BAYES KURAMI

Dr. Cahit Karakuş

Deney, Olay, Sonuç

Küme

Klasik olasılık

Bayes teoremi

Permütasyon, Kombinasyon

Rasgele – Değişken; Sürekli olasılık dağılımı

Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı

Stokastik

KOLMOGOROV

MARKOV

Örnek : Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım.

a) Örneklem uzayını belirleyiniz.

b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız.

Cevap:

a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnekleme uzayını oluşturur.

S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}

Örnekleme uzayındaki bu 8 örnekleme sonucundan başka bir sonuç yoktur.

b) Örnekleme uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örnekleme sonuçlarının sayısı 4’tür. Buna göre A olayı,

A = YYY, YYT, YTY, TYY olur.

Örnek: İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım.

a) Örnekleme uzayını belirleyiniz.

b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.

Cevap:

a) İki zarın atılması durumunda örnekleme uzayı 6 x 6’lık bir matris olarak gösterilebilir.

S = {x, y = 1,2,3,4,5,6}.

Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

Bir olayın gerçekleşme ihtimali veya şansının ölçülmesine olasılık denir. Herhangi bir E olayı için bu olayın olması olasılığı (elverişli hal) P(E) ile, gerçekleşmeme olasılığı (elverişsiz hal) ise P(~E)=1‐P(E) ile gösterilir.

Olasılık daima 0 ile 1 arasında olmalıdır. Yani; 0≤P(a)≤1 herzaman sağlanır.

Olasılık, sonucu bilinemeyen deneyler hakkında orantısal öngörüde bulunmaktır.

Çoğu tekrar edilebilir ve rasgele deneyler(random experiment)

Her deneyin sonucu gözlenebilir ve ölçülen değerler kayıt edilebilir.

Olasılık kavramına P. Fermat ile B. Pascal’ın büyük katkıları olmuştur. Pascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Rus matematikçi Kolmogorov olasılık aksiyomlarını ile sürmüştür.

Bir zarın bir kere atılışı deneyinde her olayın olasılığı 1 / 6 dır. Örnek uzay ise; S = {1, 2,3,4,5,6 }

2 veya 5’in üste gelmesi olayını A ile gösterirsek;

A = { 2,5 } P(A) = 1/6 + 1/6 =2/6 = 1/3

A’nın ortaya çıkmama olasılığını(1,3,4 veya 6’nın üste gelmesi) A' ile gösterirsek;

P(A' ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4 / 6 = 2/ 3 veya

P(A' ) = 1- P(A) = 1 – 1/ 3 = 2 / 3

Örnekten anlaşılacağı gibi bir olayın olasılığı 0 ve 1 arasında değişmektedir. Olayın ortaya çıkması mümkün değilse olasılığı 0, ortaya çıkması muhakkak ise olasılığı 1 dir.

Örnek: İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım.

a) Örnekleme uzayını belirleyiniz.

b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.

Cevap:

a) İki zarın atılması durumunda örnekleme uzayı 6 x 6’lık bir matris olarak gösterilebilir.

S = {x, y = 1,2,3,4,5,6}.

Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.

Bir gazete bayii toplam 200 kişinin A,B,C dergilerine abone olma sayılarını aşağıdaki gibi saptamıştır.

Bir kişinin bu dergilerden en az birine abone olma olasılığı : P( hiç abone olmama) = 1- (37/200) = 0.815

Bir kişinin A veya C dergisine abone olma olasılığı: P(A + C) =P(A) + P(C) – P(AC) = (50 / 200) + ( 80 / 200) – (12/ 200) = 0.59

Dergi Kişi sayısı

A dergisi 50

B dergisi 70

C dergisi 80

A ve B dergisi 15

A ve C dergisi 12

B ve C dergisi 20

A, B ve C dergisi 10

Hiç biri 37

Eğer olaylar birbirini engellemiyorsa A olayının veya B olayının ortaya çıkması, ya A olayının ya B

olayının ya da A ve B olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamındadır. A ve B birbirlerini

engellemiyorsa;

P(A+B)=P(A) + P(B) – P(AB)

veya P(A veya B)=P(A) + P(B) – P(A ve B)

örnek: bir deste iskambil kağıdından bir vale çekme olayı A ile,bir maça çekme olayı da B ile

gösterilsin. Bu iki olay birbirini engellemediğinden A ve B (AB) nin olma olasılığı yani maça valesi

çekme olasılığı vardır. Bu durumda A’nın veya B’nin olma olasılığı;

P(A+B)=(4/52) + (13/52)-(1/52)=4/13

Bağımlı olaylardan birinin(A) gerçekleştiği bilindiğinde diğerinin (B) ona bağlı olarak meydana gelme olasılığı;

P(B\ A) =P(A ve B) / P(A)

P ( B \ A ): A olayının ortaya çıkması durumunda B’nin olma olasılığı gösterilmektedir.

Koşullu olasılık: Yüzde hesabıdır.

A’ya göre kümede Sadece A ve Sadece B kümlerinin kesişimi C ise

Koşulu olasılık= C/(Sadece A + C)

Örnek: bilgisayar müh.bölümü 1.sınıf öğrencilerinin %25’i matematik dersinde, %15’i de hem matematik hem fizik dersinde üstün başarı göstermiştir. Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, seçilen öğrenci matematik dersinden üstün başarılı ise, fizik dersinden de üstün başarılı olma olasılığı nedir ?

P(mat) = 0.25 (0.10 + 0.15)

P(mat ve fizik) = 0.15

P(fizik \ mat)=P(mat ve fizik) / P(mat) =0.15 / 0.25=0.60

Eğer bir «A» olayının ortaya çıkması «B» olayının ortaya çıkmasına bağlı değilse A ve B

olayları bağımsız olaylardır

Bağımlı iki olaydan B olayı A olayından sonra ortaya çıkıyorsa,olayların birlikte gerçekleşme olasılığı;

P(A ve B) =P(A) * (B \ A)

Örnek: bir piyangoda 8 boş, 2 ikramiyeli bilet vardır. Bu piyangodan 2 bilet alan bir kişinin ikramiye

kazanma olasılığı nedir ?

Birinci biletin kazanma olasılığı 2/10’dur.birinci bilet ikramiye kazanırsa geriye 8 boş 1 ikramiyeli 9

bilet kalır. Ikinci biletin kazanma olasılığı 1/9’dur. Her iki biletin de ikramiye kazanma olasılığı;

P(B1ve B2)= (2/10)*(1/9) = 1/45

Bağımlı iki olaydan B olayı A olayından sonra ortaya çıkıyorsa,olayların birlikte gerçekleşme olasılığı;

P(A ve B) =P(A) * (B \ A)

Örnek: Bir kutuda 5 adet yeşil renkte, 3 adet de beyaz renkte top bulunmaktadır. Kutudan 2 top

çekildiğinde her ikisinin yeşil olma olasılığı nedir ? (toplar kutuya iade edilmiyor)

A ile ilk çekilen topun yeşil olması olayı,

B ile ikinci çekilen topun yeşil olması olayı gösterilsin.

A ve B bağlı olaylar olduğu için P(A ve B) yani P(AB) hesaplanacaktır. 1. topun yeşil olma olasılığı :

P(A) = (5 / 8 )

1. topun yeşil olması durumunda 2. topun yeşil olma olasılığı:

P(B \ A) = (4 / 7)

P( A ve B ) = P(A) * P(B \ A) = (5/8)*(4/7) = 0.357

Bağımsız olaylarda çarpma kuralı;

P(A ve B)= P(A) * P(B) şeklindedir.

Aynı anda atılan iki zarın üzerinde 2 olması olasılığı;

P( 2 ve 2)= P(1/6) * P(1/6) = 1/36

Örnek: A’nın 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı %80, B’nin 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı %60

ise, her ikisinin 15 yıl sonra hayatta kalma olasılığı nedir?

P(A ve B)=0.80 * 0.60 = 0.48

BAYES TEOREMİ

Bir olayın ortaya çıkmasında birden fazla bağımsız nedenin etkili olması durumunda, bu

nedenlerden herhangi birinin o olayı meydana getirme olasılığını hesaplamada kolaylık sağlar.

P( A ) ile bir olayı etkileyen olayın olasılığını,

P ( B ) ile sonuç olarak ortaya çıkan olayın olasılığını gösterelim.

P( A ) * P ( B \ A

) = P ( B ) * P( A

\ B) eşitliğini yazabiliriz. Aynı denklem;

P ( B \ A ), A

olayının ortaya çıkması durumunda B’nin olma olasılığı gösterilmektedir.

P ( A \ B), B

olayının ortaya çıkması durumunda A

1’in olma olasılığı gösterilmektedir.

True Bayesians actually consider conditional probabilities as more basic than joint

probabilities . It is easy to define P(A|B) without reference to the joint probability P(A,B).

To see this note that we can rearrange the conditional probability formula to get:

P(A|B) P(B) = P(A VE B)

by symmetry:

P(B|A) P(A) = P(A VE B)

It follows that:

which is the so-called Bayes Rule.

İstatistik ve Olasılık, Prof. Dr. İrfan Kaymaz, Erzurum Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü.

Olasılık ve İstatistik, Aydın Üstün, 2014

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları, http://web.beun.edu.tr/depo/maden/hocalar/hamitaydin/Sunu_2ci_hafta.pdf

PROBABILITY, RANDOM VARIABLES, AND STOCHASTIC PROCESSES , Athanasios Papoulis, Professor of Electrical and Computer Engineering Polytechnic University, Boston.

http://www.baskent.edu.tr/~iserdem/dersler/258/Bolum2.pdf

http://www.baskent.edu.tr/~iserdem/dersler/258/Bolum2.pdf

http://www.erzurum.edu.tr/Content/Yuklemeler/Personel/Irfan_KAYMAZ/DERS_NOTU_4-_OLASILIK_40.pdf

http://insaat.balikesir.edu.tr/dokumanlar/istatistik/ist2.pdf

http://kisi.deu.edu.tr//hanifi.van/Olasilik_ornekler.pdf

http://www.stat.hacettepe.edu.tr/turkce_yeni/indir.php?dosya=238324Olasilik_Problemleri_II.pdf