Bazele Statice Ale Hidrologiei

8/12/2019 Bazele Statice Ale Hidrologiei

1/186

MINISTERUL NVMNTULUI

Program TEMPUS S_JEP 09781/1GESTION ET PROTECTION DE LARESSOURCE EN EAU

Radu DROBOT

BAZELE STATISTICEALE HIDROLOGIEI

Serie coordonat de:Radu DROBOT - Universitatea Tehnicde Construcii Bucureti

Jean Pierre CARBONNELUniversitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6

EDITURA DIDACTIC I PEDAGOGIC, R.A. - BUCURETI, 1996


2/186

ISBN 973 - 30 - 4832 - 1

Copyright 1997. Toate drepturile asupra acestei ediii sunt rezervate

Editurii Didactice i Pedagogice, R.A., Bucureti

Redactori: Iuliana ARHANGHELSCHI i Tincua ANTON

Grafician: Dumitru MALENIC


3/186

PREFA

Cursul BAZELE STATISTICE ALE HIDROLOGIEI i propune o prezentare

didactic a noiunilor de baz ale statisticii matematice i ale utilizrii acesteia

n domeniul resurselor de ap.

Materialul este prezentat gradat, trecerea de la noiunile elementare la cele

de mare complexitate fcndu-se foarte lent. S-a urmrit, n special, nelege-

rea pe baze intuitive a unor noiuni matematice considerate adesea dificile,

renunndu-se, din acest motiv, la demonstraii matematice care fac de altfelobiectul altor cursuri.

Numeroase exemplificri din domeniul practic au rolul de a permite

nelegerea corect a noiunilor prezentate, n vederea formrii unui mod de

gndire statistic, att de necesar n hidrologie i gospodrirea apelor, unde

informaiile de care se dispune sunt adesea insuficiente.

Far a idealiza calculul statistic, s-a insistat mult asupra premizelor sale,

pentru a-i nelege corespunztor posibilitile, dar i limitele. Nu trebuie uitat

c probabilitatea constituie o msur a incertitudinii i c abia pe msura

cunoaterii aprofundate a unui fenomen i se pot descifra corect mecanismele i

deci, se poate ajunge la formularea unor dependene de tip determinist, de la

cauz la efect.

Pn la realizarea acestui deziderat, abordarea statistic este n msur s

ofere rspunsuri i soluii la o serie de probleme practice din domeniul

cunoaterii i utilizrii resurselor de ap.

Terminologia utilizat este n concordan cu STAS-urile n vigoare, dar i

cu limbajul matematic al teoriei probabilitilor i statisticii matematice.

Lucrarea BAZELE STATISTICE ALE HIDROLOGIEI se adreseaz specialiti-

lor din domeniul resurselor de ap, cursanilor de la cursurile colii de Studii

Postuniversitare INGINERIA RESURSELOR DE AP, ca i studenilor de lacursurile de zi, care au hidrologia ca obiect de studiu: Hidrotehnic,

Hidroenergetic, Agronomie, Geografie, etc.

Autorul


4/186

CUPRINS

1. GENERALITI .................................. .................................................1.1.Statistic matematic. Definiie.........................................................1.2. Variabile deterministe. Variabile aleatoare .......................................

1.3. Clasificarea variabilelor aleatoare .....................................................

1.4. Populaie statistic. Selecie ..............................................................

1.5. Frecven absolut. Frecven relativ. Probabilitate..........................

1.6. Repartiii teoretice. Repartiii empirice ..............................................

2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE .............................................2.1.Repartia unei variabile aleatoare discrete .........................................

2.1.1. Exemple de repartiii discrete .....................................................2.1.2. Reprezentarea grafic a repartiiilor discrete ...............................

2.2. Funcia de repartiie a unei variabile discrete ....................................

2.2.1. Proprieti ale funciei de repartiie .............................................

2.2.2.Reprezentarea grafic a funciei de repartiie pentru o

variabil discret .........................................................................

2.2.3. Probabilitatea apariiei unei variabile discrete ntr-un

anumit interval ............................................................................

2.2.4. Reprezentarea funciei de repartiie a unei variabile discrete

(sau discretizate) cu valorile grupate pe intervale ........................

2.3. Complementara funciei de repartiie (probabilitatea de depire) .....

2.3.1. Interpretarea geometric a probabilitii de depire ...................

2.3.2. Reprezentarea grafic a probabilitii de depire .......................2.3.3. Relaia de calcul a probabilitii de depire ...............................

2.3.4. Calculul probabilitii de depire a valorilor xin hidrologie ......

2.4. Modul de reprezentare a funciilor de repartiie n hidrologie ......... ...

2.4.1. Semnificaia probabilitii de depire n hidrologie ....................

3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE ...........................................3.1. Densitate de repartiie. Funcie de repartiie ......................................

3.2. Reprezentarea grafic a probabilitii de depire n hidrologie ........

3.3. Extrapolarea repartiiilor empirice prin repartiii teoretice ................

4. VALORI TIPICE ALE VARIABILELOR ALEATOARE .................4.1. Parametri ai tendinei centrale ...........................................................

4.2. Parametri ai variabilitii ..................................................................4.3. Parametri ai formei ............................................................................

4.4. Calculul parametrilor statistici ai repartiiilor empirice ......................

4.5 Evaluarea parametrilor repartiiilor teoretice .....................................

4.5.1. Metoda momentelor ....................................................................

4.5.2. Metoda verosimilitii maxime ...................................................

4.5.3. Metoda celor mai mici ptrate .....................................................

4.6. Erori i limite ale calculului statistic ............................................. .....

7

7

7

8

9

10

12

13

13

1517

21

22

25

27

30

32

34

3536

39

42

45

48

48

53

54

57

57

6167

69

73

73

75

77

81

5


5/186

5.REPARTIII CONTINUE UTILIZATE N HIDROLOGIE ..............5.1. Repartiia normal ............................................................................

5.2. Aplicaii ale repartiiei normale n hidrologie ....................................

5.3. Repartiia log-normal (logaritmic normal) ......................................

5.4. Repartiiile Gama ..............................................................................

5.4.1. Repartiia 1

................................................................................

5.4.2. Repartiia 2................................................................................

5.4.3. Repartiia 3................................................................................

5.4.4. Corecia de siguran Qp%

..........................................................

5.5. Repartiia Gumbell ............................................................................

5.6. Repartiii statistice auxiliare ..................................................... .........

6. INTERVALE DE NCREDERE ...........................................................

7. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE ...................................

8. VARIABILE ALEATOARE N-DIMENSIONALE ..............................8.1. Funcie de repartiie i densitate de repartiie ....................................

8.2. Variabile aleatoare bi-dimensionale ..................................................

8.2.1. Repartiia normal bi-dimensional ............................................

8.2.2. Repartiii empirice bi-dimensionale ............................................

8.3. Reprezentri i repartiii empirice bi-dimensionale n hidrologie.

Corelaii ............................................................................................

8.3.1. Clasificarea corelaiilor ...............................................................

8.3.2. Coeficientul de corelaie al variabilelor bi-dimensionale ............8.3.3. Interpretarea coeficientului de corelaie. Proprieti ....................

8.3.4. Estimarea parametrilor regresiei liniare simple ...........................

8.3.5. Intervale de ncredere n cazul regresiei liniare simple ................

8.3.6. Regresia neliniar simpl ............................................................

8.3.7. Raportul de corelaie ...................................................................

8.4. Corelaii liniare multiple ...................................................................

8.4.1. Coeficientul corelaiei liniare multiple ........................................

8.4.2. Autocorelaia sau corelaia serial ...............................................

8.5. Generarea debitelor ...........................................................................

BIBLIOGRAFIE ....................................................................................

8585

92

100

105

106

108

115

125

126

127

132

138

144

144

147

150

150

152

156

158

162

164

169

171

174

177

179

180

182

185

6


6/186

1. GENERALITI

1.1. STATISTIC MATEMATIC. DEFINIIE

Prin teoria statisticii sau statistic matematic se nelege disciplina care seocup cu formularea i interpretarea legilor de comportare att ale fenomenelor

de mas (inaccesibile metodelor deterministe), ct i ale fenomenelor rare,avnd o frecven redus de apariie (V. Bobancu, 1974).

n cazul fenomenelor de mas, legitile statistice trebuie interpretate catendine predominante i pot fi evideniate numai n condiiile unui numrsuficient de mare de observaii asupra ansamblului studiat (C. Moineagu .a.,1976).

n domeniul hidrologiei, sarcina de a obine informaii primare asupramrimilor hidrologice (niveluri, debite, viteze etc.) revine hidrometriei, iartotalitatea datelor privind rspndirea, cantitatea i variaia apelor de suprafai subterane constituie fondul hidrologic. Prin prelucrarea statistic a datelor dinfondul hidrologic se obin n principal parametri necesari pentru dimensionarea

lucrrilor hidrotehnice.

1.2. VARIABILE DETERMINISTE. VARIABILE ALEATOARE

ntruct baza teoretic a metodelor utilizate n statistica matematic oconstituie teoria probabilitilor, este necesar reamintirea unor noiuni de bazdin acest capitol al matematicii.

De la nceput trebuie fcut distincia ntre mrimile deterministe i celealeatoare. Dac un anumit fenomen depinde de un numr restrns de cauzecunoscute (sau eventual influenele altor factori sunt nesemnificative i deci nu

mai are sens cercetarea lor), variabilele care definesc acest fenomen sunt de tipdeterminist; caracteristic mrimilor deterministe este legtura direct ntre cauzi efect (n sensul mecanicii newtoniene).

n alte cazuri ns, fenomenul studiat depinde de o multitudine de cauze,principale sau secundare, eseniale sau neeseniale, de multe ori greu dedescifrat i de natur s imprime o mare variabilitate cazurilor singulare(C. Moineagu .a., 1976); n aceste condiii, fenomenul este tratat independent

7


7/186

de cauzele care l produc, iar variabilele care l caracterizeaz capt unpronunat caracter aleator.

ntr-un limbaj simplist, o variabil aleatoareeste o mrime care, ca rezultatal unui experiment, poate lua o valoare oarecare din domeniul su de definiie,fr s se poat preciza dinainte care va fi aceast valoare. Realizarea uneianumite valori a variabilei aleatoare are deci un caracter pur ntmpltor;termenul sinonim de variabil stohastic evideniaz tocmai acest aspect (nlimba greac stohosis nseamn presupunere sau conjunctur). De exemplu, prinaruncarea unui zar perfect omogen nu se poate anticipa care fa va fi deasupradup cdere. La fel nu se pot preciza dinainte debitele maxime anuale care sevor realiza n viitor pe un curs de ap.

n hidrologie sunt utilizate att metode i modele deterministe, ct i metodei modele probabilistice, alegerea unei abordri sau a celeilalte depinznd decantitatea de informaii disponibile sau de gradul de cunoatere a fenomenuluianalizat. La transformarea precipitaiilor n componente ale scurgerii, se poateadmite de exemplu c distribuia acestora depinde numai de intensitatea ploii iumiditatea solului, ignornd restul factorilor care au o influen mai redus. naceste condiii este posibil stabilirea unei legturi cauz-efect, de tipdeterminist. n mod similar se petrec lucrurile i la evaluarea evapotranspiraieide la suprafaa apei, considerndu-se c aceasta depinde numai de vitezavntului i deficitul de umiditate al aerului.

n schimb, dac se examineaz regimul debitelor maxime viitoare ale unui

ru - regim care depinde att de factori locali cum sunt cei fiziografici, ct igenerali, de tip climatic (i a cror evoluie nu este cunoscut) - o abordare detip determinist este imposibil de realizat, pentru evaluarea debitelor maximenecesare proiectrii construciilor hidrotehnice utilizndu-se metode statistice.

1.3. CLASIFICAREA VARIABILELOR ALEATOARE

Variabilele aleatoare sunt de tip discret, atunci cnd iau o mulime finit saucel mult numrabil de valori (se reamintete c o mulime numrabil esteinfinit, putnd fi pus n coresponden cu irul numerelor naturale care esteinfinit). Variabilele aleatoare care pot lua doar un numr finit de valori senumesc variabile simple i constituie un caz particular al variabilelor discrete;acestea sunt de altfel utilizate n prelucrrile hidrologice.

Variabilele aleatoare sunt continue, atunci cnd mulimea valorilor lor estenenumrabil; cu alte cuvinte o variabil aleatoare continu, poate lua oricevaloare n intervalul ei de variaie sau la limit ntre -i +.

Variabilele aleatoare mai pot fi clasificate n variabile dependente iindependente. Din punct de vedere intuitiv, dou sau mai multe variabilealeatoare sunt independente dac probabilitatea producerii uneia nu depinde de

8


8/186

faptul dac celelalte s-au realizat sau nu. n caz contrar, variabilele vor fidependente.

1.4. POPULAIE STATISTIC. SELECIE

Prin populaie statistic se nelege orice colectivitate care face obiectul unuistudiu statistic. Deoarece scopul unui astfel de studiu l constituie stabilirea uneilegi cantitative referitor la colectivitatea analizat, populaia statistic poate fiinterpretat drept mulimea tuturor valorilor posibile ale unei variabilealeatoare. Elementele componente ale unei populaii se numesc uniti ale

populaiei. NumrulNal unitilor unei populaii constituie volumul populaiei.n funcie de volumul populaiei, se disting populaii finite (cu numr finit deuniti) i populaii infinite (cu un numr nelimitat de uniti).

Cercetarea statistic a unei populaii se realizeaz urmrind o anumitcaracteristic a unitilor ce formeaz populaia respectiv. Cercetarea total(a tuturor unitilor unei populaii) nu este ns nici posibil i nici necesar nanumite cazuri; se recurge atunci la cercetarea unor eantioane sau selecii,putndu-se trage concluzii referitoare la caracteristicile ntregii populaii.

n hidrologie, de exemplu, nu se dispune de ntrega gam de valori posibileale unor variabile aleatoare ca: debite, niveluri, precipitaii, temperaturi. Aceastsituaie se explic prin faptul c marea majoritate a staiilor hidrologice sau

posturilor hidrometrice au o durat de funcionare care de obicei nu depete30-40 ani, singura excepie constituind-o la noi n ar Dunrea, pentru care sedispune de nregistrri din anul 1838.

Cu alte cuvinte, n locul populaiei statistice se dispune de o mulime finit

de elemente observate :x1, x

2,... x

n, adic de o seleciesau eantion de volum n,

unde n este numrul elementelor observate. Ca urmare, n hidrologie se puneproblema de a determina o serie de caracteristici (debit cu o anumitprobabilitate de depire, valoare medie, abatere medie ptratic etc.) ale uneipopulaii statistice, dei datele disponibile au un volum limitat n.

Mai mult dect att, dac s-ar considera o alt selecie, de asemenea devolum n (dar referitoare la alt perioad de observaii), parametrii celor dou

selecii ar fi diferii, dei seleciile fac parte din aceeai populaie statistic.Variaiile rezultate de la o selecie la alta se numesc fluctuaii de selecie.Este evident c, cu ct numrul observaiilor (sau volumul seleciei) este mai

mare, cu att semnificaia rezultatelor obinute va fi mai ridicat.n hidrologie se consider n mod obinuit c o selecie de volum n > 30

ofer o precizie suficient a calculului; atunci cnd volumul seleciei este preamic (n< 30), pentru a se elimina erorile la determinarea parametrilor statistici

9


9/186

vor trebui introduse anumite corecii (de exemplu pentru coeficientul de variaiesau coeficientul de asimetrie).

Statistica matematic utilizeaz metode care permit obinerea unorcaracteristici ale unei populaii, numai prin cercetarea direct a unei pari nuprea mari din unittile populaiei. O asemenea cercetare selectiv va conduce laconcluzii care au un anumit grad de incertitudine care nu trebuie pierdut dinvedere la valorificarea i interpretarea rezultatelor.

Pentru ca rezultatele obinute prin studierea unui eantion s reflecte ct maicorect caracteristicile populaiei din care a fost selecionat, trebuie ndepliniteurmtoarele condiii (C.Dinescu, V.Svulescu, 1978):

a) populaia din care se extrage selecia s fie ct mai omogen;

b) volumul seleciei s fie ct mai mare;c) toate unitile care formeaz selecia s fie extrase la ntmplare din

populaia studiat;d) fiecare unitate a populaiei s aib aceeai probabilitate de a face parte

din selecie.n cazul hidrologiei, unele condiii nu sunt ndeplinite dect ntr-o msurredus (de exemplu condiia b), n timp ce despre alte condiii nu se poateafirma dac sunt sau nu ndeplinite (condiiile a, c i d).

1.5. FRECVEN ABSOLUT. FRECVEN RELATIV.

PROBABILITATEFie o selecie de volum n i x

1, x

2,..., x

n valorile caracteristicii n ordinea

extragerii, msurate la cele n unitti ale eantionului.De obicei, aceste valori se ordoneaz cresctor (sau eventual descresctor);

innd seama de faptul c unele valori pot fi egale, valorile discrete consecutive

vor fi notate acum prin x1, x

2, ..., x

k (k n). Trebuie menionat c valorile

corespunztoare indicilor din noua numerotare nu mai corespund cu cele din

vechea numerotare. Fie n1, n

2, ..., n

knumrul de apariii saufrecvenele absolute

ale fiecrei valori; deci valoarea x1se caracterizeaz prin frecvena absolut n

1,

valoareax2

a variabilei prin frecvena absolut n2

etc. Evident suma frecvenelor

absolute este egal cu volumul seleciei:

n nii

k

= =

1

. (1.1)

Raportnd frecvenele absolute la volumul seleciei (deci numrul cazurilorfavorabile, de apariie a unei valori, la numrul total de cazuri posibile) se obinfrecvene relative.

10


10/186

Frecvena relativeste prin urmare definit astfel:

fn

ni

i= . (1.2)

Dac experimentul se repet, considernd un volum n al seleciei din ce n ce

mai mare, se constat c frecvenele relative fi tind s se stabilizeze; valorile

ctre care tind la limit frecvenele relative n condiiile n care fenomenul ar fisupus n aceleai condiii unui numr nelimitat de probe, reprezint de fapt

probabilitile pide realizare a valorilorx

i(i = 1, 2, ..., k).

Aceast lege statistic poart denumirea de legea numerelor mari i permiteca n practic probabilitile s fie aproximate prin frecvene relative; deci:

pn

n

n

ni

n

i=

lim i . (1.3)

Cu alte cuvinte, frecvena relativ obinut dup un numr mare deexperimente, poate fi folosit pentru aprecierea probabilitilor de producere aunui eveniment aleator.

Evident, pn

n nn

n

ni

i

ki

i

k

ii

k

= = = = = = =

1 1 1

11 adic suma probabilitilor este

unitar.n continuare vor fi prezentate cteva situaii particulare interesante.a) n cazul n care volumul seleciei nu este prea mare, se consider pentru

scopuri practice c probabilitile de apariie ale diverselor valori sunt egalentre ele, avnd valoarea 1/n.

Aceast situaie se ntlnete de altfel curent n prelucrarea datelorhidrologice, mai precis a curbei probabilitilor de depire. Se pot da caexemple irul debitelor maxime sau minime anuale, al debitelor medii lunare, aldebitelor medii anuale, al precipitaiilor anuale, al evapotranspiraiei etc. ntoate aceste cazuri se dispune de regul de un numr de circa 20 ... 40 valori.

b) n cazul n care numrul nde msurtori este mare, se poate recurge la ogrupare a acestor valori pe intervale egale. Frecvena absolut n acest caz vareprezenta numrul de apariii n cadrul fiecrui interval, iar probabilitatearaportul dintre frecvena absolut a intervalului i numrul total de probe. nhidrologie, acest procedeu este utilizat la construirea practic a graficului defrecven al nivelurilor, plecnd de la hidrograful de nivel dintr-o seciune dat.

Pentru studiul acestor variabile, domeniul de variaie al caracteristiciiexaminate (debit, nivel etc.) se mparte n intervale elementare, fiecare

11


11/186

coninnd un anumit numr de valori ale irului de date. Mrimea intervalului sepoate alege dup formula (V. Panaite, R. Munteanu, 1982):

dx x

n=

+max min

, lg1 3 222; (1.4)

unde xmax

i xmin

sunt valorile extreme din selecia considerat, iar n estevolumul seleciei. Evident d se va rotunji prin lips sau adaus la numrul ntregcel mai apropiat.

n relaia anterioar, numitorul reprezint numrul total mal intervalelor de

grupare.Pentru n> 100, numrul de intervale se poate calcula cu una din relaiile:

( )m n=

4

1

41

15

, (1.5)

sau

m= n . (1.6)

n general, se consider (V. Panaite, R. Munteanu, 1982) c pentru n < 250

este suficient mprirea n 10 intervale; dac n < 25gruparea valorilor nu semai aplic. Frecvenele obinute dup grupare se atribuie mijlocului fiecruiinterval, intervalul fiind considerat nchis la stnga i deschis la dreapta.

1.6. REPARTIII TEORETICE. REPARTIII EMPIRICE

Prin repartiia (funcia de probabilitate sau distribuia) unei variabilealeatoare se nelege exprimarea legii ei probabilistice (adic a probabilitii cucare variabila poate lua diverse valori din domeniul ei de variaie).

S-a artat c studiul unei colectiviti sau al unui fenomen de mas seefectueaz n general folosind selecii de volum limitat. Din acest motiv,

rezultatele investigaiei statistice conin un anumit grad de incertitudine, care nupoate fi eliminat dect prin cercetarea ntregii populaii statistice. Variabilaaleatoare corespunztoare studierii ntregii colectiviti se numete variabilteoretici este evident diferit de variabila empiric, corespunztoare selecieiefectuate. Deci pe baza datelor obinute din msurtori se dispune de repartiiavariabilei empirice (numit i repartiie empiric) i care este mai mult sau maipuin diferit de repartiia teoretic (necunoscut de altfel cu certitudine),corespunztoare ntregii populaii (P. Meylan, A. Musy, 1996).

12


12/186

2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

2.1. REPARTIIA UNEI VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

Repartiia unei variabile aleatoare X de tip discret const n enumerareatuturor valorilor posibile ale variabilei, precum i a frecvenelor

(probabilitilor) corespunztoare; reprezentarea rezultatelor se face sub formaunui tabel, numit tabloul repartiiei(tab. 2.1).

Tabelul 2.1

Valori xi x

1 x

2 ... x

n

Frecvene fi f

1 f

2 ... f

n

Se mai poate utiliza una din formele:

X x x xf f f

n

n

: 1 2

1 2

L

L

; ;

( )X x

f xxf

i

i

i

i

:

=

i= 1,n (2.1)

n cazul repartiiilor empirice,fisunt valori numerice i reprezint frecvene

de apariie a valorilorxi.

Pentru variabilele teoretice de tip discret funcia de probabilitate se scrie subo form similar:

( ) ( )

Xx

ob X x

x

p

x

f x

i

i

i

i

i

i

:

Pr =

=

=

; (2.2)

n acest caz, probabilitile pi de realizare a valorilor x

i au de regul

exprimri analitice (ex: repartiia Poisson, repartiia Bernoulli etc.).

Mrimilepi= Prob (X=x

i)definesc probabilitile de realizare a evenimen-

telor elementare (X = xi); valorile lor sunt cuprinse n intervalul [0,1].

13


13/186

Deoarece evenimentele (X = xi)formeaz un sistem complet de evenimente

(reuniunea lor este evenimentul sigur) trebuie ca:

pii

n

= =

1

1. (2.3)

Reprezentri similare ale repartiiei frecvenelor se utilizeaz i n cazul n

care se dispune de un numr mare de valori discrete ale variabilei i este

necesar gruparea lor. Alteori nregistrrile din msurtori sunt continue (de

exemplu cazul nivelurilor msurate cu un limnigraf), dar pentru prelucrare se

recurge la discretizare, adic la aproximarea funciei continue prin valoripunctuale. i n aceste situaii se impune gruparea valorilor pe intervale.

Tabloul repartiiei frecvenelor conine de regul pe lng intervalul de

discretizare, att frecvenele absolute, ct i pe cele relative.

Fie o variabil avnd pe aca limit inferioar i pe bca limit superioar a

valorilor; se mparte domeniul de variaie n m intervale egale i se noteaz

capetele intervalelor de discretizare prin:

x1= a + D, x

2= a + 2D, ..., x

i= a + iD, ...

undeDeste mrimea intervalului. n acest caz tabloul repartiiei frecvenelorva fi urmtorul:

Tabelul 2.2

Intervalul Frecvene absolute Frecvene relative

[a, x1)

[x1, x

2)

[x2, x

3)

...

[xm-1

,xm

)

n1

n2

n3

...

nm

f1

f2

f3

...

fm

n ni

i

m

= =

1

fii

m

= =

1

1

14


14/186

Din motive de alegere a unui numr ntreg de intervale de discretizare,x

m= a + m . D b, deci bsau coincide cu xmsau este situat ntre xm-1i xm.

Numrul de valori discrete ale variabilei s-a notat prin n.

2.1.1.EXEMPLE DE REPARTIII DISCRETE

Distribuia discret uniform. n cazul n care probabilitile elementarep

i=f(x

i)sunt egale, distribuia se numete uniform.

Cel mai simplu exemplu de distribuie uniform este al variabilei aleatoareX

care reprezint numrul de puncte de pe faa superioar a unui zar duparuncare. Dezvoltat, funcia de probabilitate (repartiia) se poate scrie astfel:

X:

1 2 3 4 5 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

. (2.4)

iar condensat:

X:

xi

1

6

; xi= 1, 2, ... , 6 . (2.5)

Probabilitile evenimentelor elementare au valorilepi= f (x

i) = 1/6.

n mod similar, fie cazul unui ir de debite maxime anuale pentru o perioadde 25 ani. Fiecare debit realizndu-se o singur dat n cei 25 ani, probabilitateasa de apariie se consider 1/25, iar repartiia variabilei aleatoare va fi:

Qmax.anual

:

Qi

1

25

; i= 1, 2, ..., 25 . (2.6)

n acest caz, probabilitile elementare suntpi= f(xi) = 1/25. Distribuia Bernoulli (binomial). Repartiia binomial se aplic acelor

variabile care au doar dou stri posibile, dar complementare, adic realizareasau nerealizarea unui eveniment (zi ploioas - zi fr ploaie, plus-minus, zero-mai mare dect zero etc.).

Pentru un numr infinit de ncercri, se noteaz cu p probabilitatea derealizare a unui eveniment aleator i cu q = 1 - pnerealizarea sa. Atunci proba-

15


15/186

bilitatea de realizare a evenimentului aleator de ori n nexperimente este datde termenul general al dezvoltrii binomului lui Newton:

( )p q C p q C p q C p q C p qn

nn n o

nn p

nn

no o n o+ = + + + + + 1 1 1 ... ... . (2.7)

n aceast formul( )

Cn

nn

=

!

! !. Evidentpi qfiind complementare,

p + q = 1.Legea de repartiie va fi deci de forma:

Xn n

p C p q C p q C p qn nn n

nn

nn:

.. .

.. .

1 0

1 1 1 0 0 0

. (2.8)

Deoarecep + q = 1, din relaia (2.7) rezult c suma tuturor probabilitilorva fi de asemenea egal cu 1.

Prima valoare pn reprezint probabilitatea ca variabila X s ia valoarea n,

adic evenimentul aleator s se realizeze n toate cele n experimente. Se observ

c pentru nmare,pn0(pfiind subunitar), ceea ce era de ateptat. Termenul

general reprezint probabilitile evenimentelor elementare i

exprim valoarea probabilitii ca n cursul celor n experimente, evenimentul sse realizeze de ori. Cele nexperimente au fost presupuse independente, dupmodelul urnei lui Bernoulli.

C p qnn

Repartiia Poisson. Dac n repartiia Bernoulli, probabilitatea p derealizare a evenimentului aleator tinde ctre zero (p 0, deci are valori infinitmici), dar produsul np = este finit i destul de mic cnd n , se obine oalt repartiie numit distribuia Poisson (sau legea evenimentelor rare, deoarecepeste foarte mic).

Se poate demonstra urmtoarea relaie:

( )lim ; !np

nn

nC p q Pe

= =0

; 0 , (2.9)

unde = npeste numrul mediu de sosiri. Aceast formul definete repartiia

Poisson. Fiecrei valori ntregi = 0, 1, 2, ..., n, ..., i corespunde o

probabilitateP(; ), iar legea de repartiie este:

16


16/186

Xe e e e

:... ...

!.. .

!.. .

0 1 2

2

2

(2.10)

Probabilitile elementare sunt:

( )p f e

= =

! (2.11)

Se observ c:

( )P e e e

;! !=

=

=

= = = =0 0 0

1e , (2.12)

adic suma probabilitilor este egal cu 1.Se reamintete c este numrul de realizri ale unui eveniment de

probabilitate foarte micp, ntr-un mare numr de ncercri n.

2.1.2. REPREZENTAREA GRAFIC A REPARTIIILOR DISCRETE

Un rol important ntr-o prim examinare a variabilelor de selecie l joacgraficele care se pot ntocmi cu ajutorul lor (ele pot sugera tipul de repartiieteoretic cel mai adecvat pentru aproximarea repartiiei empirice). Cele mai

uzuale reprezentri sunt urmtoarele: Reprezentare sub form de batoane (fig. 2.1). Din dreptul fiecrei valoride selecie xi(i = 1, 2, ..., n) se ridic o perpendicular (un baton) de lungimeegal cu frecvena relativ (probabilitatea) sau frecvena absolutcorespunztoare.

Fig. 2.1.Repartiia frecvenelor sub form de batoane i de poligon:

a- variabile discrete cu numr redus de valori; b- variabile discrete grupate.

17


17/186

Aceast modalitate de reprezentare se utilizeaz i n cazul repartiiilorteoretice, iar batoanele vor fi proporionale cu mrimea probabilitilor derealizare a diverselor valori ale variabilei.

Fie repartiia discret empiric:

Xx x x

f f f

n

n

:.. .

.. .

1 2

1 2

(2.13)

Reprezentarea repartiiei sub form de batoane se poate urmri n figura 2.1.n cazul variabilelor grupate, frecvenele absolute sau relative se vor

reprezenta de asemenea proporional cu valoarea lor, dar n mijlocul fiecruiinterval de grupare. Poligonul frecvenelor (poligonul repartiiei probabilitilor). Fiecare

punct din reprezentarea sub form de batoane are coordonatele (xi , fi)n cazul

repartiiilor empirice i (xi , pi)n cazul repartiiilor teoretice discrete.Unind aceste puncte se obine o reprezentare mai expresiv (fig. 2.1 - linia

ntrerupt) numit poligonul frecvenelor (n cazul repartiiilor empirice) saupoligonul repartiiei probabilitilor (n cazul repartiiilor teoretice).

Tot ca o exemplificare a acestui mod de reprezentare se prezint poligonulrepartiiei probabilitilor n cazul distribuiei binomiale (repartiie teoretic)pentru diferite valori ale lui n(fig. 2.2).

Fig. 2.2.Poligonul repartiiei probabilitilor pentru distribuia binomial.

18


18/186

Histograma (reprezentarea sub form de dreptunghiuri).Considernd cfiecare valoarexia variabilei discrete de selecie reprezint mijlocul bazei unui

dreptunghi de nlime nisaufise obine reprezentarea sub form de histogram.Pentru a sesiza diferena ntre modul de reprezentare grafic utiliznd

poligonul frecvenelor, respectiv histograma, se va recurge la un exemplu dindomeniul hidrologiei. Fie irul precipitaiilor zilnice, nregistrate la o staiemeteo; numrul de zile consecutive n care precipitaiile depesc zilnic 10 mmeste prezentat n tabelul 2.3 (V.Al.Stnescu, 1985).

Tabelul 2.3

Numr zile 1 2 3 4 5 6 7

Numr cazuri 189 370 280 155 83 46 23

Plecnd de la tabelul 2.3 se poate defini o variabil aleatoare cu funcia deprobabilitate:

X :, , , , , , ,

1 2 3 4 5 6 7

0 165 0 322 0 244 0 135 0 073 0 040 0 021

. (2.14)

Reprezentarea grafic se poate urmri n figura 2.3.

Fig. 2.3.Reprezentarea sub form de histogram (a) i poligon al frecvenelor (b)

pentru numrul zilelor consecutive cu precipitaii mai mari de 10 mm.

Reprezentarea sub form de histogram sau de poligon al frecvenelor(probabilitilor) se folosete i n cazul unei variabile aleatoare continue, dardiscretizate pentru prelucrare; numrul de valori fiind de regul destul de mare,se recurge la gruparea acestora pe intervale.

19


19/186

n reprezentarea grafic, fiecare interval constituie baza unui dreptunghi alhistogramei; unind mijloacele laturilor de sus ale acestor dreptunghiuri prinsegmente de dreapt, se obine poligonul repartiiei (absolute sau relative).

Fie, de exemplu, irul debitelor maxime anuale de pe Dunre pentru operioad de 129 ani. Tabloul repartiiei frecvenelor va fi urmtorul:

Tabelul 2.4

Intervalul Numr de apariii

(frecvene absolute)

Frecvene relative

[5.000 - 6.000) 2 1,55%

[6.000 - 7.000) 6 4,65%[7.000 - 8.000) 18 13,95%

[8.000 - 9.000) 22 17,05%

[9.000 - 10.000) 24 18,61%

[10.000 - 11.000) 20 15,50%

[11.000 - 12.000) 13 10,80%

[12.000 - 13.000) 6 4,65%

[13.000 - 14.000) 11 8,53%

[14.000 - 15.000) 3 2,33%

[15.000 - 16.000) 4 3,10%

Total: 129 100,00%

Repartizarea sub form de histogram i poligon al frecvenelor se poateurmri n figura 2.4.

Fig. 2.4.Histograma i poligonul repartiiei frecvenelor n cazul debitelor maxime

anuale ale Dunrii (dup gruparea valorilor pe intervale).

20


20/186

2.2. FUNCIA DE REPARTIIE A UNEI VARIABILE DISCRETE

Notaiile utilizate n continuare sunt cele de la repartiiile discrete teoretice;consideraiile expuse sunt valabile i pentru repartiiile empirice (la care intervinfrecvene relative i nu probabiliti). Singura difereniere ntre cele doucategorii de repartiii se va face la reprezentarea grafic, cnd se va utilizadenumirea de poligon al frecvenelor sau al probabilitilor, dup cum estecazul. n mod obinuit nu se insist prea mult asupra diferenelor de limbajreferitoare la cele dou categorii de repartiii, avnd n vedere legea numerelormari (dei n hidrologie, n general nu se dispune de un numr suficient de marede msurtori).

O alt modalitate de a caracteriza repartiia unei variabile aleatoare discrete,n afara celei prezentate n cadrul paragrafului 2.1 o constituie utilizarea funcieide repartiie.

Fie variabila aleatoareXcu funcia de probabilitate:

Xx x x

p p p

n

n

:.. .

.. .

1 2

1 2

. (2.15)

Se reamintete c valorile x1, x

2, ..., x

nsunt ordonate n ordine cresctoare:

x1< x2< ... < xn.Prin definiie,funcia de repartiie F(x)reprezint probabilitatea ca variabilaaleatoareXs fie mai mic dect o valoare oarecare, particularx:

F(x) = Prob (X < x). (2.16)

Cu alte cuvinte funcia de repartiie reprezint oprobabilitate de nedepire.

Variabila aleatoare Xva lua valori la stnga lui x, n intervalul [xmin

, x), cu oprobabilitate egal cuF(x).

Fie repartiia anterioar i o valoare oarecarexfixat ntrexkixk+1.

x

Xx x x x x

p p p p p

k k n

k k n

:... ...

... ...

1 2 1

1 2 1

+

+

(2.17)

21


21/186

Singurele valori pe care le poate luaXla stnga luixsunt doarx1, x2, ..., xk,variabila aleatoare fiind discret.

Deoarece evenimentele constnd n realizarea valorilor x1, x2, ..., xk, suntincompatibile dou cte dou, rezult c probabilitatea ca variabila aleatoare Xs fie mai mic dect valoarea fixat x poate fi calculat cu relaia:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Pr Pr Pr .. .

... Pr Pr ...

ob X x ob X x ob X x

ob X x ob X x p p pk ix x

ki

< = = + = +

+ = = = = + + +

, ( ),

,

0

1 (2.25)

Ca o consecin rezult: F(-) = 0i F(+) = 1(trebuie subliniat c acesterelaii sunt valabile att n cazul n care domeniul de definiie al variabileialeatoare este ntreaga dreapt real, ct i n cazul n care este un interval mairestrns).

Rezumnd proprietile prezentate pn n prezent, rezult c fiind dat ovariabil aleatoare discret cu repartiia (2.15):

Xx x x

p p p

n

n

:.. .

.. .

1 2

1 2

,

24


24/186

funcia sa de repartiie are urmtoarele valori:

F x

dac x x

p dac x x x

p p dac x x x

p dac x x x

p dac x x xdac x x

ii

k

k k

ii

n

n n

n

( )=

<

<

+ 0, atuncixeste un punct de discontinuitate (funcia are unsalt).

Funcia de repartiie poate fi deci definit ca suma salturilor din punctele xisituate la stnga punctuluix:

F x Sxx x

i

i

( )= yp2%

.

53


53/186

De exemplu, debitul cu probabilitatea de depire 1 % este mai mare dectdebitul cu probabilitatea de depire 10%, dar este mai mic dect valoareacorespunztoare probabilitii de 0,1% etc. (fig. 3.7).

Fig. 3.7.Curba probabilitilor de depire a debitelor maxime anuale.

3.3. EXTRAPOLAREA REPARTIIILOR EMPIRICEPRIN REPARTIII TEORETICE

La proiectarea unei lucrri hidrotehnice sunt necesare anumite mrimi

hidrologice (debite, niveluri etc.) caracterizate de probabiliti de depire carenu se situeaz de obicei n domeniul valorilor msurate. Astfel, dacmsurtorile hidrologice sistematice au o durat de 20 de ani, utiliznd formulai/(n+1), rezult c debitele msurate corespund unor probabiliti empirice dedepire cuprinse aproximativ ntre 5% i 95%; pentru 50 de ani de msurtoridomeniul probabilitilor empirice este cuprins ntre 2% i 98%.

De fapt acesta este cazul rurilor interioare din ar, unde msurtorilehidrologice acoper n general o perioad de 20 - 40 ani. Dar la proiectarea sauverificarea unor pri ale sistemelor hidrotehnice sunt necesare mrimi(de ex.: debite) cu probabiliti de depire de 1% sau 0,1% etc. n acestecondiii se recurge la prelungirea repartiiilor empirice prin repartiii teoretice

(fig. 3.8), care permit extrapolri n afara domeniului valorilor msurate.Cu alte cuvinte, aproximnd repartiiile empirice prin repartiii teoretice esteposibil extinderea rezultatelor cercetrii unei selecii la ntreaga populaie, cuun grad de siguran relativ ridicat; legitile statistice descifrate pe eantionsunt considerate ca reprezentative pentru ntreaga populaie statistic.

Dup cum se tie, repartiiile teoretice caracterizeaz ntreaga populaiestatistic i sunt definite prin expresii analitice depinznd n general de 2-3parametri. Repartiiile empirice sunt obinute n urma cercetrii unei selecii

54


54/186

(eantion) de volum redus i sunt definite prin mulimea cuplurilor {(xi, p

i)},

undepieste probabilitatea empiric de depire.

Fig. 3.8.Extrapolarea repartiiei empirice printr-o repartiie teoretic:

M - domeniul valorilor msurate; E - domeniul valorilor extrapolate.

Pentru unele cazuri particulare, funciile de repartiie teoretice suntcunoscute apriori. n mare majoritate a cazurilor ns, alegerea funciei de

repartiie teoretic este mai dificil; uneori dou sau trei funcii teoretice sepreteaz la fel de bine pentru aproximarea repartiiei empirice.Selecionarea unei funcii de repartiie cu un numr mai mare sau mai mic de

parametri, constituie n fond o problem de optimizare, avnd de ales ntreflexibilitatea funciei i gradul de siguran al parametrilor estimai. Astfel, dacnumrul de parametri este mai mare (3-4, de ex.), erorile de calcul la aprecierealor sunt mai mari i deci sunt mai puin precis determinai; invers, la un numrmic de parametri, precizia evalurii acestora este ridicat, dar funcia teoreticeste prea puin flexibil i deci aproximarea repartiiei empirice va fi grosolan.Adevrata funcie de repartiie a populaiei statistice este, de altfel, greu deobinut; astfel, dac dintr-o populaie statistic se realizeaz o selecie de volum

ni se determin funcia de repartiie, aceasta poate s difere de funcia gsitpentru alt selecie de acelai volum i, de asemenea, ambele pot s difere defuncia de repartiie a populaiei statistice.

n principiu, n cazul setului de date hidrologice nregistrate, trebuie propusemai multe funcii teoretice pentru aproximarea distribuiei empirice; dupdeterminarea parametrilor acestor funcii, pe baza testelor de verificare aipotezelor statistice, se reine o singur funcie teoretic. Calitatea aproximriirepartiiei empirice prin repartiia teoretic va depinde de mrimea eantionului,

55


55/186

alegerea adecvat a funciei i utilizarea celor mai corespunztoare metode deestimare a parametrilor.

n practica hidrologic acest proces de cutare a celei mai adecvate repartiiiteoretice nu mai are loc, admindu-se c distribuia mrimilor analizateurmeaz o lege de tip Gama (cu 2 sau 3 parametri) sau o lege logaritmicnormal.

Experiena a artat de fapt c aceste funcii se preteaz foarte bine pentruanaliza fenomenelor hidrologice din Romnia.

Estimarea variabilelor (parametrilor) care intervin n funciile de repartiieteoretice are la baz prelucrarea informaiilor coninute n irul de date msurat.Plecnd de la valorile nregistrate se calculeaz o serie de valori tipice

(caracteristice) ale variabilelor de selecie cum sunt: valoarea medie, dispersia,abaterea medie ptratic etc. Se consider apoi c aceste valori tipice sauparametri ai repartiiei empirice sunt n acelai timp i parametrii repartiieiteoretice, utilizate pentru ajustarea i extrapolarea repartiiei empirice (cu altecuvinte parametrii populaiei statistice sunt estimai pe baza seleciei de care sedispune prin msurtori); evident acest procedeu reprezint o aproximaie, careconstituie o surs de erori a calculului statistic.

56


56/186

4. VALORI TIPICE ALE VARIABILELOR ALEATOARE

Variabilele aleatoare sunt complet caracterizate prin densitatea de repartiiesau funcia de repartiie.

De multe ori, n practic este necesar o definire mai sumar a variabileloraleatoare analizate; n acest scop se utilizeaz anumite valori caracteristiceataate variabilelor aleatoare i care pot fi grupate n parametri ai tendinei

centrale, ai variabilitii i ai formei.

4.1. PARAMETRI AI TENDINEI CENTRALE

Aceti parametri definesc zona de grupare a celor mai frecvente valori. Valoarea medie. Fie o variabil aleatoare discret X, definit prin

distribuia:

Xx x x

p p p

n

n

:.. .

.. .

1 2

1 2

. (4.1)

n aceast caz valoarea medie a variabilei X, notat prin M(X), m sau esteprin definiie egal cu:

M X x pi ii

n

( )==1

. (4.2)

Dac cele nvalori sunt echiprobabile (pi= 1/n), atunci se obine cunoscuta

relaie a mediei aritmetice (denumit i medie de selecie):

M Xnx

nxi

i

n

ii

n

( )= = = =1 11 1 . (4.3)

Media de selecie va fi notat n continuare prin pentru a o deosebi demedia m a populaiei. Se poate demonstra c valoarea x poate fi consideratdrept indicator de estimare a mediei m a ntregii populaii; acest procedeu deestimare are o deplin justificare teoretic i este utilizat n practic, chiar ipentru valori ale lui n< 30. Estimarea mediei pe baza acestei relaii este cea mai

57


57/186

bun, n sensul c dispersia ei este mai mic dect cea care se poate obine cuajutorul oricrui alt procedeu de estimare a mediei. Totui, dac spaiul deselecie este redus, apariia din ntmplare a unor valori foarte mari sau foartemici poate influena media aritmetic.

Pentru numeroase mrimi hidrologice, densitatea de repartiie a valorilornregistrate este asimetric; prin logaritmare se obin distribuii simetrice, iar mediaaritmetic a acestor valori poate fi utilizat ca parametru al tendinei centrale.

Se poate scrie:

log log ... log log( ... )

log( ... ) log ./

x x x

n

x x x

n

x x x X

n n

nn

g

1 2 1 2

1 21

+ + +=

=

= =

(4.4)

Mrimea Xg = (x

1 . x

2 . ... . x

n)1/n

se numete medie geometric. Princalculul mediei geometrice i logaritmarea ei se obine destul de comod media

aritmetic a logaritmilor valorilorxiale variabilei aleatoare.

n cazul n care variabila aleatoare este continu, suma din expresia (4.2) se

transform n integral, iar probabilitile pi se nlocuiesc prin probabilitile

elementare f(x)dx. Deci, n cazul unei variabile aleatoare continue, valoaremedie este prin definiie:

M X x f x dx( ) ( )=

+

. (4.5)

Ca interpretare geometric (M. Mihil, 1965), valoarea medie reprezintabscisa centrului de greutate al ariei delimitate de graficul distribuieiprobabilitilor i abscis (fig. 4.1).

Fig. 4.1.Interpretarea geometric a valorii medii a unei variabile aleatoare:

a- variabil discret; b- variabil continu.

58


58/186

Mediana. Mediana Me reprezint valoarea central a unei repartiiistatistice.

Cu alte cuvinte, probabilitatea ca variabila aleatoare Xs ia valori mai mici

dect Me este egal cu probabilitatea ca X s ia valori mai mari dect M

e.

Avnd n vedere faptul c:

F(Me) + F

c(M

e) = 1 (4.6)

i c:

F(Me) = F

c(M

e), (4.7)

rezult:

Prob (X < Me) = Prob (X M

e) = 0,5. (4.8)

Fie, pentru nceput, cazul unei variabile discrete, avnd valorile ordonatecresctor sau descresctor.

Dac repartiia are 2k+1 valori, mediana este valoarea avnd rangul k+1.Dac repartiia are2kvalori, mediana este ntre valorile de rangul ki k+1, i ngeneral se obine ca medie aritmetic a celor dou valori. Reprezentndprobabilitile empirice de depire i nedepire, mediana este situat la

intersecia celor dou grafice.n cazul unei variabile aleatoare continue, mediana reprezint abscisa aceluipunct de pe curba densitii de repartiie, a crui ordonat mparte suprafaacuprins ntre curb i axaxn dou suprafee egale.

Interpretarea geometric a medianei se poate urmri n figura 4.2.

Fig. 4.2.Interpretarea geometric a medianei: a- variabil discret;

b- variabil continu.

59


59/186

Modul. Modul Mo sau valoarea dominant reprezint acea valoare avariabilei care corespunde frecvenei celei mai mari.

Pentru o variabil aleatoare de tip discret, avnd valorile xi ordonate,

cresctor sau descresctor, caracterizate de probabilitile empirice pi, punctul

xm

se numete mod dac este satisfcut relaia:

pm

> pi; im . (4.9)

Cu alte cuvinte, probabilitatea de realizare a valorii xi este mai mare dect

probabilitatea aferent oricrei alte valori a variabilei.Pentru o variabil continu se numete mod orice punct de maxim al

densitii de repartiie (deci pentru caredf

dx= 0 i

d f

dx

2

20< ).

Densitatea de repartiie f(x) se numete unimodal, bimodal saumultimodal, dup cum admite unul, dou sau mai multe moduri.

n cazul unei repartiii unimodale simetrice, media aritmetic, mediana imodul sunt identice; pentru o repartiie uor asimetric i unimodal, medianase gsete ntre medie i mod, distana sa fa de mod fiind aproximativ, dubluldistanei sale fa de media aritmetic (fig. 4.3).

Fig. 4.3.Poziia relativ a mediei aritmetice,

medianei i modului.

Momente de ordin superior. n cazul unei variabile aleatoare discrete,momentul de ordinul reste prin definiie:

M xr ir

i

n

i==1

p , (4.10)

60


60/186

unde, prinpis-au notat probabilitile de apariie a valorilorxi.

Dac valorilexisunt echiprobabile p

ni=

1, rezult:

Mn

xrr

i

n

= =

1

1i . (4.11)

Pentru r= 1, se obine chiar expresia mediei aritmetice (media de selecie):

M x

n

xii

n

1

1

1

= = =

. (4.3')

n cazul unei variabile aleatoare continue definite prin densitatea derepartiief(x), momentul de ordinul rse calculeaz cu expresia:

M x f xrr=

+( )dx

x

. (4.12)

i n acest caz, pentru r = 1se obine valoare medie a variabilei:

M m x f x d1= =

+

( ) . (4.5')

Denumirea de moment este mprumutat din mecanic: probabilitile

elementare joac rolul forelor al cror moment se calculeaz, iar valorile xiale

variabilei reprezint braul forei. Conform definiiei, momentul se calculeaz nraport cu originea axelor de coordonate. Un interes special l prezintmomentele centrate, care se calculeaz n raport cu valoarea medie a variabilei.

Deoarece momentele centrate de ordin superior intervin n calculul unorparametri ai variabilitii i formei, ele vor fi definite dup prezentarea acestorparametri.

4.2. PARAMETRI AI VARIABILITII

Valorile tipice prezentate anterior caracterizeaz poziia centrului de grupare,aceste mrimi nefurniznd nici un fel de informaii privind gradul de dispersareal valorilor pe care le poate lua variabila aleatoare fa de valoarea central.

61


61/186

S-au imaginat mai muli parametri pentru msurarea dispersiei, bazai n generalpe noiunea de abatere: Amplitudinea sau extinderea repartiiei reprezint abaterea dintre cea

mai mare valoare observatxmax

i cea mai micxmin

:

a = xmax

- xmin

. (4.6)

Este cel mai simplu parametru din aceast categorie, dar i cel maiaproximativ.

Abaterea medie reprezint media abaterilor n valoare absolut dintrevalorile curente i media aritmetic :

e

x x

nM

ii

n

=

=1 . (4.7)

Cu acest parametru nu se pot efectua ns calcule algebrice. Dispersia sau variana. Un alt mod de a evidenia valorile absolute ale

abaterii fa de medie const n definirea dispersiei variabilei aleatoare.Dispersia se calculeaz cu expresia:

D x mii

n2 2 2

1= = = ( ) pi

x dx

, (4.8)

n cazul variabilelor aleatoare discrete i cu:

D x m f2 2 2= =

+ ( ) ( ) , (4.9)

pentru variabilele continue.

n cazul unei selecii de volum limitat, pentru dispersie n loc de 2

(rezervat pentru populaia statistic) se va utiliza notaia s2(care reprezint, de

fapt, un indicator de estimare al dispersiei populaiei analizate).

n cazul unei selecii de volum n > 30 40, admind c valorile xi alevariabilei sunt egal probabile, pentru calculul dispersiei se poate utiliza relaia:

s x x pn

x xii

n

i ii

n2

1

2

1

1= =

= =( ) ( 2) , (4.10)

unde este media de selecie (media aritmetic a valorilor nregistrate).

62


62/186

Dac numrul de valori n< 30, dispersia se poate estima cu ajutorul relaiei:

sn

x xii

n2

1

1

1=

=( 2) . (4.11)

Pentru a exemplifica modul n care dispersia reflect gradul de mprtiere alvalorilor variabilei, n figura 4.4, s-au considerat dou densiti de repartiiecontinue i simetrice, avnd aceeai valoare medie.

Fig. 4.4.Caracterizarea mprtierii valorilor variabilei prin intermediul dispersiei.

Este evident c la repartiiaf2

(x)punctele mai deprtate de valoarea medie m,

dein o pondere mai mare dect n cazul repartiiei f1(x) i deci(dispersia valorilor celei de-a doua repartiii este mai mare dect dispersiaasociat primei repartiii). Este de remarcat faptul c dispersia accentueazefectul abaterilor mari, acestea intervenind n formula de definiie la puterea adoua.

s s22 12>

Abaterea medie ptratic (abaterea standard). Dispersia prezintdezavantajul c se exprim n unitile de msur ale variabilei ridicate la ptrat.Pentru a elimina acest neajuns s-a introdus un alt indicator i anume abatereamedie ptratic, definit ca radicalul de ordinul doi al dispersiei:

= 2 (pentru populaii statistice) (4.12)

sau:

s s= 2 (pentru selecii) . (4.12')

Avnd n vedere numrul n general redus al valorilor hidrologice dinmsurtori (selecii cu n < 30), pentru calculul abaterii medii ptratice seutilizeaz relaia:

63


63/186

s

x x

n

ii

n

=

=

( )2

1

1. (4.13)

Coeficientul de variaie. Pentru a elimina complet influena unitilor demsur ale variabilei, s-a introdus un parametru de dispersie relativ, definit caraportul dintre abaterea medie ptratic i media aritmetic:

Cm

v=

, respectiv Cs

xv= , (4.14)

dup cum este vorba de populaia statistic sau de o selecie.Rezult c acest coeficient de variaie are aceeai semnificaie ca i dispersia

sau abaterea medie ptratic: cu ct coeficientul de variaie Cveste mai mare, cu

att valorile variabilei aleatoare au o mprtiere mai mare (sau ceea ce esteacelai lucru, au un domeniu de variaie mai larg).

n cazul unei selecii de volum limitat n, coeficientul de variaie secalculeaz cu formula:

Cx

x x

n

x x

n x

n

x x

x n

x

x

v

ii

n

ii

n

i

i

ni

i

n

=

=

=

=

=

= =

= =

1

1 1

1

1

1

11

2

1

2

12

2

1

2

1

( ) ( )

( )

. (4.15)

Notnd cu:

kx

ii= , (4.16)

relaia de calcul devine:

C

k

nv

ii

n

=

=

( )1

1

2

1 . (4.17)

Coeficientul de variaie este cuprins de regul ntre zero i doi, avnd ovaloare medie de 0,5.

64


64/186

Valoarea coeficientului de variaie exercit o influen direct asupradimensiunilor lucrrilor de gospodrire a apelor; pentru ruri cu variabilitate

mare a debitelor (deci cu Cv

mare) sunt necesare volume mai mari de lacuri deacumulare pentru a putea realiza acelai grad de regularizare a debitelor cursuluide ap respectiv.

Momente centrate. La momentele de ordin superior s-a artat c acesteasunt calculate n raport cu originea axelor de coordonate. Efectund calcululmomentelor fa de valoarea medie a variabilei se obin aa numitele momentecentrate.

Momentul centrat de ordinul reste prin definiie:

m x mr ir

ii

n

= =

( )1

p

dx

(pentru variabile discrete) (4.18)

i:

m x m f x r ir=

+( ) ( ) (pentru variabile continue) (4.19)

Momentele de ordin par au valori pozitive, n timp ce momentele de ordinimpar pot fi pozitive sau negative.

n cazul unei selecii, la care toate valorile variabilei sunt echiprobabile,momentul centrat de ordinul rse calculeaz cu relaia:

mn

x xr ir

i

n

= =

1

1

( ) . (4.20)

Particulariznd expresia lui mrpentru r = 1, se obine:

( )

( )

mn

x xn

x x

nx

nx x x

nx

n x

nx x

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

11 1 1

1 1

1 1

1 1 10

= =

=

= + + + = = =

= = =

= =.. .

. (4.21)

Deci momentul centrat de ordinul 1 (valoarea medie a abaterilor fa demedie) este nul.

65


65/186

Momentul centrat de ordinul 2 este chiar dispersia variabilei aleatoare;ntr-adevr:

( )mn

x x sii

n

2

2

1

21= ==

. (4.22)

n acelai timp, abaterea medie ptratic este radicalul momentului centrat deordinul 2:

s m= 2 , (4.23)

iar coeficientul de variaie Cv

este:

Cs

x

m

Mv = =

2

1

, (4.24)

undeM1este media aritmetic sau momentul de ordinul unu al variabilei.

Momentul centrat de ordinul 2 (sau dispersia) poate fi calculat numai nfuncie de momentele centrate de ordinul unu i doi:

( )m n x x n x xn x n xiin

ii

n

ii

n

i

n

2 2

1

2

1 1

2

11 1 2 1 1= = +

= = = = (4.25)

Dar:

1

1nxi

i

n

= =x, (4.26)

iar:

1 2

1

22

nx

nx

nx

i

n

= = = . (4.27)

Se obine deci:

mn

x x xn

x xii

n

ii

n

22

1

2 2 2

1

21 21

= + = = =

. (4.28)

Deoarece:

66


66/186

1 21

2n

x Mii

n

= = , (4.29)

x M2 12= , (4.30)

rezult:

m s M M 22

22= = 1 . (4.31)

Aceast relaie este deosebit de util pentru calculul dispersiei (respectiv alabaterii medii ptratice i al coeficientului de variaie), ntruct micoreaz multvolumul de calcule. n practica hidrologic aceast relaie este mai puinutilizat, preferndu-se relaia de definiie:

( )m sn

x xii

n

22 2

1

1= =

=.

n mod similar, se poate arta c momentul centrat de ordinul 3 se poatecalcula cu relaia:

m M M M M 3 3 2 133 2= + 1 . (4.32)

i n acest caz, n hidrologie este preferat relaia de definiie a momentelorde ordinul 3, dei calculele sunt mai laborioase.

Pentru a ine cont de numrul limitat de valori disponibile din nregistrri(selecii de volum redus), n expresia momentului centrat de ordinul 2 sau 3,numitorul nu va avea valoarea n, ci n - 1.

n final, mai trebuie artat cu ct ordinul ral momentului centrat mreste mai

mare, cu att apariia din ntmplare n cadrul seleciei a unor valori foarte marisau foarte mici (deci care se abat mult de la medie) va influena n mai maremsur valoarea momentului. Rezult c cu ct r este mai mare, cu attparametrii statistici ai seleciei difer mai mult de parametrii populaieianalizate.

4.3. PARAMETRI AI FORMEI

Dac valorile variabilei sunt egal dispersate de o parte i de alta a valoriicentrale, variabila aleatoare are o repartiie simetric; n caz contrar repartiiaeste asimetric.

Pentru o repartiie simetric media, mediana i modul coincid, iar valoriledensitii de repartiie sunt egale n raport cu valoarea medie:

67


67/186

f(m - x) = f(m + x) . (4.33)

Singurul indicator utilizat n hidrologie pentru caracterizarea formei este

coeficientul de asimetrie, notat prin Cs.

Prin definiie:

Cm

s=33

, (4.34)

unde m3 este momentul centrat de ordinul 3, iar este abaterea medieptratic.

n cazul unei variabile aleatoare de selecie coeficientul de asimetrie secalculeaz cu relaia:

( ) ( )( )

Cn

x xs n

x xx C

n

x x

x C n

x

x C

s ii

n

ii

n

v

i

i

n

v

i

i

n

v

= =

=

=

=

= =

= =

1 1 1 1

1 1 11

1

3

13

3

13

3

1

3

3

1

3

. (4.35)

Notnd, ca i la calculul coeficientului de variaie, raportulx

xi prin k

i, relaia

devine:

( )C

k

nCs

ii

n

v

=

=1

3

13

. (4.36)

n cazul n care n < 30, n relaia (4.36) la numitor nva fi nlocuit prin n-1.

Coeficientul de asimetrie este nul n cazul unei repartiii simetrice, deoarece

ponderea punctelor din stnga valorii medii este egal cu ponderea celor din

dreapta, semnele fiind ns contrare (fig.4.5).

68


68/186

Fig. 4.5.Alura densitii de repartiie pentru valori ale lui Cspozitive,

nule sau negative (variabile aleatoare continue).

n cazul unei repartiii asimetrice, deplasat spre zona valorilor mici,

coeficientul de asimetrie este pozitiv, deoarece, dei mai puine, valorilexi> x

conduc la o sum ( )x xi3

mai mare dect valorilexi< x(mai numeroase,

dar cu abateri mai mici fa de medie).n mod similar, dac distribuia este deplasat spre zona valorilor mari,

coeficientul de asimetrie este negativ.n general, n cazul variabilelor hidrologice, coeficientul de asimetrie este

pozitiv. Rareori (de exemplu la prelucrarea irului nivelurilor maxime n cazul

unui ru la care albia major are o capacitate ridicat de transport) coeficientulde asimetrie rezult negativ.

Pentru caracterizarea formei se mai poate utiliza i coeficientul de boltire; nexpresia lui intervin ns momente de ordinul 4 care sunt evaluate mai puinprecis. Din acest motiv coeficientul de boltire nu este utilizat n hidrologie.

4.4. CALCULUL PARAMETRILOR STATISTICIAI REPARTIIEI EMPIRICE

Datele hidrologice se prezint n general n ordine cronologic, mulimea

valorilor nregistrate formnd seria hidrologic complet. De obicei, nu suntutilizate seriile complete, ci se practic selectarea din serie a valorilor care

prezint interes n funcie de scopul urmrit, restul valorilor excluzndu-se.

Rezult astfel serii de date pariale (STAS 4068/1 - 82).

Deosebit de utilizate sunt seriile valorilor extreme (maxime sau minime),

care se obin discretiznd axa timpului n intervale egale i alegnd n cadrul

69


69/186

fiecrui interval de timp valorile care intereseaz. Dac intervalul de timp aleseste de 1 an, rezult serii extreme anuale (de exemplu irul debitelor maxime

anuale); pentru intervale mai mici rezult serii sezoniere.

n marea majoritate a cazurilor, prelucrrile statistice din hidrologie au ca

scop trasarea curbei teoretice a probabilitilor de depire a debitelor maxime

sau minime anuale. Calculele respective au la baz aproximaia c parametrii

populaiei statistice (deci parametrii curbei teoretice a probabilitilor) sunt

aceeai cu parametrii irului de date nregistrate (adic parametrii curbei

empirice a probabilitilor).

Justificarea teoretic a acestui mod de rezolvare o constituie teorema lui

Glivenko (Gh. Mihoc .a., 1976). Conform teoremei lui Glivenko rezult c

odat cu creterea volumului seleciei, funcia empiric de repartiie tinde ctre

funcia de repartiie teoretic a variabilei X. n studiul repartiiilor empirice se

pot, deci, utiliza repartiiile teoretice.

Ca urmare, prima operaie const n calculul parametrilor de selecie. Dup

aceea este util s se cunoasc erorile de care sunt afectai parametrii astfel

determinai, aducnd eventual corecii unora dintre ei. n sfrit cu parametrii

astfel alei se construiete curba teoretic a probabilitilor de depire, curb

care permite extrapolarea irului de date nregistrate n afara domeniului de

msurtori curente.Succesiunea operaiilor pentru construirea curbei empirice a probabilitilor

de depire i calculul parametrilor statistici ai irului de date nregistrate este

urmtoarea:

Se selecioneaz din hidrograful debitelor irul valorilor maxime (sauminime) anuale;

Se reordoneaz acest ir n ordine descresctoare, de la cea mai marevaloare nregistrat la cea mai mic; fie i (i = 1, ..., n) numrul de ordine aldebitului din irul ordonat descresctor;

Se atribuie fiecrui debit Qiprobabilitatea de depire empiric:

pi

ni= + 1

; (4.37)

Se reprezint grafic punctele de coordonate (pi, Q

i), obinndu-se astfel

curba empiric a probabilitilor de depire (fig. 4.6);

70


70/186

Fig. 4.6.Curba empiric a probabilitilor de depire.

n continuare, se calculeaz valoarea medie a irului de date:Q

nQi

i

n

= =

1

1

.

Suma se poate calcula utiliznd att coloana valorilor nregistrate n ordinecronologic, ct i coloana valorilor rearanjate n ordine descresctoare,rezultatul fiind evident acelai.

Se calculeaz valorile:k

Q

Qi

i=

Calculul se conduce, dup cum urmeaz n tabelul 4.1.Ultimele dou coloane servesc pentru calculul coeficientului de variaie,

respectiv de asimetrie (relaiile 4.17, respectiv 4.36). Dup cum se va vedea maideparte, de multe ori coeficientul de asimetrie nu se mai calculeaz, fiind ales

funcie de Cv.

De o deosebit utilitate la determinarea parametrilor curbei probabilitilor

de depire este debitul istoric (determinat dup urme).

71


71/186

Tabelul 4.1

Anul Q

(cronologic)

Qi

(ordonat

descresctor)

i pi

kQ

Qi

i=

(ki-1)

2

(ki-1)

3

19...Q

19...Q

1

11

1n+

19...Q

19...Q

2

22

1n+

19...Q

19...

. . .

19...Q

19...

. . .

... ... ... ... ...

19...Q

19...Q

n

nn

n + 1

QQ

i

n=

( )kii

n

=

12

1

( )kii

n

=

13

1

n cazul n care se dispune de irul debitelor maxime anuale Qi pentru o

perioad de n ani i de debitul maxim istoric QNdintr-o perioad deN ani (carens nu s-a produs n intervalul cu date nregistrate), pentru calcululparametrilor se utilizeaz formulele (C. Mociornia .a., 1979):

QN

QN

nQN

i

n' = +

=

1 1

1i ; (4.38)

( ) ( )CN

kN

nkv N i

i

n' = +

=

11

11

2

1

2. (4.39)

Dac n irul celor n valori maxime anuale ale debitelor exist o valoarefoarte mare n raport cu celelalte (i care constituie debitul maxim istoric pentruo perioad de N > n ani), pentru calcul se vor utiliza relaiile (C. Mociornia.a., 1979):

QN

QN

nQN

i

n' = +

=

1 1

1

1

i ; (4.40)

72


72/186

( ) ( )CN

k Nn

kv N ii

n' =

+

=

11

1 11

12

1

1 2 (4.41)

n relaiile anterioare:

k Q QN N= /' . (4.42)

Parametrii, Q , Cv i C

s au fost calculai prin metoda momentelor (n

evaluarea lor au intervenit momente de ordinul unu, doi, respectiv trei); aceastmetod este de altfel i cea mai utilizat n practic. Pentru estimarea

parametrilor se mai poate folosi metoda verosimilitii maxime, metoda celormai mici ptrate, metoda intervalelor de ncredere etc. (M. Shahin, .a., 1993).

n continuare vor fi prezentate cteva aspecte metodologice referitoare launele din aceste metode de calcul.

4.5. EVALUAREA PARAMETRILOR REPARTIIILOR TEORETICE

n hidrologie tipul de repartiie teoretic este cunoscut n general, dinexperiena trecut. n practica hidrologic din ara noastr sunt utilizate curbelede repartiie triparametrice Kriki - Menkel i curbele de repartiie binomial

Pearson III. n principiu, legea de repartiie teoretic se intuiete pe bazareprezentrilor grafice ale variabilelor de selecie; calculele urmtoare se vorefectua apoi pe baza ipotezei de repartiie teoretice admise.

Presupunnd tipul de repartiie cunoscut se pune acum problema evalurii(estimrii) parametrilor repartiiei teoretice. Numai dup aceast operaiunerepartiia este complet determinat. Valorile parametrilor variabilei teoretice(care caracterizeaz populaia statistic) sunt estimate pe baza variabilelor deselecie (adic a valorilor nregistrate).

4.5.1. METODA MOMENTELOR

Fief(x, a, b, c, ...), funcia de probabilitate (n cazul unei repartiii discrete),respectiv densitatea de repartiie (n cazul unei repartiii continue), funcie caredepinde de un numr de parametri a, b, c, ... necunoscui i care trebuiedeterminai. Fie knumrul acestor parametri.

Metoda momentelor const n calcularea primelor k momente att alevariabilei teoretice avnd repartiia f(x, a, b, c, ...), ct i ale variabilei de

73


73/186

selecie. Momentele teoretice vor avea expresii funcie de parametriinecunoscui a, b, c, ...:

M1(a, b, c, ...); M

2(a, b, c, ...); ... ; M

k(a, b, c, ...)

Fie M M - primele kmomente empirice ale variabilei de selecie,

calculate cu ajutorul valorilor nregistrate x

Mk1 2* *, , ,K *

1, x

2, ..., x

n. Prin egalarea celor 2

rnduri de momente se obine un sistem (neliniar n general) de kecuaii cu knecunoscute, ale crei soluii estimeaz parametrii repartiiei teoretice.

Fie, de exemplu, repartiia Gama cu 2 parametri:

f x a ba b

x ea

a x( , , )( )

/= 1 1

b

b=

2+

(x0; a>0; b>0) (4.43)

Se pune problema evalurii parametrilor a i b, utiliznd metodamomentelor.

Momentele teoretice de ordinul 1 i 2, innd seama i de definiia funcieieuleriene de spea a doua (funcia gama), sunt (C. Dinescu, V. Svulescu,1978):

M xf x a b dx a10

=

( , , ) ; (4.44)

M x f x ab dx a a b22

0

1= =

( , ) ( ) . (4.45)

Primele dou momente empirice sunt:

Mn

xii

n

11

1* = =

; (4.46)

M

n

xii

n

22

1

1* = =

. (4.47)

Egalnd momentele teoretice cu momentele empirice se obine un sistem dedou ecuaii cu dou necunoscute:

abn

xii

n

= =

1

1

; (4.48)

74


74/186

a a bn

xii

n( )+ = =

1 121

2 . (4.49)

Rezolvarea acestui sistem conduce la evaluarea parametrilor a i b ; cuaceasta, repartiia variabilei teoretice este complet determinat.

Metoda momentelor este dup cum s-a mai artat cea mai utilizat npractica hidrologic.

4.5.2. METODA VEROSIMILITII MAXIME

Aceast metod pleac de asemenea de la valorile nregistratex1, x2, ..., xnide la expresia funcieif(x, a, b, ...), unde a, b, ... sunt parametrii care trebuieestimai.

Se numete funcie de verosimilitate funcia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )V a b f x a b f x a b f x a b f x a bn ii

n

, , ... , , , ... , , ,... , , , ... , , , ...= ==

1 21

. (4.50)

Valorile cele mai verosimile pentru a, b, c, ...sunt acelea care maximizeazfuncia V(a, b, c, ...). n continuare trebuie aplicate tehnici de gsire aextremului unei funcii care depinde de mai multe variabile (derivarea funciei

de verosimilitate V n raport cu cele k necunoscute, anularea celor k derivatepariale i rezolvarea sistemului rezultat). Pentru efectuarea mai comod acalculelor acest procedeu nu se aplic funciei de verosimilitate V, cilogaritmului ei, innd seama de faptul c o funcie oarecare i atinge maximulodat cu logaritmul su natural.

Fie, de exemplu, densitatea de repartiie:

( )f x a bb

e

x a

b, , =

1

2

1

2

2

; xR , (4.51)

i valorile de seleciex1, x2, ..., xn.n acest caz funcia de verosimilitate este (C. Dinescu, V. Svulescu, 1978):

( )

( )V a b

be

b

ei

nx a

b

nn

x ai ii

n

( , )= =

=

=1

2

1

21

1

2

1

2b

2

2

2

1

. (4.52)

75


75/186


76/186

nlocuindu-l pe aprin n ecuaia (4.57), se obine:

( )n

b bx xi

i

n

= =

13

2

1

, (4.61)

adic:

( )bn

x xii

n2 2

1

1=

= sau b = s. (4.62)

Rezult c parametrul b are drept estimator de maxim verosimilitateabaterea medie ptratic de selecie s. Cu alte cuvinte parametrii a i b din

expresia densitii de repartiie teoretic sunt chiar valoarea medie m, respectivabaterea medie ptratic a populaiei. Funcia avnd densitatea de repartiie:

( )f x m ex m

, ,

=

1

2

1

2

2

, x R (4.63)

poart numele de repartiie normal i poate fi luat drept model teoreticpentru cercetarea probabilistic a unui numr foarte mare de fenomenealeatoare.

4.5.3. METODA CELOR MAI MICI PTRATE

Fie f(x, a, b, c, ...) densitatea de repartiie ai crei parametri trebuiedeterminai.

Din punct de vedere matematic, problema const n gsirea aceleiconfiguraii a parametrilor a, b, c, ... astfel nct suma ptratelor (sau suma

modulilor) abaterilor dintre probabilitile teoreticepi

ti probabilitile empirice

pi

es fie minim:

( )F p p ii

tie

i

n

= =

2

1

min m

dx

. (4.64)

Probabilitile teoretice p de depire ale valorilor nregistrate xit

i se

evalueaz cu relaiile:

( )p f x a b cit

xi

= +

, , , , ... , (4.65)

77


77/186

n timp ce probabilitile empiricepiese obin cu relaia Weibull:

pi

nie =

+ 1. (4.66)

Funcia obiectiv are deci expresia (R. Drobot, 1989):

F f x a b c dxi

nim

xi

n

i

= +

+

=( , , , ,...) min

11

2

. (4.67)

Pentru integrarea densitii de repartiie se utilizeaz metode numerice, ca deexemplu metoda Gauss cu 8 sau 16 puncte (G. Vraciu, A. Popa, 1982). nvederea creterii preciziei calculului, integrarea se poate efectua din aproape n

aproape ntre dou valori succesive xi , respectiv x

i+1, iar acolo unde ecartul

ntre dou valori succesive este prea mare, se poate recurge chiar la divizareaacestuia.

Cutarea minimului se face prin procedee numerice de programare neliniarcare nu apeleaz la calculul derivatelor funciei obiectiv; cele mai bune rezultatese obin cu algoritmul Nelder-Mead.

Avantajul metodei celor mai mici ptrate const n flexibilitatea sa n

evaluarea parametrilor. Astfel, n metoda momentelor calculul ordonatelorcurbei Kriki-Menkel a probabilitilor de depire are loc admind valori fixe,

prestabilite ale raportului Cs/C

v, care variaz de la 1,0 la 4,0 cu un pas de

discretizare de 0,5. Metoda celor mai mici ptrate permite obinerea optimuluiglobal al funciei (4.67), valorile optime ale parametrilor a, b, c, ... , putnd

conduce la orice raport Cs/C

v, fr nici o restricie.

Dup evaluarea parametrilor, probabilitatea de depire teoretic

corespunztoare unei valorixioarecare se obine prin integrarea relaiei (4.65).

Dac intereseaz valoarea xi , creia i corespunde o probabilitate de depire

dat (de ex:p%=1%), calculul se efectueaz prin ncercri succesive: se propundiverse valorix

ica limit inferioar de integrare n relaia (4.65), obinndu-se

valorile corespunztoare pentru probabilitile teoretice ; prin interpolare

rezult imediat valoareaxcutat, procedeul fiind rapid convergent.

pit

78


78/186

Pentru exemplificare, se consider ca repartiie teoretic, distribuia Gama cutrei parametri, care va fi utilizat pentru calculul probabilitilor teoretice de

depire n cazul unui ir scurt (n= 25) de debite maxime anuale:

( )f x x e x( )( )

( ) ( ) /= 1 1

, (4.68)

unde notaiile au urmtoarea semnificaie:este parametrul de form; - parametrul de scar;

- limita inferioar a valorilor distribuiei.

Fie repartiia empiric:

x Q pi

ni i i= = +

;1

,

unde debitele Qisunt ordonate n ordine descresctoare, ifiind numrul de

ordine din acest ir:

Q1> Q2> ... > Qi> ... > Qn. (4.69)

Probabilitile teoretice pi

tde depire ale debitelor nregistrate se obin cu

relaia:

p f x dx x eit

Q Q

x

i i

= = + +

( ) ( )( ( )/1 1)

dx. (4.70)

Funcia obiectiv are expresia:

F x e dxi

nim

Q

x

i

n

i

= +

+

=

1

1

1)

1

2

( ) min( ( )/ (4.71)

Coordonatele minimului sunt n cazul de fa cei trei parametri necunoscui, i care asigur aproximarea cea mai bun a curbei empirice de ctre curbateoretic.

79


79/186

Pentru repartiia Gama cu 3 parametri, momentul de ordinul 1 (mediaaritmetic), respectiv momentele centrate de ordinul 2 i 3 au expresiile (V.Yevdjevitch, 1972):

m xf x dx = = ++

( )

;

( )m x m f x dx 22 2 2= = =

+

( ) ; (4.72)

( )m x m f x dx 33 3

2= =

+

( )

.

Ca urmare, coeficienii de variaie i asimetrie sunt:

Cm

v = = +

,

(4.73)

Cm

s= =33

2

.

De aici rezult imediat raportul Cs/C

vn funcie de parametrii , , i

determinai prin procedeul de optimizare.

Fig. 4.7.Trasarea curbei teoretice a probabilitilor de depire

prin procedeul clasic i prin optimizare.

80


80/186

n figura 4.7 sunt reprezentate curba empiric a probabilitilor de depireprecum i curbele teoretice calculate cu parametrii obinui prin metodamomentelor (curba 1), respectiv prin optimizare (curba 2).

Chiar i n cazul unei alegeri foarte bune a raportului Cs/C

v(ceea ce nu este

ntotdeauna sigur n practic), aproximarea curbei empirice este mai slab dectn cazul utilizrii parametrilor obinui prin optimizare.

4.6. ERORI I LIMITE ALE CALCULULUI STATISTIC

Efectund mai multe selecii de acelai volum dintr-o populaie statistic i

calculnd parametrii statistici uzuali (valoare medie, coeficient de variaie icoeficient de asimetrie) se obin valori ale acestora, diferite de la selecie laselecie. Cu ct volumul seleciei este mai mare, cu att fluctuaiile parametrilorvor fi mai mici, tinznd la limit ctre parametrii populaiei examinate; invers,pentru un volum redus al seleciei, parametrii statistici corespunztori potprezenta abateri importante de la parametrii populaiei. Cu alte cuvinte, nsiparametrii statistici sunt nite variabile aleatoare, valorile acestora depinznd ngeneral de lungimea irului de date de baz.

Abaterea medie ptratic a coeficienilor Csi C

vse calculeaz cu relaiile:

Cs n=6

(4.74)

Cv

vv

C

nC= +

21 2 2 . (4.75)

Volumul redus al seleciei constituie o important surs de erori n calculul

statistic. Lund drept msur a erorii abaterea medie ptratic a parametrilor Cs

i Cvse constat c cel mai afectat de lungimea irului statistic este coeficientul

de asimetrie.

Astfel, considernd o populaie pentru care Cv= 0,5, din formulele (4.74) i(4.75) rezult c, pentru o selecie de volum n= 100, eroarea la determinarea lui

Cseste de 25%, n timp ce pentru C

veste 4,25%. Pentru n= 20, respectiv 25,

erorile pentru Cv sunt 9,7%, respectiv 8,6%, n timp ce pentru C

s sunt

inacceptabile depind 50%. Admind erori n calculul statistic de pn la 10%,

rezult c pentru un ir de date cu cel puin 20 25 valori, pentru Cvse poate

admite valoarea calculat, n timp ce coeficientul de asimetrie trebuie ales pe

81


81/186

baz de experien n funcie de valorile coeficientului de variaie (care estedeterminat cu o precizie mult mai bun).Coeficientul de asimetrie are (C. Mociorni .a., 1979) urmtoarele valori

(funcie de Cv):

Cs= 2C

v - pentru debite maxime provenite din topirea zpezilor;

Cs= 4C

v- pentru debite maxime provenite din ploi;

Cs= (3 4)C

v - pentru debite maxime anuale indiferent de genez,

adoptndu-se valoarea minim n cazurile n caremarea majoritate a debitelor din ir provin dinopirea zpezilor i valoarea maxim n cazul ncare sunt cauzate de ploi.

Alte valori ale lui Cssunt urmtoarele (Hncu .a., 1975):

Cs= 0 - pentru niveluri maxime;

Cs= 1,5C

v - pentru debite medii anuale pe rurile care seac;

Cs= (3 3,5)C

v- pentru precipitaii maxime;

Cs= (3,5 4)C

v - pentru debite maxime pe ruri mici;

Cs= 2Cv - pentru debite medii anuale i debite minime de var.

n sfrit, pentru calculul volumelor maxime de durat T cu diverseprobabiliti de depire, coeficientul de asimetrie are urmtoarele valori (C.Mociorni .a., 1979):

Cs= 2C

v - pentru volume maxime provenite din topirea

zpezilor;

Cs= 4C

v - pentru volume maxime provenite din ploi;

Cs= (2 4)C

v - pentru volume maxime indiferent de genez,

funcie de proveniena celei mai mari pri a datelordin irul analizat.

Dup calculul parametrilor irului de date de care se dispune din msurtorise procedeaz la calculul ordonatelor curbei teoretice avnd aceiai parametri.

Urmeaz apoi reprezentarea pe un format special a curbei teoretice i acurbei empirice; n mod normal curba teoretic trebuie s treac printre punctelecurbei empirice.

82


82/186

n anumite situaii acest lucru poate s nu se realizeze. n acest caz sunt desuspectat erori de determinare a unora dintre debitele din ir; se mai poatentmpla ca n cadrul intervalului de n ani analizat s se fi produs debite cuprobabiliti de apariie extrem de reduse (prima sau primele valori din irulordonat descresctor pot avea probabiliti de depire cu mult mai mici dectfrecvenele empirice calculate cu relaii de tipul i/(n+1)).

Pentru obinerea unei concordane ct mai bune ntre conturul curbeiteoretice i valorile msurate se pot adopta diverse msuri (C. Mociorni .a.,1979, R. Drobot, 1989):

Modificarea valorii parametrilor Cv i C

s; admind c eroarea la

determinarea coeficientului de variaie este n limitele Cv se vor

propune noi valori pentru coeficientul de variaie cuprinse n domeniul

[Cv- Cv ; Cv+ Cv ]. n ceea ce privete coeficientul de asimetrie, acesta va fi

ales n funcie de noua valoare a lui Cv.

Utilizarea altor curbe teoretice de probabilitate (n afara curbelor Kriki-Menkel sau Pearson III) cum sunt de exemplu curbele log-normale, Johnsonetc; tipul de curb adecvat irului statistic de valori nregistrate se va alege pe

baza unor teste de concordan ca de exemplu criteriul 2 sau testul lui

Kolmogorov. Utilizarea metodei celor mai mici ptrate pentru determinarea

parametrilor care intervin n relaiile de definiie ale densitii de repartiie saufunciei de repartiie i implicit ale parametrilor statistici uzuali; trebuiemenionat c metoda celor mai mici ptrate are o flexibilitate superioarmetodei bazat pe calculul momentelor, care este condiionat de utilizarea unor

valori fixe, prestabilite ale raportului Cs/C

v(curbele Kriki-Menkel sunt definite

pentru valori ale acestui raport egale cu 1,0; 1,5; 2,0; ... ; 4,0, excluzndu-sevalorile intermediare).

Principala cauz a erorilor inerente calculului statistic o constituie volumulrelativ redus al irului de date din nregistrri. Se reamintete c n hidrologieperioada de msurtori este cuprins n general ntre 20 - 40 de ani.

Chiar dac s-ar dispune de date pe perioade ndelungate, aceasta nu

constituie o garanie deplin n special n cazul unor bazine mici sau foarte mici.La aceste bazine influena activitilor umane (despduriri masive, urbanizareprogresiv etc.) se resimte foarte puternic, conducnd n timp la o cretere avalorii coeficientului de scurgere i o micorare a timpului de concentrare aprecipitaiilor n reeaua hidrografic); ca urmare se constat o cretere afrecvenei cu care se nregistreaz debite de probabiliti considerate reduse. naceste situaii este necesar renunarea la valorile mai vechi ale irului (care numai reflect corect actuala situaie a bazinului hidrografic), cu toate implicaiile

83


83/186

defavorabile pe care le are micorarea numrului de valori disponibile pentruprelucrarea statistic.

84


84/186

5. REPARTIII CONTINUE UTILIZATE N HIDROLOGIE

5.1. REPARTIIA NORMAL

Aceast repartiie, cunoscut i sub denumirea de legea lui Gauss sau legeaGauss-Laplace, ocup un loc deosebit printre distribuiile teoretice, constituind

de altfel o lege limit ctre care tind unele distribuii (binomial, Poisson) nanumite condiii. Pentru ca o variabil aleatoare s aib distribuie normal,trebuie ca ea s depind de un mare numr de factori, cu o influen individualrelativ redus, efectul fiecrui factor s fie aditiv i independent de al celorlalifactori cauzali (V. Yevjevich, 1972).

Distribuia normal de parametri m i este definit dup cum s-a artat(4.5.2) prin urmtoarea densitate de repartiie:

( )f x m e x Rx m

; , ;

=

1

2

1

2

2

(5.1)

Repartiia normal are urmtoarele proprieti: funciaf(x; m, )este continu, fiind definit pentru orice valoare real a

luixde la -la +; densitatea de repartiie normal are un singur maxim (este o repartiie

unimodal) pe care l atinge n punctulx = m; valoarea maxim a funciei este:

( )f m x R=1

2 ; (5.2)

densitatea de repartiie normal este simetric fa de verticala dus prinx=mi scade simetric la stnga i la dreapta de aceast valoare, tinzndctre axa absciselor care este asimptot orizontal.

ntr-adevr:

lim ( ; ,

Documents

Bazele Statice Ale Hidrologiei