Upload
atomer-formation
View
229
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
1/162
1
UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREYDE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE
DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029_____ _____ _____
THESEprsente par
Igor BOGDANOFF_____
En vue dobtenir le grade de
DOCTEUR DE LUNIVERSITE DE BOURGOGNE
Spcialit : Physique thorique_____
ETAT TOPOLOGIQUE DE LESPACE-TEMPS
A LECHELLE ZERO
Soutenue publiquement lUniversit de Bourgogne
Le 8 Juillet 2002
____
examine par le jury compos de
Gabriel SIMONOFF PrsidentRoman JACKIW RapporteurJack MORAVA RapporteurHans JAUSLIN ExaminateurDaniel STERNHEIMER ExaminateurJac VERBAARSCHOT Examinateur
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
2/162
2
REMERCIEMENTS
Je veux tout dabord saluer ici la mmoire de Mosh Flato qui avait
accept la tche ingrate de diriger cette recherche et auquel le destin
naura pas laiss le temps den connatre la fin. Ses anciens compagnons
damiti et de travail les membres du laboratoire Gevrey de
Mathmatique Physique et, enparticulier,Daniel Sternheimer vers lequel
va aujourdhui toute ma gratitude pour avoir accept de reprendre ce t
hritage savent que sans ses encouragements constants et laide quil a
su mapporter, ce travail nauraitprobablementpas existen la forme.
Etcesttoutnaturellementque je le lui ddie.
Lespremires tapes de cette recherche sontlies laccueil qua bien voulului rserverGabriel Simonoff, de lUniversit de BordeauxI, aujourdhui
prsident du Jury de cette thse. Je veux lui exprimer ma profonde
reconnaissance pour son aide prcieuse et le soutien quil a bien voulu
mapporter au long des annes.
Ma gratitude va galementversJac Verbaarschot, de lUniversitde New
York Stony Brook, qui a bien voulu accepter la codirection de cette
recherche. Jai eu grce lui le privilge de dcouvrir certains aspects
inattendus et toujours essentiels de la thorie topologique des champs.
Dans le mme esprit, je veux tmoigner ma profonde reconnaissance
RomanJakiw, du MassachusettsInstitute of Technology, qui ma fait
lhonneurdaccepterdtre le rapporteurquantaux aspects physiques de
laprsente recherche.Il a notamment fait apparatre que certains de mes
rsultats dbouchentsur une interprtation nouvelle dune dcouverte (le
rle du terme de Chern-Simons) laquelle son nom, avec ceux de S.
Deser et de S. Templeton, est attach.De celaje le remercie.De mme, je
remercie vivementJackMorava de lUniversitJohn Hopkins, qui a
accept dtre le second rapporteur de ce travail, plus particulirement
pourcertains dveloppements en interaction avec les mathmatiques.
Ma gratitude sadresse galement Hans Jauslin, de lUniversit de
Bourgogne, qui a bien voulu accepterde faire partie du jury en raison du
contenu de physique thorique de ce travail.
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
3/162
3
Enfin, je tiens remercierles responsables qui ont permis la soutenance de
ce travail, parmi lesquels Jean-Claude Colson etJean-Michel Guillaume,
du service de la Recherche et Etudes Doctorales de lUniversit de
Bourgogne, ainsi que Batrice Casas, du laboratoire Gevrey de
Mathmatique Physique, qui ma apport son aide dans le cursus
administratif de cette soutenance.
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
4/162
4
TABLE
Remerciements
INTRODUCTION GENERALE .........................................................................................1
CHAPITRE I.ETATKMSDELESPACETEMPSALECHELLEDEPLANCK....................8
1.1 Equilibre thermique du (pr)espace-temps lchelle de Planck.....................9 1.2 ConditionKMS lchelle de Planck................................................... ........ 11 1.3 Complexificationde lacoordonne genre temps lchelle de Planck ........ 13
1.4 Etat KMSet facteurs ................................................... .................................... 15
-Lchelletopologiquezro : = 0, signature {++++} .............................. 16 -Lchellequantique : 0< < Planck , signature {+++}..... ...... ...... ..... ...... 17 -Lchelle physique: > Plancksignature {+++ } ................................... 18
CHAPITRE II. LALIMITE TOPOLOGIQUE DE L'ESPACE-TEMPS
AL'ECHELLE ZERO................................................ .......................... 25
2.1 Thorie topologiquedes champs ................................................... ................. 252.2 Une nouvelle limite topologique.................................................. ................. 262.3 Echelle zroet premier invariant de Donaldson............................................ 272.4 Dualit entre mode Physique et mode topologique ...................................... 332.5 Transitionentre tat topologique et tat physique ....................................... 42
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
5/162
5
CHAPITRE 3. AMPLITUDE TOPOLOGIQUE AL'ECHELLE ZERO....................... 44
3.1 Charge topologiquede l'instantonsingulier de taille zro.............. 44
3.2 Conjecture :origine topologiquede l'interactioninertielle............ 45
CONCLUSION................................................. ........................................................ ........ 48
BIBLIOGRAPHIE ...................................................... ...................................................... 51
PUBLICATIONS ANNEXEES
- Topological Field Theory of the Initial Singularity ofSpacetime Class. andQuantum Gravity vol18 n 21 (2001)- Spacetime Metric and the KMS Condition at the Planck Scale
Annals of Physics vol295 n 2 (2002)- KMS State of the Spacetime at the Planck Scale Ch.J. ofPhys. (2002)
- Topological Origin ofInertiaCzech . J. ofPhys. 51,N 11 (2001)
----------------
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
6/162
6
INTRODUCTION____
L'objectif de la prsente recherche, dans le contexte de la supergravit N=2, consiste proposer une
solution au problme pos par l'existence et la nature de la Singularit Initiale de l'espace-temps
propre au modle cosmologique standard. L'une des insuffisances (sans doute la plus proccupante)
du modle type "Big Bang" reste en effet son inaptitude fournir une approche de l'origine singulire
de l'univers. Associe l'chelle zro de l'espace-temps, la Singularit Initiale ne peut tre dcrite par
la thorie physique (perturbative) en raison des divergences non renormalisables qui la caractrisent.
En revanche, nous proposons ici, notamment dans l'article publi en rf[1] et ci-joint en annexe [A1],l'existence d'une solution dans le cadre d'une thorie duale, non perturbative, relevant de la thorie
topologique des champs[2].
L'originalit de cette solution rside en ce qu'elle implique, en sus de l'tat physique, l'existence
possible, en de de l'chelle de Planck, d'un "tat topologique" de la mtrique du (pr)espace-
temps. Un tel tat s'inscrit logiquement dans le cadre de la thorie Euclidienne des champs propose
par J. Schwinger et applique il y a longtemps dj par S.Hawking en cosmologie quantique (voir la
rf[3] pour les travaux typiques de ces deux auteurs). Toutefois, l'interprtation purement
"topologique" des contraintes propres la gravit quantique rsulte d'une srie de rsultats rcents
obtenus par G.Bogdanoff[3] et indiquant l'existence probable de "fluctuations quantiques" (ou q-
superposition) de la signature de la mtrique l'chelle de Planck. En effet, il a t montr qu' cette
chelle (i.e. chelle de supergravit N = ...) la signature Lorentzienne de la mtrique (+++ ) ne
devrait plus tre considre comme fixe mais est trs probablement soumise des fluctuations
quantiques (+++) jusqu' la limite d'chelle zro.En outre, il a t tabli, toujours en rf[3], qu'en
raison de contraintes algbriques tout autant que physiques, il est galement probable qu'une telle
fluctuation de signature ne peut intervenir qu'entre la forme Lorentzienne (3, 1) et la forme
Euclidienne (4,0), l'exclusion de la forme ultra-hyperbolique (2,2) (sur ce point, voir les chaps. 1,
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
7/162
7
3, 4 de la rf[3]). La thorie de fluctuation de la signature de la mtrique a t dveloppe ou
applique de diffrentes faons depuis, notamment en rf.[4]. Ces dveloppements rcents
conduisent dans tous les cas des rsultats sensiblement analogues ceux de la rf.[3].
Du point de vue physique, cette notion de fluctuation quantique de la signature peut tre vue comme
une consquence directe de la condition de KUBO-MARTIN-SCHWINGER (KMS) [5] laquelle
est trs probablement soumis le systme thermodynamique form par l'espace-temps l'chelle de
Planck. Cette approche a t tablie pour la premire fois en rf[3] et dveloppe par nous dans la
rf[1, A1] dj cite ainsi que, plus spcifiquement, dans les rf[6,7] ci-jointes en annexes [A2-A3].
Nos propositions formalises dans les travaux cits indiquent en effet que, compte tenu des
importants rsultats de Dolan et Jackiw [8] puis de Weinberg [9] concernant le comportement
thermique de l'univers primordial haute temprature, il est raisonnable de considrer que le
(pr)espace-temps se trouve en tat d'quilibre thermique l'chelle de Planck. Il est alors naturel
d'en dduire qu'en tant que systme thermodynamique, ce mme (pr)espace-temps est soumis la
condition KMS la mme chelle. Sur la base de cette approche, nous tablissons (notamment en
termes d'algbres d'oprateurs) qu' l'chelle zro, la signature de la mtrique doit donc tre
considre comme Euclidienne. Nous prsentons nos principales propositions dans ce domaine en
section I. Celles-ci sont exposes pour l'essentiel dans les articles [1-A1] et [6-A2, 7-A3] annexs
la prsente thse.
Par ailleurs, de manire vidente, la notion de fluctuation de signature de la mtrique entre l'chelle de
Planck (limite infrarouge de la thorie de fluctuation) et l'chelle zro (limite ultraviolette) apparat
comme une consquence naturelle de la non-commutativit de la gomtrie de l'espace-temps
l'chelle quantique [10]. Dans un tel contexte a d'ailleurs t construit, en termes d'algbres de Hopf
et toujours en rf[3], le "produit bicrois cocyclique"
Uq(so(4)op Uq(so(3,1)) (1)
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
8/162
8
o Uq(so(4))op reprsente l'algbre de Hopf (ou "groupe quantique") Euclidien et Uq(so(3,1)) le
groupe quantique Lorentzien, le symbole dsignant un produit bicrois et un 2-cocycle de
dformation (voir les rfs [11,12]) pour des dveloppements plus prcis). Le produit bicrois (1)
suggre alors un genre inattendu d'"unification" entre les algbres de Hopf Lorentzienne etEuclidienne l'chelle de Planck et induit la possibilit d'une "q-dformation" de la signature de la
forme Lorentzienne (physique) la forme Euclidienne (topologique) [3-13]. En outre, l'qu.(1)
dfinit implicitement une transformation de (semi)dualit (au sens de Majid [12]) entre les groupes
quantiques Lorentzien et Euclidien (cf. equ.(27)). Nous revenons sur cet important rsultat au
paragraphe (2.2).
Du point de vue des groupes classiques, la fluctuation de la signature de la forme Lorentzienne vers la
forme Euclidienne peut tre dcrite par l'espace homogne symtrique construit en rf.[3 ]:
h=SO(3,1) SO(4)
SO(3)(2)
SO(3) tant plong diagonalement dans le produit SO(3, 1) SO(4). A partir de h, l'on peut
construire l'espace topologique quotient top =3, 1 4
SO(3), espace topologique spar susceptible
de dcrire la possible superposition des deux mtriques Lorentzienne et Riemanniennes. Il a t
montr dans [3] que top comporte un point singulier unique S pouvant correspondre l'origine de
l'espace de superposition .
Revenons prsent aux aspects physiques de la thorie de superposition. Comme nous l'indiquons au
(5.1 ) de la rf [1-A1], il devrait exister, l'chelle de Planck, une limite la temprature - et la
courbure - du (pr)espace-temps, limite postule par Hagedorn, et prcise par Atick et Witten [14], au
del de laquelle l'on devrait considrer un secteur purement topologique de l'espace-temps, dcrit par
la thorie topologique des champs de Witten ou Donaldson. Le premier invariant de Donaldson est une
forme algbrique "Riemannienne" dont nous suggrons au (2.3) l'isomorphisme avec l'invariant
topologique caractrisant, selon notre approche, la limite d'chelle 0 (cf. [1-A1]). A une telle chelle, la
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
9/162
9
thorie ne devrait donc plus tre considre comme singulire mais devrait plutt tre redfinie sous
une nouvelle forme, Euclidienne et topologique. Cette approche repose sur deux ides essentielles :
((i) Conformment certains rsultats en thorie des (super)cordes, notamment ceux de E. Kiritsis et
C. Kounnas dans [15], nous considrons l'hypothse selon laquelle, trs haute courbure (i.e.
l'chelle de Planck T ~ MPlanck) la gravitation classique, dcrite par l'approximation O(1/MPlanck)
n'est plus valable. Nous proposons donc d'introduire, dans le Lagrangien "quantique" de la thorie,
des termes de drives suprieures en R2 (tout en considrant, en dimension 4, la possibilit d'un
"cut off" des termes de drives plus hautes sur la limite R2, ce qui limine les termes en R3+ ... +
Rn de la thorie des cordes). Les dtails de cette construction peuvent tre examins dans la rf[3].
(ii) Suite nos rsultats publis en [1-A1] et [6-A2], nous conjecturons que ces termes peuvent
autoriser la superposition (3, 1) (4, 0) de la signature de la mtrique dans le cadre d'une thorie
largissant la gravitation classique de type Einstein. A partir des indications du (5.1) de [1-A1] selon
lesquelles l'espace-temps l'chelle de Planck devrait tre vu comme soumis la condition KMS,
nous reprenons l'approche tablie en rf[3] concernant l'existence de deux potentiels gravitationnels
distincts. Nous conjecturons alors qu'en supergravit R + R2 (et en N = 2), l'approximation
linarise de la mtrique de Schwartzschild peut tre considre comme une solution locale exacte de
la thorie tendue. Nous rapprochons cette conjecture des rsultats physiques obtenus en [3], selon
lesquels la prsence de termes non-linaires R2 dans le Lagrangien effectif de supergravit peut
autoriser la superposition (3, 1) / (4, 0) de la signature de la mtrique partir de l'chelle de Planck
Au (1) de la rf [1-A1], nous prcisons le contenu du Lagrangien quadratique qui nous parat le plus
naturellement adapt aux conditions de trs hautes courbures de la varit, lorsque
l'chelle lPlanck (i.e. pour des chelles de longueur "infrieures" la longueur de Planck).
Notons qu'au sens strict, la notion "infrieur la longueur de Planck" n'a plus de signification en
termes de distance, en raison mme de la perturbation portant sur la mtrique Lorentzienne. Notre
Lagrangien "tendu" est alors :
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
10/162
10
Lsupergravit =R
1
g2R
2 RR* (3)
avec une composante physique Lorentzienne (le terme d'Einstein R ) et une composante
topologiqueEuclidienne (le terme topologique RR*). L'interpolation entre ces deux composantes,
selon un mcanisme que nous suggrons ci-dessous, nous incite donc considrer que Lsupergravit
dcrit correctement les deux ples (physique et topologique) d'une mme thorie (la superposition)
ainsi que les deux mtriques associes.
Nous indiquons ainsi qu' la limite d'chelle = 0, la thorie, de dimension D = 4, rduite RR*,
domine par des instantons gravitationnels de dimension 0, peut tre vue comme purement
topologique. Dans ce secteur, la mtrique est statique, dfinie positive Euclidienne (+ + + +). Le
domaine de validit de l'volution Euclidienne s'tend jusqu' l'chelle de Planck ~ lPlanck. Au
del de l'chelle de Planck ( lPlanck), la thorie est de type Lorentzien et galement de dimension
D = 4. Enfin, dans le secteur de gravit quantique (0 lPlanck), la thorie, dfinie par la
quantification du groupe de Lorentz, possde une dimension supplmentaire (D = 5), laquelle autorise
la superposition des deux classes Lorentzienne et Euclidienne (ce qui induit une phase de
"fluctuation" des signatures (3, 1) (4, 0). La dynamique du (pr)espace-temps pourrait alorscorrespondre l'expansion d'un monople gravitationnel de dimension 5 tandis que l'tat de
superposition quantique de la mtrique peut tre associe (aprs compactification de la quatrime
coordonne spatiale du monople D = 5) une dualit monople-Instanton d'un genre nouveau en
dimension 4 (sur ce point, voir encore la rf.[3]).
Enfin, lorsque lPlanck , l'espace-temps entre dans la phase Lorentzienne conventionnelle de
l'expansion cosmologique.
En fonction de ce qui prcde, l'un des rsultats les plus importants prsents en rf.[1-A1] est donc
qu' l'chelle zro, la signature du (pr)espace-temps peut nouveau tre considre comme fixe,
mais sous une formeEuclidienne(++++). Ceci est important dans la mesure o la thorie Euclidienne
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
11/162
11
peut tre interprtecomme la plus simple des thories topologiques des champs. Nous prsentons en
section 2 nos rsultats propres obtenus dans le cadre de la thorie topologique des champs. Ces
rsultats sont dtaills dans l'article [1-A1] joint en annexe. Une autre application possible de la thorie
topologique en cosmologie est galement propose dans l'article [16-A4].
Nous suggrons alors ci-aprs que la Singularit Initiale de l'espace-temps correspond un instanton
gravitationnel singulier de taille zro, caractris par une configuration Riemannienne de la mtrique
en dimension D=4. Dans cette perspective, le problme pos par la Singularit Initiale peut trouver une
solution dans le cadre de la thorie topologique des champs. Plus prcisment, nous suggrons que
l'chelle singulire zro peut tre dcrite en termes d'invariants topologiques (en particulier le premierinvariant de Donaldson ( 1)n i
i
). Nous introduisons ainsi un nouvel indice topologique, relie
l'chelle zro de l'espace-temps, de la forme
Z 0
=Tr(-1)s (4)
que nous appelons "Invariant de Singularit". Cette approche topologique de l'chelle zro, fonde sur
la thorie des instantons gravitationnels, comporte plusieurs consquences intressantes. Parmi celles-
ci, il nous a paru pertinent de mettre en vidence l'existence possible, l'chelle zro de l'espace-
temps, d'une "amplitude topologique" (relie la charge topologique de l'instanton gravitationnel
singulier de taille zro). Nous en tirons une conjecture inattendue, selon laquelle linteraction
inertielle, hors de porte de la thorie des champs, pourrait en revanche tre correctement dcrite dans
le cadre de la thorie topologique des champs. Nous dveloppons cette conjecture publie en rf. [16-
A4].
La prsentation de notre recherche est organise comme suit. En section I, nous rappelons nosrsultats publis en [5-A2, 6-A3] suggrant que le (pr)espace-temps, en quilibre thermique
l'chelle de Planck, est soumis la condition KMS. En section 2, nous rsumons nos principales
dmonstrations et exemples publis principalement en [1-A1] et indiquant que la limite d'chelle zro
du (pr)espace-temps (dans le contexte de la supergravit N=2) peut tre dcrite par la thorie
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
12/162
12
topologique des champs. Nous proposons alors une solution nouvelle au problme pos par la
Singularit initiale de l'espace-temps dans le cadre de la thorie topologique des champs. Enfin, en
section 3, nous prsentons nos rsultats publis en rf[16], en particulier la conjecture (4.2) suggrant
l'existence d'une amplitude topologique au voisinage de la Singularit Initiale de l'espace-temps. Cesrsultats sont joints en annexe [A4].
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
13/162
13
CHAPITRE 1
__
ETAT KMS DE lESPACE-TEMPS
A LECHELLE DE PLANCK
_______
Nous fondons notre approche du (pr)espace-temps lchelle quantique sur lune des conditionsphysiques les plus naturelles prdites par le Modle Standard lchelle de Planck. En accord avec
[7,8], et en particulier avec les rcents rsultats de Kounnas etal [17,18], nous prtendons dans la
prsente thse qu lchelle de Planck, le (pr)espace-temps, en tant que systme thermodynamique,
est en tat dquilibre thermodynamique[3]. Nous introduisons ce point de vue au (5.1) de notre
article publi en rf[1-A1]. Or selon des rsultats plus spcifiques prsents en [6-A2, 7-A3],
limportante consquence de cette approche est que le (pr)espace-temps lquilibre lchelle de
Planck devrait donc tre considr comme soumis la condition de Kubo-Martin-Schwinger (KMS)
[5]. De manire inattendue, la thorie KMS et la thorie modulaire pourraient comporter des
consquences spectaculaires sur la physique lchelle de Planck. Ceci en raison des effets KMS.
En effet, nous montrons dans les articles publis en rf. [1-A1, 6-A2, 7-A3] quappliques lespace-
temps quantique, les proprits KMS sont telles qu lintrieur des limites de la bande KMS (i.e.
entre lchelle zro = 0 et lchelle de Planck = Planck), la direction genre temps du systme
devrait tre considre comme complexe: t tr iti . Dans ce cas, lorsque 0, la thorie est
projete sur la limite purement imaginaire t iti de la bande KMS.Inversement, sur la limite
infrarouge Planck, la direction genre temps devient purement relle t tr Ceci signifie qu
lintrieur des limites de la bande KMS, les mtriques Lorentzienne et Euclidienne devraient tre
considres en tat de superposition quantique (ou couples), ceci induisant une unification (ou
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
14/162
14
couplage) entre ltat physique (Lorentzien) et ltat topologique (Euclidien) du (pr)espace-temps
lchelle de Planck.
Commenons par rappeler les principaux rsultats concernant le possible quilibre thermique du(pr)espace-temps lchelle de Planck.
1.1 Equilibre thermique du (pr)espace-temps lchelle de Planck
Il est bien connu qu lchelle de Planck, lon doit sattendre une phase de transition
thermodynamique, troitement relie (i) lexistence dune limite suprieure la croissance de la
temprature (la temprature de Hagedorn) [14] et (ii) ltat dquilibre thermodynamiquecaractrisant
globalement le (pr)espace-temps cette chelle [3].
Dans ce contexte, les investigations dj cites de Dolan-Jackiw [8] et S. Weinberg [9] puis plus tard
de plusieurs autres (voir [3]) ont renouvel lide de Hagedorn concernant lexistence, trs haute
temprature, dune limite restreignant la croissance de lexcitation des tats du systme.Plus
rcemment, J.J. Atik et E.Witten ont montr lexistence dune limite de Hagedorn en thorie des
cordes [15]. La raison est que, comme rappel par C. Kounnas en thorie des supercordes
N = 4 , temprature finie, la fonction de partitionZ() et lnergie moyenne U()prsentent des
ples singuliers en T , dans la mesure o la densit des tats du systme crot
exponentiellement avec lnergie E (cf. rf[18]):
Z() dE (E)e E ~1
( b)(k 1)
U() lnZ~ (k 1)
1
b
Manifestement, il existe donc au voisinage de lchelle de Planck une temprature critiqueTH b1 ,
temprature limite laquelle le systme (pr)espace-temps peut tre considr en tat dquilibre
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
15/162
15
thermodynamique, comme rappel en rf. [3]. En fait, a(t) reprsentant le facteur dchelle
cosmologique, la temprature globale T du systme obit la loi bien connue:
T(t) Tpa(tp )
a(t)
(5)
et selon le Modle Cosmologique Standard, au voisinage de lchelle de Planck, T atteint la
temprature limite TpEp
kB
C5
G
1
2
kB1 1,4.1032 K . En fait, il est couramment admis en thorie
des cordes que, avant la phase dinflation, le rapport entre le taux dinteractions ( ) des champs
initiaux et lexpansion (H) du (pr)espace-temps estH
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
16/162
16
(A) = Tr(e HA)/Tr(e H)
etsatisfaitla condition KMS.
Nous fournissons une dfinition plus technique dans larticle publi en rf[6]. La dfinition (1.2.1) a
t rappele notamment dans la rf[10]. A prsent, il est habituel (et naturel) dopposer la notion
dquilibre celle dvolution dun systme. En fait, la clbre thorie modulaire de Tomita-Takesaki
a tabli que la dynamique intrinsque dun systme quantique correspond, dune manire unique, au
groupe dautomorphismes un paramtre fortement continu t dune C* - algbre de von
Neumann A [19]:
t(A) = ei H tA e i H t (6)
Ce groupe un paramtre dcrit lvolution temporelle des observables du systme et correspond
lalgbre de Heisenberg. Cependant, nous devons aussi tenircompte de la remarquable dcouverte de
Takesaki et Winnink, reliant le groupe dvolution t (A) du systme (plus prcisment le groupe
modulaire M= itM it) avec ltat dquilibre (A)Tr(Ae H)
Tr(e H)de ce mme systme [10]. La
condition KMS nest autre que cette relation entre volution t(A) et quilibre (A) dun systme.
Plus prcisment, dans le cadre de la mcanique statistique quantique, la condition KMS fournit une
formulation mathmatique rigoureuse de la coexistence de diffrents tats dquilibre possibles la
mmetemprature donne T.
En effet, il a t tabli [5] quun tat sur une C*-algbre A et le groupe dautomorphismes un
paramtre t(A) la temprature = 1 / k T vrifient la condition KMS si, pour tout couple A, B
de la * - sous-algbre deA, il existe une fonction (tc) holomorphe dans la bande {tc = t + i ,
Im t c [ 0 , ] } telle que:
24. (t) = (A ( tB)) ,
(ii) (t+ i ) = ( t(B)A), t . (7)
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
17/162
17
En outre, un tat sur la C*-algbreA est sparateur si la reprsentation algbrique donne est une
algbre de von Neumann W* munie dun vecteur cyclique et sparateur. Les ensembles
Il
= {A A (A *A ) = 0}etIr= {A A : (A A* ) = 0}
forment un idal gauche et droite dansA . Pour tout tat KMS, lon a I l = I r.
La dfinition ci-dessus exprime la relation bijective entre tat lquilibre, tat holomorphe des
paramtres de mesure et condition KMS.
A prsent, comme nous le rappelons en [6-A2], si lon admet quau voisinage de lchelle de Planck
un tat du systme (pr)espace-temps satisfait la condition dquilibre dquilibre
([h, t(A)])dt 0, A U, alors, daprs [10], lon est amen admettre que ce systme est
soumis la condition KMS.
A partir de ce rsultat tabli pour la premire fois en [3] et dvelopp depuis (quoique dans une
contexte diffrent) par Derredinger et Lucchesi dans [20, 21], nous considrons prsent la possible
transformation holomorphe de la coordonne genre temps du systme (pr)espace-temps en tat KMS.
1.3Complexification de la coordonne genre temps lchelle de Planck
Lune des consquences de la condition KMS est quelle induit de manire naturelle lexistence dun
nouveau degr de libert sur le signe de la direction genre temps g00 de la mtrique. En effet,
lintrieur de la bande KMS, lon doit considrer la transformation [10-21]:
t = tr+ i ti (8)
De mme, la temprature (relle) devrait galement tre considre comme complexe lchelle de
Planck:
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
18/162
18
Tc = Tr+ iTi (9)
Une telle transformation est lie au fait qutant donn un systme quelconque soumis la condition
KMS et considrant une algbre de von NeumannMsur laquelle peut tre dtermin un tat (ainsi
que deux lments A, B de M ), alors il existe une fonction (z) holomorphe dans la
bande z , imz 0, telle que:
(t) = (A ( tB)) (10)
et (tr+ i ) = ( t(B)A), t . (11)
Ici, t est le paramtre temporel du systme, de mme que le paramtre dchelle kT. Ainsi dans
notre cas, le systme thermodynamique lquilibre tant lespace-temps lui-mme, lintrieur des
limites de la bande KMS, i.e. de lchelle zro ( = 0) lchelle de Planck ( = Planck), la direction
genre temps du systme doit tre tendue la variable complexe tc = tr+ i ti , Im tc [i ti , tr]
Naturellement, selon la thorie modulaire de Tomita [10], la condition KMS, applique au systme
(pr)espace-temps, autorise, lintrieur de la bande KMS, l existence dun groupe
dautomorphismes tendu (holomorphe) reprsentant le groupe dvolution quantique du systme
lchelle de Planck. Celui-ci dpend de lalgbre de von Neumann Mq dont la forme gnrale,
construite en rf [3] est:
Mq c(Mq ) e
HcMq eHc
le paramtretant formellement complexe, interprtable comme un temps tet / ou une temprature Tcomplexes, la signature KMS de la mtrique tant (+++). Ainsi, la condition KMS suggre
lexistence lchelle de Planck, dun potentiel effectif une boucle coupl, en supergravit N=2, au
dilaton complexe =1
g2 i induisant la forme dynamique de la mtrique diag(1 , 1 , 1 , e
i) .
La signature de est alors Lorentzienne (i.e. physique) pour = et peut devenir Euclidienne
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
19/162
19
(topologique) pour = 0. Par consquent, la signature KMS de la mtrique est bien superpose, de la
forme (+++). Il est intressant de noter que dans le contexte diffrent des supercordes, J.J. Atick et
E. Witten ont t les premiers proposer ds 1988 une telle extension de la temprature relle vers le
domaine complexe [14]. Rcemment, en thorie des cordes supersymmtriques N=4, I. Antoniadis,
J.P. Deredinger et C. Kounnas [17] ont galement suggr dtendre la temprature relle T vers lesvaleurs imaginaires pures, cette extension rsultant de lidentification de T avec linverse du rayon R
du cercle S1 reprsentant le temps Euclidien compactifi du systme (R = 1 / 2 T). En consquence,
lon peut introduire une temprature complexe dans lespace des modules thermique, la partie
imaginaire tant relie au champ antisymtrique B sous dualits de cordes:IIA S/T/U typeIIB S/T/U Htrotique .
Plus prcisment, dans lapproche dAntoniadis etal , le champ contrlant la temprature provient duproduit des parties relles de trois champs complexes: s= Re S, t= Re T and u= Re U. Dans notre
approche KMS, les parties imaginaires pures des modules S, T, Upeuvent tre interprtes en termes
de temprature Euclidienne.
A prsent, il apparat clairement que le groupe dautomorphismes de Tomita-Takesaki c (Mq )
induit, dans le champ KMS, lexistence de deux flots duaux lun de lautre. Tir de lqu. (12), le
premier, de la forme :
t(Mq ) eiHiMq e iHi (13)
correspond lalgbre des observables du systme et au flot Lorentzien en temps rel. Dans cette
perspective, ce courant reprsente un flot physique, que nous appelons P 0
. Quant au deuxime
flot possible, en partant nouveau de lequ. (12), il prend ncessairement la forme:
i (Mq ) e iHMq e
iH (14)
donnant surMq le semi groupe doprateur non stellaire. Considrant la continuation analytique entre
les quations (13) et (14 reprsente un courant en temps imaginaire ou, de manire quivalente,
un courant topologique que nous appelons T . Nous considrons maintenant la condition KMS en
termes dalgbres de von Neumann.
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
20/162
20
1.4 Etat KMS et facteurs. Dans les tats KMS, les algbres de von Neumann impliques sont
ce que lon appelle des facteurs, i.e. un type particulier dalgbre de von Neumann, dont le centre
est rduit aux scalaires a . Il existe trois types de facteurs: le type I et le type II (en particulier ici
le II ) naturellement non commutatifs mais munis dune trace et que lon peut donc interprtercomme commutatifs sous la trace- et le type III, sans trace. Une trace sur un facteur M est une
forme linaire telle que (AB) = (BA), A,B M. Lorsque la mesure surMnest pas dfinie (ce qui
est le cas du type III), la notion de trace disparat et est remplace par celle de poids, qui
reprsente une application linaire deM+ sur + = [0, + ]. Les facteurs de type III sont importants ici
dans la mesure o ce sont les seuls facteurs intressants dans le contexte des tats KMS (les tats
KMS lis aux types II et III tant triviaux, cette trivialit rsultant de celle du groupe modulaire sous-
jacent dans ces deux cas). Nous utilisons ici les facteurs de type III , 0, 1 , caractriss par
linvariant S(M) 0 . Pour des dfinitions plus prcises, voir les rf [3] et [1-A1].A prsent,
nous suggrons dans larticle publi en rf [6-A2] que la condition KMS applique au (pr)espace-
temps lchelle de Planck dfinit trois diffrentes chelles sur le cne de lumire, depuis lchelle
zro jusqu lchelle de Planck. Ces trois domaines peuvent tre dcrits par trois diffrents types de
facteurs.
Lchelle topologiquezro ( = 0, signature {++++}): cette chelle initiale, que nous
proposons dappeler en rf.[1-A1] chelle topologique correspond au sommet imaginaire du cne
de lumire, i.e. un instanton gravitationnel de taille zro. Toutes les mesures ralises sur la mtrique
Euclidienne tant -quivalentesjusqu linfini, le systme est ergodique. Comme montr par A.
Connes, tout flot ergodique pour une mesure invariante dans la classe de mesure de Lebesgue donne
un unique facteur hyperfini de type type II [11]. Ceci suggre fortement que lchelle singulire zro
devrait tre dcrit par un facteur de type II , muni dune trace hyperfinie note Tr . Par hyperfinie,
nous entendons simplement que la trace du facteur II nest pas finie. Nous appelons MTop,1
un tel
facteur topologique, qui est un produit tensoriel infini dalgbres de matrices (ITPFI) du type
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
21/162
21
dAraki-Woods RO,1 [10]. Daprs [3], ltat initial surMTop0,1 , correspondant, dans lex. (2.1) de [1-
A1] aux valeurs divergentes du champ dilaton1
g2, peut tre donn par:
(MTop0,1
)
Tr (e HMTop0,1 )
Tr (e H) (15)
et considrant le caractre hyperfini de la trace Tr , lon a de manire quivalente:
(MTop0,1 ) = Tr (e HMTop
0 ,1 eH) (16)
o (MTop0,1 ) reprsente un type de courant particulier, que nous proposons dappeler courant
tracial T . Clairement, linvariant hyperfiniT est une pure amplitude topologique [2, 22] et, en tant
que telle, se propage en temps imaginaire de lchelle zro linfini. En ce sens, (MTop,1 ) peut
tre vu comme un cycle topologique zro reprsentant une pseudo dynamique Euclidienne
intrinsque contrlant lclatement de la Singularit Initiale de lespace-temps [3]. Cest pourquoi
nous suggrons de dcrire par (MTop,1 ) lvolution topologique du (pr)espace-temps au
voisinage de lchelle zro
(ii) lchellequantique(0 < < Planck , signature {+++}): nous abordons le domaine KMS
[5]. Considrant les fluctuations quantiques de g , il nexiste plus de mesure invariante sur la
mtrique non commutative Par consquent, selon la thorie des algbres de von Neumann, le bon
facteur adressant de telles contraintes est uniquement une algbre non commutative sans trace, i.e.
un facteur de type III [10] (le seul type de facteur impliqu dans des tats KMS non triviaux). Plus
prcisment, il sagt dun type III que nous appelons Mq , muni de la priode 0, 1 . Dans ce
cas, la notion de trace doit obligatoirement tre remplace par celle de poids de lalgbre sous-jacente
(ce qui nous introduit de manire naturelle la notion de flot des poids de lalgbre A). Nous
considrons alors [1] que le seul objet pertinent pour dcrire une possible volution lchelle
quantique est le flot des poids de lalgbre de type III caractrisant le systme (pr)espace-temps
cette chelle. Or, il a t dmontr par A. Connes que tout facteur de type III peut tre dcompos de
faon canonique selon le produit crois suivant [10]:III II *+
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
22/162
22
Cest donc ainsi quapparat obligatoirement dans notre construction le *+ (dual of ) agissant de
manire priodique sur le facteur de type II . Alors, la priodicit (-dpendante) de laction de *+
sur MTop0,1 prend la forme:Mq= MTop
0,1
*
MTop0,1
S1
La relation entre et est telle que 2
, de sorte que lorsque , lon obtient 0 (la
priodicit est supprime). A prsent, comme la thorie est dfinie sur lespace de Hilbert
( ) = L2*
, Mqdevient:Mq = MTop0,1
L2
*
Le facteur L2*
, de type I , induit le flot modulaire (priodique) dvolution du systme.
Le facteur KMS Mq de type III connecte le facteur topologique de type II MTop,1 avec le
facteur physique de type I que nous appelons
MPhys:Mq = MTop0,1
MPhys (17)
En termes de flots, l qu. (17) connecte le flot topologique des poids MTop0,1 et le flot modulaire
physique induit par L2*
. Ceci fournit une bonne image de lunification entre tats
physiques et topologiques, rapprocher du produit bicrois (41) Uq(so(4)op Uq(so(3,1))
unifiant les groupes quantiques Euclidien et Lorentzien. Le flot
quantique c (Mq flow ) ecHMq flowe
cH est construit la prop. (1.4.1).
(iii) lchellephysique ( > Planck, signature {+++ }): cette dernire chelle reprsente la partie
physique (relativiste) du cne de lumire. Par consquent, la notion de mesure (de Lebesgue) est
pleinement dfinie. Lalgbre de von Neumann implique est donc munie dune trace hyperfinie et est
donne sur lespace de Hilbert infini ( ), avec = L2. Alors, (L2) est un facteur de type I
index par le groupe rel , que nous appelons MPhys . Ainsi, (L2) = MPhys et le flot induit par
MPhys est simplement le flot dvolution en temps rel , donn par le groupe modulaire:
t(MPhys ) eiHtMPhys e
iHt
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
23/162
23
Dans ce cas, tous les automorphismes sont intrieurs. Nous appelons flot physique P 0
ce flot
dvolution en temps rel. Naturellement, t(MPhys ) donne simplement lalgbre des observables du
systme [19].A partir de cette construction, dtaille dans les rfs [1-A1] et [6-A2], nous proposonsdtablir que ltat KMS unifie le flot physique et le courant topologique.
Proposition 1.4.1 A lchelle KMS 0 < < lPlanck , les deux groupes dautomorphismes
t(MPhys ) et (MTop0 ,1 ) sont coupls au sein de luniquefacteurde type III de la forme Mq = MTop
0,1
L2*
. Le groupe dautomorphismes tendu (complexe) associdcrivant lvolution
lchelle quantique est de la forme Mq
(Mq
) eHcM
q e
HcMq correspond au couplage
entre le groupe dautomorphismes un paramtre donnant le flot physique et le semi-groupe
dautomorphismes donnantle flottopologique du systme. PreuveComme tabli en [1] et rappel ci-
dessus, ltat KMS du (pr)espace-temps peut tre donn de manire canonique par lunique facteur
III de la forme:
Mq = MTop0,1
L2
*
= MTop0,1
MPhys (18)
qui reprsente ce que nous proposons dappeler lunification KMS de ltat topologique et de
ltat physique de la mtrique du (pr)espace-temps lchelle de Planck. Or, les rsultats gnraux
obtenus dans la rf [3] permettent de considrer lexistence dun poids opratoriel deMq sur son sous-
groupe MTop0,1 , ltat dquilibre surMqtant donn par ltat sur MTop
0,1 . Nous exprimons alors ltat
sous la nouvelle forme propose en [6]:
(Mq-tat) = Tr (eHMTop
,1 eH) (19)
Ceci reprsente ce que nous proposons dappeler le courant tracial engendr par le facteur
topologique MTop0,1 . Cependant, Connes-Takesaki ont montr [10] que le flot des poids sur un facteur
de type III est donn par le flot des poids sur le facteur de type II associ. Car il existe un
homomorphisme OUT III OUT II tel que la squence (20) est exacte:
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
24/162
24
1 H1(F)M
OUTM OUT , (N) 1 (20)
Laction multiplicative de : o S eS , s on MTop
0,1 translate la trace de MTop0,1 , ce qui
engendre le flot des poids sur MTop0,1 etMq (cf.[10]). Ainsi, (Mq-tat) devient un automorphisme de
semi-groupe-dpendant: (Mq-tat) = eHMTop
0,1 eH
Lqu. (19) dcrit donc le flot des poids de Mq. Mais comme soulign en [6], lon peut galement
interprter lqu.(19) comme un flot modulaire en temps imaginaire it, dual du flot modulaire
usuel en temps rel donn par: t(Mq-evolution) `= eiHtMPhyse
iHt , t .
Une interprtation de ce type a galement t propose (quoique dans un contexte diffrent) par
Derrendinger et Lucchesi en [13]. Finalement, le flot KMS connecte le flot des poids (Mq- state) au
groupe modulaire t(Mq-evolution ) :
c(Mq flow ) (MTop
0,1 ) t(MPhys )
e ( it)HMq flow e( it)H
e cHMq flowecH
ce qui est index par la variable en temps complexe c. Encore une fois, un tel flot exprime lunification
entre le flot physique t(Mq-evolution ) = t(MPhys ) et le flot topologique (Mq- state) = (MTop0,1 ) au
sein dun flot KMS (ou flot quantique) unique Q0 P
donn par le groupe dautomorphismes Mq:
c (Mq flow ) = (Mq- state) t(Mq-evolution )
La bande KMS tale de lchelle zro lchelle de Planck du (pr)espace-temps admet donc zrcomme borne infrieure et lchelle de Planck comme borne suprieure. Entre ces deux limites, le fl
topologique Euclidien et le flot physique Lorentzien sont donc unifis de manire naturelle au sein du fl
quantique holomorphe
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
25/162
25
Q0 P
c (Mq flot) ecHMq flote
cH.
Une autre faon de vrifier le couplage de MPhys et MTop,1 au sein de lunique facteur de type III rside
dans linvariant de Connes:
: OUT M =AUT M
INT M(21)
(automorphismes de M quotients par les automorphismes intrieurs, ncessairement prsents dans le
cas non commutatif). Cet invariant de M reprsente un flot ergodique {W(M) , W }o W est un
groupe de transformations un paramtre i.e. un flot qui admet une description en termes de
classes de poids et dont le paramtre naturel est +*. Nous considrons prsent le facteur de type
III Mq de lqu.(18). Partant de lqu.(20), lon peut construire lextension Ext(note T) de OUTMq par INT Mq dans AUT Mq:
AUT Mq OUT MqT INT Mq (22)
avec {x,y} OUT Mq et {x,y} INTMq. Le groupe des automorphismes intrieurs INTMq est un
sous-groupe normal de AUT Mq . Considrant alors deux poids et de Mq, et appliquant le
thorme de Radon-Nikodym [10], il existe un unitaire de Mq tel que
t (x) ut t (x)ut
avec ut (D ; D )t et t (x) INT Mq pour une certaine classe dautomorphismes modulaires.
Considrons alors que sous la trace du facteur II impliqu dans le produit crois Mq =MTop,1
*+ tous les automorphismes modulaires sont (ncessairement) intrieurs. Il en rsulte la restriction
de INTMq un sous-groupe du groupe des automorphismes modulaires, sous-groupe que nous
appelons INTmod Mq. Puis, nous cherchons limage du groupe modulaire intrieur dans OUTMq.
Dans une certaine classe de cohomologie {K}, le groupe t (x) est donn par INTmodMq, tandis que
les transformations non unitaires (x) sont donnes par OUT Mq. Lon obtient alors pour le flot
physique:
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
26/162
26
t (x) = eiHt
MqeiHt INTmodMq
tandis que le flot topologique des poids de Mq est donn par:
(x) = eH
Mq eH
OUT Mq
et de lextension AUT Mq OUT MqT INTmod Mq lon peut tirer [1]:
(tT ) t (x)T (x) (23)
A lintrieur du groupe gnral des extensions {Ext}, lon obtient alors le sous-groupe holomorphe
trivial:
it(Mq ) e( it)H
Mq e( it)H= c (Mq ) e
HcMq eHc
qui correspond ltat KMS et unifie au sein de la forme tendue unique C(Mq) le flot physique
t (x) et le courant topologique (x). Clairement, lon obtient C(Mq) OUT MqT INTmodMq.
Une nouvelle fois lon trouve le rsultat ci-dessus:
c(Mq flot) = (Mq-tat) t(Mq-volution) qed
Il rsulte de (1.4.1) ainsi que de plusieurs autres propositions publies en rfrence (notamment le
(5) de (1-A1)) lun des principaux rsultats de la prsente recherche: lchelle zro de lespace-
temps (ou du (pr)espace-temps) est de nature topologique. Nous apportons au(2) de la rf[1]
plusieurs exemples de nature illustrer ce rsultat. En particulier, considrant toujours le (pr)espace-
temps en tant que systme thermodynamique, nous montrons:
Exemple1.4.2La limite dchellezro du noyau de la chaleurdu systme thermique (pr)espace-
temps esttopologique
La dmonstration de lex. (1.4.2) est donne au (2.1) de la rf[1]. De mme, nous tablissons la
limite ultraviolette dune autre approche standard:
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
27/162
27
Exemple 1.4.3La limite dchelle zro de lespace-temps de Minkowski, donne en termes
dintgrales de chemins de Feynmann, est topologique.
La dmonstration est fournie lexemple (2.2) de la rf[1-A1]. Ensuite, nous proposons un nouvelexemple montrant que la limite dchelle zro 0 de la thorie supersymmtrique N=2 est
topologique. En effet, considrant la varit espace-tempsM lon peut montrer [23] que lespace des
tats dnergie zro dcrits par lHamiltonien du systme est donn par lensemble des formes
harmoniques sur Met est gal au nombre de Betti deM. Lon a ainsi pour 0:
Tr( 1)F = ( 1)kbi k 0
4
= (M)
o bi
est le ith nombre de Betti et (M) la caractristique dEuler-Poincar deM. Finalement, sur la
limite dchelle zro, nous retrouvons lindice topologique [2] correspondant toute thorie
topologique des champs standard.
Pour finir, nous indiquons dans lex.(2.4) de [1] quil est possible dobtenir un rsultat analogue dans
le contexte de la supergravit N = 2.
Exemple 1.4.4La limite dchellezro du (pr)espace-temps en supergravitN=2 est topologique.
En fait, pour une varit spinorielle, lon peut exprimer H en termes de loprateur de Dirac D .
Alors, en dimension D=4, nous avons montr que la limite 0 du systme dcrit par loprateur de
Dirac est donn par linvariant topologique suivant:
Ind(D )dimM
8 2Tr(R R)
1
8 2Tr(F F)
Nous retrouvons une nouvelle fois la limite topologique de la thorie pour 0.
Lensemble de ces rsultats nous amne prsent formaliser le deuxime rsultat principal de notre
recherche: la limite dchelle zro de lespace-temps est purement topologique.
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
28/162
28
CHAPITRE 2
____
LA LIMITE TOPOLOGIQUE DE L'ESPACE-TEMPSA L'ECHELLE ZERO
____
2.1 Thorie topologique des champs
L'on dfinit habituellement, partir de Witten [2], la thorie topologique des champs comme la
quantification de zro, le Lagrangien de la thorie tant (i) soit un mode 0, soit (ii) une classe
caractristique cn (V) d'un fibr vectoriel V M construit sur l'espace-temps. Nous proposons
alors au (2.2) une nouvelle limite topologique de la thorie, non triviale, fonde non plus sur H = 0
mais sur = 0 et donc indpendante de H. La limitetopologique ordinaire de la thorie quantique des
champs, dcrite par l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n [24]est donne par la limite de la fonction de
partition
Z = Tr(-1)n e H (24)
calcule sur le (3+1)- espace-temps Minkoskien pour les valeurs nulles (ou invariantes) de H. n
reprsente le nombre d'tats d'nergie zro de la thorie, par exemple le nombre fermionique dans les
thories supersymmtriques [23]. Alors, Z dcrit tous les tats d'nergie zro pour les valeurs nulles
de l'Hamiltoniern H.
2.2Une nouvelle limite topologique
A prsent, nous proposons ici une nouvelle limite topologique de la thorie quantique des champs,
limite non triviale (i.e. correspondant au minimum non trivial de l'action). Construite partir du mode
zro de l'chelle du systme 0 et indpendante de H, cette limite inattendue (en dimension D=4)
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
29/162
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
30/162
30
m :H2(M) H2 (M) mod
(k)
Il a t prcis en rf. [3] en quel sens l'image de la symtrie 0, dcrite par le groupe de jauge non
bris du type SU(2) SU(2), peut tre donne par le premier invariant de Donaldson, associ ici
l'existence d'une "amplitude topologique" caractrisant la thorie. Lorsque la dimension dim de
l'espace des modules des instantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donns par la
fonction de corrlation de la thorie :
Z( 1 . .. r) DXeS Wk1
ii 1
r
Wki ii 1
r
(Dim k 0) (26)
Or, notre rsultat formel le plus surprenant est qu' l'chelle = 0 associe la limite des hautes
tempratures, l'espace des modules des instantons tant nul sur cette limite, la fonction de partition,
donne par
Z 0
Tr(-1)s
eH (27)
doit redonner le premier invariant de Donaldson
I = ( 1)n i
i
, (28)
invariant topologique non polynomial, rduit un entier pour dim k = 0. Nous formalisons ceci
dans la prop. qui suit :
Proposition 2.3.2 La limite de haute temprature de la thorie quantique des champs,
correspondant 0 dans lafonction departition Z= Tr (-1) s e H donne lepremier invariantde
Donaldson. La mtrique sous-jacente de la varit de dimension 4 reprsentant l'espace-temps
l'chelle zro estEuclidienne (+ + + +).
Remarque Soit la fonction de partition des tats de la mtrique Z = Tr(-1)s e H . La limite
0 de la fonction de partition Z, de la forme
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
31/162
31
Z 0
Tr(-1)s
correspond une symtrie gnralise de tous les tats possibles de la mtrique, tous les tats
instantoniques de g , donns par la charge topologique de l'instanton gravitationnel singulier, tant
quivalents l'chelle 0. Nous appelons "symtrie 0" la symtrie gnralise caractrisant l'chelle
singulire 0.
Preuve Selon des arguments standard, l'on peut crire :
Tr (-1) se H = d (t)CPB
d (t)exp SE( , )
A la suite des travaux de Witten [26], il a t montr par L. Alvarez-Gaum [27] qu'tant donne une
thorie quantique des champs supersymtrique, l'on peut dfinir l'invariant topologique I = Tr (-1)f , f
tant le nombre fermionique. Nous suggrons d'tendre en supergravit ce rsultat, afin qu'il soit
possible partir de l'indice de l'oprateur de Dirac de la varit spinorielle (pr)espace-temps, de
dfinir l'invariant topologique
= Tr (-1) s
donne la diffrence entre le nombre d'instantons et de monopoles gravitationnels dans l'espace de
Hilbert de la thorie l'chelle 0 et s dsigne le nombre d'instantons. Les proprits de la supergravit
sont telles que l'indice supergravitationnel dpend seulement des modes 0 des tats d'nergie - les
valeurs propres de l'Hamiltonien D2 paramtrant l'nergie - , les tats d'nergie non nuls induisant
l'existence de paires monoples - instantons. Tr (-1)S est invariant sous les dformations continues de
D2 et constitue donc un indice topologique de la thorie de dformation quantique de la signature
d'espace-temps. Le calcul de l'indice de l'oprateur de Dirac partir de la rgularisation de la trace
donne par l'qu.(30) donne l'indice de l'oprateur de Dirac :
= Tr e c D2
= Tr (-1) Se c D2
= [Dx] [D ] edtL
0
cpl
(29)
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
32/162
32
avec c . Lorsque c = 0, la limite de la fonction de partition Z = Tr (-1) Sec H est rduite :
Z0 = Tr (-1) S (30)
Witten a montr [26] que Tr (-1)n peut tre compris comme l'indice d'un oprateur agissant sur
l'espace de Hilbert du systme. Partageons en un sous-espace monople et un sous-espace
instanton = m + i . m et i dfinissent les tats monoples et instantons l'chelle 0. Q
tant un gnrateur de supersymtrie, il rsulte de (7.19) Q = 0 , Q* = 0. Comme Q est adjoint
de Q* en regard de la norme de l'espace de Hilbert, l'on a Tr(-1) S = Ker Q - Ker Q* , de sorte qu'en
tant qu'indice topologique, Tr (-1)Sest invariant sous les dformations continues des paramtres de la
thorie qui ne modifient pas le comportement asymptotique de l'Hamiltonien haute nergie. Le
Hamiltonien correspond au Laplacien sur les formes H = dd* +d*d et l'espace des tats d'nergie 0 est
donn par l'ensemble des formes harmoniques paires sur Mn:
Tr (-1) Se - H = (M) = ( 1)kbkk 0
n
(31)
o (M) est la caractristique d'Euler de M et bi le i me nombre de Betti. = Tr (-1)S est
indpendant de , les seules contributions provenant du secteur topologique d'nergie 0 : = n i
(E=0) - n m (E=0).
est donc un invariant topologique. Montrons que cet invariant est isomorphe aupremier invariant de Donaldson. La constante de couplage g de la thorie est dimensionnelle : g
g'( ), tant le rayon de l'instanton. La limite = 0 implique donc = 0 et correspond au secteur des
instantons de taille 0. Or, sur la limite = 0, Dim M k = 0. Lorsque la dimension de l'espace des
modules des instantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donns par :
Z( 1 . .. r) DXeS Wk1
ii 1
r
Wki ii 1
r
(Dim M k 0) (32)
A prsent, qu'en est-il de ces mmes invariants lorsque l'espace des modules est de dimension 0? La
solution est dans la correspondance entre les invariants de Donaldson sur les varits de dimension 4 et
les groupes d'homologie de A. Floer [28] sur les varits de dimension 3. Coupons la 4 - varit M en
deux parties non fermes M+ et M :
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
33/162
33
M = M+ h M (33)
o les bords de M+ et M sont des 3-sphres d'homologie. Soient S+ et S les sphres d'homologie
formant les bords de M+ et M . Considrons leur homologie de Floer HF* (M+)et HF* (M ). Pour
une charge topologique donne k, nous considrons les instantons gravitationnels sur les 4-varits
M+ et M . Les solutions des conditions aux bords permettant de dfinir la connexion sur les bords S
sont notes C . Dans ce cas, C.Nash a montr [29] que l'espace des modules des instantons sur la
varit ferme M devient C C = Mk . Les conditions au bord permettent de construire deux
classes d'homologie de Floer [C ] = HF* (S ). Donaldson tablit que le couplage de ces classes
fondes sur la dualit de Poincar donne [C ] [C ] = qd(M), o reprsente le couplage des
cycles d'homologie. Or, d = 0 correspond la dimension 0 de l'espace des modules. Dans ce cas,
comme montr dans [29], les invariants de Donaldson deviennent des entiers. En effet, l'valuation de
l'invariant qd(M) implique d = dim M k /2. La charge topologique k doit donc satisfaire l'galit de
Witten, soit dim M k = 8 p1(E) -3
2( (M) + (M)), o p1(E) est le premier nombre de Pontryagin du
fibr donnant la charge topologique de la configuration, (M) la caractristique d'Euler et (M) la
signature de M. Nous avons alors 8p1(E) -3
2( (M) + (M)) = 0 et l'espace modulaire Mk est rduit
un ensemble discret de points. Pour dim Mk = 0, les invariants de Donaldson se rduisent l'valuation de la fonction de partition Z, exprime comme une somme algbrique alterne sur les
instantons :
Z = ( 1)n i
i
(34)
i dsignant le i me instanton et ni = 0 ou 1 dterminant le signe de sa contribution Z. Donaldson a
montr sur des bases topologiques [25] que lorsque dim Mk = 0, alors ( 1)n i
i
est un invariant
topologique non polynomial, rduit un entier. Nous retrouvons le mme rsultat partir de
T Q , . La fonction de partition Z la temprature -1 a la forme gnrale Zq = Tr (-1)S e-
H. Pour = 0, Zq devient Z= 0
= Tr (-1)S. Or, Tr (-1)Sest isomorphe ( 1)n i
i
, s et ni donnant
dans les deux cas le nombre d'instantons de la thorie. Z= 0
= Tr (1)S redonne donc le premier invariant
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
34/162
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
35/162
35
des meilleures cls pour comprendre la possible dualit entre observables physiques (infrarouge) et
tats topologiques (ultraviolet) :
Vide topologique ( = 0, instanton ) i dualit Vide physique ( = Planck, monopole )
Ceci est bas sur la dualit instantons / monopoles initialement suggre en rf.[3] et rcemment
prouve dans le contexte des supercordes C.P. Bacchas, P. Bain et M.B. Green [32]. En outre,
toujours dans le contexte des supercordes a t conjecture une symtrie du type U=S T [3] partir
de laquelle l'on peut infrer la dualit ci-dessus entre observables (physique) et cycles (topologique)
sur une 4-varit M :
Si prsent l'on associe, de manire naturelle, l'tat "physique" de l'espace-temps la forme
Lorentzienne de la mtrique (chelle de Planck) et l'tat topologique la forme Euclidienne (chelle
zro), alors il est galement naturel d'en dduire qu'entre l'chelle zro et l'chelle de Planck, il devrait
exister une superposition (+++) entre les structures mtriques (et algbriques) Lorentzienne
(physique) and Euclidienne (topologique).
2.4 Dualit entre mode Physique et mode topologique
Afin d'tablir d'un point de vue algbrique les hypothses de superposition et de dualit voques ci-
dessus, nous suggrons prsent d'adopter la dmarche propose en rf[3], consistant considrer la
mtrique d'espace-temps comme soumise une q-dformation (i.e. dformation quantique au sens de
la rf[13]) l'chelle de Planck. Cet tat quantique de la mtrique donne lieu une nouvelle
description algbrique non plus en termes de groupes classiques mais de groupes quantiques. Dans ce
sens, nous utilisons ici une application du rsultat gnral obtenu en [3] sous la forme du produit
bicrois cocyclique :
M (H) =Hop H
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
36/162
36
oHest une algbre de Hopf, un produit bicrois (i.e. un type spcial de produit crois, dfini
en rf[12]) et un 2-cocycle ou"twist" au sens de Drinfeld [33]. Cette construction est inspire par
l'ide d'unifier deux groupes quantiques diffrents au sein d'une structure algbrique unique. Le point
intressant est que les deux groupes quantiques impliqus sont relis dans l'qu.(35) par une relationde dualit, plus exactement de "semidualit", en un sens expliqu dans la rf[3]. Pour mettre en
vidence cette proprit qui fournit un cadre algbrique la dualit annonce entre mode physique et
mode topologique, nous proposons prsent de construire la semidualisation des donnes
correspondant
H A
La forme exacte de l'objet rsultant A* H a t conjecture dans [3] mais demeure non explicite
certains gards, malgr les progrs effectus dans [34]. Alors, en rapportant les conditions ci-dessus
aux lments de A* , nous avons :
Proposition 2.4.1 Leproduit bicroisH A admet la semidualisation suivante :
(i) Considrant deux bigbresXetH,Xest un H-module cogbrique gauche, i.e.
(h x) h(1) x(1) h(2 ) x(2 ) et (h x) (h) (x)
(ii) H est unX-module cogbrique cocyclique droite dans le sens nouveau :
(h x) h(1) x (1) h(2 ) x(2 ) et (h x) (h) (x)
(h(1) x(1) ) y(1) (h(2 ),x(2 ) ,y(2 ) ) (h(1),x(1),y(1))h(2 ) (x(2 )y(2 ) )
o
(h(1) x(1) ,y(1),z(1) ) (h(2 ) ,x(2 ),y(2 )z(2 ) ) (h(1) ,x(1),y(1)) (h(2 ),x(2 )y(2 ),z(2 ))
(h,1,x) (h,x,1) (h) (x)
(iii) les deux algbres de Hopf sontcompatibles dans le sens
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
37/162
37
h 1 (h),1 1 x (x), (1,x,y) (x) (y)
et
(A) (h(1) ,x(1),y(1))h(2 ) (x(2 )y(2 ) ) h(1) x(1) (h(2 ) x(2 ) ) y
(B) (hg) x h (g(1) x(1) ) g(2 ) x (2 )
(C) h(2 ) x(2 ) h(1) x(1) h(1) x (1) h(2 ) x(2 )
(D) (hg,x,y) (h(1), g(1) x(1), (g(2 ) x(2 ) ) y(1) ) (g(3),x (3),y(2 ) )
Remarque Il rsulte de ces donnes l'existence d'un certain type de double produit crois cocyclique
de la forme
X H, dont la structure, d'abord conjecture dans [3], a t prcise dans [34]. A partir de (ii), il
est clair qu'il s'agt d'une forme de quasi-algbre de Hopf duale, o le produit serait associatifsous
conjugaison par une fonctionnelle construite partir de .
Dmonstration Pour raliser la semidualisation, l'on suppose que A est de dimension finie. Soit
X = A* . Les conditions rsultantes conservent leur signification pour tout X. Le fait que A soit un H-
module algbrique droite implique que X est un H-module cogbrique gauche, en accord avec
a h,x a,h x x A*
Ensuite, nous dfinissons sur H X X
(h,x,y) x y, (h)
et l'on peut vrifier que H devient un X-module cogbrique droite, comme annonc. L'action de X
est donne ici par la coaction de A selon :
h x x,h(1 ) h(2 ) h H
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
38/162
38
Finalement, l'on parvient semidualiser les conditions de compatibilit (A) et (D). Concernant (B) et
(C), ils sont dualiss selon les formules de la rf [12] pour les produits bicroiss usuels (le cocycle
n'intervient pas). Pour (A), nous considrons x y pour obtenir
(h(1) ,x(1),y(1)) x(2 )y(2 ), a h(2 ) = x(1), a(1) h(1) y, a(2 ) (h(2 ) x(2 ) )
ou encore, en utilisant les dfinitions ci-dessus :
(h(1) ,x(1),y(1)) h(2) (x(2 )y(2 )), a h(1) x (1) ,a(1) (h(2 ) x(2 ) ) y, a(2 )
(h(1) x(1))(h(2 ) x (2 )) y, a
pour tout a A, qui est la condition (A)- nonce. De mme pour (D).
A prsent, appliquons la construction gnrale obtenue ci-dessus et considrons les structures
algbriques Lorentzienne et Euclidienne.Alors, nous suggrons la proposition suivante (voir la
prop(4.1) de la rf[1]) :
Proposition 2 .4.2Les algbres de HopfEuclidienne etLorentzienne sont relies par le produit
bicroiscocyclique de laforme Uq(so(4))op Uq(so(3, 1))
Preuve Considrant l'approche en termes d'algbres enveloppantes, partir de l'algbre de Hopf
Euclidienne H = Uq(so(4)), nous avons la dcomposition bien connue H = Uq(su(2)) Uq(su(2))
ainsi que l'algbre "oppose" Hop= Uq(su(2))op Uq(su(2))op, tandis que la forme Lorentzienne est
A = H = Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(3, 1)). Comme expliqu en [3], le cocycle de
dformation est = 23 . Alors, l'action et la coaction sont :
(a b) (h g) h(1)aSh(2 ) g(1)bSg(2 )
(h g) (h(1) g(1)).(Sh(3 ) Sg(3 )) h(2 ) g(2 )
h(1)Sh(3 ) g(1)Sg(3 ) h(2 ) g(2 ) (36)
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
39/162
39
o l'on retrouve la structure de produit tensoriel de l'action et de la coaction pour chaque copie
Uq(su(2)). D'autre part, la cocycle h,g Uq(su(2)) est :
(h g) (h(1) g(1) )(1
(1) )(Sh(4 ) Sg(4) )(1(1))
(h(2 ) g(2 ))((2 )
1)(Sh(3) Sg(3 ) )((2 )
1)
o le produit est en H = Uq(su(2)) Uq(su(2)). Ceci donne :
(h g) h(1)Sh(4 ) g(1)(1)
Sg(4 )(1)
h(2 )(2 )
Sh(3 )(2 )
g(2 )Sg(3 )
h(1)Sh( 4) g(1)(1)
Sg(2 )(1) h(2)
(2 )Sh(3 )
(2 ) 1 (37)
pour les structures explicites de produit bicrois. qed
Clairement, la prop.(2.4.1) prouve la possible "unification" ( l'chelle de Planck dans notre modle)
entre les algbres de Hopfq-Lorentzienne et q-Euclidienne.
Par ailleurs, le rsultat ci-dessus suggre un certain type de dualit entre les groupes quantiques
Lorentzien et Euclidien. Pour mettre en vidence cette dualit, l'tape suivante consiste montrer
l'existence d'une intressante relation de "semidualit" (propose dans le cas gnral par S. Majid
[12]) entre algbres de Hopf Lorentzienne et Euclidienne. Mieux, une telle dualit fournit unedescription de la transition entre le groupe quantique q-Euclidien et le groupe quantique q-Lorentzien
[3]. D'o la proposition :
Proposition 2.4.3 Le groupe quantique Euclidien Uq-1(su(2)) Uq(su(2))
Uq(su(2))op Uq(su(2)) est connectpar semidualit au groupe quantique Lorentzien Uq(su(2))
Uq(su(2))op* (Uq(su(2))).Alors, la semidualitrelie une version de Uq(so(4)) (Euclidien)
une version de Uq(so(3, 1)) (Lorentzien).
Il existe dans la rf. [3] une dmonstration complte de la prop. (2.4.2), base sur les proprits du
"double de Drinfeld" (Uq(su(2))). Alors, utilisant la construction en termes de cocycle M (H), nous
obtenons la relation :
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
40/162
40
Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(4))semidualisation
Uq(su(2))* Uq(su(2)) ~ Uq(so(3,1))
(38)
La "q-dformation" de l'algbre de Hopf q-Euclidienne vers l'algbre de Hopf q-Lorentzienne
correspond une transformation de dualit et induit l'existence d'un 2-cocycle de dformation. De
mme, le produit bicrois cocyclique
Uq(so(4)op Uq(so(3, 1)) (39)
dfinit implicitement la nouvelle transformation de (semi)dualit :
Uq(so(4))op Uq(so(3, 1)) Uq(so(4)) semidualisation SOq(3,1) Uq(so(4))op
o est construit partir de celui-ci tant driv de la structure quasitriangulaire de Uq(su(2)).
Naturellement, l'on peut galement semidualiser partir des autres facteurs pour construire certains
types de quasi-algbres de Hopf A H* , associ H A. Cette fois, la coaction cocyclique
de A sur H est dualise en une coaction cocyclique de A sur H* tandis que l'action de H sur A est
remplace par une coaction de H* sur A. La construction devient alors gnrale, de la forme A Y
(o Y joue le rle de H*). L'on obtient ainsi des exemples du type Uq(su(2)) Uq(su(2))* ,
Uq(so(3, 1)) SOq(4)cop etc., par semidualisation de cette forme. Ceux-ci sont duaux des
constructions prcdentes.
A prsent, une consquence intressante de ces rsultats concerne les proprits de dualit au niveau
de la q-dformation de l'espace-temps lui-mme. En effet, la lumire des constructions prcdentes,
l'on parvient l'importante observation qui suit concernant la transition de la mtrique q-Euclidienne
la mtrique q-Lorentzienne:
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
41/162
41
Corollaire 3.4.4Pour q 1, la transition de la mtrique q-Euclidienne la mtrique q-Lorentzienne
au rayon unit est une dualitde * -algbre de Hopf Uq(su(2)) SUq(2).
Dmonstration Selon une construction introduite par Majid [12,13] et applique dans la rf[3], l'on
dcrit le q-espace-temps 3,1 par l'algbre tresse BMq(2), Mq(2) ayant une * - structure unitaire
correspondant SUq(2) (par * - structure, nous entendons "structures relles", au sens prcis dans
la rf[12]). Ici, BMq(2) admet une description en tant que matrices hermitiennes tresses. L'on crit
alors q3, 1 BMq(2). Par ailleurs, l'on note Mq(2) la structure algbrique rsultat du twist (au sens
de la rf[13]) de Mq(2). Enfin, il a t montr [3] que la - structure de q4 = Mq(2) est donne par
la * - structure unitaire de Mq(2) qui, au rayon = 1, donne le * - groupe quantique SUq(2),
construction duale de celle associe la * - algbre de Hopf Uq(su(2)). Explicitement, la -structure de q
4 Mq(2) esta b
c d
d q 1c
qb aet concide avec celle de la * - structure
unitaire de Mq(2) sur l'identification des deux espaces vectoriels. Or, Uq(su(2)) B(Uq(su(2))) en
tant que * - algbre sous transmutation [12]. Cette transformation, combine avec l'auto-dualit de ces
groupes de tresse, donne l'isomorphisme de * - algbre Uq(su(2)) BSUq(2) comme expliqu ci-
dessus. Il en rsulte (cf. [3]) que les structures naturelles de l'espace q-Euclidien q4
et celle du q-
Lorentzien q3, 1
, covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) [32] sont relies comme suit :
Uq(su(2))
dualit de -algbres de HopfSU
q(2) ~
q4
/ 1
Transmutation q - changement de signature
BUq(su(2)) autodualit de groupes - tresssBSUq (2) = q
3, 1/ 1
(40)
et cette construction rend explicite le changement de signature comme quivalent une dualit de * -algbre de Hopf.
L'on remarquera que nous obtenons une relation de dualit entre les q-espaces q4 et q
3, 1comme une
sorte de T-dualit [27]. Cette interprtation est possible seulement lorsque q 1 - i.e. l'chelle de
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
42/162
42
Planck -. L'on peut tendre ces rsultats, obtenus partir des groupes quantiques Lorentzien et
Euclidien, au groupe de q-Poincar
q3, 1 Uq (so (3 , 1))
~ (41)
vu, bien sr, comme dual du groupe de q-Poincar Euclidien
q4 Uq (so (4))
~ (42)
En revenant sur la remarque prcdente, la dualit d'algbre de Hopf a t rcemment relie la T-
dualit en thorie des supercordes par C.Klimcik et P.Sevara [36]. De telles dualits en termes de
groupes quantiques ont galement t proposes par S. Majid [13].
De manire intressante, les rsultats ci-dessus fournissent ainsi certaines indications sur l'origine
algbrique de la fluctuation de signature l'chelle de Planck, considre comme transformation de
dualit. Une remarque importante est que certains des isomorphismes ci-dessus sont valides seulement
lorsque q 1, i.e. en thorie non classique. Notons galement que la dualit d'algbres de Hopf au
niveau semi-classique est une dualit de bigbres de Lie et a t comprise physiquement comme une T-
dualit non ablienne pour des modles sur G, G* [36], de sorte que la dualit mise en vidence ici
est relie d'autres types de dualits en physique.
A prsent, appliquons les rsultats algbriques obtenus prcdemment dans un contexte plus
physique. En effet, la dualit entre les groupes quantiques Lorentzien et Euclidien peut tre tendue
une dualit entre secteur "physique" (Lorentzien) et secteur "topologique" (Euclidien) de la thorie.
D'o la proposition formule au (4.3) de l'article [1-A1] :
Proposition2.4.4Il existe, l'chelle de Planck, une symtrie de dualit entre l'anneau de
cohomologieBRST (secteurphysique de la thorie) et l'anneau de cohomologie de l'espace des
modules des instantons (secteurtopologique)
Ainsi, partant de la forme gnrique des groupes de cohomologie BRST(cf. rf. [22]), soit
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
43/162
43
HBRST(g ) =
ker QBRST(g)
imQBRST(g 1) (43)
nous montrons la prop. (4.3) de (1-A1) que la thorie topologique ralise l'injection d'anneaux :
HBRST g 0 U
k HBRSTg
H mod(k)
i 0d
k H(i)
mod(k) (44)
l'qu. (44) fournissant un chemin injectifdu mode physique dans le mode topologique. En termes
d'observables O i et de cycles d'homologie Hi M mod dans l'espace des modules M mod des
configurations du type instantons gravitationnels [ (x)] sur les champs gravitationnels de la
thorie, nous relevons l'quivalence :
O 1O 2 ... O n #(H1 H2 ... Hn)
o le secteur physique de la thorie est dcrit par les observables O i et le secteur dual, de type
topologique, par les cycles d'homologie Hi M mod . L'oscillation de signature entre secteur
physique et secteur topologique est alors induite par la divergence Uk j d4x du courant-
fantme j [22]. Lorsque U = 0, comme il n'existe pas d'espace de plongement pour l'espace des
modules, nous suggrons que la thorie est alors projete dans la branche de Coulomb, l'origine
de M mod , sur un instanton singulier de taille 0 [37] que nous identifions l'espace-temps l'chelle
0. La thorie est ramifie sur le secteur purement topologique Hi , la signature correspondant ce
secteur tant Euclidienne (+ + + +).
2.5 Transition entre tat topologique et tat physique
Nous concluons cette section par une question importante : comment peut-on expliquer, d'un point de
vue cosmologique, la transition de l'tat topologique l'tat physique de l'espace-temps? Nous
suggrons une approche dans le cadre de la thorie KMS dans le (5.2) de l'article [1-A1]. Cette
approche est formalise dans la conjecture suivante :
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
44/162
44
Conjecture 2.5.1 A l'chelle infrarouge Planck, la brisure de l'tatKMSdu (pr)espace-
temps induitle dcouplage entre le flottopologique et le flot physique de la thorie.
Rappelons que nous avons montr en [1-A1] que l'tat KMS du (pr)espace-temps l'chelle de
Planck induit de manire naturelle le couplage entre l'tat physique et l'tat topologique de la mtrique.
Par consquent, l'hypothse nouvelle dveloppe en [1-A1] est que la transition entre tat topologique
( l'chelle zro) et tat physique de l'espace-temps (au del de l'chelle de Planck) peut tre dcrite en
termes de brisure de l'tat KMS. Une telle approche est d'ailleurs renforce par le fait que la brisure
d'tat KMS au del de l'chelle de Planck pourrait elle-mme tre lie la brisure de supersymtrie
attendue la mme chelle. Cette importante relation est d'ailleurs annonce par les intressants
rsultats de Deredinger et Luchiesi dans la rf[20], rsultats que nous dtaillons au (5.2.1) de [1-
A1].
En fait, Derrendinger et Lucchesi ont clairement confirm l'existence d'une troite relation entre la
supersymtrie thermique et la condition KMS. Cette relation est ralise au niveau des coordonnes de
Grassman thermiques, en raison d'une condition d'(anti)priodicit dcrite par les quations (45) et
(46) :
(t i) (t) (45)
(t i) (t) (46)
Les auteurs ont prouv de manire convaincante qu'en l'absence de la corrlation supersymtrie/tat
KMS au niveau de la mtrique d'espace-temps, les bosons (priodiques) et les fermions
(antipriodiques) nepeuvent pasappartenir au mme multiplet de supersymtrie. A prsent, que se
passe-t-il au del de l'chelle de Planck, lorsque l'tat KMS est bris? Dans ce cas, un point X du
superespace est nouveau muni des coordonnes de Grassmann usuelles
X (x , , )
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
45/162
45
Cette condition est quivalente la supersymtrie temprature nulle, pour laquelle les paramtres de
transformation (i.e. les Grassmanniennes and ) sont des constantes. Or prcisment, le rsultat
principal des rfs [20,21] tablit qu' temprature finie, il est impossible d'utiliser des paramtres
constants dans les rgles de transformations de supersymtrie. Les paramtres de supersymtriedoivent tre des variables dpendant du temps, (anti)priodiques en temps imaginaire. Ainsi, d'une
manire naturelle, les coordonnes thermiques Grassmanniennes X (x , ( t), ( t)) doivent tre
"translates" en temps imaginaire et sont par consquent soumises aux conditions
d'antipriodicit (t i) (t) et (t i)
(t) des qu.(45) et (46). Comme montr en
[1-A1], l'application de ces conditions implique que globalement, le systme espace-temps doit tre
soumis la condition KMS l'chelle de Planck. Cet important rsultat peut tre considr comme
une confirmation de la conjecture (5.5) propose en rf. [1-A1].
Nous concluons notre tude de l'chelle zro de l'espace-temps par la recherche d'une
possible amplitude topologique caractrisant l'chelle zro.
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
46/162
46
CHAPITRE 3___
AMPLITUDE TOPOLOGIQUE
A L'ECHELLE ZERO
____
Nous avons suggr en [1-A1] que la Singularit Initiale de l'espace-temps, non rductible dans le
cadre habituel de la thorie quantique des champs, peut tre dcrite dans le cadre de la thorie
topologique des champs (voir section 2). De ce point de vue, l'chelle zro de l'espace-temps peut
tre identifie un instanton gravitationnel singulier de taille zro [3, 37]. Nous poussons ici l'une
des consquences de cette identification, relevant de l'existence d'une "amplitude topologique"
l'chelle zro de l'espace-temps.
3.1 Charge topologique de l'instanton singulier de taille zro
Nos principaux rsultats publis en [16-A4] suggrent que la gomtrie de l'instanton peut tre
identifie celle de la boule B4 dont le bord est la sphre S3. L'on peut alors montrer (voir encore
[16-A4]) que le bord de l'espace-temps peut tre identifi au bord S3 de l'instanton gravitationnel
singulier B4. Dans un tel contexte, l'chelle zro de l'espace-temps (i.e. la Singularit Initiale) peut
tre entirement caractrise par la charge topologique Qs de l'instanton gravitationnel singulier B4,
soit
QS d4xR R (47)
Par construction, Qs est un invariant topologique, indpendant de la taille de l'instanton et qui reste
donc dfini l'chelle = 0. De ce point de vue, la "propagation" (i.e. pseudo-dynamique
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
47/162
47
Euclidienne au sens fix en ([16]) de la singularit initiale est induite par l'existence de l'amplitude
topologique associe Qs, dtectable sur le bord S3 de l'instanton gravitationnel muni de la topologie
B4. Les pseudo-observables sont ici interprtes comme cocycles sur l'espace des modules des
instantons et sont associes aux cyclesi
de la 4-varit B4(application de Donaldson). Considrant
un point X de B4, l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique Qs
prend alors la forme:
O
S3. O X #(S
3,X) (48)
L'amplitude topologique de la thorie est donne par les pseudo-observables du membre de
gauche, tandis que le membre de droite dsigne le nombre d'intersections des i B4. La fonction
# (S3
,X) est nulle si le point X est situ hors de la sphre S3 et vaut 1 si X est l'intrieur de S3 (i.e.si X B4), cas o il existe une amplitude topologique.
3.2 Conjecture : origine topologique de l'interaction inertielle
A titre d'application nous conjecturons une approche nouvelle, selon laquelle linteraction inertielle
pourrait tre correctement dcrite dans le cadre de la thorie topologique des champs, propose par
Edward Witten en 1988 [2]. Plus prcisment, nous suggrons en rf. [16-A4] que le caractre non
local de la charge topologique Qs peut tre reli la nature non locale de l'interaction inertielle. Nous
conjecturons alors que cette proprit observable ne peut tre explique en thorie quantique des
champs mais pourrait trouver une solution dans le cadre de la thorie topologique des champs. En
effet, lvaluation de la contribution inertielle (ou potentiel inertiel) totale rsultant de la somme des
masses de lunivers, de la forme :
Uinertiel total =
GM
c2runivers 1 (49)
savre tre un invariant pour chaque masse locale. Or, la charge topologique de linstanton
gravitationnel singulier, de la forme
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
48/162
48
Q1
32 2d
4xR R = 1 (50)
reprsente galement un invariant de type topologique. Lgalit entre la masse inertielle et la masse
gravitationnelle est ici explique en termes de quantification de la charge topologique de linstantongravitationnel singulier. Nous en tirons un modle de "pseudo-propagation" de l'amplitude
topologique Inttop, susceptible d'tre dcrite par les transformations conformes Conf (S3) de la
sphre S3(voir, par exemple la rf. [38] pour rappel). Conf (S3) peut tre dcrit par le groupe de
Mbius Mb(3) [38], dfini partir de l' inversion de S3. D' o :
Proposition 3.2.1 Pour toute similitude h Sim ( 3), l'application gnrale dfinissant la
charge topologique de l'instanton, i.e. : S3 S3 , dfiniepar(n) = n et = g-1 o h o g sur S3
n appartientau groupe de MbiusMb(3), groupe conforme de S3.
La prop. (3.2.1) a t tablie dans les rf.[3] et [16-A4].
L'on poursuit en suggrant dans la prop. (3.2.2) que Mb(3) est le groupe conforme Conf (S3) de
S3. Posons que Conf (S3) dcrit l'invariance d'chelle (i.e. invariance conforme) de la sphre
identifie ici, suivant l'inclusion S3 SL(2, C), l' espace physique, compactifi de 3.
Proposition 3.2.2Soit Mb (3) = Conf (S3). le rayon r 0 de S3 engendrant Sr 03
, et
Mb(3), alors Sr 03
appartient au faisceau (S3)de sphres S3. Rciproquement, une
bijection de S3 vrifiant cette proprit appartient Mb (3) . Le groupe Mb (3) prsente un
isomorphisme naturel avec PO( ) de la quadrique d'quation q x2
x52
i 1
4
.
La prop.(3.2.2) a t tablie en rf[3]. Dans un tel cadre, la principale conjecture de l'article ci-joint
en annexe A4 est alors que le fondement sur lequel repose le "principe de Mach" [39] (tout comme
l'interaction inertielle) ne doit pas tre considre comme classiquement "physique" mais relve de la
thorie topologique des champs. Nous tirons de notre approche cf. [16-A4], l'existence d'un
"principe de Mach topologique", explicit dans la conj. (3.2.3).
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
49/162
49
Conjecture3.2.3Les amplitudes topologiques associes lapropagation de la charge topologique
de l'instanton gravitationnel singulierde taille zro correspondant la SingularitInitiale de l'espace-
temps dterminent le comportementinertiel des masses locales.
A titre d'illustration de la conjecture 3.2.3, nous considrons l'exprience du pendule de Foucault ,
qui ne peut trouver d'explication satisfaisante en mcanique classique ou relativiste [40]. Rappelons
que le problme essentiel consiste en l'invariance angulaire du plan d'oscillation de . Alors, le
"principe de Mach topologique" nonce que l'interaction entre et l'espace-temps global E au sens
de Mach est de type topologique - ce qui pourrait expliquer les proprits d'invariance globale du
systme form par la plan d'oscillation de et le reste de l'univers.
Finalement, les perspectives conjecturales introduites dans la rf [16-A4], confrent une certaine
pertinence la proposition de "principe de Mach topologique" et, plus gnralement, l'approche
topologique du problme de la singularit initiale. L'on peut esprer que cette approche prliminaire
permettra d'ouvrir des perspectives nouvelles sur l'origine de l'espace temps ainsi que sur plusieurs
autres questions non rsolues (notamment celles concernant la nature de l'interaction inertielle).
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
50/162
50
CONCLUSION____
Nos principaux rsultats, travers notamment la thorie des groupes quantiques [12], les algbres
d'oprateurs et la gomtrie non commutative [10] et, enfin, la thorie topologique des champs [2]
suggrent l'existence d'une possible transition de phase concernant la mtrique de l'espace-temps
depuis l'chelle topologique zrojusqu' l'chelle physique (au del de l'chelle dent Planck). Ces
rsultats font suite ceux obtenus par G.Bogdanoffdans [3] concernant la fluctuation attendue de la
signature de la mtrique l'chelle de Planck.
A ce stade, nous rsumons nos rsultats les plus significatifs :
(i) la mtrique de l'espace-temps l'chelle zro peut tre considrecomme Euclidienne (++++) i.e.
topologique ;
(ii) la singularit initiale de l'espace-temps pourrait tre dcrite par identification un instanton
singulier de taille zro ;
(iii) partir de (i) et (ii), nous suggrons l'existence d'une symtrie de dualit (que nous appelons i -
dualit), entre tat physique (chelle de Planck) et tat topologique (chelle zro) de l'espace-temps.
Une telle symtrie dcoule directement de la condition KMS laquelle l'espace-temps devrait tre
soumis l'chelle de Planck.
Alors, la rsolution possible de la Singularit Initiale dans le cadre de la thorie topologique nous
amne envisager l'existence, avant l'chelle de Planck, d'une premire phase d'expansion purement
topologique du (pr)espace-temps, paramtre par la croissance de la dimension de l'espace des
modules dimM et dcrite par la "pseudo-dynamique" Euclidienne
(MTop0,1 )= e - H MTop
0,1e H
7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero
51/162
51
Ainsi, la chane d'vnements susceptibles d'expliquer la transition depuis la phase topologique zro
jusqu' la phase physique de l'espace-temps (au del de l'chelle de Planck) pourrait prendre la forme
suivante :
En termes de C*-algbres, les transformations ci-dessus sont donnes par :
Flot physique
P 0
t(MPhys) eiHtMPhys e
Flot topologiqueT 0
(MTop0 ,1 ) e HMTop
0,1e
H
II +*
Flot KMS Q0 P
c(Mq) e
cHMq ecH
Enfin, nous tirons des rsultats de la prsente recherche l'existence de trois phases au cours de
l'expansion du (pr)espace-temps :
(i) - Echellezro (SingularitInitiale) : tattopologiquepur
(ii)- Echelle de Planck(tatKMS) : tattopologique + tatphysique
(iii)-Echelle classique (brisure de l'tatKMS) : tatphysique pur
L'existence de la phase (ii) de fluctuation de la signature de la mtrique de l'espace-temps l'chelle
de Planck a t tablie dans la rf.[3]. Les conclusions de [3] sont d'ailleurs renforces par les
approches rcentes de compactification 4D 3D de l'espace-temps l'chelle quantique (sur ce
point, voir par exemple la rf[41]. En effet, il est gnralement admis qu' haute temprature
(temprature de Planck) une thorie dynamique (i.e. la thorie des champs) perd un degr de libert
par rduction dimensi