TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƢ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN

----------------

BÀI BÁO CÁO

MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

NHÓM 03

CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm

Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042

2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109

3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126

4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127

5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142

6. Lý Sel MSSV: 1070157

7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163

Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009

TOÙM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ

I. Các định nghĩa:

Vectô laø ñoaïn thaúng coù đònh höôùng Kyù hieäu : AB

;CD

hoaëc a

; b

Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái. Kyù hieäu 0

.

Giaù của vectơ là đƣờng thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của

vectơ.

Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng

nhau.

Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng.

Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi.

II. Tổng và hiệu của hai vectơ:

Ñònh nghóa: Cho AB a

; BC b

. Khi ñoù AC a b

Tính chaát : * Giao hoaùn : a b

= b a

* Keát hôïp ( a b

) + c

= (a b

+ c

)

* Tính chaát vectô –khoâng a

+0

= a

Quy taéc 3 ñieåm :

Cho A, B ,C tuøy yù. Ta coù : AB

+ BC

= AC

Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì

AB

+ AD

= AC

Quy taéc veà hieäu vectô : Cho BC , với điểm O tuøy yù ta coù :

CBOCOB .

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 0 MBMA .

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì 0 GCGBGA .

Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2 .

III. Tích của vectơ với một số:

Cho kR , k a laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:

* Neáu k 0 thì k a cuøng höôùng vôùi a ; k < 0 thì k a ngöôïc höôùng

vôùi a

* Ñoä daøi vectô k a baèng k .a

Tính chaát :

a) k(m a ) = (km) a

b) (k + m) a = k a + m a

c) k( a + b ) = k a + k b

d) k a = 0

k = 0 hoaëc a = 0

b cuøng phöông a

( a

0

) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b

=k a

.

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho

AB

=k AC

.

Cho b

khoâng cuøngphöông a

, x

luoân ñöôïc bieåu dieãn x

= m a

+

nb

( m, n duy nhaát ).

IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ:

Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô i

coù ñoä

daøi baèng 1.

Kyù hieäu truïc (O; i

) hoaéc x’Ox

A,B naèm treân truïc (O; i

) thì AB = AB i

. Khi ñoù AB goïi laø ñoä daøi

ñaïi soá cuûa AB .

Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc

(O; i

; j

).

Ñoái vôùi heä truïc (O; i

; j

), neáu a

=x i

+y j

thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa

a

. Kyù hieäu a

= (x;y).

Cho a

= (x;y) ; b

= (x’;y’) ta coù :

a

b

= (x x’;y y’)

k a

=(kx ; ky) ; k R

b

cuøng phöông a

( a

0

) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa

x’=kx vaø y’= ky.

Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù:

P laø trung ñieåm MN thì xp =

2

M Nx x vaø yP =

2

M Ny y

MN

= (xM – xN ; yM – yN).

Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì

xG =

3

A B Cx x x vaø yG =

2

A B Cy y y .

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VECTƠ

1. Chứng minh đẳng thức vectơ:

Phƣơng pháp chung:

- Quy tắc 3 điểm: BCCABA

BCCABA

- Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn

có: CABADA

- Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có:

BMAMIM

2 .

- Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ

để thực hiện biến đổi tƣơng đƣơng cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta

lựa chọn một trong các biến đổi sau:

+ Biến đổi một vế thành vế còn lại

Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức.

Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.

+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng.

+ Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

+ Tạo dựng các hình phụ.

Ví dụ 1:

Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: BCDADCBA

Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép biến đổI VT, ta có:

BCDADBBDBCDADBBCBDDADCBA

)(

Nhận xét: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện

của các vectơ DA

và BC

. Do đó:

trong lời giải ta xen điểm D vào BA

còn điểm B vào vectơ DC

Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2

Cách 2: Thực hiện phép biến đổi VP. ta có:

DCBABDDBDCBABDDCDBBABCDA

)(

Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là

luôn đúng

BDBDDCBCDABABCDADCBA

Ví dụ 2:

Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng:

CBDADBCANM

2

Giải:

Cách 1:

Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì

NMMNBNAN

22 (1)

N là trung điểm của CD, với M bất kì thì

NMDMCM

2 (2)

Lấy (2)-(1) ta đƣợc:

)(2

)(24

0)(20

)(

)()(

)(4

DBCANM

DBCANM

DBCA

DBCADNCNDBCABMAM

BDDNACCNDBBMCAAM

BNANDMCMNM

Chứng minh tƣơng tự: VT = CBDA

Cách 2:

Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có:

)2(2

)1(2

DOCONO

BOAOMO

Lấy (2)-(1) ta đƣợc: )()()(2 BOAODOCOMONO

2 NM

= )()( BODOAOCO

2 NM

= DBCA

(1)

Ta cần chứng minh: CBDADBCA

VT= DCCBCDDA

= CBDA

= VP (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: CBDADBCANM

2

Ví dụ 3:

Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác.CMR:

0...

CIcBIbAIa ( a,b,c R )

Giải:

Dựng hình bình hành 22 ICAB có 2AB // 1CC , 2AC // 1BB . Ta đƣợc:

22 CIBIAI

(1)

Đặt: IB2 = b, IC2 = c

và IC = IB = IA = a.

BIa

bBI

2

( 2)

CICI

a

c

CB

AB

IC

IC

2

1

12

CIa

cCI

2 (3)

Thay (2),(3) vào (1)

0...

CIcBIbAIa

CIa

cBI

a

bAI

Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ

Phƣơng pháp chung

-Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho vMO

, trong đó điểm O và v

đã biết

-Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v.

Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M

Ví dụ :

Cho tam giácABC.

a) Tìm điểm I sao cho: 02

BIAI (1)

b) Tìm điểm K sao cho: BCBKAK

2 (2)

BIBI

a

b

BC

AC

IB

IB

2

1

12

A

C2

B

C1

C

B2

B1 I

Giải:

a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: ABBIAI

(1) 03

ABBI BAABBI

3 BABI

3

1

3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoả

điều kiện:

BABI

3

1

b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB

BIIA

2

BIAI

2

VT(2)= )(2)(2 BIIKAIIKBKAK

)2(3 BIAIIK

BIAI

2 02

BIAI

Vậy:

IKBKAK

32

Theo giả thiết ta đƣợc: CBKIBCIKBCIK

3

1

3

13

Kết quả này cho ta 2 vectơ KI

và CB

là 2 vectơ cùng phƣơng và vì I BC

nên IK//BC.

Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đƣờng thẳng qua I song

song với BC sao cho : CBKI

3

1

Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phƣơng pháp chung:

Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

ACkAB . ;(kR) (1)

Để nhận đƣợc (1) ta lựa chọn một trong hai hƣớng

- Hƣớng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết

- Hƣớng 2: Xác định ACAB, thông qua một tổ hợp trung gian.

Ví dụ:

Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng.

Giải

Chọn tổ hợp 3 vectơ OCOBOA ,,

Khi đó:

OCOBOAOG 3

1 (1)

Chọn E là trung điểm của BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta đƣợc:

BH // CA1 cùng vuông góc với AC.

CH // BA1 cùng vuông góc với AB.

Tứ giác A1BHC là hình bình hành.

A1, E, H thẳng hàng .

1HAHCHB

AHHAHAHAAHAA

HCHBAHOAHCAHOAHBAHOAOCOBOE

22

222

11

OEAH 2

Ta có: OCOBOAOEOAAHOAOH 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OHOG3

1 O, G , H thẳng hàng.

C

A1

1

O

H G

B

A

E

Dạng 4: Biểu diễn vectơ :

Định lý: Cho trƣớc hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phƣơng

.Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm đƣợc một cặp số thực , duy nhất

,sao cho:

c = a + b

Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phƣơng pháp thực hiện đƣợc miêu tả

trong bài toán sau:

Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG :

Ta lựa chọn một trong hai hƣớng :

Hƣớng1: Từ giả thiết xác định đƣợc tính chất hình học, rồi từ đó khai

triển vectơ cần biễu diễn bằng phƣơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai

vectơ cùng gốc.

Hƣớng 2: Từ giả thiết thiết lập đƣợc mối liên hệ vectơ giữa các đối

tƣợng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phƣơng pháp xen điểm hoặc

hiệu của hai vectơ cùng gốc.

Chú ý: Trong một vài trƣờng hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.

Ví dụ: Cho ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B1 là điểm đối xứng của

B qua G. Hãy biểu diễn vectơ 1CB theo AB và AC

Giải:

Từ giả thiết suy ra AB1CG là hình bình hành.

Ta đƣợc: 1CB = GA = - AG =3

2 AM =

3

2 .

2

1( AB + AC )= -

3

1( AB + AC )

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG:

Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai

hƣớng:

Hƣớng 1: Chứng minh 021 AA

Hƣớng 2: Chứng minh 21 OAOA với O là điểm tùy ý .

Ví dụ 1: Cho ABC .Lấy các điểm A1 BC , B1 AC , C1 AB sao cho

0111 CCBBAA

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm.

Giải

Gọi G,G1 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 ta có :

)()()(0 111111111111 CGGGCGBGGGBGAGGGAGCCBBAA

= 11111111 33)()( GGGGCGBGAGGCGBGA

01 GG

1GG

Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lƣợt là trung điểm của

AB, BC, CD, DA.Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng

trọng tâm.

Giải :

Gọi G1 ,G2 lần lƣợt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một

điểm tùy ý.

Ta có:

2

1

3

3

OGOQOMOC

OGOPONOA

1OG = 1/3 ( OPONOA ) (1) và 2OG =1/3 ( OQOMOC ) (2):

Do N là trung điểm của BC :

ON = 1/2 ( OCOB )

Và P là trung điểm của CD:

OP = 1/2 ( ODOC )

(1) => 1OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD ( * )

Mặt khác ta lại có:

M là trung điểm của AB :

=> OM = 1/2 ( OBOA )

Q là trung điểm của DA :

=> OQ = 1/2 ( OAOD )

( 2) => 2OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD (**)

Từ ( * ) và ( ** ) :

1OG = 2OG

G1 Trùng G2 .

Dạng 6: Quỹ tích điểm.

Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG:

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:

1. Nếu MBMA với A, B cho trƣớc thì M thuộc đƣờng trung trực của

đoạn AB.

2. ABkMC với A, B, C cho trƣớc thì M thuộc đƣờng tròn tâm C, bán

kính bằng k.AB

3. Nếu BCkMA . ,với A,B,C cho trƣớc thì

Với Rk điểm M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC.

Với Rk điểm M thuộc nửa đƣờng thẳng qua A song song với

BC theo hƣớng BC

Với Rk điểm M thuộc nữa đƣờng thẳng qua A song song với

BC ngƣợc hƣớng BC

Ví dụ:

Cho ABC tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

0 MCkMBkMA (1)

Giải

Ta biến đổi (1) về dạng:

BCkMA

MBMCkMA

)(

M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC.

PHẦN BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh 1 đẳng thức vectơ

Bài tập 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR:

ABCBCEDCDEAC

Giải:

Cách 1:

Ta có: )(. dpcmABCBAC

CBCECEACCBCEDCDEAC

Cách 2: Ta có:

ABCBCEDCDEAC

BABDDABCCDDA

BCECEDCDCABCECCDEDCA

Bài tập 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR:

a) DBACCDAB

b) CDBFAECFBEAD

Giải:

a)Cách 1: Ta có: DBACCDCBACCDAB

Ngoài ra: Ta cũng có thể chèn điẻm B vào CD . Nếu xuất phát từ vế phải ta

có thể chèn diểm B vào AC hoặc C vào .DB

Cách 2: ACDBCDABDCDBACABCB

b)

0 CBBAACFBCFEABEDCAD

CDBFAECFBEAD

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng quy tắc chèn điểm để chứng minh.

Bài tập 3:Cho ABC . Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho

MB=2MC.

CMR: ACABAM3

2

3

1

Giải:

Cách 1:Ta có:

ACABABCAAB

CBABCMABBMABAM

3

2

3

1

3

2

3

22

C

A

M

B

N

Cách 2: Ta có: ABACBC

Mặt khác: MB=2MC BCBM3

2

ACABABACAB

CBABMBABAM

3

2

3

1

3

2

3

2

Cách 3: Chọn N thỏa NC=2NB. Khi đó: BN=NM=MC

NAC có: ANACAM 2

BAM có: AMABAN 2

AMABAN2

1

2

1

AMABACAM2

1

2

12

ACABAM3

2

3

1

Bài tập 4: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lƣợt là trung điểm của

AB, CD. O là trung điểm của EF.

Chứng minh rằng:

a) )(2

1BDACEF

b) 0 ODOCOBOA

c) MOMDMCMBMA 4

Giải:

A E B

C D

F

O

a) Cách 1: Ta có: )2(2

)1(2

ODOCÒF

OBOAOE

BDACÈF

OBODOAOCOEÒF

2/1

2

Cách 2: Ta có: DCBDABDFBDEBEF2

1

2

1

BCDBBDCBAC 2

1)(

2

1 BDAC

2

1

b) Cách 1: Sử dụng kết quả câu a: (1) + (2) 0 ODOCOBOA

Cách 2:

02

FDFCEBEAOFOE

FDOFFCOFEBOEEAOE

ODOCOBOA

c) Cách 1 : Sử dung kết quả câu b:

0 ODOCOBOA

0 MDOMMCOMMBOMMAOM

MOMDMCMBMA 4

Cách2: ODMOOBMOOAMOMDMCMBMA

ODOCOBOAMO 4

MO4 .

Bài tập 5: Cho ABC . Chứng minh rằng:

a) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi 0 GCGBGA

b) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi MGMCMBMA 3

( Với M là điểm bất kỳ ).

Giải:

a) Gọi A’, B’, C’ lần lƣợt là trung điểm của BC,

AC, AB.

Ta có: GCGBGA )'''(3/2 CCBBAA

( tính chất đƣờng trung tuyến)

Mà:

'''''' ACCAABBABAABCCBBAA

0

2

1

2

1

2

1

'''

ABCABC

ACCBBA

Do đó: 0 GCGBGA .

b) MCMBMACGMCBGMBAGMAMG 3

Bài tập 6: Cho ABC và ''' CBA có trọng tâm lần lƣợt là G và

'G .Chứng

minh rằng: '3''' GGCCBBAA . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để

hai tam giác có cùng trọng tâm.

Giải:

Ta có:

'3'''''''''''' GGCGGGCGBGGGBGAGGGAGCCBBAA

Vì: 0 CGBGAG

0'''''' GCGBGA

- ĐK cần và đủ để 2 tam giác ABC và ''' CBA có cùng trọng tâm là:

0''' CCBBAA

G

C’ B’

A’

C

A

B

Bài tập 7: Cho lục giác ABCDEFGH. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lƣợt là trung

điểm của AB, BC, CD,DE, EF, FA.

Chứng minh rằng: Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Giải:

Cách 1:

Ta có: 0)(2/1 EACEACRSPQMN

Do đó: theo bài tập 6 MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cách 2:

Gọi G là trọng tâm MPR . Khi đó: 0 GRGPGM

0 RGPGMG (1)

Lấy bất kỳ trong mặt phẳng, ta có: MGOMOG

PGOPOG

RGOROG

RGPGMGOROPOMOG 3 (2)

Kết hợp (2) và (1) ta suy ra: OROPOMOG 3

1

Trong OAB : Có M là trung điểm của AB.

OBOAOM 2

Tƣơng tự, xét OCD và OEF ta đƣợc: OCODOF 2

OFOEOR 2

Thay vào (2) ta có: OFOEODOCOBOAOG 6

1

A M B

N

C

P

D

Q E

R

F

S

Gọi 'G là trọng tâm NQS . Tƣơng tự nhƣ trên:

OSOQONOG 3

1'

= OFOEODOCOBOA 6

1

Vậy '' GGOGOG

Dạng 2: Xác định một điểm thỏa mãn hệ thức vectơ

Bài tập 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M, biết: 032 MBMA (1).

Giải:

Ta có: 032 MBMA

ABAM

ABMA

ABMAMA

3

03

032

Vậy điểm M hoàn toàn xác định đƣợc.

Bài tập 2: Cho 2 điểm A, B và một vectơ v . Xác định điểm M biết:

vMBMA

Giải:

Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó:

MOMBMA 2

Do đó: (1) vMO2

1 .

Vậy điểm M hoàn toàn xác định đƣợc.

Bài tập 3: Cho ABC . Gọi M là trung điểm của AB. N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NANC 2 .

a) Xác định điểm K sao cho: 3 0122 AKACAB

b) Xác định điểm D sao cho: 01243 KDACAB

Giải:

a) Ta thấy: AMABAMAB

AMAB2

2

ANAC

ANAC

ANAC3

3

3

Suy ra ANAMAKAKANAM 2

101266

K là trung điểm MN.

b) Ta có:

ACABADAKADKD

6

1

4

1

Suy ra: 06

1

4

11243

ACABADACAB

ACABAD 2

1

D là trung điểm BC.

Bài tập 4: Cho ABC . Dựng các điểm I, J, L thỏa các đẳng thức:

a) 02 ICIB

b) 023 LCLBLA

c) 2 CAJBJCJA

Giải:

a) Ta có: 02 ICIB 03 IBICIB IBCB 3 .

Nên điểm I hoàn toàn xác định đƣợc.

b) Có: 02 LCLABA

LMBA 4 với M là trung điểm AC.

Vậy L xác định đƣợc.

c) Ta có CAJCJAJBJA

CJBA

JACAJCBA

2

Vậy điểm J hoàn toàn xác định đƣợc.

Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý. Trong mỗi trƣờng hợp hãy

tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa mãn

với mỗi điểm M.

a) MIkMBMA 2 (1)

b) MJkMCMBMA 2 (2)

c) MKkMDMCMBMA 3 (3)

Giải:

a) Vì (1) thỏa mãn , do đó đúng với IM . Khi đó: 02 IIkIBIA

Vậy điểm I luôn xác định đƣợc.

Mặt khác: 33222 kMIkMIIBMIIAMIMBMA

b) Vì (2) thỏa mãn M , do đó đúng với JM , tức là:

02 JJkJCJBJA .

Khi đó: 022 JCJE ( Với E là trung điểm của AB )

J là trung điểm CE. Ta xác định đƣợc J.

Tƣơng tự nhƣ câu a: .442 kMJkMJMCMBMA

c) Vì (3) thỏa mãn ,M do đó đúng .KM

Khi đó: 033 KKKDKCKBKA

Gọi G là trọng tâm 033 KDKGABC

K là trung điểm GD. Ta xác định đƣợc K.

Mặt khác: 663 kMKkMKMDMCMBMA

DẠNG 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC

a. Gọi P,Q là hai điểm lần lƣợt thỏa

02 PCPB (1) và 025 QCQBQA (2)

CMR:P, Q, A thẳng hàng.

b. Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm

trên AB sao cho AB = 3AK .

CMR:I,J,K thẳng hàng.

Giải:

a. ta cò: 022 QCPQQBPQ

023 QCQBPQ

Mà (2) QAQCQB 52

=> 053 QAPQ

QAPQ3

5

Vậy P,Q,A thẳng hàng..

b.

Ta có: JIJBJC 2

JKJI

JIJKAJJK

JIAKJK

JIKBJK

3

JIJK30

JIJK3)AJJC2(

)(2

2

Vậy 3 điểm I,J,K thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa:

)2(023)1(02 JCJAvàIBIA

CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC.

Giải:

)'2(0235

02233)2(

)'1(02

022)1(

GCGAJG

GCJGGAJG

GBGAIG

GBIGGAIG

(2)-(1)IGJG

GCGBGAIGJG

5

0)(25

C

A

I B

J K

Vậy I, J,G thẳng hàng.

Bài tập 3: cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:

)2(0352)1(032 JCJBJAvàICIA

a) CMR: M,N,J thẳng hàng, với M,N lần lƣợt là trung điểm của AB và

BC.

b) CMR: J là trung điểm của BI

GIẢI

a) Ta có JM, JN lần lƣợt là trung tuyến của tam giác AJB, BJC

Nên

JCJBJN

JBJAJM

2

2

Mà:

JNJM

JNJM

JCJBJBJA

JCJBJA

2

3

064

03322

0352

Vậy M, N, J thẳng hàng

b)

JBIJ

JBIJ

JCJBJAMà

JCIJJAIJ

55

0352

03322)1(

vậy J là trung điểm BI

Bài tập 4: cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho :

)2(022

)1(0223

JCJBJA

IDICIA

CMR: I, J, O thẳng hàng.

GIẢI:

A

M

J I

N

B C

JOIO

OBODJOIO

OBOCJOODOAIO

OBOCJO

OCJOOBJOOAJO

ODOAIO

ODIOOCIOOAIO

3

0)(23

0223)'2()'1(

)'2(02

02222)2(

)'1(023

0222233)1(

Vậy I, J, O thẳng hang.