آشوبگون سیستمهای در اولیه مفاهیم

advanced CI درس به مربوط گزارشمهدوی نریمان

86 شهریور

chaos in dynamical systems by E.Ott کتاب اول فصل3 از ای خالصه

fuzzy chaotic systems by Z. li کتاب اول فصل4 و

مطالب فهرست

3.........................................................................................آشوب و یفاز4.................................................................................یفاز یستمهای- س15..............................................................................................- آشوب2

6...............................................................آشوبگون رفتار از یی- مثالها2-17...........................................................................یکینامید ستمی- س2-29........................................................................یبعد کی ی- نگاشتها2-3

9..........................................................هیاول طیشرا به ی- وابستگ2-3-1periodic orbit..............................................................10 - مفهوم2-3-2periodic orbits............................................................12 یداری- پا2-3-313..........................................................................بودن - چگال2-3-42-3-5 -Bifurcation..........................................................................1417...............................کیودیپر یکلهایس ظهور یچگونگ ی- سازمانده2-3-618......................................................................اپانوفیل ی- نما2-3-7

19...................................................................آشوب یاضیر فی- تعار2-420...................................................یبعد کی گسسته یستمهای- س2-4-120................................................................ی بعدn یستمهای- س2-4-222..........................................................................باناخ ی- فضا2-4-322.............................................................کیمتر یفاز - مجموعه2-4-4

2

تئLLوری و فLLازی سیسLLتمهای روی زیLLادی تحقیقLLات گذشLLته هLLای دهه در اسLLت. سیسLLتمهای شLLده انجLLام کنLLترل و سیستم مهندسین توسط آشوب کLLرده بLLاز کنLLترل و اتوماسLLیون مانند صنایع بسیاری در را خود جایگاه فازی

می عملی کاربردهLLای به که زمLLانی و مهندسی دنیای در دیگر طرف اند. از تLLاثیر آشLLوب کنLLترل لLLذا و کند می خودنمLLایی آشLLوب مهم پدیLLده اندیشیم،

انLLرژی و زمLLان لحLLاظ به سیسLLتمها گونه این عملکLLرد افLLزایش روی زیادیداشت. خواهد نLLرم محاسLLبات مفهLLوم چLLارچوب در مقوله دو این دادن قرار هم کنار در تواند می انسLLان مغز آشLLوبگونه دینامیک و تقریLLبی باشد. اسLLتداللگری می

باشد. بنLLابراین یکجا صورت به اطالعات از عظیمی حجم پردازش بر دلیلی بLLرای زیLLادی پتانسیل دارای آشوب تئوری و فازی سیستمهای کردن ترکیب

باشد. می رو پیش مهندسی و علمی تحقیقاتآشوب و فازی حLLال این با ولی است نشLLده درک درسLLتی به هنLLوز دو این رابطه هرچند گLLردد. می باز پیش دهه دو حدود به یکدیگر با دو این برخورد روی مطالعات

فLLازی [ سیسLLتمهای33و32] آشLLوب فازی کنترل های زمینه در خصوص به آشوب و فازی میان تئوری های [ رابطه34] آشوب مدلسازی برای تطبیقی

فازی [ سیستمهای38 و37] آشوب سیستمهای فازی [ مدلسازی36 و35]TS[ .42 و41 و40و39] آشوبگون

وجLLود عرصه به پا زمLLان یک حLLدود در دو هر آشوب تئوری و فازی منطق اولین و زاده توسط1965 سLLال در فLLازی منطق واقLLع، انLLد. در گذاشLLته

شLLده معLLرفی علم دنیLLای به1963 سال در لورنز توسط آشوب مشاهداتاند.

دارد. انسLLانی استداللهای کردن مدل در سعی فازی های مجموعه تئوری در گLLیری تصLLمیم بLLرای دقیق نا های داده و تقریبی اطالعات از روند این در

را موجود نادقیقی واقع در سیستمها شود. این می استفاده نایقینی شرایط فLLراهم واقعی مسLLائل بLLرای مناسب ابزاری و کرده مدل ریاضی صورت به

و ناپایدار رفتارهای کیفی مطالعه به آشوب تئوری دیگر طرف آورند. از می

3

دارد. تحقیقLLات اختصLLاص معین و غLLیرخطی سیسLLتمهای در نوسLLانی غLLیر به اطالعLLات عظیم حجم پLLردازش در انسان مغز توانایی که دهند می نشان که است این بر عقیLLده باشLLد. لLLذا می آن متغLLیر آشLLوبگونه دینامیک دلیل

پLLردازش و انسLLانی گLLری اسLLتدالل به دو هر آشLLوب، تئLLوری و فازی منطقهستند. مرتبط اطالعات

منطق بین ما ارتباطLLات یLLادگیری شLLده، بیLLان مطالب به توجه با بنابراینداد. خواهند ما به را انسانی هوش از بهتر درک اجازه آشوب تئوری و فازی

فازی - سیستمهای1 شLLده بحث فLLازی کنLLترل کالس در مطLLالب این اصLLول اینکه به توجه با

این گسLLترده کLLاربرد دالیل و مهم مطالب رئوس به تنها بخش این در است، را آن که فLLازی سیسLLتمهای مهم هLLای شLLود. شاخصه می اشLLاره سیستمها

می زیر قLLرار به اسLLت، سLLاخته مناسب کنLLترلی کاربردهLLای بسLLیاری برایباشد:

ورودیهLLای به نیLLازی که مفهLLوم این به مقاوم، ذاتا سیستمهایی(1 در سیسLLتمها اینگونه خLLروجی ندارنLLد. همچLLنین نLLویز بLLدون و دقیق

داشت. خواهد هموار و نرم رفتار ورودیها از وسیعی گستره حضور شLLده تعریف قLLوانین بر مبتLLنی فLLازی کنLLترلر یک که آنجا از(2

و تغیLLیرات اعمLLال قLLابلیت راحLLتی به کنLLد، می کLLار خبره فرد توسط سیسLLتم به ورودی یک افLLزودن با باشLLد. مثال می دارا را شدن اصالح

لحاظ دانش پایگاه در را ورودی آن به مربوط قوانین است کافی تنهاکنیم. پیچیLLدگی که باشد می فراهم امکان این سیستمها گونه این در(3

از است کLLLLافی تنها یابLLLLد. زیLLLLرا، کLLLLاهش سیسLLLLتم کلی هزینه و اطالعLLات ما به سیسLLتم رفتار به راجع که شود استفاده سنسورهایی

باشد. نمی دقیق خیلی اعداد ارائه به نیازی و بدهند تعLLداد که دارد وجLLود امکان این راحتی به فازی سیستم یک در(4

ذلیل به شLLوند. ولی پLLردازش یکتا طLLور به خLLروجی و ورودی زیLLادی

4

بهLLتر متغیرهLLا، این میLLان ارتبLLاط دلیل به داده پایگLLاه حجم افLLزایششود. استفاده یکدیگر کنار در مجزا کننده کنترل چند از که است یافتن که غیرخطی سیستمهای کنترل به قادر فازی کنترلرهای(5هستند. باشد، می دشواری کار آنها برای ریاضی مدل شLLوند می تقسLLیمTS و ممدانی دسته دو به فازی سیستمهای(6

شد. خواهد اشاره آنها به بعد فصول در کهاند: جهانی زنهای تقریب فازی سیستمهای(7

مجموعه روی شده تعریف مثل حقیقی پیوسته تابع هر قضیه: برای دارد وجLLود مثل فازی سیستم یک دلخواه، هر و فشرده

باشیم: داشته که

قLLابلیت که فLLازی سیستم چنین وجود تنها قضیه این که است ذکر به الزم چیزی هیچ ولی کند می تضمین داراست، را دلخواه دقت با تابعی هر تقریب

گوید. نمی سیستم این یافتن چگونگی به راجع- آشوب2

هنری فرانسوی ریاضیدان کار به را آشوبگون دینامیک روی بررسی به مربوط وی اند. انگیزه داده نسبت بیستم قرن شروع در پوانکاره می وارد جاذبه نیروی یکدیگر به که سماوی جرم سه مدار روی مطالعه حرکتی رفتار گرفتن نظر در سیاره(. با دو و ستاره یک )مثال شد می کردند،

می سیستم این که داد نشان وی متفاوت، اولیه شروع نقاط به توجه با آنها آشوبناک رفتار آن به ) امروزه کند تجربه را ای پیچیده خیلی حرکتهای تواند روی ریاضیات دنیای در که ای گسترده کارهای رغم شود(. علی می گفته سیستمهای در آشوب ولی است، گرفته صورت ها سیستم گونه این

شده بیان مطالب فهم است. زیرا نشده بررسی درستی به واقعی فیزیکی دلیل به امروزه بود. ولی مشکل علوم سایر برای ریاضیدانان توسط

به شرایط پیچیده، دینامیکهای این عددی حل امکان و ها کامپیوتر پیشرفت بیان آشوب در اولیه مفاهیم سری یک بخش این است. در شده عوض کلیشود. می

5

آشوبگون رفتار از - مثالهایی2-1 این گیریم. در می نظر در ( را1984) شاو آزمایش مثال، اولین عنوان به

بررسی را دارد جریان آب شیر از که آب دائمی و آهسته جریان یک آزمایش از ها قطره عبور زمان و کرده چکیدن به شروع آب های میکنیم. قطره

فرم به شده آوری جمع های شود. داده می ثبت سنسور جلوی

اندازه متوالی قطره دو میان زمان مدت ها داده این روی باشد. از می کافی میزان به آب جریان سرعت که . زمانی شود می گرفته جریان سرعت افزایش مساویند. با تقریبا زمانی های بازه این باشد، کوچک

که ترتیب این شد. به خواهد پریودیک صورت به زمانی های بازه دنباله آب، توان می که داشت خواهیم زیادتر بازه یک سپس و کم بازه یک ابتدا

می 1دو پریود دنباله، این . به داد نمایش فرم این به پریود با هایی دنباله دهیم، افزایش هم باز را آب جریان سرعت گوییم. اگر

دنباله بعد، به جایی از اینکه شوند. تا می مشاهده بیشتر ناشی نامنظم دنباله کند. این نمی پیروی خاصی نظم هیچ از

شود. می دانسته 2آشوبگون دینامیک یک از

گیریم می نظر در را 3رایلی- بنارد همرفتی جریان مثال دومین عنوان به

به بعدها ( و1963) لورنز توسط تئوری صورت به بار اولین که است. شده ( آزمایش1980) بنسون مثال متعددی افراد توسط عملی صورت

جاذبه نیروی معرض در و سخت صفحه دو بین سیال یک با آزمایش، این درداریم. کار و سر

1 Period two sequence 2 Chaotic dynamic3 Rayleigh-Benard convection

6

جریان یک نتیجه شود. در می داشته نگه باالتر دمایی در پایینی صفحه اگر شود. ولی می ایجاد محفظه درون باال شکل مطابق پایدار همرفتی این و کند می تغییر زمان با همرفتی جریان این شود، زیادتر دما اختالف

بینی پیش لورنز مقاله در رفتار بود. این خواهد آشوبناک زمان به وابستگیاست. شده آن تغییر با که دارد وجود سیستم از پارامتری قبلی، مثال دو هر در

این اول مثال کند. در می حرکت آشوب سمت به سیستم رفتار پارامتر،باشد. می دما اختالف دوم، مثال در و آب جریان سرعت پارامتر،

دینامیکی - سیستم2-2 فضای در سیستم پاسخ ) یک 2تراژکتوری ،1فاز فضای مثل مفاهیمی

اصطالح گاهی پیوسته دینامیکی سیستم یک دانیم. به می قبل از فاز( راflowپیچیدگی بگوییم که رسد می نظر به گردد. منطقی می اطالق نیز یابد. بنابراین می افزایش سیستم، بعد افزایش با سیستم پاسخ یک

چقدر(N) سیستم بعد بزرگی که است این رسد می ذهن به که سوالی ODE معادلهN برای سوال شود. پاسخ ممکن آشوب رخدادن تا باشد

. است: زیر قرار به خودگردان اول مرتبه صورت چه به گسسته دینامیکی سیستمهای برای وضعیت ببینیم اکنونشود. می داده توضیح 3پوانکاره روش ابتدا منظور این است. به تکنیک از استفاده گسسته، به پیوسته سیستم یک کاهش مرسوم روش معادالت بهN بعد با پیوسته معادالت از آن طی در که است پوانکاره ( درN-1 بعد )با صفحه یک روش این رسیم. در میN-1 بعد با گسسته

پاسخ با صفحه این تقاطع نقاط شود. سپس می انتخاب بعدیN فاز فضای1 Phase space2 Trajectory or Orbit3 Poincare surface of section method

7

صفحه این روی که برخوردی نقاط آیند. طبیعتا می بدست(orbit) سیستم به واقع درN-1 بعد با گسسته باشند. دینامیک میN-1 بعد از دارند، قرار

توان می را شده گسسته دارد. معادله اختصاص تقاطع نقاط این بین رابطهنوشت: زیر فرم به

است: شده داده نمایشN=3 برای زیر شکل در روش این

تاکید ایم. ولی گرفته نظر در صورت به را مذکور صفحه اینجا، در انتخاب متفاوت تواند می مسئله هر برای صفحه این شکل که کنیم می

می شود، انتخاب اولیه شرط عنوان بهA,B نقاط از یک هر شود. اگر بعدی دو نگاشت یک به دیگر عبارت برسیم. به دیگر نقطه به توانیم

یک باN مرتبه پیوسته دینامیک یک کلی حالت ایم. در رسیده پذیر معکوس یک برای لذا است. و برابرN-1 درجه از پذیر معکوس گسسته دینامیک وجود صورتی در آشوب که گفت توان می گسسته پذیر معکوس سیستمباشد. که داشت خواهد حتی آشوب رخدادن امکان باشد، پذیر معکوس غیر ما نگاشت اگر ولی

که استlogistic map آن معروف داشت. نمونه خواهد وجود نیز بعد یک درشود. می بحث ان به راجع ادامه در

بعدی یک - نگاشتهای2-3 رفتار داشتن قابلیت که سیستمهایی ترین ساده شد، گفته که همانطور

این هستند. در پذیر معکوس غیر و بعدی یک سیستمهای دارند، را آشوبناک

8

سیستمهای این روی را آشوبگون سیستمهای رفتارهای سری یک بخشکنیم. می بررسی ساده

اولیه شرایط به - وابستگی2-3-1گیریم. می نظر در راtent map نگاشت منظور، این به

خودش با تابع این ترکیب بارm اولیه، شرایط به وابستگی دادن نشان برایکنیم. می محاسبه را

کنیم می حساب را تابع ترکیب بار دو ابتدا سادگی برای برابر اگر حالت این در که است ذکر به . الزم

داریم باشد،0.75, 0.25اگر بود. و خواهد باشد،1, 0.5, 0

شود: می حاصل زیر شکل . لذا

خودش با تابع ترکیب بارm برای دهیم، ادامه را منطقی روال همین اگررسید: خواهیم شکل این به نیز

9

میزان به تنها اولیه شرط اگر که است مشخص باال شکل به توجه با یک یا صفر بین مقداری هر تواند می سیستم خروجی کند، تغییر ناچیز

کند. تغییر یک به صفر از خروجی کوچک، تغییر یک با کند. و اختیار را

periodic orbit - مفهوم2-3-2 p از عبور از پس اگر است،p پریود با پاسخ دارای نگاشت یک گوییم

کند: طی را سیکلی چنین بازگردد. یعنی خود اولیه جایگاه به متمایز نقطه توان می سیکل این نقاط تمام برای ترتیب این . به

. گفت: ثابت نقاط است، کافیp پریود با سیکلهای یافتن برای دیگر عبارت به

انجامtent نگاشت برای را کار همین بیابیم. اگر را نگاشت با را خط بیابیم. کافیست را2 پریود با سیکلهای بخواهیم و دهیم

نمودار این نقطه سه در صفر از غیر بدهیم. به قطع نمودار

نقطه دو و بوده نگاشت این ثابت نقاط ، و صفر کند. نقاط می قطع را

نگاشت این متوالی اعمال با دارند. یعنی قرار2 پریود با پاسخ روی دیگرداشت: خواهیم را زیر سیکلهای فوق، اولیه شرایط4 روی

است. موجود نگاشت این برای2 پریود با سیکل1 ترتیب این به آوریم. اگر می بدست را3 پریود با پاسخهای نگاشت، همان برای اینبار این آید. از می دست به نقطه8 دهیم، قطع خط با را نمودار

10

پریود با سیکلهای روی مابقی تای6 و بوده نگاشت ثابت نقاط بین

به سیکل دو دارد. این وجود3 پریود با سیکل2 ترتیب این دارند. به قرار3اند: زیر قرار

در دارد؟ وجود4 پریود با سیکل چند که شود مطرح سوال اگر اکنون قطع نقطه16 در را همدیگر خط و نمودار که گفت باید پاسخ

سیکل به مربوط نیز تا2 و ثابت نقطه به مربوط تا2 میان این کنند. از می شود(. می پاسخهای شامل ) پاسخهای باشد می تایی دو

قرار تایی4 سیکل3 روی باید که مانند می باقی جدید نقطه12 بنابرایندارد. وجود چهار پریود با سیکل3 بگیرند. پس

زیر قرار بهp پریود با سیکلهای تعداد باشد، اول عددp اگر کلی حالت دراست:

فرم به صحیحی فاکتورهای و نباشد اول عددp اگر ولی

پریود با سیکلهای روی نقطه از تعداد یک اینصورت در باشد، داشته از سیکلها تعداد نباشد، اولp اگر دارند. بنابراین قرار,…p1,p2 کمتر

2 پریود روی انها از تا2 دیدیم،4 پریود برای است. مثال کمتر فوق فرمولدارند. قرار

periodic orbits - پایداری2-3-3 اختیار در مانند پریودیک سیکل یک کنیم فرض

جای به باید بارp از پس کنیم، شروع نقاط این از یک هر از اگر داریم. یعنی دور میزان به اولیه شرط این از کنید فرض گردیم. اکنون باز اولیه

بود. خواهد اندازه به انحراف میزان بارp از پس اینصورت شویم. در

11

خواهیم کنیم، استفاده اول مرتبه تیلور بسط از اگر است، کوچک چونداشت:

رابطه از استفاده با

با: است برابر و بوده یکسان سیکل روی نقاط تمام برای ترتیب این به

در خطاها این کنیم، تکرار نیز دیگر بارm را سیکل همین اگر اکنونداشت: خواهیم و شده ضرب همدیگر

بود. اگر خواهد ناپایدار periodic orbit اینصورت در باشد، اگر بنابراین، شد. خواهد مورد این شامل شد، مطرح باال در که tent map مثال شود، دقت ازای به دیگر، طرف بود. از خواهد p پریود با سیکل برای زیرا

اولیه شرایط حالت، این داشت. در خواهیم پایدار پریودیک اربیت برای پایداری ضریب کنند. به می میل آن سمت به پایدار سیکل نزدیکگوییم. می پریودیک اربیت

بودن - چگال2-3-4

نقاط کلیه که شد خواهد دیده سادگی به شود، دقت قبل مثال در اگر که مفهوم این هستند. به 1 چگال[0,1] بازه درون پریودیک سیکلهای روی واقع )در نقطه یک حداقل دلخواه، هر و[0,1] بازه درونx هر برای

روی که دارد وجود بازه دارد( در وجود نقاط این از بیشمارباشد. داشته قرار نیز پریودیک سیکل از دهند، می را چگال مجموعه یک تشکیل پریودیک نقاط که واقعیت این

از مجموعه این که، است ذکر به باشد. الزم می برخوردار زیادی اهمیت

1 Dense

12

,0] مثال بازه درون نقاط همه صورتیکه هستند. در 2شمارا نامتناهی نقاط، چگال اگرچه 3پریودیک نقاط ترتیب، این باشند. به می 2 ناشمارا[1

باشند. می اولیه بازه به نسبت کوچکتری مجموعه ولی هستند، صورت به را[0,1] روی اولیه شرط یک اگر شده بیان مفهوم به توجه با

نقطه اینکه احتمال کنیم، استخراج یکنواخت توزیع تابع روی از و تصادفی شرط است. بنابراین صفر باشد، پریودیک سیکل یک به متعلق شده تولید برای دلیل همین شد. به نخواهد پریودیک سیکل به منجر تصادفی اولیههستند. 4مرسوم سیکلهای پریودیک، غیر سیکلهای نگاشتهایی چنین

بازه در آنها که را زمانی و نظرگرفته در را مرسوم سیکلهای اگر اکنون

چگالی ، تابع به دهیم نشان با کنند می طی[a,b] دلخواه

شود. می گفته 5ذاتی ثابت

2-3-5 -Bifurcation معکوس غیر بعدی یک تابع مفاهیم سری یک بیان برای قسمت این دراست: معروف logistic map نام به که کنیم می معرفی را دیگری پذیر

باشد،[0,1] بازه در اگر که است ازای به تنها نگاشت، این در ناحیه همین برای را نگاشت این بود. بنابراین خواهد بازه همین در نیز

ثابت نقطه دو دارای نگاشت داد. این خواهیم قرار بررسی موردr از برای که شود می مشاهده محاسبه باشد. با می

برای وr افزایش است. با ناپایدار دیگر نقطه و بوده پایدار نقطه مبدا بازه کل حاالت این گردد. در می ناپایدار مبدا و شده پایدار نقطه

گرفت. به نظر در توان می پایدار نقاط این جذب ناحیه عنوان به را[0,1] داشت خواهیم1 پریود با پریودیک سیکل دو که گفت توان می زبان دیگر

است. پایدار نا دیگری و پایدار یکی که

1 Countably infinite set2 Uncountable 3 Periodic points 4 typical5 Natural invariant density

13

منحنی در دهد. پاسخ می رخ اتفاقی چه بزرگتر مقادیر برای ببینیم اکنوناست نمایان

می باشد. مشاهده می برای پایینی منحنی و برای باالیی منحنی می ایجاد جدید نقاطع نقطه دو ،3 از بزرگتر مقادیر بهr افزایش با که شودباشند. داشته قرار2 پریود با سیکل روی باید قبل مشابه بحثی با که شود شدن ناپایدار لحظه در درست که2 پریود با سیکل این دیگر طرف از

باشد. می پایدار سیکل یک ایجاد لحظه در شود، می ایجاد قبلی ثابت نقطه r بیشتر افزایش است. با1 برابر ایجاد لحظه در جدید نقاط این شیب

- کوچکتر1 از که رسد می زمانی و کرده کاهش به شروع نقاط این شیب و شده ناپایدار نیز2 پریود با سیکل که است لحظه همین شوند. در می

از انشقاق پدیده این شود. به می متولد است، پایدار که4 پریود با سیکل r=3 لحظه در روند این زیر شکل شود. در می گفته 1شدن برابر دو نوع

دهد. می نشان را ناپایداری چین خط است. خطوط شده داده نشان

1 Period doubling bifurcation

14

بازه در2 پریود با سیکل و بازه در ،1 پریود با سیکل اگر برای که جایی تا کرده پیدا ادامه دوتایی انشعاب روند باشد، پایدار

تدریج به پایداری بود. ناحیه خواهد پایدار پریود با سیکلهای رابطه این که است داده نشانFeigenbaum 1980شود. می کوچکتراست: برقرار

رسید خواهیم انباشتگی نقطه یک به انشعاب روند تکرار نهایت بی از پساست: زیر قرار به که

جهانی ثابت دارند، دوتایی انشعاب که تلفی سیستمهای کلیه برای عدد که رسیم می نموداری به گردد رسم انشعاب روند این باشد. اگر می

دارد. نام 1انشعاب دیاگرام

وجود بین جاهایی که شود می مالحظه نمودار این در دقت با با سیکل به آنها ترین کند. عریض می خودنمایی پریودیک سیکل که دارد

1 Bifurcation diagram

15

اینکه تا شده آغاز3 پریود با سیکل که ای ناحیه دارد. به اختصاص3 پریودشود. می گفته31 پریود پنجره دهد، تشکیل را باند یک دیگر بار

رنج در باال پریود با های پنجره این از بیشمار تعداد کلی حالت در وجودp پریود با پنجره تعداد دارد. مثال وجود آشوبناک

چگال آشوبناک بازه در ها پنجره این سخن، دیگر باشد. به اولp اگر دارد، پریودیک پنجره یک توان می همواره بازه هر در هستند. یعنی

باشد. آشوبناکr این برای ما رفتار اگر حتی کرد یافت پایدار پریودیک های کننده جدب این وقتی که شود می مطرح سوال این اکنون

کننده جدب برای جایی هم باز آیا هستند، چگالr درون پایدار آشوبگون غیر داشت؟ خواهد وجود آشوبگون های

عددی اگر که ترتیب این باشد. به می قبلی بحث مشابه سوال این به پاسخ صفر باشیم چگال مجموعه این در اینکه احتمال کنیم، انتخاب تصادفی

شود. می خوانده 2مرسوم رفتار آشوب نگاشتی، چنین برای است. لذا کافی شود، می ایجاد چگونه3 پریود با پایدار سیکل ببینیم اینکه برای

بیندازیم. نگاهی نمودار به که است

و است نشده ایجاد3 پریود با سیکل که است هاییr ازای به توپر خط در دقت اند. با آمده وجود به سیکلها این که است هاییr برای ها چین خط

شوند. می ایجاد جدید تقاطع نقطهr 6 افزایش با که شود می دیده شکل که است بیشتر1 از دیگر تای3 شیب و1 از کوچکتر نقاط این تای3 شیب

عبارت دهند. به می ناپایدار و پایدار3 پریود با سیکلهای تشکیل ترتیب به1 Period three window2 Typical

16

که شود می ایجاد3 پریود با سیکل دو همزمان طور بهr افزایش با دیگر 1مماسی انشعاب، از شکل این باشد. به می ناپایدار دیگری و پایدار یکی

گویند.

پریودیک سیکلهای ظهور چگونگی 2- سازماندهی2-3-6 بیشتری محدودیت دارای خود احتمالی دینامیک در بعدی یک نگاشتهای

قضیه محدودیت این نتیجه هستند. یک باالتر ابعاد با سیستمهای به نسبت در مثبت اعداد همه برای را زیر ( است. ترتیب1964) 3سارکوفسکی معروف

بگیرید: نظر

چهار بعد فرد، اعداد برابر دو سپس فرد، اعداد تمام ابتدا لیست این در قرار نزولی صورت به2 توانهای کلیه نیز انتها آخر. در الی و آنها برابر

دارند. با سیکل دارای حقیقی، اعداد روی پیوسته نگاشت یک اگرقضیه:

اینصورت در باشد، شده ظاهرl از قبل باال روند درp و باشدp پریودبود. خواهد نیزl پریود دارای مذکور نگاشت

داشته پریودیکی سیکل ما نگاشت اگر که است این در قضیه این اهمیت خواهد پریودیک سیکل بیشمار تعداد اینصورت در نباشد،2 توان از که باشد

سیکلها تمامی حتما باشد، داشته3 پریود با سیکل اگر خصوص داشت. به با پنجره که ای بازه در ترتیب این داشت. به خواهد نیز را دیگر پریودهای با

دارند. وجود متفاوت پریودهای با پریودیک سیکلهای بیشمار داریم،3 پریود ناپایدارند. 3 پریود جز به آنها تمامی ولی

می القا را دیگر سیکلهای تمام وجود ،3 پریود سیکل که این بر عالوه یک وجود3 پریود با سیکل که دادند ( نشان1975) 4یورک و لی کند،

پریودیک که دارد می الزم نیز را سیکلها از شمارش قابل غیر مجموعه را آشوب عبارت آنها که دهند می نشان خود از را منظمی غیر رفتار و نبوده سیکل کهr از مقادیری برای که گفت توان کردند. می استفاده آن برای

1 Tangent bifurcation 2 Organization 3 Sarkovskii theorem 4 Li & Yorke

17

در اولیه شرایط از شمارایی نا و نامتناهی تعداد دارد، وجود پایدار3 پریود با است. آشوبناک و پیچیده آنها برای سیستم رفتار که دارد وجود[0,1] بازههستند. 1صفر اندازه دارای اولیه شرایط این ولی شمارا نا و )نامتناهی خاص اولیه شرایط سری یک برای که مفهوم این به

فاصله اولیه شرط آن از اندکی اگر است. ولی آشوبناک سیستم ( رفتار پریود با سیکل سمت به و شده واگرا قبل به نسبت سیستم رفتار بگیریم،

شود. می جذب3

لیاپانوف - نمای2-3-7 حساسیت میزان دادن نشان برای آشوبناک سیستمهای شاخصه یک کنند. می ارزیابی کمیت این طریق از را کوچک تحریکهای به سیستم پاسخ به پاسخ واگرایی نرخ میانگین کمیت این بعدی، یک نگاشت یک برای

شرط دو اگر که مفهوم این سنجد. به می را هم به نزدیک اولیه شرایط آنها به راM نگاشت و باشیم داشته مثل هم به نزدیک اولیه

داشت: خواهیم متوالی دفعهn از پس کنیم، اعمال

نوشت: توان می ترتیب این گویند. به نگاشت این برای لیاپانوف نمایh به

داشت: خواهیم بنابراین

صورت به راh میتوان مجموعه، یک برای طبیعی مژر بحث به توجه باداد: نشان نیز زیر

1 Zero Lebesgue measure

18

دارد. ولی وجود مژری چنین که شود می ثابت بعدی یک نگاشتهای برای نشده اثبات باال ابعاد با سیستمهای برای مژری چنین وجود کلی حالت در

در عددی صورت به آن وجود است. ولی نشده حل مسئله یک هنوز و است نمای حال هر (. درott کتاب54 )صفحه است شده بررسی مسائل بعضی

باشد. می آشوب دهنده نشان مثبت لیاپانوفآشوب ریاضی - تعاریف2-4 روند شود. این می ارائه آشوب ریاضی تعاریف تحول سیر بخش این در

یورک و لی توسط بعدی یک گسسته سیستمهای برای آشوب تعریف از فضاهای باناخ، فضاهای روی ،Rn فضای روی آن تعمیم به و شده شروع محمل که فازی های مجموعه روی متریک فضای نهایت در و کامل متریک

شود. می ختم است، Rn آنها

بعدی یک گسسته - سیستمهای2-4-1 تحلیل بهperiod three implies chaos عنوان با خود مقاله در یورک و لی

پرداختند. بعدی یک آشوبناک سیستمهای داشته وجود مثل ای نقطه باشد. اگر و بازه یکJ قضیه: اگر

باشد برقرار زیر نامساوی طوریکه باشد،

داریم: آنصورت دردارد. وجودJ رویk پریود با نقطه یک,…k=1,2 هر الف( برای

نقطه هیچ شامل که دارد وجود مثل ناشمارا مجموعه ب( یکسازد: می محقق نیز را زیر شرایط و شود نمی پریودیکیداریم هر ( برای1

داریم پریودیک نقطه و هر ( برای2

شود. می گفتهscrambled set باال، درS مجموعه به

19

بعدیn - سیستمهای2-4-2 باشد،snap-back repeller دارای و پیوسته : اگرماراتو قضیه

و لی تعریف از یافته تعمیم صورت به بعدیn گسسته سیستم آنصورت دربود. خواهد آشوبناک یورک

با ای نقطه دارایf تابع برای که دارد وجودN مثبت الف( عدد باشد.p پریود

نقطه هیچ شامل که دارد وجود مثل ناشمارا مجموعه ب( یکسازد: می محقق نیز را زیر شرایط و شود نمی پریودیکی1 )داریم هر ( برای2

داریم: پریودیک نقطه و هر ( برای3

هر برای طوریکه دارد وجود مثل ناشمارا مجموعه زیر ج( یکداریم:

A,B غیرتهی فشرده های مجموعه و پیوسته اگرکلودن: قضیه

طوریکه: باشند موجود صحیح اعداد و-l)باشد. در متناهی شعاع با بسته گوی با مورفیک هموAالف(

ball) ب( باشد. کننده منبسطA رویfج( د( ه( و( باشد. یک به یکB رویز(

20

باال. قضیه تعریف طبق بود خواهد آشوبناکf نگاشت اینصورت در ثابت نقطه قضیه از که تفاوت این با است قبلی مانند قضیه این اثباتشود. می استفادهl گوی همومورفیسم و 1بروور

باناخ - فضای2-4-3 که تفاوت این دارد. با وجود نیز باناخ فضای روی بر کلودن قضیه مشابه

فضای از محدب زیرمجموعه یک وA بین همومورفیسم یک الف فرض در ثابت نقطه قضیه از نیز آن اثبات باشد. در برقرار بایدX باناخ

شود. می استفاده 2شاودر

متریک فازی - مجموعه2-4-4 و فشرده های مجموعه زیرA,B و بوده است. ولی قبلی مانندبود: خواهد شکل این به نیز انبساط باشند. تعریف می از محدب

شود. می استفاده 3کالوا ثابت نقطه قضیه از نیز اثبات در

1 Brouwer fixed point theorem2 Schauder fixed point theorem3 Kaleva fixed point theorem

21