Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

Nándori Péter (V.)

Témavezető:

Dr. Szász Domokos (BME MI)

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

2

Definíció (Sinai, 1981)

Legyen E véges (megszámlálható) halmaz.A ξn, H-n értelmezett Markov láncot belső állapotú bolyongásnak nevezzük, ha:

1 11 1 1 , ,

( , )

( ( , ) | ( , )) .

n n n n

d

n n n

n n n n n n x x j j

H Z E

P x j x j p

Ekkor nyilvánvaló módon (ε0,ε1,…) is Markov lánc.Továbbiakban RWwIS (a Random Walk with Internal States kifejezés rövidítéséből).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

3

Alap feltevések

1) (ε0,ε1,…) irreducibilis, aperiodikus M.L. (μ stacionáris mértékkel)

2) Triviális aritmetika

3) Egy lépés várható értéke 0, ha ε ~ μ

4) A (σl,m)l,m=1…d mátrix pozitív definit, ahol:

d

d

y y, j,k j,k 1...d

l l yy Z

l,m l m yy Z

1 1l,m l,m l m m l

A (p )

M y A

y y A

, 1 ,M (Q 1) M 1 ,M (Q 1) M 1

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

4

A meglátogatott pontok száma

dd k

d d

d d

L (n) v Z ; k 1...n, v

E (n) E(L (n))

V (n) Var(L (n))

Célunk: aszimptotikus becslést adni Ed(n)-re, és Vd(n)-re.Egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongásra (továbbiakban SSRW) ismertek ilyen becslések (Dvoretzky-Erdős, 1951).Lorentz folyamatra E2(n)-re ismert becslés (Péne, 2007).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

5

1. példa: 3 dimenziós RWwIS

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

6

2. példa: 2 dimenziós RWwIS

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

7

Tétel Ed(n)-ről (d>2)

SSRW (Dvoretzky-Erdős) Az alap feltevéseknek eleget tevő RWwIS-re tetszőleges

eloszlású ε0 esetén

3 3

4 4

2 d / 2d d d

E (n) n O n

E (n) n O log n

E (n) n O n d 5.

Megfelelő, a RWwIS-től függő γd és βd konstansokkal:

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

8

Tétel Vd(n)-ről (d>2)

SSRW RWwIS

1 2/ ddV (n) O n

d 3

3/ 23

4

d

V (n) O n

V (n) O n log n

V (n) O n d 5

Az eredeti bizonyításban szereplő egy szimmetria érvelés RWwIS eseténnem érvényes, innen adódik, hogy gyengébb becslést kapunk, mint SSRWesetén.A becslések nem optimálisak, de…

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

9

Következmények

d d dnlim P L (n) E (n) E (n) 0 0

SSRW, RWwIS: d 3

Nagy számok gyenge törvénye:

Nagy számok erős törvénye:

d

nd

L (n)P lim 1 1

E (n)

SSRW,RWwIS: d 3

Bizonyítás: Vd(n)=o(n2) miatt a Csebisev egyenlőtlenségből következik.

Bizonyítás: nehezebb, Vd(n)=O(n2-ε)-t használja.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

10

A lokális tételről 1.

d d2 2

n 0 k

xP (x,k) | (0, j) g n o n

n

A d=2 eset egyik nehézségét adja.Tétel (Krámli-Szász,1984):

d n 0

d d2 2

d

u n : P (0,.) | 0

u (n) cn o n

Speciálisan:

d=2-re a hibatag nem összegezhető!

ahol gσ a 0 várható értékű, σ kovariancia mátrixú normális eloszlás sűrűsége.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

11

A lokális tételről 2.

2

2 2 13n 0 k 2 6 2

r1 x 1P (x,k) | (0, j) exp 1 x 3 n x o n

2n 6 n2 n

Lokális határeloszlás-tétel hibataggal:Feltéve, hogy a bolyongás csak véges sok helyre léphet, 1 dimenzióban igaz:

A levont kifejezés ugyanaz, mint a Petrov tételben független valószínűségi változók esetén.Magasabb dimenzióban:

d d 1 22n 0 k

xP (x,k) | (0, j) g n O n

n

2 dimenzióban összegezhető a hibatag!

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

12

A lokális tételről 3.

d

yy Z

t : exp(i t, y )A

Bizonyítás gondolata:

dt ,

operátor értékű Fourier transzformált. α(0)=Q, az (ε0,ε1,ε2,…) Markov lánc átmenet mátrixa. Q legnagyobb abszolútértékű sajátértéke 1, ezt fejtjük sorba a nulla körül, a megfelelő perturbációelméleti tételre hivatkozva.A klasszikus esetben (Krámli-Szász) a 2. tagig tekintjük a sorfejtést, jelen esetben a 3. tagig.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

13

Szimulációk két dimenzióban 1.

2 2

n n log log nE n O

log n log n

(0,1),1,1

(1,0),1,2

(0, 1),2,1

(0,1),2,1

( 1,0),2,2

II.

3p

107

p10

5p

141

p71

p2

(3,0),1,1

( 2,0),1,2

( 1, 1),1,2

(0,0),2,1

(0,4),2,1

(0,1),2,2

III.

1p

31

p31

p3

23p

321

p321

p4

Dvoretzky-Erdős tétele SSRW-ra:Ez alapján sejthető, hogyRWwIS-re is ugyanez az aszimptotika,csak más konstanssal.Szimulációk:

I.

SSRW

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

14

Szimulációk két dimenzióban 2.

RWwIS-re E2(n)-et c*n/log(n) – nek feltételezve c-re adott becslésekSzámítógépes szimulációk (10k hosszú trajektóriából 107-k db-ot generálva)alapján:

n ĉI(n) ĉII(n) ĉIII(n)

104 2,65987 2,71659 3,57982

105 2,73242 2,79516 3,90126

106 2,8455 2,79338 4,24052

107 2,8126 3,00839 4,61972

Tanulság:Az aszimptotikus viselkedés megsejthető, a konstans nem (cI=).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

15

Tétel E2(n)-ről és V2(n)-ről

2 2

2

2 3

2 n n log log nE n O ,

log n log n

n log log nV n O ,

log n

a feltételeknek eleget tevő RWwIS-re, tetszőleges eloszlású ε0 esetén.

SSRW – hoz képest E2(n) főtagja csak konstans szorzóban tér el. Következmény: nagy számok gyenge törvénye (ugyanúgy, mint magas dimenzióban). Nagy számok erős törvénye: SSRW esetén is nehéz, és megoldatlan RWwIS esetén!

Köszönöm a figyelmet!