w << h << ℓ

Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β

w (x,y,z) = w(x)

Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1

Jakob Bernoulli (1654 – 1705)

β (x,z) = β (x)

Schubverformungen werden vernachlässigt

Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale

β (x) = - w´(x)

⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt

⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z

Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt

σz = 0; σy = 0

linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke´sche Gerade)

⇒ lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt

Gleichgewicht am unverformten System

•

Bei statisch unbestimmten Systemen können die Schnittgrößen, der Spannungs- und Verformungszustand in der Regel

nicht allein aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Es müssen Formänderungsbedingungen,

geometrische Verträglichkeitsbedingungen berücksichtigt werden.


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1.2 Grundgleichungen der Elastostatik Gleichgewichtsbedingungen Zusammenhang zwischen

äußerer Belastung und Schnittgrößen

Zug / Druck Biegung Torsion

)()( xnxN −=′ )()(

)()();()(xqxM

xqxVxVxM−=′′

−=′=′ )()( xmxM TT −=′

Kinematik: Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung


)()( xuxN ′=ε )(),(

)()()(xzzx

xwxx

B κεβκ

⋅−=

′′−=′=

)()( xxT ϑκ ′=

Elastizitätsgesetz (Konstitutive Beziehungen) Beziehung zwischen Kraft- und Deformationsgrößen


)()( xuEAxN ′⋅= )()()( xwEIxEIxM ′′⋅−=⋅= κ )()( xGIxM TT κ⋅=

Definition von Schnittgrößen mithilfe der Spannungen


dANA∫=

)(

σ dAzMA

⋅⋅= ∫)(

σ dArMA

T ⋅⋅= ∫)(

τ

Differentialgleichung


)()( xnxuEA −=′′⋅ )()( xqxwEI =′′′′⋅ )()( xmxGI TT −=′′⋅ϑ

n(x)

V+dV

M

N

q(x)

V

M+dM N+dN

dx


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1.3 Methoden der Stabstatik Mathematische Methoden Differentialgleichung der Biegelinie Energiemethode

Baustatische Verfahren Kraftgrößenverfahren (KGV)

o Klassisches KGV o Historisches Verfahren (CLAPEYRON) o Orthogonalisierungsverfahren

Formänderungsgrößenverfahren o Drehwinkelverfahren (DWV) nach MANN o Weggrößenverfahren nach OSTENFELD o Historische Iterationsverfahren (CROSS, KANI)

Matrizenstatik Übertragungsverfahren

Variationsrechnung Ritz-Verfahren Galerkin-Verfahren Finite-Element-Methode (FEM)


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 14

1.4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme Statisch bestimmt - Einfeldträger Statisch unbestimmt – 2-Feldträger

Momentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe

Bild 1-1: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger


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Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt Statisch unbestimmt Stützensenkung

Gleichmäßige Temperaturveränderung

Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe

Bild 1-2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger


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Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Statisch unbestimmt – Zweigelenkrahmen

Momentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe

Bild 1-3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 17

Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Statisch unbestimmt – Zweigelenkrahmen Stützensenkung

Gleichmäßige Temperaturveränderung

Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 18

Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe

Vorteile statisch unbestimmter System

Nachteile statisch unbestimmter Systeme

Die Verteilung von Biege- und Dehnsteifigkeiten sowie Auflagerfedern haben bei statisch unbestimmten Systemen einen erheblichen Einfluss auf die Verteilung der Lagerkräfte und Schnittkräfte.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 19

2 Elastische Formänderungen in der linearen Stabstatik 2.1 Kleine Übersicht: Kraftgrößen – Weggrößen

Schnittkraft Verformung Verzerrungsmaß (bezogene Verformung, abgeleitete Verformungsgröße)

Zusammenhang (mit Kinematik und Werkstoffgesetz)

N(x) u(x)

Dehnung / Stauchung

Dehnsteifigkeit

Vy(x); Vz(x) wV(x)

Schubverzerrung / Schubwinkel

Schubsteifigkeit

My(x); Mz(x) β(x)

Krümmung

Biegesteifigkeit

MT(x) ϑ(x)

Verdrillung

Torsionssteifigkeit

(x)udx

du(x)ε(x) ′==

)()()( xwdx

xdwx VV ′==γ

)()()()( xwxdx

xdx ′′−=′== ββκ

)()()( xdx

xdx ϑϑχ ′==

{ )()( xEAdx

du(x)EAxN ε⋅=⋅=

{ )()( xGAdx

(x)dwGAxV V

VV γ⋅=⋅=

{ )()()( xwExEdx(x)dExM ′′⋅Ι−=⋅Ι=⋅Ι= κ

β

{ )()( xGdx

(x)dGxM TTT χ

ϑ⋅Ι=⋅Ι=

-w´(x)

β(x)

wv(x)

ϑ(x)

u(x)


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 20

2.2 Schnittgrößen und Spannungen

Bild 2-1: Normalspannungen infolge Biegemoment

Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft

= + M

N

N

V

e=M/N

bSV

y

yz

⋅Ι

⋅=τ

z

z

y

y yMzMAN

Ι⋅

−Ι

⋅+=σ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 21

2.3 Grundlegende Zusammenhänge

Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen

Innere Weggrößen

Verzerrungen ε

Gleitungen γ

Krümmungen κ

Verdrillungen ϑ

Äußere Weggrößen Verschiebungen

Verdrehungen

Innere Kraftgrößen Normalkräfte N

Querkräfte Vy, Vz

Biegemomente My, Mz

Torsionsmoment MT

Äußere Kraftgrößen

Lasten F (kN), q )(m

kN, p )( 2m

kN

Lastmomente ML

Kraftgrößen Weggrößen

Gleichgewicht

Spannungen

Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)

Werkstoffgesetz

Zusammenfassung

∫

∫

⋅=⇒⋅⋅=

=⇒⋅=

zI

MdAzM

ANdAN

σσ

σσ

wzzzx

udxdux

′′⋅−=′⋅=

′==

βε

ε

),(

)(

)()()()()()(

xVxMxqxVxnxN

z

x

=′−=′−=′

wEIqMundwEIMuEAnNunduEAN x

′′′′⋅−=−=′′′′⋅−=

′′⋅=−=′′⋅=

)()(),(),(

xGxzxEzx

γτεσ

⋅=⋅=

wvu ,,

zyx βββ ,,


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 22

2.4 Verformungen infolge Normalkraft Gleichgewicht: Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittkraft

Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung

Verschiebungsgröße u(x)

Bild 2-5: Längsverformungen

Einführung einer Verzerrungsgröße (Ingenieurdehnmaß) (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)

bzw.

Bild 2-6: Längsdehnungen

λ

∆λ

x,u

x

u(x) u(x)

x

ε(x) ε(x)

(x)udx

du(x)ε(x) ′== ll

llll

ngeAusgangslängeAusgangsläLängeNeue

N∆

=−∆+

=−

=)(ε

N

x

xx

xx

x

CdxnxNxnxN

xndxdNdxxndN

dxnNdNNH

e

a

+⋅−=⇒−=′

−=⋅−=

=⋅+−+=

∫

∑

)()()(

)(;)(

0:0

0)(

=′−=′

(x)Nxn(x)N

N+dN N n(x)

dx x


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 23

Spannungsdefinition

Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen

Werkstoffgesetz : Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Die Spannungen sind proportional zu den Verzerrungen Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Zusammenfassung

dxAE

NdubzwdxxNAE

uAE

Nul

N ⋅⋅

=⋅

=⇒⋅

=′= ∫ .)(1

)(

ε

AElNl

⋅⋅

=∆

=∆=

⋅=

′⋅=

∫llu

dxxEAxNxu

uEANx

)()()()(

0

εσ ⋅= E

AN

=σ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 24

2.5 Verformungen infolge Biegemoment 2.5.1 Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes

Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.

b,h << ℓ , ℓ ≥ 5 h

kleine Verformungen

w << h << ℓ

Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β

w (x,y,z) = w(x)

Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1

Jakob Bernoulli (1654 – 1705)

β (x,z) = β (x)

Schubverformungen werden vernachlässigt

Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale

β (x) = - w´(x)

⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt

⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z

Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt

σz = 0; σy = 0

linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke´sche Gerade)

⇒ lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt

Gleichgewicht am unverformten System

Statische Lastaufbringung

•


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 25

2.5.2 Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung

Bei Biegung verdrehen sich die Querschnitte.

Bild 2-8: Kinematik bei Biegung

Das Biegemoment stellt eine Spannungsresultierende dar:

(x)

Mit folgt

∫ ⋅⋅= dAzzxxM y ),()( σ

∫ ⋅⋅⋅′⋅= dAzzxExM y ])([)( β

∫ ′⋅Ι⋅=⋅⋅′⋅= ββ yy EdAzxExM 2)()(

zzxxE ),()( σβ =′⋅ z

xMzx

y

y ⋅Ι

=)(

),(σ

Bernoulli I und II

β(x) = - w´(x) Kinematik

u(x,z) = β(x) ⋅ z = - w´(x) ⋅ z

Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung

ε(x,z) = u´(x,z) = - w´´(x) ⋅ z = β´(x) ⋅ z

Werkstoffgesetz

σ(x,z) = E ⋅ ε(x,z) = E ⋅ β´(x) ⋅ z

Normalspannungen infolge Biegemoment My

Krümmung infolge Biegemoment My

-w´(x)

u(x,z)

β(x)

dxE

xMdbzw

ExM

y

y

y

y ⋅Ι⋅

=Ι⋅

==′)(

.)(

βκβ

y

y

ExM

Ι⋅==′

)(κβ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 26

2.6 Verformungen infolge Querkraft 1. Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung

2. Spannungsermittlung

Schubkorrekturfaktor

3. Werkstoffgesetz

G : Schubmodul

ν : Querdehnzahl

4. Zusammenfassung

)1(2,

νγτ

+⋅=⋅=

EGG

),(),(

zxbSVzx y

y

z ⋅Ι

−=τ

V γ=dx

dwV

ν = 0,3 für Stahl

ν ≅ 0,2 für Beton

Vκ = 1,2 bei Rechteck

im Stahlbau gilt: AV = ASteg

dxAG

VdwAG

VGdx

dw

V

zV

V

zV ⋅⋅

=⇒⋅

===τγ

VV

V

zm

AAAV

κτ == ;

V

γ

dx

dwv


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 27

2.7 Zusammenfassung: Verformungen infolge M, N, V

Krümmung :

Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N, M, V

∫∫ ⋅=⋅⋅==)()( AA

EAdAEdAN εεσ

EAN

dxduu ==′=ε

dxEANdu ⋅=

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=)()( AA

dAzEdAzM εσ

βdzzdu ⋅=)(

ββε ′⋅=⋅= zdxdzz)(

w ′′−=′≈ βκ

βε ′⋅Ι=⋅⋅= ∫ EdAzEMA)(

dxEMd ⋅

Ι=β

γγτ =′⋅= Qm wG ;

N

u+du dx

u

N

M M

V V

ds ≈ dx

;dxAG

VdwV

V ⋅⋅

=

γ

dx

R dβ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 28

ou TTT −=∆

ddud T

T∆

∆ =βd

dxTT ⋅∆⋅=

α

TT dzdu ∆∆ ⋅= β

Krümmung infolge ∆T: dx

d TT

∆∆ =

βκ

dxd

Tdd

Tdx

d TT

TT ⋅∆⋅

=⇒∆⋅

= ∆∆ αβαβ

2.8 Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T

2.9 Verformungen infolge veränderlicher Temperatur ∆T

Bild 2-10: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt

2.10 Verformungen infolge Schwinden Beispiel: Beton nach EC 2:

Endschwindmaß :

dus = εs ⋅ dx, ∆ℓs = εs ⋅ ℓ 2.11 Verformungen infolge Kriechen

Beispiel: Beton nach EC 2:

Endkriechzahl :

; ;

duc = εc ⋅ dx

ll ⋅⋅=∆ TTT α

,Tdxdu

TT

T ⋅== αε

),()(),( 0 scdscascs ttttt εεε +=

55, 1070...1040 −−∞ ⋅−⋅−≈csε

0

000

)(),(),(c

ccc E

ttttt σϕε ⋅=

8...2),( 0 ≈∞ tϕ

AEN

cc ⋅= ϕε z

EM

cc ⋅Ι⋅

= ϕεQ

cc AGQ⋅

= ϕγ

∆λ

∆ℓs

dx

d

dβ∆T

du∆T = αT⋅∆T⋅dx

dxTdu TT ⋅⋅= α


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 29

2.12 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken

Tabelle 2-1: Formänderungsanteile

Verzerrung elastischer Anteil

Anteil inf. Temperatur

Anteil inf. Schwinden

Anteil inf. Kriechen

zugehörige Schnittkraft

ε = N

γz =

Vz

My

ϑ´= Mx = MT

γy =

Vy

Mz

AEN⋅

TT ⋅+ α sε+AE

N K

⋅+ϕ

==′ yy κβy

y

EM

Ι⋅ zT d

T∆⋅+α

y

Ky

EM

Ι⋅⋅+ ,ϕ

T

T

GM

Ι⋅ T

T

GM

Ι⋅⋅+ ϕ

==′ zz κβ

V

y

GAV

V

z

GAV

V

y

GAV

⋅+ϕ

V

z

GAV

⋅+ϕ

z

z

EM

Ι⋅ yT d

T∆⋅+α

z

Kz

EM

Ι⋅⋅+ ,ϕ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 30

3 Mechanische Arbeit und Formänderungsenergie 3.1 Einführung Arbeit = Kraft * Weg

Arbeit = Kraftgröße * Weggröße

Energie

Einheiten

[ ] [ ] JNmmNWA 1111 ==⋅==


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 31

3.2 Annahmen und Voraussetzungen Ebenbleiben der Querschnitte (Jakob Bernoulli ,1654 – 1705)

Die Verschiebungen u(x,z) verlaufen über die Querschnittsdicke linear

(Bernoulli-Hypothese Teil I).

Schubverzerrungen werden vernachlässigt => Normale bleibt Normale (Bernoulli-Hypothese Teil II)

Die Verschiebungen w sind für alle Querschnittspunkte gleich. Die Balkendicke ändert sich bei der Deformation nicht (Formtreue: w(x,y,z) = w(x) ).

Die Verformungen sind sehr klein.

Lineare Elastizität Es gilt das Hookesche Gesetz (Robert Hooke ,1645 – 1703).

Quasi-statische Lastaufbringung Die Kraft wird langsam von Null auf ihren Endwert gesteigert.

Arbeit = Kraftgröße ⋅ Weggröße (René Descartes, 1596 – 1650)

Energiesatz der Elastostatik:

Die Arbeit der äußeren Kräfte A

wird als Formänderungsenergie W im System gespeichert.

A = W


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 32

3.3 Äußere Arbeit 3.3.1 Begriffe, Definitionen

Bild 3-1: Äußere Arbeit

Bei linearer Elastizität gilt für die Äußere Arbeit:

eee

FF

uFc

FdFcFdFuA

ee

⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21

21ˆ

2

00

eee

uu

uFucduucduFAee

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21

21 2

00

dF

konjugierte äußere Arbeit A

Äußere Arbeit A

ue

Fe

du

dA

dA

ue u

F

F=c ⋅u Fe

ee uFA ⋅⋅=21

AAA

uFA ee

−=

⋅=~ˆ

~


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 33

3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit Eigenarbeit Die Kraft F1 verrichtet an der Stelle 1 Arbeit auf dem von ihr selbst erzeugten Weg w11.

Bild 3-2: Eigenarbeit

Fremdarbeit Die Kraft F1 ist vor Belastung durch eine andere Kraft F2 vorhanden und verrichtet

Arbeit auf einem Weg, der durch die Wirkung der anderen Kraft F2 hervorgerufen wird:

Bild 3-3: Fremdarbeit

11111 21 wFA ⋅⋅=

121*12 wFA ⋅=

W11

1

F1

W12

1

F1 F2

2

W22


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 34

3.4 Innere Arbeit – Formänderungsenergie 3.4.1 Spezifische Formänderungsenergie

Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie

dzdydxzyx

dVzyxGVG

z y x

V

⋅

⋅

⋅=

⋅=

=

∫ ∫ ∫

∫

)( )( )(

)(

),,(

),,(

γ

γ

γ

∫

∫

∫

∫∫

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅=

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)()(

),,(),,(21)('

),,(),,(21)('

),,(),,(21)('

),,(),,(21),,('

A

VV

A

Mx

Mx

A

Nx

Nx

Axx

As

dAzyxzyxVW

dAzyxzyxMW

dAzyxzyxNW

dAzyxzyxdAzyxWW

γτ

εσ

εσ

εσ

γ(x,y,z)

x

z

y

Ws(x,y,z)

y

z

x

𝑊𝑊𝑠𝑠 =12∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)

𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)

∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑦𝑦)

∙ 𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑧𝑧)

∙ 𝑑𝑑𝑧𝑧� ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥


∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)

∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑��

𝐵𝐵𝐵𝐵𝑧𝑧𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹Ä𝐸𝐸 𝑊𝑊′

(𝑙𝑙)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 35

3.4.2 Formänderungsenergie bei Normalspannungen

Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen

(Formänderungsenergie W)

(bezogene Formänderungsenergie W´)

Bei linearer Elastizität gilt:

∫∫ ⋅=′⋅′=)()(

ˆˆ;ˆˆA

SS dAWWdxWWl

eeSW εσ ⋅=~

SSS WWW −= ~ˆ

WWundWW SS == ˆˆ

∫ ∫ ⋅ = ′ ⋅ ′ = ) ( ) (

; A

S dA W W dx W W λ

konjugierte spezifische Formänderungsenergie SW

Spezifische Formänderungsenergie Ws

εσεεεεσεε

⋅⋅=⋅=∫ ⋅⋅=∫ ⋅=21

2

2

00

eS EdEdW

ee

eee

S Ed

EdW

ee

εσσσσσεσσ

⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21

21ˆ

2

00

εe ε

σ

σ=E ⋅ε σe

dxdAWdVWWA

SV

S ∫ ∫∫

⋅=⋅=

)( )()( l


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 36

3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen

Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen


∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)

∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�(𝑥𝑥)


Formänderungsenergie (unterhalb der Kurve)

γe γ

τ

τ = G ⋅ γ τe

konjugierte spezifische Formänderungsenergie WS

Spezifische Formänderungsenergie Ws

eee

S GdGdWee

γτγγγγτγγ

⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21

2

2

00

dA W W dx W W A S l

⋅ ∫ = ′ ⋅ ∫ ′ = ) ( ) (

;

eee

S Gd

GdW

ee

γτττττγττ

⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21

21ˆ

2

00


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 37

3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft

Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft

A=W

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢

(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥

(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)

∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢(𝑙𝑙) = �

⎝

⎜⎜⎛�

12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥

(𝐴𝐴)

∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑��

𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠

⎟⎟⎞

(𝑙𝑙)


Bei zentrischer Normalkraft ergibt sich mit

Beispiel:

A = W u(ℓ) ℓ F

=⋅⋅⋅=′ ∫ dANW xxA

εσ)( 21)(

AüberconstAN

x .==σ

F

u(λ)


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 38

3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment My

Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment

A = W

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �



∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �

⎝

⎜⎜⎛�


(𝐴𝐴)

∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑��


⎟⎟⎞

(𝑙𝑙)


Bei Biegemoment ergibt sich mit

Beispiel:

ℓ/2

F

ℓ/2

=⋅⋅⋅=′ ∫ dAMW xxA

εσ)( 21)(

Eundz

IM x

xxσεσ =⋅=

F

max w


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 39

3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz

Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft

A = W

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉

(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧


∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉(𝑙𝑙) = �

⎝

⎜⎜⎛�

12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧

(𝐴𝐴)

∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑��


⎟⎟⎞

(𝑙𝑙)


Bei Querkraft ergibt sich mit

wv(ℓ)

F

=⋅⋅⋅=′ ∫ dAVW xzxzA

γτ)( 21)(

Gund

AV xz

xV

zxz

τγτ ==

dxdAWdVWWA

SV

S ∫ ∫∫

⋅=⋅=

)( )()( l


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 40

3.4.7 Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen

Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen

Normalkraft Biegung Querkraft Torsion

z.B. Balken mit Normalkraft, Biegemoment und Querkraft:

𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +

12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +

12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +

12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +

12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

mxV γ⋅⋅ )(21

VAGxVxV

⋅⋅⋅

)()(21

)()(21 xxM κ⋅⋅

)(21 2 xIE κ⋅⋅⋅ )(

21 2 xIG T χ⋅⋅⋅

)()(21 xxMT χ⋅⋅

T

TT IG

xMxM⋅

⋅⋅)()(

21

AExNxN

⋅⋅⋅

)()(21

y

yy IE

xMxM

⋅⋅⋅

)()(

21

)(21 2 xAE ε⋅⋅⋅

)()(21 xxN ε⋅⋅

)(21 2 xAG mV γ⋅⋅⋅


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 41

4 Arbeitsprinzipe, Arbeitssätze 4.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Grundlage ist die Fremdarbeit A*. A* = W*

Querstrich : virtuell = gedacht

Virtuelle Arbeit = wirkliche Kraftgröße ⋅ virtuelle Verformung

Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung

4.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV)

∫ ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)( )()(

*)()()(

l ll

dxxVdxxMdxxNW mγκε

virtueller Verschiebungszustand:

gedacht

hinreichend klein

kinematisch verträglich

ansonsten beliebig

Das PdvA ist eine Gleichgewichtsaussage.

** WA =

fFA ⋅=*

fFA ⋅=*

fFA ⋅=*


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 42

4.1.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)

Frage: Welche Arbeit verrichtet eine virtuelle Kraft auf einem Weg f, der durch eine andere Last(gruppe) erzeugt wird, und welche Energie wird dabei im System gespeichert?

Antwort: Querstrich : virtuell = gedacht

Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung

** WA =

1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥��𝑑𝑑𝑑𝑑

+ � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥��𝑑𝑑𝑑𝑑

+ � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥��𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

γ =

κ =

ε =

1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑��𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑁𝑁)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ (𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇)��𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑇𝑇)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀𝑆𝑆 ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

+ � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙(𝑙𝑙)

𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼��𝜅𝜅(𝑀𝑀)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙(𝑙𝑙)

𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ ∆𝑇𝑇𝑑𝑑��

𝜅𝜅(∆𝑇𝑇)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉��𝛾𝛾(𝑉𝑉)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)

1=F

** WA =

fFA ⋅=*


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 43

4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln

Auswertung der Integrale zweier Funktionen mit Überlagerungstafeln

�𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝐺𝐺 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙

0

�𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙ 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 ∙ 𝑀𝑀𝑖𝑖 ∙ 𝑀𝑀𝑘𝑘 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙

0


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 44

5. a b c d

Nr fk

fi k k k1 k2

α𝑙𝑙 β𝑙𝑙

k

0 fi= fk 𝑘𝑘2𝑙𝑙 13𝑘𝑘2𝑙𝑙

13

(𝑘𝑘12 + 𝑘𝑘1𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘22)𝑙𝑙 13𝑘𝑘2𝑙𝑙

1 i 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙

12𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙

12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙

2 i 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙


16𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2)𝑙𝑙

16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼)𝑙𝑙

3 i 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙


16𝑖𝑖(2𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙

16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽)𝑙𝑙

4 i1

i2

12𝑘𝑘(𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2)𝑙𝑙

16𝑘𝑘(𝑖𝑖1 + 2𝑖𝑖2)𝑙𝑙

16

[𝑖𝑖1(2𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2) + 𝑖𝑖2(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2)]𝑙𝑙 16𝑘𝑘[𝑖𝑖1(1 + 𝛽𝛽) + 𝑖𝑖2(1 + 𝛼𝛼)]𝑙𝑙

5

γ𝑙𝑙 δ𝑙𝑙 i


16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛾𝛾)𝑙𝑙

16𝑖𝑖[𝑘𝑘1(1 + 𝛿𝛿) + 𝑘𝑘2(1 + 𝛾𝛾)]𝑙𝑙

𝛾𝛾 > 𝛼𝛼: 𝑖𝑖𝑘𝑘6�2 − (𝛾𝛾−𝛼𝛼)2

𝛾𝛾(1−𝛼𝛼)� 𝑙𝑙

𝛾𝛾 < 𝛼𝛼: 𝑖𝑖𝑘𝑘6�2 − (𝛼𝛼−𝛾𝛾)2

𝛼𝛼(1−𝛾𝛾)� 𝑙𝑙; 𝛾𝛾 =

𝛼𝛼: 13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙

6 i S



13𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙

13𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼𝛽𝛽)𝑙𝑙

7 i S



112

𝑖𝑖(5𝑘𝑘1 + 3𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1

12𝑖𝑖𝑘𝑘(5 − 𝛼𝛼 − 𝛼𝛼2)𝑙𝑙

8 i S


512

𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1

12𝑖𝑖(3𝑘𝑘1 + 5𝑘𝑘2)𝑙𝑙

112

𝑖𝑖𝑘𝑘(5 − 𝛽𝛽 − 𝛽𝛽2 )𝑙𝑙

9 S i



112

𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 3𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1

12𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2)𝑙𝑙

10 i S


112



112

𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2)𝑙𝑙

11 q S i



120

𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1

20𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼)(1 + 𝛼𝛼2)𝑙𝑙

12 q i S


120



120

𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽)(1 + 𝛽𝛽2)𝑙𝑙

13 q S


1140



140

𝑖𝑖𝑘𝑘(11 + 9𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2 + 𝛽𝛽3)𝑙𝑙

14 q i S


110



140

𝑖𝑖𝑘𝑘(11 + 9𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2 + 𝛼𝛼3)𝑙𝑙

15 q qr

i


215



120

𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼 ) �73− 𝛼𝛼2� 𝑙𝑙

16 qr q i


760



120

𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽 ) �73− 𝛽𝛽2� 𝑙𝑙

𝑙𝑙 = Länge des Integrationsbereiches; S = Parabelscheitel Nr. 6 bis 10: Quadratische Parabeln Nr. 11 bis 16: Kubische Parabeln Tafelwert Nr. 15 und 16: 𝑖𝑖 = 𝑞𝑞𝑟𝑟∙𝑙𝑙

2

6 ; 1 ∙ 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐𝛿𝛿𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐

𝐸𝐸𝐼𝐼 ∫ 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝑙𝑙𝐵𝐵 …


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 45

4.2.1 Beispiel 1: Kragträger unter Einzellast

4.2.2 Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast

4.2.3 Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast

4.2.4 Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm

4.2.5 Beispiel 5: Holzbalken

Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 46

4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm

Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung

Qualitative Biegelinie

1,5 m 4 m

q = 10 kN/m

fE= ? HEB 200

fm= ? φA= ?


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 47

4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung



4.2.8 Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder



1,5 m 4 m

fE= ? HEB 200

∆sB= 10 mm

q = 10 kN/m

1,5 m 4 m

fE= ? HEB 200

cF=8000 kN/m

q = 10 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 48

4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss Für das dargestellte Tragwerk ist die Vertikalverformung fv infolge der gegebenen Belastung unter Berücksichtigung des Normalkrafteinflusses gesucht.


1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝑦𝑦��𝜅𝜅(𝑀𝑀)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑��𝜀𝜀(𝑁𝑁)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)


Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien

q = 10 kN/m

3 m

Steifigkeiten

EΙHEB200 =

EAIPE200 =

1,5 m 4 m

fV= ?

IPE 200

HEB 200


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 49

4.2.10 Beispiel 10: Klausuraufgabe Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fH infolge der gegebenen Belastung gesucht.


Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien

fH = ?

s = 20 kN/m

8 m

Material für alle Stäbe S 235; HEB 400

EA = ∞

5 m 5 m

6 m

w = 4 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 50

4.3 Zwängungslastfälle 4.3.1 Allgemeines Die Zwängungslastfälle

• T (Erwärmung / Abkühlung)

• ∆T (Temperaturgradient über die Querschnittshöhe)

• ∆s (Stützensenkung)

• εS (Schwinden) bewirken bei STATISCH BESTIMMTEN SYSTEMEN KEINE Schnittgrößen, jedoch Verformungen.

Beispiel: Brücke Lastfall geleichmäßige Temperaturänderung T (z.B. Erwärmung)

∆𝑙𝑙𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇 ∙ 𝑙𝑙

Lastfall Stützensenkung

Lastfall Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe

ou TTT −=∆

dTTT ∆⋅

=∆ ακ

Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen

∆s

warm

kalt


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 51

4.3.2 Beispiel 11: Verformungsberechnung für den Lastfall „Erwärmung“ Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fh infolge der gegebenen Belastung T=50 K gesucht.

1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝑦𝑦��𝜅𝜅(𝑀𝑀)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑��𝜀𝜀(𝑁𝑁)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇��𝜀𝜀(𝑇𝑇)


Bild 4-10: Beispiel 11 – System und Belastung

Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung

Ts = 50 K (Erwärmung)

4 m

6 m

fH = ?


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 52

4.3.3 Beispiel 12: Verformungsberechnung für den Lastfall ∆T Für das dargestellte Tragwerk (HEB300) ist die Horizontalverformung fh infolge des Lastfalls ∆T gesucht.

1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ ∆𝑇𝑇𝑑𝑑��

𝜅𝜅(∆𝑇𝑇)




fH = ?

Ti = -10° C TA = 10° C TA = 10° C

TA = 10° C


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 53

4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Biegelinie ohne Stützensenkung

Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger

Biegelinie mit Stützensenkung

Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung

Verallgemeinerung ** WA =

1� ∙ 𝑓𝑓 + 𝑆𝑆 ∙ ∆𝑠𝑠 + 𝑀𝑀�𝑠𝑠 ∙ ∆𝜑𝜑 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

ϕ∆⋅±∆⋅±

⋅⋅+⋅Ι

⋅+⋅⋅=⋅ ∫∫∫

s

V

MsS

dxGA

xVxVdxE

xMxMdxEA

xNxNf)()()(

)()()()()()(1lll

Das Produkt sS ∆⋅ ( ϕ∆⋅SM ) ist negativ, wenn die Auflagerkraft S (das Auflager-

moment SM ) die Richtung der Stützensenkung (-verdrehung) aufweist. Ansonsten ist es positiv (Regelfall).

S

1

∆s

f1=f10+f1∆s

f10


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 54

4.3.5 Beispiel 13: Dreigelenkrahmen Für das dargestellte Tragwerk (HEB400) ist die Verdrehung ϕA für jeden der 5 angegebenen Lastfälle gesucht.

• LF1: Ts = 20 K

• LF2 : ∆T= -20 K

• LF 3: ∆sv = 2 cm

• LF 4: ∆sh = 2 cm

• LF 5: w = 4 kN/m

Bild 4-16: Beispiel 13 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen

Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung


HEB 400

5 m 5 m

4 m

∆sv = 2 cm

∆sh = 2 cm

w = 4 kN/m

ϕA = ?


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 55

Lastfall 1: Ts = 20 K Qualitative Verformungsfigur

Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz

Bild 4-18: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge Ts

Lastfall 2: ∆T = -20 K Qualitative Verformungsfigur


Bild 4-19: Beispiel 13 – wirkliche Beanspruchung infolge ∆T


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 56

Lastfall 3: ∆sv = 2 cm Qualitative Verformungsfigur


Bild 4-20: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sv

Lastfall 3: ∆sH = 2 cm Qualitative Verformungsfigur


Bild 4-21: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sh


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 57

Lastfall 5: w = 4 kN/m Qualitative Verformungsfigur


Bild 4-22: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 58

4.4 Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung 4.4.1 Allgemeines Einführung von Federungen bei

elastischem Untergrund

nachgiebigen Bauteilen

o z.B. Elastomerlager

o z.B. elastische, dehnweiche oder biegeweiche Stäbe

Es gibt

Dehnfedern (Normalkraftübertragung)

und Drehfedern (Biegemomentübertragung)

4.4.2 Dehnfedern

f: Federweg infolge F

cF : Dehnfedersteifigkeit [cF] = , z.B

Bild 4-23: Lineares Federgesetz

Bild 4-24: Federnde Lagerungen

LK

mKN

F

f

F

F=cF ⋅f f

cF

cF

cF


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 59

4.4.3 Beispiele für Dehnfedern Stütze Kragarm Biegebalken

Bild 4-25: Ersatzfedern

Merksatz: Die Federsteifigkeit eines Tragwerksteils / Systems ist

cF=?

cF=?

cF=?

F

∆ℓ

F

wE

F

wm

F

F

F

wE

wM

∆ℓ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 60

Pfahlgründung

Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung

cF,v=?

cF,h=?

Bohrpfahl C30/37, d= 80 cm

1 m

6 m

1 m

5 m

Bohrpfahl C30/37, d= 60 cm


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 61

Beispiel: Elastomerlager bei Brücken

Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager

Beispiel: Fundament auf elastischem Baugrund

Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund

HBrems

cF


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 62

4.4.4 Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern

Reihenschaltung von Federn Parallelschaltung von Federn

;

+ =

Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn

11

FcFf =

22

FcFf =

21 fffges +=

1Fges c

Ff =2Fc

FerscF

∑=+=FiFFers cccc1111

11

fcfcFFF FF ⋅+⋅=+= 2121

fccF FF ⋅+= )( 21

fcF ers ⋅=

21 FFers ccc +=

∑= Fiers cc


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 63

4.4.5 Drehfedern

ϕ: Federdrehwinkel infolge M

cM : Drehfedersteifigkeit; [cM] = , z.B.

Bild 4-30: Drehfedergesetz

Wirkliches System Ersatzsystem

Bild 4-31: Ersatz-Drehfeder

LK ⋅ kNm

ϕ

M = cM ⋅ϕ ϕ

cM

M

M

ϕ ϕ

cM=?


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 64

4.4.6 Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz Verformungen ohne Federn

Verformungen mit Feder

Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung

CN

1

cF

fm= fm1+ fmc

fC = Nc/cF

BNc =

fm1


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 65

Kragstütze mit elastischer Einspannung Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung

Verallgemeinerung

** WA =

1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉

∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)

± ∑F

cc c

NN Dehnfedern

± ∑M

cc c

MM Drehfedern

Das Produkt cc NN ⋅ bzw. cc MM ⋅ ist positiv, wenn beide Kraftgrößen die gleiche Richtung aufweisen. Ansonsten ist es negativ.

fo1

ϕc = M/cM

fo= fo1+foc

1

CM


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 66

4.5 Gesamtverschiebung

( ) ( ) dxGAVV

dT

EIMMT

EANNf Q

TST∫

⋅⋅+

∆⋅

+⋅++

+⋅+⋅+=⋅ καϕεαϕ 111

+ ∑∑∑∑ ∆⋅−∆⋅−⋅+⋅ iiiim

cc

F

cc MsC

cMM

cNN ϕ

f⋅1 = ∫ ⋅⋅ dxEANN Normalkraft

+ ∫ ⋅⋅⋅ dxEANNϕ Kriechen infolge Normalkraft

+ ∫ ⋅⋅⋅ dxTN Tα Temperaturdehnung

+ ∫ ⋅⋅ dxN Sε Schwinden

+ ∫ ⋅⋅ dxEIMM Biegemoment

+ ∫ ⋅⋅ dxEIMMϕ Kriechen infolge Biegemoment

+ ∫ ⋅∆⋅

⋅ dxd

TM Tα veränderliche Temperaturverteilung

+ ∫ ⋅⋅⋅ dxGAVVVκ Querkraft

+ ∑ ⋅F

cc c

NN Dehnfedern

+ ∑ ⋅m

cc c

MM Drehfedern

± ii sS∑ ∆⋅ Stützensenkungen

± iiM∑ ∆⋅ ϕ Stützenverdrehungen


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 67

4.6 Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen 4.6.1 Beispiel 14

Bild 4-34: Beispiel 14 mit Dehnfeder - System und Belastung

Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge 1-Last

Biegemomente

Bild 4-35: Beispiel 14 mit Dehnfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien

Überlagerung

1 m

cF = 300 kN/m

F = 10 kN

3 m 2 m

fE = ?

HEB 400

Querschnittswerte


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 68

4.6.2 Beispiel 15

Bild 4-36: Beispiel 15 mit Drehfeder - System und Belastung


Biegemomente

Bild 4-37: Beispiel 15 mit Drehfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien

Überlagerung

cM = 0,1⋅ E Ι q = 5 kN/m

4 m

fB = ?

3 m

3 m

3 m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 69

4.6.3 Beispiel 16 - Gelenkträger

Bild 4-38: Beispiel 16 - Gelenkträger - System und Belastung


Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte

Biegemomente

Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien

Überlagerung

F = 10 KN

2 m

∆s=2cm

EΙ = 10000 kNm2

f1 = ?

q = 5 KN/m

2 m 2 m 2 m 2 m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 70

4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 17

Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung

Beton B25 E = 30.000 MN/m2 G = 12.500 MN/m2

αT = 10-5 1/K

ϕK = 0,6

εs = - 40 ⋅ 10-5

b/d = 20 cm / 40 cm A = 800 cm2

Ι = 20 ⋅ 403 / 12 = 106.667 cm4

EA = 3⋅107 kN/m2⋅10-4 ⋅ 800 = 2,4 ⋅106 kN

EΙ = 3 ⋅103 kN/cm2 ⋅106.667 cm4 = 3,2 ⋅108 kNcm

GA = 1,25 ⋅103 kN/cm2 ⋅ 800 cm2 = 106 kN

TS = 15 K ∆T = 30 K

2 4 m 4 m

4 m

q = 5 kN/m

∆sA = 4 cm

cF = 100 kN/cm

cm = 8 ⋅105 kNcm

fE = ?


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 71

Auflagerkräfte und Schnittgrößen

Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 72

f⋅1 = ∫ dxEANN

+ ∫ dxEANNϕ

+ ∫ TdxN Tα

+ ∫ dxN Sε

+ ∫ dxEIMM

+ ∫ dxEIMMϕ

+ ∫∆ dxdTM Tα

+ ∫ dxGAVVVκ

+∑F

cc c

NN

+∑m

cc c

MM

- ii sC∑ ∆

- iiM∑ ∆ϕ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 73

4.6.5 Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2

Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung

Gesucht ist der Wert für den Knick in der Biegelinie am Gelenk ∆φG.

Auflagerkräfte, Momente und Normalkraftlinien infolge q infolge M= 1

Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien

HEB 400

4 4

5

q = 25 kN/m

11 =M


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 74

4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung

Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung

1=M

f

∆ϕG

1=F

Berechnung einer absoluten Verschiebung f

ϕ

Berechnung einer absoluten Verdrehung ϕ

f2

1=F

Berechnung einer relativen Verschiebung f=f1 + f2

Berechnung einer relativen Verdrehung in einem Gelenk (Knick) ∆ϕG = ϕ1 + ϕ2

f1

1=F

ϕ2 ϕ1

1=M 1=M


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 75

5 Das Kraftgrößenverfahren 5.1 Idee des Kraftgrößenverfahrens

Berechnung an einem beliebigen statisch bestimmten Hauptsystem

Einwirkung einer Einheitslast X1

Addition

Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens

w10

w11

X1


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 76

5.2 Vorgehen 1. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Abzählkriterium

n = a + z – 3 p

2. Wahl eines zweckmäßigen statisch bestimmten Hauptsystems (SBHS) durch Lösen von Bindungen (durch Einführung von Gelenken oder Entfernen von Auflagerbindungen) (i = 1 ...n)

3. Ermittlung der Schnittgrößen infolge der gegebenen Belastung am SBHS (Lastspannungszustand, LSZ)

λ

q


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 77

4. Ermittlung der Einheitsspannungs- oder Eigenspannungszustände(ESZ) Dort, wo Gelenke eingeführt wurden und/oder Bindungen entfernt wurden, werden entsprechende Kraftgrößen eingeführt (Xi = 1) und die zugehörige Momentenlinie Mi gezeichnet.

5. Berechnung der δ-Zahlen a) Verdrehung infolge der äußeren Belastung

δ10 = dxEI

xMxM

l

⋅⋅∫)(

01

)()( Fehler! Textmarke nicht definiert.

b) Rückgängig durch ein Moment X1

δ11 = dxEI

xMxMl

⋅⋅∫)(

11

)()( Fehler! Textmarke nicht definiert.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 78

6. Elastizitätsgleichungen (Kompatibilitätsbedingungen)

δ10 + X1 ⋅ δ11 = 0

X1 ⋅ δ11 = - δ10 ⇒ X1 = - 11

10

δδ

Allgemein :

X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .

X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0

7. Endgültige Auflagerkräfte und Zustandslinien durch Superposition (Addition)

A = A0 + X1 ⋅ A1

M = M0 + X1 ⋅ M1

N = N0 + X1 ⋅ N1

V = V0 + X1 ⋅ V1

allgemein:

A = A0 + Σ Xi ⋅ Ai

M = M0 + Σ Xi ⋅ Mi

N = N0 + Σ Xi ⋅ Ni

V = V0 + Σ Xi ⋅ Vi


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 79

8. Kontrollen a) Gleichgewichtskontrollen

insbesondere für das SBHS kontrollieren ! b) abhängige Formänderungskontrollen (s.a. 3.2 Reduktionssatz)

δ1 = dxEI

xMxMl∫

)(1

)()( = 0 , M(x) : endgültige

Momentenlinie Fehler! Textmarke nicht definiert.

δi = dxEI

xMxMl

i∫)(

)()( = 0

Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δi am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System

in Richtung der statisch Überzähligen Xi sind gleich Null.

Hiermit werden kontrolliert:

Die Superposition (Addition von LSZ und ESZn)

Berechnung der δik – Werte

Berechnung der δi0 – Werte Lösung des Gleichungssystems

Hiermit werden nicht kontrolliert: die Mi – und M0 - Linien

c) unabhängige Formänderungskontrollen Wahl eines anderen statisch bestimmten Hauptsystems

δk = dxEI

xMxMl

k∫)(

)()( = 0

Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δk am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System

in Richtung der statisch Überzähligen Xk sind gleich Null.

Hiermit werden kontrolliert (wie b) sowie :

die Mi - Linien


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 80

5.3 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz

Die Verformung eines beliebigen Punktes m an einem statisch unbestimmten System ergibt nach dem PdvK zu:

δm = dxEI

xMxMl∫

)(

)()( = ( ) dxEI

xMMXMXMl∫ ++

)(22110

)(

)(xM :endgültige Momentenlinie am statisch unbestimmten System

)(xM : Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am statisch unbest. System

δm = dxEI

xMxMl∫

)(0

)()(

)(xM : endgültige Momentenlinie am statisch unbestimmten System

)(xM0 : Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am SBHS

Alternatives Vorgehen

δm = dxEI

xMxMl∫

)(

)()( = dxEI

MXMXMxMl∫

++

)(

22110)(

δm = dxEI

xMxMl∫

)(

0 )()(

)(xM Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am statisch unbest. System

)(xM0 Momentenlinie infolge äußerer Belastung am SBHS

Reduktionssatz

Für die Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen dürfen im Arbeitsintegral entweder die virtuellen Kraftgrößen oder die wirklichen

Kraftgrößen an einem beliebigen SBHS ermittelt werden.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 81

5.4 Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme 5.4.1 Beispiel 1

Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung

Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme

Bild 5-3: Beispiel 1 – Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme

q = 5 kN/m

3 m 4 m

1 m

10 kN


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 82

5.4.2 Beispiel 2

Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung

Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen – LSZ und ESZ

q = 10 kN/m

3 m

5 m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 83

5.4.3 Beispiel 3

Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung

Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm – LSZ und ESZ

3 m

q = 4 kN/m

5,5 m 1,5 m

3 kN


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 84

5.5 Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn

5.5.1 Temperatureinfluss TAuf : Aufstelltemperatur

Tunt : aktuelle Temperatur an der Unterseite (gestrichelte Zone) des Querschnitts

Toben : aktuelle Temperatur an der Oberseite des Querschnitts

Ts : gleichmäßige Temperaturänderung bezogen auf die Schwereachse (Abkühlung oder Erwärmung, z.B. Sommer - Winter)

∆T : Temperaturunterschied über den Querschnitt

Bild 5-8: Temperaturlastfälle

Für die dargestellte Situation (symmetrischer Querschnitt und Erwärmung) ergibt sich:

Auf

obenunt

s TTTT −+

=2

Es gilt immer: oben

unt TTT −=∆ (Vorzeichen beachten !)

Beispiele

Mit Hilfe einer Skizze sind jeweils Ts und ∆T gesucht.

1) TAuf = 5° C; Toben = 10° C; Tunt= 40°C

2) TAuf = 10° C; Toben = - 40° C; Tunt= - 10°C

3) TAuf = 20° C; Toben = -10° C; Tunt= - 50°C

4) T- Querschnitt

Toben

Tunt TAuf ∆T= Tunt– Toben TS

TS = + d

0°

d/2

d/2


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 85

5.5.2 Gleichmäßige Temperatur Ts

ε = ll∆

∆ℓT = αT ⋅ Ts ⋅ ℓ;

εT = llT∆

= αT ⋅ Ts

=⋅ iTδ1 ∫ ⋅⋅⋅ dxTN STi α Verformung infolge Temperaturdehnung

Ts : Temperaturänderung (z.B. gegenüber der Aufstelltemperatur) in der Schwerpunktachse

δ1T + X1 ⋅ δ11 = 0; ⇒ X1 ⋅ δ11 = - δ1T ⇒ X1 = - 11

1

δδ T

5.5.3 Veränderliche Temperaturverteilung ∆T über den Querschnitt

dTT

T∆⋅

=∆ακ Krümmung infolge veränderlicher Temperaturverteilung

=⋅∆Tiδ1 ∫

∆⋅ dx

dTM Tα Verformung infolge veränderlicher Temp. Vert.

δ1∆T + X1 ⋅ δ11 = 0; ⇒ X1 ⋅ δ11 = - δ1∆T ⇒ X1 = - 11

1

δδ T∆

TS

∆λ

λ

∆T= Tunt– Toben

d


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 86

5.5.4 Schwinden

εs = lls∆

= - 20 . . . - 40 ⋅ 10-5 = const. (Endschwindmaß bei Beton)

=⋅ isδ1 ∫ ⋅ dxN si ε Verformung infolge Schwinden

5.5.5 Vorgegebene Auflagerverformungen

=⋅∆siδ1 ±

ii sC∑ ∆ Stützensenkungen

± iiM∑ ∆ϕ Stützenverdrehungen

(s. Abschn. )

5.5.6 Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen

C

∆s

∆ϕ

A = 0 + Σ Xi ⋅ Ai, M = 0 + Σ Xi ⋅ Mi Zwängungslastfälle erzeugen am SBHS keine Schnittgrößen.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 87

5.5.7 Federungen Federarbeit muss berücksichtigt werden.

∑∑ +=⋅m

cc

F

ccic c

MMcNNδ1 Dehnfedern und Drehfedern

(s. Abschn. ……)

Möglichkeit 1: Federung für SBHS entfernen (Xi ansetzen)

cXXdx

EIMM i

ii

iii +=⋅ ∫δ1 ; Federarbeit der statisch Unbestimmten Xi, z.B. X1

∫ +=⋅ OdxEIMM k

iikδ1

Federarbeit wird nur einmal berücksichtigt, und zwar im betreffenden ESZ.

Möglichkeit 2: Federungen bleiben im SBHS

cXXdx

EIMM i

ii

iii +=⋅ ∫δ1 ∑∫ +=⋅cNNdx

EIMM k

ik

iikδ1

∑∫ +=⋅cNNdx

EIMM iii

0001 δ

Federarbeit muss sowohl bei der gegenseitigen Überlagerung der ESZ als auch bei der Überlagerung der ESZ mit den LSZ berücksichtigt werden.

Federarbeit muss bei allen Delta-Zahlen berücksichtigt werden -> sehr aufwändig.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 88

5.5.8 Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System)

Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung

LF 1: Streckenlast LF 2: Temperaturlastfälle: Aufstelltemperatur: T0 = 10° C,

Außentemperatur: Ta = 50 °C , Innentemperatur Ti = 20 ° C

o LF 2a: Ts

o LF 2b: ∆T

LF 3: Stützensenkung ∆sB = 2 cm

LF 1: Streckenlast SBHS, LSZ

Bild 5-10: Zweigelenkrahmen – SBHS / LSZ

∆sB = 2 cm

Ta = 50

Ti = 20

T0 = 10

HEB 400

E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2

αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K 4 m

10 m

q = 7,5 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 89

Zusammenfassung

Bild 5-11: Zweigelenkrahmen – Visualisierung der Ergebnisse


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 90

5.5.9 Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes)

Bild 5-12: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung

Lösung mit STAB2D

Bild 5-13: Ergebnisplot aus STAB2D

Lösung mit Reduktionssatz (s.S. 82)

1⋅ fm = dxEI

xMxMl∫

)(

)()(

1⋅ fm = dxEI

xMxMl∫

)(

0 )()(

6 6

∆s = 1 cm

∆T = -20 K

cF = 50000 kN/ m

HEB 500

EΙ = const.

Ι = 107.200 cm4

E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2

αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K fm = ?

3

q = 10 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 91

1) Zustand an einem beliebigen SBHS

Bild 5-14: M(q) am SBHS

2) Zustand infolge F= 1 (am statisch unbestimmten System! mit Feder!)

a) SBHS, LSZ

Bild 5-15: M(1) am SBHS

b) ESZ

Bild 5-16: ESZ

∆s = 1 cm

∆T = -20 K

cF = 50000 kN/ m

q = 10 kN/m

F = 1 kN


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 92

c) Delta-Zahlen

d)

e) Superposition: M = M0 + X1⋅ M1

Bild 5-17: Endgültige Momentenlinie M(1)

3) Arbeitssatz

dxEI

xMxMl

⋅⋅= ∫)(

1111

)()(δ

dxEI

FMxMl

⋅⋅= ∫)(

0110

)()(δ

sCcBBdxxxMdx

EIxMxMf

fl

T

lm ∆⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅ ∫∫ ∆

=)()(

0 )()()()(1 κ

=−=11

101 δ

δX


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 93

5.5.10 Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen

Bild 5-18: Beispiel 6 - System und Belastung

10 kN

4 m

3 m

3 m

10 kN


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 94

A

X1=B

E

X2=C X3=D

A2 E2

X2=1

C A B D E

A1 E1

X1=1

A3 E3

X3=1

5.6 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme 5.6.1 Einführendes Beispiel Durchlaufträger

Bild 5-19: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger

q

1 2 3

δ32 δ22

δ12

δ31 δ21 δ11

δ33 δ23 δ13

δ30 δ20

δ10

q

A0 E0


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 95

5.6.2 Gleichungssystem und -lösung


X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 Matrizenschreibweise

nnnknn

iiik

n

nki

δδδδδδ

δδδδδδδ

21

22221

11211

n

i

XXXX

2

1

= -

0

0

20

10

n

i

δδδδ

δ ⋅ X = - δ0 Delta-Matrix * Unbekanntenvektor = - Lastverschiebungsvektor (rechte Seite)

Lösung: X = [ δ-1] ⋅ [- δ0] δ muss invertierbar sein. Für mehr als 3 Unbekannte wird der Gauss-Algorithmus angewandt (Dreieckzerlegung der Matrix δ).

Ansonsten: Kramersche Regel

Definition der Determinanten: D = det δ, D1 = det δ1 , D2 = det δ2, ... , Di = det δi

Man erhält δi, indem man die i-te Spalte der Matrix δ durch den Vektor der rechten Seite ersetzt.

Bei 2 Unbekannten:

X1 = DD1

X2 = DD2

Die Hauptdiagonalelemente der Systemmatrix δ sind positiv

δii > 0 (quadratisch)

Die Matrix δ ist symmetrisch δik = δki (Satz von Maxwell)

D = det

2221

1211

δδδδ

= δ11 ⋅ δ22 - δ12 ⋅ δ21

D1 = det

−−

2220

1210

δδδδ

= - δ10 ⋅ δ22 + δ12 ⋅ δ20

D2 = det

−−

2021

1011

δδδδ

= - δ11 ⋅ δ20 + δ10 ⋅ δ21


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 96

Bei 3 Unbekannten:

X1 = DD1 ; X2 =

DD2 ; X3 =

DD3

D = det

333231

232221

131211

δδδδδδδδδ

= δ11 ⋅ δ22 ⋅ δ33 + δ12 ⋅ δ23 ⋅ δ31 + δ13 ⋅ δ21 ⋅ δ32

D1 = det

−−−

333230

232220

131210

δδδδδδδδδ

= - δ10 ⋅ δ22 ⋅ δ33 - δ12 ⋅ δ23 ⋅ δ30 - δ13 ⋅ δ20 ⋅ δ32

D2 = det

−−−

333031

232021

131011

δδδδδδδδδ

= - δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ33 - δ10 ⋅ δ23 ⋅ δ31 - δ13 ⋅ δ21 ⋅

δ30

D3 = det

−−−

303231

202221

101211

δδδδδδδδδ

= - δ11 ⋅ δ22 ⋅ δ30 - δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ31 - δ10 ⋅ δ21 ⋅ δ32

Weitere Vereinfachungen wegen δik = δki

- δ13 ⋅ δ22 ⋅ δ31 - δ12 ⋅ δ21 ⋅ δ33 - δ11 ⋅ δ23 ⋅ δ32

+ δ13 ⋅ δ22 ⋅ δ30 + δ12 ⋅ δ20 ⋅ δ33 + δ10 ⋅ δ23 ⋅ δ32

+ δ13 ⋅ δ20 ⋅ δ31 + δ10 ⋅ δ21 ⋅ δ33 + δ11 ⋅ δ23 ⋅ δ30

+ δ10 ⋅ δ22 ⋅ δ31 + δ12 ⋅ δ21 ⋅ δ30 + δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ32


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 97

Allgemein: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

2222121

1212111

rXaXarXaXa

=⋅+⋅=⋅+⋅

In Matrizenschreibweise:

=

⋅

2

1

2

1

2221

1211

rr

XX

aaaa

X1 = DD1

X2 = DD2

Bei 3 Unbekannten:

3333232131

2323222121

1313212111

rXaXaXarXaXaXarXaXaXa

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

;

=

⋅

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

rrr

XXX

aaaaaaaaa

X1 = DD1 ; X2 =

DD2 ; X3 =

DD3

D = det

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

= a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32

D1 = det

33323

23222

13121

aaraaraar

= r1 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ r3 + a13 ⋅ r2 ⋅ a32

D2 = det

33331

23221

13111

araaraara

= a11 ⋅ r2 ⋅ a33 + r1 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ r3

D3 = det

33231

22221

11211

raaraaraa

= a11 ⋅ a22 ⋅ r3 + a11 ⋅ r2 ⋅ a31 + r1 ⋅ a21 ⋅ a32

D = det

2221

1211

aaaa

= a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21

D1 = det

222

121

arar

= r1 ⋅ a22 - a12 ⋅ r2

D2 = det

221

111

rara

= a11 ⋅ r2 – r1 ⋅ a21

- a13 ⋅ a22 ⋅ a31 - a12 ⋅ a21 ⋅ a33 - a11 ⋅ a23 ⋅ a32

- a13 ⋅ a22 ⋅ r3 - δ12 ⋅ r2 ⋅ a33 - r1 ⋅ a23 ⋅ a32

- a13 ⋅ r2 ⋅ a31 - r1 ⋅ a21 ⋅ a33 - a11 ⋅ a23 ⋅ r3

- r1 ⋅ a22 ⋅ a31 - a12 ⋅ a21 ⋅ r3 - a11 ⋅ r2 ⋅ a32


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 98

5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems

Bei der Wahl des SBHS sind folgende Punkte zu beachten:

1. Formänderungsbenachbartes SBHS wählen ! 2. Xi so wählen, dass sich die ESZ möglichst wenig beeinflussen. 3. Keine verschieblichen Systeme verwenden !

Hierdurch werden numerische Schwierigkeiten bei der Lösung des Gleichungssystems


X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 vermieden.

Bsp.: Durchlaufträger

Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems

qualitative Biegelinie X1 = 1 X2 = 1

X1 = 1 X2 = 1

nicht formänderungsbenachbart,

δ-Zahlen aufwändig

unbrauchbar, da verschieblich

gut geeignet, da formänderungsbenachbart,


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 99

Verschiebliche Systeme sind unbrauchbar Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n=0.

Jedoch sind alle Systeme verschieblich; es lässt sich widerspruchsfrei ein Polplan erstellen.

Bild 5-21: Verschiebliche Systeme

Pol

Pol Im Unendlichen

Polstrahlen

Pol

Pol Pol


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 100

5.6.4 Beispiel 7 - Dreifeldträger

Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen

Gesucht: Auflagerkräfte, Biegemomentenlinie und Querkraftlinie

LSZ

ESZ

Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe

q = 20 kN/m q = 20 kN/m

F = 100 kN

F = 100 kN

F = 100 kN

2

8 m 10 m 6 m

3

X1 = 1

X2 = 1

EI = const.


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 101

5.6.5 Beispiel 8 (mit Federungen)

Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung

Gesucht: Auflagerkräfte und Biegemomentenlinie SBHS und LSZ

Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – SBHS und LSZ

10 m 15 m

cm = EΙ/15 kNm cFh = EΙ / 50 kN/m

q = 8 kN/m

5 m

cFv = EΙ / 100 kN/m

EΙ = konst.

EA = ∞

q = 8 kN/m

5 m

cFv = EΙ / 100 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 102

ESZe

Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – ESZe

X1 = 1

X2 = 1

X3 = 1


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 103

Superposition

Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – Superposition


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 104

Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z = Z0 + Σ Xi Zi

Z Z0 X1 Z1 X2 Z2 X3 Z3 Z

A -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

B -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

BH -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

C -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

Meck,li -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

Meck,u -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅

Maximale Momente


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 105

5.6.6 Beispiel 9

Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung

ESZ 1

ESZ 2

Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder – ESZe

3 m 3 m

4 m

∆sv = 1 cm

TAuf = 10° C

EA = ∞

d/b = 0,4m / 2m

C 35/ 45

cm = 40.000 kNm TA = 20° C

2 m

Ti = -15° C

w=4 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 106

5.7 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 5.7.1 Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und

antimetrischer Belastung Symmetrische Belastung Antimetrische Belastung symmetrisch antimetrisch antimetrisch symmetrisch symmetrisch antimetrisch antimetrisch symmetrisch symmetrisch antimetrisch

Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie

Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab

Zustandsgrößen

in der Symmetrieachse

Äquivalentes Ersatzsystem

Gegebenes System mit Belastung

0 0 u 0 V

===

ϕ 0 0 N 0 M

===

w

Symmetrie Antimetrie

F

F

FF HH HH

FFHH

V

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

q

M

β

w -

-

-

- -

-


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 107

Stab in der Symmetrieachse

Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab

5.7.2 Belastungsumordnung

= +

Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen

w/2

Äquivalentes Ersatzsystem

Gegebenes System mit Belastung

0 V0 M

== 0 N =

2F

F FF

A F

F

I

F

2A

F

2I

Symmetrie Antimetrie

Schnittgrößen im mittleren Stiel

symmetrisch antimetrisch

w w/2 w/2 3-fach unbestimmt

2-fach unbestimmt 1-fach unbestimmt

w/2 w/2

w/2


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 108

5.7.3 Beispiel 10 - Klausuraufgabe Für die nachfolgend dargestellte Rahmenbrücke sind die Biegemomentenlinie und die Auflagerkräfte infolge der gegebenen Belastung mithilfe des Kraftgrößenverfahrens zu berechnen und zeichnerisch darzustellen.

Die Belastungen F = 100 kN und p= 5 kN/m wirken gleichzeitig. Für sämtliche Stäbe ist EI = konst. und EA = ∞ anzunehmen.

Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung

2 m

cF = 0,001 EI

2 m

2

p = 5 kN/m F = 100 kN

5 m

20 m 6 m

F = 100 kN

F = 100 kN

6 m

10 m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 109

Berechnung unter Ausnutzung von Symmetriebedingungen

Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung

SBHS und LSZ

Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ

2 m 6 m 10 m

5 m

2 m

q = 5 kN/m V2 = 50 kN

V1 = 100 kN

cF = 0,001 EΙ


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 110

LSZ und ESZ

Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 111

5.7.4 Beispiel 11 - Klausuraufgabe 2 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Auflagerkräfte sowie die Zustandslinien für Biegemoment, Querkraft und Normalkraft unter Verwendung des Kraftgrößenverfahrens zu ermitteln und mit Angabe der Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Für sämtliche Stäbe ist EI = const. und EA =const. anzunehmen.

Für sämtliche Stäbe:

b/d = 100 cm / 40 cm

E = 33300 MN/m2

Für die 3 unteren Stäbe:

Aufstelltemperatur: T0 = 10 K

Ti = 0 K, Ta = 50 K

αT = 1,0 ⋅ 10-5 1/K

Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung

Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien

In welchen Fällen müssen N-Linien gezeichnet werden

Fall Aufgabe LSZ ESZ wofür

1 EA = const. ja Ja ∫ ⋅⋅= dx

EANNii

00δ ; ∫ ⋅⋅= dx

EAN

N kiikδ

2 εt = αT ⋅ Ts;

εs = - …….

nein ja ∫ ⋅⋅= dxNii εδ 0

3 Nend ja ja ....22110 +⋅+⋅+= NXNXNN

oder über Auflagerkräfte und Gleichgewicht

qE = 30 kN/m

q = 30 kN/m

cm = 0,4 EI

3 m

Ta = 50 K

3 m

Ta = 50 K

Ta = 50 K

Ti = 0 K

2m 2m 2m 2m 2m 2m

qE = 30 kN/m


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 112

Zusammenfassung der δ-Zahlen und Lösung des Gleichungssystems

δ11 = 2,0844 ⋅ 10-5 ; δ12 = 0,3386 ⋅ 10-5; δ22 = 2,929 ⋅ 10-5

δ1,0 = - 296 ⋅ 10-5 ; δ2,0 = - 1012,3 ⋅ 10-5

X1 X2 Rechte Seite

2,0844 ⋅ 10-5 0,3386 ⋅ 10-5 296 ⋅ 10-5

0,3386 ⋅ 10-5 2,929 ⋅ 10-5 1012,3 ⋅ 10-5

Lösung: X1 = MA = 87,5 ; X2 = MB = 335,5

Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen

Z = Z0 + Σ Xi Zi

Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2 Z

A= 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

AH= 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

B = -NRiegel 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

NStiel 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

MEckoben 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

MEckunten 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

MEckrechts 87,5 ⋅ 335,5 ⋅

Bild 5-39: Beispiel 11 mit Drehfedern – EDV-Plot der M-Linie


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 113

δ-Zahlen, Lösung des Gleichungssystem und Ergebnisse ohne Feder

X1 X2 Rechte Seite

0,6810 ⋅ 10-5 0,3386 ⋅ 10-5 296 ⋅ 10-5

0,3386 ⋅ 10-5 2,929 ⋅ 10-5 1012,3 ⋅ 10-5

Lösung: X1 = MA = 280 ; X2 = MB = 313,4


Z = Z0 + Σ Xi Zi


A= 280 ⋅ 313,4 ⋅

AH= 280 ⋅ 313,4 ⋅

B = -NRiegel 280 ⋅ 313,4 ⋅

NStiel 280 ⋅ 313,4 ⋅

MEckoben 280 ⋅ 313,4 ⋅

MEckunten 280 ⋅ 313,4 ⋅

MEckrechts 280 ⋅ 313,4 ⋅

Bild 5-40: Beispiel 11 - EDV-Plot der M-Linie


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5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 5.8.1 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)

Stab2D

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern im FB 3 installiert)

Demoversion zum download unter

http://www.isd.uni-hannover.de/62.html

RuckZuck

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke)

Demoversion zum download unter

http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx

PCAE

4H-NISI von PCAE

Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)

Weiter Infos unter

http://www.pcae.de

Friedrich & Lochner

Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton

Weitere Infos unter

http://www.frilo.de

RSTAB

RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken.

(Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)

http://www.dlubal.de

http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx

http://www.pcae.de/

http://www.frilo.de/

http://www.dlubal.de/


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 115

5.8.2 Kurzer Vergleich Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme

Stab2d 4H-NISI (PCAE) RSTAB

Bemessung nein ja ja

Federn nein ja ja

Th. 2. Ordnung Ja (1 LF) ja ja

Lastfallüberlagerung nein ja ja

Einheitsverdrehungen

(für Einflusslinien)

ja nein nein

5.8.3 Eingabe von Temperaturlastfällen Eine Eingabemöglichkeit für den Wert der Aufstelltemperatur existiert in Programmen nicht.

Geg. : TAuf = 10° C ; Tu = 0° C ; To = 50° C

Bild 5-41: Skizze zu Temperatureinwirkungen

Möglichkeit A : Eingabe von 2 Lastfällen :

LF 1: Ts = 15 K To = Tu = 15 K

LF 2: ∆T = -50 K To = 25 K ; Tu = -25 K

Möglichkeit B : Eingabe von einem Lastfall (zwei in einem):

Tu = -10° K ; To = 40° K ;

Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2

Tu TAuf ∆T= Tunt– Toben TS=

TS

= + d

0°

d/2

d/2

∆T= Tunt– Toben

TS


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5.9 Rahmentragwerke 5.9.1 Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit

Abzählkriterium

Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit


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5.9.2 Beispiel 12

Bild 5-44: Beispiel 12 - System, Belastung

Gesucht: Biegemomentenverlauf und Normalkraftverlauf für die Temperaturlastfälle

unter Berücksichtigung der Normalkraftverformung

Temperaturlastfälle: ESZ e

Bild 5-45: Beispiel 12 - ESZ und LSZ

HEB 200 (S 235)

EΙ = const.; EA = const.

E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2

αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K

Ι = cm4 , A = cm2

EΙ = EA =

5

T0 = 15° C

4

Ti = 25° C

TA = 45° C


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δ11 = 6,412 ⋅ 10-4; δ12 = 0,556 ⋅ 10-4; δ22 = 2,578 ⋅ 10-4

δ1,∆T+T = - 105 ⋅ 10-4 δ2,∆T+T = - 25,5 ⋅ 10-4

X1 X2 Rechte Seite

6,412 ⋅ 10-4 0,556 ⋅ 10-4

0,556 ⋅ 10-4 2,578 ⋅ 10-4

Lösung: X1 = ; X2 =


Z = Z0 + Σ Xi Zi ; hier Zwängungslastfälle: Z0 = 0


A= Nlinks 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 1,3

AH 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ -3,14

B = Nrechts 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ -1,3

BH 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 3,14

NRiegel 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 3,14

Munten 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 6,48

MEcklinks 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 19,05

MEckrechts 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 12,57

Bild 5-46: Beispiel 12 – Ergebnisse der EDV-Berechnung


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 119

5.9.3 Beispiel 13 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten


Bild 5-48: Beispiel 13 – LSZ und ESZe

Beton C 25/30 Ecm = 30.500 MN/m2

EA = ∞

b/d = 40 / 60 cm

b/d = 40 / 40 cm

εs = -40 ⋅ 10-5

F= 10 kN

w = 4 kN/m

8

5 3

F= 10 kN

2 4


02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 120


δ11 = ; δ12 = ; δ22 =

δ10 = δ20 =

X1 X2 Rechte Seite

Lösung: X1 = ; X2 =

Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z = Z0 + Σ Xi Zi

Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2

A= Nlinks 4,607 ⋅ 11,285 ⋅

AH 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0

B = Nrechts 4,607 ⋅ 11,285 ⋅

BH = NRiegel 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0

MEcklinks 0 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0

M1 4,607 ⋅ 11,285 ⋅

M2 4,607 ⋅ 11,285 ⋅

MEckrechts 4,607 ⋅ 11,285 ⋅



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5.9.4 Beispiel 14 mit Rahmenformel und Reduktionssatz Gesucht: a) Schnittgrößen und Auflagerkräfte mit Rahmenformel

b) Horizontale Verformung mithilfe des Reduktionssatzes


1⋅ fm = dxEI

xMxMl∫

)(

)()(

1⋅ fm = dxEI

xMxMl∫

)(0

)()(

… Auflagerkräfte und Eckmomente mit H 2.22 / S. 4.24, Z. 3

Bild 5-51: Beispiel 14 mit Reduktionssatz

w=8 kN/m

ΙS

fEck = ? HEB 500 (S 235)

ΙR = ΙS = Ι = cm4

EΙ = const.; EA = ∞

E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2

EΙ =

10

6

ΙR

Ιs


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Verformungsberechnung durch Überlagerung Ergebnisse


Documents

Baustatik 2 (Modul 3121) Veranstaltungen Sommersemester 2018 · [1] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke