Bernard S

5/12/2018 Bernard S.. - slidepdf.com

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Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1) GGG, RGC y PZF - Marzo de 2006

1

E

Un tutorial que enfatiza la sutil pero fuerte relación que encontramos cuando

se transforma desde bits de datos a canal de bits, y a símbolos, y a chips.

I. INTRODUCCIÓN

l diseño de cualquier sistema de comunicación digitalccomienza con la descripción del canal (potencia en el

receptor, ancho de banda disponible, estadísticas de ruido yotros impedimentos como el desvanecimiento), y unadefinición de los requerimientos del sistema (tasa de datos ycomportamiento del error). Dada la descripción del canal,necesitamos determinar las alternativas de diseño que mejorse ajusten a este y encontrar los requerimientos de

desempeño. Un sistema ordenado de transformaciones ycálculos se ha desarrollado para ayudar en la caracterizacióndel desempeño del sistema. Una vez que este enfoque esentendido puede servir como formato para evaluar la mayoríade los sistemas de comunicación.

En las secciones posteriores examinaremos los siguientescuatro ejemplos de sistemas, elegidos para proveer unavariedad representativa: un sistema no codificado limitado enbanda, un sistema no codificado limitado en potencia, unsistema codificado limitado en banda y potencia, y un sistemacodificado de espectro ensanchado de secuencia directa. Eltérmino codificado (o no codificado) se refiere a la presencia

(o ausencia) en el esquema de un código detector de erroresque usan bits redundantes.

Los dos principales recursos de las comunicaciones son lapotencia recibida y el ancho de banda disponible para latransmisión. En muchos sistemas de comunicación uno deestos recursos puede ser más importante que el otro y lamayoría puede ser clasificado ya sea como limitado en anchode banda o limitados en potencia. Para los sistemas limitadosen ancho de banda las técnicas de modulación usadas paraahorrar en ancho de banda lo hacen a expensas de la potencia,en sistemas limitados en potencia las técnicas de modulaciónde potencia eficiente son usadas a expensas del ancho de

banda. En sistemas, limitados en ancho de banda y potencialos códigos detectores de error (a menudo llamadoscodificador de canal) pueden ser usado para ahorrar potencia

o para mejorar la tasa de error funcionando a expensas deancho de banda. Recientemente, los esquemas modulacióTCM (Trellis-Coded-Modulation) han sido usados parmejorar el error en canales limitados en banda sin aumentar eancho de banda [1], pero estas técnicas están más allá dealcance de este tutorial.

II. EL PLANO DE LA EFICIENCIA DEL ANCHO DE BANDA

La figura 1 muestra en el eje de las abscisas la razón denergía en el bit a la densidad de potencia espectral del ruido

Ob /NE (en decibeles), y las ordenadas son la razón d

traspaso R (en bits por segundos), que puede ser transmitidpor Hertz para un ancho de banda dado, W. La relació

W R es llamada eficiencia del ancho de banda, esta reflej

cuán eficiente se utiliza el ancho de banda como recursoEste argumento se deduce del teorema de Capacidad dShannon-Hartley [2-4] que puede mostrado como:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=

N

S LogW C 12 (1.

Donde S /N es la razón de la potencia promedio de la señarecibida sobre potencia del ruido. Cuando se toma elogaritmo en base 2, la capacidad C, es medida en bits/seg. Lcapacidad del canal define un número máximo de bits que spueden enviar sobre el canal de manera realizable. Para ecaso en que la razón datos R (información), es igual a C, lcurva separa la región para un sistema de comunicación quse puede implementar de una región donde los sistemas dcomunicación no son realizables [3,4].

Señalización de M símbolos (M-ary)

Cada símbolo en un alfabeto de M símbolos está relacionada una única secuencia de m bits, expresada como:

M Logm M m

2 o 2 == (1.2

Donde M es el tamaño del alfabeto. En el caso de ltransmisión digital, el término “símbolo” se refiere a umiembro del alfabeto M que es transmitido durante cadtiempo símbolo, T S. Para transmitir el símbolo, este debe secolocado sobre una onda de voltaje o corriente. Debido a qula forma de onda representa a el símbolo, el términ

Definiendo, Diseñando, y Evaluando Sistemas deComunicaciones Digitales

BERNARD SKLAR se encuentra al frente como Ingeniero de avanzadossistemas de comunicación, siendo también, profesor adjunto de laUniversidad del Sur de California, y profesor visitante de la universidad deCalifornia en los ángeles.




2

“Símbolo” y “Forma de Onda” es a veces equivalente.Entonces uno de estos M símbolos o formas de onda estransmitido durante cada duración de símbolo T S, la razón dedatos R en bits/seg, se puede expresar como:

segbitsT

M Log

T

m R

SS

/ 2== (1.3)

La duración dato-bit-tiempo es el recíproco a la tasa dedatos. Similarmente, la duración símbolo-tiempo es elrecíproco a la tasa de símbolos. Por lo tanto, de la ecuación(1.3), escribimos el tiempo de duración efectivo de cada bit,Tb, en función de la duración de símbolo TS, o la tasa desímbolo, Rs , esto es:

S

Sb

Rmm

T

RT

⋅===

11(1.4)

Entonces, usando las ecuaciones (1.2) y (1.4) podemosexpresar la tasa de símbolo, RS, en función de la tasa de bit, Rcomo sigue:

M Log

R RS

2= (1.5)

De las ecuaciones (1.3) y (1.4), cualquier esquema digital que

transmite M Logm 2= bits en TS segundos usando un

ancho de banda de W Hz, opera con una eficiencia de anchode banda de:

HzsbitsT W T W

M Log

W

R

bS

/ ) / ( 12

⋅=

⋅= (1.6)

Donde Tb es el tiempo de duración efectivo de cada bit.

Sistemas limitados en Ancho de Banda.

De la ecuación (1.6), un menor producto bT W ⋅ , hará más

eficiente ancho de banda en cualquier sistema decomunicación digital. Así, señales con pequeño producto

bT W ⋅ a menudo son usados en sistemas limitados en ancho

de banda. Por ejemplo, los nuevos sistemas de telefoníadigital móvil europeos conocido como GSM (Groupe SpecialMovile) usan como modulación “Gaussian Minimum – Shift

Keying” (GMSK) teniendo un producto bT W ⋅ igual a 0.3

Hz/(b/s), donde W es el ancho de banda del filtro gaussiano[5].

Para sistemas limitados en ancho de banda no codificados, elobjetivo es maximizar la tasa de información transmitida en elancho de banda disponible, a expensas de

0 N E b (manteniendo los valores especificados de la

probabilidad de error en el bit, PB ). Los puntos de operaciónpara MPSK coherente ( M-ary Phase-Shift Keying con

510−=bP es mostrado en el plano de la eficiencia del ancho

de banda (Fig. 1). Se asume un filtro de Nyquist (idearectangular) para filtrar la banda base. Así, para, MPSK codoble banda lateral (DSB), se requiere un ancho de bandcentrado en una frecuencia intermedia (FI), relacionado cola tasa símbolo, como sigue:

S

S

R

T

W ==1

(1.7

Donde TS es la duración del símbolo, y RS es la tasa desímbolo. El uso de un filtro de Nyquist resulta en un mínimancho de banda requerido para la transmisión, esto da cerinterferencia ínter-simbólica; tal filtro ideal da lugar anombre de ancho de banda mínimo de Nyquist.

De las ecuaciones (6) y (7), la eficiencia del ancho de bandpara una señal modulada en MPSK, usando un filtro dNyquist puede ser expresada como:

Hzsbit M LogW

R / ) / ( 2= (1.

Los puntos MPSK en la Fig. 1, confirman la relaciómostrada en la ecuación (8). Se puede notar que lmodulación MPSK es un esquema de ancho de band

eficiente. Como M aumenta su valor, W R / tambiéaumenta. La modulación MPSK puede ser utilizada parrealizar mejoras en la eficiencia del ancho de banda con e

costo de incrementar 0 / N E b . Aunque está más allá de

alcance de este artículo, muchos esquemas de modulaciócon anchos de bandas altamente eficientes se encuentran bajinvestigación [7].

1

2

4

8

1/4

1/2

16

6 12 18 24 30 36-1-2

Nota: Escalacambiada

R / W ,

( b i t / s ) / H z

Región paracual R>C

Región pacual R<C

Eb /N0 (dB)

Regiónlimitada en

ancho de band

Región limitada

en potencia

M=4

M=2M=8

M=16

M=2

M=4

M=64

M=16

M=8

límite de lacapacidad para elcual R=C

LeyendaMPSK, Pb=10

MFSK, Pb=10(no-coherente ortogo

Fig.1 Plano de la eficiencia del ancho de banda




3

Sistemas limitados en potencia

Los puntos para MFSK ( M-ary Frequency Shift Keying)

ortogonales no coherentes con 510−=bP se muestran en la

Fig. 1. Para la modulación MFSK, el ancho de banda mínimoa una frecuencia intermedia (FI) de Nyquist es como semuestra a continuación [4]:

S

S

R M T M W ⋅== (1.9)

Donde TS es la duración del símbolo, y RS es la tasa delsímbolo. Con MFSK, el ancho de banda requerido para latransmisión es expandido M-veces sobre un FSK binariodonde hay M diferentes formas de onda ortogonales, cada unarequiere un ancho de banda de 1/TS. Así, de las ecuaciones(1.6) y (1.9), la eficiencia del ancho de banda de una señalMFSK ortogonal no coherente usando un filtro de Nyquistqueda expresada como:

Hzsbit M

M Log

W

R / ) / ( 2= (1.10)

Los puntos MFSK de la Fig. 1 confirman la relación mostradaen la ecuación (1.10). Se pude notar que la modulaciónMFSK es un esquema que expande el ancho de banda. ComoM crece, W R / decrece. La modulación MSFK puede ser

usada para realizar una reducción del 0 / N E b a costo de

incrementar el ancho de banda.En las ecuaciones (1.7) y (1.8) para MPSK, y en las

ecuaciones (1.9) y (1.10) para MFSK, y para todos los puntosmostrados en la Fig. 1, se ha asumido un filtro de Nyquist(ideal rectangular). ¡Tales filtros no son realizables!. Paracanales realistas y formas de onda, se requiere incrementar elancho de banda para poder realizar los filtros.

En los ejemplos que siguen, vamos a considerar canales deradio que son distorsionado solamente por el ruido blancoaditivo gaussiano (AWGN) y sin otros impedimentos, y parasimplificar, vamos limitar la modulación al tipo envolventeconstante, eso es MPSK o MFSK ortogonal no coherente.

Para un sistema no codificado, MPSK es seleccionado si elcanal es limitado en ancho de banda, y se elige MFSK si elcanal es limitado en potencia. Cuando se considera un códigodetector de errores, la selección de la modulación no es tan

simple, porque las técnicas de codificación pueden proveecompensaciones potencia-ancho de banda muy eficientes qupodría ser posible utilizar cualquier esquema de modulacióconsiderado en este artículo [8].

En sentido más general, señales de un M-alfabeto puedeser consideradas como un proceso forma de onda codificación, es decir, cuando seleccionamos una técnica dmodulación de M-alfabeto en vez de una binaria, en efect

hemos sustituido las formas de onda binarias por mejoreformas de ondas -para un mejor aprovechamiento del anchde banda (MPSK), o para mejorar las características dpotencia. Aún cuando se usen señales MFSK ortogonales spuede considerar un sistema de codificación de primer orde

Reed Muller [9], restringimos el uso del términ“codificación de sistemas”, para estos códigos correctores derror tradicionales que utilizan redundancia, por ejemplocódigos de bloque y códigos convolucionales.

Ancho de banda mínimo de Nyquist. Requerimientos para

señales MPSK y MFSK.

La relación básica entre la tasa de transmisión símbolo (forma de onda), RS, y la tasa de datos R, fue mostrada en lecuación (1.5):

M Log

R RS

2

=

Usando esta relación junto con las ecuaciónes (7-10) sb R / 9600= , un resumen de la tasa del símbolo, Anch

de banda mínimo de Nyquist, y la eficiencia del ancho dbanda para MPSK y MFSK ortogonal no coherente fuerodadas por: M = 2, 4, 8, 16 y 32 (tabla 1). Los valores de Eb /Nrequeridos para alcanzar una probabilidad de error en el bit d10-5, para MPSK y para MFSK son además dadas por cad

valor de M. Estas entradas (las cuales serán calculadausando las relaciones presentadas después en este paper

corroboran lo mostrado en la figura 1, cuando M aumenta, elas señales MPSK se la da más eficiencia al ancho de banda costo de incrementar Eb /N0, mientras para señales MFSKpermite una reducción de Eb /N0 a costo de aumentar el anchde banda.

M m R(b/s) RS(Simb/s) MPSKminimoAncho de

Banda (Hz)

MPSKR/W

MPSKEb /N0 (dB)

Pb=10-5

MFSK ortogonal nocoherente

Min. A de Bada (Hz)

MFSK MFSKEb /N0 (dB)

Pb=10-5 2 1 9600 9600 9600 1 9.6 19200 1 /2 13.44 2 9600 4800 4800 2 9.6 19200 1 /2 10.68 3 9600 3200 3200 3 13.0 25600 1 /3 9.116 4 9600 2400 2400 4 17.5 38400 1 /4 8.132 5 9600 1920 1920 5 22.4 61440 1 /8 7.4

Tabla 1. Tasa de símbolo, ancho de banda mínimo de Nyquist, eficiencia del ancho de banda y requerimientos de Eb /N0 para señalalización MPSK y MFSKortogonal no coherente a 9600b/s.




4

Ejemplo 1: Sistema no codificado limitado en ancho de

banda.

Supongamos que tenemos un canal de radio AWGN limitadoen ancho de banda con una banda disponible de

HzW 4000= . Además supongamos que la cadena(potencia transmitida, ganancia de la antena, perdida de

propagación, etc) resulta en que el promedio de la potencia dela señal recibida a la densidad espectral de la potencia del

ruido, 0 / S N , será igual a 53 dB-Hz. Requeriremos que la

tasa de datos, R, sea igual 9600 b/s, y dejamos que elcomportamiento del error en el bit, PB, sea máximo 10-5. Lameta es elegir un esquema de modulación que tenga elcomportamiento requerido. En general, un esquema de códigocorrector de errores, se puede necesitar si ninguno de losesquemas de modulación puede lograr los requerimientos.Como sea, en este ejemplo podemos encontrar que el uso deun código detector de errores no es necesario.

Solución del ejemplo1.

Para cualquier sistema digital de comunicación la relaciónentre la S/N0 recibida y la razón entre la energía recibida en el

bit a la densidad de potencia espectral de ruido, 0 / b

E N , se

presenta a continuación [4]:

R N

E

N

S b

00

= (1.11)

Resolviendo para 0 / b

E N en decibeles, obtenemos:

)89.20 ( 2.13 ) / (960010 )(53

) / ( )()(

10

00

odBsbit dB Log HzdB

sbit dB R HzdB N

SdB

N

E b

=−⋅−−=

−−−=

(1.12)

Entonces la tasa de datos de 9600 b/s es mucho más grandeque el ancho de banda disponible de 4000 Hz, el canal es deun ancho de banda limitado. Seleccionaremos MPSK comonuestro esquema de modulación. Hemos confinado lasposibles alternativas de modulación a tipos de envolventeconstante; sin una restricción estaremos dispuestos aseleccionar un tipo de modulación con una gran eficiencia deancho de banda. Para conservar la potencia calculamos losvalores más pequeños posibles de M, de tal forma que elancho de banda mínimo de MPSK no exceda el ancho debanda disponible de 4000 Hz.La tabla 1 muestra que el menor valor de M que cumple esterequerimiento es 8 M = . Luego, determinamos si el

comportamiento del error en el bit es 510−≤ BP puede ser

alcanzado mediante solo el uso de modulación 8 PSK − o sies necesario usar un modelo de código corrector de errores.La tabla 1 muestra que 8 PSK − puede lograr los

requerimientos si el 0 / b E N usado para 8-PSK es menor que

0 / b E N recibido derivado de la ecuación (12). Imaginemo

que no tenemos la tabla 1, y evaluemos si es necesario o nun código corrector de errores.

La figura 2 muestra un diagrama de bloques dmodulador/demodulador básico ( MODEM ) que resume lodetalles funcionales de este diseño. En el modulador l

transformación desde los bits de datos, a los símboloproducen una tasa de símbolos salientes, RS, este es un facto

de M Log2 , más pequeño que la tasa de bit de dato

entrante, R, como se ve en la ecuación (5). Similarmente en lentrada del demodulador, la energía del símbolo a la densida

espectral de potencia 0 / S

E N es un factor M Log2 mayo

que 0 / b

E N , entonces cada símbolo es formado d

M Log2 bits. Debido a que 0 / S E N es mayor 0 / b E N e

el mismo factor que RS es más pequeño que R, podemoexpandir la ecuación (11), como sigue:

S

Sb

R N

E

R N

E

N

S

000 == (1.13

El modulador recibe una forma de onda (en este ejemplo, unde 8 M = fases distintas posibles) durante cada intervalo dtiempo TS. La probabilidad de que el demodulador haga uerror en un símbolo, PE(M), es bien aproximada por lsiguiente ecuación:

0

2( ) 2 2S

E

E P M Q sen Para M

N M

π ⎡ ⎤⎛ ⎞≅ ⋅ >⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦(1.14

Donde ( )Q x , a veces llamada función de erro

complementaria, representa la probabilidad de error baj

varianza unitaria de la función de densidad gaussiana. Edefinida como sigue:

duu

xQ x

∫ ∞

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

2exp

2

1)(

2

π

(1.15

Una buena aproximación para ( )Q x , valida para 3> x , e

dada por la siguiente ecuación:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅≅

2exp

2

1)(

2 x

x xQ

π

(1.16

En la figura 2 y en todas las figuras que siguen, muchas qumuestran relaciones de probabilidad explícita, la notaciógeneral )( x f ha sido usada para indicar alguna dependenci

funcional de x.Una forma tradicional de caracterizar la eficiencia en sistema

digitales de comunicación es en términos de 0 / b

E N

recibidos en decibeles. Esta descripción de 0 / b E N se h

convertido en una práctica estandarizada, pero recordemoque no hay bits en la entrada del demodulador; solo ha




5

formas de ondas a las que se han asignado el significado de

un bit. La razón 0 / b

E N recibida representa una cadena de

bits que llegan como energía a través de formas de onda.

Para resolver PE(M) en la ecuación (14) necesitamos calcularla razón de la energía de símbolo recibida a la densidad

espectral de potencia de ruido, 0 / S E N . Entonces de la

ecuación (12)

)89.20( 2.130

odB N

E b =

Y dado que cada símbolo proviene de M Log2 bits,

calculamos la siguiente relación usando 8 M = .

( )

67.6289.203 0

20

=⋅=

= N

E M Log

N

E bS

(1.17)

Utilizando los resultados de la ecuación (17) en la ecuación(14), produce una probabilidad de error en el

símbolo, 5102.2 −⋅= E P . Para transformar esto en

probabilidad de error en el bit usamos la relación entre laprobabilidad de error en bit PB, y la probabilidad de error en

el símbolo Pe, para señales de múltiples fases, como sigue[9]:

)1 ( 2

<<=≅ E E E

B P param

P

M Log

PP (1.18)

La cual es una buena aproximación cuando la codificaciónGray es usada para asignar el bit a un símbolo. Este último

cálculo produce 6103.7 −⋅= BP , lo cual cumple la condición

requerida para el error en el bit. El código corrector de errores

no es necesario y la modulación 8 PSK − representa lelección de diseño para lograr los requerimientos de un canacon un ancho de banda limitado. (Como se ha predecid

examinando los valores de 0 / b

E N en la tabla 1).

Ejemplo 2. Sistema no codificado limitado en potencia.

Ahora supongamos que tenemos exactamente la misma tasde datos y los requerimientos de probabilidad de error en ebit, como en el ejemplo1, pero dejemos una ancho de band

disponible, de KHzW 45= , y el 0 / S N disponible se

igual a )(480 HzdB N S −= . La meta es elegir un model

de modulación o modulación codificada que cumpla lacondiciones requeridas. Entonces encontraremos nuevamentque el código corrector de errores no es requerido.

Solución al ejemplo 2.

El canal claramente no es limitado en ancho de banda debida que el ancho de banda disponible de 45 KHz es máadecuado para soportar la tasa de datos requerida de 9600 b/s

encontraremos que 0 / b

E N recibido de la ecuación (12) es:

) / (960010 )(48)( 100

sbit dB Log HzdBdB N

E b −−−=

)61.6( 2.8 odB= (1.19

Entonces aquí hay un ancho de banda amplio pero u

relativamente pequeño 0 / b E N para la probabilidad de erro

en el bit requerida, consideramos que este canal el limitado e

potencia y elegimos MFSK como nuestro modelo dmodulación. Para conservar la potencia, buscamos el M mágrande posible de tal que el ancho de banda mínimo del FSKno sea expandido más allá de nuestro ancho disponible de 4KHz. Esta búsqueda el resultado de 16 M = (tabla 1)Luego determinamos sí el comportamiento requerido d

510−≤ BP , pude ser logrado usando solo 16 FSK − , si

código corrector de errores. La tabla 1 muestra que sol

16 FSK − cumple los requerimientos, entonces el 0 / b E N

requerido para 16 FSK − es menor que 0 / b

E N recibid

según la ecuación (19). Imaginemos nuevamente que n

tenemos la tabla 1 y evaluar si es o no necesario un códigcorrector de errores.El diagrama de bloques en la figura 2 resume la relación entr

la tasa del símbolo RS y la tasa del bit R, y entre 0 / S E N

y 0 / b

E N , el cual es idéntico en cada de la relaciones de

ejemplo 1 respectivamente. El demodulador 16 FSK−recibe una forma de onda (una de 16 posibles frecuenciasdurante cada intervalo de tiempo de símbolo TS. Para MFSK

M-aryModulador

InputR bits

ssimb M Log

R RS /

2

=

M-aryDemodulador

Output

[ ])(

)()(0000

M P f P

R N

E R

N

E

N

S

N

E f M P

E B

SSbS

E

=

===

Fig.2 Modulador / Demodulador básico ( MODEM ) sin codificador de canal.




6

ortogonal no coherente la probabilidad de que eldemodulador tenga un error de símbolo PE(M), esaproximado por la siguiente relación [13]:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

−≤

02exp

21

N

E M P S

E (1.20)

Solucionando para PE(M) en la ecuación (20), calculamos0 / S E N , como en el ejemplo 1. Usando los resultados de la

ecuación (19) en la ecuación (17), con M = 16, obtenemos:

( )

44.2661.64 0

20

=×=

= N

E M Log

N

E bS

(1.21)

Luego, usando los resultados de la ecuación (21) en laecuación (20), obtenemos la probabilidad de error en el

símbolo, 5104.1 −⋅= E P . Para transformar esto a

probabilidad de error en el bit, Pb, usamos la relación entre Pb y PE para señalización ortogonal [13], dada por:

E m

m

B PP ⋅−

=−

122 1

(1.22)

Este último cálculo da un 6103.7 −⋅= BP , el cual cumple

la condición requerida para la probabilidad de error en el bit.Podemos cumplir las especificaciones dadas para este canallimitado en potencia usando la modulación 16-FSK sinninguna necesidad de código corrector de errores (comohabíamos predecido examinando los valores de la tabla 1de

0 / b

E N ).

Ejemplo 3: Sistema codificado limitado en ancho de banda y limitado en potencia.

Comenzamos con los mismos parámetros del canal del

ejemplo 1 ( KHzW 45= , )(530 HzdB N S −= , y

sb R / 9600= , con una excepción. En este ejemplo,especificamos un PB que debe ser como máximo 10-9. Latabla 1 muestra que este sistema es limitado tanto en potenciacomo en ancho de banda, basado en el ancho de banda

disponible de 4000Hz y la disponibilidad de 0 / b E N de

13.2dB de la ecuación (12). (8 PSK − es la única elecciónposible para encontrar la restricción del ancho de banda;

como sea, la disponibilidad de 0 / b E N de 13.2 dB esciertamente insuficiente para encontrar el Pb de 10-9

requerido). Para este pequeño valor de Pb, necesitamosconsiderar el uso del código corrector de errores que mejoreel comportamiento dentro del ancho de banda disponible. Engeneral, se puede utilizar un código convolucional o uncódigo de bloques.Los códigos Bose, Chaudhuri, y Hocquenghem (BCH) conforman una larga lista de correctores cíclicos de error

(bloques) [14]. Para simplificar la explicación, elegiremos ucódigo de bloques de la familia BCH. La tabla 2 presenta upequeño catálogo de códigos de la familia BCH en función dn, k , y t , donde “k” representa el número de bits dinformación (o datos) que el código transformará en un largbloque de “n” bits codificados (o canal bits), y “t” representel número más grande de canales de bits incorrectos que ecódigo puede corregir dentro de cada bloque de tamaño “n”

La tasa del codificador es definida por la razón “k/n”; y sinverso, representa una medida de la redundancia de lcodificación [14].

Solución del ejemplo 3.

Entonces este ejemplo tiene los mismos parámetros dlimitación de ancho de banda del ejemplo 1. Primerempezamos con la misma modulación 8 PSK − usada parencontrar el estado de restricción del ancho de banda. Siembargo, sabemos que el empleo de un código corrector derrores puede bajar la probabilidad de error en el bit

910−≤ BP .

Para hacer una selección optima del código de la tabla 2debemos seguir los siguientes modelos:

• La probabilidad de error en el bit en la salida desistema combinado de modulador/codificador, debcumplir la exigencia de error del sistema.

• La tasa del código no se debe expandir más allá dlos requerimientos del ancho de banda dtransmisión disponible del canal.

• El código debe ser lo más simple posibleGeneralmente, el código más corto, es el más simplpara ser implementado.

n k t

7 4 115 11 1

7 25 3

31 26 121 216 3

11 463 57 151 245 339 436 530 6

127 120 1113 2106 399 492 585 678 771 964 10

Fig.2 Modulador / Demodulador básico ( MODEM ) sin codificador de can




7

El ancho de banda mínimo requerido para 8 PSK − nocodificado es de 3200Hz (tabla 1) y el ancho de banda delcanal permitido es de 4000Hz, entonces el ancho de banda dela señal no codificada puede ser incrementado por no más deun factor de 1.25 (es decir, una expansión del 25%). Elprimer paso en este (simplificado) ejemplo de selección decódigo es eliminar las otras opciones en la tabla 2, quepuedan expandir el ancho de banda en más de un 25%. Lasentradas restantes forman un grupo más reducido de códigoscompatibles en ancho de banda (tabla 3).Una columna diseñada como "Ganancia de Código, G", ha

sido agregada para MPSK con 910−= BP (tabla 3). La

ganancia del código en decibeles es definida como sigue:

Codificada

b

codificada No

b dB N

E dB

N

E dBG )( )()(

0 0⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = (1.23)

G puede ser descrita como la reducción requerida de 0 / b

E N

(en decibeles) que es necesario debido al las propiedades del

comportamiento del error en el canal codificado. G es funcióndel tipo de modulación y de la probabilidad de error en el bit,

y esto ha sido calculado para un MPSK con 910−= BP

(tabla 3). Para modulación MPSK, G es relativamenteindependiente del valor de M. Entonces, para unaprobabilidad de error en el bit en particular, un código dadoprovee la misma ganancia de código, cuando se usa concualquier modelo de modulación MPSK. Las Ganancias delos códigos fueron calculadas usando un procedimiento"cálculo de la ganancia del código" resumido en la secciónsiguiente.

El diagrama de bloques resume este sistema que contieneambas cosas modulación y codificación (Fig. 3). Laintroducción del bloque codificador/decodificador causatransformaciones adicionales. La que relación que existecuando se transforma de R (b/s) a RC (canal-b/s) a RS (símb/s)son mostrados en el codificador/modulador. Considerando latasa del canal-bit, RC, algunos autores prefieren la unidad decanal-simbolo/s (o código-simbolo/s). El beneficio es queeste código corrector de errores es a menudo descrito máseficientemente con dígitos no binarios. Reservamos eltérmino “símbolo” para el grupo de bits proyectado sobre ungrupo de formas de ondas eléctricas para transmisión, ydesignemos la unidad de RC a canal-b/s (o código-b/s).

Asumimos que nuestro sistema de comunicación no puedetolerar un retardo en el mensaje, entonces la tasa del canal-bit/s, RC, debe exceder la tasa de dato-bit, R, en el factor n/k .

Más lejos, cada símbolo es hecho sobre M Log2 canales de

bits, entonces la tasa de símbolo, RS, es menor que Rc por el

factor M Log2 . Para un sistema que contiene modulación y

codificación a la vez, resumimos la tasa de transformacióncomo sigue:

Rk

n RC ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (1.24

M Log

R R C

S

2

= (1.25

En el demodulador/decodificador (Fig.3) latransformaciones entre energía dato-bit, energía canal-bit, energía de símbolo están relacionados (de manera recíprocapor los mismos factores mostrados entre la tasa dtransformación y las ecuaciones (25) y (27). Entonces l

transformación codificadora, ha remplazado “k” bits de datocon “n” canales de bits, entonces la razón de la energía decanal-bit a la densidad espectral de potencia de ruido

0 / C E N , es calculado por el decremento del valor d

0 / b

E N por el factor / k n . Cada símbolo transmitido est

compuesto sobre 2 Log M canales-bit, entonces 0 / S

E N , l

cual es necesitado en la ecuación (14) resolviendo para PE

n k t Ganancia de Código G(dB)

MPSK, PB=10-9

31 26 1 2.063 57 1 2.2

51 2 3.1127 120 1 2.2

113 2 3.3106 3 3.9

Tabla 3. Códigos BCH compatibles con el ancho de banda.

M-aryModulador

InputR bits/s

sbit canal

Rk n RC

/ −

⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

M-aryDemodulador

Output

[ ])(

)(0

M P f P

N

E f (M)PP f P

E C

S E C B

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

Codificador

Decoder

ssímbolos

M Log R R C

S

/ 2

=

SS

C C

b

R N

E

R N

E

R N

E

N

S

0

0

00

=

=

=

Fig.3 MODEM con codificador de canal.




8

esto es calculado por el incremento de 0 / C E N por un factor

2 Log M . Para un sistema que contiene modulación y

codificación, resumimos la transformación de energía adensidad de potencia espectral de ruido, como sigue:

00 N

E

n

k

N

E bC ⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (1.26)

( )0

20 N

E M Log

N

E C S ⋅= (1.27)

Usando las ecuaciones (24) a (27), podemos ahora expandir

la expresión para 0 / S N en la ecuación (13), como sigue

(apéndice A).

SS

C C b R

N

E R

N

E R

N

E

N

S⋅=⋅=⋅=

0000

(1.28)

Como antes, una forma estándar de describir el vínculo en

términos del 0 / b

E N recibido en decibeles. Como sea, no

hay bits de datos en la entrada del demodulador, tampoco haycanales de bits; allí solo hay formas de onda que significanbits, y estas formas de ondas pueden ser descritas porcionesde energía de bits.

Entonces, 0 / S N y R dieron 53(dB-Hz) y 9600 b/s,

respectivamente, antes encontramos, de la ecuación (12), que

se recibe un dB N E b 2.130 = . El 0 / b

E N recibido es fijo

e independiente de n, k , y t (apéndice A). Así como buscamosen la Tabla 3 por un código ideal que cumpla lasespecificaciones, podemos iterativamente repetir los cálculosindicados en la Figura 3. Eso puede ser posible programandoen un PC(o calculadora) los siguientes cuatro pasos enfunción de n, k, t . El paso 1 empieza combinando lasecuaciones (26) y (27)

Paso 1:

( ) ( )0

20

20

loglog N

E

n

k M

N

E M

N

E bcs ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ == (1.29)

Paso 2:

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

≅ M sen N

E

Q M P

s

E

π

0

2

2 (1.30)

El cual es la aproximación de la probabilidad de error en elsímbolo, PE, re-escrita de la ecuación (14). En cada intervalode tiempo de símbolo, el demodulador toma una decisión desímbolo, pero el reparte una secuencia de bit canalrepresentativa de ese símbolo al decodificador. Cuando lasalida de bit canal de demodulador es cuantificada a dosniveles, 1 y 0, el demodulador está en condiciones de tomar

decisiones drásticas. Cuando la salida está cuantificada a máde dos niveles, el demodulador está en condiciones de tomadecisiones más flexibles [4]. A lo largo del texto, asumimodecisiones de demodulación drásticas.Ahora que tenemos un bloque decodificador en el sistemadesignaremos la probabilidad de error en bit canal fuera dedemodulador y dentro del decodificador como pc,

reservaremos la notación P B para la probabilidad de error eel bit fuera del decodificador. Re-escribiremos la ecuació(18) en términos de pc así

Paso 3:

m

P

M

P p E E

c =≅2log

(1.3

Relacionando la probabilidad de error en el bit canal con lprobabilidad de error en el símbolo fuera del demoduladorasumiendo código Gray, referido en la ecuación (18).Para esquemas tradicionales de codificación de canal y u

valor dado de recepción0

/ S N , el valor de0

/ S

E N co

codificación siempre será menor que el valor de 0 / S

E N si

codificación ¡Cuando el demodulador con codificación recib

menor 0 / S E N , él comete más errores! Cuando l

codificación es usada, sin embargo, el rendimiento de errodel sistema no solo depende del rendimiento dedemodulador, también depende del rendimiento dedecodificador. Para mejorar el rendimiento de error debido la codificación, el decodificador debe proporcionar suficientcorrección de error para compensar el pobre rendimiento dedemodulador.La probabilidad final de salida de error en el bit, P B, depend

del código en particular, del decodificador y la probabilidade error en el bit canal, pc. Puede expresarse por la siguientaproximación [15].

Paso 4:

( ) ( ) jn

c

j

c

n

j

n

t j

B p p jn

P−

+=

−≅ ∑ 11

1

(1.32

Donde t es el número mayor de bits canal que el códigpuede corregir dentro de cada bloque de n bits. Usando lecuación (29) a través de la (32) en el paso cuatro de arribapodemos calcular la probabilidad de error en el bdecodificado, P B, como una función de n, k y t para cada un

de los códigos mostrados en la Tabla 3. La entrada qusatisface la condición de error requerida con la mayor tasa dcódigo posible y el menor valor de n es el código de doblcorrección de error (63,51), lo cálculos son:

Paso 1:

73.5089.2063

513

0

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

N

E S




9

donde 8 M = , y la 0 / b E N recibida es 0 / b E N = 13.2 dB

(o 20.89)

Paso 2:

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡×≅

8

5.1012π

senQP E

= 2Q(3.86) = 1.2 ×10-4

Paso 3:

54

1043

102.1 −−

×=×

≅c p

Paso 4:

( )( ) ( )60535633 1041104

63

3 −− ×−×≅ BP

( )( ) ( ) ...1041104

63

4 59545634 +×−×+ −−

10102.1 −×= Donde la capacidad de corrección de error en el bit delcódigo es t = 2. Para el cálculo de P B en el paso 4, solonecesitamos considerar los primeros dos términos en lasumatoria de la ecuación (32) puesto que los otros términostienen un efecto insignificante en el resultado. Ahora quetenemos seleccionado el código (63, 51), podemos calcularlos valores de la tasa de bit canal, RC , y tasa de símbolo, RS,usando las ecuaciones (24) y (25), con 8 M = .

859.119600

51

63≅⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ = R

k

n RC bit canal / s

39533

11859

log2

=== M

R R C

S símbolo / s

Cálculo de Ganancia de Código

Tal vez una forma mas directa de encontrar el código mássimple que satisfaga el rendimiento de error especificado seaprimero calcular cuanta ganancia de código, G, es necesariade forma de producir P B = 10-9 cuando se usa modulación8 PSK − a solas; entonces podemos simplemente elegir el

código que proporciona esta mejora en el rendimiento (Tabla3). Primero buscamos la 0 / S E N no codificada que

produzca una probabilidad de error P B = 10-9 escribiendo dela ecuación (18) y (31) lo siguiente.

9

2

0

2

10log

22

log−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

≅≅ M

M sen

N

E Q

M

PP

S

E B

π

(1.33)

Este valor bajo de probabilidad de error en el bit, es válid

para usar la ecuación (16) para aproximar ( ) xQ en l

ecuación (33). Por prueba y error (en una calculador

programable), encontramos que 0 / S

E N = 120.67 = 20.8 dB

no codificada, y cuando cada símbolo es 28 Log bits, e

requerido ( 0 / b E N )no codificado = 120.67/3 = 40.22 = 16 dBDe los parámetros dados y la ecuación (12), sabemos que l

recibida ( 0 / b

E N )codificada= 13.2 dB. Usando la ecuación (23

la ganancia de código requerida para encontrar el rendimientde error en el bit de P B=10-9 es:

)()()(0_0

dB N

E dB

N

E dBG

codificado

b

codificadono

b

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

= 16 dB – 13.2 dB = 2.8 dB

Para ser precisos, cada uno de los valores de 0 / b E N en e

cálculo de arriba debe corresponder exactamente al mismvalor de la probabilidad de error en el bit (el cual ellos n

son). Ellos corresponden a 910 B

P−= y 101.2 10

BP

−= ×respectivamente. Sin embargo a esos valores bajos dprobabilidad, incluso con aquella discrepancia, este cálcultodavía proporciona una buena aproximación de la ganancide código requerida. En la tabla 3 de búsqueda del códigmás simple que producirá una ganancia de código de amenos 2.8 dB, observamos que la elección s el códig(63,51), el cual corresponde a la misma elección que hicimoinicialmente.

Ejemplo 4: Sistema Codificado de Espectro Ensanchado enSecuencia Directa (DS).

Los sistemas de espectro ensanchado no son usualmentclasificados como limitados en ancho de banda o potenciaSin embargo ellos son generalmente percibidos comsistemas limitados en potencia porque la utilización de anchde banda de la información es mucho mayor que el ancho dbanda que es intrínsicamente necesitado para la transmisióde la información. En un sistema de espectro ensanchado dsecuencia directa (DS/SS), ensanchar el ancho de banda dseñal por algún factor permite minimizar la densidad dpotencial espectral de señal por el mismo factor (la potenci

total promedio de señal es la misma que antes de ensancharEl ensanchamiento del ancho de banda es generalmentacompañado por la multiplicación de una señal de datos dbanda estrecha por una señal de banda ancha ensanchada. Lseñal ensanchada o código ensanchado es a menudrelacionada como un código pseudoaleatorio, o código PN.




10

Ganancia de procesamiento-Un sistema típico de radioDS/SS es a menudo descrito como un proceso de modulaciónBPSK de dos pasos. En el primer paso, la onda portadora esmodulada por una forma de onda de datos bipolar tomandovalores +1 o -1 durante la duración de cada bit de dato; en elsegundo paso, la salida del primer paso es multiplicada(modulada) por una forma de onda bipolar de código PNtomando valores +1 o -1 durante la duración de cada bit de

código PN.En realidad, los sistemas DS/SS son implementadosusualmente para la primera multiplicación de la forma deonda de datos por la forma de onda del código PN haciendoentonces un paso único a través del modulador BPSK. Paraeste ejemplo, sin embargo, esto es usado para caracterizar elproceso de modulación en dos pasos separados- elmodulador/demodulador externo para los datos y elmodulador/demodulador interno para el código PN (Fig 4).Un sistema de espectro ensanchado por una ganancia deprocesamiento, G p, es definida en términos del ancho debanda de espectro ensanchado, W ss, y la tasa de datos, R, así

R

W G ss p = (1.34)

Para un sistema de DS/SS, el bit de código PN ha tomado elnombre de “chip”, y el ancho de banda de la señal de espectroensanchado puede ser mostrado como bordeando la tasa dechip. Entonces, para un sistema DS/SS, la ganancia deprocesamiento de la ecuación (34) es expresada generalmenteen términos de la tasa de chip, RCH , de esta forma:

R

RG CH

p = (1.35

Algunos autores definen la ganancia de procesamiento comla proporción del ancho de banda de espectro ensanchado cola tasa de símbolo. Esta definición separa el rendimiento desistema debido al ensanchamiento de su ancho de banda derendimiento debido al código de corrección de error. Puestque últimamente buscamos mostrar todos los mecanismos d

codificación relativos a fuentes de informaciónconformémonos con las definiciones mas usualmentaceptadas para la ganancia de procesamiento, como laexpresadas en las ecuaciones (34) y (35).Un sistema de espectro ensanchado puede ser usado para erechazo de interferencia y acceso múltiple (permitiendo múltiples usuarios acceder a medios de comunicaciósimultáneamente). Los beneficios de señales DS/SS smanifiestan de mayor manera cuando la ganancia dprocesamiento es muy grande; en otras palabras, la tasa dchip del código ensanchado (o PN) es mucho mayor que ltasa de datos. En aquellos sistemas, el gran valor de G

permite a los chips señalizadores ser transmitidos a un bue

nivel de potencia por debajo del ruido termal. Usaremos uvalor de G p = 1000. En el receptor, la operación ddesensanchado correlaciona la señal entrante con una copisincronizada del código PN, y así acumula la energía por bde datos. El valor de G p tiene una influencia mayor en erendimiento de aplicaciones de sistemas de espectrensanchado. Sin embargo, el valor de G p no tiene efecto e

0 / b E N recibido. En otras palabras, las técnicas de espectr

ensanchado no ofrecen ventajas de rendimiento de error sobr

Figura 4. MODEM de Espectro Ensanchado en Secuencia Directa con codificación de canal.




11

el ruido termal. Para sistemas DS/SS esto no es unadesventaja. A veces aquellos sistemas de radio de espectroensanchado son empleados solo para permitir la transmisiónde muy pequeñas densidades de potencia espectral, y así evitar la necesidad de una licencia FCC [17].

Parámetros de Canal para el Ejemplo 4.

Consideremos un sistema de radio DS/SS que usa el mismocódigo (63,51) que el ejemplo previo. En lugar de usarMPSK para la modulación de datos, usaremos BPSK.También usaremos BPSK para la modulación de chip de

código PN. Dejemos 0 / S N recibida como 0 / S N = 48 dB-

Hz, la tasa de datos, R = 9600 b/s y la P B requerida como610

BP ≤ . Por simplicidad, asumimos que no hay ancho de

banda forzado. Nuestra tarea es simplemente determinar si ono el rendimiento de error requerido puede ser conseguidousando la arquitectura de sistema y parámetros de

rendimiento dado. En la evaluación del sistema, usaremos elmismo tipo de transformaciones en ejemplos previos.

Solución del Ejemplo 4.

Un sistema típico DS/SS puede ser implementado massimplemente que el mostrado en la figura 4. Los datos y elcódigo PN fueron combinados en banda base, seguido por unpaso único a través del modulador BPSK. Asumimos laexistencia de bloques individuales en la figura 4, porque ellosmejoran nuestro entendimiento del proceso detransformación. En la transformación desde bits de datos, abits canal, a símbolos y a chip (figura 4) tiene el mismo

patrón de sutiles pero directas transformaciones en tasas yenergías como en las relaciones previas (figura 2-3). Losvalores de RC , RS y RCH pueden ser ahora calculadosinmediatamente después de que el código BCH (63,51) hasido seleccionado. De la ecuación (24)

859.11960051

63≅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = R

k

n RC canal-bit / s

Cuando la modulación de datos aquí considerada es BPSK,

859.11≅= C S R R símbolos / s

Y de la ecuación (35), con un valor asumido de GP=1000,6106.996001000 ×=⋅== RG R pCH chip / s

Después de que ha sido dado el mismo 0 / S N y la misma

tasa de datos que en ejemplo 2, buscaremos el valor recibido

de 0 / B

E N de la ecuación (19) será 8.2 dB (o 6.61). En el

demodulador, ahora podemos expandir la expresión de

0 / S N en la ecuación (28) y Apéndice A de esta forma

CH

CH

S

S

C

C b R N

E R

N

E R

N

E R

N

E

N

S

00000

==== (1.36

Correspondiendo a cada entidad transformada (bit de datobit canal, símbolo o chip) hay un cambio en la tasa similarmente un cambio recíproco en la densidad espectral eenergía a ruido para esa entidad recibida. La ecuación (36) eválida para cualquiera de aquellas transformaciones cuando ltasa y la energía son modificadas en forma recíproca. Hay utipo de fenómeno de conservación de potencia (o energía) elas transformaciones. El promedio total de potencia recibid(o energía total recibida por duración de símbolo) es fijadsin considerar como es calculado-sobre la base de bit ddatos, bit canal, símbolo o chip.

La tasa 0 / CH

E N es mucho menor en valor que 0 / B

E N

Esto puede verse de las ecuaciones (36) y (35)

0000

111

N

E

G RG N

S

R N

S

N

E b

p pCH

CH

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = (1.37

Pero, la función desensanchada (debidamente sincronizadaacumula la energía contenida en una cantidad G p de los chip

produciendo el mismo valor 0 / B E N = 8.2 dB, como fu

calculado tempranamente en la ecuación (19). De este modola transformación ensanchada de DS no tiene efecto en erendimiento de error de un canal AWGN [4], y el valor de G

no tiene nada que ver con el valor de P B en este ejemplo. Dla ecuación (37), podemos calcular

)()()(00

dBGdB N

E dB

N

E p

bCH −= (1.3

= 8.2 dB – (10×log101000) dB

= -21.8 dBEl valor elegido de ganancia de procesamiento (G p = 1000permite al sistema DS/SS operar a un buen valor de energíde chip bajo el ruido termal, con el mismo rendimiento derror como sin ensanchamiento.Después que la modulación de datos BPSK es seleccionaden este ejemplo, cada símbolo de mensaje corresponde por ltanto, a un único bit canal, y puede ser escrito

35.561.663

51

000

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ==

N

E

n

k

N

E

N

E bC S (1.39

Donde la E b /N 0 recibida es E b /N 0=8.2 dB (o 6.61). Fuera dedemodulador de datos BPSK, la probabilidad de error en e

símbolo, P E , (y la probabilidad de error en bit canal, pc) ecalculada así [4]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

0

2

N

E QP p C

E c (1.40

Usando los resultados de la ecuación (39) en la ecuación (40se produce

4108.5)27.3( −×== Q pc




12

Finalmente, usando este valor de pc en la ecuación (32) por el(63, 51) código corrector de error doble produce laprobabilidad de error en el bit de salida de PB = 3.6×10-7.Podemos verificar así que, para la arquitectura y parámetrosde diseño dados de este ejemplo, el sistema consigue dehecho rendimiento de error requerido.

Conclusión

El objetivo de este tutorial ha sido repasar las relacionesfundamentales para definir, diseñar y evaluar el rendimientode sistemas de comunicación digital. En primer lugar,examinamos el concepto de sistemas limitados en ancho debanda y limitados en potencia y como aquellas condicionesque influyen en el diseño cuando la elección está limitada amodulaciones MPSK y MFSK. Aún más importante, nosenfocamos en las definiciones y cálculos involucrados en latransformación de bits de datos a bits canal a símbolos y achips. En general, la mayoría de los sistemas de

comunicación digital comparten aquellos conceptos; de estemodo ellos debieran permitirnos evaluar aquellos sistemas demanera similar.

Referencias

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British Telecom Technol. J., vol. 8, no. 1, pp. 31-43, Jan. 1990.[6]H. Nyquist, "Certain Topics on Telegraph Transmission Theory"

Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, April 1928.[7] J. B. Anderson and C-E. W. Sundberg, "Advances in Constant Envelope

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Comm., vol. COM-27, pp. 639-642, March 1979.[13] A. J. Viterbi, "Principles of Coherent Communicaton"McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.

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[15] J. P. Odenwalder, "Error Control Coding Handbook, LinkabitCorporation", San Diego, CA, July 15, 1976.

[16] A. J. Viterbi, "Spread Spectrum Communications - Myths and Realities",IEEE Commun. Mag., pp. 11-18, May. 1979.

[17] Title 47. Code of Federal Regulations, Part 15 Radio FrequencyDevices.

APÉNDICE A

La E b /N 0 recibida es independiente de losparámetros de los códigos. Empezando con el concepto básico de que laseñal de potencia promedio recibida es igual a

la energía de símbolo o forma de onda recibida, E , dividida por la duración del tiempo desímbolo, T S (o multiplicada por la tasa desímbolo, RS ), escribimos

S

SSS R N

E

N

T E

N

S

000

/ ==

(A1)donde N 0 es la densidad de potencia espectralde ruido.Usando las ecuaciones (27) y (25), rescribimos

0

2

0

)(log N

E M

N

E C S = y

M

R R C

S

2log=

sustituyendo en la ecuación (A1) obtenemos

C C R

N

E

N

S

00

=

(A2)Luego, usando las ecuaciones (26) y (24),rescribimos

00

N

E

n

k

N

E bC ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = y R

k

n RC ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

sustituyendo en la ecuación (A2) obtenemos larelación expresada en la ecuación (11)

R N

E

N

S b

00

=

(A3)Por lo tanto, la E b /N 0 recibida sólo es unafunción de S/N 0 y de la tasa de datos, R. Esindependiente de los parámetros del código, n ,k y t . Estos resultados están resumidos en laFig. 3.

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