BENTUK ALAJABAR
n
m
n
m
a
a
a
-
=
Perhatik
x
y
an ilustrasi berikut :
Terdapat beberapa benda yaitu pensil 4 buah, lem 6 buah dan
penghapus 7 buah, penulisan benda tersebut bisa kita singkat misal
: 4 P = 4 Pensil, 6 L = 6 lem, 7 H = 7 penghapus. Huruf – huruf
pengganti tersebut disebut variable, sedang angka didepannya
disebut dengan koefisien.
Contoh :
Perhatikan bentuk Aljabar berikut :
1) 2 H + 4 Y – 6 P + 2
Bentuk ini disebut bentuk Aljabar suku 4 dengan Variabel : H, Y
, P dan Kefisien : 2,
4, - 6. dan konmstanta 2
2) 2 X + 6 Y – 10
Bentuk ini disebut bentuk aljabar suku 3 dengan Variabel X dan Y
dan koefisien 2
dan 6 dan konstanta - 10
Latihan Soal
1. Tentukan variable, konstanta, dan koefisien pada
masing-masing bentuk aljabar berikut ini :
a. 5x – 3 y + 9
b. 3x2 – 5x – 4
c. 3x3 + 2x2 + 6y + 5
2. Tuliskan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut
:
a. -2x + 3y + 6x – 5y +7
b. 3ab – 5bc + 2ba – 4bc
2
2
2
4
ini
garis
gradien
jadi
x
y
m
=
=
=
O
perasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya
dilakukan pada suku-suku yang sejenis yaitu suku dengan variable
yang sama, untuk suku yang tidak sejenis hanya ditulis kembali
saja.
Contoh 1.
Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
berikut :
a. 2x + 3y – 10x + 5y + 12x – 5
b. 2xy + 3x2 – 3y + 3xy + 5x2 -9
Penyelesaian :
a) 2x – 10x + 12x + 3y + 5y -5
= (2 – 10 + 12 ) x + ( 3 + 5 ) y – 5
= 4x + 8y – 5
b) 2xy + 3xy + 3x2 + 5x2 – 3y – 9
= (2 + 3)xy + ( 3 + 5)x2 – 3y – 9
= 5xy + 8x2 – 3y – 9
Contoh 2.
Tentukan jumlah dari 2x2 + 3x – 2y + 4 dan 5x2 – 7x + 4y -6
Penyelesaian :
= (2x2 + 3x – 2y + 4) + ( 5x2– 7x + 4y -6)
= 2x2 + 5x2 + 3x – 7x - 2y + 4y + 4 – 6
= 7x2 – 4x – 9y – 2
Latihan Soal
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk
aljabar berikut :
a. 2a + 3c – 6a + 5c + 10a
b. 2xy + 3y – 6x + 5xy – 2x
c. 3x3 + 2x – x3 + 2x2 + 3x
2. Jumlah dari 3x2 – 4x + 5 dan -7x2 + 2x – 8 adalah ….
3. Jumlah dari 5x2 – 4x – 2 dan 3x - 2x2 + 2x adalah ….
4. Hasil pengurangan 3x2 – 2x + 6 dari 2x2 + 5x adalah …..
5. Hasil pengurangan -2( 3x + 4 ) dari -4( 3x -1 ) adalah…..
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
-
-
=
-
-
Operasi Perkalian
Operasi perkalian pada bentuk aljabar suku satu dengan suku
lebih satu memenuhi sifat berikut a ( b + c ) = ab + ac , suku dua
dengan suku dua ( a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + cd sifat
pangkat tak sebenarnya an + am = am + n.
Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian operasi perkalian bentuk aljabar
berikut
a. 2a ( 3b + 2c – 6 )
= 6ab + 4ac – 12a
b. 2x ( 5x – 2y + 3x2)= 10x2 – 4xy + 6x3
c. ( y + 3 ) ( y – 2)
= y2 – 2y + 3y – 6
= y2 + y – 6
Operasi Pembagian
Operasi pembagian memenuhi sifat pembagian pangkat tak
sebenarnya berikut
Contoh Soal 2.
Selesaikan operasi pembagian bentuk aljabar berikut
y
x
y
y
y
x
y
y
b
y
x
y
x
a
8
4
1
8
8
4
.
2
3
7
14
7
21
.
2
2
3
+
-
=
+
-
-
+
=
-
+
Kuadrat Suku dua
Kuadrat suku dua memenuhi sifat dari segitiga pascal berikut
:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Contoh Soal 3.
Tentukan penyelesaian bentuk aljabar berikut :
a. ( y + 2 )2= y2 + 4y + 4
b. ( 2a + 3 )2= 4a2 + 12a + 9
c. ( 3y – 4 )2= 9y2 - 24y + 16
Latihan Soal
1. Hasil dari -3( 6x – 5 ) adalah….
2. Tentukan penyelesaian dari
3
18
12
-
+
x
3. Hasil dari
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
y
x
x
y
2
3
6
14
2
adalah …
4. Selesaikanlah
r
pq
c
ab
r
q
p
bc
a
2
2
2
2
3
3
2
18
7
24
5
¸
Test Uji Kompetensi I
Pilihlah satu jawaban yang tepat
1. Pada bentuk aljabar 4x2 – 2x – 1, koefisien x dan konstanta
berturut-turut adalah …
a. -2 dan -1
b. 4 dan 2
c. 4 dan -1
d. -1 dan -2
2. Hasil dari 5 – 3( x + 2 ) adalah …
a. 2x + 4
b. 2x + 2
c. -3x + 1
d. -3x – 1
3. Bentuk 3x(x – 3) – 2x(x+1) + (2x – 2)
a. x2 – 9x – 2
b. x2 – 3x – 2
c. -3x2 – 9x – 2 d. -3x2 – 9x – 2
4. Bentuk sederhana dari
2
5
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
n
m
adalah …
a.
2
2
25
9
n
m
-
b.
2
2
25
9
n
m
c.
2
2
5
3
n
m
-
d.
2
2
5
3
n
m
5. Faktor persekutuan dari suku-suku pada bentuk penjumlahan
a2bx + abx + ax2 adalah …
a. abx
b. ab
c. bx
d. ax
6. FPB dari 18x2y3, 30x3y2 dan 36x4y3 adalah …
a. 4x2y2
b. 6x2y2
c. 8x2y2
d. 12x2y
7. Hasil dari (-3x + 2y )2 adalah …
a. -9x2 – 12xy + 4y2
b. 9x2 – 12xy + 4y2
c. -9x2 – 6xy + 4y2
d. -9x2 + 12xy + 4y2
8. Bentuk 2a2 – 3ab dapat difaktorkan menjadi …
a. a(2a – 3ab)
b. ab(2a – 3)
c. a(2a – 3b)
d. b(2a2 – a)
9. Hasil pemfaktoran dari 6a2 + 8ab – 8b2 adalah …
a. (2a -2b)(3a – 4b)
b. (3a – 2b)(2a + 4b)
c. (3a + 2b)(3a - 4b)
d. (3a + 4b)(2a – 2b)
10. Bentuk sederhana dari
1
5
4
2
2
-
-
-
x
x
x
adalah …
a.
5
1
+
+
x
x
b.
1
1
-
+
x
x
c.
1
5
-
-
x
x
d.
1
5
+
-
x
x
100
169
RELASI DAN FUNGSI
16
Definisi
Relasi adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan
anggota himpunan B, perhatikan ilustrasi berikut :
Anggota himpunan A dengan anggota himpunan B dihubungkan dengan
sebuah relasi yaitu “ ibu kota dari”.
Relasi dinyatakan dengan 3 cara yaitu :
1. diagram panah
2. himpunan pasangan berututan
3. grafik kartesius
Contoh Soal
Himpunan A = { 0,1,2,3,4} , himpunan B = {1,2,3,4,5,6} relasi
dari himpunan A ke B “ kurang dua dari “ nyatakan relasi ini dengan
tiga cara
Penyelesaian
a. Diagram panah
b. Pasangan berurutan = { (0,2), (1,3), (2,4), (3,5), (4,6)}
c.Grafik Kartesius
Definisi
Fungsi adalah sebuah relasi khusus yaitu relasi yang memasangkan
setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Fungsi dinyatakan dengan tiga cara
1. diagram panah
2. himpunan pasangan berututan
3. grafik kartesius
Istilah-istilah dalam Fungsi
a. Domain adalah daerah asal fungsi yaitu semua anggota himpunan
A (Df)
b. Kodomain adalah daerah kawan yaitu semua anggota himpunan
B
c. Range adalah daerah hasil/peta yaitu anggota himpunan B yang
mempunyai pasangan anggota himpunan A { Range C Kodomain }
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyak
anggota himpunan B adalah
n(b) = b, maka :
a. banyak pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba
b. banyak pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab
Contoh Soal
Dari beberapa diagram panah relasi berikut nyatakan fungsi atau
bukan
Penyelesaian
a) Sebuah fungsi, memenuhi definisi fungsi
b) Bukan fungsi
c) Bukan fungsi
d) Fungsi
Latihan Soal
1. Himpunan A = { 3,4,5 } , himpunan B = { 2,4,6,8, } relasi
dari A ke B adalah “ kurang dari” nyatakan relasi tersebut dengan
tiga cara !
2. Himpunan A = { 1,2,3,4 } , himpunan B = { 0,1,2,3,4,5 }
relasi dari A ke B adalah “ kurang satu dari” nyatakan relasi
tersebut grafik kartesius !
3. Dari beberapa pasangan berurutan relasi berikut, jelaskan
masing-masing fungsi atau bukan
a. { (a,1), (b,1), (c,1), (d,1), (e,1)}
b. { (a,2), (a,3), (a,4), (a,5)}
c. { (a,4), (b,3), (c,2), (d,1), (a,1)}
Nilai Fungsi
Fungsi ditulis dalam notasi berikut f : x →f(x), dibaca x
memetakan x f(x) atau juga ditulis dengan notasi y = f(x), contoh
notasi fungsi f(x) = 2x + 1.
Contoh Soal
1. Suatu fungsi f : x →x + 1, dengan domain = { 0,1,2,3 },
tentukan range dan diagram kartesius
2. Suatu fungsi mempunyai rumus f(x) = 2x +2, tentukan nilai
dari f(0), f(-2) dan f(2), kemudian gambarlah dalam diagram
kartesius
Penyelesaian
1. f : x →x + 1
domain = { 0,1,2,3 }
f : 0 →0 + 1= 1
f : 1 →1 + 1= 2
f : 2 →2 + 1= 3
f : 3 →3 + 1= 4
Jadi kita dapatkan range = { 1,2,3,4 }
2. Rumus fungsi f(x) = 2x +2, maka nilai
f(0) = 2(0) + 2
f(-2)= 2(-2) + 2
f(2)= 2(2) + 2
= 0 + 2
= -4 + 2
= 4 + 2
= 2
= -2
= 6
Latihan Soal
1. Diberikan sebuah fungsi f(x) = 3x – 2 dengan domain = {
1,2,3, ... } maka daerah hasil dari fungsi tersebut adalah ...
a. { 1,3,5, ... }
b. { 1,4,7, ... }
c. { 1,-1,-3,... }d. { 5,8,11, ... }
2. Pasangan berikut yang merupakan fungsi adalah ...
a. { (1,4),(1,5),(1,6),(1,7) }
b. { (1,4),(2,6),(3,4),(3,6) }
c. { (1,4),(2,7),(3,5),(4,5) }
d. { (1,4),(2,4),(3,5),(3,7) }
3. Range dari fungsi f(x) = 3 – 2x – x2 untuk domain bilangan
asli adalah
a. { 0,3,4,5 }
b. { 0,3 }
c. { 0,3,4 }
d. { 3,4 }
4. Bayangan - 2 oleh fungsi f(x) = -x2 + 5x + 6 adalah ...
a. -8
b. -6
c. -2
d. 0
5. Bayangan -2 oleh fungsi f(x) = 2x2 +8 adalah ...
a. 16
b. 12
c. 8
d. 0
6. Pada pemetaan f : x → 5 – x , jika daerah asalnya {
-3,-2,-1,0,1,2,3,4 }, maka daerah hasilnya adalah ...
a. { 1,2,3,4,5,6,7,8 }
b. { 2,3,4,5,6,7,8,9 }
c.{ -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}
d. { -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2}
7. Daerah hasil dari diagram panah di bawah ini adalah ...
D
efinisi
· Garis adalah kumpulan dari tak terhingga titik.
· Dari dua buah titik bisa dibuat sebuah garis lurus.
Perhatikan gambar berikut
●●● ini adalah kumpulan dari 3 buah titik, kalau kita membuat
titik yang banyaknya tak terthingga maka akan terbentuk sebuah
garis, seperti berikut ini :
… dari kumpulan titik yang tidak terhingga ini akan terbentuk
sebuah garis.
Untuk menggambar garis bisa dengan membuat dua titik yang
berbeda, kemudian dua titik tersebut dihubungkan maka akan
terbentuk sebuah garis, seperti berikut ini
● P
Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus
1. Y = m X + C → Persamaan garis bentuk ekplisit, contoh
a. Y = 2 X + 3
b. Y = -3X – 2
c.
2
5
3
+
=
X
Y
2. a X + b Y + C = 0 → Persamaan garis bentuk implisit,
contoh
a. 2 X + 4Y – 2 = 0
b. 3 X = 2Y + 3
c. 2X + 5Y = 6
Menggambar Garis Dalam bidang Kartesius
Menggambar Titik
Untuk menentukan letak sebuah titik bisa digunakan sistem
koordinat kartesius sebagai berikut titik P (X1 , Y1) dan titik Q
(X2, Y2).X1 dan X2 adalah absis dan Y1 dan Y2 adalah ordinat
Contoh :
1. Gambar lah titik-titik berikut dalam bidang kartesius. P
(1,2) , Q (5,3), R (-2,3) dan
S (-5, -2)
Jawab.
Latihan Soal
1. Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang kartesius A
(1,7), B (5,3), C ( 7,1),
D (-2,3)
2. Hubungkan titik A dengan titik B dan Titik C dengan titik
D
Menggambar Garis
Dari persamaan garis bentuk ekplisit atau implisit, kita dapat
menggambar grafiknya yaitu berupa garis lurus dengan cara
menentukan beberapa titik yang melaluinya kemudian saling
dihubungkan.
Contoh
1. Gambarlah garis dengan persamaan Y = 2 X + 4
Jawab
Mencari titik yang melalui persamaan dengan cara mengganti nilai
X untuk menemukan
nilai Y.
X = 1 → Y = 2 (1) + 4 = 6 → titik yang dilalui ( 1, 4)
X = 2 → Y = 2 (2) + 4 = 8 → titik yang dilalui ( 2, 8), gambar
titik dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan seperti berikut
:
Latihan Soal
1. Gambarlah persamaan persamaan garis berikut dalam bidang
kartesius
a) Y = 2 X + 1 b) Y = 3 X – 5 c) Y = - 2 X + 1 d) Y = -4 X
-1
2. Gambarlah garis dengan persamaan berikut ini :
a) 2y – 3 x + 6 = 0 b) 4y + 2 x = 8 c) 2y + 5 x = 10 d) 3y = 12
– 6 x
Gradien Garis
Gradien Garis adalah ukuran kemiringan/kecondongan suatu garis
disimbolkan dengan m dirumuskan dengan perbandingan komponen y dan
komponen x sebagai berikut
Perhatikan garis berikut ini :
Menentukan Gradien Garis dari Persamaan
Persamaan Y = m X + C gradien dari persamaan garis ini adalah
m
Contoh :
1. Tentukan gradien garis dengan persamaan y = - 3 X + 2
Jawaban :
Gradiennya = -3
Persamaan garis dengan bentuk a x + b y + c = 0, untuk mencari
gradiennya dirumuskan sebagai berikut
b
a
m
-
=
. Contoh.
1. Tentukan gradien garis dengan persamaan 3x + 6 y + 8 = 0.
Jawaban :
a = 3, b = 6, maka gradiennya :
2
1
6
3
-
=
-
=
m
Kita juga bisa menentukan nilai gradien garis dari dua buah
titik yang dilalui garis tersebut, jika sebuah garis melalui dua
titik yaitu titik A (X1,Y1) dan titik B (X2, Y2) maka gradien garis
bisa ditentukan dengan rumus
1
2
1
2
x
x
y
y
m
-
-
=
Contoh :
1. tentukan gradien garis yang melalui titik berikut A ( 2,3)
dan B (5,6)
Jawab :
X1 = 2, Y1 = 3 dan X2 = 5 , Y2 = 6 maka gradiennya :
1
1
2
2
2
5
3
6
=
\
=
=
-
-
=
gradiennya
m
Test Uji Kompetensi 3
I. Selesaikan Soal-soal Berikut dengan singkat dan jelas
1. tentukan gradien garis dari persamaan garis berikut ini :
a. y = 2 x + 2
b. y = -3 x + 7
c.
4
2
1
+
=
x
y
d.
3
4
5
-
-
=
x
y
2. tentukan gradien dari persamaan garis berikut ini :
a. 2 x + 8 y = 2
b. 3 x – 5 y = 4
c. 2y = 6 x -7
3. tentukan gradien garis yang melalui titik-titik berikut
ini
a. titik A ( 2, 7) dan titik B (1,2)
b. titik P (-3,4) dan titik Q (-5,-1)
II. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat
1. Rumus gradien garis yang melalui titik A (x1 , y1) dan B (x2
, y2) adalah .......
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
.
.
.
.
x
x
y
y
m
d
x
x
y
y
m
c
y
y
x
x
m
b
x
x
y
y
m
a
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
2. Gradien garis yang melalui pusat koordinat dan titik A (-2,4)
adalah .......
a. -8
b. -4
c. -2
d. 6
3. Gradien garis yang melalui titik A ( 3,1 ) dan titik B ( 5,-3
) adalah .......
a. 2
b. 1
c. -2
d. -3
4. Gradien garis 4x – 2y + 3 = 0 adalah .....
a. 2
b. ½
c. -1/4
d. -2
5. Ditentukan titik A ( -2,5 ) dan B ( p, -4 ), jika gradien
garis yang melalui A dan B adalah -1 , maka nilai dari p adalah
.........
a. -7
b. -6
c. 6
d. 7
6. Gradien garis y = -3x + 4 adalah .......
a. -3
b. -1
c. 4
d. 12
7. Jika gradien garis yang melalui titik A ( 6,a ) dan B ( a+2,
-2 ) adalah -5/2 , maka nilai a adalah ......
a. 8
b. 16/3
c. -16/3
d. -8
8. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu X adalah .....
a. 0
b. 1
c. -1
d. Tak terdefinisi
9. Gradien garis yang persamaannya 2 ( x-3 ) = 4 ( y-5 ) adalah
.........
a. 4
b. 3
c. 3/2
d. ½
10. Sebuah garis dengan persamaan 5x + cy = 9 mempunyai gradien
-1 ¼ , nilai c = ......
a. -5
b. -4
c. 4
d. 5
Menentukan Persamaan Garis
Persamaan garis yang melalui sebuah titik A (X1,Y1) dengan
gradien m dirumuskan sebagai berikut :
Contoh :
1. tentukan persamaan garis melalui titik A (3,2) dengan gradien
3
Jawab :
m = 3 , X1 = 3 dan Y1 = 2 sehingga persamaannya sebagai
berikut
7
3
2
9
3
9
3
2
)
3
(
3
2
)
(
1
1
-
=
+
-
=
-
=
-
-
=
-
-
=
-
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
m
y
y
Persamaan garis yang melalui dua buah titik yaitu titik A
(X1,Y1) dan titik B (X2,Y2) dirumuskan sebagai berikut :
Contoh :
1. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, 1) dan
titik B (5,7)
Jawab :
3
2
3
9
6
9
6
3
3
12
6
3
12
6
3
3
)
2
(
6
)
1
(
3
3
2
6
1
2
5
2
1
7
1
:
7
,
5
1
,
2
2
2
1
1
-
=
-
=
-
=
+
-
=
-
=
-
-
=
-
Þ
-
=
-
Þ
-
-
=
-
-
=
=
=
=
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
berikut
sebagai
garisnya
persamaan
sehingga
y
x
dan
y
x
Latihan soal
1. tentukan persamaan garis dengan gradien 5 melalui titik P
(1,4)
2. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, -3 ) dengan
gradien -2
3. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (6,2 ) dengan
gradien
3
2
4. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (1,5) dan titik
B (5,9)
5. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dan titik
B (-2,-5)
Hubungan antara dua buah Garis
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien sama m1 = m 2
Dua garis yang saling tegak lurus mempunyai gradien yang berbeda
dan memenuhi hubungan
m1 x m2 = -1 atau m1 =
2
1
m
-
.
Contoh
1. dari dua buah persamaan garis berikut ini tunjukkan apakah
keduanya sejajar atau tegak lurus
a. garis y = 2 x + 4 dan garis 4 x – 2 y + 8 = 0
b. garis y = 3 x + 3 dan garis x + 3y + 6 = 0
Jawab
Untuk mengetahui kedudukan dua garis tersebut cukup dengan
dicari gradiennya seperti berikut :
a. y = 2 x + 4 → gradiennya = 2 dan 4 x – 2 y + 8 = 0 →
gradiennya =
2
2
4
=
-
-
, karena kedua gradien sama maka kedudukan dua garis
sejajar.
b. y = 3 x + 3 , gradiennya = 3 dan x + 3y + 8 = 0 gradiennya
=
3
1
-
, kedua gradien tersebut kalau dikalikan
1
3
1
3
-
=
-
®
x
, sehingga kita simpulkan dua buah garis ini saling tegak
lurus.
Menentukan Persamaan Dua buah Garis yang saling sejajar atau
saling Tegak Lurus
Garis yang melalui sebuah titik ( X1, Y1) dan sejajar atau tegak
lurus garis lain kita cari menggunakan rumus
Contoh.
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dan
sejajar garis dengan persamaan y = 3 X - 6
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-3,1) tegak
lurus garis dengan persamaan x + 3 y = 5
Jawab
1. y = 3 X – 6 → gradiennya = 3, → m1 1= 3 , garis yang dicari
sejajar → m2 = 3 melalui titik A (2,3) → X1 = 2 , Y1 = 3 , sehingga
persamaannya dicari sebagai berikut :
Y – Y1 = m2 ( X – X1) → Y – 3 = 3 ( X – 2 ) → Y – 3 = 3 X –
6
Y = 3 X – 6 + 3
Y = 3 X – 3
2. x + 3 y = 5,
3
1
3
1
1
,
3
1
2
2
2
1
1
=
Þ
-
=
-
Þ
-
=
Þ
-
=
Þ
m
m
x
m
x
m
kedua
garis
gradien
m
melalui titik A (-3,1) → X1 = -3, Y1 = 1 sehingga persamaanya
dicari seperti berikut ini :
Y – Y1 = m2 ( X – X1) → Y – 1 = 3 ( X – (-3)) → Y – 1 = 3 ( X +
3)
Y – 1 = 3 X + 9
Y = 3 X + 9 + 1
Y = 3 X + 10
RANGKUMAN MATERI
1
Gradien garis
Gradien garis melalui titik A ( X1,Y1) dan B (X2,Y2)
Gradien garis dengan persamaan y = m x + c
Gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0
Dua garis sejajar gradiennya sama
Dua garis tegak lurus gradiennya berbeda
m =
x
y
1
2
1
2
x
x
y
y
m
-
-
=
Gradien = m
b
a
m
-
=
1
2
1
2
1
-
=
=
m
x
m
m
m
2
Persamaan garis dengan gradien m melalui titik A ( X1, Y1)
Y – Y1 = m (X – X1)
3
Persamaan garis melalui dua titik, A ( X1, Y1) dan B ( X2,
Y2)
1
2
1
1
2
x
x
x
x
y
y
y
y
-
-
=
-
-
Latihan Soal
1. Tentukan persamaan garis melalui titik A(3,5) sejajar garis
dengan persamaan y = 3X +1
2. Tentukan persamaan garis melalui titik A (-2,4) sejajar garis
dengan persamaan 2y = 8X – 4
3. Tentukan persamaan garis melalui titik A (2,3) tegak lurus
garis dengan persamaan
5
4
1
-
=
x
y
4. Tentukan persamaan garis melalui titik A (3,-4) tegak lurus
garis dengan persamaan 3X + 6y + 2 = 0
5. Tentukan persamaan garis melalui titik A (-3,-1) sejajar
garis yang melalui titik A (2,3) dan B (5,9)
Latihan Ulangan Bab
1. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu y adalah .....
a. nol
b. Tak tentu
c. Hasil kalinya -1
d. Tidak didefinisikan
2. Gradien garis yang sejajar dengan garis 2x = 4y – 2 adalah
............
a. -2
b. ½
c. 2
d. 4
3. Jika gradien garis yang melalui titik P ( -3, 4a ) dan Q ( 9,
a ) adalah 2, maka nilai a adalah .......
a. -7
b. -8
c. -9
d. – 10
4.
5. Persamaan garis yang melalui titik ( 3, -4 ) dan bergradien –
3 adalah .........
a. y = -3x – 5
b. y = -3x + 5
c. y = 3x + 5
d. y = 3x – 5
6. Persamaan garis yang melalui titik A ( -3, 4 ) dan B ( 2, -5
) adalah ......
a. 5x – 9y = 7
b. 5x + 9y = 7
c. 9x – 5y = -7
d. 9x + 5y = -7
7. Pasangan garis berikut yang tidak saling sejajar adalah
........
a. y = 2x – 1 dan 2 x – y + 2 = 0
b. y = -2 dan y = 1
c. x - 3y + 3 = 0 dan 3 x - y + 3 = 0
d. 2x + y = 0 dan 4x + 2y = 3
8. Persamaan garis yang melalui titik ( -4,0 ) dan tegak lurus
garis y = 2x + 5 adalah ....
a. 2y + x = 4 b. 2y + x = -4c. y + 2x = 4
d. y + 2x = -4
9. Persamaan garis yang melalui titik ( 1, -3 ) dan tegak lurus
garis yang melalui titik ( 3,5 )
dan ( -2, 1 ) adalah .....
4
7
4
5
.
4
7
4
5
.
4
7
4
5
.
4
7
4
5
.
+
=
-
=
+
-
=
-
-
=
x
y
d
x
y
c
x
y
b
x
y
a
10.
Persamaan linier dua variabel adalah sebuah persamaan linier
yang mempunyai dua buah variabel sekaligus, misalnya 2x + 3y = 10,
persamaan ini mempunyai dua variabel yaitu x dan y , koefisien
2,3dan sebuah konstanta yaitu 10. Menyelesaikan persamaan linier
dua variabel berarti mencari pasangan dua bilangan pengganti x dan
y sekaligus sehingga persamaan linier tersebut menjadi kalimat
matematika yang bernilai benar.
Contoh Soal.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x + 3y = 12
untuk
C
y
x
Î
,
Penyelesaian
x = 0 → 0 + 3y = 12 → y = 4 € C { penyelesaian }
x = 1 → 1 + 3y = 12 → y =
C
Ï
3
8
{ bukan penyelesaian }
x = 2 → 2 + 3y = 12 →
C
y
Ï
=
3
4
{ bukan penyelesaian }
x = 3 → 3 + 3y = 12 → y = 3 € C { penyelesaian }
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah { (0,4), (3,0) }
Sistem persamaan linier dua variabel atau biasa disingkat SPL2V
adalah dua buah persamaan linier dua variabel yang dibentuk menjadi
sebuah sistem yang bisa kita selesaikan bersama-sama, kemungkinan
yang terjadi dalam menyelesaikan sebuah SPL2V ada tiga buah yaitu
:
1. SPL2V tidak mempunyai penyelesaian sama sekali
2. SPL2V mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya
3. SPL2V mempunyai satu penyelesaian tunggal (trivial)
Untuk menyelesaikan sebuah SPL2V bisa kita gunakan tiga buah
metode yaitu metode grafik, metode subtitusi dan metode
eliminasi.
A. Metode Grafik
Dengan metode grafik bisa segera ditentukan apakah SPL2V
mempunyai penyelesaian atau tidak, dengan cara menggambar dua buah
persamaan linier tersebut dalam bidang kartesius, kemudian diamati
sehingga terdapat tiga kemungkinan sebagai berikut :
a. Dua grafik sejajar maka SPL2V tersebut tidak mempunyai
penyelesaian sama sekali
b. Dua grafik berpotongan disatu titik maka SPL2V tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal yaitu ( x,y )
c. Dua grafik berimpit satu sama lain maka SPL2V mempunyai tak
terhingga penyelesaian.
b. Metode Subtitusi
Pola kerja metode subtitusi atau pengganti adalah dengan
mengganti variabel dari persamaan linier tersebut dari dua variabel
menjadi satu variabel sehingga bisa ditemukan penyelesaian untuk
kedua variabel tersebut.
Contoh Soal
Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut
î
í
ì
=
+
=
-
17
4
3
4
2
y
x
y
x
Penyelesaian
(
)
(
)
î
í
ì
=
+
=
-
2
17
4
3
1
4
2
persamaan
y
x
persamaan
y
x
K
K
Ambil persamaan (1) kemudian ubah menjadi
2x – y = 4
-y = 4 – 2x
y = - 4 + 2x ................. persamaan (3)
subtitusikan persamaan (3) y = -4 + 2x ke persamaan 2
3x + 4y
= 17
3x + 4( -4 + 2x)= 17
3x – 16 + 8x
= 17
3x + 8x
= 17 + 16
11 x
= 33
x= 33/11
x= 3
C. Metode Eliminasi
Cara kerja metode eliminasi adalah dengan mengeliminasi atau
menghilangkan salah satu dari dua variabel sehingga yang tinggal
adalah satu variabel, dengan cara menyamakan koefisien dari salah
satu variabel. Kita juga bisa menggabungkan metode subtitusi dan
eliminasi untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dua
variabel
Contoh Soal
Selesaikanlah persamaan linier berikut
î
í
ì
=
-
=
+
7
3
5
8
2
3
y
x
y
x
Penyelesaian
Susun persamaan sebagai berikut
2
2
19
38
38
19
38
0
19
14
6
10
24
6
9
2
3
7
3
5
8
2
3
=
\
=
=
=
=
+
Å
=
-
=
+
=
-
=
+
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
Menentukan nilai y
1
1
19
19
19
19
19
19
0
21
9
15
40
10
15
3
5
7
3
5
8
2
3
=
\
=
=
=
=
+
=
-
=
+
=
-
=
+
-
y
y
y
y
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
Latihan Ulangan
1. Nilai x yang memenuhi SPL2V 3x + y = 5 dan 2x + y = 4 adalah
...
a. 5
b. 3
c. 2
d. 1
2. Himpunan penyelesaian dari 2x + 3y = 13 dan x + 2y = 6 adalah
...
a. { -8, -1 }
b. { 8, -1 }
c. { -1,8 }
d. { -1, -8 }
3. Nilai y yang memenuhi SPL2V 2x + 3y = 7 dan 2x – 4y = 14
adalah ...
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
4. Harga 7 buku tulis dan 3 pensil sama dengan Rp. 11.700,-
.Harga 6 buku tulis dan 5 pensil
sama dengan Rp. 11.000,-. Maka harga satu buku tulis sama dengan
Rp ...
a. 1.500
b. 1.250
c. 1.000
d. 750
5. Himpunan penyelesaian dari 2x + 2y = 48 dan x – y = 6 adalah
...
a. { (16,10) }
b. { (15,9) }
c. { (14,80) }
d. { (13,7) }
6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 5 = 7 , untuk x
bilangan cacah adalah ...
a. {-6 }
b. { -1 }
c. { 1 }
d. { 6 }
7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 5x + 3 = 2x – 9 , adalah
...
a. { -6 }
b. { -2 }
c. { 2 }
d. { 6 }
8. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 6 dan 3x
– y = 14 adalah ...
a. { (15,-24) }
b. { (15,24) }
c. { (5,-4) }
d. { (-5,4) }
9. Harga 5 ekor ayam dan 6 ekor itik adalah Rp.150.000,- dan
harga 2 ekor ayam dan 3 ekor itik adalah Rp. 67.500,- . Harga 6
ekor ayam adalah Rp ...
a. 65.000,-
b. 75.000,-
c. 80.000
d. 90.000
10. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
+
+
=
-
-
-
4
1
5
4
3
2
2
2
2
1
4
2
3
3
2
y
x
y
x
adalah ...
a. { (-4,-6) }
b. { (4,6) }
c. { (-6,-4) }
d. { (6,4) }
A.KUADRAT DAN AKAR KUADRAT
Ingat kembali tentang konsep kuadrat dan akar kuadrat
berikut
a 2= a x a
a
a
=
2
B. TEOREMA PYTHAGORAS
Perhatikan segitiga siku- siku berikut
Berdasarkan teorema pythagoras maka untuk setiap segitiga
siku-siku berlaku aturan kuadrat sisi miring (hypotenusa) sama
dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain.
c2= a2 + b2 sehingga akan berlaku juga
a2= c2 – b2
b2= c2 – a2
Teorema ini juga berlaku sebaliknya jika sebuah segitiga
memenuhi hubungan kuadrat sisi miring (hypotenusa) sama dengan
jumlah kuadrat dua sisi yang lain maka segitiga tersebut adalah
segitiga siku-siku.
Contoh Soal dan Penyelesaian
1.
2. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 12 cm dan lebarnya 5
cm. Hitung panjang salah satu diagonalnya ...
Jawab.
3. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada tembok.
Jarak ujung bawah tangga terhadap tembok = 3 m . Hitunglah tinggi
tembok yang dapat dicapai oleh tangga
Jawab.
Test Uji Kompetensi 5
Pilihlah Jawaban yang tepat
1.
2. Sebuah persegi, panjang sisinya 3 cm. Panjang diagonal
persegi tersebut adalah ... cm
a.
6
b.
9
c.
12
d.
18
3. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku sama kaki adalah
20 cm. Panjang kaki-kaki
segitiga tersebut adalah ... cm
a.
40
b.
100
c.
200
d.
400
4.Keliling sebuah persegi adalah 40 cm, panjang diagonal persegi
tersebut adalah ... cm
a.
80
b.
160
c.
200
d.
400
5. Panjang sisi sebuah persegi sama dengan panjang hipotenusa
segitiga siku-siku yang panjang
sisi siku-sikunya 5 cm dan 12 cm. Luas persegi tersebut adalah
... cm2
a. 60
b. 65
c. 156
d. 169
6.
7.
7. Panjang alas segitiga samakaki 10 cm, dan panjang panjang
sisi yang sama 13 cm. Luas segitiga tersebut adalah ... cm2
a. 130
b. 65,5
c. 65
d. 60
8. Diketahui ukuran-ukuran sisi suatu segitiga sebagai berikut
:
(i) 3 cm, 4 cm, 5 cm
(ii) 3 cm. 4 cm, 6 cm
(iii) 6 cm, 8 cm, 12 cm
(iv) 6 cm, 8 cm. 13 cm
Dari ukuran-ukuran tersebut manakah yang dapat membentuk
segitiga tumpul adalah ...
a. (i) dan (ii)b. (ii) dan (iii)
c. (i), (ii) dan (iii)d. (ii), (iii) dan (iv)
9. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran 3x meter
dan 4x meter. Bila panjang diagonalnya 50 m, maka nilai x adalah
... cm
a.
100
b.
3
,
164
c.
3
,
208
d.
1
,
357
10. Pada segitiga PQR berlaku PR2 = QR2 – PQ2, maka segitiga PQR
adalah segitiga ...
a. siku-siku dititik P
b. siku-siku dititik Q
c. siku-siku dititik R
d. tumpul dititik Q
�
Dua titik P dan Q ini kalau dihubungkan akan menjadi sebuah ruas
garis
● Q
�
● (5,3)
●
P (1,2)
1
0
5
2
1
4
3
-1
-4
-5
-2
-3
2
3
4
-1
-2
-3
(-2,3) ●
(-5,-2) ●
0
2
1
4
8
Y = 2 X + 4
m = � EMBED Equation.3 ���
2
4
Komponen y =4
Komponen x = 2
Gradien garis ini adalah
� EMBED Equation.3 ���
Y – Y1 = m ( X – X1)
� EMBED Equation.3 ���
Y – Y 1 = m2 ( X – X1)
O
2
- 5
Persamaan garis dari grafik disamping adalah …..
a. 5y = 2 x + 10 b. 5y = 2x – 2
c. 2y = 5x + 4d. 2y = 5x - 2
0
-5
3
Persamaan garis yang sejajar dengan gambar garis disamping
adalah ……
a. 3 x + 5 y - 15 = 0b. 3 x - 5 y - 15 = 0
c. 10 x - 6 y - 30 = 0d. 10 x + 6y - 30 = 0
“relasi”
2
1
FUNGSI
�
1
2
6
4
5
5
3
3
4
2
1
0
“Kurang dua dari”
5
4
6
3
2
1
4
3
1
0
B
A
“IBUKOTA DARI”
2
Sumatera Selatan
Sumatera Utara
Jawa Barat
Jawa Tengah
Jawa Timur
Bali
Denpasar
Medan
Bandung
Semarang
Surabaya
B
A
RELASI
�
Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar
�
�
�
�
Mengenal Variabel Koefisien dan Konstanta
BENTUK ALJABAR
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
�
�HYPERLINK "SURAT%20TUGAS.doc" \t "_self"��Menggambar Garis�
�
�HYPERLINK "SURAT%20TUGAS.doc" \t "_self"��GRADIEN� GARIS
�
�HYPERLINK "SURAT%20TUGAS.doc" \t "_self"��PERSAMAAN� GARIS
�
3
0
2
1
d
c
b
a
“relasi”
B
A
3
0
d
c
b
a
B
A
a)
b)
“relasi”
2
1
3
0
d
c
b
a
B
A
c)
d)
“relasi”
2
1
3
0
d
c
b
a
B
A
1
2
6
4
5
5
3
4
2
1
0
3
1
2
6
4
5
-2
3
-1
2
1
0
3
-2
--1
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
{ a,b,c }
{ b,c,d }
{ a,c,d }
{ a,b,c,d }
c
b
d
a
4
3
2
1
B
A
�
�
PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
�
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
�
Menyamakan koefisien variabel y 2 dan 3 menjadi 6
Subtitusikan nilai x = 3 kepersamaan 1,2 atau
3 untuk mendapatkan nilai y yang sama, missal kita ambil
persamaan 3
(3) y = -4 + 2x → y = -4 + 2 (3)
= -4 + 6
= 2
Jadi Himpunan Penyelesaiannya {(3,2) }
Jadi didapat himpunan penyelesaian { (2,1) }
�
�
�
TEOREMA PYTHAGORAS
�
�
A
C
B
a
c
b
6 cm
c
8 cm
B
C
A
Pada gambar disamping hitunglah panjang sisi BC
Jawab.
BC2= AB2 + AC2
= 82+ 62
= 64+ 36
= 100
BC= � EMBED Equation.3 ���
= 10 cm
Jadi panjang sisi BC = 10 cm
12 cm
5 cm
a cm
Berdasarkan teorema Pythagoras maka
a2= 122+ 52
= 144 + 25
= 169
a= � EMBED Equation.3 ���
= 13
Jadi panjang diagonal persegi panjang 13 cm
Berdasarkan teorema Pythagoras maka
t2= 52 – 32
= 25 – 9
= 16
t= � EMBED Equation.3 ���
= 4
Jadi, tinggi tembok yang dapat dicapai tangga 4 m
5 m
3 m
t m
A
C
B
Dari gambar disamping, pernyataan berikut ini yang benar
adalah…
a. AC2= AB2 + BC2c. BC2 = AC2 - AB2
b. AB2= AC2 + BC2d.AC2 = BC2 - AB2
8 cm
D
B
A
26 cm
6cm
C
Panjang AD pada gambar disamping adalah … cm
12
18
20
24
B
D
C
10 cm
10 cm
A
16 cm
Panjang AD pada gambar disamping adalah … cm
6
7
8
9
�
PAGE
21
Rosid Tamami Cerdas Matematika MTs 8.a
_1322900276.unknown
_1347409077.unknown
_1348407243.unknown
_1349223819.unknown
_1349223975.unknown
_1349224150.unknown
_1349226112.unknown
_1349226122.unknown
_1349226139.unknown
_1349226077.unknown
_1349224124.unknown
_1349224138.unknown
_1349224111.unknown
_1349223948.unknown
_1349223963.unknown
_1349223938.unknown
_1349182421.unknown
_1349223800.unknown
_1349223810.unknown
_1349183860.unknown
_1349223769.unknown
_1349184607.unknown
_1349183403.unknown
_1348554171.unknown
_1349181877.unknown
_1348407433.unknown
_1348388789.unknown
_1348406663.unknown
_1348406738.unknown
_1348388921.unknown
_1347409128.unknown
_1348388729.unknown
_1347409102.unknown
_1347405867.unknown
_1347407641.unknown
_1347407737.unknown
_1347408944.unknown
_1347407688.unknown
_1347407526.unknown
_1347407621.unknown
_1347405983.unknown
_1333296049.unknown
_1347252027.unknown
_1347405808.unknown
_1347251800.unknown
_1333301765.unknown
_1322900568.unknown
_1322900856.unknown
_1322901173.unknown
_1333281024.unknown
_1322900645.unknown
_1322900407.unknown
_1322762448.unknown
_1322896155.unknown
_1322896370.unknown
_1322899718.unknown
_1322896317.unknown
_1322763912.unknown
_1322894697.unknown
_1322763204.unknown
_1322760479.unknown
_1322761150.unknown
_1322761178.unknown
_1322760711.unknown
_1322761030.unknown
_1322760155.unknown
_1322760283.unknown
_1322751819.unknown
_1322737846.unknown
