Panevropski univerzitet Apeiron Fakultet informacionih tehnologija

Viša matematika

student: mentorBojan Đurić prof. dr. Esad Jakupović37-10/VPI

Banja Luka, 2011

Sadržaj1. Matematička logika..........................................................................................................................12. Uslovni ekstrem................................................................................................................................73. Osnovni metodi integracije...............................................................................................................9

3.1 Metod zamjene...........................................................................................................................93.2 Metod parcijalne integracije....................................................................................................10

4. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali višeg reda...........................................................................125. Neke osobine funkcija....................................................................................................................14

5.1 Ograničenost funkcije..............................................................................................................145.2 Monotonost funkcije................................................................................................................155.3 Parnost i neparnost funkcije.....................................................................................................175.4 Periodičnost funkcije...............................................................................................................175.5 Granična vrijednost funkcija....................................................................................................185.6 Neprekidnost funkcije..............................................................................................................205.7 Asimptote.................................................................................................................................21

1. Matematička logika

Osnovno sredstvo sporazumjevanja među ljudima je jezik. Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, obični (govorni), i književni jezik. Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika.Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorječenosti. Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.

Najsličniji matematičkom jeziku su govorni i kniževni (pisani) jezik. Osnovu ovih jezika čini glas, slovo, riječ i rečenica. Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi (riječi) ili termini. Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenljive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj, veličine kojima se vrijednost ne mijenja. Npr: -S; 0; 2; 2/3; 5; 74 , π, e, ...

Promjenjive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji element iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenjive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenjive nazivaju se vrijednosti promjenjivih.

Primjer:1. x, z, y, a, b, c, α, A, ... su oznake za promjenjive.2. n je oznaka za prirodan broj. Vrijednosti promjenjive n su konstante 1,2, ...

Složeni matematički izrazi se dobijaju kada se konstante i promjenjive povežu simbolima (oznakama) za računske operacije, kao što su npr, +,-,*, :. Pri formiranju složenih izraza dozvoljena je i upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla,

Primjer:1. izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y i sl2. nisu izrazi: 2+, x(y+) i sl.

Dakle, izrazi su riječi ili sklopovi riječi koji ne čine rečenicu. Izrazi se sastoje od jedne promjenjive ili od jednog znaka konstante, ili od više promjenjivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomoćnih simbola.

Vrijednost matematičkog izraza je konstanta koja se dobije nakon što se u izrazu svi simboli promjenjivih zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije.

Matematičke formule su rečenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne može, nedvosmisleno i i jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve važe ovi principi:

1. princip uključenja trećeg, što znači da ne postoji izraz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit,2. princip kontradikcija, što znači da nema iskaza koji je istinit i neistinit

Primjer1. Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 4<1+2, 2+3=7, x+x=2x, x+x=3x za x≠0, x+2=5 za x=3,

1

x+2=5 za x=8, x+y=y+x i sl.2. Nisu iskazi formule: x+2=5, x+y=z, x+x=3x i sl, jer nisu definisane vrijednosti

promjenljivih u njima, pa se ne može nedvosmisleno i jednoznačno utvrditi da li su tačne ili netačne.

3. Iskazi su i ove rečenice: Južna i Zapadna Morava se spajaju i grade Moravu; Subotica je grad sa najviše stanovnika u Jugoslaviji, prema popisu od 1981, godine,

4. Nisu iskazi rečenice: Broj 2 je zelen; Ekononomija je slatka; Mis univerzum je najljepša žena na svetu, i sl. Prve dve rečenice nemaju smisla, dok se za treću ne može pouzdano (nedvosmisleno) utvrditi vrijednost istinitosti, jer je ljepota stvar ukusa, tj, za nekoga je Mis univerzuma najljepša, a za nekoga nije.

Matematičke formule koje sadrže promjenljive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati. Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenljivih uvrste konstante, tj, vrijednosti promjenljivih, Za predikate sa jednom, dve, tri, itd, promjenljivih se kaže da su dužine: jedan, dva, tri, itd.

Primjer: Predikati su ove formule: x+2=5, x>5, x+y=z, x+x=3x i sl.

Svaki iskaz se može obilježiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npr, p, q, r, s, a, b,...Ako je neki iskaz p tačan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti označava ovako:τ p=T ili τ p=1 (čitaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske riječi true=istina),Ako je p netačan (neistinit, lažan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, piše se ili ⊥ τ p= ⊥ ili τ p=0 (čitaj: tau od p jednako ne te ili nula).

U matematici se tačan iskaz naziva stav.Iskaz je prost ako sadrži samo jednu informaciju.

Dva ili više prostih iskaza povezanih znacima logičkih operacija tvore složeni iskaz, Osnovni među njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije ┐, koja se odnosi na jedan iskaz. U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih složenih iskaza.

Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (čitaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba∧ data iskaza istinita.Tablica vrijednosti istinitosti za konjukciju za sve moguće varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq:

p q p∧q┬ ┬ ┬┬ ┴ ┴┴ ┬ ┴┴ ┴ ┴

ili kraće:

∧ ┬ ┴┬ ┬ ┴┴ ┴ ┴

Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pVq (čitaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza

2

neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uključiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.Eksluzivna (isključiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pVq (čitaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit.

Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju:p q p V q p V q

┬ ┬ ┬ ┴┬ ┴ ┬ ┬┴ ┬ ┬ ┬┴ ┴ ┴ ┴

Pod izrazom "disjunkcija" najčešće se podrazumjeva inkluzivna, pa je u slučaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti.

Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q ⇒neistinit iskaz, p q se može čitati ovako:⇒

• p implicira q, • iz p slijedi q, • p je dovoljan uslov za q, • q je potreban uslov za q, • p je uzrok za q, a q je posljedica p, • p je pretpostavka, a q je tvrdnja,

Tabla istinitosti za implikaciju:

p q p q⇒┬ ┬ ┬┬ ┴ ┴┴ ┬ ┬┴ ┴ ┬

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju⇔ jednake vrijednosti istinitosti, p q se može čitati ovako:⇔

• p je ekvivalentno sa q,• iz p slijedi q, i iz q slijedi p,• ako je p onda q i obratno,• p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd.

3

Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju:p q p q⇔┬ ┬ ┬┬ ┴ ┴┴ ┬ ┴┴ ┴ ┬

Ekvivalencija iskaza p i q se može definisati i kao konjunkcija implikacija p q i q p, tj, važi:⇒ ⇒ p q = (p q) ( q p)⇔ ⇒ ∧ ⇒

p q p q⇒ q p⇒ (p q) (q p)=p q⇒ ∧ ⇒ ⇔┬ ┬ ┬ ┬ ┬┬ ┴ ┴ ┬ ┴┴ ┬ ┬ ┴ ┴┴ ┴ ┬ ┬ ┬

Negacija datog iskaza p je iskaz ┐p (čitaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno. Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

p ┐p

┬ ┴┴ ┬

Napomena1. ┐(┐ p)=p, tj. negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednošću istinitosti kao što je ima dati iskaz,

2. ┐( p q ) = p ⇔ V q i ┐( p V q ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i⇔ obratno.

Dakle, vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q,..., pomoću znakova logičkih operacija dobili smo složene iskaze. Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih operacija dobijamo još složenije. Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logičke formule.

Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako:

1. Iskazna slova su iskazne formule,2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (A∧ VB), (A B), (A B), ┐a, takođe iskazne⇒ ⇔

formule.3. Iskazne formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primjena 1) i 2), uz mogućnost

korišćenja konvencije o brisanju zagrada.

4

Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj.

Iskazna formula koja je istinita za svaku moguću varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija. Ako je iskazna formula tautologija piše se: A=T ili A ≡ T ili A~T.

Dve formule A i B su identički jednake ako i samo ako je formula A B tautologija.⇔

Ako se kvantitativno želi izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici).

Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za svako", onda se riječi "za svako" označavaju sa (obratno∀ od prvog slova njemačke riječi Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).

Formula ( x A) P(x) znači: za svako x iz skupa A predikat P(x) je tačan.∀⇔ ∈

Ako iskaz počinje kvantifikacijom “za neko” ili “postoji bar jedan”, onda se ove riječi označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni∃ kvantifikator (kvantor).

Formula ( x A) P(x) znači: predikat P(x) je tačan za bar jedno x iz skupa A.∃ ∈

U vezi s kvantorima, pored ostalih, značajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) računa: ¬( x)P(x) ( x)¬P(x); ¬( x)P(x) ( x)¬P(x)∀ ⇔∃ ∃ ⇔∀

Kvantori, zajedno sa riječi i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih riječi pomoću kojih se u matematici polazeći od izvjesnih rečenica, grade nove složene rečenice.

Na kraju ovog poglavlja dajemo objašnjenje nekih značajnijih pojmova u vezi s rasuđivanjima i dokazivanjima u matematici.

Definicija je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuju sadržina nekog pojma.

Pojam je misaoni sadržaj termina ili simbola. Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, tačka). Izvedeni pojmovi su oni koje objašnjavamo pomoću osnovnih i drugih izvedenih pojmova.

Pretpostavke (hipoteze) su rečenice (formule) od kojili se polazi, kao tačnih u nekom rasuđivanju.

Posljedice su rečenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkim rasuđivanjem i zaključivanjem.

Aksiome su polazne rečenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čija se istinitost ne dokazuje.

Teoreme su izvedene (dokazane) rečenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno

5

dokazanim tvrđenjima.

Dokaz je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojih je svaki korak ili aksioma ili već dokazana teorema.

6

2. Uslovni ekstrem

Ekstrem funkcije y=f(x,y) uz dato ograničenje φ(x,y)=0 naziva se uslovnim ili vezanim, a tako dobijeni maksimum ili minimum uslovnim minimumom ili maksimumom. Tada funkcija f(x,y) zavisi samo od jednog argumenta, a zadatak je moguće svesti na problem ekstrema funkcije sa jednim argumentom. Zbog teškoća koje se mogu javljati prilikom izračunavanja promjenljive x ili y iz jednačine φ(x,y)=0 i zamjene u funkciju f(x,y), za traženje ekstrema u ovakvim slučajevima koristi se metod koji se naziva metod Lagranžovog multiplikatora.

Prvo se postavlja Lagranžova funkcija:

F(x,y) = f(x,y) + λφ>(x,y),

gdje je x konstanta koja se naziva Lagranžov multiplikator.

Potreban uslov za postojanje ekstrema funkcije z=f(x,y), u tački (x0 ,y0) je da su parcijalni izvodi prvog reda Lagranžove funkcije u toj tački jednaki nuli, tj.

∂ F∂ x

=∂ f x0 , y0

∂ xλ

∂ φx0 , y0∂ x

=0

∂ F∂ y

=∂ f x0 , y0

∂ yλ

∂ φx0 , y0∂ y

=0

∂ F∂ y

=φx0 , y0=0.

Dovoljan uslov za postojanje ekstrema funkcije y=f(x,y) u tački (x0 ,y0) obuhvata ispitivanje potrebnog uslova i

d 2 F x0 , y0 , λ0=∂2 F x0 , y0 , λ0

∂ x2 dx22∂2 F x0 , y0 , λ0

∂ x ∂ ydx ∂ y

∂2 F x0 , y0 , λ0

∂ y 2 dy2

gdje je ∂ φ∂ x

dx∂ φ∂ y

dy=0

Ako je d2F(x0 ,y0,x0) < 0 funkcija ima uslovni maksimumAko je d2F(x0 ,y0,x0) > 0 funkcija ima uslovni minimum

Prema tome, za određivanje uslovnog ekstrema funkcije z=f(x,y) po metodu Lagranžovog multiplikatora potrebno je uraditi slijedeće:

1. Postaviti Lagranžovu funkciju2. Odrediti parcijalne izvode prvog reda Lagranžove funkcije, izjednačiti ih sa nulom i rješiti

tako dobijeni sistem jednačina. Neka su rješenja:

x=x0,y=y0 i λ=λ0

7

3. Odrediti totalni diferencijal drugog reda Lagranžove funkcije i ispitati njegovu vrijednost

x=x0,y=y0 i λ=λ0

Ako je ta vrijednost pozitivna, tada funkcija ima minimum u tački (x0 ,y0) i zmin=f(x0 ,y0). Ako je pak negativna, tada funkcija ima maksimum u tački (x0 ,y0) i zmax=f(x0 ,y0).

Primjer:Naći uslovne ekstreme funkcije z = x2 + y2 pri uslovu x + y=1.

Funkcija Lagranža je

F x , y =x2y2λ2 xy1 čiji su parcijalni izvodi prvog reda

∂ F∂ x

=2xλ , ∂ F∂ y

=2yλ , ∂ F∂ λ

=xλ−1

Rješenje sistema jednačina

2x + X = 02y + X = 0x + y = 1

je

λ0=−1, x0=12,

y= 12,

Kako su,

∂2 F∂ x2 =2, ∂2 F

∂ y 2=2, ∂2 F∂ x ∂ y

=0.

slijedi da je

d 2F12 , 1

2 ,−1=2dx22dy20,

što znači da funkcija z = x2 + y2 pri uslovu x+y=1 ima minimum u tački

12 , 1

2 ,zmin=12 .

8

3. Osnovni metodi integracije

Integraciju nekog izraza koji se ne nalazi u tablicama osnovnih integrala potrebno je pokušati svođenjem na osnovne integrale.

Primjer:

∫ 2x 2 3x−5x3x2ex−4x2 dx=2∫ 3xdx−5∫ dx

x3∫exdx−4∫ dx

x2 =32

x 3x−5ln x3ex 4xC

Ukoliko je nemoguće na gore opisani način rješiti integralni zadatak, tada se koriste slijedeći metodi:

1) metod zamjene,2) metod parcijalne integracije

3.1 Metod zamjene

Neka je dat problem∫ f x dx 1

koji se ne rješava pomoću osnovnih integrala.Uvođenjem odgovarajuće zamjene promenljive i diferencijala pod znakom integralax=ρ(t) dx = ρ'(t)dt

gdje je ρ(t) neprekidna funkcija s neprekidnim izvodom, integral (1) postaje∫ f (ρ( t)) ρ '(t )dt. (2)

Cilj je da se integral (2) može rješiti pomoću osnovnih intervala. Tada je dobijeno rješenje funkcija od novouvedene integracione promenljive t, koji na kraju treba zamjeniti prvobitnom integracionom promjenljivom x.

Primjer:

1. ∫(a+bx)n dx n−1a+bx= tbdx=dt

dx=dtb

∫(a+bx)n dx= 1b∫ tn dt= tn+t

b(n+1)+C=1(a+bx)n+1

n+1+C

9

2 )∫ex2 xdxx2=t2xdx=dt

xdx= dt2

∫ex2 xdx=12∫e1dt= 1

2 e1+C=12 ex2+C'

3)∫ dtt+1

t+1=udt=du

∫ dtt+1

= duu

=ln∣u∣+C=ln∣t+1∣+C

4 )∫ e2x

dx+1dx

ex=tex dx=dt

∫ e2x

d x+1dx=∫ 1

t−1 dt=∫ t+1−1t+1 dt=∫ dt−∫ dt

t+1=t−ln∣t+1∣+C=ex−ln∣ex+1∣+C

3.2 Metod parcijalne integracije

Metod parcijalne integracije se najčešće primjenjuje kada je podintegralna funkcija u obliku proizvoda. Ova metoda je posljedica pravila diferencijacije proizvoda. Neka su u(x) i v(x) funkcije koje imaju neprekidne izvode, onda je

d(uv) - udv + vdu ili

udv = d(uv) - vduIntegracijom prethodne relacije se dobija∫ udv=uv−∫ vdu. (3)

jednačina (3) predstavlja formulu za parcijalnu integraciju. Cilj ovog metoda je da se integral lijeve strane pogodnom podjelom podintegralnog izraza na u i dv svede na prostiji za rješavanje.

Primjer:1.∫xex dxu=x dv=ex dxdu=dx v=ex

∫ ex dx=xex−∫ ex dx=xex−∫ exdx=xex+C

10

2.∫ ln xdxu=ln x dv=dx

du= dxx

v=x

∫ ln xdx=x ln∣x∣−∫ dx=x ln∣x∣−x+C

3.∫ ex cos xdxu=cos x dv=ex dxdu=−sin xdx v=ex

(1)∫ ex cos xdx=ex cos x+∫ ex sin xdx

∫ ex sin xdxu=sin x dv=dxdu=cos xdx v=ex

(2)∫ ex sin xdx=ex sin x−∫ ex cos xdx

Zamjenom relacije (2) u relaciju (1) dobija se

∫ ex cos xdx=e x cos x+e x sin x−∫ e x cos xdx ,

odakle je

∫ ex cos xdx 12∫ ex (cosx+sin x)+C

Osim ovih metoda postoji niz postupaka za integraciju. Integralni račun svakako je teži od diferencijalnog računa. To važi i za mnoge druge inverzne operacije. Dok su diferencirali elementarnih funkcija i same elementarne funkcije, integral takvih jednostavnih funkcija kao što su:

1log x

, sin xx

ili 1√x3+1

nema rješenje u obliku elementarnih funkcija ili njihovih kombinacija.

11

4. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali višeg reda

Neka je data funkcija z=f(x,y) koja ima parcijalne izvode

∂ z∂ x

= ∂ f∂ x

=f x(x ,y),=z x(x, y) i ∂ z∂ y

= ∂ f∂ y

=f y(x , y),=z y(x , y)

koji se zovu parcijalni izvodi prvog reda ili prvi parcijalni izvodi. Ovi parcijalni izvodi su takođe funkcije od x i y i mogu imati svoje parcijalne izvode koji se zovu parcijalni izvodi drugog reda ili drugi parcijalni izvodi. Obilježavaju se na slijedeći način:

∂2 z∂ x2=

∂2 f∂ x2 =f xx

' ' (x , y),=zxx'' (x ,y), i ∂2z

∂ x ∂ y= ∂2 f

∂ x ∂ y=f xy

'' (x , y),=zxy' ' (x, y)

∂2 z∂ y ∂ x= ∂2 f

∂ y ∂ x=f yx'' (x , y) ,=zyx

' ' (x , y) i ∂2z∂ y2=

∂2 f∂ y2=f yy

' ' (x , y),=zyy' ' (x ,y)

Na sličan način se dobijaju parcijalni izvodi trećeg, četvrtog, petog,..., n-tog reda. Iz definicije parcijalnog izvoda slijedi da egzistencija parcijalnog izvoda n-tog reda u nekoj tački x povlači za sobom egzistenciju n- prethodnih uzastopnih parcijalnih izvoda u okolini posmatrane tačke.

Pri rješavanju ekonomskih problema važi jednakost

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x

Neka je data funkcija z=f(x,y) koja ima totalni diferencijal

dz= ∂ z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy ,

koji se zove totalni diferencijal prvog reda ili prvi totalni diferencijal. Kako se dx i dv mogu smatrati kao konstanta, tako je totalni diferencijal prvog reda funkcija od x i y, koja može imati svoj totalni diferencijal, koji se zove totalni diferencijal drugog reda ili drugi totalni diferencijal i obilježava se:

d2 z=d (dz)=d[ ∂ z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy]= ∂∂ x ( ∂ z

∂ xdx+ ∂ z

∂ ydy)dx+ ∂

∂ y ( ∂ z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy)dy =

= ∂2 z∂ x2 dx2+ ∂2 z

∂ y ∂ x ∂ ydx+ ∂2 z∂ x ∂ y ∂ xdy+ ∂2 z

∂ y2 dy2= ∂2 z∂ x2 dx2+2 ∂2 z

∂ x ∂ y ∂ xdy+ ∂2 z∂ y 2 dy2

Naći prvi i drugi totalni diferencijal funcije z=x + 4x y +7xy+1.

12

∂ z∂ x

=4x3+8xy3+7y ∂ z∂ y

=12x2 y2+7x

∂2 z∂ x2 =12 x2+8 y3 ∂2 z

∂ y2 =24x2 y

∂2 z∂ x ∂ y =24xy2+7 ∂2z

∂ y ∂ x =24 xy2+7

dz=(4x3+8xy3+7)dx+(12x2 y2+7x)dy

d2 z=(12 x2+8y3)dx2+2(24xy2+7)dxdy+24 x2 ydy2

13

5. Neke osobine funkcija

5.1 Ograničenost funkcije

Za funkciju f(x) se kaže da je ograničena s gornje strane u oblasti definisanosti Df, ako postoji realan broj G, takav da za svakog x iz Df važi nejednakost f(x)≤G.

Za f(x) se kaže da je ograničena s donje strane u Df ako postoji realan broj g, takav da za svako x iz Df važi nejednakost f(x)>g.

Ako je f(x) ograničena i sa gornje i sa donje strane, tj. ako za svakog x iz Df važi nejednakost g≤f(x)≤F, tada važi i nejednakost |f(x)|≤ K, gdje je K=max {|g|, |G|}, pa se za f(x) kaže da je ograničena u Df.

Dalje slijedi da važi -K ≤ f(x) ≤ K, a to znači da se grafik (dijagram) funkcije y=f(x) nalazi između pravih y=-K i y=K.

Kod funkcije ograničene s gornje strane postoji najmanji broji M koji nije manji ni od jedne vrijednosti funkcije f(x) u oblasti Df, tj. M=sup{f(x)}. M se naziva gornja međa funkcije ili:

supremum funkcije f(x).

Kod funkcije ograničene s donje strane postoji najveći broj m koji nije veći ni od jedne vrijednosti

funkcije f(x) u Df, tj, m= infx∈D

{f (x)} , m se naziva donja međa funkcije ili infimum funkcije

f(x).

Razlika M-m se naziva oscilacija funkcije. Gornja i donja međa mogu pripadati skupu vrijednosti funkcije f(x), tj. kodomenu Df . Ako je M∈Df , onda je M najskupu vrijednosti funkcije f(x), tj. kodomenu Df . Ako je M∈Df , onda je M najveća vrijednost funkcije, tj. M = max{f(x)}.

Ako je m∈Df , onda je m najmanja vrijednost funkcije, tj M= maxx∈Df

{f (x)} .

Primjer:1. Funkcije y = sin x i y = cos x su ograničene u intervalu (-∞,+∞), jer je:

( x R)( - 1 ≤ sin x ≤ 1); ( x R)( - 1 ≤ cos x ≤ 1) tj. za obe funkcije važi: (vidi sliku 3-1.)∀ ∈ ∀ ∈ m = -1, M = 1.

2. Funkcija y = x2 je u intervalu (-∞,+∞) ograničena s donje strane sa donjom međom m = 0a funkcija y = -x2 je u intervalu (-∞,+∞) ograničena s gornje strane sa gornjom međom M = 0(vidi sliku 3-2). Obe funkcije su ograničene npr. u intervalu (segmentu) [ −1 , 1 ] .

14

slika 3-1

slika 3-2

3. Funkcija y = x3 je u Df = (-∞,+∞) neograničena, a npr. u intervalu [ -1,1 ] ograničena (slika 3-3)

slika 3-3

5.2 Monotonost funkcije

Funkcija y=f(x) je monotono rastuća u intervalu (a,b), ako za bilo koje dve vrijednosti x1 i x2 iz intervala (a,b) važi x2 > x1 f(x⇔ 2) > f(x1). (vidi sliku 3-4).

15

slika 3-4

Ako važi x2 > x1 f(x⇔ 2) < f(x1) onda je f(x1) monotono opadajuća u (a,b), (vidi sliku 3-5).

slika 3-5Ako važi x2 > x1 f(x⇔ 2) ≥ f(x1) onda je f(x) u intervalu (a,b) monotono neopadajuća. Ako važi x2 > x1 f(x⇔ 2) < f(x1) onda je f(x) monotono rastuća.

Funkcije koje imaju navedene osobine u cijeloj oblasti definisanosti se nazivaju monotone funkcije, a funkcije koje su u Df monotono rastuće ili monotono opadajuće nazivaju se i strogo monotone funkcije.

1. Pokazaćemo da je linearna funkcija y = kx + n, u intervalu (-∞,+∞) strogo monotona funkcija, koja je rastuća ako je k>0, a opadajuća ako je k<0

Neka su x1 i x2 bilo koje dve vrijednosti argumenta x, tako da je x2 > x1, tj. da je x2 > - x1 > 0.Pošto je f(x2) - f(x1) = kx2 + n - (kx1 + n), tj.f(x2)-f(x1) = k(x2-x1).

pa pošto je prema pretpostavcix2 – x1 > 0, to će biti;

16

f(x2) - f(x1)> 0 f(x⇒ 2) > f(x1) ako je k > 0, a f(x2) < f(x1) ako je k < 0.

Prema tome data funkcija je rastuća ako je k > 0, a opadajuća ako je k < 0.

2. Funkcija y = x3 u Df = (-∞,+∞) je strogo monotono rastuća, jer za bilo koje dve vrijednosti x1

i x2 argumenta x, takve da je x2 > x1, važi:

f(X2) - f(X1) = X23 – X1

3 = (X2 – X1)(X22 + X2X1 + X1

2).

Pošto je x22 + x2x1 + x1

2 > 0 za bilo koje dve vrijednosti x1 i x2 (uz uslov da obe nisu nule), a pošto iz x2 > x1 slijedi da je x2 - x1 > 0, to zaključujemo da prema pretpostavci mora biti:f(x2)-f(x1) > 0 f(x⇒ 2) > f(x1),

pa je data funkcija strogo monotono rastuća

5.3 Parnost i neparnost funkcije

Za funkciju y=f(x) se kaže da je parna u oblasti Df ako za svako x D. važi jednakost f(-x)=f(x), a∈ neparna ako važi jednakost f(-x)=-f(x).

slika 3-6Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na osu y (sl. 3-6-A). a grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak (sl. 3-7-B).Međutim, postoji veći broj funkcija koje nisu ni parne ni neparne.

Primjer:1. y = x2 je parna funkcija, jer je f(-x) = (-x2) = x2 = f(x). 2. y = x3 je neparna funkcija, jer je f(-x) = (-x)3 = -x3 = --(x)

3. y = x3 + xz + x nije ni parna ni neparna funkcija, jer je: f (−x)=−x3+x2−x≠{ f (x)−f (x)

5.4 Periodičnost funkcije

Za funkciju y=f(x) se kaže da je periodična u Df , ako za svako x D∈ f važi da je f(x+n)=f(x). Broj n se naziva periodom funkcije y=f(x).

Najpoznatije primjere periodičnih funkcija predstavljaju trigonometrijske funkcije. Funkciju y=k (k=const.) takođe možemo smatrati periodičnom funkcijom, gdje je period bilo koji realan broj.

17

5.5 Granična vrijednost funkcija

Pojam granične vrijednosti niza, kao specijalne funkcije, proširićemo na proizvoljne funkcije. Neka je y=f(x) definsana u intervalu a<x<a+δ i neka je x1,x2,...xn ..... ma kakav niz brojeva iz tog intervala za koji važi:

limx →∞

{xn}=a+0 (znači teži broju a s desna)

Ovom nizu vrijednosti argumenta x odgovara niz vrijednosti funkcije y=f(x), tj. f(x1),f(x2) f(xn) ...

Ako pri tome važi limxn→a+0

{f (xn)}=f (a+0) onda se f(a+0) naziva desna granična vrijednost funkcije y=f(x) u tački a.

Neka je y=f(x) definsana u intervalu a-δ<x<a i neka je x1', x2' xn',... ma kakav niz brojeva iz tog intervala za koji važi:

limx →∞

{x 'n}=a−0, (znači teži broju a s lijeva)

Ako pri tome važi limxn→a+0

{f (x 'n)}=f (a−0) , onda se f(a-0) naziva lijeva panična vrijednost funkcije y=f(x) u tački a.

Ako je desna granična vrijednost jednaka lijevoj, tj. ako je f(a+0)=f(a-0)=A, onda se kaže da funkcija y=f(x) ima graničnu vrijednost A u tački a i piše se:

limx →∞

f (x)=A

Prema tome, funkcija y=f(x) koja je definisana u nekoj okolini tačke a teži graničnoj vrijednosti A, ako se za svaki proizvoljno mali ε>0 može naći broj δ>0 tako da iz | x - a | < δ slijedi | f(x)-A | < ε.

slika 3-7Geometrijska interpretacija činjenice da y=f(x) ima graničnu vrijednost A u tački x=a data je na slici 3-7.

18

limx →1−0

x2=∧ limx →1+0

=1⇒ limx→1

x2=1

Primjer:Data je funkcija y =x2

Prema definiciji granične vrijednosti potrebno je dokazati da za proizvoljno ε > 0 možemo naći za δ> 0 tako da za |x-1|<δ bude |x2-1 | < ε .

Ako je |x -1 | < δ. Tada je |x2 -1| = |x-1| · |x -1| < δ(δ + 2)

Ako stavimo δ(δ + 2) = ε dobijemo δ2 +2δ-ε= 0, odnosno

δ1=−1−√1+ε ; δ2=−1+√1+ε

δ< 0, pa ne dolazi u obzir. Prema tome za proizvoljno mali broj ε>0 postoji pozitivan broj

δ2=−1+√1+ε tako da za |x-1 | < δ bude | x2-1|< ε, a ovo je ekvivalentno postojanju granične vrijednosti date funkcije u tački x=1.

Funkcija y=f(x) teži graničnoj vrijednosti A kada x →∞ ili x → −∞ , ako za svako proizvoljno malo ε>0 možemo naći N>0 takvo da za sve vrijednosti x za koje je | x | >N važi | f(x)-A | < ε.

Za funkciju y= x−1x

=1− 1x važi:

limx →∞ (1− 1

x)=1 limx →−∞(1−1

x )=1

Primjer:Potrebno je dokazati da se za proizvoljno malo ε > 0 može naći N takvo da za | x | >N važi

∣x−1x −1∣<ε

Pošto važi: ∣x−1x −1∣=∣1− x−1

x −1∣=∣− 1x∣= 1

∣x∣<ε , tj. ∣x∣>1ε=N

to zaključujemo da za proizvoljno mali ε > 0 postoji N=1ε takav da za sve vrijednosti

argumenta x za koje važi | x| >N važi: ∣x−1x −1∣<ε , kada x → ±∞, što je i trebalo dokazati.

Ukoliko funkcija nema konačnu granicu kada x →∞ ili x → −∞ , tada će nastupiti jedan od slijedeća dva slučaja:

1. funkcija y=f(x) ima beskonačno veliku pozitivnu graničnu vrijednost, tj. limx →±∞

f (x)=∞

19

2. funkcija y=f(x) ima beskonačno veliku negativnu graničnu vrijednost, tj. limx →±∞

f (x)=−∞

Npr.: limx →−∞

x3=−∞ ; limx →∞

x3=∞ ; limx→±∞

x4=∞

Funkcija y=f(x) se naziva beskonačno mala kada x → a ili x → ±∞ ako je limx →a

f (x)=0 ,

odnosno limx →±∞

f (x )=0

Npr. limx →±∞

1x=±0; lim

x →±∞

1x2=±0

Recipročna vrijednost beskonačno male veličine je beskonačno velika veličina i obratno.

Na kraju dajemo pregled operacija s graničnim vrijednostima funkcija f(x) i g(x) kad x →a, s tim da pod a možemo podrazumjevati konačan broj ili beskonačno veliku veličinu, tj. ±∞.

1) limx →a

(f (x)±g(x))=limx →a

f (x)±limx →a

g(x)

2 ) limx →a

(f (x)⋅g(x))=limx →a

f (x)⋅limx →a

g(x)

3 ) limx →a

f (x)g(x)

=limx →a

f (x)

limx →a

g(x)

4) limx →a

(k g(x))=k limx →a

g(x); limx→a

k=k ; k=const

5) limx →a

(g(x))k=(limx →a

g(x))k ; k=const.

6 ) limx →a

k√g(x)=k√limx →a

g(x)

7 ) limx →a

(ln g(x))=ln(limx →a

g(x))=m;odakle slijedi limx →a

g(x)=em

8) limx →a

a /x=0 ; limx →a

a /x=∞

5.6 Neprekidnost funkcije

Za funkciju y=f(x) definisanu u tački x0 i u nekoj njenoj okolini, se kaže da je neprekidna u tački x0, ako važi: lim

x →x0

f (x )=f (x0) .

Ovoj definiciji je ekvivalentna slijedeća definicija: za funkciju y=f(x), definisanu u tački x0

i u nekoj okolini ove tačke se kaže da je neprekidna u tački x0, ako se za svaki proizvoljno mali ε>0 može naći broj δ>0 tako da iz | x- x0 | < δ slijedi | f(x) - f(x0) | < ε.

20

Ovo znači da će funkcija y=f(x) biti neprekidna u tački x0;

a) ako je y = f(x) definisana u tački x0;b) ako postoji granična vrijednost iste funkcije u tački x0;c) ako je granična vrijednost funkcije u tački x0 jednaka vrijednosti funkcije u toj tački, tj.

limx →x0

f (x)=f (x0)

Ako funkcija y=f(x) u nekoj tački x = x0 ne ispunjava bar jedan od ova tri uslova tada za x = x0

funkcija ima prekid, i x0 nazivamo tačkom prekida funkcije.

Funkcija f(x) je neprekidna u intervalu [a,b] ako je neprekidna u svim tačkama tog intervala.

Primjer:

1. Funkcija y = f(x) = x3 je neprekidna u cijeloj oblasti definisanosti, jer za svako x (−∞,+∞) va∈ ži: limx →x0

f (x )=f (x0)

2. Funkcija y=f(x)=(x+1)/(x-1) nije neprekidna u tački x=1; jer u toj tački nije definisana, pošto je f(1) = 2/0.

3. Funkcija y=f(x) = {1/x ,x≠00, x=0 , je prekidna u tački x = 0, jer ne postoji lim

x →x0

f (x ) pošto je:

limx→0

1/x=−∞ ; limx →0

1/x=+∞ , 0- znači x teži nuli s lijeva. a 0+ znači da x teži nuli s desna.

Data funkcija je inače definisana u tački x = 0, jer je f(0) = 0.

Bez dokaza navodimo dve teoreme o osobinama neprekidnih funkcija:

Svaka funkcija koja je neprekidna u nekom intervalu [a,b] ograničena je u njemu i na tom intervalu dostiže svoju donju i gornju među.

Ako je funkcija f(x) neprekidna u intervalu [a,b] i ima suprotne znakove na krajevima ovog intervala, tada između tačaka a i b postoji bar jedna tačka x=c u kojoj je f(c)=0.

Na kraju navodimo operacije sa neprekidnim funkcijama. Ako su f(x) i g(x) neprekidne funkcije u tački x=x0, tada su u ovoj tački neprekidne i slijedeće funkcije:

1) l(x) ±g(x) 2) f(x) ∙ g(x)

5.7 Asimptote

Potpuno ispitivanje funkcija y=f(x) zahteva sistematično određivanje svih karakterističnih osobina date funkcije y=f(x). Prilikom konstrukcije grafika veličina slike je ograničena. Imamo mogućnost da skiciramo u konačnim dimenzijama, ali je neophodno da ispitujemo ponašanje funkcije kad x→±∞ ili u tačkama prekida. U tom cilju upoređuje se funkcija y=f(x) sa pogodno izabranom funkcijom φ(x) čije ponašanje je dobro poznato, funkcija φ(x) ili φ -1(y) se naziva asmiptota

21

funkcije y=f(x) ako je ispunjen uslov

limx →∞

[ f (x)−φ(x)]=0 (13)

limy →∞

[ f−1(y)−φ−1(y)]=0 (14)

U vezi inverznog preslikavanja vidi tačku 1.4. Geometrijski, gornje relacije znače da se grafici datih funkcija u beskonačnosti neograničeno približavaju jedan drugome. Asimptote mogu da budu pravolinijske i krivolinijske. U nastavku govoriće se o pravolinijskim asimptotama, koje mogu biti: kose, horizontalne i vertikalne. Vidi sliku 3-8.

slika 3-8

Potreban i dovoljan uslov za egzistenciju kose asimptote sadrži slijedeća teorema:

Funkcija y=f(x) ima kosu asimptotu ako i samo ako postoje konačne granične vrijednosti

limx →∞

f (x)x

=a i limx →∞

[f (x)−ax ]=b (15)

Pokazaćemo da je uslov (15) dovoljan.Jednačina kose asimptote je φ(x) = ax + b.

22

Pokazaćemo najpre da je uslov (15) potreban, tj. ako postoji prava φ(x)=ax+b koja je asimptota funkcije y=f(x), tada prema definiciji asimptote uslov (13) lim

x →∞[ f (x)−(ax+b)]=0 je ispunjen.

Nakon dijeljenja sa x limx →∞

f (x)−ax+bx

=0

Odakle se dobije da je limx →∞

f (x)x

=a

Iz relacije (13) slijedi da je b=limx →∞

[ f (x )−ax ]

Doista, ako je limx →∞

f (x)x

=a i limx →∞

[f (x)−ax ]=b

tada je limx →∞

[ f (x)−(ax+b)]=0

Relacija (13) je ispunjena, tj. φ(x)=ax+b je po definiciji (13) asimptota funkcije y=t(x).U specijalnom slučaju za a=0 dobija se asimptota φ(x)=b koja se naziva horizontalnom asimptotom.

Horizontalna asimptota je definisana relacijom (13). U slučaju da je φ-1(y)=konst. Relacija (14) definiše vertikalnu asimptotu.

Prava x=a je vertikalna asimptota funkcije y=f(x) ako je

limy →∞

f−1(y)=a (16)

Kako je x=φ-1(y), relacija (16), je ekvivalentna s slijedećim

limy →∞

x=a

limx →a

f (x )=∞

Potrebno je napomenuti da prilikom određivanja asimptota određujemo granične vrijednosti i za +∞ i za -∞.

Primjer:

1. Odrediti asimptote funkcije f (x )= x+1x−1 .

Potražimo kose asimptote funkcije

a=limx →∞

f (x)x

=limx →∞

x+1x−1

x=lim

x →∞

x+1x(x−1)

=limx →∞

1+ 1x

x−1=0 .

23

Kad x → - ∞ dobijemo isto. S obzirom da je a = 0 kosa asimptota funkcije f (x)= x+1x−1 ne

postoji. Međutim ispitivanje je potrebno nastaviti jer možda postoji horizontalna asimptota

b=limx →∞

[ f (x)−ax ]=limx→∞

[f (x)]=limx →∞

x+1x−1

=limx →∞

1+ 1x

1− 1x

=1 .

Kad x → - ∞ dobijamo isto. Prema tome y=1 je jedina horizontala asimptota grafika funkcije

f (x )= x+1x−1

kad x→±∞

Za određivanje vertikalnih asimptota odmah vidimo da ako imenitelj racionalne funkcije izjednačimo sa nulom realna rješenja te jednačine predstavljaće one konačne vrijednosti promenljive x za koje funkcija f(x) postaje beskonačno velika.tj.

limx →1−0

x+1x−1

=+∞ i limx →1−0

x+1x−1

=−∞

Prema tome, prava x=1 predstavlja vertikalnu asimptotu funkcije kad y→ ± ∞

1. Odredite asimptote funkcije f (x )= x2

x−2

a=limx →∞

f (x)x

=limx →∞

x2

x−2x

=limx →∞

xx−2

=1.

Kad x → - ∞ dobijamo isto.

b= limx →±∞

[f (x)−ax ]= limx →±∞ [ x2

x−2−x]= limx →±∞

2xx−2=2.

Kriva ima kosu asimptotu y=x+2.

Vertikalna asimptota ove krive je x = 2, jer je

limx →2−0

x2

x−2=+∞ i lim

x →2−0

x2

x−2=−∞ .

24