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• Construir círculos y polígonos regulares que cumplan con
ciertas condiciones establecidas.
• Leer información presentada en gráficas de barras
y circulares. Utilizar estos tipos de gráficas para
comunicar información.
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Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
Secuencia 25Números positivos y negativos
Sesión 99En esta sesión resolverás problemas que implican utilizar números enteros.
¿Qué sabes tú?En equipos, cada uno de los integrantes escoja un objeto de la ilustración. Luego describan en un trozo de papel la ubicación de los objetos que eligieron y muéstrenlo a uno de sus compa-ñeros; pueden emplear números y símbolos para la descripción, pero no palabras. Cada uno debe interpretar el mensaje de su compañero para saber qué objeto eligió. Anoten en el papel el nombre del objeto y devuélvanlo a su compañero. Finalmente revisen si interpretaron correc-tamente la descripción y pudieron identificar el objeto. Si hubo equivocaciones, deben encon-trar en dónde estuvo la falla y corregirla.
40 m
10 m
4 m
1 m
1 m
10 m
4 m
22 m
40 m
60 m
ESCUELA Ver
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Manos a la obra1. En otra telesecundaria,
un equipo elaboró un mensaje que fue co-rrectamente interpreta-do. Observen y analicen cómo lo hicieron.
Objetos que se eligieron: La persona que recibió el mensaje cree que es:
60 m Helicóptero
1 m Tubería de gas
4 m Rata
a) Utilicen ese mismo sistema y comple-ten la tabla.
Ubicación Dibujo
Carro del metro
4 m
Tubería de agua potable
10 m
b) Hay objetos sobre el nivel del suelo, como el helicóptero, y por debajo de su nivel, como el metro.
En esta propuesta ¿cómo se representaron los objetos que están ubicados sobre el
nivel del suelo?
¿Y los que se encuentran bajo el nivel del suelo?
Con este sistema, escriban cómo representarían la ubicación de un bache sobre la calle.
2. En parejas, contesten las siguientes preguntas.
En la primera actividad de la sesión, ¿cómo representaron ustedes los objetos que están
sobre el nivel del suelo? ¿Por qué?
¿Cómo lo hicieron con los objetos que están ubicados bajo
el nivel del suelo?
¿Por qué?
Comparen sus mensajes con los de otros equipos. ¿Cuáles les parecen más claros y por qué?
Como hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, se debe establecer un acuerdo. En este ejemplo podríamos repre-sentar el nivel del suelo con el cero, lo que está sobre el nivel del suelo con signo positivo + y lo que está bajo el nivel del suelo con signo negativo − .
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Sesión 100En esta sesión localizarás números enteros en un recta númerica.
Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla usando los signos + y – según corresponda.
Objeto Ubicación
Palomas a 20 m sobre el nivel del suelo. + 20 m
Una señal de tránsito a nivel del suelo.
Un cable de la luz a 4 m de altura.
Una estación del metro a 15 m bajo el nivel del suelo.
2. En parejas, localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla anterior. Cada división equivale a 5 unidades.
3. Localicen los siguientes números en la recta numérica. Cada división equivale a una unidad.
1, 3, 7, –1, –5, –6, 0
Los números con signo positivo, o simplemente positivos, se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se escriben con el signo + o sin él; por ejemplo, el 1 positivo se escribe +1 o sólo 1.
Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre se escriben anteponiéndoles un signo −; por ejemplo, el 16 negativo se escribe −16.
El cero no es ni positivo ni negativo, es neutro, por lo que se escribe sin signo (no se le pone + ni –).
Los números enteros están formados por los enteros positi-vos, los enteros negativos y el cero. Se pueden representar en la recta numérica tal y como se hizo con las fracciones y los decimales. Para ubicarlos, primero se determina el lugar del cero, a continuación se sitúan a su derecha los números con signo + (enteros positivos) y a su izquierda los números con signo – (enteros negativos).
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Sesión 101En esta sesión identificarás el orden que tienen los números enteros.
Manos a la obraConocer la temperatura ambiental es importante para realizar nuestras actividades cotidianas. Para medirla se emplean los termómetros ambientales, como el de la ilustración, que muestran tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o tem-peraturas negativas. Las temperaturas bajo cero se acostumbra representarlas anteponiéndo-les el signo –.
Conocer los cambios o las variaciones de la temperatura nos permite, entre otras cosas, tener un mayor control de las cosechas y cuidar mejor nuestra salud.
1. En parejas, contesten las preguntas con los datos de la tabla.
El 16 de enero de 2012 el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de las heladas que se esperaban para ese día en distintas ciudades.
Ciudad Estado Temperatura máxima (°C)
Temperatura mínima (°C)
La Rosilla Durango 16.0 –8.5
El Vergel Chihuahua 14.0 –5.0
Creel Chihuahua 22.0 –4.0
La Ascensión Nuevo León 23.0 –3.0
¿Qué temperaturas máximas se esperaban en La Rosilla y El Vergel?
¿Cuál es mayor?
¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Creel y La Ascensión es menor?
¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en El Vergel?
¿Y en Creel?
2. En grupo, comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.
En el equipo 1 señalaron que la variación de temperatura que se esperaba en El Vergel es de 9 °C, porque 14 − 5 = 9.
En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron que la variación es de 19 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas tempe-raturas.
¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación de temperatura correcta?
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La variación de temperatura es el número de grados que hay entre dos tempe-raturas dadas.
Por ejemplo,
Máxima Mínima Diferencia
Guapoca 21.3 –2.9 24.2
La variación de temperatura también la podemos interpretar como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal.
Por ejemplo: entre −12° y 7° hay una distancia de 19 unidades.
Es decir, la distancia entre dos números es igual a la longitud del segmento que los une.
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
19
3. En equipos, empleen la imagen del termómetro para contestar las preguntas siguientes.
a) En un cierto día, la temperatura máxima en Toluca fue de 25 °C y la temperatura mínima fue de −1.5 °C. ¿De cuánto fue la variación de temperatura en esa ciudad?
b) La temperatura mínima de Pachuca fue de −2.9 °C. Si se sabe que la variación de tem-peratura es de 23.4 °C, ¿cuál fue la temperatura máxima de dicha ciudad?
c) ¿Cuántos grados hay de −9 °C a −26 °C?
d) ¿Cuántos grados hay de −1.5 °C a −15.5 °C?
e) En el termómetro ubiquen las temperaturas 13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
f) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?
g) Ahora ubiquen las temperaturas –13 °C y –4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
h) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?
i) Entre –13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos temperaturas es menor?
j) Analicen sus respuestas en grupo y en caso de controversia consulten con su profesor.
24.2
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4. Calcula la distancia que hay entre cada par de marcas del mismo color.
Distancia entre marcas naranjas
Distancia entre marcas azules
Distancia entre marcas verdes
Distancia entre marcas rojas
Distancia entre marcas azules
Distancia entre marcas verdes
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025>, ahí encon-trarás más información sobre los números enteros.
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20°C16°C
1°C−1°C
−8°C
−29°C
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Sesión 102En esta sesión conocerás el valor absoluto y el simétrico de los números con signo.
Manos a la obraLa distancia que hay entre un número dado y el cero se conoce como valor absoluto. Observa que este valor es siempre positivo porque corresponde a la longitud del segmento que une a dicho número con el cero.
El valor absoluto de un número se representa por medio de dos barras paralelas.
Por ejemplo: la longitud entre el –11 y el 0 es 11, es decir, el valor absoluto de –11 es 11 y se escribe |–11| = 11.
La longitud entre el 7 y el 0 es 7, es decir, el valor absoluto de 7 es 7 y se escribe |7| = 7.
1. En la recta numérica se han representado algunos números.
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−7.5 −6.5 −112
12 1
12 3.5
a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?
b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 12
?
c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten los procedimientos que em-plearon.
2. Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 11?
b) ¿Qué valor absoluto tienen los números 18 y −18?
c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −7.5?
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3. En parejas, contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el simétrico del 5?
b) ¿Cuál es el simétrico del −3?
c) ¿Cuál es el simétrico del −18.9?
d) ¿Cuál es el simétrico del 16.1?
e) ¿Son simétricos los números 32 y − 3
2 ?
f) ¿Cuál es el simétrico de − 14 ?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
El valor absoluto de los números positivos y negativos siempre es un número positivo.
Por ejemplo: |–10.2| = 10.2 y |10.5| = 10.5
Dos números que están a la misma distancia del cero se llaman números simétricos.
Por ejemplo: +3 y –3 son números simétricos.
-3 0 3
|-3|=3 |3|=3
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Sesión 103
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
1. Ubica sobre la recta numérica los números siguientes: –1.5, 12
, –0.25, – 13 , 2.25
-3 -2 -1 0 1 2 3
2. Abajo de cada uno de los números anteriores escribe su valor absoluto.
3. Encuentra el simétrico del mayor número positivo y del menor número negativo.
Consulta en…
Busca en las bibliotecas escolares y de aula las siguientes referencias con lecturas interesantes sobre este tema:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Números enteros”, en Una ventana al infinito, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Luz María, Marván, “Números simétricos”, “Números con signo”, “¿Mayor o menor?” y “El valor absoluto”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
En esta sesión resolverás ejercicios aplicando lo que estudiaste anteriormente.
Manos a la obra1. En una recta numérica, ¿de qué lado del cero se ubican los siguientes números?
28 –27 33
–18 –16 8
2. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?
a) −6 y 10 b) 10.3 y 26 c) −9 y −0.5
d) −15 y 3.9 e) −6.1 y 0 f) 0.9 y 8.1
g) −4.25 y 0.5
3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda.
a) 14.7 6.1 b) −9.5 5 c) −4.3 −15.7
d) –0.98 –0.1 e) –15.6 10.6
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Secuencia 26El círculo y cómo construirlo
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Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
Sesión 104En esta sesión reconocerás la diferencia entre círculo y circunferencia.
¿Qué sabes tú?1. Completa la siguiente definición.
Una línea curva cerrada, que cumple con la condición de que todos sus puntos mantienen
la misma distancia con el centro es
2. Organizados en equipos lleven a cabo la siguiente actividad y contesten las preguntas.
Para permitirle a Víctor salir a jugar futbol con sus amigos, su mamá le puso como condición que armara el siguiente rompecabezas de un círculo, en cuyas piezas se han señalado algunas rectas notables y ciertos puntos sobre la circunferencia.
A
BC
En una hoja, calquen el rompecabezas de Víctor, recórtenlo y ármenlo.
¿Cuánto tiempo les tomó armarlo?
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Manos a la obraResponde las preguntas siguientes.
1. En la imagen del rompecabezas, los puntos A, B y C ¿están sobre la circunferencia o dentro
del círculo?
2. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia? . Si consideras que son distin-tos, escribe con tus propias palabras una definición de círculo y una de circunferencia.
3. En las siguientes imágenes escribe el nombre de los elementos del círculo y su definición.
Comenten en grupo las respuestas que dieron.
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Sesión 105En esta sesión trazarás circunferencias a partir de dos puntos dados.
Manos a la obra1. Organizados en equipos, observen la siguiente situación y contesten
las preguntas.
Javi y Ale jugaban con una cuerda en el patio de su casa. Ale perma-necía firme mientras Javi daba vueltas manteniendo tensa la cuerda.
a) ¿Qué figura describe el movimiento de Javi?
b) ¿Qué elemento representa en la figura descrita el punto donde
se paró Ale?
c) ¿Qué elemento de la circunferencia representa la cuerda con la
que jugaban?
d) ¿Se puede trazar una circunferencia conociendo la longitud
de su radio?
3. Don Cheto amarró un chivo a una estaca con una cuerda, como se muestra en la figura de la derecha.
Cuando está completamente extendida, la cuerda mide 6 metros.
Colorea la región de pasto que puede co-mer el chivo mientras está amarrado.
2. Observa la siguiente figura y escribe un procedimiento para trazar una circunfe-rencia, con ayuda del compás, conocien-do la longitud de su radio.
a) Si se traza otro segmento del centro a un punto cualquiera de la circunferen-cia dibujada, ¿cómo es en relación al
radio?
b) ¿Cuántos radios tiene una circunfe-
rencia?
10 m
5 m
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Sesión 106En esta sesión encontrarás un procedimiento para trazar una circunferencia a partir de su diámetro o de una cuerda de la misma.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.
Para una obra de teatro de la asignatura de Artes se nece-sitan unas máscaras de cartulina de forma circular. Para hacerlas, cada alumno midió la distancia de su frente a su barbilla. A continuación están los segmentos que indican las distancias obtenidas por dos alumnas.
Conociendo estas distancias, ¿cómo construirán la base de las máscaras?
¿Qué elemento del círculo representarán estos segmentos?
Ahora midan la distancia que hay entre su frente y su barbilla y hagan su propia máscara.
Compartan con el grupo el procedimiento que siguieron para elaborar su máscara y elijan la mejor máscara (recuerden que debe tener forma circular).
2. Realiza lo siguiente.
a) Marca un punto en tu cuaderno y traza una circunferencia de 5 cm de radio.
b) Señala dos puntos sobre la misma y únelos, procurando que no definan el diámetro.
¿Cómo se llama este segmento?
c) Traza la mediatriz del segmento resultante.
18 cmYoyis
20 cmArucha
Observa que al trazar la mediatriz del segmento que definen dos puntos sobre la circunferencia, el centro está sobre dicha mediatriz.
El segmento que determina la unión de dos puntos dentro de la circunferencia se llama cuerda.
Responde las siguientes preguntas.
¿Cómo son las distancias del centro a los puntos mar-
cados sobre la circunferencia?
¿Es posible trazar otras circunferencias que pasen por
los mismos puntos que elegiste?
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
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Como ya viste, la mediatriz de un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasa por el centro de la misma; por lo tanto, conociendo dos puntos y tomando un punto sobre la me-diatriz como centro, se puede trazar una circunferencia que pase por ellos.
Mediatriz
B
A
3. Encuentra el centro de las circunferencias aplicando los conceptos que manejamos en la sesión.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Analicen en grupo lo que sucede en el caso de la figura 3.
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Sesión 107En esta sesión trazarás circunferencias a partir de tres puntos dados.
Manos a la obraEn parejas, resuelvan lo que se les solicita.
1. La tienda de ropa Mores tiene tres sucursales ubicadas en diferentes puntos de la ciudad. Si se decide colocar una bodega a la misma distancia de cada una de las tres sucursales, ¿en qué lugar se debe ubicar la bodega? Señálenlo en el croquis.
Los puntos marcados con rojo son los sitios donde se localizan las tiendas.
a) ¿Es posible determinar un punto que se encuentre a la misma distancia de los puntos
rojos?
b) Describan el procedimiento que siguieron para determinarlo y compártanlo con el grupo.
c) ¿Podemos auxiliarnos del trazo de mediatrices para ubicar la bodega del problema
anterior?
d) Para encontrar un punto que equidiste de los puntos rojos, ¿será necesario trazar las
tres mediatrices o será suficiente con trazar sólo dos de ellas?
2. El dueño de la tienda de ropa finalmente construyó la bodega y ahora desea abrir una nue-va sucursal. Quiere que ésta se ubique a la misma distancia de la bodega, al igual que las demás sucursales.
Encuentren en el croquis anterior cinco posibles lugares donde instalarla.
Comparen sus propuestas con las de sus compañeros.
¿Cuáles son todos los posibles lugares en donde pueden situar la nueva sucursal?
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Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema:
José Antonio de la Peña, Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
1. Describe el procedimiento para construir un círculo a partir de tres puntos dados.
2. Si tienes tres puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen por ellos?
3. Y si solamente tienes dos puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen
por ellos?
3. En su cuaderno marquen tres puntos a diferentes distancias, cuidando de que no sean colineales (es decir, que no estén en una misma línea recta).
a) Unan los puntos mediante segmentos.
b) Tracen las mediatrices de los segmentos.
c) Encuentren la intersección de las mediatrices y llámenlo O.
d) Tomando como centro el punto O y como radio la distancia de O a cualquiera de los puntos, tracen una circunferencia. Comprueben que ésta pasa por los puntos marcados.
Comparen con otras parejas los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron.
4. En grupo, analicen lo siguiente.
Dado que los tres puntos de la actividad anterior no están en una misma recta, ¿por qué se intersecan en el mismo punto las mediatrices de los segmen-
tos que los unen?
¿Cuál fue el objetivo de encontrar este punto de in-
tersección?
Dados tres puntos no colineales siempre se puede trazar una única circunferencia que pase por ellos. El centro de la misma es el punto de intersección de las mediatrices.
Cuando los tres puntos son colineales (es decir, cuando están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.
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Secuencia 27Pi en el círculo
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
Sesión 108En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.
¿Qué sabes tú?Observa la siguiente imagen.
Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior.
¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?
círculocircunferenciara
dio
diámetro
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Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.
1. Usa tu compás para trazar dos círculos distintos en tu cuaderno. Tú determinarás la medida de los radios. Ahora mide la longitud de las circunferencias. Dos posibles formas de hacer-lo son:
a) Utiliza un trozo de hilo (lo bastante largo), colócalo sobre la circunferencia y marca el punto donde se encuentra con el extremo inicial del hilo, y ahora mide la distancia entre este extremo y la marca que realizaste. Haz lo mismo con la otra circunferencia.
b) Recorta una copia de cada círculo. Colócala sobre el borde más largo de una hoja de papel (como se muestra en la imagen). Marca en la hoja y en el círculo un punto inicial. Ahora rueda el círculo sobre el borde hasta que gire completamente (lo sabrás cuando la marca que hiciste vuelva a estar sobre el borde). Mide lo que abarcó el reco-rrido de la circunferencia.
2. Para cada uno de los círculos que trazaste en tu cuaderno, mide el diámetro, el perímetro
y calcula perímetrodiámetro .
3. ¿Qué notas en los resultados de los dos cocientes calculados?
4, Formen equipos, comparen sus resultados y coméntelos.
¿Qué tienen en común los resultados?
Borde de la hoja
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Sesión 109En esta sesión aprenderás a calcular el perímetro de una circunferencia.
Manos a la obraEn la sesión anterior calculaste el cociente perímetro/diámetro en círculos distintos, y notaste que este cociente es aproximadamente 3.14.
1. Utilizando esta fórmula y un valor aproximado para π de 3.14, calcula el perímetro de los dos círculos que dibujaste en la sesión anterior.
Anota los resultados en tu cuaderno.
¿Es distinto el resultado al del perímetro que habías medido?
¿A qué se podría deber la diferencia?
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm?
3. Lee el siguiente poema.
Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.
Manuel Golmayo
Este poema está dedicado al número π, ¿notas alguna relación entre el poema y el valor de π?
Comenta tu respuesta con tu grupo y con ayuda del profesor lleguen a una conclusión.
Para cualquier círculo este cociente da el mismo valor, el cual se denomina pi y se representa con la letra griega π. El valor de π es aproximadamente 3.1416.
Entonces, dado que para todo círculo tenemos perímetrodiámetro = π ,
podemos calcular el perímetro del círculo con la fórmula: perímetro = π × diámetro.
Un dato interesante…
Las cifras decimales de π nunca terminan, y además no se puede encontrar un periodo en ellas. Te presentamos las primeras veinte cifras de π:
3.1415926535897932384…
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Sesión 110En esta sesión calcularás el área de círculos.
Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.
1. En tu cuaderno traza con color azul un polígono regular (puede ser un triángulo, un cuadra-do, un pentágono, un hexágono) y encuentra el punto medio de todos sus lados. Luego traza una circunferencia que pase por tres de estos puntos, y ahora une con color verde los puntos medios anteriores.
¿Cuál es el área de cada polígono que dibujaste?
¿Qué relación hay entre estas áreas y el área del círculo?
Comenten sus resultados en parejas.
2. En parejas comenten cómo obtener un valor más aproximado para el área del círculo, y con ayuda de su profesor den una mejor aproximación.
Cuando una circunferencia pasa por todos los vértices de un polígono regular se dice que ésta circunscribe al polígono, o que el polígono está circunscrito por la circunferencia. Por ejemplo, el polígono verde que trazaste está circunscrito por la circunferencia.
En cambio, una circunferencia está inscrita en un polígono regular cuando pasa por todos los puntos medios de los lados de dicho polígono. Este es el caso del polígono que trazaste en color azul.
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Sesión 111En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.
Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.
1. Observa la imagen.
Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.
¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?
¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?
2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.
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¿Qué sucede con los perímetros de los polígonos azules conforme aumenta el número
de lados del polígono?
¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el perímetro de estos polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de estos polígonos y el área del círculo?
Imagina que cada vez hay más lados en el polígono regular que está inscrito en la circunfe-rencia. ¿Cómo será el perímetro del polígono respecto al de la circunferencia?
¿Y el área?
Una circunferencia se puede pensar como un polígono regular con una cantidad infinita de lados, cuyo apotema coincide con el radio (en la imagen se puede notar cómo al aumentar el número de lados del polígono el apotema es cada vez más cercana a la longitud del radio).
ra ra ra ra
Entonces calculamos el área del círculo utilizando la fórmula del área para polígonos regulares:
Área = perímetro × apotema
2
Pero sabemos que,
perímetro = π × diámetro
apotema = radio
Así que sustituyéndolos en la fórmula de área se obtiene:
Área = π × diámetro × apotema
2
Ahora dado que, diámetro = 2 × radio, la fórmula para calcular el área del círculo es:
Área = π × radio × radio, o lo que es lo mismo:
A = π × r2
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Sesión 112En esta sesión aplicarás las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo.
Manos a la obra1. En parejas, completen la siguiente tabla. En ella se encuentran los datos de cinco círculos
distintos. Consideren π = 3.14.
Radio Diámetro Perímetro Área
2 cm
2 cm
3 cm
8 cm
5 cm Analicen los resultados de la tabla. ¿Qué sucede con el perímetro del círculo cuando se
duplica y se triplica el tamaño de su diámetro?
¿Existe una razón de proporcionalidad? Coméntalo con un compañero.
¿Sucede lo mismo con el área?
Si el diámetro de un círculo aumenta en una unidad, ¿qué sucede con el perímetro?
Resuelvan mentalmente las preguntas siguientes.
a) Si el radio de un círculo mide 6 cm, ¿cuánto será su perímetro?
b) Si el diámetro de otro círculo mide 7 cm, ¿cuánto mide el perímetro?
Comenten sus respuestas para llegar a una conclusión, con la orientación de su profesor.
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
1. Una aproximación del número π
es:
2. ¿Cuáles son las fórmulas del perímetro y el área del círculo?
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para saber más sobre este tema:
José Antonio de la Peña, “¿De dónde sale el famoso número Pi?”, en Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santi-llana, 2002 (Libros del Rincón).
Carlos Hernández, “Perímetro del círculo”, en La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Luz María Marván, “Números de cuento y de película”, en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
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Secuencia 28Regla de tres
Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios.
Sesión 113En esta sesión resolverás problemas para encontrar el valor unitario.
¿Qué sabes tú?Contesta lo siguiente.
Si se quieren comprar seis latas de rajas, ¿en cuál de las dos tiendas conviene comprar?
$6.74
promoción2x1
“AbarrotesDon Domingo”
APROVECHE3x2
“TIENDITADE LA ESQUINA”
$5.90
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Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.
a) Arturo compró 4 kg de azúcar y pagó $48.00, ¿cuánto habría pagado por 2 kg?
¿Y por 13 kg?
¿Cómo obtuviste el precio para 2 kg?
¿Y para 13 kg?
b) Con $71.50 se compraron tres gorras. ¿Cuánto cuesta una gorra?
Completa la tabla.
Núm. de gorras 15 21 55 109 210
Precio
Para saber el precio de cualquier cantidad de gorras, ¿es importante conocer el valor de
una sola gorra? ¿Por qué?
¿Cómo obtuviste el valor de una sola gorra?
2. Resuelve el problema siguiente.
La siguiente nota de remisión es del mate-rial que compró Jesús para la instalación hidráulica de su baño. El vendedor no lle-nó la columna de valor unitario.
a) ¿Cuánto cuesta un codo de 90° de 12 pulgada?
b) ¿Cuánto se pagará por 3 T de 12 ?
c) ¿Cuánto cuesta un metro de tubo
de 12 ?
d) Si se compran 2 llaves de paso y 3 pa-quetes de soldadura, ¿cuánto se debe
pagar?
Nombre: JesúsDomicilio: Central #23Teléfono: 663 0543Cant. Descripción Precio Unitario Importe
5 Codos de 90° 12 pulgada $32.50
2 Tubos de 12 pulgada, 6m $688.00
8 T de 12 pulgada $88.00
3 Llaves de paso $162.00
4 Paquetes de soldadura $280.00
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Sesión 114
Dados dos números a y b, al cociente ab se le denomina la razón
de a respecto a b.
Dos razones están en proporción si los cocientes respectivos son equivalentes, esto es:
ab = c
d = constante de proporcionalidad.
Los términos a y d se denominan extremos, y los términos b y c se denominan medios.
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios, o lo que es lo mismo, a d = b c.
En esta sesión resolverás problemas con la constante de proporcionalidad.
Manos a la obra1. En parejas resuelvan el problema siguiente.
En la tabla se muestra la cantidad de piezas del mismo modelo adquiridas por cada perso-na y lo que pagaron en total.
Nombre Cantidad de piezas Pago total
Víctor 13 $195.00
Mariana 8 $120.00
Angélica 21 $315.00
Daniel 4 $60.00
a) ¿Cuánto pagaría Víctor por una sola pieza?
b) ¿Cuánto pagaría Mariana por 30 piezas?
c) Si se sabe la cantidad de piezas adquiridas, ¿cómo se puede determinar la cantidad a
pagar?
e) Gabriela pagó $270.00 por todas las piezas adquiridas. ¿Cuántas piezas compró?
f) Si se conoce la cantidad pagada, ¿cómo se puede determinar la cantidad de piezas
adquiridas?
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2. Resuelve los problemas.
a) Rosalba compró 3 kg de azúcar en $57.00, y su mamá compró 5 kg, ¿cuánto pagó la
mamá de Rosalba por el azúcar que compró?
b) Juan es taquero, y para no equivocarse al hacer las cuentas y determinar la cantidad de dinero que debe cobrar, decidió elaborar una tabla, sólo que no la concluyó. Escribe los valores que faltan.
Cantidad de tacos 1 2 3 5 10
Cantidad a cobrar (pesos) 60 204
c) Gonzalo y Felipe corrieron a la misma velocidad. Gonzalo corrió 12 km en 48 minutos,
¿en cuánto tiempo corrió Felipe 7 km?
d) Ana, Jesús y Lizbeth tienen el mismo rendimiento de gasolina en sus autos. El auto de
Ana consumió 15 litros de gasolina al recorrer 135 km, Lizbeth recorrió en su auto
99 km, y el auto de Jesús consumió 9 litros de gasolina en su recorrido, ¿cuántos litros
de gasolina consumió el auto de Lizbeth?
La regla de tres es una manera de resolver problemas con valores relacionados en proporción directa, ésta se denota como a:b : : c:d
también se representa como ab = c
d , que es igual que ad = bc
La regla de tres se aplica cuando se conocen tres valores y necesitamos averiguar un cuarto, y se basa en el hecho de que en una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Por ejemplo, en los autos del problema anterior, el gasto de gasolina está en proporción directa con los kilómetros que se recorren.
Para saber qué distancia recorrió Jesús en su automóvil con 9 litros de gasolina formamos la siguiente proporción:
Lizbeth Jesús
15 L135 km = 9 L
x km
De acuerdo con la propiedad de las proporciones que establece que a d = b c, sustituimos los datos y tenemos que:
15x = 135(9) Se forma una ecuación
x = 135 (9)15 Se resuelve la ecuación
x = 81
Jesús recorre 81 km con 9 L de gasolina.
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Sesión 115
Ensalada de atún(4 porciones)
2 latas de atún
250 gramos de lechuga
4 zanahorias
4 jitomates
3. Contesten en parejas.
a) Para preparar este platillo para 6 personas, ¿cuántas latas de atún se
necesitan?
b) Para 20 personas, ¿cuántos kilogramos de lechuga se necesitan?
c) En la familia de Reyna prepararon la receta y ocuparon 30 jitomates,
¿para cuántas porciones alcanzará la ensalada?
4. En equipos, comenten cómo encontraron las respuestas a los problemas de la sesión.
En esta sesión resolverás problemas encontrando el valor faltante en una proporción.
Manos a la obra1. Analiza el procedimiento propuesto y después responde lo que se te pide.
Para transportar a 124 personas se requieren 4 autobuses. Si se emplearon 7 autobuses, ¿cuántas personas se transportaron?
Lo que se tiene es una proporción directa, y para encontrar el valor faltante se multiplican extremo por extremo y medio por medio.
(124) (7) = (x) (4) Se forma una igualdad (ecuación)
868 = 4 x Se resuelve la ecuación
x = 8684
x = 217
Entonces, en 7 autobuses se transportaron 217 personas.
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La información anterior también se puede representar de las siguientes maneras:
a) 124 personas son a 4 autobuses como x perso-nas son a 7 autobuses
124 : 4 : : x : 7
b) 4 autobuses son a 124 personas como 7 auto-buses son a x personas
4 : 124 : : 7 : x
¿Se colocaron los valores en cualquier orden ? ¿Por qué?
¿Qué valores son los extremos en el inciso b?
¿Qué valores son los medios en el inciso b?
Para la forma representada en el inciso a), 124 y 7 son los extremos, mientras que x y 4 son los medios.
Una forma más de expresar lo anterior es:
124 : 4
x : 7
Si aumentan las personas, ¿aumentará la cantidad de autobuses?
Si disminuye la cantidad de personas, ¿qué sucederá con la cantidad
de autobuses?
2. Lee los siguientes problemas y contesta las preguntas.
a) Por 3 árboles frutales del mismo precio Ernesto pagó $270. Laura también compró de
los mismos tipos de árboles. Si terminó pagando $630, ¿cuántos árboles frutales com-
pró Laura?
¿Cómo plantearías la proporción?
¿Cuál es la ecuación que se forma?
Encuentra la solución y escribe un enunciado con tu respuesta.
b) Para recorrer 85 kilómetros se emplearon 17 litros de gasolina. Si en total se emplearon
25 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?
c) Para construir 5 m2 de pared se emplean 140 tabiques; con 476 tabiques, ¿cuántos
metros cuadrados de barda se pueden construir?
En equipos, comparen sus procedimientos y sus resultados.
En una proporción se tiene a : b : : c : d (se lee: a es a b como c es a d)
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Sesión 116En esta sesión resolverás problemas aplicando lo aprendido en las sesiones anteriores.
Manos a la obra1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a) En un edificio todos los departamentos tienen la misma cantidad de puertas. Si para 5 departamentos se colocaron 24 puertas y el edificio tiene 24 departamentos, ¿cuántas puertas se deben colocar?
b) Por 200 gramos de jamón se pagaron $25, ¿cuánto se deberá pagar por 750 gramos?
c) De un terreno de 8 hectáreas se cosecharon 72.8 toneladas de aguacate, ¿cuántas toneladas de aguacate se cosecharán en 15.7 hectáreas?
d) Si el rendimiento de un automóvil es de 18 kilómetros por litro de gasolina, ¿cuántos kilómetros recorrerá ese automóvil con 2 litros de gasolina?
¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para cual-quier cantidad de litros de gasolina?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de gaso-lina a partir de la distancia que se recorre?
¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporcionalidad?
Consulta en…
Entra al sitio:
<http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_pro-porcionalidad/index_1quincena6.htm>, ahí podrás conocer más y resolver ejercicios sobre proporcionalidad.
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
1. María fue de vacaciones a Acapulco en su camioneta. Desde su casa recorrió 522 kiló-metros y gastó 63 litros de gasolina. En cambio Pepe, en su automóvil, gastó 21 litros de gasolina para recorrer los 190 kilómetros que lo separaban de Cuernavaca.
¿El rendimiento de estos vehículos es proporcional? Explica por qué.
2. Si el auto de Javier tiene el mismo rendimiento que la camioneta de María, ¿cuánta
gasolina necesitará para recorrer los 28.8 kilómetros de la avenida Insurgentes, que es la
más extensa de la ciudad de México?
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Secuencia 29
Proporcionalidad utilizando escala
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
Sesión 117En esta sesión trabajarás con problemas de escalas.
¿Qué sabes tú?Existen varios objetos que se realizan a escala con fines diversos. Por ejemplo, los mapas cartográficos, las ma-quetas que utilizan los arquitectos o los autos a escala. En la imagen de al lado se muestran las principales escalas usadas en autos, y una medida aproximada.
Si se hiciera un modelo a tamaño real, ¿a qué escala es-
taría?
¿En la imagen, a qué escala está el primer auto con res-
pecto al último?
Manos a la obra1. Contesten en parejas.
Si el auto a escala 1:64 mide aproximadamente 7 cm de largo, ¿cuál es la medida aproxi-
mada del auto original?
¿Cuánto medirían los autos de las otras escalas?
Además de estas escalas, también se utiliza la escala 1:87, ¿cuál sería el tamaño del auto
en esta escala?
Comparen sus resultados con los de otras parejas.
1 : 1824 cm
1 : 2418 cm
1 : 4310 cm
1 : 647 cm
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El producto de dos números recíprocos siempre es uno. Por ejemplo,
7 multiplicado por su recíproco 17 es igual a 1, y 2
3 multiplicado
por su recíproco 32 es igual a 1.
Sesión 118En esta sesión continuarás trabajando con escalas en distintos contextos.
Manos a la obra1. La siguiente imagen muestra el dibujo de un chip, he-
cho a una escala de 10:1 cm.
¿De qué tamaño es el chip real?
¿Cuál es la diferencia entre la escala utilizada en este
dibujo y las que emplearon en los autos de la sesión
anterior?
¿Cómo calculas la razón de proporcionalidad a partir
de la escala?
¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso?
Si a partir del dibujo anterior se hiciera una réplica que coincidiera en medidas con el chip real, ¿cuál sería la escala del segundo dibujo, respecto del primero?
¿Cuál sería la razón de proporcionalidad?
¿La multiplicación de ambas razones de proporcionali-
dad es igual a uno? ¿Por qué?
¿Cuál sería la escala del segundo dibujo respecto del
chip original?
Comenten sus respuestas con sus compañeros.
10 : 1 cm
5 cm
10 cm
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Sesión 119En esta sesión aplicarás lo aprendido en las sesiones anteriores.
Manos a la obra1. Contesten en parejas.
Se sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.
a) ¿Cuánto mide su altura?
b) Si se conserva el valor del área del rectángulo pero la base midiera 12 cm, ¿cuántos
centímetros medirá su altura?
c) Si ahora la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud y conservara la misma área,
¿cuántos centímetros medirá su altura?
d) ¿Habría alguna relación de escala entre estos rectángulos?
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
Consulta en…
Entra al sitio <http://vela.sep.gob.mx/index.php/primero> y selecciona la materia Matemáticas para ver el video “Proporcionalidad inversa”.
2. Resuelve esta actividad de manera individual.
La siguiente es una imagen de una habitación hecha a escala 1:12.
a) ¿Cuánto mide la habitación real?
b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
c) Si quisieras colocar una réplica tuya en la habita-
ción, ¿cuánto mediría de estatura?
Si quisieras hacer la habitación con las medidas origi-
nales, ¿a qué escala la harías, tomando como base
la habitación de la imagen?
¿Cuál es la relación entre ambas escalas?
En grupo, analicen las respuestas de esta actividad y obtengan una conclusión.
160 mm
127 mm
200 mm
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Sesión 120En esta sesión aplicarás una proporción para ir de una escala a otra.
Manos a la obra1. En equipos, realicen la siguiente actividad.
En su libro de Geografía ubiquen un mapa a escala.
¿A qué escala está el mapa?
Midan la distancia entre dos puntos del mapa, ¿qué distancia encontraron?
¿Cuál es la distancia real entre estos puntos?
Si en el mapa dibujas un cuadrado con lados de 1 cm, ¿cuál sería el área real de la región
que abarca el cuadrado?
Comparen y comenten sus resultados con otros equipos.
2. Responde las siguientes preguntas.
Si hicieras una estatua tuya, ¿de qué tamaño la harías?
¿Qué escala usarías?
Si se hiciera una réplica de tu estatua al doble del tamaño, ¿cuál sería la escala con res-
pecto a la estatua original? ¿Y cuál sería su escala con respecto a ti?
Comenta tus respuestas con un compañero.
AutoevaluaciónResponde lo siguiente, completando la afirmación para que sea verdadera.
1. El producto de dos números recíprocos es:
2. Un busto que mide 84 pulgadas de altura está hecho a una escala 7:1 pulgadas, ¿cuál es
su medida original en centímetros?
3. El muñeco de un superhéroe está hecho a una escala 1:7 pies, ¿cuál es su estatura
original en metros?
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Secuencia 30Problemas de conteo
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
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Sesión 121En esta sesión aprenderás a enumerar todos los resultados posibles de una situación.
¿Qué sabes tú?Adriana vive cerca del centro de Ciudad Nezahualcóyotl, en la esquina que forman las calles 25 y Valle de Bravo. Ella va a la tienda que se encuentra en la calle 32 esquina con Chalco. El mapa muestra el recorrido que ayer hizo Adriana para ir a la tienda.
Realiza la siguiente actividad.
a) Sobre la imagen anterior marca con rojo otro recorrido que podría hacer Adriana para ir de su casa a la tienda.
En este recorrido, ¿por qué calles pasa Adriana para
llegar a la tienda?
Marca en la imagen, con color naranja, el recorrido que hizo alguno de tus compañeros. ¿Por qué calles pasa
este nuevo recorrido?
Casi todas las calles de Ciudad Nezahualcóyotl son rectas, por lo que es posible representar el recorrido que hizo Adriana de su casa (A) a la tienda (T), como muestra el croquis 1.
Croquis 1
Croquis
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b) Encuentren en el croquis 2 un recorrido en el que Adriana camine el menor número de cuadras para llegar a la tienda (T) y represéntenlo.
¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido?
¿Cuántos recorridos diferentes hay con este número
de cuadras?
Comparen su solución con las de los otros equipos.
Marquen esos recorridos de distintos colores en el croquis 2.
Manos a la obra1. Contesten en parejas.
Una pareja de alumnos señaló el recorrido que siguió Adriana en color naranja y otra en color rosa, como sigue:
a) ¿Puede llegar Adriana a la tienda siguiendo el camino 2N, 5E, 2S, 1N?
Utilicen las letras N, S y E para representar en su cuaderno los recorridos que puede hacer Adriana para ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras.
Croquis 2
Croquis pareja 1 Croquis pareja 2
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b) Jessica (J) es prima de Adriana y vive en la esquina de la calle 28 y Chimalhuacán. Utilicen el croquis 3 para contestar las preguntas.
¿Cuál es el menor número de cuadras que debe caminar Jessica para ir de su casa a la tienda (T)?
c) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras?
Utiliza el código de las letras N, S y E para repre-sentar en tu cuaderno los recorridos más cortos que puede hacer Jessica.
A los recorridos que constan del menor número de cuadras se les llamará “recorrido óptimo”.
3. Consideren el croquis 4. Si alguien vive en la esquina
de las calles 23 y Valle de Bravo, ¿de cuántas formas
diferentes puede llegar a la tienda (T) caminando el
menor número de cuadras?
Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido se está resolviendo un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera de distinguir un resultado de otro.
Por ejemplo, en el caso de Adriana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno de ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Una manera de representar uno de los ocho recorridos óptimos que Adriana puede hacer es: 1E, 1N, 6E.
Esta manera de resolver problemas de conteo se llama “procedimiento de enumeración”.
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Sesión 122En esta sesión utilizarás tablas de doble entrada como recurso para ordenar y contar datos.
Manos a la obra1. Contesta lo siguiente.
En la chocolatería La Delicia elaboran chocolates de dife-rentes tipos, formas y rellenos. Cuando alguien hace un pedido, el vendedor debe llenar un formato como el si-guiente:
a) ¿Habrá más de diez chocolates diferentes?
¿Más de veinte? ¿Más de cuarenta?
b) ¿Cuántos chocolates diferentes pueden elaborarse en
La Delicia?
Compara tus respuestas con las del resto del grupo.
2. En parejas, completen las siguientes tablas.
a) ¿Cuántas variedades de chocolates en forma de bolita
hay de chocolate amargo?
b) ¿Cuántas variedades hay de chocolate oscuro con re-
lleno de nuez?
c) Si alguien pide un chocolate con relleno de almendra, ¿entre cuántas variedades de chocolate puede elegir?
d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada ta-bla está identificada la forma del chocolate, de la se-gunda columna en adelante están los rellenos, y del segundo renglón hacia abajo, los tipos. Si en vez de construir las tablas a partir de la forma del choco-late se construyen a partir de los diferentes tipos,
¿cuántas tablas tendrían que hacerse? . Elabórenlas en su cuaderno.
e) ¿Cambia el número total de variedades de chocolate?
¿Por qué?
Analicen sus resultados con ayuda del profesor.
La Delicia ChocolateríaCliente:
Pedido: Precio:
Fecha de entrega:
Marcar la opción deseada
Forma Barra
Bolitas
Tipo de chocolate
Oscuro
Blanco
Amargo
Relleno
Nuez
Almendras
Cacahuate
Chocolate en barra
Relleno nuez (n)
Relleno almendras
(a)
Relleno cacahuate
(c)
Oscuro (O) O-n
Blanco (B) B-a
Amargo (A)
Chocolate en bolitas
Relleno nuez (n)
Relleno almendras
(a)
Relleno cacahuate
(c)
Oscuro (O)
Blanco (B)
Amargo (A) A-a
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Sesión 123En esta sesión utilizarás como recurso de conteo el diagrama de árbol.
Manos a la obra1. En parejas, completen el siguiente diagrama de árbol.
RellenoFormaTipo
Chocolate
Nuez
Bolitas
Obscuro
Blanco
a) ¿Cuántos chocolates diferentes de tipo amargo se pueden elaborar?
b) ¿Cuántos chocolate diferentes se pueden elaborar con relleno cacahuate?
c) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar en forma de barra?
d) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar?
e) ¿Obtuvieron el mismo número de chocolates diferentes con las tablas y con el diagrama
de árbol?
f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos que definen las características del chocolate, ¿cuál de las tres características del chocolate
se utiliza en el primer nivel del árbol?
g) Supongan que en La Delicia tienen un nuevo relleno: cajeta. ¿Cuántos chocolates dis-tintos podrían elaborarse ahora? Elaboren en su cuaderno el diagrama de árbol que represente esta situación.
Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas.
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2. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
La Delicia puede decorar los chocolates con dos ingredientes: café o azúcar glass.
Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.
a) ¿Cuántas opciones distintas de chocolates ofrece ahora La Delicia?
b) ¿Qué recurso les parece más conveniente utilizar para resolver este problema, el diagra-ma de árbol o las tablas? Empléenlo para resolver este problema en su cuaderno.
3. De los caracteres que los seres vivos heredan hay algunos que son dominantes y otros re-cesivos. Por ejemplo, en tu familia, ¿cuál color de ojos es un carácter dominante?,
¿cuál color de ojos es un carácter recesivo?
4. Supón que en cierto tipo de maíz, el blanco es un ca-rácter dominante y el azul es recesivo. Identifica el blanco con BB (dos letras porque la información de la herencia biológica se transmite en pares) y el azul con aa. Si en la primera generación se cruzan una planta de maíz blanco y otra de maíz azul, tendrás la siguiente tabla:
En esta generación todo el maíz que se cosecha es blanco porque B representa al carácter dominante. Una planta Ba indica que el maíz es blanco, pero lleva información del maíz azul (aunque no se manifieste). La única manera de que el maíz sea azul, por ser ca-rácter recesivo, es cuando ambas letras son aa.
Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cru-zan, ¿de qué color será el maíz? Averígualo completan-do la tabla:
a) ¿Cuántas plantas dan maíz blanco? (recuerda que son las que por lo menos tienen una letra B)
b) ¿Cuántas plantas dan maíz azul (aa)?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar de manera sistemática todos los resultados posibles en un problema de conteo. En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar los diferentes resultados. Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado será siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice.
Planta BB (blanco)
Planta aa (azul)
a a
B Ba Ba
B Ba Ba
Planta Ba
Planta Ba
B a
B
a
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Sesión 124En esta sesión resolverás un problema de conteo utilizando diferentes recursos para hacer el recuento.
Manos a la obra
Monterrey
Huatulco
Cancún
Cuidad deMéxicoGuadalajara
Ciudad de salida Ciudad de llegada
1. Contesta lo siguiente.
Una aerolínea cubre los siguientes desti-
nos turísticos del país: ciudad de México,
Guadalajara, Monterrey, Huatulco, Can-
cún. La aerolínea ofrece vuelos directos;
por ejemplo, va de Guadalajara a Cancún
sin hacer escalas, ¿cuántos viajes diferen-
tes ofrece la aerolínea?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
2. En parejas, realicen lo que se les pide.
a) Completen la tabla.
b) Si una persona sale de Monterrey, via-jando en esta aerolínea, ¿a cuántos destinos diferentes puede llegar?
c) Si una persona llega a Huatulco, ¿de
cuántas ciudades diferentes pudo ha-
ber salido?
d) En total, ¿cuántos viajes diferentes
hay? Ver
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3. La aerolínea ha decidido dar servicio a la ciudad de Los Cabos.
a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la aerolínea?
Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol.
b) Complétenlo en su cuaderno.
Avión
Ciudades de salida Ciudades de llegada Resultados viaje
Huatulco Huatulco-MonterreyGuadalajaraMonterreyCancúnMéxico
4. En equipos, contesten lo siguiente.
a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol?
b) ¿A qué corresponde cada nivel?
c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel?
d) ¿A qué corresponde cada rama?
e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel?
f) ¿A qué corresponde cada rama?
g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones
diferentes de viaje hay?
h) Si hay cinco ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones
diferentes de viaje hay?
i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida,
el número de ciudades de llegada y el total de viajes que se pue-
den realizar?
Para determinar el número total de viajes que la aerolínea ofrece se puede multiplicar el número de ciudades de salida por el número de ciudades de llegada. Por ejemplo, si hay cuatro ciudades de salida y tres ciudades de llegada el número total de viajes es 4 × 3 = 12.
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Sesión 125En esta sesión resolverás problemas de conteo a partir de reconocer algunas regularidades y de utilizar distintos recursos y diferentes estrategias.
Manos a la obra1. En parejas, contesten las siguientes preguntas, considerando la información de la sesión
anterior.
a) Ahora la aerolínea da servicio a siete ciudades del país. ¿Cuántos viajes diferentes
ofrece la aerolínea?
b) La aerolínea ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece?
c) Otra aerolínea tiene como destinos las capitales de los 31 estados del país y la ciudad
de México. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta otra aerolínea?
Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas y cada una de las opciones existentes en un problema de conteo. En ocasiones la multiplicación es la operación que permite encontrar el número total de opciones existentes.
2. Enrique necesita ponerle una clave a su celular para que nadie pueda ver las fotos que guarda en él. La clave debe tener dos cifras y ninguna de las dos puede ser 0 y deben ser diferentes entre sí.
a) ¿Qué números puede utilizar Enrique como primera
cifra?
¿Cuántos son en total?
b) Si la primera cifra fuera 8, ¿qué números podría
utilizar como segunda cifra?
¿Cuántos son en total?
c) Entonces, ¿qué números de dos cifras pueden
ser el número de la clave del celular de Enrique?
¿Cuántos pares de números existen
en total que cumplen con las condiciones del pro-
blema?
3. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
Para tener una mayor seguridad Enrique decide que, en lugar de dos dígitos, su clave tenga tres dígitos, ahora sí puede utilizar el 0 y repetir dígitos. Supongan que el primero debe elegirse de los números del 5 al 8, el segundo tiene que ser 1 o 2 y el tercero es menor que 5.
a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
b) Elaboren tablas de doble entrada para representar los resultados.
c) ¿Cuántas claves para el celular inician con 51?
d) ¿Cuántas claves terminan con 0?
e) ¿Cuántas claves tienen el mismo número en los
tres dígitos?
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Sesión 126En esta sesión aprenderás a leer e interpretar un diagrama de árbol.
Manos a la obraEn parejas, realicen lo que se indica.
1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunas de las posibles placas de identificación vehicular que se pueden formar utilizando únicamente dos dígitos en cada una. Compléten-lo en su cuaderno.
a) Contesten las siguientes pre-guntas.
El resultado (2,1) significa que
en la placa se tiene el 2 en el
primer dígito, ¿qué número tie-
ne en el segundo dígito?
¿Qué significa el resultado
(1,2)?
¿Y el resultado (6,6)?
¿Cuántas placas distintas pue-
de haber?
b) De esas placas, ¿en cuántas se cumplen las siguientes con-diciones?:
• Los dígitos se repiten.
• En el primer dígito hay un
número mayor que en el
segundo.
• En el primer dígito hay un
número par.
c) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con-testen lo que se les pide.
¿Cuántas placas hay en las
que ambos dígitos son núme-
ros impares?
¿Y cuántas en las que ambos
dígitos son pares?
ALN–8111
ALN–8112
ALN–8113
ALN–8114
ALN–8115
ALN–8116
ALN–8117
ALN–8118
ALN–8119
Posibles placas
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
Combinación dígitosSegundo dígito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Primer dígito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ALN–81 _ _
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Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca las siguientes referencias para conocer otros ejemplos de problemas de conteo:
Akiro Nozaki, Trucos con sombreros, México, sep-fce, 2005 (Libros del Rincón).
Mitsumasa Anno, El jarrón mágico. Una aventura matemática, México, sep-Editorial Juventud, 2005 (Libros del Rincón).
AutoevaluaciónCompleta lo que se te pide.
1. Un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de
conteo es:
2. ¿Qué palabras de cuatro letras se pueden crear con las letras de la palabra A M O R?
¿Cuáles de esas palabras tienen un significado?
2. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados:
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,0).
¿Qué característica tienen en común estos resultados?
¿Qué característica tienen en común los siguientes conjuntos de resultados?
a) (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)
b) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
c) (1,3), (2,2), (3,1)
d) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Comenten con el grupo sus resultados.
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Secuencia 31Tipos de gráficas
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
Sesión 127En esta sesión reconocerás algunos tipos de gráficas.
¿Qué sabes tú?Una forma de presentar la información para que sea analizada de manera visual es mediante gráficas. Las más sencillas son la gráfica de barras y la gráfica circular. En ellas se muestra el comportamiento de los datos de la población que se está estudiando.
Los diferentes medios de comunicación, como los periódicos y las revistas, utilizan las gráficas de barra y circular para mostrar a los lectores el comportamiento de diferentes noticias o investigaciones que realizan, ya sea de manera impresa o electrónica. Ejemplo de ello son las gráficas siguientes.
Fuente: El economista.mx
¿Con qué frecuencia los niños de 3 a 12 años consumen cereales?
37%Diario
50%De 2 a 3 veces por semana
9%Cada
semana
3%Cada mes
1%Nunca
¿Cuál es la razón principal por la que compras cereales a los niños?
42% Los niños lo piden (les gusta) 33% Por sus propiedades alimenticias (son nutritivos) 7% Para que desayunen los niños 5% Para darle variedad al desayuno 3% Por costumbre 10% Es práctico (fácil preparación)
REVISTADELCONSUMIDOR•MARZO11>43
Fuente: Revista del Consumidor.
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1. Observa las gráficas y contesta la pregunta siguiente.
a) ¿Qué tema muestran cada uno de los gráficos?
2. En equipos de cuatro integrantes, realicen la actividad siguiente.
a) Cada uno de los miembros del equipo escojan una de las imágenes anteriores, obsér-venla, analícenla y, con sus palabras, expliquen al resto del equipo lo que la gráfica informa.
Manos a la obra
1. En parejas, observen la gráfica y contesten.
De acuerdo con la Encuesta Nacional sobre Prácticas de Lectura 2006, el promedio de li-bros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria según el servicio educativo es de 3.6 a nivel nacional.
5
4
3
2
1
0
3.6
4.8
4.1
1.72.5 2.4 2.3
Primari
a Mult
igrad
o
Primari
a Ind
ígena
Primari
a Gen
eral
Secu
ndari
a Gen
eral
Secu
ndari
a Téc
nica
Teles
ecun
daria
Nacion
al
Promedio de libros leídos
a) En promedio, ¿qué alumnos leen más libros?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor promedio de lectura y el promedio nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos tiene el servicio educativo que menos lee?
d) Al comparar sólo el nivel de secundaria, ¿en qué lugar se ubica el promedio de lectura
de la telesecundaria?
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2. La siguiente gráfica muestra información sobre el promedio de libros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria, agrupados por rangos de edad.
Promedio de libros leídos por grupos de edad
1.9
2.9
4.5De 8 a 11 años
De 12 a 15 años
De 16 años y más
a) ¿En qué grupo de edad se presenta el mayor promedio de libros leídos?
b) ¿Qué grupos de edad presentan un promedio mayor al nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos presenta el grupo de edad de 8 a 11 años?
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Sesión 128En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas de barras.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
Un documento del Instituto Mexicano de Cinematografía presenta toda la información per-tinente sobre el desarrollo anual del cine mexicano. La siguiente tabla muestra la asistencia al cine por día de la semana.
El miércoles el precio promedio de la entrada fue 18% menor respecto al precio habitual.
21%
26%
14%15%
8%8% 7%
Doming
o
Sába
do
Vierne
s
Jueve
s
Distribución de asistencia
Miérco
les
Martes
Lune
s
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
a) ¿Qué porcentaje de asistencia se presentó el fin de semana en los cines?
b) ¿Qué día se presenta el mayor número de asistentes?
c) El miércoles se presenta un 15% de asistencia. ¿Podrías justificar el motivo?
En grupo, comparen sus respuestas.
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2. Observa la siguiente gráfica y contesta.
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
Otra pe
lícula
de hu
evos
y un
pollo
Una pe
lícula
de hu
evos
Arrán
came l
a vida
No eres
tú, s
oy yo
Rudo
y cu
rsi
La m
isma l
una
Y tu m
amá t
ambié
nKm 31
Amore
s perr
os
El cri
men de
l pad
re Am
aro
Películas mexicanas con mayor número de espectadores. 2000–2010
6
5
4
3
2
1
0Espe
ctad
ores
en
mill
ones 5.2
4.0 3.53.3 3.2 3.1 3.0 2.9
2.5 2.4
a) ¿Cuál es la película con mayor audiencia?
b) ¿Cuál es la diferencia en audiencia entre la película más vista y la menos vista?
En una gráfica de barras, la altura de cada barra es la cantidad que representa. Su principal finalidad es comparar datos de las distintas categorías de información. Para comparar catego-rías es recomendable ordenar las frecuencias, ya sea en orden ascendente o descendente.
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Sesión 129En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.
Manos a la obra1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los
integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.
Convivencia social
Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento
Deportes y ejercicio físico
Participación en juegos y aficiones
Utilización de medios masivos de comunicación
59.0
4.2
2.16.7
28.1
Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.
¿A qué actividad le dedican más tiempo?
¿A qué actividad le dedican menos tiempo?
A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.
Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.
Consulta en…
Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:
<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>
<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>
<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>
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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• ¿Es correcto utilizar una gráfica de barras para comparar porcentajes, y una gráfica circular para comparar frecuencias? Justifica tu respuesta.
2. El gráfico siguiente muestra el tipo de actividad que desempeña el personal de los gobier-nos estatales de la República Mexicana.
Actividades de gobierno
Servicios educativos
Servicios de salud y asistencia social
38%
9%
53%
¿En qué actividad se desempeña el mayor número de personas?
¿En qué actividad se desempeña el menor número de personas?
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Sesión 130Evaluación
Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.
1. ¿Qué distancia hay entre los números –16.01 y 1.08?
a) –15.07
b) –14.93
c) 15.07
d) 14.93
2. Coloca la letra V cuando la afirmación sea verdadera, y la letra F cuando la afirmación sea falsa.
Para encontrar el centro de un círculo dadas dos paralelas, se traza la mediana a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro del círculo.
Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices.
Para encontrar el centro de un círculo dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el centro de la circunferencia.
3. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo diámetro es de 7 cm?
a) 10.9 cm2
b) 21.9 cm2
c) 38.48 cm2
d) 153.93 cm2
4. Si 5 paquetes de arroz cuestan $49.5, ¿cuánto costarán 12 paquetes?
a) $117.6
b) $118.8
c) $119.8
d) $130.8
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5. Si dos albañiles construyen una barda en 3 días, ¿cuánto tardarían en construirla 4 albañiles?
a) Un día y medio
b) Un día
c) Dos días
d) Dos días y medio
6. ¿Cuántas placas como la siguiente es posible obtener si se pueden repetir los dígitos?
a) 72
b) 81
c) 90
d) 100 A – 30 –7. Con la información de la siguiente tabla construye una gráfica de barras usando la columna
“ambos sexos”.
2012Nacimientos totales
Ambos sexos Varones Mujeres
Estado de Colima 10 133 5 191 4 942
Armería 365 187 178
Colima 1 842 943 899
Comala 312 160 152
Coquimatlán 246 126 120
Cuauhtémoc 381 195 186
Ixtlahuacán 50 26 24
Manzanillo 2 950 1 511 1 439
Minatitlán 84 44 40
Tecomán 1 800 922 878
Villa de Álvarez 2 103 1 077 1 026
Fuente: SINAIS, Estadística de nacimientos estimados por sexo en el estado de Colima para el año 2012: <http://www.sinais.salud.gob.mx/nacimientos/index.html> [Fecha de consulta: 15-12-2011]
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