BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije ...Graničnastanjaupotrebljivosti Algebarskevezenapon-deformacijazabeton BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Granična stanja upotrebljivostiAlgebarske veze napon - deformacija za beton

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke nauke,GRAÐEVINARSTVO

Državni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1


Sadržaj

1 Granična stanja upotrebljivostiOpšte napomeneVremenske deformacije betonaKoeficijent tečenja i funkcija tečenja betona

2 Algebarske veze napon - deformacija za betonMetoda efektivnog modula - EM MetodaMetoda srednjeg napona - MS MetodaMetoda korigovanog efektivnog modula - AAEM MetodaAlgebarska veza napon - deformacija prema BAB 87



Opšte napomeneVremenske deformacije betonaKoeficijent tečenja i funkcija tečenja betona

Sadržaj






Proračun AB konstrukcija

Teorija graničnih stanjaGranično stanje nosivosti konstrukcije ili elementa konstrukcijepodrazumeva takvo stanje pri kome konstukcija (ili element)gubi sposobnost daljeg prenošenja spoljašnjeg opterećenjaTo je stanje pri kome delovanjem opterećenja nastaje lomkonstrukcije ili lom nekog dela (elementa) konstrukcijeOpterećenje koje je dovelo konstrukciju u takvo stanje se zovegranično opterećenje





Teorija graničnih stanjaBeton je visko-elasto-plastičan materijal i njegovo ponašanjemora da se realnije prikaže (u odnosu na idealno elastičnoponašanje u analizi prema dopuštenim naponima)Proračunom prema graničnim stanjima se uzima u obzir iviskozno i plastično ponašanje betona (a ne samo elastično)Time se bolje analiziraju i vremenske deformacije betona,pojava i karakteristike prslinaRealnije se procenjuje sigurnost preseka i konstrukcije u celini





Teorija graničnih stanjaProračunom AB konstrukcija prema Teoriji graničnih stanja sedokazuju sigurnost, potrebna trajnost i zahtevanafunkcionalnost konstrukcijaTime bi trebalo da se, kao rezultat, dobijaju pouzdanekonstrukcijeTeorija graničnih stanja se zasniva na prihvatljivoj verovatnoćida konstrukcija neće da bude nepodobna za primenu u svomveku eksploatacije





Teorija graničnih stanja

Granično stanje preseka (ili konstrukcije) podrazumeva onostanje pri kom presek (ili konstrukcija):

- gubi sposobnost da se odupre spoljašnjim uticajima,- ili dobija nedopušteno velike deformacije,- ili lokalna oštećenja

Time konstrukcija prestaje da ispunjava postavljene kriterijumeu pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnostiKonstrukcija (ili element) se smatra nepodobnom zapredviđenu upotrebu ako je prekoračeno barem jedno odgraničnih stanja





Teorija graničnih stanjaGranična stanja se dele u dve osnovne grupe

1 Granična stanja nosivosti - analiza pojave loma2 Granična stanja upotrebljivosti - analiza eksploatacije

- Granična stanja deformacija (ugiba)- Granična stanja prslina

U granična stanja upotrebljivosti mogu da spadaju i- Granična stanja vibracija- Granična stanja napona





Teorija graničnih stanjaProračunom prema graničnim stanjima nosivosti utvrđuje sepotreban koeficijent sigurnosti u odnosu na lomPri tome ponašanje preseka i konstrukcije u stanjueksploatacije ostaje nepoznatoZato se vrši i proračun prema graničnim stanjimaupotrebljivosti (ugibi i prsline)





Teorija graničnih stanjaU inženjerskoj praksi obično se detaljno sračuna jedno graničnostanje za koje se smatra da je merodavnoZatim se, za tako dimenzionisan presek dokazuje da je i drugogranično stanje zadovoljenoNajčešće su merodavna granična stanja nosivosti (loma), pa sepresek (i konstrukcija) prema tome dimenzioniše, a zatim sedokazuje da granična stanja upotrebljivosti nisu prekoračena





Teorija graničnih stanjaGranično stanje nosivosti je, u stvari, stanje granične ravnotežekoje može da bude dostignuto za

- gubitak ravnoteže konstrukcije (ili njenog dela) posmatranekao kruto telo

- prelazak konstrukcije u mehanizam (iscrpljivanjem nosivosti iformiranjem plastičnih zglobova u najopterećenijim presecima,sa preraspodelom uticaja, do formiranja nestabilnog sistema)

- lom kritičnih preseka konstrukcije ili dostizanje izraženihdeformacija

- zamor materijala, u slučaju cikličnih opterećenja, čime sesmanjuju mehaničke čvrstoće materijala (BAB 87 ne posmatraovakvo granično stanje)




Granična stanja upotrebljivosti

Opšte napomene

Konstrukcija se (po pravilu) dimenzioniše prema graničnimstanjima nosivosti (kao merodavnim graničnim stanjima)Posle toga se proveravaju granična stanja upotrebljivostiU slučaju prekoračenja nekog kriterijuma (ili zahteva)graničnog stanja upotrebljivosti vrši se odgovarajuća korekcijaKompletno dimenzionisanje konstrukcije podrazumeva da buduzadovoljeni svi kriterijumi graničnih stanja (i nosivosti iupotrebljivosti)





Osnovni aspekti graničnih stanja upotrebljivosti1 Granično stanje prslina podrazumeva određivanje

rastojanja između prslinaširine prslina

2 Granično stanje deformacija podrazumeva određivanjereoloških svojstava betonaugiba merodavnih elemenata

3 Granično stanje napona podrazumeva određivanjenapona i dilatacija u presecima bez prslina (za t = 0 i zat→∞)napona i dilatacija u presecima sa prslinama (za t = 0 i zat→∞)





Osnovni aspekti graničnih stanja upotrebljivostiProračuni prema graničnim stanjima upotrebljivosti vrši se zaeksploataciona opterećenja (γui = 1)U analizi graničnih stanja upotrebljivosti dokazuje se da suveličine napona, ugiba, prslina, . . . u propisanim granicama,odn. su dobijene najveće vrednosti manje ili jednake graničnimvrednostimaPravilnik BAB 87 ne zahteva ograničenje napona ueksploataciji!Za nivo napona u eksploataciji (oko 0.40 fbk) beton se ponašapribližno linearno





Osnovne pretpostavke

Važi Bernulijeva pretpostavka ravnih preseka (raspodeladilatacija po visini preseka je linearna)Za kratkotrajna opterećenja važi Hukov zakon i za beton i začelikZanemaruje se nosivost betona na zatezanje u preseku saprslinomNa kontaktu betona i armature dilatacije su međusobno isteεb = εa




Sadržaj






Deformacije betona zavisne od vremena

Osnovne karakteristike betonaPri naprezanjima do σc ≤ 0.4 fck beton se ponaša kao linearnoelastičan materijalSa porastom nivoa opterećenja beton ima sve više nelinearnuvezu napon - dilatacija i pojavu elasto - plastičnog ponašanjaPri tome se osobine betona menjaju sa vremenomBeton se ponaša kao viskozan elasto-plastičan materijal





Deformacije betona zavisne od vremena: skupljanje i tečenjeDeformacije betona zavisne od vremena su skupljanje i tečenjeSkupljanje betona je pojava postepenog smanjenja zapreminebetona tokom očvršćavanja (a donekle i kasnije)Skupljanje betona se odvija nezavisno od spoljašnjegopterećenja





Deformacije betona zavisne od vremena: skupljanje i tečenjeTečenje betona je pojava postepenog rasta deformacija tokomvremena pod delovanjem dugotrajnog opterećenjaVremenske deformacije betona (skupljanje i tečenje) imajusličan karakter i zavise od (skoro) istih parametara, ali sumeđusobo nezavisni procesiRezultat su termo-higrometrijskih promena i produžavanjahidratacionih procesa u neopterećenom ili opterećenom betonu





Skupljanje betonaProces skupljanja nije potpuno razjašnjen, ali se smatra danajveći uticaj na skupljanje betona imaju

- hidratacija cementa- gubitak vode u cementnom telu

Skupljanje betona se odvija tokom vremena i počinje već utoku spravljanja betona





Skupljanje betonaPosebno je intenzivno skupljanje tokom vezivanja iočvršćavanja betona (dok je beton mlad)Proces skupljanja je dugotrajan i u smanjenom obimu trajeviše godinaKonačna vrednost skupljanja εs∞ može da bude i do 0.6‰





Faktori koji utiču na skupljanje betonaVrsta cementa - veća skupljanja su registrovana kod betona savisokovrednim cementnomKoličina cementa - veća količina cementa povećava skupljanjebetonaVodocementni faktor (W/C) - skupljanja su veća za betonespravljene sa većim W/C faktorom





Faktori koji utiču na skupljanje betonaGranulometrijski sastav agregata - sitnije frakcije kojezahtevaju više cementa treba manje da se koristeVlažnost sredine - skupljanje je intenzivnije u sredinama samanjom relativnom vlažnošću(vlažnost sredine je značajan faktor za veličinu skupljanja)Temperatura sredine - skupljanje betona je znatno veće privišim temperaturama




Vremenski tok skupljanja betona




Deformacije betona pri dugotrajnom opterećenju

Dugotrajno opterećenje betona pri σ = const - tečenjeTečenje očvrslog betona je pojava postepenog porastadeformacija pod delovanjem dugotrajnog opterećenjaVremenske deformacije se u početku brzo razvijajuVremenom se brzina prirasta deformacija smanjujePosle dovoljno dugog vremena vremenske deformacije težekonačnim vrednostimaSkupljanje počinje od spravljanja betona, a posebno posleprestanka negovanja betona, dok tečenje počinje od trenutkananošenja opterećenja




Dugotrajno opterećenje betona pri σ = const

Vremenske deformacije: opterećenje i rasterećenje





Dugotrajno opterećenje betona pri σb = const

Posle određenog vremena uzorak se rasterećuje sa brzinom ≈istom kao i pri opterećenjuDeformacije pri rasterećenju se smanjujuU fazi opterećenja razlikujemo:

- deformacije usled trenutnog opterećenja:elastične deformacije εe

- deformacije tokom vremena pri σb = const:deformacije tečenja εϕukupna dilatacija je jednaka zbiru trenutne i tečenja:εu = εe + εϕ





Dugotrajno opterećenje betona pri σb = const

U fazi rasterećenja razlikujemo:- deformacije usled trenutnog rasterećenja: trenutne povratnedeformacije ε′e

- deformacije tokom vremena pri σb = 0: povratne viskoelastičnedeformacije ε′′e

- nepovratne (plastične) deformacije εp pri rasterećenom uzorku




Vremenski tok dilatacija pritisnutog betona

Kvalitativan prikaz dilatacija betonskog elementa pod konstantnimnaponom pritiska, uz kasnije rasterećenjeStanko Brčić Betonske konstrukcije 1



Sadržaj







Dugotrajno opterećenje betonaPosle prestanka nege betona, od t◦,s, počinje intenzivnijeskupljanje betona (bez opterećenja) i u trenutku t◦ se realizujedilatacija skupljana εs(t◦)U trenutku t◦ je aplicirano opterećenje i dolazi do skokadilatacija

εel = ε◦ =σb

Eb(t◦)

gde je Eb(t◦) tangentni modul elastičnosti betona u trenutkut◦

Dilatacija εel je trenutna elastična dilatacija





Dugotrajno opterećenje betonaZatim dilatacije rastu tokom vremena pod dejstvomkonstantnog opterećenja σb = const

To su viskozne dilatacije - tečenje betona εv = εϕ, sve dotrenutka t1, kada se ukloni opterećenjeU proizvoljnom trenutku vremena t ∈ [t◦, t1] tokom delovanjaopterećenja σb = const, dilatacija je

εb(t) = εel(t◦) + εϕ(t) + εs(t) = εel(t◦) + ∆ε(t) + εs(t)





Dugotrajno opterećenje betonaU trenutku prestanka opterećenja t = t1 ukupna dilatacija je

εb(t1) = εel(t◦) + εϕ(t1) + εs(t1) = ε◦(t◦)

(1 +

∆ε

ε◦

)+ εs(t1)

što može da se napiše u obliku

εb(t1) =σb

Eb(t◦)(1 + ϕ) + εs(t1) = σb Φ + εs(t1)

gde su- ϕ . . . koeficijent tečenja- Φ . . . funkcija tečenja





Dugotrajno opterećenje betonaKoeficijent tečenja ϕ je odnos između viskozne i trenutneelastične dilatacije

ϕ =∆ε

ε◦=εϕε◦

(1)

Funkcija tečenja Φ je data sa

Φ =1

Eb(t◦)(1 + ϕ) (2)

i pretstavlja razvoj (tok) dilatacija pod dejstvom jediničnognapona pritiska





Dugotrajno opterećenje betonaKada se betonski uzorak rastereti u trenutku t1, deo ostvarenedilatacije se trenutno vraćaTo je povratna (reverzibilna) elastična dilatacijaPovratna elastična dilatacija je manja od početne trenutnedilatacije εel(t◦) u trenutku t◦, jer je u trenutku rasterećenja t1beton “ostario” u odnosu na trenutak t◦, pa je došlo dopovećanja modula elastičnosti betona





Dugotrajno opterećenje betona

U vremenu t > t1, posle rasterećenja i trenutnih (elastičnih)povratnih dilatacija, u vremenu t→∞, dolazi do daljegsmanjenja dilatacija tokom vremenaTo su povratne viskoelastične dilatacijeMeđutim, jedan deo viskoznih dilatacija ostaje kao nepovratna(ireverzibilna) viskoplastična dilatacijaTakođe, osim te nepovratne viskoplastične dilatacije, ostaje,kao nepovratna (trajna) dilatacija još i konačna dilatacijaskupljanja εs∞





Dugotrajno opterećenje betonaRazvoj viskoznih dilatacija zavisi od više faktora, slično kao idilatacija usled skupljanja:

- starosti betona u trenutku nanošenja opterećenja - što je betonmlađi, biće veće deformacije tečenja

- trajanja opterećenja (što duže traje, veće su deformacijetečenja)

- konzistencije betona - betoni sa većim W/C faktorom više teku- atmosferske sredine - pri većim temperaturama i pri manjimrelativnim vlažnostima sredine brže i više se odvija tečenjebetona

- veličine nanetog opterećenja - za napone σb < 0.4fpr dilatacijetečenja su proporcionalne sa naponima, a za veće naponenastaje nelinearno tečenje betona, sa bržim porastom viskoznihdilatacija





Dugotrajno opterećenje betona

Dakle, na vremenske deformacije betona (skupljanje i tečenje)utiču slični faktori: filtracija vode u betonu, hidratacijacementa i odgovarajuće termodinamičke pojave, zatimrelativna vlažnost i temperatura, oblik i dimenzije betonskogelementa, sastav i sadržaj cementa i agregata, W/C faktor i dr.Na tečenje još utiče i starost betona u vremenu prvog izlaganjadejstvu opterećenja, trajanje i intenzitet opterećenjaAko je beton veće starosti u trenutku izlaganja dejstvuopterećenja, dilatacije tečenja će da budu manje (nego što bibile za mlađi beton i isto opterećenje)Iako zavise od niza istih parametara, skupljanje i tečenjebetona su međusobno nezavisni





Tečenje betonaU proračunu graničnih stanja upotrebljivosti uticaji tečenja iskupljanja uzimaju se u obzirU proračunu graničnih stanja nosivosti uticaji vremenskihdeformacija betona obično se ne uzimaju u obzir, osim kadamogu da budu od značaja (npr. u proračunu stabilnosti)Ako je betonski element izložen konstantnom naponu pritiskaσ0 = const, koji je apliciran u trenutku t0, onda se javljatrenutna elastična dilatacija εcel:

εcel(t0) = ε0 =σ0

Ec(t0)

gde je Ec(t0) tangentni modul elastičnosti betona u trenutkuopterećivanja t0





Tečenje betonaPod dejstvom konstantnog napona pritiska σ0 = const javljase deformacija tečenja εcc(t, t0), koja tokom vremenamonotono raste i posle 3-5 godina simptotski dostiže nekukonačnu vrednost εcc(∞, t0)Konačna vrednost dilatacije tečenja može da bude nekolikoputa (2-4) veća od trenutne elastične dilatacije ε0Usled stalnog opterećenja σ0 = const u toku prve 2 godineostvari se oko 90% konačne dilatacije tečenjaU trenutku vremena t ukupna dilatacija pritisnutog betonskogelementa jednaka je zbiru trenutne dilatacije i dilatacijetečenja:

εc(t, t0) = εcel(t0) + εcc(t, t0)





Tečenje betonaEksperimentima je utvrđeno da su u oblasti eksploatacionihnapona deformacije tečenja betona proporcionalne sanaponimaLinearna teorija tečenja betona je teorija u kojoj sepretpostavlja linearna veza napona i deformacije tečenjaPrema Evrokodu EC 2 deformacija tečenja se izražava nasledeći način

εcc(t, t0) = σc0ϕ(t, t0)

Ec28(3)

Veličina ϕ(t,t0)Ec28

pretstavlja deformaciju tečenja betona uproizvoljnom trenutku t usled delovanja jediničnog napona odtrenutka t0





Tečenje betona

Veličina ϕ(t, t0) je koeficijent tečenja i pretstavlja odnosdeformacije tečenja u trenutku vremena t i trenutne elastičnedeformacije betona starosti 28 dana

ϕ(t, t0) =εcc(t, t0)

εcel(28)=εcc(t, t0)

σc0Ec28

(4)

gde je Ec28 = Ec tangentni modul elastičnosti betonaPrema EC 2, može da se usvoji da je Ec28 = 1.05Ecm(Ecm je sekantni modul elastičnosti)Koeficijent tečenja ϕ(t, t0) je u suštini koeficijentproporcionalnosti deformacije tečenja i trenutne elastičnedeformacije, pa je, prema tome, funkcija vremena i starostibetona Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1




Tečenje betonaPrema Propisima BAB 87 deformacija tečenja se izražava nasledeći način

εcc(t, t0) = σc0ϕ(t, t0)

Ec(t0)

Veličina ϕ(t, t0), prema BAB 87, je koeficijent tečenja ipretstavlja odnos deformacije tečenja u trenutku vremena t itrenutne elastične deformacije betona starosti t0:

ϕ(t, t0) =εcc(t, t0)

εcel(t0)=εcc(t, t0)

σc0Ec(t0)

(5)

Razlika u definiciji ϕ(t, t0) između EC 2 i BAB 87 je u tomešto se u EC 2 koeficijent tečenja definiše za starost od 28dana, dok je u BAB 87 u pitanju proizvoljna starost t0





Tečenje betonaUkupna dilatacija u trenutku t data je kao zbir trenutneelastične i dilatacije tečenja:

εc(t, t0) =σc0

Ec(t0)+ σc0 ·

ϕ(t, t0)

Ec28= σc0 J(t, t0)

gde je J(t, t0) funkcija tečenja:

J(t, t0) =1

Ec(t0)+ϕ(t, t0)

Ec28(6)

Funkcija tečenja (6) prema EC 2 se razlikuje od funkcijetečenja (2) u modulima elastičnosti





Tečenje betona

Funkcija tečenja J(t, t0) prema EC 2 data je sa (6), pri čemu je

J(t, t0) = 0 za t < t0

J(t, t0) =1

Ec(t0)za t = t0

J(t, t0) =1

Ec(t0)+

ϕ(t, t0)

Ec28za t > t0

Funkcija tečenja pretstavlja veličinu ukupne deformacije(elastične dilatacije i dilatacije tečenja) u proizvoljnomtrenutku vremena t usled jediničnog napona pritiskaapliciranog u trenutku t0





Tečenje betona

Funkcija tečenja J(t, t0) prema BAB 87 data je sa (2):

J(t, t0) = 0 za t < t0

J(t, t0) =1

Ec(t0)za t = t0

J(t, t0) =1

Ec(t0)+

ϕ(t, t0)

Ec(t0)za t > t0

U daljem se koristi funkcija tečenja prema Evrokodu EC 2




Funkcija tečenja betona J(t, t0)





Linearna teorija tečenja betonaLnearnoj teoriji tečenja betona, u oblasti eksploatacionihnapona, do nivoa od oko 0.40 fck, važi princip superpozicije zadeformacije tečenja koje su nastale od priraštaja napona tokomvremenaPosmatra se slučaj kada je napon diskontinualno promenljivtokom vremena:

σc(t, t0) = σc0 +n∑j=1

∆σ(tj) t > tn (7)

Na sledećoj slici je dat prikaz promene napona i odgovarajućihfunkcija tečenja




Diskontinualna promena napona i funkcije tečenja

Diskontinualna promena napona i odgovarajuće krive funkcijetečenja





Linearna teorija tečenja betonaPrimenom principa superpozicije, ukupna deformacija usledpočetnog napona i usled diskontinualno promenljivog naponatokom vremena, data je sa:

εc(t, t0) = σc J(t, t0) +

n∑j=1

J(t, tj) ∆σ(tj) t > tn (8)

Kada se napon kontinualno menja, tada se umesto relacije (8)uvodi funkcija promene napona:

σc = σc(τ, t0) t0 ≤ τ ≤ t





Linearna teorija tečenja betonaUkupna deformacija usled početnog napona i usledkontinualno promenljivog napona tokom vremena, umesto sa(8), data je sa:

εc(t, t0) = σc J(t, t0) +

∫ t

t0

J(t, τ)∂σc(t, τ)

∂τdτ (9)

Relacija (9) pretstavlja integralnu vezu napona i deformacije zabeton u okviru Linearne teorije tečenja betonaU Linearnoj teoriji tečenja usvojena je pretpostavka da principsuperpozicije važi ne samo u oblasti pritiska, već i zatezanja,tako da se primenjuje i u oblasti rasterećenja prethodnodugotrajno opterećenog betona





Linearna teorija tečenja betonaKao što je poznato, posle rasterećenja nastaje trenutnapovratna elastična dilatacija, a zatim se jedan deo ostvarenedilatacije tokom vremena vrati (reverzibilni deo deformacijetečenja), a deo deformacije ostaje kao ireverzibilni deodeformacije tečenja





Linearna teorija tečenja betonaZavisno od matematičke formulacije funkcije tečenja, mogu dase predvide postojanje i povratne i nepovratne deformacijetečenja posle rasterećenjaMeđutim, fenomen tečenja na složen način zavisi od brojnihfaktora i ne mogu da se svi obuhvata, a da pri tomematematička formulacija bude dovoljno tačna i dovoljnojednostavna, odn. upotrebljiva u praksiFunkcije tečenja koje su formulisane u okviru Teorije starenja iTeorije nasleđa mogu da se shvate kao granične vrednosti:

- teorija starenja predviđa potpunu ireverzibilnost deformacijetečenja

- teorija nasleđa predviđa potpunu reverzibilnost deformacijetečenja




Integralna i algebarske veze σ − ε za beton

Integralna veza σ − ε za betonIntegralna veza napon - deformacija usled proizvoljnopromenljivog napona tokom vremena data je sa (9)Ako se deformaciji tečenja doda i deformacija skupljanjabetona εcs(t, t0), onda je integralna veza napona i deformacijeza beton u okviru Linearne teorije tečenja betona data sa:

εc(t, t0) = σc J(t, t0) +

∫ t

t0


∂τdτ + εcs(t, t0)

(10)Funcija tečenja J(t, t0) data je sa (6):

J(t, t0) =1

Ec(t0)+ϕ(t, t0)

Ec28(11)





Integralna veza σ − ε za beton

Prema EC 2, ukupna dilatacija skupljanja εcs(t, t0) sastoji se izdve komponente:

εcs = εcd + εca

gde je- εcd . . . dilatacija skupljanja usled sušenja- εca . . . sopstvena (autogena) dilatacija skupljanja

Dilatacija skupljanja usled sušenja zavisi od migracije vodekroz očvrsli beton i odvija se sporoSopstvena dilatacija skupljanja odvija se u toku očvršćavanjabetona, pa se njen najveći deo obavi prvih dana poslebetoniranja





Integralna veza σ − ε za beton

U EC 2 dati su (složeni) izrazi za određivanje konačnevrednosti dilatacije skupljanja usled sušenja, kao i sopstvenedilatacije skupljanjaSa integralnom vezom napon - deformacija (10) i funkcijomtečenja (11), koja prihvatljivo dobro opisuje reološke osobinetečenja betona, kao i sa izrazima za skupljanje betona, rešenjapraktičnih zadataka u zatvorenom obliku nisu mogućaZato se usvajaju jednostavniji oblici zakona tečenja betona(teorija starenja, teorija nasleđa i varijacije), čime se uvodeodređene aproksimacije u definisanju reoloških osobina betona





Integralna veza σ − ε za betonAlternativno, koriste se različiti numerički postupci zarešavanje integrala u vezi (10)U inženjerskoj praksi obično su od značaja dva naponskastanja:

- σc(t0) . . . početno stanje u trenutku t0, kada se nanosiopterećenje

- σc(t) . . . stanje u posmatranom trenutku t - obično je tokrajnje stanje t→∞

Za ovakve analize je najpogodnije da se koriste algebarske vezenapon - dilatacija





Algebarske veze σ − ε za betonAlgebarske veze napon deformacija za beton nastaju kada se uintegralnoj vezi (10) integral∫ t

t0


∂τdτ (12)

zameni nekom približnom formulomOd izbora približne formule zavisi tačnost dobijene algebarskevezeMetode proračuna spregnutih konstrukcija zasnovane naalgebarskim vezama napon - dilatacija približne su metode, jerosim aproksimacija u reološkim osobinama betona, uvode uproračun i matematička zanemarenja



Metoda efektivnog modula - EM MetodaMetoda srednjeg napona - MS MetodaMetoda korigovanog efektivnog modula - AAEM MetodaAlgebarska veza napon - deformacija prema BAB 87

Sadržaj






Algebarske veze napon - deformacija za beton

Algebarske veze σ − ε za betonNajpoznatije algebarske veze napon - deformacija za beton su:

1 EM Metoda . . . metoda efektivnog modula (“Effective ModulusMethod”)

2 MS Metoda . . . metoda srednjeg napona (“Mean StressMethod”)

3 AAEM Metoda . . . metoda korigovanog efektivnog modula(“Age-Adjusted Effective Modulus Method”)

Stepen tačnosti približne algebarske veze zavisi od načinapromene naponaZa neznatne promene napona u nekom intervalu (t, t0)pogodne su EM i MS metodeZa značajnije promene napona pogodnija je AAEM metodagde je primenjena finija aproksimacija integrala (12)





Metoda efektivnog modula - EM metodaMetodu efektivnog modula - EM metodu predložio je Faber još1927. godineIntegral (12) je aproksimiran na jednostavan način:∫ t

t0


∂τdτ ≈ [σc(t)− σc(t0)] J(t, t0) (13)

što odgovara pretpostavci da je funkcija tečenja konstantnaJ(t, t0) = const

U tom slučaju veza (10) postaje

εc(t, t0)− εcs(t, t0) = σc(t) J(t, t0) (14)





Metoda efektivnog modula - EM metoda

Na osnovu izraza (6):

J(t, t0) =1

Ec(t0)+ϕ(t, t0)

Ec28

može da se definiše efektivni modul elastičnosti betona kao

Ec,eff = Eceff (t, t0) =1

J(t, t0)(15)

Posle sređivanja, dobija se izraz:

Ec,eff =Ec(t0)

1 + Ec(t0)ϕ(t,t0)Ec28

(16)





Metoda efektivnog modula - EM metodaAko se uvede oznaka za redukovani koeficijent tečenja ϕr:

ϕr =Ec(t0)

Ec28ϕ(t, t0) (17)

uz oznaku Ec(t0) = Ec0, dobija se efektivni modul elastičnostibetona:

Ec,eff =Ec0

1 + ϕr(18)





Metoda efektivnog modula - EM metoda

Imajući to u vidu, algebarska veza (14) može da se prikaže uobliku

εc(t, t0)− εcs(t, t0) =1

Ec,effσc(t) (19)

ili u obliku

σc(t) = Ec,eff · [εc(t, t0)− εcs(t, t0)] (20)

Kao što se vidi, tečenje betona se u proračun uvodi prekoredukovanog modula elastičnostiZbog svoje jednostavnosti, EM metoda je, u raznimvarijantama, najviše korišćena u praksi





Metoda efektivnog modula - EM metodaJedna od varijanti EM metode je Predlog Fritz-a iz 1961.godinePo predlogu Fritz-a, u efektivni modul elastičnosti uvodi sefaktor korekcije ψ:

Ec,eff =Ec0

1 + ψ ϕr(21)

Faktor korekcije ψ zavisi od vrste uticaja i od karakteristikapreseka

ψ = 1.10 za proračune uticaja usled tečenjaψ = 0.52 za proračune uticaja usled skupljanja




Sadržaj







Metoda srednjeg napona - MS metoda

Bolja aproksimacija integrala (12) postiže se primenomtrapeznog pravila:∫ t

t0


∂τdτ ≈ [σc(t)− σc(t0)]

J(t, t) + J(t, t0)

2(22)

Sa ovim, integralna veza (10) postaje

εc(t, t0) = σc J(t, t0)

+ [σc(t)− σc(t0)]J(t, t) + J(t, t0)

2+ εcs(t, t0)

(23)





Metoda srednjeg napona - MS metoda

Korišćenjem izraza za funkciju tečenja betona (6), kao i izrazaJ(t, t) = 1/Ec(t), relacija (23) može da se prikaže u obliku:

εc(t, t0)− εcs(t, t0) =σc

Ec(t0)+σc(t) + σc(t0)

2Ec28ϕ(t, t0)

+σc(t)− σc(t0)

2

[1

Ec(t)+

1

EC(t0)

](24)





Metoda srednjeg napona - MS metodaAko se pri tome još usvoji da je modul elastičnosti konstantnatokom vremena, Ec(t) = const = Ec, što se najčešće usvaja,relacija (24) dobija oblik:

εc(t, t0)− εcs(t, t0) =σcEc

+σc(t) + σc(t0)

2Ecϕ(t, t0) (25)

Prvi član na desnoj strani jedn. (25) pretstavlja konačnuelastičnu deformaciju koja odgovara konstantnom moduluelastičnostiDrugi član na desnoj strani jedn. (25) pretstavlja deformacijutečenja u vremenu t usled srednjeg napona σc(t)+σc(t0)

2





Metoda srednjeg napona - MS metoda, varijanta prof. Ðurića

Jednačina (25), napisana u kraćem obliku:

εc − εcs =σcEc

+σc + σc0

2Ecϕ

može da se malo transformiše:

(εc − εcs)Ec = (1 +ϕ

2)σc +

ϕ

2σc0

Odavde se dobija jednačina u obliku

σc +ϕ

2 + ϕσc0 =

2

2 + ϕEc (εc − εcs) (26)





Metoda srednjeg napona - MS metoda, varijanta prof. ÐurićaUvođenjem oznaka

ρ =ϕ

2 + ϕEcϕ =

2

2 + ϕEc

jednačina (26) može da se prikaže u obliku:

σc + ρ σc0 = Ecϕ (εc − εcs) (27)

Sa Ecϕ označen je fiktivni modul elastičnosti (Prof. M. Ðurić)




Sadržaj







Metoda korigovanog efektivnog modula - AAEM Metoda

Trost je 1967. (intuitivno) predložio poboljšanje EM Metodeuvođenjem u proračun starenje betonaKasnije je Bažant (1972.) matematički rigoroznije formulisaoalgebarsku vezu u kojoj, pored redukovanog koeficijentatečenja, uvodi novi parametar koeficijent starenjaU literaturi je ovo nazvano AAEM Metoda (“Age-AdjustedEffective Modulus Method”)






Integral (12) u jedn. (10) je aproksimiran na sledeći način:∫ t

t0


∂τdτ ≈

[σc(t)− σc(t0)][

1

Ec(t0)+ χ(t, t0)

ϕ(t, t0)

Ec28

] (28)

gde je χ(t, t0) koeficijent starenja betona






Sa aproksimacijom (28), jednačina (10) ima oblik:

εc(t, t0)− εcs(t, t0) = σc(t0) J(t, t0)

+ [σc(t)− σc(t0)][

1

Ec(t0)+ χ(t, t0)

ϕ(t, t0)

Ec28

] (29)

Što je veća starost betona u trenutku opterećivanja, to jemanja konačna deformacija tečenjaPrema tome, u proračunavanju deformacija usled priraštajanapona (integral u vezi σ − ε), umesto koeficijenta tečenjaϕ(t, t0) uveden je korigovan (redukovan) koeficijent tečenjaχ(t, t0)ϕ(t, t0)






Bezdimenzionalni koeficijent starenja betona χ(t, t0) korigujeefekte tečenja usled promene napona u betonu u toku vremenaVrednosti koeficijenta starenja betona su manje od 1:χ(t, t0) ∈ [0.6÷ 0.9]

Prema Pravilniku BAB 87, koeficijent starenja jeχ(t, t0) ∈ [0.75÷ 0.85]






Ako se u vezu (29) unese izraz (6) za funkciju tečenja, dobijase

εc(t, t0)− εcs(t, t0) = σc(t0)

[1

Ec(t0)+ϕ(t, t0)

Ec28

]+ [σc(t)− σc(t0)]

[1

Ec(t0)+ χ(t, t0)

ϕ(t, t0)

Ec28

] (30)

Koristi se izraz za efektivni modul elastičnosti (uveden u EMMetodi) (16):

Ec,eff =Ec(t0)

1 + Ec(t0)ϕ(t,t0)Ec28

=Ec(t0)

1 + ϕr(31)






U izrazu (31) sa ϕr je označen redukovan koeficijent tečenja(17):

ϕr =Ec(t0)

Ec28ϕ(t, t0)

Uvodi se korigovani efektivni modul elastičnosti betona (iliefektivni modul elastičnosti betona sa korigovanom starošću -“age-adjusted effective modulus”)

Ec,aeff =Ec(t0)

1 + χ(t, t0)Ec(t0)Ec28

ϕ(t, t0)=

Ec1 + χϕr

(32)






Sa ovim, jednačina (30) dobija oblik:

εc(t, t0)− εcs(t, t0) =σc(t0)

Ec,eff+σc(t)− σc(t0)

Ec,aeff(33)

Kao što se vidi, defromacije betona koje zavise od konstantnognapona σc(t0) izražavaju se preko efektivnog modulaelastičnosti betonaDefromacije betona koje zavise od promene napona∆σc = σc(t)− σc(t0) izražavaju se preko korigovanogefektivnog modula elastičnosti betona






U skraćenom prikazu jednačina (33) se piša kao

εc − εcs =σc0Ec,eff

+σc − σc0Ec,aeff

(34)

gde je

Ec,eff =Ec0

1 + ϕrEc,aeff =

Ec01 + χϕr

(35)

Unoseći (35) u (34), dobija se

εc − εcs = (1 + ϕr)σc0Ec0

+ (1 + χϕr)σc − σc0Ec0

(36)






Iz jednačine (36) može da se odredi napon σc:

σc =1

1 + χϕrEc0 (εc − εcs)−

(1− χ)ϕr1 + χϕr

σc0 (37)

Jednačina (37) može da se piše u obliku

σc = Ec,aeff (εc − εcs)− ρc σc0 (38)

gde je uvedena oznaka:

ρc = ρc(ϕr, χ) =(1− χ)ϕr1 + χϕr

(39)





Metoda korigovanog efektivnog modula - AAEM MetodaZa trenutak t = t0 dobija se

ϕr(t0.t0) = 0 εcs(t0, t0) = 0

Ec,aeff = Ec0 ρc = ρc(0, χ) = 0

Sa ovim, algebarska veza (38) postaje

σc = Ec0 εc





Uporedni prikaz algebarskih veza1 Metoda efektivnog modula - EM Metoda

σc = Ec,eff (εc − εcs) Ec,eff =Ec0

1 + ϕr

2 Metoda srednjeg napona - MS Metoda

σc = Ecϕ (εc − εcs)− ρ σc0

gde je

ρ =ϕ

2 + ϕEcϕ =

2

2 + ϕEc





Uporedni prikaz algebarskih veza3 Metoda korigovanog efektivnog modula - AAEM Metoda

σc = Ec,aeff (εc − εcs)− ρc σc0

gde je

Ec,aeff =Ec0

1 + χϕrρc =

(1− χ)ϕr1 + χϕr

4 Integralna veza napona i deformacije za beton

εc(t, t0) = σc J(t, t0) +

∫ t

t0


∂τdτ + εcs(t, t0)




Sadržaj







Linearna teorija tečenja betona

Prema relacijama (4) i (5), veza između koeficijenata tečenjaprema BAB 87 i EC 2 data je sa

ϕBAB = ϕEC2Ec(t0)

Ec28

Prema BAB 87 referentne elastične deformacije računaju se samodulom elastičnosti Ec(t0), koji odgovara trenutkuopterećivanja betonaU EC 2 usvojen je modul elastičnosti Ec28, dakle koji odgovaraopterećenju pri starosti od 28 dana





Linearna teorija tečenja betonaTo znači da su vrednosti koeficijenta tečenja koje se daju u EC2 za betone koji se opterećuju u starosti manjoj od 28 danaveće, a u starosti većoj od 28 dana manje od odgovarajućihvrednosti koeficijenta tečenja koji je dat u BAB 87Ako se zanemari promena modula elastičnosti sa vremenom,što je najčešći slučaj:

Ec(t0) = Ec28

onda su vrednosti koeficijenta tečenja po EC 2 i BAB 87međusobno iste





Dugotrajno opterećenje betona - BAB 87Koeficijent tečenja ϕ je odnos između viskozne i trenutneelastične dilatacije

ϕ =∆ε

ε◦=εϕε◦

(40)

Funkcija tečenja Φ je data sa

Φ =1

Eb(t◦)(1 + ϕ) (41)

i pretstavlja razvoj (tok) dilatacija pod dejstvom jediničnognapona pritiska




Algebarska veze napon - deformacija: BAB 87


Ako se u vezu (29) unese izraz (41) za funkciju tečenja, dobijase

εb(t, t0)− εbs(t, t0) =σb(t0)

Eb(t0)[1 + ϕ(t, t0)]

+σb(t)− σb(t0)

Eb(t0)[1 + χ(t, t0)ϕ(t, t0)]

(42)

Prema BAB 87, koeficijent starenja χ usvaja se u intervaluχ ∈ [0.75÷ 0.85] ≈ 0.80

(u BAB 87 koristi se indeks “b” za beton, a u EC 2 indeks “c”for concrete)


Documents

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 - Osnovne akademske studije ...Graničnastanjaupotrebljivosti Algebarskevezenapon-deformacijazabeton BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar