Bdt Bunhia- Chuyên Tiền Giang (1)

8/17/2019 Bdt Bunhia- Chuyên Tiền Giang (1)

1/201

Cho 2 bộ số thực a1; a2 ;...; an và b1;b2 ;...;bn , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: a1b1 a2b2 ... anbn 2 a a ... ab b ... b22 22 2 212 n1 2 n

D! đ"ng th#c $%& 'a (hi và ch) (hi:a1 a 2 ... a n

b1b2 bnv*i +!& *c n-! m! b/ng 0 th t 3h%i b/ng 0.

4-! a $ ... a $ C 5(h6ng đ7i8 th min $ ... $ 2 21 1 n n 1 n C

a2 ... a 21 n

đ9t đc (hi $1 ... $na1an

4-! $ ... $ C 5(h6ng đ7i8 th2 2 21 n$1 a1

ma$ a1$1 ... an$n C a ... a2 21 n

đ9t đc (hi ... 0an

$n

min a1 1$ ... a $n n C a2 ... a 21 n

D!


2/201

'(u

)*u b+ng ", A = " ho$c B = " ho$c C = " %h- b.% )/ng %h0c hin nhi2n )3ng 4- 5hi )6 c7 hai 4( c8a b.% )/ng %h0c

V9y %a ch: ;?ng h@A A > "B B > "BC > "

#$% x = ai B y =

bi B z = ci

4i i = 1B DBE

i Ai

Bi

C

E xE + xE + xE = 1Khi )6 %a c6F F yE + yE + yE = 1 4à b.% )/ng %h0c cn ch0ng minh %=H %hànhF x y z + x y z + x y z ≤ 1

G 1 D E 1 1 1 D D D E E EF zE + zE + zE = 1

H 1 D E EF x1 y1 z 1F

xE + xE + xE

≤ 1 1 1EE E E

IA dJng b.% )/ng %h0c Cauchy cho E 5hông âmF xE

B yE

B zE

(i = 1B DBE) %a c6FF

x y z ≤ xD + xD + xD

i i i G D D DFFF xE yE z EH

E

xE + xE + xE

≤ E E EE

CLng cMc b.% )/ng %h0c %=2n NOi %a )>@cF x1 y1 z1 + xD yD zD + xE yE zE ≤ 1)AcmQ

E a1=

b1=

c1E x = y = z F A B C

1 1 1 F#/ng %h0c ;7y =a ⇔ F x = y = z ⇔

F aD=

bD=

cD

G D D DG

A B C F FH xE = yE = zE F aE bE cE

F = =H A B C Ray ai F bi F ci = A F B F C (i = 1B DBE) %0c NàF a1 F b1 F c1 = aD F bD F cD = aE F bE F cE% Tng UuM% F b.% )/ng %h0c unhiacôA;5i mH =Lng cho =Lng cho m dãy %hWc không &!:

Cho m dãy %hWc 5hông âmF

(a1B aD B,,,B an ) & (b1BbD B,,,Bbn ) & X & ( K

1B K D B,,,B K n )a c6F(a1b1,,, K 1 + aDbD,,, K D + ,,, + a b ,,, K ) ≤ (a1 + aD + ,,, + a )(b1 + bD + ,,, + b ),,,( K 1 + K D + ,,, + K )m m m m m m m m m m

n n n n n n

Y.u Z[\ ;7y =a 5hi 4à ch: 5hiF

a1 F b1 F ,,, F K 1 = aD F bD F ,,, F K D = an F bn F ,,, F K n ch0ng minh %>]ng %W nh> %=2nQ

1 D E


3/201

I- MỘT SỐ VÍ DỤ :

B'i 1: Cho x& y& z Nà ba d>]ng %h^a _ x + ` y +1 z = _` , Ch0ng minh =+ngF

T = 1

+ D

+ _

≥ _`

x y z


4/201

I$ &

$ & I

I$ &

$ & I

$ & I$ & I

J

J

J

#/ng %h0c ;7y =a 5hi nào

Hướng dẫn giải

IA dJng # unhiacôA;5i cho Mu D BE B

_

K L

4à1

B

B

%a )>@cF

MK LD K LD K LD_`,T = _ x + ` y + 1 z 1 +

D+

_ = M D D + E D+ _

D N O1 + P

Q +

R

( ) P Q

O( ) ( ) ( ) R P Q

P Q P Q

S x y z T U V OS T

S T S T R

DK 1 L≥ D , + E , + _ ,

U V

= _`D

PP Q

Q

⇒ T = 1

+ D

+ _

≥ _`

x y z

S T

E x =

1FE 1

#/ng %h0c ;7y =a 5hi FG D x = =E y_ z

F ⇔

F y =

FG

EH_ x + ` y +1 z = _`

FF z = DFH

B'i : Cho x > "B y > " 4à xD + yD ≤ x + y ,Ch0ng minhF

x + E y ≤ D +

Hướng dẫn giải D D

Gi7 %hi(%F xD + yD ≤ x + y ⇔ K x −

1 L +

K y −

1 L ≤

1P

DQ P D

QD

S T S TIA dJng # unhiacôA;5i cho D bL F (1BE)B

x −

1B y −

1 L %a c6F

PD D

QS T

D

M

K L K LN DK L DK L1, 1 − 1 + E, y − 1 M 1 1 N≤ 1" x − + y − ≤ O P

DQ P

DQR OP

DQ P

DQ R

U S T S TV OUS T S T RV⇒ ( x + E y − D)D ≤

⇒ x + E y − D ≤

⇒ x + E y ≤ D +

N

D


5/201

J

A J

E 1F x = +

#/ng %h0c ;7y =a 5hiF D 1"F

y = 1

+

HF D 1"

B'i : Cho a& b& c ≥ " B a + b + c = 1 ,Ch0ng minhF

G


6/201

ab bc ca

ab bc ca

$2 1 $2

&2 1 &2

I2 1 I2 W2

$2 1 $2

&2 1 &2

I2 1 I2

1 W1. $2 1 $2

W2. $2 1 $2

W2. &2 1 &2

W2. I2 1 I2

1+

1+

1+

1 ≥ E"aD + bD + cD ab bc ac

Gi A = 1 + 1

+ 1

+ 1


a

D

+ b

D

+ c

D

ab bc acIA dJng # unhiacôA;5i cho D bL FK 1

B1

B1

B1 L

P QS aD + bD + cD T

( aD + bD + cD BE BE BE )a c6F (1 + E + E + E)

D ≤ (aD + bD + cD + `ab + `bc + `ca ) A

⇒ 1"" ≤ M(a + b + c)D + f (ab + bc + ca)N

AQ

à ab + bc + ca ≤ 1

(a + b + c)D = 1

do a + b + c= 1Q E E

Yo )6F Q ⇒ A ≥ E",

#/ng %h0c ;7y =a 5hi a = b = c = 1

E

B'i : Cho xB yB z > " 4à%ho7

x + y + z ≤ 1 ,Ch0ng minh F + + ≥

Hướng dẫn giải Gi S = + +

IA dJng # unhiacôA;5i cho D bL F (1B`)B xB

1 L

P x

Q

a c6F

S T

x + `

≤ = x

y + `

≤

1Q

>]ng %WF

y

DQ

z + `

≤ z


7/201

W2

W2

CLng 1Q&DQ 4à EQ %heo 4( %a )>@cF S ,

RayS ,

≥ x + y + z + `K 1

+ 1

+ 1 L

P x y z

Q

≥ 1( x + y + z ) + `K 1

+ 1

+ 1 L

− " ( x + y +

z ) S T

EQ

x y z


8/201

$ & I 1 1 1 LP $S &

I QT

$2 1 $2

&2 1 &2

I2 1 I2 W2

b2 2a 2 c2 2b 2 a2 2c 2A

1 1a2b2

2b2 2a 2 b2 2a 2a2b2

$2 2 & 2 &2 2I 2 I2 2$ 2 A

I2 2$ 2

$2

2 & 2

&2 2I 2

A

&2 2I 2 I2 2$ 2A

A

b 1

V9y

≥ D,`,E,

+ +

− " ≥ 1D − " = D

≥

B'i * : Cho ba %hWc d>]ng a& b& c %ho7 ab + bc + ca = abc ,Ch0ng minh =+ngF

+ + ≥ab bc ca


a c6F = =ab

do a& b d>]ngQ

#$% x = 1 B y = 1 B z = 1

%h-a b cEa& b& c > "

E xB yB z > "

gi7 %hi(% GHab + bc + ca = abc

⇔ GH x + y + z = 1

4à )AcmQ ⇔ + + ≥

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6F

E( xD + D yD ) = E( x

D + yD + yD ) ≥ ( x + y + y )D

>]ng %W

V9y

⇒ xD + D yD

+

≥ 1

( x + D y )E

≥ 1

( y + D z )E

≥ 1

( z + D x)

+ ≥

1(E x + E y + E z ) =

#/ng %h0c ;7y =a 5hi x = y = z = 1

E

Vi x = y = z = 1

E%h- a = b = c = E


9/201

a 1 c 1 c ab 1

I2 1 M 2U $ 1 &2 1 1 NV

B'i + : Ch0ng minhF + + ≤ 4i mi %hWc d>]ng aBbB c ≥ 1

Hướng dẫn giải #$% a − 1 = xD Bb − 1 = yD B c −1 = zD

Vi xB yB z > ",.% )/ng %h0c cn ch0ng minh %=H %hànhF

x + y + z ≤



10/201

$2 1 &2 1 $2 1 &2 1 $2 1 &2 1

$2 1 &2 1 1. I2 1

I 1$ 1& 1 12 M 2U 2 NV

b 1 c 1 c ab 1 a 1

& I I $ $ & & I I $ $ &

c aa b

x + y ≤

+ z ≤

⇒ x + y + z ≤ + z

1Q

DQ

K(% h@A 1Q 4à DQ %a c6 x + y + z ≤

V9y + + ≤ )AcmQ

B'i , : Cho aBbB c > " 4à %ho7 abc = 1 ,Ch0ng minhF

1+aE (b + c)

1

+bE (c + a )

1≥

EcE (a + b) D

#$% x = 1

B y = 1

B z = 1

a bc


⇒ xyz = 1B x > "B y > "B z > "

xD yD zD E

a cn ch0ng minh b.% )/ng %h0c au F j[ + + ≥ y + z z + x x + y D

IA dJng # unhiacôA;5i cho D bL F ( B B)B

K xB y

B z L

PP Q

QS T

a c6F ( x + y + z )D ≤ ( y + z + z + x + x + y ) A⇒ A ≥

x + y + z≥

E, xyz =

Edo xyz = 1

Q ⇒ A ≥

E

E

D D D D#/ng %h0c ;7y =a 5hi x = y = z = 1Vi x = y = z = 1 %h- a = b = c = 1,

B'i - : Cho aBbB c > " ,Ch0ng minhFa

+b

+c

≤ 1a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a ) (c + b)


IA dJng # unhiacôA;5i cho D bL F ( Ba c6F

)B( B )


11/201

ac ab ac ab a b c a

ac ab a b c a a

a b c

( + ) ≤ (a + b)(c + a) ⇒ + ≤⇒ a + + ≤ a +

⇒a

≤

a + (a + b)(a + c) a

+

a

=ac + ab

1Q

D


12/201

ba b c

ca b c

2. a2 b 2 2

2

>]ng %WF β ≤b + (b + c) (b + a)

χ ≤c + (c + a ) (c + b)

DQ

EQ

CLng 1Q&DQ 4à EQ %heo 4( %a )>@cFa

+b

+c

≤ 1a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a ) (c + b)

#/ng %h0c ;7y =a 5hi a = b = c ,

B'i : Cho aBb > " 4à %ho7 aD + bD = ` ,Ch0ng minh F

ab≤

E D − E

a c6F aD + bD = `

⇔ Dab = (a + b)D − `

⇔ Dab = (a + b + E) (a + b −E)

a + b + E D Hướng dẫn giải

⇔Dab

a + b + E

⇔ab

= a + b − E

= a + b

− E

a + b + E D D

à %heo # unhiacôA;5i %h- a + b ≤ = E

'2n ab ≤ E D − E

a + b + E DEaBb > "F

#/ng %h0c ;7y =a 5hiF

aD + bD = ` ⇔ a = b = E

FFHa = b

B'i 1/: Cho aBbB cB d d>]ng %uk l,Ch0ng minh F1

+ 1

+ 1

≥ p + q+

p + q+

p + q

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6

( p + q)D =

G


13/201

3 .a 3a

+ .b +b

a b c pa + qb pb + qc pc +qa

Hướng dẫn giải DL K p q L+ ≤ + ( pa + qb)

>]ng %W %a ch0ng minh )>@c

P QS T S T

( p + q)D ≤ K p

+ q L

( pb + qc) B ( p + q)D ≤ K p

+ q L

( pc + qa)P Q P QS T S T

CLng cMc 4( %>]ng 0ng c8a ba b.% )/ng %h0c %a c6 F

a

b c c


14/201


15/201

a2b c a 2b c

b2c a b 2c a

c2a b c 2a b

#$% A =a

1+ b − a

+ b1+ c − b

+ c1+ a − c

=a

Db + c

+ bDc + a

+ cDa + b

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6FD

(a + b + c)D = M

+ +N

O RU V

≤ M a

+ b

+cN MUa (Db + c) + b (Dc + a ) + c (Da + b)NV

OU Db + c

Dc + a

Da + bRV


16/201

b a

b a

⇔ A ≥(a + b + c)D

E(ab + bc +

ca)a NOi c6F

(a + b + c)D ≥ E(ab + bc + ca) , Suy=a

E (ab + bc + ca ) A ≥ = 1E(ab + bc + ca)

V9y a

1 + b −a

+ b1 + c − b

+c

≥ 1 1 + a − c

EDb + c = Dc + a = Da +b

Y.u )/ng %h0c ;7y =a 5hi

F

a = b = cFa + b + c = 1

⇔ a = b = c = 1

E

B'i 1 : Gi7 cMc %hWc xB yB zBt %ho7 mãn )i*u 5ipnF a ( xD + yD ) + b ( zD + t D ) = 1 4i aBb Nà hai d>]ngcho

%=>c, Ch0ng minhF ( x + z ) ( y + t ) ≤ a + b

ab Hướng dẫn giải

Yo aBb > " n2n % gi7 %hi(% %a c6F

a ( xD + yD ) + b ( zD + t D ) = 1 ⇔ x + y

+ z + t

= 1

b a ab

xD zD yD t D 1

⇔ + + + =b a b a ab

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6FD D D

( x + z )D = K x

, + z

, L

≤ (b + a)K x

+ z

L 1Q

P Q P b a

QS T S T

D D>]ng %W F ( y + t )D ≤ (b + a)

K y+

tL DQ

P b a

Q

CLng %ng 4( 1Q 4à DQ %a )>@cF

S T

D D D D( x + z )D + ( y + t )D ≤ (b + a)

K x

+ z + y

+ t L a + b =

EQP

b a b aQ

ab

GH

D D D D


17/201

$% 5hMc ( x + z )D + ( y + t )D ≥ D ( x + z )( y + t )

Yo )6 % EQ 4à _Q uy =aF ( x + z ) ( y + t ) ≤ a + b

ab

S T

_Q

E x=

zF b aF E x = yY.u )/ng %h0c ;7y =a ⇔

F y=

t

FF x + z = y + t FH

FG z = t =

axFH b

b

⇔


18/201

cBcB

ab cB

abcBab cB

B'i 1 : Cho cMc %hWc d>]ng xB yB zBt %ho7mãn

xyzt = 1,Ch0ng minhF

1+ xE ( yz + zt + ty )

1+ yE ( xz + zt + tx)

1+ zE ( xt + ty + yx)

1≥

_t E ( xy + yz + zx) E

Vi xB yB zBt d$% a = 1

Bb = 1

B c = 1

B d = 1

x y z t

Hướng dẫn giải aBbB cB d > "Q 4à abcd = 1

⇒ x = 1

B y = 1

B z = 1

Bt = 1

a b c d .% )/ng %h0c cn ch0ng minh %>]ng 4iF

1

1 K 1+

1+

+1

1 L 1 K 1+

1+

+1 L 1 K 1

1+

+ 1

+ 1 L

1 K 1 1+

1+ ≥

_1 L E

aEP

bc cd bdQ

bEP

ac cd adQ

cEP

ad bd abQ

d EP

ab bc acQ

S T S T S T S T

aE bE cE d E _⇔ + + + ≥

b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c Ebcd adc abd abc

aE bE cE d E _

⇔ + + + ≥ 4- abcd = 1 Qa (b + c + d ) b (c + d + a) c (d + a + b) d (a + b + c) E

aD bD cD d D _

⇔ + + + ≥b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c E

aD bD cD d D#$% S = + + +

b + c + d c + d + a d + a + b a + b + cIA dJng # unhiacôA;5i %a c6F

S , M(b + c + d ) + (c + d + a) + (d + a + b) + (a + b + c)N ≥ (a + b + c + d )D

(a + b + c + d )D

1⇒ S ≥ = (a + b + c + d )

1Q

E(a + b + c + d ) EIA dJng # Cauchy 4i D d>]ngF

a + b ≥ DSuy =a a + b + c + d ≥ D

(abBab +

c + d ≥ D)

qOi MA dJng # Cauchy cho D d>]ng B %a c6F

+ ≥ D

1Q 4à DQ uy =a S ≥ _

E= D_ abcd = D


19/201


20/201

$ .22 $A $ .AA $A $ .XX $A

B'i 1* : Cho x1B xD B xE B x_ d>]ng %ho7 )i*u5ipn

x1 + xD + xE + x_ = 1 ,Ch0ng minh F_ _ _ _

x1 + xD + xE + x_≥

1


xE + xE + xE + xE _


( )D(

D D D D)1 = x1 + xD + xE + x_ ≤ _ x1 + xD + xE + x_D D D D 1

r ( D D D D )D

⇒ x1(

+ xD + xE + x_ ≥ _E )

1Q

x1 + xD + xE + x_ = x1 , x1 + + +( ) ( E E E E)

≤ x1 + xD + xE + x_E E E E x1 + xD + xE + x_= x1 + xD + xE + x_ 4- x1+ xD + xE + x_ = 1 Q

xE + xE + xE + xE⇔ 1 D E _ ≥ xD + xD + xD + xD DQ

xD + xD + xD + xD

r ( xE + xE + xE + xE )D

1 D E _

( D D DD)= x1, x1 + xD , xD + xE, xE + x_ , x_

( D D D D)( _ _ _ _)≤ x1 + xD + xE + x_ x1 + xD + xE + x_ x_ + x_ + x_ + x_ xE + xE + xE + xE

⇒ 1 D E _

≥ 1 D E _ EQ

xE

+ xE

+ xE

+ xE

xD

+ xD

+ xD

+ xD

1 D E _ 1 D E _

1QBDQ 4à EQ uy =aF_ _ _ _

x1 + xD + xE + x_≥

1 xE + xE + xE + xE _

B'i 1+ : Cho bn d>]ng aBbB cB d ,Ch0ng minhF

a_ b_ c_ d_ a + b + c + d

+ + + ≥

(a + b) (aD + bD ) (b + c) (bD + cD ) (c + d ) (cD + d D ) (d + a)(d D + aD ) _

Hướng dẫn giải IA dJng # unhiacôA;5i %a c6F

(a + b)D

≤ D (aD + bD ) ⇔ (aD + bD )( a + b)D ≤ D (aD + bD ) ≤ _ (aD + bD

)

1Q

a_ + b_ 1

1 D E _

1 D E _

1 D E _

1 D E _


21/201

$% 5hMcF ⇔ ≥ (a + b)(a + b)(aD + bD ) _

a_ − b_= a − b

(a + b)(aD + bD

)

a_ b_ c_ d _#$% N = + + +(a + b)(aD + bD ) (b + c)(bD + cD ) (c + d ) (cD + d D ) (d + a)(d D + aD )


22/201

a.X a2 Wbc

U X a2 Wbc X b2 Wac b.X b2 Wac

X c2 Wab c.X c2 Wab

b2 Wac c2 Wab

a2 Wbc b2 Wac c2 Wab a2 Wbc

a. aA Wabc b. bA Wabc c. cA Wabc

a b c aA bA cA 2Xabc

ab bc ac

a c6F

(a_ − b_ ) + (a_ + b_ ) (b_ − c_ ) + (b_ + c_ ) (c_ − d _ ) + (c_ + d _ ) (d _ − a_ ) + (d _ + a_ )D N = + + + 1Q

(a + b)(aD + bD ) (b + c)(bD + cD ) (c + d ) (cD + d D ) (d + a)(d D + aD )⇔ D N ≥

1(a + b) + a − b +

1(b + c) + b − c +

1(c + d ) + c − d +

1(d + a) + d − a

_ _ _ _⇔ D N ≥

1(a + b + b + c + c + d + d + a) ⇔ N ≥

1(a + b + c

+ d )_ _

)Acm Q

B'i 1, : Cho aBbB c Nà cMc %hWc d>]ng,Ch0ng minhFa

+b

+c

≥ 1

#$% A =

a

+

b

+c

aD + bc bD + ac cD + ab(Trích đề thi Olympic Ton !"#c T$ l%n th& ') n*m ++,-


aD + bc bD + ac cD + abIA dJng # unhiacôA;5i hai Nn %a )>@cF

D

(a + b + c)D = M a

, + b

, + c

, N

O RV

≤

M

a

+b

+c N Ma, + b

+ c N

O RU V

= A, M + + N

$% 5hMc

U V

≤ A,

1Q

(a + b + c)E = aE + bE + cE + E(a + b) (b + c)(a + c)

IA dJng # Cauchy 4i hai d>]ng %a c6F

Suy =aF

a + b ≥ D B b + c ≥ D

B

a + c ≥ D

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ abc ⇒

(a + b +


23/201

a b c a b c A

c)E = aE + bE + cE + E(a + b)(b + c) ( a + c) ≥ aE + bE + cE + D_abc 1Q 4à DQ

uy =aFDQ

(a + b + c)D ≤ A, = A,( a + b + c)D

Yo )6 A ≥ 1& nghsa Nàa

+b

+c

≥ 1aD + bc bD + ac cD + ab

Y.u )/ng %h0c ;7y =a 5hi a = b = c ,

B'i 1- : Cho xB yB z ∈ Y +

%ho7 xy + yz + zt + tx = 1 ,Ch0ng minhF


24/201

xE yE zE t E 1

+ + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z E

Hướng dẫn giải IA dJng # unhiacôA;5i %a c6F

( xy + yz + zt + tx)D

≤ ( xD

+ yD

+ zD

+ tD

)( yD

+ zD

+ tD

+ xD

)⇔ 1 ≤ xD + yD + zD + t D

1Q

#$%F . = y + z + t B/ = x + z + t B 0 = x + y + t BT = x + y + z

Không m.% %tnh %Tng UuM% gi7 F x ≥ y ≥ z ≥ t

⇒ xD ≥ yD ≥ zD ≥ t D 4à xE ≥ yE ≥ zE ≥ t E

4à y + z + t ≤ x + z + t ≤ x + y + t ≤ x + y + z ⇔ . ≤ / ≤ 0 ≤ T ⇒ 1

≥ 1

≥ 1

≥

1

IA dJng # =2b>(A cho hai dãy auFE xE ≥ yE ≥ zE ≥ t EF

. / 0 T

G 1≥

1≥

1≥

1F

. / 0 T

E E E E x

+ y

+ z

+ t ≥ 1 K 1 +

1+

1+

1 L ( xE + yE + zE + t E ) DQ

. / 0 T _P . / 0 T

Q

E x ≥ y ≥ z ≥ t IA dJng # =2b>(A cho hai dãy G

H xD≥ yD ≥ zD ≥ t D

( xE + yE + zE + t E ) ≥ 1

( x + y + z + t ) ( xD + yD + zD + t D )_

$% 5hMcF

x + y + z + t = 1

( x + y + z + x + y + t + x + z + t + y + z + t ) = 1

( . + / + 0+ T )

E E

⇒ ( xE + yE + zE + t E ) ≥ 1( xD + yD + zD + t D ),

1( . + / + 0 + T )

_ E

EQ

DQ 4à EQ =3% =aFE E E E

x+

y+

z+ t

≥ 1

( xD + yD + zD + t D )( . + / + 0 + T ) K

1+

1+

1+

1 L

. / 0 T _ P

. / 0 TQ

heo 1Q %a NOi c6F 1 ≤ xD + yD + zD + t D

H


25/201

X

Z .[.\.]1

IA dJng # Cauchy cho . B/ B 0 BT > " %a c6F

. + / + 0 + T ≥ __ . ,/ , 0 ,T 1

+ 1

+ 1

+ 1

≥ _ . / 0 T ⇒ ( . + / + 0 + T ),

1+

1+

1+

1 L ≥ 1

P . / 0 T Q


26/201

C1n C 2n Cnn n 2n 1

C1n C 2n Cnn

C1n C 2n Cnn

C1n C 2n Cnn n 2n 1 C1n C 2n Cnn

xE yE zE t E 1 1

V9y + + + ≥ . / 0 T

,1,1 =_ E

hay . B/ B 0 BT %a )>@c 5(% Uu7F

xE yE zE t E 1

+ + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z E

Y.u )/ng %h0c ;7y =a 5hi x = y = z = t = 1

DB'i 1 : Cho n Nà %W nhi2n,Ch0ng minh =+ngF

+ + ,,, + ≤

Hướng dẫn giải Chn hai dãy (a = B a = B,,,B a = ) B(b = b = ,,, = b

= 1)

1 D n 1 D n

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6F ( ) ( 1 D n)( )

+ + ,,, + ≤ C n + C n + ,,, + C n 1 + 1 + ,,, +1

1Q

heo nhv %h0c 'ew%on %a c6F (a + b)n

=

Cho a = b = 1,a c6F

n

∑1 =1

C 1 a1 bn−1

Dn = C " + C 1 + ,,, + C n ⇒ Dn − 1 = C 1 + ,,, + C n

V9y % 1Q %a c6F

Y.u )/ng %h0c ;7y =a 5hi

+ + ,,, + ≤

= = ,,, = ⇔ n = 1,

B'i / : Cho aBbB cB d > " ,Ch0ng minhF a

+b

+c

+d

≥ D

b + Dc + Ed c + Dd + Ea d + Da + Eb a + Db + Ec E(Trích đề d2 b3 !"#c T$ Ton 45 n*m ,667-

Hướng dẫn giải K n x L K n L K

n LP∑ Q P∑ i i Q P∑ i QIA dJng # unhiacôA;5i %a c6F S i=1

i x y yi T S i=1

≥ xT S i=1 T

4i n = _B( x1B xD B xE B x_ ) = (aBbB cB d )B( y1B yD B yE B y_ ) = (b + Dc + Ed B c + Dd + EaB d + Da + EbB a + Db + Ec)

D

n

n n n n

D


27/201

(a + b + c + d )D⇒ V ≥

_ (ab + ac + ad + bc + bd + cd )

$% 5hMc (ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ≤ E

(a + b + c + d )D


28/201

1Q DQ

1Q 4à DQ ⇒ V ≥ D

E )Acm Q

a_ b_ c_

aE

+ bE

+ cE

B'i 1 : Cho a > "Bb > "B c > " ,Ch0ng minh F + + ≥b + c c + a a + b D


29/201

_ _ _ Hướng dẫn giải

#$% Da D b Dc

D D D D D D

x = B x1

b + cD

= B xc + a

E = 4àa

a + b

(b + c) = y1Bb

(c + a) = yD Bc

(a + b) = yE

IA dJng # unhiacôA;5i %a c6 cho cMc x1B xD B xE 4à y1B yD B yE %a )>@cFK a_P b_ c_+ +L

a D (b + c) + bD (c + a) + cD (a +b)

N ≥ (aE + bE + cE )

S b + c c + a a + b T U V

_ _ _ (aE + bE + cE )D

'2na

+ b

+ c

≥b + c c + a a + b a D (b + c) + bD (c + a) + cD (a + b)

# ch0ng minh )>@c bài %oMn %a cn ch0ng minhF

D (aE + bE + cE ) ≥ a D (b + c) + bD (c + a) + cD (a + b)Q ⇔ aE + bE − aDb − bDa + bE + cE − bDc − bcD + cE + aE − cDa − caD ≥ "

⇔ (a − b)D (a + b) + (b − c)D (b + c) + (c − a)D (c + a) ≥ ".% )/ng %h0c Q Nà )3ng ⇔ Q Nà )3ng x ài %oMn )3ng,

Q

Q

a_ b_ c_ aE + bE + cE

V9y + + ≥b + c c + a a + b D

B'i : Cho xi > "Bi = 1B DB,,,B n c6 x1 + xD + ,,, + xn = 1,Cho x B x B,,,B x Nà hoMn 4v c8a x B x B,,,B x ,Ch0ng minhF

i1 iD in 1 D n

D DD

n K 1 L (n +1)∑P x1 + x

Q ≥nP Q

1 =1

S

D

i1T

Hướng dẫn giải D D

n K L M n K LN K n n Lheo unhiacôA;5iF n,∑P

x + 1

Q

≥ O∑P x + 1

QR = P∑ x + ∑

1Q

P 1 Q P 1 Q P 1 Q1 =1 S

n

K n

1T

L K n

1L

OU 1 =1

S

x1 TRV

n

1

S 1=1

nD

1 =1 xi T

à ∑ x1 = 1 P∑ x Q P∑ x Q ≥ n ⇒Q

x

≥ = n

D D

1 =1 S 1=1

T S 1=1

i1T 1 =1 i1 ∑ x 1

1 =1Dn K L (nD +1)D

M D DQ

1 x

i i

∑i

1 P

n

i


30/201

BÀI TẬP :

V9y ∑P x + 1

Q ≥

P 11 =1 SQ

i1T

B'i 1: Cho aBbB cB d > " 4à %h^a cD + d D = (aD + bD )E ,Ch0ng minhFa

+ b

≥ 1c d

x n

E E


31/201

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn GV oã Kim

A

b 2c A

c 2a A a b c

a b c

1 $ 1 & I

og2 a og2 b

a2 1 b 2 b2 1 c 2 c2 1 a 2

$2 1 $2

&2 1 &2

I2 1 I2

B'i : Cho aBbB cB d > " ,Ch0ng minhF1

+ 1

+ _

+ 1

≥_

a b c d a + b + c + d aE bE c

E 1B'i : Cho aBbB c Nà E d>]ng 4à aD + bD + cD ≥ 1 ,Ch0ng minhF + + ≥

b + c c + a a + b D

B'i : Cho a

D

+ b

D

+ c

D

= 1,Ch0ng minhF a + b + c + ab + ac + bc ≤ 1 +a_ b_ c

_ aD + bD + cDB'i *: Cho aBbB c Nà cMc d>]ng,Ch0ng minhF + + ≥

aD + ba + bD bD + bc + cD cD + ac + aD E

B'i +: Cho E xB yB z %ho7 x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ _

,Ch0ng minhF x + y + z ≤ _E

B'i +: Cho aBbB c Nà E 5hông âm,Ch0ngminhF

a + Db+ + ≥ + +

E

B'i ,: Cho E d>]ng aBbB c c6 abc = 1 ,Ch0ng minhF

bc

+ c

a

+ ab≥

E

aDb + aDc bDc + bDa cDa + cDb D

B'i -: Cho E d>]ng xB yB z c6 x + y + z = 1,Ch0ngminhF

D

+ + 1 +

≥ y + z z + x x + y

` + E E

D

B'i : Ch0ng minhFa

+ b

+ c

≥ ( + + )

x y z x + y + z xD y yD z zD x D

B'i 1/: Cho x ≥ y ≥ z > " ,Ch0ng minhF + + ≥ x + y + z z x y

B'i 11: Cho a ≥ 1Bb ≥ 1 ,Ch0ngminhF

+ ≤ D NogK a + b L

S D T

B'i 1: Cho aBbB c > " ,Ch0ng minhF (aE + bE + cE )K 1

+ 1

+ 1 L

≥ (a + b + c)D

S T

B'i 1: Cho aBbB c ∈ Y ,Ch0ng minhF + +≥

E DD

B'i 1: Cho xB yB z > " 4à x + y + z ≤ E ,Ch0ng minhF +D

+ ≥ E

1fD

B'i 1*: Cho %=>c D d>]ng aBb 4à D d>]ng cB d %hay )Ti ao cho a + b


32/201


a12

ann 1

2

a 1 a21 2 2 a 1 a22 A 2 a 1 a

2n 1 2 2

D D D aDB'i 1+: Cho a1B aD B,,,B an Nà cMc %hWc %ho7 mãna1

+ aD + ,,, + an

= E ,Ch0ngminhF

+ + ,,, + <E

B'i 1,: Cho aBbB cB pB q > " ,Ch0ng minhFa

+b

+c

≥E

pb + qc pc + qa pa + qb p + q

B'i 1-: Ch0ng minh =+ng 4i mi ai ∈ Y (i = 1B DB,,,B n) %a c6F

+ + ,,, + ≥ n


33/201


34/201

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn GV oã Kim%heo # CSQ

à 8 ≥ Dr ⇒ Er + 8Q ≤ E 8

+ 8Q = ̀8

D D

aE bE cE Da + b + cQD aE bE cE Da + b + cQD

% )6F + + ≥ x y z

̀8

⇒ + + ≥br + c8 cr + a8 ar + b8 ̀8


35/201


A

A

A

A

A

A

a2b 2c a2c 2a b2a 2b c

;b

;c

E? a = b = c

d.u Z[\ ;7y =a 5hi? 8 = r

? y y z y x z

? aD = bD & bD = cD & cD = aD

⇔ ∆ ABC

)*u

HF x z y z y x

B'i : CF 1+ co A co B co C≥

in Ain B in C 4i j& &C nhn


Yo %gj"&%ag"&%gC" 4àt9

At9

B+ t9

Bt9

C+ t9

Ct9

A= 1D D D D D D

IA dJng CS %a c6F

t9

D A

t9

D B

+ t9

D B

t9

D C

+ t9

D C

t9

D A

≥

1

D D D D D D E 1Q$% 5hMc %heo # Cauchy %a c6F

t9 A

t9 B

+ t9 B

t9C

+ t9C

t9 A

≥ EE t9 D A

t9 D B

t9 DC

DQD D D D D D D D D

⇔ t9 A

t9 B

t9C

≤ 1

D D D E% 1Q4àDQF

1+ t9 D A

t9 D B

+ t9 D B

t9 DC

+ t9 DC

t9 D A

≥ _

≥ _ t9 A

t9 B

t9C

D D D D D D E D D D⇔

K1+ t9

D A L K1+ t9

D B L K1+ t9

D C L +

K1− t9

D A L K1− t9

D B L K1− t9

D C L

≥ t9

At9

Bt9

C

PD

Q PD

Q PD

Q PD

Q PD

Q PD

Q D D DS T S T S T S T S T S T

1− t9 D A

1− t9 D B

1− t9 DC

Dt9 A

Dt9 B

Dt9C

⇔ 1+ D , D , D ≥ D , D , D1+ t9 D

A1+ t9 D

B1+ t9 D

C 1+ t9 D

A1+ t9 D

B1+ t9 D

C

D D D D D D

⇔ 1+ co A co B co C ≥Y.u Z[\ ;7y =a 5hi

∆ ABC

in Ain B in C )*u

B'i : Cho a& b& c& Nà )o E cOnh ∆ ,ch0ng minh =+ng

T =a

Db + Dc − aβ

+Dc + Da − bc ≥ 1

Da + Db − c

IA dJng # unhiacA;5i cho F

G


36/201


a 2b 2c a b 2c 2a b c 2a 2b c Hướng dẫn giải

B B

a c6F T ,[a(Db + Dc − a)+ b(Dc + Da − b)+ c(Da + Db − c)]≥ (a + b + c)D

Sau )6 dzng bi(n )Ti %>]ng )>]ng ch0ng minhFa b cQD ≥ _ab _bc _ca xaD xbD cD

)6 uy =a )Acm,


37/201


^1^

^2^

^A^

^1 ̂ 2 ̂ A^

^1 ^2 ^A

^1^

B'i : Cho ∆ ABC 4à )>?ng %={n nLi %i(A ∆ , cMc %i(A %uy(n c8a )>?ng %={n ong ong 4i E cOnh c8a ∆ nhỏS

và c6 dipn %tch S1B SDB SE, Gi S Nà dipn %tch ∆ ABC . Ch0ng minhFS 1


+ S D + S E ≥ E

Gi7 S1[ Sj'

a c6F ∆ A4N )|ng dOng ∆ ABC 4i %: )|ng dOng

NàF

)>?ng cao 5} % ):nh j,

ha − Dr

ha

4i = Nà bMn 5tnh )>?ng %={n nLi %i(A 4à ha Nà

DS K ha − r L K a La c6F 1 = P

DQ = PP1− QQ

S S ha T S p TV- S [

, aha = pr ⇒ Dr

= a 4i A Nà na chu 4iQ

V9yF

D

= 1− a

p

ha p

>]ng %WF

Yo )6F

= 1− b

B p

= 1− c

p

= E − a + b + c

= 1 p

IA dJng # un %a c6F

S [

(1,S 1 + 1, S D + 1, S )D ≤ (1D + 1D + 1D

)(S

+ S D + S E )

S + S + S ≥ S

)AcmQ, Y.u Z[\ ;7y =a 5hi∆ ABC )*u

⇒ 1 D EE

B'i * : Cho ∆jC 4à 1 )im ~ nào )6 H %=ong ∆ , ~ua ~ 5} )>?ng %h/ng ong ong 4i j c•% jC H 4à c•%C H ', ~ua )im ~ 5} )>?ng %h/ng ong ong 4i jC c•% j H €B c•% C H , ~ua 5} )>?ng %h/ng ong

ong 4i C c•% jC H P& c•% j H ‚, Kt hipu S1[ d%~PQB SD [ d%~'QB SE [ d%~€‚Q 4à S [ d%jCQ,Ch0ngminhF

aQ S = ( + + ) bQ Hướng dẫn giải

1S 1 + S D + S E ≥ S

E

a- a c6F ∆!4P )|ng dOng ∆ BAC

D

%: 4P

Q, AC

D

1E

D


38/201


^2^

^A^

^1 ̂ 2 ^ A^

Suy =a S 1 K 4P LP Q

S S T

⇒ = 4P

, AC

>]ng %W=

PCB =

A4

Yo )6F

AC AC

= 4P + PC + A4

= AC

= 1

AC AC

A=


39/201


40/201


minh = ab(a > b- ?bc(b > a- ? ca(c > a- @+

EQ

_Q

Gi j„B „B C„ Nà cMc %i(A )imF

( Trích đề thi đ3ch ton q"#c t$ ,67 -



41/201

? AB … = AC … = x#$%F

? BA … = BC … = /

=>

?a = y + zFb = z + x

G G?CA … = CB … = 0 ?c = x + yH H

49yF aD

ba x bQ bD

cb x cQ cD

ac x aQ †"

‡[ y ˆ QD ˆ ;Q y x ;Q ˆ ;QD ; yQ ; x yQ ; yQD y ˆQ ; ˆQ † "

‡ [ yEˆ ˆE; ;Ey x ;yˆ;yˆQ †"

‡[ yEˆ ˆE; ;Ey † ;yˆ ;yˆQ

D D D

⇔ y

+ z

+ x

≥ x + y + zQ

x y z

IA dJng # unhiacôA;5ibi(n dOngQ %a c6F

xD yD zD ( x + y + z )D+ + ≥ = x + y + z z x y x + y + z

49y Q )3ng )Acm Q ,

B'i - : :Di aE bE c lF đG dFi 7 cHnh cIa ;< C48 =_a

+`b

+1

≥ D

#$%F P =

_a+

`b+

1c

b + c − a a + c − b a + b − c


b + c − a a + c − b a + b − c

a c6F D P = _,

Da + `

Db

+1Dc

b + c − a a + c − b a + b − c

= _,? a + b + c

−1?

+ `? a + b + c

−1?

+1? a + b + c

−1?P

b + c + a Q P

a + c − b Q P

a + b − c Q

S T S T S T

= (a + b + c)? _

+ `+

1 L

− D`


42/201

b c a a c b Xa b c a b c

b c a a c b

P b + c − a a + c − b a + b − c

Q

= MU(b + c − a) + (a + c − b) + (a + b − c)NV M _

+ `

+ 1 N

− D`U V

IA dJng # unhiacôA;5i& %a c6F

1 = (D + E + _)D = M D

, D+ E , + NO R

≤ MU(b + c − a) + (a + c − b) + (a + b − c)NV M _

+ `

+ 1 N

U V

b + c − a a + c − b a + b −

b + c − a a + c − b a + b −


43/201

`; 21

`

[ DP † 1 D`

[ DP † D [ P † D

Chn a [ fB b [ B c [ %h- d.u )/ng %h0c ;7y =a,

B'i : Cho Jlip(-=

xD yD+ = 1 cc điLm 4E N ch"yLn đGn9 l%n lMt trn) cc tia OxE Oy ao cho 4N l"n

1 `

ti$p xQc Di (-< .c đ3nh toH đG cIa 4E N đL đoHn 4N cR đG dFi nh nht< TUm 9i tr3 nh nht đR<


C1: Gi mB‰Q 4à '‰&=Q 4i mB n" Nà D )im CD )>?ng %=2n D %ia ‰;B ‰y,

#>?ng %h/ng ' c6 A%F x

+ y

−1 = "m n

#>?ng %h/ng này %; 4i Q 5hi 4à ch: 5hiF 1 1L D D+ ` K L = 1

P Q P QS T S T

heo # unhiacôA;5i, a c6 'D = mD + nD = mD + nD Q 1

+ ` L ≥

K m,

_+ n,

EL

= _`

P mD nD

Q P m n

Q

[ ' † f Em F_= n F E

S T S T

F m nF

Y.u Z[\ ;7y =a ‡[F 1

+ `

=

1

F nD

⇔ m = D n =

Fm > "B n > "FH

V9y 4i 4 D B "B N "B D1Q %h- ' )O% G'' 4à G'' c8a n Nà f

x, x y, yCDF P% %i(A %uy(n %Oi )im ;"B y"Q %huLc Q Nà " + " = 1

1 `

Suy =a %oO )L c8a 4à ' Nà K 1a L 4 B" 4à K ` L N "BP Q P Q

1

m

D

G


44/201

21`; 0

. A

S x" T S y" T

⇒ 4N D = 1

D `D+ K xD y

D L K 1aD= " + " + L ≥ (_ + E) = _` xD yD

P 1 ` Q P

xD

yD Q

" " S T S " "T

Khi )6 4 = (D)

B N

("B)

4à G'' c8a ' Nà f

B'i 1/ : Cho ;ABC< Cho pE qE r V+<C‚ =

P aD +

qbD +

r cD ≥ D

q + r r + p p + q

` D


45/201

A

A

A

A

A5$ & I8$&I

35 3 a85 3 b85 3 c8 $&I5$ & I8

a+ ' + ' b' 3 ' 3 c3 + 3 +

A

A

=>c h(% %a ch0ng minh bài %oMn auF

=ong ŠjC %a c6F aD + bD + cD ≥ _

h9% 49yF

(Trích tHp chí ton hWc F t"Xi trY-


+ a − bQD

+ b − cQD

+ c − aQD

DQ ⇔ UMaD − b − cQD NV + MUb

D − c − aQD NV + MUc

D − a − bQD NV ≥ _

⇔ _ p − aQ p − bQ + _ p − bQ p − cQ + _ p − cQ p − aQ ≥ _

E x = p − a > "

⇔ xy + yz + zx ≥ 4iF

y = p − b > "F z = p − c > "

⇔ xy + yz + xz ≥

V- %heo công %h0c R2=ôngF = =

⇔ xy − yzQD + yz − zxQD + zx − xyQD ≥ "

# này )3ng, 49y DQ )>c ch0ng minhF

$% 5hMc %heo # unhiacôA;5i, a c6F

D

K La + b + cQ

D

= + +P QS T

D D D≤ D

K a+

b+

c L p + q + r Q

P p + r r + p p + q

Q

≤ D p

aD +q

bD +r

cDL

+ DaD + bD + cD QP q + r r + p p + q

Q

S T

⇒ D p

aD +q

bD +r

cDL

≥ a + b + cQD − DaD + bD + cD QDP q + r r + p p + q

Q

S T≥ aD + bD + cD − MUa − bQ

D+ b − cQD + c − aQD NV ≥ _

V9yF p

aD +q

bD +r

cD ≥ D q + r r + p p + q

Ea = b = cY.u Z[\ ;7y =a 5hi G

G

H

P Q


46/201

H p = q = r


47/201


48/201

Ch&n9 minhFheo hp %h0c qeibni%ˆ& 4i mi )im & %a c6

4AD + 4BD + 4C D + 4[D = \AD + \BD + \C D + \[D + _ 4\D

)6& cho %=zng ‰& %a )>@c


49/201

_ . A @2 C 2 D2 @ C D 2

_

_

BÀI TẬP :

A

OAD + OBD + OC D + O[D = \AD + \BD + \C D + \[D + _O\DD D D D

Suy =aF 8D − O\D = \A + \B +

\C

_

+ \[ 1Q

bT )* 1 uy =a \AD + \BD + \C D + \[D ABD + AC D + A[D + C[D + [BD + BC D= DQ_ _

1QDQ uy =a )i*u Ah7i ch0ng minh=H NOi 4ipc gi7i bài %oMn %=2n

!!!' !!!' OAD + \AD − O\D \AD + 8D − O\Da c6 8,\A = OA,\A ≥ OA,\A = =

D D )6 %heo cMc bT )* 1 4à D& %a c6

ABD + AC D + A[D 8,\A ≥

heo # Cauchy 4à unhiacôA;5i& %a c6 ( 8 + \A) ≥D

= E 8,\A ≥ ≥

Suy =a ( 8 + \A) ≥ AB + AC + A[E

FF>]ng %W ?F

FH

( 8 + \B) ≥ BC + B[ + BA

( 8 + \C ) ≥ C[ + CA +CB

( 8 + \[) ≥ [A + [B + [C

Suy =a \A + \B + \C + \[ + _ 8≥

D( AB + AC + A[ + BC + C[ + [B)

#/ng %h0c ;7y =a 5hi 4à ch: 5hi %0 dipn ABC[ Nà )*u

B'i 1 : Cho na )>?ng %={n(OB 8) )>?ng 5tnh j& Nà )im chuyn )Lng %=2n na )>?ng %={n,ŒMc )vnh 4v %=t

c8a ) 4A + 4B )O% giM %=v Nn nh.%,

B'i : Cho ∆ ABC nLi %i(A )>?ng %={n bMn 5tnh ‚B BC = aBCA = bB AB = c ,Gi ;ByBˆ Nn N>@% Nà 5ho7ng cMch %


50/201

$ & Ia2 b 2 c 2

2 %huLc mi*n %=ong c8a ∆ ABC )(n cMc cOnh CBCjBj,Ch0ng

minhF+ + ≤

aDbD cD+ +

B'i : Cho a & b & c Nà E cOnh c8a %am giMc,Rãy %-m giM %=v nh^ nh.% c8a biu %h0cF P = b c a

a + b +c b caB'i : Cho a & b & c Nà E cOnh c8a %am giMc 4à p =

a + b + c,Ch0ng minhF aD + bD + cD ≥

E ? pD +

abc ?

D EP

pQ

S T

D D D


51/201

một số ng!&dn Beng n 1và hai B& số thực a 1; a2;...; an và b1;b2;...;bn , t'ong đó ai 0;b i

Khi đó ta có:a 2 a 2 a a ... a 2

b1b2a1a2

1 2 ... n 12na 2bn b1 b2 ... bn

f"ng th#c $%& 'a (hi và ch) (hib1b2 ... an

.bn

b1 b2 bnbn

b1 b2

b2 bnb1 b1

b2 bn

B'i * : #im n+m %=ong ∆ ABC ,RO j & & C Nn N>@% 4uông g6c 4i CBCjBj,ŒMc )vnh 4v %=t c8a

) BC

+ CA

+

AB)O% giM %=v nh^ nh.%,

4A 4B 4C B'i + : Cho %0 giMc N|i jCY,Cho 4 ∈ AC B P ∈ BC B! ∈ A[B 4P ong ong ABB 4! ong ong C[ ,

Ch0ng minh F 1 4P D + 4!D ≤

1 ABD +

1C[D

, Y.u Z[\ ;7y =a 5hi nào

DẠNG 1: DẠNG 1: .% )/ng %h0c Schwa=%ˆ S4•c;] Q.% )/ng %h0c Schwa=%ˆ S4•c;] Q

Chứng minh:# cn ch0ng minh %>]ng )>]ng 4iF

D D DK a1

+ aD + ,,, + an

L (b +

b+ ,,, + b ) ≥ (a +a + ,,, + a )D

P Q 1 D n 1 D nS b1 bD bn T

M D D D NK

L K

LO K

L RD D D

NP

a1 Q + P

aD Q + ,,, + P a

n Q ( ) + ( ) + ,,, + ( )

Ray

OP Q P Q P QUS T S T S T

R OU RVV

D

⎡⎛a

1 ( ) ⎛a

D ( ) K a N,,, n ( )≥ OP Q + P Q + + P Q RP Q P Q P Q

M

LL

L

OU R


52/201

b1 b2 bn

b1 b2 bn

S T S T S T V

IA dJng # CS cho hai dãy %hWcF

# cn ch0ng minh,

a1 Bb1

aD B,,,BbD

an 4àbn

B B,,,B %a c6 # %=2n, )6 %a c6

#/ng %h0c ;7y =a 5hi 4à ch: 5hi

a1 Fb1

=

aD

FbD

= ,,,

=

an

Fbn


53/201

Cho X số a;b; c; B t! ta có : a c 2 b B 2 a2 b2 c2 B 2 518

a2 b2 c2 B 2

a2 b2 c

2 B 2 a2 b2 c2 B 2

VẬN DỤNG 2 DẠNG TRÊN:

Raya1

= aD

= ,,, = an

b1 bDbn DẠNG 2: DẠNG 2:

Chứng minh:

a c6F P1Q ⇔ (a + c)D + (b + d )D ≤ aD + bD +

D

+ cD + d D

⇔ aD + Dac + cD + bD + Dbd + d D ≤ aD + bD + D

⇔ ac + bd ≤

.% )/ng %h0c cui czng )3ng %heo # unhiacôA;5i,

+ cD

+ dD

B'i 1:Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF 1Q1

+ 1

≥_

DQ1

+ 1

+ 1

≥`

IA dJng # CS %a c6 cMc # auF

a b a + b


a b c a + b + c

1 1 1D 1D (1+1)D _+ = + ≥ =

a b a b a + b a + b1 1 1 1D 1D 1D (1+1+1)D `

+ + = + + ≥ =a b c a b c a + b + c a + b + c

aD bD cD E E EB'i F Cho a& b& c d>]ng , Ch0ng minh F 1Q

+ + ≥ a + b + c

DQa +

b+

c≥ aD + bD + cD

aD bD

b c a Hướng dẫn giải

cD (a + b + c)D

b c a

1Q IA dJng # CS %a c6F + + ≥ = a + b + c b c a b + c + aE E E _ _ _ (a

D )D (b

D )D (c

D )D

- a c6Fa

+ b

+ c

= a

+ b

+ c


54/201

= + +,

b c a ab bc ca ab bc ca

(aD )D (bD )D (cD )D (aD + bD + cD )DIA dJng # CS %a c6F + + ≥ ,

ab bc ca ab + bc + ca$% 5hMc& %a )ã bi(%F aD + bD + cD ≥ ab + bc + ca > "

)6 %a uy =aF


55/201

(aD

)D

(bD

)D+

(cD

)D+

D D D≥ (aD + bD + cD ) ≥ aD + bD + cD,

ab bc ca

#(n )ây %a c6)Acm,

P ab + bc + ca

Q

B'i F Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

1+

1+

1≤

1+

1+

1a + Db + Ec b + Dc + Ea c + Da + Eb


IA dJng # CS %a c6F

a b c

1 D E1D DD ED (1+ D + E)D E

+ + = + + ≥ =a b c a Db Ec a + Db + Ec a + Db + Ec

>]ng %W %a cng ch0ng minh )>@cF1

+ D

+ E

≥E

b c a b + Dc + Ea

1+

D+

E≥

Ec a b c + Da + Eb

CLng %he 4( ba # %=2n %a nh9n )>@cF

+

+

≥

E+

E+

Ea b c a + Db + Ec b + Dc + Ea c + Da + Eb

)6 uy =aF 1 + 1+

1≤

1+

1 + 1 ,a + Db + Ec b + Dc + Ea c + Da + Eb a b c

B'i F -m G'' c8a biu %h0c D D D

P =_a

+`b

+1c P =

a+

b+

c≥

a+

b+c %=ong )6

b + c − a c + a − b a + b − c

Db + c Dc + a Da + b a (Db + c) b (Dc + a ) c (Da + b)

a& b& c Nà )L dài E cOnh c8a mL% %am giMc,

Hướng dẫn giải Yo a& b& c Nà )L dài E cOnh c8a mL% %am giMc n2n b + c − a& c + a − b& a + b − c Nà cMc %hWc d>]ng,

a c6F P = _K

a +

1 L + `

K

b+

1 L +1

c+

1 L −

D`

P b + c − a D

Q P c + a − b D

Q P a + b − c D

QD

S T S T S TD (a + b + c) ` (a + b + c) 1 (a + b + c) D`

= + + −

K a + b + c L


56/201

b + c − a D (c + a − b) a + b − c D

= K a + b + c L K _

+`

+1 L

− D`P

D Q P

b + c − a c + a − b a + b − cQ

DS T S T

IA dJng # CS %a c6F_ ` 1 DD ED _D

+ + = + +

b + c − a c + a − b a + b − c b + c − a c + a − b a + b − c(D + E + _)D≥ =(b + c − a) + (c + a − b) + (a + b −

c)

1

a + b +c


57/201

)6 uy =aFK a + b + c L K _

+`

+1 L

≥ 1P

D Q P

b + c − a c + a − b a + b − cQ

DS T S T

Yo )6F

P = K a + b + C L K _

+`

+1 L

− D`

≥ 1

− D`

= DP

D Q P

b + c − a c + a − b a + b − cQ D D D

S T S T

#/ng %h0c ;7y =a 5hi 4à ch: 5hiD

=E

=_

Ray

= f

=

Dc DaDb

b + c − a c + a − b a + b − c

V9y G'' c8a biu %h0c P Nà D& )O% )>@c 5hi a=

b=

c> "f

B'i * F -m G'' c8a biu %h0c

mãn a + b + c = 1

P =a

1+ b − a

+ b

1+ c − b

+ c

1+ a − c

%=ong )6 a&b&c Nà cMc %hWc d>]ng %h^a

Hướng dẫn giải V- a + b + c = 1 n2n 1+ b − a = (a + b + c) + b − a = Db + c>]ng %W %a cng ch0ng minh )>@cF

)6 uy =aF1+ c + b = Dc + a

4à 1+ a − c = Da + b

a b c aD bD cD P = + + ≥ + +

Db + c Dc + a Da + b a (Db + c) b (Dc + a)

c (Da + b)

IA dJng # CS %a c6F

aD bD cD (a + b + c)D+ + ≥

a (Db + c)

b (Dc + a) c (Da + b)

a (Db + c) b (Dc + a) c (Da + b)

(a + b + c)D= ≥ 1

E(ab + bc + ca)

4- (a + b + c)D + D (ab + bc + ca) ≥ E(ab + bc + ca) Q

Yo )6F P = a +Db + c

bDc +

a

+c

≥ 1 Da + b

V9y G'' c8a biu %h0c P Nà 1

B'i + F Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng ao cho aD + bD + cD = 1

aE bE cE 1

Ch0ng minhF + + ≥ ,


58/201

a + Db + Ec b + Dc + Ea c + Da + Eb Hướng dẫn giải

#$% P Nà 4( %=Mi c8a # cn ch0ng minh, a cn ch0ng minhF

IA dJng # CS %a c6F

P ≥ 1

(aD )D (b

D )D (c

D )D

P = + +

a (a + Db + Ec) b (b + Dc + Ea)

c (c + Da + Eb)


59/201

(aD + bD + cD )D≥

a (a + Db + Ec) + b (b + Dc + Ea) + c (c + Da + Eb)

(aD + bD + cD )D

(aD

+ b

D

+ c

D

) + (ab + bc + ca )$% 5hMcF aD + bD + cD ≥ ab + bc + ca > " )6 uy =aF

aD bD cD (a + b + c)D P = + + ≥a (b + c) b (c + a) c (a + b)

a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b)

(aD + bD + cD ) + D (ab + bc + ca )

aD + bD + cD

= = +1 ≥D (ab + bc + ca)

(aD + bD + cD )D

D (ab + bc + ca)

(aD + bD + cD )D

D D D

P ≥ ≥ = a + b + c

(aD + bD + cD ) + (ab + bc + ca) (aD + bD + cD ) hay aD + bD + cD = 1 4ào # %=2n %a nh9n )>@c # cn ch0ng minh,

B'i , F Cho a& b& c& d Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

1Q a + b + c ≥ E # 'ebi% Q DQ a+

b+

c

+ d ≥

D

# 'ebi% Q

b + c c + a a + b D b + c c + d d + a a + b Hướng dẫn giải

Q #$% P Nà 4( %=Mi c8a # )ã cho, a cn ch0ng minh IA

dJng # CS %a c6F

P ≥ E

D

aD bD cD (a + b + c)D P = + + ≥a (b + c) b (c + a) c (a +

b)

a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b)

(aD + bD + cD ) + D (ab + bc + ca)

aD + bD + cD E

= = +1 ≥D (ab + bc + ca ) D (ab + bc + ca) D

do aD + bD + cD ≥ ab + bc + ca > " Q

=


60/201

DQ #$% ~ Nà 4( %=Mi c8a # )ã cho, a cn ch0ng minh ! ≥ D ,

IA dJng # CS %a c6F

aD bD cD d D! = + + +a (b + c) b (c + d ) c (d + a)

d (a + b)

(a + b + c + d )D≥ ≥ Da (b + c) + b (c + d ) + c (d + a) + d (a + b) D(a + b + c + d )D ≥ D (ab + bc + cd + da ) + _ (ac + bd ) ≥

(a + b + c + d ) ,

a (b + c) + b (c + d ) + c (d + a) + d (a + b)⇔ (a − c)D + (b − d )D ≥ "

Yo )6 # )ã cho )3ng n(u %a ch0ng minh )>@cF


61/201

A a2 b2 c2

a2 b 2 c 2

(a + b + c + d )D≥ D

a (b + c) + b (c + d ) + c (d + a ) + d (a + b)Ray (a + b + c + d )D ≥ D (ab + bc + cd + da ) + _ (ac + bd )

⇔ aD + bD + cD + d D ≥ D (ac + bd )

⇔ (a − c)D + (b − d )D ≥ " F # )3ng,

B'i - F Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

aD bD cD

IA dJng # CS %a c6F

+ + ≥b + c c + a a + b D


D D D (aD )D (b

D

)D(c

D )D

a+

b+ c

= + +

b + c c + a a + b aD (b + c)

bD (c + a)

cD (a + b)

(aD + bD + cD )D≥

aD (b + c) + bD (c + a ) + cD (a +b)

(aD + bD + cD )D≥ ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c

+ a)

1Q

IA dJng # CS dOng %hông %h>?ng %a c6FMab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)ND ≤ M(ab)D + (bc)D + (ca )D N M(a + b)D + (b + c)D + (c + a)D NU V

$% 5hMc& %a c6 cMc # auF

U VU V

•(ab)D + (bc)D + (ca )D ≤ (a + b + c )

E

•(a + b)D + (b + c)

D + (c + a )

D = D (aD + bD + cD ) + D (ab + bc + ca) ≤ _ (aD + bD + cD )

)6 uy =a F Mab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)ND ≤

(a + b + c ) ,_ (aD + bD + cD ) = _ (aD + bD + cD )E

U VE E

D D D D

D D D D


62/201

A

A a2 b2 c2

Aa2 b 2 c 2

Ray ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c +a) ≤

K(% h@A 4i 1Q %a uy =aF

D(aD + bD + cD )

D D D (aD + bD + cD )D

a+

b+

c≥

b + c c + a a + b ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)(aD + bD + cD )D

≥ =D

(aD + bD + cD ) D


63/201

a

b

b

c

c

aa 1 b

b 1 c

c 1 a

& I$

$ 1 & 1 I 1

B'i F Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minh FDa

+ 1b

+c

>

# cn ch0ng minh %>]ng )>]ng 4iF

b + c c + a a + b Hướng dẫn giải

D

a

Ray

+1

L +1a

K

b

T S

+1L

+ K

c

+1L

> + D +1 +1 = "

1Q

b + c c + a a + b a + b + cKl hipu P Nà 4( %=Mi c8a 1Q, IA dJng # CS %a c6F

D _D1D

( + _ +1)D

" P = + + ≥ =

b + c c + a a + b (b + c) + (c + a ) + (a+ b)

a + b + c

#/ng %h0c ;7y =a 5hi 4à ch: 5hi b + c=

c + a=

a + b _ 1

Suy =a b + c

(c + a) + (a + b)= = b + c +

Da& hay a = "

F %=Mi 4i gi7 %hi(% a > "

_ +1

)6 uy =aF

P >

"

a + b + cYo )6 # 1Q )3ng 4à %a c6 # cn ch0ng minh,

B'i 1/ F Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

a+ab + bD

b+bc + cD

c≥

E,

ca + aD D Hướng dẫn giải

Kl hiu P Nà c( %=Mi c8a # cn ch0ng minh, IA dJng # CS %a c6FD

a b c K

+ +L

P Q

P = b + c + a ≥ S Ta+1 +

b+1 +

c+1

(Ray P ≥ + + ) 1Q 4i

b c a

x = a

& y = b

& z = cb ca

PS b + c c +a Q P

a + b QTD 1 1 "


64/201

$& &I I$

$ &

I $& &I I$

A $ & I A

S dJng # Cauchy cho ba 5hông âm %a c6F

ch3 l xyz = 1 Q,

Suy =aF

+ + ≥

E,E xy, yz, zx = E,E xyz = E,

( + + ) =

( x+

y+

z ) +

D (+ + ) ≥ x + y + z +

$% 5hMc& MA dJng # CS dOng %hông %h>?ng %a c6QF

x +1 + y +1+

z +1 ≤

K(% h@A hai # 4a c6 4i # 1Q %a nh9n )>@cF

D


65/201

A $ & I A

^^

^ _^^

A2

2 A2 2

a2 Wbc b2 Wca c2 Wab

a a2 Wbc c c2 Wab

a a2 Wbc b b 2 Wca c c 2 Wab

c2 Wab b2 Wca

a a a2 Wbc b b b2 Wca c c c2 Wab

P ≥ x + y Ž z +

Ray P ≥ S + E

ES 4i S = x + y + z + E ≥ E,E xyz + E =

)6 uy =a # cn ch0ng minh )3ng n(u %a c6F S + E≥

EES D

Ray

+ E

≥ E E

DDQ,

Ch3 lF S ≥ n2n %a c6 cMc bi(n )Ti nh> auF

K:T DQ = + + EE L

≥ + DS

,E = + =

E

P QD

S D

TD D

S )6 uy =a # DQ )3ng 4à %a c6 # cn ch0ng minh

B'i 11 : Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhFa bD c

+ + ≥ 1 ‰ D""1 Q

Hướng dẫn giải a bD c

Kl hipu P Nà 4( %=Mi c8a # CS %a c6F P = + +b bD + ca

(a + b + c)D≥

)6 uy =a # )ã cho )3ng n(u %a ch0ng minh )>@cF

(a + b + c)D≥ 1

a aD + bc + b bD + ca + c cD + ab

Ray a aD + bc + b + c

≤ (a + b +

c)D

1Q

Kl hipu ~ Nà 4( %=Mi c8a # 1Q,

IA dJng # CS %a c6FD

!D= M + N

OU RV≤ (a + b + c) Ma (aD + bc) + b (bD + ca) + c (cD + ab)N= (a + b + c) (aE + bE + cE + D_abc)


66/201

Yo )6 # 1Q )3ng n(u %a c6F aE + bE + cE + D_abc ≤ (a + b + c)E

a )ã bi(%F

(a + b + c)E = aE + bE + cE + Ea (bD + cD ) + Eb (cD + aD ) + Ec (aD + bD ) + aabc,

)6 uy =a # %=2n %>]ng )>]ng 4iF

a (bD + cD ) + b (cD + aD ) + c (aD + bD ) ≥ abc,


67/201

Ray a (bD + cD − Dbc) + b (cD + aD − Dca) + c (aD + bD − Dab) ≥ " # cui czng )3ng 4- n6 %>]ng )>]ng 4i # )3ngF

a (b − c)D + b (c − a)D + c (a − b)D ≥ " ⇒ )Acm

B'i 1 : Ch0ng minh b.% )/ng %h0c au )3ng 4i mi %hWc d>]ng a& b& c F(a

E ) (b

E ) (c

E )

+ + ≥ E

ab + bc + ca

bD − bc + cD cD − ca + aD aD − ab + bD a + b + c Hướng dẫn giải

Kl hipu P Nà 4( %=Mi c8a # CS %a c6F(a

D )D (b

D )D (c

D )

IA dJng # CS %a c6F P = + +

a (bD − bc + cD ) b (cD − ca + aD

)

c (aD − ab + bD )

(aD + bD + cD )D

a (bD − bc + cD ) + b (cD − ca + aD ) + c (aD − ab + bD )(aD + bD + cD )D

=ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) − Eabc

$% 5hMc& MA dJng #F E( xy + yz + zx) ≤ ( x + y + z )D %a c6F

Eab + bc + ca

≤ a + b+ c

a + b + cYo )6 ) c6 # )ã cho %a ch: cn ch0ng minhF

(aD + bD + cD )D

Ray

ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) − Eabc

≥ a + b + c

(aD + bD + cD )D ≥ Mab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) − EabcN (a + b + c)

⇔ (a_ + b_ + c_ ) + D (aDbD + bDcD + cDaD ) ≥≥ ab (a + b)D + bc (b + c)D + ca (c + a )D + abc M(a + b) + (b + c) + (c + a)N − Eabc (a + b + c)

⇔ a_ + b_ + c_ ≥ abc (a + b + c) ≥ aE (b + c) + bE (c + a) + cE (a + b)

aD M(aD + bc) − a (b + c)N + bD M(bD + ca) − b (c + a)N + cD M(cD + ab) − a (a + b)N ≥ "⇔ aD (a − b)(a − c) + bD (b − c)(b − a ) + cD (c − a )(c− b) ≥ "

1Q

Yo 4ai %={ c8a a& b& c %=ong # 1Q Nà nh> nhau n2n 5hông nh.n m.% %tnh %Tng UuM% %a c6 %h gi7

a ≥ b ≥ c > " , Khi )6 %a c6F

≥


68/201

V 1Q ≥ aD (a − b)(a − c) + bD (b − c)(b − a )= (a − b) MUa

D (a − c) − bD (b − c)NV

= (a − b) M(aE − bE ) − (aDc − bDc)N


69/201


= (a − b)D (aD + bD + ab − ca − cb)

= (a − b)D Ma (a − c) + b (b − c) + abN ≥ " )6 uy =a # 1Q )3ng, Yo )6 %a c6 # cn ch0ng minh,

B'i 1 : Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

a+

b+

c≥

a + b+

b + c+1b c a b + c a + b

Hướng dẫn giải a ch: cn ch0ng minh # au )3ngF

(a + b + c)D a + b b + c≥ + +1

ab + bc + ca b + c a + b

Ray

(a + b + c)D a + b b + c

− E ≥ + − Dab + bc + ca b + c a + b(a + b + c)D − E(ab + bc + ca )(a + b)D + (b + c)D − D (a + b)(b + c)

⇔ ≥ab + bc + ca

(a − b)D + (b − c)D + (c − a)D⇔ ≥

(c −

a)D

(a + b)(b + c)

1Q

D (ab + bc + ca) (a + b)(b + c)

a c6F (a − b)D + (b − c)D = M(a − b) + (b − c)ND − D (a − b) + (b − c)

= (c − a)D − D (a − b) + (b − c) )6 uy =a # 1Q %>]ng )>]ng 4iF

Ray

(c − a)D − D (a − b)(b − c) + (c −a)D

D (ab + bc + ca )

(c − a)D − (a − b) (b − c) (c − a )D≥

(c − a)D≥

(a + b)(b +c)

ab + bc + ca

(a + b)(b + c)

⇔ (c − a)D

(a + b)(b + c) − (aD

− bD

)(bD

− cD

) ≥ (c − a)D

(ab + bc + ca )

⇔ (c − a)D b

D − (aD − bD )(bD − cD ) ≥ "

⇔ b_ + aDcD − DbDac ≥ " ⇔ (bD − ac)D ≥ " F # )3ng,

)6 %a c6 # cn ch0ng minh,


70/201


$ I &

B'i 1+ : Cho ] F 8+ → 8

+ Nà mL% hàm %h^a mãn )i*u 5ipnF

+ ≥ 4i mi x ≥ y ≥ z > "

Ch0ng minh # au )3ng 4i mi %hWc d>]ng a& b& c F

] (a ) (a − b)(a − c) + ] (b)(b − c)(b − a ) + ] (c)(c − a)(c

− b) ≥ " Hướng dẫn giải

1Q


71/201

a c b


a c a c a c

a c

$ I &

BÀI TẬP :

Không m.% %tnh %Tng UuM% %a c6 %h gi7 a ≥ b ≥ c > " , heo gi7 %hi(% %a c6F

+ ≥ DQ

Yƒ dàng ch0ng minh =+ng n(u a = b

Khi )6 %a 4i(% # 1Q d>i dOngFho$c b = c

%h- 1Q )3ng, Yo )6 %a ch: cn ;?ng h@A a > b > c > " ,

] (a ) (a − b)(a − c) + ] (c)(a − c)(b − c) ≥ ] (b)(b − c)(a − b)

Ray ] (a) ] (c)

+ ≥ ] (b) EQ 4- a − c > "& a − b > "& b − c > "

b − c a − b a − cIA dJng # CS %a c6F

] (a ) ] (c) ( ) ( ) ( + ) ( + )D D D D

b − c+

=a − b

b − c

+ ≥a − b

=b − c + a − b

a − c

K(% h@A # %=2n 4i # DQ %a nh9n )>@cF ( ) ( )

(D+ ( )

] a ] c ] b+ ≥ =

b − c a − b a − c a −c

⇒ # EQ )3ng 4à %a c6 #PC,

Nhận xét : '(u hàm

] F 8+ → 8

+ ;Mc )vnh bHi ] ( x) = xr

4i r Nà mL% %hWc %h- ] %h^a mãn %tnh ch.% c8a bài %oMn,

h9% 49y& 4i x ≥ y ≥ z > " %a c6F

iQ '(u r ≥ "

iiQ '(u r ]ng a& b& c

)


72/201

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn GV oã Kim1 1 1 nD

B'i 1: Cho a1& aD &,,,&an

Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF + + ,,, +a aa≥

a + a

+ ,,, + a

1 D

B'i : Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhBn 1 D n

aD bD cD a + b +

c aE bE c

E aD + bD + cD

1Q + + ≥b + c c + a a + b D

DQ + + ≥b + c c + a a + b D

B'i : Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minh F1

+1

≤ 1

+ 1

a + Db b + Da Ea Eb


73/201

2 a2 b2

$& &I I$

A a b c 1 $ a $b b $c c $a

B'i : Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng %h^a mãn )i*u 5ipn a + b + c = 1, -m G'' c8a biu %h0c

P =1

+ 1

+ 1

+ 1

aD + bD + cD ab bc caB'i *: Cho a& b& c& d & J& ] Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

a + b + c + d + J + ] ≥ Eb + c c + d d + J J + ] ] + a a + b

B'i +: Cho a& b Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minh F aD bD+ ≥

b aB'i ,: Cho a& b& c& x& y& z Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minhF

xa+

yb+

zc≥ + + −

x + y + zb + c c + a a + b D

B'i -: Cho a& b& c Nà cMc %hWc d>]ng, Ch0ng minh

1Qa

+b

+c

≥ 1

aD

+ E(bD

+ cD

) + Dbc bD

+ E(cD

+ aD

) + Dca cD

+ E(aD

+ bD

) + Daba b cDQ + + ≥ 4i x ≥ D


74/201


75/201


76/201


77/201


78/201


79/201


80/201


81/201


82/201


83/201


84/201


85/201


86/201


87/201


88/201


89/201


90/201


91/201


92/201


93/201


94/201


95/201


96/201


97/201


98/201


99/201


100/201


101/201


102/201


103/201


104/201


105/201


106/201


107/201


108/201


109/201


110/201


111/201


112/201


113/201


114/201


115/201


116/201


117/201


118/201


119/201


120/201


121/201


122/201


123/201


124/201


125/201


126/201


127/201


128/201


129/201


130/201


131/201


132/201


133/201


134/201


135/201


136/201


137/201


138/201


139/201


140/201


141/201


142/201


143/201


144/201


145/201


146/201


147/201


148/201


149/201


150/201


151/201


152/201


153/201


154/201


155/201


156/201


157/201


158/201


159/201


160/201


161/201


162/201


163/201


164/201


165/201


166/201


167/201


168/201


169/201


170/201


171/201


172/201


173/201


174/201


175/201


176/201


177/201


178/201


179/201


180/201


181/201


182/201


183/201


184/201


185/201


186/201


187/201


188/201


189/201


190/201


191/201


192/201


193/201


194/201


195/201


196/201


197/201


198/201


199/201


200/201


201/201

Documents

Bdt Bunhia- Chuyên Tiền Giang (1)