Quando i numeri ingannano

Imparare a vivere con l’incertezza

Calculated RisksGerd Gigerenzer

(Istituto Max Plank di Berlino)(Istituto Max Plank di Berlino)

a questo mondo non c’è niente di certo,a parte la morte e le tasse.

BENJAMIN FRANKLIN

A tutti capita di esseri convinti di sapere,e invece di sbagliare,

perché il nostro pensiero è inconsciamenteincanalato verso l’errore da “tunnel mentali ”.

In analogia con le “illusioni ottiche”,In analogia con le “illusioni ottiche”,sono state chiamate “illusioni cognitive ”.

Dove si colloca Trieste rispetto a Napoli?

Quante volte:nel decidere un investimento economico

nel decidere il luogo dove trascorrere le vacanze,nello stipulare una assicurazione

nel fornire un parere professionalenella scelta di un lavoro o della scuola

ci siamo affidati all’intuizione o,ci siamo affidati all’intuizione o,più semplicemente, al buon senso?

Ogni giorno dobbiamo risolvere problemi piccoli e grandi, nei campi più disparati,

con informazioni spesso insufficienti econ poco tempo a disposizione.

Il caso del reparto maternitàIn una città ci sono due cliniche con reparto maternità. Una è nettamente più grande dell'altra. Nella prima si registrano in media 45 nascite al giorno, nella seconda 15. Si decide di annotare, in ciascuna clinica, i giorni in cui i nati sono per oltre il 60% dello stesso genere. Quale delle due cliniche avrà un maggior numero di tali Quale delle due cliniche avrà un maggior numero di tali giorni? Sono eguali?

Precisazione: la percentuale di maschi e di femmine sul totale delle nascite è circa del cinquanta per cento, ma, la percentuale non sarà esattamente del 50% ogni giorno. Ci saranno giorni nei quali nasceranno per caso più maschi o più femmine. I giorni che vengono registrati sono quelli nei quali uno dei due generi ha una percentuale superiore al 60%.

• Ecco le risposte ottenute in media su un gran numero di soggetti:

Non c’è differenza 56% Non c’è differenza 56%

Nella clinica più grande 24%Nella clinica più piccola 20%

Qualunque sia stata la vostra risposta, proviamo ora a cambiare leggermente i dati di questo problema.Supponiamo, adesso, che in queste due cliniche si annotino sul registro speciale i giorni cliniche si annotino sul registro speciale i giorni nei quali i nati sono tutti dello stesso genere.Quale delle due cliniche registrerà un maggior numero di tali giorni?

Pensateci un momento.

Stando alle risposte ottenute nel passato inquesto tipo di test, a questo preciso punto,

dovremmo cominciare ad avvertire una qualche seria perplessità.

Qualcosa è andato storto nel nostro ragionamento.Può essere che quello che vale per il caso del

“60%” sia radicalmente diverso “60%” sia radicalmente diverso quando si arriva al 100% ?

Nella nostra testa le cose cominciano ariassestarsi, riconsideriamo il nostro giudizio iniziale e forse cominciamo

a intravvedere la risposta giusta.

È vero che si parte da un meccanismobiologico che genera una media del 50%,

ma il problema tratta di una fluttuazione statistica.

Una fluttuazione di ampiezza prefissata (nel nostro caso un 10% o più di scarto rispetto alla media) è tanto più probabile

quanto più piccolo è il campione. Non bisogna confondere le cause

(in questo caso biologiche) di un fenomeno con la probabilità di una fluttuazione casuale

nelle loro conseguenze.

La risposta giusta è

“nella clinica più piccola”, in quanto una fluttuazione è tanto più

probabile quanto più piccolo è il campione.Lo si vede bene nel caso in cui

tutti i nati sono dello stesso genere. tutti i nati sono dello stesso genere. Ci rendiamo conto che è più probabile avere

15 nati dello stesso genere nello stesso giorno

di quanto non sia probabile averne 45.

Paradosso di Monthy HallNota storica

Questo quesito è noto come il dilemma di “Monty Hall” perché fu proposto agli ospiti di un celebre gioco a premi televisivo americano “Let's make a deal”, il cui conduttore era appunto Monty Hall, e suscitò una conduttore era appunto Monty Hall, e suscitò una accesa controversia sulla rivista “Parade” nel 1990.Si tratta di una variante del Paradosso delle tre carte di Warren Weaver (1950) il quale, a sua volta, deriva dal Paradosso delle tre scatole proposto per la prima volta dal matematico francese Joseph Bertrand nel 1889.

Paradosso di Monthy Hall

3 scatole identiche

1 2 3

1) 1000 € in una scatola, le altre due sono vuote;2) scegliete una scatola;3) mostro il contenuto vuoto di una delle due non scelte;4) offro di cambiare la vostra con la rimanente chiusa.

Ed ecco il problema

Come regola generale, vi converrà mantenere la prima scelta, oppure mantenere la prima scelta, oppure cambiare?Quale sarà la strategia migliore?

L'intuizione, in questo caso, è schiacciante: sono rimaste due scatole, sono rimaste due scatole,

la probabilità deve essere del 50%.

È stata proposta anche la versione con un’automobile e due capreCi sono tre porte …

In questa versione il paradosso di Monty Hall è stato presentato in un episodio della serie televisiva Numb3rs

https://www.youtube.com/watch?v=PJWmi7Ovaag

Se si cambia, 2 volte su 3 si vince. Se non si cambia si vince 1 volta su 3.

⇓

⇓

⇓

la strategia vincente è quella dicambiare (sempre)!!!

VforVendettaWLa stupidità della probabilità : poteva benissimo aver trovato la carta giusta al primo colpo!

Le probabilità condizionateLe probabilità condizionate

• Nella popolazione generale la probabilità che una donna abbia un tumore al seno è dello 0.8 % (8/1000).

• Se una donna ha un tumore al seno, la probabilità che la mammografia risulti positiva è del 90%.

• Se una donna non ha un tumore al seno vi è comunque la

Le probabilità condizionate

• Se una donna non ha un tumore al seno vi è comunque la probabilità che la mammografia sia positiva per tumore nel 7 % dei casi.

Se una donna ha una mammografia positiva, quale è la probabilità che abbia effettivamente un tumore?

Metodo delle frequenze naturali

• p (malattia) : 0.008 (8 per mille)

• p (non malattia): 0.992 (992 per mille)

• p (test positivo|malattia): 0.90 (90%)

• p (test positivo|non malattia): 0.07 (7%)

1000 donne

8 malate 992 sane

7 positive 1 negativa 70 positive 922 negative

mammografia

“Un risultato positivo significa che nel suo sangue sono statitrovati gli anticorpi dell’HIV, e questo vuol dire che Lei haun’infezione da HIV. É infetto per il resto della vita, e puòtrasmettereHIV adaltrepersone.”

Le probabilità condizionate

trasmettereHIV adaltrepersone.”(ILLINOIS DPT OF PUBLIC HEALTH)

Nel decennio 1980-1990 in Florida, su 22 donatori di sangue a cui era stato comunicato che il test ELISA (il piú semplice per l’HIV) era risultato positivo 7 si sono suicidati.

Se uno di noi si sottopone a test per HIV e risulta positivo, che

probabilità ha di essere malato?

• p (malattia) : 0.01 % (in maschi “senza rischi”)

• p (non malattia): 0.9999

• p (test positivo|malattia): 0.999 (99.9%)

• p (test positivo|non malattia): 0.0001 (0.01%)• p (malattia) : 1.5 % (in maschi “a rischio”)

• p (non malattia): 0.985

• p (test positivo/malattia): 0.999 (99,9%)

• p (test positivo/non malattia): 0.0001 (0.01%)

Se un maschio omosessuale si sottopone a test per HIV e risulta positivo, che probabilità

ha di essere malato?

10000 persone

1 malata 9999 sane

1 positiva

0 negativa

1 positiva

9998 negative

Test HIV

10000 maschi

150 malati 9850 sani

0 negativi

1 positivo

Test HIV

150 positivi

9849 negativi

P = 50 % (2 positivi: 1 con patologia e 1 senza) P = 99.3 %

ATTENZIONE2

IL TEOREMA DI BAYESovveroovvero

la “probabilità delle cause”ovvero

come apprendere dall’esperienza

Reverendo Thomas Bayes

Londra, 1702Tunbridge Wells, Kent (Inghilterra) 1761

La scatola A contiene nove carte numerate da 1 a 9, la scatola Bcontiene cinque carte numerate da 1 a 5. Viene scelta unascatolaa caso e da questa si estrae una carta. Si determinilaprobabilità che venga scelto un numero pari.

A

D

P1/2

5/9

4/9441 =×

18

5

9

5

2

1 =×

B

P

D

P1/2

4/9

3/5

2/5

1892=×

10

2

5

2

2

1 =×

10

3

5

3

2

1 =×

190

18

90

27

90

20

90

25 =+++

422.090

38

90

18

90

20

5

2

2

1

9

4

2

1 )Pari( ≈=+=×+×=P

La scatola A contiene nove carte numerate da 1 a 9, la scatola Bcontiene cinque carte numerate da 1 a 5. Viene scelta unascatolaa caso e da questa si estrae una carta.Il numero è pari .Calcolare la probabilità che la carta venga dallascatola A.

A

D

P1/2

5/9

4/9241 =×

!!! ZERO

B

P

D

P1/2

4/9

3/5

2/5

526.019

10

52

21

94

21

94

21

)( ≈=×+×

×=PAP

992=×

5

1

5

2

2

1 =×

!!! ZERO

1C

A

2C 3C

4C

5C 6C

Un evento A è l’effetto di k possibili cause: gli eventi ki CCC ...,,...,,1 necessari ed incompatibili.

( ) ?=ACP i

Notare la particolarità del problema!

Prima:

le probabilità degli eventi venivano determinate le probabilità degli eventi venivano determinate prima degli esperimenti.

Adesso:

situazione rivoltata: si conosce il risultato dell’esperimento e si vuole calcolare la probabilità che sia dovuto

ad una certa causa.

Soluzione:

kiCi ...,,1, = costituiscono una partizione diS:

kCCCS ∪∪∪= ...21

( )( ) ( )k

k

CACA

CCASAA

∩∪∪∩=∪∪∩=∩=

...

...

1

1

( )iCA ∩ , i = 1, …,k sono disgiunti

( ) ( ) ( )kCAPCAPAP ∩++∩= ...1

oppure

( ) ( ) ( ) ( )( )kk CACPCAPCPAP ++= ...11

Ma per definizione:

( ) ( )( )AP

ACPACP i

i∩= ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑=

=k

jjj

iii

CAPCP

CAPCPACP

1

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )∑

=

== k

jjj

iiiii

CAPCP

CAPCP

AP

CAPCPACP

1

( ) =ACP i probabilità a posteriori

( ) =iCP probabilità a priori i

( ) =iCAP probabilità probative o verosimiglianza

Il verificarsi di A modifica la probabilità di iCfacendola passare da ( )iCP a ( )ACP i ; a determinare tale modifica sono le probabilità probative.

https://jasp-stats.org/https://jasp-stats.org/