II Á¯ËÝà : Àëãîðèòì

Лекц №3

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò

2

df 1: Íýã ý í ó ò ã à ò à é á è å ë ýã ä ýæ á îë îõ à ë õ à ì-¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í ò º ã ñã º ë º ã ä à ðà à ë ë ûã à ë õ à ì à ë õ à ìà à ð íü ã ¿ é ö ý ò ã ý õ ýä ò º ã ñä º ã á îë ý íý ä à ðà à ë ë ûã à ë ã îð è ò ì ã ý íý .

“¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í ò º ã ñã º ë º ã ä à ðà à ë ë ûã à ë õ à ì à ë õ à ìà à ð íü

ã ¿ é ö ý ò ã ý õ ” ãýæýý. Ýíý ã¿éöýòãýõ ïðîöåññûã (àæëûã) áèåë¿¿ëýã÷èéã à ë ã îð è ò ìûí ã ¿ é ö ý ò ã ýã ÷ ãýíý.

õ¿í êîìïüþòåð ðîáîò

Ïðîô. Þ.Íàìñðàé, 2011-2012 îíû õè÷ýýëèéí æèë, УБДÑ

3

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (2)

à ë ã îð è ò ìûã ç îõ è îõ ä îî ò îä îð õ îé ã ¿ é ö ý ò ã ýã ÷ è ä ç îð è ó ë à í ç îõ è îä îã

õ ¿ ì¿ ¿ ñ ìýä ë ýã ÷ à ä â à ðà à ðà à ÿ ë ã à à ò à é

ê îìïüþ ò å ð íü ç à ð÷ ìûí õ ó â üä á ¿ ã ä à ä è ë õ à í

4

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (3)

“ íý ã ý í ó ò ã à ò à é á è å ë ýã ä ý õ ” , “à ë õ à ì-¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í ä à ðà à ë à ë ” , “ ò º ã ñã º ë º ã ä à ðà à ë à ë ” , “ ç à à â à ë ò º ã ñä º ã á à é õ ” -- àëãîðèòìûí øèíæ¿¿ä þì

àëãîðèòì íü ò¿¿íèé ã ¿ é ö ý ò ã ýã ÷ è é í á è å ë ¿ ¿ ë æ ÷ à ä à õ

¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä ýä õ ó â à à ã ä ñà í áàéõ áà ò º ã ñã º ë º ã ò îîíû èéì ¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í ä à ðà à ë à ë õýëáýðòýé áàéíà

“áèåëýãäýæ áîëîõ” ãýäýã íü àëãîðèòìûã áèåë¿¿ëýõ ã¿éöýòãýã÷èéí áèåë¿¿ëæ, õèéæ ÷àäàõ àëõìóóäààñ àëãîðèòì òîãòñîí áàéõ ¸ñòîé ãýñýí øààðäëàãà þì

(òýãýõäýý á¿ð íýãýí óòãàòàé áèåëýãääýã áàéõ)

5

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (4)

à ë ã îð è ò ìûí à ë õ à ì á ¿ ð “ íý ã ý í ó ò ã à ò à é á è å ë ýã ä ý õ ” ¸ ñò îé :

º ìíº á è å ë ýã ä ñý í à ë õ à ìó ó ä ûí ¿ ð ä ¿ í ò îä îð õ îé á à é õ ó ã à ë õ à ì á è å ë ýã ä ý õ ýä ò ¿ ¿ íè é ¿ ð ä ¿ í íý ã ý í ó ò ã à ò à é

ò îä îð õ îé ë îã ä ä îã ä à ðà à ÷ è é í á è å ë ýã ä ý õ à ë õ à ì íü íýã ý í ó ò ã à ò à é

ò îä îð õ îé ë îã ä ä îã á à é õ ¸ ñò îé

(Isaac Asimov - Àéçèê Àçèìîâ ... I robot)

6

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (5)

“ò º ã ñä º ã á à é õ ” ãýäãèéí äîð òºãñãºëºã òîîíû àëõàì áèåëýãäñýíèé äàðàà àëãîðèòìûí áèåëýëò çààâàë òºãñäºã áàéõ

Æèøýý 1:1 . Á¿ õ ýå ðýã á ¿ õ ý ë ò îîã æ à ã ñà à æ á è ÷ .2 . Áè ÷ ñý í ò îîíó ó ä à à á ó ó ðà õ ä à ðà à ë ë à à ð á è ÷ .3 . Õ à ìã è é í ç ¿ ¿ í ò à ë ûí ò îîã õ ý ë æ º ã .4. Ò º ã ñã º .

Æèøýý 2:1 . 1 - è é ã á è ÷ .2 . Õ à ìã è é í ñ¿ ¿ ë ä á è ÷ ñý í ò îîíûõ îî à ðä ò ¿ ¿ íý ýñ õ î¸ ð îîð è õ ò îîã á è ÷ .3 . Õ î¸ ð ä ó ã à à ð à ë õ à ìä ø è ë æ .4. Ò º ã ñã º .

7

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (6)

df 2 : Òîäîðõîé áîäëîãûí õóâüä óã áîäëîãûí øèéä-¿ð ä¿íã ãàðãàæ àâàõûí òóëä áîäëîãûí íºõöºëä ºãºãäñºí àíõíû ºãºãäºë áîëîí áîäîëòûí ÿâöàä ãàðàõ çàâñðûí ¿ð ä¿í õýìæèãäýõ¿¿í¿¿ä äýýð õèéõ ¿éëäë¿¿äèéí òºãñãºëºã äàðààëàë - àëãîðèòìûã óã тухайн á îä ë îã ûн à ë ã îð è ò ì ãýæ õýëíý.

“á îä ë îã î á îä îõ ” -- àëãåáð, ãºîìåòð, ôèçèê, õèìèéí áîäëîãî áîäîõîîñ ýõëýýä àìüäðàë ïðàêòèêèéí áîëîí øèíæëýõ óõààíû àñóóäàë øèéäýõ õ¿ðòýë ìàø ºðãºí óòãààð îéëãîíî.

8

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (7)

áîäëîãî áîäîõ àæèëä êîìïüþòåð àøèãëààã¿é ¿åä: àëãîðèòìûã çîõèîã÷ íü õ¿í ã¿éöýòãýã÷ íü ìºí õ¿í áàéíà

áîäëîãî áîäîõ àæèëä êîìïüþòåð õýðýãëýõ ¿åä: áîäëîãûí àëãîðèòìûã õ¿í çîõèîæ çîõèîñîí àëãîðèòì (ïðîãðàì)-ûã êîìïüþòåð áèåë¿¿ëäýã

9

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (8)

Àëãîðèòìûí áóñàä øèíæ: Àë ã îðè ò ì ¿ ð ä ¿ íò ý é á à é õ ø è íæ -- òºãñãºëºã òîîíû àëõàì

áèåëýãäñýíèé äàðàà áîäîëòûí ÿâöàä ãàð÷ áîëîõ á¿õ òîõèîëäîëä òîõèðñîí ¿ð ä¿í ºãºõ

Æèøýý íü: ax2+bx+c =0 òýãøèòãýëèéí áîäèò øèéä íü êîýôôèöåíò, äèñêðèìèíàíòûí óòãààñ õàìààðàíà

1. a <> 0 ¿åä õýðýâ

à) D>0 áîë x 1 áà x 2 ãýñýí ‘õî¸ð áîäèò øèéäòýé’á) D= 0 áîë x 1 ãýñýí 'íýã áîäèò øèéäòýé'â) D<0 áîë 'ºãºãäñºí òýãøèòãýë áîäèò øèéäã¿é'

10

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (9)

2. a=0 áóþó bx+c = 0 øóãàìàí òýãøèòãýë áîëà) b <> 0 áîë x=-c/b ãýñýí 'íýã øèéäòýé'á) b = 0 ¿åä õýðýâ

à) c=0 áîë 'òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé'á) c <> 0 áîë 'òýãøèòãýë øèéäã¿é'

ãýñýí ¿ð ä¿í ºãäºã áàéõ ¸ñòîé

11

Àëãîðèòìûí òóõàé îéëãîëò (10)

íý ã è æ è ë ìý ä ýý ë ë è é ã á îë îâ ñðó ó ë ñà í ¿ ð ä ¿ í íü ÿ ìà ã ò è æ è ë á à é õ ¸ ñò îé -- à ë ã îð è ò ìûí ¿ ð ä ¿ í íý ã ý í ó ò ã à ò à é á à é õ øèíæ ãýíý

à ë ã îð è ò ì ò ¿ ã ýý ìý ë á à é õ ø è íæ -- òîäîðõîé áîäëîãûí

àëãîðèòìûã çîõèîõäîî ýíý áîäëîãîòîé èæèë òºðëèéí (àíõíû ºãºãä뺺𺺠ÿëãààòàé áàéæ áîëîõ) á¿õ áîäëîãûã áîäîõîä õýðýãëýæ áîëîõîîð åðºíõèé àëãîðèòìûã çîõèîõ ¸ñòîé êâàäðàò òýãøèòãýë áîäîõ àëãîðèòìûã çîõèîõäîî à

êîýôôèöèåíò ÿìàãò òýãýýñ ÿëãààòàé ãýæ òîîöîæ áîëîõã¿é

12

2.2 Àëãîðèòìä õýìæèãäýõ¿¿íèéã òýìäýãëýõ

Êîìïüþòåðèéã õýðýãëýõ ¿íäñýí çîðèëãî íü ìýäýýëýë áîëîâñðóóëæ, áèäýíä øààðäëàãàòàé ¿ð ä¿íã ãàðãàæ àâàõ ÿâäàë þì.

êîìïüþòåðýýð áîäëîãî áîäîõ àëãîðèòì áîëîí ïðîãðàìä

ìý ä ýý ë ý ë á îë îâ ñðó ó ë æ ¿ é ë ä ý ë õ è é õ è é í ò ó ë ä ø à à ðä ë à ã à ò à é õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í¿ ¿ ä è é ã º º ð õ îîð îíä íü ÿ ë ã àæ , õýìæèãäýõ¿¿í¿¿ä äýýð õèéõ ¿éëäëèéã áè÷èæ òýìäýãëýõ õýðýãòýé

õýìæèãäýõ¿¿íèéã ¿ã, ¿ñãýýð íýðëýæ òýìäýãëýäýã

(ìàòåìàòèêò ¿ñãýýð çºâõºí òýãäýãëýäýã)

13

Àëãîðèòìä õýìæèãäýõ¿¿íèéã òýìäýãëýõ (2)

df: õýìæèãäýõ¿¿íèé ¿ã, ¿ñãýí òýìäýãëýãýýã õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ íè é íýð (è ä å íò è ô è ê à ò îð - identifier) ãýíý.

“àëèâàà íýðèéã çààâàë ¿ñãýýð ýõýëæ äóðûí òîîíû ¿ñýã, öèôðýýð áè÷èæ áîëíî”

õýä õýäýí íýðýýñ á¿òñýí íèéëìýë íýðèéã áè÷èõèéí òóëä õîëáîõ çóðààñ (_) òýìäãèéã õýðýãëýíý

Æèøýý íü: æ è ø ýý _ 1 ; îí_ ñà ð _ º ä º ð ; îâ îã _ íýð

14

Àëãîðèòìä õýìæèãäýõ¿¿íèéã òýìäýãëýõ (3)

Õýìæèãäýõ¿¿íèé íýð íü óã õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãûã áè÷èæ õàäãàëàõ ¿ ¿ ð è é í õ à ÿã áîëæ ºãäºã.

õýìæèãäýõ¿¿í äýýð ¿éëäýë õèéõèéí òóëä ¿¿ðèéí õàÿã áîëæ áàéãàà íýðèéã áè÷èæ àøèãëàíà.

Æèøýý íü: ax2+bx+c =0 òýãøèòãýëèéí õóâüä ìàòåìàòèêò à , b áà ñ íü áîäèò òîîã òýìäýãëýäýã áîë

òýãøèòãýëèéã áîäîõ àëãîðèòìä êîýôôèöåíò¿¿äèéã ìºí à , b áà ñ ãýæ íýðëýâýë òýäãýýðèéí óòãûã ñàíàõ ¿ ¿ ð è é í õ à ÿã áîëíî.

ìàòåìàòèêò b 2-4a c èëýðõèéëýë áîëíî, àëãîðèòì ïðîãðàì÷ëàëä õàðèí çààâàë b 2-4 a c ∙ ∙ õýëáýðòýé áè÷íý.

“à , b , ñ ¿¿ðò áàéãàà òîîí äýýð áè÷ñýí ¿éëäëèéã õèé” ãýñýí óòãàòàé

15

Àëãîðèòìä õýìæèãäýõ¿¿íèéã òýìäýãëýõ (4)

õýìæèãäýõ¿¿íèé íýðèéã ñîíãîõäîî: àëãîðèòì, ïðîãðàìûã áè÷èõ, óíøèõ àæëûã

õºíãºâ÷ëºõººð àíõûõàà áîäëîãî äàõü íýð òýìäýãëýãýýòýé òîõèð÷

áàéõ õîîðîíäîî àíäóóðàãäàæ áîëîõ Î ¿ñýã, 0 òîî; l ¿ñýã, 1 òîî

ãýõ ìýò ¿ñýã öèôðèéã õîëèõã¿é áàéõ õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãà àëãîðèòì áèåëýãäýõ ÿâöàä

ººð÷ëºãäºõã¿é áàéõ ¸ñòîé áîë ò¿¿íèéã ò îã ò ìîë õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í ãýíý

õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãà ººð÷ëºãääºã, º.õ. ïðîãðàì áèåëýãäýõ ÿâöàä õýìæèãäýõ¿¿íä õàðãàëçàõ ¿¿ð ººð ººð óòãà àâ÷ áîëîõ áîë ò¿¿íèéã õ ó â üñà ã ÷ ãýíý

Лекц №4

Алгоритмд хэрэглэх үндсэн үйлдлүүд

16

17

2.3 Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä

Êîìïüþòåðýýð áîäëîãî áîäîõ àëãîðèòì íü êîìïüþòåðèéí áèåë¿¿ëæ ÷àäàõ ¿éëäë¿¿äèéí äàðààëàë õýëáýðòýé áàéíà

Êîìïüþòåð íü (ïð îö å ññîð )

êîìïüþòåðò ºãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ ñàíàõ îéä áàéãàà ìýäýýëëèéã õóâèðãàæ (àðèôìåòèê,

ëîãèêèéí ¿éëäýë õèéæ) áîëîâñðóóëàõ çààñàí ¿éëäýëä øèëæèõ òîäîðõîé íºõöºë øàëãàæ ò¿¿íèé ¿ð ä¿íãýýñ õàìààðàí

áîäîëòûã ÿëãààòàé çàìààð ¿ðãýëæë¿¿ëýõ á¿ëýã ¿éëäëèéã äàâòàæ áèåë¿¿ëýõ ïðîãðàìûí ¿ð ä¿í ìýäýýëëèéã ãàðãàõ

ãýñýí öººõºí òîîíû ¿éëäëèéã õèéæ ÷àääàã

18

2.3.1 ªãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ ¿éëäýë

ìýäýýëëèéã êîìïüþòåðýýð áîëîâñðóóëàõûí òóëä ò¿¿íèéã ñàíàõ îéä áè÷ñýí áàéõ øààðäëàãàòàé

áîäëîãûí íºõöºëä ºãºãäñºí áºãººä çàéëøã¿é øààðäëàãàòàé õýìæèãäýõ¿¿íèé àíõíû óòãà-ºãºãäëèéã êîìïüþòåðò îðóóëàõ ¿éëäýë õýðýãòýé

Æèøýý íü: y = ax2+bx+c ôóíêöèéí óòãûã x=x 0 öýã äýýð áîäîõ àëãîðèòìä

a , b , c - êîýôôèöèåíò¿¿ä, x 0 õýìæèãäýõ¿¿íèé òîîí óòãûã ºãºõ øààðäëàãàòàé

19

ªãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ ¿éëäýë (2)

Õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãûã êîìïüþòåðèéí ãàðààñ îðóóëàõ ¿éëäëèéã àëãîðèòìä ïàðàëåëëîãðàìààð ä¿ðñëýæ, óòãûã íü îðóóëàõ õýìæèãäýõ¿¿íèé íýðèéã äîòîð íü áè÷èæ òýìäýãëýíý:

îðóóëàõ ¿éëäëèéã áèåë¿¿ëýõäýý êîìïüþòåðèéí ãàðààñ óòãà ºãºõèéã øààðäàíà; îðóóëñàí óòãûã õóâüñàã÷èéí óòãà áîëãîí ñàíàõ îéí

¿¿ðò ñàíàíà

20

2.3.2 Áîäîëò áà óòãà îëãîõ ¿éëäýë

Êîìïüþòåðèéí ¿íäñýí çîðèóëàëò íü ìýäýýëýëèéã õóâèðãàæ (¿ é ë ä ý ë õ è é æ ) áîëîâñðóóëàõ ÿâäàë

òîäîðõîé òîìú¸îãîîð ºãºãäñºí ìàòåìàòèêèéí è ë ýðõ è é ë ý ë è é í ó ò ã ûã á îä îæ ãàðñàí ¿ð ä¿íã ÿìàð íýãýí õ ó â üñà ã ÷ è é í ó ò ã à á îë ã îí ñà íà õ îé ä õ à ä ã à ë à õ ¿éëäýë àëãîðèòìä çàéëøã¿é õýðýãòýé áàéäàã èéì ¿éëäëèéã ó ò ã à îë ã îõ ¿ é ë ä ý ë ãýæ íýðëýíý

21

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (2)

“è ë ýð õ è é ë ý ë ” çºâõºí ê îìïüþ ò å ð è é í á è å ë ¿ ¿ ë æ ÷ à ä à õ ¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä ýýð çîõèîãäñîí áàéõ ¸ñòîé

1 . Àðè ô ìå ò è ê è é í ¿ é ë ä ý ë . + (íýìýõ), - (õàñàõ), ⋅ (¿ðæèõ), / (õóâààõ) – á¿õýë òîîã á¿õýëä õóâààõàä á¿õýë óòãàòàé,

áóñàä á¿õ òîõèîëäîëä áîäèò óòãàòàé \ (ìîäóëèàð õóâààõ áóþó ¿ëäýãäýë îëîõ ¿éëäýë) –

íà ò ó ðà ë ò îîã íà ò ó ðà ë ò îîíä õ ó â à à õ à ä ã à ðà õ ¿ ë ä ýã ä ë è é ã îë îõ ¿ é ë ä ë è é ã º ðã º ò ã º í á¿õýë òîîã á¿õýëä õóâààõàä õýðýãëýæ õî¸ð á¿õýë ìîäóëèóäûã õ ó â à à õ à ä ã à ðà õ ¿ ë ä ýã ä ë è é ã õ ¿ ðò â ýð è é í ò ý ìä ýã ò ý é º ã º õ ¿ é ë ä ý ë á îë ã îí à ø è ã ë à íà

5\2=1, 5\-2=1, -5\2=-1, -5\-2=-1ÀÍÕÀÀÐ: xn, (-1)i ã.ì. çýðýã äýâø¿¿ëýõ ¿éëäëèéã áè÷èæ

áîëîõã¿é

22

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (3)

2 . Ëîã è ê è é í ¿ é ë ä ý ëǺâõºí “¿ íý í” áà “õ ó ä à ë ” óòãà àâäàã õýìæèãäýõ¿¿íèéã

ë îã è ê õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í ãýýä “¿íýí” óòãûã 1-ýýð, “õ ó ä à ë ” óòãûã 0-ýýð òýìäýãëýíý

x → y = (not x) or y, x ≡ y = (x and y) or (not x and not y)

x y õ o r y x a nd y x x o r y no t y0 0 0 0 0 10 1 1 0 1 01 0 1 0 11 1 1 1 0

23

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (4)

2. Ëîãèêèéí ¿éëäýë

Æèøýý:

x ∈ [-1, 1] - ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä -1 ≤ x and x ≤ 1

x ∈ (- ∞, -1] ∪ [1, +∞] x≤ -1 or 1 ≤ x

x ∉ [-1, 1] - ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä x< -1 or 1 < xnot (-1 ≤ x and x ≤ 1)

24

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (5)

3. Æèøèõ ¿éëäýëÀðèôìåòèêèéí èëýðõèéëë¿¿äèéã < | = | > | ≤ | ≠ | ≥

òýìäýãò ¿éëäëýýð æèøèõ èëýðõèéëëèéã áè÷èæ áîëíî. Èéì èëýðõèéëýë íü ëîãèê óòãàòàé (¿íýí ýñâýë õóäàë)

E1< E2, E1 = E2 E1 > E2

E1 ≤ E2 E1 ≠ E2 E1 ≥ E2

n òýãø òîî þó ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä n\2 = 0 i õóâüñàã÷èéí óòãà 100 –ààñ õýòðýýã¿é áàéãàà ýñýõèéã

øàëãàõûí òóëä i ≤ 100

Òýíö¿¿ (=), òýíö¿¿ áèø (≠) ¿éëäëèéã ÿìàð÷ òºðëèéí óòãûí õóâüä áè÷èæ áîëíî

25

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (6)

4. ¯ñýã, öèôð, öýã òýìäýã ãýæ ìýò áè÷èãäýæ ä¿ðñëýãääýã òýìäýãò¿¿äèéí äàðààëëûã á è ÷ â ýð áóþó ñò ðè íã (string) õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í ãýæ íýðëýíý. Áè÷âýð òºðëèéí òîãòìîëûã àïîñòðîô (‘’) òýìäãýýð çààãëàæ áè÷èæ òýìäýãëýíý. ‘ýíý áîë òîãòìîë áè÷âýð’, ‘òýãøèòãýë øèéäã¿é’, ‘òàéëáàð’

Õî¸ð áè÷âýðèéã õîëáîõ ¿éëäëèéã íýìýõ òýìäãýýð (+) òýìäýãëýæ s 1 +s 2 (¿¿íä s 1 , s 2 õî¸óëàà áè÷âýð òºðëèéí õýìæèãäýõ¿¿í) õýëáýðòýé áè÷íý.

‘êâàäðàò’ + ‘ òýãøèòãýë øèéäã¿é’

‘êâàäðàò òýãøèòãýë øèéäã¿é’

26

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (6)

5 . Ô ó íê ö à ø è ã ë à õMàòåìàòèêèéí ýëåìåíòàð ôóíêö¿¿ä áîëîí ºðãºí

õýðýãëýãääýã áóñàä òºðëèéí ôóíêö¿¿äèéí óòãûã àðãóìåíòèéí ºãñºí óòãàíä áîäîæ ºãäºã ïðîãðàì áàéäàã. Èéì ïðîãðàìûã ñò à íä à ðò ô ó íê ö ãýíý.

s in(x), c o s (x), tg (x), a rc tg (x) ln(x), lg(x) ex, x2, |x| -òîîíû ìîäóëü [x]- áîäèò òîîíû á¿õýë õýñýã, {x}-áîäèò òîîíû áóòàðõàé õýñýã

õýëáýðòýé áè÷ëýãèéã èëýðõèéëýëä áè÷èæ áîëíî

x

27

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (7)

Àëèâàà èëýðõèéëëèéã áè÷èõäýý:

1-ðò: Õààëòàí äîòîðõ äýä èëýðõèéëëèéí óòãûã ýõýëæ áîäíî.

2-ðò: Ôóíêöèéí óòãûã áîäíî.3-ðò: ¯ðæèõ, õóâààõ, \ ¿éëäë¿¿äèéã áèåë¿¿ëíý.4-ðò: Íýìýõèéí òºðëèéí (íýìýõ, õàñàõ) ¿éëäë¿¿äèéã

áèåë¿¿ëíý

ãýñýí ¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í á è å ë ý ã ä ý õ ýðý ìá è é ã òîîöîæ, øààðäëàãàòàé èëýðõèéëëèéã () õààëòàíä áè÷íý.

28

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (8)

Óòãà îëãîõ ¿éëäëèéí æèøýý: 1. x := 0 /x- õóâüñàã÷èä òýã óòãà îëãîæ áàéíà. 2. x := y /y- õóâüñàã÷èéí óòãàòàé

òýíö¿¿ óòãûã x- õóâüñàã÷èä îëãîíî3. i := i+1 / i- õóâüñàã÷èéí óòãà íýãýýð íýìýãäýíý

(óòãà îëãîõ òýìäãèéí áàðóóí òàëä áè÷ñýí èëýðõèéëëèéí óòãûã áîäîõäîî òýíä áè÷ñýí õóâüñàã÷óóäûí óòãûã ñàíàõ îéãîîñ óíøèõ ¿éëäëèéã ã¿éöýòãýäýã, õàðèí óòãà îëãîõäîî ñàíàõ îéä áè÷íý)

1. t := -t /t õóâüñàã÷èéí óòãûí òýìäãèéã ýñðýã áîëãîæ áè÷íý

29

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (9)

5. d := b2-4⋅a ⋅ c /a, b, c – õóâüñàã÷óóä óòãàòàé áàéõ

6. f := sin(x)/x /x-èéí óòãà òýãýýñ ÿëãààòàé áàéõ ¸ñòîé

30

2.3.3 ¯ð ä¿íã ãàðãàõ ¿éëäýë Àëãîðèòì, ïðîãðàìûí ¿ð ä¿í - ìýäýýëëèéã ÿíç á¿ðèéí (òåêñò,

õ¿ñíýãò, ãðàôèê, çóðàã, ÿðèà ã.ì.) õýëáýðýýð ãàðãàõ ¿éëäë¿¿ä øààðäëàãàòàé áîëäîã

ïðîãðàìûí ¿ð ä¿íä (øèéäòýé, øèéäã¿é, áîëíî, áîëîõã¿é ã.ì.) òàéëáàð áè÷èã áóþó òîãòìîë òåêñò ãàðãàõ õýðýãòýé áîëäîã

Òîîí áîëîí ¿ñãýí ìýäýýëëèéã äýëãýö äýýð òåêñò õýëáýðòýé ãàðãàõ ¿éëäýë èë¿¿ ò¿ãýýìýë øààðäàãäàíà

‘ò à é ë á à ð ’, '¿ ð ä ¿ í', 'n= ' ã.ì. àïîñòðîô òýìäãýýð õàøèæ áè÷íý.

31

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (14)

Aëãîðèòìûí ¿éëäëèéã òýìäýãëýñýí ä¿ðñèéã á ë îê ãýíý,õîîðîíäîî õîëáîãäñîí ãåîìåòðèéí ä¿ðñýýð àëãîðèòìûã

ä¿ðñëýõèéã á ë îê - ñõ å ìý ýð ä ¿ ðñë ý õ ãýæ íýðëýíý

áëîê-ñõåìýýð àëãîðèòìûã ä¿ðñëýõýä ¿éëäë¿¿äèéí áèåëýãäýõ äýñ äàðààëëûã òóëä ñó ìò à é áà ñó ìã ¿ é õ ýð÷ ìý ýð çààíà,

àëãîðèòìûí ýõëýë, òºãñãºëèéã áàñ òóñãàéëàí òýìäýãëýæ çààæ ºãäºã

32

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (15)

óðñãàëûí òàñàðñàí øóãàìûã (íýã õóóäàñíààñ ººð õóóäñàíä àëãîðèòìûã äàìæóóëæ áè÷èõ ýñâýë íýã õóóäàñíààñ ººð õóóäàñ ðóó øèëæèõ øèëæèëòèéã) òýìäýãëýíý:

33

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (17)

Æèøýý 1: r >0 áîäèò òîî ºãºäñºí áîë r ðàäèóñòàé òîéðãèéí óðò, r ðàäèóñòàé äóãóéí òàëáàé áîëîí r ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëæ áè÷èõ àëãîðèòì çîõèî.

àëèâàà àëãîðèòìä, óòãà íü ºãºãäºõ ¸ñòîé õýìæèãäýõ¿¿íèéã à ë ã îð è ò ìûí à ðã ó ìå íò ãýæ íýðëýýä à ðã ãýæ òýìäýãëýå.

¿ð ä¿í áîëãîí óòãûã íü ãàðãàõ õýìæèãäýõ¿¿íèéã à ë ã îð è ò ìûí ¿ ð ä ¿ í (¿ ðä ¿ í) ãýíý

à ðã r, ¿ ðä ¿ í L, S, V

L=2 π⋅r, s=π⋅r2, V=4/3 π⋅r3

34

Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä (18)

35

2.3.4 Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë îð ó ó ë à õ , ó ò ã à îë ã îõ , ã à ðã à õ ¿éëäë¿¿äýýñ á¿òñýí

àëãîðèòìä ¿éëäë¿¿ä íü áè÷èãäñýí äàðààëëààðàà áèåëýãääýã

àëãîðèòìä ¿éëäë¿¿äèéí áèåëýãäýõ äàðààëëûã ººð÷èëæ óäèðäàõ ¿éëäýë øààðäëàãàòàé áîëäîã

¿éëäë¿¿äèéí áèåëýãäýõ äàðààëëûã ººð÷ëºõ ¿éëäëèéã ó ä è ðä ë à ã à ä à ìæ ó ó ë à õ ¿ é ë ä ý ë ãýæ íýðëýäýã

def: Àëãîðèòìûí òîäîðõîé íýã àëõàìä ººð íýã àëõàìä øóóä øèëæèæ óëìààð òýð ¿éëäëýýñ áîäîëòûã ¿ðãýëæë¿¿ëýõ áîëîìæèéã õàíãàäàã ¿éëäëèéã íº õ ö º ë ò á è ø ó ä è ðä ë à ã à ä à ìæ ó ó ë à õ áóþó ø è ë æ è õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.

36

Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (2)

aëãîðèòìûã áëîê-ñõåìýýð ä¿ðñëýõ ¿åä øèëæèõ ¿éëäëèéã ñóìòàé õýð÷èìýýð òýìäýãëýäýã

Æèøýý 2: r1, r2, r3, … (ri > 0, i≥1) áàéõ áîäèò òîîíóóä

ºãºäñºí áîë ri ðàäèóñòàé á¿õ òîéðãèéí óðò, äóãóéí òàëáàé áîëîí áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ àëãîðèòì çîõèî.

à ðã r1, r2, r3, …

¿ ðä ¿ í L1, S1, V1 , L2, S2, V2 , L3, S3, V3,, …

37

Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (3)

38

Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (4)

L, S , V õóâüñàã÷èéí óòãûã áîäîæ áè÷ñíèé äàðàà ðà ä è ó ñûí ä à ðà à ÷ è é í ó ò ã ûã îð ó ó ë à õ ¿ é ë ä ý ë ä ø è ë æ ä ýã áàéõààð æ 1 _ 2 àëãîðèòìûã ººð÷ëºõ íü ç¿éòýé:

39

Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (5)

øèëæèõ ¿éëäëèéã îëîí õýðýãëýõýä àëãîðèòì, ïðîãðàìûã óíøèæ îéëãîõîä õ¿íäðýëòýé, á¿òöèéí õóâüä ìóó àëãîðèòì áîëäîã

1970-ààä îíû ¿åä øèëæèõ ¿éëäýëã¿é ïðîãðàì÷ëàõ îíîëûí ÷èãëýë õºãæèæ áàéñàí ¿åýñ õîéø çîõèîãäñîí ïðîãðàì÷ëàëûí õýë¿¿ä øèëæèõ ¿éëäýë àøèãëàõã¿é ïðîãðàì÷ëàõ áîëîìæèéã á¿ðýí õàíãàñàí áàéäàã

Ýíý õè÷ýýëèéí ÿâöàä áèä øèëæèõ ¿éëäëèéã õýðýãëýõã¿é

40

2.3.5 ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýëæ 2 _ 1 àëãîðèòì íü L, S , V ãóðâàí

õýìæèãäýõ¿¿íèéã r-èéí îëîí óòãàíä áîäîæ ¿ð ä¿íã ºãíº

ýíý ïðîöåññèéã òºãñãºõ ¿éëäýë áàéõã¿é ó÷èð à ë ã îð è ò ì ç à à â à ë ò º ã ñä º ã á à é õ øààðäëàãà õàíãàãäààã¿é áàéíà

ïðîöåññèéã òºãñäºã áîëãîõûí òóëä r-èéí óòãûã øàëãàæ òýãýýñ èõ (ðàäèóñ ýåðýã óòãàòàé áàéäàã ó÷èð) ¿åä áîäîëòûã ¿ðãýëæë¿¿ëäýã, õàðèí òýãýýñ áàãà þìóó òýíö¿¿ (r≤ 0 ) áîë áîäîëòûã òºãñãºäºã áàéõààð àëãîðèòìûã çîõèîâîë çºâ áîëíî

41

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (2)Èéì áàéäàë ìàø ò¿ãýýìýë òààðàëäàíà:

êâàäðàò òýãøèòãýë áîäîõ àëãîðèòìä à ≠0 áà d > 0 áàéõ

áóòàðõàéí óòãà áîäîõ ¿éëäëèéí ºìíº õóâààðü òýãýýñ ÿëãààòàé áàéõ

òýãø çýðãèéí ÿçãóóð ãàðãàõûí ºìíº ÿçãóóð äîîðõè èëýðõèéëëèéí óòãà ýåðýã

áàéõ íºõöºëèéã øàëãàõ õýðýãòýé

df: êîìïüþòåðèéí àëãîðèòìä òîäîðõîé íºõöºëèéã øàëãàæ ò¿¿íèé óòãà (“¿ íý í” ýñâýë “õ ó ä à ë ”) ÿìàð áàéãààãààñ õàìààð÷ áèåëýëòèéã õî¸ð ÿëãààòàé çàìààð ¿ðãýëæë¿¿ëýõ áîëîìæèéã ºãäºã ¿éëäëèéã íº õ ö º ë ø à ë ã à õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.

42

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (3)

êîìïüþòåðèéí àëãîðèòìä øàëãàõ íºõöºëèéã

Å< F, E= F, E> F, E≤F, E ≠ F, E≥F ëîãèê õýìæèãäýõ¿¿íèéã (ëîãèê èëýðõèéëëèéã) no t,

a nd , o r, x o r ¿éëäëýýð õîëáîñîí ëîãèêèéí èëýðõèéëýë

õýëáýðòýé áè÷íý

43

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (4)ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäëèéã äàíãààð õýðýãëýäýãã¿é, õàðèí

ýíý ¿éëäëèéí òóñëàìæòàéãààð ÿíç á¿ðèéí õýëáýðòýé íèéëìýë ¿éëäëèéã ¿¿ñãýæ àøèãëàäàã:

1. ‘a’ á¿òýöòýé ¿éëäëèéã ñà ë à à ë à õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.

a)

“õýðýâ íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé áîë ¿ é ë ä ý ë -1 – è é ã áèåë¿¿ë õàðèí õ ó ä à ë áîë ¿ é ë ä ý ë -2 – è é ã áèåë¿¿ë ”

44

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (4+)

íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé ¿åä

íº õ ö º ë õ ó ä à ë óòãàòàé áîë

45

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (5)

2. ‘á’ á¿òýöòýé ¿éëäëèéã à ë ã à ñà õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.

á)

“õýðýâ íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé áîë ¿ é ë ä ý ë -1 – è é ã áèåë¿¿ë áà õàðèí õ ó ä à ë áîë ø ó ó ä ä à ðà à ÷ è é í ¿ é ë ä ý ë ä øèëæ”

46

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (6)

3 . íº õ ö º ë ¿íýí áàéõàä áèåë¿¿ëýõ îëîí ¿éëäëèéã áè÷èõ øààðäëàãàòàé áîë ‘â’ õýëáýðòýé íèéëìýë ¿éëäýë ¿¿ñãýõ íü èë¿¿ òîõèðîìæòîé

â) àëãàñàõ ¿éëäýë

47

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (7)

48

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (8)

Æèøýý 3: õ , ó áîäèò òîîíû õóâüä

áàéõ z õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãûã îë.

à ðã õ , ó ; ¿ ðä ¿ í z

≤+−>−

=yxxy

yxyxz

õýðýâ

õýðýâ

,

,

1

≤−−>−

=yxyx

yxyxz

õýðýâ

õýðýâ

,)(1

,

49

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (9)

50

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (10)

Æèøýý 4: õ áîäèò òîî ºãºãäñºí áîë

áàéõ ó -èéí óòãûã îë.

à ðã õ ; ¿ ðä ¿ í ó

ø à ë ã à õ íº õ ö º ë íü á à ý íý íº õ ö º ë è é ã õ ý ë á ýðò ý é á è ÷ è æ á îë íî

≤≤−

=òîõèîëäîëäýñðýã 4

22õýðýâ2

,

, xxy

2|| ≤x22 ≤≤− xx and

51

ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (11)