TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm :

a/ b/

c / d/

2. Đối với :

a/ Nếu f(x)= thì ta chú ý :- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi ....3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :- Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm .

II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Tính các tích phân sau :

a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005)

b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . KQ:

Giải

a.

Đặt :

Khi đó :

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

b.

Đặt :

Do đó :

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 . KQ:

b. CĐ Bến Tre – 2005 . KQ:

Giải

a. . Đặt :

Do đó :

Vậy :

b. .

Ta có :

Cho nên :

Đặt :

Vậy :

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 2

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 .

b. CĐ Y Tế – 2006 . KQ:

Giải

a.

b.

Vì :

Do đó : Mặt khác :

Cho nên :

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau

a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 . KQ:

b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 . KQ:

Giải

a. . Vì :

Cho nên :

Đặt :

Vậy :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 3

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

b. . Đặt :

Vậy :

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :

a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 . KQ: 2

b. CĐ Bến Tre – 2006 .

Giải

a.

b. .

Ta có : .

Đặt :

Vậy :

Ví dụ 6. Tính các tích phân sau

a. I = b. I =

c. I = d. I =

Giải

a. I =

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 4

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

b. I =

c. I =

d. I = . Vì :

Cho nên :

Ví dụ 7. Tính các tích phân sau

a. I = b. I =

c. I = d. */I =

Giải

a. I =

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 5

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

b. I = .

Đặt :

Vậy :

c. I =

Vì :

Cho nên :

Vậy :

d. I = (1)

Đặt :

Do đó :

Lấy (1) +(2) vế với vế :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 6

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCVí dụ 8 . Tính các tích phân sau

a. (Y-HN-2000) b. (NT-2000) c. (NNI-2001)

d. ( GTVT-2000) e. f. (KB-03)

Giải

a. . Ta có :

Do đó :

* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :

Vậy :

b. .

Ta có :

Do đó :

Đặt :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 7

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCVậy :

c.

Ta có :

Vậy :

d.

e.

f.

Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :

a. b.

c.

Giải

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949Trang 8

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a.

b.

c. Ta có :

Do :

Vậy : (1)

- Mặt khác :

Do đó : (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Để tính K ta đặt

Vậy :

Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .

a. ( CĐ-99) b. (ĐH-LN-2000)

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 9

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

c. (SPII-2000)d. (MĐC-2000)

Giải

a.

b. .

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :

c.

Ta có :

Vậy :

d. .

Ta có :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 10

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Do đó :

* Chú ý : Ta còn có cách khác

f(x)=

Vậy :

Ví dụ 11. Tính các tích phân sau

a. (HVBCVT-99) b. ( HVNHTPHCM-98)

c. (ĐHNT-01) d. (ĐHTM-95)

Giải

a.

Đặt :

Vậy :

b. .

Ta có :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 11

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Vậy :

c. .

Vì :

Vậy :

d.

Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .

a. ( HVQHQT-96) b. (NNI-96)

c. (NNI-98 ) d. (ĐHTL-97 )

Giải

a.

Ta có :

Cho nên :

b.

Hạ bậc :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 12

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Vậy

d.

III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.

* Sử dụng công thức :

Chứng minh :

Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,

Do đó : . Vì tích phân không

phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau

a/ b/

c/ d/

e/ f/

Giải

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 13

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a/ .(1) . Đặt :

Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :

Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :

b/ . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :

Vậy :

c/ . Đặt :

Hay:

Vậy :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 14

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

d/ (1)

(2)

Cộng (1) và (2) ta có :

e/ . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx

Do đó :

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. 2. (XD-98 )

3. 4. ( HVNHTPHCM-2000 )

5. (ĐHKT-97 ) 6. ( AN-97 )

7. ( CĐSPHN-2000) 8. ( CĐSPKT-2000 )

9. (ĐHYDTPHCM-2000 ) 10.

* Dạng :

Cách giải :

Ta phân tích :

- Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C .- Tính I :

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 15

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCVÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ . Tính các tích phân sau :

a. ( Bộ đề ) b. ( XD-98 )

c. d. I =

Giải

a. . Ta có :

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :

. Thay vào (1)

- Tính tích phân J :

Đặt : . (3)

Tính (3) : Đặt :

Vậy :

b.

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 16

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Giống như phàn a. Ta có : ;C=0

Vậy :

Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .

BÀI TẬP

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. . ( KA-08) 12. . (KB-08)

13. . (KA-09 ) 14. . (KA-2011 )

15. . (KB-2011) 16. . (KA-06)

17. . CĐST-05) 18. .( CĐSPHN-05)

19. . ( CĐHY-06) 20. . CĐSPHN-06)

21. . ( CĐKT-06)

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 17

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Th.s Nguyễn Dương ĐT: 0932528949

Trang 18