MATEMATIK-KOMPENDIUM - rikkeduve.files.wordpress.com · 1.12. Blandede, sværere opgaver side 28 . Matematikkompendium for kommende elever på gymnasiet, HF, HTX eller HH Side 2 1

Silkeborg 04-05-03

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE

UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium. PS: Hvis du opdager fejl i kompendiet/løsningerne, så send venligst besked til [email protected]

Matematikkompendium for kommende elever på gymnasiet, HF, HTX eller HH

Side 1

Indhold 1.1 Indledning side 2 1.2. Regnearternes hierarki og parenteser side 5 1.3. Brøkregning side 6 1.4. Reduktion side 7 1.5. Ligninger side 10 1.6. Uligheder side 12 1.7. Den rette linje side 14 1.8. Proportionalitet side 16 1.9. Potensregning side 20 1.10. Procentregning side 22 1.11. Trekantsberegninger side 23 1.12. Blandede, sværere opgaver side 28


Side 2

1. Indledning Mange elever oplever, at det er svært at starte på en gymnasial ungdomsuddannelse. Dette skyldes naturligvis blandt andet, at man skal til at vænne sig til en anden skole, til andre lærere, til andre klassekammerater, til flere lektier o.s.v. Erfaringen viser, at en del elever specielt synes, at faget matematik volder problemer ved overgangen fra grundskolen til en gymnasial uddannelse. Som følge heraf, er vi en gruppe matematiklærere, der repræsenterer alle de gymnasiale ungdomsuddan-nelser i Silkeborg (HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium), som har lavet dette lille kompen-dium. Kompendiet henvender sig primært til elever, der ved (eller tror), at de vil starte på en gym-nasial ungdomsuddannelse. Meningen er, at såfremt man har lyst til at bruge lidt tid på at ruste sig til sin fremtidige uddannelse, kan man med udbytte arbejde med opgaverne i dette kompendium. Ud fra læseplanen for matematik i folkeskolen m.m. kan vi se, at folkeskoleelever er bekendt med alle de emner, som vi præsenterer i dette kompendium. Det drejer sig derfor primært om at opnå rutine. Matematik er jo på mange måder som et sprog: Hvis man ikke jævnligt bruger sit tysk, vil man med tiden glemme, hvordan man taler tysk. Hvis man skal være sikker bruger af sproget matematik, skal man altså øve sig. De emner, som er specielt relevante at arbejde med er:

1.2. Regnearternes hierarki og parenteser. Regnearternes hierarki: 1. Potensopløftning (an)og roduddragning ( a )

2. Multiplikation og division (dvs. gange og dividere) 3. Addition og subtraktion (dvs. plus og minus)

1.3. Brøkregning Regneoperation Generelt Eksempel Addition og subtraktion af brøker ved at finde fælles nævner.

67

32

21

=+

Tal ganget med brøk c

bacba ⋅=⋅

116

1132

1132 =

⋅=⋅

To brøker ganget med hinanden

dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅

356

5732

53

72

=⋅⋅

=⋅

En brøk divideret med et tal

cbac

ba

⋅=:

143

2732:

73

=⋅

=

En brøk divideret med en brøk

cbda

dc

ba

⋅⋅

=: 65

3251

53:

21

=⋅⋅

=


Side 3

1.4. Reduktion Kvadratsætninger Eksempler (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab (x+3)2 = x2 + 9 + 6x (a−b)2 = a2 + b2 − 2ab (a−1)2 = a2 + 1 − 2a (a+b)(a−b) = a2 − b2 (b+5)(b−5) = b2 − 25 Andre eksempler:

x+x+x+x+x = 5x x⋅x⋅x⋅x⋅x = x5

1.5. Ligninger Udtryk, hvor x skal isoleres. 3x + 5 = 2x - 7

1.6. Uligheder Udtryk, hvor x skal isoleres. Lighedstegnet er erstattet af et ulighedstegn. 3x + 5 > 2x - 7

1.7. Den rette linje

a:

b:

Ligning for en ret linje: y = ax + b Kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og angiver, hvor meget y-værdien vokser eller aftager, når x-værdien forøges med 1. Kaldes konstantleddet, og angiver linjens skæringspunkt med y-aksen Eksempel: y = 2x + 1

1.8. Proportionalitet

Generelt Eksempel Ligefrem proportionalitet y = ax y = 3x Omvendt proportionalitet

xay 1

= x

y 15=


Side 4

1.9. Potensregneregler

Generelt Eksempel an⋅am = an+m a3⋅a4 = a3+4 = a7

mnm

n

aaa −= 235

3

5

aaaa

== −

an⋅bn = (a⋅b)n a4⋅b4 = (a⋅b)4 n

n

n

ba

ba

=

7

7

7

=

ba

ba

( ) mnmn aa ⋅= ( ) 124343 aaa == ⋅ n

n aa

−=1 2

2

1 −= aa

1.10. Procentregning

1.11. Trekantsberegninger

1.12. Blandede, sværere opgaver Her kan der være tale om tekstopgaver, hvor man selv skal oversætte til matematisk sprog. Der kan også være tale om opgaver, der er relateret til bestemte uddannelsformer. Det er vigtigt at bemærke, at man godt kan starte på en gymnasial uddannelse uden at kunne regne alle de opgaver, der er i kompendiet!


Side 5

2. Regnearternes hierarki og parenteser. 2.1. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. a) 3⋅6+2

d) 3−4⋅2⋅5+1

b) 5−4⋅2 e) 8⋅2−3⋅5+4⋅3

c) 7+4⋅2 f) 4−5−6−1

2.2. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner.

a) 2⋅32 d) (−5)2 g) 2+32

b) 3−22 e) −42 h) 5−32

c) 42−32 f) 23+(−1)2 i) −42+11

2.3. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. a) 3+(5−3)

d) 7−(2+(−2)2)

b) 3−(2+4) e) 5⋅(−2)−(3−1)

c) 4−(1−3) f) (−2)⋅(−3)

2.4. Reducer følgende udtryk, så de ikke indeholder parenteser. a) x−(2+3x)

d) 8x2−(4x2+5)−(x2−6)

b) 7a+(4−3a) e) 3−(6z+2)−(4−2z)

c) 6−(5−3b)+4b f) 5−(x−x)


Side 6

3. Brøkregning

3.1. a) Hvilket tal står som tæller i brøken 118 ?

b) Hvilket tal står som nævner i brøken 53 ?

3.2. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. Resultatet skal angives som en uforkortelig brøk.

a)43

21+

d) 23

2312

+

g) 2114

21

−+

b) 41

53+

e) 81

41

21

−+

h)

−+− 3132

1391

c) 113

21−

f)

−−

61

35

73


a) 714

32

⋅⋅

d)

⋅⋅

43

61

32

b)

+⋅

43

61

32

e)

+−−

941

3136

c) 3

23

49

+


a) 3:74 b)

93:

72 c)

54:6

3.5. Forkort nedenstående brøker mest muligt.

a) xx

34

d) 243aa

b) xx

712 2

e) x

xx2

23 −

c) x

xx7

312 22 −


Side 7

4. Reduktion 4.1. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. a) 4+3x−5

d) 2x+x2−(x−4x2)

b) 7−x−2x e) 6+x−(3+x−(x−3))

c) 5x−(x+2x) f) 2a+3−(3a−1)

4.2. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. a) zz 69)2(5 +−−⋅

d) 6(4+x)−6x g) (−1)⋅(11−3x)+11−2x

b) 3⋅(2+x)−2x e) 3x+(2−x)⋅5 h) 4−(x+8)+2x

c) 7(2+a)−(10+6a) f) 7x−(3+x)⋅7 i) 6(3−x−x−2)+4

4.3. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte en faktor uden for parentes.

Eksempel: 3x+6y+3=3(x+2y+1) a) 2x+2y

d) 2b+ab g) 10x+110y

b) 4x−8 e) 5x−yx h) 7s−qs

c) 9a−6b f) ab−ac

4.4. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte en faktor uden for parentes.

Eksempel: 3(x+1)+6(x+1)=(x+1)(3+6)=9(x+1)

a) (a+b)x−(a+b) d) (2x+1)5+(2x+1)a

b) y(x+z)−2(x+z) e) 5(a−b)−c(a−b)

c) (a+2)b−(a+2)c f) (x−y)a+(x−y)2a

4.5. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (5x)⋅3

d) (6x)⋅(3⋅2)

b) (5x)⋅x e) 4⋅(6xy)

c) (4x)⋅(3x)


Side 8

4.6. Omskriv nedenstående udtryk ved at gange parenteserne sammen: a) (x−2)(x+3)

d) (a−1)(2+a)

b) (x−1)(x+7) e) (y−4)(1−y)

c) (x+3)(x+1) f) (q+1)(1−q)

4.7. Omskriv nedenstående udtryk ved at gange parenteserne sammen: a) (3x−2)(x+3)

d) (100x+5)(10x−1)

b) (4x−1)(2x+3) e) (5q+2)(3q−4)

c) (2y+1)(1−7y) f) (4−c)(−6+2c)

4.8. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (a+3)2+(a+1)(a+2)

d) 5+2a+(a−1)2 g) (y+7)2−2y2−14y

b) a2−3a+(a+1)2 e) (a+3)(a−3)+a2+9 h) (x+2)2−(x+2)(x+2)

c) (a−1)2+(a+3)2 f) (x−1)(x+1)−x2

4.9. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (3y+1)2−6y−1

d) (−2x+3)2−4x2−9

b) (2z+2)2−2(2+2z) e) (3t+1)(3t−1)

c) (−a+1)2+a2−1 f) (5−2c)(5+2c)

4.10. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (a+3)2−(a+1)(a+2)

d) 5+2a−(a−1)2

b) a2−3a−(a+1)2 e) (w+2)(2w−1)−(w+1)2

c) (a−1)2−(a+3)2 f) (2z−1)2−(z−2)2

4.11. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (2d+1)2−(3d+1)2+5d2

b) (x+2)2−(2x+1)2 c) (3c−1)2−(1−3c)2

4.12. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (x+y)2−(x−y)2

d) (a−c)2+(2a+c)2

b) (a+2b)(a−b)−ab+2b2 e) (a+b+c)2−a2−b2−c2

c) (x−y)2−(x+y)x f) (x+y)2−(x+y)(x−y)


Side 9

4.13. Reducer nedenstående udtryk mest muligt:

a) 3

33 +x

d) 93

3+x

b) 9

63 +x

e) 2

102 −x

c) 2

68 +x

f) 5

155 −x

4.14. Reducer nedenstående udtryk mest muligt:

a) 6842

++

xx

d) )1(8)1(2

++

xx

b) x

xx +2

e) 55

33−−a

abb

c) 1236

++

xx

f) 10)()(15

⋅−−

baba

4.15. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg:

a) 212

+x

d) aa 2

11+

b) x2

543+

e) aa 31

21+

c) x3

291+

f) xx 5

210

3+

4.16. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg:

a) ba11

+

d) xy 12

161+

b) ba 211

+

e) ab 52

31+

c) ab 2

131+

f) ab

ba6

32 22 +


Side 10

5. Ligninger:

Eksempel: Løs følgende ligning: 2(x - 3) = - x + 6 G = R

4

123

662

662

6)3(2

=

=

+=+

+−=−

+−=−

x

x

xx

xx

xx

c

c

c

c

4=L

Opgaver: Løs følgende ligninger 5.1 3x - 5 = 2x + 5 5.2 3(x + 2) = x + 8 5.3 x - 2(x - 1) = 2x + 5 5.4 -3(x + 2) = x - 4(x + 2) 5.5 8242

1 −=+ xx 5.6 3x - 5 = 6x + 12


Side 11

5.7 x - 5(2x - 4) = 3x + 8 5.8 4

3 x - 4 = 2x + 3 5.9 3

2 x - 2 = x - 4 5.10 5

2 x + 1 = 2x - 2 5.11 2x - 5 = 4

3 x - 4 5.12 2

1 x - 3 = 3x - 5 5.13 2 2

1 x + 1 = 5x - 4 5.14 1 2

1 x + 5 = 2 21 x + 3

5.15 3(x - 5) + 4 = 3x - 11


Side 12

6. Uligheder:

Eksempel: x > 5 x er større end 5 ( 5 kan ikke bruges) ] 5 ; ∞ [

Eksempel: x < 4 x er mindre end eller lig med 4 (4 kan godt bruges) ] -∞ ; 4 ] ∨ : betyder eller. ∧: betyder og.

Opgaver: Skriv med ord, hvad følgende betyder (prøv evt. at skrive i mængdetegn) : x < 5

4≥x

3≤x

-2 < x < 5

-3 < x < 6

x>3 ∨ x<6

x>3 ∧ x<5

-3<x<3

x>4∧x<7


Side 13

Eksempel: Løs følgende ulighed: 3x - 4 > 2x + 3 G= R

];3[3

72

433

343

21

21

27

∞=

>

>

>

+>−

+>−

Lx

x

x

xx

xx

c

c

c

c

Opgaver:

Løs følgende uligheder 6.1 3x - 4 > 2x + 3 6.2 6x - 5 < 2x + 4 6.3 3x - 1 < -x + 3 6.4 6x - 5 > 3x + 4 6.5 4x + 3 < 2x - 6 6.6 -2x + 5 < -6x + 8 6.7 -4x + 5 > - 10x + 8 6.8 12x - 5 < 7x + 4 6.9 21x - 16 > - 3x + 12 6.10 18x + 13 < 14x + 8 6.11 2x - 5 < 4

3 x - 4 6.12 2 2

1 x + 1 < - 5x - 4 6.13 1 2

1 x + 5 > - 2 21 x + 3


Side 14

7. Den rette linie:

Eksempel: Tegne grafen for linien: y = 3x - 2

Metode 1. Der laves et "sildeben". I dette beregnes nogle støttepunkter. X 0 2 4 y = 3x - 2 2203 −=−⋅ 4223 =−⋅ 10243 =−⋅ Vi ved nu, at punkterne ( 0 , -2 ), ( 2 , 4 ) og ( 4 , 10 ) ligger på linien. Disse punkter indtegnes i et koordinatsystem - og forbindes.

Metode 2. Ret linie. Skærer y-aksen i punktet ( 0 , -2 ) Hældningstallet er 3. Dvs. fra ( 0 , -2 ) går man en hen og 3 op. Her har vi et punkt mere. Punkterne forbindes.


Side 15

Opgaver:

7.1 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = -2x + 4 b. y = x - 6 c. y = - 4x + 2 7.2 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = 2 2

1 x + 2 b. y = - 2

1 x - 3 c. y = -4x + 6 7.3 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = -1 2

1 x + 4 b. y = 2 2

1 x - 6 c. y = - x + 2 7.4 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = -x + 3 b. y = - 2

1 x c. y = 4x 7.5 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = 4 b. y = 3 2

1 x - 6 c. y = - 3

2 x + 2 7.6 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - 4

3 x + 4

b. y = 53− x - 6

c. y = -3x + 2 21


Side 16

8. Proportionalitet

Ligefrem proportionalitet: Ligning: xay ⋅= Forholdet mellem x - og y - værdierne er konstant

Eksempel: Grafen for linien xy 3= Grafen er en ret linie, der går gennem ( 0, 0 ). Hældningstallet er 3.

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Opgaver 8.1 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = 2x b. y = -2x c. y = x2

1 8.2 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - 3

2 x b. y = 2

3 x c. y = x3

2


Side 17

8.3 Undersøg om følgende tal er proportionale:

x 1,5 2,7 4,3 6,1 9,9 y 2,25 4,05 6,45 9,15 14,85

Tegn (x,y) - værdierne ind i et koordinatsystem. 8.4 Undersøg om følgende tal er proportionale:

x 1,5 2,5 3 4 6 y -1,125 -1,875 -2,25 -3 -4,5

Tegn (x,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.5 Undersøg om følgende tal er proportionale:

x 1 3 4 5 6 y 1,5 4,5 5,6 6,5 7,2

Tegn (x,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.6 Nedenfor er tegnet fire grafer i samme koordinatsystem. Hvad er hældningstallene for graferne? Find ligningerne for graferne.

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8a

b

c

d


Side 18

Omvendt proportionalitet

Ligning: x

ay 1=

Karakteristisk er det at x ganget med y giver et konstant tal, dvs. at x vokser i samme "takt" som y aftager:

x 41 2

1 1 2 4 y 4 2 1

21 4

1

Eksempel:

Grafen for x

y 1=

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Opgaver Tegn graferne for 8.7

a. y =x12 ⋅

b. y = x15,0 ⋅

c. y = x13 ⋅−


Side 19

8.8 Undersøg om følgende tal er omvendt proportionale:

x 41 2

1 1 2 4 y 5,2 2,6 1,3 0,65 0,325

Tegn (x,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.9 Undersøg om følgende tal er omvendt proportionale:

x 41 2

1 1 2 4 y 3,2 1,6 0,7 0,3 0,125

Tegn (x,y) - værdierne ind i et koordinatsystem


Side 20

9. Potensregning Alle opgaverne i dette afsnit regnes uden lommeregner 9.1 Reducér følgende udtryk a) 22 ⋅ 25

b) 341 222 ⋅⋅ c) 553 222 ⋅⋅

d) 453 101010 ⋅⋅ − e) 3210 101010 ⋅⋅

f) 32 ⋅ 39 ⋅ 92

g) 4

32

xxx ⋅

9.2 Reducér følgende udtryk

a) 3

47

222 ⋅

b) 12

87

101010 ⋅ c) 38

63

3333⋅⋅

d) 1

321

333 ⋅

e) 23

233

)4(4)4( ⋅ f) 23

10052

1111 ⋅⋅


a) 37

812

10101010

−⋅⋅

b) 4

1521

101010 −⋅ c) 24

532

)10(10)10( −⋅

d) 5

34

333

−

−− ⋅

e) 2

235

6)6(6 −− ⋅


a) 323

7233

)2(22)2(2

⋅⋅⋅

−

−

b) 23

732

22222

⋅⋅⋅

−

−

c) 2

42

)3()3()3(

−

−

−−⋅−

d) n

nm

aaa 1+⋅


Side 21

9.5 Reducér følgende udtryk a) 23 ⋅ 73 ⋅ 143

b) 43 ⋅ 53 ⋅ 103 ⋅ 23 c) 3a⋅ 6a⋅ 10a

d) (-5)-3 ⋅ 4-3 ⋅ (-11)-3

e) (-5)-4 ⋅ 2-4 ⋅ 2-4


a) 2

22

)2(5)4(

−⋅−

b) 44

442

6)5(4)32(

⋅−⋅⋅ c) 2

222

)(abccba ⋅⋅

d) 2

111

−

−−− ⋅⋅x

yxx

9.7 Reducér følgende udtryk a) (( 2 )2 )2

b) 2)3( 21

c) 322 )35( ⋅

d) 2523 ))(( −−

e) ( 32

51 ))(( f) 234 )))3((( −−

g) 42 ))(( −a


Side 22

10. Procentregning 10.1 Udregn ved hjælp af lommeregner a) Hvad er 11% af 17?

b) Hvad er 6% af 37,5? c) Hvad er 8,7% af 3,26?

d) Hvor mange % er 17 af 34?

e) Hvor mange % er 5 af 200? f) Hvor mange % er 2,3 af 78?

g) Hvor mange % er 31 af 25

h) Hvor mange % er 373 af 87

10.2 Skemaet nedenfor indeholder oplysninger om nogle varer som er sat ned fra en gl. pris til en ny pris. Udfyld resten af skemaet. Gl. pris 120 385

750 455

Rabat, kr. 30

45 50

Rabat, % 45%

18% 12% 10% 20%

Ny pris 875

925 1235 420

10.3 Samme som opgave 10.2 Gl. pris 115

560 235

Rabat, kr. 19,95

150 60 120

Rabat, % 10%

14% 5% 12%

Ny pris 95

860 130 240 420


Side 23

11. Trekantsberegninger 11.1 I den retvinklede trekant ABC er a = 7 og b = 24. Mc er midtpunktet af siden AB.

Beregn længden af medianen CMc.

Bevis at vinkel AMcC = 2⋅B, og at vinkel BMcC = 2⋅A 11.2 I den retvinklede trekant ABC er a = 7 og b = 24. Hc er fodpunktet af højden fra C.

Beregn |CHc|.

11.3

I trekant ABC er |AC| = |BC|, |AB| = 102 og |CHc| = 140.

Bestem længderne |AHa| og |BHb| af de to andre højder.

11.4 I en retvinklet trekant ABC er |AHc| = 48 og |BHc| = 27.

Beregn længderne af trekantens kateter samt længden af højden fra C.

B

C

A Hc

724

A B

C

Hc

HaHb

C A

B

Hc

27

48


Side 24

11.5

I trekant ABC er A = 60° og B = 30°.

Bevis, at den mindste katete er halvt så stor som hypotenusen (hjælp: spejl trekanten i linien BC), og at den største katete er 3 gange så stor som den lille katete.

11.6

I trekant ABC er ∠A = ∠B = 30°, og |AC| = 1.

Beregn længden |AB| (hjælp: tegn højden fra C). 11.7 I trekant ABC ligger punktet D på siden AC, således at |AD| = 1 og |DC| = 2. E er fodpunktet af højden fra C i trekant BCD. Vinkel BAC er 45°, og vinkel ABD er 15°.

Beregn |DE|, |CE|, |AE|, |EB| og vinkel C i trekant ABC. 11.8 Snapseglasset til højre kan rumme 2 cl. På en bestemt restaurant koster en snaps på 2 cl. 20 kroner. En gæst vil kun have en halv snaps. Tjeneren skænker op, således at overfladen af snapsen når halvt op i glasset som vist på tegningen. Gæsten betaler ti kroner for lyksaligheden.

Hvor meget har gæsten betalt for meget?

60° 30° A B

C

A B

C

D

E 45° 15°

1

2

30° 30° A B

C

1


Side 25

11.9 I trekant ABC er Ma, Mb og Mc midtpunkterne af hhv. BC, AC og AB. Bevis, at trekant MaMbMc er ligedannet med trekant ABC i størrelsesforholdet 1:2. 11.10

I trekant ABC er Ha fodpunktet af højden fra A, mens Mb og Mc er midtpunkterne af AC hhv. AB.

Bevis, at ∆HaMcMb er ligedannet med ∆ABC i størrelsesforholdet 1:2. 11.11 I trekant ABC er Mc midtpunktet af AB, mens Hb og Ha er fodpunkterne af højderne fra A og B.

Bevis, at ∆HaMcHb er ligebenet, og at ∠McHaHb = ∠McHbHa = ∠C. 11.12 (∗) I trekant ABC er Ha, Hb og Hc fodpunkterne af højderne fra A, B og C.

Bevis, at trekanterne AHbHc, BHcHa og CHbHa alle er ligedannet med trekant ABC. (Hjælp : brug resultatet fra opg. G11) Bevis endvidere, at trekant ABCs højder er vinkelhalveringslinier i fodpunkttrekanten HaHbHc

A B

C

Mc

Mb Ma

A B

C

Ha

Mc

Mb

A B

C

Ha

Hb

Mc

A B

C

Ha

Hb

Hc


Side 26

11.13 (∗)

Et betonrør ligger nedgravet i jorden. Man har målt bredden og højden af den del af røret, der rager op over jorden. Målene fremgår af tegningen.

Beregn rørets udvendige diameter. 11.14 I den retvinklede trekant ABC med katetelængderne 48 og 55 er indskrevet et kvadrat som vist på tegningen.

Beregn længden af kvadratets side. Kateterne har nu længderne a og b Beregn længden af kvadratets side udtrykt ved kateternes længde. 11.15 (∗) Tegningen herunder viser en 30°- 60° tegnetrekant. Længdemålene er i cm.

A C

B

48

55

1,24 m

0,31 m

2 2

1

15


Side 27

Beregn (uden at måle) hvor mange procent arealet af den lille trekant udgør af arealet af den store trekant? 11.16 (∗) En retvinklet trekant har omkredsen 340 m og arealet 3570 m2.

Beregn siderne i denne trekant. 11.17 (∗) I en retvinklet trekant er længden af hypotenusen 73, og arealet er 1320.

Bestem længderne af trekantens kateter.


Side 28

12. Blandede sværere opgaver

Reduktion: 12.1 Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg:

a) 52

11

++z

d) cxx +

−11

g) 3211634−

++

xx

b) 61

11

−−a

e) 1

423

++

xx

h) 323

51

++x

c) aa2

11

++

f) 51

552

−−x

12.2 Omskriv nedenstående brøker ved at forkorte:

a) 1

122

+++

xxx

d) 112

+−

aa

b) 1

122

−+−

zzz

e) 242

+−

xx

c) 12

144 2

+++

xxx

f) 43169 2

−−

xx

12.3 Omskriv nedenstående brøker ved at forkorte:

a) yx

yxyx+

++ 22 2

d) xy

yxyx−+−

396 22

b) ba

baba2

44 22

+++

e) xyyxyxyx

633484

22

22

−++−

c) yxyx

+− 22

f) 22

22

444

azzaza

−++

12.4 Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg:


Side 29

a) 22

31baba −

++

c) baba

baa +

−−−

+2)(21

22

b) ))((2

3221

2231 2

22 yxyxxy

yxyx +−++

−−−

++

d) abba

bba 2

122 ++

−+

12.5 Reducer følgende udtryk uden brug af lommeregner:

a) 641183

32

248216

⋅⋅⋅⋅ −

b) 2

22

906)3(

−

−− ⋅−

c) 62

2432

332)3()3(

⋅⋅⋅

−

−

d) 2

14

)12()4()3(

−

−−

−−⋅−

e) 1

11

)100()5()4(

−

−−

−−⋅−

12.6 Ved salg af en del produkter, antager man, der er en lineær sammenhæng mellem antal solgte varer (afsætningen) og den pris man tager for varen. Man kan for en vare lave følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk. 100 100 90 120 80 140 70 160 60 180 1. Lav en kurve (ret linie) hvor x angiver afsætningen og y angiver prisen. 2. Hvilken pris er der tale om, hvis afsætningen er på

a. 110 stk. b. 75 stk. c. 25 stk. 3. Hvor mange sælges, hvis prisen pr. stk. er kr. a. 150,- b. 200 4. Bestem forskriften for den lineære funktion f(x), der fastlægger prisen som en funktion af afsætningen x


Side 30

12.7 En virksomhed nedskriver hvert år værdien af sit inventar (alle de ting, der er købt til virksomheden). . Denne afskrivning kan foregå efter en metode, der kaldes den lineære metode. Det betyder, man afskriver med et beløb, der har samme værdi hvert år. En virksomhed har købt inventar hjem til en værdi af kr. 500.000,- Virksomheden regner med at beholde inventaret i 8 år, hvorefter det skal skiftes ud. Man antager, at værdien (scrapværdien) efter de 8 år er nede på kr. 20.000,- 1. Indtegn forløbet i et koordinatsystem, idet du har punkterne (0,500.000) og (8,20.000) 2. Hvor stor er den årlige afskrivning? 3. Hvad er værdien (den bogførte værdi) efter 5 år? 4. Opstil forskriften for den funktion, der fastlægger den bogførte værdi til tiden x, hvor x angiver antal år efter inventaret er købt. 12.8 Se også opgave 12.6. Ved sammenligningen af pris og afsætning, kan der opstilles følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk. 10 10.000 20 9.000 30 8.000 40 7.000 50 6.000 1. Lav en kurve (ret linie) hvor x angiver afsætningen og y angiver prisen. 2. Hvilken pris er der tale om, hvis afsætningen er på a. 25 stk. b. 75 stk. 3. Hvor mange sælges, hvis prisen pr. stk. er kr. a. 4.000,- b. 7.500,- 4. Bestem forskriften for den lineære funktion f(x), der fastlægger prisen som en funktion af afsætningen x 12.9 En virksomhed køber nogle varer hjem, som den sælger videre efterfølgende. Indkøbsprisen for en bestemt vare er kr. 50,-, pr. stk. og de samlede hjemtagelsesomkostninger er på kr. 500,- uafhængig af hvor mange der købes. 1. Bestem, hvad prisen bliver for købet, hvis der købes a. 200 stk. b. 500 stk. c. 100 stk. 2. Bestem forskriften for den funktion (lineære) der fastlægger den samlede indkøbspris for varerne, når der købes x stk. 3. Bestem hvor mange varer der er købt, hvis den samlede pris er på kr. 4350,- 4. Tegn grafen for funktionen, der fastlægger den samlede indkøbspris. 12.10 En virksomhed sælger nogle bestemte varer (se opgave 12.13 ovenfor). Varerne sælges til en pris på kr. 110,- pr. stk. 1. Bestem den samlede salgspris, hvis der sælges a. 200 stk. b. 500 stk. 2. Virksomheden er selvfølgelig interesseret i at vide, hvor stor fortjenesten er .De regner derfor ud, hvad fortjenesten er ved at trække indkøbspriserne fra salgspriserne. Bestem fortjenesten, hvis virksomheden sælger 200 stk. eller 500 stk.


Side 31

3. Opstil en forskrift for den funktion, der fastlægger fortjenesten som en funktion af antal solgte stk. (Salgspris - købspris) 4. Tegn det grafiske billede af funktionen. 12.11 A tænker på et helt positivt tal mindre end 1 million. B må stille A 20 spørgsmål, som A skal besvare med ja eller nej. Er det muligt for B at finde tallet? (Hvis ja: Hvordan?) 12.12 Et tog afgår fra Udby kl. 10.00 mod Sønderby, og samtid afgår et tog fra Sønderby mod Udby. Det første tog tilbagelægger afstanden non-stop på 6 timer, mens det andet, der kører op ad bakke, er 9 timer om turen. Hvad er klokken, når de mødes, hvis man går ud fra, at de to tog kører med konstant fart? 12.13 På en jernbanebro over en rivende flod har en mand tilbagelagt 3/5 af afstanden, da han opdager et tog, der kommer kørende mod ham med 100 km/t. Uanset hvilken ende han løber mod, vil han nå denne ende samtidig med toget. Hvor hurtigt løber manden? 12.14 Nogle piger og drenge står i en gruppe. Da 8 piger har forladt gruppen, er forholdet mellem antallet af drenge og piger 3:1. Derefter forlader 20 drenge gruppen, og forholdet mellem drenge og piger er nu 5:3. Hvor mange drenge og piger bestod gruppen oprindeligt af? 12.15 I fysik gælder følgende formel om modstanden i en ledning.

AlR ⋅= ρ

Her l trådens længde, A er trådens tværsnitsareal og ρ er resistiviteten.

1) To 1. g elever har lavet en serie målinger af modstanden i forskellige stykker konstantan - tråd. Det har først lavet en serie målinger, hvor tråden hver gang havde et tværsnitsareal på 0,1 mm2. Resistiviteten er et tal, som er det samme, når trådene er lavet af samme stof. For konstantan er det 0,49 (Ω ⋅ m)/mm2.

l (m) 0,2 0,5 0,7 1,0 1,2 1,4 R (Ω) 1,0 2,4 3,5 5,0 5,85 6,9

l

A


Side 32

Undersøg om de to talserier er proportionale (bemærk, at det jo er målinger, som er lavet, så små afvigelser kan godt accepteres). Tegn tallene ind i et koordinatsystem med l på x - aksen og R på y - aksen. Tegn en ret linie som følger punkterne bedst muligt. Find en ligning for grafen.

Hældningstallet på grafen vil være det samme som Aρ . Stemmer det med dine resultater? Forklar

ved hjælp af formlen ovenfor, hvorfor hældningstallet er det samme som Aρ

2) De to elever har lavet flere målinger: Nu har de målt på konstantan - tråd med en fast længde på 0,5 m. De har så målt modstanden i nogle stykker tråd med forskellige tværsnitsareal:

A (mm2) 0,3 0,65 0,9 1,0 2,1 3,0 R (Ω) 0,80 0,38 0,30 0,25 0,11 0,08

Undersøg om de to talserier er omvendt proportionale Tegn tallene ind i et koordinatsystem med A på x - aksen og R på y - aksen. Tegn også en graf for

AR 1245,0 ⋅= ind i koordinatsystemet. Følger punkterne fra målingerne grafen? Kan du forklare

hvorfor de må gøre det? 12.16 Arne, Bent og Christian har en lottoklub. De vinder 1.925.000 kr. Da de ikke har betalt lige meget i indskud, har de aftalt, at hvis de vinder skal Arne have udbetalt dobbelt så meget som Christian, og Christian dobbelt så meget som Bent. Hvor meget får de hver ? 12.17 En kaffehandler sælger to slags kaffe : Brazil Extra til 50 kr/kg og Brazil Medium til 34 kr/kg. Han sælger for lidt af den dyre kaffe, så derfor laver han en blanding på 100 kg af de to slags kaffe. Hvor mange kg af Brazil Extra / Brazil Medium skal blandingen indeholde for at kunne sælges for en pris af 40 kr/kg ? 12.18 Lagenlærred kryber 10% i vask. En kunde skal bruge 12 m (efter vask ) Hvor mange meter skal kunden købe for at der er nok ? 12.19

En person investerer 100.000 kr. I de følgende fire år går det op og ned med investeringen: 1.år : +10%, 2.år : - 5%, 3. år :+20%, 4.år : - 1%


Side 33

Hvordan er det gået med investeringen? Hvad er gennemsnitsforrentningen pr. år (samme % hvert år ) over de fire år ? Hvorfor kan man ikke udregne det således :

4

%)1(%20%)5(%10 −++−+ = 4%24 = 6%

12.10 På en skole er halvdelen af lærerne kvinder og halvdelen er mænd. Kvindernes gennemsnitsalder er 35 år, mændenes gennemsnitsalder er 43 år. Hvad er lærernes gennemsnitsalder ? På en anden skole er fordelingen : 62% kvinder, 38% mænd og her er de kvindelige læreres gennemsnitsalder også 35 år og de mandlige læreres gennemsnitsalder også 43 år Hvad er lærernes gennemsnitsalder på denne skole ?

Documents

MATEMATIK-KOMPENDIUM - rikkeduve.files.wordpress.com · 1.12. Blandede, sværere opgaver side 28 . Matematikkompendium for kommende elever på gymnasiet, HF, HTX eller HH Side 2 1