Bild + bild + bild är en summa av bilder

Bild + bild + bild är en summa av bilder.

Gron C Kap 4.indb 192 09-06-25 08.11.49

4 talföljder och summor 193

Inledande aktivitet Undersök

hittar du mönstret?

1 Vilken figur, vilka bokstäver eller vilket tal motsvarar frågetecknet?

a)

?

b) A B C Ö A B Ä Ö A ?

c) 3, 4, 6, 9, 13, 18, ?

2 De tre första kvadrattalen kan beskrivas med följande figur.

1 4 91 1 3 61

a) Vilka är de fjärde och femte kvadrattalen?

b) Vilket är det n:te kvadrattalet?

3 De tre första triangeltalen kan beskrivas med följande figur.

1 4 91 1 3 61

a) Vilka är de fjärde och femte triangeltalen?

b) Det n:te triangeltalet kan beräknas med

formeln Tn = n n( )+12

Kontrollera att formeln stämmer för de första fem triangeltalen.

4 Ett A4-papper är cirka 0,1 mm tjockt.

a) Hur tjockt blir papperet om vi viker det på mitten 4 gånger?

b) Hur tjockt blir det om vi viker det n gånger?

c) Hur många gånger skulle vi behöva vika papperet för att det ska bli 10 cm tjockt? (Går det?)

5 I IQ-test finns ofta uppgifter där det gäller att upptäcka samband mellan tal.

Här följer två exempel. Kan du lösa dem?

a) Vilka tal fattas?

1 8 9 64 25 ? 49

1 4 27 16 125 ? 343

b) Finn nästa tal och bokstav!

5 Y 4 P 3 I 2 D …

talföljder och summor 4

Gron C Kap 4.indb 193 09-06-25 08.11.51

194 4.1 talföljder

4.1 talföljder

Vad menas med en talföljd? En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en

bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså ett bestämt ordningsnummer.

Exempel 1 1, 4, 9, 16, 25, … , 100 Talföljden är ändlig.

Talföljden ges av formeln a nn = 2 , där n = 1, 2, 3, …, 10

Det första talet är 1 12 = . Vi skriver a1 1= .

Det andra talet är 2 42 = . Vi skriver a2 4= .

Det tionde talet är a10210 100= = .

Exempel 2 7, 9, 11, 13, 15, … Talföljden är oändlig.

Det första talet a1 7=

Det andra talet a2 7 1 2 7 2 9= + ⋅ = + =

Det tredje talet a3 7 2 2 7 4 11= + ⋅ = + =

Det fjärde talet a4 7 3 2 7 6 13= + ⋅ = + =

Talen ges av formeln a nn = + − ⋅7 1 2( )

4101 Ange de tre första talen i den talföljd där det n:te talet är an = 3 + 4n.

Det första talet är a1 = 3 + 4 · 1 = 7 Det andra talet är a2 = 3 + 4 · 2 = 11 Det tredje talet är a3 = 3 + 4 · 3 = 15

Svar: Formeln an = 3 + 4n ger talföljden 7, 11, 15, 19, …

4102 Vilket ordningsnummer har talet 180 i talföljden a nn = −500 20 ?

Vi löser ekvationen

500 – 20 n = 180 32020= n

n = 16 500 – 180 = 20 n

Svar: Talet 180 har ordningsnummer 16.

utläses ”a ett är lika med ett”.

utläses ”a två är lika med fyra”.

Gron C Kap 4.indb 194 09-06-25 08.11.53

4.1 talföljder 195

4103 Finn en enkel formel för det n:te talet an i talföljden

a) 1, 3, 5, 7, 9, … b) 1, 14 , 19 , 116 , 1

25 , …

a) Vi får nästa tal genom att hela tiden lägga till 2. För att få t ex det femte talet, börjar vi med 1 och lägger till

4 · 2, d v s a5 = 1 + 8 = 9. På samma sätt får vi det n:te talet an så här: an = 1 + (n – 1) · 2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1 som ger de udda talen.

b) I nämnaren har vi kvadraterna på termernas ordningsnummer.

Exempelvis är a5 = 152 . Det betyder att an = 1

n2 .

4104 Ange de fyra första talen i den talföljd där

a) a nn = 5 c) a nn = −2 1

b) a nn = −3 2 d) a n nn = +( )1

4105 Beräkna det tolfte talet, dvs a12 , i talföljden

a) ann= ⋅ −3 2 1 b) a nn = − +64 2 1( )

4106 Ange en formel för antal punkter i figur nummer n

1 2 3 4. . . .

4107 Vilket ordningsnummer har talet 100 i talföljden

a) an = 20 + 4n b) an = n(n + 1) + 10?

4108 Finn en formel för det n:e talet an i talföljden

a) 3, 7, 11, 15, 19, …

b) 1, 3, 9, 27, …

c) 4, 8, 12, 16, …

d) 2, 5, 10, 17, 26, …

4109 Folkmängden i en stad var 250 000 år 2000. Ange ett uttryck för folkmängden

Pn , där n är antalet år efter 2000, om

a) ökningen är 5 000 personer per år

b) ökningen är 2 % per år.

4110 Finn två olika formler som ger en talföljd som börjar så här: 2, 4, 8, …

4111 Skriv en formel An som ger storleken av en vinkel i en regelbunden n-hörning (n ≥ 3).

Gron C Kap 4.indb 195 09-06-25 08.11.57

196 4.1 talföljder

Den italienske matematikern Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa (1170–1250) brukar räknas som medel tidens störste.

Under sin uppväxt i Nordafrika och under sina resor lärde han sig de indiska (arabiska) siffrorna och såg de stora fördelar de gav för matematiken. År 1202 skrev han den berömda boken Liber Abaci (boken om räkning), som gjorde honom berömd och bidrog till att de krångliga romerska siffrorna allt mer övergavs.

Fibonacci har gett namn åt talföljden

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

där varje tal är summan av de två föregående.

Fibonacci fann talföljden när han studerade kaniners fortplantning. Talen anger hur antalet kaninpar ökar varje månad, om vi räknar med att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar varje månad (förutom den första månaden) samt att inga kaniner dör.

Talföljden har genom åren fascinerat många människor, då den dyker upp på de mest ovän-tade ställen.

a b

a + b

Gyllene snittet = a + ba

= ab

= 1 + √ 52

Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd närmar sig Gyllene snittet.

1

23

43

4 6

11

11

11

11

Historik

Fibonaccis talföljd

1 I texten ovan ser vi de 12 första elementen i Fibonaccis talföljd.

a) Beräkna de 13:e och 14:e elementen.

b) Ange en rekursiv formel för talföljden.

2 Visa hur Fibonacci fann sin talföljd. Starta med ett kaninpar och notera sedan för några månader hur många kaninpar du har, om de ökar enligt texten ovan. Rita figur.

3 Beräkna kvoterna 13/8, 21/13, 34/21 och 55/34 och jämför med Gyllene snittet.

4 Studera Pascals triangel.

a) Om vi räknar från toppen så har triangeln fem horisontella rader. Hur bör den 6:e raden se ut?

b) Ritar vi om triangeln 1 kan vi få: 1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Studera de nya diagonalerna, vad ser du?

Pascals kända triangel gömmer också Fibonaccis talföljd.

I spiralmönster hos t ex ananas, kottar och solrosens frön hittar vi tal ur Fibonaccis talföljd.

Gron C Kap 4.indb 196 09-06-25 08.11.58

4.2 geometrisk summa 197

4.2 Geometrisk summa

hur beräknas en geometrisk summa? Vi har talföljden 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …

Vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med 2, d v s kvoten mellan ett tal och det föregående är hela tiden 2.

Geometrisk talföljd Vi kallar en sådan talföljd geometrisk och säger att den har kvoten k = 2.

Första talet a1 = 5

Andra talet a2 = a k1 5 2 10⋅ = ⋅ =

Tredje talet a3 = a k12 25 2 5 4 20⋅ = ⋅ = ⋅ =

Fjärde talet a4 = a k13 35 2 5 8 40⋅ = ⋅ = ⋅ =

Femte talet a5 = a k14 45 2 5 16 80⋅ = ⋅ = ⋅ =

…

n:te talet an = a kn1

1⋅ −

Summan av de fem första talen skrivs s5 .

s5 = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155

Kan vi finna en formel för summan av talen i en geometrisk talföljd? Vi börjar med en formel för s5 och kan sedan generalisera resultatet.

s a ak ak ak ak52 3 4= + + + + Båda leden multipliceras med kvoten k .

ks ak ak ak ak ak52 3 4 5= + + + +

Vi tar den undre summan minus den övre summan:

ks s ak a5 55− = −

s k a k551 1( ) ( )− = −

s a k

k5

5 11

= −−

( )

För talföljden ovan får vi s5

55 2 12 1

155= −−

=( )

På samma sätt visas allmänt:

Geometrisk summa

En geometrisk summa s a kkn

n

= −−

( )11

, k ≠ 1

Gron C Kap 4.indb 197 09-06-25 08.12.01

198 4.2 geometrisk summa

4201 I en geometrisk talföljd är första talet 20 och kvoten 3. Beräkna summan av de 8 första talen.

Första talet a = 20 , kvoten k = 3 och antal tal n = 8

Formeln för den geometriska summa s a kkn

n

= −−

( )11

ger

s8

820 3 13 1

= −−

( ) = 65 600

4202 Beräkna den geometriska summan 50 50 1 1 50 1 1 50 1 12 12+ ⋅ + ⋅ + + ⋅, , ... ,

Första talet a = 50 , kvoten k = 1,1 och antal tal n = 13

(Obs! n = 13. Summan består av 12 tal med kvoten 1,1 samt första talet 50. )

s13

1350 1 1 11 1 1

1226 13 1226= −−

= ≈( , ),

, ...

4203 Skriv de fem första talen i den geometriska talföljd där

a) första talet är 8 och kvoten är 3

b) a = 80 och k = 0,5.

4204 Beräkna summan av de 10 första talen i den geometriska talföljd där

a) a = 4 och k = 3

b) första talet är 1000 och kvoten är 1,05

4205 Beräkna den geometriska summan

a) 10 + 10 · 1,02 + … + 10 · 1,0213

b) 1000 + 1000 · 0,8 + … + 1000 · 0,87

4206 I en geometrisk talföljd med kvoten 2 är summan av de fem första talen 1860. Vilket är det första talet a?

4207 Är talföljden geometrisk? Beräkna i så fall summan av de 12 första talen.

a) 5, 8, 11, 14, 17, …

b) 64, 48, 36, 27, …

c) 32 ; 40 ; 50 ; 62,5 ; …

d) 4, 5, 7, 10, 14, …

4208 Bestäm talet x med två decimaler ur ekvationen

x + x · 1,2 + x · 1,22 + … + x · 1,29 = 10 000

4209 I en geometrisk talföljd med 6 tal är kvoten 3 och summan 1 820. Vilket är det sista talet?

4210 Åtta plastkuber har sidlängder som bildar en geometrisk talföljd. De tre första sidorna är 10 cm, 8 cm och 6,4 cm.

. . . .

a) Vilken sidlängd har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med en decimal.

b) Vilken volym har de åtta kuberna sammanlagt? Svara med heltal.

4211 I en geometrisk talföljd är första talet 100 och det andra talet 150. Hur många tal måste talföljden innehålla för att summan ska överstiga 2 000 000?

4212 Bestäm de sex första talen i en geometrisk talföljd där a3 = 20 och a6 = 1 280.

Gron C Kap 4.indb 198 09-06-25 08.12.02


ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar

4213 Tomas har ett bankkonto med 3,00 % fast ränta. Tomas farfar satte in 5000 kr på kontot för fyra år sedan. Vid nyår de senaste fem åren har Tomas morfar satt in 1000 kr på kontot. Vilket belopp har pengarna från

a) farfar vuxit till på fyra år? b) morfar vuxit till direkt efter sista insättningen?

a) 5000 kr har på fyra år vuxit till 5000 ∙ 1,034 kr ≈ 5628 kr

Svar: Pengarna från farfar har vuxit till 5 628 kr

b) Vi ritar en tidslinje och visar vad varje insättning har vuxit till vid det femte årsskiftet.

år 1 år2 år 3 år 4 år 5

1 000 1 000 ∙ 1,034 (första insättningen)

1 000 1 000 ∙ 1,033 (andra insättningen)

1 000 1 000 ∙ 1,032 (tredje insättningen)

1 000 1 000 ∙ 1,03 (fjärde insättningen)

1 000 1 000 (sista insättningen)

Beloppet beräknas med formeln för en geometrisk summa.

Första talet a = 1000 , kvoten k = 1,03 och antalet termer n = 5.

s a kkn

n

= −−

( )11

= 1000 1 03 11 03 1

53095( , )

,−

−≈

Svar: Pengarna från morfar har vuxit till 5 309 kr

Gron C Kap 4.indb 199 09-06-25 08.12.04


4214 En patient får var fjärde timme medicin i form av en tablett på 100 mg. När 4 timmar gått finns fortfarande 75 % av den gamla tabletten kvar i blodet. Anta att medicine- ringen fortsätter på detta sätt.

Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter a) 3 tabletter b) 10 tabletter?

Låt Mn vara den mängd i milligram som finns i blodet efter n tabletter.

a) M1 = 100 M2 = 100 · 0,75 + 100

Ny tablett

kvar av första tabletten

M3 = 100 · 0,752 + 100 · 0,75 + 100 = 231,25

kvar av första och andra tabletten Ny tablett

Svar: Efter tre tabletter finns 231 mg i blodet.

b) M10 = 100 · 0,759 + 100 · 0,758 + 100 · 0,757 + … + 100 · 0,75 + 100

Mängden beräknas med formeln för en geometrisk summa. Första talet a = 100 , kvoten k = 0,75 och antalet termer n = 10

s a kkn

n

= −−

( )11

= 100 0 75 1

0 75 1377 474 377

10( , ),

, ...−−

= ≈

Svar: Efter 10 tabletter finns 377 mg i blodet

Gron C Kap 4.indb 200 09-06-25 08.12.06


4215 Till vilket belopp växer 10 000 kr med ränta på ränta om

a) räntesatsen är 3 % och tiden 10 år

b) räntesatsen är 5 % och tiden 7 år

c) räntesatsen är 0,5 % och tiden är 6 år?

4216 På ett bankkonto sätter Hedvig in 2 500 kr vid slutet av tio på varandra följande år. Ränta på ränta beräknas efter 4 %. Hur stor är behållningen omedelbart efter den sista insättningen? Ta hjälp av figuren nedan.

År1 2 3 8 9 10

2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500

2500 · 1,042500 · 1,042

2500 · 1,043

2500 · 1,047

2500 · 1,048

2500 · 1,049

4217 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte timme får han antibiotika i form av en ta-

blett på 200 mg. När han efter sex timmar får en ny tablett på 200 mg, återstår av den gamla dosen 40 % i blodet.

Vilken mängd antibiotika har han i blodet efter

a) 3 tabletter b) 10 tabletter?

4218 Ett nybyggt hus sjunker 1,8 cm det första året. Man uppskattar att huset därefter

fortsätter att sjunka och att det för varje år sjunker med en tredjedel av vad det sjönk närmast föregående år.

a) Hur mycket sjunker huset det andra året?

b) Hur mycket räknar man med att huset sjunker de tio första åren?

4219 Nilla sparar i en aktiefond. Hon satte in 1 000 kr i början av 2001 och har sedan

dess satt in 1 000 kr i början av varje år. Hur mycket är hennes aktiefond värd direkt efter insättningen år 2020?

Vi räknar med en genomsnittlig årlig till-växt på 5 % och att hon inte behöver betala några skatter eller andra avgifter för fonden.

4220 Vilket alternativ är bäst om årsräntan antas vara 6 %?

a Att få 6 000 kr i början av 2003

B Att få 9 000 kr i början av 2010

C Att få 1 000 kr i början av vart och ett av åren 2003, 2004, …, 2009, 2010

4221 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst. Första dagen får hästen 10 g av en viss medicin, varefter dosen halveras varje dag.

Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut recept på, om hela behandlingen omfattar en vecka?

4222 Sagan berättar om schackspelets uppfinnare, att han av Persiens konung som

belöning lovades få vad han önskade. Han bad då att få 1 sädeskorn för första rutan på ett schackbräde, 2 för den andra, 4 för den tredje osv. För var och en av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som för den närmast föregående.

Hur många sädeskorn begärde schackspe-lets uppfinnare i belöning? Är det möjligt att skaffa denna belöning? Vi antar att 1 000 sädeskorn väger ungefär 30 g och att världsproduktionen av säd är ungefär 2 · 1012 kg/år.

Gron C Kap 4.indb 201 09-06-25 08.12.07


4223 Louise ska få en gåva på 6000 kr när hon fyller 18 år. Hur stor summa bör hon få, om hon istället får gåvan idag, på sin 14-årsdag? Vi räknar med 4 % årlig ränta på ränta.

Nuvärde Vi ska räkna ut nuvärdet, dvs. värdet idag av en framtida betalning. Hur mycket är pengarna värda idag, om de ska växa till 60 00 kr på fyra år?

Vi kallar nuvärdet för x och ställer upp ekvationen x ∙ 1,044= 6 000

x = ≈6 0001 04

51294,

Svar: Louise bör få 5 129 kr på sin 14-årsdag

4224 Mona tog i början av år 2008 ett lån på 100 000 kr. Hon ska Annuitet betala lånet med 10 lika stora belopp (annuiteter) i slutet av varje år med början 2008. Ränta på ränta beräknas efter 6 %. Hur stor är varje annuitet?

Vi ritar en tidslinje och anger vad lånet samt varje annuitet vuxit till vid slutet av det 10:e året.

År2008 2009 . . . . . . 2016 2017

100 000 x x x x x x x x x x

x · 1,06x · 1,062

x · 1,069

....

.

Värdet av de tio avbetalningarna med ränta ska tillsammans vara lika stort som värdet av 100 000 med tio års ränta.

x + x · 1,06 + x · 1,062 + … + x · 1,069 = 100 000 · 1,0610

Vänstra ledet är en geometrisk summa. Summaformeln ger (a1 = x och k = 1,06)

x (1,0610 – 1)

1,06 – 1 = 100 000 · 1,0610 x = 13 586,80

Svar: Annuiteten är 13 600 kr (13 586,80 kr).

9 års ränta på denna avbetalning.

Gron C Kap 4.indb 202 09-06-25 08.12.08


4225 I en affärsuppgörelse ingår att Anton ska betala 75 000 kr i dag och 25 000 kr om 5 år. Vad borde Anton betala om upp-görelsen varit att hela summa ska betalas

a) i dag b) om 5 år?

Vi räknar med 3,5 % årlig ränta på ränta.

4226 Mats lovade Carina att vid slutet av år 2014 betala henne 8 000 kr. Men så småningom ändrade han sig och ville göra sig skuldfri fem år i förtid, d v s 2009.

Hur mycket blir nuvärdet av 8 000 kr om vi räknar med en årsränta på 5 %, d v s hur mycket ska Mats betala till Carina för att pengarna efter fem år ska vara värda 8 000 kr?

4227 I ett kärnkraftverk frigörs energi när atomkärnor delas. En neutron som träf-far kärnan av en uranatom delar den i två mindre, samtidigt som tre nya neutroner frigörs som kan dela andra urankärnor.

1:a generationen 2:a generationen

Hur många kärnor kan maximalt delas av de hundra första generationerna neutroner?

4228 Vid slutet av 2005 tog Andrea ett lån på 100 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka genom lika stora belopp (annuiteter) vid slutet av åren 2008 till och med 2012.

Hur stor ska annuiteten vara, om lånet ska vara helt betalt när annuiteten vid slutet av 2012 är betald? Räkna med 7 % årsränta.

4229 En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 20 mg. För varje dygn ut-söndrar kroppen 50 % av den ursprungliga mängden. Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter n tabletter?

4230 En trissvinnare kan få 50 000 kr i månaden varje månad i 25 år. Vinnaren blir lite

nyfiken på vad dessa pengar är värda idag.

a) Vilken månadsränta motsvarar en års-ränta på 4 %?

b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten, om vi räknar med en årsränta på 4 %?

4231 År 2000 uppskattades den totala mängd olja som fanns kvar i världen till cirka

1 000 miljarder fat (1 fat = 159 liter). Världsförbrukningen låg då på cirka 85 miljoner fat per dag. När kan oljan antas ta slut, om förbrukningen sedan dess

a) ökar med 4 % årligen

b) minskar med 4 % årligen?

Gron C Kap 4.indb 203 09-06-25 08.12.09

Materiel: En boll (tennisboll eller liknande), tumstock eller måttband (2 m).

1 a) Låt bollen falla fritt från en viss höjd (fallhöjden x cm) som du mäter.

Mät den höjd som bollen kommer upp till efter studsen (studshöjden y cm).

Variera fallhöjden och visa dina resultat i en tabell.

b) Hur många procent av fallhöjden blir studs-höjden?

c) Formulera en slutsats om studshöjd och fallhöjd.

2 Anta att bollen faller från 10 m.

a) Beräkna studshöjden efter den andra studsen.

b) Beräkna studshöjden efter den tionde studsen.

c) Beräkna hur långt bollen har rört sig sam-manlagt då den träffar marken för tionde gången. Rita figur.

d) Kan den sammanlagda sträckan som bollen rört sig bli hur stor som helst? Undersök och diskutera!

Aktivitet Laborera

Hur högt studsar bollen?


Gron C Kap 4.indb 204 09-06-25 08.12.12

4.3 Kalkylmodeller

Kalkylprogram Exempel

Jonna har skadat sitt knä när hon sprang tjejmilen. Mot svullnaden får hon var åttonde timme en tablett på 210 mg. När hon efter 8 timmar tar en ny dos återstår 30 % av den gamla i blodet. Hur beror den mängd medicin hon har i blodet av det antal tabletter hon tagit?

Vi visar detta i en tabell.

Tabell

Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett

1 0 0 + 210 = 210

2 0,30 · 210 = 63 63 + 210 = 273

3 0,30 · 273 = 81,9 81,9 + 210 = 291,9

4 0,30 · 291,9 = 87,57 87,57 + 210 = 297,57

…

Upprepade beräkningar i tabellform görs bäst med ett kalkylprogram. Vi kallar då tabellen för ett kalkylblad. I ett kalkylblad är raderna numrerade 1, 2, 3, 4, … Kolumnerna har bokstavsbeteckningar A, B, C, D, …

Kalkylblad

I ruta A1 har vi skrivit in texten Tablett nr I ruta B2 har vi skrivit in talet 0 I ruta C3 har vi skrivit in formeln = B3 + 210

Att A3 = A2 + 1 betyder att värdet i A3 blir 1 + 1 = 2 Att B3 = 0,3 * C2 betyder att värdet i B3 blir 0,3 · 210 = 63 Att C3 = B3 + 210 betyder att värdet i C3 blir 63 + 210 = 273 osv

likhetstecknet i = B3 + 210 anger att det är en formel.

4.3 kalkylmodeller 205

Gron C Kap 4.indb 205 09-06-25 08.12.14

206 4.3 kalkylmodeller

4302 Petras pappa har fått diagnosen högt blod-tryck. Han ska varje morgon ta en tablett Plendil på 10 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50 % av den verksamma sub-stansen. Tabellen visar mängden verksam substans i milligram efter de första tabletterna.

A B C

1 tablett nr kvar av gamla tabletter

efter ny tablett

2 1 0 10

3 2 5 15

4 3 7,5 17,5

5 4

a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.

b) Vilka formler ger dessa värden?

4303 Den procentuella årliga ändringen av en aktieposts värde redovisas i tabellen.

A B C D E

1 År Ändring %

Värde 1/1

Ändring kr

Värde 31/12

2 2008 20 120 000

3 2009 –5

a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.

b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen.

4304 En person betalar av (amorterar) på ett lån i slutet av varje år som tabellen visar.

A B C D E F

1 År räntesats skuld 1/1 amor

tering ränta skuld 31/12

2 2008 5 80 000 20 000

3 2009 7 15 000

4 2010 7,5 40 000

a) Hur stor är skulden i slutet av år 2010 (efter amorteringen detta år)?

b) Skriv formler för de beräkningar som görs i tabellen.

4305 Mia släpper en boll från höjden 2,4 m. För varje studs når bollen 75 % av den tidigare höjden. I en tabell för Mia in den sträcka i meter bollen rört sig omedelbart efter en studs.

A B C D

1 studs nr fallhöjd studshöjd sträcka

2 1 2,4 1,8 2,4

3 2 1,8 1,35 6,0

4 3

a) Beräkna värdena i rad 4 (för studs nr 3).

b) Vilka formler ger dessa värden?

4301 Tabellen visar några enkla ränteberäkningar.

A B C D1 kapital 1/1 (kr) räntesats (%) ränta (kr) kapital 31/12 (kr)2 5 000 2 100 5 1003 5 100 3

a) Beräkna värdena i rutorna C3 och D3. b) Vilka formler ska stå i rutorna C3 och D3?

a) I C3 får vi värdet: 0,03 · 5 100 = 3 · 5 100 /100 = 153 I D3 får vi värdet: 5 100 + 153 = 5 253

b) C3 = B3 * A3/100 (om vi ändrar räntesatsen i B3 så ändras också värdet i C3) D3 = A3 + C3

Vi börjar nu med några enkla övnin gar på kalkylblad utan dator.

Gron C Kap 4.indb 206 09-06-25 08.12.14


4306 Tabellen visar behållningen i kronor på ett bankkonto där uttag görs i slutet av varje år. (Ingen hänsyn tas till att kapital- inkomster beskattas.)

a) Vilka formler ska stå i rutorna D2 och F2? b) Vilken formel ska stå i ruta B3? c) Skriv in tabellen med formler i ett kalkylprogram.

Kopiera alla formler nedåt t o m rad 7. d) Vilken fördel är det att ha formler i kolumnerna C och E? e) Hur stor är behållningen på kontot 2013-12-31? f) Hur stor hade behållningen blivit om räntesatsen varit 4 %? g) Hur stort årligt uttag (i jämna hundratal kronor) kan man

högst göra, om man vill att behållningen 2013-12-31 inte ska understiga 100 000 kr? Vi räknar med räntesatsen 4 %.

a) D2 = C2 * B2/100 och F2 = B2 + D2 – E2 b) B3 = F2 c) När du skriver in formeln i t ex D2, skriver du bara = C2 * B2/100. Markera kolumnerna fr o m den ruta (cell) som ska kopieras och

nedåt t o m rad 7. d) Du kan då lätt ändra räntesats och uttag. Ändrar du värdet i C2,

så ändras allt i tabellen som beror av C2. e) I ruta F 7 avläses 161 190 kr (161 189,54) f) 173 468 kr (173 468,10) g) Variera uttaget i E2. Uttaget 23 000 kr ger behållningen 100 505 kr. Uttaget 23 100 kr ger behållningen 99 842 kr. Högsta uttaget är alltså 23 000 kr.

Så här kan utskriften från ett kalkylprogram se ut:

År Kapital 1/1 Räntesats (%) Ränta Uttag 31/12 Kapital 31/12

2008 200 000 4 8 000 23 000 185 000

2009 185 000 4 7 400 23 000 169 400

2010 169 400 4 6 776 23 000 153 176

2011 153 176 4 6 127,04 23 000 136 303,04

2012 136 303 4 5 452,12 23 000 118 755,16

2013 118 755,2 4 4 750,21 23 000 100 505,37

Nu låter vi ett kalkylprogram göra beräkningarna i våra tabeller.

Gron C Kap 4.indb 207 09-06-25 08.12.14


4307 Alexandra satsar pengar i en aktiefond. Hon tror att den ska öka i värde med 10 % per år. I början av varje år sätter hon in ett visst belopp i fonden. Hennes kalkylmodell är

a) Vilka formler ska stå i E2 och F2?

b) Vilka formler ska stå i A3, B3, C3 och D3?

c) Skriv in kalkylmodellen och fyll i alla formler nedåt t o m rad 11 (år 2016).

d) Vilket värde har fonden 2016-12-31?

e) Vilket blir fondens värde om tillväxten är 15 % per år?

f) Låt tillväxten vara 15 % och variera insättningen så att värdet 2016-12-31 blir 150 000 kr.

4308 En läkare vill ha en kalkylmodell som visar hur mängden verksam sub-stans i kroppen ökar när patienten börjar med en ny medicin. Kalkylmo-dellen ska visa mängden kvarvarande substans då en ny tablett har tagits.

Fullborda kalkylmodellen och använd den på följande fall: En patient tar varje dygn en tablett på 50 mg. Efter ett dygn återstår 40 % av den ur-sprungliga mängden. Vilken mängd av den verksamma substansen finns i kroppen efter den 10:e tabletten?

4309 Den svenske matematikern Helge von Koch studerade i början av 1900-talet en kurva som efter honom brukar kallas Kochs snöflingekurva. Den konstrueras så här:

Grundfiguren är en liksidig triangel med sidan 3 längdenheter. Varje sida delas sedan i tre lika delar. Den mellersta delen tas bort och ersätts med en liksidig triangel, som figuren visar. Nästa figur bildas på samma sätt.

a) Gör ett kalkylblad som visar omkrets och area för figur nummer n.

b) Ange det lägsta värde på n för vilket omkretsen överstiger 1 000 längdenheter.

c) Vad händer med arean då n ökar obegränsat?

1 2 3 4

1 2 3 4

Gron C Kap 4.indb 208 09-06-25 08.12.14


upprepade beräkningar med grafritande räknare Exempel

En ny bil kostar 285 000 kr. Värdeminskningen är 15 % per år. Efter hur många år är bilen för första gången värd mindre än 150 000 kr?

Beräkningsrutin

Så här kan du göra med din räknare:

285 000 ENTER Startvärdet läggs in. I räknarfönstret kan det se ut så här: Det lagras i variabeln Ans.

285000 285000.00ans * 0.85 242250.00 205912.50 175025.63 148771.78

Ans × 0,85 ENTER Ger värdet efter 1 år. Du får Ans × genom

att bara trycka på ×. Nu är det nya Ans-värdet

= det gamla × 0,85.

ENTER Ger värdet efter 2 år, d v s det nya Ans-värdet

× 0,85.

ENTER Ger värdet efter 3 år.

osv

Efter 4 år är värdet mindre än 150 000 kr.

4310 En villaägare har lånat 800 000 kr till en fast årlig ränta av 6 %. Hur stort är lånet efter 5 år, om det amorteras (betalas av) med 60 000 kr vid varje års slut?

Beräkningsrutin:

800 000 ENTER Startvärdet har lagrats i Ans.

Ans × 1,06 – 60 000 ENTER Ger lånet efter 1 år sedan avbetal- ningen gjorts.

ENTER Ger lånet efter 2 år sedan avbetal- ningen gjorts.

800000.00ans * 1.0660000 788000.00 775280.00 761796.80 747504.61 732354.88

osv

Svar: Efter 5 år är lånet 732 355 kr.

Värdet efter 1 år

Värdet efter 4 år

eXe på en del räknare

Gron C Kap 4.indb 209 09-06-25 08.12.17


4311 Ett radioaktivt ämne väger 95 pg. Massan av ämnet minskar för varje timme med

12 %.

a) Hur mycket återstår av ämnet efter 4 timmar?

b) När återstår mindre än 20 pg?

4312 Klockan 08.00 finns det i en näringslösning 85 bakterier/ml. Antalet ökar med 35 % under varje 30-minutersperiod. När finns det fler än 1 000 bakterier/ml i lösningen?

4313 En bank erbjuder sina kunder att köpa obligationer värda 10 000 kr/st. De ska växa med 8 % ränta samt en årlig bonus på 400 kr som utdelas i slutet av varje år och som också ger ränta.

a) Hur ser beräkningsrutinen ut i detta fall?

b) Vad är obligationen värd efter 5 år?

c) När är obligationen värd 50 000 kr?

4314 Den svenska björnstammens storlek är svår att uppskatta. År 2008 uppskattades den till 2 800 djur. Hur stor är den 2013 (fem år senare), om den naturliga tillväxten är 4,4 % per år och man skjuter 200 björnar per år?

4315 När en organism dör, avtar halten C-14 långsamt. Efter en tusenårsperiod återstår 88,6 % av den ursprungliga mängden.

Hur många procent återstår efter 6 000 år?

4316 Camilla får låna 50 000 kr av bilfirman, när hon köper en begagnad bil. Hon får be-

tala 11,5 % i årsränta på lånet. Vid slutet av varje år ska hon betala bilfirman 12 000 kr.

a) Hur mycket är kvar av lånet efter 3 år?

b) När är lånet slutbetalt?

4317 En stipendiefond på 300 000 kr förvaltas av en bank, som under en tioårsperiod garan-terar en årlig tillväxt på 8 %.

Under de fem första åren delas vid årets slut ut ett stipendium på 15 000 kr, och under de följande fem åren delar man på samma sätt ut 20 000 kr årligen.

Hur stor är fonden efter 10 år?

4318 Skriv en beräkningsrutin som ger talfölj-den

a) 0,4; 0,04; 0,004; …

b) 100; 40; 16; 6,4; …

4319 Om mönstret fortsätter oändligt långt får man en figur som brukar kallas

Sierpińskis triangel, efter den polske mate-matikern Wacław Sierpiński (1882–1969).

a) Hur många färgade trianglar är det i figur nr 20?

b) Den första figuren är färgad till 100 %. Hur stor andel av figur nr 20 är färgad?

Gron C Kap 4.3.indd 210 10-03-10 15.02.45


Aktivitet Diskutera

Sant eller falskt?

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret!

1 I en talföljd är alltid det andra talet större än det första talet.

2 Talföljden 5, 8, 12, 17, 23 ges av an = 3n + 2.

3 2, 4, 6, 8, 10, 12 är exempel på en geometrisk talföljd.

4 Alla tal i talföljden an = n2 + n är jämna heltal.

5 Talet 54 ingår i talföljden an = 5n – 3

6 I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett tal och det föregående alltid samma.

7 Summan 5 + 5 ∙ 1,1 + 5 ∙ 1,12 + … + + 5 ∙ 1,110 har elva termer.

8 Den sjunde termen i den geometriska summan ovan är 5 ∙ 1,17.

9 100 + 100 ∙ 1,04 + 100 ∙ 1,04 2 + … + + 100 ∙ 1,04 n < 25 000 för alla värden på n.

10 100 + 100 ∙ 0,96 + 100 ∙ 0,96 2 + … + + 100 ∙ 0,96 n < 2 500 för alla värden på n.

Gron C Kap 4.indb 211 09-06-25 08.12.22

1 Dela talet 147 i tre delar, så att den andra delen blir dubbelt så stor som den första och den tredje delen dubbelt så stor som den andra.

2 I ett datorspel ska du försöka gissa ett be- stämt tresiffrigt tal. För varje gissning får du

en ledtråd. Vad svarar du efter denna dialog med datorn?

123 ingen siffra rätt!

456 en siffra rätt, men i fel läge!


075 två siffror rätt, varav en i rätt läge!


3 Ett tåg med hastigheten 30 m/s passerar en 300 m lång tunnel på 30 s. Hur lång tid tar

det för tåget att passera en stolpe?

4 Bestäm det minsta antal termer som ska

adderas i uttrycket 12 + 14 + 18 + 116 + 1

32 + …

för att summan ska överstiga 999 9991 000 000 .

5 Efter två löneförhöjningar är den nya lönen 15/8 av den ursprungliga. Hur stor var den första höjningen (i procent), om den andra höjningen var dubbelt så stor som den första (i procent)?

6 Förenkla 2 4 8 16 4 0963 6 12 24 6 144

+ + + +...++ + + +...

7 Funktionen f ( x) = (2 – a) x3 + (a2 – 2a – 2) x2 antar ett minimivärde för x = 2. Bestäm a.

8 Figuren OAB är en cirkelkvadrant. Med OA och OB som diametrar är två cirkelbågar

ritade. Bestäm förhållandet mellan de båda skuggade områdena a och b.

O A

B

a

b

9 Gränsvärdet lim( ) /

h

hh→

−0

1 38 2+ är lika

med f ′ (a).

a) Vilken är funktionen f och vilket är a-värdet?

b) Beräkna f ′ (a) exakt.

10 Bestäm summan av de tio första talen i en geometrisk talföljd där a2 = 6 och a5 = 162.

Problem för alla 4

212 4 talföljder och summor

Gron C Kap 4.indb 212 09-06-25 08.12.24

4.1 Talföljder

1 Ange de tre första talen i den talföljd där

a) an = 7 – 2n

b) an + 1 = an + n2 och a1 = 10

2 Finn en formel för det n:te talet i tal följden

a) 5, 8, 11, 14, …

b) 12

, 15

, 110

, 117

, 126

, …

3 Ange en formel för antalet punkter i figur nr n.

1 2 3 4

4.2 Geometrisk summa

4 Beräkna summan av 8 tal i den geometriska talföljd, där första talet är 4 och kvoten är 1,5.

5 Ange den geometriska summa som kan

beräknas med 0 2 3 1

3 1

6, ( )−−

6 Beräkna den geometriska summan och av-runda resultatet till heltal.

a) 5 + 5 · 1,08 + 5 · 1,082 + … + 5 · 1,0820

b) 20 + 20 · 0,8 + 20 · 0,82 + … + 20 · 0,819

7 Bestäm talet x med två decimaler ur ekva tionen

x + x · 0,6 + x · 0,62 + … + x · 0,611 = 25 000

8 Morfar Sven vill att hans båda barnbarn ska ha 100 000 kr på var sitt konto när de fyller 20 år. Hur mycket bör han då sätta in på

a) Jennys konto när hon fyller 10 år

b) Martins konto när han fyller 14 år?

Räntesatsen antas hela tiden vara 4,5 %.

9 Hur mycket bör Filip sätta in på ett bank - konto vid slutet av varje år, om han efter den 30:e insättningen vill ha 200 000 kr på sitt konto? Räntesatsen antas vara 5,25 %.

10 En patient får var sjätte timme medicin i form av en tablett på 200 mg. När 6 timmar har gått återstår det 20 % av den tidigare medi-cinen i kroppen. Hur stor mängd medicin har patienten i kroppen efter

a) 5 tabletter b) 50 tabletter?

4.3 Kalkylmodeller

11 Kalkylmodellen visar kapitalets tillväxt på ett bankkonto där insättningar görs i början av varje år. Gör de beräkningar som formlerna beskriver. Hur stor är behållningen på kontot i början av år 2011?

A B C D E

1 År Räntesats Insättning Kapital 1/1 Ränta

2 2009 3 3000 = C2 = B2*D2/100

3 2010 4 = C2+1000 = D2+E2+C3 = B3*D3/100

4 2011 5 = C3+1000 = D3+E3+C4

12 En villaägare tog i början av 2001 ett lån på 1 200 000 kr till en fast årlig ränta på 7 %.

Lånet amorteras (betalas av) med 75 000 kr vid slutet av varje år. Hur stor var villa ägarens skuld vid slutet av 2006, omedelbart efter den sjätte amorteringen? Gör en beräkningsrutin för grafritande räknare och bestäm detta.

Hemuppgifter 4


Gron C Kap 4.indb 213 09-06-25 08.12.25


Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel.

En talföljd kan anges på olika sätt:

1 Genom en formel för det n:te talet. Formeln an = n(n + 1) ger talföljden 2, 6,

12, 20, …

2 Genom uppräkning. Om de fyra första talen är 2, 6, 12, 20, så är

det rimligt att det 5:e talet är 30. (Vi ökar med 4, 6, 8, 10, osv.)

Geometrisk talföljd

Det n:te talet: an = a1 · k n – 1, där k = kvoten av ett tal och närmast föregående tal.

I den geometriska talföljden 5, 10, 20, 40, … är kvoten k = 2.

Geometrisk summa

Summan sn av de n första talen i en geometrisk talföljd beräknas med formeln

sn = a k

ka k

k

n n1 11

111

( ) ( )−−

−−

=

Exempel

I den geometriska summan

64 + 64 · 0,5 + 64 · (0,5)2 + 64 · (0,5)3 + … +

+ 64 · (0,5)7 är a1 = 64, k = 0,5 och n = 8

sn = 64 1 0 5

1 0 5

8( , ),

−−

= 127,5

Modell med geometrisk talföljd

En förälder sätter vid slutet av 18 på varandra följande år in 2 000 kr åt sitt barn på ett konto. Ränta på ränta beräknas efter 5 %.

År1 172000

2000 · 1,05172000 · 1,0516

2000 · 1,05. . . . . . .

.........2000200020002000

2 18

Omedelbart efter den 18:e insättningen är be-hållningen i kronor den geometriska summan

2 000 + 2 000 · 1,05 + 2 000 · 1,052 + … +

+ 2 000 · 1,0517

a1 = 2000, k = 1,05 och n = 18

s18 = 2000 1 05 1

1 05 1

18( , ),

−−

≈ 56 265

Nuvärde

En skuld på 50 000 kr ska betalas tillbaka vid slutet av år 2015. Om den betalas redan vid slutet av år 2010, d v s 5 år i förväg, och ränta på ränta beräknas efter 12 %, ska man betala N kr därN · 1,125 = 50 000, d v s N = 50 000/1,125.N kallas skuldens nuvärde år 2010.

Sammanfattning 4


Gron C Kap 4.indb 214 09-06-25 08.12.26


Del I

Utan räknare

1 Låt y = x 3 + 5x.

a) Bestäm y′. b) Beräkna y′ (3).

2 Förenkla så långt som möjligt a2

– a6

.

3 Lös ekvationen

a) x 3 – 9x = 0

b) lg x = 2

4 Derivera

a) g (x) = x2

4 b) h (x) = 2e3x

5 Figuren visar grafen till y = f (x).

3

x

y

2 4

2

1

1

2

1

För vilka x-värden är

a) f′ (x) = 0

b) f′ (x) < 0?

6 Beräkna det 5:e talet i en geometrisk talföljd med a1 = 2 och k = 3.

7 Värdet av en bil är V (t) kr, där t är tiden i år räknat från den dag bilen köptes som ny.

Vad betyder det att

a) V (3) = 110 000

b) V′ (3) = –15 000?

8 Beräkna f′ (2) då f (x) = 4x + 4x

9 Grafen visar hur temperaturen y °C i en kopp kaffe sjunker med tiden x minuter. Tangenten

i punkten (20, 55) är ritad.

x

y

10

80

20

(20, 55)

min

°C

Bestäm ur figuren y′ (20).

Blandade övningar 4 A

Blandade övningar 4A och 4B är två likvärdiga och parallella test som båda omfattar kapitel 1 – 4. De innehåller uppgifter på A-, B- och C-nivå och avslutas med Utredande uppgifter.


Gron C Kap 4.indb 215 09-06-25 08.12.29

10 Lös ekvationen

a) ln x + ln 2 = ln 5

b) 2 12x x

+−

= 1

11 I vilken punkt på kurvan y = 1 + 12x – 4x 2 är lutningen –12?

12 Vad gör kalkylbladet?

A B C

1

2

3

= A1 · A1

= C2 + B3

1

= A1 + 1

= A2 + 1

= A2 · A2

= A3 · A3

= C1 + B2

= B1

Genomför beräkningarna och tala om vilken summa som beräknats i ruta C3.

13 Tredjegradsfunktionen y = f (x) har ett lokalt minimivärde som är positivt. Funk-tionens derivata har grafen

x

y

3

y = f'(x)

3

Skissa grafen till y = f (x).

14 Bestäm f′ (x) då f (x + h) = x 2 + 2hx + h2.

15 Beräkna kvoten xy

om lg x – lg y = 3.

Del II Med räknare

16 Bestäm koordinaterna för minimipunkten på kurvan y = 4x 2 – 16x + 7 genom att

använda derivata.

17 En viss geometrisk summa kan beräknas med

4 000 1 03 11 03 1

5⋅ ( , ),

−−

a) Skriv ut termerna i den geometriska summa som kan beräknas med uttrycket ovan.

b) Formulera ett problem som handlar om en verklig situation. Ditt problem ska kunna lösas genom att beräkna uttrycket

4 000 1 03 11 03 1

5⋅ ( , ),

−− (NP C vt 05)

18 Tabellen visar folkmängden i Sverige den 31 december år 1960–2000.

År Folkmängd

1960

1970

1980

1990

2000

7 497 967

8 081 229

8 317 937

8 590 630

8 882 792

Beräkna den årliga genomsnittliga föränd-ringshastigheten av befolkningen i Sverige under perioden 1960 – 2000.

19 Christian köpte 2003 en dator för 7 495 kr. År 2008 sålde han den för 950 kr. Vilken årlig

värdeminskning i procent motsvarar detta?


Gron C Kap 4.indb 216 09-06-25 08.12.31


20 Funktionen f (x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + a har ett maximivärde och ett minimivärde. Hur stort är minimivärdet om maximivärdet är 30?

21 Temperaturen y °C för en lasagne som place-ras i en ugn kan beräknas med ekvationen

y = 200 – 180 · e– k x

där x minuter är den tid lasagnen stått inne i ugnen.

a) Vilken temperatur har lasagnen då den sätts in i ugnen?

b) Vilken temperatur har ugnen?

c) Vid den tidpunkt då lasagnen sätts in i ugnen stiger temperaturen med 2,0 °C /min. Vilken temperatur har lasagnen efter 24 minuter?

22 Beräkna ändringskvoten f f( , ) ( , ),

1 01 0 990 02

−

för funktionen f ( x) = x · e x. Kvoten ger ett närmevärde till funktionens derivata för x = a.

a) Vilket värde har a och vilket värde har ändringskvoten?

b) Bestäm ett bättre närmevärde till f′ (a).

23 Bestäm talen a, b och c så att grafen till funktionen

y = ax 2 + bx + c

går genom punkten (0, 1) och har linjen y = x – 1 till tangent i punkten (1, 0).

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilka matematiska kunskaper du har visat

•vilka slutsatser du har kommit fram till

•hur väl du har redovisat ditt arbete och genom-fört dina beräkningar.

24 Funktionen f (x) = ax 2 + b där a och b är konstanter.

a) Bestäm f′ (x) då a = 4 och b = 3.

b) Då a = 4 och b = 3 har ekvationen f (x) = f′ (x) två olika lösningar. Visa detta.

c) Undersök om det finns något samband mellan a och b då ekvationen f (x) = f′ (x) har två olika lösningar.

25 Den färgade rektangeln i figuren har höjden x cm och arean y cm2.

b

h

(cm)

x

a) Då b = 18 cm och h = 24 cm kan arean skrivas

y = 18x – 0,75x 2, 0 < x < 24.

Bestäm rektangelns maximala area.

b) Visa hur man kommer fram till uttrycket för arean ovan.

c) Både triangelns form och värdet på b och h kan variera. Malin påstår att rek-tangelns maximala area alltid är hälften av triangelns area. Undersök om detta är sant.

26

Studera mönstret av färgade kvadrater ovan. Den största (1:a) kvadraten har arean 1 dm2.

a) Vilken exakt area har den andra? Den tredje? Den n:te?

b) Undersök hur totala arean beror av antal kvadrater.

c) Undersök hur kvadraternas totala omkrets beror av antal kvadrater.

Gron C Kap 4.indb 217 09-06-25 08.12.32


Del I

Utan räknare

1 Derivera

a) y = 5x – 2

b) y = x 3 + x3

c) y = 5e–4x

2 Förenkla 2 2h hh+ .

3 Lös ekvationen

a) x 3 = 16 x

b) (x + 2)2 = (x – 3)2

4 Lös ekvationen och svara exakt.

a) 10 x = 3

b) 2 x 5 = 50

c) 6 x = 12

5 Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 1.

6 För funktionen f (x) = 5e k x gäller att f′ (0) = 10. Vilket värde har talet k?

7 Emelie undersöker en tredjegradsfunktion och gör följande tabell.

x –1 0 1 2 3

f (x ) 5 1 3 5 1

f ′ (x ) –9 0 3 0 –9

a) Bestäm f (0).

b) Bestäm f′ (1).

c) Bestäm minimipunktens koordinater.

d) För vilka x är funktionen växande?

8 Figurerna återger graferna till sex olika derivator f′ (x).

Vilken eller vilka av funk tionerna f (x)

a) är avtagande för alla x

b) har en graf med endast en extrempunkt

c) har ett lokalt minimum

d) har en graf med en terasspunkt

e) har ett lokalt maximum ?

a d

x

f '(x)

1

1

x

f '(x)

1

1

B e

x

f'(x)

1

1

x

f '(x)

1

1

C F

x

f '(x)

1

1

x

f '(x)

1

1

Blandade övningar 4 B

Gron C Kap 4.indb 218 09-06-25 08.12.33


9 Förenkla

a) f (a + h) – f (a – h) om f (x) = x 2.

b) f h fh

( ) ( )3 3+ − om f (x) = x 2 + 5x.

10 Beräkna y′ (2) om y = 4 62x x

+

11 Bestäm koordinaterna för den punkt på

kurvan y = e x2

2 där y′ = e.

12 En funktion f har egenskaperna

f (0) = 2 f′ (0) = 1 f′ (2) = 0

Skissa grafen till en funktion som har dessa egenskaper. (NP C vt 98)

13 Förenkla 1 5 61 5 0 75

3,, ,

a aa

−+

14 Lös ekvationen lg x 5 = 10.

15 Bestäm lutningen i den punkt på kurvan

y = 9x 1/3 där x = 8.

16 Bestäm ekvationen för de tangenter som från punkten (0, –2) kan dras till kurvan y = 0,5x 2.

Del II Med räknare

17 Bestäm f′ (3) om f (x) = x 3 – 6x 2 + 4.

18 Beräkna den geometriska summan

3 000 + 3 000 · 1,07 + 3 000 · 1,07 2 + …

… + 3 000 · 1,07 49

19 Lös ekvationen. Svara exakt och med ett när-mevärde med tre decimaler.

a) 7 · x 5 = 13

b) 7 · 5 x = 13

20 I en affärsuppgörelse ingår att företaget BYGG AB ska betala beloppet 400 000 kr idag och resten, 600 000 kr, om 4 år. Vad borde BYGG AB betala, om uppgörelsen varit att hela summan ska betalas idag? Hänsyn tas till en årlig ränta av 7,5 %.

21 Folkmängden i en kommun har fördubblats under en 35-årsperiod. Beräkna den årliga

procentuella ökningen, om den antas ha varit lika stor varje år.

Gron C Kap 4.indb 219 09-06-25 08.12.34

22 Värdet i kronor av en maskin förändras enligt funktionen

f (x) = 250 000 · 0,85x

där x är tiden i år sedan maskinen var ny.

a) Vad betyder 0,85 i detta fall?

b) Beräkna och tolka f (5).

c) Beräkna derivatan f′ (5) genom att skriva om exponentialfunktionen med basen e.

d) Visa hur du kan kontrollera värdet på f′ (5) med din räknare.

e) Tolka vad f′ (5) betyder i detta fall.

23 Rita kurvan

y = x3 – 180 x2 + 6 000x + 45 000

och bestäm extrempunkternas koordinater med hjälp av derivata.

24 Marcus arbetar som forskare. Måndagen den 5 maj kl 09.00 glömde Marcus av misstag ett radioaktivt preparat på sitt arbetsbord.

Tre dygn senare upptäckte han preparatet.

Aktiviteten var då 150 MBq. (En becquerel, 1 Bq, är enheten för aktivitet, d v s antal sön-derfall per sekund.)

Efter ytterligare två dygn hade aktiviteten gått ned till 119 MBq. Aktiviteten hos ett radioaktivt preparat avtar exponentiellt med tiden.

Hur stor var aktiviteten den 5 maj kl 09.00?


25

För att en viss medicin ska få avsedd effekt behöver en patient ha 15 mg av medicinen i

kroppen. Om man ger hela denna medicin-mängd på en gång finns risk för allvarliga biverkningar. Patienten får därför små doser medicin med en timmes mellanrum.

Efter 10 sådana lika stora doser upphör medi-cineringen, och patienten ska då ha 15 mg av medicinen i kroppen.

Hur stora ska dessa doser vara, om man vet att medicinen börjar verka omedelbart och att 16 % av den bryts ner i kroppen

per timme? (NP C vt 96)

26 I en formelsamling står det att funktionen

f (x) = ln x har derivatan f′ (x) = 1x

för

alla x > 0. Undersök om denna deriverings-regel verkar vara riktig. Du behöver inte

utföra ett bevis. (NP C ht 96)

Gron C Kap 4.indb 220 09-06-25 08.12.36

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilka matematiska kunskaper du har visat

•vilka slutsatser du har kommit fram till

•hur väl du har redovisat ditt arbete och genom-fört dina beräkningar.

27 a) Bestäm koordinaterna för maximipunkten på kurvan y = 8 – 2x 2.

b) y = f (x) är en andragradsfunktion vars graf har en maximipunkt på y-axeln.

Visa att grafen till funktionens derivata alltid är en rät linje, med negativ lutning, som går genom origo.

28 En låda i form av ett rätblock har en kvadra-tisk basyta och saknar lock. De fyra sido-ytorna och bottenytan har tillsammans arean 192 cm2.

a) Bestäm lådans volym då baskanten x = 10,0 cm.

b) Bestäm lådans volym då höjden h = 10,0 cm.

c) Vilka dimensioner har lådan då volymen är maximal?

d) När volymen är maximal finns det ett enkelt samband mellan baskanten x och höjden h. Undersök detta också för den totala arean 363 cm2 och försök sedan att visa sambandet allmänt genom att sätta den totala arean till A cm2.

29

. . .

Varje kloss har en höjd och bredd som är 80 % av den intill. Den första är 20 cm hög.

a) Hur många klossar har vi om den första är 20 cm och den minsta 4,2 cm hög?

b) Hur hög blir stapeln om vi ställer dem på varandra?

c) Undersök hur hög stapeln blir, beroende på hur många klossar vi har samt hur hög den första är.


(cm)

xx

h

Gron C Kap 4.indb 221 09-06-25 08.12.37

svar och lösningar 251

4

4104 a) 5, 10, 15, 20

b) 1, 4, 7, 10

c) 0, 3, 8, 15

d) 2, 6, 12, 20

4105 a) a12 = 6 144 b) a12 = 38

4106 an = n2

4107 a) n = 20 b) n = 9

4108 a) an = 4n – 1

b) an = 3n – 1

c) an = 4n

d) an = n2 + 1

4109 a) Pn = 250 000 + 5 000n

b) Pn = 250 000 ∙ 1,02n

4110 T ex an = 2n, an = n(n – 1) + 2

4111 An =

= ( )nn n

− ° ° − °2 180 180 360⋅ =

Historik – Fibonaccis talföljd

1 a) 233, 377

b) an + 2 = an + 1 + an, a1 = 1, a2 = 1

2

månad kaninpar1 1

2 1

3 1 + 1 = 2

4 1 + 2 = 3

5 2 + 3 = 5

månad 1

månad 4

månad 5

månad 3

månad 2

3 Kvoterna

138

≈ 1,625

2113

≈ 1,6154

3421

≈ 1,6191

5534

≈ 1,6177

verkarnärmasigGyllenesnittet,

1 52

+ ≈ 1,6180

4 a) 1 5 10 10 5 1

b) Diagonalernas summa blir Fibonaccis talföljd.

4203 a) 8, 24, 72, 216, 648

b) 80, 40, 20, 10, 5

4204 a) 118 096 4 3 13 1

10( )( )

−−

b) 12 578 1 000 1 05 11 05 1

10( , )( , )

−−

4205 a) 160

b) 4 161 1 000 0 8 10 8 1

8( , ),

−−

4206 a = 60

4207 a) Ej geometrisk

b) Talföljden är geomtrisk med summan 248 k = 0,75

c) Talföljden är geomtrisk med summan 1 735 k = 1,25

d) Ej geometrisk

4208 x ≈ 385,23

4209 1 215 första talet = 5

4210 a) 41,6 cm k = 0,8

b) 2 040 cmt k = 0,83

4211 23 100 1 5 11 5 1

2 000 000( , ),

n −−

>

4212 54

, 5, 20, 80, 320, 1 280

k = 4 och a1 = 54

4215 a) 13 439 kr

b) 14 071 kr

c) 10 304 kr

4216 30 015 kr 2 500 1 04 11 04 1

10( , )( , )

−−

4217 a) 312 mg b) 333 mg

4218 a) 0,6 cm

b) 2,7 cm 1 8 1 3 11 3 1

10, (( / ) )( / )

−−

4219 33 066 kr

4220 C är bäst I början av år 2010 ger

A: 6 000 ∙ 1,067

B: 9 000

C: 1 000 1 06 11 06 1

8( , )( , )

−−

4221 20 g (19,84…)

4222 Antal korn = 264 – 1 ≈ 1,8 · 1019

Massa ≈ 5,5 · 1014 kg Svarar mot ungefär 300 världs-

produktionsår.

4225 a) 96 049 kr b) 114 076 kr

4226 6 268 kr

4227 2,57 ∙ 1047 k = 3

4228 27 923 kr

x( , ),

1 07 11 07 1

5 −−

= 100 000 · 1,077

4229 40(1 – 0,5n) mg

4230 a) Cirka 0,33 % (0,327…) Lös ekvationen x12 = 1,04

b) Ungefär 9,6 miljoner Beräkna summan av alla nuvärden.

k = 11 0327,

och n = 300

4221 a) Efter 21 år.

b) Oljan tar aldrig slut. Summan närmar sig

85 3651 0 96

⋅− ,

4302 a) B5 = 8,75, C5 = 18,75

b) B5 = C4/2, C5 = 10 + B5

Gron C Svar och Register 251 09-06-27 13.49.58

252 svar och lösningar

4303 a) D2 = 24 000 E2 = 144 000 C3 = 144 000 D3 = –7 200 E3 = 136 800

b) D2 = B2 * C2/100 E2 = C2 + D2 C3 = E2 D3 = B3 * C3/100 E3 = C3 + D3

4304 a) 17 491

b)

C D2 80 000 20 0003 = F2 15 0004 = F3 40 000

E F2 = B2*c2/100 = c2 – D2 + E23 = B3*c3/100 = c3 – D3 + E34 = B4*c4/100 = c4 – D4 + E4

4305 a)

B C D

4 1,35 1,0125 8,7

b)

B C D

4 c3 75*B4 D3 + 2*c3

4307 a) E2 = D2 * C2/100 F2 = C2 + E2

b) A3 = A2 + 1 B3 = B2 C3 = F2 + B3 D3 = D2

d) 87 656 kr (87 655,84)

e) 116 746 kr (116 746,38)

f) 6 723 kr årlig insättning ger 150 007 kr.

4308 83 mg (83,324...)

4309 b) n = 18

c) Arean närmar sig 6,235 a.e.

Omkretsen i figur n är

pn = 9 43

1

⋅

−n

Arean i figur n är

An =

= 9 34

1 13

1 49

49

49

2 1

+ + + + +

−

...n

An → 3,6 3 då n → ∞

4311 a) 57 pg

b) Efter 13 h.

4312 Efter 4,5 h. 9 perioder om 30 min.

4313 a) 10 000 ENTER Ans × 1,08 + 400 ENTER ENTER o s v

b) 17 040 kr

c) Efter 17 år (50 500 kr).

4314 2 380 (2 381)

4315 48,4 %

4316 a) 29 011 kr

b) Efter 6 år.

4317 401 046 kr

4318 a) 0,4 ENTER Ans × 0,1 ENTER ENTER o s v

b) 100 ENTER Ans × 0,4 ENTER ENTER o s v

4319 a) 319 = 162 261 467

b) 0,423 %

Problem för alla 4

1 21, 42 och 84

2 905

3 20 s Tågets längd a m.

a + 30030

= 30 ger a = 600.

60030

s = 20 s

4 Minst 20 termer

5 25 % Om den första höjningen är x % och den gamla lönen a kr så gäller

a · (1 + x100

)(1 + 2100

x ) =

= a ⋅ 158

x = 25

6 2 / 3

7 a = 1 f ′ (2) = 0 ger a1 = 1 och a2 = 4.

a = 1 ger fmin

a = 4 ger fmax

8 ab

= 1

Om OA = 2r så är π( )24

2r =

π r 2 – a + b som ger a = b

9 a) f (x) = x1/3, a = 8

b) f ′ (8) = 112

10 59 048

Hemuppgifter 4

1 a) 5, 3, 1

b) 0, 2, 6

2 a) an = 2 + 3n

b) an = 11 2+ n

3 an = n(n + 1)

an = an – 1 + 2n, a0 = 0

4 197 (197,031 25)

5 0,2 + 0,6 + 1,8 + 5,4 + 16,2 + + 48,6 0,2 + 0,2 · 3 + 0,2 · 32 + 0,2 · 33 + + 0,2 · 34 + 0,2 · 35

6 a) 252 b) 99

7 x ≈ 10 021,82

x( , ),

1 0 60 4

12− = 25 000

8 a) 64 393 kr

b) 76 790 kr

9 2 883 kr (2 883,40 kr)

10 a) 250 mg (249,92)

b) 250 mg (250 · (1 – 0,250))


svar och lösningar 253

11

C D E

2 3 000 3 000 90

3 4 000 7 090 283,6

4 5 000 12 373,6

12 373,60

12 1 200 000 ENTER Ans × 1,07 – 75 000 ENTER ENTER o s v 1 264 380 kr (1 264 379,62 kr)

Blandade övningar 4A

1 a) y ′ = 3x2 + 5 b) y ′ (3) = 32

2 a3

3 a) x1 = 0, x2 = –3, x3 = 3

b) x = 100

4 a) g ′ (x) = x2

b) g ′ (x) = 6 e3x

5 a) För x = 1 och för x = 3.

b) För 1 < x < 3.

6 162

7 a) Efter 3 år är värdet 110 000 kr.

b) Efter 3 år är värdeminskningen 15 000 kr/år.

8 f ′ (2) = 3

9 y ′ (20) = –1,25 Tangentens k-värde

55 8020 0

−−

= –1,25

10 a) x = 2,5 b) x1 = 1, x2 = 4 Multiplicera alla termer med x(x – 2). Ekvationen kan skrivas x2 – 5x + 4 = 0.

11 I punkten (3, 1).

12

1 1 1 1

2 2 4 5

3 3 9 14

Summan 12 + 22 + 32 = 14 C3 = (A1)2 + (A2)2 + (A3)2 =

= 12 + 22 + 32 = 14

13

x

y

3

y = f(x)

3

f ′ har för x = –3 teckenväxlingen – 0 + x = 3 teckenväxlingen + 0 –

14 f ′ (x) = 2x

15 xy

= 1 000

16 (2, –9)

17 a) 4 000 + 4 000 · 1,03 + + 4 000 · 1,032 + + 4 000 · 1,033 + 4 000 · 1,034

b) T ex: ”Joachim sparar pengar genom att vid slutet av varje år

sätta in 4 000 kr på ett bank-konto. Räntan är 3,00 %. Hur stor är behållningen på kontot omedelbart efter den femte insättningen?”

18 Ökning med 35 000 per år (34 621).

19 33,8 % (33,84...)

20 Minimivärdet är 3.

21 a) 20 °C y (0) = 200 – 180 = 20

b) 200 °C

c) 62 °C

22 a) a = 1; ändringskvoten ≈ 5,436 745

b) Beräkna t ex

f f( , ) ( , ),

1 0001 0 99990 0002

− ≈

≈ 5,436 564 (Det exakta värdet är 2e.)

23 a = 2, b = –3, c = 1 y (0) = 1 ger c = 1. De övriga villkoren ger ekvationssystemet

a + b = –1

2a + b = 1

24 a) f ′ (x) = 8x

b) Ekvationen 4x2 + 3 = 8x har lösningen x1 = 0,5, x2 = 1,5.

c) Ekvationen ax2 + b = 2ax har två olika lösningar då b < a.

25 a) 108 cm2 (För x = 12.)

b) Om topptriangelns bas är z cm så ger likformighet

z x18

2424

= −

z = 18 – 0,75x y = x · z = 18x – 0,75x2

c) Ja,det är sant.

y = bx – bxh

2

och y ′ = 0

då x = 0,5h. Rektangelns maximala area

är 0,25bh, vilket är hälften av triangelns area, 0,5bh.

26 a) 12

dm2; 14

dm2; 12 1n − dm2

b) Då n = 5 är den totala arean 1,9375 dm2. Då n = 10 är den totala arean 1,9980 dm2. Den totala arean har gräns- värdet 2 dm2 då n växer

obegränsat.

c) Den 1:a kvadratens omkrets är 4 dm. Den 2:a kvadratens omkrets är 2 2 dm. Den 3:e kvadratens omkrets är 2 dm. Den n:e kvadratens omkrets är

4

21( ) −n dm.

Kvadraternas totala omkrets

ges av sn =

4 1 12

1 12

−

−

n

dm

som närmar sig

4 22 1−

dm ≈ 13,65 dm

då n växer obegränsat.


254 svar och lösningar

Blandade övningar 4B

1 a) y ′ = 5 c) y ′ = –20 e – 4x

b) y ′ = 3x 2 + 13

2 2 + h

3 a) x1 = 0, x2 = – 4, x3 = 4

b) x = 0,5

4 a) x = lg 3

b) x = ( )2515

c) x = lglg

126

eller x = lnln

126

5 T ex 21x −

6 k = 2

7 a) f (0) = 1 c) (0, 1)

b) f ′ (1) = 3 d) 0 < x < 2

8 a) E f ′ ( x ) < 0 för alla x

b) A, B och C f ′ ( x ) har endast ett nollställe

c) C och D Det finns ett x där f ′ ( x ) har teckenväxlingen – 0 +

d) B och F

e) A, D och F

9 a) 4ah b) 11 + h

10 y ′ (2) = –2,5

11 (0,5; 0,5e)

12

2

1

y

x

1

2 A

B

I punkten A (0, 2) är lutningen 1. I punkten B är lutningen 0.

13 2a – 4a2

14 x = 100

15 Lutningen är 0,75.

16 y = 2x – 2, y = –2x – 2

17 f ′ (3) = –9

18 1 219 587

19 a) x = 137

15

≈ 1,132

b) x = ln

ln

1375

≈ 0,385 eller

x = lg

lg

1375

≈ 0,385

20 849 280 kr Låt x kr vara det belopp som

växer till 600 000 kr på 4 år om räntesatsen är 7,5 %.

x · 1,0754 = 600 000 BYGGABbordebetala (x + 400 000) kr.

21 2,0 %

22 a) Värdet minskar med 15 % per år.

b) Efter 5 år är värdet 111 000 kr. (110 926)

c) f ′ (5) = –18 000 (–18 028)

d) nDerive(250 000 * 0,85 ^ X , X , 5) ≈ –18 028 eller d/dx(250 000 * 0,85x, 5) ≈ ≈ –18 028

e) När maskinen är 5 år gammal så minskar värdet med 18 000 kr/år.

23

50 200

170 000

110 000

Maxpunkt: (20, 101 000), minpunkt: (100, –155 000).

24 212 MBq Modellen y = C · ax ger

C · a3 = 150

C · a5 = 119

Ledvis division ger C aC a

⋅⋅

5

3119150

= .

Beräkna först a och sedan C.

25 2,9 mg

26 Beräkna t ex ett närmevärde till derivatan med en central

differenskvot för några x > 0.

x 1x

f x f x( , ) ( , ),

+ 0 001 0 0010 002− −

1 1 ≈ 1

4 0,25 ≈ 0,25

10 0,1 ≈ 0,10

Regeln verkar OK!

27 a) (0, 8)

b) Funktionen kan skrivas y = a – bx2, där b > 0. Derivatan y ′ = –2bx. Deri-

vatans graf är en rät linje, med negativ lutning (k = –2b). Derivatans värde är noll då x = 0. Linjen går alltså genom origo.

28 a) 230 cm2

h = 2,3 cm

b) 188 cm2

x ≈ 4,331 cm

c) 8 cm × 8 cm × 4 cm

d) A = 192 cm2 ger x = 8 cm och h = 4 cm. A = 363 cm2 ger x = 11 cm och h = 5,5 cm.

h = x2

Totala arean A = 4xh + x2. Lös ut h och skriv volymen V = x2 · h. Ekvationen V ′ (x) = 0 har

lösningen x = A3

. Sätt in

detta x-värde i formeln för h.

29 a) 8

b) 83 cm (83,22...)

c) Om antalet klossar är n och den första klossens höjd är a1

så blir stapelns höjd a1 · 5(1 – 0,8n). 10 klossar ger höjden 4,46a1

20 klossar ger höjden 4,94a1

30 klossar ger höjden 4,99a1

Stapelns höjd kommer att närma sig 5a1 då n växer

obegränsat (n → ∞).


KÄllFörTEcKning Till bildErnaSiffrorna anger sida och bildens placering på sidan.

256 källFörtEckning till BilDErna

Foton:

Bonde Irene 58

Folio Bildbyrå, Stockholm Cederling Peter 196 Halvarsson Katja 180 Hertzell Daniel 172

Heikne Hans 53, 72, 101, 112, 122, 169, 181,190, 213, 216

IBL Bildbyrå AB, Stockholm Albert Lamber Photography/SPL 192 Andersson Thomas 128 Brissaud Eric 10 Carlsson Lars 120 DalletJ.D./AGE 210 First Light 6 Hart Davis Adam/Science Photo Library 204 Image State 68 KinsmanEdward/AGE 70 Lambert Andrew/Science Photo Library 205 Popperfoto 115:2 Science Photo Library 115:1 Science Photo Library/Protection Agency 129 Science Source 98

INA Agency AB, Stockholm BildagenturHuber/Graefenhain 174

Institut Mittag Leffler 158:2

Johnér Bildbyrå AB, Stockholm Berggren Hans 97 Bjurling Hans 131 Halling Sven/Naturbild 80 Koller Lena 81 Niemi Tero/Naturbild 60 Rietz Magnus 38 Workbook Stock 90 Ödmann Johan 28

Link Bildbyrå, Stockholm Ehrs Bruno 200 Hjälmrud Berno 46 JohanssonGerry 209 SmolianskyGunnar 12:2 Ulin Pia 17

Nordic Photos Bildbyrå, Stockholm Leijon Mikael 164 Lundgren Ewa 89:1 LundströmGunilla/MIRA 24 Norenlind Nils-Johan/Tiofoto 91 Peters Heinrich 74 Photononstop/Nordic Photos 126 Tukler,Anders/Greatshots 195 Wiklander Björn 137

Pressens Bild AB/Stockholm 158

Scanpix Bildbyrå AB, Stockholm Audrey David/Corbis 212 Carlgren Thomas 175 Carlsson Jan E 199 Dahlström Jan Håkan/Bildhuset 199 Ehrs Bruno 89:2 Ekströmer Jonas 203 FusteRagaJosé/AGE 177 GillbergDick 127 GustafssonJeppe 133 Henriksson Janerik 42 Jensen Michael 81 Lane Justin/EPA 11 Latz Michael 12:1 Mikrut Jack 189 Neilsen Kim/AP Photo 148 Ochsenreiter Augustin/AP 69 Poppe Cornelius 59 Vandystadt Philippe Blondel 84 Westerlund Åsa 201 Wiklund Anders 111

Statens Konstmuseer, Stockholm/Svenska Porträttarkivet M.HallmanefterGLundberg:”Samuel Klingenstjärna”(1773) 158:1

Teckningar:

Johan Hesselstrand

Matematiska illustrationer:

Mats KarlssonBjörn Magnusson


Documents

Bild + bild + bild är en summa av bilder