BETONDA ŞEKİL BETONDA ŞEKİL DEĞİŞİMLERİDEĞİŞİMLERİ

Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YİĞİTER http://kisi.deu.edu.tr/huseyin.yigiter

İNŞ2024 YAPI MALZEMESİ IIİNŞ2024 YAPI MALZEMESİ II

Dokuz Eylül Üniversitesi

İnşaat Mühendisliği Bölümü

BETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİBETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİ

•• BETONUN fBETONUN f-- DAVRANIDAVRANIŞŞII

fc

f

00 bmbm

fc

3

ε

ε

Doğrusal Elastik

Doğrusal Olmayan Elastik

Doğrusal Olmayan İç Sürtünmeli Elastik

Diğer bir çok yapı malzemesi gibi, beton da belirli bir mertebeye kadar elastik davranış gösterir. İdeal elastik bir malzemede deformasyon gerilmenin uygulanması ile ani olarak oluşur ve gerilmenin kaldırılması ile ortadan kalkar. Bu tanımlama doğrusal gerilme-birim deformasyon ilişkisini açıklıyor olsa da, Şekil’de görüldüğü üzere elastik davranış betonda, camda ve bazı kayaçlarda olduğu gibi doğrusal olmayabilir.

GERİLMEGERİLME--ŞEKİL DEĞİŞTİRME İLİŞKİSİ ve ŞEKİL DEĞİŞTİRME İLİŞKİSİ ve

ELASTİK DAVRANIŞ ELASTİK DAVRANIŞ

Yük altında belirli mertebede şekil değiştirme gösteren, yük Yük altında belirli mertebede şekil değiştirme gösteren, yük

kaldırıldığında ilk haline dönen malzemelere elastik malzemeler kaldırıldığında ilk haline dönen malzemelere elastik malzemeler denilmektedir. Malzemenin bu tür davranışı elastik davranış olarak denilmektedir. Malzemenin bu tür davranışı elastik davranış olarak tanımlanmaktadır. Bu tür davranışta Hooke Kanuna uygun olarak tanımlanmaktadır. Bu tür davranışta Hooke Kanuna uygun olarak gerilmelerle şekil değiştirmeler orantılıdır. gerilmelerle şekil değiştirmeler orantılıdır.

= ε × E

Burada; : gerilme ε: Birim şekil değiştirme E. Elastisite modülünü ifade etmektedir.

Şekil ’den görüldüğü üzere, agrega ve çimento Şekil ’den görüldüğü üzere, agrega ve çimento hamurunun tipik gerilmehamurunun tipik gerilme--şekil değiştirme eğrileri şekil değiştirme eğrileri doğrusal iken, eksenel basınç altında betonun doğrusal iken, eksenel basınç altında betonun davranışı doğrusal değildir. Bir başka deyişle, davranışı doğrusal değildir. Bir başka deyişle, kompozit bir malzeme olan betonun özellikleri, kompozit bir malzeme olan betonun özellikleri, bileşenlerinin özelliklerinin toplamı olarak bileşenlerinin özelliklerinin toplamı olarak düşünülmemelidir düşünülmemelidir

Gerilme

Birim şekil değiştirme

agrega

beton

Çimento hamuru

Şekil ’de betonun basınç yüklemesi ve Şekil ’de betonun basınç yüklemesi ve

yükün kaldırılması sırasındaki gerilmeyükün kaldırılması sırasındaki gerilme--

birim deformasyon ilişkisi görülmektedir birim deformasyon ilişkisi görülmektedir

gerilme

Birim deformasyon

yükün boşaltılması

kalıcı deformasyon

basınç dayanımı

Şekil ’de farklı dayanım sınıflarındaki betonların tipik gerilmeŞekil ’de farklı dayanım sınıflarındaki betonların tipik gerilme--birim birim deformasyon eğrileri gösterilmiştir. Aynı gerilme/dayanım oranında deformasyon eğrileri gösterilmiştir. Aynı gerilme/dayanım oranında beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar yüksektir. 100 MPa basınç dayanımına sahip bir betonda en büyük yüksektir. 100 MPa basınç dayanımına sahip bir betonda en büyük gerilmede birim deformasyonun tipik değeri 3gerilmede birim deformasyonun tipik değeri 3--4.104.10--3 iken 20 MPa’lık 3 iken 20 MPa’lık bir betonda bu değer 2.10bir betonda bu değer 2.10--3’e karşı gelir. Ancak, dayanım bir kenara 3’e karşı gelir. Ancak, dayanım bir kenara bırakıldığında yüksek dayanımlı betonların elastisite modülü daha bırakıldığında yüksek dayanımlı betonların elastisite modülü daha yüksek olduğundan aynı gerilme değerinde mukavemeti yüksek yüksek olduğundan aynı gerilme değerinde mukavemeti yüksek olan beton daha az deformasyon yapar olan beton daha az deformasyon yapar

Birim Şekil Değiştirme (10-6)

20

0

40

60

80

1000 2000 3000

Dayanım (MPa)

4000

C80

C40

C25

Betonun fBetonun f-- İlişkisini Tanımlamak İçin İlişkisini Tanımlamak İçin

Geliştirilmiş Bağıntılar Geliştirilmiş Bağıntılar

Beton için gerilmeBeton için gerilme--birim deformasyon eğrisi birim deformasyon eğrisi sadece bir malzeme özelliği olmayıp deney sadece bir malzeme özelliği olmayıp deney koşullarından da etkilenmektedir. koşullarından da etkilenmektedir. Dolayısıyla, gerilmeDolayısıyla, gerilme--birim deformasyon birim deformasyon eğrisi için bir denklem formüle etmek eğrisi için bir denklem formüle etmek oldukça güçtür. Ancak, böyle bir bağıntı, oldukça güçtür. Ancak, böyle bir bağıntı, yapısal analiz için oldukça kullanışlıdır. Bu yapısal analiz için oldukça kullanışlıdır. Bu sebeple betonun gerilmesebeple betonun gerilme--birim birim deformasyon ilişkisini bağıntılarla temsil deformasyon ilişkisini bağıntılarla temsil edebilmek için bir çok çalışma yapılmıştır. edebilmek için bir çok çalışma yapılmıştır.

Bunlar arasında, eğrinin özelliklerine bağlı Bunlar arasında, eğrinin özelliklerine bağlı

olarak tanımlanan Voellmy bağıntısından olarak tanımlanan Voellmy bağıntısından

söz etmekte fayda vardır. Denklem şu söz etmekte fayda vardır. Denklem şu

şekilde kurulmuştur: Bir şekilde kurulmuştur: Bir i ’ye karşıt fi, i ’ye karşıt fi,

alınsın, şekil değişimi alınsın, şekil değişimi i ’den itibaren i ’den itibaren

kadar artarsa, gerilme de kadar artarsa, gerilme de f kadar f kadar

artacaktır. Yalnız (artacaktır. Yalnız (i), (i), (oo) ’a ne kadar yakın ) ’a ne kadar yakın

ise, aynı ise, aynı 'na karşıt gelen 'na karşıt gelen f o kadar f o kadar

küçüktür.küçüktür.

Bu özellik göz önüne alınarak Bu özellik göz önüne alınarak

aşağıdaki diferansiyel denklem aşağıdaki diferansiyel denklem

yazılabilir:yazılabilir:

d

df

f

0εεKdε

df

denkleminin integrali şu şekilde hesaplanabilir:

0

2

ε.ε2

εKf

0ε

2

εK.εf

0εε cff Sınır şartlarından iken

olmaktadır. Bu nedenle K parametresi şu şekilde hesaplanabilir:

2

εK - ε

2

εK.εf

20

00

0c

20

c

ε

f2 - K

K yerine konulursa, K yerine konulursa,

2

εε ε .

ε

f2ε

2

ε ε .

ε

f2- f 02

0

c02

0

c

ε2ε.ε

ε

ff 02

0

c

00c

ε

ε2

ε

εff

Bu denklem 1ε

ε

0

değerleri için geçerlidir

Bir diğer bağıntı Smith ve Young Bir diğer bağıntı Smith ve Young

tarafından önerilmiştir. Smith ve Young tarafından önerilmiştir. Smith ve Young

bağıntısının deney verilerine daha iyi uyum bağıntısının deney verilerine daha iyi uyum

sağladığı ifade edilmektedir.sağladığı ifade edilmektedir.

0ε

ε - 1

0c e ε

εff

Betonun f Betonun f -- eğrisinin, eğrisinin, o'dan büyük birim o'dan büyük birim kısalmalara karşıt gelen düşüş bölgesinin de, kısalmalara karşıt gelen düşüş bölgesinin de, betonarme elemanların davranışlarında önemli betonarme elemanların davranışlarında önemli yeri vardır. Yapılan çalışmalar, doğrusal bölge yeri vardır. Yapılan çalışmalar, doğrusal bölge dışındaki zorlamalar altında, en dıştaki lifin birim dışındaki zorlamalar altında, en dıştaki lifin birim kısalma değeri kısalma değeri o'a ulaştığında kırılma durumuna o'a ulaştığında kırılma durumuna hemen ulaşılmadığını ve elemanın yük taşımaya hemen ulaşılmadığını ve elemanın yük taşımaya devam ettiğini göstermiştir. Bu davranışın devam ettiğini göstermiştir. Bu davranışın kaynağı f kaynağı f -- eğrisinin, eğrisinin, o 'dan büyük birim o 'dan büyük birim kısalmalara karşıt gelen düşüş kısmıdır. Eğrinin kısalmalara karşıt gelen düşüş kısmıdır. Eğrinin bu özelliğinden dolayı, en dıştaki lif taşıma gücü bu özelliğinden dolayı, en dıştaki lif taşıma gücü kapasitesine ulaşınca, aşırı gerilmeleri daha az kapasitesine ulaşınca, aşırı gerilmeleri daha az zorlanan komşu liflere aktarmaktadır. Bu olay zorlanan komşu liflere aktarmaktadır. Bu olay gerilmelerin yeniden dağılımı (redistribution) gerilmelerin yeniden dağılımı (redistribution) adını alır. Bu davranış nedeniyle adını alır. Bu davranış nedeniyle Betonarmede Betonarmede Taşıma GücüTaşıma Gücü hesap kavramı ve yöntemi hesap kavramı ve yöntemi doğmuştur.doğmuştur.

Poisson OranıPoisson Oranı

Eksenel yüke maruz kalmış bir malzemede elastik Eksenel yüke maruz kalmış bir malzemede elastik

bölge içerisinde yanal birim deformasyonların bölge içerisinde yanal birim deformasyonların

eksenel birim deformasyona oranı eksenel birim deformasyona oranı Poisson oranıPoisson oranı

olarak adlandırılır. Betonun Poisson oranı 0.15 ile olarak adlandırılır. Betonun Poisson oranı 0.15 ile

0.22 arasında değişir. 0.22 arasında değişir.

ε

εμ

y

εy: yanal birim şekil ε: eksenel birim şekil değiştirme

ELASTİSİTE MODÜLÜELASTİSİTE MODÜLÜ

Malzemenin elastisite modülü veya elastik Malzemenin elastisite modülü veya elastik

modülü rijitliğinin bir ölçüsüdür. Diğer bir deyişle modülü rijitliğinin bir ölçüsüdür. Diğer bir deyişle

malzemenin şekil değiştirmeye karşı koyabilme malzemenin şekil değiştirmeye karşı koyabilme

kapasitesini gösterir. Betonda değişik sebeplerle kapasitesini gösterir. Betonda değişik sebeplerle

oluşan şekil değiştirmelerin ve gerilmelerin oluşan şekil değiştirmelerin ve gerilmelerin

hesabı için elastisite modülünün bilinmesi hesabı için elastisite modülünün bilinmesi

gereklidir. Yük altındaki basit elemanlarda gereklidir. Yük altındaki basit elemanlarda

gerilmelerin ve karmaşık yapılarda momentlerin gerilmelerin ve karmaşık yapılarda momentlerin

ve sehimlerin hesabı için de elastisite modülüne ve sehimlerin hesabı için de elastisite modülüne

ihtiyaç vardır.ihtiyaç vardır.

Basınç veya çekme altında betonun statik Basınç veya çekme altında betonun statik

elastisite modülü eksenel yükleme altında elastisite modülü eksenel yükleme altında

gerilmegerilme--birim deformasyon eğrisinin eğimi birim deformasyon eğrisinin eğimi

olarak verilir. Betonun gerilmeolarak verilir. Betonun gerilme--birim birim

deformasyon eğrisinin doğrusal olmayan deformasyon eğrisinin doğrusal olmayan

karakterinden dolayı elastisite modülünün karakterinden dolayı elastisite modülünün

bulunmasında zorluklar yaşanmaktadır. Bu bulunmasında zorluklar yaşanmaktadır. Bu

nedenle elastisite modülünün hesabında nedenle elastisite modülünün hesabında

farklı tanımlar geliştirilmiştir farklı tanımlar geliştirilmiştir

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODÜLÜTE MODÜLÜ

0.4 fc

Teğet Modülü f

fc

f - eğrisine herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimine ise Teğet Modülü denir. Uygulamada bu teğet yaklaşık olarak eğrinin 0.4 fc gerilmesine karşıt gelen noktası esas alınarak çizilir.

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODÜLÜTE MODÜLÜ

Başlangıç Modülü f

fc

Betonun bir başka elastisite modülü, Et ile gösterilen, f- eğrisinin başlangıçtaki teğetinin eğimidir (Et = tan).

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODÜLÜTE MODÜLÜ

Sekant Modülü

f

fc

Sekant modülü, f - eğrisinin herhangi bir noktasını, koordinat merkezine birleştiren doğrunun eğimidir. Gerilmenin değeri ile değişir. Bu nedenle, sekant modülünün hesaplandığı gerilme değeri belirtilmelidir. Gerilme değeri, dayanımın (fc) belirli bir oranı olarak seçilir. Bu oran İngiliz standardında %33 Amerikan standardında ise %40 olarak öngörülmüştür.

Yukarıdaki tüm Elastisite modüllerinin kullanımında bazı Yukarıdaki tüm Elastisite modüllerinin kullanımında bazı sorunlar vardır. Örneğin, bu tanımlamalar basınç sorunlar vardır. Örneğin, bu tanımlamalar basınç dayanımının mertebesine ve yükleme hızına göre farklı dayanımının mertebesine ve yükleme hızına göre farklı değerler alabilir. Daha güvenilir bir değer olarak, Ed ile değerler alabilir. Daha güvenilir bir değer olarak, Ed ile gösterilen gösterilen Dinamik ElastisiteDinamik Elastisite modülü tanımı geliştirilmiştir. modülü tanımı geliştirilmiştir. ff-- eğrisinin şekli uygulanan gerilmenin hızına bağlı eğrisinin şekli uygulanan gerilmenin hızına bağlı olduğundan, yükleme hızına bağlı olarak Et de değişir. Hız olduğundan, yükleme hızına bağlı olarak Et de değişir. Hız arttıkça Et daha büyük değerler alır. Yalnız Et‘nin bu arttıkça Et daha büyük değerler alır. Yalnız Et‘nin bu şekilde artışının da bir sınırı vardır. Gerilmenin artım hızı şekilde artışının da bir sınırı vardır. Gerilmenin artım hızı belirli bir değerin üstüne çıkacak olursa, elde edilecek fbelirli bir değerin üstüne çıkacak olursa, elde edilecek f-- eğrileri hep başlangıçtaki aynı bir OA doğrusuna teğet olur. eğrileri hep başlangıçtaki aynı bir OA doğrusuna teğet olur. Bu karakteristik başka bir deyişle, Et‘nin alabileceği en Bu karakteristik başka bir deyişle, Et‘nin alabileceği en fazla değerdir. Genel olarak en çok 2fazla değerdir. Genel olarak en çok 2--4 dakika süren, bir 4 dakika süren, bir basınç deneyinden elde edilen, fbasınç deneyinden elde edilen, f-- eğrisinin başlangıç eğrisinin başlangıç teğetinin eğimi Ed, dinamik elastisite modülü olarak kabul teğetinin eğimi Ed, dinamik elastisite modülü olarak kabul edilebilir. Dinamik elastisite modülü ultrasonik ölçümlerle edilebilir. Dinamik elastisite modülü ultrasonik ölçümlerle de bulunabilmektedir. Dinamik elastisite modülü, de bulunabilmektedir. Dinamik elastisite modülü, gerilmenin büyüklüğüne ve gerilme artım hızına bağlı gerilmenin büyüklüğüne ve gerilme artım hızına bağlı olmadığından, diğer elastisite modüllerine kıyasla daha olmadığından, diğer elastisite modüllerine kıyasla daha güvenilirdir. Yüksek dayanımlı betonlarda daha büyük güvenilirdir. Yüksek dayanımlı betonlarda daha büyük değerler alır. değerler alır.

Bazen deney sırasında, gerilmeBazen deney sırasında, gerilme-- birim birim deformasyon eğrisinin başlangıcı içbükey olarak deformasyon eğrisinin başlangıcı içbükey olarak gözlenir. Böyle durumlarda gerilmegözlenir. Böyle durumlarda gerilme-- birim birim deformasyon eğrisi üzerindeki iki nokta arasında deformasyon eğrisi üzerindeki iki nokta arasında çizilmiş doğrunun eğimi olan çizilmiş doğrunun eğimi olan ChordChord (kiriş) (kiriş) Modülünün Modülünün kullanımı tercih edilebilir.kullanımı tercih edilebilir.

Çoğu standart betonun elastisite modülünün ve Çoğu standart betonun elastisite modülünün ve Poisson oranının bulunması için kiriş metodunu Poisson oranının bulunması için kiriş metodunu tanımlar. Bu amaçla, 150 x 300 mm’lik silindir tanımlar. Bu amaçla, 150 x 300 mm’lik silindir örnekler kullanılır. Deformasyonlar komparatör örnekler kullanılır. Deformasyonlar komparatör (dial gage) veya strain gage ile ölçülür (Şekil (dial gage) veya strain gage ile ölçülür (Şekil 11.10). Sünme olayını devre dışı bırakmak ve 11.10). Sünme olayını devre dışı bırakmak ve komparatörün oturmasını sağlamak amacıyla komparatörün oturmasını sağlamak amacıyla deney sırasında en az iki ön yükleme yapılır. deney sırasında en az iki ön yükleme yapılır.

Elastisite modülü deneysel yöntemler Elastisite modülü deneysel yöntemler

dışında şu şekillerde de hesaplanabilir:dışında şu şekillerde de hesaplanabilir:

ff--ε eğrisi için kabul edilen fonksiyonun ε 'na ε eğrisi için kabul edilen fonksiyonun ε 'na

göre türevi, göre türevi, = 0 durumunda betonun = 0 durumunda betonun

elastisite modülünü verir. Örneğin, Voellmy elastisite modülünü verir. Örneğin, Voellmy

parabolü betonun fparabolü betonun f-- eğrisini simgeliyorsa ;eğrisini simgeliyorsa ;

c

0

2

0

c

00c f

ε

ε -

ε

.ε2.f

ε

ε2

ε

εff

2

bağıntısının ’na göre türevi

c

00

c fε

2ε -

ε

2.f

dε

df2

ε

2.f

dε

df

0

c ε

2.f E

0

c =0 için

Smith Smith -- Young fonksiyonunun betonun fYoung fonksiyonunun betonun f--

davranışını simgelediği varsayılırsa ;davranışını simgelediği varsayılırsa ;

0ε

ε - 1

0c e ε

εff

00 ε

ε - 1

00c

ε

ε - 1

0c e

ε

1.

ε

εf e

ε

1f

dε

df

fonksiyonunun ’na göre türevi alınırsa

00 ε

ε - 1

00c

ε

ε - 1

0c e

ε

1.

ε

εf e

ε

1f

dε

df

=0 için

0

df 2*eE

dε ε

Ayrıca deneysel çalışmalardan yararlanarak, Ayrıca deneysel çalışmalardan yararlanarak,

elde edilen ampirik formüllerden elastisite elde edilen ampirik formüllerden elastisite

modülü tahmin edilebilir modülü tahmin edilebilir

Bu bağıntılardan biri L'Hermite formülüdür Bu bağıntılardan biri L'Hermite formülüdür

cfKE

İlişkideki K parametresi 18 000-23 000 arasında değerler alabilmektedir.

Amerikan Beton Enstitüsünce belirlenen Amerikan Beton Enstitüsünce belirlenen

bağıntıya göre (ACI Building Code 318bağıntıya göre (ACI Building Code 318--92) 92)

Normal ağırlıklı betonlar için (Normal ağırlıklı betonlar için (=2300 kg/m3) =2300 kg/m3)

cc f4.73E fc<40 MPa

6.9f3.32E cc 40<fc<80 MPa

cc f3.65E 80<fc<140 MPa

TS 500’de ise betonun basınç dayanımına TS 500’de ise betonun basınç dayanımına

bağlı olarak elastisite modülünün aşağıdaki bağlı olarak elastisite modülünün aşağıdaki

bağıntıyla hesaplanabileceğini belirtmektedir bağıntıyla hesaplanabileceğini belirtmektedir

14000f3250E ckjcj

Elastisite modülü ayrıca ultrases Elastisite modülü ayrıca ultrases

yöntemiyle de saptanabilir yöntemiyle de saptanabilir

L uzunluğunda bir beton üzerinde özel aygıtlarla L uzunluğunda bir beton üzerinde özel aygıtlarla üretilen ultrases dalgalarının, beton elemanın bir üretilen ultrases dalgalarının, beton elemanın bir ucundan diğer ucuna varabilmesi için, geçen (t) ucundan diğer ucuna varabilmesi için, geçen (t) zamanı mikrosaniye mertebesinde ölçülür. Beton zamanı mikrosaniye mertebesinde ölçülür. Beton içindeki V ses hızı ;içindeki V ses hızı ;

t

LV olarak cm/s boyutunda bulunur

g

δxVE 2

bağıntısından E hesaplanabilir. Burada betonun birim hacim ağırlığı, g yerçekimi ivmesidir

Boyut değişimi yapıldığında bağıntı şu şekle gelir :

9.81

δxxV10E 25

Burada, V km/sn, kg/lt, E kgf/cm2 birimlerinde alınır

Tablo ’da farklı sınıflardaki betonların basınç Tablo ’da farklı sınıflardaki betonların basınç

dayanımları kullanılarak elastisite modülleri değişik dayanımları kullanılarak elastisite modülleri değişik

standartlara veya bağıntılara göre hesaplanmıştır. standartlara veya bağıntılara göre hesaplanmıştır.

Elastisite Modülü (MPa)

fc (MPa) TS500

ACI CEB Smith-

Young

Voellmy

20 28534 21153 27088 27100 20000

30 31801 25907 31008 35348 26087

40 34555 29915 34129 43360 32000

50 36981 30376 36764 45167 33333

80 43069 36595 43000 72267 53333

BETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİBETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİ

•• BETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞIBETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞI

•• SÜNMESÜNME f

tt

tt

BETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİBETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİ

•• BETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞIBETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞI

•• SÜNMESÜNME

•• RÖTRERÖTRE

•• YORULMAYORULMA

BETONDA ŞEKİL BETONDA ŞEKİL DEĞİŞİMLERİDEĞİŞİMLERİ

Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YİĞİTER http://kisi.deu.edu.tr/huseyin.yigiter

İNŞ2024 YAPI MALZEMESİ IIİNŞ2024 YAPI MALZEMESİ II

Dokuz Eylül Üniversitesi

İnşaat Mühendisliği Bölümü