12

Calcolo combinatorio.Disposizioni - Permutazioni - CombinazioniCoefficienti binomiali - Binomio di Newton

Disposizioni semplici.Disposizioni semplici di n oggetti di classe k sono tutti

gli allineamenti che è possibile formare con k oggetti sceltitra gli n, senza essere ripetuti, in cui conta l’ordine deglioggetti .Si considerano distinti due allineamenti se

- differiscono per almeno 1 elemento- differiscono per l’ordine.

Il loro numero si indica con Dn, k.

Teorema - Dn, k = n·(n-1)·(n-2)·…… ·(n-(k-1))=k fattori

Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero.

)!kn(

!n

!

13

Qualche esempio per iniziare.1) In una classe di 22 alunni, in quanti modi distinti possono

essere occupati i 4 banchi di prima fila ?

1 2 3 4N°possibili

occupanti 22 21 20 19

Quindi in totale: 22·21·20·19 = 175 5602) Considerando 200 giorni di scuola all’anno e 10 cambi al giorno, quanti annisono necessari per provarli tutti ? 175 560 : 2 000 = 87,78 !!!

3) Quante sono le possibili estrazioni di 10 palline da un’urna che ne contiene100?

100·99·98·97·96·95·94·93·92·91=!90

!100

14

Disposizioni con ripetizione.

Disposizioni con ripetizione di n oggetti di classek sono tutti gli allineamenti che è possibileformare con k degli n oggetti.Si considerano distinti due allineamenti se

differiscono- per un oggetto,

- per il numero di volte in cui compare un oggetto, oppure

- per l’ordine.

- Il loro numero si indica con D*n, k.

Teorema - D*n, k= nk.

15

Esempio 1. 1. Se si vogliono preparare gli stampi per

tutte le cifre (iniziali di nome e cognome) chesi possono formare con le 26 letteredell’alfabeto internazionale, di quanti stampiè necessario disporre ?

26 ·26 = 262 = 676

N C

26 26

16

Continua….

2. Quante terne di numeri si possonoottenere lanciando 3 dadi?

6·6·6 = 63 = 216

1 2 3

6 6 6

17

Permutazioni semplici.

Permutazioni semplici di n oggetti sono tuttigli allineamenti degli n oggetti.Si considerano distinte due permutazioni se

differiscono per l’ordine.

Il loro numero si indica con Pn = Dn, n.

Teorema – Pn = n!.

18

Esempio 2.

Anagrammi di ROMA Quanti numeri di telefono di 5 cifre diverse

si possono comporre con le cifre {1, 3, 5, 7,9} ?

Quanti elementi deve contenere un insiemeperché le permutazioni di essi siano minoridi 2oo ? E maggiori di 10 000 ?

n! < 200 n ≤ 5 n! > 10 000 n ≥ 8

Calcolo P5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120

19

N.B.:Un candidato alle elezioni politiche decide di

tenere comizi in 3 città. Quanti sono ipossibili percorsi che può seguire?

1

2

3

1^ tappa 2^ tappa2

31

32

1

3

23

11

2

D3,3=3·2·1=3!=P3

3^ tappa

20

Permutazioni con ripetizione.Permutazioni con ripetizione sono allineamenti in cui ogni

oggetto può essere ripetuto un numero prefissato divolte.

Sia k = il numero di elementi di un allineamento;a1 , a2 , a3 , ……, a n gli oggetti distinti allineati;n1 il numero di volte in cui compare a1 ,n2 il numero di volte in cui compare a2 , ecc…in modo che n1 + n2 + n3 +….+ nn = N.

Teorema – P*n1, n2, n3, …, nn=

C.P.: P*n1, n2= n1+n2=N

!!!

!

21 nnnn

N

K

)!nN(!n

!N

!n!n

!N

1121 !=

21

Esempio3.

Numero di anagrammi della parola “orologio”.

a1 = o n1 = 4

a2 = r n2 = 1

a3 = l n3 = 1

a4 = g n4 = 1

a5 = i n5 = 1

Uscita di due Teste e una Croce in tre lanci di unamoneta:

N.B.: servirsi di un diagramma ad albero

P*4,1,1,1,1= 8! / 4!1!1!1!1!=

= 8·7·6·5 = 1680.

3!1!2

!31,2

*==P

22

Continua….

Un gas è composto da N molecole.

N1 sono in uno stato s1,

N2 sono in uno stato s2,

………………………………..

Nk sono in uno stato sk; N1 + ……+Nk = N.

Quante sono le possibili configurazioni delgas?

!!!

!

21 kNNN

N

L

23

Combinazioni semplici.Combinazione semplice di n oggetti di classe k,

k≤n, sono tutti i possibili insiemi di k oggetti scelti tragli n oggetti.Si considerano distinte due combinazioni che differiscono per

almeno 1 oggetto. Il loro numero si indica con Cn, k.

Teorema: Cn, k =

N.B.: Cn, k = P*k, n-k=

coefficiente binomiale

!!"

#$$%

&=

'=

+'''=

k

n

)!kn(!k

!n

!k

)1kn()2n)(1n(n

P

D

k

k,n K

!!"

#$$%

&=

' k

n

)!kn(!k

!n

24

Definizione ricorsiva.Calcoliamo :

k

kn

n

knk

knk

n

C

C

kn

kn 1

!

)!1()!1(

)!(!

!

1,

, +!=

+!!"

!=

!

E quindi possiamo dare unadefinizione ricorsiva :

!"

!#

$

%&

'()

* ++=

=

+1,,

0,

1

1

knkn

n

Ck

knC

C

25

Combinazioni con ripetizione.

Combinazione con ripetizione di n oggetti diclasse k è ogni insieme di k oggetti comunquescelti tra gli n assegnati.Si considerano distinte due combinazioni con ripetizione se

differiscono per almeno 1 oggetto oppure per ilnumero di volte in cui viene ripetuto.

Il loro numero si indica con C* n, k.

Teorema - C* n, k =kkn

Ck

knnnn,1

!

))1(()2)(1(!+=

!+++ K

26

Coefficienti binomiali.

Definizione:

Osservazioni :

10

=!!"

#$$%

&n)!(!

!

knk

n

k

n

!=""

#

$%%&

'

kn,nk,nC

kn

n

k

nC !=""

#

$%%&

'

!=""

#

$%%&

'=

1n

n=!!

"

#$$%

&

27

Proprietà dei coefficientibinomiali.

!!"

#$$%

&

'=!!

"

#$$%

&

kn

n

k

n

!!"

#$$%

& '+!!"

#$$%

&

'

'=!!

"

#$$%

&

k

n

k

n

k

n 1

1

1

1.

2.

!!"

#$$%

&

'

'+!!"

#$$%

&

'++!!

"

#$$%

&

'

'+!!"

#$$%

&

'

'+!!"

#$$%

&

'

'=!!

"

#$$%

&

1

1

11

3

1

2

1

1

k

k

k

k

k

n

k

n

k

n

k

nK

3.

1≤ k ≤ n

4. Dn, k=Dn, p * Dn-p, kP<k<n

28

Triangolo di Tartaglia.Dati n oggetti le possibili combinazioni sono diclasse 1, 2, 3, ……, n.

Il numero delle diverse combinazioni sarà:

!!"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=

n

nC

nC

nC

nnnn ,2,1,21

L

Che potrò scrivere …..

29

Triangolo di Tartaglia.1

0

0=!!

"

#$$%

&

11

11

0

1=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&

12

22

1

21

0

2=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

13

33

2

33

1

31

0

3=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&

14

44

3

46

2

44

1

41

0

4=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&

30

Binomio di Newton.

N.B.: insieme delle parti di un insieme A di n elementi

nkn

n

k

kn

n

k

nn

DC

n

nnn

k

n

2

...10

)11(2

,*

0

,

0

==

!!"

#$$%

&++!!

"

#$$%

&+!!"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&=+=

'

'

=

=

( ) !=

"

##$

%&&'

(=+

n

0k

kknn

bak

nba

( ) !=

"

##$

%&&'

("="

n

k

kknkn

bak

nba

0

)1(

31

Passeggiate … Un ubriaco, uscito dalla

porta di un bar, fa ogni10 s un passo di unmetro lungo ilmarciapiede del tuttocasualmente in avantiverso destra o sinistra.

Dove si troverà dopo 4passi ?

E dopo 10 ?

X

X

-1

X

X

-2

X

-3

X

X

0bar

XX

X

XXX

X

4321-4

Completa la tabella fino a 10passi.

32

Altre domande.. Ogni posizione può essere raggiunta in un solo modo

?

In generale la posizione p (N –p) può essereraggiunta in mp modi, dove

mp =

con N numero totale di passi, d passi a destra es passi a sinistra.

N.B. N = s + d e p = d – s.

!!"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&

s

N

d

N

33

N° di modi per raggiungere p

1

5

1

-5

10

3

1

-1

4

1

-2

5

1

-3

6

2

0 bar

510

13

1

141

1

4321-4

1

2

3

4

5

34

1 esercizio, diverse richieste.In un reticolato x-y ci si può muovere da sinistra a

destra (x) e dal basso verso l’alto (y). Quanti modici sono per arrivare ad un punto tale che x + y = 9? In quanti modi posso arrivare a D(6,3)?

Oppure : lancio 9 volte una moneta: se esce testami muovo da destra a sinistra, se esce croce dalbasso verso l’alto. Dove posso arrivare? Inquanti modi?

Oppure : quante sequenze di 9 cifre binarie (0/1 ,T/C) si possono formare con somma 6?

Oppure : quanti sottoinsiemi di 6 elementi ho in uninsieme di 9 elementi?

35

Esercizi BINOMIO DI NEWTON

1. Dato il binomio (3a+1/(9a) )6 determinare, se esistono, il termine noto, i termini di a-4 e di a-5 .2. Dato il binomio (2x - 3 / (2x3) )5 determinare, se

esistono, i termini x6 , x5 , il termine noto.3. Dato (3x+y)n , determinare n in modo che il 4°

coefficiente sia 15 volte il 6° coefficiente.4. Dato (2a + 3b)n , determinare n in modo che il 5°

coefficiente sia i 5/6 del 6° coefficiente.5. Determinare il termine medio di 8)31( !

36

ESERCIZI CALCOLO COMBINATORIO1. Quanti sono i possibili anagrammi della parola ROMA ?2. Quante sono le possibili uscite del gioco del lotto ?3. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, senza reimbussolamento ?4. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, con reimbussolamento ?5. Quante sono le combinazioni di 4 oggetti su 9?6. Quante sono le combinazioni di 5 oggetti su 9?7. Quante bandiere tricolori a righe verticali si possono fare con i 7 colori dell’iride?8. Quanti numeri di 4 cifre si possono scrivere con 1,2,3,4,5 (senza

ripetizione)?9. Quante applicazioni iniettive si possono fare tra un insieme di n oggetti e un insieme di m oggetti?10. Le molecole di un gas si distribuiscono nel seguente modo in 4 celle comunicanti: 120 in A, 200 in B, 180 in C e 300 in D. Quante sono le possibili configurazioni del gas?

37

11. Quante sono le possibili uscite di 2 TESTA e 1 CROCE in tre lanci di una moneta?

12. Quanti numeri < 10000 si possono scrivere con le cifre 1,2,3,4,5(senza ripetizione) ?

13. Quanti numeri di tre cifre si possono formare con il numero 927,senza ripetere le cifre?

14. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primidue occupino i primi due posti?

15. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primi treoccupino i primi tre posti?

16. Quante sono le diagonali in un poligono di n lati?17. Quanti sono i triangoli aventi per vertici i vertici di un poligono di

n lati?18. Quanti “cin cin” si effettuano tra 20 persone?19. Quante sequenze di 8 cifre si possono fare con le cifre binarie

(0,1)?20. Quante sequenze di 8 cifre con le cifre binarie hanno 6 esiti 1 e 2

esiti 0 ?

38

21. Quante sequenze di 8 cifre binarie hanno almeno 6 esiti 1 ?22. Considerate le sequenze di 8 cifre binarie, qual è la

probabilità di avere almeno 6 esiti 1 ?23. Si distribuiscono 5 carte da un mazzo di 52 carte. Calcolare

la probabilità di ottenere:a. 4 assib. 4 assi e 1 rec. 3 dieci e 1 fanted. 1 nove, 2 dieci, 2 fantie. 3 picche e 2 fiorif. 3 carte di un seme e 2 carte di un altro semeg. almeno un assoh. un tris

24. Su 30000 biglietti di una lotteria, di cui vinceranno 10biglietti, ne compero 100. Qual è la probabilità di averealmeno un biglietto vincente?

39

25. Da un mazzo di 10 carte da 1 a 10 si estraggono a caso 5 carte. Qual è la probabilità che le carte estratte siano tutte da 1 a 5?26. a) In un piano cartesiano è possibile muoversi spostandosi di una unità o verso destra o verso l’alto. Quanti sono i possibilipercorsi che conducono al punto (6, 3)?

b) Quante sequenze di 9 cifre binarie si possono formare con somma 6?

c) Quante sequenze di 9 lanci di una moneta presentano 6 volte “Testa”?

d) Dato un insieme di 9 elementi, quanti sono i sottoinsiemi di 6 elementi?

e) Su 900 molecole, 600 devono occupare la cella A e le rimanenti la cella B. Quante sono le possibili configurazioni? 27. Un’urna contiene 20 palline Bianche, 30 Rosse, 50 Nere. Si estraggono 3 palline. Calcolare la probabilità di ottenere:

a.Tutte Rosse b.Tutte Nere c.Due Rosse e una Nerad. Nessuna Nera e. Almeno una Nera f. Né Nere, né Rosse