Bài 5:Mô phỏng Monte Carlo

cho các hệ spin

Under construction.

Mô hình Ising

E=−∑⟨ij ⟩

J ij si s j−H∑i=1

N

si

tổng theo các cặp lân cận gần nhất

Jij - năng lượng tương tác trao đổi

Jij > 0 - sắt từ (ferromagnet)

Jij < 0 - phản sắt từ (anti-ferromagnet)

s=±1

M=∑i=1

N

si

Độ cảm từ (susceptibility)

m=MN

C H=⟨E2

⟩−⟨E ⟩2

k BT2

χT=⟨M 2

⟩−⟨M ⟩2

k BT

Hệ spin trên mạng Ernst Ising (1924)

Độ từ hóa (magnetization)

● Mô hình Ising trong 1D không có chuyển pha (Tc=0)

● Trong 2D và 3D, xảy ra chuyển pha loại 2 tại nhiệt độ Tc

– T < Tc: xảy hiện tượng cảm ứng từ tự phát, hệ nằm ở pha

sắt từ (ferromagnetic phase)

– T > Tc: pha thuận từ (paramagnetic phase)

H=0

C H→∞

χT→∞

T →T c

Tham khảo: Yeomans JM, Statistical Mechanics of Phase Transition, Oxford University Press, 1992.

● Tương tự cho hệ khí lỏng

r mật độ

Nhiệt dung riêng Độ cảm từ đẳng nhiệt(isothermal susceptibility)

Q T , H =∑

e− E

F=−k BT lnQ

χT=( ∂M∂H )T

U=−∂ lnQ∂β

M=−( ∂ F∂H )T

C H= ∂U∂T H

Vật lý thống kê cho hệ sắt từ

S=−( ∂ F∂T )H

CM , H=T ( ∂ S∂T )M ,H

Độ từ hóaEntropyNội năng

dU=T dS+ M dHĐịnh luật 1

Nhiệt dung riêng Độ nén đẳng nhiệt(isothermal compressibility)

Q (T ,V )=∑Γ

e−βE (Γ)

F=−k BT lnQ

κT=−1V ( ∂V∂ P )T

U=−∂ lnQ∂β

P=−( ∂ F∂V )T

CV=( ∂U∂T )V

Vật lý thống kê cho hệ khí lỏng

S=−( ∂ F∂T )V

CV , P=T ( ∂ S∂T )V ,P

Áp suấtEntropyNội năng

dU=T dS−P dVĐịnh luật 1

Chuyển pha

● Khi xuất hiện kì dị trong các đại lượng nhiệt động● Liên quan tới các điểm 0 của hàm phân hoạch ở giới

hạn nhiệt động● Thường liên quan tới thay đổi đối xứng của hệ

(symmetry breaking)● Phân loại chuyển pha:

– Chuyển pha loại 1: đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do bị gián đoạn.

– Chuyển pha loại 2: đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do liên tục, đạo hàm bậc cao hơn bị gián đoạn hoặc phân kỳ.

● Hàm tương quan spin-spin

r i ,r j=⟨ si−⟨ si ⟩ s j−⟨ s j ⟩⟩

Γ( r⃗ i− r⃗ j)=⟨ si s j ⟩−⟨ s ⟩2

Γ(r)∼r−τ e−r / ξ

Độ dài tương quan (correlation length)

r=∣⃗r i− r⃗ j∣

Độ dài tương quan

Tại T=Tc tồn tại các cụm spin ở mọi kích cỡ!!Độ dài tương quan bằng vô cùng.

● Xảy ra gần nhiệt độ tới hạn Tc

● Mang tính phổ quát (universality):

– các chất khác nhau có tính chất như nhau tại Tc, ví dụ hệ

khí lỏng và hệ sắt từ

– không phụ thuộc vào đặc tính vi mô của hệ

– phụ thuộc mạnh vào số chiều

● Các chỉ số tới hạn (critical exponents):

Các hiện tượng tới hạn

t=(T−T c)/T c

C H∼∣t∣−α

M∼(−t )β

χT∼∣t∣−γ

ξ∼∣t∣−ν

Γ(r)∼1

r d−2+ η

nhiệt độ rút gọn

Các khí khác nhau có cùng 1 chỉ số tới hạn β=1/3 → Cùng một lớp phổ quát với mô hình Ising 3D

Các chỉ số tới hạn trong hệ từ

Các chỉ số tới hạn trong hệ khí lỏng

Các lớp phổ quát

Mô hình Ising 2 chiều

● Onsager (1944) cho lời giải giải tích chính xác:

● Nhiệt độ tới hạn:● Các chỉ số tới hạn:

T c≈2.269

γ=7 /4α=0

β=1 /8 η=1 /4

ν=1

Mô hình X-Y

● Các spin là các vector đơn vị có thể xoay trong không gian 2 chiều

s⃗i=(cosθi , sinθi)

H=−∑i≠ j

J ij s⃗i⋅s⃗ j−∑i

h⃗i⋅s⃗i

Mô hình Heisenberg cổ điển

● Các spin là các vector đơn vị có thể xoay trong không gian 3 chiều

H=−∑i≠ j

J ij s⃗i⋅s⃗ j−∑i

h⃗i⋅s⃗i

● Viết chương trình mô phỏng Monte Carlo cho mô hình Ising 2 chiều:

– kích thước: L x L spin– điều kiện biên tuần hoàn

● Tính:

– <E>(T), <M>(T), nhiệt dung riêng, độ từ cảm

– xác định nhiệt độ tới hạn Tc

● Xét nhiều kích thước L=8,16,32,64.... Chỉ ra sự chồng chập dữ liệu (data collapse) tại nhiệt độ T

c trên đồ thị:

Thực hành

mLβ/ν(T )

Tại T gần Tc

m∼(−t )β

t=T−T cT c ξ∼|t|ν

ξ≈L

m Lβ/ν≈constantt→0

Data collapse at T=Tc