73

BÖLÜM.4

DOĞRUSAL HAREKET

4.1 Mekanik

Mekanik konusu, kinematik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinematik

cisimlerin yalnızca hareketi ile ilgilenir. Burada cismin hareket ederken izlediği yol önemlidir.

Hareket ile cisimlerin üzerine etki eden kuvvetler veya cisimlerin çeşitli özellikleri arasındaki

ilişki ise dinamik adı altında incelenir. Bu bölümde bazı kinematik büyüklükler tanımlanacak

ve tek boyut ta hareket incelenecektir.

4.2 Hareket

Bir cisim, örneğin dünya çevresinde dönen bir uydu, ilerlerken aynı anda dönme

hareketi de yapıyor olabilir. Bir başka cisim, örneğin bir yağmur damlası, hareket ederken

aynı anda şeklini de değiştiriyor olabilir. Hareketin kendine özgü bu karmaşıklığı

kolaylaştırmak için, parçacık adı verdiğimiz bir cismin hareketini göz önüne alacağız.

Parçacık, nokta gibi boyutları olmayan bir sistemdir, yani eni boyu ve derinliği yoktur.Bu

yüzden parçacık hareketi düşünüldüğünde dönme veya şekil değiştirme gibi durumlar söz

konusu olmaz.

Doğada parçacık diye bir şey gerçekte olmayabilir, ancak yinede bu kavram yararlıdır;

çünkü boyutları olan bir cisim bile bazı durumlarda bir parçacık gibi davranabilir. Örneğin

dünya ile güneş arasındaki uzaklık göz önüne alınırsa, bu uzaklığa göre güneş ve dünya birer

parçacıkmış gibi kabul edilebilir. Sonuç olarak parçacık kavramı birçok problemi son derece

basitleştirir.

Hareket, cismin konumunun değişmesi olarak tanımlanır. Hareketlerde, bir cismin

değişik noktaları farklı yörüngelerde bulunur. Hareketin tümü, cismin içindeki her noktanın

hareketinin bilinmesi ile olur. Bu sebeple sadece hareketli bir nokta veya partikül denilen çok

küçük bir madde parçacığını göz önüne alacağız.

4.3 Ortalama Hız

Bu bölümde bir boyutlu hareket üzerinde durulacaktır. Şekil. 4.1 (a) da görüldüğü gibi

x ekseni boyunca hareket eden bir parçacık göz önüne alalım. Şekil.4.1 (b) deki eğri , x

koordinatının t zamanına göre değişimini gösteren grafiktir. Şekil. 4.1 (a) da parçacık t1

74

anında koordinatı x1 olan P noktasında t2 anında da koordinatı x2 olan Q noktasında

bulunmaktadır. Bunlara karşılık olan noktalar şeklin (b) kısmında p ve q ile gösterilmiştir.

Parçacığın bir noktadan diğerine gitmesiyle meydana getirdiği yer değiştirme ilk noktayı son

noktaya bağlayan ∆ x vektörü ile gösterilir. x2 - x1 = ∆ x olan PQ vektörü yer değiştirmeyi

verir. Bu yer değiştirmenin t2 - t1 = ∆t zaman aralığı oranına parçacığın ortalama hızı

denir. Ortalama hız vort gösterilir. t

xvort

∆

∆= dir. Ortalama hız bir vektördür, çünkü bir

vektörün bir skalere bölümü gene bir vektördür.

t

x

tt

xxvort

∆

∆=

−

−=

12

12 yazılır.

Şekil.4.1 (b) de ortalama hız pq kirişinin eğimidir. Yani ∆x in ∆t ye oranı dır. Yukarıdaki

denklemi aşağıdaki gibi yazabiliriz.

x2 - x1 = vort ( t2 - t1 )

t1 = 0 t2 = t x2 = x x1 = 0 x = vort .t yazılır.

4.4 Ani Hız

Parçacığın herhangi bir an veya yörünge üzerinde herhangi bir noktadaki hızına ani

hız denir.

Parçacığın Şekil.4.1 deki P noktasındaki ani hızının istenildiğini düşünelim.P ile Q

arasındaki ortalama hız yer değiştirme ve zaman aralığına bağlıdır. P noktasına gittikçe

yaklaşan ikinci bir Q noktası düşünelim ve gittikçe kısalan yer değiştirme ve bu yer

değiştirme için gerekli zaman aralığı için ortalama hızı bulalım.İlk noktadaki ani hız bu

ikinci noktanın ortalama hızının limit değeri olacaktır.

Matematik gösterişe göre ∆t sıfıra doğru yaklaşırken ∆x / ∆t nin limit değeri dx / dt

şeklinde yazılır. Bu orana x in t ye göre türevi denir. Ani hızı v ile gösterecek olursak;

dt

dx

t

xv =

∆

∆= lim şeklinde yazılır.

Ani hız da bir vektördür.ve doğrultusu ∆x yer değiştirmesinin limit doğrultusudur. t pozitif

bir büyüklük olduğundan v , x in işareti olacaktır.

75

Şekil.4.1 (a) da Q noktası P ye yaklaşırsa , Şekil.4.1 (b) de q noktası da p ye

yaklaşacaktır.Limit halde pq kirişinin eğimi eğrinin p noktasındaki eyim ine eşit olur. Buna

göre koordinat-zaman grafiğinde herhangi bir noktadaki ani hız ; o noktadaki teğetin eğimine

eşittir.Teğet sağa yukarı eğikse eyim pozitif dolaysıyla hız pozitif ve hareket sağa

doğrudur.Teğet aşağı eğikse , hız negatif olur. Teğetin yatay olduğu noktalarda eyim sıfır

olacağından hızda sıfırdır.

4.5 Ortalama ve Ani İvme

Bazı özel haller dışında bir cismin hareket sürecince hızı değişir. Bu halde cismin

ivmeli bir hareket yaptığı veya bir ivmeye sahip olduğu söylenir.Şekil.4.2(a) , x ekseni

boyunca hareket eden bir cismi gösteriyor. v1 , P noktasındaki ,v2 de Q noktasındaki ani

hızları göstermektedir. Şekil.4.2 (b) de v ani hızının zamana bağlı değişimini veren eğriyi

göstermektedir. p ve q (a) daki P ve Q ya karşılıktır.

P den Q ya doğru hareket eden parçacığın ortalama ivmesi , hızdaki değişimin , bu değişimin

meydana geldiği süreye oranı ;

t

v

tt

vva

∆

∆=

−

−=

12

12

olarak tanımlanır. Bu bağıntılardan t1 ve t2 , v1 ile v2 hızlarına karşılık olan anları

göstermektedir. Şekil.4.2 (b) de ortalama ivmenin şiddeti pq kirişinin eğimi olarak alınmıştır.

Bir cismin ani ivmesi yani, herhangi bir an veya yörünge üzerinde herhangi bir konumdaki

ivmesi ani hızdaki gibi tarif edilir. Şekil.4.2 (a) deki Q noktası , ilk P noktasına gittikçe

yaklaştıralım ve kısa zaman aralıklar için ortalama ivmeyi hesaplayalım.İlk noktadaki ani

ivme, ikinci noktanın birinciye gittikçe yaklaşmasının limit hali olarak tanımlanır.

dt

dv

t

va =

∆

∆= lim

Ani ivmenin doğrultusu hız değişimini gösteren v∆ vektörünün limit haldeki doğrultusudur.

76

Ani ivme mekanik tanımlarda önemli bir yer tutar. Ortalama ivme pek az kullanılır. İvme

teriminin geçtiği her yerde bundan sonra ani ivme anlaşılacaktır.

Şekil.4.2 (a) da Q noktası P ye yaklaşırken, Şekil.4.2 (b) de q noktası da p ye yaklaşır ve

pq kirişinin eğimi hız-zaman diyagramında p noktasındaki teğetin eğimine yaklaşır. Buna

göre grafiğin her hangi bir noktasındaki ani ivme bu noktadaki teğetin eğimine eşit olur.

a = dv /dt bağıntısı ile verilen ivme değişik bir şekilde ifade edilebilinir.

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva .. ===

Bu bağıntı ivmenin yer değiştirmeye bağlı olarak bir ifadesidir.

4.6 Sabit İvmeli Doğrusal Hareket

En basit ivmeli hareket, ivmesi sabit olan doğrusal harekettir. Bu harekette hız, düzgün

bir değişme gösterir. Böyle bir hareketin hız-zaman diyagramı Şekil.4.3. de görülen bir doğru

çizgidir. Hız eşit zaman aralarında eşit miktarda artma gösterir. Doğrunun iki noktası

arasındaki kirişin eğimi, bütün noktalardaki eğimlerde olduğu gibi eşittir ve ortalama ivme ile

ani ivmenin değerleri aynıdır.

12

12

tt

vva

−

−=

t1=0 ve t2 yi herhangi bir an olarak alalım. v0 , t = 0 anındaki hız ve v , t anındaki hız

olsun. Buna göre yukarıdaki bağıntı,

00

−

−=t

vva

veya

atvv += 0

şekline girer. Buda sabit ivmeli hareketteki hız ifadesidir. Burada a ivmesi, hızın birim

zamandaki değişimi dir ve sabittir. at terimi, hızın birim zamandaki değişimi ile hareket

süresinin çarpımıdır. ve hızdaki toplam değişimi verir.

77

Sabit ivme ile hareket eden bir parçacığın yer değiştirme miktarını bulmak için Şekil.4.3

de görüldüğü gibi hız-zaman diyagramı bir doğru olduğuna göre herhangi bir zaman aralığı

için ortalama hızın, ilk ve son hızlarının ortalamasının alınması yolu ile bulunabileceği

hatırlanmalıdır. Buna göre 0 ve t anları arasındaki ortalama hız ,

2

0 vvvort

+=

olacaktır. İvme sabit olmadığı ve hız-zaman diyagramının eğri olması halinde bu işlem doğru

olmaz.

t = 0 anında orijinde bulunan bir parçacığın herhangi bir t anındaki x koordinatının ,

tvx ort .=

olduğunu gösterdik. Yukarda gördüğümüz iki bağıntı göz önüne alınırsa,

tvv

x .2

0 +=

bulunur. atvv += 0 ile tvv

x .2

0 += denklemlerini kullanarak aralarında önce v

sonrada t yi yok ederek çok kullanışlı iki bağıntı kurabiliriz. atvv += 0 v nin bu değerini

tvv

x .2

0 += denkleminde yerine yazarsak,

tatvv

x .2

0 ++= veya 2

02

1attvx +=

sonucuna varırız. atvv += 0 bu denklemden a

vvt o−= çekerek

tvv

x .2

0 += denkleminde yerine yazarsak ; a

vvvvx o 0.

2

−+= elde edilir.

axvv 22

02 += olur.

Bu denklemi sabit ivmeli hareketin zamansız hız formülü diye ifade edilir.

78

4.7 İntegrasyonla Hız ve Koordinatın Bulunması

x ekseni üzerinde hareket eden bir parçacığın x koordinatı , zamanın fonksiyonu

olarak verilirse hız , v = dx / dt diferansiyel almak suretiyle bulunabilir.Aynı şekilde ikinci

bir türev a = dv/ dt verir. Şimdi bir ters işlem yaparak ivme verildiğinde hız ve koordinatın

nasıl bulunduğunu göreceğiz. Bu işlemler için integral almak gerekli olacaktır. İlk önce

belirsiz, sonrada belirli integral alacağız.

1.Belirsiz integral .İvmenin a(t) şeklinde zamanın fonksiyonu olarak verildiğini kabul

edelim. Buna göre ,

)(tadt

dv= dolaysıyla dttadv )(=

dttadv )(∫∫ = , 1)( Cdttav += ∫

Bu bağıntıda C1 bir integrasyon sabitidir ve bilinen bir andaki v değeri ile hesaplanabilir.

C1 in , t = 0 anındaki vo değerine dayanarak bulunması en çok kullanılan yoldur.

Yukarıdaki integral hesaplanınca, v(t) hızını, t nin fonksiyonu olarak ifade etmiş oluruz.

Bundan sonra

)(tvdt

dx= dttvdx ).(=

dttvdx ).(∫∫ = 2).( Cdttvx += ∫ bulunur.

Bu bağıntıdaki C2 sabiti de belli bir anda, bilinen x koordinatı yardımıyla hesaplanabilinen

bir integrasyon sabitidir. C2 de genellikle t = 0 anındaki xo koordinatından faydalanarak

bulunur.

İvme , x in fonksiyonu olarak verilirse a = dx

dv kullanarak,

)(xadx

dvv = , ∫ ∫= dxxadvv ).(.

∫ += 3

2

).(2

Cdxxav

yazabiliriz.

79

a ) Şimdi belirsiz integral kullanarak sabit ivmeli hareket denklemlerini çıkarabiliriz.

a sabit olduğuna göre 1)( Cdttav += ∫ denkleminden v = at + C1 yazabiliriz. Fakat

t = 0 anında v = vo olduğundan vo = 0 + C1 olur. Dolaysıyla ;

atvv += 0 bulunur.

a sabitse 2).( Cdttvx += ∫ dan 22

002

1).( Cattvdtatvx ++=+= ∫ bulunur. t = 0

anında x = 0 sa C2 = 0 olacağından ;

20

2

1attvx += olur.

a sabit olduğundan , ∫ += 3

2

).(2

Cdxxav

göre 3

2

2Cax

v+= bulunur.

x = 0 iken v= v0 olduğu bilindiğinden C3 = v02 / 2 sonucuna varılır. Buradan

axvv 22

02 += bulunur.

b) Şimdi belirli integral kullanarak hız ve koordinatları bulacağız. Şekil.4.5 deki hız-

zaman diyagramında t1 ve t2 düşey çizgileri ∆t genişliğinde ince şeritlere ayrılmış olsun.

Grafik üzerinde herhangi bir t anına karşılık olan ordinat , o andaki hızı verir. t ve t + ∆t

anları arasındaki ∆x yer değiştirmesi v. ∆t olur. Bu çarpım genişliği ∆t ve

yüksekliği v olan taranmış şeridin alanıdır. t1 ve t2 anları arasındaki dik dörtgen şeklindeki

şeritlerin alanlarının toplamı, yaklaşık bu zaman aralığındaki x2 - x1 yer değiştirmesini verir.

tvxx ∆≈− .12

Herhangi bir zaman aralığındaki yer değiştirme veya gidilen yol, hız-zaman eğrisi ile

zamanlar ekseni ve hareketin başlangıcı ile son anlarından geçen düşey çizgiler arasındaki

alana eşittir.

Benzer şekilde, ivme – zaman diyagramındaki alan a yüksekliğinde ∆t genişliğinde şeritlere

bölünebilir. İvme sabit kalıyorsa , ∆v nin ∆t süreci içindeki değişimi düşey dik dörtgenin

a.∆t alanına eşit olur. t1 ve t2 anları arasında hızın v2 - v1 değişimi, yaklaşıkla

tavv ∆Σ≈− .12

Toplam alanına eşit olur.

80

4.8 Serbest Düşen Cisimler

Sabit ivmeli doğrusal hareketin örneklerinden biri dünyanın yüzeyine doğru düşmekte

olan bir cismin hareketidir. Hava sürtünmesi olmadığı durumlarda, ağırlıkları, yapıları ve

şekilleri ne olursa olsun her cisim dünya yüzeyine doğru aynı ivme ile düştüğü bilinmektedir.

Hareket esnasında ivme değişmez. Bu harekete serbest düşme denir ve buna düşme kadar

yükselme hareketi de dâhildir.

Serbest düşen cismin ivmesine yerçekimi ivmesi denir ve g harfi ile gösterilir.Dünya yüzeyi

üzerinde yer çekiminin değeri 9,8 m / sn2 ( mks) , 980 cm / sn2 (cgs) , 32 ft / sn2 alınır.

Serbest düşme sabit ivmeli bir hareket olduğunda sabit ivmeli doğrusal hareket formüllerini

kullanacağız. v = v0 + at , x = vo t + (1/ 2 ) a.t2 , v2 = v0

2 + 2ax burada a = -g

x = h alınırsa bu denklemler , v = v0 – g t , h = vo t - (1/ 2 ) g.t2 , v2 = v0

2 – 2 g h

olur.

81

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER

4.1. x ekseni üzerinde hareket eden bir cismin koordinatı x = 10.t2 denklemi ile verildiğini

kabul ediniz. t = 3 sn de cismin ani hızını bulunuz. (∆ t yi önce 0,1 sn, daha sonra 0,01 sn)

Çözüm:

� � 10�� � � 3 �?

���

���

��10��

��� 20�

x , ∆x kadar arttığında t’de ∆t kadar artar.

� � 10��

� � ∆� � 10�� � ∆� �

� � ∆� � 10��� � 2. �. ∆� � ∆��

� � ∆� � 10�� � 20. �. ∆� � 10∆��

∆� � 20. �. ∆� � 10. ∆��

∆�

∆��

20. �. ∆�

∆��

10. ∆��

∆�

�∆�

∆�� 20� � 10∆� ����.

∆� � 0,1 � � 20.3 � 0,1.10

� 61 �� ��⁄

∆� � 0,01 � � 20.3 � 0,01.10

� 60,1 �� ��⁄

∆� � 0,001 � � 20.3 � 0,001.10

� 60,01 �� ��⁄

O halde ∆t küçüldükçe gerçek değere

yaklaşmaktadır.

4.2. Bir otomobilin hız göstergesi km/h yerine m/sn ayarlanmıştır. Otomobilin harekete

başlamasından sonra hız için aşağıdaki okumalar yapılmıştır.

Zaman (sn) 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16

Hız (m/sn) 0 , 0, 2 , 5 , 10, 15, 20, 22, 22

a) 2 sn ara ile otalama ivmeleri bulunuz. ivme sabit midir ? bir zaman aralığında sabit

kalıyor mu ?

b) Yukardaki verileri kullanarak bir hız zaman diyagramı çiziniz. Bunun için yatay

eksende 2 sn = 1 cm ve düşey eksende 5 m/sn = 1 cm alınız. Elde edilen

noktalardan geçen düzgün bir eğri çiziniz. 1 cm2 lik alan ne kadar yolu gösterir? İlk

8 sn de gidilen yol ne kadardır. t = 8, 13,15 sn deki ivme ne olur.

82

Çözüm: a)

� � 2 �� � �?

�� �0 ! 0

2 ! 0�

0

2� 0

�� �2 ! 0

4 ! 2�

2

2� 1

�� �5 ! 2

6 ! 4�

3

2�

3

2

�$ �10 ! 5

8 ! 6�

5

2

�& �15 ! 10

10 ! 8�

5

2

�' �5

2

�( �22 ! 20

2�

2

2� 1

�) �0

2

sabit değildir. Yalnız 6-12 sn arasında sabit

olup � � 5 2⁄ = 2,5 m/sn2 dir.

b)

1 �� � 2 ��

1 �� � 5� ��⁄

1 �� * 1�� � 2 �� * 5 � ��⁄

1 ��� � 10 �+��

2

V

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

2 4 6 8 10 12 14 16 t

83

4.3. Şekilde görüldüğü gibi bir cismin hız-

zaman diyagramın da;

a) t = 3 sn de ani ivme nedir ?

b) t = 7 sn de ani ivme nedir ?

c) t = 11 sn de ani ivme nedir ?

d) ilk 5 sn içinde cisim ne kadar yol alır?

e) ilk 9 sn içinde cisim ne kadar yol alır ?

f ) ilk 13 sn içinde cisim ne kadar yol alır ?

Çözüm: a) � � 3 �� �� � 0

b) � � 7 �� �� � 25 4⁄ � 6,25 � ���⁄

c) � � 11 �� �� � 45 4⁄ � 11,25 � ���⁄

d) � � 5 �� � �?

� � . � � 20.5 � 100 �

� � �. - � 20.5 � 100 �

e) � � 9 �� �/ �?

�/ � 9.20 �1

2. 4.25 � 180 � 50 � 230 �

f) � � 13 �� ��� �?

��� � �/ �1

2. 4.45 � 230 � 90 � 320 �

4.4. Otomobil şoförlerinin ortalama reaksiyon süreleri 0,7 sn kadardır. Bir otomobil 16 m/ sn2

ivme ile yavaşlayabildiğine göre işareti gördükten duruncaya kadar ( ilk hızı 30 km / h

dir.) gidilen yolu bulunuz.

5

V

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

2 4 6 8 10 12 14 t

84

Çözüm: ∆� � 0,7 �� � � 16 � ���⁄ 01 � 30 2� 3⁄ 0 � 0 � �?

reaksiyon süresinde aldığı yol ∆� � . ∆� � 25 3⁄ . 0,7 � 5,83 �

1 �30000

3600�

300

36�

150

18�

50

6�

25

3 � ��⁄

sonra yavaşlama ivmesi ile aldığı yol

� � 1. � !1

2 �. �� � 1 ! �. � � �

1

��

25

3.16�

25

48� 0,52 ��

45 � 41 �25

3 .0,52 !

1

2 16. �0,52 � � 7,97 � 6 8 �

4.5. Bir top , bir binanın tepesinden düşey olarak 30 m / sn lik ilk hızla aşağı doğru atılıyor.

a) 2 saniye düşünce topun hızı ne olur.

b) 2 saniye içinde ne kadar yol alır.

c) 30 m düştüğü zaman hızı ne olur.

d) Fırlatılırken top elde 3 m yol aldığına göre topun bu hareketi esnasında ivmesi ne

olur.

e) Top yerden 120 m yukarıda elden çıktığına göre ne kadar zaman sonra yere çarpar.

f) Yere çarptığı andaki hızı ne olur.

Çözüm:

a) 1 � 30 � ��⁄ � � 2 �� �?

� 1 � 7� � 30 � 9,8.2 � 49,6 � ��⁄

b) � � 1 ��

�7�� � 30.2 �

�

�9,8.4 � 60 � 19,6 � 79,6 �+��+

c) � � 30 � �?

� � 1� � 27� � 900 � 2.9,8.30 � 900 � 588

� 38,57 � ��⁄

d) � � 3� 1 � 0 � � 1� � 2�� � � 2. �. 3 30� � 6� � � 150 � ���⁄

e) � � 120 � � �? 120 � 30. � ��

�9,8�� � 30. � � 4,9�� � � 2,75 ��

f) � 1 � 7� � 30 � 9,8.2,75 � 56,95 � ��⁄

85

4.6. Derin bir uçurumun ucundan bir taş serbest bırakılıyor. 1 sn sonra 60 m / sn lik bir ilk

hızla ikinci bir taş düşey olarak aşağı doğru atılıyor. Uçurumun tepesinden ne kadar aşağıda

ikinci taş birinciye yetişir?

Çözüm: � � 1 �� 1 � 60 � ��⁄

4� �1

27�� 4� � 01�� ! 1 �

1

27�� ! 1 � 4� � 4�

1

27�� � 01. � ! 01 �

1

27�� ! 7� �

1

27

7� ! 01. � �1

27 ! 01 � �

127 ! 01

7 ! 01�

129,8 ! 60

9,8 ! 60� 1,09 ��

4� �1

29,8�1,09 � � 4,91,18 � 5,82 �

4.7. Bir top , bir binanın balkonundan serbest bırakılıyor.Bu topun 9 m yükseklikte bir

pencerenin önünden geçiş süresi 0,25 sn olduğuna göre pencerenin tepesinin balkondan

olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm:

� � 0,25 � � 9 � 89 � 3 �?

0:� � 01

� � 273 3 �0:

�

27 -������.

9; � 3� � 9 � 3� � 0:. � �1

27��

9 � 0:. 0,25 �1

29,8. �0,25 � � 0:. 0,25 � 0,3 0: � 34,8 � ��⁄

3 ��34,8 �

2.9,8�

1211

19,6� 61,78 �

4.8 Bir hokkabaz, tavanı elinden itibaren 3 m yüksekte bulunan bir salonda bulunuyor.

elindeki topu tam tavana ulaşacak şekilde düşey olarak yukarı doğru atıyor.

a) Top hangi ilk hızla atılmıştır.

b) Topun tavana varması için geçen süre nedir. Hokkabaz birinci topun tavan vardığı anda

aynı şekilde ikinci bir topu atıyor.

c) İkinci topun atılmasından ne kadar zaman sonra toplar karşılaşırlar.

d) Toplar karşılaştıkları anda hokkabazların elinden ne kadar yüksekte bulunurlar.

h

A

B

C

h1

Vo=0

VB

86

Çözüm:

a) 0� � 01� ! 273 01

� � 2.9,8.3 � 6.9,8 � 7,66 � ��⁄

b) 0 � 01 ! 7� � �<=

>�

(,'(

/,)� 0,78 ��

c) 01 � 7,67 � ��⁄ 4� � 01. � !�

�7�� 4� �

�

�7�� 4� � 4� �

3 �

�

�7�� � 01. � !

�

�7�� � 3 01. � � 3 � �

�

(,'(� 0,39 ��

d) 4� � 01. � !�

�7�� � 7,67.0,39 !

�

�9,8�0,39 � � 2,25 �

4.9 Bir öğrenci yer çekimini bizzat incelemek için 300 m yüksekliğinde bir gökdelene

çıkarak yürüyor ve elinde bir kronometre ile kendini serbest düşmeye bırakıyor.(ilk hızı sıfır)

5 sn sonra fevkalbeşer bir insan aynı yere gelerek öğrenciyi kurtarmak için aşağıya pike

yapıyor.

a ) İnsanüstü varlığın öğrenciyi yere tam çarpacağı zaman kurtarabilmesi için ilk hızı ne

olmalıdır.

b) Binanın yüksekliği ne olmalıdır ki, insanüstü varlık çocuğu yere çarpmaktan kurtaramasın?

Çözüm:

01 � 0 3 � 300 � � � 5 ��

4 �1

27�� 300 �

1

2. 9,8. �� � 600 � 9,8�� � � 7,82 ��

� � 7,82 ! 5 � 2,82 ��

3 � 01. � �1

2. 9,8. �2,82 � 300 � 01. 2,82 �

1

2. 9,8. �2,82 �

01 � 92,56 � ��⁄

b) 3 �? Ç���ğ�� ���ığı B�� 4� ��

�7��

İ����ü��ü ���ığı B�� 4� � 01�� ! 5 �1

27�� ! 5 � 4� � 4�

1

27�� � 01�� ! 5 �

1

2. 9,8. �� ! 5 � -������ � � 7,81 ��

� � 7,81 �� 4 �1

2. 9,8. �7,81 � � 298,9 �

Bina bu yükseklikten küçük ise çocuğu kurtaramayız.

3 m

V=0

Vo

h=300 m

87

4.10. Sabit ivmeli hareket eden bir otomobil aralarındaki uzaklık 60 m olan iki nokta

arasındaki yolu 6 sn de alıyor. İkinci noktadan geçerken hızı 15 m/sn olduğuna göre

a) Birinci noktadaki hızını

b) Otomobil’in birinci noktanın ne kadar gerisinden harekete başladığını bulunuz.

Çözüm: a = sabit V2 = 15 m/sn V0 = 0

60 = V1 . 6 + (2

1 2

2

2

12 ).tt

VV − x2 = V1 . t2 +

2

2..2

1ta V2 = V1 +

2

2.ta

60 = 6. V1 + 36).6

15( 1V− V1 = 5 m/sn a =

2

12

t

VV −

b) a = 2

2

12 67,16

515

sn

m

t

VV=

−=

− 1

2

0

2

1 2axVV =−

x1 = metrea

VV49,7

67,1.2

025

2

2

0

2

1 =−

=−

4.11. Bir taş kuyunun başında yukarı doğru 15 m/sn ‘

lik

bir hızla atılıyor ve taş kuyuya düşüyor. Taş atıldıktan

sonra ses

işitiliyor. Kuyunun derinliğini bulunuz. Vs = 340 m/sn

g = 10 m/sn2 Vs sesin havadaki yayılma hızı

t1

V0 x1 V1 x2= 60 m

t2= 6 sn

V2 V2 = 15 m/sn

Vo = 0

V0 x1 V1 x2= 60 m V2

t2= 6 sn

V0

h

88

Çözüm: V0 = 15 m/sn Vs = 340 m/sn g = 10 m/sn

2

t = 5 sn

cisim atılıyor ; V = V0 – g.t

tç = sng

V5,1

10

150 ==

taş 3 sn sonra başlangıç noktasına gelir. Bu noktada

V = g.t =10.1,5 V = 15 m/sn olur.

V0 = 15 m/sn t = 5 – 3 = 2 sn

Taş kuyunun başından bırakılıyor.

h = V0.t1 + 2

1..2

1tg t1 + t2 = 2 ses geliyor.

h = Vs. t2 t1 – iniş süresi t2 – çıkış süresi t2 = 2 – t1

V0.t1 + )2(..2

11

2

1 tVtg s −= a

cabbt

.2

..42

2,1

−±−=

)2(340.10.2

1.15 1

2

11 ttt −=+ 2

)136.(47171 2

2,1

−−±−=t

1

2

11 .340680.5.15 ttt −=+ 2

558571

2

5445041712,1

±−=

+±−=t

0680.355.5 1

2

1 =−+ tt 2

73,3

2

73,74712,1 =

±−=t

0136.71 1

2

1 =−+ tt t1 = 1,865 t2 = 2 – 1,865

h= Vs . t2 = 340.0,135 = 45,9 m t2 = 0,135 sn

4.12. Bir su birikintisinden 50 m yüksekliğindeki bir yerden 2 m/sn

hızla bir taş atılıyor. 1 sn sonra ikinci bir taş atılıyor ve bir çarpma sesi

işitiliyor.

a) Birinci taşın suya düşme süresini b) ikinci taşın ilk hızını

c) taşların suya düşme hızlarını bulunuz. g = 10 m/sn2

V0

h

89

Çözüm: h = 50 m V1 = 2 m/sn t1 = ?

1 taş düşüyor. y = V1.t1 + 2

1..2

1tg

b) t2 = t1 – 1 t2 = 2,97 – 1 = 1,97 sn 50 = 2.t1 + 5.t1

2

y = V2.t2 + 2

2..2

1tg 5.t1

2 + 2.t1 – 50 = 0

50 = V2.1,97 + 5.(1,97)2 t1

2 + 0,4.t1 – 10 = 0 50 = V2.1,97 + 5.3,88

t1 = 2

4116,04,0

2

42 +±−=

−±−

a

acbb

50 = V2.1,97 + 19,4 t1 = sn97,22

34,64,0=

±−

V2 = sn

m5,15

97,1

59,30= 1 taşın düşme süresi

V1

1 = V1 + g.t1 = 2 + 10.2,97 = 31,7 m/sn

V21 = V2 + g.t2 = 15,5 + 10.1,97 = 35,2 m/sn

4.13. A ve B otomobilleri komşu iki şeritten aynı yönde giderken bir trafik ışığında

duruyorlar. Yeşil ışık yanınca A otomobili 1 m / sn2 lik sabit ivme hızlanıyor. İki sn sonra

B otomobili hareket edip 1,3 m / sn2 lik ivme ile hızlanıyor.

a) B nin A ya ne zaman ve nerede yetişeceğini

b) Bu anda otomobillerin hızlarını bulunuz.

Çözüm:

0E � ��. � 0E � 1�

FE �1

2. ��. �

� F: �1

2. 1. ��

0: � ���� ! 2 0: � 1,3. �� ! 2

F: �1

2���� ! 2 � F: �

1

2. 1,3. �� ! 2 �

FE � F: olduğu zaman B A’ya yetişir.

1

2. �� �

1

2. 1,3. ��� ! 4� � 4 �� ! 17,3� � 17,3 � 0 � � 16,3 ��

F: �1

2. 1. �16,3 � � 132,8 �

b) 0E � 16,3.1 � 16,3 � ��⁄ 0: � 1,3�16,3 ! 2 � 18,6 � ��⁄

h = 50 m

a1=1

a2=1,3

A

B

90

4.14. a ) Bir tren gecikmesiz olarak yol almaktadır. İlk bir saatte v hızıyla, bir sonraki yarım

saatte 3v hızına sahiptir. Bundan sonra v / 2 hızı ile 90 dakika yol alır ve son 2 saat v /3

hızıyla gider. Bu seyahat için v-t grafiğini çiziniz.

b) Bu seyahatte ne kadar yol alır.

c) Bütün seyahat boyunca trenin ortalama hızını bulunuz.

Çözüm:

1 saat V hızı

1/2 saat 3V hızı

1,5 saat V/2 hızı

2 saat V/3 hızı

b) ∑� � 0. 1 ��

�30 �

�

�.<

�� 2.

<

�� 0 �

�<

��

�<

$�

�<

�� 3,920

c) 0 �H

I�

�,/�<

&� 0,784 0

4.15. Bir yer altı treni A istasyonundan ayrılıyor. İlk 6 sn de 1 m / sn2 lik ivme ile

hızlanıyor ve sonra 12 m / sn lik hıza erişinceye kadar 1,5 m / sn2 ile hızlanmaya devam

ediyor. B istasyonuna yaklaşıncaya kadar aynı hızı koruyor. Sonra fren yapıyor ve sabit bir

ivme ile yavaşlayıp 6 sn sonra duruyor. A dan B ye kadar toplam gidiş süresi 40 sn dir.

a-t ,v-t ve s-t eğrilerini çiziniz ve AB uzaklığını hesaplayınız.

3V

2V

V V/2 V/3

1 2 3 4 5 1/2 t(saat)

V

91

Çözüm: İvme – Zaman eğrisi: İvme ya sabit veya sıfır olduğuna göre a-t eğrisi yatay doğru

parçalarından ibarettir.

0 J � J 6 0' ! 01 � 6 0' � 6 � ��⁄

6 J � J �� 0I� ! 0' � 1,5��� ! 6

0I� � 12 12 ! 6 � 1,5�� ! 9

1,5�� � 15 �� � 10 ��

10 J � J 34 3ıK �-� ���. L�+ 0M�ı�.

34 J � J 40

0 ! 12 � �. 6 � � !2� ��⁄

0 J � J 6 F' ! F1 ��

�6.6 � 18 �

6 J � J 10

F�1 ! F' ��

�4.6 � 4.6 � 36

F�1 � 36 � 18 � 54 �

10 J � J 34

F�$ ! F�1 � 24.12 � 288 F�$ � 342

34 J � J 40

F$1 ! F�$ �1

26.12 � � F$1

� 378 �

6 t2

34 40

-2

1

1,5

2

a

t

6 10 34 40

6

12

V

t

6 10 34 40

18

54

S

t

342

378

92

4.16. Bir maddesel nokta şekilde görüldüğü

gibi bir doğru üzerinde hareket ediyor. 0 < t < 10

için v – t ve s – t eğrilerini çiziniz.

V0 = 10 sn

m S0 = 0

Çözüm: V0 = 10sn

m S0 = 0

a – t eğrisinin altındaki alan V deki değişimi verir.

0 < t < 2 V2 – V0 = 0 V2 = 10 sn

m

2 < t < 4 V4 – V2 = -10 V4 = 0

4 < t < 6 V6 – V4 = 20 V6 = 20 sn

m

6 < t < 8 V8 – V6 = -30 V8 = -10 sn

m

8 < t < 10 V10 – V8 = 0 V10 = -10

S0 v – t eğrisinin altındaki alan S deki değişimi verir. 0 < t < 2 S2 – S0 = 20 S2 = 20 m

2 < t < 4 S4 – S2 = 10.22

1 S4 = 30 m

4 < t < 6 S6 – S4 = 20.22

1 S6 = 50 m

V8 – Vt1 = -15 ( 8 – t1 ) -10-0 = -120 + 15. t1

-15

t

a

0

-5

10

4 6 8 10

-15

t

a

0

-5

10

4 6 8 10

t

10

20

v

2 4 6 8 10

-10

93

15 t1 = 110 t1 = 7,33

6 < t < 7,33 S7,33 – S6 = 20.33,12

1

S7,33 = 13,3 + 50 S7,33 = 63,3

7,33 < t < 8 S8 – S7,33 = )10.(67,02

1−

S8 = 59,95 8 < t <10 S10 – S8 = -10 . 2 = -20 S10 = -20 + 59,95 = 39,95

4.17. Bir maddesel nokta şekilde görüldüğü gibi bir doğru üzerinde hareket ediyor. t = 0 da

S0 = -40 m olduğuna göre 0≤ t ≤ 20 sn için a-t ve s-t eğrilerini çiziniz.

Çözüm: v-t grafiğinde eğrilerin eğimi ivmeyi verir.

0 < t < 5 a1 = 24

5

20

sn

m=

5 < t < 10 a2 = 0 10 < t < 12 a3 =

210

2

20

sn

m−=

−

12 < t < 15 a4 =

210

3

30

sn

m−=

−

6 4 7,33 10 t

2 8

63,3

S

20

30

40

50 60

t

v

0

20

5 10 12 15

-30

20

-10

t

a

4

6

5 10 15 20 0

94

15 < t < 20 a5 = 26

5

30

sn

m=

v-t eğrisinin altındaki alan s deki değişmeyi verir. S0 = -40 m

0 < t < 5 S5 – S0 = 20.52

1 S5 = 50 + S0 S5 = 10 m

5 < t < 10 S10 – S5 = 100 S10 = 100 + S5 S10 = 110 m

10 < t < 12 S12 – S10 = 20.22

1 S12 = 20 + S10 S12 = 130 m

12 < t < 15 S15 – S12 = )30.(32

1− S15 = -45 + S12 S15 = 85 m

15 < t < 20 S20 - S15 = )30.(5.2

1− S20 = -75 + S15 S20 =10 m

4.18. Bir maddesel nokta şekilde

görüldüğü gibi bir doğrultu üzerinde

hareket ediyor. t= 0 S0 = -60 cm

olduğuna göre 0< t < 20 sn için

a – t ve s – t eğrilerini bulunuz.

t

-40

10

85

110

130

5 10 12 15 20

s

v

t

20

-20

4 10 12 14 20

95

Çözüm : t = 0 S = -60 cm 0 < t < 20 a – t ve s – t v – t eğrisinde doğruların eğiminden ivmeler bulunur. 0 < t < 4 a1 = (20 / 4 ) = 5 m / sn

2 4 < t < 10 a2 = 0 10 < t < 12 a3 = ( -20 / 2 ) = -10 m / sn

2 12 < t < 14 a4 = ( -20 / 2 ) = -10 m / sn

2 14 < t < 20 a5 = 0 v-t eğrisinin altındaki alan s deki değişmeyi verir.

0 < t < 4 S4 – S0 = 4020.4.2

1= S4 = 40 – 60 S4 = -20 m

4 < t < 10 S10 – S4 = 6.20 = 120 S10 = 120 – 20 S10 = 100 m

10 < t < 12 S12 – S10 = 2020.22

1= S12 = 120 S12 = 120 m

12 < t < 14 S14 – S12 = 20)20(2.2

1−=− S14 = 100 S14 = 100 m

14 < t <20 S20 – S14 = -20.6 = -120 S20 = -120 + 100 S20 = -20 m

20

-20

4 t1 10 12 14 t2 t

v

t

5

-10

0 10 4 14

a

20

96

Cisim iki defa s = 0 durumunda olur.

Bunlar t1 ve t2 anları olsun.

St1 - S4 = 20 (t1 – 4 )

St2 - S14 = -20 (t2 – 14 ) buradan

t1 = 5 sn t2 = 19 sn bulunur.

4.19. Bir maddesel nokta şekilde gösterilen

ivme ile bir doğru üzerinde hareket ediyor.

Maddesel nokta V0 = -24 sn

m hızla hareket

ettiğine göre 0 < t < 20 sn için v- t ve s- t

eğrilerini çiziniz.

Çözüm:

v0 = -24 sn

m 0 < t < 20

v – t ve s – t

t

-60

-20

4 10 12 14 20

+100 +100

+120

s

t1 t2

t

a

8

-5

4

6 10 t

a

8

-5

4

6 10 t t1 t2

97

a – t eğrisinin altındaki alan v nin değişimini verir.

0 < t < 6 V6 – V0 = 48 V6 = 48 -24 V6 = 24 m / sn

6 < t < 10 V10-V6 = 16 V10 = 24 +16 V10 = 40 m / sn

10 < t < 14 V14 - V10 = - 5. 4 V14 = -20 + 40 ,V14 = 20 m / sn

14 < t < t2 Vt2 – V14 = -5 ( t2 – 14 ) t2 = 18 sn

18 < t < 20 V20 – V18 = -5.2 V20 = -10 m / sn

0 <t < t1 Vt1 – V0 = 8. t1 0 + 24 = 8.t1 t1 = 3 sn

S’ nin değişimi = v – t eğrisinin altındaki alan, S0 = 0

0 < t < 3 S3 – S0 = 36)24.(32

1−=− S3 = -36 m

3 < t < 6 S6 – S3 = 3624.32

1= S6 = 36-36 m

6 < t < 10 S10 – S6 = 24.416.4.2

1+ S10 = 128 m

10 < t < 14 S14 – S10 = 20.420.4.2

1+ S14 = 248

14 < t <18 S18 – S14 = 404.20.2

1= S18 = 288

18 < t <20 S20 – S18 = 102).10(2

1−=− S20 = 278

-24

18 20 3 6 10 14

+24

+40

+20

-10

t

278

20

S

-36

3

6 10 14 18

128

248

288

98

4.20. Bir maddesel nokta şekilde görüldüğü

gibi bir doğru üzerinde hareket ediyor. 0 < t < 10

için v – t ve s – t eğrilerini çiziniz.

V0 = 10 m/sn S0 = 0

Çözüm : 0 < t < t V0 = 10 m/sn S0 = 0 0 < t < 2 V2 – V0 = 0 V2 = 10 2 < t < 4 V4 – V2 = -5.2 V4 =-10 + V2 V4 = 0 4 < t < 6 V6 – V4 = 10.2 V6 = 20 + V4 V6 = 20 6 < t < 8 V8 – V6 = -15.2 V8 = -30 + 20 V8 = -10 8 < t <10 V10 – V8 = 0 V10 = -10 v – t eğrisinin altındaki alan yer değiştirme verir. 0 < t < 2 S2 – S0 = 2.10 S2 = 20 m

2 < t < 4 S4 – S2 = 10.2.2

1 S4 = 30 m

4 < t < 6 S6 – S4 = 20.2.2

1 S6 = 50 m

V8 – Vt1 = -15 (8 – t1) -100 = -120 + 15 t1 t1 = 7,33

t

-15

a

10

0

-5

2 4 6 8 10

-15

a

10

0

-5

2 4 6 8 10

t1

t

V

0

10

20

-10

2 4 6 10 8

99

6 < t < 7,33 S7,33 – S6 = 20.33,1.2

1

S7,33 = 13,3 + 50 = 63,3

7,33 < t < 8 S8 – S7,33 =

35,3)10(67,0.2

1−=− S8 =59,95 m

8 < t < 10 S10 – S8 = -10.2 S10 =

-20 + 59,95 = 39,95 m

4.21. Şekildeki K düzeyinden serbest bırakılan bir cisim

h1 yüksekliğini t1 saniyede h2 yüksekliğini t2 saniyede alıyor.

t1/t2 = 2 olduğuna göre h1/h2 oranını bulunuz.

Çözüm: h1→ t1 h2→ t2 2

1

1

2 =t

t ?

2

1 =h

h

h1 = 2

1..2

1tg t1 = 2.t2

V1 = g.t1

h2 = V1.t2 + 2

2..2

1tg

h2 = g.2.t22 + 2

2

2

2 ..2

5..

2

1tgtg = h2 =

2

2..2

5tg

5

4

2

52

.2

5

..2

1

22

21

2

1 ===

t

tg

h

h olur.

2 4 6 7,33 8 10 0

20

30

40

50 60 63,3

t

s

h2

K

h1

h2

K

h1 t1

t2