Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ (Blm 1)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi1Bir bilgisayarda yaplan temel ilemlerAritmetik lemler: Toplama, karma, arpma ve Blmedir. Mantksal lemler: ki saynn byklnn iareti veya karlatrmasdr.Data Transfer: Hafzadaki veriyi bir yerden baka bir yere transfer eder.Giri/k lemleri: Bilgisayarda bilgi kn, bilginin okunmasn, yazlmasn kontrol eder.2Bilgisayarlar, saylar szck ad verilen birimlerde saklarlar. Bu birimler ikili basamaklar ve bitlerden oluur. Matematiksel saylar temsil edilerek deiik say sistemleri kullanlr. Genellikle kullanlan say sistemleri; Hexadecimal(16), Decimal(10), Octal(8) ve Binary(2)dir.3rnein; 8410 saysn onluk sistemde gsterecek olursak;

8103 + 4102 + 1101+ 0100 =

8000+400+10+0 = 84104Doubling (ikili say) prosedr olarak bilinen bir metot izlenebilir. Bir onluk say olan N u ekilde gsterilir.N=2Q1 + R1

Q1=2Q2 +R2Qk= 0 + Rk+1

Bu blmlerden kalan Rler tersten yazlarak ikili saylar elde edilir.B=Rk+1RkRk-1. R1

5RNEK:Decimal N=8410 saysn ikili sayya dntrrsek;

ZM: Sral olarak 2ye blmler takip edilir;

8,410 = (24,205) + 0 65 = (232) + 14,205 = (22,102) + 1 32 = (216) + 02,102 = (21,051) + 0 16 = (28) + 01,051 = (2525) + 1 8 = (24) + 0 525 = (2262) + 1 4 = (22) + 0 262 = (2131) + 0 2 = (21) + 0 131 = (265) + 1 1 = (20) + 1

8410 un binary karl kalan sondan baa doru basamaklar toplanarak verilir.

10000011011010 = 1213 + 0212 + 0211 + 0210 + 029 + 028 + 127 + 126 + 025 + 124 + 123 + 022 + 121 + 020

6Saylarn TemsilleriSaylar genellikle normal form notasyonlar kullanlarak elde edilir.

x = m.10E 10-1 < m < 1x 0 iin m mantis, E str.

0 says toplam olarak normal notasyona sahiptir. 0.1007Eer bir say normal formda veya kayan noktal formunda yazlmak istenirse u ekilde olmaldr; x = 0.d1 d2 d3 ... dk10nd1 0 ve dk 0 la bir saynn nemli basamaklar olduunu ve saynn gerek deerine gre gvenle kullanlabilen basamaklar olduunu syleyebiliriz.8Ondalk noktalar kaydrmak iin kullanlan 0 noktalar nemli basamaklar olarak saylmazlar. Kalan sfrlar ise bazen nemli sayldklar gibi bazen nemsiz olarak da saylabilirler.

rnein;X=0,0002815 4 nemli figre sahiptir.X=1,200 4,3 veya 2 nemli figre sahip olabilir.

Baz rnekler de unlardr;46.45072800 = 0.46450728x102 8,9 veya 10 nemli basamak -335.12= -0.33512x103 5 nemli basamak 0.00517 = 0.517x10-3 3 nemli basamak 0.74 = 0.74x100 2 nemli basamak

9Saylarn Bilgisayarda Gsterimi

ekilde ikili taban olarak temsil edilen bir saynn ondalk karl verilmitir.

-(026 + 025 + 024 + 123 + 022 + 121 + 120)= -(0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1)= -11

Bir tamsaynn 8 bitle binary gsterimi10rnek8 bitlik makine dilinde ifade edilebilecek en byk tam say;Imax = +(126 + 125 + 124 + 123 + 122 + 121 + 120) = +( 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 ) = +(127) = +(27 - 1)

genelde ;

Imax = +[2(n -1) - 1]; Imin = -[2(n -1) - 1]Bilgisayarlar 32 bit kelime kulland iin (n=32);

Imax = 2,147,483,647

11Bir kayan noktann yazlmas

x= iaret.m.b(iaret)E

Burada m mantis, b taban ( b=2 binary sistem iin) ve E ise sdr.12rnek

8 bitlik bir makinede, (binary tabanl say sistemi), sfr olmayan en kk kayan noktal pozitif saynn ondalk tabanndaki karl nedir, hesaplaynz. Not: Kayan noktal say sisteminde, bir bit mantis iareti iin, 4 bit mantisin kendisi iin, bir bit s iareti iin ve 2 bit de s basamaklar iin kullanldn gz nnde bulundurunuz.zm:m = +(023 + 022 + 021 + 120)m = +( 0 + 0 + 0 + 1 ) = 1E = -[(121) + (120)] = -(2+1) = - 3say = 12-3 (ondalk sistemde 0,1250 saysna eittir.)13HatalarSaylarn kesinlii, doruluu ve tahmini ele alndnda ne fiziksel lmler ne de aritmetik hesaplamalar tam olarak kesinlik tamaz.

Bir mhendisin zdeyii u olmaldr:Bilimde kesin, doru veya tam olan hibir ey yoktur.

Doruluk; tahmin edilen bir deerin veya cevabn, onun ne kadar tam olduunun gerek lsdr. Birok durumlarda kesinliin deeri bilinmediinden, en iyi ve doru cevap genellikle en iyi tahmin edilen deere gre llr.

Kesinlik; bir niceliin deerlerinin defalarca llmesi ile lmlerin birbiriyle ne kadar yaknlkta olduunun ifadesidir. Bylece nemli figrlerin sunumu, lmlerin ortalamas ve varyans ile ifade edilir.14HatalarMutlak Doru HataEt =(gerek deer) - (yaklak deer)

Yaklak Mutlak HataEa =(en iyi tahmin) - (yaklak deer)

Doru Bal Hataet =(gerek deer) - (yaklak deer)/gerek deer

Yaklak Bal Hataea = (en iyi tahmin) - (yaklak deer)/ en iyi tahmin

15Dizi, sralar ve tekrarlamalar iin yaklak hata yle tanmlanabilir;

Yaklak mutlak hata (tekrarlamal hesaplar iin);Ea= gncel deer nceki deer

Yaklak bal hata (tekrarlamal hesaplar iin);ea= gncel deer nceki deer / gncel deerBir niceliin tam deeri verilmedii zaman gerek bir hatann hesaplanmas mmkn deildir. Bununla birlikte hatann snrlarn belirlemede yaklak hata kullanlr. Bunun iin Scarborough Kriteri kullanlabilir.

Scarborough Kriteri;Eer yaklak bal hata ea < 0.510-m ise o zaman sonu m nin en kk basama iin dorudur.16RNEK: Arctan iin terim saylarnn hesaplanmasnda Taylor serisindeki iki nemli basamak olan deeri ve x=1.0 olan noktann bilinmesi gerekir. = 3.141592653589793 says aadaki fonksiyon ile gsterilir; = 4.0 Arctan(1.0)Sonsuz seri yle verilmitir;

n=1,2,3,. Yukardaki seriden hesaplanan cevabn kendi cevabnzla kontrol ediniz. Doru bal hata ve yaklak bal hata, terim says fonksiyonu ile ilgilidir.17Bu tr serilerde eann tanm aadaki gibidir; ea= gncel deer nceki deer / gncel deerea= son kullanlan terim gncel toplam

Eer bu gncel toplamn iki nemli basamaa doru olduunu farz edersek;ea 4 (-1)(n+1) x2n-1/(2n-1)/(3.14) x = 1

Scarborough kriterine gre;ea (4/3.14)/(2n-1) < 0.510-2

Bu denklem zldnde n=127 bulunur.18MATLAB zmx=1;sum=0;ilk toplam deeripi=4.0*atan(1.0); saysnn ilgili olduu fonksiyonfor n=1:130dngye balasign=(-1)^(n+1);sign fonksiyonun deerinominator=x^(2*n-1);denominator=2*n-1;sumlast=sum+4*sign*nominator/denominator;serinin bir sonraki deeritrerr=abs(pi-sumlast)/abs(pi);doru bal hataarerr=abs(sumlast-sum)/abs(sumlast);mutlak bal hataplot(n,arerr,'--r*',n,trerr,'--b+');doru ve bal hata erilerini izhold on;xlabel('n terim says');X eksenine yazylabel('hata');Y eksenine yazsum=sumlast;yeni toplam ile eski toplamn yerini deitirEnddng sonutext(25,0.6,'* yaklak bal hata');text(25,0.5,'* doru bal hata');19Gerek ve yaklak bal hata karlatrmas

20Bilgisayar hatalarou bilgisayarlar temsil edilenden daha fazla basamaklara ayrlr. yle ki; bir mantis iin basamaklar uygun saylara dnmedii zaman, bilgisayarlar bu saylar yuvarlar.

rnein; bir bilgisayarda 3 basamakl bir mantis 68.501, 0.068E03 eklinde temsil edilir. Yuvarlamak veya paralamak iin kullanldnda 0,069E03 olarak temsil edilir.21 karma Hatas

Bu hata eit iki say karld zaman meydana gelir. Bir rnekle bunu aklarsak;

x = 40,000.01 ve y = 40,000 ise 3 basamakl mantis iin x-y nedir?

0.4000001x105-0.4000000x105_______________________0.000 x105 = 0.0

Yuvarlamadan dolay hata olutu.Byk bir sayya kk bir say eklendiinde, kayda deer hata oluur. rnein; 3 hanelik mantisten oluan hipotetik ondalk bilgisayar kullanlarak, 250 Kelvin scaklna, 0,4 Kelvinlik bir scaklk eklersek, sonucu deitirmedii grlr ki, bu bir hatadr.

0.250x1030.0004x103_______________________0.250 x103 = 250 K

22 Kesme Hatalar

Kesme hatalar, bir seri formlnde belirli bir saydaki terimin ihmal edilmesi sonucu ortaya kan hatalardr. Verilen geometrik seride -1