Bölüm 1: SAYISAL HESABIN NİTELİKLERİSayısal yöntemler, matematik problemlerinin, aritmetik işlemlerle çözülebilmelerini sağlayacak şekilde formüle edildiği tekniklerdir. Çeşitli sayısal yöntemler olmasına karşın, hepsinin ortak bir özelliği vardır: hepsi, değişmez bir biçimde, çok sayıda zahmetli aritmetik işlem içerir. Bu nedenle, hızlı ve verimli sayısal bilgisayarların gelişmesiyle son yıllarda mühendislik problemlerinin çözümünde sayısal yöntemlerin önemli bir rol alması hiç de şaşırtıcı değildir.

Bilgisayar öncesi devirde, problemin tanımlanması ve yorumu yerine çabanın çoğu çözüm tekniğine harcanıyordu. Bu şanssız bir durumdu, çünkü bilgisayar öncesi teknikler kullanarak sayısal çözümler elde etmek çok emek ve zaman gerektiriyordu.

Günümüzde bilgisayarlar ve sayısal yöntemler bu tip karmaşık hesaplamalara bir alternatif oluşturmaktadır. Bilgisayarın gücünü doğrudan çözümü elde etmede kullanarak, basitleştirmeler için varsayımlara ve zaman alıcı tekniklere gerek duymadan bu hesaplamaları yapabilirsiniz. Analitik çözümler hem problem çözümünde hem de problemin iyice anlaşılmasında son derece değerli olmalarına karşın, sayısal yöntemler, problemlere yaklaşmanızda ve çözmenizde olanaklarınızı büyük ölçüde genişleten alternatifler sunar. Sonuç olarak yaratıcı yeteneklerinizi kullanmak için daha fazla zaman kalır. Böylece, problem formülasyonu, sonuçların yorumlanması ve bütün sistemin birleştirilmesi veya “sezgisel” bilinç daha fazla vurgulanabilir.

Şekil 1.1: (a) Bilgisayar öncesi devirde ve (b) bilgisayar devrinde problem çözümünün

üç aşaması. Kutuların büyüklüğü her aşamaya verilen önemi göstermektedir.

FORMÜLASYON Temel Yasalar kısaca

açıklanır

ÇÖZÜM Problemin çözümünü kolaylıkla

kontrol elmek için ayrıntılı şekilde hazırlanmış ve çoğunlukla karmaşık yöntem

YORUM Çözüme harcanan

zaman nedeniyle derinlemesine analiz

sınırlıdır

YORUM Temel Yasalar kısaca

açıklanır

ÇÖZÜM Temel Yasalar

kısaca açıklanır

FORMÜLASYON Problemin bağıntıları

temel yasalara göre derinlemesine

uygulanır

(a) (b)

Bir Problemi Nasıl Çözeriz?

Problemin Tanımı

Matematiksel Model

Matematiksel Modelin Çözümü

Çözümün Kullanılması

Bilgisayarda Sayı Gösterimleri:

Bilgisayarda en küçük hafıza birimine bit adı verilir.Bir bit, 0 veya 1 gibi sadece iki değer alabilen hafıza birimidir.Böylece, bilgisayarda sayılar ikili tabana göre temsil edilirler.

Sekiz bit’ten oluşan hafıza birimine bayt adı verilir. Her bayt 28=256 farklı değer alabileceğinden 0,1,2,3,…255 sayısına kadar temsil edebilir.

Bu yapıya göre, bilgisayarda gösterimleri bakımından sayılar Tamsayılar ve Reel sayılar olmak üzere iki gurupta toplanırlar.

TAMSAYILAR

Ondalık Sistem: Elimizde ve ayağımızda 10’ar parmağımız

olduğundan en alışılmış sayı sistemi ondalık veya 10-tabanlı

sayı sistemidir. Taban, sistemi kurmak için referans alınan

sayıdır. 10-tabanlı sistem sayıları göstermek için 10 rakam

kullanır; 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Kendi başlarına bu rakamlar, 0’dan

9’a kadar saymak için yeterlidir.

Daha büyük nicelikler için bu temel rakamların birleşimleri

kullanılır, yer veya basamak değeri büyüklüğü tanımlanır. Bir

tamsayıda, en sağdaki rakam 0 ile 9 arasında bir sayıyı gösterir.

Sağdan ikinci rakam 10’un bir katını gösterir. Sağdan üçüncü

rakam 100’ün bir katını gösterir ve benzer biçimde devam eder.

Örneğin, 67,508 sayısında altı adet 10,000, yedi adet 1000, beş

adet 100, sıfır adet 10 ve sekiz adet 1 vardır.

18100105107106508,67 234

Benzer biçimde kesirli bir sayıda aynı yöntemler gösterilebilir.

Örneğin: 257.76 sayısının gösterimi aşağıdaki gibidir;

İki Tabanlı Sistem: Bilgisayarda sayılar iki tabanına göre veya

2-tabanlı bir sistemle gösterilir. Aynı ondalık sistemde olduğu

gibi, nicelikler basamak notasyonuyla gösterilebilir.

Örneğin: 10’lu tabana göre 173 sayısının ikili tabanda(binary)

gösterimi aşağıdaki gibidir.

)106()107()107()105()102(76.257 21012

210 )10101101()173(

)2120212120212021( 01234567

Desimal bir sayının binary sayıya dönüştürülmesi: x bir

tamsayı olmak üzere x, 2’ye bölünür ve kalan bulunur.

.

.

.

02akalan

x

14akalan

x

28akalan

x

nakalanm

x 202110 )()( aaaaX nnn

Tablo 1: 11 sayısının binary sayıya dönüştürülmesi.

Bölüm Kalan

11/2 5

5/2 2

2/2 1

1/2 0

01 a

31 a20 a

11 a

22012310 )1011()()11( aaaa

Başla

Giriş (N)10

i = 0

N 2 ile bölünerek Kalan R ve Bölüm Q bulunur

ai = R

Q = 0?

n = i(N)10 = (an. . .a0)2

DUR

N Tamsayısı binary formata

dönüştürülmelidir

i=i+1,N=Q

Hayır

Evet

Şekil 2:Desimal bir sayının binary sayıya dönüşüm şeması

Kesirli Bir sayının binary sayıya dönüştürülmesi:

Örnek: işlemi aşağıdaki biçimde yapılır. Bu sayı 2 ile çarpılır ve çarpım 1’i aşmış ise =1 alınır, aşan kısmı

1’den çıkarıp kalanı tekrar 2 ile çarparız. Çarpımın sonucu 1’den büyük ise ’lar 1, küçük ise 0 alınır ve tamsayı çıkana kadar çarparız.

Sonuç olarak,

elde edilir.

210 )()578125.0( X

100000.1500000.02

050000.0250000.02

125000.1625000.02

062500.0312500.02

031250.0156250.02

115625.1578125.02

5

4

3

2

1

0

ax

ax

ax

ax

ax

ax

2254321010 )100101.0()()578125,0( aaaaaa

a

0a

Başla

Giriş (F)10

F 2 ile çarpılarak desimalden önceki S ve sonraki T sayısı elde edilir.

ai = R

T =0?

n = i(F)10 = (a0. . .an)2

DUR

Binary formata dönüştürülecek F kesri

Hayır

Evet

T F1,ii

Şekil 3:Kesirli bir sayının binary sayıya dönüşüm şeması

Bütün kesirli sayılar tam olarak Binary biçiminde gösterilmeyebilir

Sayı Desimalden sonraki sayı

Desimalden önceki sayı

0.3x2 0.6 0.6

0.6x2 1.2 0.2

0.2x2 0.4 0.4

0.4x2 0.8 0.8

0.8x2 1.6 0.6

Örneğin (0.3)10=(X)2 sayısının gösterimi yaklaşık olarak aşağıda verilmiştir. Yaklaşık sonuç 0.28125’dir.

28125.0)01001.0()()3.0( 224321010 aaaaa

00 a

10 a

00 a

00 a

10 a

Tamsayıların Bilgisayarda Gösterimi:Belli bir büyüklüğe kadar olan tamsayılar bilgisayarda tam doğru olarak temsil edilirler. Ayrılan bayt sayısına göre tamsayıların temsil aralığı değişir. 2 bayt=16 bit’lik tamsayılarFortran dilinde INTEGER*2 denilen tamsayılar 2 bayt’lık alanda saklanırlar.

1 bayt = 256 değer aldığına göre2 bayt = 2562 =65536 sayıda değer alabilirler.

Bunu pozitif ve negatif aralıklara dağıtırsak;-32768 < 2-baytlık tamsayılar < 32767 aralığında

olabilirler.Negatif sayıların birinci bit’i 1 alınır.Örnek: 13 sayısının gösterimi.Öncelikle bu sayıyı ikili tabana göre yazarsak;

210

0123

)1101()13(

2120212113

xxxx

Buna göre 13 sayısı hafızada aşağıdaki gibi saklanır.

=13

-13 sayısı ise birinci bit tersine çevrilerek elde edilir.

=-13

Not: Bazı bilgisayarlarda negatif tamsayılar ikinin tümleyeni yöntemiyle saklanırlar: Pozitif tamsayı oluşturulduktan sonra tüm bit’ler tersine çevrilir.

4 bayt=32 bit’lik tamsayılar

Fortran dilinde INTEGER*4 denilen tamsayılar 4 bayt’lık alanda saklanırlar,

4 bayt = 2564 =232 =4294967296 sayıda değer alabilirler

-2147483648 < 4-baytlık tamsayılar < 2147483647

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

Reel Sayıların Bilgisayarda Gösterimi:

Reel sayılar ancak sınırlı sayıda haneyle temsil edilirler.

Örneğin sayısı ondalık hanesi istenildiği kadar uzatılabilen bir sayıdır.

gördüğümüzde bunun değerini 2 alırız. Fakat bilgisayarın bunu yapma olanağı yoktur. Bilgisayar önce 2’nin karekökünü alır, bunu 7-8 hane ile saklar, daha sonra bu sayının tekrar karesini alır.

Reel sayıların hafızada saklanma kuralları şöyledir;

•Tüm reel sayılar ondalıklı ve üslü standart bir yapıya getirilirler.

Örneğin aşağıdaki sayıları inceleyelim,

.....41421.12

22

98

5

3

10356,01056,3

10874,000000874,0

1092368,068,923

xx

x

x

Bu yapıya göre, her reel sayının üç bileşeni vardır.

•İşaret

•Ondalık hanesindeki sayılar (mantis)

•Üs

Sayıların bilimsel yazılışı işaret x mantis x 10üs

Ondalık hanesindeki sayılardan ne kadarının saklanacağı, üssün ne kadar büyük olacağı, reel sayılara ayrılan bayt sayısına göre değişir.

4-bayt’lık = 32 bit’lik reel sayılar:

Tek duyarlı, REAL*4 denilen sayıların 32 bit’lik alana yerleştirilmesi

İşaret üs ondalık

(1 bit) (8 bit) (23 bit)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

İşaret için ayrılan 1 bit’lik kısma pozitif sayılar için 0, negatif sayılar için 1 yazılır.

Üs için ayrılan 8 bit’lik kısım en fazla 255 sayıyı temsil edebileceğine göre, pozitif ve negatif üsler arasında bölüştürülürse;

en küçük üs

en büyük üs

Örneğin; 1,3 sayısının nasıl temsil edileceğini görelim.

•Birinci bit pozitif sayılar için 0, negatif sayılar için 1 olur. O halde 1,3 sayısının işaretinin temsili 0 olur.

•1,3 = 0,13 x 101 olarak yazdığımızda, ondalık kısım 13, üs 1 olur.

•13 sayısının ikili tabana göre temsili

13 = 1x23+1x22+0x21+1x20

olur.

•İlk 128 sayı negatif üsleri temsil ediyordu. Buna göre 0. üs 129, 1.üs 130 sayısıyla temsil edilir.

38128 102 38128 102

210 )1101(13

•Bu sayının ikili tabandaki temsili ise olur.

Bu sonuçları toparlarsak, 1,3 sayısının tek-duyarlı temsili şöyle olur.

Acaba tek-duyarlı temsilde reel sayılar en fazla kaç hane ile saklanabilirler?

Bunu görmek için, ondalık hanesine ayrılan 23 bit’in ondalık tabandaki temsiline bakalım;

Bu durumda, tek duyarlı sayılar en fazla 6-7 hane ile temsil edilebilirler. Buna göre, örneğin π sayısını,

Olarak yazmak boşunadır, bilgisayarda π sayısının tek-duyarlı temsili ancak

olabilir.

210 )01111110()130(

0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 3,1

9,6)2log(102 2323 xx

891415926535,3

141592,3

8-bayt’lık = 64 bit’lik reel sayılar:

Çift duyarlı, REAL*8 denilen sayıların 64 bit’lik alana yerleştirilmesi

İşaret üs ondalık

(1 bit) (11 bit) (52 bit)

Bu yapıya göre, çift duyarlı sayı türü hem daha yüksek üslü sayıları temsil edebilir, hem de daha çok ondalık hanesi saklayabilir.

Yukarıda tek-duyarlı sayı temsili için yaptığımız analiz burada çift duyarlı sayılar için benser şekilde yapıldığında,

• 11 bit’lik üs temsilinde en fazla 211 = 2048 sayı temsil edilebileceğine göre, pozitif ve negatif üsler arasında bölüştürülürse, en küçük üs 21024 ≈ 10-308 ve en büyük üs 21023 ≈ 10+307 olur.

0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

•Ondalık haneler 52 bit’lik alanda 252 ≈ 1015.6 yani 15-16 hane ile saklayabilir. Çift duyarlı sayıların bu özellikleri, sayısal hesaplarda hata payını en aza indirmekte önem kazanmaktadır.