Bài tập chương 1

1 Thực hiện các phép nhân ma trận

a.

3 1 1

2 1 2

1 2 3

.

1 1 −1

2 −1 1

1 0 1

b.

[

2 −2 3

5 4 −1

]

4 0

5 −3

1 2

[

a b

c d

]

c.

x

y

z

[

x y z]

d.[

x y z]

x

y

z

e.[

x 1

0 x

]n

2 Chứng minh rằng nếu AB = B A thìa. (A+B)2 = A2 +2AB +B 2 b. A2 −B 2 = (A+B)(A−B)

3 Tìm f (A) với

f (x) = x2 −5x +3, A =[

2 −1

−3 3

]

4 Tìm tất cả các ma trận cấp hai có bình phương bằng ma trận đơn vị

5 Cho

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c d

a′ b′ c ′ d ′

a′′ b′′ c ′′ d ′′

a′′′ b′′′ c ′′′ d ′′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=∆. Tính các định thức sau

a.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b c d a

b′ c ′ d ′ a′

b′′ c ′′ d ′′ a′′

b′′′ c ′′′ d ′′′ a′′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d c b a

d ′ c ′ b′ a′

d ′′ c ′′ b′′ a′′

d ′′′ c ′′′ b′′′ a′′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6 Biết rằng các số 204,527,255 chia hết cho 17. Hãy chứng minh định thức

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 0 4

5 2 7

2 5 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

chia hết

cho 17.

7 Sử dụng các tính chất của định thức, chứng minh

a.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 +b1x a1 −b1x c1

a2 +b2x a2 −b2x c2

a3 +b3x a3 −b3x c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 x y z

x 0 z y

y z 0 x

z y x 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 1

1 0 z2 y2

1 z2 0 x2

1 y2 x2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

8 Tính các định thức sau

a.∣

∣

∣

∣

∣

loga b 1

1 logb a

∣

∣

∣

∣

∣

b.∣

∣

∣

∣

∣

a c +di

c −di b

∣

∣

∣

∣

∣

22

c.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 i 1+ i

−1 1 0

1− i 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(a−b) cos(b −c) cos(c −a)

cos(a+b) cos(b +c) cos(c +a)

sin(a+b) sin(b +c) sin(c +a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9 Tính các định thức sau

a. D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

5 4 2 1

2 3 1 −1

−5 −7 −3 9

1 −2 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b. D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

c. D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 x1 x21 x3

1

1 x2 x22 x3

2

1 x3 x23 x3

3

1 x4 x24 x3

4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

10 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo các dòng và cột thích hợp

a.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 −1 −1

0 −1 −1 1

a b c d

−1 −1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 1 x

1 2 1 y

1 1 2 z

1 1 1 t

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

11 Giải phương trình∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 x x2 x3

1 2 4 8

1 3 9 27

1 4 16 64

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

12 Cho A là ma trận vuông cấp n

a. Cho det(A) = 3, tính det(A2),det(A3)

b. Cho biết A khả nghịch và det(A) = 4, tính det(A−1)

c. Cho det(A) = 5 và B 2 = A, tính det(B)

d. Cho det(A) = 10, tính det(AT A)

13 Tìm hạng của ma trận sau

a. A =

2 −1 3 −24

4 −2 5 1 7

2 −1 1 8 2

b. A =

1 3 5 −1

2 −1 −3 4

5 1 −1 7

7 7 9 1

14 Xác định hạng của ma trận sau theo λ ∈R

a. A =

3 λ 1 2

1 4 7 2

1 10 17 4

4 1 3 3

b. A =

−1 2 1 −1 1

λ −1 1 −1 −1

1 λ 0 1 1

1 2 2 −1 1

c. B =

1 λ −1 2

2 −1 λ 5

1 10 −6 1

23

15 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

a. A =

1 2 −3

0 1 2

0 0 1

b. B =

1 −1 2

−1 2 1

2 −3 2

c. C =

2 1 0 0

3 2 0 0

1 1 3 4

2 −1 2 3

16 Giải phương trình AX = B đối với ẩn là ma trận X , với

A =

1 −1 1

−1 2 1

−2 3 1

, B =

1 1 1 −1

1 0 2 2

1 −2 2 0

17 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình

X

1 1 −1

2 1 0

1 −1 1

=

1 −1 3

4 3 2

1 −2 5

18 Tìm ma trận X để AX = B và Y để Y AT = B với

a. A =[

1 2 0

−1 2 1

]

, B =[

1 2

−1 2

]

b. A =

1 2 −3

3 2 −4

2 −1 0

, B =

1 −3 0

10 2 7

10 7 8

19 Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa A2 −3A+ I = 0 thì A−1 = 3I − A

20 Chứng minh rằng nếu A khả nghịch và AB = AC thì B =C .

24

Bài tập chương 2

1 Trong các bài tập dưới đây, người ta cho một tập các phần tử gọi là vector, hai phép toáncộng vector và nhân một số với vector. Hãy xác định tập nào là không gian vector và nếu có tậpnào không là không gian vector thì chỉ ra các tiên đề mà tập đó không thỏa.

a. Tập tất cả các bộ ba (x, y, z) ∈R3 với các phép toán

(x, y, z)+ (x′, y ′, z ′) = (x +x′, y + y ′, z + z ′)

k(x, y, z) = (kx, y, z)

b. Tập các bộ ba (x, y, z) ∈R3 với các phép toán

(x, y, z)+ (x′, y ′, z ′) = (x +x′, y + y ′, z + z ′)

k(x, y, z) = (0,0,0)

c. Tập các cặp số thực (x, y) với phép toán

(x, y)+ (x′, y ′) = (x +x′, y + y ′)

k(x, y) = (2kx,2k y)

d. Tập các số thực x với phép toán cộng và nhân thông thường.

e. Tập các cặp số thực có dạng (x, y) trong đó x ≥ 0 với các phép toán thông thường trongR

2

f. Tập các cặp số thực (x, y) với các phép toán

(x, y)+ (x′, y ′) = (x +x′+1, y + y ′+1)

k(x, y) = (kx,k y)

2 Mỗi tập dưới đây có là không gian con của không gian vector R3 hay không

a. Tập tất cả các vector có dạng (a,0,0)?

b. Tập tất cả các vector có dạng (a,1,1)?

c. Tập tất cả các vector có dạng (a,b,c) với b = a+c?

d. Tập tất cả các vector có dạng (a,b,c) với b = a+c +1?

3 Mỗi họ vector dưới đây có sinh ra R3 hay không?

a. v1 = (1,1,1), v2 = (2,2,0), v3 = (3,0,0)

b. v1 = (2,−1,3), v2 = (4,1,2), v3 = (8,−1,8)

c. v1 = (3,1,4), v2 = (2,−3,5), v3 = (5,−2,9), v4 = (1,4,−1)

d. v1 = (1,3,3), v2 = (1,3,4), v3 = (1,4,3), v4 = (6,2,1)

37

4 Hãy biểu diễn vector x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w

a. x = (7,−2,15); u = (2,3,5); v = (3,7,8); w = (1,−6,1)

b. x = (0,0,0); u = (2,3,5); v = (3,7,8); w = (1,−6,1)

c. x = (1,4,−7,7); u = (4,1,3,−2); v = (1,2,−3,2); w = (16,9,1,−3)

d. x = (0,0,0,0); u = (4,1,3,−2); v = (1,2,−3,2); w = (16,9,1,−3)

5 Xác định λ sao cho x là tổ hợp tuyến tính của u, v, w

a. u = (2,3,5), v = (3,7,8), w = (1,−6,1), x = (7,−2,λ)

b. u = (4,4,3), v = (7,2,1), w = (4,1,6); x = (5,9,λ)

c. u = (3,4,2), v = (6,7,8), x = (9,12,λ)

d. u = (3,2,5), v = (2,4,7), w = (5,6,λ), x = (1,3,5)

6 Các tập dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:a. (1,2,3), (3,6,7) trong R

3 b. (4,−2,6), (6,−3,9) trong R3

c. (2,−3,1), (3,−1,5), (1,−4,3) trong R3 d. (5,4,3), (3,3,2), (8,1,3) trong R

3

7 Họ vector nào dưới đây là cơ sở của R3

a. (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3) b. (3,1,−4), (2,5,6), (1,4,8)

c. (2,−3,1), (4,1,1), (0,−7,1) d. (1,6,4), (2,4,−1), (−1,2,5)

8 Chứng minh họ vector {v1 = (1,2,−1,2), v2 = (2,3,0,−1), v3 = (1,2,1,3), v4 = (1,3,−1,0)} là cơ sởcủa R

4. Tìm tọa độ của X = (7,14,−1,2) đối với cơ sở đó.

9 Xác định số chiều của các không gian con của R4

a. Các vector dạng (a,b,c,0)

b. Các vector dạng (a,b,c,d) trong đó d = a+b và c = a−b

c. Các vector có dạng (a,b,c,d) trong đó a = b = c = d

10 Trong không gian vector R4 cho các không gian con sau

W1 = {(a,b,c,d) : b −2c +d = 0}, W2 = {(a,b,c,d) : a = b,b = 2c}

Tìm cơ sở, số chiều của W1,W2,W1 ∩W2

11 Chứng minh các tập hợp sau đây là không gian con của không gian vector tương ứng vàtìm cơ sở, số chiều của chúng

a. D1 = {(x1, x2, x3) : x2 =x1 +x3

2, xi ∈R, i = 1,3}

b. D2 = {(x1, x2, . . . , xn−1,0) : xi ∈R, i = 1,n −1}

c. D3 = {(x1, x2, . . . , xn) : x1 +x2 + . . .+xn = 0, xi ∈R, i = 1,n}

38

12 Tìm cơ sở và số chiều của không gian vector con sinh bởi họ vector

{v1 = (1,2,0,1), v2 = (2,1,3,1), v3 = (−1,1,−3,0)}

13 Cho họ vector v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1), v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n). Tìm m,n đểr ({v1, v2, v3}) = r ({v1, v2, v3, v4})

14 Trong không gian vector R3, cho hai họ vector

A = {v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,2), v3 = (1,2,3)}, B = {u1 = (2,1,−1),u2 = (3,2,5),u3 = (1,−1,m)}

a. Chứng minh rằng A là một cơ sở của không gian vector R3

b. Tìm điều kiện của m để B là một cơ sở của không gian vector R3

c. Trong trường hợp B là một cơ sở của R3, tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B và tìm

tọa độ của vector u đối với hai cơ sở đó.

15 Trong không gian vector R3, cho hai họ cơ sở

A = {v1 = (1,1,0), v2 = (0,1,1).v3 = (1,0,1)}, B = {u1 = (0,1,1),u2 = (1,−1,0),u3 = (1,1,1)}

a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B và từ B sang A

b. Tìm tọa độ của vector x = (1,−1,1) trong hai cơ sở đó.

39

Bài tập chương 3

1 Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm

a.

x + 2y + m2z = 1

x + 2y + 4z = 2

x + 3y + 9z = 3

b.

x + 2y + 3t = 7

x + 2y + z + 5t = 16

x + 3y + z + 8t = 23

5x + 12y + 2z + 13t = m

6x + 14y + 2z + 16t = 46

2 Giải các hệ phương trình sau bằng hai cách: sử dụng Định lý Cramer và ma trận nghịch đảo

a.

2x − 2y − z = 1

y + z = 1

−x + y + z = −1

b.

x − y + z = 1

2x + y + z = 2

3x + y + 2z = 0

c.

2x1 − x2 − x3 = 4

3x1 + 4x2 − 2x3 = 11

3x1 − 2x2 + 4x3 = 11

d.

3x1 + 2x2 + x3 = 5

2x1 + 3x2 + 2x3 = 1

2x1 + x2 + 3x3 = 11

3 Dùng phương pháp Gauss giải các hệ phương trình sau

a.

2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

b.

3x1 + 4x2 + 5x3 + 7x4 = 1

2x1 + 6x2 − 3x3 + 4x4 = 2

4x1 + 2x2 + 13x3 + 10x4 = 0

5x1 + 21x2 + 13x3 = 1

4 Giải và biện luận các hệ phương trình sau

a.

λx + y + z = 1

x + λy + z = λ

x + y + λz = λ2

b.

x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2

2x1 − x2 + x3 + x4 = 1

x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = a

c.

mx + y + z = 1

x + m y + z = 1

x + y + mz = 1

5 Cho hệ phương trình

x + y + mz = 1

x + m y + z = a

x + (m +1)y + (m +1)z = b

a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b. Với a,b như thế nào để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

6 Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau

48

a.

x1 + x2 − x3 + 2x4 − x5 = 0

2x1 − x2 + 3x3 + x4 + 5x5 = 0

−x1 + 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0

−5x1 − x2 + 5x3 + 10x4 + 9x5 = 0

3x1 + 7x3 + 9x4 + 8x5 = 0

b.

7x1 − 2x2 + 7x3 − 7x4 − 5x5 = 0

x1 + x2 + 3x3 − 10x4 + 3x5 = 0

5x1 − 4x2 + 5x3 + x4 − x5 = 0

−x1 + 2x2 − x3 − 3x4 + x5 = 0

7 Trong các hệ sau, hệ nào có nghiệm không tầm thường, hệ nào không có

a.

x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 0

4x1 − 7x2 − 3x3 − x4 = 0

3x1 + 2x2 + 7x3 + 8x4 = 0

b.

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

x2 + 4x3 = 0

5x3 = 0

8 Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thường

a.

ax − 3y + z = 0

2x + y + z = 0

3x + 2y − 2z = 0

b.{

(1−a)x + 2y = 0

2x + (4−a)y = 0

c.

ax1+ x2+ . . . +xn = 0

x1+ ax2+ . . . +xn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x1+ x2+ . . . +axn = 0

9 Tìm cơ sở và số chiều của không gian con nghiệm của các hệ phương trình thuần nhất sau

a.{

x + 4y + 2z = 0

2x + y + 5z = 0b.

x + 2y − 2z + 2s − t = 0

x + 2y − z + 3s − 2t = 0

2x + 4y − 7z + s + t = 0

49

Bài tập chương 4

1 Ánh xạ f : R3 →R2 sau đây có là ánh xạ tuyến tínhhay không

a. f (x, y, z) = (x, x + y + z) b. f (x, y, z) = (0,0)

c. f (x, y, z) = (1,1) d. f (x, y, z) = (2x + y,3y −4z)

2 Ánh xạ f : M2(R) →R dưới đây có là ánh xạ tuyến tínhkhông

a. f

([

a b

c d

])

= a+d b. f

([

a b

c d

])

= det

[

a b

c d

]

c. f

([

a b

c d

])

= 2a+3b +c −d d. f

([

a b

c d

])

= a2 +b2

3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 →R2 xác định bởi f (3,1) = (2,−4), f (1,1) = (0,2). Xác định f (x, y).

4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 →R3 xác định bởi f (x, y, z, t ) = (x− y +z,2x+z,2y +x− t ). Tìm một

cơ sở của ker f và một cơ sở của I m f . Xác định tính đơn cấu, toàn cấu của f .

5 Cho

f : R3 →R3

(x1, x2, x3) 7→ (x1 +x2 +x3, x1 −x2,2x1 +x3)

a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

b. Xác định dim I m f ,dimker f

6 Cho T : R3 →R2 là một ánh xạ ma trận và giả sử

T

1

0

0

=

[

1

1

]

, T

0

1

0

=

[

3

0

]

, T

0

0

1

=

[

4

−7

]

a. Tìm ma trận của T

b. Tìm T

1

3

8

c. Tìm T

x

y

z

7 Chứng minh rằng ánh xạ f sau là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của nó theo cơ sở chínhtắc

a. f : R3 →R xác định bởi f (x, y, z) = x +2y +3z

b. f : R3 →R3 xác định bởi f (x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)

59

8 Cho T : R2 →R2 là một ánh xạ (nhân với ma trận)

[

2 −1

−8 4

]

a. Vector nào dưới đây thuộc tập I m(T )?

• (1,-4)

• (5,0)

• (-3,12)

b. Vector nào dưới đây thuộc tập kerT ?

• (5,10)

• (3,2)

• (1,1)

9 Cho V là một không gian vector, cho T : V →V xác định bởi T (v) = 3v

a. Tìm ker(T )

b. Tìm I m(T )

10 Tìm số chiều của ker(T ) và I m(T ) với

a. T cho ở Bài tập 4

b. T cho ở Bài tập 5

11 Tìm ánh xạ tuyến tínhT : P2 → P2 xác định bởi T (1) = 1+x, T (x) = 3−x2, T (x2) = 4+2x−3x2.Tính T (2−2x +3x2).

12 Tính dim(ker(T )) trong đó

a. T : R5 →R7 có hạng là 3

b. T : P4 → P3 có hạng là 1

c. I m của T : R6 →R3 là R

3

d. T : M2(R) → M2(R) có hạng là 3.

13 Cho T : R2 →R3 xác định bởi

T (x1, x2) = (x1 +2x2,−x1,0)

a. Tìm ma trận của T đối với các cơ sở B = {u1,u2} trong R3 và B ′ = {v1, v2, v3} trong R

3:u1 = (1,3),u2 = (−2,4), v1 = (1,1,1), v2 = (2,2,0), v3 = (3,0,0)

b. Dùng ma trận thu được ở a. để tính T (8,3).

60

14 Cho v1 = (1,3), v2 = (−1,4) và A =[

1 3

−2 5

]

là ma trận của ánh xạ T : R2 → R2 đối với cơ sở

B = {v1, v2}

a. Tìm [T (v1)]B và [T (v2)]B

b. Tìm T (v1) và T (v2)

c. Tìm T (1,1)

15 Cho A =

1 3 −1

2 0 5

6 −2 4

là ma trận của ánh xạ T : P2 → P2 đối với cơ sở B = {}v1, v2, v3, với

v1 = 3x +3x2, v2 =−1+3x +2x2, v3 = 3+7x +2x2

a. Tìm [T (v1)]B , [T (v2)]B , [T (v3)]B

b. Tìm T (v1),T (v2),T (v3)

c. Tìm T (1+x2)

16 Cho ánh xạ f : R4 →R3 xác định bởi

x = (x1, x2, x3, x4) 7→ f (x) = (x1 −x2 +x3,2x1 +x4,2x2 +x3 −x4)

a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b. Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở A và B sau đây

A = {w1 = (1,1,1,1), w2 = (0,1,1,1), w3 = (0,0,1,1), w4 = (0,0,0,1)}

B = {u1 = (1,1,1),u2 = (1,1,0),u3 = (1,0,0)}

17 Toán tử tuyến tính trên không gian vectorR3 có ma trận trong cơ sở chính tắc B0 = {e1,e2,e3}

là

0 −2 1

3 1 0

2 −1 0

. Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {u1,u2,u3}, trong đó

u1 = 3e1 +e2 +2e3, u2 = 2e1 +e2 +2e3, u3 =−e1 +2e2 +5e3

61

Bài tập chương 5

1 Tìm các giá trị riêng và cơ sở của không gian riêng của các ma trận sau

a.[

3 0

8 −1

]

b.[

0 3

4 0

]

c.[

−2 −7

1 2

]

d.[

0 0

0 0

]

e.[

1 0

0 1

]

2 Chứng minh rằng λ= 0 là trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi A suy biến.

3 Tìm ma trận P là chéo hóa A và xác định P−1 AP

a. A =[

−14 12

−20 17

]

b. A =[

1 0

6 −1

]

c. A =

1 0 0

0 1 1

0 1 1

d. A =

2 0 −2

0 3 0

0 0 3

4 Cho T : R2 →R2 là toán tử tuyến tính

T (x1, x2) = (3x1 +4x2,2x1 +x2)

Hãy tìm một cơ sở của R2 sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận đường chéo.

5 Cho T : R3 →R3 là toán tử tuyến tính

T (x1, x2, x3) = (2x1 −x2 −x3, x1 −x3,−x1 +x2 +2x3)

Hãy tìm một cơ sở của R2 sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận đường chéo.

6 Tìm giá trị riêng, vector riêng, cơ sở của không gian con riêng của ma trận

a. A =

1 0 −2

2 2 −2

0 0 −1

b. B =

1 −3 4

4 −7 8

6 −7 7

7 Chéo hóa các ma trận sau

a. A =

2 −1 2

0 1 −1

−1 0 −2

b. B =

2 −1 2

0 1 −1

0 2 4

8 Tính An biết

a. A =

3 −2 0

−2 3 0

0 0 5

b. A =1

4

−1 3 2

3 −1 2

1 1 2

69

Bài tập chương 6

1 Cho f : R3 ×R3 →R

3 xác định bởi

f (x, y) = x1 y1 +x2 y2 +x3 y3, ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈R3

a. Chứng minh f là một dạng song tuyến tính

b. Tìm ma trận của dạng song tuyến tính f đối với cơ sở chính tắc của không gian vectorR3

và đối với cơ sở {u1 = (0,1,1),u2 = (1,0,1),u3 = (1,1,0)}

2 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

a. Q = x21 +2x2

2 −7x23 −4x1x2 +8x1x3

b. Q = x1x2 +x2x3 +x3x4

3 Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính f : R3 →R3 trong các trường hợp sau

a. f (x1, x2, x3) = (x1 +x2 +x3,2x2 +3x3)

b. f (x1, x2, x3) = (x1 +x2, x2 +x3,−2x2 −2x3)

c. f (x1, x2, x3) = (x1 −x2,2x1 +3x2 +2x3, x1 +x2 +2x3)

4 Chéo hóa ma trận

a. A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

b. A =

2 −1 2

5 −3 3

−1 0 2

c. A =

−1 3 −1

−3 5 −1

−3 3 1

d. A =

−1 −3 −3

3 5 3

−1 −1 1

5 Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

a. Q = 7x21 +7x2

2 +7x23 +2x1x2 +2x1x3 +2x2x3

b. Q = x21 −2x1x2 −2x1x3 −2x1x3

c. Q = 4x21 +x2

2 +5x23 −6x1x2 −2x1x3 +2x2x3

d. Q = 4x21 +x2

2 +x23 −4x1x2 −4x1x3 −3x2x3

76

Bài tập chương 7

1 Tìm ma trận P làm chéo hóa trực giao ma trận A và xác định P−1 AP

a. A =[

3 1

1 3

]

b. A =[

5 3p

3

3p

3 1

]

c. A =[

−7 24

24 7

]

d. A =

−2 0 −36

0 −3 0

−36 0 −23

2 Tìm ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận sau

A =[

a b

b a

]

, b 6= 0

3 Nhận dạng và vẽ các đường bậc hai sau

a. 2x2 −4x y − y2 +8 = 0

b. x2 +2x y + y2 +8x + y = 0

c. 5x2 +4x y +5y2 = 9

d. 11x2 +24x y +4y2 −15 = 0

86