SOLUCIONARIO DE LA PRACTICA DIRIGIDA Ciclo Semianual Integral

1. ¿Cuántas cifras 5 como máximo hay que colocar a la derecha del número

hay que colocar a la derecha del número 2134 para que el resultado sea múltiplo de 9, sabiendo además, que dicha cantidad es menor que 87? a) 70 b) 75 c) 79 d) 85 e) 90 Resolución:

x cifras

213455...5 9 donde x < 87

Sabemos que para que un numeral sea múltiplo de 9 se aplica el algoritmo de la suma de cifras, debiendo ser esta múltiplo de 9; asi:

2 1 3 4 5 9x luego

10 5 9x

9 1 5 9x

9 5 9 1x

9 5 9 1 (36)x

9 9 7x

De ahí que: 9 7x

Por tanto el máximo valor que toma x es 79

Rpta. 79

2. Si: 8mnp y

o

( 2) 35m p pm . Halle el máximo valor de m+n+p

a) 18 b) 12 c) 16 d) 4 e) 21 Resolución:

Para que el numeral ( 2)m p pm sea múltiplo de 35, debe ser múltiplo

de 5 y de 7, entonces el valor de m debe ser 5 ó 0, pero m no puede ser 0 porque es cifra de primer lugar en ambos numerales, por lo que m=5.

Por otro lado, para que el numeral mnp sea múltiplo de 8, debe cumplir

que: o

4 2 8m n p , entonces:

o

20 2 8n p

o o

8 4 2 8n p

o o

8 2 8 4n p

o

2 8 4n p ……… (1)

Por otro lado, para que sea múltiplo de 7, debe cumplirse que:

o

3 2( 2) 7m p p m

o

5 4 7p

o

5 7 4p

o

5 7 4 (14)p

o

7 2p

Por lo que p tiene 2 valores 2 ó 9, pero no puede ser 9 porque (p+2) debe ser menor que 9, por lo que p=2 Al retomar la ecuación (1) y reemplazar el valor de p, se tiene:

o

2 2 8 4n o

2 8 6n o

4 3n

Por tanto n puede tomar los valores 1, 5, 7 Pero si piden el máximo valor, entonces n=7

Finalmente: 5 7 2 14m n p

Rpta. 14

3. Si

o

3 99 31a ba , ¿Cuánto se debe sumar como mínimo al número

abab para obtener un múltiplo de 7?

a) 1 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Si el numeral debe ser múltiplo de 99, entonces debe ser múltiplo de 9 y de 11, por lo que:

o

2 3 9 31a b o

2 9 31 3a b o

2 9 28a b o

2 9 1a b …….(1)

o

3 11 31a b a o

11 31 3a b a o o

11 6 11 5b

5b

Retomando entonces el valor de b para reemplazarlo en la ecuación (1), tenemos:

o

2 5 9 1a o

2 9 4a o

9 2a

7a

Entonces: 7575abab

Por lo que: o

7575 7x o o

7 1 7x

6x

Rpta. 6

4. Sea N abc un número de 3 cifras, tal que: 0

7abc ,

0

11cba y 0

9cab . Halle la suma de 3c+2ª+b.

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 Resolución: Debemos tener en cuenta que tanto para múltiplos de 11 como para múltiplos de 9 se puede intercambiar el orden de las cifras sin alterar el módulo correspondiente, pero respetando ciertas condiciones:

Para múltiplos de 11, se pueden intercambiar las cifras que poseen el mismo signo, es decir solo las cifras afectadas por el signo positivo o solo las cifras para el signo negativo.

Para múltiplos de 9 no hay restricción alguna ya que al final solo importa la suma de las cifras.

Por lo que al final, se obtiene:

o

o

7

11

9o

abc

Así, al final se tiene que:

o

693abc

Por tanto, el único valor que puede tomar el numeral es 693, por lo que:

6a , 9b y 3c

Así: 3 2 30c a b

Rpta. 30

5. Si: 12

5 ... 9 4 4 8o o

cifras

aaaa a y b bb , halle b a

A) 8 B) 3 C) 2 D) 4 E) 1 Resolución:

CLAVE: D

6. Cuántos números de la forma 5ab son PESI con 24?

A) 60 B) 45 C) 30 D) 33 E) 32 Resolución:

CLAVE: D

5 11 9 4o

a

Criterio de 9

→ (9 2) 9 1o o

a

2 9 1

4

o

a →→

Criterio de 8

16 2 8o

b b

4 2 1

84

o

b bb

3 8

8

o

b →

Luego: 8 4 4b a

→

→

Por conjuntos:

Debemos encontrar la cantidad de

numerales que no son ni

35 24 2 .3ab PESI

3o

2o

5ab

34 16 17

3o

2o

6o x

No son ; 3o

2o

100

Luego:

50+17+x=100

X= 33

7. Si el número 42000....0n cifras

tiene 32 divisores múltiplos de 6, halle el

valor de n. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Resolución:

CLAVE: C

242000....0 42.10n

ncifras

M

→

1 22 .3.5 .7 .......( . )n nM D C

2 23.2(2 .5 .7)n n

R

M

6

( ) ( ) 32oCD M CD R

( 1)( 1).2 32

5

n n

n

8. Si la diferencia de 18n con 18n-2 tiene 24 divisores, ¿cuántos de los divisores de 15n. 8n son compuestos? A) 156 B) 48 C) 72 D) 123 E) 160 Resolución:

CLAVE: A

9. Si la suma de los divisores positivos del número es 240, halle el valor de “n”.

A) 2 B) 4 C) 5

D) 1 E) 3

Resolución:

Si tenemos en cuenta que:

218 18n nM

Luego:

→

( ) 24

( 1)(2 3)2.2 24

( 1)(2 3) 6 3

CD M

n n

n n n

2 2 2 2 4

.

18 (18 1) 2 .3 .17.19n n n

D C

M

3 3 3 9 315 .18 2 .3 .5

( ) ( ) ( )

( ) 4 10 4 4

( ) 156

comp simples

comp

comp

N

piden

CD N CD N CD N

CD N

CD N

→

2406.13

13

24015

15

13

13

240

1

111

n

N

n

N

N

SD

SD

SD

Entonces: 3n

10. El número tiene tres divisores simples y la suma de sus

divisores pares es 372. Calcule A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 11

Resolución:

1

1

1 5 2

5 1

0 2 5 2 .5 2 2 .5

372

2 1 5 10 2 372

2 1 5 1

2 1 5 1 31 24 2 1 5 1

: 5 ; 1

tan : 0 2 5 1

n m n m

genera divisores pares

n m

n m

ab ab

luego la suma de divisores pares por dato

SDpares ab

comparado n m

por lo to ab

60

: 1 6 7lo quenos pide a b

CLAVE: B

11. Si , calcule la cantidad de los posibles valores

que toma A) 20 B) 26 C) 24

D) 22 E) 28

Resolución:

De los datos nos podemos dar cuenta que:

PESIsonqqabc

,,20:)(14

)20(14280

Entonces:

00

.64

52

71;...;11;10;9;8:

...4,71...14,7

100014100

qq

q

q

q

valores

valorestomaq .24..

12. Al calcular el MCD de y por el algoritmo de Euclides, se obtuvieron los cocientes sucesivos b; b; 7 y 2, donde b es el MCD

de dichos números. Calcule el valor de A) 11 B) 12 C) 10

D) 14 E) 13

Resolución:

Si bnmabcdMCD )5;(

5

52:

5215

0

55

2

00

b

bentonces

nmbb

Reemplazando:

2000

3855

abcd

nm

13 nma

b b 7 2

bbb 15215 23 bb 215 2 b15 b2 b

b15 b2 b 0

13. ¿Cuántos pares de números naturales cumplen que la suma de

ellos sea 450 y su máximo común divisor sea 15? a) 7 b) 8 c) 5 d) 4 e) 6

Resolucion:

Piden: la cantidad de pares de numeros

Sean A y B

Si 𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 15 entonces

𝐴 = 15𝑝

𝐵 = 15𝑞 donde 𝑝 𝑦 𝑞 son PESI

1 29

3 27

7 23

11 19

13 17

5 pares

Ademas

𝐴 + 𝐵 = 450

15 𝑝 + 𝑞 = 450

Por lo tanto hay 5 pares

Rpta: C

14. Los números 2 ∙ 42𝑛 y 35 ∙ 15𝑛 tienen 3 divisores comunes múltiplos

de 7. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de dichos números.

a) 64 b) 72 c) 84 d) 100 e) 144

Resolucion:

Piden: 𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑀)

Si 𝐴 = 2𝑥42𝑛 = 2𝑛+1𝑥3𝑛𝑥7𝑛

𝐵 = 35𝑥15𝑛 = 3𝑛𝑥5𝑛+1𝑥7

𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 3𝑛𝑥7 = 7(3𝑛)

𝐶𝐷(𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7) = 𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑑 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7) = 𝑛 + 1 = 3 → 𝑛 = 2

Luego:

𝐴 = 23𝑥32𝑥72

𝐵 = 32𝑥53𝑥7

𝑀𝐶𝑀 𝐴;𝐵 = 23𝑥32𝑥53𝑥72

Entonces

𝐶𝐷(𝑀𝐶𝑀) = 4𝑥3𝑥4𝑥3 = 144 Rpta: E

15. Se quiere dividir en parcelas cuadradas iguales un terreno de forma rectangular, de lados 1288m y 952m, sin que sobre terreno. Luego, se desea cercarlas, de tal manera que exista un poste en cada esquina de las parcelas. Determine la menor cantidad de parcelas y la menor cantidad de postes que se necesitan para cercar dichas parcelas. a) 390 y 432 b) 392 y 431 c) 392 y 432 d) 391 y 432 e)

391 y 431

Resolucion:

Piden: menor cantidad de parcelas y postes

𝐿 = 𝑀𝐶𝐷 952; 1288 = 56 Luego

(𝑁° 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠) =𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 =

1288𝑥952

56𝑥56= 391

𝑁° 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 1288

56+ 1

952

56+ 1 = 432

Rpta: E

L L

952m

1288m

16. Se cumple que

0. 58𝑎𝑎𝑎 … 𝑥0. 5𝑎𝑎𝑎 … = 0.𝑎𝑏𝑏𝑏…

Calcular 𝑎 + 𝑏, ademas 𝑎 ≠ 2

a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 5

Resolucion:

Piden: 𝑎 + 𝑏

0. 58𝑎𝑎𝑎 … 𝑥0. 5𝑎𝑎𝑎 … = 0.𝑎𝑏𝑏𝑏…

0.58𝑎 𝑥0.5𝑎 = 0. 𝑎𝑏

58𝑎 − 58

900

5𝑎 − 5

90 =

𝑎𝑏 − 𝑎

90

522 + 𝑎 45 + 𝑎 = 900 9𝑎 + 𝑏 = 9

9 + 𝑎 9 + 𝑎 = 9 → 𝑎2 = 9 → 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 1

Por lo tanto 𝑎 + 𝑏 = 4

Rpta: D

17. Reduzca la siguiente expresión0,58333..... 0,481481....

0,333... 0,9444...M

de

cómo respuesta la suma de los términos de la fracción irreductible que se obtiene al reducir M A) 10 B) 12 C) 15 D) 11 E) 13

Resolución:

583 58 481

0,58333..... 0, 481481.... 900 9993 94 90,333... 0,9444...

9 90

525 481 7 13 115

900 999 12 27 1083 85 1 17 23

9 90 3 18 18

5

6

M

M

M fraccion irreductible

Nos piden la suma de sus términos de M : 5 + 6 = 11 CLAVE: D

18. Si a una fracción irreductible se le suma su inversa, se obtiene el

número decimal 2,35 . Calcule la suma de los términos de la

fracción. A) 17 B) 11 C) 15 D) 13 E) 14 Resolución:

Seaa

fb

dicha fracción irreductible , nos piden a b

Por condición:

2 2

2 2

235 23 2122,35

90 90

106

45

106 45 9 ; 5

tan : 14

a b

b a

a b

ab

ambas son irreductibles

a b y ab entonces a b

por lo to a b

CLAVE: E 19. Se cumple que:

Calcule la suma de valores de a b A) 76 B) 84 C) 62 D) 50 E) 56 Resolución:

Nos piden la suma de valores de a b del dato , se tiene:

CLAVE: 84

3,418

5 11

a b

→ 11 5 3418 34 188

55 990 55

11 5 188

3 31 34

13 9 22

8 20 28

( ) 34 22 28 84

a b

a b

a b

a b

a b

suma devalores dea b

→

20. Se cumple que:

Calcular: a b c x

A) 17 B) 18 C) 16 D) 15 E) 14 Resolución: Del dato se divide 81 por 47, se obtiene: 81

1,72... 1; 7 247

a b y c

Reemplazando los valores de a , b y c en el dato inicial.

Finalmente lo que nos pide 1 + 7 + 2 + 8 = 18

21. En una reunión el 40% de los asistentes son mujeres. Luego de cierto tiempo , se retiran 20 mujeres y después llegan 12 parejas , con lo que ahora el número de varones representan el 75% de los presentes. Al inicio , ¿Cuál era la diferencia entre el número de varones y mujeres? A) 144 B) 72 C) 36 D) 12 E) 120

81, ....

47a bc x

.......9 .......7

81 172... 11,72...

47 999...9

81 (99...9) 47 (172... 1)

: 172... 1 ....7

8

xx

x

como x

x

Resolución: Por dato:

Al final por dato:

CLAVE: D

22. Un comerciante compra cierta cantidad de mercadería y vende el 40% de ella ganando el 10% ; el 35% del resto, perdiendo el 20%. ¿Cuál debe ser la ganancia en la venta de la mercadería restante para obtener una ganancia total de 5,65%? A) 12% B) 15% C) 12,5% D) 10% E) 10,25% Resolución:

N° varones

N° mujeres

N° total

iniciose van 20

mujeres

llegan 12

parejas

2k

3k

5k

2k-20 2k-8

3k 3k+12

5k+4

:

N°varones = 75% N°total

3k+12 3(5k+4)4

despejando : k = 12

porlotantoloquenospiden 3k - 2k=k= 12

CLAVE: B

23. Un comerciante , del total de artículos que tiene, vende el 30% más 10 artículos ; en una segunda venta, vende el 40% del resto menos 5 artículos ; y luego de esto , todavía le esta quedando por vender 83 artículos . ¿Qué tanto por ciento de sus artículos ha vendido? A) 55,8% B) 58,5% C) 41,5% D) 44,2% E) 48,5% Resolución:

1ra venta

Consideremos

Costo Total: S/ 100

Por dato:

Costo resto: S/ 60

2da venta 3ra venta

S/ 40 S/ 21 S/ 39

G1 = 10%(40)

= 4P=20%(21)

= 4,2G2= x%(39)

Gtotal = G1 + G2 – P = 5,65%(costo total)

↑ ↑ ↑ ↑

4 X%39 4,2 100

X%39= 5,85 X% = 15%

↑

CLAVE: B

24. Si la base de un triangulo rectángulo disminuye en x% , ¿En que tanto por ciento deberá aumentar su altura para que se duplique su área?

A) 100

100100

x

x

B) 100

50100

x

x

C) 100

100

x

x

D) 100100

100

x

x

E) 2 100

100

x

x

N° total

Consideremos:

º

% 100%º

N articulos

Pocentajede vendidosx

articulos vendidos N total

articulos

↑

100k

30k + 10 70k -10

(28k – 4)- 5 (42k – 6)+ 5

Dato:

(42k -6) + 5 = 83 → k = 2

N° articulos

que quedan

N° articulos

vendidos = 83 = 117

N° total = 200

117% 100% 58,5%

200x

Por lo tanto:

Resolución:

CLAVE: D

25. Un supermercado siempre ofrecía descuentos sucesivos del 20% y 15% en la venta de sus productos, pero decidió efectuar un único

Dato:

Inicio

b (100-x)%b

h (100+n)%h

Final

12

b hA

2A

2 1

2

2

100 % 100 %2

2 2

100 1002

100 100

:

100 1002 100100

100 100

A A

x b n h b h

x n

despejando

xn

x x

descuento equivalente a los que ofrecía. ¿Cuál es el valor de este descuento? (UNFV2007)

A) 22,5% B) 17;5% C) 32% D) 28% E) 35%

Resolución:

CLAVE: C

Descuento sucesivo del 20% y 15%

15%(80%)

Final 68%

-12% -20%

Queda 80% Inicio 100%

Descuento

único equivale = 32%