Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 „Stara kotłownia”, pokój 359
Tel.: 71 320 3201 Fax: 71 328 3218
E-mail: [email protected] Internet: www.itcmp.pwr.wroc.pl/elektra
Wydział Mechaniczno-Energetyczny
Podstawy elektrotechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr
Elektrodynamika. Prąd stały
Elektrodynamika. Prąd stały
P r ą d e l e k t r y c z n y jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych w przestrzeni przez dany przekrój poprzeczny śro-dowiska pod działaniem pola elektrycznego. Pole to charakteryzu-je się wektorowo przez natężenie pola elektrycznego E albo ska-larnie przez napięcie elektryczne U. W skrócie mówi się po prostu „prąd”.
P r ą d e l e k t r y c z n y s t a ł y jest to prąd elektryczny płynący tylko w jednym kierunku w przeciwieństwie do prądu przemiennego.
Elektrodynamika. Prąd stały
P r ą d e l e k t r y c z n y, albo po prostu p r ą d, występuje albo inaczej płynie w pewnym o b w o d z i e z a m k n i ę t y m albo po prostu obwodzie, w którym istnieje co najmniej jedna droga zamknięta dla przepływu prądu. Jeśli dróg tych jest więcej niż jedna, wówczas obwód taki nazywa się r o z g a ł ę z i o n y i składa się z kilku oczek ze sobą połączonych. Obwód rozgałęzio-ny nazywa się również u k ł a d e m e l e k t r y c z n y m. Jedno oczko odosobnione stanowi o b w ó d n i e r o z g a ł ę z i o n y.
Obwód i układ elektryczny
Elektrodynamika. Prąd stały
O b w ó d albo o c z k o są utworzone z g a ł ę z i, z których każda ma wyprowadzone na zewnątrz dwie końcówki zwane w ę- z ł a m i albo z a c i s k a m i, do których mogą być przyłączane następne gałęzie. Węzłom obwodu albo układu przyporządkowuje się potencjał. Gałęzie składają się z połączonych ze sobą elemen-tów. Element elektryczny, np. opornik, kondensator, cewka, aku-mulator, jest to część obwodu niepodzielna pod względem funk-cjonalnym bez utraty swoich własności charakterystycznych.
Jeśli elementy elektryczne (albo po prostu e l e m e n t y) obwodu albo cały obwód opisują l i n i o w e równania algebraiczne albo różniczkowe, to obwód elektryczny jest l i n i o w y.
Obwód i układ elektryczny
Elektrodynamika. Prąd stały
2 C U
+
−
U2
1 R
4 R
3 C
1 I
2 I
3 I
4 I
I
II
gałąź
oczko
węzeł (zacisk)
elementy
1 E
U1
Obwód i układ elektryczny
Elektrodynamika. Prąd stały
Natężenie prądu elektrycznego
i qt
qt
df
t== =
→lim
∆
∆∆0
dd
Qi It
= = Prąd elektryczny stały
Elektrodynamika. Prąd stały
Natężenie prądu elektrycznego
BA
SS QQ
ϕϕ >
== const21
Elektrodynamika. Prąd stały
Natężenie prądu elektrycznego d ddd d
qi It t
= =l
υ
υqI ddd =l
Gęstość prądu elektrycznego d d d d dI ql S S⋅ = ⋅υ
gdzie dl·dS = dV
Elektrodynamika. Prąd stały
Gęstość prądu elektrycznego
dd d d dd
qIV
= ⋅ = ⋅S J Sυ
Ponieważ dq/dV = qv
J S= = =dd
dd v
I qV qυ υ
Gęstość prądu elektrycznego
Elektrodynamika. Prąd stały
Równanie ciągłości prądu elektrycznego
Elektrodynamika. Prąd stały
Równanie ciągłości prądu elektrycznego
∫ ⋅=)(
dVS
I SJ
( ) ( )
dd d d ddS V S V
Qt Qt
− ⋅ = ⇒ ⋅ = −
∫ ∫J S J S
∫∫∫∫ −=−==⋅VVVVS
Vt
qVqt
V ddddddivd v
v)( ∂
∂JSJ
0div v =+t
q∂
∂J Równanie ciągłości prądu
Z prawa Gaussa-Ostrogradskiego wynika, że
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma
J E E= =1ρ γ
Prawo Ohma według klasycznej teorii elektronowej
gdzie ρ = 1/γ
ρ — rezystywność albo opór właściwy przewodnika [Ω·m] γ — konduktywność albo przewodność właściwa [S·m−1]
∂ ∂q tv div= ⇒ = ⇒ =0 0 0J J
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
E E E= +k z
∫∫∫ ⋅+⋅=B
A
B
A
B
A SlI lElE ddd
zkρ
Wypadkowe pole w przewodniku jest sumą wektorową pól kulombowskiego Ek i sił zewnętrznych Ez
Przewodnik o długości od A do B o jednakowym na-tężeniu prądu we wszyst-kich jego przekrojach
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
Dla E·dl = − dϕ
ABBA
B
A
U=−=⋅∫ ϕϕlE dk
BAAB
B
A
EE −==⋅∫ lE dz
Różnica potencjałów na odcinku AB
Siła elektromotoryczna SEM na odcinku AB
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
J
A
B l d
ϕ A
ϕ B
E AB
U AB
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
( ) ABAB
B
A
B
AAB EUU +=⋅=⋅+= ∫∫ lElEE ddzk*
Dla J = const, ρ = const i S = const
IRIS
llSI
ABAB
B
A
B
A
===⋅ ∫∫ ρρρ ddlJ
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
R lSABAB= ρ Opór albo rezystancja przewodnika
U IR
IR U E
AB AB
AB AB AB
* =
= +
albo
gdzie jest spadkiem napięcia na rezystancji RAB *ABU
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
I
A
B
ϕA
UAB
EAB
U*AB
ϕB
RAB
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma
Gdy ϕA = ϕB, RAB = R, EAB = E = U
IR E U= =
U I R
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawa Kirchhoffa w polu prądowym, przepływowym
I prawo
0d =⋅∫S
SJ
II prawo
0d =⋅∫L
lE
Elektrodynamika. Prąd stały
Energia, moc, ciepło. Prawo Joule’a–Lenza
d dW UI t W UIt= ⇒ =
]W[d
d= UIt
WP =
Ponieważ 1 cal = 4.185 J 1 J = 0.24 cal
Moc prądu stałego
Energia elektryczna
Praca prądu stałego
Ciepło
]J[2tRIW =
]cal[24.0 2tRIQ ≅
Elektrodynamika. Prąd stały
Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych
Ikk
n
=∑ =
10
1 I w
2 I 3 I
4 I
5 I
I prawo prądowe
53241
54321
albo0
IIIII
IIIII
++=+
=−+−−
Elektrodynamika. Prąd stały
II prawo napięciowe
R I Ek kk
n
kk
n
= =∑ ∑=
1 1
Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych
Elektrodynamika. Prąd stały
II prawo napięciowe
U
w1
w4
w2
w3 R3
R3I3
E1 R1
R2
R1I1
R2I2
E2
I1
I3
I2
Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych
Elektrodynamika. Prąd stały
II prawo napięciowe
1 1 1 2 2 2 3 3
1 2 1 1 2 2 3 3
0U E R I E R I R I
U E E R I R I R I
+ − − − − =∨
+ − = + +
Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych
Elektrodynamika. Prąd stały
Szeregowe Połączenia oporników (rezystorów)
U
I R1
R2
R3
U1
U2
U3
Elektrodynamika. Prąd stały
Szeregowe
Połączenia oporników (rezystorów)
U R I U R I U R I1 1 2 2 3 3= = =; ;
( ) IRIRRRUUUU z321321 =++=++=
R R R Rz = + +1 2 3
R Rkk
n
z ==
∑1
Rezystancja zastępcza
Elektrodynamika. Prąd stały
Równoległe
Połączenia oporników (rezystorów)
U
I
R1 R2 R3 U1 U2 U3
I1 I2 I3
Elektrodynamika. Prąd stały
Równoległe
Połączenia oporników (rezystorów)
I UR I U
R I UR1
12
23
3= = =; ;
I I I I UR
UR
UR
UR= + + = + + =1 2 3
1 2 3 z
1 1 1 11 2 3
1 2 3
1 2 1 3 2 3R R R R R R R RR R R R R Rz
z= + + ⇔ =+ +
Elektrodynamika. Prąd stały
Równoległe
Połączenia oporników (rezystorów)
∑=
=n
k kRR 1z
11
∑=
=
++=n
kkGG
GGGG
1z
321z
Rezystancja zastępcza
Ponieważ G = 1/R — konduktancja
Konduktancja zastępcza
Elektrodynamika. Prąd stały
Przykład obliczania obwodu elektrycznego
E0 Rw
Uw
U1 R1
I1
I2 I0
U2 R2 U0
Elektrodynamika. Prąd stały
Przykład obliczania obwodu elektrycznego Dane: U0, E0, Rw, R1, R2 Nieznane: I0, I1, I2 Do wyznaczenia: I2
U E R I R I0 0 0 1 1 0− − − =w
( ) 21212211 0 IRRIIRIR =⇒=−
I I I0 1 2 0− − =
I U E R IR0
0 0 1 1=− −
w
(1)
(2)
(3)
(4)
Elektrodynamika. Prąd stały
Przykład obliczania obwodu elektrycznego
(5)
(6)
Kombinacja (1), (2) i (3) daje
( )12w2
002 1 RRRR
EUI++
−=
0221
2
w
2200 =−−−− II
RR
RIREU
Elektrodynamika. Prąd stały
Przykład obliczania obwodu elektrycznego
( ) 2
00
2w1w2
002w21 1 R
EURRRRR
EUIRRR −≅
++−
=⇒>>∧R R R I U ER R1 2 2
0 02= = ⇒ =−
+ wR R R R I U E
R1 2 20 03= = = ⇒ =−
w ( )12w
002w21 1 RRR
EUIRRR+−
=⇒<<∧R R R R I U ER1 2 2
0 02= = << ⇒ =
−w
w
Elektrodynamika. Prąd stały
Przykład obliczania obwodu elektrycznego Stan jałowy: R2 = ∞
Stan zwarcia: R2 = 0
( )00w1
11112 0 EU
RRRIRUI −+
==∧=
02221w
002 ===∧
−= IRUU
REUI
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Ładowanie kondensatora
C U uC
R i
uR
W1
W2
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
U Ri u i U uRC
C= + ⇒ =−
tuCi
uCqtiq
Cd
d
dddd C
=
⇓
=∧=
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
RC ut u UC
Cdd + =
Dla U = 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne
T ut u u
ut
TC
CC
C
dd
d d+ = ⇒ = −0
T = RC — stała czasowa obwodu [s]
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
ATtAt
Tu
t
C lnd1ln0
+−=+−= ∫
u BeCtT= −
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Niech B = B(t), zatem
ddut Be B
T eCtT
tT= −− −
Uzmiennianie stałej
DUeDtT
eUB
UeTB
Ttt Tt
Tt
+=+=
⇓
=
∫
−
0
d
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Tt
Tt
Tt
C DeUeDUeu−−
+=
+=
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = 0
0 = + ⇔ = −U D D U
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Tt
Tt
Tt
C eRUUe
TCe
tCU
tuCi
−−−==
−== 1
dd
dd
−=−=
−−Tt
Tt
C eUUeUu 1
Uut C →⇒∞→
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
u, i
tt = 0
T uC
uR i
U
U/R
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
C U uC
R i
uR
W1
W2
Rozładowanie kondensatora
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
u Ri u Ri RC utC CC+ = ⇒ = − = −0 d
d
d duu
tT u t
T AC
CC= − ⇒ = − +ln
u BeCtT= −
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = U
B U=
u UeCtT= −
i uR
UR eC
tT= − = − −
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
u, i
tt = 0
T
uC
uR i
U
−U/R
−U
Elektrodynamika. Prąd stały
Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym
Energia wydzielona na rezystorze
( )22
0
2
0
2 021
21dd C
Tt
CuCUteRURtRiW ==
−== ∫∫
∞ −∞