TEMA: BINOMIO

DE NEWTON

PROF: LUIS CABRERA

GARCÍA

BINOMIO DE NEWTON

En el desarrollo de:

(a + b) = a + b = b n

n a

0

n

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 22 b

2

n ab

1

n a

0

n

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3 = 3223 b

3

n ab

2

n ba

1

n a

0

n

Se observa que, la potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo

binomial o binomio de Newton. Generalizando, obtenemos:

na n

n 3a 3-n x

3

n 2a 2-n x

2

n a 1-n x

1

n n x

0

n n ax

TÉRMINO GENERAL

En el desarrollo del binomio (x + a) n , el

término general está dado por:

kk-n

orden

1 ka x

k

n t

OBSERVACIONES: En el desarrollo de (x + a) n, notamos que:

1. El desarrollo es un polinomio completo y homogéneo de grado n.

2. El desarrollo posee (n + 1) términos. 3. El término central:

i) Si n es par, existe un sólo

término central, dado por

2

2nc t t

ii) Si n es impar, existen dos términos

centrales, dados por:

2

3nc

2

1n

c t t ; t t

4. La suma de los exponentes para

(x + y

)

n es

2

1n n

.

5. La suma de los coeficientes para

(x + a) n es ( + )

n.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determinar el valor de “x” si el tercer y

sexto término de: 7

3

2x3

suman cero

a) 3/2 b) 2/3 c) 9/2 d) 2/9 e) 1

2. En: CCCC

n

n

n

2

n

1

n

0....

x

9x2

Hallar el lugar que ocupa el término

independiente: a) 2n b) 2n-1 c) 2n+1 d) 2n-1 e) 2n-1+1

3. Determinar el lugar que ocupa el término

de mayor valor numérico que se obtiene

al desarrollar: 15x23 Para x = 7/2.

a) 11 b) 12 c) 10

d) 14 e) 13

4. En 1n2

34

x

1x

, uno de sus términos

centrales es independiente de “x”.

Calcular el número de términos.

a) 8 b) 7 c) 5 d) 9

e) 6 5. Calcular el cuarto término del desarrollo

de: 6

x

2

2

x

a) 5

x25

b) 6

x4

15 c) –20

d) x4 e) 5x2 6. Un término del desarrollo de: (2x2-y)n

presenta x2y15 entonces el número de términos del desarrollo es:

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

7. Determinar el término independiente del

desarrollo del binomio 18

42

xx

1

a) 120 b) 153 c) 260 d) 320 e) 180

8. Hallar el valor de “n” si el termino tercero

de la expansión del binomio

n

3

3

xx

1xx

contiene a x3/2

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 9. Hallar el número de términos en el

desarrollo de (y+2)n par que los términos de lugares de 10 y 11 tengan igual coeficiente

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

10.Indicar el lugar del término independiente

en desarrollo del binomio: 154

8

6 2

x

1x

a) 63 b) 97 c) 112

d) 113 e) 114

11.Si el término central del desarrollo de

P(x)=n

2

23

x

aax

Es de séptimo grado. Determine el exponente de a en dicho término.

a) 24 b) 18 c) 15 d) 17 e) 21

12.Determinar la suma de grado de los

términos de le expresión de:

P(x) = (2x2 + 3x)10

a) 65 b) 155 c) 220 d) 165 e) 135

13.Indique cuál es el término independiente

del desarrollo de: G

a) –17/6 b) 51 c) –17/3 d) 17/2 e) –34/3

14.El desarrollo de

n43

332

32

3xxxxx1(

tiene 10 términos, y uno de ellos es de la forma ax57. Halle a

a) 9 b) 36 c) 126 d) 84 e) 72

15.En el desarrollo de P(x)=(3x3k+1-2x15+2k)k

el término de lugar 2

k+1 tiene grado

17k+4. Determine el coeficiente del

término de lugar k.

a) 52 b) –96 c) –24 d) –16 e) 216

16.En las expresiones de

P(x)=(2x3-3x)7 Q(x)=(5x-1+4x1)9

Se observa que existe un par de términos semejantes, halle la ubicación

de estos términos respectivamente.

a) 1 y 7 b) 3 y 5 c) 1 y 9

d) 4 y 6 e) 4 y 5

17.Al efectuar:

25

3555

x

1xx)xx(

halle el exponente de x en término central del desarrollo.

a) 35 b) 28 c) 40

d) 48 e) 32 18.Indique el valor de n, si el desarrollo de

(2x3+x.-1)n tiene 12 términos enteros

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

19.En la expansión de P(x;y)=(bxa+ayb)n el primero y último término son de grado 16

y 24 respectivamente, además el término central es de grado 2(a+b). halle na

bC

a) 48 b) 28 c) 8

d) 21 e) 1

1. Determinar la suma de A y B

Si A=38131222

B= - 483763

a) 23

3 b) 3

242

c) 3

342 d) 3

32

e) 23

3

2. Encuentre el denominador racionalizado

de: 92212

6

2

a) 4 b) 3 c) 7 d) 14 e) 28

3. Simplificar:

416

36

28

332.332.332

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3

4. Efectuar: 2

23.23

a) 1 b) 3 - 2 c) 3 + 2

d) 5+2 6 e) 625

5. Dividir:

Entre: 12321827

a) 3 + 2 b) 5 c) 2 +1

d) 3 - 2 e) Imposible

6. Calcular:

122826352

a) 3 b) 43 c) 223

d) 22 e)4

2

7. Efectuar: E= aba

bbab2

b

aa

a) a b) ab c) a-b d) a+b e) a/b

8. Hallar el valor de

2

11

2

111

2

111

H

33

a) 2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 11

9. Encuentre el valor de:

1528

212107411.549M

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

10. Efectuar:

1-

3333 223

b

1

a

1

ba

b

ba

b

a

1

a) b b) b/a c) a/b d) ab e) a

11.Encuentre el denominador racionalizado

de: 4

525

1

a) 2 b) 4 c) 1 d) 7 e) 3

12.Efectuar: E=633

48216.13.2

a) 6

3 b) 3 c) 2

d) 2 e) 1

13.Efectuar: E=4

154.

24

35.42

a) 42 b) 48 c) 2 2

d) 2 e) 8

14.Reducir: 484

2

234

a) 1 b) 2 c) 4

2

d) 8

2 e) 2

15.Al racionalizar n ma

1

n > m

Se obtiene como denominador:

a) m

1

a b) a c) an+m

d) am e) 1

16.Si x=23

23y;

23

23

Entonces E=10x2-18xy+10y2es igual a:

a) 952 b) 990 c) 972 d) 962 e) 980

17.El equivalente de 3x7x622x52

es

acxbax ; siendo a, b y c tres números naturales. El valor de a + b + c es: a) 3 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10

18.Al simplificar:

1x22x

1

1x22x

1

se obtiene

a) x

2 b)

x

2 c)

x

3 d)

x

3 e)

2

x

19.Racionalizar: 321

3

a) 364

3 b) 622

4

3

c) 4

236 d) 621

2

3

e) 4

262

20.Al simplificar: 1x

1x4x4x22

se obtiene: a) –1 b) 1 c) x d) –x e) x

21.Efectuar:

245

6

488

34

729

23

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

22.Calcular: E= 210274

8617

a) 2 2 b) 2 3 c) 3 2

d) 3 3 e) 6

23.Indicar el denominador racionalizado de:

352122231027

1

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

24.Efectuar:

737573

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

25.Indicar el denominador racionalizado de:

853

1

a) 12 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60

26.Efectuar:

434

27.346

a) 2 3 b) 3 2 c) 43

d) 3 e) 9

27.Indicar el denominador final de reducir: 1

12

22

212

a) 2 b) 7 c) 14 d) 1 e) 9

28.Efectuar:

R= 320218093

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

2 e) 3

29.Simplificar:

32423332R

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 e) 3