bazele electrotehnicii

www.cartiaz.ro – Carti si articole online gratuite de la A la Z

BAZELE ELECTROTEHNICII

INTRODUCERE

•Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in

calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este

format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare,

diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice,

generatoare electrice si altele.

Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor

circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric

alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit

modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si

curentii bornelor. Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t)

intre borne atunci:

- rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv,

• - bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv,

• - condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv,

• unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).

• Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina

realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel

capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma

analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor

facute asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv

electric poate fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile

de lucru (semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama

temperaturilor de functionare etc.). De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru

semnale mari sau semnale mici si pentru frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.

• Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in

vid c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2π f(t-x/c) de frecventa f care se propaga

cu viteza c dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a

circuitului fizic introduce o intarziere ∆ t=dmax/c. Daca ∆ t este neglijabil fata de cea mai mica

1

http://Www.cartiaz.ro/


perioada Tmin=1/fmax (fmax -frecventa maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca

efectul de propagare poate fi neglijat. In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga

instantaneu (cu viteza infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri

concentrati. Conditia ∆ t<<1/fmax este echivalenta cu dmax<<λ min unde λ min=c/fmax este

lungimea de unda corespunzatoare frecventei maxime de interes practic. Daca efectul de

propagare nu se poate neglija (dmax nu se poate neglija fata de λ min) circuitul fizic se modeleaza

cu un circuit electric cu parametri distribuiti. Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii si

tensiunile sunt functii de timp si de variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata

de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand

ca propagarea se face instantaneu, curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de

variabile spatiale; un astfel de model nu tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice.

Fiind mai simplu, modelul de circuit cu parametri concentrati este de preferat atunci cand poate

fi utilizat.

•• Fie, de exemplu, un cablu cu lungimea L=1Km format din doua conductoare. Daca prin

cablu trece un curent i cu f=250KHz rezulta λ =1,2Km≈ L si se adopta un model cu parametri

distribuiti. In acest caz, daca x este distanta masurata de la un capat al cablului,

i(t,x)=Isin2π f(t-x/c)=Isin(2π ft-2π x/λ ) si la acelasi moment t i are valori diferite in functie

de x (de exemplu i(t,0)=Isint2π ft si i(t,λ /2)=Isin(2π ft-π )). Daca prin cablu trece un curent

de frecventa industriala f1=50Hz rezulta λ =6000Km>>L si i(t,x)=Isin2π f1 t nu depinde de x.

Teoria prezentata in continuare se refera numai la circuitele cu parametri concentrati.

Teoria circuitelor include analiza calitativa si cantitativa a comportarii circuitelor. In consecinta,

instrumentele acestei teorii sunt matematice si conceptele si rezultatele utilizate sunt exprimate

prin variabile de circuit si ecuatii de circuit care leaga intre ele aceste variabile. Teoria circuitelor

nu se ocupa de fenomenele fizice care au loc in interiorul unui element de circuit.

Capitolul 1 trateaza axiomele teoriei circuitelor (teoremele lui Kirchhoff si teorema

transferului de putere pe la bornele unui multipol), consecinte ale acestora valabile in orice regim

de functionare si elemente de topologie a circuitelor. Capitolul 2 se ocupa de circuitele rezistive

incluzand elementele de circuit, ecuatiile circuitelor, teoreme si metode de analiza ale circuitelor

rezistive. Capitolul 3 contine o prezentare a elementelor dinamice de circuit, proprietatile acestora,

2



studiul circuitelor de ordinul intai si doi, ecuatiile si metodele de rezolvare a circuitelor dinamice

in domeniul timpului; se definesc regimurile de functionare ale circuitelor. Capitolul 4, dedicat

regimului periodic, se ocupa de regimul sinusoidal al circuitelor liniare (circuitele de curent

alternativ monofazat si trifazat) si de regimul nesinusoidal. Capitolul 5 abordeaza, cu ajutorul

transformatei Laplace, regimul variabil ca timp al circuitelor liniare.

Cursul este conceput avand in vedere specificul facultatii de automatica si calculatoare. Se

utilizeaza concepte din teoria sistemelor (ecuatii de stare, planul fazelor, excitabilitate si

observabilitate a modurilor circuitului, etc.) si se prezinta aplicatii specifice (circuite cu

amplificatoare operationale, oscilatoare, circuite cu comportare haotica, etc.).

CAPITOLUL 1

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

1.1. Elementele de circuit

Comportarea unui element de circuit este descrisa de relatiile intre curentii bornelor

(terminalelor) si tensiunile intre aceste borne. Conditiile in care se pot defini bornele unui

dispozitiv electromagnetic astfel incat comportarea acestuia sa fie descrisa de aceste relatii se

formuleaza in teoria campului electromagnetic. Elementele de circuit se simbolizeaza astfel:

Daca elementul de circuit are n borne (terminale), el se numeste n-pol (cu 2 borne - dipol, cu 3

borne - tripol, cu 4 borne - cuadripol). Un curent al unui terminal are un sens de referinta

simbolizat printr-o sageata; o tensiune intre doua borne are un sens de referinta simbolizat prin

alta sageata. De exemplu la elementul dipolar curentul i intra in borna 1 si iese din borna 2 iar

tensiunea u intre bornele 1 si 2 este u=v1-v2 unde v1 si v2 sunt potentialele bornelor 1 si 2. La n-

poli tensiunile se considera fata de un punct de referinta arbitrar (de regula borna n). Atunci cand

sagetile curentului si tensiunii “ies din aceeasi borna” u si i sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Daca sagetile curentului si tensiunii nu “ies din aceeasi borna”, u si i sunt asociate

dupa regula de la generatoare.

3



Orice element de circuit este caracterizat de ecuatia de functionare Fk(i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . .

,un-1)=0, k=1, . . . ,n-1 care reprezinta dependenta dintre marimile la borne (curenti si tensiuni).

Ecuatiile Fk(•)=0 pot fi algebrice sau diferentiale in functie de fenomenul fizic modelat.

Elementele rezistive de circuit sunt caracterizate de ecuatii algebrice, iar elementele dinamice de

circuit sunt

caracterizate de ecuatii diferentiale. Fk pot fi functii liniare sau neliniare.

Exista multipoli la care bornele pot fi grupate in perechi astfel incat o pereche de borne

(care formeaza o poarta) este parcursa de acelasi curent. Daca toate bornele sunt grupate in porti

multipolul este un multiport. Ecuatia de functionare a multiportului este de forma

Fk(i1,i2,. . . .,in,u1,u2 , . . . . ,un)=0 , k=1 , . . . . ,n.

Daca ecuatiile Fk(•)=0 sunt algebrice multiportul este rezistiv, iar daca cel putin o ecuatie este

diferentiala multiportul este dinamic.

Intr-un circuit fizic bornele dispozitivelor sunt conectate intre ele prin conductoare de

legatura. Un circuit electric este format dintr-o multime de elemente de circuit ale caror borne

sunt conectate direct intre ele. Desi de regula acest model nu tine seama de caracteristicile

conductoarelor de legatura, atunci cand este necesar si aceste conductoare pot fi modelate prin

elemente de circuit. Locul in care sunt conectate cel putin doua borne este un nod; orice borna

izolata este considerata nod.

Teoria circuitelor se ocupa de analiza circuitelor electrice admitand ca sunt valabile

teoremele lui Kirchhoff, teorema transferului de putere pe la bornele elementelor de circuit si

relatiile intre tensiunile si curentii unui element de circuit. Aceste teoreme si relatii, considerate ca

axiome in teoria circuitelor electrice, pot fi demonstrate in teoria campului electromagnetic.

4



1.2.Teoremele lui Kirchhoff

• Teorema lui Kirchhoff referitoare la tensiuni (Teorema II)

Intru-un circuit cu n noduri se alege in mod arbitrar un nod de referinta al carui potential se

considera nul (vn=0). Potentialele vk ale nodurilor 1,...,n-1 sunt functii de timp. Tensiunile intre

nodurile 1, ..., n-1 si nodul n sunt u V u V u Vn n n n n1 1 2 2 1 1= = =− −, ,..., . Circuitul se conside-

ra conex (plecand dintr-un nod arbitrar se poate ajunge la oricare alt nod parcurgand o cale care

trece numai prin elemente de circuit).

Conform primei forme a teoremei lui Kirchhoff referitoare la tensiuni, tensiunea ukj(t) dintre

nodul k si nodul j este diferenta tensiunilor u t si u tkn jn( ) ( )

ukj (t) = ukn (t) -u jn (t) (1)

Rezulta imediat ca ujk (t) = ujn (t) - ukn (t)= - ukj (t).

Fie o multime de noduri care incepe si se sfarseste cu acelasi nod. Parcurgand aceasta

multime prin treceri succesive de la un nod la vecinul acestuia se poate defini. Aceasta multime se

numeste o cale inchisa care contine toate nodurile multimii multime de tip B.

De exemplu in multimea de tip B 1,2,3,..., k, 1 calea inchisa care pleaca din nodul 2 este

2,3,...,k,1,2. Conform Teoremei a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie:

u12 = u1n - u2n , u23 = u2n - u3n , ..., uk-1, k = uk-1n - u kn , u k 1 = ukn - u1n

Daca adunam aceste relatii se obtine: u1 2 + u2 3 + ... + uk - 1,k + uk1 ≡ 0

Generalizand se obtine o alta forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff:

Suma algebrica a tuturor tensiunilor care corespund caii inchise care contine toate nodurile unei

multimi de tip B este nula, pentru orice t.

ukk Bt

∈∑ =( ) 0 (2)

In aceasta suma se iau cu + tensiunile orientate in sensul de parcurgere a buclei si cu -

tensiunile orientate in sens contrar acestuia.

De exemplu, pentru multimea de tip B 1,2,3,4,1 din figura : u12 + u23 - u43 -u14 = 0

5



Am aratat mai inainte ca forma (1) implica forma (2). Se poate arata ca si forma (2) implica forma

(1). Fie multimea de noduri de tip B p,q,r,p pentru care upq +uqr+urp=0. Daca se alege vr=0 ,

tinand seama ca urp=upr ,rezulta upr=uqr. Deci formele (1) si (2) ale teoremei a II-a a lui

Kirchoff sunt echivalente.

• Teorema lui Kirchhoff referitoare la curenti (Teorema I)

Suma algebrica a curentilor care intra si ies dintr-o suprafata inchisa S este nula, pentru

orice t.

i kk St

∈∑ =( ) 0

In aceasta suma se iau cu + curentii care ies din S si cu - curentii care intra in S.

O suprafata inchisa S poate contine in interior unul sau mai multe noduri. De exemplu:

Cele doua teoreme ale lui Kirchhoff conduc la ecuatii algebrice liniare si omogene cu

coieficienti de valorile 0, 1, -1.

1.3.Elemente de topologie a circuitelor

Topologia circuitelor se refera la modul de conectare a elementelor de circuit. Unui circuit

electric i se ataseaza un graf constituit dintr-o multime de noduri (1,2,...,N) legate intre ele prin

laturi (l1 , l2 ,...,lL). Daca laturile sunt orientate (au sens de referinta), graful este orientat. Graful

circuitului contine toate informatiile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu contine

informatii asupra dependentelor dintre uk (t) si ik (t).

Orice element de circuit poate fi reprezentat printr-un element al grafului:

• -un dipol se reprezinta printr-o latura a grafului conectata intre cele doua noduri,

6



•

-un tripol si, generalizand, un n-pol se reprezinta astfel

Graful radial cu n noduri si n-1 laturi care reprezinta un n-pol contine numai laturi ale caror

tensiuni si curenti sunt marimi liniar independente intre ele. De exemplu, pentru tripol u12 = u13 -

u23 si i3 = -i1 -i2 iar tensiunea u12 si curentul i3 nu sunt asociate nici unei laturi din graf.

Modul de conectare a unui element multiport cu celelalte elemente de circuit este descris

exclusiv cu ajutorul variabilelor uk(t), ik(t), k=1,...,n deci graful multiportului este multiplu conex

(vezi figura). Un circuit care contine astfel de elemente poate avea un graf multiplu conex.

Asa cum se va vedea in continuare scrierea sistematica a ecuatiilor date de teoremele lui

Kirchhoff este formulata pentru circuite cu grafuri conexe. Este deci utila transformarea unui graf

multiplu conex intr-un graf conex pastrand aceleasi expresii pentru ecuatiile date de teoremele lui

Kirchhoff. Modul in care se face aceasta transformare este ilustrat printr-un exemplu. In figura de

mai jos

7



graful transformatorului (care este un diport) este desenat cu linie ingrosata. Tensiunile si curentii

raman aceiasi daca in graful circuitului se adauga latura 1’2’ (desenata cu linie punctata); in acest

fel graful circuitului devine conex. Curentul prin aceasta latura fiind nul, nodurile 1’ si 2’ se pot

suprapune.

Graful circuitului se obtine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri

interconectate intre ele la fel ca elementele carora le corespund. Acesta descrie proprietatile de

interconexiune ale circuitului si, daca este orientat, arata si sensurile curentilor si tensiunilor.

Exemplu Circuitului din figura ii corespunde graful alaturat. Sagetile de pe laturi indica sensurile

de

referinta ale curentilor si tensiunilor, uk si ik fiind asociate dupa regula de la receptoare. Graful are

N=5 noduri si L = 7 laturi.

Intr-un graf G cu N noduri si L laturi se definesc urmatoarele multimi de laturi:

1. O bucla este o multime de laturi care formeaza o cale inchisa; fiecare latura intra o singura data

in aceasta cale. In exemplul precedent B1=1,5,4 si B2=5,6,7 sunt bucle. Nodurile buclei

formeaza o multime de tip B. Scrisa pe o bucla, teorema a doua a lui Kirchhoff este

ukk buclat

∈∑ =( ) 0 .

2. Un arbore A este o multime de laturi care conecteaza intre ele toate nodurile din G fara sa

formeze bucle. In exemplul precedent A = 1, 3, 5, 6 este un arbore. Un graf poate avea mai

multi arbori. Un arbore are N-1 laturi (rezulta din definitia arborelui). O latura a arborelui se

numeste ramura.

3. Un coarbore C este format din multimea laturilor grafului care nu sunt continute in arborele

corespunzator A. În exemplul precedent coarborele C = 2, 4, 7 corespunde arborelui A = 1,

3, 5, 6. Numarul coarborilor este acelasi cu al arborilor. Un coarbore contine L-N+1 laturi

( L-(N-1) ). O latura a coarborelui se numeste coarda.

8



4. Sistemul fundamental de bucle este multimea buclelor obtinute atasand la o coarda calea din

arbore care uneste nodurile coardei respective. Deci numarul buclelor fundamentale este L-N+1

(acelasi cu numarul coardelor).

5. Sectiunea este o multime de laturi intersectate de o suprafata ∑ inchisa care are in interior cel

putin un nod. ∑1=1,3,5,7 sau ∑2=7,6sunt doua sectiuni in exemplul precedent. Teorema

intai a lui Kirchhoff se scrie: i k tk tiune

( )sec∈

∑ = 0

6. Sistemul fundamental de sectiuni este multimea sectiunilor pentru care fiecare suprafata ∑k

intersecteaza cate o singura latura a arborelui . Deci numarul sectiunilor fundamentale dintr-un

graf este N-1 (acelasi cu numarul ramurilor) .

In exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele 1,3,5,6 este format

din L-N+1=3 bucle (1,4,3, 3,2,5, 5,6,7 ) si sistemul fundamental de sectiuni este format din

N-1=4 sectiuni (1,4, 2,3,4, 2,5,7, 6,7).

Se cauta un sistem de bucle pentru care ecuatiile ukk buclat

∈∑ =( ) 0 date de teorema a II-a a

lui Kirchhoff sa fie liniar independente. Din definitiile anterioare se observa ca sistemul de bucle

fundamentale corespunde acestui deziderat: fiecare bucla contine cate o coarda restul laturilor

fiind ramuri, deci tensiunea corzii ce determina

bucla respectiva apare doar in ecuatia scrisa pentru acea bucla. Deci prin scrierea teoremei a II-a a

lui Kirchhoff pentru un circuit cu L laturi si N noduri se obtin L-N+1 ecuatii liniar

independente. In exemplul precedent (L= 7, N= 5) am ales arborele A=1,3,5,6 si sistemul de

bucle fundamentale este format din L-N+1=3 bucle si anume: B1=1,3,4, B2=3,5,2,

B3=5,6,7. Ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (alegand drept sens de parcurgere al

buclei sensul corzii din bucla) sunt: u4 +u1+u3=0 , u2+u5+u3=0 si u5 + u6+u7=0. Se poate arata ca

orice ecuatie scrisa pe alta bucla este o combinatie liniara a ecuatiilor scrise pe buclele

fundamentale, deci numarul maxim al ecuatiilor liniar independente este L-N+1.

La fel ca in cazul teoremei a II-a a lui Kirchhoff se pune problema determinarii unui sistem

de sectiuni astfel incat ecuatiile ik tk tiune

( )sec∈

∑ = 0 date de teorema I a lui Kirchhoff sa fie liniar

independente intre ele. Din definitiile anterioare se observa ca sistemul de sectiuni fundamentale

corespunde acestui deziderat deoarece fiecare sectiune fundamentala difera de celelalte printr-o

ramura pe care o contine în exclusivitate. Deci prin scrierea teoremei I a lui Kirchhoff pentru un

circuit cu L laturi si N noduri se obtin N-1 ecuatii liniar independente.

9



Exemplu: pentru graful din figura (L=7, N=5) si pentru A = 1,3,5,6 sistemul de sectiuni

fundamentale este: ∑ 1= 1,4, ∑ 2 = 4,3,2, ∑ 3 = 2,5,7, ∑ 4= 7,6. Ecuatiile date de teorema I

a lui Kirchhoff sunt (considerand sens pozitiv pentru latura care iese din suprafata inchisa ∑k si

sens negativ pentru latura care intra in ∑k): i1 -i4 =0 , -i2 -i3 +i4 =0 , i2+i5-i7 =0 , i7-i6=0. Se poate

arata ca ecuatia scrisa pe orice alta sectiune este o combinatie liniara a ecuatiilor scrise pe

sectiunile fundamentale.

1.4. Scrierea matriceala a teoremelor lui Kirchhoff

Pentru scrierea matriceala a ecuatiilor date de teoremele lui Kirchhoff se defineste matricea

A de incidenta a laturilor la noduricare este o matrice cu L coloane si N-1 linii. Un element din

linia i si coloana j poate avea valoarea:

• 0 - daca latura j nu este conectata la nodul i,

• +1 - daca latura j iese din nodul i,

-1 - daca latura j intra in nodul i.

Teorema I a lui Kirchhoff se scrie matriceal A ⋅ I = 0

unde I este vectorul curentilor laturilor grafului It =[I1 , I 2 , . . . ,IL ].

Pentru exemplul precedent:

A =

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

+ −− − ++ + −

− +

Considerand vectorul U al tensiunilor laturilor grafului ( [ ,..., ])U U UtL= 1 in care

tensiunea Uk este asociata dupa regula de la receptoare cu curentul Ik, teorema a II-a a lui

Kirchhoff in forma (1) se scrie U=At ⋅ V unde V este vectorul potentialelor primelor N-1

noduri (Vt=[V1,...,VN-1]) si VN=0.

1.5. Teorema lui Tellegen

10



Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile

tensiunii si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile). Daca [I](1) =

[i1,i2,...,il]t este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui Kirchhoff

si [U](2) = [u1,u2,...,ul]t este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac teorema a II-a

a lui Kirchhoff, atunci:

uk

t ik

tk

L ( ) ( ) ( ) ( )2 1 01

==∑

Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff. Trebuie sa

aratam ca [ U ](2)T [ I ](1) = 0. Daca [I](1) si [U](2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem:

AI (1) = 0 si U (2) = At ⋅ V (2)

Rezulta: [U(2)]T[I(1)] = [At ⋅ V (2)]t ⋅ I (1)= V (2) t ⋅ A ⋅ I(1). Dar AI (1) = 0 deci U (2) t⋅ I(1) =0. Q.E.D.

Am demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui

Tellegen. Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff impreuna cu teorema lui

Tellegen implica cealalta teorema a lui Kirchhoff si anume:

- daca tensiunile satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff ([C b l ] [U] = 0 ) si este satisfacuta

teorema lui Tellegen ([U]T[I] = 0), atunci curentii I satisfac teorema I-a a lui Kirchhoff;

- daca curentii satisfac teorema I a lui Kirchhoff ([C ∑ l ] [I] = 0) si este satisfacuta teorema

lui Tellegen ([U]T [I] = 0), atunci tensiunile U satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff.

Demonstratiile acestor doua teoreme sunt similare cu demonstratia teoremei lui Tellegen.

1.6. Transferul de putere pe la bornle unui multipol

Fie un n-pol cu marimile la borne: potentialele vk(t) (k=1,2,...,n-1), vn(t)=0, curentii ik(t) si

tensiunile uk(t) considerate ca in figura. Se observa ca uk(t) si ik(t) (k=1,2,...,n-1) sunt asociate

dupa

regula de la receptoare. Puterea instantanee absorbita de n-pol la momentul t este

p t uk t ik tk

n( ) ( ) ( )=

=

−∑

1

1

11



In cazul unui dipol puterea absorbita este pa(t)=u(t)i(t) u si i fiind asociate dupa regula de

la receptoare. Evident puterea debitata de acelasi dipol va fi pd(t)= -pa(t)=-u(t)i(t)=u’(t)i(t), unde

u’(t)= - u(t) este tensiunea asociata cu i(t) dupa regula de la generatoare.

Puterea absorbita de un n-port cu bornele 1,1’,2,2’,...,n,n’ se poate exprima numai in

functie de uk si ik. Intr-adevar daca vn’=0, pa(t)=v1(t)i1(t) + v1’(t)[-i1(t)]+ ... +vn(t)in(t)=

uk t ik tk

n( ) ( )

=∑

1

Intr-un circuit care contine elemente dipolare, multipolare si multiport produsul uk(t) ik(t)

reprezinta puterea p(t) absorbita sau debitata de latura k a grafului la momentul t. Separand

puterile debitate de laturile grafului care corespund unor surse (cu uk si ik asociate dupa regula de

la generatoare) de cele absorbite de laturile grafului care corespund unor consumatori (cu uk si ik

asociate dupa regula de la receptoare), teorerma lui Tellegen se poate scrie

pd t pa ttoti

consumatorii

toate

sursele

( ) ( )= ∑∑

Aceasta relatie se numeste bilantul puterilor instantanee si reprezinta principiul conservarii

puterilor (principiul I al termodinamicii).

12


modelare CIRCUIT MODEL DE FIZIC CIRCUIT

masurari analiza

REZULTATE ≈ REZULTATE

• Din punct de vedere al vitezei de propagare a undelor electromagnetice exista doua tipuri de

circuite electrice:

• -circuite cu parametri concentrati pentru care se considera ca undele electromagnetice se

propaga cu o viteza infinita (instantaneu),

• -circuite cu parametri distribuiti (modele ale liniilor din sistemul electroenergetic sau ale

conexiunilor din circuitele integrate) la care curentii si tensiunile sunt variabile nu numai in timp

dar si in spatiu (se tine seama de faptul ca undele electromagnetice se propaga cu o viteza finita).

acestui circuit este unica daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent contine cel putin un rezistor strict

crescator,

ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune contine cel putin un rezistor

strict crescator.

Observatii:

i) restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si la sectiunea formata

numai din surse de curent sunt cazuri particulare ale conditiilor i) si ii),

ii)teorema nu asigura existenta solutiei, de exemplu circuitele din fig.1.a. si fig.2.a. satisfac

condiriile teoremei dar nu au solutie

iii) daca un circuit satisface conditiile ambelor teoreme el are o solutie unica; de exemplu

un circuit format din rezistoare strict crescatoare (care pot fi considerate de tip U si controlate atat

in tensiune cat si in curent) si surse independente satisface conditiile ambelor teoreme daca sunt

satisfacute restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si sectiunea formata

numai din surse de curent

2.4.3. Teoreme de echivalenta ale circuitelor liniare

2.4.3.1.Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol

Un dipol rezistiv liniar contine rezistoare liniare, surse independente si surse comandate

liniar si are bornele (polii) A si B. Se considera ca doi dipoli rezistivi sunt echivalenti daca au

aceeasi comportare la borne descrisa de relatia intre uAB si iAB. Teoremele generatoarelor

echivalente determina dipolii cu structura cea mai simpla echivalenti unui dipol dat.

Teorema (Thevenin) Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol rezistiv liniar este format

dintr-o sursa cu tensiunea electromotoare egala cu tensiunea UAB0 intre bornele dipolului la

mersul in gol

in serie cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului

pasivizat.

37

Demonstratie: Din sistemul de ecuatii algebrice liniare ale circuitului se elimina toate

necunoscutele cu exceptia UA B si IA B.. Se obtin astfel ecuatiile liniare:

UAB = RABIAB , aUAB + bIAB = c (A)

unde a, b, c sunt constante in raport cu UAB si IAB . Daca a≠ 0 rezulta: UAB + b

aIAB

c

a= .

Daca IAB = 0 (mersul in gol la bornele AB) atunci UAB = UAB0 = c

a (tensiunea intre A si B la

mersul in gol). Ecuatia devine: UAB + b

aIAB = UAB0

Daca circuitul este pasivizat (fiecare sursa independenta de tensiune se inlocuieste cu un rezistor

cu R=0 si fiecare sursa de curent se inlocuieste cu un rezistor cu R=∞, iar sursele comandate

raman nemodificate), atunci UAB0=0 si U

IRAB

ABAB−

= 0 = b

a unde RAB0 este rezistenta echivalenta

intre bornele A si B a circuitului pasivizat (rezistenta de intrare intre bornele A si B). Rezulta

UAB+ RAB0IAB =UAB0 , care este ecuatia de functionare a circuitului echivalent din enuntul teoremei.

Q.E.D.

Daca circuitul pasivizat este format din rezistoare conectate in serie si in paralel RAB0 se

determina foarte simplu aplicand formulele din paragraful 2.3.1.1. Daca acest circuit nu este serie-

paralel si/sau contine surse comandate, pentru calculul lui RAB0 se aplica intre A si B o tensiune de

1V, se calculeaza curentul corespunzator I cu o metoda oarecare si RIAB01= , sau se aplica un

curent de 1 A si se calculeaza tensiunea corespunzatoare U si RU

AB0 1=

Observatii:

i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza a≠ 0 deci generatorul echivalent de tensiune exista

daca RAB0 are o valoare finita; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei solutii unice

pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de curent cu valoare Is

arbitrara,

38

ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta

intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un

rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de tensiune raman

aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,

iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se

poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de tensiune al partii

liniare.

2.4.3.2. Generatorul echivalent de curent al unui dipol

Teorema (Norton) Generatorul echivalent de curent al unui dipol rezistiv liniar are

curentul electromotor egal cu curentul IABsc de scurtcircuit al dipolului si rezistenta interna egala

cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului pasivizat.

Demonstratia este similara cu cea a teoremei generatorului echivalent de tensiune.

Observatii:

i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza b≠ 0 (din ecuatia A) deci generatorul echivalent de

tensiune exista daca RAB0 are o valoare nenula; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta

unei solutii unice pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de tensiune

cu valoare E arbitrara,

ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta

intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un

rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de curent raman

aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,

iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se

poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de curent al partii liniare.

Aplicatie: echivalenta intre o sursa reala de tensiune si o sursa reala de curent.

39

Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’i pozitive

si de valoare finita. Aplicand teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune

rezulta R’i=Ri si IS =

E

Ri

. Daca Ri=0 sursa de tensiune nu se poate transforma in sursa de curent

(rezulta Is=∞), iar daca R’i= ∞ sursa de curent nu se poate transforma in sursa de tensiune (rezulta

E=∞).

Generatoarele echivalente nu exista pentru orice circuit. Iata cateva exemple.

-circuitul

are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente;

acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai U=0, I=0 si se numeste nulator

-daca RAB0=0 exista numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de

tensiune UAB0 si care nu poate fi transformata intr-un generator de curent.

-daca RAB0=∞ exista numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de

curent IABSC si care nu poate fi transformata intr-un generator de tensiune.

Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil sa se calculeze mai intai RAB0. Daca

RAB0=0 se calculeaza apoi UAB0 iar daca RAB0=∞ se calculeaza IABSC. Daca 0<RAB0<∞ se poate

calcula UAB0 sau IABSC.

Exemplu: pentru circuitul din figura de mai jos sa se calculeze elementele unui generator

echivalent

în raport cu bornele A si B (RAB=2Ω ). RAB0 se calculeaza pentr circuitul pasivizat. RAB0=1/I,

rezulta I1 =-1A, I2=7/2A, I=9/2A si RAB0 =2/9Ω . Calculul lui UAB0 se face in circuitul:

40

rezulta 3I1=5-6I1, I1=5/9 si UAB0=5 -5/9=40/9V.

Deci generatorul echivalent este:

si curentul prin rezistorul de 2Ω se poate calcula astfel: I AAB =+

=40 9

2 9 22

/

/

2.4.3.3. Schemele echivalente ale diportilor

Fie diportul liniar N la portile caruia sunt conectati uniportii N' si N", in general neliniari.

Daca circuitul

are o solutie si numai una pentru orice valori is1, is2 ale parametrilor surselor independente

conectate la porti, atunci aceasta solutie contine si pe u1 si u2. Rezulta ca u1 si u2 pot fi explicitate

ca functii de is1, is2, sursele independente din N si ceilalti parametri ai circuitului N.

Din paragraful 2.3.2.1. se stie ca daca sursele independente din N sunt pasivizate atunci

u1=r11i1+r12i2 si u2=r21i1+r22 i2 unde i1=is1, i2=is2. Daca se considera si sursele independente

din N, N fiind liniar, conform teoremei superpozitiei avem: u1=r11i1+r12i2+e1,

u2=r21i1+r22i2+e2 unde e1 si e2 reprezinta contributiile surselor independente din N. Aceste

relatii corespund urmatoarei scheme echivalente:

41

Similar se poate arata ca daca circuitul liniar N are o solutie si numai una pentru orice e1 si

e2 atunci

exista urmatoarea schema echivalenta a lui N.

care corespunde relatiilor i1=g11u1+g12u2+is1, i2=g21u1+g22u2+is2

Daca circuitul liniar N are o solutie si numai una

pentru orice valori e1 si is2 atunci exista schema echivalenta

corespunzatoare relatiilor i1=h11u1+h12i2+is1, u2=h21u1+h22i2+e2.

Observatii:

i) un circuit oarecare poate avea toate aceste scheme echivalente sau numai unele dintre

ele,

ii) schemele echivalente ale aceluiasi circuit sunt echivalente intre ele,

iii) aceste scheme au un numar minim de elemente si se utilizeaza cand este nevoie de un

circuit cat mai simplu.

2.4.4. Teorema transferului maxim de putere

42

Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri,

care debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa

absoarba

puterea maxima.

Curentul prin circuit este: IE

R Ri

=+ . Puterea debitata de sursa este: P EI

E

R Rdebi

= =+

2

Puterea absorbita de rezistor este ( )P RI

RE

R RR

i

= =+

22

2

Ecuatia ( )( ) ( )[ ] ( )

∂∂P

R

E

R RR R R R R

E

R RR RR

i

i i

i

i=+

+ − + =+

− =2

2

22

2 0( ) are solutia pozitiva R=Ri.

R=Ri este un punct de maxim deoarece pentru R<Ri ∂∂P

RR >0 si pentru R>Ri

∂∂P

RR <0. Am

demonstrat deci urmatoarea

Teorema O sursa de tensiune cu parametri E si Ri transfera o putere maxima unui rezistor

cu rezistenta R conectat la bornele ei daca R=Ri. In acest caz: PE

Rdeb =2

22 si P

E

RR =2

4 iar

randamentul transferului de putere este η = =P

PR

deb

0 5, .

Observatii:

i) daca R→∞, atunci η→ 1 dar PR→0,

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Ri, rezistorul

absoarbe puterea maxima tot daca R=Ri.

2.4.5. Teorema reciprocitatii

Teorema Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o

singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca singura

sursa

43

de tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)

k

Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf.

Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1 si tensiunile uk

(2) satisfac teorema a II-a a

lui Kirchhoff in 2 atunci ikk

Luk

( ) ( )1

1

2 0=∑ ⋅ = si similar ikk

Luk

( ) ( )2

1

1 0=∑ ⋅ = sau

E i k i j uq

q i q⋅ + ⋅ + ∑ ⋅ =( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 1 2 0 (1)

0 1 1 2 1 0⋅ + ⋅ + ∑ ⋅ =i k E i j uq

q i q( ) ( ) ( ) ( ) (2)

dar u q Rqi q( ) ( )1 1= si u q Rqi q( ) ( )2 2= si deci u qi q Rqi qi q u qi q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1= = Daca se

scade relatia (1) din relatia (2) se obtine ij

ik

( ) ( )1 2= Q.E.D.

Observatii:

i)se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de

curent si/sau in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R=∞

ii)considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj)

iii)conform obsevatiilor i) si ii) rezulta simetria rezistentelor de transfer, a factorilor de

amplificare in tensiune (h21) sau in curent (h12).

2.4.6. Teorema conservarii puterilor

In paragraful 1.6 s-a aratat ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele

este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. Cum intr-un circuit rezistiv

consumatorii de putere sunt rezistoare rezulta

Teorema Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva:

pd t pa ttoate

rezistoarele

toate

sursele

( ) ( )= ∑∑.

Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t) i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t)

sunt asociate dupa regula de la generatoare. Puterea debitata de o sursa de curent este pI(t)=u(t)

i(t) =u(t) Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare.

44

Observatii:

i)demonstratia fiind facuta pe baza teoremei lui Tellegen, puterile se conserva atat in

circuitele liniare cat si in cele neliniare

ii)orice solutie a unui circuit rezistiv satisface relatia de conservare a puterilor (bilantul

puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei

analizei unui circuit.

2.5. Analiza circuitelor rezistive

2.5.1. Introducere

Cu notatiile din paragraful 1.4 ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are N noduri si L

laturi sunt:

Uc Ua L N+ = − +Λ 0 1, ( ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff)

IaTIc N− = −Λ 0 1, ( ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff)

fk uk ik( , ) ,= 0 (L ecuatii constitutive ale rezistoarelor si surselor independente)

deci in total 2L ecuatii.

Problema analizei unui circuit rezistiv (formulata in paragraful 2.2) se rezolva cu

urmatorul algoritm:

1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curentii din laturi

2. Se determina sensul tensiunii la bornele fiecarei laturi prin asociere cu sensul curentului dupa

regula de la generatoare (pentru surse) sau dupa regula de la receptoare (pentru rezistoare )

3. Se scriu ecuatiile circuitului

4. Se rezolva ecuatiile circuitului

5. Se face verificarea solutiei cu bilantul puterilor

Exemplu Sa se faca analiza circuitului din figura si sa se verifice solutia cu bilantul puterilor

45

Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu surse de tensiune

comandate in curent (vezi paragraful 4.3.2).

Rezulta ecuatiile

I j j I j j jI jI jI jI

I I

I I

I I I

I j j j I j jI jI jI jI

1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 2

1 1

2 2

3 1 2

2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2

' ( ) ' ( )

'

'

' '

' ( ) ' ( )

+ + + + + = − + + −

=== − −

− + + + + = − + + −

deci 5 ecuatii cu necunoscutele I I I I I1 2 1 2 3' , ' , , , .

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor in tensiune in

comenzi in curent

• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie plasate in

coarbore

• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′ ′ ′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici), se aleg

sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

Ii

Rkk BiI

jRkk Bi

k Bj

' '∈∑ + =

∈∈

∑Ekk Bi∈

∑

si ecuatiile suplimentare

4.8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ

Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui circuit liniar

de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt asemanatoare cu cele din

paragraful 2.8 si demonstratiile nu vor fi reluate.

4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente

118

Legarea in serie a impedantelor: Zes Zk

n

k=

=∑

1. Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta

Res Rkk

n=

=∑

1 si Xes Xkk

n=

=∑

1

Legarea in paralel a impedantelor: Yep Ykk

n=

=∑

1, deci Gep Gkk

n=

=∑

1 si Bep Bkk

n=

=∑

1

4.8.2. Teorema superpozitiei

Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is,l+1,...,Ism. Orice curent (sau tensiune) din circuit se

poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare sursa independenta separat,

celelalte surse independente fiind pasivizate.

De exemplu I I kk

m1 1

1=

=∑ unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta din latura k,

celelalte surse independente fiind pasivizate.

Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate nu se

pasivizeaza.

4.8.3. Teoremele generatoarelor echivalente

Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de tensiune UAB0 in

serie cu o impedanta ZAB0 unde UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la bornele A si B (impedanta Z

fiind scoasa din circuit) si ZAB0 este impedanta echivalenta intre

bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea lui ZAB0 se

poate face cu regulile din paragraful 4.7.1. Daca circuitul contine surse comandate sau nu este un circuit serie -

119

paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune de valoare 1V ( sau o sursa independenta

de curent de valoare 1A) si ZAB0 rezulta in urma determinarii lui I sau U.

Aplicatie. Sa se calculeze Z ZAB AB0 1( )= Ω

e t t

e t t

is t t

1 2 2 2

2 2 24

2 24

( ) cos

( ) sin( )

( ) cos( )

=

= −

= −

π

π

Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand impedantele

echivalente j jj j

j j− = − ⋅

−= ∞

0

2 2

2 2, circuitul capata o forma mai simpla. Se conecteaza intre A si B o sursa de

tensiune cu E V=1 si rezulta

Ij

j

jZAB I

j

j

j= + =

+= =

+=

+1

6

1

2

1 3

6 01 6

1 3

1 6

10Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de curent IABsc in

paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre bornele A si B.

120

Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.3.3.) se inlocuiesc rezistentele cu

impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale diportilor de c.a...

4.8.4. Teorema transferului maxim de putere activa

Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Zi, la bornele careia se leaga o

impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Zi si ZAB astfel incat pentru un E dat

puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.

Fie Zi = Ri + jXi si Z = R + jX . Curentul din circuit este IE

R Ri j X Xi=

+ + +( ) si deci puterea activa

absorbita de Z este P RIRE

R Ri X Xi

= =+ + +

22

2 2( ) ( )

Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -Xi . Valoarea acestui maxim este

P R Xi PM RRE

R Ri

( , ) ( )( )

− = =+

2

2 . Maximul functiei PM R( ) are loc pentru R=Ri (vezi teorema

transferului de putere in curent continuu - paragraful 2.4.4.). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina este

maxima daca Z = Zi* (teorema transferului maxim de putere activa).

Daca Z = Zi*

puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri deci

randamentul circuitului este η =P/ Pd=0,5.

Observatii

i) daca R→∞ si/sau X→∞ atunci η→ 1 dar P→0

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi, impedanta de sarcina Z

absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi* ii) deoarece generatoarele de curent alternativ au o impedanta interna inductiva, rezulta ca pentru a absorbi

o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.

4.9. Rezonanta dipolilor

4.9.1. Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se utilizeaza la

circuitele electronice.

Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,

121

adica Qabs=UI sinϕ = 0.

Deci la rezonanta defazajul ϕ dintre U si I este nul (sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0). Daca impedanta echivalenta la bornele

dipolului este Z=R+jX, Q=XI² =0 ⇒X = 0 deci la rezonanta reactanta echivalenta este nula si dipolul are o

comportare rezistiva la borne.

Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare efectiva

constanta.. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(ω ) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4, ω 5

- in cazul maximelor de curent (ω 1 , ω 3 , ω 5 ) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul minimelor de curent (ω 2 , ω 4) avem rezonanta de curent.

Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (ω ) are aceeasi alura cu I (ω ).

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta..

Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(ω ) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω ‘1 , ω ‘2 , ω ‘3 , ω ‘4, ω ‘5

- in cazul minimelor de tensiune (ω ‘1 , ω ‘3 , ω ‘5) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul maximelor de tensiune (ω ‘2 , ω ‘4) avem rezonanta de curent.

Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(ω ) are aceeasi alura cu U(ω ).

Observatii

i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta

ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(ω ) are maxime locale si deci Z(ω )=1/ Y(ω )

are minime locale

122

iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(ω ) are minime locale si deci Z(ω )=1/ Y(ω ) are

maxime locale.

Exemple. a)

( )I I IU

R j Lj CU

U

R LR j C R L L= + =

++ =

++ + −

1 2 2 2 2

2 2 2ω

ωω

ω ω ω

Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva obtinandu-se pulsatiile de

rezonanta dupa definitia 1: ω1 2

11

2

,= ± −

LC

CR

L; se observa ca daca R→0

atunci ω 2→1

LC. Se calculeaza minimele si maximele lui I(ω ) respectiv ale lui Z(ω )

ZC

R L

R LC

2 12 2

2 2 2

2 1 2( )ω

ω

ω

ωω

= +

+ −

si δδωZ 2

0= are solutiile ω 21 2

2

2

1 2 2

, = − ±+

R

L

CL

R

LC

(daca R→0 atunci ω 2→1

LC). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt aceleasi.

b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este Z R jX R j LC

= + = + −( )ωω1

. Rezulta

Z R LC

2 2 1 2( ) ( )ω ωω

= + − . Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci

ω0

1=

LC. Dupa a doua definitie, se calculeaza δ ω

δωZ 2

0( ) = si se obtine aceeasi valoare pentru ω 0 .

Daca U=ct in raport cu ω , la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima Z(ω 0)=R..

Pentru acest circuit Uc(ω 0)=|Xc|I= UL(ω 0)=|XL|I si Uc(ω 0)= -UL(ω 0) deci U(ω 0)=UR(ω 0) +UC(ω 0) +

UL(ω 0)=UR(ω 0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta UC si UL sa aiba valori mai

mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu QU LU R

U CU R R

L

C01= = = factorul de calitate

123

al circuitului unde UL, UC, UR se considera la rezonanta. Daca Q0 >1 (L

CR≥ ), tensiunea bobinei si cea a

condensatorului depasesc tensiunea sursei de alimentare.

c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit ω0

1=

LC. La

rezonanta YR

j CL R

( ) ( )ω ωω0

10

1

0

1= + − = deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu ω , la

rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic(ω 0)=U/|Xc|= IL(ω 0)=U/|XL| si

Ic(ω 0)= -IL(ω 0) deci I(ω 0)=IR(ω 0) +IC(ω 0) + IL(ω 0)=IR(ω 0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul

pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin sursa de alimentare. Se noteaza

cu Q0 factorul de calitate QI LI R

IC

I RR

C

L0 = = = unde IL, IC, IR se considera la rezonanta. Daca Q0 >1 (

C

L R≥ 1

),curentul bobinei si al condensatorului depasesc curentul total.

4.9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei

a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice la

capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor energetici) din

figura a..

124

Curentul absorbit de consumator este : IU

R

U

j L= +

ω deci I UR L

= +12

12 2ω

si cosϕ =

P

UI

U

RUR L

L

R L=

+=

+

2

2 12

12 2

2 2 2

ω

ω

ω .

Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat ωω

LC

= 1 (circuitul b). In

acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R si curentul

absorbit de receptor este IU

RI' = ⟨ . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv in paralel cu

condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de rezistenta r ) vor fi minime

: ∆ P’linie = rI’2 < ∆ Plinie= rI2. In acest caz factorul de putere cosϕ ‘=1 si avem o compensare totala a

factorului de putere.

Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in anumite

zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care produce efecte

nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se face o compensare

partiala a factorului de putere (de exemplu cosϕ ‘=0,92). In acest caz calculul capacitatii condensatorului

care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel: diferenta intre puterea reactiva absorbita de

consumatorul necompensat Q=UIsinϕ si cea absorbita de consumatorul compensat partial Q’=UIsinϕ ‘

este absorbita de condensator (QC=ω CU2). Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P

absorbita de consumator (Q=Ptgϕ , Q’=Ptgϕ ‘) rezulta CPtg Ptg

U= −ϕ ϕ

ω'

2 ; in acest calcul se considera ca

U nu se modifica prin conectarea condensatorului.

b) Montaje Boucherot

Se considera cele doua circuite din figura de mai jos. Daca parametrii bobinei si condensatorului

indeplinesc conditia de rezonanta (ω 2 LC = 1) atunci curentul prin impedanta Z are valoarea U/ω L pentru

primul circuit si Uω C pentru al doilea circuit, deci este independent de valoarea lui Z .

Aceasta proprietate se poate verifica foarte usor.

c)Circuite de rezistenta constanta

Impedanta de intrare intr-un astfel de circuit nu depinde de frecventa, desi circuitul contine si elemente

reactive. Cele doua circuite din figura de mai jos au Z=R atunci cand parametrii

125

indeplinesc conditia: R2 = L/C. Verificarea acestei propietati este un exercitiu simplu.

126

CAPITOLUL 3

CIRCUITE DINAMICE

3.1. Introducere.

Comportarea circuitelor rezistive, formate din surse independente si rezistoare multipolare este

descrisa, asa cum s-a aratat în Capitolul 2, de un sistem de ecuatii algebrice. În acest capitol se va

introduce o clasa noua de elemente de circuit a caror comportare este descrisa de ecuatii diferentiale.

Aceste elemente de circuit se numesc elemente dinamice. Cele mai simple elemente din aceasta clasa

sunt doua elemente dipolare: condensatorul liniar si bobina liniara. Ecuatia de functionare a

condensatorului liniar este i t Cdu t

dt( )

( )= unde u(t) este tensiunea la bornele condensatorului, i(t)

este curentul prin condensator si C este o constanta numita capacitatea condensatorului. Ecuatia de

functionare a bobinei liniare este u t Ldi t

dt( )

( )= unde L este o constanta numita inductivitatea

bobinei.

Un circuit care contine cel putin un element dinamic se numeste circuit dinamic. Elementele

dinamice ideale sunt, spre deosebire de rezistoare, elemente fara pierderi adica ele nu disipa energia ci

o acumuleaza. Energia acumulata la un moment dat de un astfel de element poate fi ulterior cedata

circuitului în care este conectat elementul respectiv.

3.2. Elementele dinamice de circuit

3.2.1. Condensatorul ideal.

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre sarcina q a unui corp si curentul

absorbit de acesta este i=dq/dt. Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa

perechea u(t), i(t), si de sarcina electrica q(t) definita de relatia. q t q t i dt

t( ) ( ) ( )= + ∫0

0

τ τ în care

q t i dt

( ) ( )00

=−∞∫ τ τ este sarcina in momentul t0.

Condensatorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor

admisibile q(t), u(t) poate fi reprezentata în planul q-u printr-o curba de ecuatie f(q,u)=0. Aceasta

59

curba este caracteristica q-u a condensatorului si ecuatia f(q,u)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca

f(q,u)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, condensatorul este invariant în timp.

Marimea Cddq

du utg u= =

00

α se numeste capacitatea dinamica a condensatorului la tensiunea u0. Daca

caracteristica condensatorului este o dreapta care trece prin origine condensatorul este liniar iar

marimea Cd este constanta în raport cu q si u si se numeste capacitatea condensatorului liniar Cqu=

.

Unitatea de masura a capacitatii este faradul ( 1 11F CV= ), în practica folosindu-se submultiplii sai

microfaradul (1µ F = 10-6 F) , nanofaradul (1nF = 10-9 F) si picofaradul (1pF = 10-12F).

Daca caracteristica condensatorului nu este o dreapta care trece prin origine atunci

condensatorul este neliniar. Un condensator este controlat în tensiune daca ecuatia sa constitutiva

poate fi scrisa ca o functie q q u= ( ) si este controlat în sarcina daca exista functia u u q= ( ) .

Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(q,u)=0 la care se adauga

ecutia idqdt= . În unele cazuri se poate explicita dependenta dintre curent si derivata tensiunii în raport

cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a condensatorului. De exemplu:

-pentru un condensator liniar invariant în timp : q Cu= si idqdt C du

dt= =

-pentru un condensator neliniar controlat în tensiune : idqdt

dqdu

dudt Cd

dudt= = =

60

Condensatorul ideal modeleaza un efect capacitiv. În continuare sunt date doua exemple:

Condensatorul cu armaturi plane si paralele este format din doua placi conductoare dreptunghiulare

separate de un dielectric. Daca aria fiecarei placi este A , distanta dintre placi este d si permitivitatea

dielectrica a izolantului este ε , se stie din teoria campului electromagnetic ca daca placa superioara

se

încarca cu sarcina q, atunci cea inferioara se incarca cu sarcina -q, iar capacitatea condensatorului este

Cqu

Ad= = ε . Acest condensator este invariant în timp si liniar.

Daca una dintre placi se misca ramanand paralela cu cealalta, atunci condensatorul este variabil în

timp si liniar avand capacitatea C t Ad t( ) ( )= ε

. Derivand pe q t( ) in raport cu timpul rezulta i tdq t

dt( )( )=

adica expresia legii conservarii sarcinii electrice pentru o suprafata inchisa Σ care contine o armatura

a condensatorului.

Dioda varactoare este o jonctiune p-n alimentata în conductie inversa la care apare efectul capacitiv

de bariera. În jurul suprafetei de separatie intre semiconductorul de tip p si cel de tip n se formeaza în

conductie inversa (i<0) o zona de largime variabila în functie de u, numita zona de bariera care

actioneaza ca un izolant plasat intre cele doua zone conductoare de tip p si de tip n.

61

Dependenta dintre sarcina q acumulata în zona p si tensiunea aplicata este neliniara, condensatorul

fiind controlat în tensiune numai pentru u<U0. Capacitatea dinamica nu este definita decat pentru

u<U0 . Pentru u>U0 dispozitivul se comporta rezistiv. Dioda varactoare are multe aplicatii practice ca

de exemplu reglajul frecventei în receptoarele de radio si TV.

3.2.2. Bobina ideala

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre fluxul magnetic ϕ (t) al unei

bobine si tensiunea u(t) la bornele acesteia este u(t)=dϕ (t)/dt. Ca urmare un element dipolar de

circuit poate fi caracterizat, pe langa perechea u(t), i(t), si de fluxul magnetic ϕ (t) definit de relatia.

ϕ ϕ τ τ( ) ( ) ( )t t u dt

t= + ∫0

0 în care ϕ τ τ( ) ( )t u d

t

00

=−∞∫ este fluxul magnetic in momentul t0.

O bobina este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile ϕ (t),

i(t) poate fi reprezentata în planul ϕ -i printr-o curba de ecuatie f(ϕ ,i)=0. Aceasta curba este

caracte-

ristica ϕ -i a bobinei si ecuatia f(ϕ ,i)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(ϕ ,i)=0 este aceeasi

pentru orice moment de timp, bobina este invarianta în timp.

Marimea Ldd

dt itg i= =

ϕα

00 se numeste inductivitatea dinamica a bobinei la curentul i0. Daca

caracteristica bobinei este o dreapta care trece prin origine bobina este liniara si marimea Ld devine

62

constanta în raport cu ϕ si i si se numeste inductivitatea bobinei liniare L i= ϕ. Unitatea de masura a

inductivitatii este 1 henry (1H= 1Wb/1A); în practica se folosesc submultiplii milihenry (mH) si

microhenry (µ H).

Daca caracteristica bobinei nu este o dreapta care trece prin origine atunci bobina este

neliniara. O bobina este controlata în curent daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa in forma

ϕ ϕ= ( )i si este controlata în flux daca exista functia i i= ( )ϕ . Comportarea acestui element de

circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f( ϕ ,i)=0 la care se adauga ecutia uddt= ϕ

. În unele cazuri

se poate explicita dependenta dintre tensiune si derivata curentului în raport cu timpul; aceasta

dependenta este ecuatia de functionare a bobinei. De exemplu:

-pentru o bobina liniara invarianta în timp : ϕ = Li si uddt L di

dt= =ϕ

-pentru o bobina neliniara controlata în curent : uddt

ddi

didt Ld

didt= = =ϕ ϕ

Bobina ideala modeleaza un efect inductiv. În continuare se prezinta trei exemple.

Bobina toroidala liniara este formata dintr-un conductor bobinat pe un tor izolant. Aria transversala a

torului este A, circumferinta medie a torului este l, µ 0 = 4π 10-7 H/m este permeabilitatea magnetica

a

63

torului si bobina are N spire. Se stie din teoria campului electromagnetic ca fluxul magnetic Φ SΓ prin

orice suprafata SΓ care se sprijina pe un contur Γ inchis care urmareste conturul conductorului si

linia

tensiunii la borne este legat de curentul i prin relatia Φ SΓ =Li unde LN A

l= µ0

2

este inductivitatea

bobinei. L este o constanta în raport cu Φ SΓ si deci aceasta bobina este invarianta în timp. si liniara.

Daca una dintre bornele bobinei este legata la un contact mobil, astfel incat numarul de spire variaza

cu

pozitia contactului, atunci bobina este variabila în timp si liniara avand inductivitatea

L tN t A

l t( )

( )

( )= µ0

2

. Derivand pe ϕ (t)= Φ SΓ (t) in raport cu timpul rezulta uddt= ϕ

adica expresia legii

inductiei electromagnetice pentru curba inchisa Γ .

Bobina toroidala neliniara. Daca miezul bobinei din exemplul precedent este construit din fier moale

atunci caracteristica Φ SΓ (i) este neliniara, bobina fiind controlata în curent.

Jonctiunea Josephson este formata din doua supraconductoare separate de un strat izolant (oxid de

beriliu). În fizica supraconductoarelor se arata ca dependenta dintre i si Φ este sinusoidala i=I0 sinkΦ

unde k este o constanta în raport cu i si Φ . Acest dispozitiv se comporta ca o bobina invarianta în

timp neliniara si controlata în flux.

3.2.3. Proprietati ale condensatoarelor si bobinelor.

64

3.2.3.1. Memoria.

La un rezistor dipolar controlat în tensiune curentul i(t) depinde numai de tensiunea din acelasi

moment (i(t) = f1 (u(t)) ) iar la un rezistor controlat în curent u(t)=f2 (i(t)) ceeace insemna ca

rezistoarele nu au memorie.

La orice condensator sarcina q(t) depinde de valorile curentului intr-un interval de timp [t0,.t]

si

de sarcina q(t0) [q(t)=q(t0)+ i dt

t( )τ τ

0∫ ]. Similar, fluxul magnetic prin bobina ϕ (t) depinde de ϕ (t0 )

si de valorile tensiunii bobinei în intervalul [t0,.t] [ϕ (t)= ϕ (t0 ) + u dt

t( )τ τ

0∫ ]. Aceasta inseamna ca

bobina si condensatorul sunt elemente de circuit cu memorie, spre deosebire de rezistor.

3.2.3.2. Continuitatea lui uC si iL

Fie condensatorul din figura de mai jos prin care trece curentul iS(t) care are discontinuitati

finite. Rezulta ca daca uC (0)=0 atunci uC (t)= 10C i dt

( )τ τ∫ si uC (t) este o functie continua. Pe baza

proprietatii de continuitate a integralei unei functii cu discontinuitati finite rezulta:

a)daca curentul iC(t) printr-un condensator liniar invariant în timp este marginit si are un numar finit

de discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci tensiunea condensatorului uC(t) este continua în acest

interval;

b)daca tensiunea uL(t) pe o bobina liniara invarianta în timp este marginita si are un numar finit de

discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci curentul prin bobina iL(t) este continuu în acest interval.

Daca iC(t), respectiv uL(t), nu sunt marginite atunci uC(t), respectiv iL(t) nu sunt marimi

continue. De exemplu daca condensatorul din figura de mai jos este alimentat cu tensiunea e(t) (e(t)

65

este o functie continua de timp), atunci iC(t) va avea discontinuitati finite. Daca ∆→ 0 atunci e(t)

devine

functia treapta unitate care are o discontinuitate în t=0 si iC(t) nu mai este marginit. Cand ∆→ 0

dreptunghiul isi mentine aria unitara latimea sa tinzand catre zero si inaltimea sa spre infinit.

Semnalul obtinut astfel se numeste impuls unitar sau impuls Dirac si se noteaza δ (t).

Functia δ (t) are o singularitate în t=0 si este nula pentru t≠ 0. Se poate arata usor ca δε

ε( )t dt =

−

+∫ 11

2

pentru orice ε 1 si ε 2 strict pozitivi.

3.2.3.3. Caracterul nedisipativ (fara pierderi)

Energia pe care o primeste un rezistor liniar cu R>0 în intervalul de timp [t1, t2 ] este:

WR t tt

tp t dt u t i t dt Ri dt

t

t

t

t[ , ] ( ) ( ) ( )1 2

1

22

1

2

1

2= ∫ = = ∫∫ . Evident W[t1, t2] ≥ 0 indiferent de semnul lui i(t). Daca

rezistorul este neliniar si pasiv [u(t)i(t)≥ 0] rezultatul este acelasi: Rezistorul pasiv primeste energie

din circuitul în care este conectat si aceasta energie se transforma în mod ireversibil în caldura (se

disipa). Spunem ca rezistorul pasiv este un element de circuit disipativ (cu pierderi).

Energia absorbita de un condensator liniar în intervalul de timp [t1, t2 ]este

WC t t u t i t Cdu t

dt u t dt Cuduu t

u tC

t

t

t

t

u t u t[ , ] ( ) ( )( )

( )( )

( )[ ( ) ( )]1 2

1

22

1

2

1

2 22

21= = = ∫ =∫∫ −

Daca u(t) este periodica de perioada T si t2=t1+T, atunci WC[t1, t2]=0 si energia medie absorbita de

condensator intr-o perioada este nula. Aceasta inseamna ca puterea absorbita este pozitiva numai pe

anumite subintervale din perioada T, în celelalte subintervale puterea absorbita fiind negativa. Deci

66

condensatorul nu disipa energia ci o acumuleaza si apoi o reda circuitului în care este conectat. Un

astfel de element de circuit este nedisipativ (fara pierderi).

Pentru un condensator controlat în sarcina [u=u(q)] rezultatul este similar

WC t tt

tu t i t u q t

dq t

dtdt u q dq

q t

q t

t

t[ , ] ( ) ( ) [ ( )]

( )( )

( )

( )

1 21

212

1

2

1

2= ∫ = = =∫∫ Α , unde A12 este aria din figura.

Daca q(t2) =q(t1 + T ) atunci A12 = 0 si WC [t1, t2] = 0.

Similar se poate arata ca o bobina liniara si o bobina neliniara controlata în flux sunt

nedisipative. Pentru bobina liniara

WL t t u t i t dt Ldi t

dti t dt Lidi

Li t i t

i t

i t

t

t

t

t

[ , ] ( ) ( )( )

( ) [ ( ) ( )]( )

( )

1 2 22

22

11

2

1

2

1

2= = = = −∫∫∫

si pentru bobina neliniara controlata în flux cu caracteristica i=i(φ )

WL t t u t i t dt i td t

dtdt i d

Li t i t

t

t

t

t

t

t

[ , ] ( ) ( ) [ ( )]( )

( ) [ ( ) ( )]( )

( )

1 2 22

22

11

2

1

212

1

2= = = = −∫∫ =∫ φ

φφ φ

φ

φΑ

Din aceaste relatii rezulta ca în regim periodic (u(t) si i(t) sunt functii periodice de perioada T)

la un element de circuit fara pierderi tensiunea si curentul trec prin valoarea zero la momente de timp

diferite. Altfel produsul u(t)i(t) ar fi tot timpul pozitiv sau negativ si W[t1, t2] ar fi nenula pe o

perioada. De exemplu, în regim sinusoidal tensiunea unui condensator liniar este u(t)=U sinω t si

curentul este i(t)=Cω cosω t=Cω sin(ω t +π /2) deci u(t) si i(t) trec prin zero la momente de timp

distantate cu ∆ t = π /2ω .

Fie un condensator liniar cu capacitatea C>0 care in momentul t1 este conectat la un circuit .

67

Stiind ca u(t1)=U, energia absorbita de condensator este WC=[t1,t2]=C

u t U2

22

2[ ( ) ]− . Daca

u t U( )2 < , atunci WC [t1, t2 ] < 0 si condensatorul cedeaza energie circuitului la care este conectat.

Daca u(t2) = 0 condensatorul va ceda valoarea maxima a energiei WCmax [t1, t2 ]=CU 2

2. Deoarece

aceasta este valoarea maxima a energiei ce se poate extrage din condensator este normal sa spunem ca

energia acumulata intr-un condensator liniar de capacitate C incarcat la tensiunea U este EC =

CU Q

C

2 2

2 2= . Similar se poate arata ca energia acumulata intr-o bobina liniara de inductivitate L

prin care trece curentul I este E LLI

L= =

2

2

2

2

φ .

Pentru un condensator neliniar controlat în sarcina a carui caracteristica u=u(q) trece prin origine

energia acumulata este E u q dqC

Q

= =∫ ( )0

Α

Pentru o bobina neliniara controlata în flux a carei caracteristica i = i(Φ ) trece prin origine energia

acumulata este E L i d( ) ( )ϕ ϕ ϕφ

= =∫ Α0

3.2.4 Bobinele cuplate

68

Bobinele cuplate se utilizeaza in circuitele de comunicatii si in echipamentele de masura.

Transformatoarele electrice construite cu bobine cuplate au o importanta deosebita in transmiterea

energiei electrice intre generatoare si utilizatori. Motoarele si generatoarele electrice se modeleaza

prin bobine cuplate cu parametri variabili in timp.

Se considera un tor din material feromagnetic (ferita sau tole dintr-un otel special). Pe acest

tor exista doua infasurari obtinandu-se astfel un diport. Daca la bornele de intrare 1,1' se conecteaza

un generator si bornele de iesire 2,2' sunt in gol (i2=0), in infasurarea 1 apare curentul i1(t) care

determina un camp magnetic in tor (variabil in timp daca tensiunea aplicata este variabila in timp),

respectiv un flux magnetic variabil in timp. Conform legii inductiei electromagnetice, acest flux va

determina aparitia unei tensiuni u2(t) intre bornele 2 si 2’. Doua bobine cuplate magnetic se

reprezinta astfel

Un model liniar al acestui dispozitiv este dat de un sistem de ecuatii liniare care leaga curentii

i1, i2 si fluxurile φ 1, φ 2 prin bobinele 1 si 2. Acest sistem reprezinta ecuatia constitutiva a

bobinelor liniare cuplate:

φ 1 = L11 i1 ± Mi2

φ 2 = L22i2 ± Mi1.

unde L11 si L22 sunt inductivitatile proprii ale celor doua infasurari si M este inductivitatea mutuala

dintre infasurari. Termenii L11 i1 si L22i2 reprezinta fluxurile proprii ale bobinelor 1 si 2 iar termenii

Mi2 si Mi1 reprezinta fluxurile mutuale. In teoria campului electromagnetic se arata ca fluxul propriu

si fluxul mutual sau se aduna in ambele bobine, sau se scad in ambele bobine. Ca urmare semnele

atasate

69

lui M sunt sau amandoua + sau amandoua -. De exemplu pentru bobina 1 din figura, cu sensurile date

pentru i1 si i2 fluxul propriu L11 i1 si fluxul mutual M i2 sunt orientate în acelasi sens si deci M se

considera cu semnul +. Daca i2 are sensul invers celui din figura, atunci fluxul mutual este orientat

invers fata de cel propriu si M se considera cu semnul -.

Pentru a preciza semnul lui M se foloseste reprezentarea bobinelor cu borne polarizate: daca

cei doi curenti i1 si i2 “ataca” la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne),

atunci in ecuatii se considera +M, iar daca i1 si i2 “ataca” in mod diferit aceste borne (un curent intra

prin borna polarizata si celalalt curent iese prin borna polarizata) atunci in ecuatii se considera -M.

Ecuatia constitutiva a bobinelor cuplate se scrie matriceal [Φ ] = [L]•[I]

unde LL M

M L=

±±

11

22

este matricea inductivitatilor.

Tensiunile u1 si u2 sunt date de ud

dt11= φ

si ud

dt22= φ

aceste relatii reprezentand ecuatia de

functionare a bobinelor cuplate. Utilizand ecuatia constitutiva a bobinelor liniare rezulta:

u t Ldi

dtM

di

dt1 111 2( ) = ±

u t Ldi

dtM

di

dt2 222 1( ) = ±

sau, matriceal, [ ] [ ][ ]U L I=

Daca nodurile 1' si 2' sunt legate intre ele atunci se poate obtine un diport echivalent cu trei

bobine necuplate. Deoarece i=i1+i2, calculand u1(t) în diportul echivalent rezulta:

u t Ldi

dtM

di

dtM

di

dt

di

dtL

dil

dtM

di

dt1 111 1 1 2

1121

( ) ( )= − + + = + . Similar rezulta u t Ldi

dtM

di

dt2 222 1( ) = + .

70

Similar cu elementele dipolare, pentru a calcula energia acumulata se considera conditii

initiale nule (i1(0)=0 si i2(0)=0, respectiv φ 1(0)=0 si φ 2(0)=0). Se calculeaza energia absorbita de

bobine intr-un interval de timp T:

WM u t i t u t i t dt Ldi

dti M

di

dti L

di

dti M

di

dti dt

TT

L i T L i T Mi T i T

= + = + + +∫∫

= + +

[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ]

[ ( ) ( ) ( ) ( )]

1 1 2 2 111

12

1 222

21

2001

2 11 12

22 22 2 1 2

Energia acumulata în bobine la momentul T poate fi calculata ca energia cedata de bobine în

transformarea de la starea initiala la starea finala i1(T)=I1, i2(T)=I2.

WM I I L I L I MI I( , ) [ ]1 21

2 11 12

222

22

1 2= + +

Din considerente fizice energia magnetica acumulata WM(I1, I2) este pozitiva pentru orice I1, I2≠ 0.

Rezulta ca L este pozitiv definita, deci minorii principali ai matricei L sunt pozitivi adica L11≥ 0,

L11L22 -M2 ≥ 0.

Inductivitatea mutuala se poate defini in functie de coeficientul de cuplaj kM

L L=

11 22. Din

L11L22 ≥ M2 rezulta ca k <1. Valoarea k=0 corespunde bobinelor necuplate, iar valoarea k=1

corespunde cuplajului perfect.

În cazul mai multor bobine cuplate se obtin ecuatii similare. De exemplu trei bobine liniare

cuplate au ecuatia de functionare

u t

u t

u t

L M M

M L M

M M L

di t dt

di t dt

di t dt

1

2

3

11 12 13

12 22 23

13 23 33

1

2

3

( )

(

( )

.

( ) /

( ) /

( ) /

=

In teoria campului electromagnetic se demonstreaza relatia Mjk=Mkj (proprietatea de simetrie a

matricei inductivitatilor).

71

Ecuatia de functionare a unui sistem de bobine neliniare cuplate se obtine din relatiile

ukd k

dt=

ϕsi ecuatiile constitutive.

72

IN = I1 + I2 + I3

unde YZ

YZ

YZ

Y N Z N1

1

12

1

23

1

3

1= = = =, , ,

Prin operatii elementare asupra acestor ecuatii rezulta:

U NU Y U Y U Y

Y Y Y Y N0

10 1 20 2 30 3

1 2 3=

+ ++ + +

Expresia de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Millman sau formula de calcul a deplasarii punctului

neutru.

Deci algoritmul de analiza a acestui circuit este foarte simplu:

1. Cunoscand tensiunile de faza de alimentare si admitantele receptorului se calculeaza UN0

2. Se calculeaza tensiunile de faza la receptor U1N, U2N, U3N

3. Se calculeaza I1 , I2 , I3 si IN

Daca tensiunile de alimentare formeaza un sistem simetric (U U f10 = , U a Uf202= , U aUf30 = ) si

receptorul este echilibrat (1

ZY Ye j= = − ϕ

), atunci UNYUf a a

Y YN0

1 2

30=

+ +

+=

( )

( ) si tensiunile de faza si curentii

de faza formeaza sisteme simetrice:

U N U U f1 10= = I U N YUfY

e j I f e j1 1= = − = −ϕ ϕ

U N U a U f2 202= = I U N Y a

U f

Ye j a I f e j

2 22 2= = − = −ϕ ϕ

U N U aU f3 30= = I U N Y aU f

Ye j aI f e j

3 3= = − = −ϕ ϕ

si I N I I I= + + =1 2 3 0 . Se observa ca la receptorul echilibrat in stea alimentat cu tensiuni

simetrice U l U f Il I f= =3 , .

5.4.1.2. Receptorul in triunghi fara cuplaje mutuale

134

Sunt cunoscute tensiunile de linie U12, U23 , U31 si impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31

Se calculeaza curentii de linie: I1 , I2 , I3 si curentii din fazele receptorului: I12, I23 , I31 .

In total sunt sase necunoscute de determinat. Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui Kirchhoff rezulta:

IU

Z1212

12= , I

U

Z2323

23= , I

U

Z3131

31= , I I I1 12 31= − , I I I2 23 12= − , I I I3 31 23= − .

O alta metoda de a obtine curentii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea si aplicarea algoritmului

din paragraful precedent. Daca receptorul in triunghi este echilibrat ( Z Z Z Ze j12 23 31= = = ϕ ) si este alimentat cu

un sistem simetric de tensiuni

( U U U Uej

U Uej

12 23

23 31

23= =

−=, ,

π π) atunci curentii din fazele receptorului sunt: I

U

Ze j

12 = − ⋅ϕ

IU

Ze

j23

23=

− ⋅ +( )ϕ π si I

U

Ze

j31

23=

− ⋅ −( )ϕ π

si formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu ϕ fata de tensiunile U12, U23 , U31 . Curentii de

linie sunt:

IU

Ze j j

I f e j ej

Ile

j

I Ile

j

I Ile

j

1 11

2

3

2

3 6 6

26

23

36

23

= − − − + =

= − =− +

=− − +

=− + +

ϕ

ϕπ ϕ π

ϕ π π

ϕ π π

[ ( )]

( )

( )

( )

si formeaza tot un sistem simetric. Se observa ca in cazul receptorului echilibrat in triunghi

alimentat cu tensiuni simetrice: U f U l siI l I f= = 3 .

Deci pentru receptoarele echilibrate in stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice este suficient sa

se faca analiza pentru o faza, marimile celorlalte faze rezultand din proprietatile de simetrie.

5.4.1.3 Receptorul echilibrat in stea cu elemente cuplate magnetic

Fie receptorul din figura

135

pentru care curentul prin firul neutru este IN = I1 + I2 + I3 . Se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff pe o bucla

formata din cate o faza si firul neutru tinand cont de faptul ca I2 + I3 = IN - I1 etc. si rezulta:

U ZI Z m I Z m I Z N I N Z Z m I Z N Z m I N10 1 2 3 1= + + + = − + +( ) ( )

U Z I Z m I Z m I Z N I N Z Z m I Z N Z m I N20 2 1 3 2= + + + = − + +( ) ( )

U ZI Zm I Zm I ZN I N Z Zm I ZN Zm I N30 3 1 2 3= + + + = − + +( ) ( )

Ecuatiilor de mai sus le corespunde urmatoarea schema echivalenta de receptor echilibrat fara cuplaje magnetice.

In cazul in care nu exista firul neutru : I I I1 2 3 0+ + =

si

U N ZI Z m I Z m I Z Z m I

U N Z Z m I

U N Z Z m I

1 1 2 3 1

2 2

3 3

= + + = −= −= −

( )

( )

( )

Schema echivalenta fara cuplaje magnetice este tot un receptor echilibrat.

5.4.1.4. Receptorul echilibrat in triunghi cu elemente cuplate magnetic

Fie receptorul de mai jos cu impedantele proprii Z si impedantele de cuplaj magnetic Zm. Se scrie ecuatia

de functionare pentru fiecare faza:

U Z I ZmI ZmI Z I Zm I I12 12 23 31 12 23 31= + + = + +( )

U Z I Z m I I23 23 12 31= + +( )

136

U ZI Zm I I31 31 12 23= + +( )

Deoarece receptorul este echilibrat, curentii de faza formeaza un sistem simetric cu proprietatea

I I I12 23 31 0+ + = si deci U Z Z m I12 12= −( ) , U Z Z m I23 23= −( ) , U Z Z m I31 31= −( ) . Aceste ecuatii

corespund urmatoarei scheme echivalente fara cuplaje magnetice:

5.4.2. Analiza circuitelor trifazate complexe

Circuitele trifazate complexe sunt formate din mai multe generatoare si receptoare cu conexiune in stea sau

in triunghi conectate intre ele prin linii electrice. Analiza automata a unui astfel de circuit se poate face cu ajutorul

unor programe generale de analiza a circuitelor care folosesc ecuatiile date de teoremele lui Kirchhoff in complex si

ecuatiile de functionare ale elementelor de circuit; sistemul de ecuatii liniare se rezolva cu eficienta maxima

utilizand metode numerice pentru matrice rare. Pentru rezolvarea unor probleme de proiectare si in scop didactic se

pot face si calcule manuale. Aceste calcule se simplifica considerabil daca se utilizeaza: transfigurarile stea-triunghi

si triunghi-stea, analiza pe o singura faza, descompunerea necunoscutelor problemei in componente simetrice.

5.4.2.1. Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea

Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedantele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent.

137

Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 in ambele circuite si se calculeaza impedanta echivalenta intre bornele 1 si 2

(Ze12) care trebuie sa fie aceeasi:

Ze ZZ Z

Z Z12 12 3

2 3

= +

+

1

12

1

12

1

23Z eZ Z∆ = +

deci 1

12

1

31

2 3

1 2 2 3 1 3Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

In mod asemanator se obtin relatiile:

1

12

1

23

1 3

1 2 2 3 1 3Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

1

23

1

31

1 2

1 2 2 3 1 3Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

Se aduna cele trei ecuatii si se simplifica cu 2:

1

12

1

23

1

31

1 2 3

1 2 2 3 1 3Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z Z Z Z+ + =

+ ++ +

Din relatia de mai sus se scade pe rand fiecare din ecuatiile initiale si se obtin:

ZZ Z Z Z Z Z

Z121 2 2 3 1 3

3=

+ +Z

Z Z Z Z Z Z

Z231 2 2 3 1 3

1=

+ +Z

Z Z Z Z Z Z

Z311 2 2 3 1 3

2=

+ +

Daca steaua este echilibrata de impedanta ZY pe fiecare faza, atunci triunghiul echivalent este si el echilibrat de

impedanta Z∆ = 3ZY.

Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se procedeaza similar, considerand pe rand cate o borna in gol.

Z egol

Z Z Z

Z Z Z123

12 23 31

12 23 31

∆=

++ +( )

Z egol

YZ Z123

1 2= + s.a.m.d.

Se obtine: ZZ Z

Z Z Z112 31

12 23 31=

+ +, Z

Z Z

Z Z Z223 12

12 23 31=

+ +, Z

Z Z

Z Z Z331 23

12 23 31=

+ +

Un triunghi echilibrat de impedanta Z∆ are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY= Z∆3

5.4.2.2. Analiza circuitelor trifazate formate din receptoare echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice

Un circuit trifazat in care tensiunile electromotoare ale fiecarui generator formeaza un sistem simetric,

impedantele fazelor fiecarui generator sunt egale intre ele si toate receptoarele sunt echilibrate functioneaza in

regim simetric. In acest regim tensiunile si curentii formeaza sisteme simetrice si deci este suficient sa se determine

marimile corespunzatoare unei singure faze a fiecarui receptor, marimile celorlalte doua faze deducandu-se din

proprietatile de simetrie.

Pentru a obtine o structura echivalenta mai simpla se inlocuiesc toate receptoarele cu cuplaje magnetice

prin circuite echivalente fara cuplaje si se inlocuiesc toate elementele terminale cu conexiune in triunghi cu

138

elemente echivalente conectate in stea. Dupa efectuarea acestor transformari toate elementele terminale trifazate vor

avea punct neutru. Toate punctele neutre vor avea acelasi potential (pentru un receptor echilibrat in regim simetric

avem UN0 = 0) si deci pot fi unite printr-un fir neutru “fictiv” de impedanta nula.

Mersul calculului este exemplificat in continuare pentru circuitul din figura .

Acest circuit poate fi analizat doar pentru o singura faza cu urmatorul circuit echivalent:

5.4.2.3. Analiza sistemelor trifazate formate din receptoare dezechilibrate

Daca un receptor dezechilibrat in triunghi este alimentat printr-o linie cu impedanta nenula se va

transfigura triunghiul in stea obtinandu-se un receptor echivalent in stea.

139

Pentru sistemele mai complicate se aplica transfigurari succesive stea-triunghi si triunghi-stea. In exemplul

din figura de mai jos se transfigureaza receptorul 2 din stea in triunghi si prin conectarea celor doua triunghiuri in

paralel se reduce problem ala cea din exemplul precedent.

140

4.1.7. Analiza circuitelor de curent alternativ

4.1.7.1. Introducere

Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al carui graf are L

laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:

• N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchoff (vezi paragraful 4.4)

• L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 4.4)

• L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si 4.3)

Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar de c.c. deoarece:

- teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma

- in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc.

La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand

coeficienti reali. La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand

coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt aceleasi cu cele pentru circuitele

liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in continuare insistandu-se asupra particularitatilor

circuitelor de c.a..

4.1.7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare

Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel:

• se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck, Mk, ek(t), isk(t)) si modul de interconectare

a elementelor de circuit,

• se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii.

Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si determinarea

solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L).

Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape:

1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele echivalente in

complex ale elementelor de circuit

2) Se scriu ecuatiile acestui circuit

3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si tensiunilor, (Uk, Ik, k

= 1, ... , L) de forma Uk = Ukejϕk

4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe

5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uk 2 sin(ω t +ϕ k).

Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30 2 sin ω t si is (t) = 2 sin (ω t+π /4) unde ω =100π s-1. Circuitul

echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.

Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:

I1 + I2 = 1+j , 10 I1 -20j I2 = 30, 20j I2 , 20j (1+j) - U = 0

114

Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 , I2 = j si U = - 20j.

Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:

S kdtoate sursele

∑ = E I1* + U Is

* = 30⋅ 1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j

S katoate impedantele

∑ = R⋅ I12 + ω Lj⋅ I2

2 -1

ωCj⋅ Is

2 = 10⋅ 1 + 20j⋅ 1- 20j⋅ 2 = 10 - 20j

Valorile instantanee sunt: i1 (t) = 2 sin ω t, i2 = 2 sin( ω t+π /2) si u(t) = 20 2 sin( ω t-π /2)

4.1.7.2. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici

4.1.7.2.1. Metoda potentialelor nodurilor

Asa cum s-a aratat in paragraful 2., se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva

ecuatiile de functionare ale bobinelor cuplate: U1=jω L1I1±jω MI2 , U2=jω L2I2±jω MI1 in raport cu

necunoscutele I1 si I2 .

115

u t Un n tn

u t Un n tT

n

u t Un n tT

n

1 21

2 231

3 21

2

3

( ) sin( )

( ) sin[ ( ) ]

( ) sin[( ( ) ]

=∞∑ +

= − +∞∑

=∞∑ − +

ω α

ω α

ω α

Cu T=2π /ω si considerand α n=0 rezulta:

u t Un n t u t Un n t n u t Un n t n1 21 2 2

2

31 3 24

31( ) sin , ( ) sin( ), ( ) sin( )=

∞∑ = −

∞∑ = −

∞∑ω ω π ω π

In conformitate cu definitiile din capitolul 5 rezulta urmatoarele proprietati:

- armonicele de ordin n = 3k, (3,6,9,12,...) ale u1, u2, u3 sunt in faza si alcatuiesc un sistem simetric

homopolar

- armonicele de ordin n = 3k+1, (1,4,7,10,...) ale u1, u2, u3 alcatuiesc un sistem simetric direct

- armonicele de ordin n = 3k-1, (2,5,8,11) ale lui u1, u2, u3 alcatuiesc un sistem simetric invers.

Particularizand pentru cazul undelor electrotehnice numai cu armonici impare rezulta ca:

- armonicele 1,7,13,... formeaza un sistem direct

- armonicele 5,11,17,... formeaza un sistem invers

- armonicele 3,9,15,... formeaza un sistem homopolar

Tinand seama de aceste particularitati, in retelele trifazate echilibrate in regim simetric (cu

tensiuni si curenti nesinusoidali simetrici) apar anumite efecte legate de modul de conexiuni. In

continuare vor fi date cateva exemple:

i) La generatorul in stea fara fir neutru tensiunile de linie u12, u23, u31 nu contin armonicele

3,9,15,... (U12(3)=U10(3)-U20(3), dar U10(3), U20(3) si U30(3) formeaza un sistem homopolar

si deci U12(3)=0, s.a.m.d.).

Valoarea efectiva a tensiunii de faza este: U f U f U f U f= + + +12

32

52 ...

Valoarea efectiva a tensiunii de linie este: Ul U f U f= + +3 12

52 ...

si deci Ul U f≤ 3 . Formele undelor de tensiune de faza si de linie sunt diferite.

ii) In cazul unui receptor in stea cu fir neutru curentul prin firul neutru este nenul numai pentru

armonicele de ordin multiplu de 3 IN I I I= + + +32

92

152 ...

iii) In receptoarele in stea fara fir neutru nu apar curenti de armonicele 3,9,15,...si tensiunea UN0

contine numai armonicele 3,9,15,...

iv) La receptoarele in triunghi Il I f⟨ 3 datorita lipsei armonicelor multiple de 3 din curentii de

linie.

Forma undei de curent de faza difera de cea a curentului de linie.

6.5. Regimul deformant in sistemul electroenergetic

6.5.1. Producerea regimului deformant

Asa cum s-a aratat in capitolul 4 sistemul electroenergetic este format din generatoare cu

tensiuni electromotoare sinusoidale de aceeasi pulsatie ω si receptoare. Daca toate elementele de

circuit sunt liniare atunci, in regim permanent, toti curentii si toate tensiunile sunt functii

sinusoidale de pulsatie ω . Daca in acest sistem cel putin un element de circuit este neliniar,

regimul permanent al circuitului, daca exista (vezi paragraful 6.1.), este un regim deformant. Iata

cateva exemple:

Rezistorul neliniar alimentat cu tensiune sinusoidala

Fie un rezistor cu caracteristica i = au + bu3.

Daca u U t rezulta i aU t bU t si tinand seama

ca x x x avem i aU bU t bU t

= = +

= − = + −

2 2 2 2 3 3

3 3

4

1

43 2

3

23 2

23 3

sin sin sin

sin sin sin ( ) sin sin .

ω ω ω

ω ω

Se observa aparitia armonicei a treia de curent care provine din termenul bu3 din ecuatia

constitutiva a rezistorului neliniar.

Bobina cu miez de fier alimentata cu tensiune sinusoidala

Bobina cu miez de fier este un element neliniar de circuit caracterizat de ecuatia

constitutiva neliniara ϕ = ϕ (i) corespunzatoare curbei de magnetizare a fierului. Ecuatia de

functionare a bobinei este u Nd

dt=

ϕ unde N este numarul de spire si ϕ este fluxul magnetic

fascicular (printr-o spira).

Daca u U t rezultaU

Nt deci este defazat cu in urma tensiunii= = −2

2

2 2sin sin( ) .ω ϕ

ωω π ϕ π

Pe portiunea liniara OA a curbei de magnetizare curentul i va avea o variatie sinusoidala

fiind defazat cu π /2 in urma tensiunii. Pe portiunea neliniara AB a caracteristicei de magnetizare

se poate determina forma undei de curent pe cale grafica.

Se construieste curba i(t) punct cu punct utilizand caracteristica ϕ (i) . Curba i(t) este bisimetrica

in sinus, deci contine numai armonice impare, cu armonica a 3-a in opozitie cu fundamentala.

i I t I t n I n n tn

= − + − ++ +

=

∞∑1 2 3 2 3 1 2 1

2 1 2 2 12

sin sin ( ) sin( )ω ω ω

Curentul este "in faza" cu fluxul (adica are extremele la aceleasi momente de timp si se

anuleaza la aceleasi momente de timp).

Puterea activa absorbita de bobina este nula: P UnI n n U I= = =∞∑ cos cosϕ π

1 1 20

1

In cazul in care ciclul de histerezis al materialului din care este facut miezul bobinei nu

poate fi neglijat, curba i(t) se construieste in acelasi mod. Se obtine o curba i(t) care nu este

simetrica si nici "in faza" cu fluxul magnetic dar are maximul in acelasi timp cu ϕ .

Curentul este defazat inaintea fluxului cu un unghi α numit unghi de avans histerezis si

deci defazajul dintre tensiune si curent este (π /2-α ). In aceste conditii puterea activa absorbita de

bobina nu mai este nula P=U1I1cos (π /2-α ) = U1I1cos α ≠ 0 si corespunde pierderilor in fier

prin histerezis. Cazul condensatorului neliniar (capacitati neliniare apar la efectul Corona)

alimentat cu tensiune sinusoidala este similar cu cel al bobinei neliniare.

Redresorul Functionarea celui mai simplu redresor (redresorul monoalternanta fara

filtru)

a fost studiata in capitolul 2. Generatorul ideal de tensiune are e=E√2sin ω t. Asa cum s-a aratat in

capitolul 2, forma de unda a curentului este:

i t

E

Rt pt

kt

k

ptk

tk

( )sin ,

( )

( ) ( )=

≤ < +

+ ≤ < +

2 2 2 1

02 1 2 2

ω πω

πω

πω

πω

Dezvoltand in serie Fourier rezulta:

i tE

R

E

Rt

R nn t

n( ) sin sin( )= + +

−−

=

∞∑

2 2

2

2 2 1

4 2 12

21πω

πω π

6.5.2. Efectele regimului deformant

Functionarea in regim deformant produce in sistemul electroenergetic efecte defavorabile.

Acestea pot fi puse in evidenta pe un exemplu simplu.

Fie un receptor liniar inductiv pentru care se considera o schema echivalenta RL serie.

Acest receptor functioneaza in regim sinusoidal la o tensiune U1 si absoarbe un curent I1, factorul

de putere fiind

KP

S

RI

U I

RI

U= = =1

2

1 1

1

1

Daca acelasi receptor este conectat intr-o retea in care apare si o componenta de armonica a treia a

tensiunii de alimentare de valoare efectiva U3 prin el va circula si armonica a treia de curent de

valoare efectiva I3 . Ca urmare, valoarea efectiva a curentului absorbit creste de la I1 la I I12

32+

ceea ce produce pierderi suplimentare pe linia de alimentare si in rezistenta echivalenta a

receptorului. Factorul de putere in regim deformant este:

KP

S

R I I

U U I I

RI

U

I

I

U

U

K

I

I

U

U

' '

'

( )

( )( )= =

+

+ +=

+

+

=

+

+

12

32

12

32

12

32

1

1

1 32

12

1 32

12

1 32

12

1 32

12

Deoarece receptorul este inductiv U

U

I

I

32

12

32

12

> si deci K'<K deci in regim deformant scade factorul

de putere.

Alte efecte ale regimului deformant sunt cresterea erorilor aparatelor de masura si aparitia unor

curenti de nul pe armonicele 3,9,12,... care produc pierderi suplimentare (vezi paragraful 6.4.3.)

6.5.3. Imbunatatirea factorului de putere

Solutia practica pentru imbunatatirea factorului de putere in retelele energetice in regim

deformant este filtrarea armonicelor asociata cu compensarea puterii reactive pe fundamentala.

In regim sinusoidal imbunatatirea factorului de putere se face prin introducerea de

elemente reactive (condensatoare).

In regim nesinusoidal

KP

S

UnIn n

Un I n

Pn

Uef Ief= =

∞∑

⋅∞∑

∞∑

=

∞∑cos

( ) ( )

ϕ1

2 211

1

deci este o functie de Un, In, ϕ n. Valorile extreme ale lui K pot fi cautate impunand conditiile de

anulare a derivatelor lui K in raport cu Un, In, ϕ n. De exemplu:

∂∂ϕ

ϕK

n

Un In n

Un In

= −

∞∑

∞∑

∞∑

=sin

12

12

1

0

deci ϕ n=0 ceea ce nu se poate realiza pentru toate armonicele.

Pentru reducerea anumitor armonice de tensiune sau de curent se folosesc circuite auxiliare

formate din bobine si condensatoare legate in serie sau paralel care indeplinesc conditia de

rezonanta si care se numesc filtre de armonice. In continuare sunt prezentate doua exemple:

a) Pentru ca intr-un receptor alimentat u o tensiune nesinusoidala curentul sa nu contina armonica

de ordinul k trebuie ca impedanta echivalenta a receptorului impreuna cu filtrul pe armonica k sa

fie

infinita. Aceasta se realizeaza daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta pe armonica k.

k Lk C

ωω

= 1

Admitanta filtrului pe armonica k este Yfk j k C

k Lsi deci I k YAB

k Uk( ) ( ) .= − = = ⋅ =ω

ω1

0 0

Deci filtrul LC paralel, legat in serie la bornele receptorului se comporta pa armonica k ca la mers

in gol.

b) Pentru ca la bornele unui receptor alimentat cu un curent nesinusoidal sa nu apara armonica k

de tensiune trebuie ca impedanta echivalenta a filtrului impreuna cu receptorul sa fie nula.

Aceasta se realizeaza daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta K LK C

ωω

= 1

Impedanta filtrului este Zfk j k L

k Csi deci Uk ZAB

k I k( ) ( ) .= − = = ⋅ =ω

ω1

0 0

Se observa ca acest tip de filtru se comporta pe armonica k ca un scurtcircuit.

In paragraful 6.4. s-a aratat ca un receptor neliniar alimentat cu o tensiune sinusoidala se

comporta ca un generator de curent de armonice superioare. In cazul in care se doreste reducerea

ariei de raspandire a regimului deformant se leaga in paralel cu receptorul respectiv cate un circuit

LC serie rezonant pe fiecare armonica care scurtcircuiteaza practic aceste armonice superioare de

curent.

Din teoremele de liniaritate si derivare a functiei original rezulta ca ecuatiilor diferentiale

care exprima legaturile intre u(t) si i(t) pentru elementele de circuit le corespund ecuatii algebrice

care exprima legaturile intre U(s)= L u(t) si I(s)= L i(t). In continuare se prezinta aceste

ecuatii si circuitele echivalente care le corespund (schemele echivalente operationale) pentru

fiecare element de circuit.

7.3.2. Schemele echivalente operationale

Rezistorul ideal are ecuatia de functionare u(t)=R⋅ i(t) si daca U(s)=L u(t), I(s)=Li(t)

atunci U(s)=RI(s). Factorul care inmulteste pe I(s) pentru a obtine pe U(s) se numeste impedanta

operationala Z sU s

I s( )

( )

( )= . La rezistorul ideal ZR(s)=R. Acestei relatii ii corespunde schema

echivalenta operationala

Pentru bobina ideala, ecuatiei u t Ldi t

dt( )

( )= ii corespunde ecuatia in transformate

Laplace U(s)=L[sI(s)-i(0-)] sau U(s)=LI(s)-ϕ (0-) unde i(0-) sau ϕ (0-) reprezinta conditia initiala

la momentul t=0- pentru curent sau flux magnetic. Pentru i(0-)=0 se defineste impedanta

operationala a bobinei Z sU s

I ssLL ( )

( )

( ).= = .Schema echivalenta operationala este:

Pentru condensatorul ideal relatiei i t Cdu t

dt( )

( )= ii corespunde legatura intre

transformatele Laplace I(s)=C[sU(s)-u(0-)] sau I(s)=sCU(s)-q(0-) unde u(0-) sau q(0-) sunt

conditiile initiale la t=0- pentru tensiunea sau sarcina condensatorului. Pentru u(0-) =0 se defineste

175

impedanta operationala a condensatorului Z sU s

I s sCC ( )( )

( ).= = 1 Schema echivalenta operationala

a condensatorului este data in figura de mai sus.

Pentru doua bobine ideale cuplate:

u t Ldi

dtM

di

dt

u t Ldi

dtM

di

dt

1 11 2

2 22 1

( )

( )

= +

= +

Aplicand transformata Laplace se obtine

U s L sI s i M sI s i sL I s sMI s

U s L sI s i M sI s i sL I s sMI s1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 1 0

2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 1 2 0

( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( _ )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( _ ) ( ( ) ( _ ) ( ) ( ) ( )

= − − + − = + − −= − + − = + − −

Φ

Φunde Φ Φ1 1 1 2 2 2 2 10 0 0 0 0 0( ) ( _ ) ( _ ) ( _ ) ( _ ) ( _ )− = + = +L i Mi si L i Mi sunt fluxurile magnetice ale bobinelor

1 si 2 la t=0-.Rezulta imediat schemele echivalente operationale.

Daca curentii nu ataca la fel bornele polarizate atunci in toate ecuatiile de mai sus M se inlocuieste

cu -M.

Se observa usor ca in cazul circuitelor fara conditii initiale schemele echivalente

operationale se obtin direct din schemele in complex inlocuind pe jω cu s.

7.3.2. Ecuatiile operationale ale circuitului

176

Ecuatiile unui circuit liniar in domeniul timpului se pot scrie cu metoda tabloului (vezi

capitolul 3)

0 0

1 0

0 0 1 0 1

0

0

0

0

A

AT

M D M N D N

v t

u t

i t us t

sau T D W t

us t

−+ +

=

⋅ =

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

.

unde:

- W(t) este vectorul necunoscutelor care cuprinde: potentialele nodurilor v(t), tensiunile si

curentii laturilor grafului u(t) si i(t)

- A este matricea de incidenta a laturilor la noduri iar AT transpusa acesteia.

- D=d/dt este operatorul de derivare.

- M0, M1, N0, N1 sunt matrice cu elemente constante in care apar parametri circuitului (R,

L, C, ...)

- us(t) este vectorul surselor independente din circuit (functii original).

Se aplica transformata Laplace acestui sistem de ecuatii si se obtin ecuatiile circuitului in

domeniul frecventei complexe s.

0 0

1 0

0 0 1 0 1

0

0

0

0

0

0

0

0

A

AT

M s M N s N

V s

U s

I s Us s Ui s

sau T s W s

Us s Ui s

−+ +

=

+

⋅ =

+

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

unde Us(s) = Lus(t) si Ui(s) se refera la conditiile initiale.

Se observa usor ca toate aceste ecuatii sunt similare cu cele ale unui circuit liniar de curent

continuu sau de curent alternativ. Deci toate teoremele si metodele de analiza studiate in capitolele

respective sunt valabile si pentru schemele echivalente operationale: teoremele generatoarelor

echivalente, teorema superpozitiei, teoremele de reprezentare a diportului, metoda potentialelor

nodurilor, metoda curentilor ciclici, etc. In membrul drept al sistemului de ecuatii apare in plus

vectorul Ui(s) al conditiilor initiale.

7.3.3. Calculul raspunsului circuitului

7.3.3.1. Introducere

Algoritmul de analiza cu transformata Laplace a unui circuit liniar in regim variabil in

timp consta in :

- determinarea conditiilor initiale pentru bobinele si condensatoarele din circuit (Φ L(0_)

sau i L(0_) si QC(0_) sau uC(0_)).

177

- construirea circuitului cu surse si impedante operationale format din schemele

echivalente operationale ale elementelor de circuit

- scrierea ecuatiilor pentru una dintre metodele cunoscute de la circuitele de curent

continuu sau de curent alternativ si calculul necunoscutelor Uk(s) si Ik(s).

- determinarea functiilor original uk(t) si ik(t) cu teoremele lui Heaviside.

Exemplul 1. In circuitul din fig.a la t=0 se inchide comutatorul K . Se da e(t) =2sin2t, uC (0- )=1 V.

Se cere sa se calculeze i(t) pentru t>0. Evident iL(0- )= 0 si schema echivalenta operationala este

data in fig.b

a

b

Z sL s ZsC s

Z ts

L C

R

= = = =

= =+

,

, sin

1 1

1 21

12L

Rezulta I sZ s s s

I s s I e s( )( )

( ) ( ) ( )=+

+ = +1 22 1

10 0 unde I0s(s) corespunde raspunsului dat de

excitatie (la stare initiala nula) si I0e(s) corespunde raspunsului dat de starea initiala (la excitatie

nula) si Z(s)=s+1/s+1= s s

s

2 1+ + . Descompunem in fractii simple prin identificarea coeficientilor:

I s ss

s

s s

As B

s

Cs D

s s0

22 1 2 1 2 1 2 1

( ) =+

⋅+ +

= +

++ +

+ + sau 2 2 1 2 1s As B s s Cs D s= + + + + + +( )( ) ( )( )

178

( ):

( ):

( ):

( ):

s A C

s A B D

s A B C

s B D

3 02 0

20 0

= +

= + += + +

= +

deci A=0, C=0, B=2, D= -2 si

I s ss s s s s

02

2 1

22 1

22 1

2

1

22 3

22

( )

( ) ( )

=+

−+ +

=+

−+ +

Conform primei teoreme a dezvoltarii (poli complecsi) rezulta i s t t et

t0 24

32 3

2( ) sin sin= −

−.

Raspunsul la stare initiala nula are ocomponenta sinusoidala de pulsatia excitatiei si o componenta

sinusoidala amortizata de pulsatia 3

2 (pulsatie prprie a circuitului).

Similar I e s

s

s

s s s0

12 1

1

1

22 3

22

( )

( ) ( )

= ⋅+ +

=+ +

si i e t et

t02

32 3

2( ) sin=

−

Raspunsul la excitatie nula are o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia proprie a

circuitului. Raspunsul complet este

i t i s t ioe t t et

t( ) ( ) ( ) sin sin= + = −−

0 22

32 3

2

Termenul 2sint este componenta de regim permanent (care ramane cand t→∞) iar termenul

-2

32 3

2e

tt

−sin este componenta de regim tranzitoriu care practic dispare pentru t>5τ =10s.

Se observa ca daca uc(0-)=2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de

regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele.

Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este

sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila

indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea

raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la

conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia

componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului

permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile

initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul.

Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da uC2 0 2( )− =ε V. Pentru

t<0 se considera regimul permanent. Se cere:

179

10 Sa se calculeze U(s) = Lu(t)

20 Sa se calculeze u(∞) cu teorema valorii finale si sa se explice rezultatul obtinut.

10. Regimul permanent pentru t<0 este un regim de curent continuu. Pentru determinarea

conditiilor initiale la t=0_ se analizeaza circuitul in care bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule

si condensatoarele cu rezistente infinite.

i A i A

Wb

Wb

u VC

1 2

1

2

0 1 0 1

0 1 1 1 1 2

0 1 1 1 1 2

0 11

( _ ) ( _ )

( _ )

( _ )

( _ )

= == ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ ==

ΦΦ

Schema echivalenta operationala este :

Se determina generatorul echivalent de tensiune al subcircuitului din dreapta bornelor AB

U AB s I s

ss

ZABs

ss0 1

2

11

2

1 0

11

11

1

1( ) = ⋅ =

+=

+=

⋅

+=

+

Circuitul devine

Scriem ecuatiile curentilor ciclici: I

s

Is

ss s s s s

11

22 1

1

1 2 12

2

1

=

+ ++

− ⋅ = − + −+

( )

180

Rezulta Is s s

s s s ssi U s

sI

s

s s s s

s s s s s2

2 3 2 23 2 3 2

1

1 22

1

2 4 4 3 5 2 5 2

1 3 2 3 2= − + +

+ + +=

++

+= + + + +

+ + + +( )( )

( )( )

Circuitul are patru elemente dinamice. Se vede clar ca determinarea unei formule analitice pentru

u(t) presupune calcule complicate incluzand rezolvarea exacta a ecuatiei s s s3 2 3 2+ + + =0.

20. u(∞)= ssU s V

→=

01lim ( ) . u(∞) este solutia de regim permanent (curent continuu) si se poate

calcula in circutul echivalent

Rezulta u(∞)=1.1=1 V

Din sistemul de ecuatii in domeniul frecventei complexe s rezulta vectorul necunoscutelor

W s T s

Us s

T s

Ui s

( ) ( )

( )

( )

( )

= −

+ −

10

0 10

0

si in domeniul timp w t w t w t( ) ( ) ( )= +1 2 unde w1(t) este solutia corespunzatoare conditiilor

initiale nule, w2(t) este solutia corespunzatoare surselor independente pasivizate, iar w(t) este

raspunsul complet. Deci raspunsul complet se poate scrie ca suma dintre raspunsul la stare initiala nula si raspunsul la excitatie nula. La acelasi rezultat se ajunge si daca se aplica teorema superpozitiei.

181

4.2.Circuite trifazate

4.2.1. Sisteme trifazate - caracterizare si proprietati

Un sistem trifazat este un ansamblu de trei marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie ω .

y t Y t1 1 2 1( ) sin( )= +ω α , y t Y t2 2 2 2( ) sin( )= +ω α , y t Y t3 3 3 3( ) sin( )= +ω α

avand reprezentarea in complex:

Y Y e j1 1

1= α

Y Y e j2 2

2= α

Y Y e j3 3

3= α

Daca modulele sunt egale intre ele (Y1 =Y2 =Y3 =Y) si marimile sunt defazate intre ele cu 2

3

πavem un sistem

trifazat simetric. Acesta este de succesiune directa daca secventa Y1, Y2, Y3 se obtine prin parcurgere in sens orar,

Sistem simetric de succesiune directa:

y t Y t1 2( ) sin= ω

y t Y t2 22

3( ) sin( )= −ω π

y t Y t3 22

3( ) sin( )= +ω π

Y Y1 =

Y Yej

a Y a Y2

23 2

12=

−= =

π

Y Yej

aY3

23= =π

127

In relatiile de mai sus s-au folosit notatiile:

a ej

j= = − +23 1

2

3

2

π si a e

jj2

23 1

2

3

2=

−= − −

π.

Se observa usor ca 1, a si a2 sunt solutiile ecuatiei x3 -1=0 si satisfac urmatoarele relatii:

1+a+a2=0, a*=a2, (a2)*=a, a3=1, a4=a, a5=a2...

Daca modulele sunt egale intre ele (Y1=Y2=Y3=Y) si fazele sunt egale intre ele (α 1=α 2=α 3=α ) avem un sistem

homopolar.

y t Y t1 2( ) sin( )= +ω α Y Ye j1 = α

y t Y t2 2( ) sin( )= +ω α Y Ye j2 = α

y t Y t3 2( ) sin( )= +ω α Y Ye j3 = α

5.2. Marimi trifazate

In centralele electrice se produce energie cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care furnizeaza

tensiuni ce formeaza un sistem trifazat simetric de succesiune directa:

e t E t1 2( ) sin= ω

e t E t2 22

3( ) sin( )= −ω π

e t E t3 22

3( ) sin( )= +ω π

Producerea energiei electrice cu generatoarele trifazate este foarte eficienta. Transmisia energiei electrice

la receptor se face prin intermediul liniilor electrice. Fiecare faza a generatorului trifazat ar putea alimenta un

receptor separat si deci linia ar putea avea sase conductoare. Acest sistem de transmisie nu este insa economic. Prin

conexiuni speciale (in stea sau in triunghi) ale receptoarelor, numarul de conductoare se poate reduce la trei sau

patru.

Avantajele distributiei trifazate a energiei electrice sunt:

- transmisie de energie mai economica (economie de material - Cu sau Al), puterea maxima

pe conductor fiind mai mare;

- posibilitatea de a avea doua valori pentru tensiuni la utilizator : Uf si Ul ;- posibilitatea producerii campurilor magnetice invartitoare pe care se bazeaza functionarea

motoarelor asincrone.

Un circuit trifazat contine cel putin un generator si un receptor conectate intre ele prin conductoarele liniei

de transport al energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care sunt parcurse de acelasi curent

formeaza o faza a generatorului. Faza receptorului este formata asemanator din elemente de circuit parcurse de

acelasi curent. Un generator trifazat, ca si un receptor trifazat, are trei faze. Pentru a utiliza cat mai putine

conductoare de legatura atat generatoarele cat si receptoarele trifazate se conecteaza in stea sau in triunghi. Fie, de

exemplu, un generator conectat in stea legat cu un receptor conectat in stea.

Fazele generatorului formate din E1 , Z1g (faza 1), E2 , Z2g (faza 2) si E3 , Z 3g (faza 3) sunt legate impreuna in

punctul 0 (neutrul generatorului). Fazele receptorului (Z1 , Z2 si Z3) sunt legate impreuna la neutrul receptorului N.

Conexiunea stea se caracterizeaza prin legarea tuturor fazelor la un punct neutru. Generatorul este conectat cu

receptorul prin linia de transport al energiei care are patru conductoare: cele trei faze (conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-

3’) si conductorul neutru (0-N) care, in general, are o impedanta ZN. In tehnica, tensiunea la bornele unei faze a

generatorului sau a receptorului se numeste tensiune de faza (de exemplu U1g sau U2N ) si curentul printr-o faza a

generatorului sau a receptorului se numeste curent de faza. Tensiunea intre o faza a liniei si conductorul de nul se

numeste tot tensiune de faza desi, in general, are alta valoare decat tensiunea de faza a generatorului sau a

receptorului; de exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de faza dar, in acest caz, U10 = U1g si U10 ≠ U1N. Curentii care

trec prin conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc curenti de linie (I1 , I2 , I3) si curentul prin conductorul neutru se

numeste curent de nul (IN). Tensiunile intre conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc tensiuni de linie (U12, U23 ,

U31). La

conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faza (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g = I3r).

Daca tensiunile de faza U10, U20, U30 formeaza un sistem simetric de succesiune directa, atunci si tensiunile

de linie U12, U23 , U31 formeaza un sistem simetric de succesiune directa cu valori efective de 3 ori mai mari (

Ul

U f= 3 ). Intr-adevar U12 = U10 - U20 , U23 = U20 - U30 , U31 = U30 - U10 si reprezentand fazorii corespunzatori

rezulta:

Se obtine un triunghi echilateral cu latura Ul si cu 2

3 din inaltime Uf. Cum intre inaltime si latura exista relatia

h a= 3

2 rezulta

3

2

3

2⋅ =U f U l

si U l U f= 3 . Un receptor trifazat se poate considera ca fiind alimentat fie

cu sistemul tensiunilor U10, U20, U30 , fie cu sistemul tensiunilor U12, U23 , U31.

La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfarsitul unei faze este legat la inceputul fazei

urmatoare. Fie un receptor in triunghi cu fazele Z 12 , Z 23 si Z 31 alimentat printr-o linie cu trei conductoare de

legatura. Se observa ca tensiunea de linie U12 este si tensiunea la bornele fazei Z 12 a receptorului s. a. m. d. Deci, la

conexiunea triunghi, tensiunea de linie este egala cu cea de faza. In acest caz, curentii de linie sunt I1 , I2 si I3 iar

curentii de faza sunt I12, I23 , I31 .

5.3. Puteri. Compensarea factorului de putere

5.3.1. Puteri

Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol (vezi paragraful 1.6), pentru un receptor

cu patru borne de acces se obtine:

Sb U I U I U I Pb jQb= + + = +10 1 20 2 30 3* * * unde Sb este puterea aparenta complexa

absorbita de receptorul in stea. Aplicand teorema conservarii puterilor aparente complexe (puterea aparenta

complexa primita pe la borne de receptor este egala cu puterea aparenta complexa consumata in impedante) rezulta:

Sb S c Z I I Z I I Z I I Z N I N I N= = + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3* * * *

unde Z1, Z2, Z3, ZN sunt impedantele receptorului in stea.

In cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice s-a aratat ca:

U U f

U a U

U aU

10

202

10

30 10

=

==

si

I I f e j

I a I

I aI

1

22

1

3 1

= −

==

ϕ

deci:

Sbstea U I U I U I U f I f e j U f I f e j a a

U f I f e j a a U f I f e j

= + + = + ⋅ +

+ ⋅ =

10 1 20 2 30 32 2

3

* * * ( ) *

*

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Pbstea U l I l si Qbstea U l I l= =3 3cos sinϕ ϕ

si conform teoremei lui Tellegen

Pbstea Pcstea R f I f si Qbstea Qcstea X f I f= = = =3 2 3 2

In cazul unui receptor cu trei borne de acces:

Sb U I U I= +12 1 32 3* *Daca receptorul este in triunghi:

I I I I I I I I I1 12 31 2 23 12 3 31 23= − = − = − si U U U12 23 31 0+ + = si

Sb U I U I U I U I U I U I U I= − + − = + +12 12 12 31 32 31 32 23 12 12 23 23 31 31* * * * * * *Expresia obtinuta reprezinta, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze.

Si din bilantul puterilor aparente complexe rezulta: Sb S c Z I Z I Z I= = + +12 122

23 232

31 312

Pentru receptorul echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu I12=Ife-jϕ

s.a.m.d. rezulta:

Sb U f I f e j∆ = 3 ϕ

respectiv

Pb U l Il Pc R f I f si Qb U l I l Qc X f I f∆ ∆ ∆ ∆= = = = = =3 3 2 3 3 2cos sinϕ ϕ

5.3.2. Compensarea factorului de putere

Receptoarele industriale fiind inductive, imbunatatirea factorului de putere se poate efectua cu baterii de

condensatoare conectate in stea sau triunghi. In cazul unor receptoare echilibrate

notam :

Q - puterea reactiva a receptorului inductiv

Qc - puterea reactiva a condensatorului

Q’ =Q+Qc - puterea reactiva a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare (o valoare pozitiva

foarte mica care corespunde unei medii statistice in timp pentru consumatorul respectiv).

Evident: QC C U l∆ ∆= −3 2ω si Qcstea Cstea U f= −3 2ω .

Rezulta capacitatea pe faza : CsteaQ Q

U f

=− '

3 2ω sau CQ Q

U l

Cstea∆ = − ='

3 2 3ω

Deci compensarea cu baterii de condensatoare legate in triunghi este mai avantajoasa din punct de vedere al pretului

condensatoarelor (C∆ < Cstea). Totusi, condensatorul C∆ lucreaza la o tensiune mai mare decat Cstea, ceea ce il

face sa fie mai scump; solutia optima se alege in fiecare caz concret.

5.4. Analiza circuitelor trifazate

Analiza circuitelor trifazate consta in determinarea curentilor de faza si de linie cand se cunosc tensiunile

de alimentare si impedantele fazelor. Se pot aplica toate metodele de analiza studiate in capitolul 4 (circuite de

curent alternativ monofazat). Exista si algoritmi specifici circuitelor trifazate care vor fi prezentati in paragrafele

urmatoare.

5.4.1. Analiza unor receptoare trifazate simple

5.4.1.1 Receptorul in stea fara cuplaje mutuale

Se considera cazul unui receptor in stea cu fir neutru. Se noteaza cu N nulul receptorului si cu 0 nulul de la

generator

Se cunosc:

- tensiunile de faza care alimenteaza receptorul U10, U20, U30

- impedantele fazelor Z 1 , Z 2 , Z 3 si impedanta conductorului neutru ZN

Marimile care trebuie determinate sunt:

- curentii din fazele receptorului I1 , I2 si I3

- curentul din conductorul neutru IN

- tensiunile de faza ale receptorului U1N, U2N, U3N

- tensiunea UN0

Se scriu urmatoarele ecuatii date de teoremele lui Kirchhoff si legea lui Ohm aplicate in circuitul dat:

U1N + UN0 = U10

U2N + UN0 = U20

U3N + UN0 = U30

I1 = U1N Y1

I2 = U2N Y2

I3 = U3N Y3

IN = UN0YN

Documents

bazele electrotehnicii