BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, …Graničnastanjaprslina Graničnastanjadeformacija Određivanjenaponaupresekusaprslinom BETONSKEKONSTRUKCIJE1 Osnovneakademskestudije,Vsemestar

Granična stanja prslinaGranična stanja deformacija

Određivanje napona u preseku sa prslinom

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1



Sadržaj

1 Granična stanja prslinaRekapitulacija: rastojanje prslinaRekapitulacija: širina prslina

2 Granična stanja deformacijaProračun deformacijaBilinearna metodaMetoda Bransona

3 Određivanje napona u preseku sa prslinomPresek pod uticajem čistog savijanjaPresek pod uticajem složenog savijanjaNaponi u “T” preseku




Rekapitulacija: rastojanje prslinaRekapitulacija: širina prslina

Sadržaj








Granična stanja prslina

Opšte napomene o prslinamaKada u AB elementima naponi zatezanja dostignu čvrstoćubetona pri zatezanju, dolazi do pojave prslinaNaponi zatezanja se javljaju, pre svega, kao posledicadelovanja opterećenja, ali i kao posledica prinudnihdeformacija, npr. skupljanja betona, promene temperaturePodrazumeva se da u AB elementu postoji dovoljna količinaarmature (minimalna armatura) koja je sposobna da, posleotvaranja prslina, bez plastifikacije prihvati celokupne naponezatezanja






Opšte napomene o prslinamaOsnovni uzrok pojave prslina je relativno niska čvrstoća betonapri zatezanjuOblik, širina, dužina i dubina prslina, njihov položaj, pravacprostiranja, međusobno rastojanje i ukupan broj, kao i trenutakpojave prslina i njihove promene u toku vremena, veoma surazličiti i zavise od čitavog niza faktoraPosmatraju se prsline izazvane naponima u betonu (naponskeprsline)






Opšte napomene o prslinamaU “normalno projektovanim” AB konstrukcijama prsline suneminovnostProračun prslina se vrši zbog kontrole širine prslinaOgraničenje širine prslina je zbog sprečavanja ulaska tečnosti igasova kroz prsline radi:

- zaštite armature od korozije- zaštite betona od korozije- obezbeđenja vodonepropustljivosti AB konstrukcija- obezbeđenja prihvatljivog estetskog izgleda isprskalih ABkonstrukcija






Opšte napomene o prslinamaProračunom prema graničnom stanju prslina dokazuje se dakarakteristična širina prslina apk(t) nije veća od graničnevrednosti širine prslina apu:

apk(t) ≤ apu (1)

Karakteristična širina prslina apk(t) data je sa

apk(t) = 1.7 apm (2)

gde je apm srednja širina prslinaOvim se obezbeđuje da verovatnoća da stvarna širina pojedinihprslina neće da bude veća od karakteristične širine iznosi 95%






Opšte napomene o prslinamaProračun prslina zasniva se na pretpostavkama idealizovanogstanja prslina:

- sve prsline su upravne na osu nosača- sve prsline se prostiru na celoj visini zategnute zone preseka- sve prsline su međusobno jednake širine, odn. širina svihprslina jednaka je srednjoj širini prslina apm

- sve prsline su ravnomerno raspoređene po dužini nosača, odn.međusobno rastojanje svih susednih prslina jednako je srednjemrastojanju prslina `pm

- slika prslina je stabilizovana






Opšte napomene o prslinamaSrednja širina prslina apm pretstavlja izduženje zategnutearmature, relativno u odnosu na okolni zategnuti beton, nadužini jednakoj `pm






Opšte napomene o prslinamaNastanak i pojava prslina pretstavljaju veoma kompleksnupojavuDa bi se analizirala tako složena pojava, posmatra sejednostavno naponsko stanje - centrično zatezanjeRešenja za takav slučaj se proširuju i prilagođavaju složenijimnaponskim stanjimaAnaliza prslina je u značajnoj meri empirijskog karaktera -zasnovana je na brojnim eksperimentima





Eksperimentalna istraživanja prslina u ABnosačima





Eksperimentalna istraživanja prslina u ABnosačima






Rastojanje između prslinaPosmatra se simetrično armirana AB zatega opterećenacentričnom silom zatezanja ZPosle otvaranja prve prsline pod opterećenjem Zr sve naponezatezanja u preseku na mestu armature prihvata armaturaNa nekom rastojanju `p od prve prsline, zahvaljujući naponimaprijanjanja između betona i čelika, ponovo se uspostavljahomogeno naponsko stanjeDrugim rečima, stvara se uslov za pojavu sledeće prsline





Centrično zategnut AB štap i pojava prslina






Rastojanje između prslinaZanemarujući uticaj armature u Fazi I, koji je generalno mali,postavlja se uslov ravnoteže podužnih sila na dužini `p izmeđudve susedne prsline:

Ab,ef · fbz =

∫ `p

0τp · (nπΦ) dx (3)

gde je- n . . . broj armaturnih šipki prečnika Φ- τp . . . napon prijanjanja između betona i armature- Ab,ef . . . efektivna površina betona neposredno oko zategnutearmature

- fbz . . . čvrstoća betona pri zatezanju






Rastojanje između prslinaAko se na dužini `p usvoji osrednjena vrednost naponaprijanjnja τpm, iz (3) može da se dobije srednje rastojanjeizmeđu prslina:

`pm =fbzτpm

Ab,ef

nπΦ2

4

Φ

4= k1 k2

Φ

µz(4)

gde je:- Φ . . . prečnik armature- µz . . . koeficijent armiranja u odnosu na efektivnu površinubetona:

µz =Aa

Ab,ef





Srednje rastojanje između prslina i koeficijent k2





Efektivna širina zategnutog betona Ab,eff






Rastojanje između prslinakao i:

- k1 . . . koeficijent koji zavisi od kvaliteta adhezije armature- k2 . . . koeficijent koji zavisi od vrste naprezanja

Koeficijent k1 ima vrednosti:- za GA . . . k1 = 0.8- za RA . . . k1 = 0.4

Koeficijent k2 ima vrednosti:- za čisto savijanje . . . k2 = 0.125- za čisto zatezanje . . . k1 = 0.25






Rastojanje između prslina

Eksperimenti su pokazali da izraz (4) ne daje dovoljno dobrerezultate, jer izrazom nije obuhvaćen uticaj koji na razmakprslina ima zaštitni sloj betona i međusobni razmak šipkiarmatureUzimajući u obzir i ove parametre, predložen je izraz za srednjerastojanje prslina u obliku

`pm = 2(a0 +

eΦ

10

)+ k1 k2

Φ

µz(5)

gde je- a0 . . . debljina zaštitnog sloja betona, uključujući i debljinuuzengije

- eΦ . . . osovinsko rastojanje šipki armatureStanko Brčić Betonske konstrukcije 1




Sadržaj









Širina prslinaKada ne bi postojala veza između betona i armature, srednjaširina prsline apm bila bi jednaka izduženju armature izmeđudve prsline:

apm = εIIa `pm (6)

gde je sa εIIa označena dilatacija armature u Fazi IIKako beton između prslina prihvata deo napona zatezanja,izduženje armature treba da se umanji za sadejstvo betona






Širina prslinaPrema tome, srednja vrednost dilatacije armature između dveprsline iznosi:

εam = εIIa −∆εa (7)

gde ja sa ∆εa označeno umanjenje dilatacije zategnutearmature zbog uticaja zategnute zone betona između prslinaPosmatra se srednja dilatacija zategnute armature izmeđuprslina






Širina prslinaSrednja dilatacija zategnute armature ima vrednost koja senalazi između najmanje moguće vrednosti εIa za naponskostanje Faze I (za računski model bez prsline) i najveće mogućevrednosti εIIa , za naponsko stanje Faze II (za računski modelsa prslinom)Vrednost srednje dilatacije zategnute armature zavisi odsadejstva betona između prslina u prenošenju napona zatezanjaSa porastom sadejstva betona u prenošenju napona zatezanjasrednja dilatacija zategnute armature opada, a sa smanjenjemsadejstva dilatacija armature raste






Širina prslinaDilatacija zategnute armature na dužini `pm je promenljiva -zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betonaDilatacija zategnute armature se kreće između dve vrednosti:

1 εIa . . . dilatacija u preseku bez prsline2 εIIa . . . dilatacija u preseku bez prsline

Srednja dilatacija zategnute armature εam između prslina dataje sa

εam = (1− ζ) εIa + ζ εIIa (8)





Srednja širina prslina






Širina prslina

U izrazu (8) sa ζ je označen koeficijent raspodele koji jefunkcija intenziteta opterećenja:

ζ = 1− β1 β2

(σarσIIa

)2≥ 0.4 za Z > Zr (M > Mr)

ζ = 0 za Z ≤ Zr (M ≤Mr)(9)

gde je:- β1 . . . koeficijent koji zavisi od vrste čelika:za RA β1 = 0.5, za GA β1 = 1.0

- β2 . . . koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija:za kratkotrajna dejstva β2 = 1.0, za dugotrajna dejstvaβ2 = 0.5

- σar . . . napon u zategnutoj armaturi neposredno pre pojaveprslina






Širina prslina

Za čisto savijanje izraz (9) se koristi u obliku:

ζ = 1− β1 β2

(Mr

M

)2

≥ 0.4 (10)

Za čisto zatezanje izraz (9) se koristi u obliku:

ζ = 1− β1 β2

(ZrZ

)2

≥ 0.4 (11)

Za složeno savijanje koristi se izraz (9) sa naponima σar i σIIa ,gde je σIIa napon u zategnutoj armaturi, u kritičnom preseku,od eksploatacionog opterećenja





Momenat savijanja Mr pri nastanku prslina





Sila zatezanja Zr pri nastanku prslina





Složeno savijanje i nastanak prslina






Širina prslinaRelativna srednja dilatacija je data sa

εam,R(t) = εam(t)− εIbz(t)

gde je εam srednja dilatacija zategnute armature data sa (8),dok je εIbz dilatacija betona u preseku bez prsline data sa

εIb = (1− ζ) εIa

Konačno, relativna srednja dilatacija dobija se u obliku

εam,R(t) = ζ εIIa (t)






Širina prslina

Srednja širina prslina apm(t) data je sa apm = εam,R `pm, odn.sa

apm(t) = ζ εIIa `pm (12)

Karakteristična širina prslina apk(t) je za 70% veća od srednješirine:

apk(t) = 1.7 apm (13)

Karakteristična širina prsline mora da bude manja od graničneprsline apu

apk(t) ≤ apu (14)





Granična širina prslina apu [mm], BAB 87




Proračun deformacijaBilinearna metodaMetoda Bransona

Sadržaj








Granična stanja deformacija

Proračun ugibaNajznačajnije deformacije konstrukcija su ugibiUgibi konstrukcija su bitan aspekt u pravilnom funkcionisanjukonstrukcijaBitan je uticaj deformacija i na nekonstruktivne elemente -pregradne zidove, ispune, fasade, . . .Proračunom prema graničnom stanju deformacija (odn. ugiba)dokazuje se da najveće deformacije (ugibi) vmax(t) ne prelazedozvoljene vrednosti:

vmax(t) ≤ vu (15)






Proračun ugiba

Dozvoljene (granične) vrednosti ugiba su definisane relativno,u odnosu na raspon posmatranog dela konstrukcijePrema BAB 87 dozvoljene vrednosti ugiba su:

- `/300 . . . proste i kontinualne grede- `/150 . . . konzole- `/750 . . . kranske staze






Proračun ugibaProračun ugiba u AB konstrukcijama ne može da se tačnoizvršiGlavni razlozi zbog kojih je nemoguće da se preciznoizračunaju deformacije su:

- karakteristike materijala su (komplikovano) promenljive savremenom (skupljanje i tečenje betona)

- preseci AB konstrukcija su isprskali - geometrijske karakteristikepreseka se menjaju duž ose nosača na komplikovan način

- samim tim, krutost AB nosača ne može da se tačno odredi- krutost oslonaca ne može da se precizno odredi (ne samo u“pešačkom” proračunu)

- tačan intenzitet i trajanje opterećenja ne može da se tačnoodredi






Proračun ugiba

Određivanje deformacija (ugiba) vrši se primenom Principavirtuelnih sila, uz zanemarenje uticaja pomeranja oslonaca:

ξ =

∫s

MM

E Jds =

∫s

1

rm(t)M ds =

∫sKm(t)M ds (16)

gde je:- ξ . . . generalisano pomeranje usled generalisane virtuelnejedinične sile P = 1

- M . . . momenti savijanja usled virtuelne sile P = 1- M . . . momenti savijanja usled merodavnog eksploatacionogopterećenja

- rm(t) . . . radijus krivine usled eksploatacionog opterećenja- Km(t) . . . krivina usled merodavnog eksploatacionogopterećenja






Proračun ugibaKrivina AB nosača se menja sa intenzitetom opterećenja kojedelujeU početnoj fazi nižih naprezanja, kada se AB element nalazi uFazi I, deformacije, odn. krivina u merodavnom preseku nijeizražena i približno se linearno menja sa intenzitetomopterećenjaU Fazi II, kada su preseci sa prslinama, krivina se povećava iznatno više se povećava sa povećanjem opterećenjaSa daljim porastom opterećenja dolazi do formiranja plastičnogzgloba u preseku i krivina se još više povećava (u skladu sakapacitetom rotacije)





Promena krivine AB nosača sa opterećenjem






Proračun ugibaFaza I je elastično stanje u kome još uvek ni u jednom presekugrede nije prekoračena čvrstoća betona na zatezanjeDeformacije mogu da se izračunaju preko linearne vezemomenat - krivina koja važi za homogene materijaleFaza II je stanje u kome je došlo do pojave prslinaOdređivanje zavisnosti momenat - krivina je znatno složenijezbog postojanja diskontinuiteta usled pojave prslina






Proračun ugibaVeć posle pojave prve prsline znatno opada krutost ABelementa, odn. dolazi do naglog porasta krivineKada se završi faza formiranja prslina, dostignuto jestabilizovano stanje prslina, dalji porast deformacija se odvijana račun proširenja već postojećih prslinaFaza III je stanje pred lom nosača i dolazi do naglog porastadeformacija






Proračun ugibaAko je procenat armiranja mali, u čeliku se javljaju prveplastične deformacijeDeformisanje armature omogućava i betonu da uđe u stanjeplastičnosti i da se formira plastični zglobAko je procenat armiranja relativno veliki, u betonu nastajekrti lom pre nego što se formira plastični zglob






Proračun ugibaSrednja krivina AB elementa u vremenu t data je, približno, sa

1

rm(t)= Km(t) =

dθm(t)

dx

Prvi izvod obrtanja po koordinati duž ose štapa je, koristećiBernulijevu hipotezu o ravnim presecima, jednak

dθm(t)

dx=εbm(t)

y=εbm(t) + εam(t)

h(17)

Ovim se dobija veza između krivine i dilatacija poprečnogpreseka





Promena krivine AB nosača sa opterećenjem






Proračun srednje krivineSrednja krivina u vremenu t zavisi od sadejstva okolnogzategnutog betonaSrednja krivina se kreće između dve granične vrednosti:

1 KI(t) . . . krivina u preseku bez prsline2 KII(t) . . . krivina u preseku sa prslinom

Srednja krivina u vremenu t, za AB gredu izloženu čistomsavijanju, može da se prikaže u obliku:

Km(t) = KI(t) M ≤Mr

Km(t) = (1− ζ)KI(t) + ζ KII(t) M > Mr

(18)






Proračun srednje krivine

U izrazu (18) uvedene su oznake, osim KI(t) i KII(t), još i:- Mr . . . momenat savijanja pri nastanku prslina- ζ . . . koeficijent raspodele (kao i u analizi prslina) dat sa

ζ = 1− β1 β2

(Mr

M

)2 ≥ 0.4 za M > Mr

ζ = 0 za M ≤Mr(19)

- β1 . . . koeficijent koji zavisi od vrste čelika:za RA β1 = 0.5, za GA β1 = 1.0

- β2 . . . koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija:za kratkotrajna dejstva β2 = 1.0, za dugotrajna dejstvaβ2 = 0.5





Zavisnost srednje krivine Km i opterećenja (M)






Proračun srednje krivine u vremenu t0Početna srednja krivina Km(t0) u vremenu t = t0 ABelementa izloženog čistom savijanju takođe se nalazi izmeđudve granične vrednosti krivina: za presek bez prsline i za preseksa prslinomZato se srednja krivina u vremenu t = t0 prikazuje analognoizrazu (18):

Km(t0) = KI(t0) M ≤Mr

Km(t0) = (1− ζ)KI(t0) + ζ KII(t0) M > Mr

(20)





Proračun srednje krivine Km(t0) u vremenu t0

Presek bez prslina u Fazi I Presek sa prslinom u Fazi II






Proračun srednje krivine u vremenu t0Krivine za presek bez prslina i za presek sa prslinom, prikazaneu izrazu (20), date su, redom sa

KI(t0) =M

Eb(t0) JIi

KII(t0) =M

Eb(t0) JIIi

(21)

Uvodi se oznaka za krivinu preseka u vremenu t = t0 usledmomenta savijanja M , zasnovanu na momentu inercije brutobetonskog preseka Jb:

Kb =M

Eb(t0) Jb(22)






Proračun srednje krivine u vremenu t0Uvode se oznake za koeficijente za uticaj armature

kIa =JbJIi

kIIa =JbJIIi

(23)

To su odnosi momenta inercije bruto preseka i idealizovanihmomenata inercije za presek bez i sa prslinomSa ovim oznakama i sa (22), krivine preseka za presek bezprslina i sa prslinom (21) mogu da se prikažu kao

KI(t0) = kIaKb KII(t0) = kIIa Kb (24)

Sa ovim, srednja krivina u vremenu t0 data je sa (20), pričemu je koeficijent ζ dat sa (19)






Proračun srednje krivine u vremenu tSrednja krivina u vremenu t određuje se kao zbir početnekrivine i promene krivine usled skupljanja i tečenja betona zanaponska stanja I i II:

KI(t) = KI(t0) + ∆KI(t) KII(t) = KII(t0) + ∆KII(t)

Krivina AB elementa za naponsko stanje Faze I u vremenu tdata je sa:

KI(t) = kIa[1 + kIϕ ϕ(t, t0)

]Kb + kIs

εs(t, t0)

d(25)






Proračun srednje krivine u vremenu tSlično, krivina AB elementa za naponsko stanje Faze II uvremenu t data je sa:

KII(t) = kIIa[1 + kIIϕ ϕ(t, t0)

]Kb + kIIs

εs(t, t0)

d(26)

U izrazima (25) i (26) sa d je označena visina preseka, auvedeni su koeficijenti kIa, k

IIa , k

Iϕ, k

IIϕ , k

Is i kIIs

Preko koeficijenata kIa, kIIa uvodi se uticaj armature i dati su

sa (23)






Proračun srednje krivine u vremenu t

Preko koeficijenata kIϕ, kIIϕ uvodi se uticaj tečenja betona:

kIϕ = 1− n∗

J∗Ii

[Ja +Aa (ya2 − yIi2)(ya2 − y∗Ii2 )

]kIIϕ = 1− n∗

J∗IIi

[Ja +Aa (ya2 − yIIi2 )(ya2 − y∗IIi2 )

] (27)

Preko koeficijenata kIs , kIIs uvodi se uticaj skupljana betona:

kIs =n∗

J∗Ii

Aa d (ya2 − y∗Ii2 )

kIIs =n∗

J∗IIi

Aa d (ya2 − y∗IIi2 )

(28)







U izrazima (27) i (28) uvedene su oznake sa gornjim idneksom(. . .)∗

U takvim oznakama figuriše n∗, što je broj ekvivalencijemodula elastičnosti armature i betona ali u vremenu t, dakleodnos modula elastičnosti armature i efektivnog modulaelastičnosti betona u skladu sa odredbama BAB 87 (odn.AAEM):

n∗ =Ea

Eb,eff=

EaEb0/(1 + χϕ)

= n (1 + χϕ) (29)

jer je n = EaEb0







Konačno, srednja krivina preseka u vremenu t data je sa (18):

Km(t) = KI(t) M ≤Mr

Km(t) = (1− ζ)KI(t) + ζ KII(t) M > Mr

(30)

Sa izračunatom krivinom, ugib u vremenu t određuje se prema(16):

v(t) =

∫sKm(t)M ds (31)

Problem je što je potrebno da se odrede krivine u svimpresecima nosača







Ugib može da se odredi primenom numeričke integracije (zanosač jednostavnije konfiguracije)Raspon se podeli na izvestan broj konačnih delova, uzprethodno određivanje preseka gde je momenat savijanjajednak Mr (nastanak prslina)U svim diskretnim presecima izračunaju se krivine u vremenu ti vrši se numerička integracija integrala (31)Primenom, npr. trapeznog pravila, dobija se

v(t) =∑∆`jk

[Km,j(2M j +Mk) +Km,k(M j + 2Mk)

] ∆`jk6

(32)





Numerička integracija u proračunu ugiba





Sadržaj









Bilinearna metoda za proračun deformacijaBilinearna metoda za proračun deformacija je preporučena odstrane Evropskog komiteta za beton (CEB)Bilinearna metoda se zasniva na pretpostavci o uprošćenombilinearnom dijagramu opterećenje - ugibVrednost ugiba u najvećoj meri zavisi od stanja deformacija uzoni nosača gde virtuelni momenti M i stvarni momentisavijanja M od posmatranog opterećenja dostižu svoje najvećevrednostiTo je kritična zona, a presek u kome je najveći (stvarni)momenat savijanja M = MD označava se kao kritičan presek






Bilinearna metoda za proračun deformacijaBilinearna metoda za proračun deformacija zasniva se napretpostavci da je koeficijent raspodele ζ konstantan dužrasponaU proračunu koeficijenta ζ koristi se momenat pojave prslineza koji se usvaja da je jednak momentu pojave prsline MrD ukritičnom presekuZa momenat savijanja M u određivanju ζ usvaja se da jejednak vrednosti koje je jednaka geometrijskoj sredinimomenata MrD i MD:

M =√MrDMD (33)






Bilinearna metoda za proračun deformacijaSa ovim, naponi u armaturi koji figurišu u izrazu za koeficijentraspodele zeta dati su sa:

σra1 =MrD

z Aa1σIIa1 =

M

zAa1

gde je z krak unutrašnjih sila u kritičnom presekuAko se posmatra nosač napregnut na čisto savijanje, izraz zaodređivanje koeficjenta raspodele ζ dat je sa

ζ = ζb = 1− β1 β2

(MrD

MD

)2

(34)






Bilinearna metoda za proračun deformacija

Ako se u izraz (34) unese relacija (33), dobija se konačan izrazza koeficijent raspodele:

ζb = 1− β1 β2

(MrDMD

)za MD > MrD

ζb = 0 za M ≤Mr

(35)

Kako je, sa učinjenim pretpostavkama, koeficijent raspodele ubilinearnoj metodi konstantna duž raspona ζb = const, uproračunu ugiba ζb može da se izvuče ispred integrala






Bilinearna metoda za proračun deformacijaPrema tome, izraz za ugib prema bilinearnoj metodi ima oblik:

v = (1− ζb)∫sKIM dx+ ζb

∫sKIIM dx (36)

Prvi integral pretstavlja ugib u Fazi I, a drugi integral ugib uFazi II na mestu prslineProračuni krivina KI za homogeni presek i KII za isprskalipresek za proizvoljan trenutak vremena vrši se primenomAAEM metode (na prikazan način)






Bilinearna metoda za proračun deformacija

Ugib (36) može da se prikaže u obliku

v(t) = vI(t) M ≤Mr

v(t) = (1− ζb) vI(t) + ζb vII(t) M > Mr

(37)

Uvode se dodatne pretpostavke da su koeficijenti ka, kϕ i kskonstantni duž raspona






Bilinearna metoda za proračun deformacijaSa ovim pretpostavkama izrazi za ugibe za naponaska stanjaza Fazu I i Fazu II mogu da se prikažu u obliku

vI(t) = kIa [1 + kIϕ ϕ(t, t0)]

∫sKbM dx

+ kIsεs(t, t0)

d

∫sM dx

vII(t) = kIIa [1 + kIIϕ ϕ(t, t0)]

∫sKbM dx

+ kIIsεs(t, t0)

d

∫sM dx

(38)






Bilinearna metoda za proračun deformacijaUvode se oznake ∫

sKbM dx = vb∫

sM dx = δs

`2

8

gde je- vb . . . početni ugib neisprskalog elementa konstantne krutostiEb(t0) Jb

- δs . . . koeficijent koji zavisi od statičkog sistema nosača






Bilinearna metoda za proračun deformacijaSa ovim oznakama izrazi za ugibe za naponaska stanja zaFazu I i Fazu II mogu da se prikažu u konačnom obliku

vI(t) = kIa [1 + kIϕ ϕ(t, t0)] vb + kIs δs`2

8dεs(t, t0)

vII(t) = kIIa [1 + kIIϕ ϕ(t, t0)] vb + kIIs δs`2

8dεs(t, t0)

(39)

Linearizacija koja je usvojena u bilinearnoj metodi omogućavada se izrade odgovarajući dijagrami sa korekcionimkoeficijentima koji uzimaju u obzir uticaje armature, prslina,tečenja i skupljanja betona






Bilinearna metoda za proračun deformacijaProračun ugiba vrši se na način koji je uobičajen za elastičneugibe greda od homogenog materijalaPosle toga, se uticaji koji su karakteristični za AB grede(armatura, prsline, skupljanje i tečenje) uzimaju u obzirprimenom korekcionih koeficijenataKorekcioni koeficijenti se određuju pomoću odgovarajućihdijagrama (dati su u Priručniku CEB-a)





Sadržaj









Metoda Bransona za proračun deformacijaMetoda Bransona je približna emoirijska metoda dobijena naosnovu brojnih eksperimenataKoristi se posebno u USA, ali i u drugim zemljama, jer je(relativno) jednostavna i daje zadovoljavajuće rezultateUgibi sa računaju na uobičajen način kao za elastične grede odhomogenog materijala, ali se pri tome koristi efektivnimomenat inercije JefOvaj postupak unet je u američke propise za betonskekonstrukcije ACI 318-14






Metoda Bransona za proračun deformacijaEfektivni momenat inercije Jef je definisan u obliku

Jef =

(Mr

M

)3

Jb +

[1−

(Mr

M

)3]JIIi (40)

Uvedene su sledeće oznake u (40):- Jb . . . momenat inercije betonskog poprečnog preseka- JII

i . . . momenat inercije idealizovanog poprečnog preseka uFazi II

- Mr . . . momenat pojave prsline, određen kao Mr ≈ fbzsWb1

- M . . . momenat savijanja od opterećenja za koje se vršiproračun ugiba





Efektivni momenat inercije usled prslina






Metoda Bransona za proračun deformacija

Upotrebom izraza (40) dovoljno dobro se aproksimira stvarnoponašanje AB elemenata sa prslinama opterećenim nasavijenje, u domenu eksploatacionog opterećenjaZa momente savijanja M > Mr vrednost efektivnog momentainercije kreće se između dve granične vrednosti Jb i JIIiŠto je veći odnos M/Mr, vrednost Jef teži ka JIIi , odn. udeozategnute zone betona između prslina na veličinu Jef postajesve manji, čime se znatno manjuje i krutost grede





Odnos M −K kod grednih nosača






Metoda Bransona za proračun deformacija

Primenjujući izraz (40) za određivanje efektivnog momentainercije grednog nosača, ugibu vremenu t = t0 izračunava seprema relaciji

- za uticaje stalnog opterećenja g:

vg = kMg `

2

Eb Jef(41)

- za uticaje stalnog i korisnog opterećenja g + p:

vg+p = kMg+p `

2

Eb Jef(42)

gde je k koeficijent koji zavisi od statičkog sistema (npr., zaprostu gredu je k = 5/48)






Metoda Bransona za proračun deformacijaPovećanje ugiba usled vremenskih deformacija betona, zastalno opterećenje, određuje se preko izraza:

∆vg(t) = αϕvg(t0) (43)

gde je ϕ koeficijent tečenja, dok je α koeficijent kojim seuzima u obzir činjenica da prisustvo pritisnute armaturesmanjuje deo ugiba koji nastaje kao posledica vremenskihdeformacija betona:

α = 2− 1.2Aa2

Aa1≥ 0.8






Metoda Bransona za proračun deformacijaDa bi se smanjili ugibi usled tečenja, treba da se povećakoličina pritisnute armatureUgib u proizvoljnom trenutku vremena t, usled stalnog ipovremenog opterećenja, dobija se kao zbir početnog ugiba odukupnog opterećenja g + p i priraštaj u vremenu t od stalnogopterećenja:

v(t) = vg+p(t0) + ∆vg(t) (44)

Treba da se istakne da superpozicija ugiba od dva različitaopterećenja važi samo za stanje bez prslina






Metoda Bransona za proračun deformacijaKada se javljaju prsline, što je redovno slučaj u ABkonstrukcijama pri delovanju maksimalnog eksploatacionogopterećenja, postoji izrazita nelinearnost funkcije opterećenje -deformacije, pa direktna superpozicije nije moguća:

vg+p 6= vg + vp

Ugib u trenutku t, na delu elementa koji je isprskao, nelinearnaje funkcija M , odn. opterećenja, tako da ne važi superpozicija





Superpozicija uticaja kod isprskalih AB elemenata

Kod isprskalih AB elemenata veza opterećenja i ugiba je nelinearna,tako da ne važi princip superpozicije






Početno nadvišenje dela konstrukcijeJedna od mera za smanjenje ugiba usled stalnog opterećenja jeda se delovi konstrukcije izvode sa početnim nadvišenjemTo znači da se skela (i oplata) dela konstrukcije izvedu tako dapostoji početno nadvišenje (ugib na gore)Skela se uklanja posle očvršćavanja betona i posle apliciranjadodatnog stalnog i korisnog opterećenja može da se postigneda konačni ugibi budu minimalni (ili nula)




Presek pod uticajem čistog savijanjaPresek pod uticajem složenog savijanjaNaponi u “T” preseku

Sadržaj








Granična stanja napona

Određivanje napona u preseku sa prslinomPosmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vladačisto savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenjaPoznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka:dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitetmaterijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju samo momenatsavijanjaNepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku





Određivanje napona u preseku

Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem čistogsavijanja: naponi i dilatacije






Određivanje napona u preseku sa prslinomUsvajaju se sledeće pretpostavke:

1 važi Bernulijeva hipoteza ravnih preseka - raspordela dilatacijapo visini preseka je linearna

2 kompletnu silu zatezanja prihvata samo armatura - na deluispod neutralne linije naponi u betonu jednaki su nuli (σb ≡ 0)

3 veza napon - dilatacija za oba materijala (beton i čelik) data jeHukovim zakonom:

σb = Eb εb

σa = Ea εa = nEb εa n =Ea

Eb

Odavde sledi da je i raspodela napona po visini preseka linearna






Određivanje napona u preseku sa prslinomNa osnovu usvojenih pretpostavki i definisanja odgovarajućihrelacija između nepoznatih, broj nepoznatih veličina može dase svede na dveZa nepoznate veličine se biraju koeficijent položaja neutralnelinije s i napon u betonu σb (u najudaljenijem pritisnutomvlaknu)Broj uslova ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila jetakođe dva:

∑N = 0, kao i

∑Ma = 0






Određivanje napona u preseku sa prslinomUslovi ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila su:∑

N = 0 : Db +Da − Za = N = 0∑Ma = 0 : Db × (h− x

3) +Da × (h− a2) = Ma = M

(45)

Položaj neutralne linije i dilatacije u zategnutoj i pritisnutojarmaturi mogu da se izraze preko dilatacije u betonu







Koeficijent položaja neutralne ose s definisan je sa s = x/h imože da se prikaže preko dilatacija:

s =x

h=

εbεb + εa1

(46)

Iz relacije (46) dobija se dilatacija u zategnutoj armaturi

εa1 =1− ss

εb (47)






Određivanje napona u preseku sa prslinomIz sličnosti trouglova raspodele dilatacija dobija se dilatacija upritisnutoj armaturi

εa2 =x− a2

xεb =

s− α2

sεb (48)

gde je α2 koeficijent položaja pritisnute armature

α2 =a2

h






Određivanje napona u preseku sa prslinomUnutrašnja sila u betonu može da se prikaže kao

Db = σb × b×x

2(49)

Sile u pritisnutoj i zategnutoj armaturi date su u obliku:

Da = σa2 ×Aa2 = Ea εa2 × µ2 b h

= nEb ×s− α2

sεb × µ2 b h

Za = σa1 ×Aa1 = Ea εa1 × µ1 b h

= nEb ×1− ss

εb × µ1 b h

(50)






Određivanje napona u preseku sa prslinomIzrazi za sile Db, Da i Za unose se u uslov ravnoteže normalnihsila (45)/1, pa se dobija

s

2+ nµ2 ×

s− α2

s− nµ1 ×

1− ss

=N

bhEb εb= 0

Sređivanjem se dobija kvadratna jednačina po koeficijentupoložaja neutralne ose s:

s2 + 2n (µ1 + µ2) s− 2n (µ1 + µ2 + α2) = 0 (51)






Određivanje napona u preseku sa prslinomU prikazanim izrazima, kao što je poznato, n je brojekvivalencije, t.j. odnos modula elastičnosti čelika i betona:n = Ea/Eb

Položaj neutralne ose s određuje se iz uslova ravnoteženormalnih silaIz dobijeog izraza za koeficijent s (51) vidi se da položajneutralne ose ne zavisi od intenziteta spoljašnjeg opterećenja,već samo od količine i rasporeda armature u presekuPovećanjem spoljašnjih uticaja povećavaju se naponi u betonuiarmaturi, ali položaj neutralne ose ostaje isti






Određivanje napona u preseku sa prslinomNapon u betonu σb određuje se iz uslova ravnoteže momenataUnošenjem izraza za unutrašnje sile u uslov ravnotežemomenata (45)/2 dobija se:

σb bx

2(h− x

3) + nσb

x− a2

xµ2 b h (h− a2) = Ma = M

Deljenjem izraza sa b h2 dobija se

σbs

2(1− s

3) + nσb

s− α2

sµ2 (1− α2) =

M

bh2(52)







Najzad, rešavanjem jednačine (52) po σb dobija se konačanizraz za napon u betonu σb:

σb =M

bh2· ss2

2 (1− s3) + nµ2 (s− α2) (1− α2)

(53)

Izraz (53) se češće piše u obliku koji važi za poprečni presekproizvoljnog oblika, sa jednom ravni simetrije, koja se poklapasa ravni savijanja i koji je izložen proizvoljnom savijanju(čistom ili složenom):

σb =Ma

b h2· s

JIIb + nµ2 (s− α2) (1− α2)(54)







Iz izraza (54) dobija se dilatacija u betonu εb:

εb =σbEb

(55)

U izrazu (54) uvedena je oznaka za integralnu funkciju JIIbkoja je zavisna od oblika pritisnute zone betonskog presekaZa pravougaoni presek integralna funkcija JIIb zavisi samo odpoložaja neutralne ose:

JIIb =s2

2(1− s

3) = JIb ζb (56)







U izrazu (56) uvedene su oznake- JIb . . . integralna funkcija zavisna od oblika preseka,pomnožena sa bh σb pretstavlja statički momenat površinepritisnuteog dela preseka u odnosu na težište idealizovanogpreseka (pretstavlja neutralnu liniju)

- JIIb/s . . . integralna funkcija zavisna od oblika preseka,pomnožena sa bh2 σb pretstavlja statički momenat sile pritiskau betonu u odnosu na težište zategnute armature

- ζb . . . krak unutrašnjih sila

ζb =JIIbJIb≈ 0.90






Određivanje napona u preseku sa prslinomNajzad, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi dobijaju seprema izrazima

σa1 = nσb ·1− ss

σa2 = nσb ·s− α2

s

(57)

Dilatacije u armaturi date su, posle izračunatih napona, sa

εa1 =σa1

Ea

εa2 =σa2

Ea

(58)





Sadržaj









Određivanje napona u preseku sa prslinomPosmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vladasloženo savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenjaPoznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka:dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitetmaterijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenatsavijanja i normalna sila pritiskaNepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku





Određivanje napona u preseku

Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem složenogsavijanja: naponi i dilatacije






Određivanje napona u preseku sa prslinomSve pretpostavke, kao i postupak proračuna isti su kao što jeprikazano za slučaj čistog savijanjaIz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se kubna jednačina zakeoficijent s:

s3 + 3(ea1

h− 1)s2 + 6n

(ea1

hµ1 +

ea2

hµ2

)s

− 6n(ea1

hµ1 +

ea2

hµ2 α2

)= 0

(59)







U jednačini (59) uvedene su oznake za ekscentricitet normalnesile N u odnosu na zategnutu i pritisnutu armaturu (videtiprikazanu sliku):

ea1 = e+ ya1 =M

N+d

2− a1

ea2 = e− ya2 =M

N− d

2+ a2

(60)

Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem kubnejednačine, napon u betonu se izračunava iz izraza (54)Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi seodređuju iz relacija (57)





Sadržaj









Određivanje napona u preseku sa prslinomPosmatra se presek oblika “T” AB elementa u kome vlada čistoili složeno savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenjaPoznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka:dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitetmaterijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenatsavijanja i normalna sila pritiskaNepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u presekuPretpostavlja se da je neutralna osa unutar rebra x > dp







Uz uobičajne oznake za gredu T preseka (B je aktivna širinaploče, dp je debljina ploče, b je širina rebra, d je ukupna visinagrede), uvode se i oznake:

µ1 =Aa1

bhµ2 =

Aa2

bhα2 =

a2

h

δ =dph

n =EaEb

(61)






Određivanje napona u preseku sa prslinomMože da se pokaže da u integralne funkicje za gredu T presekadate sa

JIb =B

b

s2

2−(B

b− 1

)(s− δ)2

2

JIIb =B

b

s2

2(1− s

3)−

(B

b− 1

)(s− δ)2

2

(1− s+ 2δ

3

)(62)






Određivanje napona u preseku sa prslinomPoložaj neutralne linije s određuje se iz uslova ravnoteženormalnih silaZa slučaj čistog savijanja dobija se jednačina

−n(µ1 + µ2) s− JIb + n(µ1 + µ2 α2) = 0 (63)

Za slučaj složenog savijanja dobija se jednačina

− n(ea1

hµ1 +

ea2

hµ2

)s+ JIIb −

ea1

hJIb

+ n(ea1

hµ1 +

ea2

hµ2 α2

) (64)







Prvo se odrede integralne funkcije za T presek (62), kao ikoeficijenti (61)Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem jednačina(63) ili (64), napon u betonu se izračunava iz izraza (54)Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi seodređuju iz relacija (57)Ukoliko se neutralna osa nalazi u ploči x < dp, proračun se(ponovo) sprovodi za pravougaoni presek širine B, pri čemu sukoeficijenti armiranja µ1 i µ2 određeni u odnosu na B


Documents

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije, …Graničnastanjaprslina Graničnastanjadeformacija Određivanjenaponaupresekusaprslinom BETONSKEKONSTRUKCIJE1 Osnovneakademskestudije,Vsemestar