Blandede opgaver - szymanskispil.weebly.com · Blandede opgaver Opgave 1 Reducér udtrykket 4 3 3 2 37 2p q p q p q q 2 Opgave 2 En funktion f er givet ved f x x x 4 cos

Blandede

opgaver

x-klasserne

Gammel Hellerup Gymnasium Maj 2019 ; Michael Szymanski ; [email protected]

Indholdsfortegnelse Blandede opgaver ...................................................................................................................................... 3

Årsprøve 1.x 2019 ................................................................................................................................... 29

Årsprøve 1.x 2018 ................................................................................................................................... 31

Årsprøve 1.x 2017 ................................................................................................................................... 33

Årsprøve 1.x 2016 ................................................................................................................................... 35

Årsprøve 1.x 2014 ................................................................................................................................... 37

Årsprøve 1.x 2011 ................................................................................................................................... 38

Årsprøve 1.y 2007 .................................................................................................................................. 41

Årsprøve 2.x 2017 .................................................................................................................................. 44

Årsprøve 2.x 2018 ................................................................................................................................... 46

Årsprøve 2.x 2019 ................................................................................................................................... 48

Årsprøve 2.x 2012 (fiskesættet) .............................................................................................................. 51

Terminsprøve 3.x 2018 ........................................................................................................................... 56

Terminsprøve 3.x 2019 ........................................................................................................................... 58

Facitliste .................................................................................................................................................. 61

Årsprøve 1.x 2019: .......................................................................................................................... 68

Årsprøve 1.x 2018: .......................................................................................................................... 69

Årsprøve 1.x 2017: .......................................................................................................................... 69

Årsprøve 1.y 2007: .......................................................................................................................... 70

Årsprøve 2.x 2017: .......................................................................................................................... 70

Årsprøve 2.x 2018: .......................................................................................................................... 71

Årsprøve 2.x 2019: .......................................................................................................................... 71

Terminsprøve 3.x 2018 .................................................................................................................... 72

Terminsprøve 3.x 2019 .................................................................................................................... 72

Blandede opgaver Opgave 1 Reducér udtrykket ( ) ( ) ( )

2 24 3 3 2 37p q p q p q q + − − + +

Opgave 2 En funktion f er givet ved ( ) ( )4 cosf x x x= . Bestem ( )'f x .

Opgave 3 En funktion f er givet ved ( ) 3 22 3 36 7f x x x x= + − + .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( )( )1, 1P f .

b) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 4 Man ønsker at undersøge, om uddannelsesniveauerne er forskellige i Holbæk kommune

og Slagelse kommune. Man vælger signifikansniveauet 5% og opstiller nedenstående

kategorier, der skal bruges til undersøgelsen:

Uddannelses-

niveau

Kort

videregående

uddannelse

Mellemlang

videregående

uddannelse

Lang

videregående

uddannelse

Forskeruddannelse

Slagelse

Holbæk

a) Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at teste, om uddannelsesniveauerne er

forskellige i de to kommuner.

Data fra Danmarks Statistik giver nedenstående tabel, der viser antallet af mennesker med

forskellige uddannelsesniveauer i Holbæk kommune og Slagelse kommune i 2012.

Uddannelses-

niveau

Kort

videregående

uddannelse

Mellemlang

videregående

uddannelse

Lang

videregående

uddannelse

Forskeruddannelse

Slagelse 2281 6526 1518 62

Holbæk 2070 6764 1940 104

b) Undersøg, om uddannelsesniveauet er forskelligt i de to kommuner.

Et andet forskerhold foretager en tilsvarende undersøgelse for kommunerne A og B, hvor de

kommer frem til en Q-værdi på 6,58.

c) Undersøg (på et 5% signifikansniveau), om uddannelsesniveauet er forskelligt i

kommunerne A og B.

Opgave 5 En funktion f med definitionsmængden 4,03;− er løsning til differentialligningen

( )( )e 3 6 2ydyx x

dx

−= − + ,

og løsningskurven går gennem punktet )0,4(−P .

a) Bestem en ligning for tangenten til ovenstående løsningskurve i punktet P.

b) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 6:

a) Bestem til differentialligningen ( )( )11 −+= yxdx

dy den løsning, hvis graf indeholder punktet P(1,2).

b) Bestem desuden den løsning, hvis graf i det punkt, der har førstekoordinat 1, har en tangent med

hældningskoefficient 3.

Opgave 7: Bestem til differentialligningen 1042' +=+ xyy den løsning, hvis graf går gennem punktet

P(0,3).

Opgave 8:I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr. 1000 indbyggere) i Danmark

i perioden efter 1968 beskrives ved differentialligningen

( )NNdt

dN−= 3150004,0 ,

hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 1968).

a) Bestem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i

1968 var 198.

b) Giv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 2008, og kommentér resultatet.

Opgave 9: I en beholder med vand er vandhøjden 0,5m. Der åbnes for en bundventil for at tømme

beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder.

Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer

sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden. Med de valgte enheder er

proportionalitetsfaktorens værdi –0,04. Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en

differentialligning.

a) Opskriv denne differentialligning og bestem den tid, det tager at tømme beholderen.

Opgave 10: En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi 9 og spredning 2,5.

Bestem P(X < 5).

Opgave 11: En stokastisk variabel X er normalfordelt, og der gælder, at P(X < 6) = 0,26 og

P(X > 11) = 0,18.

Bestem middelværdien og spredningen for X.

Opgave 12: Bestem: ) 1,5,6,7 2,6,7,8 ) 1,5,6,7 2,6,7,8 ) 1,2,3,4 \ 1,3a b c

Opgave 13: Bestem: ) , , , , , ) , , , , ) , , \a A B E Q B C D b A D F D E G c F G A G

Opgave 14: Bestem: ) 1,4, , 2,3, , , ) 1,2,3 3,2,1 ) \a a d b c e b c A

Opgave 15: Løs ligningen ( ) ( )2

7 4 5 2 ;3

x x x G + − = − =

Opgave 16: Udregn prikproduktet af vektorerne 5 3

og 2 7

a b−

= =

.

Opgave 17: Funktionen f er givet ved ( ) 3 24 5 3f x x x x= − − + . Bestem ( )'f x .

Opgave 18: Funktionen f er givet ved ( ) 3

4

3 52f x x

x x= + − . Bestem ( )'f x .

Opgave 19: Funktionen f er givet ved ( ) 43 e 5xf x x−= + . Bestem ( )'f x .

Opgave 20: Funktionen f er givet ved ( ) ( ) 7ln 6 e xf x x= − . Bestem ( )'f x .

Opgave 21: Funktionen f er givet ved ( ) ( ) ( )2 sin 6 cos 5 2f x x x= − − . Bestem ( )'f x .

Opgave 22: Funktionen f er givet ved ( ) ( )3 sinf x x x= . Bestem ( )'f x .

Opgave 23: Funktionen f er givet ved ( ) ( )lnf x x x x= − . Bestem ( )'f x .

Opgave 24: Funktionen f er givet ved ( ) 57 5x xf x −= + . Bestem ( )'f x .

Opgave 25: Funktionen f er givet ved ( )( )5

sin xf x

x= . Bestem ( )'f x .

Opgave 26: Funktionen f er givet ved ( ) ( )53 e sin 2xf x x= . Bestem ( )'f x .

Opgave 27: Funktionen f er givet ved ( ) ( )6

4 7f x x= − . Bestem ( )'f x .

Opgave 28: Funktionen f er givet ved ( ) 8 ex xf x = + . Bestem ( )'f x .

Opgave 29: Funktionen f er givet ved ( ) ( ) ( )ln 5 cos 9 2f x x x= − + . Bestem ( )'f x .

Opgave 30: Givet er vektorerne 7 2

og 3 5

a b−

= =

.

a) Bestem prikproduktet af vektorerne.

b) Bestem determinanten af vektorparret ( ),a b .

c) Bestem determinanten af vektorparret ( ),b a .

d) Bestem tværvektoren til a .

e) Bestem tværvektoren til b .


og 2

a bt

= =

− .

a) For hvilken værdi af t er vektorerne ortogonale.

b) For hvilken værdi af t er vektorerne parallelle.


og 2

a bs

− = =

− .

a) For hvilken værdi af s gælder a b⊥ ?

b) For hvilken værdi af s gælder a b ?

Opgave 33: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne3 9

og 2 8

a b−

= =

.

Opgave 34: Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne 7 13

og 1 5

a b−

= =

.

Opgave 35: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne ( ) ( ) ( )2,8 , 5,3 og 1, 7A B C− − .

Opgave 36: Bestem koordinatsættet til punktet C, således at firkant ABCD er et parallelogram, når

( ) ( ) ( )5,2 , 1,9 og 4, 8A B D− − − .

Opgave 37: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne

4 5

9 og 3

2 7

a b

−

= − = −

.

Opgave 38: Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne ( ) ( ) ( )5, 7,3 , 8,2,4 og 6,0,9A B C− − .

Opgave 39: Om en eksponentiel udvikling f oplyses det, at ( )5 7f = og at fordoblingskonstanten er

2 8X = . Bestem ( )13f .

Opgave 40: Halveringskonstanten for en eksponentiel udvikling f er 9, og funktionsværdien i 8 er 28.

Bestem ( ) ( )26 og 1f f − .

Opgave 41: Om en eksponentiel udvikling g vides det, at ( ) ( )7 3 og 19 24g g= = . Bestem

fordoblingskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren.

Opgave 42: Om en eksponentiel udvikling h vides det, at ( ) ( )4 96 og 6 3h h− = = . Bestem

halveringskonstanten uden først at finde fremskrivningsfaktoren.

Opgave 43: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet ( )6, 4P − og står vinkelret på

linjen givet ved ligningen 3 5y x= − .

Opgave 44: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet ( )7,3P − og er parallel med linjen

givet ved ligningen 3 5y x= − .

Opgave 45: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet ( )4, 3P − og er ortogonal med

linjen givet ved ligningen 5 3 9 0x y− + = .

Opgave 46: Bestem en ligning for den linje, der går gennem punktet ( )5,2P − og er parallel med linjen

givet ved ligningen 4 7 6 0x y− + + = .

Opgave 47: Reducér udtrykket ( ) ( )2

3 6 2a b b b a+ − + .

Opgave 48: Reducér udtrykket ( ) ( )( )2

2 3 2 3 2 3x y x y x y− − + − .

Opgave 49: Reducér udtrykket ( ) ( )( )2

2 3 3 5a b b a a b− − + + .

Opgave 50: Reducér udtrykket ( )( ) ( )23 3 4 3a b b a a b b+ − + − + .

Opgave 51: Reducér udtrykket ( ) ( ) ( )2

2 3 5 1 6 3x x x− + + + − − .

Opgave 52: Reducér udtrykket 2 2

2 2

4 9

4 12 9

a b

a ab b

−

+ +.

Opgave 53: Reducér udtrykket 2

1 1 2

1 1 1

x

x x x+ −

+ − −.

Opgave 54: Reducér udtrykket 2 22 5

4 10

xy x y

y x

−

−.

Opgave 55: Reducér udtrykket ( ) ( )( )2 21 1 1x x x+ + + − .

Opgave 56: Bestem ( )5 4 3 25 7 4x x x x x dx+ + − + − . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 57: Bestem ( )( )2 sin 5 exx dx − . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 58: Bestem ( )( )6 cosx x dx− . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 59: Bestem ( )4 28 3 7 3x x x dx− + − . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 60: Bestem ( ) ( ) ( )( )sin 4 cos 3 4 sin 2x x x dx− + . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 61: Bestem ( )3 2e 4 e ex x x dx−− + . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 62: Bestem

e

1

1x dx

x

−

. Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 63: Bestem ( )3

2

1

3 4 2x x dx−

+ − . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 64: Bestem ( ) ( )( )2

2

sin cosx x dx

−

+ . Regn i hånden. Tjek med Maple.


5 3x dx+ . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.


4 7 2x dx− − . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.


3 9 5x dx + . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 68: Bestem ( )

( )

cos

sin

xdx

x . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 69: Bestem ( )cosx x dx . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 70: Bestem 2

4 6

3 7

xdx

x x

+

+ − . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 71: Bestem

1

0

exx dx . Regn i hånden. Tjek med Maple.


3

1

lnx x dx . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 73: Bestem ( ) ( )4

0

sin cosx x dx


Opgave 74: Bestem ( )( ) ( )( )21 tan ln tanx x dx+ . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 75: Bestem ( )( )sin 4 'x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 76: Bestem cos '2

x


Opgave 77: Bestem ( )( )tan 'x− . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 78: Bestem ( )( )ln 'x− . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 79: Bestem ( )75 e 'x , ( )34 e 'x , ( )-8 e 'x− og 714 e 'x


Opgave 80: Bestem ( )74 'x , ( )47 'x , ( )8 'x− og 61,07 'x


Opgave 81: Bestem ( )sin 5x dx . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 82: Bestem ( )cos x dx− . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 83: Bestem 5e xdx , 13e xdx , e xdx−

og 45 ex

dx . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 84: Bestem 5x dx Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 85: Bestem ( )5 4 'x + , ( )7 3 'x − , ( )9 'x− + og ( )3 17 'x + . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 86: Bestem ( )2 3x dx+ , ( )24 5 7x x dx+ − , ( )4 3 25 2 4 8x x x x dx+ − − + og ( )10 3x dx−


0

6 5x dx− , ( )3

2

1

3 4 1x x dx− − og ( )1

3

1

4 3x x dx−

− .Regn i hånden.Tjek Maple.

Opgave 88: Bestem ( )( )87 4 'x + , ( )( )6

5 9 'x − , ( )( )43 'x− + og

7

5 '3

x −

Regn hånden.Tjek Maple


4 5x dx− , ( )4

3 7x dx+ og ( )2

8 10x dx− . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 90: Bestem3

5dx

x , 4

dxx

− og 1

5dx

x . Regn i hånden. Tjek med Maple. Husk k.

Opgave 91: Bestem 1

2dx

x + , 1

3 4dx

x + , 3

5 8dx

x + og 5

7 2dx

x−

+ . Regn i hånden. Tjek Maple.

Opgave 92: Bestem ( )( )7 cos 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 93: Bestem ( )( )ln 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 94: Bestem ( )44 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 95: Bestem ( )( )5e sin 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 96: Bestem ( ) ( )( )sin cos 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 97: Bestem ( )ln

'5x

x



sin'

x

x


Opgave 99: Bestem ( )tan

'x

x


Opgave 100: Bestem ( )( )2cos 3 7 'x x+ − . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 101: Bestem ( )( )( )ln sin 'x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 102: Bestem ( )( )4sin 'x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 103: Bestem ( )3 25 3 1e 'x x x+ − +


Opgave 104: Bestem ( )( )( )sin

cos e 'x


Opgave 105: Bestem ( )( )6

2ln 4 5 'x x + +


Opgave 106: Bestem ( ) ( )( )cos

e ln 'x

x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 107: Bestem ( )( )6 sin 'x x . Regn i hånden. Tjek med Maple.

Opgave 108: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter:

a) ( ) 3 25 9 3f x x x x= + − + .

b) ( ) ( )5 ln 9 exg x x= − .

c) ( ) ( )cos 19xh x x=

d) ( )( )

2 5

sin

x xi x

x

+=

e) ( ) ( )47 e cos 6xj x x= −

f) ( ) 3 7 5k x x x= + −

Opgave 109: Bestem følgende ubestemte integraler:

a) ( )3 26 4 7x x x dx− + −

b) ( )( )3 cos 12 exx dx −

c) ( )( )5e 3 sin 4x x dx+

d) ( )32 7 53 7 ex xx dx+ −+

Opgave 110: Udregn følgende bestemte integraler:

a) ( )2

1

e 1x dx−

+

b) ( ) ( )cos

0

sin ex

x dx

Opgave 111: Undersøg, om 23 exx x + er en løsning til differentialligningen

2' 2y y x x− + =

Opgave 112: En funktion f er en løsning til differentialligningen 2

2

dy y x

dx y

−= , og grafen for f går

gennem punktet ( )3,3P − . Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.

Opgave 113: En funktion f er givet for forskriften ( ) 2 3 5f x x x= + + .

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( )( )1, 1P f .

Opgave 114: En funktion f er givet ved forskriften ( ) 3 22 9 60 5f x x x x= + − + .

a) Bestem monotoniforholdene for f.

b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent.

Opgave 115: Grafen for funktionen f skærer førsteaksen i -4, -1, 3 og 5 og danner sammen med denne

de tre punktmængder 1 2 3, og M M M :

Det oplyses, at arealerne af de to første punktmængder er

13753MA = og

24096MA = , samt

at ( )5

1

3024f x dx−

= .

a) Bestem ( )3

1

f x dx−

.

b) Bestem ( )1

4

f x dx

−

−

.

c) Bestem arealet af punktmængden 3M .

Opgave 116: Bestem den afledede funktion af funktionerne givet ved følgende funktionsforskrifter:

a) ( ) 4 22 5 17f x x x x= − + − .

b) ( ) 4 7 exg x x= + .

c) ( ) ( )5 sinxh x x=

d) ( )2 3

ex

x xi x

−=

e) ( ) ( ) ( )ln 3 5 sin 8j x x x= +

f) ( ) ( )cos 2k x x= +


a) ( )4 25 6 9x x x dx+ − +

b) ( )( )15 e 2 sinx x dx +

c) ( )( )75 cos 8 4 e xx dx −

d) ( ) ( )cos 1sin e

xx dx

+−

Opgave 118: Udregn følgende bestemte integraler:

a) ( )2

2

1

3 1x dx−

+

b) ( )1

2 3

0

3 4 4 7x x x dx+ + +

Opgave 119: Undersøg, om 21

exxx

+ er en løsning til differentialligningen 2

1' 2 2y x y

x− + = −

Opgave 120: En funktion f er en løsning til differentialligningen 2dy x

dx y= , og grafen for f går gennem

punktet ( )4,2P . Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.

Opgave 121: En funktion f er givet for forskriften ( ) 2 2 1f x x x= − + .


Opgave 122: En funktion f er givet ved forskriften ( ) 3 22 3 12 1f x x x x= + − + .


b) Bestem det sted, hvor grafen for f har vendetangent.



Det oplyses, at arealerne af de to sidste punktmængder er

21377MA = og

3752MA = , samt at

( )1

5

1296f x dx−

= − .

a) Bestem ( )1

2

f x dx−

.

b) Bestem ( )3

1

f x dx .


Opgave 124: Udregn følgende aritmetiske udtryk. Angiv svaret som en uforkortelig brøk (dvs. ingen

blandede tal og ingen decimaltal).

5 1

3 7 7 77 3) 5 ) 2 ) 2 ) ) )44 3 4 3 4

5

12

3 5 8 1 3 6 1 1 2 47) ) ) ) ) )67 2 3 4 5 5 2 3 3 5

5

a b c d e f

g h i j k l

+ + +

Opgave 125: Reducér følgende udtryk.

( )

( ) ( ) ( )

2 3

2 3

) 3 4

) 6 5 2

a x y x y

b a b ab c ac b

− −

− − −

Opgave 126: Anvend potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk:

( )( )

83 9 6 4 4 7 3 11

5

8 6 4 3 55

4

52 76 2

) ) ) ) )

) ) ) )

aa x x b y y y c d a a e x x

a

x b a a af g h x i

x b a a

− − −

−

−−

Opgave 127: Udregn følgende: 1

03 3 2

1 1 2 2 2

3 3 3 5 3

) 9 ) 1 ) 0 ) 8 ) 27 )16 )37

)1000 )1000 )8 )100000 ) 27

a b c d e f g

h i j k l− −

−

Opgave 128: Bestem følgende værdier og løs ligningerne med numerisk værdi.

) 13 ) 8 ) 0 ) 5 ) 1 4 ) 2 3 7a b c d x e x f x− = + = + =

Opgave 129: Omskriv følgende decimalbrøker til uforkortelige brøker med hele tal i tæller og nævner.

)12,7 )7,3 )2,417a b c

Opgave 130: En funktion f er givet ved forskriften ( ) e 2 e 2x xf x x−= + + .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( )( )0, 0P f .

b) Bestem den mindste værdi, som funktionen f antager.

c) Bestem monotoniforholdene for f.

Opgave 131: Grafen for funktionen 3: 13 12f x x x− − danner sammen med førsteaksen to

punktmængder M og N, der ligger henholdsvis over og under førsteaksen.

a) Bestem arealet af punktmængden M, der ligger over førsteaksen.

b) Bestem den værdi af k ( 1 4k− ), hvor linjen med ligningen x k= deler punktmængden N i

to arealmæssigt lige store dele.

Opgave 132: En population af fluer opfylder differentialligningen

( )62,4 10 65000dN

N Ndt

−= −

hvor N er antallet af fluer og t er tiden målt i uger.

Efter 2 uger er populationens størrelse på 2000 fluer.

a) Bestem en forskrift for ( )N t .

b) Hvor mange fluer er der i populationen, når populationens væksthastighed er størst?

c) Bestem den største væksthastighed for populationen.

Opgave 133: Grafen for funktionen ( )2: sinf x x x− − danner sammen med førsteaksen en

punktmængde M.

a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring

førsteaksen.

Opgave 134: Bestem den partikulære løsning til differentialligningen 2 ' 12 420y y + = , hvis graf går

gennem punktet ( )1,5 .

Opgave 135: Siderne AB og DE er parallelle, og 4, 6, 7 og 12BC AC CD DE= = = = .

a) Argumentér for, at trekanterne ABC og CDE er ensvinklede.

b) Bestem AB og CE .

Opgave 136: Firkanten BGEK kan opdeles i to retvinklede trekanter BEG og BEK med de rette vinkler

og G BEK .

a) Bestem EK

Opgave 137: I trekant APS er 9,4 , 6,8 og 37AP PS P= = = .

a) Bestem arealet af trekant APS.

b) Bestem AS

Opgave 138: I trekant ABC er 23 , 9og 15A a c = = = . Desuden oplyses det, at C er stump.

a) Bestem C .

b) Bestem b.

Opgave 139: I trekant ABC kaldes medianen fra A’s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C’s

fodpunkt kaldes E.

Det er oplyst, at 8,4og 11AB BC= = samt at medianen fra a har længden 10 ( 10am = )

a) Bestem B .

b) Bestem C .

c) Bestem AE .

Opgave 140: En linje l er givet ved ligningen 5 3 8 0x y− + = .

a) Bestem en parameterfremstilling for den linje k, der er parallel med l og går

gennem punktet ( )7,13P − .

Opgave 141: Trekant ABC har hjørnerne ( ) ( ) ( )5,8 , 2, 3 og 6,1A B C− − .

a) Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 142: En cirkel er givet ved ligningen 2 24 8 5 0x x y y− + + − = .

a) Bestem cirklens radius samt koordinatsættet til cirklens centrum.

b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet ( )6, 1P − .

Opgave 143: Bestem den værdi af t, for hvilken vektorerne 3 7

og 4

a bt

− = =

− er ortogonale.

Opgave 144: En kugle har centrum i ( )8, 7,6C − , og planen givet ved ligningen

3 4 12 45 0x y z− + + = er tangentplan til kuglen.

a) Bestem en ligning for kuglen.

b) Bestem en ligning for den plan , der også er en tangentplan til kuglen, men som

rører kuglen i punktet ( )4, 3,9P − − .

Opgave 145: I rummet er givet punkterne

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,1, 8 , 3,0, 4 , 7,6,3 , 11,5, 9 og 4, 7,2A B C D E− − − − − .

a) Bestem en ligning for den plan , der indeholder punkterne A, B og C.

b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går gennem punkterne D og E,

og bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem og l.

c) Bestem vinklen mellem og l.

Opgave 146: En funktion f har forskriften ( ) 3 25 7 9f x x x x= − + − . Bestem ( )'f x .

Opgave 147: En funktion f har forskriften ( ) ( ) ( )ln cosf x x x= . Bestem ( )'f x .

Opgave 148: En funktion f har forskriften ( ) 23 6 1f x x x= − + − . Bestem en forskrift for den

stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet ( )2,9P

Opgave 149: Bestem monotoniforholdene for funktionen f med forskriften ( ) 3 29 15 11f x x x x= − + − −

Opgave 150: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften ( ) e xf x x= − er en løsning til

differentialligningen 2 'y x y x − = .

Opgave 151: Graferne for funktionerne f og g skærer hinanden i -2 og 4, og de danner sammen en

punktmængde M.

Benyt nogle af nedenstående oplyste værdier til at bestemme arealet af M.

Opgave 152: I en model for størrelsen af en population af rotter antages det, at populationens størrelse

N (målt i antal rotter) er en løsning til differentialligningen ( )55 10 4000dN

N Ndt

−= − hvor t er

tiden målt i antal uger efter observationsstart. 5 uger efter observationsstart er der 600 rotter i

populationen.

a) Bestem væksthastigheden for populationen 5 uger efter observationsstart.

b) Hvor mange uger efter observationsstart er populationens væksthastighed størst, og hvor

mange rotter er der i populationen på dette tidspunkt?

( )f x ( )'f x ( )F x ( )g x ( )'g x ( )G x

2x = − 1− 14

3

50

9− 1−

10

3−

62

9

4x = 3 10

3−

220

9 3

14

3

100

9−

Opgave 153: Funktionerne f og g er givet ved

( ) ( )

( ) ( )2

ln 1 ; 0

4

f x x x

g x x

= +

= −

Graferne for f og g danner sammen med førsteaksen en punktmængde M.

a) Bestem arealet af M.

b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360° omkring

førsteaksen.

Opgave 154: Temperaturen T af en kasse (målt i °C) er som funktion af tiden t (målt i minutter) en

løsning til differentialligningen ( )0,037 21dT

Tdt

= − . Efter 3 minutter er

temperaturen af kassen 58°C.

a) Hvad er væksthastigheden af temperaturen af kassen efter 10 minutter?

Opgave 155: Løs ligningen 4 8 11 3x x+ = −

Opgave 156: Reducér udtrykket ( ) ( )2 3 4a b a b− +

Opgave 157: Løs ligningen 2 3 40 0x x− − =

Opgave 158: Det oplyses, at y er ligefrem proportional med x. Udfyld tabellen:

x 3 5

y 21 56

Opgave 159: Reducér udtrykket ( ) ( )2 2 4 3a a b b a b + − −

Opgave 160: En ret linje l går gennem punkterne ( ) ( )2,7 og 3, 8A B− − . Bestem en ligning for l.

Opgave 161: Løs ligningen ( )1

2 4 2 13

x x + + = −

Opgave 162: En ret linje m går gennem punktet ( )4,7P − og har hældningen 2. Bestem en ligning for m.

Opgave 163: Bestem koordinatsættet for toppunktet for parablen givet ved ligningen23 2 5y x x= − +

Opgave 164: Det oplyses, at x og y er omvendt proportionale. Udfyld tabllen:

x 2 5

y 6 1

Opgave 165: Løs ligningen 22 5 3 0x x− + + = .


3 9p q q p q+ − +

Opgave 167: Den rette linje l er bestemt ved ligningen 1 47

4 19y x= + . Bestem en ligning for den rette

linje m, der er ortogonal med l og går gennem punktet ( )3, 8P − .


4 5 4 5 2x y x y x y− + − −

Opgave 169: Undersøg, om 2 er en løsning til ligningen 3 24 3 2 0x x x− + + =

Opgave 170: For hvilke værdier af k har ligningen 25 5 0x k x+ + = netop én løsning?

Opgave 171: En cirkel har centrum i ( )5,3C − , og punktet ( )7,1P ligger på cirklen.

Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der har røringspunktet P.


2

6

12 36

x x

x x

+

+ +

Opgave 173: Løs ligningen 32 7 61x + =


2

5 14

6 8

x x

x x

+ −

− +

Opgave 175: Bestem tværvektoren til vektoren 2

5a

− =

Opgave 176: Bestem prikproduktet af vektorerne 3 4

og 7 2

a b

= = −

Opgave 177: Bestem determinanten ( )det ,a b af vektorerne 6 3

og 1 7

a b−

= = −

Opgave 178: Bestem afstanden mellem punkterne ( ) ( )3,4 og 9, 1A B− −

Opgave 179: Bestem længden af vektoren 8

6a

=

−

Opgave 180: Det oplyses, at ( )7,2OF = og 3

4DF

− =

. Bestem koordinatsættet til punktet D.

Opgave 181: Bestem t, så vektorerne 9

og 4 5

ta b

= =

− er ortogonale.

Opgave 182: Bestem den værdi af k, for hvilken vektorerne 4 11

og 8

a bk

− = =

er parallelle.

Opgave 183: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne 5 13

og 2 7

a b

= = −

.

Opgave 184: Bestem for vektorerne 4 1

og 5 2

a b−

= = −

projektionen af på a b .

Opgave 185: Undersøg, om vinklen mellem vektorerne 7 7

og 4 12

a b−

= =

er spids, ret eller stump.

Opgave 186: Bestem arealet af trekant ABC med hjørnerne ( ) ( ) ( )2,5 , 1,4 og 1, 8A B C− − .

Opgave 187: Linjen m er givet ved ligningen 5 7 2 0x y− + = ;2G = . Bestem en parameter-

fremstilling for den linje l, der står vinkelret på linjen m og går gennem punktet ( )11, 3P − .

Opgave 188: En linje l er givet ved ligningen 9 2 18 0x y− + = ; 2G = .

Bestem en parameterfremstilling for linjen l.

Opgave 189: En linje m er givet ved parameterfremstillingen 2 3

;5 1

xt t

y

− = +

.

Bestem en ligning for linjen m.

Opgave 190: En cirkel er givet ved ligningen 2 2 212 8 11 0 ;x x y y G+ + − + = = .

Bestem radius og koordinatsættet til cirklens centrum.

Opgave 191: En cirkel har centrum i ( )8, 3C − , og punktet ( )9,6P − ligger på cirklen.

Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem P.

Opgave 192: Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem cirklen C og linjen l givet ved

ligningerne:

( ) ( )2 2 2

2

: 4 2 20 ;

: 4 ;

C x y G

l y x G

− + − = =

= − =

Opgave 193: Trekant ABC har vinkelspidserne A og B liggende på linjen med ligningen

3 4 12 0x y+ − = , mens ( )10,8C ikke ligger på denne linje.

Bestem koordinatsættet til fodpunktet af højden fra C.

Opgave 194: Undersøg, om linjen givet ved ligningen 22 1 0 ;x y G− + + = = er tangent til cirklen

givet ved ligningen ( ) ( )2 2 23 5 36 ;x y G+ + − = = .

Opgave 195: Bestem vinklen mellem vektorerne

7 4

2 og 5

6 8

a b

−

= − =

.

Opgave 196: Bestem prikproduktet af vektorerne

16 13

13 og 12

8 5

a b

− −

= = −

.

Opgave 197: Bestem krydsproduktet af vektorerne

9 7

4 og 3

1 2

c d

−

= = − −

.

Opgave 198: Bestem arealet af trekanten, der udspændes af vektorerne

4 18

11 og 7

13 26

a b

−

= = − −

.

Opgave 199: Bestem t, så vektorerne

7

3 og 2

5 14

t

a t b

= + = − −

er ortogonale.


1 3

7 og 6 5

3 9

a b t

−

= = + −

er parallelle.

Opgave 201: Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne m og l:

3 5 2 3

: 7 6 : 1 2

4 1 6 4

x x

m y t l y s

z z

−

= − + = − + − − −

Opgave 202: En plan er givet ved ligningen 39 13 7 51 0 ;x y z G− + + = = .

Bestem koordinatsættet til planens skæring med y-aksen.

Opgave 203: Planerne og er givet ved ligningerne: 3

3

: 3 5 11 0 ;

: 2 9 15 0 ;

x y z G

x z G

− + + − = =

− + = =

a) Bestem den stumpe vinkel mellem planerne og .

b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne og .

Opgave 204: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6, 9,7 , 10,1,7 , 3, 12,5 , 2,11,16 og 5,4, 8A B C D E− − − − − er punkter i rummet.

a) Bestem en ligning for planen , der indeholder punkterne A, B og C.

b) Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l, der går gennem punkterne D og E.

c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen l og planen .

d) Bestem vinklen mellem linjen l og planen .

e) Bestem afstanden fra punktet D til planen .

f) Bestem koordinatsættet til projektionen af punktet E på planen .

Opgave 205: En kugle er givet ved ligningen 2 2 2 314 10 218 0 ;x x y y z G+ + − + − = = .

a) Bestem radius og koordinatsættet til kuglens centrum.

b) Vis, at punktet ( )5, 7,2P − ligger på kuglen.

c) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der rører kuglen i punktet P.

Opgave 206: ( ) ( ) ( )425

2,8, 3 , 5,0,7 , 4, 1,6 og , 2, 79

A B C D

− − − −

er punkter i rummet.

a) Figuren ABCD er en plan firkant, der ikke er et parallelogram. Bestem arealet af firkant ABCD.

Opgave 207: Nedenfor ses graferne for funktionerne 1 2 3 4 5 6 7, , , , , og f f f f f f f . Angiv (uden

argumentation) hvilken graf, der hører til hver af funktionerne.

Opgave 208: En ret linje l går gennem punkterne ( ) ( )3,11 og 5, 13A B− − .

Bestem en ligning for l.

Opgave 209: En funktion f er angivet ved nedenstående gaffelforskrift

( ) ( )

( )

2 ; 3

2 sin 3 ; 3 3

3 cos 2 5 ; 3

x x

f x x x

x x

+ −

= + − − +

Bestem følgende funktionsværdier:

( ) ( ) ( ) ( )5

) 10 ) ) 0 ) ) )2 4

a f b f c f d f e f g f

− −

Opgave 210: Om en eksponentiel udvikling f oplyses det, at halveringskonstanten er 7, og at

( )3 40f − = . Bestem ( )18f .

Funktion Graf

( )1 3 0,8xf x =

( ) ( )2 3 lnf x x=

( )3 0,5 3f x x= − +

( ) 0,8

4 3f x x=

( ) ( )5 3 cosf x x=

( ) 1,5

6 0,4f x x=

( )7 3 1,4xf x =

Opgave 211: Nedenfor ses graferne for andengradspolynomierne ( ) ( )og f x g x .

Polynomierne er angivet på formen 2a x b x c + + , og d er diskriminanten for den

tilsvarende andengradsligning.

Bestem for både f og g fortegnene for a, b, c og d (husk argumentation).

Opgave 212: Funktionerne f, g og h er givet ved forskrifterne:

( )

( )

( ) ( )

2 5

2 3

sin 1

f x x

g x x

h x x

= +

= −

= +

Bestem følgende funktionsværdier:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )) 1 ) 4 ) 7 ) 2 )2

ga f g b c h d f g e g h

f

+

Opgave 213: Nedenfor ses grafen for den eksponentielle udvikling f samt nogle sammenhørende x- og

y-værdier. Bestem halveringskonstanten for f.

Opgave 214: Massen m (målt i kg) af en kasse med klodser er givet ved funktionsforskriften

( ) 0,049 0,273m x x= + , hvor x er antallet af klodser.

Fortolk konstanterne i forskriften.

Opgave 215: Bestem følgende værdier:

( ) ( ) ( ) ( )7

6 13 3

1) log 10000 ) log 0,01 ) log 36 ) ln e ) log

13a b c d e−

Opgave 216: En funktion f er givet ved forskriften ( ) ( )4 sin 3 5 7f x x= − +

a) Bestem maksimumsværdien og minimumsværdien for funktionen f.

b) Find et sted (en x-værdi), hvor funktionsværdien er 7 (der er uendeligt mange af sådanne

steder).

Opgave 217: Man har et andengradspolynomium ( ) 22 4 6p x x x= + − .

a) Bestem toppunktet for parablen, der er grafen for polynomiet.

b) Bestem de to steder, hvor parablen skærer førsteaksen.

c) Faktorisér polynomiet.

Opgave 218: Bestem en ligning for den rette linje, der går gennem punktet ( )5,7P − og har

hældningen 3.

Opgave 219: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f, hvis graf går gennem punkterne

( ) ( )2,1 og 5,125A B .

Opgave 220: Løs følgende ligninger (isolér x):

( )

( )3

) 4 5 7

) 3 ln 2 5 ; 0

1) log log 4 2 ; 0

xa

b x x

c x xx

=

− = −

+ =

Opgave 221: Værdien V af en bil (målt i kr.) er givet ved forskriften ( ) 372500 0,87tV t = , hvor t er

tiden målt i antal år efter 2014.

Forklar, hvad konstanterne fortæller om værdien af bilen.

Opgave 222: En potensfunktion f er givet ved ( ) 27f x x= . Hvor mange procent øges

funktionsværdien, når x-værdien øges med 50%?

Opgave 223: Udregn følgende:

a) ( )3 26 7 3 12 'x x x− + − b) ( )3 24 5 6 7x x x dx+ + − c) ( )( )cos 8 'xx

d) 2

4

03 e x dx e) ( )( )2ln 5 8 'x x+ + f) ( ) ( )

925 6 1 3 7x x x dx + + −

Opgave 224: En funktion f er en løsning til differentialligningen

2 9e 2

4

xdy

dx y

− +=

+, og grafen for f går

gennem punktet ( )3,5P . Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.



Arealet af punktmængden 2M er 4, og ( )1

6

9f x dx−

= og ( )8

1

81f x dx = .

a) Bestem arealet af punktmængden 3M .

b) Bestem ( )1

2

f x dx−


Opgave 226: Graferne for funktionerne f, g og h ses på figuren nedenfor. Graferne f og g skærer bl.a.

hinanden i -1, graferne for g og h skærer hinanden i 1 og graferne for f og h skærer bl.a.

hinanden i 4.

De tre grafer omslutter tre punktmængder, hvoraf den største, M, er angivet på figuren.

Nedenfor (på næste side) er angivet et skema med nogle funktionsværdier, hvor F, G og H er

stamfunktioner for henholdsvis f, g og h. Benyt nogle af værdierne i skemaet til at bestemme

arealet af punktmængden M.

( )' 1 3,3f − = ( )' 1 1,3f = ( )' 4 1,7f = −

( )' 1 2,8g − = − ( )' 1 0,7g = − ( )' 4 0,1g = −

( )' 1 0,2h − = ( )' 1 0,7h = ( )' 4 5,5h =

( )1 4f − = ( )1 8,6f = ( )4 8f =

( )1 4g − = ( )1 1g = ( )4 0,1g =

( )1 0,3h − = ( )1 1h = ( )4 8h =

( )1 5F − = − ( )1 8F = ( )4 35F =

( )1 6G − = − ( )1 1G = − ( )4 0G =

( )1 0H − = ( )1 1H = ( )4 12H =

Opgave 227: Antallet N af twitterbrugere (målt i mio.) opfylder differentialligningen

( )0,00277 329dN

N Ndt

= −

hvor t er tiden målt i antal år efter 2010. I 2013 var der 200 mio. twitterbrugere.

a) Bestem væksthastigheden for antallet af twitterbrugere i 2013.

b) Bestem en forskrift for N.

c) Hvad er den øvre grænse for antallet af twitterbrugere?

d) Hvornår var væksthastigheden for antallet af twitterbrugere størst?

Opgave 228: Grafen for funktionen 2: 5 84f x x x− + + danner sammen med førsteaksen en

punktmængde M.


b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360° omkring

førsteaksen.

c) Bestem omkredsen af M.

Opgave 229: Udregn følgende udtryk (angiv værdien som helt tal eller uforkortelig brøk):

5 3

2 4 6 7 8 3 1 1 3 28 2) 7 ) ) ) ) ) ) )1 55 3 5 3 7 7 4 5 4 7

7 7

a b c d e f g h + + −

Opgave 230: Reducér følgende udtryk

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 5

4 2 2 2

23 4

) 5 2

) 3 5 10 1

) 2

a x y x y

b a b a b c a c b

c x x

− −

− − − −

− −


( )( )

12 2 5 47

4 7 5 8 4 15 6 3

9 87 3

) ) ) ) ) )a a a a

a y y b x x x c d y y y e x fa a a

−− −

−

Opgave 232: Udregn følgende udtryk 1

03 3 2) 25 ) 1 ) 0 ) 27 ) 8 )9 )83a b c d e f g− Opgave 233: Indbyggertallet i byen Sludkøbing ses i nedenstående tabel:

Årstal 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Indbyggertal 17456 15392 13512 11738 10287 9112

Det antages, at indbyggertallet N kan beskrives ved modellen

hvor t er antal år efter 1980.

a) Bestem a og b.

b) Hvad vil indbyggertallet være i 2015 ifølge modellen?

c) Hvornår vil indbyggertallet være nede på 3000 ifølge modellen?

d) Bestem halveringstiden for indbyggertallet.

Opgave 234: En tilfældigt udvalgt lille gruppe mennesker vejes og måles. Deres masse m (målt i kg)

og højde h (målt i m) er angivet i tabellen nedenfor.

Højde 1,53 1,64 1,78 1,83 1,92

Masse 52 62 73 76 85

I en model antages det, at et menneskes masse m kan beskrives ved funktionsforskriften

( ) am h b h=

a) Bestem a og b.

b) Hvor meget vil et menneske med højden 2,00 m veje ifølge modellen?

c) Hvilken højde skal et menneske have ifølge modellen, hvis massen skal være 65 kg?

d) Hvor mange procent øges massen ifølge modellen, hvis højden øges med 30%?

Opgave 235: Bestem tværvektoren til vektoren AB , når ( ) ( )5, 3 og 2,7A B− − .

Opgave 236: Bestem, om vinklen mellem vektorerne 7 2

og 3 5

a b

= = −

er spids, ret eller stump.

Opgave 237: Bestem de værdier for t, hvor længden af vektoren 5

at

− =

er 13.

Opgave 238: Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne5 3

og 2 8

a b

= = − −

.

Opgave 239: Linjen m er givet ved ligningen 3 2 7 0x y− + − = ; 2G = .

Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der er parallel med linjen m og går gennem

punktet ( )5,8P − .

Opgave 240: En linje m er givet ved parameterfremstillingen 4 2

;7 5

xt t

y

− = +

− .

Bestem en ligning for linjen m.

Opgave 241: En cirkel er givet ved ligningen 2 2 212 8 3 0 ;x x y y G− + + + = = .

Bestem radius og koordinatsættet til cirklens centrum.

( ) tN t b a=

Opgave 242: Bestem for vektorerne

7 4

2 og 5

6 8

a b

−

= − =

følgende:

a) a b+

b) Vinklen mellem vektorerne.

c) Projektionen af a på b .

d) Arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne.


3 2

7 og

4 5

t

a b t

+ −

= − =

er ortogonale.

Opgave 244: Givet er punkterne ( ) ( ) ( ) ( )2, 7,3 , 6,5,9 , 0,1,0 og 4,8, 3A B C D− − − .

a) Bestem en ligning for planen , der indeholder punkterne A, B og C.

b) Bestem afstanden fra punktet D til planen .

c) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem A og B.

d) Bestem en ligning for kuglen med centrum i A og radius 7.

Opgave 245:En plan er givet ved ligningen 32 5 11 0 ;x y z G− + + + = = , og en linje l er givet

ved parameterfremstillingen:

13 5

7 8 ;

3 1

x

y s s

z

−

= + −

a) Bestem skæringspunktet mellem og l.

b) Bestem den stumpe vinkel mellem og l.

c) Undersøg, om punktet ( )5,7, 3− ligger i planen .

d) Undersøg, om punktet ( )5,7, 3− ligger på linjen l.

Opgave 246: Reducér følgende udtryk:( )

45 78

6 9

3) ) )

a aya x x b c

ay

−

Opgave 247: Bestem følgende rødder: 5 1) 32 ) 121 ) 17a b c 3 51) 26 ) 8 ) 32d e f− −− −

Opgave 248: I trekant ABC er tegnet medianerne AD og BE. Deres skæringspunkt er M.

Hvilke af følgende kan man sige med sikkerhed (sæt krydser):

a) BM CD= b) AE CE= c) BM CM= d) AM DM= e) 2AM DM=

f) AM DM= g) ( ) ( ), ,dist M AB dist M AC= h) BAD CAD = i) 90AEB =

e) M ligger på C’s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C.

l) M ligger på medianen fra C. m) M ligger på AB’s midtnormal.

n) M er centrum for den omskrevne cirkel. o) M er centrum for den indskrevne cirkel.

p) Arealet af AEM er lig arealet af BDM

Opgave 249: Løs følgende ligninger:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2) 5 3 0 ) 5 25 0 ) 8 17 0a x x b x x c x x− + = − = + + =

Opgave 250: Omregn til uforkortelige brøker:

1

2 1 13)8 )19 )

5a b c

−

− −

2

1

2

7 2) )11 7 )

5 3 5d e f

−

−

−

Opgave 251: I ABC er tegnet AC og BC’s midtnormaler. Deres skæringspunkt er M.


a) BM CD= b) AE CE= c) AM CM= d) AM DM= e) 2AM DM=

f) AM DM= g) ( ) ( ), ,dist M AB dist M AC= h) BAD CAD = i) 90AEM =

j) M ligger på C’s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C.



Opgave 252: Beregn følgende:1 1 1

2 2 2) 36 ) 0 ) 49a b c−

11 1

23 5

1)1000 )32 )

81d e f

−−

Opgave 253: Udregn følgende: 3

3

60 54 3) ) )

15 2 75a b c

Opgave 254: Beregn følgende rødder:

23

32) 8 ) 16a b−

Opgave 255: I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjerne AD og BE. Deres skæringspunkt er M.


a) BM CD= b) AE CE= c) BM CM= d) AM DM= e) 2AM DM=

f) AM DM= g) ( ) ( ), ,dist M AB dist M AC= h) BAD CAD = i) 90AEB =

j) M ligger på C’s vinkelhalveringslinje. k) M ligger på højden fra C.



p) Arealet af AEM er lig arealet af BDM

Opgave 256: Beregn følgende 2 43

3 72)8 ) 25 )10000000a b c ( )

222 333

8) 27 )125 )

27d e f

− −

Opgave 257: En figur består af tre rette linjestykker, der bl.a. danner en ret vinkel A og en vinkel v på

20° (se figuren).

Bestem vinklerne u, w og x og sæt navn på dem (f.eks. ” 340y = Eksplementvinkel til v”)

Opgave 258: Løs følgende ligninger: ) 31 ) 3 17 ) 5 60 ) 4 7 12a x b x c x d x= − = = + =

Opgave 259: ABCD er et parallelogram, og på figuren er indtegnet diagonalerne AC og BD, og deres

skæringspunkt M er markeret.


a) AD AB= b) AD BC= c) AM CM= d) AM BM= e) AB BM=

f) 90AMB = g) BAD BCD =

Opgave 260: Den 1. oktober 2018 var aldersfordelingen i Danmark:

Alder [0,9] ]9,19] ]19,29] ]29,39] ]39,49] ]49,59] ]59,69] ]69,79] ]79,89] ]89,99] ]99,109]

Antal

målt i

tusinder

620 684 786 680 765 798 663 549 217 44 1

a) Tegn et histogram over aldersfordelingen og angiv typeintervallet.

b) Tegn en sumkurve over aldersfordelingen og angiv kvartilsættet.

c) Bestem 40%-fraktilen og fortolk resultatet.

d) Hvor stor en procentdel af den danske befolkning var 1.oktober 2018 mindst 67 år?

e) Hvor stor en procentdel af den danske befolkning var 1. oktober 2018 mellem 15 og 35 år?

f) Tegn et boksplot over aldersfordelingen og bestem IQR.

Opgave 261: To forskellige klasser opnåede i to forskellige prøver taget to forskellige år følgende

karakterfordelinger:

a) Bestem typekaraktererne for de to klassers to forskellige prøver.

b) Tegn en trappekurve over karakterfordelingen i klasse A.

c) Bestem 20%-fraktilen for klasse A og fortolk resultatet.

d) Tegn i samme skema boksplot for de to klassers karakterfordelinger og bestem for begge

klasser IQR.

e) Var der exceptionelle udfald i prøverne?

Opgave 262: Slikproducenten Colama oplyser, at deres blanding GumleGof består af følgende

fordeling:

Man har en mistanke om, at Colama snyder med denne fordeling og ønsker at teste det med

signifikansniveauet 3%. Man køber derfor 5 poser af denne blanding.

a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til et sådant test, og bestem den kritiske værdi

for teststørrelsen.

De 5 poser indeholder 269 stykker slik, der fordeler sig på følgende måde:

b) Bestem den forventede fordeling og bestem de eftertragtede ellipsers bidrag til Q-værdien.

c) Bestem Q-værdien og afgør, om nulhypotesen skal forkastes.

Opgave 263: Man ønsker at undersøge, om adfærdstype afhænger af karaktertype, og man vælger

signifikansniveauet 5%.

a) Opstil en nulhypotese, der kan anvendes til denne undersøgelse.

Man observerer hos 1489 repræsentativt udvalgte personer følgende:

b) Angiv antal frihedsgrader og bestem den kritiske Q-værdi.

c) Bestem den forventede fordeling (angiv ét regneeksempel) og afgør, om nulhypotesen skal

forkastes.

Opgave 264: I et 2 GOF − -test, hvor man anvender signifikansniveauet 2%, får man følgende

bidrag til Q-værdien:

a) Bestem Q-værdien og bestem p-værdien.

b) Bestem den kritisk værdi for teststørrelsen.

Opgave 265: Bestem afledede funktioner af funktionerne givet ved følgende forskrifter:

a) ( ) 4 3 25 7 8f x x x x x= − + − +

b) ( ) ( ) ( )7 ln 3 cosg x x x= −

c) ( ) ( )3 sinh x x x=

d) ( )2 5 712 ex xk x + −=

e) ( )5

6xl x =


a) ( )3 24 6 9x x x dx+ + −

b) ( )( )5 cos 4 exx dx −

c) ( ) ( )28 5 sin 4 5 9x x x dx+ + −

Opgave 267: Udregn nedenstående:

a) ( )3

2

13 2x dx−

b) 1

0

e

e 5

x

xdx

+

Opgave 268: En funktion f er en løsning til differentialligningen 2 3dy y x

dx x y

+=

+, og grafen for f går

gennem punktet ( )1,3P . Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.

Opgave 269: Undersøg, om funktionen f givet ved ( )2

ex

xf x = er en løsning til differentialligningen

e 2xdyy x

dx

− =

Opgave 270: En funktion f er givet ved forskriften ( ) 5 e 3xf x = + .


Opgave 271: En funktion f har nulpunkterne 8, 2, 3x x x= − = − = og 6x = , og grafen for f danner

sammen med førsteaksen tre punktmængder 1 2,M M og 3M (se nedenstående figur).

Arealerne af 1 2ogM M er henholdsvis 106 og 33, og det oplyses, at ( )6

2

22f x dx−

= .

a) Bestem ( )3

2

f x dx−

b) Bestem ( )2

8

f x dx

−

−

c) Bestem arealet af 3M

d) Bestem ( )8

6

f x dx

−

Opgave 272: En funktion f er givet ved forskriften ( ) ( )2 0,14 e xf x x x = − + +

I første kvadrant danner grafen for f sammen med førsteaksen og andenaksen en

punktmængde M.


b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M roteres

360° omkring førsteaksen.

c) Bestem omkredsen af M.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) 2 3 4 2 4 ) 3 2 6 2 3 8

) 4 2 3 2 5 6 ) 5 3 4 2 26 12

a a b a b b b a b x y x y y y x

c c f f c c f c d p q q p q p q

+ − + − − + + −

− − − − − − − −

Opgave 274: Reducér udtrykkene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

) 3 2 4 ) 4 3 2 4 8

) 3 3 3 ) 7 5 7 5

a x y x y x y b a b b a b a

c a b a b a b d x y x y

+ − + + − − − −

− − − + + − −

Opgave 275: Reducér udtrykkene 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

6 9 25 10 4 9 12) ) )

9 25 4 9

4 4 4 36 81 14 8) ) )

6 12 6 27 12 21

x x a a y x xya b c

x a y x

a a x xy y xy xd e f

a a x xy xy y

+ + + − + +

− − −

+ + − + +

+ − +

Opgave 276: Reducér udtrykkene 2 3 2 2

2

1 3 1 9 24 16 1 1 1) ) )

1 19 12

x x x x y xy x xa b c

x x x x xx xy

+ − − + + −+ + −

− +−

Opgave 277: Kvadratkomplementér følgende udtryk 2 2 2

2 2 2 2 2

) 12 ) 6 ) 2

) 10 6 ) 18 2 4

a x x b y y c z z

d x x y y e x x y y z z

+ − +

+ + − + + + + −

Opgave 278: Kvadratkomplementér følgende udtryk 2 2 2

2 2 2 2 2

) 8 7 ) 12 11 ) 4 21

) 8 14 19 ) 6 4 6 5

a x x b y y c z z

d x x y y e x x y y z z

+ + − + + −

+ + − + − + − + + −

Opgave 279: Løs ligningerne

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 2

) 3 7 8 11 ;

) 5 2 3 6 9 2 ;

) 2 5 2 5 ;

1) 4 2 5 2 1 ;

3

1 1 3 7) ; \ ,

4 3 5 7 4 5

2) 3 5 4 4 1 ;

7

1 1) ; \ 1,0

1

) 4 3 9 6 2 6 15 ;

a x x G

b x x G

c x x G

d x x x G

e Gx x

f x x G

g Gx x

h x x G

+ = − + =

− + = − =

+ = − =

− + = + =

= = −

− +

− + = + =

= = −+

− + = − =

Opgave 280: Reducér nedenstående udtryk

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2

) 2 4 ) 3 4 2 8 12

4 12 9) 2 3 5 2 3 3 )

10 15

a a b a a b b x y y y x

x xy yc a b a b a b a b d

xy y

− − − + − +

− ++ − + + −

−

Opgave 281: Kvadratkomplementér følgende udtryk 2 2 2 2 2) 10 ) 12 ) 8 5 ) 4 14 13a x x b y y c x x d x x y y+ − + + − + + −

Opgave 282: Løs disse ligninger

( ) ( )

( )

) 7 5 2 9 ; ) 5 3 2 4 7 1 ;

1 3 1 2 5) 4 3 2 6 ; ) ; \ ,

5 2 5 4 6 3 2

a x x G b x x G

c x x x G d Gx x

+ = − = + − = − =

− + = − = = =

− −

Opgave 283: Om trekanterne ABC og DEF oplyses det, at , og A D B E C F = = = .

a) Bestem BC . b) Bestem DF .

Opgave 284: Det oplyses, at , 4 , 3, 7 og 9AB DE AB AC CE DE= = = =

a) Bestem BC . b) Bestem CD .

Opgave 285: I trekant ABC er vinkel C stump, og højden fra B falder uden for trekanten og har

fodpunkt i D. Det oplyses, at 40, 100 og 43AC AD BD= = =

a) Bestem A og AB . b) Bestem C i trekant ABC.

Opgave 286: I trekant DFH er 46 , 11og 13D DF DH = = = . Medianen fra D rammer den

modstående side i punktet M.

a) Bestem arealet af trekant DFH. b) Bestem DM .

Opgave 287:

Årsprøve 1.x 2019 Opgave 1: Reducér udtrykket ( ) ( ) ( )

22 9 3y x x y x y− + − −

Opgave 2: Løs ligningen 22 6 20 0 ;x x G+ − = =

Opgave 3: x er proportional med y. Udfyld nedenstående skema.

Opgave 4: De ensvinklede trekanter ABC og ADE er retvinklede med de rette vinkler B og D.

13 , 5 og 26AC BC CE= = = .

Bestem AD .

Opgave 5: Løs ligningen ( ) ( )1

2 7 2 3 5 3 1 ;4

x x x G− + − = + − =

Opgave 6: Reducér udtrykkene 4 7

5

a a

a

og

( )5

2

0p

pp

Opgave 7: En ret linje l går gennem punktet ( )4, 3P − og er parallel med linjen m givet ved ligningen

2 7y x= − + . Bestem den rette linje l’s skæring med koordinatakserne.


2 2

10 15

4 12 9

x xy

x xy y

−

− +

Opgave 9: En cirkel har centrum i ( )5, 3C − , og punktet ( )13,1P ligger på cirklen.

Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P.

Delprøven med hjælpemidler Opgave 10 Antallet N af aktive Facebook-brugere målt i millioner er for perioden 2008-2017 angivet

i nedenstående tabel.

Årstal 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Antal målt i

millioner 100 350 500 750 950 1100 1400 1600 1800 2000

Det antages, at antallet N af aktive Facebook-brugere målt i millioner kan beskrives ved modellen

( )N t a t b= + , hvor t er tiden målt i antal år efter 2008.

a) Bestem a og b.

b) Hvor mange aktive Facebook-brugere vil der ifølge modellen være i 2025?

c) Hvornår vil antallet af aktive Facebook-brugere ifølge modellen overstige 8 milliarder?

Opgave 11 I trekant ABC er 38 , 13 og 11A AB BC = = = . Det oplyses, at C er stump.

Fodpunktet for medianen fra A kaldes M.

a) Bestem vinkel C.

b) Bestem arealet af trekant ABC.

c) Bestem længden af medianen fra A.

x 1 3

y 12 28

Opgave 12: Løs ligningen ( ) 3,7 cos 5,1 6,3 ; 0,4x G + = =

Opgave 13 Mængden D af kuldioxid i atmosfæren kan angives som brøkdelen af 2CO -molekyler i

tør luft (angivet i enheden mol

mol

).

Årstal 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Mængde af

kuldioxid 317 325 338 354 369 388

I en model antages det, at D kan beskrives ved forskriften

( ) tD t b a=

hvor t er tiden angivet i antal år efter 1960.

a) Bestem a og b.

b) Bestem fordoblingstiden for mængden af kuldioxid i atmosfæren.

Opgave 14: Bestem den stumpe vinkel, der dannes af linjerne l og m givet ved ligningerne

1: 8

3

1: 11

9

l y x

m y x

= − +

= − −

Opgave 15 Om vektorerne , og a b c oplyses det, at 9, 5 og a b a c b= = + = .

Desuden oplyses det, at vinklen mellem vektorerne a og b er 53°.

a) Bestem c .

Årsprøve 1.x 2018 Delprøven uden hjælpemidler

kl. 09.00 – 11.00


3 2 6 3 2 3a b a b a b− + − +


2 7 5 4 1 ;3

x x G − + = + =

Opgave 3: x og y er omvendt proportionale. Udfyld nedenstående skema.

Opgave 4: Linjestykkerne AD og CE er parallelle, så trekanterne ABD og BCE er ensvinklede.

Bestem BD og BC .

Opgave 5: Løs ligningen 2 7 10 0 ;x x G+ + = =

Opgave 6: I en model antages det, at antallet af medlemmer af Dansk Skak Union siden 1980 er faldet

med 137 om året. I 1980 var der 10270 medlemmer.

Indfør passende variable og angiv en forskrift for modellen, der beskriver antallet af

medlemmer af Dansk Skak Union.

Opgave 7: En cirkel er givet ved ligningen 2 2 212 10 20 0 ;x x y y G+ + − − = =

Bestem radius for cirklen samt koordinatsættet til cirklens centrum.

Opgave 8: En parabel er givet ved ligningen 2 23 5 ;y x x G= − − + =

Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt.

Opgave 9: Firkant ABCD kan opdeles i de to retvinklede trekanter ABD og BCD. Det er oplyst, at

3, 4 og 13AB AD CD= = = .

Bestem BC .

Opgave 10: Løs ligningssystemet 6 3 3

2 4 26

x y

x y

+ = −

− + =

x 1 15

y 5 3

Opgave 11: En cirkel har centrum i ( )6,7C − , og punktet ( )2,5P ligger på cirklen.

Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i punktet P.

Opgave 12: En parabel er givet ved ligningen 2y a x b x c= + + , og diskriminanten betegnes d.

Det oplyses, at parablen skærer førsteaksen i punkterne ( )7,0− og ( )2,0 , og at 0a .

Bestem fortegnene for b, c og d.

Besvarelsen afleveres kl. 11.00

Delprøven med hjælpemidler

kl. 09.00 – 13.00

Opgave 13 Trekant ABC er retvinklet med den rette vinkel B. 15,8AB = og 63A = .

Vinkelhalveringslinjen fra A rammer siden BC i punktet D og danner dermed trekanterne

ABD og ACD.

I trekant ACD rammer medianen fra D siden AC i punktet E.

a) Bestem og AD CD .

b) Bestem ADC og arealet af trekant ACD.

c) Bestem DE .

Opgave 14 Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem parablen p og linjen l givet ved

nedenstående ligninger: 2: 2 3 11

1: 5

3

p y x x

l y x

= − −

= +

Opgave 15 En kugle har centrum i ( )3,0,7C − og radius 11.

a) Bestem en ligning for kuglen.

b) Bestem koordinatsættene til kuglens skæring med z-aksen.

Opgave 16: Løs ligningen ( ) 2 sin 3 4,2 ; 0,3x G + = =

Opgave 17: En ret linje l går gennem punkterne ( ) ( )7,2 og 17, 5P Q− − .

Mængden af punkter på linjen l, hvor førstekoordinaten er et helt tal, og

andenkoordinaten er mindre end 7− , betegnes M.

Bestem det punkt fra mængden M, der har den mindste førstekoordinat.

Årsprøve 1.x 2017 Uden hjælpemidler:

Opgave 1: Løs ligningen 2 5 36 0 ;x x G+ − = =


3 2 4 3a b a a b− − −

Opgave 3: Indiens befolkningstal har i perioden 2009-2016 kunnet beskrives ved modellen

( ) 1,16 1,012 ; 0tN t t=

hvor t er tiden målt i år efter 2009, og N angiver befolkningstallet målt i milliarder.

Forklar, hvad konstanterne fortæller om Indiens befolkningstal.

Opgave 4: Parablen nedenfor er grafen for funktionen f med forskriften ( ) 2f x a x b x c= + +

Bestem fortegnene for konstanterne a, b, c og d, hvor d er diskriminanten.

Opgave 5: En kugle er givet ved ligningen 2 2 2 36 2 10 14 0 ;x x y y z z G− + − + + − = =

Bestem centrum og radius for kuglen.

Opgave 6: Punkterne ( ) ( )3,2 og 6, 1P Q− − ligger begge på cirklen C, hvor de udgør endepunkterne

på en af diagonalerne i cirklen.

Bestem en ligning for den tangent til cirklen C, der rører cirklen i punktet Q.

Med hjælpemidler:

Opgave 7 Antallet N af kerner af et radioaktivt stof aftager med tiden t (målt i minutter efter det

tidspunkt, hvor man begynder at måle på antallet af kerner).

En model til beskrivelsen af antallet af kerner N som funktion af tiden t er

( ) tN t b a=

a) Bestem a og b.

b) Hvor mange kerner vil der ifølge modellen være tilbage 10 minutter efter, at man begynder

at måle på antallet af kerner, og hvornår vil man ifølge modellen være nede på 500 kerner?

c) Bestem halveringstiden.

Opgave 8 Firkant ABCD er en løberute for en gymnasieklasse. Eleverne har ruten på et kort, dvs.

firkanterne ABCD og k k k kA B C D er ligedannede. Det oplyses, at 6cm, 8cmk k k kA B A D= = ,

90 , 2,1km, 3,0km og 2,7kmBAD AD BC CD = = = = .

Den rigtige løberute begynder i punkt A og går herfra til punkterne D, C, B og A i den

nævnte rækkefølge. Men nogle elever vælger en snyderute, hvor de i punkt D bevæger sig

til punkt V, dvs. de løber langs linjen Dv , der er en vinkelhalveringslinje for BDC .

a) Bestem og AB BD .

b) Bestem BDC og arealet af den rigtige løberute, dvs. firkant ABCD.

c) Bestem omkredsen af snyderuten ADVB.

Opgave 9 Grafen for funktionen f med forskriften ( ) af x b x= går gennem punkterne

( ) ( )2,7 og 6,3 .

a) Bestem a og b.

b) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang x-værdien øges med 30%?

Opgave 10: Banen for kuglen i et kuglestød udgør en del af en parabel med ligningen 20,047 0,9 1,8 ; 0y x x x= − + +

x angiver den vandrette afstand til start, og y angiver højden over jorden. Der måles i

meter.

a) Hvor højt over jorden når kuglen op?

b) Hvor langt kommer kuglen?

Opgave 11 Punkterne ( ) ( )1, 5 og 9,1A B− udgør endepunkterne af en diagonal i cirklen C.

Den rette linje L går gennem punkterne ( ) ( )4,1 og 12, 3P Q − .

a) Bestem en ligning for cirklen C.

b) Bestem en ligning for den rette linje L, og bestem koordinatsættene til

skæringspunkterne mellem cirklen C og den rette linje L.

Opgave 12 Stjerner kan opdeles i størrelsesklasser, hvor de klareste stjerner svarer til de mindste

størrelsesklasser.

Sammenhængen mellem en stjernes absolutte størrelsesklasse M og dens tilsyneladende

størrelsesklasse m er givet ved formlen

( )5 log 5M m r= − + ,

hvor r er afstanden til stjernen målt i enheden parsec.

Stjernen Sirius er med sin tilsyneladende størrelsesklasse 1,46− den klareste stjerne på

nattehimlen. Afstanden til Sirius er 2,64parsec .

a) Bestem stjernen Sirius’ absolutte størrelsesklasse.

b) Isolér r i formlen og bestem afstanden til stjernen Canopus, der har den tilsyneladende

størrelsesklasse 0,72− og den absolutte størrelsesklasse 5,65− .


Opgave 1: Løs ligningen 2 3 28 0 ;x x G− − = =

Opgave 2: Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket ( ) 48.000 319.000V t t= − + ,

hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet.

Forklar, hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi.

Opgave 3: Funktionen : xf x b a opfylder, at ( ) ( )2 1 og 4 9f f= = . Bestem en forskrift for f.

Opgave 4: Nedenfor ses to retvinklede trekanter ABC og A'B'C', der er ensvinklede (A er kongruent

med A’ , og C er kongruent med C’ ).

Bestem omkredsen af trekant ABC.

Opgave 5: Løs ligningssystemet

25 2 1

;7 4 7

x yG

x y

− ==

− + =

Opgave 6: En kugle er givet ved ligningen 2 2 2 38 6 24 0 ;x x y z z G+ + + − − = =

Bestem centrum og radius for kuglen.

Med hjælpemidler:

Opgave 7 Rumfanget V af en tønde med højden h, endefladediameteren d og maksimumdiameteren

D er bestemt ved:

2 232

15 4

hV D d D d

= + +

a) Bestem rumfanget af en tønde A med højden 2,3 m, endefladediameteren 0,85 m og

maksimumdiameteren 1,27 m.

b) Hvor stor skal maksimumdiameteren være, hvis en tønde B med samme højde og

endefladediameter som tønden A skal kunne rumme 2,6 m3?

Opgave 8 Ved et meteornedslag kan sammenhængen mellem kraterdiameteren d (målt i m) og

energien E af meteoren (målt i J) beskrives ved en funktion med forskriften

( ) aE d b d= .

En række sammenhørende værdier af kraterdiameteren og energien af meteoren ses i

nedenstående tabel:

a) Bestem konstanterne a og b.

b) Bestem, hvor meget energi meteoren skal have for at lave et krater med diameteren 15 m, og

bestem kraterdiameteren for en meteor med energien 30.000 J.

c) Hvor mange procent større bliver kraterdiameteren, når energien af meteoren fordobles?

Opgave 9 Det danske bruttonationalprodukt var i 2007 på 1623 milliarder kroner, mens det i 2013

var på 1557 milliarder kroner.

a) Vis, at det danske bruttonationalprodukt i gennemsnit faldt med 0,69% om året i

perioden 2007-2013?

b) Hvor mange år ville der gå, før det danske bruttonationalprodukt var halveret, hvis det

hvert år faldt med 0,69%?

Opgave 10: I den retvinklede trekant ABC med den rette vinkel B er 37C = og 12,9BC = .

Fodpunktet for medianen fra B kaldes D.

a) Bestem AC .

b) Bestem længden af medianen Bm .

c) Bestem BDC , og bestem arealet af ABD .

Opgave 11: En parabel P er givet ved ligningen 2 22 5 ;y x x G= − + = .

a) Bestem koordinatsættet til parablen P’s toppunkt.

Nedenfor ses to parabler A og B, hvor de tilhørende funktioner er på formen 2x a x b x c→ + + , og hvor diskriminanten betegnes d.

b) Bestem for begge parabler fortegnene for a, b, c og d.

Opgave 12: En cirkel har centrum i ( )5, 8C − , og punktet ( )1, 5P − − ligger på cirklen.

a) Bestem en ligning for cirklen.

b) Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der rører cirklen i P.


Opgave 1 Reducér udtrykket ( ) ( ) ( )2

4 3 2a b a b a b+ − + +

Opgave 3 Værdien af en bil kan i en periode beskrives ved udtrykket ( ) 317.000 0,82tV t = ,

hvor V er værdien af bilen angivet i kroner, og t er tiden målt i antal år efter bilkøbet.

Forklar hvad de to konstanter fortæller om bilens værdi.

Opgave 4 Bestem koordinatsættet til toppunktet for den parabel, der er graf for funktionen

( ) 22 3 5f x x x= − + .

Opgave 6 Løs ligningssystemet

5 2 4

6 4 16

x y

x y

+ =

+ =

Med hjælpemidler:

Opgave 9 I trekant ABC, hvor det oplyses, at C er stump, er følgende størrelser oplyst:

5,3 , 11,6 og 18,6b c B= = =

a) Beregn C .

b) Beregn arealet af trekant ABC.

c) Tegn en skitse af trekanten og indtegn højden fra A på skitsen.

Beregn længden af højden fra A.

Opgave 10 I en elektrisk kreds med vekselstrøm er strømstyrken ( )I t til tiden t givet ved

( ) ( )2,5 sin 50 3,7 ; 0I t t t= + ,

hvor strømstyrken måles i ampere og tiden måles i sekunder.

a) Beregn strømstyrken efter 0,04 sekunder.

b) Bestem den mindste strømstyrke.

c) Bestem vekselstrømmens periode.

38


Opgave 1 En cirkel er bestemt ved ligningen 15106 22 =++− yyxx

Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius.

Opgave 2 Reducér udtrykket ( ) ( ) abababa 44232

−−−+ .

Opgave 3 En linje l er givet ved ligningen .0173 =+− yx

Bestem en ligning for den linje, der står vinkelret på l og går gennem punktet P(-2,5).

Opgave 4 En parabel er graf for funktionen 123)( 2 +−= xxxf .

Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt.

Opgave 5 En cirkel har centrum (3,5) og radius 2, og en linje l er bestemt ved ligningen

023 =+− yx .

Undersøg om linjen l skærer cirklen.

Opgave 6

På figuren ses graferne for tre forskellige lineære funktioner på formen baxxf +=)( .

Bestem for hver af de tre lineære funktioner, hvad man kan sige om fortegn for a og b.

Med hjælpemidler:

Opgave 7 Et lille firmas omsætning, f (x) (i tusind kr.), afhænger af antallet af sælgere, x. Man

har undersøgt sammenhængen og fundet ud af sammenhængen omtrent følger: 2572,( 0) 4 704x xf x − +=

a) Bestem firmaets omsætning med to sælgere?

b) Bestem antallet af sælgere, der giver firmaet en maksimal omsætning.

Opgave 8 I 2009 betalte hver forbruger i Holstebro 34,15 kr. pr. kubikmeter vand samt et fast

årligt abonnement på 581,25 kr.

a) Opstil en formel, der beskriver sammenhæng mellem den samlede udgift ( i kr.) til

vand i 2009 og vandforbruget (målt i kubikmeter) for en forbruger i Holstebro.

For Hillerød beskrives den tilsvarende sammenhæng ved formlen 49,38 308,75y x= +

b) Hvad skal en forbruger i hver af de to byer betale for et vandforbrug på 12

kubikmeter?

c) Hvilket vandforbrug giver samme samlede udgifter i de to byer?

f3

f2

f1

(2)

(1)

39

Opgave 9 I et koordinatsystem er to vektorer a

og b

bestemt ved

−=

t

ta

2 og

+=

1

1tb , hvor t er et tal.

a) Bestem for 2t = − arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a

og b

.

b) Bestem for 2t = − koordinatsættet til projektionen af a

på b

.

c) Bestem den eller de værdier af t, for hvilke vektorerne a

og b

står vinkelret på

hinanden.

Opgave 10 I ABC er siden b tre gange så lang som siden a, mens siden c er 2,5 gange så lang

som siden a.

a) Bestem trekantens vinkler.

b) Bestem længden af siden a, når det oplyses, at trekantens areal er 10.

Opgave 11 En parabel p er graf for funktionen 723)( 2 ++−= xxxf .

En ret linje l er graf for funktionen 42)( −= xxg .

a) Bestem koordinatsættene til skæringspunkterne mellem p og l.

b) Bestem parablens toppunktskoordinater og afstanden fra parablens toppunkt til

den rette linje.

Opgave 12 En dyppekoger anbringes i et bægerglas med vand. Bægerglasset stilles på en vægt.

Når vandet er kommet i kog, aflæses vægten hvert minut, mens vandet fortsat koger.

Måleresultaterne fremgår af skemaet nedenfor.

Det oplyses, at massen målt i gram med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær

funktion f af tiden målt i minutter.

a) Bestem en forskrift for f.

b) Hvor lang tid tager det ifølge modellen at fordampe 500g vand?

Tid /

minutter 0 1 2 3 4 5

Masse /

gram 1237 1210 1191 1164 1139 1114

40

Opgave 13 I en trekant EFG er = 70E og 8=EG .

Medianen fra F har længden 5, og dens fodpunkt betegnes med H.

a) Bestem EFH .

b) Bestem G .

Opgave 14 Ligningerne for de rette linjer l og m er:

72:

134:

=−

−=+

yxm

yxl

a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne l og m.

b) Bestem den spidse vinkel mellem linjerne l og m.

c) Bestem ligningen for den cirkel, hvis centrum ligger på linjen m, og som tangeres

af både 1.- og 2.-aksen.

41

Årsprøve 1.y 2007

Opgave 1 Reducér udtrykket yx

yxyx

26

69 22

−

+−

Opgave 2 Trykket i atmosfæren, målt i atm, aftager som funktion af højden, målt i km, over

jordoverfladen med god tilnærmelse som en eksponentiel udvikling P med en

halveringshøjde på 5 km.

a) Opskriv et regneudtryk for P, som funktion af højden h, idet trykket ved

jordoverfladen er 1 atm.

Opgave 3 Om to størrelser x og y oplyses, at der er en lineær sammenhæng mellem y-1 og x.

Følgende tabel viser nogle sammenhørende værdier af x og y:

Bestem en ligning, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

Opgave 4 Fire variable størrelser er forbundet ved formlerne ( )tRR += 10 og IRU = ,

hvor R0 og er konstanter.

Opstil en formel, der udtrykker t ved U og I.

Opgave 5 For hvilket tal 0k har ligningen 0322 =−+ kxkx netop én løsning.

Prøven med hjælpemidler

Opgave 6

Optællinger af gråsælunger på Sable Island ved Nova Scotia i Canada

Gennem en årrække har man på Sable Island optalt antallet af unger, som gråsælerne

fik. Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af antal år efter 1970 og antal

unger.

Antal år efter 1970 0 8 11 14 17 20 23 27

Antal unger 700 2500 3400 5200 7500 11000 16000 25300

I en model kan antallet af unger som funktion af antal år efter 1970 med tilnærmelse

beskrives ved en funktion af typen

xabxf =)( ,

hvor f(x) er antal unger, og x er antal år efter 1970.

a) Bestem tallene a og b.

b) Bestem det årstal, hvor der ifølge modellen vil være 50000 unger. Kilde: ICES Journal of Marina Science, 60, 2003

x 1 5

y 1

9

1

42

Opgave 7 I en trekant ABC er 42=C , 35=ah og 37=am . Fodpunktet for ah og am

kaldes henholdsvis H og M, og det oplyses, at AMC er spids.

a) Tegn en skitse af trekanten og bestem MH .

b) Bestem A i trekant ABC.

Opgave 8 Dugongs, også kaldet Søkøer, er havdyr, som kan blive omkring 3 meter lange, og som

har en levetid på 50-60 år. Tabellen viser sammenhængen mellem søkøers længde (målt

i meter) og deres alder (målt i år).

Alder 1,5 2,5 5,0 7,0 9,5 10,0 13,0 17,0 22,5 29,0

Længde 1,97 2,02 2,15 2,35 2,39 2,41 2,47 2,56 2,70 2,72 Kilde: Marsh, H. R. (1980). Age determination of the dugong in Northern Australia and its biological implications.

Det oplyses, at en søkos længde som function af dens alder med tilnærmelse er en

funktion af typen axbxf =)( , hvor x er søkoens alder, og f(x) er søkoens længde.

a) Bestem tallene a og b, og opskriv en forskrift for funktionen f.

b) Bestem ved hjælp af f længden af en søko, der er 8 år gammel, og bestem alderen

på en søko, som har en længde på 2,25 meter.

Opgave 9 En træklods skal være lige så høj som den er bred, men 4 gange så lang som den er bred.

a) Indfør passende betegnelser, og opskriv en formel for klodsens overfladeareal.

b) Man ønsker, at klodsen skal have et rumfang på 332 cm . Bestem klodsens mål,

således at dette er opfyldt.

Opgave 10 Det radioaktive stof strontium 90 henfalder med 2,45% pr år. Et laboratorium indkøber

7 g af stoffet i 2004.

a) Indfør passende betegnelser, og opskriv et matematisk udtryk, der beskriver,

hvorledes mængden af strontium 90 ændrer sig med tiden.

Opgave 11 En eksponentielt aftagende funktion er givet ved tetf −= 2,0100)( .

a) Bestem halveringskonstanten.

Opgave 12 I en trekant ABC er ABBC3

4= og ABAC 2= .

a) Tegn en model af trekanten, og bestem A .

b) Bestem AB , når 4=bh .

Opgave 13 a) Bestem nulpunkter for funktionen xxxf 12)( 3 −=

Opgave 14 Tabellen viser sammenhængen mellem tryk P, målt i Pa, og temperatur t målt i C .

t 5,0 10,1 29,9 40,0 70,2 90,1

P 231,1 235,1 251,1 260,2 285,1 301,5

Det oplyses, at P med god tilnærmelse er en lineær funktion af t.

a) Bestem en forskrift for P som funktion af t, og beskriv betydningen af de konstanter,

der indgår i forskriften.

Opgave 15 En trekants areal er bestemt ved dens højde og dens grundlinie, og en cirkels areal er

bestemt ved dens radius. En trekant og en cirkel skal have samme areal.

a) Indfør passende variable, og opstil et udtryk, som beskriver denne sammenhæng.

b) Udtryk radius i cirklen ved trekantens højde og grundlinje.

43

Opgave 16 I tabellen nedenfor ses karakterfordelingen for to hold elever, Hold 1 og Hold 2, ved

samme matematikprøve:

Karakter 03 5 6 7 8 9 10 11

Hold 1 5 7 5 12 3 10 5 3

Hold 2 4 6 8 10 16 10 6 0

For Hold 1 oplyses følgende statistiske deskriptorer:

Deskriptor Hold 1

Middelværdi 7,22

Median 7

Nedre kvartil 6

Øvre kvartil 9

a) Bestem de tilsvarende deskriptorer for Hold 2, og beskriv forskellen mellem de to

holds præstationer ved hjælp af de nævnte deskriptorer.

44



2 5 4 5 6 ;3

x x G + − = − =

Opgave 2: Linjestykkerne AB og DE er parallelle, så trekanterne ABC og CDE er ensvinklede:

Bestem og BC CE .

Opgave 3: En portion radioaktive kerner af en bestemt isotop isoleres, og da man begynder at måle

aktiviteten, følger den modellen

( ) 471 0,76 ; 0tA t t= ,

hvor A er aktiviteten målt i Bq, og t er tiden målt i sekunder.

Forklar, hvad modellens konstanter fortæller om aktiviteten.

Opgave 4: En funktion f har forskriften ( ) ( )3 2sin e xf x x x= + .


Opgave 5: I planen er givet vektorerne 3 4

og 8

a bt

− = =

.

Bestem de værdier af t, for hvilke trekanten udspændt af og a b har arealet 8.

Opgave 6: En funktion f har forskriften ( ) 312 e xf x = . I første kvadrant danner grafen for f

sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x k= en punktmængde M.

Bestem k, så arealet af punktmængden M er 20.


Opgave 7: På en cykeltur måler man ved forskellige konstante hastigheder v (målt i m

s) den kraft

F, man træder i pedalerne med (målt i N):

Det antages, at kraften F som funktion af den konstante hastighed v kan beskrives ved modellen:

( ) aF v b v=

a) Bestem a og b.

b) Bestem, hvor stor kraft man ifølge modellen skal træde i pedalerne med for at

køre med den konstante hastighed 12 m

s, og bestem, hvor høj konstant hastighed

man ifølge modellen kører med, hvis man træder i pedalerne med kraften 100 N.

c) Hvordan ændres den kraft, man skal træde i pedalerne med, hvis den konstante

hastighed øges med 30%?

45

Opgave 8: I trekant ABC er 6, 8,5 og 39 .AB AC ACB= = = Desuden oplyses det, at ABC er

stump.

a) Bestem ABC .

Vinkelhalveringslinjen Bv for ABC konstrueres og afskæres i punktet D, så BD AB= .

b) Bestem arealet af firkant ABCD.

Opgave 9: Grafen for funktionen f med forskriften ( ) ( )2

5f x x x= − danner i første kvadrant

sammen med førsteaksen en punktmængde M.

a) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360°

omkring førsteaksen.

I intervallet 0 5x danner punkterne ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0,0 , ,0 , , og 0,x x f x f x et rektangel.

b) Bestem den værdi af x, der gør arealet af dette rektangel størst muligt.

Opgave 10: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,2,1 , 4,8,2 , 8,13,7 , 6,1,5 , 4,3,9 og 10,5,0A B C D E F− .

Punkterne A, B, C og D ligger i samme plan, og firkant ABCD udgør glasfacaden i et

moderne byggeri. En solstråle, der følger den rette linje, der går gennem punkterne E og

F, rammer glasfacaden og absorberes af denne. Alle længder måles i meter.

a) Bestem en ligning for den plan , som glasfacaden er en del af.

b) Bestem arealet af glasfacaden.

c) Bestem det punkt på glasfacaden, hvor solstrålen rammer, og bestem den stumpe

vinkel, som solstrålen danner med glasfacaden.

Opgave 11: Et lod svinger lodret i en lang fjeder. Højden h (målt i meter) af loddet over jorden som

funktion af tiden t (målt i sekunder) er givet ved forskriften

( ) ( )8

4,2 sin 1,25 0,7 6,3 ; 05

h t t t

= + + .

a) Tegn grafen for h, og bestem loddets maksimale og minimale højde over jorden.

b) Bestem ( )' 2h og fortolk resultatet.

Opgave 12: Funktionen f er en løsning til differentialligningen

( )74,2 10 6000dy

y ydx

−= −

a) Bestem væksthastigheden for f, når ( ) 1000f x = , og bestem den maksimale

væksthastighed for f.

b) Bestem funktionsforskriften for f, når det oplyses, at ( )2 500f = , og bestem den

værdi for x, der giver den maksimale væksthastighed for f.

46


Opgave 1: Reducér følgende to udtryk: ( ) ( ) ( )2

7 4 5 2 3a b a b b a− + − − og ( )

53

6 4

x

x x

Opgave 2: Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne 9 1

og 4 3

a b−

= = − −

Opgave 3: De retvinklede trekanter ABC og ADE er ensvinklede.

17og 15AB AC= = , og arealet af den store trekant ADE er 240.

Bestem AD

Opgave 4: Beregn

2

2

0

10 3

5 3 4

xdx

x x

+

+ +

Opgave 5: Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften ( ) 2 3e xf x x= er en løsning til

differentialligningen ( ) 2 2' 2 e 3xy y x−− =

Opgave 6: En parabel p skærer førsteaksen to steder, hvoraf det ene er punktet ( )5,0 .

Førstekoordinaten for p’s toppunkt er 3

4.

Tangenten til p i p’s skæringspunkt med andenaksen har hældningen 3.

Bestem en ligning for parablen p.


Opgave 7: En firkant ABCD er tegnet med et nøje specificeret, fortroligt formål. Det er oplyst, at

43 , 114 og 5,1A B CD = = = . Det er desuden oplyst, at D er stump.

A’s vinkelhalveringslinje går gennem punktet C, og 12,8AC = .

a) Bestem BC .


47

Opgave 8: Brudstyrken B (målt i kg) for et grønt 3-slået reb af modificerede polypropylen-

filamenter afhænger af rebets diameter d (målt i mm). Det oplyses, at sammenhængen

kan beskrives ved funktionsforskriften ( ) aB d b d=

Diameter

(målt i mm) 3 6 10 18 24 32 40

Brudstyrken

(målt i kg) 105 770 2035 6305 10490 17540 26860

a) Bestem a og b.

b) Bestem, hvordan brudstyrken ændres, når diameteren øges med 30%.

Opgave 9: Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne ( )

( )

2 4

e 2x

f x x x

g x

= − + +

= −

Sammen med koordinatakserne danner graferne for f og g i første kvadrant en

punktmængde M.


b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360°


Opgave 10: Massen m af et radioaktivt stof (målt i g) kan som funktion af tiden t (målt i sekunder

efter fremstilling) beskrives ved en eksponentiel udvikling.

Det oplyses, at ( ) ( )2 13,7 og 39 4,6M M= = .

a) Bestem en forskrift for M, og bestem halveringstiden 1

2

T .

b) Bestem ( )' 10M og forklar, hvad dette tal fortæller om massen af det radioaktive stof.

Opgave 11: Funktionen f er givet ved forskriften ( ) ( ) 7 sin 3 1 4 , 0,f x x x = + +

a) Bestem maksimum og minimum for f.

b) Bestem monotoniforholdene for f, og bestem det sted, hvor væksthastigheden for f er størst.

Opgave 12: Antallet N af Netflix-brugere (angivet i millioner) som funktion af tiden t (målt i antal

kvartaler siden 2012) er en løsning til differentialligningen

( )0,00055 173dN

N Ndt

= −

I starten af 2012 var der 26,5 millioner Netflix-brugere.

a) Bestem en forskrift for N, og bestem den øvre grænse for antallet af Netflix-brugere.

b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Netflix-brugere er størst, og bestem

den største væksthastighed.

Opgave 13: En kugle er givet ved ligningen 2 2 2 364 52 88 5773 0 ;x x y y z z G+ + − + + − = =

a) Bestem kuglens radius samt koordinatsættet til kuglens centrum.

Punktet ( )24, 7,28P − ligger på kuglen.

b) Bestem en ligning for den tangentplan til kuglen, der har røringspunktet P.

48


Opgave 1: Løs ligningen 22 12 14 0 ;x x G− − + = =

Opgave 2: Bestem for nedenstående funktioner f og g funktionsudtrykkene ( )'f x og ( )'g x .

( )

( ) ( )

4 3 27 5 7 9

cos

f x x x x x

g x x x

= − + + −

=

Opgave 3: Reducér udtrykket ( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 4 3 2 9c d c d c d cd− + − − − +

Opgave 4: Nedenfor ses grafen for funktionen f givet ved forskriften ( ) 2f x ax bx c= + + .

Bestem fortegnene for koefficienterne a, b og c samt fortegnet for diskriminanten d.

Opgave 5: I 1970 var der 1328 insektarter på en bestemt mark. Siden er antallet af insektarter på

denne mark faldet med 1,7% om året.

Indfør passende variable og angiv en model, der beskriver antallet af insektarter på

denne mark fra og med 1970.

Opgave 6: En funktion f er løsning til differentialligningen ( )2 cos

3

y xdy

dx y

=

+,

og grafen for f går gennem punktet ( ),6P .

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Opgave 7: Trekanterne ABC og ADE er ensvinklede og deler vinklen A (se figuren nedenfor).

Det oplyses, at længden af siden AC er 5, længden af siden DE er 7, arealet af trekanten ABC

er 4 og arealet af firkanten BCED er 32: 5 , 7 , 4 og 32ABC BCEDAC DE T A= = = =

Bestem BC og CE .

Opgave 8: En funktion f er givet ved forskriften ( ) 4 35 8 6 2f x x x x= − + − .

Bestem forskriften for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet ( )2, 7P − .

Opgave 9: Løs ligningssystemet 2 7 10

4 11 8

x y

x y

− = −

− + =

49

Opgave 10: Beregn

1

2

21

5 e x

dxx

−

Opgave 11: Undersøg, om funktionen ( )( )4

: 7 cosf x x er en løsning til differentialligningen

( )'

2 tan2

yy x= −

Opgave 12: Funktionen f har nulpunkterne 7, 4,0, 2 og 7− − , og grafen for f danner sammen med

førsteaksen fire punktmængder 1 2 3 4, , og M M M M (se figuren).

Det oplyses, at ( )2

431f x dx

−= og ( )

4

779f x dx

−

= − , samt at arealet af

punktmængden 1M er 11, og arealet af punktmængden 3M er 5.

Bestem arealet af punktmængden 2M samt værdierne af de bestemte integraler ( )4

7f x dx

−

− og

( )7

7f x dx

− .


Opgave 13: Firkanten ABDC kan opdeles i den retvinklede trekant ABC (med den rette vinkel A) og

trekanten BCD med sidelængderne 21BC = , 34BD = og 25CD = .

Desuden oplyses det, at ABC D = .

a) Bestem D .

b) Bestem arealet af firkant ABDC.

Opgave 14: Temperaturen T (målt i °C) af en metalkugle, der placeres i et isbad, er til forskellige

tidspunkter t (målt i antal sekunder) givet ved

Tid målt i

Sekunder 0 1 2 3 4 5

Temperatur

målt i °C 158 131 111 93 75 64

Det antages, at temperaturen T som funktion af tiden t kan beskrives ved modellen

( ) tT t b a=


b) Fortolk konstanten a, og bestem halveringstiden for temperaturen målt i °C.

50

Opgave 15: Et lod i en fjeder udfører en lodret svingning, hvor højden h (målt i m over

ligevægtsstillingen) som funktion af tiden t (målt i sekunder) er givet ved

( ) ( ) 0,060,09 e sin 6,2 0,4 ; 0,2th t t t− = +

a) Bestem de tidspunkter, hvor loddet befinder sig i ligevægtsstillingen.

b) Bestem det tidspunkt, hvor loddets hastighed er størst.

c) Hvor langt under ligevægtsstillingen befinder loddet sig på det tidspunkt, hvor det har den

største acceleration?

Opgave 16: I 2013 udsatte man 112 eghjorte (Lucanus cervus) i den danske natur, hvor den ellers

havde været anset for uddød. Man regner med, at antallet N af eghjorte i Danmark kan

beskrives ved differentialligningen

( )62,4 10 400000dN

N Ndt

−= − ,

hvor t er tiden målt i antal år efter 2013.

a) Hvad var væksthastigheden for antallet af eghjorte i 2013 ifølge modellen?

b) Hvor mange eghjorte er der ifølge modellen i Danmark på det tidspunkt, hvor

væksthastigheden er størst?

c) Bestem en forskrift for N og bestem, hvor mange eghjorte der ifølge modellen vil være i

Danmark i 2027.

Opgave 17: Bestem monotoniforholdene for funktionen f givet ved forskriften

( ) ( )( ) ( )2ln 3 cos 2 7 4 ;f x x x Dm f= + + + =

Opgave 18: Funktionerne f, g og h er givet ved forskrifterne

( )

( )

( ) ( )

1

1

4 e

4 e

ln 1 ; 1

x

x

f x

g x

h x x x

−

−

=

=

= −

Graferne for funktionerne f, g og h danner sammen med koordinatakserne en

punktmængde M.

a) Bestem arealet af punktmængden M.

b) Bestem omkredsen af punktmængden M.

51

Årsprøve 2.x 2012 (fiskesættet) Uden hjælpemidler:

Opgave 1 Reducér udtrykket ( ) ( )2 2

2 6 4 3å l å l+ − −

Opgave 2 En almindelig guldfisk (en ”hibuna”, Carassius auratus auratus) der springer ud af

vandet, følger en bue der kan beskrives ved en parabel. I et koordinatsystem der er indlagt således,

at springet begynder i punktet 𝑂(0,0) (se figuren), er ligningen for parablen:

𝑦 = −1

2𝑥2 + 2𝑥.

Bestem koordinaterne til parablens

toppunkt.

Opgave 3

En bladpjaltefisk (Phycodurus eques) kan

dreje kroppen, så retningerne af munden og

bagkroppen i et koordinatsystem kan

beskrives ved vektorerne

1 6 og

3 1

ta b

t

− + = =

− + − .

Bestem den værdi af t, hvor og a b er

ortogonale

Opgave 4 En adfærdsbiolog har forsøgt at anvende differentialligningen 2 4 5dy

y xdx

= − + til at

beskrive adfærden hos en sekstakket savkirurgfisk (Prionurus microlepidotus).

Undersøg om funktionen f bestemt ved 2( ) e 3 1xf x x= + − er en løsning til differentialligningen.

Opgave 5 Den indiske glasmalle (Kryptopterus bicirrhis) er gennemsigtig. En lyskilde med fast

lysstyrke benyttes til at lyse gennem et antal glasmaller, og man måler lysstyrken efter passage af et

vist stykke glasmalle:

Sammenhængen mellem den målte lysstyrke I (målt i enheden candela) og den passerede længde

glasmalle x (målt i cm) viser sig at kunne beskrives ved modellen:

𝐼(𝑥) = 4,3 ∙ 0,97𝑥.

Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om situationen.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Leafy_Seadragon_Phycodurus_eques_2500px_PLW_edit.jpg

52

Opgave 6 Funktionen f beskriver antallet af årligt dokumenterede tilfælde, hvor den store hvide haj

(Carcharodon carcharias) har angrebet mennesker.

Figuren viser i intervallet [-3;6] grafen for den afledede funktion f’ for funktionen f.

Bestem monotoniforholdene for funktionen f i intervallet [-3;6].

Med hjælpemidler:

Opgave 7

Et område med fiskeforbud for sej (Pollachius virens) i Østersøen øst for Bornholm har form som

en firkant ABCD, se figuren. Der gælder at ∠𝐴 = 98°, |𝐴𝐵| = 75 km, |𝐴𝐷| = 84 km, |𝐵𝐶| =99 km og |𝐶𝐷| = 112 km.

a) Bestem afstanden fra B til D.


Opgave 8

For gedder (Esox lucius) kan længden L og vægten W beskrives ved Bertalanffys model:

𝐿(𝑡) = 𝑎(1 − 𝑒−𝑘∙𝑡)

𝑊(𝑡) = 𝑏(1 − 𝑒−𝑘∙𝑡)3,

hvor a, b og k er konstanter. L og W måles i henholdsvis cm og kg, og t er geddens alder i dage.

For gedder i Esrum sø har man bestemt følgende værdier for a, b og k:

𝑎 = 158; 𝑏 = 26,4; 𝑘 = 0,00163.

a) Bestem længden af en 200 dage gammel gedde i Esrum sø.

b) Bestem vægten af en 120 cm lang gedde i Esrum sø. Kilde: Journal of European Freshwater Ecology, 2003 (34), 107.

53

Opgave 9

En konæserokke (Rhinoptera bonasus) har næsten form som et parallelogram udspændt af

vektorerne 4 4

og 3 3

a b

= = −

(se figuren).

a) Bestem vinklen mellem vektorerne og a b .

b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne og a b .

c) Bestem projektionen af b på a .

Opgave 10

Den russiske sø Ladoga er rig på fisk – specielt fisk i laksefamilien (Salmonidae). Lystfiskerne på

søen skal passe på ikke blive for længe på vandet, så de har godt styr på dagslængden, der (målt i

timer) kan beskrives ved modellen

( ) 6,59 sin(0,0167 1,295) 12,2 ; 0 365f t t t= − + ,

hvor t er tiden målt i døgn efter 1. januar.

a) Benyt modellen til at bestemme dagslængden ved Ladoga-søen til t = 150.

b) Bestem '(200)f og redegør for, hvad dette tal fortæller.

Opgave 11

En akvariefiskeejer ønsker at anskaffe et nyt akvarium til sine fisk - hovedsageligt grønne

sværddragere (Xiphophorus hellerii) og sorte mollyer (Poecilia sphenops). Det skal have

kvadratiske endeflader, og endefladerne og sidefladerne skal være af glas. Bunden og låget skal

være af metal med sølveffekt.

Prisen for glasset er 10 kr. pr. dm2, mens prisen for metallet er 20 kr. pr. dm2.

a) Vis at den samlede pris P for glas og metal til akvariet er givet ved 220 60P x xy= + , hvor x

er en sidelængde i den kvadratiske endeflade (målt i dm) og y er længden af sidefladerne

(målt i dm).

Akvariet skal kunne indeholde 500 dm3

b) Bestem den sidelængde x, der giver den mindste samlede pris for glas og metal.

54

Opgave 12

I et forsøg lukkes nogle californiske glathovedfisk (Alepocephalus tenebrosus) ud i et bassin med

konstant tilførsel af fiskefoder. Det viser sig, at den hastighed, hvormed antallet A af fisk vokser til

tidspunktet t er proportional med produktet af antallet af fisk til tiden t og forskellen mellem 750 og

antallet af fisk til tiden t.

Det viser sig, at væksthastigheden er 30, når antallet af individer er 250.

a) Opskriv en differentialligning, som antallet af individer A må opfylde.

Opgave 13

For at vurdere forureningen fra et dambrug med plettede skægbrosmer (Urophycis regia), der

udleder spildevand i en nærliggende å, har man i en bestem periode målt, hvor meget ammoniak der

er i vandet i forskellige afstande fra dambruget.

Afstand fra dambruget (m) 29 44 87 127 267

Mængde ammoniak (mg/L) 6,0 4,5 3,0 2,4 1,4

Funktionen f givet ved ( ) , 5af x b x x= , beskriver mængden af ammoniak (målt i milligram pr.

liter) som funktion af afstanden x (målt i meter) fra dambruget.

a) Bestem tallene a og b.

b) Beregn hvor stor en mængde ammoniak, er der i 150 meters afstand fra dambruget.

c) Bestem afstanden hvor mængden er mindre end 1 mg/L.

55

Opgave 14

På et fiskemarked i Tokyo, hvor der handles tun (Thunnus thynnus), er der en sammenhæng mellem

udbudsprisen, s, (i tusinder Yenn pr. kg) og mængden, x, (i kg). Tilsvarende er der en sammenhæng

mellem efterspørgselsprisen, d, (i tusinder Yenn pr kg) og mængden, x. Sammenhængene er givet

ved: 2

2

( ) 15 ,hvor 0 16

( ) 0,5 16 175 ,hvor 0 16

s x x x

d x x x x

= +

= − +

Skæringspunktet mellem d og s ’s grafer kaldes for ligevægtspunktet og angiver hhv.

ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P.

a) Bestem ligevægtsmængden, Q, og ligevægtsprisen, P.

Den samlede betalingsvillighed for en bestemt vare kan bestemmes ved at bestemme arealet af

området under efterspørgselsgrafen fra 0 til Q.

b) Bestem den samlede betalingsvilligheden for tun (Thunnus thynnus).

Opgave 15

En fisker fisker efter rødøjede rundsild (Etrumeus teres) og har installeret en fiskeradar på sin

kutter, der afsøger et cirkulært område med kutteren i centrum og en radius på 150 meter.

a) Opskriv cirkelligningen, C, der beskriver afsøgningsområdets rand, når kutteren placeres i

origo (0,0) og afstandene måles i meter.

En stime af rødøjede rundsild svømmer i en ret linje fra punkt P(-200,50) til Q(0,-250), mens

kutteren ligger stille.

b) Afgør om kutteren ved hjælp af sin fiskeradar har chance for at opdage fiskestimen.

56

Terminsprøve 3.x 2018 Opgave 1 Reducér udtrykket ( ) ( )

23 2 4 6a a b a b− − −

Opgave 2 I planen har en trekant ABC hjørnerne ( ) ( ) ( )5,1 , 7,2 og 4, 3A B C− − .

Bestem arealet af trekant ABC.

Opgave 3 Løs andengradsligningen ( )2

4 3 6x + − =

Opgave 4 Beregn ( ) ( )3

sin 12 cos ex

x dx

+

Opgave 5 Undersøg, om funktionen f med forskriften ( ) ( )2 2cos 3f x x x x= + er en løsning til

differentialligningen ( )32 sindy

y x x xdx

− =

Opgave 6 En parabel A har toppunkt i 3 41

,4 8

, og tangenten t til parablen i parablens

skæringspunkt med andenaksen har hældningen 3.

Bestem en ligning for parablen A.

Opgave 7 Antallet af hvide næsehorn (Ceratotherium simum) i Afrika ses i nedenstående tabel:

Årstal 1993 1997 2004 2007 2009

Antal

næsehorn 6376 7913 10796 16273 19409

Det antages, at antallet af hvide næsehorn kan beskrives ved en model på formen

( )N t a t b= +

hvor N er antallet af hvide næsehorn, og t er tiden målt i antal år efter 1993.

a) Bestem a og b.

b) Fortolk tallet a, og bestem i hvilket år antallet af hvide næsehorn ifølge

modellen er oppe på 30000.

I en anden model, hvor tiden t igen angives i antal år efter 1993, antages det, at

antallet M af hvide næsehorn kan beskrives ved en funktion, der er løsning til

differentialligningen

0,07dM

Mdt

=

c) Bestem det årstal, hvor de to forskellige modeller igen giver samme antal hvide

næsehorn, når det antages, at begyndelsesværdien er den samme i begge modeller.

57

Opgave 8 I trekant ABC kaldes medianen fra A’s fodpunkt D, mens vinkelhalveringslinjen fra C’s

fodpunkt kaldes E.

Det er oplyst, at 8,4og 11AB BC= = samt at medianen fra a har længden 10 ( 10am = )

d) Bestem vinkel B .

e) Bestem C og bestem AE .

Opgave 9 En potensvækst er givet ved forskriften ( ) 0,271,67S x x−=

a) Bestem, hvordan S ændrer sig, når x-værdien øges med 40%.

Opgave 10 En cirkel A er givet ved ligningen 2 210 4 44 0x x y y− + + − =

a) Bestem koordinatsættet for cirklens centrum og cirklens radius.

En linje l er givet ved ligningen 11 6 41 0x y− + = .

b) Undersøg, om linjen l er en tangent til cirklen A.

Opgave 11 Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne

( ) ( )

( ) 2

sin

13 ex

f x x x

g x−

= +

=

Sammen med andenaksen danner graferne for f og g i første kvadrant en punktmængde M.


b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360°


Opgave 12 Vandstanden h (målt i meter) i en havn fra midnat til middag kan beskrives ved

( ) 1,4 sin 2,3 2,7 ; 0,126

h t t t

= + +

hvor t er tiden målt i timer efter midnat.

a) Bestem den største og den mindste vandstand i havnen i perioden fra midnat til middag.

b) Bestem det tidspunkt i perioden, hvor vandstanden vokser hurtigst, og angiv denne

maksimale væksthastighed.

Opgave 13 Man ønsker at undersøge, om valget af favoritprimærfarve afhænger af det

klimabælte, man bor i. Man vælger signifikansniveauet 5% og spørger 1154 tilfældigt

udvalgte personer. I nedenstående tabel ses bidragene til teststørrelsen Q:

Bidrag til Q Blå Rød Gul

Tropisk 2,33 1,20 3,08

Subtropisk 1,54 0,21 1,34

Tempereret 0,04 0,20 0,17

a) Opstil den nulhypotese, som testet anvender, og beregn teststørrelsen Q.

b) Beregn p-værdien og konkludér på undersøgelsen.

Opgave 14 Det antages, at antallet N af Twitter-brugere i verden (målt i mio.) kan beskrives ved

en funktion, der er en løsning til differentialligningen ( )0,0030 330dN

N Ndt

= −

hvor t er tiden målt i antal år efter 2010.

a) Bestem væksthastigheden af Twitter-brugere i verden på det tidspunkt, hvor der er

170 mio. Twitter-brugere i verden.

I år 2013 var der 218 mio. Twitter-brugere i verden.

b) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af Twitter-brugere i verden er størst.

58

Opgave 15 Tre punkter i rummet er givet ved ( ) ( ) ( ),0,0 , 0,2 ,0 og 0,0,3A a B a C a , hvor a er et

positivt, reelt tal.

a) Bestem a, så trekanten udspændt af punkterne A, B og C har arealet 17.

I en anden situation er 4a = .

To rette linjer l og k går begge gennem origo ( )0,0,0 . Linjen l står vinkelret på planen

, der indeholder punkterne A, B og C, og linjen k går gennem punktet A.

b) Bestem den stumpe vinkel mellem linjerne l og k.

c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet D mellem den rette linje l og planen .

Terminsprøve 3.x 2019 Opgave 1 Reducér udtrykket ( ) ( ) ( )

22 4 3a b a b a b− − + −

Opgave 2 Vektorerne og a b er givet ved 7 5

og 1 3 4

a bt

− = =

− + .

Bestem den værdi for t, hvor vektorerne og a b er parallelle.

Opgave 3 Undersøg, om funktionen f givet ved forskriften ( ) ( )2 cosf x x x= er en løsning til

differentialligningen ( )2 sindy

x y x xdx

− =

Opgave 4 Beregn ( )22

3 2

16 9 ex xx dx+ +

−+

Opgave 5 Graferne for funktionerne f og g er parabler, der skærer hinanden i 1x = − og 3x = og

sammen danner en punktmængde M (se figuren nedenfor).

Benyt nogle af funktionsværdierne i nedenstående tabel til at bestemme arealet af

punktmængden M (F og G er stamfunktioner til henholdsvis f og g).

( )'f x ( )'g x ( )f x ( )g x ( )F x ( )G x

1x = − 5 -3 0 0 13

6−

7

6

3x = -3 5 4 4 33

2

3

2−

Opgave 6 Parablen p er graf for polynomiet 2 5a x b x + + .

Bestem konstanterne a og b, så parablen p har toppunkt i ( )1,3 .

59

Opgave 7

For en cykelrytter har man målt sammenhængen mellem hendes tempo p (målt i

minutter pr. km.) og den luftmodstand F (målt i N), der påvirker hende.

Det oplyses, at sammenhængen kan beskrives ved forskriften ( ) aF p b p=


b) Bestem det tempo, der svarer til luftmodstanden 8,3 N.

c) Hvordan ændres luftmodstanden, hvis talværdien for tempoet øges med 70%?

Opgave 8 En funktion f er givet ved forskriften ( )4 3 2

1

4 5 12 47f x

x x x x=

+ − − +


b) Bestem det sted, hvor væksthastigheden for f er størst.

Opgave 9

For at bestemme bredden af floden Arno i Firenze måles fra to punkter A og B, der ligger med

afstanden100 m på den ene bred, sigtevinkler 34CAD = og 66CBD = til et punkt C længere

fremme på den anden bred. Punktet D er fodpunkt for højden fra C i trekant ABC.

a) Bestem CD .

I trekant ABC skærer C’s vinkelhalveringslinje linjestykket AB i punktet E, og man planlægger at

anvende trekant BCE til kapsejlads i kano.

b) Bestem omkredsen af trekant BCE.

Opgave 10 En kugle K er bestemt ved ligningen 2 2 2: 8 14 16 40 0K x x y y z z− + + + − − = ; 3G =

a) Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum.

Netop ét af punkterne ( )9,1,8P og ( )8,5,11Q ligger på kuglen K.

b) Afgør, hvilket af punkterne P og Q, der ligger på kuglen K, og vis, at tangentplanen til

kuglen i dette punkt har ligningen : 4 12 3 125 0x y z + + − = ; 3G =

c) Bestem den stumpe vinkel, som linjen l gennem punkterne P og Q danner med

tangentplanen .

60

Opgave 11 Man ønsker at undersøge, om svømmeresultaterne afhænger af, om man anvender

træningsmetode A eller B. Man vælger at arbejde med signifikansniveauet 2%.

Man opstiller følgende skema, der skal anvendes i undersøgelsen:

a) Opstil en nulhypotese, der kan bruges til undersøgelsen, og bestem den kritiske værdi for

teststørrelsen Q.

Man opnår følgende resultat:

b) Bestem den forventede værdi for antallet af testpersoner med træningsmetode B, der skulle

have opnået et middelresultat, og bestem bidraget til Q-værdien fra denne kategori.

Opgave 12 Ved en blodtryksmåling er blodtrykket p (målt i mmHg) som funktion af tiden t (målt i

sekunder) givet ved forskriften ( ) ( )32 sin 5,87 104p t t= +

a) Bestem det minimale og det maksimale blodtryk.

b) Bestem perioden T for blodtrykket.

Opgave 13 Højden h (målt i cm) af en plante kan beskrives ved differentialligningen

( )0,117 80dh

hdt

= − , hvor t er tiden målt i døgn efter det tidspunkt, hvor planten er 3 cm høj.

a) Hvor høj er planten, når den vokser med væksthastigheden 5,85 cm i døgnet?

b) Til hvilket tidspunkt t er planten 79 cm høj?

Opgave 14 En funktion f er givet ved forskriften ( ) ( )3 ln 1 7 ; 0f x x x= + +

En lodret linje l er givet ved ligningen x a= , hvor 0a , og en vandret linje k er

givet ved ligningen y b= , hvor 0 7b .

Grafen for f danner sammen med andenaksen og linjerne l og k en punktmængde M.

a) Bestem værdien af a, når arealet af M er 150, og b-værdien er 2.

b) Bestem værdien af b, når a-værdien er 10, og rumfanget af det

omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360° omkring førsteaksen, er

4200.

Opgave 15 Lad ( ) ( ) ( ) ( )5, 1,4 , 9,13, 8 , 2,0,11 og 6,7, 10A B C D− − − − − være punkter i rummet, og

lad linjen l være den rette linje, der går gennem punkterne C og D.

a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, og bestem det punkt E på linjen l, der gør

arealet af trekant ABE mindst muligt.

61

Facitliste 1: 4 pq−

2: ( ) ( ) ( )3 4' 4 cos sinf x x x x x= −

3: a) 24y x= − b) f er voksende i intervallerne ]-∞,-3] og [2,∞[ og aftagende i [-3,2]

4: a) H0: Uddannelsesniveauerne er ens i Holbæk og Slagelse Kommune.

b) Der er signifikant forskel på uddannelsesniveauet i kommunerne (124,3 10 % 5%− ).

c) Der er ikke signifikant forskel på uddannelsesniveauet i A og B ( 8,7% 5%p = = )

5: a) 36 144y x= + b) f er voksende i intervallerne ]-4,03 ; -2] og [2,∞[ og aftagende i [-2,2].

6: ( ) ( )2 21 3 1 3

2 2 2 23

) 1 e ) 1 e2

x x x x

a f x b f x+ − + −

= + = +

7: ( ) 22 4 e xf x x −= + −

8: ( )0,126

315) ) 314biler pr. 1000 indbyggere.

131 e

22

t

a N t b−

=

+

314 er tæt på det maksimale 315, så ifølge modellen vil biltætheden ikke ændre sig ret meget

efter 2008.

9: 0,04 35,4sekunderdh

hdt

= −

10: 5,48%

11: 8,064 ; 3,208 = =

12: ) 1,2,5,6,7,8 ) 6,7 ) 2,4a b c

13: ) ) , , , , ) ,a B b A D E F G c F A

14: ) ) 1,2,3 )a b c A

15: 44

25x =

16: -1

17: ( ) 2' 12 10 1f x x x= − −

18: ( ) 2

2 5

3 20' 6f x x

x x= − +

19: ( ) 4' 12 e 5xf x − = − +

20: ( ) 71' 7 e xf x

x= −

21: ( ) ( ) ( )' 2 cos 30 sin 5 2f x x x= + −

22: ( ) ( ) ( )2 3' 3 sin cosf x x x x x= +

23: ( ) ( )' lnf x x=

24: ( ) ( ) ( )5' 5 ln 7 7 ln 5 5x xf x −= −

25: ( )( ) ( )

6

cos 5 sin'

x x xf x

x

− =

26: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 5 5' 15 e sin 2 6 e cos 2 3 e 5 sin 2 2 cos 2x x xf x x x x x= + = +

27: ( ) ( )5

' 24 4 7f x x= −

28: ( ) ( )' 8 ln ex xf x = +

29: ( ) ( ) ( ) ( )1

' cos 9 2 9 ln 5 sin 9 2f x x x xx

= − + + − +

62

30: 3 5

)1 ) 41 ) 41 ) )7 2

a b c d e− −

− −

31: ) 10 ) 2,5a t b t= = −

32: 12

) 15 )5

a s b s= − =

33: 42A =

34: 24T =

35: 50T =

36: ( )8, 1C −

37: 68,279A =

38: 67,915T =

39: ( )13 14f =

40: ( ) ( )26 7 , 1 56f f= − =

41: 2 4X =

42: 1

2

2X =

43: 1

23

y x= − −

44: 3 24y x= +

45: 3 5 3 0x y+ + =

46: 4 7 34 0x y− + − =

47: 2 23a b−

48: ( )218 12 6 2 3y xy eller y x y− − −

49: 2 23 30a ab b− −

50: 25 12b b−

51: 24 22x x− − −

52: 2 3

2 3

a b

a b

−

+

53: 0

54: 2

xy

55: 3 22x x x+ +

111: Ja, det er en løsning.

112: 2 9y x= +

113: 5 4y x= +

114: a) f er voksende i intervallerne ]-∞,-5] og [2,∞[ og aftagende i [-5,2] b) 3

2x = −

115: ( ) ( )3

3 1

1 4

) 4096 ) 3753 ) 1072Ma f x dx b f x dx c A

−

− −

= = − =

119: Ja, det er en løsning

120: 8 30y x= −

121: 2 3y x= −

122: a) f er voksende i intervallerne ]-∞,-2] og [1,∞[ og aftagende i [-2,1] b) 1

2x = −

123: ( ) ( )1

1 3

2 1

) 1377 ) 752 ) 2673Ma f x dx b f x dx c A−

= = − =

63

124: 14 5 35 2 9 2215 7 1 15 10 5

) ) ) ) ) )4

) ) ) ) ) )3 21 42 12 314 5 17 6 5

a c e g kj lib d f h

125: 3 4 4 5 2) 12 ) 60a x y b a b c−

126: 11 3 6 212 3 14 13 20) ) ) )) ) ) ) )a x c a e xb y d a f x h xg b i a−

127: 1

) 3 )0 ) 3 )1 ) )11

) 1 ) 2 ) 4 )10 )0

49

0) 01

a c e g i kb d f h j l−

128: ) 13 )0)8 ) ) 5 35 5 ) 5 2a c eb d x x f x xx x= − = = −− = ==

129:127 22 805

) ) )10 3 333

a b c

130: a) 3y x= + b) 2,84 c) f er aftagende i ]-∞,-0.31] og voksende i [-0.31,∞[

131: a) A= 8 b) k=1,837

132: ( ) 0.156

65000) )32500 ) 2535 .

1 43.03 e ta N t b fluer c fluer pr uge

− =

+

133: 0,079

134: ( ) 6 635 30 e xf x −= −

135: a) og ACB DCE er topvinkler og derfor ens. Da AB DE , er vekselvinklerne A og E lige

store, og vekselvinklerne B og D er lige store. Dermed er trekanterne ensvinklede.

b) 48 21

7 2AB CE= =

136: 12EK =

137: ) 19,23 ) 5,7APSa T b AS= =

138: ) 139,37 ) 6,98a C b b = =

139: ) 89,50 ) 37,6 ) 4,67a B b C c AE = = =

140: 7 3

13 5

xt

y

− = +

141: 50

142: ( )) 5 2, 4 ) 4 3 21a r C b x y= − + =

143: 21

4t = −

144: ( ) ( ) ( )2 2 2

) 8 7 6 169 ) 12 4 3 63a x y z b x y z− + + + − = − + + =

145:

11 713231 1311 871

) 5 1) 31 96 38 245 0 ) 45,0962 , ,1353 451 123

9 11

x

b y ta x y z c v

z

−

= + − − −

− + +

= =

146: ( ) 2' 15 14 1f x x x= − +

147: ( )( )

( ) ( )cos

' ln sinx

f x x xx

= −

148: ( ) 3 23 7F x x x x= − + − +

149: f er aftagende i intervallerne ]-∞,1] og [5,∞[ og voksende i [1,5].

150: Ikke en løsning.

151: 48MA =

152: a) 102 rotter om ugen. b) 13,7 uger efter observationsstart og 2000 rotter.

153: ) 3,767 ) 16,693a A b V= =

154: a) Efter 10 minutter falder temperaturen med 1,06°C i minuttet.

155: 11

7x =

64

156: 2 22 5 12a ab b+ −

157: 5 8x x= − =

158: (5,35) og (8,56)

159: 2 22 12a b+

160: 3 1y x= − +

161: 17

5x =

162: 2 15y x= +

163: 1 14

,3 3

T

164: (2,15) og (30,1)

165: 1

32

x x= − =

166: 2 3p pq−

167: 4 4y x= − +

168: 2 215 4 29x xy y+ −

169: Ja, 2 er en løsning til ligningen.

170: 10 10k k= − =

171: 6 41y x= −

172: 6

x

x +

173: 3x =

174: 7

4

x

x

+

−

175: 5

2a

− =

−

176: 2a b = −

177: ( )det , 39a b =

178: 13AB =

179: 10a =

180: ( )10, 2D −

181: 20

9t =

182: 32

11k = −

183: 61A =

184:

14

5

28

5

ba

= −

185: Stump vinkel.

186: 19T =

187: 11 5

3 7

xt

y

= +

− −

188: 0 2

9 9

xt

y

= +

eller

2 2

0 9

xt

y

− = +

eller …

65

189: 3 17 0x y− + − =

190: ( )6,4 41C r− =

191: 17 9 207 0x y− + =

192: ( ) ( )2, 2 og 8,4−

193: (4,0)

194: Ikke tangent (afstanden fra centrum til linjen er større end radius)

195: 84,06v =

196: 92

197: (-5,-25,55)

198: 225,47T =

199: 76

9t = −

200: 13

3t = −

201: (-7,5,6)

202: 51

0, ,013

203: ) 105,96 ) 74,04stump spidsa v b v= =

204: 7

1011 7797 5180)10 16 39 357 0 ) 7 ) , ,

754 754 37724

x

a x y z b y t c

z

+ − − = +

16215 3420 11621

) 42,09 ) 1,6388 ) , ,1877 1877 1877

d v e d f

= = − −

205: ( ) ) 29) 7,5,0 292 )62 29 6 4 0, 72, .b sandt dvs punktet ligger på cirkla C r c x yn ze− = − + − ==

206: 347,974A =

207: D ; E ; F ; A ; B ; C ; G

208: 3 2y x= − +

209: ) 8 )2 )3 )5 )2 )5a b c d e f− −

210: ( )18 5f =

211: : 0 , 0 , 0 , 0 : 0 , 0 , 0 , 0f a b c d g a b c d

212: 5

) 5 ) )14 )6 ) 121

a b c d e −

213: 1

2

3,72X =

214: Kassen vejer 0,273 kg. Hver klods vejer 0,049 kg.

215: ) 4 ) 2 )2 ) 7 ) 3a b c d e− − −

216: max min

5) 11 3 )

3a f f b x= = =

217: ( ) ( ) ( ) ( )) 1, 8 ) 3 1 ) 2 3 1a T b x x c p x x x− − = − = = + −

218: 3 22y x= +

219: ( )1

525

xf x =

220: 1

5

7) log ) e ) 5

4a b x c x−

= =

221: Bilens værdi i 2014 var 372500 kr. Bilens værdi er siden 2014 faldet med 13% om året.

66

222: 125%

223: ( ) ( ) ( )( )2 4 3 25)18 14 3 ) 3 7 )8 cos ln 8 sin

3

xa x x b x x x x k c x x− + + + − + −

( ) ( )10

8 2

2

3 2 5 1) e 1 ) ) 3 7

4 25 8

xd e f x x k

x x

+ − + − +

+ +

224: 1

43

y x= +

225: ( )3 1

1

2

) 81 ) 4 ) 13M Ma A b f x dx c A−

= = − =

226: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )24 4 1 1 1 4 1MA F F G G H H= − − − − − − −

227: ( )0,91133

329)71,5 . . ) )329 . ) 2,52 ( 2012)

1 9,92925 e ta mio pr år b N t c mio d t midt i

− = =

+

228: 6859

) ) 259296,4810 ) 201,56896616

Ma A b V c= =

229: 14 5 14 21 11 9 13

) ) ) 28 ) ) ) ) )5 24 5 10 7 20 28

a b c d e f g h

230: 4 7 4 7 3 11) 10 )150 ) 8a x y b a b c c x −

231: 11 14 3 5 21 16) ) ) ) ) )a y b x c a d y e x f a−

232: ) 5 )1 )0 )3 ) 2 )3 )1a b c d e f g−

233: ) 0,974 17496 )6972 ) 2047 )26,4a a b b c år d år= =

234: ) 2,116 21,39 )92,8 )1,69 )74,2%a a b b kg c m d= =

235: 10

7AB

− =

−

236: Stump ( 0a b )

237: 12 12t t= − =

238: 34A =

239: 5 2

:8 3

xl t

y

− = +

240: 25 2 6 0 ;x y G+ + = =

241: ( )7 6, 4r C= −

242:

38 10 16

) 3 ) 84,06 ) , , ) 48,07521 21 21

14

ba b v c a d T

= = − =

243: 14

9t =

244: ( ) ( ) ( )2 2 2

2 4

) 21 9 10 9 0 ) 7) ( , ) 4,6913 ) 49 26

3 3

7 3

x

a x y z c y t

z

b dist D d x y z

−

+ + − = = − +

= = − + +

+

−

245: ( ) ( )) 8,15, 2 ) 153,73 ) 7 0 )stumpa b v c IKKE i planen d IKKE pålinjen− = −

246: 15 5 12) ) )a x b y c a

247: 1 1 1) 2 )11 )17 ) ) )

26 2 2a b c d e f −

67

248: b, e, l og p

249: ) 3 5 ) 5 0 5 ) 2a x x b x x x c x= − = = − = = = −

250: 1 1 5 25 11 18

) ) ) ) ) )64 19 13 49 7 5

a b c d e f

251: b, c, i, m og n

252: 1 1

) 6 )0 ) ) ) 2 )97 10

a b c d e f

253: 1

) 2 )3 )5

a b c

254: 1

) 4 )64

a b

255: g, h, j og o

256: 1 4

) 4 )125 )10000 )9 ) )25 9

a b c d e f

257: 20u = (v og u er topvinkler). 160w = (v og w er supplementvinkler).

70x = (x og v er komplementvinkler)

258: 1

) 31 319 5

) ) 12 1214 20 )4 4

a x x cb x x d xx xx= − = == − = = = − =−

259: b, c og g

260: a) ]49,59] b) (20.9,40.7,59.3) c) 32,4 40% af danskerne har alderen 32,4 år eller derunder.

d) 16,2% e) 25,3% f) IQR=38,5 år

261: a) 12 og 12 b) … c) 02 De 20% laveste karakterer var 02 eller derunder d) A: 10 B:2 e) 4 i B

262: Nulhypotese: Colamas oplyste fordeling er korrekt. 10,71kritiskQ = b)

Runde røde Sorte stjerner Eftertragtede

ellipser

Rosa rhomber Orange ovaler

91,46 59,18 10,76 83,39 24,21

1,31bidrag eeQ = c) 5,37Q = Nulhypotesen skal IKKE forkastes (ingen signifikant forskel).

263: a) Adfærdstype og karaktertype er uafhængige af hinanden.

b) f=6 12,59kritiskQ = c)

186,81 257,48 122,90 347,81

88,403 121,84 58,16 164,59

28,787 39,677 18,939 53,597

Q=28,9 Nulhypotesen forkastes.

264: ) 8,45 0,133 ) 13,39kritiska Q p b Q= = =

265: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 2 53 7

5 ln 6) 4 15 14 1 ) 3 sin

7) 3 sin )12 2 5 ecos )

6

x

x

xb x d xa x x x c x x x x ex

+ −

− + − + + + −

266: ( ) ( )3

4 2 2) 3 9 ) co)5 sin s 5 93

4 e 4xb x kx

a x x x k c x x k+ + − − ++ − + − +

267: e 5

) 22 ) ln6

a b+

268: 3y x=

269: f er IKKE en løsning

270: 5 8y x= +

271: ) 33 ) 106 )11 )84a b c d−

272: ) 8,779 ) 107,46 )12,54Ma A b V c= =

273: 2 2 2 2) 3 )6 ) 2 ) 10a a b x c f d p− −

68

274:2 2 2) ) ) 2 6 )140a x b b c b ab d xy−

275:3 5 2 3 2 2 9 2

) ) ) ) ) )3 5 2 3 6 3 3

x a y x a x y xa b c d e f

x a y x a x y

+ − + + −

− + −

276:2

3

3 4 5 1) 3 ) )

3

x y xa x b c

x x

− −+

−

277: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 222 2 2

) 3 9 ) 5) 6 36 ) 1 1 ) 9 1 2 863 34b y d xa x c z e y zy x− − + + − −+ − + − + + + + − −

278: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 22

) 4 9 ) 2 25 ) 3 2 3) 6 25 ) 4 6 27 4 7a x c z e x y zb y d x y− − + ++ − + − − + − + + −− −

279: ( )5 1

) 74

) ) ) ) )13

0 ) 10 )1 21

a x c x e x g Lb x d x f x h Sandt L= = = − = = = = =

280: 2 2 2 2 2 3

) )9 )11 11 15 )5

x ya b b x c a ab b d

y

−+ −

281: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

) 5 25 ) 6 36 ) 4 11 ) 2 7 66a x b y c x d x y+ − − − + − − + + −

282: 14 13 33 17

) ) ) )5 8 19 20

a x b x c x d x= − = − = =

283: 15

) ) 164

a BC b DF= =

284: 28 27

) )9 4

a BC b CD= =

285: ) 23,27 108,85 ) 144,37a A AB b C = = =

286: ) 51,43 ) 11,05a T b DM= =

Årsprøve 1.x 2019:

Opgave 1: 23 11x xy− −

Opgave 2: 5 2x x= − =

Opgave 3: ( )1,4 og ( )7,28

Opgave 4: 36AD =

Opgave 5: 67

31x =

Opgave 6: 6 9a p

Opgave 7: x-aksen: 5

2x = y-aksen: 5y =

Opgave 8: 5

2 3

x

x y−

Opgave 9: 2 27y x= − +

Opgave 10: ) 211 105a a b= = b) 3695 millioner c) 2045 (eller 2046)

Opgave 11: ) 133,3 ) 10,8 ) 7,6aa C b T c m= = =

Opgave 12: 1,24 5,04 7,52 11,33x x x x= = = =

Opgave 13: 2) 1,0041 313,7 ) 169åra a b b T= = =

Opgave 14: 167,9

Opgave 15: 7,2c =

69


Opgave 1: 2 221 5a b−

Opgave 2: 1

2x =

Opgave 3:

x 1 9 15

y 45 5 3

Opgave 4: 70 77

11 5BD BC= =

Opgave 5: 5 2x x= − = −

Opgave 6: N: Antal medlemmer , t: Tiden målt i antal år efter 1980 ; ( ) 137 10270N t t= − +

Opgave 7: ( )6,5 9C r− =

Opgave 8: 1 61

,6 12

T

−

Opgave 9: 12BC =

Opgave 10: ( ) ( ), 3,5x y = −

Opgave 11: 4 3y x= −

Opgave 12: Toppunktet ligger midt mellem nulpunkterne, dvs. førstekoordinaten er -2,5.

0b : Da toppunktet ligger til venstre for andenaksen, har a og b ens fortegn.

0c : Da a er negativ, vender benene nedad. Dermed ligger grafen over x-aksen

mellem nulpunkterne, og da y-aksen ligger mellem nulpunkterne, skæres den på den

positive del.

0d : Da grafen skærer førsteaksen to steder (de to oplyste punkter)

Opgave 13: ) 18,53 , 21,33 ) 121,5 168,48 ) 9,81a AD CD b ADC T c DE= = = = =

Opgave 14: ( ) ( )3.78,6.26 2.12,4.29og −

Opgave 15: ( ) ( )2 22) 3 7 121a x y z+ + + − = ( ) ( )) 0,0,17.58 og 0,0, 3.58b −

Opgave 16: 0,644 2,498 6,927 8,781x x x x= = = =

Opgave 17: 169

24,24

−

Årsprøve 1.x 2017: Opgave 1: 9 4x x= − =

Opgave 2: 2 2a b+

Opgave 3: I 2009 var Indiens befolkningstal på 1,16 milliarder, og i perioden 2009-2016 er

befolkningstallet vokset med 1,2% om året.

Opgave 4: 0, 0, 0, 0a b c d

Opgave 5: ( )3,1, 5 7C r− =

Opgave 6: 3 19y x= −

Opgave 7: 0,5) 0,873 4733 ) 1223 16,6min ) 5,1mina a b b N t c T= = = = =

Opgave 8: 2) 1,6km 2,6km ) 68,56 4,95km ) 7,35kmABCD ADVBa AB BD b BDC A c O= = = = =

Opgave 9: ) 0,771 11,95 )Falder med 18,3%a a b b= − =

Opgave 10: ) 6,1m ) 20,97 mmaksa y b=

Opgave 11: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1

) 5 2 25 ) 3 2,2 og 10, 22

a x y b y x− + + = = − + −

Opgave 12:

5

5) 1,43 ) 10 96,83parsecm M

a M b r r+ −

= = =

70

Årsprøve 1.y 2007:

Opgave 1: ( ) 2

3

32

)3(

26

69 222 yx

yx

yx

yx

yxyx −=

−

−=

−

+−

Opgave 2: 55

2

1

2

11

hh

P

=

=

Opgave 3: 121

−= xy

Opgave 4:

11

11

1

000

−

=

−

=

−

=RI

Ut

RI

Ut

R

I

U

t

Opgave 5: 3−=k

Opgave 6: a) 787140,1 == boga b) 2001

Opgave 7: 121443537 2222222==−=−==+ AHAMMHAMMHAH

Opgave 8: 0000 109895682,10848895682,60 ==+=+= CAHBAHA

Opgave 9: 84,11178,0 == boga 1178,084,1)( xxf = b) m35,2 år6,5

Opgave 10: a) 2( ) 18A h h= b) Højde 2 cm, bredde 2 cm , længde 8 cm

Opgave 11: ttN 9755,07)( =

Opgave 12: 466,32,0

2ln2ln½ ===

kT

Opgave 13: 1 1 0

161 4

45 169cos cos 36,3364 36

A − −

+ − −

= = =

b) 75,6336,36sin

4

sinsin

0====

A

hAB

AB

hA bb

Opgave 14: ( ) 12012120120120 223 ==−===−=−= xxxxxxxxx

Opgave 15: 8,226830,0 += tP

Opgave 16: a) 2½ rgh = b)

=

==

22½ 22 gh

rgh

rrgh

Opgave 17: Hold 2 har set på gennemsnittet klaret sig lidt bedre end hold 1, hvilket skyldes de 25% af klassen mellem nedre kvartil og medianen,

der på hold 2 ligger bedre end på hold 1. Det er altså en større del af hold 2, der har nået et middelniveau.


Opgave 1: 11

10x =

Opgave 2: 60 91

13 6BC CE= =

Opgave 3: Da man begynder at måle, er aktiviteten 471 Bq, og aktiviteten falder med 24% pr. sekund.

Opgave 4: 2 1y x= +

Opgave 5: 10 2t t= − = −

Opgave 6: ( )ln 6

3k =

Opgave 7: m

) 2,043 0,3723 ) 59,7 N 15,4 ) Kraften øges med 70,9%s

a a b b F v c= = = =

71

Opgave 8: ) 116,93 ) 25,28ABCDa ABC b A = =

Opgave 9: 5

) 2337,5 )2

a V b x= =

Opgave 10: 2 2516 2213 573) 25 19 54 0 ) 47,12m ) , , 99,77

519 519 173stumpa x y z b A c v

− − − = = =

Opgave 11: ( )min) 2,1m 10,5m ) ' 2 5,24maksa h h b h= = = − Efter 2 sekunder falder højden med 5,24 m

s

Opgave 12: ( ) 0,00252

6000) 2,1 ' 3,78 ) 953,5

1 11,06 emaks maksx

dya y b f x x

dx − = = = =

+


Opgave 1: 2 2 526 9 og a b x−

Opgave 2: 31

2T =

Opgave 3: 34AD =

Opgave 4: 15

ln2

Opgave 5: f er en løsning

Opgave 6: 22 3 35y x x= − + +

Opgave 7: ) 5,135 ) 46,277a BC b A= =

Opgave 8: ) 2,073 14,496 )Øges med 72,3%a a b b= =

Opgave 9: ) 5,176 ) 72,334Ma A b V= =

Opgave 10: a) ( ) ( )1

2

) 14,53 0,9709 23,5 ) ' 10 0,319ta M t T b M= = = −

Dvs. 10 sekunder efter fremstilling aftager massen med 0,32 g i sekundet.

Opgave 11: max min) 11 3 ) er voksende i intervallerne [0,0.190] og [1.237,2.285]a f f b f= = −

f er aftagende i intervallerne [0.190,1.237] og [2.285,] ,max 1,761fx =

Opgave 12: a) ( ) 0,09515

173

1 5,528 e tN t

− =

+ 173millionerøvreN =

b) 18. kvartal efter 2012 4,1 millioner pr. kvartal

Opgave 13: ( )) 32,26, 44 97 ) 56 33 72 3591 0a C r b x y z− − = − + − =

Årsprøve 2.x 2019: Opgave 1: 7 1x x= − =

Opgave 2: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1' 28 3 10 7 ' cos sin

2f x x x x g x x x x

x= − + + = −

Opgave 3: 2 27 13c d− −

Opgave 4: 0 0 0 0a b c d

Opgave 5: N: Antal insekter t: tid målt i antal år efter 1970 ( ) 1328 0,983tN t =

Opgave 6: 4 4 6y x = − + +

Opgave 7: 7

103

BC CE= =

Opgave 8: ( ) 5 4 22 3 2 15F x x x x x= − + − −

Opgave 9: ( ) ( ), 9,4x y =

Opgave 10:

1

25 e e

−

72


Opgave 12: ( ) ( )2

4 7

7 736 11 68MA f x dx f x dx

−

− −= = − =

Opgave 13: ) 38,0 ) 368,5a D b A = =

Opgave 14: ) 0,8336 158,3a a b= = b) Temperaturen målt i °C aftager med 16,6% i sekundet. 0,5 3,8sT =

Opgave 15: ) 0,442s 0,949s 1,456s 1,962s ) 0,946s ) 8,63cma t t t t b t c= = = = =

Opgave 16: a) 107 eghjorte pr. år b) 200000 c) ( )0,96

400000

1 3570 e tN t

− =

+ 397932 eghjorte

Opgave 17: f er aftagende i intervallerne ]-∞,-1.640] og [-0.430,1.036] og voksende i intervallerne [-1.640,-0.430] og [1.036,∞[

Opgave 18: ) 5,6115 ) 11,222M Ma A b O= =

Terminsprøve 3.x 2018

Opgave 1: 2 25 36a b−

Opgave 2: 49

2T =

Opgave 3: 1 7x x= − = −

Opgave 4: 1-e


Opgave 6: 22 3 4y x x= − + +

Opgave 7: ) 771 5214 )antal er vokset med 771 om året siden 1993 ; 2025 ) 2012a a b b år c år= =

Opgave 8: ) 89,50 ) 37,6 4,67a B b C AE = = =

Opgave 9: S falder med 8,7%

Opgave 10: ( )) 5, 2 73 ) Ikke tangentplana C r b− =

Opgave 11: ) 13,73 ) 452,11Ma A b V= =

Opgave 12: max min) )7,6 t efter midnat (kl. 7:36)4,1 1,3 Vokser med 0,73 m i timena bh m h m= =

Opgave 13: a) Nulhypotese: Valget af primærfarve afhænger ikke af det klimabælte, man bor i.

10,11 ) 3,9%Q b p= = Nulhypotesen forkastes

Opgave 14: )81,6mio. pr. år ) 2,3 år 2012a b t =

Opgave 15: 144 72 48

) 2,204 ) 149,0 ) , ,49 49 49

stumpa a b v c

= =

Terminsprøve 3.x 2019

Opgave 1: 27 4ab b+

Opgave 2: 23

21t = −

Opgave 3: Ikke en løsning ( ( ) ( ) ( )2' 2 cos sinf x x x x x= − )

Opgave 4: 123 e 3 −

Opgave 5: 64

3MA =

Opgave 6: 2 4a b= = −

Opgave 7: min

) 2,0053 40,25 ) 2,20km

a a b b p= − = = c) Falder med 65,5%

Opgave 8: a) f er voksende i intervallerne ]-∞,-3.471] og [-0.723,1.195] og aftagende i intervallerne

[-3.471,-0.723] og [1.195,∞[. b) 3,7594x = −

Opgave 9: ) 96,4m ) 269,3ma CD b O= =

Opgave 10: ( )) 4, 7,8 13 ) ligger på kuglen )126,91a C r b Q c− =

Opgave 11: a) Nulhypotese: Svømmeresultater er uafhængige af træningsmetode 7,82kritiskQ =

73

) 734,77 1,55bidragb Q =

Opgave 12: min max) 72mmHg 136mmHg ) 1,07sa p p b T= = =

Opgave 13: ) 30cm ) 37,1døgna h b t= =

Opgave 14: ) 14,01 ) 3,397a a b b= =

Opgave 15:

2 4

) 0 7

11 21

x

a y t

z

− −

= + −

( )2762 833 3358

, , eller 2.416,0.729,8.8141143 1143 381

E E

− −

Documents

Blandede opgaver - szymanskispil.weebly.com · Blandede opgaver Opgave 1 Reducér udtrykket 4 3 3 2 37 2p q p q p q q 2 Opgave 2 En funktion f er givet ved f x x x 4 cos